简述数学建模的一般步骤范文

导语：如何才能写好一篇简述数学建模的一般步骤，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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1.1简述数学及数学建模

美国科学院院士Glimm在他编著的《数学科学、技术和经济竞争力》的报告里指出：“数学科学对于经济竞争是生死攸关的”，认为“在数学科学里，技术转化远低于其潜力”“，这种由研究到技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”。从而，数学向一切领域渗透以及实现数学科学技术转化，是当代数学发展最具生命力的方面。近代计算技术的快速发展，为数学的发展提供了最有力的工具。在高新计算机技术支持下的数学建模，成为目前发展数学向一切领域渗透及数学科学技术转化的主要途径。由于利用数学方法解决实际问题时，首先要进行的工作是建立数学模型，而建立一个较好的数学模型成为解决实际问题的关键。

1.2对模型与数学模型的认识

一般地说模型是我们所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质。好的模型应当具有它所模拟对象的主要功能。例如：航模飞机就是对机的一种模型。但模拟不一定是对实体的一种仿制，也可以是对某些基本属性的抽象。例如：日常生活中使用的各种图纸。那么什么是数学建模呢？数学建模就是指将某一领域或部门的某一实际问题，经过抽象简化、明确变量和参数，并依据某种“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系（即数学模型），然后求解该数学问题，并对此结果进行解释和验证。若通过，则可投入使用，否则将返回去，重新对问题的假设进行改进。按照E.A.Bender的提法，认为数学模型乃是“关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化的数学结构“。由于个人的讲法不一，不必过于追求严格的定义。总之，数学模型是一种抽象的模拟，它用数学符号、数学式子、程序、图形等刻画客观事物的本质属性与内在联系，是现实世界的简化而又本质的描述。它或者能解释事物的各种性态、预测它将来的性态，或者能为控制这一事物的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。例如，在科学发现上比较有名的万有引力定律的发现是牛顿在力学上的重要贡献之一，正是为了建立这一定律，他发明了微积分方法，通过数学建模的方法，推导出万有引力定律。

1.3数学建模的一般步骤

由于数学建模面对的是现实世界中的形形的事物，不可能用一个统一的格式来说明，下面大致归纳建立数学模型的一般步骤。1）了解问题的实际背景，明确数学建模的目的，掌握必要的数据资料，为进一步数学建模做准备。为了做好这一步工作，有时要求建模者作一番深入细致的调查研究，有时需向有关方面的专家能人请教，以便掌握较为可靠的第一手资料。2）在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，抓住主要矛盾，对问题作必要的简化，提出几条恰当的假设。十六世纪初，著名天文学家开普勒正是在第谷二十年积累起来的资料基础上，提出了科学的假设。如果当时没有开普勒的假设，人们对现实世界天文学的感性认识就不可能迅速上升到理性的阶段。一般在提出假设时，如果考虑的元素过多，过于繁复，会使模型过于复杂而无法求解，考虑的因素过少、过于简单，又会使模型过于粗糙得不出多少有用的结果而归于失败。此时，应当修改假设重新建模，一个较理想的模型往往需要经过反复多次地修改才能得出。3）之前已经根据问题背景提出了适当合理的假设，在此基础上，各变量之间存在某种关系，采用恰当的数学工具来表示以上这种关系，为其构造相对应的数学结构，根据构造的数学结构建立相应的数学模型。在建立数学模型时要综合考虑建模所要达到的要求目的、问题的特征的问题，此外还要考虑负责数学建模人员的数学特长等问题。在建立数学模型时可能会用到任意一个数学分支，即使是同样的问题也可以建立不同的数学模型，只因所采用的数学方法有所差异。人们可以采用多种数学方法达到所预期的要求目的，通常在这种情况下，人们会采用较为简单的数学工具。4)分析并检测所建立的数学模型。人们之所以建立数学模型是为了解决问题，更好的解释自然现象并改造自然以此来满足人们生活需要，所以说数学建模不是我们的最终目的。在建立数学模型时我们应该充分考虑模型求解的问题，模型求解包括以下几部分内容：逻辑推理、图解、解方程、定理证明、讨论稳定性等。建立模型并将模型所得结果与实际情况进行比较，通过这种比较来检测数学模型的正确性。通常，一个较成功的模型不仅应当能解释已知现象，还应当能预言一些未知的现象，并能被实践所证明。例如：牛顿创立的万有引力定律就经受了对哈雷彗星的研究、海王星的发现等大量事实的考验，才被证明是完全正确的。如果经验结果与事实不符或部分不符，就应当象前面所讲的那样，修改假设，重新建模。综合起来讲，数学建模的一般过程可以概括为：从实体信息（数据）提出假设建模求解验证修改应用的一个反复完善的过程。

1.4数学建模中应当注意的两个方面

1）要具备广泛的数学基础知识，懂得它们的背景含义及各种数学应用问题的解法。2）重视观察力和想象力的培养。要学会数学建模除了要学会灵活应用数学知识外，还应当注重培养自己的观察力和想象力。著名科学家爱因斯坦曾经说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动进步，并且是知识的源泉”。

2对投资问题数学模型的探讨

当国家或地区财力有限时，要使有限的投资能发挥出最大的效益，必须制定最佳投资方案，使国民经济获得最优增长。关于投资问题就是经常要提到的一个重要问题，下面采用数学方法建立模型，并对某些结论进行讨论。社会生产可以分为两大部类，第Ⅰ部类和第Ⅱ部类。第Ⅰ部类的生产是用于非消费品的生产；第Ⅱ部类的生产是消费品生产。经济学理论分析，用于第Ⅰ部类的生产资金是通过消费品的生产转化来的，同时生产出来的第Ⅰ部类产品，在一定时期内又服务于消费品生产。那么，要使投入生产的总资本产生最大的经济效益，需确定资本的最佳投入。

2.1投资问题数学模型的建立

假设1)t时刻，国家投入生产的总资本为K(t),K(0)=K0,K(T)=KT,K0与KT是已知量，国民经济总收入为Y(t),并且有Y(t)=〔fK(t)〕,（1）其中〔fK(t)〕是生产函数；2）国民收入主要用于两方面，消费资金C(t)和扩大再生产的积累资金I(t),且有Y(t)=C(t)+I(t)（2）消费资金产生的效益记为U〔C(t)〕,消费越高，为生产带来的效益越大，因此3）人是劳动力资源，从t=0到t=T这段时期内，劳动力保持不变。在上述假设下，考虑最佳投资方案，即确定投资函数K(t).当充分小时，有，令，得，（3）（3）式表明t时刻用于扩大再生产的资金正好是t时刻总资本的变化率。将（1）式（、3）式代入（2）式得到关于K(t)的常微风方程（4）现在的问题是求K(t),使得（5）约束条件为K(0)=K0,K(T)=KT，状态方程为求最佳投入资本的问题归结为解具有固定端点的变分问题（5）.注意到，得变分问题利用Euler方程得常微风方程（6）因为，所以（6）式就变为（7）

2.2模型探讨

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几何动艺是利用在几何上可描述的形状，如三角形，矩形，圆等所组成的构件，结合物理里的平衡原理，通过构思，建立数学模型，定量计算得到联结数据，把每个构件联结起来，创造一件艺术品的学科。

中国科学院院士郭慕孙先生（Mooson Kwauk，1920生人）毕业于美国普林斯顿大学，是该校的化工硕士，同时又是中国几何动艺的先驱。2011年6月，几何动艺实验室正式在北京市第二中学挂牌成立。笔者有幸成为20位同学中的一员。郭慕孙院士在挂牌后的几个月里，三次光临并亲自指导，并聆听了本文作者所在组别制作的作品――“苹果的力量”（详见3.3苹果的力量）――的报告。本文介绍数学思想及方法在几何动艺中的运用，同时展示一些几何动议的作品，展示生活中的数学美。

1.几何动议作品的要求与特色

所使用板的形状必须在几何上可以描述；“七巧板”似的裁切下料，尽可能不浪费材料，组件能拼回原状；动艺部件的平衡需利用物理平衡原理，建立数学模型，强调学科之间的交叉；室内陈列，要求观看者的呼吸和身体运动足以启动作品。

2.几何动艺要求的数学思想与能力

几何动艺，顾名思义，是用几何知识制作的艺术作品。在此阐述一些我在制作中发现需要的数学思想与能力。

2.1基础思想与能力

2.1.1数学建模

几何动艺充分地借鉴了数学建模思想。数学建模中： 根据实际情景提出问题、设计数学模型，计算出数学结果，根据实际校验，如果符合实际得出结果；如果不符合实际，重新提出问题。在几何动艺中，这一过程为：根据构想的几何动艺作品提出构思设计、数学定量计算，计算出连结点数据，根据剪裁连结调试的结果，如果平衡且符合设计初衷则作品诞生；如果不符合实际，重新构思作品。如图1：

2.1.2如何找到基本平面几何形体的质心

找到基本几何形体的质心，是几何动艺中最重要的一步，没有这一步会导致最终成品的不平衡也就等于制作失败。几何动艺作品目前进行研究的是一维或二维的几何形体（板、线）构成的，三维几何体正在计划研究中，所以我们把一个成型的部件的质心看作其对应的一维或二维的几何形体的中心。这里阐述几种基本几何形体的质心寻找办法。

（1）线（实际为棍）：线是在几何动艺中最简单的，可描述的几何形体，其质心即线的中点。

（2）三角形：三角形是比较简单的，其质心即三条中线的交点。

（3）平行四边形：平行四边形的质心即对角线交点。

2.1.3测量时的估读

测量值越精确意味着制作出来的作品一次成功的几率越大。

测量结果一般是由直尺，三角板，量角器，圆规，游标卡尺得出的。其结果往往保留到最小分度值位，即1.0mm或0.5mm。这么保留的原因在于为穿线打孔时打出来的孔一般直径为0.5～1.2mm。这一小孔所造成的质量减少，几何形体变形加之最小分度值测量差，会导致测量结果与实际结果相差0.0～2.0mm左右。这一误差导致的力的偏差正好是可以由悬挂线与几何形体间摩擦力所平衡的。

2.1.4基础数学计算

基础数学计算，加减乘除是必需的。在此基础上，要求适当的估算，不仅为了方便计算，甚至有些情况下可以更精确。

需要掌握的数学基础还包括各种函数的图像，简单的微积分等知识。如《几何动艺（Geometric mobiles）》一书中的作品：对数半旋、扭毯等。

2.2技巧性的思想与能力

为了制作更好的几何动艺作品还要求更多的数学思想与能力。

2.2.1几何形体原料拼装――节约材料

郭慕孙院士在书中的“制约条件”一部分中提到“‘七巧板’似的剪切下料，尽可能不浪费材料，组件能拼回原状。”这种方法我们称作“七巧板法”。

充分利用这个原理的作品有“阶梯”。在此作品中需要四个L形板和一个较小的正方形板。于是为了节省材料，在一个大的正方形板中如下图2剪裁方式。

如此一来，在节省下料的同时又充分的发挥了几何学知识。一举两得。成品见于“3.2基础练习2――阶梯（郭慕孙院士新作，未收录在书中）”。

2.2.2如何找到单个、复杂或多个平面几何形体的质心

计算一个不规则物体的质心，其基础就在于将一个复杂的、不规则的物体分割为若干个规则的、容易描述的物体。而在几何动艺作品中，常常运用的是平面几何形体，即找到一个几何形体的质心。

例如：计算一个不规则四边形ABCD的质心G。

如图3，任意四边形ABCD，连结BD，在“2.1.2如何找到基本平面几何形体的质心”阐述过三角形质心的寻找，所以我们找到BCD和ABC的质心，并设BCD的质心为O1，ABC的质心为O2，则四边形ABCD的质心一定在直线O1 O2上。

于是我们引入一个物理学上的公式，这个公式是基于杠杆原理的，叫作“和质心公式”。

x=■

我们在直线O1 O2上任取一点O，设O1 O =x1，O2 O=x2，四边形ABCD的质心G与O的距离OG=x，SBCD =S1，SABC =S2。在“2.1.2如何找到基本平面几何形体的质心”中阐述过，我们已经将一个实际的部件看作了一个一维或二维的几何形体，那么我们就可以用这个几何形体的面积来替代它的质量。则得到：

在设计自主创新作品“苹果的力量”时，我们大量地运用了这种方法。此外我们还运用了更高一级的方法――负质量法，顾名思义，即缺少的质量我们记为负值。在几何动艺中，即将缺少的面积记为负值。质量或面积为负值意味着其作用效果与其对应的正面积或正质量的作用效果是相反的。

如图4为一个半径为R的O1中缺失了一个半径为r的O2。 设O1为O，GO=x，O1 O2方向为正，解得：■即G在O1负方向与O1距离为x=-■的位置上。

（原始计算时在图后）

原始计算式为：

x=-■

当一个几何形体过于复杂时，我们经常利用计算机将其分为无数个无限小的正方形，计算它们的和质心。

若既计算庞大，又无计算机，我们可以用“悬线法”。即将一个不规则部件用一根线挂住静止，沿线向下划一根延长线。则质心一定在此延长线上。再将部件换一个不在此延长线上的悬挂点，重复上述步骤。得到两根线，其交点为质心。如图5。

