数学建模的应用范文

导语：如何才能写好一篇数学建模的应用，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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数学建模和数学一样，有着悠久的历史。例如欧几里德几何、牛顿万有引力定律、麦克斯伟方程组、门捷列夫周期表、孟德尔遗传定律等都是数学建模的光辉典范。如何培养高中生的数学建模思想，是本文探讨的主题。

一、选择熟悉的具体问题，培养学生的数学建模意识

运用数学建模解决实际问题，必须先通过观察分析提炼出实际问题的数学模型，再把数学模型纳入知识系统去处理，这不但要求学生要有一定的抽象能力，而且还要具备一定的观察、分析、综合、类比能力。要培养学生的数学建模思想，就要不断引导他们用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题的目的，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。教师要经常在教学中渗透数学建模的意识，使学生可以从各类建模问题中逐渐领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力。

二、选择适当的数学问题，传授学生数学建模的方法

教师可以从生活中的数学问题或社会热点问题出发来介绍建模方法。如市场经济中涉及成本、利润、储蓄、保险、投标及股份制等知识，就是中学数学建模的好素材。把合适的素材融入教学活动中，使学生掌握相关类型的建模方法，不仅可以使学生树立正确的商品经济观念，而且还为学生主动以数学的意识、方法、手段处理问题打下了良好的基础。

如某县城新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件。由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好。为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，这需要估测以后几个月的产量。假如你是厂长，将会采用什么办法？在这个实际问题中，没有明显的数学模型，因此需要假设数学模型。由“月份”和“产量”的“数对”，想到要建立直角坐标系，描出各点位置，观察连线接近的函数图像。通过这个例子，使学生更清楚地了解到数学建模的过程和方法。

三、选择基本的实际问题，培养学生数学建模的能力

由于数学建模就是把实际问题转换成数学问题，因此我们在数学教学中，应注重培养学生的转化能力。在教学中，教师要充分强调过程的重要性，培养学生从杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学问题的能力，即培养学生把客观事物的原型与抽象的数学模型联系起来的能力。

例如在学习了二次函数的最值问题后，笔者通过下面的应用题，让学生懂得如何用数学建模的方法来解决实际问题。例如，某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可销售100件。现在他采用提高售出价，减少进货量的办法来增加利润，已知这种商品每件涨价1元，其销售数量就减少10个，问他将售价定为多少时，方能获取最大的利润？并说明理由。

建模过程如下：

①将实际问题转化为数学模型：设每件提价x元（x≥0），利润为y元，则每天销售额为（10+x）(100-10x)元，进货总价为8（100-10x），故0≤x≤10。

利润＝销售总价－进货总价

有y＝(2+x)(100-10x)(0≤x≤10)。

即原问题转化为数学模型――二次函数的最值问题；

②对数学模型求解：

y＝(2+x)(100-10x)＝-10(x-4)2+360(0≤x≤10)

当x＝4时，Ymax＝360

③回归实际问题：故当售出价为每件14元时，每天获取的最大利润为360元。

篇2

首先，引入："同学们，鱼缸里有多少鱼？"

毫无疑问，学生都说："数数不就行了。"

然后再问"池塘里有多少条鱼？"

这个问题提出以后，也有学生不加思索的回答："数数呗。"但马上就被其他学生："你怎么数？鱼不停地游动，根本没法数。"这个过程就是提出一个生产领域常见的问题，引导学生思考解决它的方法，但我们不能直接通过代数计算、几何推理等常见的数学方法来解决，那么建立一个近似刻画本问题的数学模型就应运而生了，于是采用小球来代替鱼，不透明的袋子代替池塘，因为池塘中的鱼无法数，那么如果不将袋子中的球倒出来数数，你能知道袋子中有到底有多少个球吗？到此实际问题转化为数学模型。接下来，我们就要来解决数学模型，因为前面的学习，学生提出放入其它只有颜色不同的球，通过摸球实验来统计袋子中原有球的个数（运用概率和统计的知识来解决问题），顺势我给出下面的问题："一个袋子中有8个蓝球和若干个绿球，如果不允许将球倒出来数，那么你能估计出其中的绿球数吗？请你设计一种方案，试一试。"

出示这个问题之后，先让学生思考，然后小组讨论，最后推举代表发言，因为有的学生预习，所以就引出了书上给出的两种解题思路。没有预习的学生因为思考和讨论，也有了初步的认识。那么给出解决方案的时机成熟了。

你看下面两个方案可行吗？

（1）小明是这要做的：从口袋中随机摸出-球，记下其颜色.再把它放回口袋中，不断重复上述的过程，我们共摸了200次，其中有57次摸到蓝球，因此我估计口袋中大约有20个绿球.你能说说他这样做的道理吗？

解：设口袋中有x个绿球，因此摸到蓝球的理论概率为8/8+x，根据题意得

8/8+x=57/200

解之得x≈20

答：绿球大约有20个。

（2）小亮是这样做的：利用抽样调的方法。从口袋中一次摸出10个球.求出其中蓝球数与10的比值，再把球放回口袋中.不断重复上述过程.我总共摸了20次，蓝球数与10的比值的平均数为0.25，因此，我估计口袋中大约有24个绿球.你能说说他这样做的道理吗？

解：设口袋中有x个绿球，因此摸到蓝球的理论概率为8/8+x，根据题意得

8/8+x=1/4

解之得x=24

答：绿球大约有24个。

在经过讨论、讲解、计算之后，学生理解了这两种方法，从而给学生下面的活动提供了解答依据。

下面请同学们分组分别采用两种方法估计袋中绿球的个数。

方法1

方法2

这时可以放手让学生分组实际操作，并且将自己组的结果写到黑板上，进行比较，最后汇总，并且与实际结果相比较，总结经验。在这个过程中，学生亲身感受到了活动经验，积累解决问题的方法，进一步体验到模型的作用。

议一议：

通过亲自实践，我们除感受到上述两种方法合理外，还存在着估计的偏差，但它们在现实生活中意义却很重要，请同学们思考：它们各有哪些优缺点？

这个环节的目的是将实验操作上升到理论高度，加深对"试验频率稳定于理论概率"的理解，并让让学生体会数学的实用性。

想一想：

如果口袋中只有若干个绿球，没有其他颜色的球，而且不许将球倒出来数，那么你如何估计出其中的绿球数呢？与同伴交流.

