数学建模的算法与应用范文

导语：如何才能写好一篇数学建模的算法与应用，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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【关键词】数学建模；水文预报；水资源规划

中图分类号：TV12 文献标识码：A 文章编号：1006-0278（2013）07-202-01

近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。人们常常把数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用比喻为如虎添翼。

数学建模在水文与水资源工程专业中更是发挥着重要的作用，尤其是在水文预报和水资源规划方面。

一、数学建模的介绍

（一）数学建模概述

数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国清华大学、北京理工大学等在80年代初将数学建模引入课堂。经过20多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。

（二）数学建模的应用

数学建模应用就是将数学建模的方法从目前纯竞赛和纯科研的领域引向商业化领域，解决社会生产中的实际问题，接受市场的考验。可以涉足企业管理、市场分类、经济计量学、金融证券、数据挖掘与分析预测、物流管理、供应链、信息系统、交通运输、软件制作、数学建模培训等领域，提供数学建模及数学模型解决方案及咨询服务，是对咨询服务业和数学建模融合的一种全新的尝试。

（三）数学建模十大算法

1.蒙特卡罗算法，该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性。2.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法，通常使用Matlab作为工具。3.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题，通常使用Lindo、Lingo软件实现。4.图论算法，这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决。5.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。6.最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7.网格算法和穷举法，网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。8.一些连续离散化方法，很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要。9.数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）。10.图象处理算法。

二、数学建模在水文与水资源中的应用

（一）数学建模在水资源规划中的应用

全国水资源综合规划的目的是为我国水资源可持续利用和管理提供规划基础，要在进一步查清我国水资源及其开发利用现状、分析和评价水资源承载能力的基础上，根据经济社会可持续发展和生态环境保护对水资源的要求，提出水资源合理开发、优化配置、高效利用、有效保护和综合治理的总体布局及实施方案，促进我国人口、资源、环境和经济的协调发展，以水资源的可持续利用支持经济社会的可持续发展。

（二）数学模型在水文预报中的应用

水文预报是水文学为经济和社会服务的重要方面，特别是对灾害性水文现象做出预报，对综合利用大型水利枢纽做出短期、中期和长期的预报，作用很大。中国已开展预报服务的项目有：洪水水位与流量、枯水水位与流量、含沙量、各种冰情、水质等。

水文预报的方法，在产流方面常用降雨径流相关图，在汇流方面常用单位线。现在的发展方向是应用流域水文模型，根据流域上实测的降雨或降雪资料预报流域出口的流量过程。

在实际应用中，通过建立模型并求解，做出短期或中长期的预报，对防洪、抗旱、水资源合理利用和国防事业中有重要意义。

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一、 写好数模答卷的重要性

1.评定参赛队的成绩好坏、高低，获奖级别， 数模答卷，是唯一依据。

2. 答卷是竞赛活动的成绩结晶的书面形式。

3. 写好答卷的训练，是科技写作的一种基本训练。

二、 答卷的基本内容，需要重视的问题

1 评阅原则：假设的合理性， 建模的创造性，结果的合理性，表述的清晰程度。三、 2 答卷的文章结构

0． 摘要

1． 问题的叙述，问题的分析，背景的分析等，略

2． 模型的假设，符号说明（表）

3． 模型的建立（问题分析，公式推导，

基本模型，最终或简化模型 等）

四、 4． 模型的求解

计算方法设计或选择；

算法设计或选择， 算法思想依据，步骤及实现，计算框图；

所采用的软件名称；

引用或建立必要的数学命题和定理；

求解方案及流程

5． 结果表示、分析与检验，误差分析，模型检验……

五、 6． 模型评价，特点，优缺点，改进方法，推广…….

7． 参考文献

8． 附录

计算框图

详细图表

……

3要重视的问题

0． 摘要。包括：

a. 模型的数学归类（在数学上属于什么类型）

b. 建模的思想（思路）

c . 算法思想（求解思路）

d. 建模特点（模型优点，建模思想或方法，

算法特点，结果检验，灵敏度分析，

模型检验…….）

e. 主要结果（数值结果，结论）（回答题目所问的全部“问题”） 表述：准确、简明、条理清晰、合乎语法、字体工整漂亮；

打印最好，但要求符合文章格式。务必认真校对。

1． 问题重述。略

2． 模型假设

跟据全国组委会确定的评阅原则，基本假设的合理性很重要。

（1）根据题目中条件作出假设

（2）根据题目中要求作出假设

关键性假设不能缺；假设要切合题意

3． 模型的建立

（1） 基本模型：

1) 首先要有数学模型：数学公式、方案等

2) 基本模型，要求 完整，正确，简明

（2） 简化模型

1） 要明确说明：简化思想，依据

2） 简化后模型，尽可能完整给出

（3） 模型要实用，有效，以解决问题有效为原则。

数学建模面临的、要解决的是实际问题，

不追求数学上：高（级）、深（刻）、难（度大）。

u 能用初等方法解决的、就不用高级方法，

u 能用简单方法解决的，就不用复杂方法，

u 能用被更多人看懂、理解的方法，

就不用只能少数人看懂、理解的方法。

（4）鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异

数模创新可出现在

建模中，模型本身，简化的好方法、好策略等，

模型求解中

结果表示、分析、检验，模型检验

推广部分

（5）在问题分析推导过程中，需要注意的问题：

u 分析：中肯、确切

u 术语：专业、内行；；

u 原理、依据：正确、明确,

u 表述：简明，关键步骤要列出

u 忌：外行话，专业术语不明确，表述混乱，冗长。

4． 模型求解

（1） 需要建立数学命题时：

命题叙述要符合数学命题的表述规范，

尽可能论证严密。

（2） 需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。 若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称

（3） 计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出。

（4） 设法算出合理的数值结果。

5． 结果分析、检验；模型检验及模型修正；结果表示

（1） 最终数值结果的正确性或合理性是第一位的 ；

（2） 对数值结果或模拟结果进行必要的检验。

结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，

对算法、计算方法、或模型进行修正、改进；

（3） 题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出；

（4） 列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据 对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据；