2.2.3找规律与规律的应用

找规律即根据等比数列、等差数列递推数据。属于技巧类。如当算出一列数据为1，3，5，7，9，我们即可知道后面的数据为：11，13，15，17……；算出一列数据为1，2，4，8，16，我们即可知道后面的数据为：32，64，128，256……。

2.3多元的思想和能力――基础物理概念、创新思维

在前面的几个模块已经多次引用了物理学上的原理，建立在数学理论上的物理是解决实际问题的最好工具，在此便不加赘述。几何动艺涉及到的学科不仅仅是物理，如何让几何动艺作品看起来更加好看，更加美观，这就需要美术，劳动技术等等学科的参与，几何动艺作品的目的不是为了运用数学原理而运用，它应当是美的。

创新思维是几何动艺的核心思想之一，初期我们模仿郭慕孙院士的作品，并取得了成功，紧接着就着手自主创新几何动艺作品，在接下来的“3成品展示及简述”会介绍两个模仿作品和两个创新作品。

3.成品展示及简述

以下的作品均由我所在的小组所共同制作，成员是：王子超、吴穗雯、彭诚、彭博、王潇欧；指导老师：张改莲、姜则善。

3.1基础练习1――掩护（郭慕孙院士发明，《几何动艺》P76～P88）

如图6，掩护即运用了三角形的质心求法。将6～8个三角形摆成一个漂亮的弧线。我们还可以根据三角形的底边长来决定作品的弧线旋转方向和部件三角形的“胖瘦”。如图7。

3.2基础练习2――阶梯（郭慕孙院士新作，未收录在书中）

如图8，阶梯中充分利用了“七巧板法”。在“2.2.1几何形体原料拼装――节约材料”已经作为例子阐述。

3.3拓展练习――苹果的力量（自主创新）

如图9，苹果的力量是近期制作的最复杂的作品，其部件是由很多个圆与圆的渐近线围成的。制作时利用了复杂几何形体求质心，负质量法，微积分等多种原理。由于计算过于复杂，我们利用了计算机。

3.4最新作品――雷霆（自主创新）

如图10，雷霆是最近期的作品，较“苹果的力量”更简单，但是充分利用了“七巧板法”与复杂几何形体求质心。设计图如图11。

4.结语

几何动艺是由郭慕孙院士从美国的动态艺术产生灵感而创立的。郭院士一直与其一名学生和一名助手钻研几何动艺，后来北京二中也参与了进来，挂牌成立了“几何动艺研究室”，但是一个学校与一个院士和他的团队的力量毕竟是不够的。几何动艺还需要更多的人来发展，如把几何动艺发展到建筑学中去，把几何动艺演变到生活的装饰品中去，这些还都需要更多的人来参与。

参考文献：

几何动艺 GEOMETRIC MOBIL

ES/郭慕孙 Mooson Kwauk.―北京：科学出版社，2008。

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关键词：元算法；数学模型库；扩展元算法；专题数据处理

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）31-0041-02

专题数据处理模型库是指通过各类数学模型，充分挖掘其空间分布规律、关联规律、分类规律等内容，从而获取专题数据处理所需的信息，为空间分析和制图提供重要支持。专题数据处理数学模型库广泛应用在非空间特性数据分析、挖掘空间数据、专题地图制图等多个领域。目前，多数制图系统和GIS系统中，数据处理主要借助函数、插件等固定形式完成算法，哪怕建立的模型库管理系统中已存在的模型，例如：针对环境、农业、交通等建立模型库，已有的模型库重用性、扩展性效果不佳，应用至其他领域必须实施较大改动，需要重新编制算法模型或相对应的管理系统。现阶段，GIS和专题制图技术的不断发展，模型库设计方法无法满足数学模型共享性、重用性的要求，也无法实现用户对动态生成数据模型和智能化管理方面的要求。分析上述问题，根据已有的数学模型库系统展开研究，提出基于元算法数学模型库系统，在系统中增设扩展元算法模型库，介绍可视化生成数学模型库，将设计的数学库模型系统挂连至外界GIS框架内方便进行专题作图，获得良好的应用效果。

1简述元算法相关概念及特征

元算法是指从数学模型中抽象而来最具体的算法单元体，其可以标识算法模型的一般特征，通过聚合建立的数学模型具有共享性、重用性的特点。同时，具体使用过程中，必须综合考虑各领域数学模型的特殊性，必须建立针对具体领域所使用的元算法模型。元算法主要特征如下：1）元算法应概括所有专题数据处理算法的特征，换句话来说，任何一个算法均由多个元算法组成，上述元算法过于细化。2）创建的元算法专题数据处理模型采用程序的表示方法，这要求每个算法必须来自客观实际，确保能够被程序应用，并非空穴来风设计。3）专题数据处理模型可在通常情况下，元算法作为算法中的最小单元，不可再分，单元算法也不能过于具体化，太具体会加大重复工作量。建立的数据库系统在确保概况性的基础上，保证元算法具有不可分性。

2设计在元算法基础上的数学模型库

模型库系统平台主要功能是管理或维护模型资源，具有模型分析、模拟功能。基于元算法设计数学模型库系统，该系统的特点主要表现在底层模型库组织方式和表达方式上。由于元算法模型具有普遍性、概况性的特点，采用元算法模型粒度控制尺度设置数学模型库，实现对数学模型资源的管理和维护，为各个领域的专家、用户提供管理控制工具。这种设计形式与已有的模型库系统比较具有以下优点：1）具有简捷性的特点：本系统与原有模型库系统本质的区别在于，该系统是从最基本的模型表示方法入手，把GIS中的算法分解成具有普遍意义的元算法段元。合理控制模型六度确保用户能够自由构建所需的算法模型，在一定程度提升算法模型设计的弹性。2）通用性和合理性的特点：本系统针对GIS中反复出现的数据处理算法，把算法管理逐渐从GIS中进行分离，完成数据处理与数据可视化分离的操作，借助模型库系统便于处理数据。

3建立元算法专题数据处理数学模型库

1）元算法模型主要分类

为便于管理，不得将元算法当做一类进行处理，专题数据处理中把元算法细化为基本元算法子集和扩展元算法子集。专题数据处理模型库系统中，为便于管理，根据元算法模型的参与运算目数划分，主要包括单目和双目元算法模型。参与运算的预案算法有的是单目的，例如：正弦、绝对值等；有的是双目运算，例如：加法、指数运算等等，具体情况如图1。

图1 数学模型库“基本元算法”子集内容

2）扩展元算法子集内容

扩展元算法是指由基本元算法组合而成的形式，在实际使用中常见的特殊元算法。对专题数据进行处理过程中，所用的扩展元算法主要来源于以下方面：①包括矩阵、方程等这类相对复杂的运算法，这种复杂的算法主要由基本元算法组合而成，建立数学模型系统也比较复杂，例如：矩阵乘法运算等。②在模型库中重复出现的特殊算法，这些算法在专题数据处理中频繁出现，例如：数据数字特征算法，为防止重复繁琐的算法，必须将这类特殊算法进行提取当做扩展元算法处理，内容如图2。

图2 扩展元算法子集主要内容

3）专题数据处理数学模型库内部组织

专题数据处理模型库系统采用向对象法描述模型库的组织体系结构，实现合理管理模型库内部各种算法的目的。以UML部分算法为例进行设计，如图3。

图3 元算法数据模型库组织结构图

图3中MathModel设置一个公共结构，上述算法模型以直接或间接实现该公共接口，确保每种算法模型采用恰当的变量对象参与运算中。中间第一层接口依据模型变量角度进行划分，依据每个算法参与变量的角度选定相应的实现接口，该接口实现处理输出结果的功能。最下层表示单目元算法和双目元算法，每种算法依据运算目数选定继承基类。每一个算法类实现并继承设定的基类和接口，完成所继承接口与基类的各种算法，设计变量数值和类型后参与运算中。上述设计不单保障算法模型每个变量数值，也确保其实施统一的文件格式输出，达到各算法模型之间相互连通的目的。

4）基于元算法数学模型生成

数学模型可视化生成借助多个元算法模型进行组合或嵌套，是指在原有的模型库系统正确引导下下，挑选创建数学模型库系统所需的元算法部件，无需再次实施编程即可创建所需的数学模型库。

基于元算法主要采用两种方式设计数学模型库，一种在元算法模型基础上创造新的数学模型库，如：计算一条直线上两点之间的距离，数学表示公式为：[y=x1-x2]，该公式所用的数学模型有：减法元算法（[（x1-x2）]）和绝对值元算法（[x1-x2]），采用上述两组元算法模型组建所需的数学模型。另一种方法是借助原有的数学模型和元算法建立新的模型。如：专题数据处理过程中常用的界限等差分级模型，[Ai=L+iH-LM]，该数学公式中的[Ai]表示第i个分级的界限值， M代表该式子的分级数，采用H、L分别表示最大值和最小值，间隔递增模型（[Ai=L+iH-LM+i（i-2）2D]），其中D表示公差值，通过分析可知，前面的数学公式是后者一部分，建立后面公式的数学模型时，可将前者的模型当做子模型直接参与建立数学模型库中。例如：在建立等比分级数学模型（[Ai=L（HL）VM]）和间隔等比数学模型（[Ai=L+1-qi1-qM（H-L），q表示公比值]）过程中，其可视化生成步骤如下：

首先，创建模型所需的变量因素，设定其所需的参数。其次，依据系统中通用的元算法模型创建有关的子数学模型，主要由单目、双两类数学模型组成，上述数学公式的L、H均为单目模型，其余因子为双目数学模型。最后，把建立的新模型导入专题数据处理模型，根据数学模型生成步骤，创建专题数据处理数学模型库系统。

4 结束语

总之，根据元算法数据模型库设计思路，深入研究专题数据处理常用的数学模型库，设置相对应的扩展元算法模型，建立在元算法基础上的专题数据处理数学模型库。这种数学模型库系统具有较好的共享性、可重用性，能有效提升数学模型库开发效率和利用率，值得在各个领域推广使用。

参考文献：

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[3] 聂良涛，易思蓉，李阳，等.数字化工务工程基元模型库建模方法研究[J].铁道建筑，2014，9（2）：90-94.

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[6] 邱爱兵，史军杰，冯肖亮，等.基于模型库的船舰组合导航信息融合算法[J].中国航海，2013，36（3）：5-9.

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    产业经济和区域经济是构成国民经济的两个侧面，也是国民经济发展的二级层面，前者以“条条”经济的形态存在，后者以“块块”经济的形态存在。而任何产业的发展必须落实在区域范围内，区域的发展必须以产业的发展为内容，因此，在二级层面上，产业的发展和区域经济的发展是一种相辅相成、相互依赖、相互作用的关系。20世纪90年代以来，我国电信业的发展令世人瞩目，同时各地区经济的发展也势头强劲，探讨电信业与区域经济的关系则成为必然。

    1　电信业发展以区域经济的发展为前提和导向

    美国学者a. 萨克森指出，当生产根植于区域社会结构和区域制度时，企业间的竞争是把对本地的了解和在当地的关系用到新产品及服务的竞争上。电信产业的发展源于各个地区电信企业的发展，因此，区域经济的作用是深远而广泛的。

    1. 1　区域经济发展的水平决定当地电信业的发展

    一般来说，区域经济发展水平较高的地方，则当地电信业的发展水平也会很高。这种决定作用从供给和需求两个方面对电信业施加了影响。

    从供给角度看，最直接的影响就是资源的投入，包括资金、技术、人力资本等，这些生产要素的投入无论从数量还是质量上都是经济发展水平高的区域明显占有优势，因而决定了该区域电信业的规模、业务种类、服务水平、网络布局和电话普及程度也相比其他区域具有优势。此外，区域经济发展水平的高低与市场的开放程度密切相关，市场越开放，各区域获取资源越广泛和频繁，同时也加速了各地区在管理理念、管理方式和手段上的变化，这些都进一步促进了当地电信业的发展。

    从需求角度看，经济高度发达的区域，往往也是信息沟通频繁的区域，从而决定了电信业务的需求量大、业务种类多种多样、服务便捷迅速；同时，经济高度发达决定居民的收入水平会大幅度提高，一方面人们有实力保证基本的通信消费，另一方面，随着生活理念的改变，通信不仅是一种信息沟通的手段，更成为一种时尚的生活方式，收入水平的提高则会刺激对这种生活方式的渴望和需求，从而扩大电信业务量和业务种类。

    中国电信业的发展走的是技术拉动和需求推动共同影响的路子，各地电信业发展的程度和速度明显取决于各地经济的发展水平。

    1. 2　区域产业类型和产业结构的影响

    由于各区域的位置、资源、发展基础和产业政策的不同，各地区在发展中形成各不相同的产业类型和产业结构。

    对一个区域的产业属性可以从不同角度分类。从生产内容看分为资源型产业、加工型产业、贸易型产业、混合型产业；从资源构成看，分为资源密集型、劳动密集型、资金密集型、技术密集型；若区域产业类型属于贸易型或加工贸易型，一般这种类型的区域开放程度高，对电信的需求量较大，会促进当地电信业的发展；若区域产业类型属于资金密集型或技术密集型，则该区域资金的投入和技术的投入水平较高，对信息沟通的要求高，也会促进当地电信业的发展。