这个问题的答案因为前面的铺垫，思维灵活的学生很快就想出来：可向口袋中另放入几个蓝球，也可以从口袋中抽出几个球并将它们染成蓝色或作标记。

接下来从数学模型回归到实际问题：现在你能设计已方案来估计池塘里鱼的数目吗？

提示学生池塘里的鱼可以看做上一个问题中的绿球，将数学模型与实际问题联系起来，让学生体会数学的作用。学生也就能给出答案：可以先捞出若干条鱼，将它们作上标记，然后放回池塘经过一段时间后，再从中随机捞出若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此估计与塘里鱼的数目。

到此，问题终于得到解决。

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关键词：数学建模；高中数学教学；兴趣；实践

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2014）12-0079-01

数学是一门工具，它的魅力就在于应用。使用数学这门工具来分析事物的特征，研究事物的变化规律，来指导解决所遇到的问题的过程会让人体会到数学的重要性。而建立数学模型又是应用的关键环节。如今数学建模已经成为了国际数学教育中稳定的内容和热点之一。在高中数学“新课标”中也要求把数学建模的思想以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中。数学建模就是要把现实生活中具体实物内所包含的数学知识、数学规律抽象出来，构成数学模型，根据数学规律进行推理求解，得出数学上的结论，返回解释验证，以求得实际问题的合理解决。可以说有数学应用的地方就有数学建模，利用数学建模，可以更有效地实施高中数学教学。

一、从生活中选题，在兴趣中学习

在高中阶段，由于学生已经具备了一定的数学知识和解答技巧，就可以在数学教学中设置一些贴近学生生活的、学生感兴趣的问题来尝试进行数学建模活动。例如，在足球比赛之前，让学生通过已经学过的解三角形的知识来研究哪里是带球射门的最佳位置；在偶有上学迟到的现象后，让学生通过概率的知识来研究如何选择路线有最大可能节省时间；在学习分段函数后，让学生利用分段函数解决出租车计费问题等。

数学建模研究对象的选择必须因地制宜，因人而异。为了避免由于学生的知识积累和所处环境的不同所造成的认识上的差异，就要选择学生现阶段能够接触和了解，并且能够用现有的数学知识求解的问题为建模的对象。这样既能使学生建立比较周到的数学模型，又巩固了数学知识，还把生活融入到数学教学中，让学生感到生活中时时处处有数学，改变数学在学生心目中枯燥、深奥的印象，使数学教学焕发勃勃的生机。

二、在参与中探索，在协作与思辨中求真

学生是教学活动的主体，要让学生在教学活动中发现问题和解决问题，经历将需要解决的问题抽象成数学语言，形成数学模型，再对所形成的数学模型进行求解、比较、验证、分析、再求解等过程。让学生得到学数学、做数学、用数学的实际体验，亲身体会到数学探索的愉悦。

在建模过程中，由于学生对事物的关注热点和认知角度的不同，其建立模型的方式和解答技巧也会大相径庭。到底哪种模型建立得更加科学合理，哪种解答方式更加有效，教师可以让学生充分表述自己的观点和见解，让他们在激烈的思维碰撞中产生灵感的火花，支持学生打破常规、超越习惯的想法，充分肯定学生正确的、独特的见解，并珍惜学生的创新成果和失败价值，让学生在思辨中取长补短，体会数学应用的乐趣与价值。例如，在研究人工饲养鱼塘中鱼群数量与时间的关系时，有的学生认为没有天敌与食物限制的情况下鱼群数量会快速增长，于是就利用已有的数据建立指数增长模型；而有些学生则认为空间是限制鱼群数量的因素，鱼的产量增长会越来越慢，于是就利用对数函数建立了抑制型的增长模型，在探讨中学生相互阐述观点取长补短。又如，有关住房贷款问题，假设先有一定的本金和月收入，银行提供了多种贷款的方式，到底哪种方式更加合理呢？在模型建立过程中，有的学生侧重于贷款所还利息最少为最佳方案，有的学生则认为借贷活动对于日常生活影响最小的方式为最佳，有的则认为应该在首付后留下充足的资金以应对不时之需为最佳；在模型解答数据处理的过程中，有的学生认为还贷季数有限，可以用列表列举出每季所需的数据分析解答，有的学生则认为可以将每季数据构造成数列来分析……在相对开放的数学建模问题中，这些观点都是有道理的，通过让学生阐述自己建模的出发点，展示自己建模的分析求解过程以供全体同学讨论，再根据讨论中的建议进一步分析比较和验证，以完成更加周到、更加符合实际的数学建模。数学建模既让学生真正体会到数学实际用途，又完成了对学生协作意识和科学态度及情感的培养，还让学生在动手操作过程中巩固数学知识，提高数学学习兴趣，提升了数学思维和应用能力。

三、在应用中巩固，在实践中求新

具体的才是好理解的，只有常用到的才是记得最牢固的。数学知识虽然抽象，但每一次数学建模都会对数学的抽象表达赋予实际的意义，这样在每一次应用过程中，学生对原本深奥的数学表示的理解就会更加深入一层。用数学模型来解决单摆轨迹和正弦交流电的问题时能够让学生体会三角函数中的初相、相位、振幅和周期的含义；解决匀变速和变加速运动问题的数学建模时，可以让学生体会到导数与积分的意义；受力做功的数学模型中，又能让学生对向量的数量积进行感悟……学生每一次对知识和方法的使用与感悟都是一次巩固过程。这不同于一般性的重复，而是经过思索后的再提升，是让学生更加全面与深刻地理解所用知识的过程。在模型的求解中如果遇到现有知识无法解决时自然会想方设法学习新知识、新技能解决所遇问题，由此培养自学能力。

四、在解答中归纳，在总结中提升

数学建模既然是应用数学工具的过程，那么，其在具体的应用和探索过程中就会产生很多普遍性的结论。这些由学生亲自动手验证的结论往往可以作为学生珍贵的经验积累，是构成学生知识结构的重要内容，这些结论往往又可以使学生在学习其他知识时理解得更加透彻。例如，在让学生研究两点球面距离的时候，经过反复比较和验证，学生会发现两点的球面距离实际上就是两点与球心所形成的大圆的劣弧长度，由此可以通过球的半径与两点与球心连线的夹角来求出两点所在球的球面距离。这样学生在学习地理知识的时候就能够理解地球上同纬度两地的航班为什么不是沿着纬度圈飞行，也可以更加透彻地理解地理学中给出的计算两地地表距离的公式了。又如，用平面向量基本定理与数量积来分析物理学中的受力做功模型时，学生才能明白为什么物理学中的受力分析习惯上要做正交分解，其原因就包括分量做功不相互影响并易于坐标化等。

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关键词：小学数学;应用题;教学模式

【中图分类号】 G623.56 【文献标识码】 A 【文章编号】 1671-8437（2015）02-0110-01

1 概述

“问题――建模――应用”教学模式是通过教师的指导和师生之间的交流探究，把具体的问题转换成数学问题，再用解决问题后得出的结论解释实际问题的过程。这样的教学过程，不仅能培养学生化难为简的能力，也能加深学生对数学知识的理解，该模式可以满足小学应用题的教学需要，因此应该被广泛利用到小学的数学课堂中。

