数学建模的两种基本方法范文

导语：如何才能写好一篇数学建模的两种基本方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

[论文摘要]建模能力的培养，不只是通过实际问题的解决才能得到提高，更主要的是要培养一种建模意识，解题模型的构造也是一条培养建模方法的很好的途径。

一、建模地位

数学是关于客观世界模式和秩序的科学，数、形、关系、可能性、最大值、最小值和数据处理等等，是人类对客观世界进行数学把握的最基本反映。数学方法越来越多地被用于环境科学、自然资源模拟、经济学和社会学，甚至还有心理学和认知科学，其中建模方法尤为突出。数学教育家汉斯·弗赖登塔尔认为：“数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，数学过程应该是帮助学生把现实问题转化为数学问题的过程。”《新课程标准》中强调：“数学教学是数学活动，教师要紧密联系学生的生活环境，要重视从学生的生活实践经验和已有的知识中学习数学和理解数学。”

因此，不管从社会发展要求还是从新课标要求来看，培养学生的建构意识和建模方法成了高中数学教学中极其重要内容之一。在新课标理念指导下，同时结合自己多年的教学实践，我认为：培养建模能力，不能简单地说是培养将实际问题转化为数学问题的能力，课堂教学中更重要的是要培养学生的建模意识。以下我就从一堂习题课的片段加以说明我的观点及认识。

二、建模实践

片段、用模型构造法解计数问题（计数原理习题课）。

计数问题情景多样，一般无特定的模式和规律可循，对思维能力和分析能力要求较高，如能抓住问题的条件和结构，利用适当的模型将问题转化为常规问题进行求解，则能使之更方便地获得解决，从而也能培养学生建模意识。

例1：从集合｛1，2，3，…，20｝中任选取3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？

解：设a，b，c∈N，且a，b，c成等差数列，则a+c=2b，即a+c是偶数，因此从1到20这20个数字中任选出3个数成等差数列，则第1个数与第3个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数，10个奇数。当第1和第3个数选定后，中间数被唯一确定，因此，选法只有两类：

（1）第1和第3个数都是偶数，有几种选法；（2）第1和第3个数都是奇数，有几种选法；于是，选出3个数成等差数列的个数为：2=180个。

解后反思：此题直接求解困难较大，通过模型之间转换，将原来求等差数列个数的问题，转化为从10个偶数和10个奇数每次取出两个数且同为偶数或同为奇数的排列数的模型，使问题迎刃而解。

例2：在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种不同的作物，每种作物种植一垄，为了有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有几种（用数字作答）。

解法1：以A，B两种作物间隔的垄数分类，一共可以分成3类：

（1）若A，B之间隔6垄，选垄办法有3种；（2）若A，B之间隔7垄，选垄办法有2种；（3）若A，B之间隔8垄，选垄办法有种；故共有不同的选垄方法3+2+=12种。

解法2：只需在A，B两种作物之间插入“捆绑”成一个整体的6垄田地，就可以满足题意。因此，原问题可以转化为：在一块并排4垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物有 种，故共有不同的选垄方法=12种。

解后反思：解法1根据A，B两种作物间隔的垄数进行分类，简单明了，但注意要不重不漏。解法2把6垄田地“捆绑”起来，将原有模型进行重组，使有限制条件的问题变为无限制条件的问题，极大地方便了解题。

三、建模认识

从以上片段可以看到，其实数学建模并不神秘，只要我们老师有建模意识，几乎每章节中都有很好模型素材。

现代心理学的研究表明，对许多学生来说，从抽象到具体的转化并不比具体到抽象遇到的困难少，学生解数学应用题的最常见的困难是不会将问题提炼成数学问题，即不会建模。在新课标要求下我们怎样才能有效培养学生建模意识呢？我认为我们不仅要认识到新课标下建模的地位和要有建模意识，还应该要认识什么是数学建模及它有哪些基本步骤、类型。以下是对数学建模的一些粗浅认识。

所谓数学建模就是通过建立某个数学模型来解决实际问题的方法。数学模型可以是某个图形，也可以是某个数学公式或方程式、不等式、函数关系式等等。从这个意义上说，以上一堂课就是很好地建模实例。

一般的数学建模问题可能较复杂，但其解题思路是大致相同的，归纳起来，数学建模的一般解题步骤有：

1．问题分析：对所给的实际问题，分析问题中涉及到的对象及其内在关系、结构或性态，郑重分析需要解决的问题是什么，从而明确建模目的。

2．模型假设：对问题中涉及的对象及其结构、性态或关系作必要的简化假设，简化假设的目的是为了用尽可能简单的数学形式建立模型，简化假设必须基本符合实际。

3．模型建立：根据问题分析及模型假设，用一个适当的数学形式来反映实际问题中对象的性态、结构或内在联系。

4．模型求解：对建立的数学模型用数学方法求出其解。

5．把模型的数学解翻译成实际解，根据问题的实际情况或各种实际数据对模型及模型解的合理性、适用性、可靠性进行检验。

从建模方法的角度可以给出高中数学建模的几种重要类型：

1．函数方法建模。当实际问题归纳为要确定某两个量（或若干个量）之间的数量关系时，可通过适当假设，建立这两个量之间的某个函数关系。

2．数列方法建模。现实世界的经济活动中，诸如增长率、降低率、复利、分期付款等与年份有关的实际问题以及资源利用、环境保护等社会生活的热点问题常常就归结为数列问题。即数列模型。

3．枚举方法建模。许多实际问题常常涉及到多种可能性，要求最优解，我们可以把这些可能性一一罗列出来，按照某些标准选择较优者，称之为枚举方法建模，也称穷举方法建模（如我们熟悉的线性规划问题）。

4．图形方法建模。很多实际问题，如果我们能够设法把它“翻译”成某个图形，那么利用图形“语言”常常能直观地得到问题的求解方法，我们称之为图形方法建模，在数学竞赛的图论中经常用到。

从数学建模的定义、类型、步骤、概念可知，其实数学建模并不神秘，有时多题一解也是一种数学建模，只有我们认识到它的重要性，心中有数学建模意识，才能有效地引领学生建立数学建模意识，从而掌握建模方法。

在新课标理念指导下，高考命题中应用问题的命题力度、广度，其导向是十分明确的。因为通过数学建模过程的分析、思考过程，可以深化学生对数学知识的理解；通过对数学应用问题的分类研究，对学生解决数学应用问题的心理过程的分析和研究，又将推动数学教学改革向纵深发展，从而有利于实施素质教育。这些都是我们新课标所提倡的。也正是我们数学教学工作者要重视与努力的。

参考文献

[1]董方博，《高中数学和建模方法》，武汉出版社.