（5） 结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式

求解方案，用图示更好

（6） 必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。

最后结论要明确。

6．模型评价

优点突出，缺点不回避。

改变原题要求，重新建模可在此做。

推广或改进方向时，不要玩弄新数学术语。

7．参考文献

8．附录

详细的结果，详细的数据表格，可在此列出。

但不要错，错的宁可不列。

主要结果数据，应在正文中列出，不怕重复。

检查答卷的主要三点，把三关：

n 模型的正确性、合理性、创新性

n 结果的正确性、合理性

n 文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩

三、对分工执笔的同学的要求

四．关于写答卷前的思考和工作规划

答卷需要回答哪几个问题――建模需要解决哪几个问题问题以怎样的方式回答――结果以怎样的形式表示

每个问题要列出哪些关键数据――建模要计算哪些关键数据 每个量，列出一组还是多组数――要计算一组还是多组数……

五．答卷要求的原理

u 准确――科学性

u 条理――逻辑性

u 简洁――数学美

u 创新――研究、应用目标之一，人才培养需要

u 实用――建模。实际问题要求。

建模理念：

1. 应用意识：要解决实际问题，结果、结论要符合实际； 模型、方法、结果要易于理解，便于实际应用；

站在应用者的立场上想问题，处理问题。

2. 数学建模：用数学方法解决问题，要有数学模型；

问题模型的数学抽象，方法有普适性、科学性，

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关键词：数学建模；计算方法；教学实践

中图分类号：G420 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2013）02-0232-01

一、《计算方法》课程的性质及改革的必要性

随着计算机的出现和迅速发展，在各种自然科学和工程、技术科学的发展中，“科学与工程计算”已经成为平行于理论分析和科学实验的第三种科学手段。不管是在高科技领域还是在一些传统的学科领域，数值计算都是一个不可少的环节。《计算方法》正是一门介绍科学计算的基础理论与基本方法的课程。与其他相关数学课程相比，该课程的理论和方法在其他专业课程中经常用到，而且也常常用来解决实际问题，它具有理论性、实用性和实践性都很强的特点。

（一）内容丰富、公式繁多

计算方法（又称数值分析）是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的方法与理论为研究对象，其内容包括：函数插值、函数积分与微分、线性方程组的解法、非线性方程组的解法、矩阵特征值与特征向量的解法，此外，还包括常微分与偏微分方程的数值解法等。它既有数学的高度概括性和严密的科学性，又具有实用性并具有高度的技巧性。公式繁多，不容易记忆。

（二）面向计算机

该课程重点研究数字计算机上使用的计算方法。注重实用性和计算效率，讲究算法的技巧性，保证算法的可靠性，重视方法的理论研究。因为算法上的区别可能会对误差的传播和计算结果的精度产生重要的影响。要求所提供的计算方法具有收敛的性质，相应的算法能够抑制舍入误差的干扰。

基于数值计算方法的上述特点，在学习此课程时，首先要掌握构造方法的原理、思想，注意算法的技巧并要与计算机的实际密切结合，也要重视有关计算方法基础知识和数学理论的学习。其次要重视实践，通过算例和动手计算，学会怎样使用数值方法在计算机上解决各类数学计算问题。

《计算方法》课程现已成为我国各类高等院校数学系和各类应用学科专业的一门必修课，但其教学并不尽如人意。很多学校都存在着学时少、内容多的问题，而数学专业的学生往往理论分析问题能力强，但理论联系实际和解决实际问题能力差。因此，对《计算方法》的教学实施改革显得尤为迫切。

二、数学建模思想对计算方法教学的影响

中科院院士李大潜教授告诉我们，数学作为一门重要的基础学科和一种精确的科学语言，是以一种极为抽象的形式出现的。这种极为抽象的形式有时会掩盖数学丰富的内涵，并可能对数学的实际应用形成障碍。要用数学方法解决一个实际问题，就必须设法在实际问题与数学之间架设一个桥梁。首先要将这个实际问题化为一个相应的数学问题，然后对这个问题进行分析和计算，最后将所求得的解答回归实际，看能不能有效地回答原先的实际问题。这个全过程，特别是其中的第一步，就称为数学建模，即为所考察的实际问题建立数学模型。

就《计算方法》课程而言，很多问题都是由现实问题而来的，这些问题的求解也必须要借助计算机才能进行，这就使得数学建模的思想较为方便地融入到《计算方法》课程当中。

三、教学中的实践

（一）选用适当的教材

针对上述在教学中遇到的学时少、内容多，选用一本合适的教材至关重要。根据专业性质的不同，需要强调的内容也不尽相同。对于数学类专业，算法的收敛性及稳定性应该得到关注。对于非数学类专业，就可以适当淡化抽象的理论，把重点放在算法思想的建立和实施过程上，以培养学生的学习兴趣，增强对方法的应用意识。

（二）采用“问题教学”的模式

为了提高学生的学习兴趣及动手能力，采用“问题教学”的授课方式，并付之实践。基本思路是：采用数学建模的思想和方法，从生产实践所要解决的实际问题出发，运用所学知识，通过归纳、分析、提炼等手段建立其相应的数学模型，从而提出相应的数学问题；然后，从理论上研究、讨论解决这个数学问题的基本思想、方法，分析该方法的优缺点及所能解决问题的类型，进而给出解决实际问题的数学思想、方法。这种教学模式不仅激发了学生学习数学，特别是计算数学的兴趣和欲望，还将教师扎实的理论知识与丰富的实践能力、解决实际问题的心得体会通过教师授课与学生实验这两个环节传授给学生。

（三）优化实验设计，提高动手能力

数学建模中不仅要求得到简化的模型，也要求对简化的模型有能够进行求解的计算方法。大多数模型手算是困难的，必须借助于计算机的处理。，将动手编程和软件运用相结合。《计算方法》课程中的算法可以由不同的软件进行实施，如Matlab、C 语言都是很好的，既能够体现算法在计算机上的精确实现得到的近似解，也符合课程的规范。让学生动手进行编程，可以提高使用计算机处理实际问题的兴趣、提高软件的运用能力及动手操作能力。但考虑到应该将计算结果用图像显示出来，以便于分析、检验和改进，且数学建模的很多问题是用Matlab 处理的，很多院校也使用Matlab 作为算法处理的软件。

综上，要用数学建模的思想引领计算方法课程的学习，应当采用循序渐进的方式，激发学生的学习计算方法课程的兴趣，增强他们的动手意识，提高他们用所学知识解决实际问题的能力，这才是我们要达到的目标。

参考文献：

[1] 李大潜.将数学建模思想融入到数学类主干课程[J].中国大学教学，2006，（1）：9-11.

[2] 陈辉，李文宇，张传芳.数值计算方法[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.

[3] 关治，陈景良.数值计算方法[M].北京：清华大学出版社，2004.

