矩阵在数学建模中的应用范文

导语：如何才能写好一篇矩阵在数学建模中的应用，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

关键词：线性代数 数学建模 应用

科技的发展离不开数学的支撑，许多问题归根到底都是数学问题，许多问题的解决都是数学在起作用。采用所学数学知识去解决实际问题是新时代大学生应该具备的基本素质，是对当代大学生数学知识掌握情况的考察。为了培养当代大学生用数学知识去解决实际问题的能力，我国开展了一年一次的全国大学生数学建模竞赛，目的是培养大学生有效利用所学数学知识去解决实际问题的能力。数学建模竞赛引起了越来越多的高校的重视，许多大学已经将数学建模作为一门必修课来讲授。本文重点研究了线性代数知识在数学建模中的应用，对于如何采用线性代数知识解决实际问题具有一定的参考意义。

一、模型建立

建立合适的数学模型对于当代的大学生来说是一件比较困难的事情。因为现实的问题是异常复杂的，大学生对于现实问题的理解往往是不全面的，因此教师在教学过程中必须注重学生将实际问题转化为数学模型能力的培养。教师在教学过程中应该注重采用数学语言和方法来描述客观对象存在的内在规律，建立数学模型。

采用数学建模方法去解决实际问题主要包括模型假设、模型建立、模型计算以及模型推广等几个步骤。对于现实中的问题如何进行数学模型的建立，必须把握问题的基本原理，即不仅要把握问题的全局，同时还要结合求解的目的细致分析问题。数学模型的建立是解决问题的关键，教师对于学生数学建模课的教学往往采用的是对建好的数学模型进行求解，忽略了如何将实际问题转化成数学问题的教学，这样的教学使得学生丧失了分析问题的能力，也就失去了数学建模课程教学的意义。数学模型建立得是否适当直接关系到问题求解的难度以及问题求解的结果是不是适合实际。通过数学建模的学习将使得大学生采用数学知识更好的解决实际问题，同时学生的综合能力得到提高。

二、基本知识点回顾

大学数学主要包含高等数学和线性代数两个部分，代数学主要处理的是线性关系问题。线性代数主要解决的是方程组的求解问题。随着对线性方程组和向量之间关系的研究的深入，行列式以及矩阵慢慢的被引入线性代数，推动了线性代数的快速发展，构成了线性代数的核心。

线性代数是理工科专业甚至管理、经济类专业的一门非常重要的必修课，它在社会生活的各个方面具有广泛的应用。许多问题归根到底都可以转化为线性代数可以解决的问题。线性代数主要包含了行列式的求解、矩阵、向量组的相关性、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型等。其实从本质上来讲都是为求解线性方程组服务的。对于线性方程组的求解来说，可以分为有解和无解。如果线性方程组有解可以分为有唯一解和有无穷解这两种情况。对于无解的线性方程组，如何才能得到某种意义下线性方程组的“解”？这些都是线性代数研究的内容。只有灵活掌握线性代数的基本理论才能更好地将实际问题更好的转化为可以采用线性代数解决的问题。

三、实例分析

1.投入产出模型

在我国的某个地区有一个煤矿、一个发电厂和一条铁路。市场调查发现，煤开采价值为1元钱的煤矿资源需要0.25元电费，同时将开采的煤运到目的地需要0.25元的铁路运费；发电厂创造1元钱的电力资源需要价值0.65元的煤，同时还需要0.05元的电费和0.05元的运费；铁路运输获得1元钱的运费，铁路需要价值0.55元的煤资和0.1元电费。市场调查发现，煤矿上有价值85000元的订货单，发电厂有价值为36800元的订货单，对于本条铁路线没有要求。试建立相应的数学模型分析在这一周内煤矿、发电厂以及地方铁路产值多少才能满足订单需求以及本地区的需求。

模型建立：不妨假定本周内煤矿的总产值为x1，发电厂的总产值为x2，铁路的总产值为x3。那么根据“市场调查发现，煤矿上有价值85000元的订货单，发电厂有价值为36800元的订货单，对于本条铁路没有要求”可以列出如下的线性方程组，如式（1）所示。

x1-（0×x1+0.65x2+0.55x3）=85000

x2-（0.25x1+0.05x2+0.10x3）=36800 （1）

x3-（0.25x1+0.05x2+0×x3）=0

将式（1）进行变形可以得到式（2），

X-AX=Y （2）

其中

X=x1x2x3，A=0 0.65 0.550.25 0.05 0.100.25 0.05 0，Y=85000368000 （3）

向量x称为产出向量，矩阵A称为直接消耗矩阵，向量y称为需求向量，将式（2）变形，可以得到式（3），

（E-A）x=y （4）

在式（4）中，矩阵（E-A）称为列昂杰夫矩阵。

设B=（E-A）-1-E （5）

C=Ax1 0 00 x2 00 0 x3 （6）

D=（1，1，1）C （7）

矩阵B称为完全消耗矩阵，它和直接消耗矩阵A在不同的部门之间的投入产出中起到平衡的作用。矩阵C称为投入产出矩阵，在矩阵C中的各个元素表示了各个工厂之间的投入和产出的关系。向量D称为总的投入向量，分别表示不同部门的总的投入。根据上述的定义，可以得到如表1所示的投入产出表，其中表1是分析的三个部门，对于多余三个部门的投入产出分析表，相应的进行扩展即可。

表1 投入产出分析表

问题求解：根据对该问题的分析，可以得到该地区的煤矿、发电厂以及铁路的投入产出分析表，如表2所示。

表2 该地区投入产出分析表

2.人口迁移模型

改革开放以来，我国经济得到了快速的发展，人民生活水平得到了很大的提高。但是表现出的一个严重问题就是城市环境逐渐恶化，城乡差距不断加大，导致我国大部分的农村人纷纷涌向城市，而城市的居民又希望到未被污染的乡下生活。针对这种情况，我国针对某个省的城乡人口流动进行了调查。调查结果显示，该省每年农村居民有3.2%移居城镇，在城镇有1.3%的居民迁出城镇。目前该省总人口的40%居住于城镇。假定该省城乡人口总数保持不变，人口流动保持现在的流动趋势，那么一年后住在城镇的人口比例是多少，五年后住在城镇的人口比例是多少？

问题分析：假定目前该省乡村人口为x0，城镇人口为y0，经过“该省每年农村居民有3.2%移居城镇，在城镇有1.3%的居民迁出城镇”的变化趋势，一年后乡村人口为x1，城镇人口为y1。

x0+y0 = x1 （8）

x0+y0 = y1 （9）

将式（8）和式（9）写成矩阵的形式，如式（10）所示。

x1 y1 = x0 y0 （10）

五年以后，有

x5 y5 = x0 y0 （11）

问题求解：根据“目前该省总人口的40%居住于城镇”，不妨假定x0=0.6，y0=0.4，根据公式（10）可以得到x1=0.5860，y1=0.4140。根据公式（11）可以得到x5=0.5360，y1=0.4640。

四、结论

数学建模是培养大学生运用数学知识去解决实际问题能力的最为重要的方式，通过数学建模，不仅使得大学生对于数学的学习可以做到学以致用，同时也可以激发当代大学生学习数学的积极性。数学建模竞赛正在受到越来越多的学生、教师以及教育主管部门的重视。本文重点分析了线性代数知识在数学建模中的应用，给出了两个具体的采用线性代数知识去解决实际问题的实例。本文的研究对于深刻理解数学建模以及线性代数在数学建模中的应用具有一定的指导意义。

参考文献：

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关键词：风险型决策方法；　损益值矩阵法；　矩阵运算；　期望值

中图分类号：TN91134；TP311 文献标识码：A 文章编号：1004373X（2012）22009403

企业获利要主动减少计划外订单，可以人为取消计划外的所有订单，则企业获利多少只与意向合同的签订量有关。

这里以三类电器产品为例，假设意向合同全签最大量也没超过各自的最大生产量，只要考虑各生产量下的损益值，然后进行风险型分析决策就可以得出最优方案。

由于三类产品之间没有生产资料有限这样的制约条件，所以这三类产品彼此间是独立的，于是可以把三类产品单独进行建模，分别找到最优值就可以解决问题。

1　模型建立

损益矩阵模型如下：E1

E2

E3

Ei=Q11…Q1j

Qi1…Qij×P1

P2

P3

Pj可求得max　E2。

关于损益值的计算，对企业而言，如果合同签订失败导致产品销售不出去，他们损失的是对应的经费还有产品成本费合同签订成功的情况下的计算公式如下：Qij=Ci－Ai－Di 合同签订失败的情况下的计算公式：Qij=－Ai－Di 关于损益值的计算，对销售部而言，如果合同签订失败导致产品销售不出去，他们损失的是对这类产品的宣传费。合同签订失败的情况下的计算公式如下：Qij=－Gi 合同签订成功的情况下的计算公式如下：Qij=Hi－Fi－Gi2　模型求解

