建立数学模型的方法范文

导语：如何才能写好一篇建立数学模型的方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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【摘要】 目的 探讨慢性高尿酸血症大鼠模型的建立方法。方法 雌性Wistar大鼠40只，随机分为对照组和模型组，模型组饲以高酵母饲料并给予腺嘌呤100 mg/(kg·d)灌胃，定期监测大鼠血尿酸水平，血尿酸水平开始下降时，改进造模方法，模型组饲以高酵母饲料，并以腺嘌呤溶液50 mg/(kg·d)灌胃，同时给予氧嗪酸钾乳悬液100 mg/(kg·d)分2次皮下注射，以维持大鼠高尿酸血症状态。结果 实验第14天始，模型组大鼠血尿酸水平均显著高于对照组(t=5.438～8.404，P

【关键词】 高尿酸血症;腺嘌呤;酵母;尿酸酶抑制剂;模型，动物;大鼠，Wistar

[ABSTRACT] Objective To study the method of creating a model of chronic hyperuricemia in rats. Methods Forty female Wistar rats were evenly pided into control group and model group in random. The rats in model group were administrated with adenine 100 mg/(kg·d) by gavage and yeastrich forage. Blood UA， CR and BUN were detected regularly. To improve the modeling method when serum uric acid levels started to decline. The rats were then administered with adenine， 50 mg/(kg·d)， by gavage and yeastrich forage， and meanwhile， hypodermic injection of Oxonic Acid 100 mg/(kg·d)， piding into two doses， to maintain hyperuricemia. Results Beginning from 14th day of the experiment， the blood uric acid level of rats in model group was obviously higher than that of the controls (t=5.438-8.404，P

[KEY WORDS] hyperuricemia; adenine; yeast; uricase inhibitor; model， animal; rat， Wistar

痛风是一种以血尿酸水平升高为特征的代谢性疾病，近年来，随着生活水平的提高，高尿酸血症和痛风的发病率逐年上升，痛风可以引发动脉平滑肌细胞增殖导致高血压[13];心脑血管病并发高尿酸血症的病人易诱发急性心肌梗死、中风，导致病死率增高[4]。作为代谢综合征的组分之一，高尿酸血症与代谢综合征的其他组分如：高血压、糖代谢紊乱、脂代谢紊乱、肥胖、动脉粥样硬化等常并存而且相互影响[5]。因而研究高尿酸血症与代谢综合征其他组分的相互作用的机制及研制防治痛风和高尿酸血症的药物已成为当前医学界研究的热点，但慢性动物模型建立困难严重影响着研究工作的开展。本实验拟采用高嘌呤饮食和尿酸酶抑制剂相结合的方法，使用腺嘌呤、酵母、尿酸酶抑制剂复制大鼠慢性高尿酸血症模型，观察造模后受试动物血尿酸水平的变化，同时观察该模型对肾脏的损伤，为建立持续性高尿酸血症及痛风模型提供依据。

1 材料与方法

1.1 实验动物

雌性Wistar大鼠40只，体质量(170±20)g，由青岛市药检所提供，饲养于我院实验动物中心SPF级动物饲养房，915 h日夜交替，普通大鼠颗粒饲料喂养，大鼠自由饮食饮水。

1.2 实验仪器和试剂

全自动生化分析仪(Sysmex CHEMIX180，日本);氧嗪酸钾(美国Sigma公司);羧甲基纤维素钠(分析纯，中国上海亨达精细化学品有限公司);生化试剂(青岛益信医学科技有限公司);酵母干粉(安琪酵母有限公司);腺嘌呤(美国Amresco公司)。

1.3 各种灌胃液及高酵母饲料的制备

1.3.1 羧甲基纤维素钠乳剂的制备 电子称量仪准确称取羧甲基纤维素钠粉剂，用生理盐水配成8 g/L乳状液。

1.3.2 氧嗪酸钾溶液的制备 使用电子天平准确称取氧嗪酸钾，用8 g/L羧甲基纤维素钠配成终浓度25 g/L的生理盐水乳悬液[6]。

1.3.3 腺嘌呤溶液制备 将腺嘌呤以蒸馏水溶解成4.0 g/L的悬浊液，置4 ℃冰箱备用。

1.3.4 高酵母饲料的制备 将酵母干粉均匀拌入粉碎的大鼠颗粒饲料中重新压粒成形，控制其在饲料中的质量分数为0.10。

1.4 实验分组及方法

大鼠适应性饲养7 d后，随机分为对照组20只、模型组20只。根据文献[7]的方法，模型组饲以质量分数0.10的高酵母饲料，并以100 mg/(kg·d)腺嘌呤溶液灌胃，以制备高尿酸血症模型;对照组饲以普通大鼠颗粒饲料，并给予同体积蒸馏水灌胃。每周监测血尿酸水平变化，第7周血尿酸水平开始下降时，改进造模方法，模型组饲以质量分数0.10的高酵母饲料，并以50 mg/(kg·d)腺嘌呤溶液灌胃，同时给予氧嗪酸钾乳悬液100 mg/(kg·d)分2次皮下注射，以维持大鼠高尿酸血症状态;对照组饲以普通大鼠颗粒饲料，并给予同体积蒸馏水灌胃，继续监测血尿酸水平。

1.5 实验指标检测

1.5.1 大鼠饮食、体质量等一般情况监测 每日观察两组大鼠进食情况、精神状态;每周监测大鼠体质量变化。

1.5.2 生化指标的监测 大鼠禁食14 h后，内眦静脉采血，分离出血清，在全自动生化分析仪上测定血尿酸(SUA)、肌酐(Cr)、尿素氮(BUN)、三酰甘油(TG)、总胆固醇(TC)水平。

1.5.3 24 h尿量和尿的尿酸浓度测定 将大鼠放入大鼠代谢笼中24 h以收集尿液，自由饮水，记录24 h总尿量。然后将全部尿液混匀，留取5 mL，测尿酸浓度。

1.6 统计方法

应用SPSS 17.0及PPMS 1.5[8]统计软件进行统计处理。

2 结 果

2.1 两组一般状态比较

随着造模时间的延长，模型组饮水量逐渐增加，最高饮水量达对照组的2～3倍;同时体质量逐渐下降，尿量逐渐增多，体毛干枯无光泽、精神委靡、活动减少等，严重者出现肌肉震颤、抽搐，衰竭而死亡，本组共死亡6只大鼠。对照组饮水量、尿量、体质量无明显变化，反应机敏，活动正常，体毛有光泽，无大鼠死亡。

