初中数学求代数式的值范文

导语：如何才能写好一篇初中数学求代数式的值，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

一、借用整体思想求值

例1：3x+2y=1+3m ①2x+3y=1-m ②满足 x+y

分析： 观察方程组中x和y的系数，发现两个方程中两个未知数的系数的代数和相等，因此可以用整体

思想。

解：①+②，得5x+5y=1+2m，即x+y= 。

因为x+y

即m的取值范围是m

评注：看到题目后不要盲目地计算，要善于观察，寻找题目的特点，从而寻找简便的方法。

二、巧用和差法

例2： 已知2x2+xy=7，xy+2y2=-5，则4x2-xy-6y2=___。（2013年全国初中数学竞赛训练题）

分析：4x2-xy-6y2中，其中代数式4x2、-xy和-y2，在已知的两个等式中可以用等式性质变形所得，然后用和差法。

解：因为2x+xy=7 ①

xy+2y2=-5 ②

①×2-②×3 得4x2+2xy-3xy-6y2=14-（-15）。

即 4x2-xy-6y2=29。

评注：本题考查学生的观察能力和探索能力，让学生在探索的过程中寻求解决问题，培养学生的创新意识和创新能力。

三、取特殊值

例3： 若x+y+1=0，则x3+y3+4x2y+4xy2+x3y+xy3+2x2y2

=- 。（2013年甘肃初一数学竞赛训练题）

分析：因为满足方程x+y+1-0的x，y有无数个，为了方便计算，可取满足此方程的一组特殊值x=-1，y=0直接代入待求的多项式中。

解：取方程x+y+1=0的一组特殊的解：x=-1，y=0，代入待求式得：原式=（-1）3+0+4×0+4×0+0+0+2×0=-1。

评注：常规解法是对待求多项式恒等变形，整理成x+y的新多项式（x+y）3+（xy（x+y）2+xy（x+y），然后再整体将x+y=-1代入计算，使用该方法对学生的代数式恒等变形的能力要求较高。而取特殊值，则简化了计算过程，提高了解题的效率。

四、设参数求值

例4：已知 = = ，求代数式 的值。（2013年全国初中数学竞赛训练题）

分析：已知条件只知道a、b、c三者之间的比例关系，是不可能求出各个字母的具体数值的。对于这种连比的题目，可设参数k进行代换求值，这是一种常用的方法。

解：设 = = =k，则a=4k，b=5k，c=6k。

当a=4k，b=5k，c=6k时， = =-21。

评注：此类问题，要求学生转换思路，代入参数，起到桥梁作用，最后又消去参数，从而解决问题。

五、利用因式分解法求值

例5：已知x2+x= ，求5x4+10x3+9x2+4x的值。（2013年全国初中数学竞赛训练题）

分析：常规解法是先从二元一次方程中解出，再代入待求式中，解出很麻烦。我们可以先将所求代数式恒等变形，看看能否利用已知条件。

解：已知条件可变形为5x2+5x-1=0，所以5x4+10x3+9x2+

4x=（5x4+5x3-x2）+（5x3+5x2-x）+（5x2+5x-1）+1=（5x2+5x-1）（x2+5x+1）+1=0+1=1。

篇2

【关键词】初中数学；概念教学；三步

概念是一种思维形式，反映的是人脑对现实对象数量关系和空间本质特征。在初中数学中，涉及概念多，对于教师而言，这些概念都较为简单，而学生从小学的基本数量关系认识要过渡到抽象的大量概念理解，存在一定困难。因此，在教学中，教师就需接着情境或问题或学生的已有基础知识来引入概念，引导学生在合作中对概念的本质属性进行分析，在应用中促进学生对概念的理解和升华。

一、创设情境，引入概念

概念是一种思维形式，故而具有抽象性。而初中学生的认知以直观为主，这就需要教师在教学中，结合相应的概念来创设一定的直观情境，借助问题引导，让学生形成过渡，从而认识概念。

以“图形的相似”的概念教学为例，学生们在生活中经常照镜子，看电影都会碰到相似图形，让什么是“相似图形”，要从生活认知过渡到理论描述，教师就可借助学生的生活常识进行。教学中，教师首先让学生准备镜子，玩照镜子游戏，看看自己能在镜子里看到什么，提出问题“镜子中的物体和镜子外的物体有什么相似之处？”接着以“说一说”活动来组织学生就生活中相似图形举例，再组织学生“画一画”相似图形，在此基础上，提出问题“两个相似的图形，他们的形状和大小有什么相似之处？”引导学生理解相似图形“形状相同，大小不同”的特点，进而为相似图形的学习奠定基础。

当然，在情境中，教师也可根据学生已有的知识，引导学生在对旧知识的分析上而引出新概念。如在“矩形”的学习过程中，教师先利用几何画板画出一个平行四边形，然后拖动其中的一点，直到该点对应的角变为90°，引导学生观察中获得对矩形概念的认知。

无论采用哪种方法来导入，在情境中，教师除了利用情境来激发学生兴趣外，还要结合教学内容而提出相应问题来引导学生思考，这样才能有效地促进学生对概念的理解。

二、合作探究，分析概念

引入概念后，让学生在自主学习的基础上通过合作探究来获得对概念本质属性的梳理就显得尤为重要。在这个过程中，教师借助问题，让学生在对问题的探究基础上总结，在分析问题中了解概念的本质尤为重要。