模型求解思路如下所述，首先求出每千件产品的价格，设一个n值，符号不定，5%n表示价格上涨或者下降，10%n表示销量减少或增加，再假设计划外销售量y（常数），这样构成一个一元二次函数，可以通过导数求出极值，然后验证，求出最大值。计划外销售额函数如下：

家电1：H1=（y1+10%n1y1）×（N1－5%n1N1） 家电2：H2=（y2+10%n2y2）×（N2－5%n2N2） 家电3：H3=（y3+10%n3y3）×（N3－5%n3N3） 家电4：H4=（y4+10%n4y4）×（N4－5%n4N4） 家电5：H5=（y5+10%n5y5）×（N5－5%n5N5） 家电6：H6=（y6+10%n6y6）×（N6－5%n6N6） 家电7：H7=（y7+10%n7y7）×（N7－5%n7N7） 家电8：H8=（y8+10%n8y8）×（N8－5%n8N8） 家电9：H9=（y9+10%n9y9）×（N9－5%n9N9） 家电10：H10=（y10+10%n10y10）×（N10－5%n10N10）以上就是目标函数需要求max　Hi所对应的n和y。

3　优化模型

首先前两类家电意向合同的最大签订量没有达到最大生产量所以最大产量的约束条件无效，只需要对各方案做损益运算。表1～表6是热水壶意向生产方案的损益表格　（数量单位：千个，金额单位：万元　）　以及对应的矩阵运算。

对应矩阵：E1

E2

E3=000

－24.71814.803－24.71　8

－27.561－27.56116.06　6×

0.3

0.3

0.4=0

－12.861　7

－10.110　2

max　Ei=E3 对应矩阵：E1

E2

E3=000

－24.71814.803－24.718

－27.561－27.56116.066×

0.2

0.3

0.5=0

－12.861　7

－5.747　5

max　Ei=E3

对应矩阵：E1

E2=00

－27.56148.681×

0.6

0，4=0

6.426　9

max　Ei=E2

对应矩阵：E1

E2

E3

E4=0000

－27.25848.681－27.258－27.258

－30.331－30.33150.051－30.331

－33.403－33.403－33.40351.421×

0.3

0.2

0.3

0.2=0

－4.476　3

9.860　25

－33.403

max　Ei=E3

对应矩阵：E1

E2=00

－28.02922.287×0.5

0.5=0

1.080　3

max　Ei=E24　结　语

由于期望的运算量比较大，本文采用损益值矩阵运算的方法，在所有家电定价维持不变，使生产计划和销售方案得到最优化，优化的结果较符合实际。所以，该方法在企业的生产计划和销售方面值得借鉴和推广。

参　考　文　献

［1］　姜启源.数学模型＼[M＼].北京：高等教育出版社，2007.

［2］　刘来福，曾文艺.数学模型与数学建模＼[M＼].北京：北京师范大学出版社，1997.

［3］　杨启帆，李浙宁.数学建模案例集＼[M＼].北京：高等教育出版社，2008.

［4］　薛毅.数学建模基础＼[M＼].北京：北京工业大学出版社，2006.

［5］　薛嘉庆.最优化原理与方法＼[M＼].北京：冶金工业出版社，2003.

［6］　范鸣玉，张莹.最优化技术基础＼[M＼].北京：清华大学出版社，1982.

［7］　卓金武.Matlab在数学建模中的应用＼[M＼].北京：北京航空航天大学出版社，2010.

［8］　王文波.数学建模及其基础知识详解＼[M＼].武汉：武汉大学出版社，2010.

［9］　＼[美＼]吉奥丹诺.数学建模＼[M＼].4版.北京：机械工业出版社，2011.

［10］　陈理荣.数学建模导论＼[M＼].北京：北京邮电大学出版社，1999.

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线性代数是高职院校机电、信息、经济管理等专业的一门重要基础课程和工具课程．学生学习这门课程就是要用相应的数学方法解决实际问题，而数学建模就是培养数学实践能力的最有效最实用的方法．目前众多高校在线性代数教学中，教学内容更新缓慢，过多追求逻辑的严密性和理论体系的完整性，缺乏对学生动手能力和应用能力的培养，不利于与其它课程和所属专业的衔接，造成了学生“学不会，用不了”的局面．因此，在线性代数中融入数学建模思想是非常必要，也是势在必行的．

二、在线性代数教学中融入数学建模思想的有益尝试

1数学建模思想在线性代数理论背景中的渗透线性代数中诸多概念和定理都是对相关实际问题的抽象和概括．如果不介绍实际背景直接讲解，对高职生而言难以接受，他们往往靠机械记忆．因此在教学过程中，可借助于线性代数理论产生的来源和背景，通过对实际问题进行抽象、概括、分析和求解的过程，可让学生切实体会到由实际问题到数学理论的思想方法，从中渗透数学建模的思想方法．矩阵是课程各部分内容的纽带．在讲解矩阵和矩阵运算概念时，可引入此实例．三个炼油厂I、II、III生成甲、乙、丙、丁四种油品，现要统计此三个分厂2010年与2011年生产四种油品的总产量．为了使学生体会数学建模思想，教学过程可如下进行．(1)问题分析与模型建立:教师可以提问一年中各炼油厂生产各油品的数量如何表示?可以提示产品统计量按炼油厂与油品排成行与列，以数表的形式表示．经学生思考后，教师给出肯定答案．同时指出在数据上加上括号就得到了矩阵的定义．(2)模型求解:用矩阵A、B分别表示2010、2011年三个炼油厂所生产的四种油品的产量，引导学生思考若要求两年各工厂生产各油品的总产量的计算方法，通过师生之间的分析讨论，从而水到渠成地引出矩阵运算A+B．通过这个实例，学生既了解到矩阵和矩阵运算产生的背景和在实际中的应用，又体会到了数学建模的过程，增强了学习的兴趣，也为后面学习打下良好的基础．

2针对学生专业特点，融入相应的数学模型在线性代数教学中，对于不同的专业，可以有所侧重地补充相应的数学模型．而且确保融入的每一个数学模型都能反映出线性代数知识的本质，让学生通过这些模型对线性代数的知识点有充分的认识和理解，激发他们学习的积极性．在讲授面向专业的数学模型时，应遵循专业实际问题数学模型数学解答应用于专业问题的教学过程．即通过案例分析，筛选变量要素，强调如何用数学语言描述和简化实际问题，进而揭示其内在规律，利用线性代数知识建立线性代数模型，然后引导学生运用所学知识求解模型和应用模型分析实际问题．当然，不同的模型，突出的重点也需要作适当的调整．如在讲解线性方程组解的问题时，对电信专业可以适当融入电路网络方面的数学模型;对于信息专业可以融入计算机图形处理模型;对经济类专业可以融入投入产出模型等等．教师引导学生分析和解决问题，使学生体会到线性方程组与专业课的结合，激发学生学习课程的积极性．由于课堂时间有限，我们可选用比较小的数学建模问题，难易程度可参考如下案例所示．投入产出模型:某地区有三个重要企业:一个煤矿，一个发电厂和一条铁路．开采1元的煤，煤矿要支付0．25元的电费及0．25元的运输费．生产1元的电力，发电厂要支付0．65元的煤费、0．05元的电费及0．05元的运输费．创收1元的运输费，铁路要支付0．55元的煤费及0．1元的电费．在某一周内，煤矿接到外地50000元的订货，发电厂接到外地金额为2500元的订货，问三个企业在一周内生产总值各位多少?三个企业互相支付多少金额?(1)模型假设与变量说明．假设该地区三个产业间需要的资金完全由该地区提供．设本周内煤矿的总产值为x1，电厂的总产值为x2，铁路总产值为x(2)模型的分析与建立．煤的产值=订货值+(发电+运输)所需要煤的费用;同理，电厂的产值=订货值+(开采煤+运输+发电);铁路的产值=订货值+(开采煤+发电)所需要的运输费用．

