数学建模穷举法范文

导语：如何才能写好一篇数学建模穷举法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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【关键词】模拟退火算法 信道选择

一、引言

无线通信技术为人们生活带了便利和高效率。作为传统有线网络的一种替代方案和延伸，无线通信技术用无线空口替代网线，把人们固定有线接入解放出来，随时随地方便的获取信息和提供娱乐。随着智能手机和Pad的大规模普及，基于移动智能终端的数据业务爆发式增长，传统运营商采用的2G/3G宏基站网络无法支持移动互联网海量数据流量，移动运营商开始关注利用微基站接入点作为容量吸收层承载数据业务。微基站接入点包括家庭用Femto、WLAN等。在国内，中国电信、中国移动、中国联通自2008年以来都大范围的部署和推广微蜂窝接入点，将其作为现有无线网络的补充，吸收容量。微蜂窝由于数量众多，部署场景千差万别，微蜂窝与宏蜂窝的差别之一就是要能够实现自动的频段规划，否则依靠人工规划部署，巨大的工作量将导致不可能进行实际部署。

二、数学建模和求解

运营商部署WLAN网络面临的一个重要问题就是，如何进行WLAN网络频率资源的规划，频谱规划的好坏关系到网络的性能。简单的说为了网络获取更好的性能，频率规划的原则应该使得相邻微基站尽量使用不同的频点尽量错开，整个网络的平均干扰水平最小。

以WLAN微蜂窝为例，WLAN一般使用20MHz工作带宽，工作在2.4GHz和5GHz频段非授权频谱。在2.4GHz频段WLAN有3个不重叠的20MHz信道，信道之间相互不会干扰。

为了使得问题具有通用性，假设有N个相互不干扰的工作频点，N为确定常数。在一定区域内要部署M个微基站接入点，最终求解是使得M个AP形成的网络性能最好，即干扰最小。在第n个频点工作的PAni对PAnj的干扰为。这个问题就变成求解最小。这是个问题可归结为一个数学上的NP问题。使用穷举求解这个问题，需要的实验次数为M^N，即求解该问题的复杂度O（M^N）。

通过穷举遍历试验可以求得NP问题的最优解，但一般情况下，遍历的复杂度即实验时间往往会是一个天文数字，使得实际中根本无法通过这种方法获得最优解。爬山算法是一种局部最优化解，其复杂度为线性，但往往会导致只搜索到局部最优解。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。1989 年 Johnson 等人通过详尽的实验证实了采用模拟退火算法求解NP问题的优点。爬山法每次都选择一个当前局部最优解，因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火在搜索过程引入了随机因素，以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，所以可能会跳出这个局部的最优解，到达全局最优解。模拟退火算法在搜索到局部最优解后，会以一定的概率接受到非局部最优的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会跳出了局部最优向全局最优方向进行搜索。

模拟退火算法基本思想和过程如下：

假设代价函数为J（Y），第i次迭代过程代价函数为J（Y（i））；

若J（ Y（i+1） ）>= J（ Y（i） ），即移动后得到更优解，则总是接受该移动；

若J（ Y（i+1） ）< J（ Y（i） ），即移动后的解比当前解要差，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低，以使得该过程收敛。

这里的“一定的概率”计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P（dE），表示为，P（dE） = exp（ dE/（kT） ）。

其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE

假设在1000平方米区域随机布放200个接入点，有4个可用信道频率。使用穷举法，需要进行200^4=1.6x10^9次试验。

使用模拟退火算法，构建代价函数，

其中，代表工作在第n个频点的PAni对PAnj的干扰。

通过仿真证明，使用模拟退火算法能够以较小的复杂度得到与穷举法几乎一致的最优解。

三、总结

本文分析了WLAN频率规划中的数学问题，归结为NP问题求解，证明了模拟退火算法解决这一类问题的实际可行性。

参考文献：

[1]Optimization by Simulated Annealing： An Experimental Evaluation； Part I， Graph Partitioning， David S. Johnson， Cecilia R. Aragon， Lyle A. McGeoch， Catherine Schevon；

[2]模拟退火算法与遗传算法的结合，王雪梅，王义和， 《计算机学报》1997年04期；

[3]新型遗传模拟退火算法求解物流配送路径问题， 阎庆， 鲍远律， 计算机应用 2004年z1期；

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关键词： 数学建模 课程改革

引言

数学建模，从宏观上讲是人们借助数学改造自然、征服自然的过程，从微观上讲是把数学作为一种工具并应用它解决实际问题的教学活动方式。数学建模通过建立数学模型解决各种实际问题，即用数学的语言刻画和描述实际问题，然后经过数学的处理得到定量的结果。数学建模教学与竞赛是提高学生运用所学知识解决实际问题的有效途径。随着数学建模的广泛应用，其重要性也得到认可，逐渐由非主干课转化为主干课，课时和实践环节也随之增加，但同时，在各种教学实践和参赛实践中，数学建模也暴露了许多问题，这就引发了数学建模的改革。

1.数学建模课程的存在的问题以及引起这些问题的原因

1.1数学建模存在的问题

1.1.1教学内容选择不合理，具有很大的随意性

目前数学建模在教学中还没有形成比较完整严密的教学体系，教学资料的编排也各不相同，有些教材以实际问题为主线编排，有些教材则以所使用的数学方法为主线编排。以实际问题为主线的编排体系，主要是罗列问题，过分突出问题的解决，教材中涵盖了大量难度较大的现成的数学模型，这些模型应用了大量的非数学领域的知识和方法，照搬这类教材进行数学建模教学，学生接受难，教师驾驭难。而以数学方法为主线的编排体系，则过分突出了数学知识的介绍，由于数学建模所用到的数学知识十分广泛，几乎涉及到数学的各个分支，因此对教师的知识结构提出了很高的要求；同时此体系还存在很多课程内容重复现象。