以“代数式的值”的概念教学为例，在本课时中，通过“了解”代数式的值的概念而学习求代数式的值的方法是重点。为此，教学中，教师先提出问题（1.a与b的和的平方；2.a，b两数的平方和；3.a与b的和的50%.）让学生用代数式表示。然后在用语言叙述代数式2n+10的意义的基础上，将2n+10编为应用题，利用特值法来引导学生讨论总结出“用数值代替代数式里的字母，运用代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值”的概念。接着以问题引入例题，在合作解决例题中提出问题“求代数式的值可以分为几步呢？在“代入”这一步，应注意什么？”让学生在应用概念解决问题的基础上归纳总结。

三、应用解题，理解概念

学生通过例题练习而对概念有了初步认识，但此时的认知还处于“模糊状态”，学生对“概念”还认识不足，这就需要教师借助练习来对学生进行操练。一般情况下，教师可根据教材中的练习来引导学生进行操练，但同时需要考虑到学生的个体差异问题。通常教材中的练习都可分为基础性练习、提升性练习两类。在教学中，教师可将学生分为上下两层，对上层学生而言，基础性问题他们自己解决，教师主要引导其对提升性练习进行操练，同时可以开放性试题为引导，培养其问题解决能力。

综上所述，在初中数学课堂教学中，教师要借助情境来引导学生从直观到抽象过渡，初步认识概念，在自主学习基础上合作分析概念，通过应用来理解概念，从而促进学生对概念的学习，提高其解决问题的能力。如在内错角和同位角的概念学习后设计如图1的开放题：要得到AD∥BC，只需满足什么条件？同样在全等三角形的概念学习后，设计如图2的问题：AB=DB，∠1=∠2，添加一个什么条件才能使ABC≌DBE？

对于基础较差的学生，在概念学习后，教师要以基础性问题来引导他们进行应用，在分析和解决问题中，要引导他们再次去熟悉概念，同时，要鼓励学生在分析和解决问题中描述概念，解决问题后总结，循序渐进地引导学生从概念到技能过渡。

总之，概念是数学学习的基础，在初中数学教学中，教师应从学生实际出发来引导学生，而不能将学生的错误简单归结为不认真、不专心的因素，做到因材施教，不断促进学生发展。

【参考文献】

[1]陈利军：浅析数学概念的教学[J]，学周刊，2011年13期。

[2]薛书果：创设情境在数学概念教学中的应用[J]，中学生数理化（高中版・学研版），2011年04期。

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根据中学数学教材编辑体系与撰写特点，常见最值问题分为数式型最值问题、几何型最值问题、函数型最值问题 。

一、数式型最值问题

（一）整除中最小公倍数法求最值

例1、设自然数x，y，m，n满足条件，则x+y+m+n的最小值是_____. （湖北省黄冈市竞赛题）

思路点拨 把连等式拆开用，用一个字母的代数式表示另一个字母，利用隐含整除条件，分别求出x，y，m，n的最小值.

解：1157 提示：x=y，m=y，n=m=y，因25│y，8│y，故y有最小值200.

（二）利用完全平方式的非负性质求最值

例1、设a、b、c满足a2+b2+c2=9，那么代数式（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2的最大值是（  ）. A.27 B.18 C.15 D.12

（全国初中数学联赛题）

思路点拨 利用乘法公式及完全平方式的非负性质，把代数式变形成与已知条件关联的式子，进而求出最大值.

解：选A 提示：原式=3（a2+b2+c2）-（a+b+c）2≤27

（三）配方法求最值

例1、当 x=___时，且y=____时，代数式的最大值为________。（2005年6月攀枝花学院学报第22卷第3期教育论坛：初中数学中常见的“最值”问题及解法）

解：=-（x2+2x+1）-2（y2-4y+22）+4

=-（x+1）2-2（y-2）2+4，因此，当x= ―1时，且y= 2 时，代数式的最大值为4。

二、几何最值问题

（一）利用几何中“两点之间线段最短”及轴对称相关知识，借助数形结合思想、整体思想求最值

例1、（2008.深圳）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是 。（江胡阳.超越中考数学配人教版 内蒙古大学出版社）

解：先找A点（0，3）关于X轴的对称点A1（0，-3），连接A1 B交X轴于点C， 连接AC。则C为奶站时，它到A、B两点的距离之和最小。即为

直角坐标系下的两线段之和最短问题，解决这类题的方法关键就是将两线段之和的长度展直用一条线段的长度来代替（通过一次作对称点，连结对称点与另一点来实现）达到将问题转化。利用两点间的距离公式就迎刃而解了。

（二）化隐为显，将立体空间里较为抽象的最短问题转化为平面里较为直观的最短问题。

例1、如图（1），已知圆柱体底面圆周的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_________（结果保留根式）. （.cn网2008第二十四章圆一章单元检测题）

分析： 因为是小虫从A沿圆柱表面爬行，要求最短路径可将圆柱侧面展开如图（2）所示的矩形，显然沿连接AC的线段爬行是最短路线.

解：如图（2），所求最短路线为线段AC的长度，

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关键词：初中数学；数学思想；数学方法

新《数学课程标准》指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”数学思想和方法是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁。在初中阶段，数学思想方法主要有：数形结合、分类讨论、整体、化归、转化、归纳、类比、函数、辩证、方程与函数的思想方法等。教师教会学生掌握数学思想方法是提高他们的数学素质、指导学生学习数学最关键的一环。

一、把握新《大纲》要求，创新教学方法

对数学知识和方法的本质认识就是我们说的数学思想，它是对数学规律的一种理性认识；解决数学问题的程序就是我们所说的数学方法，也是数学思想的具体反映。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程度时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。

1.明确《大纲》的基本要求，把握教学“层次”。“了解”“理解”和“会应用”是新《数学大纲》对初中数学数学思想、方法所划分的三个层次。在教学中要求学生“了解”的数学思想有数形结合、类比、分类、化归、函数等。方程的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。分类法、类经法、反证法等是在新《大纲》中要求“了解”的方法基本。消元法、待定系数法、降次法、配方法、换元法、图象法等是在新《大纲》中要求“理解”或“会应用”的方法。