2 “问题――建模――应用”教学模式的实施策略

2.1 提出问题

提出问题是“问题――建模――应用”教学模式的第一步。在提出问题的过程中，教师要把问题内容与实际生活相结合，采用与学生生活联系度高并且能促进学生思考的问题，从而激发学生的学习热情，让学生积极探索解决问题的方法，充分调动所学到的数学知识，为后面最为关键的一部份――解决问题打下基础。比如在讲解应用题中的相遇问题时，可以先设置一个这样的情节：小明和小华住在学校相对的两个方向，假如两人在同一时间从家往学校走去，两人在几分钟后可以相遇？教师可以把以上情节制作成多媒体课件，以动画的形式呈现给学生，让学生在观看动画的过程中认真观察两人具体的运动过程，从而唤起学生对这一问题相似的生活经历。这种提出问题的方式不仅能调动学生解决问题的积极性，也让应用题教学与实际生活的联系更加紧密，使数学课堂富有情趣。

2.2 认真审题

准确理解题目的大意和出题目的是认真审题的主要任务。学生在解决问题前一定要认真审查题目，提炼题中的主要和次要信息，掌握题目中暗含的意思、条件和要求。以比例分配应用题为例：操场上一共有学生40人（或者共有女生40人），其中男生和女生的人数比例是3：2，试问男生的具体人数为多少？学生如果出现审题失误的情况，很有可能把解题步骤写成“40×3/2”或者“40×2/3”。针对这一情况，教师要引导学生在审题的过程中，首先要认真比较不同题目之间的联系与区别，最后再比较题目中所反映出的数量关系，从而让学生多角度多方法的解答题目。如此一来，学生在以后的审题中就能根据题意联想到相关的题目模型，最终使审题和解题的准确率都大大增加。

2.3 交流讨论

交流讨论的目的是促进学生相互之间的思考，以合作的形式共同探讨出解决问题的策略和方法。在小学代数应用题中，由于其中的知识涉及范围广、难度大，因此学生之间合作性的交流讨论就显得十分必要。

比如一道鸡兔同笼数学题：鸡和兔同在一个笼子中，经计算后发现上面共有35头，下面共有94只脚，请问鸡和兔各有多少只？首先，学生要独立思考所面对的数学问题，通过自身的力量尽力完成能解决的那一部分;其次，学生可以寻求帮助，和同学之间从不同角度共同探讨解决方案;最后，对于讨论未果的，教师要引导学生另辟蹊径的解决问题。例如让学生假设鸡和兔分别只有一只脚和两只脚的状态着地，这样就使题目中的脚只有47只，因此每多一只脚就能说明有一只兔存在，从而计算出兔有（47-35）12只，鸡有（35-12）23只。教师在学生的合作讨论过程中，要尊重学生的主体性，必要时可以和学生一起交流讨论解题思路，以此激发学生的主观能动性，培养学生的学习创造能力。

2.4 建立模型

建立模型是“问题――建模――应用”教学模式中最重要的一个环节。在经过审题和讨论后，学生已经在脑海中构建了一个基本的解题思路，也把未知的问题转换成了具体的数学模型，在这个时候，教师可以开展此部分的教学工作。建立模型应该从以下几个方面实施：

（1）构建“图形模型”。学生在理清问题中的数量关系后，教师可以引导学生用图画或者图表的形式表示其中的数量关系。比如有甲、乙两地相距500千米，一辆汽车先停在甲乙之间的A点100千米处，后来以每小时50千米的行驶速度前往甲乙两地的中点，到达中点30分钟后继续前进。一小时后，汽车离乙地的距离有多少？汽车到达乙地的时间有多久？这样的问题就可以用以下列表表示其中的数量关系：

通过图形模型，学生便能对题目中复杂的数值进行列表式的转换，使其一目了然。

（2）构建数量关系模型。引导学生对题目进行仔细的分析与观察，以此提炼出题目中的结构与关系，再用数学的形式表现。同样以相遇问题为例，这样的问题就可以用总路程/时间=速度的数学结构表示，从而帮助学生准确建立相关题型的数学模型。

2.5 应用模型

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关键词： 数学建模；思想；中职数学；研究

中图分类号：G718 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2015）17-0098-02

一、中职数学教学的现状及原因探析

（1）基础薄弱，学习动力不强。随着普通高校持续扩招和“普高热”的持续升温，中职学校的生源质量受到了严重影响，学习基础较好的学生多选择读普高升大学，而成绩较差的学生才选择到中职学校进行职业技能培训。中职学生厌学现象严重，特别是数学学科，相当部分学生存在基础差、学习动力不强烈、兴趣不浓、信心不强，甚至厌学等现象，特别在重点、难点章节，学生越绪低落、兴趣索然，有时还出现在数学课堂上睡觉的现象。

（2）“数学无用论”思想的漫延。目前中职学校在数学教学上多沿用传统模式，且教学时间不断压缩（一般每周只有2个～4个课时）。而数学教材及教学方法则强调数学的逻辑性、严密性和系统性，往往与学生所学专业及实际应用相脱节，忽视了中职数学实用性与提高解决问题的能力。结果是学生对数学感到枯燥乏味，进而形成“数学无用论”的思想。

二、提高中职数学教育质量的思路

由上而知，改变中职数学教学模式已刻不容缓。如何进行数学教学的改革，激发学生学习的兴趣，提高学习数学的积极性、主动性，全面促进中职数学教学质量。笔者认为：数学建模可为中职数学教学开创一种新的尝试和探索。数学建模是一种数学的思考方法，指从实际问题入手建立数学模型，运用数学的语言和方法，求出数学模型的解并验证模型解的全过程。数学建模可以看成是一个由纯粹的数学问题，变成结合物理、生物、经济等问题用数学工具来解决的实际的问题，进而选择合适的、正确的数学方法来求解，这是应用数学知识解决实际问题的关键所在。结合多年职教工作经验，笔者认为可以从以下四个方面进行尝试：

1. 联系生活实际，激发学生数学学习动机和兴趣

兴趣是学生学习动力的源泉，是个体潜在的内在动力。中职数学教学课堂里，培养学生学习的兴趣尤为重要。教师应注重采用数学建模思想教学，一方面数学教学联系生活实际，诱发兴趣，增强学生的学习信心。我们利用数学模型的特点，即在课堂上把学生在生活上遇到的实际问题用数学语言抽象概括，再从已学的数学知识的角度来反映或近似地反映实际问题，而所得出解题过程，即关于实际问题的数学描述。例如：生活中经常听到“降雨量”的概念。于是，课堂上我采用了这个大家关注的天气名词作为教学材料。“根据昨晚天气预报，今天下午要下雨，若同学能预报天气，怎样利用你身边的工具知道降雨量？”我再问：“若给你一只圆台型水桶和一把尺子，该怎样盘算降雨量？” 于是，我把一只装了半桶水的圆台型铁桶和一把尺子放在讲台上，所有的学生饶有兴趣地听我把题目提出来，但很快，作为中职生的学生不约而同地提出一个问题：“什么叫降雨量？”接着，他们都很认真（过去少有的）地听我对这个名词进行解释，就这样，几乎所有的学生迅速而自然地进入了角色。