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【关键词】数值代数 教学改革 数学建模

【中图分类号】O15 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）11-0155-02

一、引言

数值代数课程是信息与计算数学专业的主干课程之一，主要包含：线性代数方程组和非线性方程与方程组的数值解法、特征值与特征向量的数值计算等内容[1]。因此，它是一门研究并给出解决数值问题近似解的数学方法并与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程。

在数学建模中，最终模型的求解经常利用到数值代数中的方法，比如分解法、迭代法等。因此，在讲解数值代数的时候将数学模型的思想引进来，让数值代数成为有源之水，使得理论联系实际，学生在学习中也会更加感兴趣，所以如何进行教学改革，进一步提高数值代数课程的教学质量越来越引起重视，并成为当前教育改革的热点之一。

二、《数值代数》实践教学中主要存在的问题

数值代数课程涉猎内容多，涉及知识面广，其基础包含了数学分析、高等代数、微分方程以及泛函分析等众多数学课程。由于这些课程理论性强，学生学习之后往往只对感兴趣的知识点记忆深刻，而对于很多内容仅有模糊的印象，因此在学习数值代数的时候会有很多基础知识需要重复学习。

在数值代数中数值算法都是对具体问题离散化之后的方程（组）进行处理，其中涉及到数值方法的构造，格式的推导，理论的证明，因此计算公式不仅较多而且复杂，学生在学习过程中很难做到熟练记忆、掌握与应用。

对于信息与计算科学专业的学生来说，仅仅学习数值代数中的数值计算方法与相应理论分析是不够的，通常要求学生熟练掌握科学计算软件Matlab、Mathematica、Mapple等。而在我国各高校，重视理论学习、轻视实践思想普遍存在，学生通常只是埋头做题，动手能力相对较弱，这就大大限制了学生的全面发展，也违背了数值代数这门课程的思想。因此教学内容和教学方法的改革对《数值代数》的教学会起到极大地促进作用。

三、《数值代数》课程教学改革

（一）教学方法的改革

在教学过程中，应该强调数值代数思想。信息与计算科学专业的学生毕业后有一部分继续攻读硕士研究生，但大部分学生是走入工作岗位，其中很多都是从事与计算机相关的行业。因此在讲授数值代数这门课程的时候，重点给学生讲授算法理论的思想。例如在实际计算中往往都是近似计算，因此我们要研究算法的误差理论；迭代法虽然算法简单容易实现，但是要有收敛性保证等等。这样对于一些繁琐的定理证明可以仅仅叙述定理思想，讲清证明思路，对于有兴趣进一步研究的同学进行单独答疑。平时的教学过程中重点培养学生思考数值方法的改造，方法的构造，方法的评价准则。可以通过科研训练、科技创新计划活动等培养学生查找阅读文献，发现与分析问题，应用数值分析方法解决问题的能力，也进而加深学生对基础理论的理解，提高专业兴趣以及分析问题、解决问题的能力。

通过多媒体视频资料等直观教学，充分调动学生的学习积极性，加深对问题背景的理解。例如在讲授最速下降法时，通过多媒体演示可以让学生明确地看到什么是最速下降方向，当增大条件数时，学生就会发现最速下降法的缺点：迭代解呈锯齿状逼近精确解，此时收敛速度极慢。

数值代数课程是一门理论与计算机紧密结合的课程，在教学过程中应加强上机实践教学环节。每讲完一个典型的算法，都应布置给学生上机作业，每章结束后，应让学生总结对于同一个问题的不同算法之间的计算精度、收敛速度、运算时间等以及为什么会出现这种情况。这样能培养学生分析问题解决问题的能力。

（二）数学建模思想融入的改革

数学模型是应用数学符号对某一实际问题或实际系统发生的现象（近似）的描述，数学建模的过程是：获得数学模型——求解该模型并得到结论——验证结论是否正确、合理并加以修改，最后到模型应用的全过程[2]。

然而，在数学建模竞赛中，由于竞赛时间的限制，学生创建模型往往会花去一半左右的时间，剩余的一天半中，要数值求解模型并撰写论文，这对很多学生来说往往很难完成，其主要原因就是针对模型数值求解往往没有现成的算法，学生对于算法思路掌握不够灵活，因此在日常的教学实践中应增强算法的来源的介绍，交代应用问题的背景，重点培养学生理解算法，掌握思想，进而可以灵活构造实用算法的能力。比如：如何确定权证的合理价值是证券发行商及投资者的首要问题，该问题可以建立非线性方程组的数学模型来解决。

四、结束语

随着现代科学技术的迅猛发展，各类数学软件的不断开发，数值代数的作用不论在传统计算数学领域还是在高新科学技术领域中，它的作用和影响会越来越大。因此《数值代数》课程教学改革需要教学工作者不断探索和改进，选择合适的教学内容，改进传统的教学手段，这样才能增加学生学习的积极性，进而让学生掌握这门课程并能灵活应用。

参考文献：

[1]张树功等，数值分析（上）[M]，高等教育出版社，2010

[2]姜启源等，数学模型[M]，高等教育出版社，2003

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数学建模可以为数学理论和金融问题搭建一座桥梁。数学模型在金融领域已经有广泛的应用，如证券投资组合模型、期权定价模型等。数学建模教育在金融人才培养中的作用是其他学科无法替代的，可以归结以下几方面：

1.提高学生的应用

数学素质以及学习兴趣数学建模教学是案例教学，以实际问题为背景，利用数学思想方法解决实际问题，可以很好地将数学理论与金融实际问题紧密结合。如在量化投资中，可以基于智能算法建立套利模型；利用最优化方法研究资产组合模型等。数学建模教学可以避免抽象理论知识的讲授，让学生认识到数学在金融中的重要应用价值。同时，激发了学生学习数学的兴趣，发现了数学的无穷魅力，提高对数学的认可度，体会到数学是一种重要工具。数学建模课程中讲授了大量的数学建模思想方法，如时间序列分析、最优化方法、微分方程、智能算法等。常言道：授人以鱼，不如授人以渔。通过数学建模的学习与训练，可以拓宽学生的知识面，提高学生应用数学解决实际问题的能力。