1.1.2教师教学方法不得当，模型讲解过于机械

高校开设数学建模课程的时间较短，缺乏应有的教学经验来借鉴，大多数教师仍然采用一般数学课程的教学方法，对各种模型按照所用数学知识机械讲解，对问题的形成背景，建模过程中可能用到的不同数学思想和方法很少顾及。实际上，数学建模课程和一般的数学课程有很大不同。在建模中，近似解也许比解析解更合理，穷举法也不再是笨办法。因此照搬一般数学课程中的教学方法是行不通的，数学建模的教学应该更灵活、更主动，否则会使得学生难以掌握数学建模的精髓。

1.1.3学生学习方法不灵活，学习过程过于死板

与教师在教学方法上的问题相似，学生在学习数学建模课程中也会沿用在学习其他数学课程中的方法，但到了数学建模，很多学生发现这些学习方法应多一线数学建模教师也不善于引导学生灵活地应用已掌握的基础数学知识求解建模问题，使得学生觉得数学建模过于复杂而产生畏惧。应付不了数学建模这门课程的学习，从而是学生学习起来非常吃力。

1.2引起这些问题的原因

根据多方面的了解以及研究，我们可以发现，引起以上这些问题的原因可以总结为以下几个几点：

第一、在日常的学习中，学生对于数学建模的学习热情不高，积极性也不高，总是抱着临阵磨枪的心态来应对数学建模课程的学习。

第二，在参加竞赛培训的学生中，学生的专业比较单一，数学建模课程没有在高校学生中得到广泛的推广，这些虽与宣传力度以及缺少必要的教学环节都存在或多或少的关系。

第三，高低年纪的学生参加比例与获奖人数不成比例。对于高年级的同学，特别是大四的同学来说，他们拥有较厚的数学基础，但由于面临着毕业，考研、工作、出国的等各种压力，参赛的学生较少，但获奖的比例却很大；而低年级的同学，参加的人数较多，且积极性很高，但成绩不突出，获奖的人数也很少。这些从侧面反映了低年级课程安排不合理，有些课程开设的太晚。

第四，还有很多人把数学建模课程的重点放在了具有复杂背景的实际问题的解决上，他们忽略了数学专业的特点以及培养目标，数学建模课程的重点应该放在树立信念、培养意识和能力上。

第五，数学建模课程的开设以及使用的教材也存在着很多不足。大部分的高校数学教育专业的数学建模课程照搬理工类专业数学建模教材，而这些教材主要存在以下问题：首先，教材中包含大量难度较大的现成的数学模型，要理解这些问题很困难，导致了大部分学生的死记硬背； 再者，这些教材主要是采用以问题为主线的块状编排体系，重点是问题的列，过分突出问题解决。可见，照搬这些教材给数学建模课程的教学带来了较大的负面影响，老师难以驾驭，学生也难以理解，更重要的是难以落实数学教育专业数学建模课程应使学生树立“数学具有广泛应用性”的信念，培养学生数学应用的意识和能力，使学生掌握一套数学建模方法等目标，难以适应高等学校数学教育改革的需要。

综上所述，我们可以看出，解决数学建模课程实施中所存在的问题是课程建设与改革的重中之重，建构符合数学教育专业实际和特色的教材以及形成一套与数学教育专业特点相适应的、科学的教学方法是当务之急。

2.数学建模课程的改革

数学建模课程在大学的日常学习中得到了广泛的应用，但同时也存在许多方面的缺点，为此，我们需要来改善数学建模课程中存在的问题，来方便学生日常生活的使用。我们可以通过以下途径来完成数学建模课程的改善：

首先，要精心设计教学案例，开展案例教学法。教学案例的选取要具有代表性、原始性、趣味性、创新性，要能使学生很好的融入这个案例中。对于案例的课堂教学，应该注重两方面，第一个方面要从实际问题出发，讲清问题的背景、建模的要求和已掌握的信息，如何通过合理的假设和简化分析建立优化的数学模型。另外一个方面就是老师的讲授必须和学生的讨论相结合。

其次，把好课后建模实践训练关，巩固和深化课堂教学。为了是学生更好的学习，老师可以通过布置课后作业，组织同学们在课堂上讨论，让学生们上机操作，来熟练各种数学软件的具体使用，做到手和脑的结合使用，以及在学完一部分知识后给同学们做定时的小测试。

再者，就是不断提高数学老师自身的水平。为了提高老师的水平，一方面可以多派老师走出去进行专业培训学习和学术交流。另一方面可以多请著名的专家教授走进来做建模学术报告，使师生增长知识，拓宽视野，了解科学发展前沿的新趋势、新动态。另外，数学老师还必须更新教育理念，不断积累和更新专业知识，其中包括较宽广的人文和科学素养。数学老师只有不断创新，努力提高自身素质，才能适应新的形势，符合时展的要求。

3.结语

总而言之，数学建模的内容具有很实用的价值，对于提高学生综合的素质，培养学生分析问题、解决问题的能力具有重要的意义，它不仅为学生提供了一个参与实践、勇于创新的平台，也为学生的进一步发展打下了良好的基础。至于数学建模课程的推广以及进一步的改革始终是数学建模这门课程的关键，并有待大家进一步的思考和探索。

参考文献：

1.阮晓青，周义仓.数学建模引论[M].北京：高等教育出版社，2005：103-200.