另一方面，要注意联系学生的专业课程。可根据学生所学专业来选取相应的教材，教师要针对不同的专业，编写不同的教案，才能提高学生的学习兴趣与参与性。例如，对电子专业类教材，可以增加复数在电学上的应用、逻辑运算在开关电路上的应用；对财会类专业教材，可选用银行利息问题、选择怎样的存款类型保证收益最大问题、商场的打折购物决策、保险公司保险类型的收益问题、父母的工资与国家税收等数学问题；对物流或淘宝专业，可选择经济图表的识别、分析、商品折扣、利润、成本等内容；对机电类专业教材，可选取如何在数控机床中利用极坐标系与曲线的极坐标方程来解决实际问题。在日常生活中，可选择银行里的定期与活期存款、分期付款、保险的回报率、工厂或生活里如何做到最省材料等。课堂里，尽量选择一些能较好体现数学抽象过程的素材，紧扣关键步骤，利用已学的数学模式（如不等式、一元二次方程、函数等）解决遇到的实际问题，最后用计算结果来描述实际问题。教学中注意将教学内容与所教的不同专业的教学内容有机结合起来，能更好地让不同专业的学生体会到数学的应用性，从而增强学习数学的兴趣。紧贴生活实际问题与社会热点问题，引导学生深入分析，把理论知识融入实际问题之中，使他们习惯地把数学作为工具来解决生活中所遇到的问题。同时，又活跃了课堂教学气氛，使学生感受到数学的趣味性，在生动活泼的气氛中完成了知识学习的全过程。

2. 注重数学建模题目的选择，强化数学教学效果

重要不等式（均值定理）?（a，bR+）是现行中等职业教育教科书第一册中的一个重要定理，该定理应用广泛，技术性强，加强这一不等式的教学，对提高学生分析问题、综合运用知识的能力和创造性思维能力有很大好处。教科书中的证明简单明了，对于基础不是很好的中职学生也能理解，但学会运用，对于中职学生还是非常困难的。并且单纯讲例题，做相关的巩固练习，对于专业性与实操性很强的中职生而言没有充分体现它的价值。为此，在课堂上，我引用了生活中的一个问题：现有一个小商店（俗称为“士多店”），老板用一个两臂不等长的天平称作为测量工具（在课堂上演示）。在营业中，老板为了显示公平性，每次让售货员在称量物品时，把物品放在左右两边各称一次，然后把两次的结果相加除以2，便是称量结果。当场很多顾客认为老板为了大家的公平，不怕麻烦，真令人佩服。然而，我让学生思考：这是否真的公平？大部分学生认为这肯定有问题，不然老板怎么会不怕麻烦称两次，但又无法判断到底谁吃亏了。此时，全班的气氛马上活跃起来，学生争先恐后上台称量一本书做实验。通过实验，学生很轻松地发现：若这本书实际重Gkg，若按不等长的天平来称，若左边与右边称得物品的重量分别为akg，bkg，联系力学上的杠杆平衡原理，需要对两臂作假设，现在设高臂长为m，n （从具体到抽象，完成数学化的过程），则（由于中职学生物理基础较差，由老师加以指导）根据杠杆原理，有am=Gn，bn=Gm，两式相乘得：G2mn=abmn，所以G=，而当初老板是按收费的，我们只要比较与的大小，比较一下书本的实际重量G与，很快便知?，很明显是老板多收了顾客的钱，顾客吃亏了。又问：有公平的时候吗？通过老师引导，学生很容易判断出当a=b，即m=n时，就公平。所以a，bR+时，不等式?成立，当且仅当a=b时等式成立。本节课通过学生自己动手做实验尝试去发现数学事实，一方面培养了学生实事求是的科学精神，另一方面让学生经历了合作交流、自主探究的数学过程。并能通过学生的自主探索，很好地完成了教学目标，更重要的是让学生掌握了重要的数学思想与方法，并提醒了学生生活中处处有数学，增加学生对课堂知识的理解能力。

3. 强化数学应用意识，促进数学建模方法的应用

手机，在现实生活中已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，手机也在我们中职的学生中普及了。手机该如何计费，也成为用户（特别是学生）最为关心的问题。对于学生群体，生活中不能不用手机，但又花不起太多的资费，所以为他们寻找一种既经济又适合的服务方式，是非常有必要的。学生也会因为手机资费的变化而变换号码的，但是各地的移动和联通两大运营商都相继推出了各种“套餐”，手机“套餐”的花样琳琅满目，让人眼花缭乱。于是，我把这一话题搬进了数学课堂。在讲解“不等式”前一周，我根据我校学生的数学基础设计了一个数学建模：当家理财从手机开始，精彩的生活也从现在的数学开始。让学生去移动及联通公司收集数据，建立数学模型，研究解决问题的方案。因为学生数学基础较差，我把题目设计难度降低，作为不等式与函数应用的第一节的例题。

例如，班上李洪同学购买了一部手机想入网，班上同学小李介绍他加入中国联通网，有一个预付套餐的收费标准是：月租费36元，本地语音电话费每分钟0.3元；另一同学王丽向他推荐中国电信飞young4套餐，收费标准是：月租费49元，本地语音电话费每分钟0.15元，（暂时不考虑闲时与忙时，不考虑长途话费、上网流量与视频电话），请问选择哪一家更为省钱？

简析：设李洪每月通话时间x分钟，每月话费为y元，则：y1=0.3x+36，y2=0.15x+49，y1-y2=0.15x-13，当x≈87分钟时，y1=y2； 当x>87分钟时，y1>y2； 当x

本节课结束后的作业是让学生计算上网流量（不考虑WIFI）的问题，按自己的实际需要来选择不同电信公司的套餐。这样，使学生既能在生活中找到数学的影子，又在解决问题中提高了学习数学的兴趣。

4. 注重结合校园与社会热点问题，推进中职数学建模模式的发展

采用校园的热点与社会热点问题做课堂背景，使学生掌握相对应的建模方法，不仅可以使学生树立正确的数学观念、商品经济观念，而且有利于他们在日后形成主动应用数学解决问题的意识与习惯。例如，去年在讲到“独立重复试验模型”时，针对我所教的数控专业与电子专业的全男生班，由于男生对篮球情有独钟，我对课堂教学做了如下设计：首先，以我校在5月12日至5月26日举行的“校篮球队VS机电系教师” 篮球赛为切入点，让学生通过微电影欣赏一小段有关赛事的片段，并由在场学生会的同学描述赛中的精彩片段，充分引起大家的兴趣。接着，列出七场比赛中校篮球队队长小明（学生心中“命中率”最高的偶像）的罚球情况数据统计：

给出表格后，把全班以5人一组分成8个组，让每组学生利用前一节学的“概率统计定义”估算：小明罚球罚中的概率是多少？学生马上活跃起来，很快算出小明罚球命中率P=0.9。然后，在这命中率基础上采用“提纲讨论问题式教学法”，由浅入深提出六个问题：问题1：小明第一次罚球罚中与第二次罚球罚中的概率有没有影响？罚球四次事件，概率相互之间有没有影响？问题2：小明每次罚球可能出现几种不同的结果？问题3： 小明罚球五次这个事件具有什么特征？问题4：小明五罚第一次中的概率？第一次不中的概率？问题5：小明五罚只中一次的概率？