2.培养学生的科研创新能力

数学建模是一个不断探索的创造性过程。从不同的角度理解，同一个问题会得到不同的数学模型以及求解方法，没有统一的标准答案，这为学生留出自由发挥的广阔空间。在建立数学模型之前，必须查阅大量的资料，获得自己所需要的信息。数学建模最终解释实际问题必须以论文的形式呈现。经过数学建模训练之后，学生的创新能力有了显著的提升。例如我校获得国家二等奖的小组，被选中参与量化投资大赛，最后也获得了全国二等奖。因此，数学建模教育有助于提高学生的文献查找能力以及论文撰写水平、培养学生探索、研究能力、创造性地运用综合知识解决实际问题的能力。

3.增强学生的综合

素质数学建模教育除了培养学生应用数学的能力之外，还有一个目的就是为参加数学建模竞赛做准备。数学建模竞赛是以小组为单位开展工作，3个人分工明确，但又不可独立开来。面对复杂的赛题，3个人只有共同思考、互相启发、各司其职、、攻坚克难才能在规定的时间内完成。这种竞赛模式培养了学生团队合作精神以及攻坚克难的毅力，为今后能更好地适应工作中的挑战奠定基础。除以上之外，在数学建模过程中还培养了学生想象能力、抽象思维能力、发散思维能力、开拓创新能力、学以致用能力、综合判断能力、计算机编程能力等。而这些能力恰恰是21世纪金融人才应该具备的素质。可以说一次参与，终身受益。数学建模为培养应用型创新型复合型金融人才提供了有效手段。

二、地方金融类院校开展数学建模教育措施

1.重视数学基础知识

在金融中的应用高等数学中，我们可以用泰勒级数去近似一个抽象函数。教师在讲授这节内容时，可以将其用于研究债券价格的变化以及波动性。在概率论中，概率分布研究不确定事件发生的可能性。二项分布在金融中最常见的应用是关于债券价格的变化。概率分布可以用于预测资产价格或资产收益率的未来分布。如果在高等数学、线性代数、概率论与数理统计等公共基础课上适当引入以金融知识为背景的例子，学生将更加深入体会到所学的抽象内容在现代金融的有用武之地，有助于提升学生学习数学的兴趣。然而，要在数学基础课堂上将数学知识与金融专业知识相结合又是不容易的。数学基础课程大多数为公共基础部承担，大部分教师没有金融背景。因此，在招聘数学教师时应该适当考虑有金融背景的数学教师。

2.将数学建模思想方法与现代金融相结合

现代数学包含各门学科知识和数学方法。数学建模课堂上，教师讲授大量的数学建模思想方法，如优化理论、多元统计分析、预测方法、回归分析、现代优化算法、综合评价法等。而数学建模教学采用的是案例教学法，如果能将其与现代金融相结合，有助于提升利用数学知识的能力，同时可以加深理解专业知识。以量化投资中多因子选股模型为例，在选股的时候，人们经常使用的方法是基于基本面或技术面。新兴的量化投资也慢慢发展起来，相比传统方法，量化投资更加客观、理性。多因子选股模型是采用一系列因子作为选股标准，建立过程主要为候选因子的选取、有效性检验、冗余因子剔除、综合评分模型的建立和模型的评价与改进。这一建模过程为数学建模思想方法与现代金融相结合提供了很好的范例。

3.开设金融建模与编程或数学实验选修课

大数据时代对金融人才提出了更高的要求。互联网金融、大数据金融要求金融人才必须具备一定处理数据、分析数据、计算数据的能力。目前，一些金融行业要求求职者必须具备一定编程能力，特别是熟练使用Matlab以及C语言。通过开设金融建模与编程或数学实验选修课可以培养学生的编程能力以及计算能力，为今后就职奠定基础，增加就业筹码。对于一个金融问题，通过问题假设、分析、建立模型，之后，还得借助计算机求解。比如金融分析中的优化问题、回归分析方法等。事实上，这些方法都有现成的函数可以调用。各种数学软件都有各自的优势所在，而对于金融模型，笔者更青睐于使用Matlab软件。Mtalab的编程语言和规则简单，较容易入门。在金融领域有以下几种工具箱：金融数据工具箱、计量经济学工具箱、金融衍生品工具箱、优化工具箱、统计工具箱。使用这些工具箱可以进行投资组合优化和分析、预测和模拟等。比如我们可以基于Matlab平台，采用蒙卡洛模拟方法模拟新股申购中签过程。

4.以竞赛或立项为载体，提升建模能力

目前，数学建模活动在我校开展两年以来，先后组织学生参与全国数学建模竞赛、“华东杯”数学建模竞赛等，取得了一项国家二等奖以及多项省赛区一等奖。我校数学建模课程为全校公共选修课，学生参与数学建模活动热情还有待进一步提升。事实上，金融院校的学生学习了统计学、多元统计分析、运筹学、计量经济学、时间序列分析等。学完这些知识再经过适当培训完全可以胜任数学建模比赛。为了更好地发挥数学建模对金融人才的积极作用，我们必须通过各种形式宣传、引导学生了解数学建模比赛，同时学校应该给予更多的政策支持，组织、鼓励学生参与数学建模竞赛、统计建模竞赛、创新创业训练项目。以竞赛或立项为载体，项目为驱动，利用数学知识解决实际问题，特别是将数学知识与金融专业知识相融合，为应用型创新型金融人才的培养提供新途径。

三、结语

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教育国的核心是培养创新型人才。全国大学生数学建模竞赛是高校中参加人数最多、影响最广泛的学科竞赛之一，此项赛事由教育部高教司和中国工业与应用数学学会联合主办，迄今已举办21届，它对创新型人才的培养起到了不可估量的作用，未来也将日益显现它这方面的作用。长春理工大学从1996年开始参赛，成绩斐然，已累计获得国家级奖40余项，年均3项，2013年我校共有51队153人参加全国赛，是吉林省除吉林大学外参赛队数最多的高校。其中9队获得国家一等奖，11队获得省一等奖，21队获省二等奖，8队获省三等奖，获奖率位居吉林省参赛高校前列。这主要归益于以下几方面：

一、赛前的动员及组织情况

赛前周密的宣传组织工作是本次大赛取得成功关键因素之一。我校一直把组织数模竞赛作为一项重要的教学活动纳入了全年工作日程，专门成立了数学建模竞赛领导小组，协调、督促、组织数学建模竞赛各项准备活动。通过海报、课堂、网站等多种形式宣传开展数学建模活动，鼓励各学院学生踊跃报名。