[2]柯友富，《运用双曲线模型解题》，中学数学教学参考，2004(6).

篇2

课程是高校教育教学活动的载体，是学生掌握理论基础知识和提高综合运用知识能力的重要渠道，学生创新能力的形成必定要落实在课程教学活动的全过程中。“数学建模”是一门理论与实践紧密结合的数学基础课程，课程的许多案例来源于实际生活，其学习过程让学生体验了数学与实际问题的紧密联系。数学建模课程从教学理念及教学方法上有别于传统的数学课程，它是将培养学生的创新实践能力作为主要任务，利用课程体系完成创新能力的培养。由于课程教学内容系统性差，建模方法涉及多个数学分支，课程结束后还存在着学生面对实际问题无从下手解决的现象。通过深入研究课程教学体系，将传授知识和实践指导有机结合，实施以数学建模课程教学为核心，以竞赛和创新实验为平台的新课程教学模式。

一、数学建模课程对培养创新人才的作用

（一）提高实践能力

数学建模课程案例主要来源于多领域中的实际问题，它不仅仅是单一的数学问题，具有数学与多学科交叉、融合等特点。课程要求学生掌握一般数学基础知识，同时要进一步学习如微分方程、概率统计、优化理论等数学知识。这就需要学生有自主学习“新知识”的能力，还要具备运用综合知识解决实际问题的能力。因此，数学建模课程对于大学生自学能力和综合运用知识能力的培养具有重要作用。

（二）提高创新能力

数学建模方法是解决现实问题的一种量化手段。数学建模和传统数学课程相比，是一种创新性活动。面对实际问题，根据数据和现象分析，用数学语言描述建模问题，再进行科学计算处理，最后反馈到现实中解释，这一过程没有固定的标准模式，可以采用不同方法和思路解决同样的问题，能锻炼学生的想象力、洞察力和创新能力。

（三）提高科学素质

面对复杂的实际问题，学生不仅要学会发现问题，还要将问题转化为数学模型，利用数学方法和计算软件提出方案用于解释实际问题。由于数学建模知识的宽泛性，需要学生分工合作完成建模过程，各成员的知识结构侧重点有所不同，彼此沟通、讨论有助于大学生相互交流与协作能力的培养，最终的成果以科学研究论文的形式体现，科学论文撰写过程提高了学生科学研究的系统性。

二、基于数学建模课程教学全方位推进创新能力培养的实践

（一）分解教学内容增强课程的适应性

根据学生的接受能力及数学建模的发展趋势，在保持课程理论体系完整性和知识方法系统性的基础上，教学内容分解为课堂讲授与课后实践两部分。课堂教师讲授数学建模的基础理论和基本方法，精讲经典数学模型及建模应用案例，启发学生数学建模思维，激发学生数学建模兴趣；课后学生自己动手完成课堂内容扩展、模型运算及模型改进等，教师答疑解惑。课堂教学注重数学建模知识的学习，课后教学重在知识的运用。随着实际问题的复杂化和多元化，基本的数学建模方法及计算能力满足不了实际需求。课程教学中还增加了图论、模糊数学等方法，计算机软件等初级知识。

（二）融入新的教学方法提高学生的参与度

1.课堂教学融入引导式和参与式教学方法。数学建模涉及的知识很多是学生学过的，对学生熟悉的方法，教师以引导学生回顾知识、增强应用意识为主，借助应用案例重点讲授问题解决过程中数学方法的应用，引导学生学习数学建模过程；对于学生不熟悉的方法，则要先系统讲授方法，再分析講解方法在案例中的应用，引导学生根据问题寻找方法。此外，为了增强学生学习的积极性和效果，组织1～2次专题研讨，要求学生参与教学过程，教师须做精心准备，选择合适教学内容、设计建模过程、引导学生讨论、纠正错误观点。

2.课后实践实施讨论式和合作式教学方法。在课后实践教学中，提倡学生组成学习小组，教师参与小组讨论共同解决建模问题。学生以主动者的角色积极参与讨论、独立完成建模工作，并进行小组建模报告，教师给予点评和纠正。对那些没有彻底解决的问题，鼓励学生继续讨论完善。通过学生讨论、教师点评、学生完善这一过程，极大地调动了学生参与讨论、团队合作的热情。同时，教师鼓励学生自己寻找感兴趣的问题，用数学建模去解决问题。

3.课程综合实践推进研究式教学方法。指导学生在参加数学建模竞赛、学习专业知识、做毕业设计及参与教师科研等工作中，学习深入研究建模解决实际问题的方法，通过多层次建模综合实践能提高分析问题、选择方法、实施建模、问题求解、编程实践、计算模拟的综合能力，进而提高创新能力。

（三）融合多种教学手段，提高课程的实效性

1.利用网站教育平台实施线上课堂教学。线上教学要选取难易适中，不宜太专业化，便于自学，并具有与课堂教学承上启下功能，服务和巩固课程的需要的内容，利用互联网云教育平台，学习多媒体课件、教学视频，及通过提供的相关资料来学习。教师还可通过网站问题、解答疑难、组织讨论，学生通过网站学习知识、提交解答、参与讨论。学生能更有效地利用零散时间，培养自我约束、管理时间的意识和能力。