2.从“方法”培养“思想”，用“思想”指导“方法”。对于初中数学来说，大部分的数学思想和方法都很模糊，难以放开。而且数学中的数学思想和方法在现阶段也还没有一个很权威的定义。只是数学思想比较抽象，是属于观念一类的；而数学方法是较具体的，是实施数学思想的手段。在数学教学过程中，要想使数学思想与方法得到交融，最有效的方法是引导学生理解和应用好数学方法，以达到对数学思想的了解。例如，从未知到已知、从一般到特殊、从局部与整体的化归思想，贯穿于整个初中数学之中，是初中数学的一个最基本的数学思想。新的初中数学课本中有消元降次法、换元法、配方法、待定系数法、图象法等许多数学方法。

二、培养学生的数学思想，训练用数学思维的解题方法

1.了解“数学思想”，培养“数学方法”。初中的数学知识还不多，学生也没有很强的抽象思维能力。因此，只能以数学知识为载体，在教学过程中渗透数学思想和方法。如《有理数》这一章，新教材少了“有理数大小的比较”这一节，但它的要求则贯穿在整章之中。学生在学习了“数轴”之后，就知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”。虽然没有正式地比较两个负数的大小，但学生头脑中已有了这种概念。这就是一种逐级培养学生形数结合思想的方法。

2.训练“数学方法”和理解“数学思想”。对于数学来说，有其非常丰富的数学思想，数学方法也很多，难易程度相差很大。在初中数学教学中一定要根据学生的具体情况分层次地进行渗透。这就需要教师在教学过程中认真地去挖掘教材中所蕴含的数学思想和方法，并对这些思想和方法认真分析，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学。如，在教学同底数幂的乘法时，教师可先引导学生观察同底数的底数和指数是具体数的运算，寻找其规律，归纳出方法。再研究底数用a表示，用m、n表示指数的一般法则，并进行具体的运算。在同底数幂的整个教学过程中，我们要分层次地渗透归纳和演绎的数学方法，使学生养成良好的思维习惯。

3.掌握“数学方法”，运用“数学思想”。要使学生形成自觉运用数学思想方法的意识，必须建立起学生自己的“数学思想方法系统”，这更需要一个反复训练、不断完善的过程。比如，反证法是几何中一种常用的证明方法，我们要根据初中学生的知识能力有选择地让学生证明有关问题，这样能够训练学生良好的思维品质和开阔视野。

三、教学案例

例1：已知a≠b，且a2-4a-1=0，b2-4b-1=0，求代数式a2+b2-ab的值。求解此题，若是通过解方程a2-4a-1=0，b2-4b-1=0，分别求出a、b的值，再代入代数式a2+b2-ab中求值，计算量大，很麻烦。若是引导学生对比观察a2-4a-1=0，b2-4b-1=0两式的形式相同，根据此特征，进行联想，把a、b看作是一元二次方程x2-4x-1=0的两个根，联想一元二次方程根与系数的关系，运用这种解题方法来处理此题，就简单多了。

例2：已知s、t是方程x2-3x-2010=0的两个实数根，则代数式（s2-4s-2010）（t2-4t-2010）的值是多少？对此题的求解，若先求出方程x2-3x-2010=0的两个根，再把求出的s、t的值代入代数式（s2-4s-2010）（t2-4t-2010）中进行求值，计算繁杂。若根据方程的解的概念，把s2-3s-2010=0、t2-3t-2010=0当作一个整体，代入（s2-4s-2010）（t2-4t-2010）求值，就简单得多了。

参考文献：

[1]胡庆芳.美国研究性学习的理论与实践[J].教学与管理，2009，

（03）.

[2]林益生.对当前数学教学的几点思考[J].成都教育学院学报，

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一、数学教学中的主要数学思想方法

数学思想方法源于数学知识和数学方法，是对知识、方法、规律的本质概括，对解决数学问题，是解题思想，也是思维方式，同时也是解题策略和程序。在数学教学中对学生进行思想方法渗透的同时，给予明确揭示，并引导学生把握，将会使学生突破模仿型解题的水平，形成较强解决问题的能力，培养创新思维能力。

在初中数学教学中，常见到的基本数学思想方法有五种，我进行了初步归整，并对各自的作用、特点和运作进行了简要的总结。

1. 化归

化归思想方法是指研究和解决数学问题时采用某种手段通过变换使之转化。具体地说就是把“新知”转化为“旧知”，把“复杂”转化为“简单”，把“抽象”转化为“直观”，把“含糊”转化为“明朗”。掌握了化归思想，学生的认识起点和认知水平会迅速提升，会在解决数学问题时，有意识地对问题进行分析、类比、联想，把未知的问题化归为已知问题 ，从而轻松地解决问题。

它的实施程序是：找准问题的化归对象——确定化归目标——探寻化归手段。　例如求四边形的内角和：把四边形转化（化归对象）为三角形（化归目标），需要添加辅助线，连接对角线（划归手段），四边形转化为两个三角形，通过三角形的内角和来研究四边形的内角和。

要培养学生的划归思想，教师应充分重视在实践教学过程中对学生进行化归训练，强化学生看透数学问题本质的意识，从而增强他们随机应变的能力。

2. 数形结合

数形结合思想方法是指解决数学问题时将数量与图形进行相互转化。数形结合可以使抽象的数学问题变得直观可见，有助于学生把握数学问题的本质，简化解决方法和解决程序。

在初中数学中，以下内容惯用数形结合思想方法解决：实数与点、函数与图像、曲线与方程。教师在培养学生数形结合思想方法时，要充分利用这几部分内容进行训练，引导学生认识到数形结合的对应性，揭示坐标系是数形结合基础这一特性。