3立足数学建模思想的有效融入，多种教学手段有机结合线性代数教学可以尝试采用多种教学手段相结合，以期达到很好的教学效果．(1)平衡多媒体教学与传统教学．多媒体教学有很好的辅助作用．在教学中引入数学模型时，需要利用多媒体课件呈现实际问题，以及引导学生对模型的分析与求解，使教学内容生动形象．例如，在基础理论教学中，对于比较抽象的概念，如矩阵的特征值、特征向量等，可以利用多媒体课件展示它们的几何意义，使学生从直观上加深对概念的理解，起到事倍功半的效果．可见，多媒体教学可以增加教学容量，扩大教学空间，延长教学时间．但是，传统的黑板教学在把握数学思维的发展、形成过程和知识反馈等方面，要技高一筹，教师所表现出的艺术感染力和魅力不是多媒体所能替代的．因此，我们要逐步找到传统教学手段与多媒体教学有机结合的平衡点，充分发挥多媒体对教学内容的补充和延伸优势，同时体现传统教学的逻辑性，不断提高教学质量．(2)增设适当的数学实验．根据线性代数计算程序化和独特的计算特征，增加数学软件的上机操作和数学实验，训练学生用计算机解决问题．首先在多媒体课件中添加了Matlab界面下矩阵生成、运算以及线性方程组各情形下的相应解法．而且，在课程中融入数学模型的求解过程也是利用数学软件完成的，这样可以用来引导学生学习数学软件．其次，在每章节加入了相关的实验内容，帮助学生能借助简单的Excel程序和Matlab软件进行科学计算，以增强学生科学计算能力．这样可以更好的提高学生应用线性代数的实践能力．(3)充分利用网路教学．当将数学模型融入课堂时，会出现学时少与信息量大的矛盾，而且由于学生的认知水平不同，对数学建模思想的领会程度也会有较大差异．为此，我们可以利用校园网建立课程网站，作为课堂教学的补充，为学生提供多层次、多方位的教学资源．网站中的教学资源除包括课堂教学内容外，还提供丰富的与专业相关的数学模型和数学实验，可以利用网上答疑和学生进行数学模型的讨论，算法的研究等．这样缩短了学生与数学建模的距离，而且学生还可以根据需要自由地选择学习内容和形式，灵活安排自己的学习时间，有利于培养学生应用线性代数解决实际问题和其创新能力．

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关键词：数学建模；Matlab；插值

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）21-0262-02

一、引言

数学建模运用数学的思想方法、数学的语言去近似刻画一个实际研究对象，构建一座沟通现实世界与数学世界的桥梁，并以计算机为工具，应用现代计算技术，达到解决各种实际问题的目的。Matlab是一种应用于科学计算领域的高级语言，其产生是与数学计算紧密联系在一起的，主要功能包括数值计算、符号计算、绘图、编程以及应用工具箱。近年来，随着实际问题的数据规模越来越大，Matlab在数学建模中占据越来越重要的地位。

本文对Matlab在数学建模课中的应用进行讨论分析，阐述了数学建模这门学科的特点及数学建模教学中存在的问题。在数学建模课中突出基本知识的实际应用，需要针对不同问题的计算要求灵活使用Matlab编程。

二、数学建模的特点及教学中的问题

数学建模是一个实践性很强的学科具有以下特点：

（一）涉及广泛的应用领域

在涉及广泛的应用领域，如物理学、力学、工程学、生物学、医学、经济学、军事学、体育运动学等。完全不同的实际问题，在一定的简化假设下，它们的模型是相同或近似的。这就要求学生培养广泛的兴趣，拓宽知识面，从而发展联想力，通过对各种问题的分析、研究和比较，逐步达到触类旁通的境界。

（二）需要灵活运用各种数学知识

在数学建模过程中，数学始终是一种工具。要根据实际问题的需要，灵活运用各种数学知识如微分方程、运筹学、概率统计、数值分析、图论、层次分析、变分法等，去描述和解决实际问题。这就要求学生既要加深数学知识的学习，更要培养应用已学到的数学方法及思想进行综合应用和分析，并进行合理地抽象和简化的能力。

（三）技术手段的配合

需要各种技术手段的配合，如查阅文献资料、使用计算机和各种数学软件如Matlab、lingo等。

（四）建立一个数学模型与求解一道数学题目差别极大

求解数学题目往往有唯一正确的答案，但数学建模没有唯一正确的答案。对同一个实际问题可能建立若干个不同的模型，模型无所谓对与错，评价模型优劣的标准是实践。

（五）建立的数学模型与建模的目的有密切关系

对同一个实际对象，建模目的的不同导致建模的侧重点和出发点不同。因此，对一个世界问题，数学建模没有确定的模式，它与问题的性质、建模的目的、建模者自身的数学素质有关，甚至还与建模者的灵性有关，经验、想象力、洞察力、判断及直觉、灵感在建模过程中起着与数学知识同样重要的作用。

数学建模是一门科学，一门艺术，要成为一名出色的艺术家，需要大量的观摩和前辈的指导，最重要的是要亲身的实践。同样要掌握数学建模这门艺术，既要学习、分析、评价、改进前人做过的模型，更要亲自动手做一些实际题目。

几年的“数学建模”教学实践告诉我们，大学生参加数学建模活动，不但要求学生必须了解现代数学各门学科知识和各种数学方法，把所掌握的数学工具创造性地应用于具体的实际问题，构建其数学结构，还要求学生熟悉Matlab、lingo等数学软件，熟练地把现代计算机技术应用于解决当前实际问题，最后还要具有把自己的实践过程和结果叙述成文字的写作能力。目前，数学建模教学中的主要问题是两个“脱节”，一是实际问题与理论知识脱节，二是理论教学与数学软件的应用脱节。结合Matlab进行数学建模教学能够有效地解决理论教学与应用数学软件的脱节。

三、结合Matlab进行数学建模教学

数学建模竞赛能否取得好成绩不仅取决于模型的精妙与合理，还取决于模型的求解。Matlab在模型的求解方面占有关键的地位[1]。因此，结合Matlab进行数学建模教学将起到事半功倍的效果。下面以讲解插值方法为例，说明Matlab在数学建模教学中的重要性和必要性。

在插值方法教学中，首先需要讲解插值法的定义，然后简单讲解拉格朗日插值、分段线性插值和样条插值，最后重点讲解Matlab插值工具箱及其应用。在Matlab插值工具箱中，插值函数分为一维插值函数和二维插值函数两类。Matlab中一维插值函数是interp1[2]，语法为：y=interp1（x0，y0，x，'method'）。其中：method指定插值的方法，默认为分段线性插值，其值可为nearest、linear、spline和cubic。所有的插值方法要求x0是单调的。

例1：（机床加工）待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据（x，y）给出（在平面情况下），用程控铣床加工时每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步，这就需要从已知数据得到加工所要求的步长很小的（x，y）坐标。给出的（x，y）数据（程序中的x0，y0）位于机翼断面的下轮廓线上，假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标。试完成加工所需数据，画出曲线。

解：编写程序如下：

x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]；y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6]；x=0：0.1：15；y1=interp1（x0，y0，x，'nearest'）；y2=interp1（x0，y0，x，'linear'）；y3=interp1（x0，y0，x，'spline'）；plot（x0，y0，'*'，x，y1，'r'，x，y2，'b'，x，y3）；

通过运行结果可以看出，三次样条插值的结果最好，建议选用三次样条插值的结果。

Matlab中二维插值函数之一是interp2，语法为：z=interp2（x0，y0，z0，x，y，'method'）。其中：x0，y0分别为m维和n维向量，表示节点；z0为n×m矩阵，表示节点值；x，y为一维数组，表示插值点。

例2：（地貌图形的绘制）下表所列为某次地貌测量所得的结果，对一方形区域（x，y方向均为从1-10），选测某些地点测量其相对于某水平面高度的数据，要求用这些数据（程序中的h）尽量准确地绘制出该地区的地形。