2.充分利用多媒体课件与黑板书写相结合的课堂教学手段。根据课堂教学要求，规划设计制作课件与黑板书写的具体内容，同时连接好线上的学习成效推进课堂教学。课件主要介绍问题背景、分析假设、建模方法、算法程序和模型结果，而模型推导和分析求解的具体过程，则通过板书展示增加了课堂教学的信息量，也促进学生消化理解难点和技巧。

3.指导学生小组学习的课后教学手段。指导学生以学习小组为单位开展建模学习与实践活动，提倡不同专业学生之间的相互学习、取长补短，通过学习与讨论增强学生自主学习的意识和能力。数学建模过程不是解应用题，虽然没有唯一途径，但也有规律可循，在小组学习中发挥团队力量、提高建模能力。

（四）构建多层次建模问题，培养学生创新能力

案例选择、教学设计、知识衔接是数学建模在创新型人才培养中的关键。

1.课堂教学建模问题。课堂教学通过应用案例讲解有关建模方法，所选问题包括两类：一是基本类型，围绕大学数学课程主要知识点的简单建模问题，如物理、日常生活等传统领域中的建模问题，学生既能学习建模方法又能感受数学知识的应用价值；二是综合类型，涵盖几个数学知识点的综合建模问题，如SAS的传播。问题要有一定思考的空间，且在教师的分析和引导下学生能够展开讨论。

2.课后实践建模问题。课后学生要以学习小组为单位完成教师布置的数学建模问题。问题要围绕课堂教学内容，难易适当，层次可分，以便学生选择和讨论。同时，问题还要有明确的实际背景，能将数据处理、数值计算有机结合起来。另一方面，鼓励学生学会发现日常生活和专业学习中的建模问题，引导学生提出正确的思考方向，帮助学生给出解决问题的方案。

（五）组织多元化过程考核，注重学习阶段效果

1.课堂内外考试与网上在线考试相结合的过程考核。教师按照教学要求将考试可以分解两种形式：课堂内结合应用案例组织课堂讨论，通过学生参与情况实施考核；课堂外针对基础知识可实施在线测试，对综合知识点设计一定量的大作业，根据学生完成情况实施考核，也允许学生自主选题完成大作业。

2.课程教学结束的综合考核。课程综合考核重点在于测试学生知识综合运用能力，可以采取两种形式之一。一是集中考试法，试题包括有标准答案的基础知识、课堂讲授的建模案例、完全开放的实际问题；考试采取“半开卷”形式，即可以携带一本教材，但不能与他人讨论。二是建模竞赛实践的考核法。数学建模选修课期间刚好组织东北三省数学建模联赛和校内数学建模竞赛，鼓励学生参加竞赛，依据竞赛论文实施考核。

在考核成绩评定上，采用综合计分方式，弱化期末考核权重，加大过程考核分量，注重过程学习，提高考核客观性。

（六）教学团队建设

篇3

一、数学建模简介

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为达到某种目的而建立的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式、算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程。

应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是很困难的一步。建立数学模型的过程，是把错综复杂的问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。下面通过“哥斯尼堡七桥问题”这个典型的数学建模问题来初步感受一下在数学教学中建模思想的运用与渗透。

在具体的教学中，我们经历了“问题情境—建立模型—解释、解决问题”这样一个过程。在这个过程中，最闪光、最具价值的就是把实际问题抽象、概括成为简单数学问题这一部分，即建立数学模型的过程。下面着重研究一下在小学数学教学中，学生建立数学模型的几种方法。

二、在小学数学教学中渗透建模思想，建立数学模型

1、原型转化，建立数学模型

现实生活是数学的源泉，数学问题是现实生活化的结果。有意义的学习一定要把数学内容放在真实的且有趣的情境中。让学生经历从生活原型问题逐步抽象到数学问题。如乘法结合律数学模型的建立，可先从学生身边熟悉的生活原型引入：“我们班有4个学习小组，每组排两列课桌，每列有5张。一共有多少张课桌？（用两种方法解答）”学生经过自主探索与合作交流，得出两种方法解答的结果是相同的，就是（5×2）×4=5×（2×4）。这一组数学关系式就是乘法结合律的特例。接着师生再结合生活中的实际问题进行探讨，得到一样的规律。然后让学生归纳出更为一般的数学模型为：（a×b）×c=a×（b×c）。

数学模型反映了研究对象的元素和结构，凸现了研究对象的本质特征。借助数学模型的研究，有利于学生建立良好的认知结构，有利于提高思维的导向，有利于解决更多的生活中的实际问题和数学领域中的问题。

2、认知同化，建立数学模型

学生的认知结构是在掌握知识过程中形成和发展的，是学生原有认知结构与新知识相互作用的结果。在这一过程中，学生原有的认知结构遇到一种新的知识输入而产生一种不平衡的状态，通过学生的认知活动使其原有的认知结构与新知识发生作用，这时新知识被学生原有的认知结构所吸收，即“同化”，从而使学生的认知结构达到新的平衡——建立起新的（或统一的）数学模型。

美国教育界有句名言：“学校中求知识的目的不在于知识本身，而在于使学生掌握获得知识的方法。”所以，不能把数学教育单纯的理解为知识传授和技能的训练。学生进入社会后，也许很少用到数学中的某个公式和定理，但其数学思想方法，数学中体现出来的精神，却是他们长期受用的。

3、认知顺化，建立数学模型

学生原有的认知结构遇到一种新知识的输入而产生一种不平衡状态，这时新知识不能被学生原有的认知结构“同化”，就引起学生原有认知结构的改造，即“顺化”，从而使学生的认知结构达到新的平衡——建立新的数学模型。如为了加深小学高年级学生对“钟面上的数学问题”的认知，可设计这样的问题情境：现在是下午4时10分，时针与分针所夹的角是几度？要解答这个问题单纯用时、分、秒的知识是不能解决的，应该与角的度数问题进行重组。

三、在小学数学教学中渗透建模思想方法应注意的几个问题

1.提高渗透的自觉性

数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，而建模思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲，讲多讲少，随意性较大，常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此，作为教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透建模思想重要性的认识，把掌握数学知识和渗透建模思想同时纳入教学目的，把建模思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行建模思想方法渗透的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行建模思想方法渗透，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。