3. 分合

分合思想方法是解决数学问题时将研究对象分解组合。具体地说就是把原问题根据涉及的范围分解为若干个新问题，分别求其解；然后通过组合其解而得到原问题的解。这种思想中具体使用的方法就是数学教学中经常说的分类讨论法。

在初中数学中，以下内容惯用分合思想方法解决：含字母的绝对值、一元二次方程根的讨论、解不等式组、函数增减性、弦切角定理。教师在教学中对学生揭示这种思想方法时，要引导学生在复杂度高、综合性强的问题中运用，使学生在领悟分合思想方法的同时，培养他们思考和分析能力，提高他们解题时的全面性和严谨性。

4. 不变量

不变量思想方法是解决数学问题时，抓住问题中经过运动、变换、操作后仍保持不变的量。面对变化繁杂的问题，要想抓住聚合点，找出关联，就必须揪住不变量这条重要线索，并把它作为解题的关键。

5. 整体思想

整体思想方法是从问题的整体性质出发，把某些部分看成独立体，根据它们与整体的关联，进行针对性的处理。具体使用方式包括整体代入、整体运算、整体设元、叠加叠乘处理等。例如用整体思想方法解方程，就是用方程中的某一个代数式整体去代入，解出代数式的值，再根据代数式的值解出未知数的值。

初中数学中，整体思想方法惯用于以下内容：代数式的化简与求值、解方程（组）、几何补形。在对学生揭示时，教师要在培养学生观察辨析能力的基础上，帮助学生构建从宏观和整体角度认识问题的思维模式。

二、数学思想方法在教学中的应用案例

1. 几何案例：多边形教学

题目：求四边形的内角和。

学生自主探究后，找出的解题途径有6种（如图所示）：

讲评后，组织学生讨论在这“一题多解”的背后，有什么共同的地方？（化归为三角形的内角和）

紧接着开始拓展 ：求这个图形的内角和 。

得出结论：多边形都可以化归为三角形（如图所示）。

本案例中用到的数学思想有：

化归——通过辅助线将“四边形的内角和”化归为“三角形的内角和”。

数形结合——几何性质的四个角之和，通过角的分割、转移与合并，转化为代数意义的求和式的拆项、交换与结合。

分合——图形的分割、转移与合并，代数和的拆项、交换与结合，都体现了分解与组合。

不变量——角A、角B、角C、角D进行转移、分合等变化，但和不变，体现了变动中的不变量。

2. 代数案例：方程的教学

题目：一元二次方程的基本解法。

学生总结出四种基本解法：开平方法、配方法、因式分解法、公式法。

组织学生讨论，四种解法有什么共同处？（降次）

得出结论：“降次转化”，是解一元二次方程各方法之“宗”。

本案例中用到的数学思想有：

化归——把一元二次方程通过分解化归为两个一次方程。

分合——把方程分解成两个因式，分别求值，再进行组合。

整体——在使用配方法和公式法中，将配方项作为一个独立的整体代入。

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关键词：初中数学 学生 思维能力 培养

数学科学发展到今天取得了辉煌的成果，为人类社会发展做出的巨大的贡献。从某种程度上说，数学的发展历史就是人类思维能力的发展过程，是人类智慧的结晶。数学中蕴含着人类无数的思想精华，是人们对世界对社会不断发展的过程。而初中数学作为数学科学的基础教育，也承担着培养学生数学综合能力和思维能力的使命，在整个数学教育中有着不可代替的作用。特别是在素质教育下，教育旨在培养学生的整体素质，这就包括了学生数学思想，乃至整个思维能力的培养。而其中学生独立思维能力的培养，在当下更值得广大教师重视。毕竟，在我国当前的教育模式下，大班教育是主要的形式，这就难免会出现学生学习模式化的可能，因此，强调对学生独立思维的培养，对学生的未来成长意义重大。所以，初中数学教师在实际的教学活动中，可以对学生适当的进行独立思维的教育和训练。

一、强调思维的多样性

初中数学是人类智慧的总结，体现了人类思维发展的成果，是一个内容丰富的思想体系。初中数学虽然只是基础教育，但是在素质教育观下，从培养学生综合素质能力的角度出发，初中数学知识的编排和问题的设置也是呈开放性、多元化的。因此，要想学好初中数学知识，就必须要从思维多样性的角度入手，在强调常规思维的基础之上，进行适当的拓展，为此才能应对各种数学问题，才能真正的把握数学的内在本质。初中教师在这一认识上，就必须要在教学中适当的尝试对学生进行多种思维的训练，力求在保证学生掌握多种思维方式的基础上，进一步培养学生独立思维能力。毕竟，对初中学生而言，进行跳跃式的、非常规的独立思维培养，是具有一定难度的，教师只有让学生在吸收多种思维内涵的前提下，才能更好地启发学生，让学生在学习中尝试独立思考，找到与众不同的思维方式。这就需要具体到数学问题解决上了。如已知：x2+x-1=0，求代数式2x3+4x2+3的值。在此题的解答中，教师可以在学生立足常规思维，利用原有思路进行解题的同时，进行不同思路的寻找，转变思维方式和方向。常规的思维是先求出x2+x-1=0的根，直接代入所求代数式，然后得出答案。这样的思维无可厚非，但是一方面是解题过程稍显繁杂，另一方面是在思维运用上没有跳出常规模式，对学生独立思维的培养缺少帮助。而如果学生具备多种思维方式，在此题的解决中，完全可以调到另一个思维方式，采用更简洁的方法进行解答。如运用整体思维。