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关键词：高考； 数学； 生活； 新课程； 教学

中图分类号：G633．6文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2014）04-056-001

全国高考一年一度，每年试卷中总会涌现出一些可以耐人寻味的好题。我发现2008年全国Ⅰ卷的文科数学选择的第12题颇有些韵味，现阐述如下：

将1、2、3填入3×3的方格中，要求每行每列都没有重复数字，下面是一种填法，

则不同的填写方法共有（）

A、6种B、12种C、24种D、48种

解析：可以先考虑第一列，任意填，有A33＝6种填写方法，再考虑第二列，按要求不能在行和列中出现重复数字，则只有2种方法，到第三列时，每行中的数字就只有固定的唯一的数字可以填进去了。所以不同的填写方法共有6×2＝12种。

这道题的高考原型我看该是上个世纪1993年的全国考题，下面我们共同回顾一下这个题目：

同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同的分配方式有（ ）

A、6种B、9种C、11种D、23种

这道“古老”的题目解法是这样的：

第一步：四个人中的任意一人（例如A）先取一张，则由题意知共有3种取法；第二步：由第一人取走的贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步：由剩余的两人中的任一人取，只有一种取法；第四步：最后一人取，只有一种取法，由分步计数原理，共3×3×1×1=9（种）

这道题目还是用穷举法比较简单：

如果第二步考虑第三个人，那么当第三个人拿第一个人的贺卡，则第三、第四步只能有一种情况(二拿四的贺卡，四拿三贺卡),若第三个人拿第四个人的贺卡，那么第三、四步有两种可能(二拿一的贺卡，四拿三的贺卡；或二拿三的贺卡，四拿一的贺卡),这样第一步定了之后也有1+2=3种方法，一共3×3=9种。

而这题的另一原型则是更为古老却依然焕发着青春魅力的，在时下里非常流行的游戏――数独。

2008年的这道高考题确实是一道好题，首先考察了考生排列组合的基本解题能力，又兼顾我们的高考历史，使得高考试题有着自身的传承性、规律性，同时还与当前风靡的游戏有了粘连。可以说是汲取了历史精华，与现实生活结合紧密的一道好题。

我们知道，很多文科考题，比如文综中的政治学科总是紧扣当下时政；那么作为理科的数学又是怎样呢？除了前面列举的题目，我还找了几题与您共同解析。先看这道极接地气的题目吧，取自2013年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷。

钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）

(A)充分条件(B)必要条件

(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件

解析：便宜?圯没好货，等价于，好货?圯不便宜，故选B。

再如2013年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷

在平面直角坐标系xoy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xoy内三点处A(3,20),B(-10,0),C(14,0)。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。

（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；

（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。

如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常)。若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是（）

(A)1-■ (B)■-1

(C)2-■ (D)■

以上两题，涉及了居住环境的改善、美化，也有网络时代最基本的建设基站的问题，与年轻的学生很贴近。

实际上，新一轮课程改革中，也频繁提到这些理念。新课程标准就指出，“在数学教学中，应注重发展学生的应用意识,通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值。帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。在有关数学的教学中，教师应指导学生直接应用数学知识解决一些简单的问题；通过数学建模活动引导学生从实际情境中发现问题，并归结为数学模型，尝试用数学知识和方法去解决问题；向学生介绍数学在社会中的广泛应用，鼓励学生注意数学应用的事例，开阔他们的视野。”我们应该深入的领会学习新课改理念。

所以，在今后的高考题目中，我们会越来越多的看到这样生活气息浓厚的高考题，比如雾霾、房（金）价、春晚、奥运会等都会成为命题很好的载体。所以，我们平时的教学中也该充分挖掘教材，不要仅仅局限在所谓“应用题”上面，应该广泛的联系生活实际，课堂上多一些“纯数学”之外的话题，让生活融入到数学中来，让数学生活化。让数学真正成为我们生活中可以帮助到我们的学科，让学生体会到生活离不开数学，数学即生活，生活即数学。

数学学科更重要的是让学生学会用数学，学会运用数学的知识和思想方法去解决生活中所遇到的实实在在的问题。我想，做到了这些，才真正实现了教学的三维目标，同时这也是素质教育有别于应试教育的一种具体体现。

参考文献：

[1]任子朝.高考数学命题研究(续)中学数学教学参考[J]1994年06期

[2]章建跃.普通高中数学课程标准教材的研究与编写[J]课程・教材・教法，2005年01期

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中图分类号：G420文献标识码：A文章编号：1674-4853（2013）03-0104-05

计算机理论教学的内容偏重基础性、理论性知识，不同于许多计算机课程的实用性，学生认为该课程对专业的学习无用，且又难学，影响了积极性。例如离散数学的内容广泛知识点还比较分散，包括多个有一定关联的分支，学生在学习时疲于应付各种概念定义，难以消化理解，更难以自学和提高。

其实之所以被称为计算机专业基础课，是因为离散数学在数据结构与算法分析、操作系统、数据库、网络与分布式计算、计算机图形学、人工智能自动机、人机交互等许许多多的方面都得到了广泛的应用。[1]这更要求学生学好它为后续学习打好基础，所以需要针对离散数学的特性进行分析，然后在教学内容和模式上依据多年的教学经验进行教学改革，希望能够使得同学更好得接受和掌握离散数学的思想和学习方法，提高教学效果。