2.2 两组血生化水平比较

2周后模型组大鼠血清SUA水平明显升高，与对照组相比差异均有显著意义(t=5.438～8.404，P

2.3 尿液变化

模型组3周后尿量逐渐增加，肾脏排泄尿酸功能减退，尿尿酸减少，同时尿密度减低，5周时与对照组相比差异均有显著性(t=5.553～18.296，P

2.4 病理变化

对照组大鼠肾脏外观无肿胀，色红有光泽，包膜易于剥离，肾小球、肾小管形态正常，皮质、髓质分界清楚。模型组大鼠肾脏体积增大，两肾呈灰白色，表面呈颗粒状，肾包膜与肾实质粘连不易剥离， 切面皮髓质分界不清。光镜检查：对照组肾小球囊腔内未见异常物质，肾曲小管、集合管亦未见异常病变。模型组部分肾小球萎缩，数量减少，肾小管浊肿，肾小管及间质部位有较多的尿酸盐结晶沉积， 结晶周围可见异物巨细胞反应，间质有灶性淋巴细胞浸润，个别区域有灶性纤维化;高倍镜下观察肾小管间质部位，可见尿酸盐结晶呈针状、双折光放射形排列。

3 讨 论

尿酸是人类嘌呤代谢的终产物，其血中浓度受遗传和环境两种因素的影响。原发性痛风的病因，除1%～2%的病人与先天性酶缺陷有关外，多数病因不明，但临床可见有相当一部分因进食高嘌呤饮食而诱发。高嘌呤饮食可使SUA浓度升高，甚至达到相当于痛风病人的水平[9]。所以，高尿酸血症是痛风重要的生化基础，痛风危险性与SUA水平有明显的相关性[1]。

近年来，高尿酸血症和痛风的发病率逐渐上升，发病年龄提前，对其病因学、流行病学、分子遗传学的研究渐成为热点。临床治疗正成为大家所关注的问题。高尿酸血症动物模型的建立，为开发研究验证治疗药物提供了一种有效途径，而至今国内外尚没有关于慢性高尿酸血症模型制备的统一报道，有待于进一步探讨。目前关于高尿酸血症动物模型的制备，国内外尚未有明确统一的方法，其中氧嗪酸钾作为体内尿酸酶的有效抑制剂用于制备高尿酸血症动物模型的方法因为灵敏、简便、重复性好，在国际上已普遍得到采用，但一般为短期造模。

本实验选用雌性Wistar大鼠，联合应用酵母饲料饲喂、腺嘌呤灌胃和尿酸酶抑制剂皮下注射制备慢性高尿酸血症模型，观察SUA水平及肾功能变化。实验第14天始，模型组SUA水平均显著高于对照组，提示高尿酸血症模型制备成功。同时，模型组Cr、BUN水平亦高于对照组(P

应该承认，目前尚无理想的动物模型问世。本实验结合应用几种模型，在时效性、稳定性方面有所改善，但仍存在不足。人体产生的尿酸约有2/3经肾脏随尿液排除，因此，高尿酸血症必然影响到肾功能的减退[10]。本实验模型组大鼠出现尿酸盐肾脏沉积现象，导致肾脏排泄尿酸功能减退，尿尿酸减少以及尿量增多、尿密度减低，结合肾脏免疫组化染色光镜下肾小管浊肿，肾小管及间质部位有较多的尿酸盐结晶沉积，考虑肾小管浓缩功能受损。如何建立与人体尿酸代谢异常相似的动物模型，深入开展痛风和高尿酸血症动物模型的研究，成为当前痛风研究中亟待解决的问题。

【参考文献】

[1]MAZZALI M， KANELLIS J， HAN L， et al. Hyperuricemia induces a primary renal arteriolopathy in rats by a blood pressureindependent mechanism[J]. Am J Physiol Renal Physiol， 2002，282(6):F991997.

[2]MAZZALI M， HUGHES J， KIM Y G， et al. Elevated uric acid increases blood pressure in the rat by a novel crystalindependent mechanism[J]. Hypertension， 2001，38(5):11011106.

[3]SANCHEZLOZADA L G， TAPIA E， AVILACASADO C， et al. Mild hyperuricemia induces glomerular hypertension in normal rats[J]. Am J Physiol RenalPhysiol， 2002，283(5):F11051110.

[4]IWATANI M， WASADA T， IWAMOTO Y， et al. Insulin sensitizer and urate metabolism[J]. Nippon Rinsho， 2000，58(2):430434.

[5]李东，曹丽华，张惠英，等. 高尿酸血症370例分析[J]. 中华风湿病学杂志， 1999，3(4):244246.

[6]王颜刚，陆付耳，吴燕群. 复方中药降尿酸合剂干预高尿酸血症大鼠血尿酸水平的剂量依赖性[J]. 中国临床康复， 2006，19(10):105107.

[7]王静，苗志敏，李长贵，等. 高尿酸血症大鼠肾小管上皮细胞OAT3表达的变化[J]. 青岛大学医学院学报， 2008，44(4):298230.

[8]周晓彬，纪新强，徐莉. 医用统计学软件PPMS 1.5的组成和应用特点[J]. 齐鲁医学杂志， 2009，24(1):2932.

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关键词：数学模型；数学结构

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）16-221-01

一、在小学阶段，数学模型是数学学习内容中的重要部分

小学生学习数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的过程。小学数学模型的表现形式为一系列的概念、算法、性质、定律及公理等。同样，概念系统和算法系统本身也是重要的数学模型，又是构建其他数学模型的基础，学生对这些知识的把握是至关重要的。帮助小学生建立并把握好有关的数学模型，就把握住了数学的根本。小学数学教学中的数学模型化思想

二、数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁

建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。并且，建立模型更为重要的是，学生能体会到从实际情景中发展数学，获得再创造数学的绝好机会。在建立模型、形成新的数学知识的过程中，学生能更加体会到数学与大自然及数学与社会的天然联系，从而使学生从现实问题情景中学数学、做数学、用数学。这样，数学教学中的“问题解决”才有了相应的环境与平台。数学模型化思想是“问题解决”的重要形式

三、在教学中由浅入深、由易到繁地渗透数学模型法思想

不仅可以强化学生对数学基础知识的学习，还可以培养数学应用意识，提高学生的实践能力。从简单问题入手，引导学生学会运用转化思想建立数学模型，使实际问题具体化、数学化，然后运用数学方法求出了数学模型的解，从而使问题得到解决。在解决问题的过程中，学生们真正感受到了数学模型法的魅力，数学的应用价值；感受到了数学模型法使许多数学问题不再神秘莫测，能够顺利求解。数学模型法促使学生学会观察、分析、综合、概括、归纳、类比、判断，学会怎样应用数学、怎样学习数学。模型化思想是培养学生“用数学”的重要途径

四、数学模型化思想在小学数学教学中的运用

学生在探索、获得数学模型的过程中，也同时获得了构建数学模型、解决实际问题的思想、程序与方法，而这对学生的发展来说，其意义远大于仅仅获得某些数学知识。“再发现”过程，本身体现了一种基本的模式，即研究数学问题的模式，可以表征为：抽象――符号――应用。 概念模型的建立首先需对大量实际生活或提供的问题实际背景进行研究；其次运用比较、分析、综合、概括、分类等思想方法，去掉非本质的东西，用数学语言抽象概括概念模型，并运用于实际。