二、竞赛具体过程管理和实施情况

由专人统筹负责竞赛工作。从每年四、五月份开始采取校级、省级竞赛层层选拔的制度，把最优秀、最渴望参赛、最有能力的队员吸纳进来组成国家赛参赛队伍。对于国赛队员将认真组织赛前培训和辅导工作。

三、本年度竞赛获奖情况分析

今年我校共有51个队参加了全国大学生数学建模竞赛，获得国家奖9项，省级奖40项，获奖率几近100%。

四、竞赛过程中存在的问题及拟解决的措施

1.竞赛过程中存在的主要问题还是数学软件使用和写作两方面，在今后的培训和其他级竞赛中应加强这两方面的训练。另外宣传力度也有待加强。

2.今年全国赛我校51队中有35支代表队选择了A题，此题是交通占道问题对城市交通能力的影响问题，实质是利用数学方法建立模型，需要学生有较好的微积分、常微分方程、运筹学等课程基础，正是由于我校平时对大一大二的数学基础课的精心讲解和严格要求才使得我校学生有信心也有能力作出此题并取得了如此好的成绩，今后我们将继续加强数学基础科的教学工作，同时注意在教学中渗透数学建模的思想、方法，培养学生参加建模的兴趣。并希望以数学建模工作为平台，通过多种形式大力开展数学建模教学与研究活动，以赛促学、以赛促教，以竞赛推动教学研究，以教学研究提高竞赛质量。B题选择队数相对较少，原因主要是该题是关于碎纸文字的拼接复原模型，需要队员熟悉算法，精于编程，大多数同学不敢碰此题原因就是编程能力过弱。

3.国家赛获奖结果反映出理学院、计算机科学与技术学院、光电工程学院、电子信息工程学院的学生获奖人数占到98%，创新实验班参赛人数并不多，仅占总人数的33%，特别是计算机科学与技术学院的创新实验班仅有8人参加，不及总人数的6%。

五、对学校的建议和意见

1.认真组织各级数学建模竞赛，建议提前到3月中旬组织校数学建模竞赛，改进选拔方式，通过评审、教师推荐、答辩精选国赛参赛队员，加大对数学软件、算法的培训；5月下旬到7月中旬，利用周六对选拔出的学生进行实战培训，建议全体队员模拟实战，完成3-4道往年的竞赛题目，并提交论文，指定专门教师负责指导。

2.进一步宣传发动，动员更多的学生参加数学建模竞赛，特别是加大对计算机学院的宣传力度，争取更多的计算机科学与技术学院，特别是动员计算机科学与技术学院创新实验班的同学参赛。

3.继续举办大学生数学建模培训，切磋技艺，交流经验，提高水平。组织教师精讲获国家奖的学生论文。同时每年选派2至3名指导教师参加建模交流会议及理论学习，也让更多教师参与数学建模类教改科研项目，将数学建模作为一件可持续发展的项目开展。

4.抓好数学建模基地建设，定期做讲座和研讨，打造一支高素质建模指导教师队伍。

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关键词：暖通空调制冷系统;系统建模;发展趋势

Abstract: in this paper the refrigeration system modeling and optimization control this impact hvac system efficiency and control the key problems, through to the refrigeration system of refrigerator, and the whole system of the expansion valve, the principle of the characteristics are analyzed and summarized the refrigeration system and key components of modeling and optimization technology development, this paper analyzed the mechanism and kinetics equation modeling based on the modeling method for refrigerator, throttling parts key components and system the advantages and disadvantages of each method, based on single input and single output/input/output and all kinds of control strategy are analyzed. According to the development of related technologies, points out the refrigeration system control technology in the future development tendency.

Keywords: hvac refrigeration system; System modeling; Development trend

中图分类号：U463.85+1文献标识码：A 文章编号：

引 言：目前 ,我国的制冷设备所消耗的电能占到全国总耗电量的 6 %～7 %. 在一些大城市 ,夏季空调设备的用电量占到 30 % ,而制冷机是制冷设备中耗能最大的部分 ,在中央空调系统中约占系统能耗的 50 %. 现有的制冷设备 ,一般都将最佳效率点设定在额定容量输出上. 而实际上 ,由于空调等制冷设备的工作状态经常低于额定容量 ,这时的热效率远低于额定负荷下的运行效率 ,大量的能源被浪费掉,因此 ,降低制冷设备的能耗已经成为缓解我国能源紧张的一个重要途径,同时也是实施我国经济和社会可持续发展战略的一项重要内容.制冷机是空调系统的核心 ,由于制冷机占整个空调系统的能量消耗比例很大 ,制冷系统控制方法对整个空调系统运行效率影响非常大 ,因此 ,近年来制冷系统的建模与优化控制的研究成为暖通空调和控制领域研究的热点问题之一. 从时间顺序上看 ,制冷系统的建模与控制经历了从单体建模到整体建模 ,从单输入单输出控制向多输入多输出控制的有机过渡. 本文试结合当前国内外该领域的研究成果 ,对制冷系统的建模与控制做一综述.

1 蒸汽压缩空调制冷系统数学模型的发展情况

1. 1单体部件建模概述

蒸汽压缩系统可以分解成压缩机、膨胀阀、冷凝器和蒸发器这四个关键环节. 压缩机为制冷剂的流动提供动力 ,同时也是制冷循环能够实现制冷的关键部件. 该部件模型的计算决定了制冷剂流量的大小. 现有的压缩机有很多种类型 ,如活塞式压缩机、螺杆式压缩机、回旋式压缩机、离心式压缩机等. 建立压缩机模型的目的也就是求出压缩机出口制冷剂的质量流量和压缩机的转速的关系. 为了在保证计算精度达到要求的前提下尽量实现对系统的优化 ,必须对模型做大量的简化.很多模型通常如前面假设中所说的视压缩过程为绝热过程 ,这样的模型通用性强 ,但针对不同压缩机的容积效率和电效率是通过大量试验数据回归成经验公式来求得的.

节流部件是制冷系统的压力调节机构 ,是制冷循环高压区和低压区的分界点 ,它直接决定了系统的蒸发压力和冷凝压力. 制冷系统中常用的节流部件有热力膨胀阀、电子膨胀阀和毛细管等. 热力膨胀阀在汽车空调中应用广泛. 电子膨胀阀由于其自动化程度较高 ,常用于变频空调.由于电子膨胀阀能使系统所提供的制冷量对负荷的变化做出快速的反应 ,维持蒸发器出口制冷剂的过热度最佳 ,保证蒸发器的面积得到充分的利用 ,具有节能的特性 ,因而在变频空调系统中得到越来越广泛的使用.