一、离散数学的特点

“离散数学”是计算机相关专业的专业基础课程，课程概念繁多、理论性强、抽象深奥，学生学习兴趣不高、难以入门和巩固，教学效果不很理想。所以在“离散数学”教学中重点应该是帮助学生完成“从理论到实际”的转变，使学生逐步掌握理论过渡到应用的方法过程；培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、归纳构造能力和实践创新能力。在开始的概论里，可以用一首自编的诗来概括离散的特征：

数学当作语文念，定理定义随处见；

传统概念重新建，应用模型很关键。

以下具体分析离散数学的一些特点、难点。

（一）概念和定理多且前后衔接紧密

每章节的内容都是建立在全新的概念之上，然后推理演绎出新的概念和定理等，接着就是这些定义定理的直接应用。经常概念就是定理，或者性质，甚至概念就是运算法则，所以掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，概念也要和定理、性质联系起来理解，再结合各种题型和数学模型来记忆。

（二）方法性强

离散数学要求的抽象思维和构造能力较高。通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象构造能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。离散数学的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直接证明法、反证法、归纳法、构造性证明法），同一个题也可能有几种方法。特殊的题型有特殊的对应方法模型，必须专门强化记忆。

（三）入门难，概念的前后关联强

由于是全新的概念或定义，且本身又非常抽象，初学者往往不能在脑海中建立起它们与现实世界中客观事物的联系，初学者不容易进入学习状态。因此一开始必须准确、全面、完整地记住并理解所有的定义和定理。最好和已有的知识结构建立联系，这样才可能更好适应抽象的连绵不断的概念，并为后续循序渐进的学习打下良好的基础。例如，通过与学生已经熟练掌握的中学数学的比较来进一步分析离散数学的特点。其实中学学习的数学归纳法、排列组合就是典型的离散数学问题。然后进一步利用“面积证明勾股定理“的过程和“着色原理证明世界上任取6人必然有3人相互认识或者不认识“两问题进行比较分析，它们共同点都是题目抽象且给出的条件少，通过巧妙借用构造特殊的图形来完成证明；不同点是勾股定理证明是利用计算面积相等来完成，而后者是利用“着色模型“加上“鸽巢原理“再结合图形空间结构关系来完成，总结出的区别是离散数学的问题一般和图形的大小、长短、面积等数值无关，侧重于考察问题关联、变化、约束等内在逻辑关系。

（四）符号、图形多

离散数学的经典内容包括命题逻辑、谓词逻辑、集合、关系、代数系统、图论等方面的基本知识。每章的概念、定理、证明、推导、解题等全部环节都需要用符号、中英文名词术语等来表示，或者借助图形来介绍说明。所以离散数学比其他课程要多花时间来记忆各种字符、符号、图形，弄清楚其内在关系和演绎过程。例如集合、笛卡尔积、关系、关系闭包、等价关系、划分等一系列的概念是一层层叠加起来的，后面的概念都是建立在前面概念基础上的，必须弄清楚其来龙去脉，否则你直接说划分是说不清楚的。当然借助对各种符号、图形的理解也是有利于对概念的记忆。离散数学除了教给学生离散数学知识以外，更重要的是通过严格的训练，逐步实现学生思维方式的数学化、符号化、计算机化。对于符号的掌握是非常重要的，因为全部的问题最后都是可以通过符号输入指挥计算机来解决的。

（五）题型众多且解题方法奇特

学数学就要做题目，学习不仅限于学习数学知识，更重要的还在于学习思维方法和解决问题的能力。数学的题目数量自然是非常多的，但题目的种类却很有限。尤其是在命题证明的过程中，最重要的是要掌握证明的思路和方法，要善于总结和归纳，仔细体会题目类型和解题套路。例如在命题逻辑中判断推理是否正确有真值表法、直接证法、间接证法或反证法等，需要多作练习，才可以较快地领悟其本质，能够看出它所属的类型及关联的知识点，找到对应的模型，就不难选用正确的解决方法。例如前缀码问题对应的就是最优树模型，通过不断积累模型来扩展解题思路。同时在记忆模型的基础上通过相应的思维训练提高思维变通性，进而提高解决问题的能力。

（六）章节内容差异大且解题思路难寻

集合、关系、逻辑、图论和代数系统各章节自成体系，各部分内容差异很大，从概念到定理到解题方法大不相同。特别是离散数学证明题的方法性是很强的，如果知道一道题属于哪个章节，该用什么知识点和方法，那离答案就不远了。因此在平时的学习中，要勤于思考，善于总结，在离散数学学习的过程里对概念的理解是重中之重。当题目很抽象，不能够很明确找到对应概念的时候，一些常规的解题思路也是需要强化给学生的，下面介绍几种方法。

1.尝试法。这是被运用比较广泛的启发法，使用所有你想到的操作手法，尝试着看看能不能得到有用的结论或者边界点、特例等，尽量离答案近一点，通过穷举各种允许或不允许的可能性来寻找那些关键的性质。穷举法也是本办法的一个特例，穷举法不一定就是最笨的办法。

2.结论分析法。结论往往蕴含着丰富的条件，譬如对什么样的解才是满足题意的解的约束。借助结论中蕴含的内容，可以为题目提供更多信息量和缩小思考范围。

3.缩放条件法（如删除、增加、改变条件）。有时候通过调整题目的条件，我们往往迅速能够发现条件和结论之间是如何联系的。通过扭曲问题的内部结构，我们能发现原本结构里面重要的东西。

4.抽象具体法。求解一个抽象的题目先解决一个类似的具体题目，或者由具体到抽象。将问题泛化，并求解这个泛化后的问题。类似的题目也许有类似的结构，类似的性质，类似的解决方案。通过考察或回忆一个类似的题目是如何解决的，也许就能够借用一些重要的点子。