例如建立质数概念：首先让学生写出1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12的约数。

1的约数有1；2的约数有1、2；3的约数有1、3；4的约数有1、2、4；5的约数有1、5；6的约数有1、2、3、6；7的约数有1、7；8的约数有1、2、4、8；9的约数有1、3、9；10的约数有1、2、5、10；11的约数有1、11：12的约数有1、2、3、4、6、12。

然后，通过分析、比较按照约数多少分成：只有一个约数的是1；有两个约数的是2、3、5、7、11；有两个以上约数的是4、6、8、9、10、12。

最后，抓住本质的东西再进行概括，并用数学语言进行描述只有1和它本身两个约数的数叫质数（或素数）。这样就建立起了质数这个概念的模型。

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图1

这个例子说明构造数学模型解决实际问题的意义，也是解决许多数学问题的重要方法和手段.所谓数学模型，是对现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定目的，在做一些必要的简化和假设后，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构.例如，各种数学公式、方程式、函数等，都是数学模型.利用数学模型解决数学问题是中学数学教学的一个难点，也是培养学生创新能力的一种有效途径.因此，数学模型的建立和研究是中学数学教学的一个重要课题.数学模型方法是把所考察的实际问题转化为数学问题，构造相应的数学模型，通过模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法.而建立恰当的数学模型是运用这种方法的关键.建立数学模型的三个步骤：（1）研究问题的普遍性和特殊性.利用问题的普遍性和特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架；（2）确定数学模型.把实际问题理想化、简单化，形成解决问题的途径；（3）检验.分析模型中的条件与题设条件是否一致，推理过程是否严谨，然后用于解决实际问题，进一步检验数学模型的正确性.

下面介绍中学数学中常用的几种数学模型.

一、构造“模式”

数学中的一些公式、不等式等数学模型可以用作解决“外形”相近的其他数学问题的模式.因此，在解题过程中应合理构造模式，把实际问题抽象成数学问题，有效铺设解题的桥梁.

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关键词：数学模型；层层递进；举一反三

DOI:10.16550/ki.2095-9214.2016.05.131

数学建模从小学到大学甚至研究生一直存在，它是指通过分析现实情景，提炼其中的重要信息，对不重要的信息进行简化假设，使用数学语言，建立数学模型，描述现实情境，量化的进行分析和预测。“数学建模”既是一个过程，也是一个结果，又是一种数学思想方法。只有对实际问题进行模型刻画，理论结合实际，运用理论知识，才能更加深入地理解客观世界。数学建模就是一种发挥想象力、利用数学方法解决实际问题的方法，是结合数学知识和客观实际问题的纽带。数学模型是数学知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，即学生在教师的指导下，以身边熟悉的数学情景出发，通过引导思考、分析问题、参与讨论、解决问题、分析总结等环节，将数学理论知识应用于实际问题的过程。下面结合小学应用题教学中的追击相遇问题，谈谈对构建数学模型的几点认识：

一、选择学生身边熟悉的问题构建数学模型

小学生的知识范围有限，对很多事物和情景难以理解。在构建数学模型之前，首先要分析现实情景，因此，在培养学生建立数学模型时，要选择学生熟悉的场景进行建模。例如在讲述相遇问题时，可以选取贴近学生的生活实际、学生亲身经历的、含有数学问题的上学情境。老师通过直观生动的演示，描述两名同学的运动过程（包括行走的速度和方向），激发学生的数学学习兴趣，调动学生眼、耳、手、口等多种感官并用，吸引学生积极主动地投入到探究学习活动中来。详略得当的描述情景，会为帮助学生充分理解题目背景做好铺垫。

二、在理解背景及其数学原理的基础上构建数学模型

充分理解现实背景和问题，是构建合理数学模型的基础。为使学生充分理解此问题背景，老师在让学生解决问题前，师生可进行了多次不同的现场模拟表演，引导学生自己说出并理解“同时出发”、“相对而行”、“最后相遇”等关键词的含义，掌握相遇问题的基本特征。为了加深学生对题意的理解，老师可让学生分小组互相做几次自己动手演示。同时借助学生已有的认知基础和生活经验，让学生了解数学问题的背景，初步建立相遇问题的模型，为建立数学模型打下良好基础。基本的数学原理也是构建正确数学模型的基础。在构建相遇问题的模型前，老师应带领学生温习速度、时间与路程三者之间的关系式以及相对速度的概念，引导学生发现演示背后的数学问题，使学生投入到对该情景数学问题的思考，这样既可以保证学生建模的正确性，又能更好地促进学生对数学建模的认识，同时激发学生的学习兴趣。

三、层层递进，构建数学模型

对初学者来说，建模是一项大的工程，需要层层递进，一步一步地构建完整的数学模型。在充分理解现实情境和掌握基本数学原理的基础上，应进一步指出问题中的信息如何使用数学中专业术语描述，并通过画图、列表等直观的方式描述问题。如相遇问题中，在引导学生在理解相遇问题基本特征的基础上，添加相应的数学信息“同时出发”、“相对而行”、“最后相遇”，提炼生成完整的数学问题。这样既帮助学生把“现实生活问题”转化为“数学问题”，又帮助学生构建了相遇问题的语言模型，还帮助学生构建了“直观图画模型”、“数学算式模型”和“数学本质模型”，可谓一箭多雕。在学生已经初步建立相遇模型后，老师可进一步组织学生进行自主整理、合作交流、展示、比较和提炼升华等活动，将抽象难理解的文字信息转化为直观形象的示意图、图表、线段、摆一摆等形式，帮助学生理清信息之间的关系，构建了信息与信息之间、信息与问题之间的内在联系，引导学生获得解决问题的方法，积累解决问题的经验，提高解决问题的技巧与能力，为有效解决问题做好铺垫。经过长期的训练，学生慢慢形成解答相遇应用题的模式。在学生掌握一个相遇问题的模型后，还可以对解答相遇应用题的模式进行总结，便于学生举一反三，触类旁通。

四、运用数学模型，体验数学的价值

建立一个数学模型，是为了解决更多的类似问题。老师在“新知巩固”环节中，可以设计几道类似的有代表性的题目，引导学生将相遇问题的解题策略和解题经验进行迁移，解决与之类似的问题，丰富相遇问题的内涵，揭示该类问题的本质。在介绍相遇问题时，老师可以设计与例题类似的高速公路上车辆相遇问题，和设计本质上一样的工程施工问题，促进学生对模型本质的理解。构建一类问题的数学模型，可促使学生形成该类问题的认知结构体系，体验数学的价值。

五、只有结束的课堂，没有结束的探索

对新知识的探索是永无止境的。在主要内容讲解结束后，老师可以进行问题的扩展，可以是不同条件，或者不同情景，或者增加看似少条件的题目进行延伸。如对相遇问题的延伸，可以介绍相背而行问题，相向而行但没到相遇点的问题等等。借助该类问题，有利于帮助学生打破思维定势，拓宽解决问题的思路，积累解决问题的经验，提高解决问题的能力。“只有结束的课堂，没有结束的探索”，给学生适时创造课外探索的空间和机会，有利于培养学生的探索精神与实践能力。教育必须反映社会的实际需要，数学建模既顺应时展的潮流，也符合教育改革的要求。建立数学模型贯穿学生整个学习过程，对学生学好数学至关重要。从小培养学生的数学建模思维，能让学生掌握准确快捷的计算方法和逻辑推理。在小学数学教学中，应引导学生建立数学模型，提高学生对问题的理解能力，为今后的学习生活奠定坚实的基础。

参考文献：

[1]魏瑞霞.建构数学模型凸显应用意识[J].基础教育参考，2012(2):51-53.