让每组学生由组长带领进行合作讨论并逐步解决以上问题，由问题1至问题3引导出“独立重复试验模型”的概念，由问题4至问题5，让学生推导出小明投n次有k次命中的概率计算公式：P=CnkPk（1-P）n-k。这样，自然而然就由学生概述出了独立重复试验概率的公式。

整节课的教学设计是以小明罚球命中率为主线，依据学生的兴趣调动了课堂的气氛，使得每位学生都饶有兴趣地参与小组讨论来探讨相关内容，整节课获得很大成效。

综上所述，在中职课堂实行数学建模教学，既促进广大学生洞悉高中数学与社会生活的种种密切联系，提高学生运用数学思维方式分析、解决现实生活问题，又极大增强了数学教学的趣味性与实用性。注重结合学生的专业课程，使原本枯燥无味的数学学习过程变成一个生动活泼的、主动的、富有个性的过程，激发了学生学习数学的主观能动性，完成 “要我学”到“我要学”的学习状态的转变，从而全面提高中职数学教学的质量与水平。

参考文献：

[1]杨天赋，孙卫红.数学教学中数学建模思想渗透[J].内江师范学院学报，2008（12）.

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关键词:经济学数学模型应用

在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天，数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求，根据快速报价系统(根据厂家各种资源、产品工艺流程、生产成本及客户需求等数据进行数学经济建模)与客户进行商业谈判。

一、数学经济模型及其重要性

数学经济模型可以按变量的性质分成两类，即概率型和确定型。概率型的模型处理具有随机性情况的模型，确定型的模型则能基于一定的假设和法则，精确地对一种特定情况的结果做出判断。由于数学分支很多，加之相互交叉渗透，又派生出许多分支，所以一个给定的经济问题有时能用一种以上的数学方法去对它进行描述和解释。具体建立什么类型的模型，既要视问题而定，又要因人而异。要看自己比较熟悉精通哪门学科，充分发挥自己的特长。

数学并不能直接处理经济领域的客观情况。为了能用数学解决经济领域中的问题，就必须建立数学模型。数学建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化的结构的数学刻划。或者说，数学经济建模就是为了经济目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻划。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系。数学经济建模促进经济学的发展;带来了现实的生产效率。在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天，数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求，根据快速报价系统与客户进行商业谈判。

二、构建经济数学模型的一般步骤

1.了解熟悉实际问题，以及与问题有关的背景知识。2.通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象，明确模型中诸多的影响因素，用数量和参数来表示这些因素。运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之问的关系。一般情况下用数学表达式来表示，构架出一个初步的数学模型。然后，再通过不断地调整假设使建立的模型尽可能地接近实际，从而得到比较满意的结论。3.使用已知数据，观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。4.运行所得到的模型。把模型的结果与实际观测进行分析比较。如果模型结果与实际情况基本一致，表明模型是符合实际问题的。我们可以将它用于对实际问题进一步的分析或者预测;如果模型的结果与实际观测不一致，不能将所得的模型应用于所研究的实际问题。此时需要回头检查模型的组建是否有问题。问题的假使是否恰当，是否忽略了不应该忽略的因素或者还保留着不应该保留的因素。并对模型进行必要的调整修正。重复前面的建模过程，直到建立出一个经检验符合实际问题的模型为止。一个较好的数学模型是从实际中得来，又能够应用到实际问题中去的。

三、应用实例

商品提价问题的数学模型:

1.问题

商场经营者即要考虑商品的销售额、销售量。同时也要考虑如何在短期内获得最大利润。这个问题与商场经营的商品的定价有直接关系。定价低、销售量大、但利润小;定价高、利润大但销售量减少。下面研究在销售总收入有限制的情况下.商品的最高定价问题。

2.实例分析

某商场销售某种商品单价25元。每年可销售3万件。设该商品每件提价1元。销售量减少0.1万件。要使总销售收入不少于75万元。求该商品的最高提价。

解:设最高提价为X元。提价后的商品单价为(25+x)元

提价后的销售量为(30000-1000X/1)件

则(25+x)(30000-1000X/1)≥750000

(25+x)(30-x)≥750[摘要]本文从数学与经济学的关系出发，介绍了数学经济模型及其重要性，讨论了经济数学模型建立的一般步骤，分析了数学在经济学中应用的局限性，这对在研充经济学时有很好的借鉴作用。即提价最高不能超过5元。

四、数学在经济学中应用的局限性

经济学不是数学，重要的是经济思想。数学只是一种分析工具数学作为工具和方法必须在经济理论的合理框架中才能真正发挥其应有作用，而不能将之替代经济学，在经济思想和理论的研究过程中，如果本末倒置，过度地依靠数学，不加限制地“数学化很可能经济学的本质，以至损害经济思想，甚至会导致我们走入幻想，误入歧途。因为:

1.经济学不是数学概念和模型的简单汇集。不是去开拓数学前沿而是借助它来分析、解析经济现象，数学只是一种应用工具。经济学作为社会科学的分支学科，它是人类活动中有关经济现象和经济行为的理论。而人类活动受道德的、历史的、社会的、文化的、制度诸因素的影响，不可能像自然界一样是完全可以通过数学公式推导出来。把经济学变为系列抽象假定、复杂公式的科学。实际上忽视了经济学作为一门社会科学的特性，失去经济学作为社会科学的人文性和真正的科学性。

2.经济理论的发展要从自身独有的研究视角出发，去研究、分析现实经济活动内在的本质和规律。经济学中运用的任何数学方法，离不开一定的假设条件，它不是无条件地适用于任何场所，而是有条件适用于特定的领域在实际生活中社会的历史的心理的等非制度因素很可能被忽视而漏掉。这将会导致理论指导现实的失败。

3.数学计量分析方法只是执行经济理论方法的工具之一，而不是惟一的工具。经济学过分对数学的依赖会导致经济研究的资源误置和经济研究向度的单一化，从而不利于经济学的发展。

4.数学经济建模应用非常广泛，为决策者提供参考依据并对许多部门的具体工作进行指导，如节省开支，降低成本，提高利润等。尤其是对未来可以预测和估计，对促进科学技术和经济的蓬勃发展起了很大的推动作用。但目前尚没有一个具有普遍意义的建模方法和技巧。这既是我们今后应该努力发展的方向，又是我们不可推卸的责任。因此，我们要以自己的辛勤劳动，多实践、多体会，使数学经济建模为我国经济腾飞作出应有的贡献。

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关键词：应用型本科院校；数学建模；教学改革；应用能力；创新意识

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）19-0226-02

应用型本科院校的目标是培养培养应用性人才，应用性人才的知识能力结构是应用型，而不是学术型，这种人才不仅具有扎实而宽广的基础知识、专业知识、综合知识，较强的表达、动手、创新与组织能力，而且还应具有不断学习新知识，掌握新技术，跟踪最新科技发展与社会变化的能力。这就要求我们的专业改革要按照应用型能力结构，重新架构理论和实践教学的体系，培养学生的应用和创新能力，以满足学生发展需求。从这样的教育改革理念出发，数学建模活动的开展就成为必然。