解：此题的关键是将未测量地点的高度用插值方法求出来。程序如下：

[x，y]=meshgrid（1：10）；

h=[0 0.02 -0.12 0 -2.09 0 -0.58 -0.08 0 0；0.02 0 0 -2.38 0 -4.96 0 0 0 -0.1；0 0.1 1 0 -3.04 0 -0.53 0 0.1 0；0 0 0 3.52 0 0 0 0 0 0；-0.43 -1.98 0 0 0 0.77 0 2.17 0 0；0 0 -2.29 0 0.69 0 2.59 0 0.3 0；-0.09 -0.31 0 0 0 4.27 0 0 0 -0.01；0 0 0 5.13 7.4 0 1.89 0 0.4 0；0.1 0 0.58 0 0 1.75 0 -0.11 0 0；0 -0.01 0 0 0.3 0 0 0 0 0.01]；[xi，yi]=meshgrid（1：0.15：10）；

hi=interp2（x，y，h，xi，yi，'spline'）；surf（xi，yi，hi）；

通过运行结果可以看出，利用样条插值得到的数据绘制出了效果较好的地貌形态图。

在数学建模的插值法教学中，重点不是讲解插值法的理论，而是讲解插值法的应用，即如何应用插值法解决实际问题。在这个教学过程中MATLAB占有重要的地位。因为MATLAB能够利用其内部插值函数及有限的数据产生所需的足够的数据，并能够绘制出相应的图形。关键是这一过程的实现MATLAB比其他软件容易得多。[3]有了MATLAB的帮助，数学建模的教学不会像以前那样将重点放在理论讲解上，从而使得大学生有更大的兴趣学习数学建模，并利用学到的知识探索解决实际问题。

四、结论

结合MATLAB进行数学建模教学，能够大大提高学生学习数学建模的积极性，能够有效地解决理论教学与应用数学软件的脱节，能够大大提高教学质量和教学效果。因此，结合MATLAB进行数学建模教学是重要的，也是必要的。

参考文献：

[1]温一新，王涛.数学实验和数学建模教学中数学软件应用的实例分析[J].大学数学，2014，30（5）：26-30.

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【关键词】线性代数；教材改革；教学方式改革

Teaching research of Linear algebra teaching-improvement

Huang Hui

(Changchun College of Architecture Jilin Changchun 130000)

【Abstract】The author points out the problems and dismerits in the teaching of linear algebra with the practical teaching experience, realizes the necessity and urgency of deepening teaching improvement, and puts forward the improvement of teaching-material and teaching-method.

【Key words】Linear algebra;Teaching material-improvement;Teaching-method- improvement

1.引言

“线性代数”是高等学校理工科和经济学科等有关专业的一门重要基础课。它不仅是其他数学课程的基础，也是各类工程及经济管理课程的基础。我校教学处于二本和专科、职业教学之间，即培养学生掌握基础理论知识的能力使其成为应用型人才。而陈旧的教材、教学内容和落后的教学方式更加重了学生对该课程的枯燥感，甚至产生畏惧和排斥心理。可见，线性代数课程的教学改革迫在眉睫。

2. 教学改革可分为以下两方面

2.1 教材改革。

（1）教材是学生获取信息的直接手段，教学改革关键在于教材改革。中国科学院院士李大潜指出：“数学的教学不能和其他科学和整个外部世界隔离开来，只是一个劲地在数学内部的概念、方法和理论中打圈子，这不利于了解数学的概念、方法和理论的来龙去脉，不利于启发学生自觉运用数学工具来解决各种各样的现实问题，不利于提高学生的数学素养。在开设和改进数学建模课程的基础上，逐步将数学建模的精神、内涵和方法有机地体现到一些重要的数学课程中去，并在条件成熟时最终取消专门开设的数学建模类课程，或将其变为课外训练的辅助环节，应该是一个努力地方向［1］。”

（2）以往线性代数教材基本以前苏联数学教材为模板，比较注重严谨的逻辑性和表述形式的数学化，风格较为严肃；授课方式多采用“概念——定理——习题”的模式，多是按照行列式、矩阵运算、 维向量、线性方程组求解理论、特征值与特征向量和二次型等知识点的顺序编写章节。基本是在数学专业领域研究数学，而不是结合各专业领域研究教学，知识面较窄，从而忽视了基本概念的物理背景，忽视了学生跨领域能力的培养，和实际应用结合不够紧密。其结果学生都知道其重要，但都不知道其重要意义在哪。只知其然，不知其所以然。

（3）因此，教材编写时，在引入概念前，可通过引例，介绍其应用背景，或在章、节后精选涉及工程技术、经济管理、社会科学以及数学其他分支等诸多方面的应用实例，与此同时数学建模的思想与方法，数值算法的思想和数学软件的引入对线性代数的教学也有很大帮助，一方面可以拓宽学生的知识面，活跃学生的思维方式；另一方面通过实例把数学和其它领域结合起来，使学生在学习线性代数的时候不会感到空洞、单一和枯燥，既提高了学习兴趣也提高了应用线性代数知识解决实际问题的意识和能力，从而发挥了线性代数的实用性。如在矩阵的特征值章节，就可以结合结构力学实例，说明矩阵的特征值在振动问题中的实际物理意义，使学生真正体会如何运用线性代数理论和计算去解决实际工程问题。

2.2 教学方式改革。

2.2.1 重视绪论课。线性代数主要学的是什么？有什么用？很多学生学过一段时间后仍不能回答这一问题。绪论是一门课程的开始，学生对一门课程的总体印象如何，是否感，都是从第一堂课获得。绪论课要完成两个任务：

（1）课程的知识体系是怎样构架的；

（2）其可应用性在哪。线性代数主要讨论线性空间和线性变换。通俗讲法为：“一个中心，三个基本工具［2］”。以解线性方程组为中心，矩阵、行列式和向量空间为求解用的三个基本工具。线性方程组广泛应用于商业、经济学、社会学、生态学、人口统计学、电子学、工程学、物理学、计算机科学等领域。有统计称，超过75%的科学研究和工程数学问题，在某个阶段都涉及求解线性方程组。这样从第一印象上，给线性代数的学习设计一个应用环境，使学生感到线性代数离自己不遥远也不神秘，进而对其产生学习兴趣。

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关键词：TRIZ理论；升级投诉；数学建模；预测

引言

随着运营商市场竞争的日益激烈，业务品类的不断丰富，客户投诉量也逐渐增多，成为困扰企业的一大难题。面对客户规模化的投诉，应当建立更加科学化系统管理机制，改善当前传统管理方式，避免客户投诉升级，提升客户满意率。为此，可通过对客户投诉数据进行深度的大数据分析和挖掘，基于多叉决策树构建升级投诉预测模型，对有升级倾向的投诉客户进行预判，提前安抚客户，从而有效降低升级投诉数量，提升客户在4G时代的满意度。但是在升级投诉预测模型构建完成后，其准确率较低，远无法满足应用需要。针对此问题，本研究利用TRIZ理论对其进行分析求解。

1 TRIZ理论简介

TRIZ意为发明问题解决理论，是由俄国发明家G.S.Altshuller和其同事经过50多年对数以百万计的高水平专利成果分析归纳总结，建立的一整套体系化的、实用的解决发明问题的创新理论方法体系。

TRIZ理论主要用于工程技术领域，但随着理论的发展和完善，逐步向企业管理、教育、政治、服务等非技术领域延伸。它能帮助我们找到正确的问题，克服思维定势，按照问题的本质进行分析，从而找到有效的解决方案。TRIZ理论解决问题的思路包括问题描述、问题分析、问题求解、方案评估及方案决策等步骤，如图1。