[2]罗萍萍.小学数学教学中数学模型的建构策略[J].教书育人：教师新概念，2015(2):65-65.

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关键词： 数学建模 自主学习 实践能力 想象力

作为一线教师，我们如果不了解教育发展的动向，就会很快被淘汰。从《全日制义务教育数学课程标准》的理念来看，义务教育阶段的数学课程，其基本目标是促进学生全面、持续、和谐地发展，因此，在学生获得知识的同时，还应强调学生在思维能力、情感态度与价值观等方面得到发展。为此，我对数学模型法做了学习和探讨。

数学模型法是数学方法论中研究数学的基本数学方法之一。数学方法论在20世纪已由庞加莱、阿达玛、波利亚和徐利治等数学家研究和提倡，受到数学界和数学哲学界的重视。在新世纪，数学方法论是以数学研究方法为对象，探讨各种数学方法的性质、特点和联系，并从个性中找出共性、从个别中探求一般，从而得出关于数学研究方法的一般性原则。就数学来讲，具体地说，是抽象的数学模型。因此，数学模型方法是连接实践与认识、感性与理性、主体与客体的手段和桥梁。数学家通过数学模型法不断从客观事物系统中提炼出数学问题，或者说不断从现实问题中提炼出数学问题，使数学保持强大的生命力。另一方面，通过应用已有的数学知识于数学模型，解决现实问题，证实自身的价值和真理性。由此可见，数学模型法在数学方法论中的重要性。［1］

通过近几年的了解和考察，我发现，无论在中考试卷，还是在平时的复习资料中，关于数学模型之类的题目，都层出不穷，并且分值还在不断增加。作为一线教师，我们应该对此加以重视，多搜集一些关于数学建模方面的资料，对此加以整理，建立一些切实可行的解题方案，并在平时的教学中加以应用，实践证明，对学生的发展和提高有不可忽视的作用。

关于数学模型法的步骤，随着人们对它不同的理解而出现不同的步骤。徐利治教授把数学模型法划分为3个步骤：分析现实原型关系结构的本质属性，确定数学模型的类别；确定所研究的系统的主要矛盾、选择主要因素；用数学语言表述对象及其关系。［2］

姜启源教授把建立数学模型法分为7个步骤：模型准备；模型假设；模型求解；模型分析；模型检验；模型应用。这里所说的7个步骤，其实是使用数学模型方法解决事实问题的过程或步骤。对于数学模型的建立来说，到第3步就已经完成了。所以就数学模型法而言，只要3个步骤：

（1）了解生产和科学的实践中存在的现实问题及其背景，掌握对象的特征，以及各种有关信息，确定所要建立的数学模型的类型；

（2）根据研究对象的特性以及建立模型的目的，分析构成问题的因素，抓住主要因素，略去次要因素，作必要的简化，并用精确的语言作一些必要的假设；

（3）根据假设和已知的信息、知识，以及存在于研究对象中的数量关系，用抽象的数学语言表述现实问题，得到所需要的数学模型。［3］

为此，我认真地钻研数学模型法的理论知识了解该理论的内涵和外延，同时把它应用在教学中。

在实际生活中，许多问题与我们所学知识密切地联系在一起，只要稍作改变就可以把问题迎刃而解，同时使学生感到知识就在生活中，知识就在我们身边。

【题目】

有一抛物线形拱桥，桥顶O离水面AB高4米时，水面宽度AB为10米，如图建立直角坐标系。（1）若水面上涨0.76米，此时水面CD宽度为多少米？（2）水面上涨后，有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，已知货箱宽4米，高2.5米（竹排与水面向平），问该货箱能否顺利通过此桥？

【解答】

（1）由题意可知，点A,B的坐标分别为（-5,-4），（5，-4）.设抛物线的解析式为y=ax,把x=-5,y=-4代入y=ax,得-4=25a,解得a=-,y=-x.

若水面上涨0.76米，由4-0.76=3.24，得到C,D的纵坐标为-3.24，把y=-3.24代入y=-x,得-3.24=-x,解得x=±4.5.点C,D的坐标分别为（-4.5，-3.24），（4.5，-3.24），于是CD=9米.

（2）如图，令货箱宽的中心点恰好位于水面的中心，可设货箱外缘所对应抛物线上的点E的坐标为（2，m）,则m=-×4=-0.64即EF=3.24-0.64=2.6米＞2.5米，该货箱能顺利通过.［4］

在第（2）问的解法中，是从货箱的长入手，从而得到高，再与货箱的实际的高相比，最后得到答案。这种方法固然很好，但是我在实际教学中发现，有一部分学生是从高入手，具体过程整理如下：

解法2：如图所示，令货箱宽的中点也是恰好位于水面的中心由（1）知ON=3.24米.MN=2.5米，OM=3.24-2.5=0.74米，根据题意得：-0.74=-x，解得x≈±2.15058.PE=2.15058×2=4.30116＞4.该货箱可以顺利通过.

我认为把这两种方法有机结合起来，能更好地开发学生的智力。多掌握一种方法，不就扩大了生存的空间吗？当然在现实生活中，有很多类似的数学模型，我们要多注意身边的现象，把它与学过的知识密切地联系起来，做到学以致用。

综上所述，数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新精神和实践能力。［5］同时数学建模最主要的是培养学生的合作交流能力，因为数学建模活动常常是小组分工合作、密切配合、相互交流、集思广益，这种相互合作的精神是社会生活中极为需要的。创造能力尤为重要，数学建模没有现成的答案，也没有固定的模式或通式，建模的过程有较大的灵活性，因此，数学建模就给学生提供了一个自我学习、独立思考、认真探索的实践过程，提供了一个发挥创造才能的条件和氛围，通过建模，学生要从不同的问题中探出本质特性，这样有助于培养学生的想象力和洞察力［6］。

参考文献：

［1］林夏水.数学哲学［M］.商务印书馆，2003.

［2］徐利治.数学方法论选讲［M］.华中工业学院出版社，1983.

［3］姜启源编.数学模型［M］.高等教育出版社，1987.

［4］王华炎.中学数学教学参考［J］.2007，（3）.