    就产业结构来看，一般某个区域的产业结构越复杂，各产业之间的联系就越密切，该区域对电信业的需求就越大；某区域的产业结构与其它区域产业结构就越具有互补性，该区域与其他区域的物质、能量、信息流动越频繁，对电信业的需求就越大；某区域的产业结构越向现代产业结构的方向发展，即第三产业、信息产业所占比重就越大，该区域电信业就越发达。

    1. 3　区域经济政策的影响

    区域经济政策是国家经济政策区域化的结果，它既要反映国家经济发展的总要求，又要反映自己的区情区况。

    区域经济发展战略确定了一个区域总的发展方向和目标以及实施的步骤和重点，其对电信业的发展有重大的导向作用。区域战略目标是区域各产业发展目标的综合反映，因此引导着区域电信业的发展规模；战略步骤和战略重点确定了区域各产业发展的秩序以及各产业的相互关系，从中可以明确电信业在区域发展中的定位。

    区域产业政策体现了各区域产业优势互补、合理分工、突出重点的产业发展思路。电信业是各区域不可缺少的基础性产业，因此，在各区域电信产业政策的制定上，除了要明确电信业与本区域主导产业的关系外，更要在区域的网络建设、市场开拓、业务种类和规模、服务程度等方面做出明确的要求，从而体现区域特点，与区域经济的发展相配合。

    区域对外开放政策反映了各区域开放的程度、开放的区位、开放的内容。各区域开放政策的差别以及实施的程度直接影响到各区域对外联系的差别，这一方面影响各区域电信服务贸易的发展水平，也影响各区域电信领域的外资进入。

    1. 4　区域竞争环境的影响

    区域竞争环境对电信业的影响是双向的，既有有利的一面也有不利的一面。

    竞争使得供应者之间、需求者之间、供应者和需求者之间都不断关注市场行情、关注对方的变化、关注政策的变化，因此，就需要多方面挖掘信息、获取信息、传递信息，从而会促使电信业务量的上升、电信业务种类的多样化，电信网络的扩展。往往竞争比较激烈的区域也是电信业比较发达的区域。

    竞争可以促使各电信企业积极推出新业务开拓市场、降低成本、强化服务，有利于电信业整体水平的提高。

    但是竞争也在一定程度上造成重复建设、人为设置互联互通壁垒，恶性价格竞争使得电信企业利润空间急剧萎缩，造成资产的大量流失，企业发展的后劲消失，这些都严重阻碍了当地电信业的发展。

    1. 5　区域空间结构的影响

    区域空间结构是指各种经济活动在区域内的空间分布状态及空间组合形式。在区域经济发展的过程中，区域空间结构在不断演化。在区域经济发展的早期，往往形成极核式空间结构，即形成增长极，它对区域内其他对方会产生强大的吸引力和辐射力，这些力的形成就包含了信息的传递。极核式空间结构的发展则形成点—轴式空间结构，在这种结构中，增长极会对其他地方的经济活动集中点产生多种影响，形成互补关系，为实现这种互补关系，就需要形成线状的纽带，由此，比较稳定的通信联系形成并得到发展。点—轴式空间结构的进一步发展则形成网络式空间结构，它要求点—线之间纵横交错，相互通达。经济越发展，网点密度越大。很显然，这种空间结构要求有覆盖广泛、联系便捷的通信网络。由此可见，区域空间结构的自然形成规律逐步使区域电信业得到发展。

    2　电信业的发展是区域经济发展的推进剂

    在区域经济系统中，电信业是子系统，是区域信息流动的重要物质手段。区域电信业的发展首先依赖于区域经济的发展，同时，区域电信业的发展对区域经济的发展也会产生重大影响，其表现就在于它能够强化区域经济的发展，是区域经济的推进剂。

    2. 1　电信业增长促进区域经济的增长

    电信业本身的不断增长使其在区域经济中所占的比重日益增加，从而显示出对区域经济的直接贡献不断提高，成为区域经济发展中的一个新的增长点。同时，电信业的增长还直接和间接带动、推动了上下游产业的增长，并通过产业之间的连带乘数效应最终促使区域经济快速增长。

    2. 2　电信业的发展增强了区域竞争能力

    电信业是区域经济活动的重要基础设施，是吸引投资的重要条件。

    电信业的发展为区域经济各部门和社会生活提供了快速、优质、高效的通信手段，使知识资源的流动性增快，资本资源使用效率提高，进一步使办公效率和生产效率提高，使各部门的经济活动和社会活动能够顺利进行，从而提高并加快了区域经济各部门的产出水平。电信业在大量降低物质消耗和交易成本的同时，对经济增长方式向节约资源、保护环境、促进可持续发展的内涵集约型转变起到了推动作用。

    电信技术的发展一方面使电信业本身成为具有高技术特性的产业，另一方面通过产业融合和信息的传递能够带动相关高技术产业群的发展。

    2. 3　电信业的发展改变了区域经济活动面貌

    电信业为经济发展和社会生活提供方便、快捷的通信服务，从而提高生活质量、扩大了消费领域，改变了生活方式，形成社会化的经济联系网络，打破了封闭的生活圈子，使整个社会的经济活动成为一个整体。

    电信服务的普及化，使人们能够及时察觉经济活动中的各种不合理的隐患，有效调整利益关系，为经济的稳定发展提供必要的条件。

    电信业的发展有利于资源的合理使用。一方面通过信息的交流，劳动者的知识、技能和对事物的认知程度得到提高，从而使资源利用的广度和深度进一步加强；另一方面，电信业在资源利用、投资回报等方面的优势将吸引大量的知识型资源流向这一产业，从而创造出人才使用的广阔空间。

    2. 4　电信业的发展促进了区域信息化建设

    首先，电信网络是区域信息化的基础和核心，为各种信息化应用系统提供网络基础平台。信息化进程中的各个领域、各个层次都要求以电信网络作为依托。

    其次，电信技术的发展促进了信息资源的开发和利用。一方面，随着互联网业务的普及，电信业本身成为信息资源开发和利用的主力军；另一方面，随着电信基础设施的逐步完善，信息资源的共享和传送更加便利。

    第三，电信业的发展带动了区域信息产业的发展。信息产业的内涵一般包括3个方面：一是信息服务业，二是软件业，三是信息设备制造业。电信业属于信息服务业的范畴，大量的基础设施及设备装置是其开展服务的基础，电信基础设施对电信及计算机设备的大量需求必然带动电信设备制造业的发展。同时电信业务的发展也大大促进了各类应用软件(如系统集成)的开发与应用，为电信设备及各类应用软件提供了市场需求。第四，电信业的发展成为带动区域产业升级的重要力量。一是电信业的发展为产业升级提供了新的经营管理模式。产业结构升级必然要求调整阻碍经济发展的产业组织结构，计算机、电信网络、信息资源与信息服务的发展改变了社会协作方式和传统的生产管理模式(例如电子商务)。二是电信业为经济结构调整提供了更大的市场需求，表现为电信业本身的消费增长迅速以及相关制造业及软件业的增长迅速。三是电信技术效用已渗透到社会生活的各个方面，技术融合化程度的增强，技术创新的速度的加快和扩散，带动了一系列关联产业的产生与变化，触发了产业结构的深刻变革，引发了经济结构的调整。

    2. 5　电信业的发展深刻影响区域空间关系

    电信业发展的强大推动力是电信技术的快速发展。电信技术与计算机技术的融合使得“非地理空间”即“赛伯空间”出现。在这一空间内，一方面距离已不再成为联系的障碍，整个世界纳入“瞬时空间流动性”的电子网络环境中，所谓“地球村”的感觉应运而生；另一方面，经济活动的空间不均衡更加显著，信息的便捷流动性使得生产和管理的空间分离进一步强化，大都市即所谓的“信息港”，成为管理和服务机构的集中地，生产机构则趋向于世界各地的低成本区位。总之，电信和信息技术的发展使空间结构中的点、线、面的内涵、功能、形态都发生了深刻的变化。

    3　电信业与区域经济发展的互动性

    以上分析可以看出，电信业发展与区域经济发展之间是一种互动关系。互动的力量来自于各自内部对发展的追求，来自于外部环境的支撑，更来自于相互间的依赖(见图1、图2)。

    

    

    在上述力的作用下，电信业和区域经济进行相互间物质、信息、能量的流动，在这一过程中，形成反馈机制，其表现为：区域经济发展的效果和区域电信业发展的效果经常与期望值进行比较，所存在的差距就形成反馈信息，重新回到互动双方，对双方产生不同程度的激励，以实现进一步的互动。因此，反馈机制是改善双方行为、功能，排除干扰，实现稳定优化发展的重要机制。

    4　中国电信业与区域经济互动关系的检验

    改革开放以来中国经济的发展以及“八五”以来中国电信业的发展都令世人瞩目，在发展的过程中，电信业与区域经济之间是否形成一个良好的互动关系则需要进行检验。本文采用灰色系统模型进行检验。

    4. 1　电信业与区域经济相互关系的灰色特性

    灰色系统是“黑箱”概念的一种推广。灰色系统的确定依据是人们对系统中各种信息的掌握程度。信息未知的系统称为黑色系统，信息完全明确的系统称为白色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。相对于信息未知和信息完全已知的系统，灰色系统也叫“贫信息”的不确定系统。在人们的社会经济生活中，存在着大量的信息不完备情况，因此灰色系统在社会经济生活中具有普遍性和现实性。

    无论是电信业本身还是区域经济本身以及它们之间的反馈关系都存在着许多信息不完全的情况。就相互之间的输出而言，并非能够获得各种要素完整、全面的输出时间序列数据(如产值、产量、收入、业务量等)；相互之间的输入也是如此，并非能够获得各种要素完整、全面的输入时间序列数据(资金、技术、人力、自然资源以及各种难以量化的人文环境)；即使输入输出数据较为完整，其作用的机理和结构关系也不会完全明确，因此难以建立确定的模型，这些情况都属于系统信息的不明确。另外，电信产业、区域经济尽管都是客观的实体，但相互之间的关系存在一定的模糊性，即相互之间没有明确的“内”、“外”关系，因此也难以分析输入对于输出的影响，这种情况属于“模型信息”的缺乏(即用什么模型去代表，用什么量进行观测控制的问题)。由此可见，电信业、区域经济以及它们之间的相互关系具有灰色特性。

    4. 2　灰色系统模型简述

    灰色系统模型是进行多种类型系统分析的重要手段。运用灰色系统模型一是可以使许多不确定量用灰色数学予以量化；二是可以充分利用已知信息寻求系统的运动规律，在现有时间序列数据的基础上，运用具有动态特性的微分方程使灰色系统白化。三是可以充分利用贫信息反映系统运动规律，通常只需要4个以上数据即可建模[1-4]。

    灰色系统模型即gm模型(grey model)，建模精度高，可保持原系统的特性，能较好地反映系统的实际情况。在建模过程中，不必知道原始数据分布的先验特征，对无规律或服从任何分布的任意光滑离散的原始序列，通过有限次的生成即可转化为有规律的序列。一般gm模型形式为gm(h，n)，它表示对n个变量用h阶微分方程建立的模型。最常见的是gm(1，n)模型，它是1阶n个变量的灰色模型。

    建立gm模型对原始数据的要求是：①原始数据序列的非负性；②原始数据序列的动态随机性；③原始数据序列是能充分反映系统特性的有用信息。设有如下数据序列：

    

    灰微分方程的一般形式可表示为：

    

    对上式再做累减还原，累减还原式为：

    

    根据邓聚龙所著《灰色系统理论教程》，称b[，i](i=1，2，…，n)为gm(1，n)的协调系数，称b[，i]的符号为系统作用变量序列x[，i][(0)]对于行为变量序列x[，1][(0)]的协调极性。因此，可以通过观察系数b[，i]确定变量之间的互动关系。

    4. 3　电信业与区域经济互动关系的灰色建模

    分别对东、中、西三大地带电信业与区域经济的互动关系建立灰色模型。考虑到1988年通信体制改革开始确定和实施，同时，该年份也是国民经济发展中的一个关键年份(对国民经济新一轮的治理整顿开始)，因此，这里建模时段的选取为1988～2003年。

    (1)指标的选取。如前所述，影响电信和区域经济互动性的因素很多，根据灰色理论，尽管影响本征性灰色系统行为的因素众多，但在灰色建模时，不可能把众多的因素全部列出。本文认为，区域电信业和区域经济在发展中的互动性主要体现在相互之间发展的规模、水平上是否适应，在供需方面能否密切配合。因此，这里选取既能代表区域经济发展水平又能代表区域经济总产出规模的区域gdp指标。相应地，衡量电信业产出总量和发展水平也应该是增加值指标，但现有的统计资料中，尤其是在对区域电信业的统计中，并没有电信增加值指标，而是以电信业务收入作为衡量指标，故本文选取该指标。