蒸发器和冷凝器中制冷剂的贮存量占了整个系统的大部分 ,是热传递的主体部分 ,蒸发器和冷凝器所采用的模型的准确性直接影响系统模型的准确性. 制冷剂在换热器中以单相和气液两相态存在. 针对研究的不同目的和要求达到预期效果 ,可建立换热器的稳态分布参数模型、动态集中参数模型、动态分布参数模型和稳态集中参数模型.相对集中参数模型来说 ,分布参数模型的结果精确度更高 ,但占用的时间更多 ,收敛速度更慢. 但无论哪种模型 ,本质上都是基于热力学的三个基本方程 ,即连续方程、动量守恒方程和能量守恒方程来建模的.

1 .2单体部件建模的发展

经过研究热交换器中有两项流的动态模型. 为了简化两项流的表达式 ,利用换热器两项区的空隙部分的变边界方程建立了数学模型,即使采用集中参数法 ,整个两项区都可以在足够小的细节上加以讨论 ,而不必使用动量方程的形式.

有的模型是利用动量方程形式建立起来的模型. 其所建立的空气 ―――空气热泵系统模型使用了移动边界集中参数方程. 在文献中建立了所有的单体元件 ,包括热交换器风扇和电动机轴的动态数学模型. 然而 ,文献中并没有提及阀的动态特性.

利用集中参数法建立了制冷系统多个部件的数学模型 ,其中包括套管式蒸发器冷凝器、气冷式冷凝器及压缩机等部件的动态模型.其中的密封往复式压缩机的数学模型 ,所不同的是考虑了制冷剂的融解.利用流动模型建立了换热器的数学模型 ,模型中把蒸汽区和液态区区分开来 ,给出了两区之间的质量与能量的交换关系.

还有一种简化的由往复压缩机和套管式热交换器构成的液体冷凝系统的动态数学模型. 采用的热交换器的离散化方法.

1.3系统整体建模

得到单体模型之后 ,需要把各部分的模型拟合到一起 ,合成一个完整的系统. 系统算法大致可以分为两类:一般的解线性方程组的方法和物理顺序构建法.一种方法是采用一般的解线性方程组的方法 ,如常用的方法有龙格 -库塔法、牛顿 -拉弗森法等. 使用通用的软件编程工具 , 这种算法不要求使用者具有很高的算法设计水平和编程能力. 但它的最大缺陷是无法保证技术的绝对稳定性 ,计算过程的物理意义不明确 ,而且很难获得明确的计算过程信息以解决计算工程中的问题.

在大量研究人员建立起来的模型的基础上 ,对单蒸发器、双蒸发器以及更为一般化的多蒸发器蒸汽压缩系统建立动态的数学模型 ,以便用于预测控制和设计. 在文献中首先对制冷系统的单个元件进行建模 ,另外还建立了具有广泛适应性的多蒸发器蒸汽压缩系统的数学模型. 之后对模型做出简化 ,使阶次降低. 利用这个降阶的模型 ,针对单蒸发器系统设计多变量自适应控制器;更进一步 ,通过基于机理的非线性模型在设定点附近的线性化 ,得到整个系统的线性模型 ,最后得到一个完整的线性模型.很多人用它来控制一个双蒸发器的蒸汽压缩系统. 这两种控制策略都表现出很好的性能.

2 制冷系统控制算法的研究发展情况

由于制冷系统构成和运行机理非常复杂 ,因此冷媒的状态、流量的变化、热交换器的传热效率、压缩机的特性等很多因素都相互关联相互影响. 从工程应用目的出发 ,出现了把制冷控制系统简化成多个单输入/ 单输出控制系统和从优化控制目的出发的多输入/ 多输出控制系统的两类控制方案.

2 .1 单输入/ 单输出控制

目前 ,从单个元件来讲(压缩机与膨胀阀),以蒸发器过热度为目标的电子膨胀阀的控制算法和以制冷量为目标的压缩机控制算法中应用较多的仍然是 PID 控制.蒸发器进出口温度对阀开度的响应用两个带延迟的一阶传递函数模型表示 ,利用这个模型 ,详细讨论了 PI 控制对系统稳定性的影响. 通过对控制系统开环频率特性的 Nyquist 曲线分析发现 ,比例常数 K p 一定时 ,积分常数 K i数值由零增加 ,系统由稳定过渡到不稳定. 所以 ,PI 控制参数 K p , K i 值对稳定性的影响与热力膨胀阀的增益值对其流量的影响是类似的.

但是 ,由于 PID 控制器参数的整定是建立在简化的、不变的模型基础上的 ,而蒸发器过热度系统的数学模型很容易受到负荷、运行工况等条件的影响 ,所以简单的 PID 算法控制蒸发器的过热度在很多情况下难以达到满意的结果. 因此很多研究者针对这个问题将 PID 算法进行改进 ,实现PID 参数的在线校正 ,以达到更好的控制效果.同时有大量研究者采用 PID 算法控制热泵系统电子膨胀阀的运行 ,为实现蒸发器过热度的有效控制 ,需要在运行过程中动态调整 PID 参数.

2.2多输入/ 多输出控制

近年来 ,随着现代控制理论、智能技术及计算机微处理器技术的发展与成熟 ,采用高级控制策略 ,实现制冷系统的最优化控制成为了研究热点.基于制冷系统简化模型设计的独立单回路控制策略 ,不能真正实现制冷系统的最优化控制. 制冷控制正从单输入/ 单输出控制向多输入/ 多输出控制方向发展 ,控制器根据性能指标要求 ,同时控制多个变量 ,如压缩机转速、膨胀阀开度、冷凝水泵(冷风机) 转速等来同时调节蒸发器过热度和制冷量等.

如国内的西安交通大学和上海交通大学在这面进行过一些探索.采用仿真的方法研究了控制参数和干扰参数对制冷系统的影响 ,即分别研究了冷凝器风机风速、蒸发器风机风速、膨胀阀开度、压缩机转速、回风温度及环境温度变化对制冷系统的影响 ,为多变量控制器的设计提供了依据.

3 制冷系统建模与控制领域今后的发展方向

3.1 蒸汽压缩系统的动态模型的研究超过了 20 年.从找到的文献中可以看出 ,近年来大家都致力于研究更好的、更为细致的动态模型. 建模的目的大多是为了控制器的设计.