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一、建立模型，提取共性

专家刘振航在《数学模型》中提出数学建模就是从生活中各种杂乱无章的现象里抽象出一定的数学关系，组建成一个数学模型，也就是说，建立模型必须要在各种生活现象中抽取出共性来。教师在教学的过程中可以组织学生围绕各种生活现象和问题情境抽象出一定共性，并尝试建立模型。

例如在指导学生掌握平行的几何概念的时候，教师就可以让学生先从生活中观察到的现象中抽象出平行的概念，让学生通过感知火车铁轨、双杠、五线谱等事物，在观察中感知平行的概念。但是只是单纯观察还无法让学生从中抽取共性，建立模型，教师还要给学生一些启发，让学生提高认知，将关注的焦点从单纯的两条直线上升到注意两条直线之间的距离。教师可以让学生尝试建立模型，并围绕模型思索一些问题，如两条直线在什么时候永远不会相交，尝试量一下两条平行线之间的距离，观察一下这些垂线之间有什么关系。同时再将问题回归到社会生活中，让学生思考，如在生活中，铁轨是平行的，那么人们又是通过什么方法确保铁轨之间一定是平行的呢？在思考这些问题的过程中，学生所建立的数学模型会越来越清晰，他们可以从模型中提取共性，那就是当两条直线没有任何公共点的时候，它们是平行的，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

小学低年级学生接触的数学模型是类似线段图这样的直观模型，而高年级之后也会接触符号类的抽象数学模型，教师不仅要指导学生如何提取共性，建立模型，还要培养学生养成建模的习惯，深度地提高数学模型的认知。

二、调整模型，尝试推理

学者史宁中认为数学发展过程中所依赖的本质有三个，那就是抽象、推理和模型。在指导学生运用建模思想解决数学问题的过程中，仅建立模型是不够的，教师还要指导学生学会在推理的过程中调整模型，提高他们的合情推理能力。

在学习小数乘法的问题时，教师可以让学生尝试模拟超市购物的真实场景，在游戏活动的过程中逐渐建立数学模型，并在推理中调整数学模型。在活动的时候，学生可以根据讨论设定每种商品的价格和购物的总价，并设定参与购物活动的基本规则，然后便可以在设立模型的基础上尝试参与到这个活动中来。在进行活动的过程中，学生可能会发现自己事先设定的模型有问题，例如在设定购物的总价时出现了问题，总价太大，超过了全部商品价格的总和。教师要让学生在设立模型的过程中收集大量的信息，然后根据具体情况来删除一些无用的信息，并添加一些有用的信息，将数学模型进行合理调整，并尝试运用自己设立的数学模型进行计算。这样的学习方式使数学模型的设定外延得以扩大，也能让学生更好地感受到数学模型在生活中的实际用途，让学生养成实事求是的严肃态度，同时也对学生发扬创新精神有所促进。

教师可以培养学生养成观察事物的良好习惯，并尝试通过简单猜想的方式调整自己设定的数学模型，从而更好地提高自己的建模能力。

三、应用模型，培养能力

学者吴长江提出数学建模能力是对各种问题进行数学化，创建相应数学模型，并最终解决问题的能力，在小学数学教学中，教师要提高学生的数学建模能力，就要让学生尝试应用模型解决各种难题。小学生要学习如何运用公式、图表、法则等来解决实际问题，提高自己的数学求解能力。

教师要让学生明白，建立了数学模型之后是要用来解决各种实际问题的，他们要尝试运用各种变式来解决现实问题。例如“鸡兔同笼”是一个十分典型的问题，很多小学的应用题都可以转化为“鸡兔同笼”类的问题，学生可以尝试用假设法、方程法、抬腿法等各种方法来解决这个问题，更重要的是要学会解决这个问题的基本思路，这样才能将其抽象为数学模型，并运用其规律解决现实生活中的其他数学问题。例如，教师可以让学生尝试参考“鸡兔同笼”的问题进行其变式的练习，尝试解决：“在一个班级中，一共有46个同学一起去参加游艺场的活动，大家选择了海盗船的游戏，大家一共乘坐12艘海盗船，其中大海盗船每一艘坐5个人，小海盗船每一艘坐3个人，问大海盗船和小海盗船一共有多少艘？”要解决这个问题就要熟悉数学模型，然后尝试运用该数学模型解决此问题。这样的练习对于提高学生应用数学模型的能力有很大帮助。

运用建立的数学模型解决数学问题，可以有效地培养学生的实际能力，让学生在联想、类比等思维活动中提高自己的数学能力，发展自己的逻辑思维能力。

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初中阶段的数学课程其基本出发点是促进学生全面持续和谐地发展。课程强调从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力情感态度与价值观等多方面得到进步。

数学教育的基本理念是：“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，数学来源于生活又被应用于生活。”

基于以上几点在教材中出现了许多与生活密切联系的数学应用题。在这些问题的教学过程中，建立数学模型起到了很大的作用。那么什么是数学模型呢?数学模型还没有一个统一准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义，不过我们可以给出如下定义，数学模型是关于部分现实世界和一种特殊目的而作的一个抽象的简化结构，具体来说数学模型是为了某种目的用字母数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式，以及图表图像框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。

如何建立数学模型，数学模型有何特征?对于一个较为复杂的现实问题进行分析发现其中蕴含的可用数学语言来捕述的关系或规律，把这个实际问题转化成一个数学问题。这就是建立数学模型的过程。与实际问题相比数学模型有以下几个特征。一，抽象性数学模型是实际问题的一种抽象，它去除了实际问题中与求解无关的部分，简明的体现了问题的本质。二，高效性数学模型中各个量之间关系更为清晰，很容易从中找到规律，从而提高求解的效率。由于这一点是由数学模型的抽象性决定的，因此数学模型的抽象化程度对解决数学问题的效率高低有重要影响。三，可推广性数学模型可以推广到具有相同性质的一类问题中，换言之解决了一个数学模型就解决了一类实际问题。

初中数学教学中要重视几个数学模型：方程模型，函数模型，不等式模型，古典概率模型等。如一元二次方程可以表达许多实际问题中包含的数量相等关系，因而也可以作为分析和解决实际问题的重要数学模型。如有一人患了流感经过俩轮传染后有121人患了流感，每轮传染中平均一人传染了几人?对于这一实际问题可设每轮传染中平均一个人传染了x人，开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这人，他传染了x个人，第一轮后共有1+x人患了流感：第二轮传染中这些人中的每一个人又传染了x个人，用代数式表示第二轮后共有1+x+x(x+1)人患流感。所以可得方程1+x+x(x+1)=121，利用方程这个问题很快就解决了。函数模型中二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，也是某些单变量最优化的数学模型。如最大利润。最大面积等实际问题。

初中数学建模要重视数形结合的思想方法。著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉。形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。”寥寥数语把图形之妙趣说得淋漓尽致。如求二元一次方程组解的问题。结合图形我们可看作求两个一次函数图像交点的问题。研究一次函数，反比例函数，二次函数的性质，单从数值变化角度去理解函数增减性，这是一个较难的问题。但结合图形思考研究函数增减性就容易了。勾股定理的证明也是数形结合的重要体现，几何图形中所含的数量相等关系可通过含数字或字母的等式表现出来，而抽象的等式可通过直观的图形来解释。即抽象的数学公式可通过建立出直观的图形模型来分析解释。从而加深学生对数学规律的理解。