5.对立面法或反证法。实在没有办法了，还可以列出所有可能跟问题有关的概念、定理或性质，来寻找和题目的联系，发现思路，这是一种经常被使用的方法。

通过以上五个方面的特点分析和一些经验对策的介绍，已经可以说明离散数学的教学难点和需要改进加强的环节。在教学中还可以进一步总结突出离散数学，其可以被看作是数学的前传、是符号的语言，与一般的数学学习方法大不相同。

二、教学内容改革和模式变化

离散数学的教学目标重点是为进一步学习其他计算机课程打基础，培养学生计算机模式的思维推理能力，提高学生利用数学知识和模型解决实际问题的能力。所有这些需要优化理论教学，重视实践性教学环节，强调培养学生养成形式化思维和解决问题能力，使得学生在学习其他计算机应用课程时，遇上困难知道如何去理解问题、归纳推理、寻求解决方法。要以教师为主导来组织、引导学生的学习，特别是培养学生的学习兴趣和自主学习能力。所以教学内容应该更丰富、媒体形式更多样、手段更科学、理念更先进，模式更新颖。例如网络教学、多媒体教学、启发式教学、发现式教学、案例教学、游戏式教学等。

要达到上述要求，就需要拓展教学内容和空间，加强与后续专业课程的联系与衔接。多结合实践案例和游戏模型来提高兴趣，多留些趣味、应用型的思考题，“积小错为大错、以游戏换经验”，因为游戏多是有数学模型的，通过思考题来发现问题，积累分析解题的经验，此外还需要突出重点，强调特点。由于补充了大量课外内容，所以在教学课时不够的情况下可以舍弃一些次要内容以保障重点内容的教学质量，并且对简单点的内容安排自学不做重点考核，这样也可以提高自主学习能力。

（一）教学内容的组织和更新

离散数学教学内容比较“散”，而且难。讲课时尽可能结合一些实际问题，特别是与计算机有关的问题，突出重点，强调前后联系和概念关联性。这样既提高了学生的学习兴趣，又使得学生更好地体会离散数学对研究计算机科学的重要性。例如图论和集合论为数据结构和数据表示理论奠定了数学基础，也为许多问题从算法角度如何加以解决提供了进行抽象和描述的重要方法。在讲解图论中通路与回路概念时，给出它们在研究操作系统是否存在死锁，自动机的初始状态和结束状态是否可达，程序设计语言中一个过程是否递归等方面的应用。数理逻辑是研究推理的学科，在人工智能、数据库理论等的研究中有着重要的应用。激发学生学习的积极性，进一步加强学生理论联系实际的能力。

在组织教学内容时注重离散数学与前后的计算机课程结合。即在课堂讲解时，尽可能多地介绍离散数学与相关课程的衔接，让学生清楚地认识到离散数学不是一门普通的公共数学课。例如，在数理逻辑部分讲解命题联结词时，考虑到学生在先修课数字逻辑中动手设计过逻辑电路图，以此为切入点进行类比讲解。在集合论部分讲解二元关系时，以后续选修课数字图像处理中的二维直方图为例进行讲解。在图论部分讲解最小生成树、最短路径时，讲清该知识点与后续必修课数据结构中相关知识点的关联性。还可以介绍学科前沿的最新动态，直接体会课程的“实用性”，激发科研热情、提高自主学习的兴趣。

教学内容革新方面特别要注重与实际应用或可动手操作的相关实例的结合。包括各种游戏、案例、实际应用等，可以作为介绍概念时的引例或参照物，也可以作为课后趣味题、应用题、拓展题。还可以穿插结合心理学、人生观、价值观、挫折教育等方面的生活励志故事，拓展教学内容和教学思路，开拓学生视野，增强他们理解、推理能力和参与社会实践能力。同时考虑到学生基础、学时限制等，适当降低传统理论教学内容的难度，侧重于基本概念、原理的应用。为保持课程教学体系的完整性，偏难的理论性内容选讲、少讲或简单介绍，适当增加与计算机应用密切相关的实践上机学时，对学生较感兴趣或应用性较强的内容增设课外实践环节，以兴趣小组的形式延续课堂教学内容。（见表1）

（二）教学模式的选择

教学模式是教学活动的基本结构，科学合理地选择教学模式有助于优化教学过程、提高教学质量，常常能起到事半功倍的教学效果。

范例教学模式是指遵循人的认知规律，从个别到一般、从具体到抽象，从范例分析入手，逐步提炼、归纳和总结。例如通过几个有趣的例子分别展示课程的4大模块，即以“理发师悖论”为例引导出集合论模块；以“警察断案”为例引导出数理逻辑模块；以“七桥问题”为例引导出图论模块；以“布尔逻辑电路”为例引导出代数系统模块。但是仅仅请学生根据常识知识给出答案还不够，还要通过这些例子生动地介绍离散数学的实际应用，激发学生学习兴趣，然后才引出主题。并且在后续讲解中保持类似的教学模式，利用上表里列举的各种游戏、案例、实际应用、趣味数学和编程题目来讲述一些知识难点，避免了一般理论性介绍的枯燥，能充分调动学生的学习积极性。