3.2高级控制策略的发展及应用

现有的中央空调系统主要致力于自动化水平的提高. 采用的是以传统 PID 为控制策略的回路控制 ,CPU 核心处理以 8 位单片机为主. 随着智能控制理论的发展 ,高级控制策略必将成为主流.可以实现被控对象在变负荷、多工况、任何初始条件下逐步学习达到最优控制的目的 ,从而实现各环节的最佳控制. 需要说明的是系统中的电子膨胀阀的稳定性专题研究尚不完善 ,基本上是照搬热力膨胀阀的经验.

结束语：

以上对空调系统的控制及其应用进行了简单的介绍，建筑物内的空调系统是一个复杂的系统，要想控制得好，要根据不同的空调设备，不同的建筑物来具体设计自动控制系统，才能充分发挥先进的自动控制系统的强大功能，真正达到节约能源，降低人员工作量的目的。可以预见，随着计算机技术、控制技术和通信技术的进一步发展，更完善的空调能量管理控制系统出现，给人类带来更舒适的居住环境。

参考文献：

[1]蔡龙俊等．住宅建筑集中空调系统的型式及特点．空调暖通技术[J]，1998，(2)。

[2]龙惟定等．试论中国的能源结构与空调冷热源的选择取向暖通空调[J]，2000，(5)。

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一、小学数学模型思想

在整数的运算中，学生掌握的整数四项基本单向运算的方法是小学接触的数学模型，十进制是表示数的基本模型，是日常生活中使用最多的计数方法。一年级学生接触的“凑十法”与“破十法”就是以其为基础“一看（看大数）、二拆（拆小数）、三凑十、四连加”的思考过程，实际上就是学生在教师指导下建立的较为复杂的数学模型。因此，在小学生的数学教学过程中，不可避免地要用到数学建模思想。

二、开展数学建模活动的途径

数学建模活动的开展是为了培养学生的思维能力以及创新能力，因此，在小学数学教学中要革新思想，用数学建模的思想去进行数学教学。开展数学建模活动需要老师和学生的共同努力，老师要加强对数学建模的重视，在教学过程中渗透建模思想，学生要积极配合老师，团结合作共同完成建模过程。

数学建模的过程离不开资料的收集，因此，教师可以结合教材创造数学情境，让学生在学习的过程中获得“搜集资料、建立模型、解答问题”的体验。例如，西师版教材中三年级上的第九章的总复习――数学文化：中国的四大发明之一――指南针，四面八方，平年、闰年的来历，可以通过让学生收集资料，并解答相应的问题，通过合作、收集资料、解答的过程体验数学建模。

上好实践活动课程对学生模仿建模有很好的指引作用，老师在教学过程中给学生提供信息资料，引导学生进行问题分析以及资料的收集，提高学生的思维能力。结合教材内容，对教学内容进行整合，并融入生活中。例如，西师版教材中实践活动――做一个家庭年历，结合生活实际，同时在要求学生理解年、月、日概念的情况下，考虑当下的问题背景：今年是什么年份，有几月，一月有几天，并对年历进行设计规划，是一个很好的建模过程。

改编教学习题，使数学建模成为一种自觉行为。例如，在西师版小学数学中关于圆柱体和正方体体积的计算中，通过建立数学关系，探讨圆柱与正方体的关系，在体积相同时，圆柱的底面半径、周长、高与长方体的长宽高的联系（圆柱的底面半径等于长方体的高，底面周长等于长方体的长，圆柱的高等于长方体的宽），进而解决练习题中关于圆柱和长方体体积的转变计算。

三、数学建模思想在小学数学教学中的应用

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【关键词】高中数学；数学建模

一、正确认识数学建模

（一）什么是数学建模

谈到数学建模，首先要知道什么是数学模型。数学模型是人们对于某一特定对象，为了一定的目的，根据对象特有的内在规律，运用数学工具得到一个数字结构，这个数字结构可以是数学公式，算法，表格，图示等。数学建模简而言之就是建立数学模型。当然，建立数学模型的目的是解决实际问题，要在建立数学模型的基础上进行求解，验证和应用。所以，我们可以把数学建模定义是一种数学的思考方法，是运用数学语言和方法，通过抽象，简化，确立起一种数学结构并进行求解，验证，从而能为实际问题的解决提供有效的数学手段。

（二）建模的意义

数学是从实践中产生的，数学的意义在于解决实际问题，应用数学方法解决实际问题，首要和关键的一步就是建立数学模型。从自然科学到社会科学，从科技前沿到日常生活，数学建模无处不在。

二、数学建模在高中数学中的体现

（一）高中数学在教材中的体现

高中数学“人教A版”教材在序言，课题引入，探究与思考，例题，习题，阅读材料和实习作业等方式中都编排应用问题，从不同的角度，不同维度对数学建模与应用进行介绍。

序言一般通过介绍数学历史或一个现实问题引入该章的知识内容、突出本章知识所占据的地位和学习本章的重要性。

课题引入：在具体情境中说明实际问题，进行概念引入。

探究与思考：用来引出新知识，巩固知识，深化知识。

例题，习题：培养分析，解答能力，使学习掌握解决问题的一般思路和方法。

阅读材料和实用作业：目的是扩大了学生的阅读面，利于激发学生的学习兴趣。

（二）高中数学建模在高考中体现

从对高考数学应用题考察量的统计和对高考数学应用题考察内容的统计。

1.统计了2006年至2015年全国各地的这10年数学建模相关的应用性高考题，从地区维度比较可以发现，高考题中体现数学建模思想的应用题比例大多区域稳定，维持在10%之上，时间维度比较，数学建模解决问题的思想越来越受到人们关注。

2.高考题中的应用性问题大体上可以分为初等模型中的函数模型（包含数列类应用知识）概率统计模型，不等式模型，三角模型，排列组合模型和几何模型

三、案例（数列类应用知识）

你正在为你父母的投资选择充当顾问，你的父母早就想改善住房条件，5年前在银行开设5年期零存整取账户，坚持每月在工资发放当天存入现金1000元，从没间断，今年刚好到期，最近，你的父母看中一套价值20万的房子，决定从银行取出这笔村存款，不足部分再向银行申请按揭贷款，我们在一起研究你的父母还需要向银行贷多少款？

问}分析：题中所要解决的问题：父母存款额，需贷款额，父母的偿还能力，模型假设。银行存贷款利率不随物价波动，即为常数，模型建立与分解。母现在共有存款多少？还需贷款多少？