    (2)模型的建立。分别建立三大地带电信业务收入与区域增加值的gm(1，2)模型。

    第一，若分析电信业对区域经济的影响，模型可以表示为：

    

    其中，b[，1]表示电信业对区域经济的协调发展系数。

    第二，若分析区域经济对电信业的影响，模型可以表示为：

    

    其中，b[，2]表示区域经济对电信业的协调发展系数。

    以上两个模型即为电信业与区域经济互动状况的分析模型。

    根据灰色系统理论，当b[，1]＞0时，表示电信业对区域经济的发展有一定的促进作用，反之，说明电信业对区域经济的发展有制约作用；当b[，2]＞0时，表示区域经济发展对电信业的发展有促进作用，反之，则说明区域经济对电信业的发展没有促进作用。

    为了避免在建模过程中数据序列之间由于数值上相差太悬殊而可能出现的模型的畸变，因此，在建模之前对各数据序列都进行了初值化处理，即将原始数据序列：

    

    (3)模型结果。为了更详细了解不同时期电信业与区域经济各产业的互动性，将1988～2003年这一时段又进一步分解为1988～1991年、1992～1995年、1996～1999年、2000～2003年4个子时段。

    第一，三大地带电信业对区域经济发展的影响。在该模型中，作用变量是各区域的电信业务收入，行为变量分别是各区域gdp(表1)。

    表1　电信业对区域经济影响的灰色模型作用变量系数b[，1] 区域 1988～1991 1992～1995 1996～1999 2000～2003 东部 -1.060166 -2.351716 3.030753 -1.165469 中部 -0.262077 -1.073477 3.314226 3.776205 西部 0.751264 -0.857756 -1.433583 3.058325

    第二，三大地带区域经济对电信业发展的影响。在该模型中，行为变量是各区域的电信业务收入，作用变量是各区域gdp(表2)。

    表2　区域经济对电信业影响的灰色模型作用变量系数b[，2] 区域 1988～1991 1992～1995 1996～1999 2000～2003 东部 0.0957179 0.9446369 1.599744 0.77495 中部 0.518827 0.7888392 1.327335 1.526117 西部 0.912726 0.7830203 0.8749055 1.631156

    (4)模型分析。根据统计数据，在1988～2003期间，无论区域gdp还是电信业务收入，东、中、西三大地带都存在明显的增长趋势。那么，在各自增长的过程中，电信业和区域经济之间是否存在互动呢？

    表1显示，东部地带除1996～1999时段外，电信业对区域经济的发展都有一定的抑制作用。1996～1999年这一时段电信业对区域经济发展有明显的促进作用。中部地带从“九五”开始，电信业对区域经济的发展则显示出促进作用，并且这种促进作用逐步上升。西部地带1988～1991、2000～2003这两个时段电信业对区域经济发展有促进作用，并且2000～2003时段的促进作用更加显著，其它时段则是抑制作用。

    表2显示，东、中、西三大地带各个时段区域经济对电信业的发展都具有促进作用。其中，中、西部地带这种促进作用明显上升，东部地带在2000～2003年时段区域经济的促进作用明显减小。

    5　结论

篇5

关键词：工程测量工业测量精密工程测量测量机器人工程网优化设计

一、学科地位和研究应用领域

1.学科定义

工程测量学是研究地球空间(地面、地下、水下、空中)中具体几何实体的测量描绘和抽象几何实体的测设实现的理论方法和技术的一门应用性学科。它主要以建筑工程、机器和设备为研究服务对象。

2.学科地位

测绘科学和技术(或称测绘学)是一门具有悠久历史和现展的一级学科。该学科无论怎样发展，服务领域无论怎样拓宽，与其他学科的交叉无论怎样增多或加强，学科无论出现怎样的综合和细分，学科名称无论怎样改变，学科的本质和特点都不会改变。总的来说，整个学科的二级学科仍应作如下划分：

——大地测量学(包括天文、几何、物理、卫星和海洋大地测量)；

——工程测量学(含近景摄影测量和矿山测量)；

——航空摄影测量与遥感学；

——地图制图学；

——不动产地籍与土地整理。

3.研究应用领域

目前国内把工程建设有关的工程测量按勘测设计、施工建设和运行管理三个阶段划分；也有按行业划分成：线路(铁路、公路等)工程测量、水利工程测量、桥隧工程测量、建筑工程测量、矿山测量、海洋工程测量、军事工程测量、3维工业测量等，几乎每一行业和工程测量都有相应的著书或教材。

由Hennecke,Mueller,Werner3个德国人所编著的工程测量学，主要按下述内容进行划分和编写：①测量仪器和方法；②线路、铁路、公路建设测量；③高层建筑测量；④地下建筑测量；⑤安全监测；⑥机器和设备测量。

由于工程测量的研究应用领域非常广泛，发展变化也很快，因此写书十分困难。目前国内外没有一本全面涉及工程测量学理论、技术、方法和实际应用的现代专著或教材。

国际测量师联合会(FIG)的第六委员会称作工程测量委员会，过去它下设4个工作组：测量方法和限差；土石方计算；变形测量；地下工程测量。此外还设了一个特别组：变形分析与解释。现在，下设了6个工作组和2个专题组。6个工作组是：大型科学设备的高精度测量技术与方法；线路工程测量与优化；变形测量；工程测量信息系统；激光技术在工程测量中的应用；电子科技文献和网络。2个专题组是：工程和工业中的特殊测量仪器；工程测量标准。

德国、瑞士、奥地利3个德语语系国家自50年起组织每3～4年举行一次的“工程测量国际学术讨论会”。过去把工程测量划分为以下几个专题：测量仪器和数据获取；数据解释、处理和应用；高层建筑和设备安装测量；地下和深层建筑测量；环境和工程建筑物变形监测。

1992年第11届讨论会的专题是：测量理论与测量方案；测量技术和测量系统；信息系统和CAD；在建筑工程和工业中的应用。

1996年的第12届讨论会的专题是：测量和数据处理系统；监测和控制；在工业和建筑工程中的质量问题；数据模型和信息系统；交叉学科的大型工程项目。

从以上可见，工程测量学的研究领域既有相对的固定性，又是不断发展变化的。笔者认为，工程测量学主要包括以工程建筑为对象的工程测量和以设备与机器安装为对象的工业测量两大部分。在学科上可划分为普通工程测量和精密工程测量。工程测量学的主要任务是为各种工程建设提供测绘保障，满足工程所提出的要求。精密工程测量代表着工程测量学的发展方向，大型特种精密工程建设是促进工程测量学科发展的动力。

二、工程测量仪器的发展

工程测量仪器可分通用仪器和专用仪器。通用仪器中常规的光学经纬仪、光学水准仪和电磁波测距仪将逐渐被电子全测仪、电子水准仪所替代。电脑型全站仪配合丰富的软件，向全能型和智能化方向发展。带电动马达驱动和程序控制的全站仪结合激光、通讯及CCD技术，可实现测量的全自动化，被称作测量机器人。测量机器人可自动寻找并精确照准目标，在1s内完成一目标点的观测，像机器人一样对成百上千个目标作持续和重复观测，可广泛用于变形监测和施工测量。GPS接收机已逐渐成为一种通用的定位仪器在工程测量中得到广泛应用。将GPS接收机与电子全站仪或测量机器人连接在一起，称超全站仪或超测量机器人。它将GPS的实时动态定位技术与全站仪灵活的3维极坐标测量技术完美结合，可实现无控制网的各种工程测量。

专用仪器是工程测量学仪器发展最活跃的，主要应用在精密工程测量领域。其中，包括机械式、光电式及光机电(子)结合式的仪器或测量系统。主要特点是：高精度、自动化、遥测和持续观测。

用于建立水平的或竖直的基准线或基准面，测量目标点相对于基准线(或基准面)的偏距(垂距)，称为基准线测量或准直测量。这方面的仪器有正、倒锤与垂线观测仪，金属丝引张线，各种激光准直仪、铅直仪(向下、向上)、自准直仪，以及尼龙丝或金属丝准直测量系统等。

在距离测量方面，包括中长距离(数十米至数公里)、短距离(数米至数十米)和微距离(毫米至数米)及其变化量的精密测量。以ME5000为代表的精密激光测距仪和TERRAMETERLDM2双频激光测距仪，中长距离测量精度可达亚毫米级；可喜的是，许多短距离、微距离测量都实现了测量数据采集的自动化，其中最典型的代表是铟瓦线尺测距仪DISTINVAR，应变仪DISTERMETERISETH，石英伸缩仪，各种光学应变计，位移与振动激光快速遥测仪等。采用多谱勒效应的双频激光干涉仪，能在数十米范围内达到0.01μm的计量精度，成为重要的长度检校和精密测量设备；采用CCD线列传感器测量微距离可达到百分之几微米的精度，它们使距离测量精度从毫米、微米级进入到纳米级世界。

高程测量方面，最显著的发展应数液体静力水准测量系统。这种系统通过各种类型的传感器测量容器的液面高度，可同时获取数十乃至数百个监测点的高程，具有高精度、遥测、自动化、可移动和持续测量等特点。两容器间的距离可达数十公里，如用于跨河与跨海峡的水准测量；通过一种压力传感器，允许两容器之间的高差从过去的数厘米达到数米。

与高程测量有关的是倾斜测量(又称挠度曲线测量)，即确定被测对象(如桥、塔)在竖直平面内相对于水平或铅直基准线的挠度曲线。各种机械式测斜(倾)仪、电子测倾仪都向着数字显示、自动记录和灵活移动等方向发展，其精度达微米级。

具有多种功能的混合测量系统是工程测量专用仪器发展的显著特点，采用多传感器的高速铁路轨道测量系统，用测量机器人自动跟踪沿铁路轨道前进的测量车，测量车上装有棱镜、斜倾传感器、长度传感器和微机，可用于测量轨道的3维坐标、轨道的宽度和倾角。液体静力水准测量与金属丝准直集成的混合测量系统在数百米长的基准线上可精确测量测点的高程和偏距。

综上所述，工程测量专用仪器具有高精度(亚毫米、微米乃至纳米)、快速、遥测、无接触、可移动、连续、自动记录、微机控制等特点，可作精密定位和准直测量，可测量倾斜度、厚度、表面粗糙度和平直度，还可测振动频率以及物体的动态行为。

三、工程测量理论方法的发展

1.测量平差理论

最小二乘法广泛应用于测量平差。最小二乘配置包括了平差、滤波和推估。附有限制条件的条件平差模型被称为概括平差模型，它是各种经典的和现代平差模型的统一模型。测量误差理论主要表现在对模型误差的研究上，主要包括：平差中函数模型误差、随机模型误差的鉴别或诊断；模型误差对参数估计的影响，对参数和残差统计性质的影响；病态方程与控制网及其观测方案设计的关系。由于变形监测网参考点稳定性检验的需要，导致了自由网平差和拟稳平差的出现和发展。观测值粗差的研究促进了控制网可靠性理论，以及变形监测网变形和观测值粗差的可区分性理论的研究和发展。针对观测值存在粗差的客观实际，出现了稳健估计(或称抗差估计)；针对法方程系数阵存在病态的可能，发展了有偏估计。与最小二乘估计相区别，稳健估计和有偏估计称为非最小二乘估计。

巴尔达的数据探测法对观测值中只存在一个粗差时有效，稳健估计法具有抵抗多个粗差影响的优点。建立改正数向量与观测值真误差向量之间的函数关系，可对多个粗差同时进行定位和定值，这种方法已在通用平差软件包中得到算法实现和应用。

方差和协方差分量估计实质上是精化平差的随机模型，过去一直仅停留在理论的研究上。实际中，要求对多种观测量进行综合处理，因此，方差分量估计已成为测量平差的必备内容了。目前，通用平差软件包中已增加了该功能，但还需要在测量规范中明确提出来。

需要指出的是：许多测量作业单位喜欢采用附合导线进行逐级加密，主要依据目前规范中有关一、二、三级导线和图根导线的规定。无疑附合导线具有许多优点，但由于多余观测少，发现和抵抗粗差的能力较弱，不宜滥用。建立一个区域的控制，首级网点采用GPS测量，下面最好用一个等级的导线网作全面加密。从测量平差理论来看，全面布设的导线网具有更好的图形强度，精密较均匀，可靠性也较高。