1.启发式模式。以问题解决为中心，设定情境、提出问题，然后组织学生猜想或做出假设性的解释，进而验证并总结规律。例如，以“一笔画”为出发点，启发学生思考其特点，进一步总结出欧拉图的定义和性质；在代数系统部分，以小学的加减乘除法为出发点，启发学生思考这些运算的异同，从而引申出代数系统的一般性基本概念；以“九连环”游戏的重复操作过程来比拟对二叉树的遍历等等。用一个具体可见的模型或者问题来说明抽象复杂的新概念，这样学生易于接受，并且不会因为一下子迷惑而产生抵触情绪。

2.上机实践模式。拓展编程，提高设计实践能力和兴趣。例如编写程序对集合进行定义和操作，求两个集合的交集，或求两个集合的笛卡尔乘积；“八皇后”问题的程序设计，或者用做好的“八皇后”程序来分析其内部数据结构和算法；结合参加数学建模或ACM竞赛，这样同学们就更重视了。

还可以演示某些手机在拍照的同时将GPS信息记录的过程，通过这个过程来介绍数字水印、MD5、GPS和电子证据等计算机相关理论知识。然后利用计算机、数码相机以及相关软件进行模拟实验验证该过程。并且通过实验课让学生动手来制作数码照片的数字水印、计算MD5值，利用数字隐藏软件在数码照片里隐藏数字信息。这一系列实验即结合应用了信息安全技术，又增加了对电子证据证明力的理解。这样的教学实验过程简单易懂又灵活多变，最主要是通过简单的操作却能够马上看见复杂的操作结果，又能够帮助理解抽象的理论知识。这样的的教学手段更能够激发学生的学习热情，进而增强学生解决实际问题的能力。

3.换位教学模式，可以让学生备课、讲课和点评，产生新鲜感和责任感，体会老师工作辛劳。通过换位可以站在对方的角度思考，体验对方的想法，产生互动、共鸣。学生参与备课，在查阅材料的过程中去理解、深化内涵，拓宽外延，体验“再发现”过程；分组备课、制作课件、讲课，鼓励各种新想法及创意，培养学生动手能力和团队协作精神；同学间的补充、点评和考核，让学生在实践中吸取经验教训，更容易发现自己平时易忽视易错的知识点；老师也可以站在学生的角度思考如何讲解让学生更容易接受，最后通过点评和总结起到画龙点睛的作用。另外给敢于表现的学生加分鼓励，因为“十次说教不如一次表扬，十次表扬不如一次成功。”对这种形式的换位，可以加深学生对所学知识的理解，而且可以激发学生的学习兴趣，更能培养和锻炼学生的独立思考能力、语言表达能力，成为学习的主人。营造一种人人参与的氛围，还能活跃课堂气氛、拉近老师和学生的距离，有利于培养学生综合运用知识和解决问题的能力。

构建多维、多层、多方位教学手段，将课堂讲授、专题讨论、上机实习、课外自学等有机结合，鼓励学生真正成为学习的主体。同时，打破一考定胜负的传统考核机制，综合考察学生在各种教学形式中的表现，课程考核采用总成绩=笔试（50%）+平时成绩（20%）+上机实践（20%）+创新能力（10%）的形式，打造多维教学模式和评价体系。

三、总结

计算机科学的理论教学抽象程度高，需要进一步探索课程的教学改革，合理组织教学内容、有效选择教学模式、高效运用教学手段、适当增加实践环节，达到满意的教学效果。以提高学生自主学习的兴趣、培养学生自主学习的能力为突破口，进行教学革新，对学生后续课程的学习具有较强的现实意义。

另外，也要提高对教师的要求，教师不仅要有较深厚的计算机专业理论基础，能把离散数学等基础专业理论课程和其他课程结合，合纵连横，讲深讲透，还要精心准备、收集选择好的教学案例和素材，结合合适的教学方法和教学规律，有针对性选用启发式教学方式。我院计算机专业自实施离散数学教学改革以来，以培养学生实践动手能力和抽象思维推理能力为目标，教学内容的更新和多种教学模式激发了学生的学习热情，增强了学生学习的主动性和解决实际问题的能力。

篇5

能力是指主体能胜任某项任务的主观条件。在数学学习中，学生的数学能力与他们的知识基础和心理特征有关。技能是指依据一定的规则和程序去完成专门任务(解决特定的问题)的能力。显然，技能和能力都与知识密不可分；但学生在任务(问题)面前如何对知识和运用这些知识的途径进行选择，使得完成任务(解决问题)达到多快好省，则是一项超越知识本身的心理活动。因此，把知识、技能和能力三者并列起来是合理的；但也应看清楚，这三者的顺序是由低到高，在教育、教学的意义下是后者更重于前者。

一、历史的回顾

我国的中学数学教学大纲，对于数学思想和数学方法的重要性的认识也有一个从低到高的过程。

由中华人民共和国教育部制订、1978年2月第1版的《全日制十年制学校中学数学教学大纲(试行草案)》，在第2页“教学内容的确定”的第(三)条中首次指出：“把集合、对应等思想适当渗透到教材中去，这样，有利于加深理解有关教材，同时也为进一步学习作准备。”这一大纲在1980年5月第2版时维持了上述规定。

由中华人民共和国国家教育委员会制订、1986年12月第1版的《全日制中学数学教学大纲》，在第2页“教学内容的确定”的第(三)条中，把上述大纲的有关文字改成一句话：“适当渗透集合、对应等数学思想”。1990年修订此大纲时，维持了这一规定。