初中数学建模要重视分类讨论的思想方法。数学模型建立之后要深入研究，分类讨论的思想方法提供了便利。如研究二次函数的增减性，抛物线的开口方向，抛物线与x轴交点问题，就要用到分类讨论的思想方法。采用分类讨论的方法研究就深入细致了。

数学建模是运用数学思想方法和知识解决实际问题的过程。数学建模已成为数学教育的重要和基本内容。初中数学教学中如何培养学生的建模能力，我们可从以下几方面着手去培养。

首先让学生深入生活联系实际发现生活中的数学问题强化应用意识，体会建立数学模型的过程，积累应用数学知识与方法的经验。如一位运动员在距离篮下4米处起跳投篮。球运行的路线是抛物线，球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面距离为3.05米，该运动员身高1.8米，在这次跳投中球在头顶上方0.25米出手，球出手时他跳离地面的高度是多少?打篮球与学生生活密切联系，利用二次函数抛物线模型可解决问题。由于抛物线的顶点是(0，3，5)故可设其解析式为y=ax2+3，5又山于抛物线过(1.5,3.05)求得a=0.2所以抛物线解析式y=-0.2x2+3.5当x=-2.5时y=2.25所以球出手时他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(米)通过解决这类问题，学生加深了对投篮的理解，积累了生活经验，为处理这类问题找到了一个很好的数学模型。

其次，以建模为手段激发学生学习数学的积极性，学会团结协作，让他们合作探究解决问题。体会解决问题所获得乐趣与成就感。教材中探究性问题很多，让学生成立学习小组充分讨论，合作探究建立模型解决问题，既可培养团结合作精神，又可获得解题经验提高能力。

第三，以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实和数学活动经验)以及基本方法和必要的应用技能。建立数学模型是解决实际问题的重要方法与手段，生活中处处有数学，让学生学会建模解决实际问题是获得数学知识的重要途径。如让学生动手制作立体模型理解三视图，立体图形平面展开图，投影等一系列数学知识，培养空间想象力。教材中课题学习，数学活动可安排学生小组合作，尝试去建立模型解决问题，从而让他们获得解决实际问题方法与经验。

第四，立足课本，发掘改编，充分利用课本内容让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。掌握必要的基础知识与基本技能。发展应用数学知识的意识与能力。初中阶段的数学内容充满了用来表达各种数学规律的模型，教学时可采用“问题情境一建立模型一解释。应用与拓展”的模式展开，从而培养学生建模解决问题的能力。有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，应引导学生主动地从事观察，实验，猜测，验证，推理与交流等数学活动，这些活动过程就是建模过程。通过活动使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。

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关键词：模型思想；数学模型；数学学习；脚手架

一、问题的提出

数学模型是沟通数学与外部世界的桥梁，模型思想是数学的基本思想之一。数学建模思想方法作为数学的一种基本方法，渗透在初中数学教材的各种知识板块当中，在方程、不等式、函数和三角函数等内容篇章中呈现得更为突出，学生学习掌握这种思想方法是完成学习任务和继续深造学习必备的基本能力。总之，在初中数学教学中渗透数学建模思想，就是帮助学生搭建数学学习的脚手架。

二、建立数学模型，搭建学生学习的脚手架

在初中数学教学中建立数学模型，并注意渗透数学建模思想，能引导学生探究数学知识与规律，培养数学能力，加深数学知识与原理的理解，让问题解决化难为易，为学生学习数学搭建可靠的脚手架。

1.利用数学模型，搭建学生理解知识来龙去脉的脚手架，让问题解决化难为易

以实际问题的解决作为载体，并结合初中数学中常见的数学模型，通过建立数学模型来引入数学的概念、法则，通过解决实际问题，帮助学生理解知识的来龙去脉，加深学生对数学知识的理解与掌握，让问题解决化难为易。

例1.王芳同学跳起来把一个排球打在离她2米远的地上，排球反弹碰到墙上，如果她跳起击球的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是6米，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？

在解答本题时，有的学生尝试画图，有的学生尝试运算，还有的学生尝试解读。生生互动，可谓热闹。然而，成绩好的学生做得有滋有味时，还有一部分学生无从入手。这时，教师可采用“问题情景—建立数学模型—解决问题”的教学模式，使学生在有梯度的理解中，不断联系思维，让模型浮出水面。教师可以让学生先解决纯数学问题：（已知：C、B、E在同一直线上，∠ACB＝∠DEB＝90°，∠ABC＝∠DBE，AC＝1.8，CB＝2，BE＝6，求DE。）然后，将该模型放在实际背景里，让学生理解，再认识模型，获取已有的知识印象，再通过反复思考，回应模型的本质，从而达到化难为易、最终解决问题的目的。

数学模型的建立，需要教师有心栽花，也需要课堂反反复复地训练，还需要学生的瞬间顿悟方可成就的。

2.搭建数形转化的脚手架，生成数学模型，加深数学知识与原理的理解

数学知识的学习对形成学生的模型思想是非常重要的。很多老师在对基础知识的教学，存在着“轻过程，重结果”的现象。事实上，一个公式的推导伴随着数学模型的建立过程，所以一定要引导学生经历这个公式的推导过程。

例2.对平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的教学。

平方差公式是一个常用的公式，我们可以运用多项式乘以多项式的推理，得出这个公式，并进行相应的操练。除了这个方法外，我们还要根据学生已有的生活经验，让学生探究，充分展示“探究过程”：平方差公式的几何意义是什么？是否可以通过图形的拼凑来得到这个公式？并引导学生观察公式的特点：左边是两数和乘以这两数差的形式，右边是两数的平方差。如图：图1中外框是边长为a的正方形，右下角是边长为b的正方形，把它剪去，再把①拼凑到图2的位置，左边图形的面积是a2-b2，右边图形的面积是（a+b）（a-b），从而可得（a+b）（a-b）=a2-b2。

利用数形结合的思想，我们还可以探究得到完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；勾股定理：a2+b2＝c2等等。

■

这样，学生通过合作交流，完成剪拼活动，验证了公式的正确性。学生经历了探索过程，生成了数学模型，帮助学生进行数形转化，不仅能理解、掌握公式的意义，而且还能获得数学活动经验，让学生体会到几何与代数之间的内在联系，符合《义务教育数学课程标准》的理念。

3.逐步渗透数学模型思想，搭建思维桥梁，引导学生探究数学知识与规律，培养数学能力

数学要根据具体的教学内容，创设合理的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等活动，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想及基本活动经验，促使学生发现问题和分析问题能力的不断提高。所以，在教学中，应结合具体问题创设情境，活用数学模型思想，引导学生进行观察、操作、探究、归纳、猜想、讨论、交流等一系列活动，从而培养数学能力。