一、开展数学建模活动的意义

数学建模一般分三个步骤：建立模型、数学解答、模型检验。建立数学模型是一种积极的思维活动，从认识论角度看，是一种极为复杂且应变能力很强的心理现象，没有统一模式，没有固定方法，其中既有分析、推理、判断等逻辑思维，又有非逻辑思维。建模过程大体都要经过分析与综合、抽象与概括、系统化与具体化等阶段，其中分析与综合是基础，抽象与概括是关键。而建模过程中的数学解答与模型检验步骤就要求学生将所学的数学知识、计算机知识和其他方面的知识进行综合，应用到实际问题中，再根据计算结果给出符合实际的合理解释。通过这样的实践，学生会明白学以致用的道理，从而提高学生分析、综合与解决实际问题的应用能力。

在数学建模学习过程中，有大量的数学模型不是单靠数学知识就能解决的，需要跨学科、跨专业的知识综合在一起，当今科学的发展也使得一个人再也没有足够精力去通晓每门学科，这就需要具有不同知识结构的人经常在一起相互讨论，从中受到启发。数学建模集训、竞赛提供了这一场所，三位同学在学习、集训、竞赛的过程要彼此磋商、团结合作、互相交流思想、共同解决问题，使得知识结构互为补充，取长补短。这种能力、素质的培养为他们的科学研究打下了良好的基础。而由于实际问题的广泛性，大学生在建模实践中要用到的很多知识是以前没有学过的，而且也没有时间再由老师作详细讲解，只能由教师讲一讲主要的思想方法，同学们通过自学及相互讨论来进一步掌握，这就培养了学生的自学能力和分析综合能力。他们走上工作岗位之后正是靠这种能力来不断扩充和更新自己的知识。可以说数学建模活动是培养学生创新精神与应用能力的主要载体。

二、我校开展数学建模活动的一些做法

皖西学院（时为六安师专）于1998年组队参加全国大学生数学建模竞赛，2009年组队参加国际大学生数学建模竞赛，在安徽省同类院校中是比较早的。从2001年开始，将数学建模类课程设为数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的必修课，制定符合应用性人才培养目标的教学大纲和实践教学规划。在校、院各级领导的支持下，于2001年组建了大学生数学建模竞赛教练组和皖西学院数学建模协会，建立了适合我校实际的组织、培训、比赛和奖惩的有效机制，制定了《皖西学院数学建模竞赛章程》和《皖西学院大学生参加数学建模竞赛培训实施方案》等文件，据此形成具有皖西学院特色的大学生数学建模系列活动：

（1）每年开学初，为一年级学生举办数学建模讲座，对他们进行数学建模启蒙教育，使刚进大学校门的新生懂得打好数学基础的重要性，增强他们学习数学知识的兴趣，这是我校组织学生开展数学建模活动的宣传、发动工作的环节之一，起到了良好效果；

（2）通过开设数学建模课程使学生对数学建模有进一步深入的了解；

（3）组织学生参加数学建模协会组织的数学建模研讨班、培训班；

（4）在全校范围广泛发动，组织学生参加皖西学院数学建模竞赛，选拔参加全国、国际数学建模竞赛队员；

（5）认真组织、培训队员参加全国、国际数学建模竞赛活动，使学生真正体会到建模的实用性和成功后的喜悦，提高学生数学的应用能力和解决实际问题的科研能力。在每年5月底，在学校数学建模竞赛的基础上，组建大学生数学建模竞赛的预备队进行暑期的培训，每年依据队员的专业背景、年级等具体情况制定详细的培训计划，大体上整个培训分三个阶段进行。①由建模教练组选派优秀的指导教师结合实际的建模问题串讲各个知识点，使学生掌握建模过程和其一般规律；②组织模拟比赛使队员感受实战气氛，比赛结束进行结果的评讲和研讨，每组谈本队的建模思路和感受，相互促进、相互提高。③进行全国赛的选拔，选拔优秀队员参加9月份的全国比赛。

（6）让学生结合学校毕业设计等教学环节，参与一定的实际科研活动。在每年的毕业论文（设计）的出题、选题过程中加入许多涉及建模的实际问题，通过实际问题的研究、毕业论文的撰写、答辩，使学生再一次受到真实的科研实践锻炼，解决实际问题的应用能力得到了很大的提高。

现在，数学建模教学、实践和竞赛活动已在皖西学院蓬勃开展，成为我校本科教学中的亮点，在加强素质教育、培养开拓型和应用型人才方面发挥了独特作用。

三、取得的成果与改进设想

（一）取得的成果

皖西学院一直积极开展大学生数学建模教学实践，紧紧围绕应用型示范本科院校的培养目标，以国家级特色专业点和省级教改示范专业建设为抓手，以培养学生创新思维和应用能力为宗旨，以“因材施教，分类培养”为教育理念，以学生社团为依托，遵循学以致用原则，把数学建模教育与培养学生“用数学”的意识、应用能力和创新能力结合起来，构造了“面向应用，依托学科，以应用能力培养为核心”的课程体系，融教育与实践相结合。在数学建模课程教学、数学、信息等专业培养计划制定以及竞赛的组织、培训和参赛指导等方面得到了广泛的应用；数学建模的教育教学取得了可喜的成绩，进入数学建模社团组织的人数越来越多，比赛成绩逐年提高。2008年“新建本科院校中数学建模与大学生创新能力培养”获得安徽省教学成果一等奖，获批和数学建模相关的教研项目5项、成果奖3项；近5年来，我校学生共获得国际数学建模竞赛二等奖2项，全国大学生数学建模国家一等奖1项、二等奖6项和省级奖励50多项。

（二）改进设想

（1）和培养方案的修订结合，进一步完善大学数学课程的实践教学体系建设。

（2）进一步完善数学建模竞赛的组织、培训、比赛和奖惩机制，使得数学建模活动进一步规范化。

（3）规范《数学建模》全校通识选修课教学，使更多的理工科学生甚至文科学生参与数学建模活动。

（4）和大学数学教学改革结合，使数学建模思想融入大学数学的教学中，改变教师对数学的认识，提高大学数学教师的工程观，从而提高学生数学的应用能力和利用数学和计算机解决实际问题的能力。

四、结束语

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【论文摘要】目前在很多高校都已经开设了“数学建模”课程，大学数学建模方法教学策略也逐渐成熟，那么在中学可设“数学建模”课程或进行教学也成为了新课改下的热门话题，但如何把大学数学建模方法教学策略应用到中学教学中，还需要加以研究。

数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程，也就是对某一实际问题，经过抽象、简化、明确变量和参数，并依据某种“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系(即数学模型)，然后求解该数学问题，并对此结果进行解释和验证，若通过，则可投入使用，否则将返回去，重新对问题的假设进行改进，所以，数学建模是一个多次循环执行的过程。鉴于目前很多高校都开设了“数学建模”课程，数学建模课程的开设对高校改革起到了很大的作用，在新课改的背景下，数学建模也将被引入到中学教育之中。研究大学数学建模方法教学策略并探讨其在中学教学中的应用很有必要。