解法一：x2+x-1=0，x2+x+1=2（其中x≠1）

x3-1=（x-1）（x2+x+1）

x3-1=2(x-1),即x3=2x-1

2 x3+4x2+3=2（2x-1）+4x2+3=4(x2+x-1)+5=5

解法二：x2+x-1=0，x2+x=1

2x3+4x2+3=2x(x2+x)+2x2+3=2(x2+x)+3=5

从以上两种解法可以看出，多种思维的运用不仅可以帮助学生快速解题，也可以拓宽学生解题的思维，增强学生解决数学问题的能力。多种思维并举，其实就是为学生寻找适合自己的数学思维方式奠定基础，就是要让学生尝试进行不同思路的探索，以此培养学生探究能力和独立思维的能力。

二、培养学生观察问题的灵活性

思维的前提是感知，感知的前提的观察。因此，要培养学生独立思维的能力，增强学生独立思考问题解决问题的能力，就得先培养学生的观察能力。只有从观察能力着手，提高学生判断问题和分析问题的能力，才能进一步培养学生的个性思维。一般来说，数学思维的形成，总是先要对问题有正确的认识，能看透问题背后的规律和实质，唯此才可能寻得思维的突破口。因此，初中数学教师应该在教学中注意培养学生的观察能力，落实到实际数学问题的解决中，也就是要培养学生审题能力。众所周知，良好的审题能力，是解题的关键前提，审好题才能把握问题的本质，才能找到最好的解题方法。

在这一问题中，如果学生照本宣科，按照去绝对值的思维去解题，那过程将是十分繁杂的，部分学生会因为解题的繁琐而产生错误，或者可能会产生思维混乱，陷入解题困境。但是，如果学生的观察能力较为突出，就会发现题目信息中隐藏的关键信息点4y-4≥0，即y-1≥0。

由此可见，思维的独立性，首先必须建立在观察的灵活性和灵敏性上。善于观察问题，才能找到问题的内涵，才能看透问题背后隐含的指引信息，才能在思维上形成突破。因此，初中数学教师应该在培养学生独立能力的时候，注意对学生观察能力的训练，让学生形成一定的问题意识和观察意识。

三、结束语

总之，在素质教育观下，培养学生的独立思维能力也是初中数学教育的重点内容，初中数学教师应该从学生未来学习能力的培养着手，加强对学生思维能力和观察能力等各方面的培养，从而从思想层面实现学生数学能力的发展。这对教师完成数学教学任务，提高教学质量也是意义重大的，因此，应该在教学策略上予以足够的重视。

参考文献：

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【关键词】初中数学；化归思想；应用分析

一、化归思想在初中数学教学中的体现

1.化归思想方法体现的结构性

初级中学数学分为代数和几何，我们将这两部分内容教材知识进行整理归纳，可以将蕴含在其中的较为零散的化归思想提炼，得到有序的知识结构网络。

代数部分分为数的运算、式的运算和方程三部分，数的运算部分，利用化归思想在小学加法基础上使加、减法统一得到代数和的概念；利用化归思想在乘法的基础上使乘法、除法得到统一；利用化归思想引入绝对值将有理数化为算术数的运算。式的运算部分，利用化归思想用字母代替数，根号中含字母的无理式、根号中不含字母的有理式和分母中不含字母的整式均可通过已学知识掌握。而方程的运算部分，等号连结代数式得到方程，不等号连结代数式得到不等式，利用化归思想方法将其化为式的运算，从而得到整式方程、分式方程和无理方程。利用化归思想可对整个初中代数知识有一个系统的了解，有利于学生把握知识间的关系，更好地掌握代数知识。

2.化归思想方法体现的条理性

初级中学数学教材中充分体现了化归思想的条理性。例如，新人教版七年级《数学》上册第一章中在小学数学的基础上引入了负数，开始进行有理数的运算。第二章在第一章的基础上利用字母表示数引入了代数式。此后，学习5x、-3a2b等数与字母的乘积的单项式，ab+3mn等单项式的和――多项式。只有学生明白字母代表数及代数式的意义后才能进行整式的学习。随后学习分式，而分式的运算思路正是通过化归思想把分式运算转化为整式运算。这样一环接一环的条理性在教材中还有很多，我们在教学中应充分整理帮助学生更好地理解化归思想。

3.化归思想方法体现的层次性

初中数学教材的安排体现了化归思想方法的层次性。教材的最基础内容包括有理数、代数式、平面图形及其位置关系和一元一次方程。平面图形首先是三角形的学习，随后学习了图形的旋转、平行四边形，平行四边形正是对三角形的进一步拓展。式的运算中，先是学习了整式，后又学习了分式，分式正是对整式的进一步深化。随后又学习了代数和几何的结合――函数，学习了反比例函数、二次函数，这正是对函数的进一步延伸。可见，化归思想方法蕴藏在教材中，我们应该充分领会教材中的化归思想，做到深入浅出，引领学生由简到繁领悟、掌握化归思想。

二、化归思想在初中数学教学中的应用

1.根据学科特点设计化归思想方法的教学

我们许多教师认为学生会做题就可以了，没有特别注重数学思想的教授和讲解，只是教授学生具体的做题方法和步骤，这种做法影响了学生对数学思想的认知和理解，不利于学生长远的数学思维的培养。数学思维是一种不同于其他思维的抽象性思维，教师无法用直观的图形将其表示出来，因此，造成了教学过程中对数学思想的忽视，也造成了学生在学习过程中的困难。小学数学由于学生的认知特点，因而教材的安排和其体现的数学思想停留在较为低级的阶段，而初中数学由于学生具备一定的抽象思维能力，因而教材中初步安排了一些数学思想的教授，特别是此阶段化归思想具有一定的基础性，需要教师根据学生的认知特点和教材特点设计好课程，把原有知识和现有新知识联系起来，这是一个长远、连续的规划，要求教师从整体把握教材。