例3.参加一次足球比赛的每两队之间都进行一场比赛，共有6队参加比赛。

1.在这次比赛中，共进行多少场比赛？

2.如果参加比赛队数10队，又共进行多少场比赛？对于任意队数参赛，能否找出一种办法计算共进行多少场比赛？

对于这个问题，我们可以这样引导学生进行思考探索：

1.如果有两个队参赛，比赛场数为1场，如果有三个队参赛，比赛场数为2场，如果有四个队参赛，比赛场数为6场……如果有五个队参赛，六个队参赛，x个队参赛呢？

赛场数y与x个队参赛关系，请完成下表：

■ 2.以表中的对应数据为坐标点，描出y与x之间的函数关系所对应的图象。

3.猜想y与x之间的函数关系是怎样的？并求出y与x之间的函数关系式。

分析：

1.通过学生分析、探究等活动，容易得出表中对应的y的值。

2.在得出y的值后，建立直角坐标系，通过描点、连线，得出如图3所示的函数图象。

■

3.通过观察发现，所画的图象是抛物线的一部分，把表中的任三个点代入抛物线的解析式y=ax2+bx+c，求出解析式y=■x2-■x。这就是共赛场数y与x个队参赛之间的一个数学模型，有了这个模型，比赛场数问题就不难解决了。

活用这个模型，我们还可解决类似的问题：“参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？”“一个n边形，对角线的总条数s与n的函数关系式”等等。

学生在学习了新知识后，教师应根据教材的内容、特点对所学内容进行深化，渗透数学模型思想，搭建思维桥梁，引导学生探究数学知识与规律，促进学生的知识迁移和发展，提高学生解决问题的能力。

例4.求证：任意四边形四边中点的连线，所得的四边形是平行四边形。

已知：四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。

■

此问题是在学习了三角形的中位线定理后出现的，题目涉及中点，教学中可引导学生用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”等方法来证明，实现“一题多证”。这样做既开拓了学生的思维，又能使知识、能力都得到提升。如果把题目再作一些修改，实现“一题多变”。把题目中的“四边形ABCD”改为“平行四边形ABCD”“矩形ABCD”“菱形ABCD”“梯形ABCD”“等腰梯形ABCD”“正方形ABCD”等，四边形EFGH又是什么样的特殊四边形？通过学生讨论、探究，引导学生总结四边形EFGH的形状与原四边形ABCD的什么条件有关？是与四边形ABCD的对角线有关，最后得出“当四边形ABCD的对角线相等，则四边形EFGH是矩形”“当四边形ABCD的对角线垂直，则四边形EFGH是菱形”这个数学模型。

像这样，搭建“一题多证”“一题多变”的脚手架，渗透数学模型思想，引导学生探究数学知识与规律，提高学生的数学学习能力。

以实际问题的解决作为载体，并结合初中数学中常见的数学模型，通过建立数学模型来理解数学的概念和原理，让学生体验到数学学习与研究并不是无章可循，难于登天。引导学生在研究数学问题时，以实际问题为数学背景，建立数学模型，利用已有的数学方法求得问题解决。从而使学生在数学的学习中逐步体会数学模型的作用，体验与运用数学建模的思想。

数学是训练思维学科，在数学教学中教师应注意引导学生大胆想象和猜想，应用已有数学知识，尝试构建数学模型解决实际生产生活中的数学问题；作为数学教师要更新教学理念，提高自身的数学建模水平，在教学过程中，搭建思维桥梁与脚手架，才能更好地引导学生通过数学建模树立解决数学应用问题的信心，提高解决实际问题的能力。

参考文献：

［1］李树臣.渗透数学模型思想的基本途径.中学数学杂志，2012（10）.

［2］张雄，李得虎.数学方法论与解题研究.教育出版社，2003.

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关键词：小学生；数学建模思考；问题

中图分类号：G623.5 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2012）09-0181-01

《数学课程标准》指出：“数学教学应该从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用。”数学模型不仅为数学表达和交流提供有效途径，也为解决现实问题提供重要工具，可以帮助学生准确、清晰地认识、理解数学的意义。在小学数学教学活动中，教师应采取有效措施，加强数学建模思想的渗透，提高学生的学习兴趣，培养学生用数学意识以及分析和解决实际问题的能力。现结合自己的教学实践谈谈如何在小学数学教学中渗透数学建模思想。

1.数学模型的概念

数学模型是对某种事物系统的特征或数量依存关系概括或近似表述的数学结构。数学中的各种概念、公式和理论都是由现实世界的原型抽象出来的,从这个意义上讲,所有的数学知识都是刻画现实世界的模型。狭义地理解,数学模型指那些反映了特定问题或特定具体事物系统的数学关系结构,是相应系统中各变量及其相互关系的数学表达。数学建模就是建立数学模型来解决问题的方法。《数学课程标准》安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四块学习领域,强调学生的数学活动,发展学生的数感、符号感、空间观念、以及应用意识与推理的能力。这些内容中最重要的部分,就是数学模型。在小学阶段,数学模型的表现形式为一系列的概念系统,算法系统,关系、定律、公理系统等。

2.积极创设让学生感知数学建模思想的情境

因为数学来源于生活，又服务于生活，所以，要将教材上的内容通过生活中熟悉的事例，以情境的方式在课堂上展示给学生，描述数学问题产生的背景，将现实生活中发生的与数学学习有关的素材及时引入课堂。情景的创设要与数学问题有关的各种因素与社会生活实际、自然、社会文化、时代热点问题等相结合，让学生感到有趣、新奇、真实、可操作，满足学生好奇好动的心理要求。这样很容易在学生的头脑中激活已有的生活经验，也容易使学生用积累的经验来感受其中隐含的数学问题，极大地激发起学生的兴趣，从而促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在，感知数学建模思想。

如在教学平均数一课过程中，新授开始出示甲、乙两组一分钟做题道数：

老师提问：哪一组获得胜利，为什么呢？

然后老师再出示，甲组请假的一位同学回来后又参加比赛。

教师：根据以上成绩我们判定甲组获胜。

这时有的学生会提出异议：虽然甲组做对的总道数比乙组多，但是甲、乙两队的人数不相同，这种方法比较不够公平。

教师：那该怎么办才比较公平呢呢？

学生：可以利用求平均数的方法进行比较。教师：那谁能说一说什么是平均数？

学生根据自己的理解和生活经验进行概括归纳，然后由教师总结。

这节课的教学内容平均数是一个抽象的知识，它隐藏在具体的问题情境之中，通过教师创设的情境，使学生在两次评判中进行解读、整理数据，产生了思维冲突，从而推进了数学思考的有序进行。学生从具体的问题情境中抽出平均数这一数学问题的过程就是一次建立数学模型、感知数学建模思想的过程。

3.渗透模型思想的方法

3.1 分析与综合。分析与综合是重要的思维方式，同样是重要的数学方法，是学习数学过程中建立数学模型的重要途径之一。分析是对所获得的数学材料或数学问题的构成要素进行研究，把握各要素在整体中的作用，找出其内在的联系与规律，从而得出有关要素的一般化的结论的思维方式。综合是将对数学材料、数学问题的分析结果和各要素的属性进行整合，以形成对该对象的本质属性的总体认识的思维方法。因而，分析与综合相结合，在建立起具有本质特征和方法论意义的数学模型上具有重要的意义。

3.2 比较与分类。比较是对有关的数学知识或数学材料，辨别它们的共同点与不同点。比较的目的是认识事物的联系与区别，明确彼此之间存在的同一性与相似性，以便揭示其背后的共同模型。分类是在比较的基础上，按照事物间性质的异同，将具有相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归入另一类的思维方法。因此，比较与分类常常是联系在一起的，在建立数学模型的诸多思维方法中，比较与分类有着重要的作用，它往往是抽象概括、合情推理的前提，而正确地进行比较与分类的基础是仔细、深入的观察。

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一、“乱象”之现

数学模型在小学数学教学中也开始流行起来，虽然不是什么经典的实际问题，也不是什么复杂的问题，也没有严格、完整的各个步骤，但它确实在逐渐被老师们使用. 但在模型思想的渗透教学中，有很多概念没有被理解透彻，从而在实践过程中出现一些“乱象”，大致有以下情况.