2.工程控制网优化设计理论和方法

网的优化设计方法有解析法和模拟法两种。解析法是基于优化设计理论构造目标函数和约束条件，解求目标函数的极大值或极小值。一般将网的质量指标作为目标函数或约束条件。网的质量指标主要有精度、可靠性和建网费用，对于变形监测网还包括网的灵敏度或可区分性。对于网的平差模型而言，按固定参数和待定参数的不同，网的优化设计又分为零类、一类、二类和三类优化设计，涉及到网的基准设计，网形、观测值精度以及观测方案的设计。在工程测量中，施工控制网、安装控制网和变形监测网都需要作优化设计。由于采用GPS定位技术和电磁波测距，网的几何图形概念与传统的测角网有很大的区别。除特别的精密控制网可考虑用专门编写的解析法优化设计程序作网的优化设计外，其他的网都可用模拟法进行设计。模拟法优化设计的软件功能和进行优化设计的步骤主要是：根据设计资料和地图资料在图上选点布网，获取网点近似坐标(最好将资料作数字化扫描并在微机上进行)。模拟观测方案，根据仪器确定观测值精度，可进一步模拟观测值。计算网的各种质量指标如精度、可靠性、灵敏度。精度应包括点位精度、相邻点位精度、任意两点间的相对精度、最弱点和最弱边精度、边长和方位角精度。进一步可计算坐标未知数的协方差阵或部分点坐标的协方差阵，协方差阵的主成份计算，特征值计算，点位误差椭圆、置信椭圆的计算等。可靠性包括每个观测值的多余观测分量(内部可靠性)和某一观测值的粗差界限值对平差坐标的影响(外部可靠性)。灵敏度包括灵敏度椭圆、在给定变形向量下的灵敏度指标以及观测值的灵敏度影响系数。将计算出的各质量指标与设计要求的指标比较，使之既满足设计要求，又不致于有太大的富余。通过改变观测值的精度或改变观测方案(增加或减少观测值)或局部改变网形(增加或减少网点)等方法重新作上述设计计算，直到获取一个较好的结果。

在实践中，总结出了下述优化设计策略：先固定观测值的精度，对选取的网点，观测所有可能的边和方向，计算网的质量的指标，若质量偏低，则必须提高观测值的精度。在某一组先验精度下，若网的质量指标偏高了，这时可按观测值的内部可靠性指标ri，删减观测值。ri太大，说明该观测值显得多余，应删去；若ri很小，则该观测值的精度不宜增加。这种根据ri大小来删除观测值的方法称为从“密”到“疏”，从“肥”到“瘦”的优化策略。

从模拟法优化设计的整个过程来看，它是一种试算法，需要有一个好的软件。该软件除具有通用平差软件的功能外，在成果输出的多样性、直观性，在可视化以及人机交互界面设计方面都有更高要求。同时也要求设计者具有坚实的专业知识和丰富的经验。

用模拟法可获得一个相对较优且切实可行的方案，可进一步用模拟观测值作网的平差计算，同时可模拟观测值粗差并计算对结果的影响。这种方法称为数学扭曲法或蒙特卡洛法。对于一个精度、可靠性以及灵敏度要求极高的监测网或精密控制网，作上述优化设计和精细计算是十分必要的。国内在这方面的应用报道较少。多是为了安全起见，有较大的质量富余，建网费用偏高。网优化设计费用很少，所带来的效益较大，凡是较重要的工程控制网，都应作优化设计。

3.变形观测数据处理

工程建筑物及与工程有关的变形的监测、分析及预报是工程测量学的重要研究内容。其中的变形分析和预报涉及到变形观测数据处理。但变形分析和预报的范畴更广，属于多学科的交叉。

(1)变形观测数据处理的几种典型方法

根据变形观测数据绘制变形过程曲线是一种最简单而有效的数据处理方法，由过程曲线可作趋势分析。如果将变形观测数据与影响因子进行多元回归分析和逐步回归计算，可得到变形与显著性因子间的函数关系，除作物理解释外，也可用于变形预报。多元回归分析需要较长的一致性好的多组时间序列数据。

若仅对变形观测数据，可采用灰色系统理论或时间序列分析理论建模，前者可针对小数据量的时间序列，对原始数列采用累加生成法变为生成数列，因此有减弱随机性、增加规律性的作用。如果对一个变形观测量(如位移)的时间序列，通过建立一阶或二阶灰微分方程提取变形的趋势项，然后再采用时序分析中的自回归滑动平均模型ARMA，这种组合建模的方法，可分性好且具有以下显著优点：将非平稳相关时序转化为独立的平衡时序；具有同时进行平滑、滤波和推估的作用；模型参数聚集了系统输出的特征和状态；这种组合模型是基于输出的等价系统的理想动态模型。

把变形体视为一个动态系统，将一组观测值作为系统的输出，可以用卡尔曼滤波模型来描述系统的状态。动态系统由状态方程和观测方程描述，以监测点的位置、速率和加速率参数为状态向量，可构造一个典型的运动模型。状态方程中要加进系统的动态噪声。卡尔曼滤波的优点是勿需保留用过的观测值序列，按照一套递推算法，把参数估计和预报有机地结合起来。除观测值的随机模型外，动态噪声向量的协方差阵估计和初始周期状态向量及其协方差阵的确定值得注意。采用自适应卡尔曼滤波可较好地解决动态噪声协方差的实时估计问题。卡尔曼滤波特别适合滑坡监测数据的动态处理；也可用于静态点场、似静态点场在周期的观测中显著性变化点的检验识别。

对于具有周期性变化的变形观测时间序列，通过Fourier变换，可将时域内的信息转变到频域内分析，例如大坝的水平位移、桥梁的垂直位移都具有明显的周期性。在某一观测时刻的观测值数字信号可表示为许多个不同频率的谐波分量之和，通过计算各谐波频率的振幅，最大振幅以及所对应的主频率等，可揭示变形的周期变化规律。若将变形体视为动态系统，变形视为输出，各种影响因子视为输入，并假设系统是线性的，输入输出信号是平稳的，则通过频谱分析中的相干函数、频响函数和响应谱函数估计，可以分析输入输出信号之间的相干性，输入对系统的贡献(即影响变形的主要因素及其频谱特性)。

(2)变形的几何分析与物理解释

传统的方法将变形观测数据处理分为变形的几何分析和物理解释。几何分析在于描述变形的空间及时间特性，主要包括模型初步鉴别、模型参数估计和模拟统计检验及最佳模型选取3个步骤。变形监测网的参考网、相对网在周期观测下，参考点的稳定性检验和目标点和位移值计算是建立变形模型的基础。变形模型既可根据变形体的物理力学性质和地质信息选取，也可根据点场的位移矢量和变形过程曲线选取。此外，前述的时间序列分析，灰色理论建模、卡尔曼滤波以及时间序列频域法分析中的主频率和振幅计算等也可看作变形的几何分析。

变形的物理解释在于确定变形与引起变形的原因之间的关系，通常采用统计分析法和确定函数法。统计分析法包括多元回归分析、灰色系统理论中的关联度分析以及时间序列频域法分析中的动态响应分析等。统计分析法以实测资料为基础，观测资料愈丰富、质量愈高，其结果愈可靠，且具有“后验”性质，它与变形的几何分析具有密切的关系，是测量工作者最熟悉和乐于采用的方法。确定函数法是根据变形体的物理力学参数，建立力(荷载)和变形之间的函数关系如位移场的微分方程，在边界条件已知时，采用有限元法解微分方程，可得到变形体有限元结点上的变形。采用有限元法，可以计算混凝土大坝、矿山地表以及滑坡在外力(表面力和体力)作用下的位移值。这种方法不需要监测数据(监测数据仅作检验用)，具有“先验”性质。只要有限元划分得当，变形体的物理力学参数(如杨氏弹性模量，泊松比，内摩擦角、内聚力以及容重等)选取得较好，该法无疑是一种多快好省的方法，目前有许多有限元计算软件如COSMOS/M供用。但变形体的物理力学参数的确定和所建立的微分方程都带有一定的假设，有时用有限元法计算的值与实测值有较大的差异，这就导致了将两种方法相结合的综合分析法，以及根据实测值按一定理论反求变形体物理力学参数的反演分析法，通过反演解算，重新用有限元法作修正计算。相对于有限元法，条分法用于边坡稳定性分析、计算和评价更为简单，其中萨尔码(SARMA)法应用最普遍，根据力学模型、几何条件和静力平衡方程，对平衡条件作迭代计算，可定量的得到边坡稳定性评价指标——稳定安全系统。一般要求对条分法和有限元法同时使用。上述方法对大多数测量工作者来说较为陌生，用确定函数法进行地变形的物理解释和预测属于学科交叉领域，需要与地质和工程结构方面的人员合作。

(3)变形分析与预报的系统论方法

用现代系统论为指导进行变形分析与预报是目前研究的一个方向。变形体是一个复杂的系统，它具有多层次高维的灰箱或黑箱式结构，是非线性的，开放性(耗散)的，它还具有随机性，这种随机性除包括外界干扰的不确定性外，还表现在对初始状态的敏感性和系统长期行为的混沌性。此外，还具有自相似性、突变性、自组织性和动态性等特征。

按系统论方法，对变形体系统一般采用输入—输出模型和动力学方程两种建模方法进行研究，前者系针对黑箱或灰箱系统建模，前述的时序分析、卡尔曼滤波、灰色系统建模、神经网络模型乃至多元回归分析法都可以视为输入—输出建模法。采用动力学方程建模与变形物理解释中的确定函数法相似，系根据系统运动的物理规律建立确定的微分方程来描述系统的运动演化。但对动力学方程不是通过有限元法求解，而是在对系统受力和变形认识的基础上，用低阶的简化的在数学上可解和可分析的模型来模拟变形过程，模型解算的结果基本符合客观事实。例如用弹簧滑块模型模拟地震过程的混沌状态和高边坡的粘滑过程，用单滑块模型模拟大坝的变形过程，用尖点突变模型解释大坝失稳的机理。对动力学方程的解的研究是系统论分析方法的核心，为此引入了许多与动力系统有关的基本概念，这些概念与变形分析和预报密切相关，它们是：状态空间或相空间(称解空间)、相轨线、吸引子、相体积、李亚普诺夫指数和柯尔莫哥洛夫熵等。例如相轨线代表相点运动的迹线，每一个相点代表状态向量(变形、速率或影响因子)在某一时刻的解；吸引子代表系统的一种稳定的运动状态，它可以是一个稳定的相点位，环或环面，也可以是相空间的一个有限区域，对于局部不稳定的非线性系统，将出现分数维的奇怪吸引子，表示系统将出现混沌状态。李亚普诺夫指数描述系统对于初始条件的敏感特征，根据其符号可以判断吸引子的类型以及轨线是发散的还是吸引(收敛)的。柯尔莫哥洛夫熵则是系统不确定性的量度，由它可导出系统变形平均可预报的时间尺度。对变形观测的时间序列(如位移量)进行相空间重构，并按一定的算法计算吸引子的关联维数，柯尔莫哥洛夫熵和李亚普诺夫指数等，可在整体上定性地认识变形的规律。另外，也可根据监测资料，反演变形体系统的非线性动力学方程。

系统论方法还涉及变形体运动稳定性研究，这种稳定性在数学上可转化为微分方程稳定性的研究，主要采用李亚普诺夫提出的判别方法。

系统论方法涉及到许多非线性科学学科的知识，如系统论、控制论、信息论、突变论、协同论、分形、混沌理论、耗散结构等。上述理论远不是工程测量工作者所能掌握的，将系统论方法与变形分析与预报相结合的研究只是初步的，希望有更多的青年学者加入到这一研究领域来。

四、大型特种精密工程测量

大型特种精密工程建设和对测绘的要求是工程测量学发展的动力。这里仅简单介绍国内外有关情况。

1.国内览胜

三峡水利枢纽工程变形监测和库区地壳形变、滑坡、岩崩以及水库诱发地震监测，其规模之大，监测项目之多，都堪称世界之最。不仅采用目前国内外最成熟最先进的仪器、技术，在实践中也在不断发展新的技术和方法，如对滑坡体变形与失稳研究的计算机智能仿真系统；拟进行研究的三峡库区滑坡泥石流预报的3S工程等，都涉及到精密工程测量。隔河岩大坝外部变形观测的GPS实时持续自动监测系统，监测点的位置精度达到了亚毫米。该工程用地面方法建立的变形监测网，其最弱点精度优于±1.5mm。

北京正负电子对撞机的精密控制网，精度达±0.3mm。设备定位精度优于±0.2mm，200m直线段漂移管直线精度达±0.1mm。大亚湾核电站控制网精度达±2mm，秦山核电站的环型安装测量控制网精度达±0.1mm。

上海杨浦大桥控制网的最弱点精度达±0.2mm，桥墩点位标定精度达±0.1mm；武汉长江二桥全桥的贯通精度(跨距和墩中心偏差)达毫米级。高454m的东方明珠电视塔对于长114m、重300t的钢桅杆天线，安装的垂准误差仅±9mm。

长18.4km的秦岭隧道，洞外GPS网的平均点位精度优于±3mm，一等精密水准线路长120多公里。目前辅助隧道已贯通，仅一个贯通面的情况下，横向贯通误差为12mm，高程方向的贯通误差只有3mm。

2.国外简述

国外的大型特种精密工程更不胜枚举。以大型粒子加速器为例，德国汉堡的粒子加速器研究中心，堪称特种精密工程测量的历史博物馆。1959年建的同步加速器，直径仅100m，1978年的正负电子储存环，直径743m，1990年的电子质子储存环，直径2000m。为了减少能量损失，改用直线加速器代替环形加速器，正在建的直线加速器长达30km，100～300m的磁件相邻精度要求优于±0.1mm,磁件的精密定位精度仅几个微米，并能以纳米级的精度确定直线度。整个测量过程都是无接触自动化的。用精密激光测距仪TC2002K距离测量，其测距精度与ME5000相当，对平均边长为50m的3800条边，改正数小于0.1mm的占95%。美国的超导超级对撞机，其直径达27km，为保证椭圆轨道上的投影变形最小且位于一平面上，利用了一种双重正形投影。所作的各种精密测量，均考虑了重力和潮汐的影响。主网和加密网采用GPS测量，精度优于1×10-6D。