在上述简化假设下，父母五年存入5*12*1000=60000元 每笔款子由于存期不同所得本利也不同，按单利计算，当年五年期零存整取的日利率为8/1000，每期一个月，1000元每期的利息为：

1000*8/1000=8元，设按本金存入顺序本利和依次为：

a1、a2.....a60

则a1=1000+60*80 a2=1000+59*8 a3=1000+58*8

a60=1000+8

故{an}为公差d= -8的等差数列

求等差数列前几项和Sn=n（a1+an）/2=74640元

200000-74640=125360元

父母现有存款74640元，还需向银行贷款约13万元。

建模思想在数学学习起到了很重要的作用，用好建模思想，让数学变得有趣，简单，易懂。

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正如弗赖登塔尔所认为的：“学生自己发明数学就会学得更好”，“让他们经历数学化的过程，这是教学的第一原则”。

一、建模的策略

1、精选问题，创设情境，激发建模的兴趣。

数学模型都是具有现实的生活背景的，这是构建模型的基础和解决实际问题的需要。如构建“平均数”模型时，可以创设这样的情境：4名男生一组，5名女生一组，进行套圈游戏比赛，哪个组的套圈水平高一些？学生提出了一些解决的方法，如比较每组的总分、比较每组中的最好成绩等，但都遭到了否决。这时 “平均数”的策略应需而生，构建“平均数”的模型成为了学生的需求，同时也揭示了模型存在的背景、适用环境、条件等。

2、充分感知，积累表象，培育建模的基础。

数学模型关注的对象是许多具有共同普遍性的一类事物，因此教师首先要给学生提供丰富的感性材料，多侧面、多维度、全方位感知这类事物的特征或数量相依关系，为数学模型的准确构建提供可能。如一年级“凑十法”模型构建的过程就是一个不断感知、积累的过程。首先通过探究学习9加几的算法，初步了解凑十法；接着采取半扶半放的方式学习“8、7加几”的算法，进一步感知凑十法更广的适用范围；最后，学习6、5、4加几，运用凑十法灵活解决相关计算问题。学生经历了观察、操作、实践、讨论，体验到了“凑十法”的内涵，为形成“凑十法”的模型奠定了坚实的基础，提供了充分的准备。

3、组织跃进，抽象本质，完成模型的构建。

实现通过生活向抽象数学模型的有效过渡，是数学教学的任务之一。具体生动的情境问题只是为学生数学模型的建构提供了可能，如果忽视从具体到抽象的跃进过程的有效组织，那就不成其为建模。如四年级上册“平行与相交”，如果只是让学生感知火车铁轨、跑道线、双杠、五线谱等具体的素材，而没有透过现象看本质的过程，当学生提取 “平行线”的模型时，呈现出来的一定是形态各异的具体事物，而不是具有一般意义的数学模型。而“平行”的数学本质是“同一平面内两条直线间距离保持不变”，教师应将学生关注的目标从具体上升为两条直线及直线间的宽度（距离）。可以让学生通过如下活动来组织跃进过程：

（1）提出问题：为什么两条直线永远不相交呢？

（2）动手实验思考：在两条平行线间作垂线。量一量这些垂线的长度，你发现了什么？你知道工人师傅是通过什么办法使两条铁轨始终保持平行的吗？

经历这样的学习过程，学生对平行的理解必定走向半具体半抽象的模型，从而构建起真正的数学认识。在这一过程的组织中，教师要引导学生通过比较、分析、综合、归纳、操作等思维活动，将本质属性抽取出来，构成研究对象本质的关键特征，使平行线完成从物理模型到直观的数学模型，再到抽象的数学模型的建构过程。

4、重视思想，提炼方法，优化建模的过程。

不管是数学概念的建立、数学规律的发现还是数学问题的解决，核心问题都在于数学思维方法的建立，它是数学模型存在的灵魂。如《圆柱的体积》教学，在建构体积公式这一模型的过程中要突出与之相伴的“数学思想方法”的建模过程。一是转化，这与以前的学习经验相一致，是将未知转化成已知；二是极限思想，这与把一个圆形转化为一个长方形类似，是在众多表面上形态各异的思维策略背后蕴藏的共同的具有更高概括意义的数学思想方法。重视数学思想方法的提炼与体验，可以催化数学模型的建构，提升建构的理性高度。

5、回归生活，变换情境，拓展模型的外延。

人的认识过程是由感性到理性再到感性循环往复、螺旋上升的过程。从具体的问题经历抽象提炼初步构建起相应的数学模型，并不是学生认识的终结，还要组织学生将数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。如初步建立起来的“鸡兔同笼”问题模型，它是通过“鸡”、“兔”来研究问题、解决问题从而建立起来的。但建立模型的过程中不可能将所有的同类事物列举穷尽，教师要带领学生继续扩展考察的范围，分析当情境数据变化时所得模型是否稳定。可以出示如下问题让学生分析：

9张桌子共 26人，正在进行乒乓球单打、双打比赛，单打、双打的各几张桌子？”“甲、乙两个车间共 126人，如果从甲车间每 8人中选一名代表，从乙车间每 6人中选一名代表，正好选出17名代表。甲、乙两车间各有多少人？”……这样，便可使模型不断得以丰富和拓展。

二、拓宽建模的途径

开展数学建模活动，关注的是建模的过程而不仅仅是结果，更多的是培养思维能力，特别是创造能力。因此，在小学数学教学中要转变观念，革新课堂教学模式，以“建模”的视角来处理教学内容。

1、根据教学内容，开展建模活动。

教材中的一些内容已经考虑按照建模的思路编排，教师要多从建模的角度解读教材，充分挖掘教材中蕴含的建模思想，精心设计和选择列入教学内容的现实问题情境，使学生从中获得“搜集信息，将实际问题数学化，建立模型，解答问题，从而解决问题”的体验。

2、上好实践活动课，为学生模仿建模甚至独立建模提供有效指导。

重点应放在对问题背景、问题条件的考察以及模型建立过程的引导与分析上，力图使学生弄清其中所蕴涵的思维方式与方法。可以结合教材内容，适当对各种知识点进行整合，并使之融进生活背景，生产出好的“建模问题”作为实践活动课的内容。如苏教版六（上）安排了这样的问题：找10盒火柴，先在小组里拼一拼，看看把10盒火柴包装成一包有哪些不同的方法、怎样包装最节省包装纸。

3、改编教材习题，放大功能，使建模教学成为一种自觉行为。