2.把握渗透的可行性

建模思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此，必须把握好教学过程中进行建模思想教学的契机——概念形成的过程，结论推导的过程，方法思考的过程，思路探索的过程，规律揭示的过程等。 同时，进行建模思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。

篇4

关键词：高数教学；融入；数学建模思维方法

G642

在数学课堂教学中融入数学思想方法，其目的是还原数学知识源于生活且应用于现实的本来面貌，以数学课程为载体，培养学生“学数学、用数学”的意识与创新能力。因此，数学教师有责任对数学教材加以挖掘整理， 进行相关的教学研究，从全新的角度重新组织数学课堂教学体系。数学知识形成过程，实际上也是数学思想方法的形成过程。在教学中， 注重结合数学教学内容，从它们的实际“原型”（源头活水）和学生熟悉的日常生活中的自然例子， 设置适宜的问题情境， 提供观察、实验、猜想、归纳、验证等方面丰富直观的背景材料， 让学生充分地意识到他们所学的概念、定理和公式，不是硬性规定的，并非无本之木，无源之水，也不是科学家头脑中凭空想出来的，而是有其现实的来源与背景，与实际生活有密切联系的。学生沿着数学知识形成的过程，就能自然地领悟数学概念的合理性，了解其中的数学原理，这样既激发了学生学学数学的兴趣，又培养了学生求真务实理性思维的意识。

一、高数教学中具体渗透数学思维方法

下面具体以讲解二元常系数非齐次线性微分方程的特解形式为例穿插数学思维方法的过程，对于这部分内容是微分方程这一章节的重点，也是难点，有些同学对于如何设特解的形式一筹莫展。教材书上归纳总结了几种情况下特解的设立，一般根据方程右边f（x）的形式来设取，归纳表格如下：

两种方法设立的特解形式相同，至此可以说明假设的特解形式得以验证，即两种情况可以统一在一起，这样便于学生在理解的基础上记忆，而不用考虑p，q是否等于0的情况，这种方法的优点主要在于与f（x）的第二种形式完美统一在一起，它们之间有着一定的内在联系性。重新整理一下，二元常系数非齐次线性微分方程的特解形式的设立可以归纳如下：

这样在讲解过程中就培养了学生的观察能力，内在逻辑联系，归纳总结能力，并激发了学生学习数学的兴趣和积极性，他们会觉得原来学数学这样有趣，这是一个发现、探索的过程，而数学的发展就是在数学家通过类似的这样一个发现、探索的过程不断发现数学概念、定理的，通过学习学生能感觉出数学的文化底蕴，以及数学家发现数学定理的艰辛，那么自己在不断探索的过程中就有了动力与激情，无意中就培养了学生不畏艰难的奋斗精神，而这对于锻炼学生的毅力等品质有很大的帮助。

二、高数课堂融入数学思维方法的建议

1.增强融入意识，明确主旨

数学课堂教学的任务不仅仅是完成知识的传授， 更重要的是培养学生用数学思想方法解决实际问题的能力，这是数学教育改革的发展方向，“学数学”是 为了“用数学”。数学思想方法的融入数学课堂教学，与现行的数学教学秩序并不矛盾， 关键是教师要转变观念， 认识数学思想方法融入数学课堂教学的重要性， 以实际行动为课堂教学带来新的改革气息。在平时的教学中， 要把数学教学和渗透数学思想方法有机地结合起来。同时，应充分认识到数学应用是需要基础（数学基础知识、基本技能和基本思想方法）的，缺乏基础的数学应用是脆弱的， 数学思想方法融入的数学课堂教学中，并不是削弱数学基础课程的教学地位，也不等同于上“数学模型”或“数学实验”课，应将教学目标和精力投入到数学基础课程的核心概念和内容， 数学思想方法融入过程只充当配角作用， 所用的实际背景或应用案例应自然、朴实、简明、扼要。

2.化整为零，适时融入

在大学数学课堂教学过程中适时融入数学建模思想和方法，根据章节内容尽量选取与课程相适应的案例，改革“只传授知识”的单一教学模式为 “传授知识、培养能力、融入思想方法”并重的教学模式，结合正常的课堂教学内容或教材，在适当环节上插入数学建模和数学应用的案例，通过“化整为零、适时融入、细水长流”，达到“随风潜入夜，润物细无声”的教学效果。

3.化隐为显、循序渐进

数学思想方法常常是以隐蔽的形式蕴含在数学知识体系之中，这不仅是产生数学知识、数学方法的基础，而且是串联数学知识、数学方法的主线，在知识体系背后起着“导演”的作用。因此，在教学过程中应适时把蕴含在数学知识体系中的 思想方法明白地揭示出来，帮助学生理解数学知识的来龙去脉。在新知识、新概念的引入，难点、重点的突破，重要定理或公式的应用、学科知识的交汇处等，采用循序渐进的方式，力争和原有教学内容有机衔接，充分体现数学思想方法的引领作用。同时，注意到数学思想方法融入是一个循序渐进的长期过程， 融入应建立在学生已有的知识经验基础之上，在学生的近发展区之内，必须在基础课程教学时间内可以完成，又不增加学生的学习负担。可以根据教学内容侧重突出建模思想方法的某一个环节，不必拘泥于体现数学建模的全过程， 即“精心提练、有意渗透、化隐为显、循序渐进”。

4.激趣、适度拓展

数学思想方法融入数学课堂教学目的是提高学生“学数学、用数学”的意识，激发学生的学习兴趣。因此，教师应结合所学内容，选择适当的数学问题，亲自动手进行建模示范，在学生生活的视野范围内，针对学生的已有的数学知识水平、专业特点，收集、编制、改造一些贴近学生生活实际的数学建模问题，注意问题的开放性与适度拓展性，尽可能地创设一些合理、新颖、有趣的问题情境来激发学生的好奇心和求知欲，使W生体验应用数学解决问题的成功感。