露天煤矿的大型挖煤机开挖量的动态测量计算系统(德国)。大型挖煤机长140m，高65m,自重8000t，其挖斗轮的直径17.8m，每天挖煤量可达10多万吨。为了实时动态地得到挖煤机的采煤量，在其上安置了3台GPS接收机，与参考站无线电实时数据传输和差分动态定位，挖煤机上两点间距离的精度可达±1.5cm。根据3台接收机的坐标，按一定几何模型可计算出挖煤机挖斗轮的位置及采煤层截曲面，可计算出采煤量，经对比试验，其精度达7%～4%。这是GPS，GIS技术相结合在大型特种工程中应用的一个典型例子。

核电站冷却塔的施工测量系统。南非某一核电站的冷却塔高165m，直径163m。在整个施工过程中，要求每一高程面上塔壁中心线与设计的限差小于±50mm，在塔高方向上每10m的相邻精度优于10mm。由于在建造过程中发现地基地质构造不良，出现不均匀沉陷，使塔身产生变形。为此，要根据精密测量资料拟合出实际的塔壁中心线作为修改设计的依据。采用测量机器人用极坐标法作3维测量，对每一施工层，沿塔外壁设置了1600多个目标点，在夜间可完成全部测量工作。对大量的测量资料通过恰当的数据处理模型使精度提高了一至数倍，所达到的相邻精度远远超过了设计要求。精密测量不仅是施工的质量保证，也为整治工程病害提供了可靠的资料，同时也能对整治效果作出精确评价。

瑞士阿尔卑斯山的特长双线铁路隧道哥特哈德长达57km，为该工程特地重新作了国家大地测量(LV95)，采用GPS技术施测的控制网，平面精度达±7mm，高程精度约±2cm。以厘米级的精度确定出了整个地区的大地水准面。为加快进度和避开不良地质段，中间设了3个竖井，共4个贯通面，横向贯通误差允许值为69～92mm(较只设一个贯通面可缩短工期11年)。整个隧道的工程投资预计约15亿瑞士法朗，计划于2004年全线贯通。

高耸建筑物方面，有人设想，在21世纪将建造2000m乃至4000m的摩天大厦，这不仅是建筑师的梦想，也是对测量工程师的挑战。

五、科技研究开发实践

将科研成果转化为生产力是科研的最终目的，作为一门应用性学科，这种转化尤为重要。它主要表现在软硬件的开发研制上。

基于掌上电脑的地面控制与施工测量工程内外业数据处理一体化自动化系统(简称科傻系统)是我们近年来所作的一项科技研究开发实践。科傻系统是对电子全站仪实现在线控制数据采集。掌上电脑上可固化两个软件包，一个用于地面控制测量数据采集、检查、预处理、概算以及网平差等(称科傻一)；一个用于工程放样、道路测量以及碎部点数据采集(称科傻三)。另外，在微机上研制了一个“现代测量控制网数据处理通用软件包”(称科傻二)。上述3个软件包既可独立使用，又有密切的联系(特别是科傻一与科傻二之间)。科傻一可用于任意2、3维工程控制网，国家及城市等级网，一、二、三级导线网以及图根加密网的在线或离线数据采集到网平差，实现了内外业数据处理的一体化。同时也可作一、二、三、四等和等外水准测量从数据采集到网平差的数据处理。科傻二除具有任意网形、任意规模的地面平面、高程控制网的平差功能外，还包含近似坐标计算，稀疏矩阵压缩存贮，网点优化排序，闭合差自动计算，概算，粗差定值计算和改正，方差分量估计，贯通误差影响值估算，工程控制网模拟法优化设计，控制网数据管理，网图显绘，成果报表输出，以及与掌上电脑、全站仪的数据通讯等功能。

科傻系统集成了测量学、控制测量学、工程测量学、测量平差等课程的有关专业知识和长期科研成果，可广泛应用于生产、教学及科技开发活动。

基于科傻系统的主要功能，在索佳Powerset2000电脑型全站仪上，已成功地开发了全中文版软件包，这种全站仪通过软件开发，功能得到大大增强，故称为全能型全站仪。结合专业测量特点，我们在科傻系统的基础上还研制开发了“铁路施工测量数据自动化处理系统”。该软件包也通过了铁道部的鉴定，将在整个铁路系统的测量单位推广应用。对于城市工程测量、地籍测量、水利工程测量等各种测量，只要对科傻系统稍加修改，都可以满足测量工程数据采集和处理的一体化自动化要求。同时，可将科傻系统移植应用到不同型号的电脑型全站仪上和商品化掌上电脑上，进一步扩大用户。如果移植到测量机器人上，并进一步开发各种智能化应用程序，可应用到滑坡监测、施工测量中以及工业测量。若再开发与GPS网平差和实时动态定位软件的集成软件包，并研制开发相应的软件，可望大大改变目前工程测量领域的面貌。

通过科技研究开发实践，我们深刻体会到科技是第一生产力的科学论断，感受到了为社会作贡献的人生价值的乐趣。科技开发和成果转化必须有具备以下特点：是真正的转化而不是抄袭，必须有自己的研究成果；有一定特色；既要有通用性也要专业化；易于扩展和维护，要不断完善并推陈出新；要有市场观念、竞争意识和为用户服务的态度。

六、工程测量学的发展展望

展望21世纪，工程测量学在以下方面将得到显著发展：

1.测量机器人将作为多传感器集成系统在人工智能方面得到进一步发展，其应用范围将进一步扩大，影像、图形和数据处理方面的能力进一步增强；

2.在变形观测数据处理和大型工程建设中，将发展基于知识的信息系统，并进一步与大地测量、地球物理、工程与水文地质以及土木建筑等学科相结合，解决工程建设中以及运行期间的安全监测、灾害防治和环境保护的各种问题。

3.工程测量将从土木工程测量、3维工业测量扩展到人体科学测量，如人体各器官或部位的显微测量和显微图像处理；

4.多传感器的混合测量系统将得到迅速发展和广泛应用，如GPS接收机与电子全站仪或测量机器人集成，可在大区域乃至国家范围内进行无控制网的各种测量工作。

5.GPS、GIS技术将紧密结合工程项目，在勘测、设计、施工管理一体化方面发挥重大作用。

6.大型和复杂结构建筑、设备的3维测量、几何重构以及质量控制将是工程测量学发展的一个特点。

7.数据处理中数学物理模型的建立、分析和辨识将成为工程测量学专业教育的重要内容。

综上所述，工程测量学的发展，主要表现在从1维、2维到3维、4维，从点信息到面信息获取，从静态到动态，从后处理到实时处理，从人眼观测操作到机器人自动寻标观测，从大型特种工程到人体测量工程，从高空到地面、地下以及水下，从人工量测到无接触遥测，从周期观测到持续测量。测量精度从毫米级到微米乃至纳米级。工程测量学的上述发展将直接对改善人们的生活环境，提高人们的生活质量起重要作用。

参考文献：

［1］PelzerH.Ingeniervermessung［M］.Stuttgart:KonradWittwer,1987.

［2］Schlemmer.Geodaesie2000++［J］.ZfV,1998,(6):173-176.

［3］Brandstaetter(Hrsg).Ingenieurvermessung''''96［M］.Bonn:Duemmler,1996.

［4］陈永奇，吴子安，等.变形监测分析与预报［M］.北京：测绘出版社，1993.

［5］张正禄，吴栋才，等.精密工程测量［M］.北京：测绘出版社，1993.

［6］章传银，张正禄，等.变形体的动态组合模型GM+ARMA［J］.测绘科技动态，1995，(4)：9-13.

［7］邓跃进，张正禄.大坝变形频谱分析方法［J］.测绘信息与工程，1997，(4)：7－10.

［8］章传银，张正禄.变形体的稳定性及定量分析方法初探［J］.测绘学报，1997，(4)：315-321.

［9］张正禄，黄全义，等.从“科傻”系统到全能型全站仪［J］.东北测绘，1998，(1)：5-7.

篇6

8.1 认识不等式

学习目标：

1. 了解不等式及其解集的概念，能用不等式表示一些不等关系；

2. 通过独立思考，小组交流，感受不等式在实际生活中的应用，体会数形结合的思想；

3. 激情投入，善于发现问题和提出问题，感受学习数学的乐趣.

重点：不等式及不等式的解.

难点：将自然语言转化为符号语言.

自主学习

一、知识链接

1. 等式、方程、方程的解的定义是什么？

2. x大于3，a小于5怎么用不等号表示？

二、新知预习

1. 什么是不等式？

用不等号表示的不等关系的式子，叫做不等式。

什么是不等式的解？如何判断一些数是不是不等式的解？

3. 如何列不等式表示不等关系？

我的疑惑

合作探究

一、要点探究

探究点1：从实际问题到不等式的概念

小丽今年8岁，小雯今年x岁，小雯比小丽小，那么x____8；一本笔记本原价为y元，买两本或两本以上可以享受优惠价，小虎买两个笔记本花了5元钱，那么2y____5．

问题1：上面列的两个式子是等式吗？

问题2：“5＜8”表示什么意思？“x＜8”呢？

问题3：类比等式的概念，回答：什么是不等式？不等式中是否必须含有未知数？

练一练：判断下列式子是否为不等式：

（1）0＞-3；  （2）4x+3y＜0；  （3）x=3；   （4） x2+xy+y2；  （5）a≠5；  （6）m+2＞n+5．

要点归纳：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．除了“＜”或“＞”之外，数学里表示不等关系的常用符号还有“≠”“≤”和“≥”．

探究点2：用不等式表示数量关系

典例精析

例1. 用不等式表示下列数量关系：

（1）x的5倍大于-7；

（2）a与b的和的一半小于-1；

（3）长、宽分别为x cm，y cm的长方形的面积小于边长为a cm的正方形的面积.

例2. 已知一支圆珠笔x元，签字笔与圆珠笔相比每支贵y元. 小华想要买3支圆珠笔和10支签字笔，若付50元仍找回若干元，则如何用含x，y的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之间的关系？

要点归纳：列不等式和列方程的步骤基本相同，只不过这里要找的是不等关系．

探究点3：不等式的解及其判定方法

问题1：你能找出使不等式x+2>4成立的x的值吗？有几个？

问题2：什么是不等式的解？

练一练：判断下列数中哪些是不等式

的解：60，73，74.9，75.1，76，79，80，90. 你还能找出这个不等式的其他解吗？

二、课堂小结

不等式的概念

不等式的解及其判定方法

当堂检测

1. 老师在黑板上写了下列式子：①x-1≥1；②-2＜0；③x≠3；④x+2；⑤x-y=0；⑥x+2y≤0．你认为其中是不等式的有（ ）

A．2个           B．3个             C．4个            D．5个

2. 下列哪个不是不等式5x-3<6的解（    ）

A. 1          B. 2           C. -1           D. -2

3. 用“＞”或“＜”填空：5×（-2）____（-19）÷2，a2+1____0．

4. 一瓶饮料净重360g，瓶上标有“蛋白质含量≥0.5%”，设该瓶饮料中蛋白质的含量为x g，则x ____1.8

5. 用不等式表示下列数量关系：

（1）a是正数；

（2）x比-3小；

（3）两数m与n的差大于5.

参考答案

一、知识链接

1.含有等号的式子叫做等式；

含有未知数的等式叫做方程；

使方程两边左右相等的未知数的值叫做方程的解.

2.x＞3   a＜5

二、新知预习

1.用不等号表示的不等关系的式子，叫做不等式.

2. 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 将给定的数代入不等式中进行检验，看左右两边是否满足不等关系.

3.根据题目中的已知条件，找出隐含的不等关系，用不等号来表示.

一、要点探究

探究点1：从实际问题到不等式的概念

＜  ＞

问题1：不是

问题2：

5＜8”表示5比8小，“x＜8”表示未知数x比8小

问题3：

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.  不是.

练一练：

（1）是  （2）是   （3）不是  （4）不是  （5）是  （6）是

探究点2：用不等式表示数量关系

典例精析

例1.

（1） 5x＞-7；（2） （a+b）＜-1；（3）xy＜a2

例2.

解： 3x+10(x+y)＜50

探究点3：不等式的解及其判定方法

问题1：x可以为3，4,5,6等等，有无数个

问题2：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

练一练：

解：  75.1，76，79，80，90.  如92,93,94.........

二、课堂小结

不等式的概念

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.

不等式的解及其判定方法

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

将给定的数代入不等式中进行检验，看左边是否满足不等关系.

当堂检测

C   2. B   3. ＜  ＞   4.≥   5.（1） a＞0  . （2）x＜-3 . （3）m -n＞5.