2 基于TRIZ理论的升级投诉预测模型优化研究

2.1 问题描述

利用TRIZ理论描述问题的八步对此问题进行描述。

定义技术系统的名称及其功能：本技术系统可定义为升级投诉预测系统，系统功能是预测有升级倾向的投诉客户。

完整描述系统的工作原理：观察过往历史升级投诉数据，提炼升级投诉客户的特征标签，对实时投诉数据进行预测，输出有升级投诉倾向的目标号码。

描述当前系统存在的主要问题：对投诉用户是否有升级倾向的预测准确率低。

描述主要缺点出现的情况：当投诉信息记录缺失、字段信息记录错误、手工填写文本字段繁杂、文本型数据过多时，模型预测准确率问题更明显。

类似问题的解决方案及存在的缺陷：对类似问题，通常采用增加人工判断、改变参数等方法，但无法大幅度提高准确率。

明确要解决的问题：如何提高模型预测升级投诉用户的准确率。

对新技术系统的要求：准确地预测出有升级投诉倾向的用户。

技术系统IFR：圆满消除用户投诉，永不恶化升级。

2.2 问题分析

2.2.1 因果分析

影响一个模型的因素有模型输出端、模型本身以及模型输入端，通过因果分析发现影响升级投诉预测模型准确率低的因素主要是模型本身以及输出端即用于建模的数据。模型本身的影响主要包括参数设置准确率不足和正负样本比例不可控两方面。建模数据的影响一方面是数据源本身存在问题，比如数据分类字段过度、数值型数据过度、缺失数据以及噪声数据严重，另一方面是数据低耦合性问题，缺乏关键变量。

2.2.2 功能分析

升级投诉预测系统是指当客户进行投诉形成工单后，将投诉数据入库，利用多叉决策树模型预测出有升级倾向的投诉客户，并将客户信息推送至客户服务中心，提前安抚客户，防止投诉升级。系统的组件功能模型如图3。

2.3 问题求解

2.3.1 基于功能模型与裁剪的问题求解

通过功能模型分析得出了导致此模型准确率低的几个因素：缺失和噪声数据有害；分类字段和数值型数值过度影响；变量选择、参数设置、正负样本比例影响。根据裁剪原理，缺失和噪声数据是有害作用的组件，裁剪后可以最大限度改善系统。因此基于数据状况，对于缺失及噪声数据，可以采用忽略该条记录的处理方法。

2.3.2 基于技术矛盾与矛盾矩阵的问题求解

技术矛盾是指当改善系统中的某一参数时，恶化了系统中的另一参数。TRIZ总结了39个通用技术工程参数，借助这些参数可将一个具体问题转化为标准的TRIZ问题。TRIZ还总结了解决矛盾冲突的40个发明原理，将矛盾冲突与冲突解决原理组成一个39×39的矩阵，矩阵的纵轴表示可改善的参数，横轴表示引起恶化的参数，横纵轴交叉处的数字表示用来解决技术矛盾的发明原理的编号，这些发明原理指出了解决该技术矛盾的思路。这就是著名的矛盾矩阵。

根据因果分析，字段分类过度的原因之一是文本型数据过度，而模型对文本型数据处理能力差。如果减少文本型数据，虽能改善模型适应性，但将降低其准确率，即恶化参数可靠性。根据矛盾矩阵一，根据发明原理No.24中介物的启示，针对文本型数据过度的问题，可将文本型数据转化为数字型数据。比如，可将客户投诉的问题归类为是否办理问题，再转化为10，这样即可把文本型数据转化为数字型数据。

同样，针对影响升级投诉预测模型准确率的其他原因进行技术矛盾分析，构建矛盾矩阵，利用发明原理得出了其他几个解决方案，如表2所示。

2.3.3 基于物理矛盾与分离方法的问题求解

物理矛盾即针对系统中某个参数提出了两种不同的要求，如某个参数既要出现又不存在，或既要高又要低等。物理矛盾分析是TRIZ中常见的解决问题的方法之一，解决物理矛盾的指导思想是实现矛盾双方的分离，分离的方法有空间分离、时间分离、条件分离和系统分离。

升级投诉预测模型准确率低即模型输出目标用户命中率低，命中率低时对模型本身要求也低，模型适应性好。如果模型输出目标用户命中率高则模型准确性高，但模型适应性差。这属于物理矛盾，可采用空间分离的方法，根据文献[1]，空间分离方法对应的发明原理有10个，针对本问题可采用原理No.3局部质量，结合局部质量原理的内容，可对预测错误的数据进行局部分析，在大模型框架的基础上，再建立一个小模型局部训练这部分数据，提高模型准确率。

同样，针对影响升级投诉预测模型准确率的其他原因进行物理矛盾分析，采用分离方法，利用发明原理得出了其他几个解决方案，如表3所示。

2.4 方案评估及方案决策

所得方案的可行性均良好，可依次进行尝试验证。因此，为提高升级投诉预测模型准确率，首先可对用于建模的数据进行梳理；其次针对建模数据低耦合性问题，可增加关键变量；再次针对模型本身问题，可进行参数调优；最后对于预测错误的样本，可在大模型框架不变的基础上，建立一个小模型进行局部二次训练，提高模型准确率。

3 结束语

本研究从TRIZ指导创新的角度，运用裁剪、技术矛盾分析与矛盾矩阵、物理矛盾分析与分离等创新方法，得出了提高升级投诉预测模型准确率的8个方案，并在试验中得以验证，能大幅度提高模型准确率。此研究说明TRIZ理论完全可应用于数学建模，为科研和技术难题的攻关提供新思路。这是TRIZ理论在数学建模领域应用的一次有益尝试，也为其在非技术领域的全面应用提供了借鉴。

参考文献

[1]创新方法研究会创新方法教程（初级）[M].北京：高等教育出版社，2012.

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关键词：原油；化学计量学；校正理论；粘度；催化裂化 R语言

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2012）28-6815-05

原油炼制技术研究，必须建立在系统深入认识原油化学特性的基础上，以石油化学为理论依据，以提高汽柴油等液体产品收率为目标。因此，实验室开展了对原油深入的化学评价分析。最终，利用分析数据建立了原油数据库。目前，如何利用先进数据分析方法对数据库中的原油评价数据进行有效地分析成为实验室面临最主要的研究问题，通过此项研究，以便提出原油的性质组成及反应性能关联预测模型，获取更多关于原油的知识，并为原油优化加工技术开发提供技术基础。为此，本文的研究重点是在前人大量对原油实验研究的基础上，利用所收集的原油分析实验数据，结合化学计量学校正理论，研究原油性质组成和反应产物分布的预测方法。

1 实验

1.1 原油性质和反应数据收集

分别测定原油原料的性质组成，性质组成包括密度、残炭、粘度、平均分子量、元素含量（H，C，N，S）、H/C、金属Ni和V的含量、饱和分、芳香分、胶质和沥青质。同时，还要对原油的原料进行催化裂化反应[1]和热转化反应性能的研究。最终，将性质组成和反应数据存储于数据库，为下一步数据分析提供数据基础。部分原油催化裂化反应数据见表1。

1.2 化学计量学校正理论

校正理论是化学计量学最重要的组成部分，所谓校正就是利用化学量测系统或数据和已有被研究体系的知识或信息，采用适当的统计学方法建立的一个模型，然后利用该模型定性或定量分析未知对象或样品，并预测被分析对象各方面信息的过程[2]。原油的性质和反应数据经测定收集后，利用校正理论方法，便可以建立性质与性质、性质与反应产物分布的定量数学模型，最后利用该模型定量预测未知原油样的性质和反应产物分布数据。

本文选取了六种常用的校正理论建模方法建立定量数学预测模型，六种方法包括：

原油性质组成数据和反应数据作为模型的训练数据，利用多元线性回归方法，求解回归系数β，便可以建立性质与性质、性质与反应产物分布的数学关联模型。最后，将未知原油的性质数据输入数学模型，就可以达到定量预测未知原油性质和反应产物分布的目的。

2）逐步线性回归（Stepwise Regression，SR）

参加多元线性回归（MLR）的n个原油的性质特征量x1，x2，…，xn中，单独观察时有些性质特征量x与因变量y（性质或反应产物分布）的相关程度很密切，有些性质特征量x显得不重要。若把这些不重要的特征量保存在回归方程中，不仅增加计算工作量，而且会增加方程的不稳定性[4]。因此，希望从n个性质特征量中选出与预测值因变量y最密切，最具有代表性的性质特征量x。为此，本文采用逐步线性回归法，在原油的性质中，分析选出与需要预测的原油的某个性质或某个反应产物分布关系最为密切的关键性质，作为线性回归方程的自变量x。