总之，作为新时期的数学教育工作者， 我们的教学必须适应学生发展的需要，在数学课堂教学过程中， 既要注重数学知识的传授，更要重视能力的培养和数学思想方法的渗透，只有三者和谐同步发展，才能使我们的教学充满活力，为学生数学应用能力的提高做一些有效而实际的工作。

参考文献：

[1]王秀兰.将数学建模思想融入高等数学教学的思考[J].科技资讯，2016，01

篇5

关键词：数学建模素质教育教学改革培养

实施素质教育的重点是培养学生具有创新精神和实践能力，造就合格的社会主义事业接班人。为此，广大教育工作者就如何向学生传授知识的同时，全面提高学生的综合素质进行着不断地探索与研究，并提出了许多解决问题的方法和思路。笔者结合多年的教学实践，认为数学建模是实施素质教育的一种有效途径。

一、数学建模的内涵及其发展过程

数学建模是通过对现实问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些“规律”建立起变量、参数间的确定的数学问题；然后求解该数学问题，最后在现实问题中解释、验证所得到的解的创造过程。数学建模过程可用下图来表明:

因此，数学建模活动是一个多次循环反复验证的过程，是应用数学的语言和方法解决实际问题的过程，是一个创造性工作和培养创新能力的过程。而数学建模竞赛就是这样的一个设计数学模型的竞赛活动。

1989年我国大学生首次组队参加美国的数学建模竞赛(AMCM),1992年开始由中国工业与应用数学学会(CSTAM)举办我国自己的全国大学生数学建模竞赛(CMCM)。到1994年改由国家教委高教司和中国工业与应用数学学会共同举办，每年一次，数学建模教育实践相继开展。现已成为落实素质教育、数学教育改革的热点之一。1996年“全国大学生数学建模竞赛”工作会议后，全国高校掀起了数学建模热潮，参加院校逐年递增。到目前为止，数学建模竞赛己经成为全国大学生的四大竞赛之一。

数学建模教育及实践对密切教学与社会生活的联系、促进大学数学课程的更新具有十分重要的意义，特别是对大学生综合素质的提高有着不可低估的作用。本文拟就数学建模对学生素质能力的培养、以及对数学教学改革的启示谈一些拙见，供同行参考。

二、数学建模对大学生素质能力的培养作用

1.数学建模有利于培养学生的创造能力和创新意识

数学建模通常针对的是从生产、管理、社会、经济等领域中提出的原始实际问题，这类问题一般都未作加工处理，也未作任何假设简化，有些甚至看起来与数学毫无关系。因此，建模时首先要确定出哪些是问题的主要因素，哪些是次要因素，做出适当的、合理的假设，使问题得到简化；然后再利用适当的数学方法和知识来提炼和形成数学模型。一般地讲，由于所作假设不同，所使用的数学方法不同，可能会做出不同的数学模型，这些模型甚至可能都是正确的、合理的。例如，1996年全国大学生数学建模竞赛A题（可再生资源的持续开发和利用），就这一题而言，可以在合理、科学的假设前提下，利用微分方程建立鱼群演变规律模型；也可以建立可持续捕捞条件下的总产量最大的优化模型；还可以建立制约各种年龄的鱼的数量的微分方程和连结条件，然后采用迭代搜索法处理，它给学生留下了极大的发挥空间，任凭学生去创造和创新。评阅答卷时教师对具有创造性和创新意义的在评定等级上还可给予倾斜。因此，数学建模是一种培养学生创造能力和创新精神的极好方式，其作用是其他任何课堂教学无法替代的。

2.数学建模有利于培养学生的组织协调能力

在学校里学生通常是自己一个人念书、做题，几个人在一起活动的机会不多，特别是不同专业的学生在一起研究讨论问题的机会就更不多了，而建模比赛是以3人组成一队一起参加的，这样设置的初衷就是为了建立队员之间的相互信任，从而培养队员的协作能力。比赛要求参赛队在3天之内对所给的问题提出一个较为完整的解决方案，这么短的时间内仅仅依靠一两个人的“聪明才智”是很难完成的，只有合3人之力，才能顺利给出一个较好的结果来，而且要给出一份优秀的解决方案，创新与特色是必不可少的。因此3人在竞赛中既要合理分工，充分发挥个人的潜力，又要集思广益，密切协作，形成合力，也就是要做个“人力资源”的最优组合，使个人智慧与团队精神有机地结合在一起。因此数学建模可以培养同学的合作意识，相互协调、、取长补短。认识到团队精神和协调能力的重要性对于即将面临就业选择的莘莘学子来说无疑是有益的，以至对他们一生的发展都是非常重要的。

3.数学建模有利于培养和提高学生的自学能力和使用文献资料的能力

数学建模所需要的知识，除了与问题相关的专业知识外，还必须掌握诸如微分方程、数学规划、计算方法、计算机语言、应用软件及其它学科知识等，它是多学科知识、技能和能力的高度综合。宽泛的学科领域和广博的技能技巧是学生原来没有学过的，也不可能有过多的时间由老师来补课，所以只能通过学生自学和讨论来进一步掌握。教师只是启发式地介绍一些相关的数学知识和方法，然后学生围绕需要解决的实际问题广泛查阅相关的资料，从中吸取自己所需要的东西，这又大大锻炼和提高了学生自觉使用资料的能力。而这两种能力恰恰是学生今后在工作和科研中所永远需要的，他们可以靠这两种能力不断地扩充和提高自己。

4.数学建模有利于培养和提高培学生的计算机应用能力

应用计算机解决建模问题，是数学建模非常重要的环节。其一，可以应用计算机对复杂的实际问题和繁琐的数据进行技术处理，若用手工计算来完成其难度是可想而知的；同时也可用计算机来考察将要建立的模型的优劣。其二，一旦模型建立，还要利用计算机进行编程或利用现成的软件包来完成大量复杂的计算和图形处理。没有计算机的应用，想完成数学建模任务是不可能的。例如1999年全国大学生数学建模竞赛题B（矿井选址问题），它需要借助计算机进行全方位的搜索，以确定最佳钻井地址，从而节约钻井费用，提高经济效益。因此，数学建模活动对提高学生使用计算机及编程能力是不言而喻的。