由中华人民共和国国家教育委员会制订、1992年6月第1版的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用)》，在第1页“教学目的”中规定：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”这份大纲还第一次把资深的数学工作者们熟知的提法“数学，它的内容、方法和意义”改为数学的“内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学，成为现代文化的重要组成部分”，并把这段话放入总论的第一段。在第9页上又指出，要“使学生掌握消元、降次、配方、换元等常用的数学方法，解决某些数学问题，理解‘特殊棗一般棗特殊’、‘未知棗已知’、用字母表示数、数形结合和把复杂问题转化成简单问题等基本的思想方法”；在第6页上还指出，“要注意充分发挥练习的作用，加强对解题的正确指导，应注意引导学生从解题的思想方法上作必要的概括。”

由国家教育委员会基础教育司编订、1996年5月第1版的《全日制普通高级中学数学教学大纲(供试验用)》，在第2页“教学目的”中也规定：“高中数学的基础知识是指：高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。”在界定“思维能力”一词的四个主要层面时，指出第三层面是“会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点”；第四层面是“能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质”。这份大纲维持了数学的“内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分”的提法(第1页)；并指出数学规律“包括公理、性质、法则、公式、定理及其联系，数学思想、方法和语言”(第24页)；坚持在对解题进行指导时，应该“对解题的思想方法作必要的概括”(第25页)。这是建国以来对数学思想和数学方法关注最多的一份中学数学教学大纲，充分体现了数学教育工作者对于数学课程发展的一些共识。

二、数学思想方法

(一)思想、科学思想和数学思想

思想是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。它是从大量的思维活动中获得的产物，经过反复提炼和实践，如果一再被证明为正确，就可以反复被应用到新的思维活动中，并产生出新的结果。本文所指的思想，都是那些颠扑不破、屡试不爽的思维产物。因此，对于学习者来说，思想就成为他们进行思维活动的细胞和基础；思想和下面述及的方法都是他们的思维活动的载体。每门科学都逐渐形成了它自己的思想，而科学法则概括出各门科学共同遵循和运用的一些科学思想。

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。首先，数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。其次，数学思想、数学观点、数学方法三者密不可分：如果人们站在某个位置、从某个角度并运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点。而对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。中学数学中出现的数学观点(例如方程观点、函数观点、统计观点、向量观点、几何变换观点等)和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。

数学思想是一类科学思想，但科学思想未必就单单是数学思想。例如，分类思想是各门科学都要运用的思想(比方语文分为文学、语言和写作，外语分为听、说、读、写和译，物理学分为力学、热学、声学、电学、光学和原子核物理学，化学分为无机化学和有机化学，生物学分为植物学、动物学和人类学等；中学生见到的最漂亮的分类应该是在学习哺乳纲动物时所出现的门(亚门)、纲(亚纲)、目(亚目)、属、科、种的分类表，它不是单由数学给予的。只有将分类思想应用于空间形式和数量关系时，才能成为数学思想。如果用一个词语“逻辑划分”作为标准，那么，当该逻辑划分与数理有关时(可称之为“数理逻辑划分”)，可以说是运用数学思想；当该逻辑划分与数理无直接关系时(例如把社会中的各行各业分为工、农、兵、学、商等)，不应该说是运用数学思想。同样地，当且仅当哲学思想(例如一分为二的思想、量质互变的思想和肯定否定的思想)在数学中予以大量运用并且被“数学化”了时，它们也可以称之为数学思想。

(二)数学思想中的基本数学思想

在数学思想中，有一类思想是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。基本数学思想含有传统数学思想的精华和近现代数学思想的基本特征，并且也是历史地形成和发展着的。

基本数学思想包括：符号与变元表示的思想，集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合的思想，化归的思想，对立统一的思想，整体思想，函数与方程的思想，抽样统计思想，极限思想(或说无限逼近思想)等。它有两大“基石”棗符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大“支柱”棗对应思想和公理化与结构思想。有些基本数学思想是从“基石”和“支柱”衍生出来的，例如“函数与方程的思想”衍生于符号与变元表示的思想(函数式或方程式)、集合思想(函数的定义域或方程中字母的取值范围)和对应思想(函数的对应法则或方程中已知数、未知数的值的对应关系)。所以我们说基本数学思想是体现或应该体现于“基础数学”(而不是说“初等数学”)的具有奠基性和总结性的思维成果。基本数学思想及其衍生的数学思想，形成了一个结构性很强的网络。中学数学教育、教学中传授的数学思想，应该都是基本数学思想。

非科学思想当然也是大量存在的。例如，“崇洋媚外”的思想就是一种非科学思想。

中学数学教科书中处处渗透着基本数学思想。如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。

(三)思路、思绪和思考

我们在中学数学教育、教学中，还经常使用着“思路”和“思绪”这两个词语。一般说来，“思路”是指思维活动的线索，可视为以串联、并联或网络形状出现的思想和方法的载体，而“思绪”是指思想的头绪。“思路”和“思绪”实际上是同义词，并且它们都是名词。

那么，另一个词语“思考”又是什么意思呢?“思考”就是进行比较深刻、周到的思维活动。作为动词，它反映了主体把思想、方法、串联、并联或用网络组织起来以解决问题的思维过程。由此可见，“思考”所产生的有效途径就是“思路”或“思绪”；“思路”或“思绪”是“思考”的结果，是思想、方法的某种选择和组织，且明显带有程序性。对思路及其所含思想、方法的选择和组织的水平，反映了学习者能力的差异。

(四)方法和数学方法

所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序。同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，便成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法。

数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；三是应用的普遍性和可操作性。

数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁精确的形式化语言，二是提供数量分析及计算的方法，三是提供逻辑推理的工具。现代科学技术特别是电脑的发展，与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成。

宏观的数学方法包括：模型方法，变换方法，对称方法，无穷小方法，公理化方法，结构方法，实验方法。微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类：