2.精心设计训练，提高化归能力

教师不但要从思想上重视数学思想的教学，更要从行动中注重数学思想的训练。数学思想的理解和掌握离不开习题的练习。这就要求教师精心设计习题，使学生在练习题的训练过程中，培育、掌握化归思想方法。例如，我们可以设计一些典型例题，让学生运用化归思想解题，这对提升学生的化归能力和创新思维起着十分重要的作用。

3.利用动态思维，深化对化归思想的认识

数学问题的解决方法是多元的，作为教师我们必须指导学生根据问题本身，利用动态思维，思考问题的本质，指导学生整理化归过程，深化对化归思想的认识。

比如，圆周角定理的证明，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

先证明圆心在圆周角一条边上的这种特殊情况，对于圆心在圆周角内部和外部的一般情况都是转化成圆心在圆周角一条边上的特殊情况来证明。

已知：在圆O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠B0C，求证：∠BAC= 1-2∠B0C.

分析圆周角∠BAC与圆心0的位置关系有三种：

（1）圆心0在∠BAC的一条边AB（或AC）上，

（2）圆心O在∠BAC的内部，

（3）圆心0在∠BAC 的外部，

在第一种位置关系中，圆心角∠BOC恰为∠AOC的外角， ∠BOC =∠CAO +∠ACO （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），而∠OAC是等腰三角形（OA=OC=半径），即∠CAO =∠ACO，推出∠BOC =2∠CAO，也即∠BAC= 1-2∠B0C.这种情况很容易得到结论；在第二、三两种位置关系中，我们均可作出过点A的直径AD，将问题转化为第一种情况，证得结论。

以上的例题我们可以看出利用化归思想解题时，具体方法不一定相同，但可以在待解决的问题和已解问题之间架起一个联系的桥梁，这就是我们反思的关键。因此我们在学习中要不断地构建知识结构，形成知识网络。

4.注重化归思想与其它数学思想的结合

数学思想方法是相互依存的，化归思想作为众多数学思想中的一种需要其他数学思想方法的配合。例如化归思想和数形结合思想。数形结合思想将数与形相互转化，平面直角坐标系充分体现了化归思想和数形结合思想。我们以下题为例，说明化归思想与数形结合思想的结合。

例：在平面直角坐标系中，已知A（8，0）、B（0，6）、C（0，-2），连结AB，过C作直线l与AB交于P，与OA交于E，且OE∶OC=4∶5，求PAC的面积。

解：由C（0，-2）得OC=2

OE∶OC=4∶5

OC= 8-5 ，E（8-5，0）

设过A、B两点的直线AB的解析式为y=kx+b，则可得知

y=- 3-4 x+6

同理可求直线l的解析式为 y= 5-4 x-2

由AB直线和l直线可得P（4，3）

由此可求得AE= 32-5

SPAC= S PEA + SECA =1-2×32-5×3 +1-2× 32-5×2=16

学生掌握的数学思想越多，对数学问题的认识越深刻，解决数学问题的速度越快，为学生未来的学习打下坚实的基础。

在初中数学的教学中，我们要运用新课标理念，认识化归思想在教学中的体现，通过对学生认知特点和教材的分析，系统巧妙地探究化归思想在数学中的应用，提升学生的数学素养，培养学生解决数学问题的能力。

参考文献：

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整体思想是最基本、最常用的数学思想，简单地说，就是从整体上去观察、认识问题，从而解决问题的思想。运用整体思想，可以理清数学学习中的思路，可以使繁难的问题变得简单化。

一、运用整体思想理解基础知识

在平时教学中，常会遇到这样的现象，看似简单的问题，学生却常常会解错。如：当x取何值时，分式有意义？许多学生错答成x≠0；学生会分解二项式x2-y2，却不会分解16（2x+y）2-9（x-2y）2；知道平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，但不会简便计算多项式的乘法（x+2y-z+3）（x-2y+z-3），诸如此类，比比皆是。究其原因，是不会运用整体思想，不习惯将一个代数式看作一个整体进行运算。而整体思想的建立和运用是清除上述思维障碍的根本途径。

学生整体意识的形成与运用取决于教师对这类问题的长期训练。在教学中，教师要对学生的思维不断地、循序渐进地、有计划地进行引导和训练，使其能够纵观全局，从整体的角度去把握问题。

在学习用字母表示数时，通过实例让学生知道字母可以表示一个代数式。反之，将一个代数式看作一个整体，也可以用一个字母表示。

在学习乘法公式和因式分解时，应通过练习让学生进一步体会公式中的字母可以表示任意的代数式。反之，可将某一个代数式看作一个整体即相当于公式中的某一个字母。

在分式中，当分母的整体值不等于零时，分式才有意义，应避免将分母中的字母不等于零与分母不等于零混为一谈。

用换元法解方程的实质就是将某一代数式看作一个整体，然后用另一个未知数表示，从而把问题转化为简单易解的类型。

在几何问题中，常常需要把几个量的和看作一个整体，运用整体思想解题和证题。

下面举一个较典型的例子：ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，且∠BOC=110°，求∠A的度数。

分析：要求∠A，可以先求∠ABC和∠ACB的度数，再使用三角形内角和定理，但根据已知条件，这两个角是求不出的，如果能从整体的角度求出∠ABC+∠ACB，问题就解决了，显然∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=2（180°-∠BOC）=140°，从而∠A=180°-140°=40°