3）主成分回归（Principal Component Regression，PCR）

若原油性质特征量相互间无“共线性”（原油性质自变量呈线性、无干扰和无变量间的相互作用）问题，则利用多元线性回归方法建立的数学模型可以达到很高的预测精度[5]。但原油分析中数据总是带有误差，此时将多元线性回归建立在整体性质数据矩阵的基础上，就会造成模型失真，降低预测精度。为此需要采用主成分回归法，首先对原油性质做主成分分析，选取重要因子，然后采用常规多元回归分析方法建立重要因子与待预测性质或反应产物分布的数学模型。可以看出主成分回归实际上是主成分分析和多元线性回归的组合。

4）偏最小二乘法（Partial Least Squares，PLS）

偏最小二乘法（PLS）是化学定量校正理论最常用的一种方法[6-7]，PLS模型建立过程见图1。在预测原油性质或反应产物分布过程中，利用训练数据（数据库中的原油性质、反应产物分布数据）和偏最小二乘法，首先求出系数矩阵b，建立多元线性模型，输入未知原油的性质组成数据，便可以得到预测结果。

偏最小二乘法与主成分回归有着相同的模型结构，主成分回归（PCR）的主要目的是要提取隐藏在自变量矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值，这种方法可以保证只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降。偏最小二乘回归可以解决这个问题，它采用对变量X和Y都进行分解的方法，从变量X和Y中同时提取因子，再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列，要建立一个模型，只要决定选择几个因子参与建模就可以了。

5）非线性回归最小二乘法（Nonlinear Least Squares，NLS）

一般的非线性回归模型可以表示为[8]：

本文中，X是原油性质数据矩阵，β为待估计的参数向量，y是准备预测的原油的性质或反应产物分布，ε为随机误差。函数形式f（·）是已知的。与多元线性回归法类似，求取β，便可以建立非线性回归数学预测模型。

6）支持向量机（Support Vector Machine，SVM）

支持向量机于1995年由Vapnik首先提出，它是一种监督式学习的方法，它广泛的应用于统计分类以及回归分析中[9]。支持向量机的体系结构如图2所示。

本文中，X为原油性质矩阵，K为支持向量机的核函数，本文核函数选取为“radial basis”，b为偏置项，a为权重向量，则预测的原油性质或反应产物分布结果为：

1.3 校正理论模型开发软件

本文所有化学计量学方法都由R 2.13.0（http：///）开发，所用到的工具包（Packages）有：stats、e1071（LIBSVM）、ChemometricsWithR、MASS和chemometrics。

2 结果与讨论

利用化学计量学校正理论的目的就是为了建立性质与性质、性质与反应产物分布之间的数学预测模型。本文采用了六种不同的方法建立数学模型，各种方法在实际应用中存在不同（见表2）。例如：MLR、SR、PCR和PLS为线性方法，而NLS和SVM为非线性方法；在数据建模前，PCR、PLS和SVM需要对数据进行标准化处理，消除量纲和数量级不同引起的不引人注意的权重，而且这三种方法是将主成分分析后的因子作为自变量进行数据建模的；在数据建模过程中，PCR和PLS需要对特征参数“ncomp（Number of Components，主成分因子数）”进行优化，SVM需要对特征参数“gamma”和“cost”进行优化，达到对数据模型优化的目的。

本文为了研究化学计量学校正理论在原油数据分析中的应用，根据所收集的原油数据，重点分析研究原油粘度的预测，对原油反应产物分布预测进行探索性研究。

2.1 原油性质预测

粘度是评定原油流动性的重要指标，表征其分子间相对运动时因摩擦而产生的内部阻力大小，是原油加工、过程模拟等设计必不可少的基础物性数据。随着原油馏分的变重、沸点升高，其粘度增大。但在粘度测定过程中，升高温度会导致原油裂解，而且采用旋转粘度计法测定粘度，误差较大，因此有必要寻找新的预测粘度的方法。本文利用所收集的原油性质数据，结合化学计量学校正理论的六种方法，分别建立粘度的预测模型。

因为粘度分布范围很宽且不均匀（见图3），所以在关联过程中一般取粘度的对数与其它性质关联，取对数后的粘度箱线图见图4。

在数据建模过程中，粘度取对数后作为模型的因变量y，而其它的13个性质（密度、残炭、平均分子量、元素含量（H，C，N，S）、H/C、金属Ni和V的含量、饱和分、芳香分和胶质）作为模型自变量x。

首先，经多元线性回归（MLR）建立预测数学模型，并对数学模型分别进行方差分析与t检验。t检验结果给出了每个因变量的回归参数、常数项值、标准差、t值和相应的P值（见表3）。由方差分析可以得出模型的P = 2.2e-16 < 0.0001，故预测粘度的模型是有意义的。由t检验结果可见：密度、残炭、N含量、Ni含量和V含量回归参数的P值小于0.05，可认为这些自变量对粘度有显著的影响；而平均分子量、C含量、S含量、H/C、饱和分和芳香分回归参数的P值远远大于0.05，可认为这些自变量对粘度没有显著的影响；其它几个自变量，H含量和胶质对粘度影响则不太显著。

通过以上t检测结果，可以看出有些自变量对粘度没有显著影响，出现这种结果可能的原因是自变量之间存在“共线性”。因此，可以利用逐步线性回归法（SR），剔除一些变量，最终回归模型中，自变量均为显著的，也就是说最终用于建立粘度预测模型的原油性质对粘度都有显著的影响。利用逐步线性回归建立数学模型，由方差分析可以得出模型的P = 2.2e-16 < 0.0001，故预测粘度的模型是有意义的。由t检验结果可见（见表4），所有自变量P值都远远小于0.01，说明这些性质都对原油粘度有显著影响。

以上四种方法均为线性方法，本文还利用非线性回归最小二乘法（NLS）和支持向量机（SVM）两种非线性方法建立预测粘度的模型。其中SVM为人工神经网络技术，具有较强的人工智能功能和模拟多元非线性体系的能力，与传统的线性回归技术相比，它不仅具有自适应和自组织功能，可以很好的描述复杂关系的内在特征。SVM利用训练数据（数据库中的原油性质、反应产物分布数据）和优化算法分别得到特征参数“gamma”为0.4和“cost”为4，模型的核函数选取“radial basis”。另外一种非线性方法NLS通过优化选取自变量x，建立粘度预测模型为：

数学模型中，Viscosity为原油的粘度，Carbon Residue为原油的残炭，Molecular Weight为原油的平均分子量。

最终，利用数据库中的原油性质数据和上述六种校正理论方法，分别建立了数学模型，然后利用这些数学模型分别对20种原油油样的粘度进行预测，预测结果比较见表5，通过表5中各种方法预测值与测量值的决定系数可以看出，人工神经网络方法支持向量机预测结果最好，其它方法也能够达到较为准确预测原油粘度的目的。

此外，通过图7也可以看出支持向量机预测粘度值与实际测量值接近，达到较好的预测效果。

2.2 原油反应产物分布预测

通过上述六种方法预测原油粘度的结果来看，都能较为准确的预测原油的粘度，其中以人工神经网络方法支持向量机预测（SVM）结果最为准确。因此，本文将支持向量机也利用于原油反应产物分布的预测，用于预测原油催化裂化汽油的分布。

同样，在数据建模过程中，原油催化裂化汽油产物分布作为模型的因变量y， 13个原油关键性质（密度、残炭、平均分子量、元素含量（H，C，N，S）、H/C、金属Ni和V的含量、饱和分、芳香分和胶质）作为模型自变量x。

SVM利用训练数据（数据库中的原油性质、反应产物分布数据）和优化算法分别得到特征参数“gamma”为2和“cost”为4，模型的核函数选取“radial basis”，建立数学模型后，对32种原油的催化裂化汽油产物分布进行预测，预测结果与实际测量值的决定系数为0.96，两者之间的关系见图8。

从决定系数和图8中可以看出，通过人工神经网络方法支持向量机（SVM）建立的数学预测模型同样可以对原油反应产物分布有很好的预测效果。

3 结束语

1）利用化学计量学校正理论六种常见方法，将数据库中存储的原油性质数据作为训练数据，建立原油粘度预测模型，经过对六种预测模型的数学分析和比较，六种模型都可以对原油粘度进行准确的预测，其中以人工神经网络方法支持向量机预测结果最为准确。

2）利用人工神经网络方法支持向量机建立原油催化裂化汽油分布预测，同样可以达到很好的预测效果。从分析过程来看，如果要达到好的预测效果，要尽可能多的提供训练数据，如果训练数据过少，会影响到人工神经网络的预测效果。

参考文献：

[1] Xu C，Gao J，Zhao S，et al.Correlation between feedstock SARA components and FCC product yields[J].Fuel，2005，84（6）：74-669.