第8章 一元一次不等式

8.2 解一元一次不等式

8.2.1 不等式的解集

学习目标：1. 理解不等式的解集，感受生活中存在大量的不等关系，提升符号感和数学建模能力；

2. 通过独立思考，小组交流，探究用数轴表示不等式解集的方法，体会数形结合的思想；

3. 激情投入，善于发现问题和提出问题，感受学习数学的乐趣.

重点：不等式的解集及其在数轴上的表示方法.

难点：理解不等式的解与解集的区别及解集的数轴表示法.

自主学习

一、知识链接

1. 什么叫不等式的解？

2. 怎样画数轴？数轴与有理数有什么关系？如何用数轴比较两个有理数的大小？

二、新知预习

1. 类比解方程，什么叫解不等式？如何用式子表示不等式的解集？

2. 如何用数轴表示不等式的解集？需要注意哪些地方？

三、我的疑惑

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要点探究

探究点1：不等式的解集和解不等式的定义

问题1：你能找出使不等式x+3>8成立的x的值吗？有几个？

问题2：什么是不等式的解集？它与不等式的解有何区别与联系？

练一练：判断下表中的x值哪些是不等式2x+5＜9的解，是的填“是”，不是填“否”. 你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式一共有多少个解？你能根据表格中的规律写出它的解集吗？

x

5

4

3

2.1

2

1.9

1.8

1

2x+5＜9

要点归纳：一个不等式的所有解组成的集合，就是不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．

探究点2：在数轴上表示不等式的解集

问题1：如何在数轴上表示大于某数？如x＞2如何表示？

要点归纳：（1）解集的表示方法：①代数法：用最简形式的不等式（如x＞a或x＜a，a为常数）来表示；②几何法：用数轴表示，一般标出数轴上某一区间，其中所包含的所有点对应的数值都是不等式的解；

（2）用数轴表示不等式的解集的步骤：画数轴定界点定方向，注意界点要明确标明实心还是空心.

典例精析

例3. 直接写出x+4≤6的解集，并在数轴上表示出来．  

二、课堂小结

不等式的解集的定义

不等式的解集的两种表示法

当堂检测

1. 下列关于不等式的解和解集的说法中错误的是（ ）

A．不等式x＜2有唯一的正整数解             B．不等式2x-1≥0的解集中包含了1

C．不等式的解集是不等式的解的简称          D．不等式x≤1.2的解有无数个

2. 在数轴上表示某不等式的的解集x＞，正确的是（ ）

   

3. 如图所示的解集表示的是（ ）

A．x＞2         B．x≥2          C．x＜2       D．x≤2

4. 在数轴上表示下列不等式：

（1）x＞-3．                             （2）x≤1.5．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

2. 略.

二、新知预习

1.求不等式解集的过程叫做解不等式.

2先解不等式 ,然后在数轴上找到解出的边界点，如果有等号边界点用实心点，没有等号就用空心点 .若是X小于某数字，解集就在点的左侧，用线画出该区域。若是X大于某数字，解集就在点的右侧，这样就表示出来了.

一、要点探究

探究点1：

问题1：能，有无数个.

问题2：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合,叫做这个不等式的解集.满足不等关系的值都是不等式的解，可能有多个。而不等式的解集是所有这些解的集合.

练一练：

x

5

4

3

2.1

2

1.9

1.8

1

2x+5＜9

否

否

否

否

否

是

是

是

探究点2：

问题1：先把坐标轴画出来，标好原点,正方向及刻度，在坐标轴上找到对应的数值.例如本题中的数字2，向右画一条线就是我们所要求得的区域.

典例精析

例3. 解：由题意可知,x≤2.在数轴上表示略.

二、课堂小结

不等式的解集的定义

一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合,叫做这个不等式的解集.

不等式的解集的两种表示法

代数法

几何法

当堂检测

1. C． 2. A  3. D  4 解：（1）如图所示．

（2）如图所示．

第8章 一元一次不等式

8.2 解一元一次不等式

8.2.2 不等式的简单变形

学习目标：1．熟练掌握不等式的性质1、2、3，并能运用它们来对不等式进行简单的变形．

2．通过独立思考，小组合作以及自己的操作，感受不等式是刻画现实世界的有效模型．

3．激情投入，用心感受生活中无处不在的数学．

重点：不等式的性质1、2、3．

难点：不等式的性质3．

自主学习

一、知识链接

1．等式有哪些基本性质？

什么是不等式？

二、新知预习

1．不等式的性质1：不等式两边都加上（或减去）               ，不等号的方向       ．即：如果a＞b，那么a+c     b+c，a-c     b-c．

2．不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个       ，不等号的方向       ．即：如果a＞b，并且c＞0，那么ac     bc，．

3．不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个      ，不等号的方向       ．即：如果a＞b，并且c＜0，那么ac    bc，或．

三、自学自测

1．用“＞”或“＜”填空：

（1）已知a＞b，则a+3      b+3，a+x      b+x；

（2）已知a＞b，则a-3      b-3，a-x      b-x；

（3）已知a＞b，则3a      3b；

（4）已知a＞b，则-3a     -3b．

2．已知a＞b，下列各式中，错误的是（    ）

A．a+6＞b+6                   B．2a ＞2b

C．-a＜-b                     D．5-a＞5-b

四、我的疑惑

_____________________________________________________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要点探究

探究点1：不等式的性质1

问题1：比较-3与-5的大小．

问题2：-3+2    -5+2；-3-2    -5-2．

问题3：由问题2，你能得到什么结论？

问题4：3    5；3+a    5+a；3-a    5-a．

问题5：由问题4，你能得到什么结论？

问题6：根据以上探究，你能得出不等式有什么性质？

典例精析

例1．用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪一条性质：

（1）若x＋3＞6，则x____3，根据______________；

（2）若a-2＜3，则a____5，根据______________．

探究点2：不等式的性质2、3

问题1：比较-4与6的大小．

  -4＜6

问题2：-4×2_____6×2；-4÷2_____6÷2．

问题3：由问题2，你能得到什么结论？

问题4：4     -8；4×（-4）    -8×（-4）；4÷（-4）    -8÷（-4）．

问题5：由问题4，你能得到什么结论？

问题6：如何用符号语言表示问题3和问题5中得到的结论？

典例精析

例2．用“＞”或“＜”填空：

（1）已知 a＞b，则3a     3b；

（2）已知 a＞b，则-a     -b；

（3）已知 a＜b，则

例3．如果不等式 (a＋1)x＜a＋1可变形为 x＞1，那么a 必须满足________．

方法总结：当不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变．

针对训练

1．设a＞b，用“＜”或“＞”填空，并写出根据不等式的哪一条性质得到．

（1）a - 7____b - 7，根据______________；

（2）a÷6__＞__b÷6，根据_____________；

（3）0.1a____0.1b，根据_____________；

（4）-4a____-4b，根据______________________；

（5）2a+3___2b+3，根据______和___________；

（6）(m2+1)a____ (m2+1)b（m为常数），根据_________________；

2．已知a＜0，用“＜”或“＞”填空：

（1）a+2 ____2；     （2）a-1 ____-1；    （3）3a____0；      （4）

____0；  

（5）a2____0；      （6）a3____0；       （7）a-1____0；      （8）-a___0．

探究点3：利用不等式的性质解简单的不等式

典例精析

例4．解不等式：

（1）x+4＜-5；        （2）6x＞5x-6；        （3）

x＜2；         （4）-4x＜8．

   

思考：对以上不等式进行变形时，分别用到性质几？要注意什么问题？

二、课堂小结

不等式的性质

性质1

性质2

性质3

利用不等式的性质将不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式（解不等式）

当堂检测

1．已知a＜b，用“＞”或“＜”填空：

（1）a +12      b +12；

（2）b-10      a -10．

2．利用不等式的性质解不等式：

（1）5＞3+x；

3．（2）2x＜x+6． 

4．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集． 

（1）x-5＞-1；

（2）-2x＞3；

（3）7x≤6x-6．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.

2. 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.

二、新知预习

1.同一个数或同一个整式   不变   ＞   ＞

2 正数     不变    ＞  ＞

3负数      改变    ＜   ＜

三、自学自测 

1．（1）＞  ＞    （2）＞  ＞    （3）＞      （4）＜     2．D 

一、要点探究

探究点1：

问题1：  解： -3＞-5

问题2：＞  ＞

问题3：不等式的两边同时加上或者减去同一个常数，不等号的方向不变.

问题4：＞   ＞   ＞

问题5：不等式的两边同时加上或者减去同一个整式，不等号的方向不变.

问题6：不等式的两边同时加上或者减去同一个整式，不等号的方向不变.

典例精析

（1）＞   等式的性质1  （2） ＜  等式的性质1 

探究点2：

问题1： -4＜6  

问题2：  ＜   ＜

问题3：不等式的两边都乘以或除以同一个正数不等号的方向不变.

问题4：＞   ＜   ＜

问题5： 不等式的两边分别都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.

问题6：

不等号的左右两边分别同时乘以或除以同一个正数时，不等号的方向不变；不等号的左右两边分别同时乘以或除以同一个负数时，不等号的方向改变。

典例精析

例2．（1） ＞  （2）  ＞ （3） ＞ 

例3．a＜-1    

针对训练

1．（1）＞  不等式的性质1   （2） ＞  不等式的性质2   （3）＞  不 等式的性质2 

（4）＜  不等式的性质3  （5） ＞  不等式的性质1  不等式的性质2   （6） ＞  不等式的性质2 

2．（1）＜  （2）＜  （3）＜  （4）＞ （5）＞ （6） ＜ （7） ＜ （8）＞ 

探究点3：

典例精析

例4．（1） 解：x＜-9   （2）  解：x＞-6      （3）解：  x＜6       （4）解：   x＞-2

二、课堂小结

不等式的性质

性质1

不等式的两边同时加上或者同时减去同一个数，不等号的方向不变.

性质2

不等式的两边同时乘以或者同时除以同一个不为0的数，不等号的方向不变.

性质3

不等式的两边同时乘以或者同时除以一个负数，不等号的方向改变.

利用不等式的性质将不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式（解不等式）

当堂检测

1．（1）＜ （2） ＞  2．（1）  解：x＜2.  （2）  解：x＜6.

 3,解：（1）x＞4 （2）x＜- （3）x≤-6,  在数轴上表示略.

第8章 一元一次不等式

8.2 解一元一次不等式

8.2.3 解一元一次不等式

第2课时 一元一次不等式的实际应用

学习目标：1．会用一元一次不等式解决简单的实际问题，提高解决实际问题的能力；

2．通过独立思考及小组合作，感知方程与不等式的内在联系和方程都是刻画现实世界数量关系的重要模型；

3．激情投入，善于发现问题和提出问题，感受学习数学的乐趣．

重点：一元一次不等式在实际问题中的应用．

难点：在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系．

自主学习

一、知识链接

1．一元一次不等式是怎样定义的？

2．简述一元一次不等式的解法（步骤）．

3．利用一元一次方程解决实际问题的步骤是什么？

二、新知预习

1．“至少”的意思是什么？用不等号怎样表示？“至多”呢？“不多于”“不少于”“超过”呢？

2．利用一元一次不等式解决实际问题时，题目中一般会出现什么样的字眼？

3．利用一元一次不等式解决实际问题的步骤是怎样的？

三、我的疑惑

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要点探究

探究点1：一元一次不等式的特殊解

例1   已知方程ax+14=0的解是x=2，求关于x不等式（a+1）x＞－12的解集，并在数轴上表示出来，其中正整数解有哪些？

方法总结：求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解．在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然．

针对训练：

a≥1的最小正整数解是m，b≤8的最大正整数解是n，求关于x的不等式(m+n)x＞18的解集．

2、若不等式

的最大整数解为方程2x-ax=3的解，求a的值．

方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程的思想．

探究点2：一元一次不等式的应用

实例  小华打算在星期天与同学去登山，计划上午7点出发，到达山顶后休息2 h，下午4点以前必须回到出发点。如果他们上山的平均速度是3 km/h，下山的平均速度是4 km/h，他们最远能登上哪座山的山顶（图中数字表示出发点到山顶的路程）？

问题1：写出本题中涉及的等量关系是__________________________________________．

问题2：根据不等关系列出的不等式的解集一定是该实际问题的的解吗？

问题3：解决本题的问题．

.

典例精析

例2  某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10%．如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？

本题涉及的数量关系是                             ，然后解答．

例3  当一个人坐下时，不宜提举超过4.5 kg的重物，以免受伤．小明坐在书桌前，桌上有两本各重1.2 kg的画册和一批每本重0.4 kg的记事本.如果小明想坐着拿起这两本画册和一些记事本．问他最多只应拿多少本记事本？

针对训练：

1．小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元.小明家每月用水量至少是多少？

2．甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，但是给出了不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费.顾客到哪家超市购物花费少？

课堂小结

一元一次不等式的应用

步骤：实际问题

根据题意列不等式

解一元一次不等式

根据实际问题找出符合条件的解集或整数解

得出解决问题的答案

当堂检测

1．当x取什么值时，代数式x+2的值大于或等于0？并求出所有满足条件的正整数．

2．小明家的客厅长5 m，宽4 m．现在想购买边长为60 cm的正方形地板砖把地面铺满，至少需要购买多少块这样的地板砖？

3．一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？

4．某市打市内电话的收费标准是：每次3 min以内（含3 min）0.28元，以后每分钟0.11元（不足1 min部分按1 min计）．小琴一天在家里给同学打了一次市内电话，所用电话费没超过0.5元．她最多打了几分钟的电话？

5．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．

(1)符合公司要求的购买方案有哪几种？请说明理由．

(2)如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金收入不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.只含有一个未知数,并且含未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式。

2. 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.