1.大学与中学在数学建模教学上的联系

大学教育面对的是成年学生，而中学教育面对的多是未成年学生，在年龄上，两者有着区别；大学生是已经受过中学教育的学生，而中学生尚未完成中学教育，所以在受教育程度上两者有很大差别，但尽管如此，两者都是在校学生，都还处在教育系统之中，所以两者及两种教育仍然具有一些相同之处。

1.1两者教学环境大同小异

无论是大学教育，还是中学教育，采取的教学方式都是课堂授课教学，都有固定的场所，特定的老师和相配套的课本教材等等，在这一点上来讲，两者区别并不大，都处在相同的教育系统中，只是两种环境中的老师水平不同，学生受教育的程度以及教学深度不同罢了。

1.2数学建模模式相同

数学建模，本身内涵已经固定，既适合在大学教育中设立此类课程，也适合中学生进行学习，其目的都是一样，都是要解决实际的现实问题，都具备数学建模的实用化特征，但由于所用数学知识有所差别，解决的实际问题大小有差异，但都是解决问题。

1.3中学生和大学生都具备接受知识的能力

数学课程在小学就已经开始设立，到中学教育程度时，相比小学生，中学生的数学能力有大幅度提高，已经能够进行很好的知识理解，虽然并没有大学生的理解力那么高，但学习简单的数学建模的能力已经具备。

1.4中学数学建模学习能为以后更深的学习打下基础

在中学开设数学建模课程教学，能为以后高层次的数学建模培养人才，从早就打下良好的数学基础，能够减少将来遇到的各种问题。

2.可应用于中学数学建模中的大学教学策略

数学建模，是提高学生的数学素质和创新能力的重要途径，是提高教师的教学和科研水平的有效手段。从以上的介绍可知，大学数学建模方法教学策略可以很好的应用于中学数学建模教学过程中。目前，大学课程中开展数学建模教学的途径与方法很多，其中，能够很好的应用到中学数学建模课程中的也有很多，下面着重叙述比较常用且很奏效的主要途径和方法：

2.1充分利用教材，对教材进行深度把握

教师在课堂教学过程中要充分利用手中的教材工具，对教材进行深度把握，提高教材利用的效率。教材是专家学者在对理论深层地把握的基础上结合生活中的实际经验研究出来的，教材内容既是理论的实践化，又是生活的理论化，其中要讲授和阐明的问题都是非常具有代表性的，因此教材具有很高的利用价值，要懂得充分利用。但教材中并没有告诉教师具体的教学方法，只是安排了需要进行教授的课程，因此在教学过程中，教师要使用合理的教学方式进行授课，如在对教材内容讲解后可以考虑把教材中的问题换一种方式进行重新提问和思考，变换问题的条件，更改提出问题的方式，对因果进行互换，结合新的问题进行重新提问。本身就是生活的提炼，是对生活中的实际问题的一种简化，通过反刍的方式，把数学模型重新应用到实际问题中，对理解数学模型的构建和内涵都具有很大的作用。

2.2利用案例教学，设计精良的案例

所谓案例教学法，是指教师在课堂教学中用具体而生动的例子来说明问题，已达到最终目的的一种教学方式。而数学建模教学中的案例教学法，则对应的是在数学建模教学过程中，结合案例进行数学建模问题的讲解，达到让学生对数学建模的建模过程和方法以及建模的具体应用有清晰的认识的目的。数学建模教学中应用案例教学法主要应该包括三个部分，即事前、事中、事后三个部分。事前是指教师在数学建模开始之前选择合适的问题，讲解问题的，也就是介绍清楚问题的背景资料，所掌握的数据信息，建模可能用到的数学方法和模型，以及问题的最终目的。事中是指在教师讲解清楚问题的准备工作之后，教师与学生，学生之间针对问题进行讨论，讨论的目的是要搞清楚问题的实质是什么，可以利用哪些方法和模型工具，探讨那一种方法最为合理，最终决定使用的具体模型工具。事后则是指模型的最后，模型是否合理需要通过最后对模型结果的检验做标准，可以在两种以上不同的模型得出的结果之间进行对比，考察其存在的差距。

2.3强化课堂教学效果，课后进行实践

课堂上进行数学建模的教学和探讨，课后要补以实践进行强化训练。课堂教学一定程度上停留在理论阶段，虽然数学建模具有很大实用性，但是学生进行建模的时候只是通过教师所提供的数据信息和建模方法，尽管学生也参与了一定的讨论，却仍然无法能让学生对用模能够有比较直观的感受和了解，因此实践训练成为了数学建模一个必不可少的构成部分。数学建模实践主要可以通过两种形式进行，一种是实验室实践，学校应该建立健全数学建模专用实验室，实验室可以看做是现实的理想化环境，在理想化的实验室里可以很好的对认模、建模等过程的认识。由于中学生对理解问题的能力还处于初级阶段，实验室可以不用那么复杂，这样既可以节约实验室建设，也能同时达到实践训练目的。一种联系实际进行实践。教师要从较为简单的实际问题出发，让学生自主选择和他们自己比较相关的问题，进行简单的数学建模练习，然后以作业的形式上交给教师，教师进行逐个批复，然后就发现的新问题进行讨论与解决。

2.4开展数学建模活动，鼓励学生积极参与

为了提高学生的数学建模能力，学校可以开展数学建模活动，可以是竞赛制的，也可以是非竞赛制的，但对成绩比较优秀的学生都要给一定的奖励，以提高学生的积极性。建模活动要有规章制度，要比较正规化，否则可能会达不到预期效果，而且建模过程要保证学生不受干扰，竞赛要保证公平、公开。

2.5巩固学生基础，开发学生学习兴趣

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关键词：建模思想 中学 数学

数学建模在中学数学教学和解题中也有着非常重要的作用。因此，利用建立数学模型解决问题的数学建模教学从国外到国内，从大学到中学，越来越成为数学教育改革的一个热点。 中学阶段数学建模教学有它的特殊性，在中学阶段，学生建模能力的形成是基础知识基本技能、基本数学方法训练的一种综合效果，建模能力的培养主要是打基础，但是，过分强调基础会导致基础与实际应用的分裂。如何把握分寸是一个值得探讨的问题，同时也是我们教学的一个难点。该文对数学建模在中学数学中的应用进行了深入研究，探讨了数学建模在培养学生能力和中学数学解题中的应用。

一、理论概述

1.数学模型定义

数学模型就是用数学语言和方法对各种实际对象作出抽象或模拟而形成的一种数学结构。广义上的数学模型就是从现实世界中抽象出来的，是对客观事物的某些属性的一个近似反映。狭义上的数学模型就是将具体问题的基本属性抽象出来成为数学机构的一种近似反映。数学模型有两种基本功能：统一功能和普适。