[2] 史永刚.化学计量学[M].北京：中国石化出版社，2010.

[3] Kapur G S，Ecker A.Meusinger R.Establishing Quantitative Structure?Property Relationships：（QSPR）of Diesel Samples by Proton-NMR & Multiple Linear Regression（MLR）Analysis[J].Energy & Fuels，2001，15（4）：8-943.

[4] 梁朝林，沈本贤，刘纪昌，等.用延迟焦化逐步回归法模型预测焦化产物的分布[J].华东理工大学学报：自然科学版，2009（2）：91-185.

[5] Varmuza K.Introduction to Multivariate Statistical Analysis in Chemometrics[M].CRC Press，2009.

[6] 褚小立，许育鹏，陆婉珍.偏最小二乘法方法在光谱定性分析中的应用研究[J].现代仪器，2007（5）.

[7] Molina，Uribe U N，Murgich J.Partial Least-Squares（PLS）Correlation between Refined Product Yields and Physicochemical Properties with the 1H Nuclear Magnetic Resonance（NMR）Spectra of Colombian Crude Oils[J].Energy & Fuels，2007，21（3）：80-1674.

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为了适应经济高速发展的背景下对人才知识结构的需求，在要求学生具备自然科学知识、经济管理知识、工程技术知识、专业知识的同时，更加注重获取知识能力、应用知识能力和创新能力的培养，突出专业面向和专业内涵。（1）促进知识、能力、素质的协调发展信息与计算科学专业是设立在数学学科下的一个理科专业，而非“第二个计算机专业”。因此，本专业的主体构成是科学计算或信息科学与数学的交叉。加强学生全面素质的培养，注重学生的数学基础。在学校公共必修课平台上，认真合理开设学科必修课，加强学生的数学基础训练，充分体现整体优化，处理好各教学环节之间的关系。注重对学生的信息与计算科学专业基础知识和能力的培养，坚持“重基础、宽口径、素质高、能力强”，增强学生的就业适应能力，充分发挥学生的后发优势。（2）强化学生的综合优势特色在坚持统一性、保证人才培养基本质量的原则下，充分发挥优势学科的作用，加强实践环节的培养，使学生能有一技之长。在强化人才培养的基础教育的同时，注意对学生的工作适应能力的培养，这主要体现在基础课程的知识教学和能力培养上，保证学生在计算机能力和英语能力方面受到足够的训练。强化数学建模课程，强化数学软件开发和应用能力的培养，增强创新能力培养，强调数学技能在解决实际问题中的应用，从而让学生在较大的范围内寻求发展。（3）根据学生实际，采取因材施教的方法注重学生的个性发展和培养模式的多样化。以市场需求为导向，根据人才市场的需求和本校的实际条件设定专业方向。根据调研和其他信息渠道获得的人才市场反馈的信息，强化人才培养的针对性，根据学生毕业后的岗位技能要求设置相应的专业课和专业方向选修课。使学生在毕业后能尽快地适应这些岗位的工作要求。就专业技能而言，相对较窄较强，以形成自己的特色；而在基本能力方面，相对较宽，以增强就业适应能力。宽窄结合且适度。大力加强计算机应用基础和英语等必备工具性课程的教学力度，大幅度提高学生的计算机应用能力和英语应用能力，采取有力的措施，加强素质教育，增强学生就业的竞争力。

二、探索构建实践教学体系，培养学生的综合应用能力

实践教学建设与改革，改变了过去按理论教学主线设置实践课程及实践项目、实践教学资源分散、使用效率低下的状况。坚持理论联系实际，以知识结构及能力体系为主线设置实践课程，按照分阶段、分层次、模块化的思路，构建了有利于培养学生实践能力和创新能力的实践教学体系，实现“教学体系科学化、教学内容综合化、实践形式多样化、教学资源共享化”的建设目标。通过强化实验教学的方法，构造学生培养的“知识传递———能力培养———能力运用———知识升华”完整链条，培养学生的自学能力、创新意识和创新能力，真正达到“知识教育”“创新教育”的有效结合，这是提高学生在经济全球化背景下的竞争能力的有效手段。

（一）强化实践能力，强化计算机应用能力

以数学建模为龙头，以计算机应用技术为基础和手段，培养具有在社会、科技各个领域开展应用数学解决实际问题的实用性人才。更重视数学基础、计算方法和技术，计算机软件技术的培养，使本专业的学生在软件的开发、使用和维护方面更具有优势。激励学生把理论知识和实践紧密结合起来，确保学生具有一定的创新能力。在课程设置上，突出计算机应用的基础作用，计算机类课程在设置的课程中占有很大的比重。注重计算机教学四年不断线，使学生既能掌握网络知识，又能熟悉计算机软件的开发应用。坚持“强化实践创新能力，强化计算机应用能力”的原则，确保每个学期都有实践、实验、课程设计等课程，锻炼学生的实际操作和动手能力。大学四年中，共开设的实践类课程有：大学物理实验、数学软件与实验课设、数学建模课设、数据库课设、高级语言程序设计课设、计算方法课设、运筹学课设、证券投资学课设、毕业实习和毕业设计。

（二）增设实验项目，提高学生的应用能力

通过对实验教学体系的研究，根据我校实际情况，增设一些实验项目，增强学生的学习兴趣、提高学生的数学知识应用能力，目前已开设的实验项目类别有：（1）数学软件与实验课设（Matlab数学软件的使用、用曲线图形研究函数的特性、矩阵的基本运算、矩阵特征值和特征向量、微分方程、随机实验、假设检验等）；（2）计算方法课设（插值、数据拟合、定积分计算、方程组求解、矩阵分解等）；（3）数学建模课设（初等模型、规划模型、微分方程模型、图论模型、概率统计模型、时间序列模型等）。

（三）开设数学课的综合训练，加强数学知识和专业知识的掌握

由于理论课程教学时数的限制，学生所学知识呈现“支离破碎”的情形，使学生认识不到各种数学知识之间的联系以及在解决具体问题中的相互作用，特别开设专业基础课程设计和专业方向课程设计。要求学生从整体上系统把握数学知识，了解专业发展现状，培养自主学习能力、知识研究能力、解决具体问题的能力，有利于巩固、消化学生所学知识，拓宽学生视野，有利于学生得到全面的训练，有利于培养学生的创新思维和能力。

三、小结

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关键词：高等数学；数学实验；MATLAB

当前国家正在深化高等职业教育深层次的重大改革，加大力度推动生产、服务第一线真正需要的应用型人才的培养。高职高等数学教学改革呼声最响亮的就是开展数学实验。所谓数学实验，就是利用计算机系统作为实验工具，以数学理论作为实验原理，以数学素材作为实验对象，以简单的对话方式或复杂的程序方式作为实验形式，以数值计算、符号演算或图形演示等作为实验内容，以实例分析、模拟仿真、归纳总结等为主要实验方法，以辅助学教学、辅助用数学或辅助做数学为实验目的，以实验报告为最终形式的上机实践活动。在高职高等数学教学改革探索中，海南软件职业技术学院在本校部分高职专业开设了数学实验课。

一、基于MATLAB的高等数学实验平台

MATLAB是由美国MathWorks公司开发的集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体、功能强大、操作简单的语言，是国际公认的优秀数学应用软件之一。MATLAB的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。附加的工具箱（单独提供的专用MATLAB函数集）扩展了MATLAB环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题。

二、在数学教学中融入数学实验的模式

在高职数学教学中融入数学实验，既要适应高职学生的学习特点，又要符合高职教育的培养目标。因此高职数学教学中穿插数学实验主要偏重于利用计算机解决问题的方法，而不是复杂的数学建模过程。我校开展的数学教学中穿插数学实验的教学模式如下：

第一层次的教学：验证型实验。首先讲授高数某个内容，讲解其定义、性质及基本的解题运算，再让学生在数学实验中运用MATLAB验证相关定理、公式，并运用其来求解相关数学问题。目的一是让学生熟练掌握MATLAB的语句和功能，为后续实验打下基础；二是通过验证数学性质（包括定理、公式等），加深对数学概念、公式、定理、方法的理解，提高记忆效果。如：一元函数作图、求极限、求导、求积分、求解微分方程、线性代数中的行列式、矩阵的运算、线性方程组的求解、绘制空间曲线与曲面、概率统计的参数估计、正态假设检验等等。