(1)逻辑学中的方法。例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。

(2)数学中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法。代数中常用图象法，解析几何中常用坐标法)、向量法、比较法(数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法、同一法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等。这些方法极为重要，应用也很广泛。

(3)数学中的特殊方法。例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。

(五)方法和招术

如上所述，方法是解决思想、行为等问题的门路和程序，是思想的产物，是包含或体现着思想的一套程序，它既可操作又可仿效。在选择并实施方法的前期过程中，反映了学习者的能力和技能的高低；而在后期过程中，只反映了学习者的技能的差异。

所谓“招术”“招”字应正为“着”字，本文仍用传统的“一招一式”的说法。是指解决特殊问题的专用计策或手段，纯属于技能而不属于能力。“招”的教育价值远低于“法”(这里的“法”指“通法”)的价值。“法”的可仿效性带有较为“普适”的意义，而“招”的“普适”要差得多；实施“招”要以能实施管着它的“法”为前提。

例如，待定系数法是一种特别有用的“法”。求二次函数的解析式时，用待定系数法根据图象上三个点的坐标求出解析式可看作第一“招”；根据顶点和另一点的坐标求出解析式可看作第二“招”；根据与x轴交点和另一点的坐标求出解析式可看作第三“招”。这三“招”各有奇妙之处。哪一“招”更好使用，要看条件和管着它们的“法”而定。教师授予学生“用待定系数法求二次函数的解析式”，最根本、最要紧的“法旨”就在于让学生明确二次函数的解析式中自变量、函数值和图象上点的横、纵坐标的对应关系；对于一般的点和特殊的点(例如顶点及与x轴的交点)，解析式可以有什么不同的反映。而这样的“法旨”，恰恰体现了对应思想和数形结合的思想。由此看来，我国古代传说中经常提到的某些师傅对待弟子“给‘招’不给‘法’”的现象，在现代的数学教育、教学中应该尽量避免。

三、中学数学教科书中应该传授的基本数学思想和方法

(一)中学数学教科书中应该传授的基本数学思想

中学数学教科书担负着向学生传授基本数学思想的责任，在程度上有“渗透”、“介绍”和“突出”之分。　 1.渗透。“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。要渗透的有集合思想、对应思想、公理化与结构思想、抽样统计思想、极限思想等。前三种基本数学思想从初中一年级就开始渗透了，并贯彻于整个中学阶段；抽样统计思想可从初中三年级开始渗透，极限思想也可从初中三年级的教科书中安排类似于“关于圆周率π”这样的阅读材料开始渗透。至于公理化与结构思想，要注意根据人类的认识规律，一开始就采取扩大的公理体系。例如，教科书既可以把“同位角相等，两直线平行”和它的逆命题都当作公理，也可以把判定两个三角形全等的三个命题“边角边”、“角边角”和“边边边”都当作公理。

这种渗透是随年级逐步深入的。例如集合思想，初中是用文氏图或列举法来表示集合，不等式(组)的解集可以用数轴表示或用不等式(组)表示；高中则是列举法、描述法、文氏图三者并举，并同时允许用不等式(组)、区间或集合的描述法来表示实数集的某些子集。又如对应思想，初中只用文字、数轴或平面直角坐标系来讲对应；高中则在此基础上引入了使用符号语言的对应法则。至于公理化与结构思想、抽样统计思想和极限思想在初、高中阶段的不同渗透水平，则是众所周知的。“渗透”到一定程度，就是“介绍”的前奏了。

2.介绍。“介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始。要介绍的有符号与变元表示的思想、数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等。这种介绍也是随年级逐步增加的。有的思想从初中一年级起就开始介绍(例如前四种基本数学思想)，有的则是先渗透后介绍(例如后两种基本数学思想)。“介绍”与“渗透”的基本区别在于：“渗透”只要求学生知道有什么思想和是什么思想，而“介绍”则要求学生在此基础上进而知道为什么叫做思想(含思想的要素和特征)、用什么思想(含思想的用途)并学会运用。作为补充，也可以就问题适时地向学生介绍如何运用一分为二的思想和整体思想。

3.突出。“突出”就是把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。它是在介绍的基础上进行的，目的在于最大限度地发挥这些数学思想的功能。要突出的有数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想等。这些基本数学思想贯穿于整个中学阶段，最重要、最常用，是中学数学的精髓，也最能长久保存在人一生的记忆之中。“介绍”与“突出”的基本区别在于：“介绍”只要求学生知道用什么和会用，而“突出”则要求学生在此基础上进而知道选用和善用。作为补充，也可以就数学问题经常向学生突出分类思想的运用。

(二)中学数学教科书中应该传授的基本数学方法

在传授基本数学方法方面，仍如义务教育初中数学教学大纲所界定的，有“了解”、“理解”、“掌握”和“灵活运用”这四个层次。这四个层次的含义也可以遵照该大纲中的提法(第8页脚注)，新的高中数学教学大纲(供试验用。本文下面所述“高中大纲”均指此大纲)维持了这些提法(第4页脚注)。分别属于这四个层次的基本数学方法的例子有：“了解数学归纳法的原理”(高中大纲第9页)，“了解用坐标法研究几何问题”(高中大纲第10页)；“理解‘消元’、‘降次’的数学方法”(初中大纲第19页)；“掌握分析法、综合法、比较法等几种常用方法证明简单的不等式(高中大纲第6页)”；“灵活运用一元二次方程的四种解法求方程的根”(初中大纲第17页。四种解法指直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法)。在这方面，大纲的规定是比较明确的。