3. 设未知数  分析题意  列方程 解方程  检验  作答

二、新知预习

1.至少表示最低不能低于某个参照标准，用大于等于表示。 至多表示最多不能超过某个标准，用小于等于表示。不多于用小于等于表示，不少于用大于等于表示，超过用大于表示。

2

  至少  至多  不多于  不少于   超过

3    和一元一次方程一样 设未知数  分析题意  列方程 解方程  检验  作答

一、要点探究

探究点1：

例1   解：  因为x=2是方程ax+14=0的解，所以a=-7，将a=-7代入（a+1）y＞－12中，得y＜2。正数解为1      

针对训练：

1.解：由题意可以m=1，n=8，将m=1，n=8代入(m+n)x＞18中，得x＞2. 

2.【答案】解：解不等式，得x＜2，不等式最大整数解为1．把x=1代入方程2x-ax=3得2-a=3，解得a=-1．

探究点2：

问题1：山时间+山顶休息时间+下山时间＜7小时_

问题2：不一定可能只是一个取值范围

问题3：解:设山峰的高度为x m,则有，解得x≤.所以最远能够登上D山顶.

典例精析

例2  

 售价-进价-税费≥ 90

解：设每套童装的售价为x元。则有(x-90)×40-40x×10%≥900 ,解得x≥125.每套童装的售价至少是125元.

例3 解：设她最多应搬动x本记事本，则有1.2×2+0.4x≤4.5,解得x≤5.25.因为x为整数，所以x=5.答他最多只应搬动5本记事本。

针对训练：1、解：设小明家每月用水量为x立方米。1.8×5+(x-5)×2≥15,解得x≥8.答小明家每月用水量至少是8立方米。

2．解：设累计购物x元.当x≤50时，两家不享受优惠。当50＜x≤100时，在乙超市享受优惠。当x＞100时，

甲超市：100+(x-100)×90%.乙超市：50+（x-50）×95%.当100+(x-100)×90%＞50+（x-50）×95%时，x＜150.当100+(x-100)×90%＜50+（x-50）×95%时，x＞150.当100+(x-100)×90%=50+（x-50）×95%时，x=150.综上所述，当 100 ＜ x＜150时，选择乙超市，当x＜150，选择甲超市。当x=150时，甲.乙两超市均可。

当堂检测

1．解：令x+2≥0，解得x≤6.所以满足条件的正整数有1,2,3,4,5,6.

 2. 解：设至少需要购买这样的地板砖x块.5 m=500 cm,4 m=400 cm.由题意可得，500 ×400≤60×60×x.解得

x≥.答至少需要56块这样的地板砖.

3. 解：设小明至少答对了x道题。4x-(25-x)≥85,解得x≥22.答小明至少答对了22道题.

4.

解：设她最多打了x分钟.0.28+（x-3）×0.11≤0.5，解得x≤5,答她最多打了5分钟.

5.解：（1）设轿车购买x辆，面包车购买（10-x）辆.则有：7x+4×（10-x）≤55，解得x≤5.又因为x≥3，则

x=3，4,5.所以购车方案共用三种。方案一：轿车3辆，面包车7辆.方案二：轿车4辆，面包车6辆.方案三：轿车5辆，面包车5辆.

（2）方案一的日租金：3×200+7×110=1370（元） 

     方案二的日租金：4×200+6×110=1460（元）

方案三的日租金：5×200+5×110=1550（元）答：为了保证日租金不低于1500元，应选择方案三.

第8章 一元一次不等式

8.3 一元一次不等式组

第1课时 一元一次不等式组的相关概念及简单的不等式组的解法

学习目标：1．理解一元一次不等式组的概念，会解两个一元一次不等式组成的简单的不等式组，并会用数轴表示解集，提高归纳推理能力；

2．通过独立思考及小组合作，总结不等式组的解法，进一步体会数形结合思想；

3．激情投入，全力以赴，享受学习成功的快乐．

重点：掌握一元一次不等式组的解法．

难点：借助数轴写一元一次不等式组的解集．

自主学习

一、知识链接

1．什么是一元一次不等式？

2．解一元一次不等式的步骤是怎样的？

3．在数轴上表示一元一次不等式解集的方法是什么？

二、新知预习

1．什么是一元一次不等式组？

2．解一元一次不等式组的步骤是什么？

三、自学自测

下列各选项中是一元一次不等式组的是（    ）

A．       B．       C．       D．

四、我的疑惑

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要点探究

探究点1：一元一次不等式组的概念

情境：一个长方形足球场的宽为70 m，如果它的周长大于350 m，面积小于7630 m2，求这个足球场的长的取值范围，并判断这个足球场是否可以进行国际足球比赛（注：用于国际足球比赛的足球场的长在100至110 m之间，宽在64至75 m之间）．

问题1：如果设足球场的长为x m，那么它的周长就是            m，面积为      m2．根据已知条件，我们知道x的取值范围要使             和   _______      这两个不等式同时成立．

问题2：将问题1中得到的两个一元一次不等式用“”联立起来，便组成一元一次不等式组          ．

问题3：问题2中的一元一次不等式组的解集与问题1中的两个一元一次不等式的解集有何关系？

要点归纳：不等式组中几个不等式解集的__________叫做这个不等式组的解集．

想一想：判断下列不等式组是否为一元一次不等式组：

探究点2：一元一次不等式组的解集表示

问题1：通常我们运用数轴表示不等式的解集，那么我们能用它直接表示不等式组的解集吗？

试一试：用数轴表示不等式组

的解集．

问题2：借助数轴分析：解含两个一元一次不等式的不等式组，在取解集的公共部分时，可能存在哪些不同的情况?

探究点3：简单的一元一次不等式组的解法

典例精析

例1. 解不等式组

并借助数轴写出它的解集．

例2．已知不等式组

的解集为-1＜x＜2，则(a+1)(b-1)的值为多少?

二、课堂小结

一元一次不等式组

一元一次不等式组的概念

未知数x同时满足两个一元一次不等式，并将这两个一元一次不等式合起来就得到了一个一元一次不等式组.

一元一次不等式组的解集表示

不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集.

一元一次不等式组的解法

和一元一次方程的解法一样

当堂检测

1．下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）

A．

2．选择下列不等式组的正确解集：

（1）

（2）

（3）

（4）  （    ）   A．x＜-1     B．x≥2     C．-1＜x≥2     D．无解

3．解下列不等式组，并在数轴上表示其解集：

（1）      （2）      （3）        （4）

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.只含有一个未知数,并且含未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式.

2. 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1

3.  略.

二、新知预习

1.未知量x应同时满足两个一元一次不等式，我们把两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组。

2.  解一元一次方程组，通常可以先分别求出不等式组中，每一个不等式的解集，再求出他们的公共部分.

三、自学自测

D

合作探究

一、要点探究

探究点1：                                            

问题1  2（70+x）    70x   2（70+x）    70x

问题2  略.

问题3： 问题2中的一元一次不等式组的解集是问题1中的两个一元一次不等式的解集的公共部分.  

想一想   解：（1）和（3）不是，（2）和（4）是.

探究点2：

问题1：解 略.

问题2：无解和有解。

探究点3：

典例精析

解：此方程无解.

例2  

解：此方程组得到x＜a+1和x＞3+2b.根据题意可知，a+1=2，3+2b=-1，解得a=1，b=-2.

将a=1，b=-2代入(a+1)(b-1)，得-6.

当堂检测

1．D 

2．（1） B    （2） A   （3） C   （4）D 

解：（1）  3＜x＜6  （2）x≥4    （3）无解  （4）x＜-2,在数轴上表示略.

第8章 一元一次不等式

8.3 一元一次不等式组

第2课时 较复杂的不等式组的解法

学习目标：1．会解较复杂的一元一次不等式组，并会用数轴表示解集，提高归纳推理能力；

2．通过独立思考及小组合作，总结不等式组的解法，进一步掌握数形结合思想；

3．激情投入，全力以赴，享受学习成功的快乐．

重点：较复杂的一元一次不等式组的解法．

难点：去括号、去分母和系数化为1．

自主学习

一、知识链接

1．不等式的性质是什么？

2．解一元一次不等式组的一般步骤是什么？

怎样用数轴表示一元一次不等式组的解集？

二、新知预习

1．解一元一次不等式组时去括号和去分母要注意什么？

2．一元一次不等式组一定有解吗？请举例说明．

三、自学自测

解不等式组并在数轴上表示其解集．

四、我的疑惑

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要点探究

探究点1：解较复杂的一元一次不等式组

典例精析

例1．解不等式组

并在数轴上表示其解集．

例2．解不等式组并在数轴上表示其解集．

方法总结：（1）几个注意点：①去括号时要注意括号外的因数的符号；②去分母时要注意常数不要漏乘各个分母的最小公倍数；③系数化为1时，如果两边同时乘以或除以一个负数，不等号要改变方向；（2）写不等式解集的技巧：借助数轴可以很方便的看出不等式组的解集，也可直接依据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”写出解集．

探究点2：一元一次不等式组的应用

情境：3个小组计划在10天内生产500件产品（每天生产量相同），按原来的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原来多生产1件产品，就能提前完成任务．问每个小组原来每天生产多少件产品？

问题1：本题中给出的是等量关系还是不等关系？有几个？

问题2：设每个小组原来每天生产x件产品，那么你能列出哪些关系式？

问题3：根据你列出的关系式解决本题．

归纳总结：列一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤：（1）审题；（2）找不等关系，并设出未知数；（3）根据不等关系列不等式组；（4）解不等式组；（5）检验；（6）作答．

典例精析

用若干辆载重量为8 t的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4 t，则剩下20 t货物；若每辆汽车装满8 t，则最后一辆汽车不满也不空．请你算一算：有多少辆汽车运这批货物？

二、课堂小结

一元一次不等式组

解较复杂的一元一次不等式组的注意点

1.去分母时，注意各项都要乘以分母的最小公倍数 ；2.移项时，注意改变被移项的符号；3.不等式两边同除以负数，注意不等号要改变方向；4.用数轴表示不等式的解集，要注意实点还是虚点；5.去括号时，注意观察不等式的特点灵活操作 

写不等式的解集的技巧

列一元一次不等式组的解应用题的一般步骤

当堂检测

1．解不等式组：

（1）       （2）       （3）

2．x取哪些整数值时，不等式2-x≥0与都成立？

3．把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩余3个；若每人分6个，则最后一个学生最多分2个．求学生人数和苹果数分别是多少？

4．某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月．如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨．若设该校计划每月烧煤 x吨，求x的取值范围．

【拓展题】已知方程组的解x，y的值都是正数，且x＜y，求 m的取值范围．解得：

参考答案

自主学习

一、知识链接

1．略.

2.略.

3．略.

二、新知预习

1．去括号时，如果括号前面的系数是负数，那么去掉括号后，原来括号里面的数要进行变号.去分母时,要记得将分母的每一项都乘以它的最小公倍数。

2．不一定，比如{x＞3,x＜−1，从数轴上看：

画出的两条线没有公共部分；从不等式组的解集的定义上看，根本找不到既

大于3又小于-1的数．

三、自学自测

解：    <x≤4。  在数轴上画图略.

合作探究

一、要点探究

探究点1

典例精析

例1．x＜-3.在数轴上画图略.

例2．-2< x<6  在数轴上画图略.

探究点2

问题1：不等关系，有2个。

问题2：3×10x＜500；3×10(x+1)＞500

问题3：{3×10x＜500,3×10(x+1)＞500

解得：473＜x＜503，因为x是整数，所以x=16.

典例精析

解：设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．

由题意，得0＜（4x+20）-8（x-1）＜8，

解得：5＜x＜7．

因为x为正整数，

所以x=6．

答：有6辆汽车．

当堂检测

1．解：（1）解不等式①得x≥-1，解不等式②得x＜3，所以不等式组的解集为-1≤x＜3．

（2）解不等式①得x≤1，解不等式②得x＜4，所以不等式组的解集为x≤1．

（3）解不等式①得x＞，解不等式②得x≥3，所以原不等式组的解集为x≥3．

2．解：联立方程组{2-x≥0，x−12−2x−13＜13，

解得：-3＜x≤2，

所以x的整数解为-2，-1，0，1,2.

3．解：设学生有x人，则苹果有（4x+3）个.

依题意得{6(x-1)≤4x+3，4x+3≤6(x-1)+2，解得：3.5≤x≤4.5，因为

学生人数应该为整数，所以x=4，所以苹果数为：4×4+3=19（个）.答：学生有4人，苹果有19个．

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4．解：由题意得{4(x+5)＞100，4(x-5)＜68

，