5.可以增强大学生的适应能力

在知识经济时代，知识更新速度不断加快，如果思维模型和行为方式不能与信息革命的要求相适应，就会失掉与社会同步前进的机会。如今市场对人才的要求越来越高，人才流动、职业变化更加频繁，一个人在一生中可能有多次选择与被选择的经历。通过数学建模的学习及竞赛训练，他们不仅受到了现代数学思维及方法的熏陶，更重要的是对不同的实际问题，如何进行分析、推理、概括以及如何利用数学方法与计算机知识，还有各方面的知识综合起来解决它。因此，他们具有较高的素质，无论以后到哪个行业工作，都能很快适应需要。

如上所述，开展数学建模教学与实践这项活动，将有助于大学生创新能力、实践能力等能力的培养，从而有助于大学生综合素质能力的提高。此外，数学建模还可以帮助学生提高论文的写作能力、增加学生的集体荣誉感、以及提高大学生的分析、综合、解决实际问题的能力，在此我们不再一一论及。

三、数学建模对数学教学改革的一些启示

数学建模从教育观念、内容、形式和手段都有一定的创新，对数学教学改革有积极的启示意义。

1.突出了教与学的双主体性关系

数学建模竞赛以师生互动为基本特点，教师的主体性与学生的主体性同时存在、互相协同，最后形成一种最优的互动关系。教师的主体性表现在:①教师是组织者。整个竞赛训练过程中的人员选拔、教学安排、分析模拟等都离不开教师的策划和严密安排。②教师是教学过程中的主导者。教师要根据学生的学习兴趣、能力及特点，不断修正自己的教育内容和方法，在发挥自身主体性同时又要开发被教育者的主体性。学生的主体性表现在:①始终明确自身是竞赛的主体。学生必须在全过程集中自己的心向系统去接受教师发出的教学信息，与原有知识体系融合、内化为新的体系。②学习过程中的创造与超越。学生要对教师所给予的信息有批判性地、创造性地、发展性地能动反映，要在相互讨论、相互启发下寻求更多更好的解答方案。

因此，这种双主体的关系是对以往教师为中心、为主体的教学方式的根本突破，这种突破的条件首先是竞赛机制和教育观念的创新和变革，这对我们数学教学改革提供了积极的启示。

2.促进了课程体系和教学内容的改革

长期以来，我们的课程设置和教学内容都具有强烈的理科特点：重基础理论、轻实践应用；重传统的经典数学内容、轻离散的数值计算。然而，数学建模所要用到的主要数学方法和数学知识恰好正是被我们长期所忽视的那些内容。因此，这迫使我们调整课程体系和教学内容。比如可增加一些应用型、实践类课程：像“运筹学”、“数学模型”、“数学实验”、“数学软件介绍及应用”、“计算方法”这些课程等等；在其余各门课程的教学中，也要尽量注意到使数学理论与应用相结合，增加实际应用方面的内容和例题，从而使教学内容也得到了更新。

3.增加新兴科技知识的传授，拓宽知识面

数学建模所使用的材料涉及范围十分广泛，要求教学双方具有较广的知识面，同时并不要求掌握各个专业领域中比较艰深的部分。这些特点对于目前数学教材中存在的内容陈旧、知识面狭窄及形式呆板等问题，具有借鉴作用。数学建模的试题通常联系新兴的学科，在科学技术迅猛发展的今天，各种新兴学科、边缘学科、交叉学科不断涌现，广博的知识面和对新兴科学技术的追踪能力是获得成功的关键因素之一，也是当代大学生适应市场经济，毕业以后走向社会的必备条件。

全国大学生数学建模竞赛组委会主任李大潜院士曾经说过:“数学教育本质上就是一种素质教育，数学建模的教学及竞赛是实施素质教育的有效途径”。因此，如果我们能逐步地将数学建模活动和数学教学有机地结合起来，就能够在教学实践中更好地体现和完成素质教育。

参考文献：

[1]李同胜.数学素质教育教学新体系和实验报告[J].教育研究,1997(6):2-3.

[2]姜启源.数学模型[M].北京:高等教育出版社,1996.1-204.

[3]陈国华.数学建模与素质教育[J].数学的实践与认识,2003(2):110-113.

篇6

一、开展数学建模教学的意义

在中学开展建模的教学，可使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养应用意识，增加对数学的理解和应用数学的信心。

在中学开展建模教学，可使学生学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的数学问题，进而形成勇于探索，敢于创新的科学精神。

以建模为手段，能激发学生的学习积极性，使学生学会团结协作，建立良好的人际关系，培养相互合作的工作能力。

二、数学建模教学存在的问题和困难

数学建模教学存在的问题和困难，主要是在中学数学教学中，数学建模教学得不到应有的重视。相当一部分教师认为数学主要是培养学生的运算能力和逻辑推理能力，至于如何从数学的角度出发，分析和处理学生周围的生活及生产实际问题更是无意顾及。

三、 实施数学建模教学的具体做法

用数学建模解决实际问题，首先要经过观察、分析、筛选、区分获得的信息，洞察实际问题的数学结构，提炼出数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统中去处理。这不仅要求学生有一定的抽象思维能力而且要有相当的观察分析、综合、类比、推断等能力。学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情，需要把数学建模意识贯穿在教学的始终，为将数学建模活动融入到平时的教学中。

1. 在课堂上适当引用应用性例题，进行数学建模示例，培养学生的应用意识。结合本地教材让学生掌握基本的数学模型和引入建模思想。如在比例问题的应用教学中可引入以下一个实际问题作为例题来进行教学。