1. “模式”当作“模型”

模型思想，是需要进行思考，经历数学建模的过程，才能真正体会和树立的思想. 但是在教学中会发现，有一些老师把“模式”当做“模型”进行的教学现象. 只限于强调形式上的规律、解决问题的经验总结，或限于得到很好研究的范例.

例1：在“谁比谁多（少）多少”这类问题的教学中，不难听到有让学生记住：“比多比少大减小”这类模式. 让学生在往后学习中，只要看到题目中有这样的话就用减法，当然不可能每次都正确.

这样的例子不少，这样做可能会让学生在同一单元反复出现同一类问题的那个阶段学的比较省时，但没有在大脑里深刻理解相应的数量关系，所以到变式或综合练习时，也只会按照惯有模式解决题目，甚至无从下手.

当然这样的案例在一些解决问题的教学中也不少.

例2：操场上有2人跳绳，3人跑步，一共有多少人？在这类的问题教学中，关键词是一共，有老师会让学生记住，看到“一共”就用加法. 在之后的题目“图书角，故事书有15本，漫画书比故事书少7本，一共有多少本？”有些学生就会只看到后面的一共，用加法，直接只写15 + 7. 也还有一些同学看到比多比少的关键词，用减法，直接只写15 - 7，他们记忆中的模式都不能正确解决问题.

第一类问题的教学中，学生没有经过分析问题、抽象数量关系来解决问题，也没有将得到的数学“模型”及时应用和验证，导致遇到有类似描述的问题时不分析数量关系，而直接用记忆中的“模型”来套用解决. 其实，这样的现象暴露出学生没有得到数学模型思想的真正渗透，得到的只是一类有明显特征的解决问题的“模式”.

2. “给”当作“建”

模型思想的渗透，应该是老师带领和指导学生经历建模的过程. 但在实际教学中，有这样的现象. 研究完第一个例题，就由老师直接给与或者立即引导学生得出模型（抑或只是模式）. 小学生还不会抽象、提炼本质，何况只有一个范例，可想而知这样的“模型”不是学生自己建立的，而是直接或间接得到的.

例3：利用计数器读数和拨数，拿出计数器，先告诉学生从右边起第一位是个位，第二位是十位，数位上有几个珠子就读几. 然后拨出24，让学生读.

这样学生直接得到的是规则，只需要照做，但没有经过自己的思考，也许接受起来并不是每名学生都那么快.

例4：加法交换律，当第一个例题结束时，马上让学生找规律，学生说不出来，老师帮说，交换两个加数的位置和不变. 规律是出来了，但很多学生都不是主动接受的.

这样直接或间接给与的“模型”，学生在以后的学习中，很有可能只在需要直接写出规律的写法时会用，在与其他运算混合的时候不一定会主动运用. 也许学生只看到了形式，没有理解其实质. 这样的“模型思想”渗透效果可想而知.

3. “狭义”当作“广义”

数学符号、数学式子、程序、表格、图形等都是数学模型. 但是，在有些老师的教学中只把数学算式、解决应用题的方法当作是数学模型，把各种定律当作一种规则，以为只需要加以应用就可以. 由于对数学模型的狭义理解，很多可以渗透数学模型思想的机会就没有被抓住，学生自然也就没有获益.

二、“重生”之法

1. 理解数学模型，数学建模，数学模型思想等概念和课标最新要求

虽然定义不统一，但还是需要理解其实质的意义，以区分易混概念，如“模式”等. 这里只对几个概念略作介绍，更多了解可以参照数学模型的相关书籍或网络资料.

数学模型就是对实际问题的一种数学表述. 具体一点说，是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构. 数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等. 广义的说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程、以及由之构成的算法系统都可以成为数学模型；狭义的解释，只有那些反应特定问题或特定的具体事务系统的数学关系结构才叫数学模型.

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段. 也可以说是建立数学模型的全过程. 数学模型思想是一种数学思想方法. 是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想. 模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界的联系的基本途径.

2011版课标中，在新课标的设计理念、设计思路和数学思考中，在实施建议中都提到相关内容，小学阶段的模型思想主要在数与代数部分体现. 思想是需要学生经历较长的认识过程，而这样的活动应体现“问题情境─建立模型─求解验证”的过程.

数学模型思想，可以在对具体问题进行数学建模的过程中体现，也可以在某一个知识点的学习思考中体现，也可以在某些规律的发现和验证中体现，还可以在很多看起来跟数学模型关系不大甚至无关的教学中体现. 只要理解了真正的思想，能在教学中尝试，就可以找到机会体现.

2. 把数学建模的主动权还给学生

不管老师教，还是学生自学，都需要亲身经历思考才可能内化为自己的. 也只有经历过，才知道需要经过哪些环节能得到数学模型. 当然老师引导有效，学生会学的更轻松. 但是不管怎样，需要给学生自己思考、建模的机会，即使是已经成为定律或真理的相关知识.

没有亲自经历数学建模过程，没有经过深入的思考，就没有自己能运用的数学模型，也没有能领悟到的数学建模思想，也就没有随之的推广应用. 请把数学建模的主动权还给学生.

3. 主要在于思想渗透，经历相对完整的过程和步骤

具体的题目多如牛毛，在题海战术中寻求思想渗透，效果不够深远. 如果能在思考方式，思想方法上有意渗透，能让学生在类似的学习中得到捷径，也能在其他学习中多一些思考方式.

数学模型思想也是现在应用很广的一种思想，在教学中渗透是为学生以后的发展打基础，但要真正达到效果深远，必须让学生尽量经历能经历的数学建模，至少有相对完整的过程和步骤.

数学建模的方法与步骤：模型准备，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用.

虽然在小学阶段，学生还没有足够的知识和方法来检验数学模型，但是这个检验环节是需要有的，让学生能意识到任何规律或方法都是在有了抽象概括之后，还需要进行检验的，是有一定适用条件的. 在条件允许的前提下，还可以让学生经历模型的评价和推广，能感受到：不同的问题，只要能抽象出相关的条件，就有可能用得上已经建立的数学模型.