例如：计算二重积分，其中。

解：令，将直角坐标系转化为极坐标进行积分，即

通过这类实验可以培养学生的动手能力，使学生在“做数学”的过程中加深对数学概念、公式、定理、方法的理解。

第二层次的教学：探索性实验。教师针对不同专业的学生，精选经典案例进行实验。目的是通过对经典案例的深入研究，体会其蕴涵的数学理论的基本思想和典型方法，加深对数学的感性认识。更重要的目的是将抽象的数学置于具有现实意义的背景中，突出数学的应用性，激发学生学习数学的热情。例如对于经济类的学生，我们选取投资风险分析、财务分析、购房贷款等内容做为实验的内容；对于计算机专业的学生，实验内容涉及数值方法、图论、运筹等方面的内容。

结合各专业的需求开设专门实验，让学生利用掌握的实验知识，独立利用计算机去编程、去计算，并注重解决问题的多样性，极大地提高了学生的数学知识应用于专业知识的能力。

第三层次的教学：综合型实验。综合型实验的目的是进一步掌握MATLAB的各种用途，并利用MATLAB进行数学建模。教师根据学生的学习程度，以学生专业为背景，设计一些综合实际问题的应用型案例。例如节水洗衣机案例、地中海鲨鱼问题、最优投资方案等等。要建立数学模型，首先要把现实问题转化成数学问题，这个环节要求对数学符号、数学语言的准确把握，才能促成下一步建立合适的数学模型。

在教学实践中，由于高职学生的数学水平普遍低于优秀本科学校学生，我们往往会给学生提供一些建模的准备材料，提供一些思路。经过一些不同问题建模的对比研究，大多数学生能自己去探索问题的数学模型，并能检验结果、改进数学模型、预测未来。

三、改变传统的考核方式

我校数学实验的开展形式是高等数学传统教学穿插数学实验，据此对于高等数学课程期末考核方式进行了恰当的调整，高等数学课程考试成绩占50%，实验考核占30%，平时占20%。实验考核包括检查学生平时的实验报告；检查学生对实验基础知识、基本方法、基本技能的掌握程度；学生参加数学建模活动的成果等。改变考核方式并不是削弱了对高等数学的要求，相反，更加重视高等数学知识的实际运用能力，是符合时代要求的高职高专教学改革方向。

总之，开设数学实验是数学发展的需要，更是高职高专院校培养创新型、实践型专门人才的需要。我校的高等数学与数学实验异步交替式教学，能够加深学生对数学知识的理解和巩固，增强数学兴趣，深化数学体验，增强创新精神，提高数学应用能力，养成用实验方法解决数学问题的习惯。

参考文献：

［1］ 王积建.高职院校实施数学实验课程的研究［J］.职业教育研究，2007，（1）.

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【关键词】 经济应用数学 数学建模 教学实践

近几十年来, 随着社会的不断进步和科学技术的迅速发展, 数学的应用范围在不断地扩大, 早已突破了传统的范围,扩展到包括生物、化学、医学等极其广泛的领域。特别是在经济、管理领域,存在着大量的数学定量和最优化问题, 亟待研究与开发。

经济应用数学的教学现状

经济应用数学课程是经济管理类统设必修课, 包括微积分、线性代数和概率论与数理统计课程。传统的经济数学课程无疑在打好学生的高等数学基础、培养学生的自学能力以及为后续课程的学习等方面起到相当大的作用。然而它的局限性也逐渐明显。现行经济数学课程存在的主要问题有：

在教学内容上, 传统的经济数学教材仅仅是数学专业教材的简写本, 部分教材更像一本题解。传统的教学和教材内容过分强调细节而将现代经济学、管理学中所需要的丰富的数学内容排除在外。现在的经济、管理中的问题很多是不确定的优化问题。但是大量的学时花费在计算、解题技巧等一些细节上, 以至于微积分和线性代数中有部分知识点没有时间讲, 使概率统计的学时被压缩, 导致了经济数学的教学内容与经济、管理学科的需要知识严重脱节。

在教学方法上, 传统的教学方法过于注重教师的作用, 以教师为中心的注入式、保姆式的教学方法占主导地位。体现在过于注重概念、定理的推导和证明、计算以及解题的技巧, 过分强调数学的逻辑性和严密性, 使学生觉得数学相当抽象, 从而对数学问题望而却步, 使数学远离我们的世界, 远离我们的日常生活。课堂教学中师生缺乏互动, 课堂常常是老师的“一言堂” 。学生完全是被动的学习, 长此以往, 不但无法使学生真正掌握所学的知识, 而且会助长学生的依赖心理, 养成思想懒惰的习惯, 严重妨碍学生创新意识和创新能力的培养, 更不要说将所学的知识运用到具体实践中去。在教学手段上数学的教学仍主要停留在粉笔加黑板的传统方式上, 这种方式在数学教学上虽然是必要的, 但是也有很大的弊病。如效率低下, 图形既不准确, 也缺乏动态效果等等。这就需要对传统的教学方式进行改革, 将现代化的技术手段引人到教学实践中。

在应用上, 数学的应用停留在古典几何和物理上, 忽视数学在经济、管理中的运用, 导致学生认为数学没有用, 主动应用数学的意识淡薄, 不利于培养学生运用数学知识解决实际问题的能力, 且不能满足后续专业课的需要。此外由于缺乏实践的机会, 使得理论和实践严重脱节。这导致学生产生数学无用论的观点, 甚至有部分学生数学学得还不错, 可是遇到实际问题就不知道怎么解决[2]。

国内外数学教学改革的趋势, 越来越注重数学的应用性。因此在教学中应注意将数学理论与经济问题相结合,加强应用能力的培养,把经济数学模型渗透到经济数学课程中。通过数学模型可以提高学生的实际操作能力和理解力, 通过教师的教和自己的实践达到百闻不如一练的效果。

如何加强对经济应用数学模型建模能力的培养

把数学与客观实际问题联系起来的纽带首先是数学建模, 一个好的数学模型往往要通过创造性的思维和大胆探索才能建立和改进。因此, 数学建模的基本知识已成为经济管理人员所必备的基础知识,而专业的应用数学工作者和经济理论研究者更需要具有熟练的数学技巧和丰富的想象力。

经济应用数学模型的两大应用方向为经济理论研究和实际经济管理的需要。我国对经济应用数学模型的研究,开始于20 世纪60 年代初, 但长期以来一直没有很大的进展, 这与从事数理经济学研究和应用的工作者向经济理论工作者普及经济数学方法和模型不够有关[1]。近年来, 随着社会主义市场经济体制的建立和不断完善, 数学模型( Mathematical Model ) 在经济管理领域的应用迅速发展, 社会经济建设过程中对专门人才的需求也日益扩大。因此, 高等院校在担负培养相关人才的同时更应加强这方面的理论研究。经济管理领域常用的数学模型有投入产出模型、经济计量模型、回归模型、时间序列模型、线性规划模型、系统动态模型和状态空间模型等等, 每一种模型都有自己的优点和局限性, 综合运用可使它们取长补短、相得益彰。在经济领域里, 应用最为广泛的模型是运筹学模型(Models of Operations Research) , 简称ORM, 常见的有运输模型、分配模型、网络模型、存贮模型、排队模型、可靠性模型、对策模型、动态规划模型、最优控制模型等, 每一种具体模型就是运筹学的一个分支。这类模型的一般形式通常为

其中x = (x1, x2 , .., xn 是由一组决策变量x1, x2 , .., xn 构成的n维向量;f1(x),f2(x), .. ,fp(x)是目标函数; g1(x),g2(x), .. , gm(x)是约束函数。

培养建立数学模型的能力是十分重要的, 这其中主要应注意培养以下几个方面的能力:

1) 理解实际问题的能力, 包括有广博的知识面, 搜集信息、资料和数据能力等;

2) 抽象分析问题的能力, 包括抓住主要矛盾, 选择设计变量, 进行归纳、联想、类比等创造能力;

3) 运用工具知识的能力, 包括自然科学、工程技术、计算机, 特别是数学知识等能力;