篇7

【关键词】混合建模；支持向量机；双酚A催化剂活性；软测量

1.引言

随着工业过程对象的日益复杂，在很多应用中，仅仅靠控制常规的测量参数很难达到让人满意的控制效果，而且很多重要的指标都很难在线获得，所以促使软测量技术产生并得以发展。比如双酚A催化剂活性，双酚A的生产工艺主要采用阳离子交换树脂法[1]，以酸性阳离子交换树脂为催化剂，阳离子树脂催化剂随着时间的变化，其活性不断降低，其下降的程度直接影响缩合反应的程度，所以它是直接影响生产双酚A的重要因素，因此，研究双酚A催化剂活性的变化是既有理论价值，又有重要的工程意义。看过多篇文献，知道催化剂活性建模方法可以采用常规的时间序列建模方法比如支持向量机，但是这是完全基于历史数据的黑箱模型，缺乏物理化学基础，其模型估计结果不具有可解释性，往往难以反应对象的特性，有可能难以把握催化剂活性的变化趋势。本文提出了将机理与支持向量机相结合的一种建模方法，即混合建模[2]，又被称为“灰箱建模”，它在反应过程的机理和噪声影响的同时，能够较为实际地反应过程的真实情况，在现实中得到了广泛的应用。

2.软测量理论

软测量的基本思想[3]是把自动控制理论与生产工艺过程知识有机结合起来，应用计算机技术对于一些难于测量或暂时不能测量的重要变量(主导变量)，选择另外一些容易测量的变量(辅助变量或二次变量)，通过构成某种数学关系来推断和估计，用软件来代替硬件功能。

软测量技术主要由4个相关要素组成：(1)中间辅助变量的选择；(2)数据处理；(3)软测量模型建立；(4)软测量模型的在线校正。其中(3)是软测量技术最重要的组成部分。

2.1 中间辅助变量的选择

它是建立软测量模型的第一步，它包括变量类型，变量数量和监测点的选择。三者互相关联，互相影响。常用的选择方法有两种：一种是通过机理分析的方法，找到那些对被测变量影响大的相关变量；另一种是采用主元分析，部分最小二乘法等统计方法进行数据相关性分析，剔除冗余的变量，降低系统的维数。需要注意的是，辅助变量的个数不能少于被估计的变量数。

2.2 数据处理

软测量是根据过程测量数据经过数值计算而实现的，其性能在很大程度上依赖于所获过程测量数据的准确性和有效性。为了保证这一点，一方面，我们要均匀分配采样点，减少信息重叠。另一方面，对采集来的数据进行适当的处理，因为现场采集的数据会受到不同程度环境噪声的影响而存在误差。一般数据处理包括数据预处理和二次处理。

2.3 数学模型的建立

软测量模型是软测量技术的核心。它是通过辅助变量来获得对主导变量的最佳估计。本文利用了两种方法。一种是单一的支持向量机建模，另一种是混合建模方法。

2.4 数学模型修正

由于过程的随机噪声和不确定性，所建数学模型与实际对象间有误差，若误差大于工艺允许的范围内，应对数学模型进行校正。

3.离子交换树脂催化剂失活[4]

3.1 离子交换树脂催化反应机理分析

常用的离子交换树脂为磺化的苯乙烯一二乙烯基苯交联的球粒状共聚物。它既不溶解，也不熔融，但是它可以溶胀，每个树脂颗粒都由交联的立体骨架构成，磺酸基团连结于树脂内部的空间网状骨架上，骨架可离解出氢离子，作为活性中心。该催化反应属于正碳离子的反应机理。

3.2 离子交换树脂催化失活机理分析

双酚A合成反应使用阳离子树脂催化剂，在使用过程中，随时间推移，催化剂会逐渐失去它的活性。阳离子树脂催化剂失活的主要原因是催化剂的活性基团失去活性或有活性的基团被转化成没有活性的基团，也会因为自身特性和操作条件的变化引起催化剂活性的波动。根据相关化学原理，使得阳离子交换树脂失去活性的因素大致有如下几个：阳离子物质；醇；氢原料物质；高温；水[5][6]。

然而上面五个影响催化剂活性的因素都没有办法用传感器在线测量，也就不适用于工业现场对催化剂活性的软测量。为了满足双酚A生产现场对催化剂活性进行在线监测的需求，本文结合相关机理以及生产经验，通过分析寻找出了影响催化剂活性并可在线测量的若干因素，将其运用到催化剂活性软测量建模之中。通过研究大量文献，可以知道影响催化剂活性并能在线测量的几个因素：催化剂的使用时间；酚酮比；反应温度；生产负荷，将这些影响因素运用到软测量建模中去。

3.3 催化剂活性辅助变量的数据处理

我们知道了有4个变量对催化剂失活产生影响。从采样数据中我们尽可能排除噪音成分，保留真实信号。数据预处理一般包括：首先提出一部分不在原始数据变量操作范围或重复的数据，然后再用原则对数据进行进一步的筛选，对筛选后的数据进行平滑处理，最后再将数据进行分类。本文选取100个数据，75个作为训练数据，25个作为测试数据。

4.离子交换树脂催化剂活性建模

4.1 基于支持向量机[7]建立催化剂活性模型

4.1.1 基于回归支持向量机的方法

近年来，作为机器学习领域中备受瞩目的支持向量机(SVM)在许多领域取得了成功的应用，显示出巨大的优越性：(1)支持向量机基于统计学习理论，根据结构风险最小化原则，具有小样本学习能力，即由有限的训练样本得到小的误差，对独立的测试集仍然能保证小的误差；(2)支持向量机算法是一个凸优化问题，因此局部最优解一定是全局最优解，所以本文先利用支持向量机软测量方法对催化剂活性进行建模研究。