2.数学模型的分类

1）按模型的来源不同，可以分为：理论模型和经验模型。

2）按研究对象所在领域，可以分为：经济模型、生态模型、人口模型、交通模型等。

3）按建立模型所使用的数学工具，可以分为：函数模型、方程模型、三角模型、几何模型、概率模型等。

4）按对研究对象的内部机构和性能的了解程度，可以分为：白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。

5）按模型的功能，可以分为：描述性数学模型和解释性数学模型。

二、数学建模思想在中学数学解题中的应用案例

数学建模几乎贯穿于整个中小学数学学习过程，小学数学的解算术应用题；中学数学的列方程解应用题；建立函数表达式及解析几何里的轨迹等都蕴含着建模思想方法。

例1.解方程组 [x+y+z=1] （1）

[x2+y2+z2=1/3] （2）

[x3+y3+z3=1/9] （3）

分析：本题若用常规方法求，相当复杂。仔细观察题设条件，挖掘隐含信息，联想各种知识，即可构造各种等价数学模型来解决。

1.方程模型

方程（1）表示三根之和，由（1）、（2）不难得到两两之积的和[xy+yz+zx=1/3]再由（3）又可得三根之积[xyz=1/27]，由韦达定理，可构造如下三次方程模型，[x，y，z]恰好是其三个根

[t3-t2+t/3-1/27=0] （4）

方程（4）的三重根为[t=1/3]，所以方程组的解为：

[x=y=z=1/3]

2.函数模型

观察（1）与（2）两边的特征及联系，若以[2（x+y+z）]为一次项系数，[（x2+y2+z2）]为常数项，则以[3=（12+12+12）]为二次项系数的二次函数：

[f（t）=（12+12+12）t2-2（x+y+z）t+（x2+y2+z2）] （5）

为完全平方函数[3（t-1/3）2]。又根据（5）的特征有：

[f（t）=（t-x）2+（t-y）2+（t-z）2]

从而有[t-x=t-y=t-z]，即x =y =z，再又由（1）得：[x=y=z=1/3]，这是（1）、（2）的唯一实数解，它也适合（3），故[x=y=z=1/3]是原方程组的唯一实数解。

3.几何模型

例2.求函数[y=x2+9+（5-x）2+4]的最小值。

分析：根据函数表达式的形式上的特征，联想到平面直角坐标系中的两点间的距离公式，如果我们将函数表达式改写为：

[y=（x-0）2+（0+3）2+（5-x）2+（2-0）2]。

那么[y]就是动点[P（x，0）]与两点[A（0，3），B（5，2）]的距离的和，这样我们就构造了一个几何模型。

图（1）

如图（1），在这个模型中，求函数[y]的最小值转化为在[x]轴上求一点[P（x，0）]使得[PA+PB]取得最小值.

易知当[P，A，B]三点共线时，

[（PA+PB）min=AB=（5-0）2+（2+3）2=52]

参考文献：

[1]王林全.中学数学解题研究.科学出版社，2009.3

[2]侯亚林.数学建模在中学数学中的应用.湖北成人教育学院学报，2009.7

[3]姜淑珍.数学教学论简明教程.吉林大学出版社，2010.1

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关键词： 数学建模 抽象性 精确性

数学具有抽象性、精确性和应用广泛性等特点。数学的应用性随着社会的发展，得到了更广泛的基础性的延伸，为提高学生对数学学科的驾驭能力，必须培养学生从实际问题中获取信息，建立数学模型，分析问题与解决问题的基本能力。中学数学中的数、代数式、方程、函数等都是反映现实世界的数学模型，因而在某种程度上，可以说数学建模就是中学数学的一条主线，数学教师要保持视野的开阔性，按照建模的原则处理具体的教学内容。

初级中学数学教师应正确认识数学建模与应用性问题教学和进行数学建模与应用性问题教学的关系，全面落实数学课程标准。面向所有学生，让所有学生都获得更多可以广泛应用、与现实世界及其他学科密切相关的数学知识，让所有学生都学到有价值的、富有挑战性的数学知识，让所有学生都学会数学地思考，并积极地参与数学活动，自主探索。

由于数学所特有的本质属性，数学教育本质上是素质教育，而数学建模的问题大都贴近生活，关注社会热点，没有现成的答案，没有固定的方法，没有指定的参考书，没有规定的数学工具，主要靠学生独立思考，反复钻研并相互切磋，形成相应的数学问题，寻求解决问题的方法，得出有关结论，并判断结论的对错。

数学建模有利于初中生能力的培养：第一，培养“翻译”的能力，即把经过一定抽象、简化的实际问题用数学的语言表达出来形成数学模型（即数学建模的过程）。对应用数学的方法进行推演或计算得到的结果，能用“常人”能懂的语言“翻译”（表达）出来。应用已学到的数学方法和思想进行综合应用和分析。数学建模中数学终究是我们主要的拿手武器，要在数学建模中灵活应用、发展使用这个武器的能力。打个比喻，过去学过的数学知识好比手中已有的武器，但并不意味着你就会自动使用它，更谈不上能灵活、创造性地使用它。要达到后者的水平必须多练习、多琢磨。第二，发展联想能力。对于不少完全不同的实际问题，在一定的简化层次下，它们的数学模型是相同的或相似的，这正是数学的应用广泛性的表现。第三，逐渐发展并形成一种洞察能力（或叫洞察力）。通俗地说就是一眼抓住（或部分抓住）要点的能力。为什么要发展这种能力？因为真正的实际问题的数学建模过程的参与者（特别是在一开始）往往不是很懂数学的人，他们提出的问题（及其表达方式）更不是数学化的，往往是在和你交谈过程中由你“提问”、“换一种方式表达”或“启示”等方式（这里往往表现出你的洞察力）使问题逐渐明确的。与纯数学问题相比，数学实际问题的文字叙述更加语言化，更加贴近现实生活，题目比较长，数量比较多，数量关系显得分散隐蔽。因此，面对一大堆非形式化的材料，部分学生常感到很茫然，不知道如何下手，产生惧怕数学应用题的心理。具体表现在：在信息的吸收过程中，受应用题中提供信息的次序、过多的干扰语句的影响，部分学生读不懂题意只好放弃；在信息加工过程中，受学生自身阅读分析能力和数学基础知识掌握程度的影响，部分学生缺乏把握应用题的整体数学结构，并对全立体结构的信息作分层面的线性剖析的能力。即使能读懂题意，也无法解题；在信息提炼过程中，受学生数学语言转换能力的影响，部分学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来，缺乏把实际问题转换成数学问题的转译能力。

数学建模问题是用数学知识和数学分法解决实际生活中各种各样的问题，是一种创造性的劳动，涉及各种心理活动。心理学研究表明，良好的心理品质是创造性劳动的动力因素和基本条件，它主要包括以下要素：自觉的创新意识；强烈的好奇心和求知欲；积极稳定的情感；顽强的毅力和独立的个性；强烈而明确的价值观；有效地组织知识。部分学生由于不具备以上良好的心理品质对解决实际问题缺乏应有的信心。