二、运用整体思想，巧解数学“难”题

对于有些数学问题，可以把它的某一部分或全部看成一个整体进行思考和求解，从而使问题化繁为简、化难为易。

整体思想的运用取决于整体意识的形成，然而，这种意识的形成并非一日之功，得靠长期的训练。

有一天，一位参加数学兴趣小组的学生拿来如下一道题向我请教，说此题缺少条件：

一个六位数最左边的一位是1，若将1移到末位，则所得的六位数是原数的3倍，求原六位数。

显然，若将原六位数设为105+104a+103b+102c+10d+e，就要列五个方程才能求解，的确少条件。但当设原数是形如1abcde的数后，就可将abcde看作一个整体，设为x，则可列出方程3（105+x）=10x+1，解得x=42857，所以原数为142857。

由此可见，运用整体思想解决上述问题条件就够了。

从整体去考查问题可以除去一些细节，使思维简化，难度降低，使问题得到巧妙地解决。下面再举一例：

甲、乙两人从相距1000米的两地同时相向而行，甲每分钟走60米，乙每分钟走40米，甲带了一只小狗同时出发，狗每分钟走100米，当狗遇到乙时立即返回甲处，遇到甲时又立即返回乙处，直到两人相遇，问小狗共走了多少路程？

许多学生在思考本题时，往往先求狗第一次遇到乙时所走的路程，再求狗返回遇到甲走的路程，如此下去，问题就变得很复杂。若运用整体思想，从开始到甲乙两人相遇狗一直在走，将狗走的总路程看作整体，只要求出狗走的总时间，而这个时间恰好是相遇时间。所以，只要设相遇时间为x分钟，显然，60x+40x=1000，x=10，从而狗走的路程为10×100=1000（米）。

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本文从教师的点拨，体会整体意识；学生领会整体思想，灵活运用解题；构造条件运用整体思想，提高思维能力三个方面进行论述.

【关键词】 整体思想；教师点拨；学生领会；灵活运用；构造条件；思维能力

在小学里，学生主要以学习数学的基础知识和进行基本运算为主. 进入中学后，学生的思维能力需要得到进一步的提升，《数学课程标准》的基础理念中也指出，数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法. 所以教师除了对数学的基本知识和基本技能的教学外，还要逐步渗透数学思想方法的教学，提高学生的思维能力和数学素养.

整体思想，是通过研究问题的整体形式和整体结构，抓住问题的特点，进行整体处理，它主要体现在以数、式、方程、函数的运算中. 如果学生能够从整体上去认识问题、处理问题，则会大大提高解题的速度和运算能力，也有利于培养发展学生的创造性思维.

但是数学思想的形成不是由老师强加给学生的知识，而是要依托在例题、练习的教学中，通过教师的点拨、引导，让学生自己体会、领悟，逐步成为自己的思想方法和思维意识. 对于初一学生来说，他们的知识基础和领悟能力还非常有限，那么教师在课堂中对思想方法的渗透教学，对学生头脑中的数学思想的形成、发展、巩固以及运用就显得尤为重要.

一、教师的点拨，体会整体意识

分析 “绝对值”这一概念在初中数学中是学生学习的重点，也是难点，在教学中教师不仅要关注概念本身的内容，也要让学生感悟到其中所包含着的数学思想. 化简含有绝对值号的式子时，先根据绝对值的性质化去每个绝对值符号，再合并同类项. 如|a - c|，由图形可知 a - c > 0，所以|a - c| = a-c，由于在绝对值符号中的a - c是一个整体在参与运算，所以将绝对值符号化去后仍然是一个整体，因此要通过添加小括号来体现.

评注 有理数、代数式的运算和化简是整个初中阶段代数部分的基础，对于初一学生来说，这部分内容是学习的重点、也是难点. 数学知识是数学思想的载体，数学思想要通过数学知识来体现，教师在教学中一方面要关注数学知识、计算方法、运算法则，另一方面也要关注隐含其中的数学思想，揭示其中的规律.

对于学生来说思想方法是一个相对比较陌生的词语，而且感觉比较深奥，在教学中教师要避免直接给出“整体的思想方法”的说法，而是要点明这些问题中蕴含的“整体观念”，结合题目让学生体会“整体”的意思，这样有利于学生的接受和掌握，也有助于学生感受数学思想的价值. 另外教师也要教会学生用整体思想解题的方法，如果要把部分的内容看成整体，要用括号将这部分内容括起来，体现这个整体，然后继续进行运算.

二、学生领会整体思想，灵活运用解题

评注 教材的编排是根据知识的发展体系进行的，而数学思想也就融入在数学知识体系中，所以在不同的知识教学中可以有共同的数学思想，这也就是数学知识点的本质.

经过一段时间的训练，学生已经初步具有运用整体思想解题的能力，会把题目中的某个代数式或某个方程看成整体，从一个更高的角度来处理问题，拓宽了解题思路，提高了思维能力. 在上述的两个例题中，如果学生运用常规方法解题，难度会比较大，运算比较麻烦，而如果运用整体思想解题，就可以简化计算过程，将复杂的问题简单化，会起到事半功倍的作用.

教学中教师可以鼓励学生采用多种方法解题，然后将各种方法进行比较，通过比较体现出运用整体思想解题的优越性，并且在一次次的总结归纳中帮助学生把这一数学思想纳入到已有的认知结构中，从而形成自己的思维理念.

三、构造条件运用整体思想，提高思维能力

例5 已知代数式x2 - 2x + 5的值为3，求代数式4x - 2x2 - 7的值？

分析 对于初一的学生还不会解一元二次方程，要解决这个问题不能通过解方程直接求x的值，而应该把x2 - 2x看成一个整体，求出x2 - 2x的值，再代入所求的式子中进行计算.

例6 计算1 + 2 + 22 + 23 + … + 220的值.

分析 观察式子的特点，每一个加数都是前一个加数的2倍，加数的变化规律是相同的，如果把整个运算式子看成整体，然后通过式子变形，构造条件将大部分的项抵消，计算出最后的结果.

解 设S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 220，则2S = 2 + 22 + 23 + … + 221，将2S - S = 221 - 1，所以S = 221 - 1.

评注 在这两个题目中整体思想不是可以直接运用，需要将题目中的代数式进行变形，构造可以整体代入的条件，从而解决问题. 用整体思想解题不仅使解题过程简捷明快，在构造条件、运用整体的思维过程中，学生的创造性得到了发展，思维能力得到了提高，解题方法得到了优化. 整体的数学思想方法在初一的数、式、方程的运算中运用的比较多，如果学生能够很好地掌握并在解题中正确地运用，能使复杂的问题简单化，大大提高解题的效率.

但是，并不是所有的题目都适合运用整体思想来解题，也并不是所有的知识中都能挖掘出相对应的数学思想，我认为数学思想在学生头脑中的形成必定有一个循序渐进的过程，一定是通过大量的铺垫、引导、水到渠成而形成的. 在教学中注意不要为了过分追求解题技巧而忽略常规的解题方法，所以学生的灵活运用就显得尤为重要.

数学思想是数学知识的精髓，也是知识转化为能力的桥梁，学生只有掌握了数学思想方法，才真正掌握数学的本质. 但是数学思想是隐含在数学知识背后的规律，是“无形”的知识，需要教师在教学中将其明朗化，将思想方法渗透在平时的课堂教学中. 特别是对于初一学生来说对数学知识的系统学习才刚刚开始，要避免把数学思想强加给学生，要引导学生参与探索知识的发生过程，体验数学规律，让学生在学习中逐步深入对数学思想的认识，逐渐形成自己的知识并加以灵活运用，为学生在数学上的后续发展奠定良好的基础.

【参考文献】

[1]艾乾发.浅析《新课标》几种常见的数学思想[J].中学数学研究，2012（9）.

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摘要：古人写文章讲究“启承转合、过渡自然”。其实，不仅是写文章要如此，就是在数学教学中也要考虑衔接与过渡的问题。比如小学与初中的数学就要做到“平稳过渡，衔接巧妙“，让学生顺利进入初中学习状态。

关键词：启承转合 平稳 自然 巧妙

初一新生进入中学，面临着课程负担加重，教学内容加深，教学方法相应变化，这时要特别警惕可能出现以往数学成绩较好的学生反而成绩下降。这是为什么呢？他们好奇心强，活泼，可塑性大，如何利用这些幼时，结合他们的认识特点，使他们旺盛的精力、强烈的好奇心化为强烈的求知欲和认真学习的动力。变被动学习为主动自觉学习，搞好初一数学教学，科学地处理中小学数学教学的衔接与过渡。

面对初一学生，教师必须以实际行动关心他们的成长，深入了解他们的生活习惯、学习特点和兴趣爱好，发现优点要及时给予肯定和表扬，鼓励学生敢于发言，讲出自己的见解。即使学生讲错了也不轻易否定，也要尽量做出积极评价，使学生产生积极的学习动机，充分信任数学教师。这才能对数学产生浓厚的兴趣。

爱因斯坦有句名言：“兴趣是最好的老师。”学生对数学学习一旦产生兴趣，他的知觉就会清晰而明确，机型会深刻而持久，在学习上变被动为主动。这样有利于小学数学到初中数学学习的转化。

在教学中，巧妙引入，精心设疑，造成学生渴求新知识的心理状态，激发学生学习的积极性和主动性，同时教师要严于律己，做好示范作用。娇态自然随和，吐字清晰响亮，板书认真规范，辅导亲切细致，和学生打成一片，平等相处。

“温故知新”，完成算术到代数的过渡。算术与代数虽然是数学中两门不同的分科，但不能把两者截然分开。代数是算术的加深，内容的丰富，知识的扩展和延续，逐步发展起来的。我们知道早期人们在生产实践中产生自然数和分数，即算术数。由于现实生活中广泛存在着相反意义的量。从而人们引入了负数，把算术数扩展到有理数。并研究有理数的大小比较和积运算，因此代数是在算术中的“数”和“运算”的基础上发展起来的。因而学习代数时，要经常复习算术中的有关知识，切不可把算术丢在一边。

在教学代数时，要注重“数学语言”，突破用字母表示。数及代数概念是教学的难点。而教师要事先加以必要的讲解。如海拔高度，原点，正方向，单位长度，有效数字等。远算法则像“两者相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘“等，使学生能够读及懂，训练学生正确使用理解和使用数学语言。

学生已经知道利用字母表示数，具有简单明确，便于记忆，尤其具有普遍性和一般性，能简捷地揭示食物的规律及本质特征，它培养人们对于数的一般性质有了更进一步的深刻认识，代数是要通过字母表示数的，从学习有理数转到代数式，这是从算是过渡到代数的关键一步，代数区别于算术的最大特点是它引入了字母进行计算。这时字母表示数的范围已扩大到有理数。因此必须注意的是字母a不一定表示证书，-a也不一定表示负数。不要造成认识上的错误，要从实质上于学生讲清楚。

另外，在教学中要不断渗透数与字母在运算上的一致性观点。学生在小学阶段接触到的已知与未知是截然分开的。教师应掌握字母与数的通性。注意由已知求未知的同法教学，使学生认识到表示数的学习与具体数是一致，从而实现算术即代数的自然过渡。这为学习求代数式的值及一元一次方程的揭发等做了铺垫。