4.1.2 支持向量机建模

(1)辅助变量选取

确定模型输入输出变量。输出为催化剂活性，而影响其的因素大致有四个：催化剂时间；酚酮比；反应温度；生产负荷。

(2)数据采集和处理

本文采集了100个数据，每连续四个数据中取一个作为测试集，其余三个为训练集。这样就有75个训练集，25个测试集。

(3)催化剂活性建模

将催化剂时间，酚酮比，反应温度和生产负荷分别作为该模型的输入，输出为催化剂活性。通过matlab仿真，得到如图3-1、图3-2。

由图3-1、3-2可以看出，用单一的支持向量机建模得出的相对误差在[0.8%，-1%]，预测效果相对不是很理想，于是，我们提出了混合建模来进行预测。

4.2 基于混合建模建立催化剂活性模型

4.2.1 基于混合建模的方法

我们知道，常用的软测量方法有机理建模，数据驱动建模和混合建模方法。机理建模方法可解释性强，外推性好，但是建模过程非常复杂。而数据驱动建模根据过程的输入输出数据直接建模，几乎无需要过程对象的先验知识。但是这种建模方法通常学习速度慢，且容易造成过拟合现象，此外，用这种方法建立的模型不具有可解释性。而混合建模方法则是把简化机理建模方法和数据驱动建模方法结合起来，互为补充。简化机理模型提供的先验知识，可以为基于数据驱动的模型节省训练时间；同时基于数据驱动的模型又能补偿简化机理模型的未建模特性。因此，混合建模方法现已被广泛地应用并且取得了很好的效果。

本文主要对催化剂活性进行部分机理分析[1]，我们知道催化性活性会随使用时间的累积而下降，这是催化剂时候过程中容易把握的部分，所以把这个作为建立机理模型的基础。本文利用数值回归的方法，建立数学表达式f(t)，来描述时间和催化剂活性之间的函数表达式。将现场中的催化剂活性数值和催化剂使用时间作为输出和输入，进行二次多项式回归，确定f(t)的数学表达式。f(t)带有一定的先验知识，能够较为准确地描述催化剂活性的变化趋势，为之后的活性建模提供基础。在以上说的四个催化剂活性影响因素中，除了催化剂时间外，还有生产负荷(flow)，酚酮比(rate)和反应温度(T)。这三个因素对催化剂的影响较难把握。为了反映这些模糊因素对催化剂活性的影响，本文使用支持向量机来描述催化剂活性和这三个因素之间的对应关系。将上述三个影响因素作为支持向量机模型的输入，真实催化剂和趋势曲线f(t)的差值作为模型的输出，训练得到支持向量机模型。模型结构图如图3-3。

4.2.2 混合建模

(1)辅助变量选取

与支持向量机不同，混合建模是在确定催化剂活性与催化剂时间关系的先验知识下，将生产负荷，酚酮比和催化剂温度作为输入，而真实催化剂数值和f(t)之间的差值作为输出。

(2)仿真建模

采取和支持向量机一样的数据采集和处理，提取相同的100组数据，75个训练集，25个测试集。然后进行仿真，如图3-4、3-5。

如图3-4、3-5所示，我们得出了将机理和支持向量机结合起来的建模效果远远优于用单一的支持向量机，其相对误差在[0.07%，-0.13%]。

5.结束语

文章将支持向量机和机理与支持向量机相结合的两种建模方法都应用到了催化剂活性建模中，从仿真结果可以看出，混合建模明显优于单一支持向量机方法。所以，在进行建模的时候，尽量的了解过程的机理，在机理的基础上，结合一些智能方法，能够得到更加良好的效果。我们还了解到影响催化剂活性的四个重要因素，并且找到了催化剂活性变化的规律，建立了操作变量和催化剂活性间的软测量模型，用于催化剂活性的在线监测。

参考文献

[1]成亮铖.双酚A生产过程软测量混合建模的研究[D].江南大学,2009.

[2]许光,俞欢军,陶少辉,陈德钊.与机理杂交的支持向量机为发酵过程建模[J].化工学报,2005,56(4):653-658.

[3]潘立登,李大宇,马俊英.软测量技术原理与应用[M].北京:中国电力出版社,2008.

[4]吴玉琴.双酚A催化剂活性的软测量应用[J].技术应用,2011,20(02):146-147.

[5]马怡,常春,李洪亮.合成双酚A催化剂研究新进展[J].化工进展,2007,26(12):1686-1689.

[6]古尾谷,逸生,沈一兵.催化剂失活机理的分诶和失活对策[J].广西大学学报,1978(1):13.

[7]张学工.关于统计学习理论与支持向量机[J].自动化学报,2000,26(1):21-42.

篇8

【关键词】数学建模；基本方法；步骤

数学建模就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法，也就是通过对实际问题作抽象、简化、确定变量和参数并应用某些“规律”建立含变量和参数的数学问题，求解该数学问题并验证所得到的解，从而确定能否用于解决实际问题的这种多次循环，不断深化的过程。数学建模可以培养学生下列能力：（1）洞察能力，许多提出的问题往往不是数学化的，这就是需要建模者善于从实际工作提供的原形中；抓住其数学本质，同时有些数学模型又可以有许多现实意义，这使得建模者不得不具有很强的洞察以及多种思维方式进行横向、纵向的研究；（2）数学语言翻译能力即把经过一定抽象和简化的实际用数学的语言表达出来，形成数学模型，并对数学的方法和理论推导或计算得到的结果，能用大众的语言表达出来，在此基础上提出解决某一问题的方案或建议；（3）综合应用分析能力，用已学到的数学思想和方法进行综合应用分析，并能学习一些新的知识；（4）联想能力，对于不少的实际问题，看起来完全不同，但在一定的简化层次下它们的数学建模是相同的或相似的，这正是数学应用广泛性的体现，这就要培养学生有广泛的兴趣，多思考，勤奋踏实地学习，通过熟能生巧达到触类旁通地境界。因此，目前有越来越多的高等院校自己组织或参加全国乃至国际大学生数学建模竟赛。然而，有部分学生特别是初次参加数学建模的学生对数学建模感到很茫然，本人多次承担数学建模指导老师，撰写该论文，希望对初次参加数学建模的同学有所帮助。

1.建立数学模型的一般步骤

1.1 使问题理想化

在众多因素中孤立出所研究的问题是科学研究的经典方法。按照辩证唯物主义观点，世界上一切事物都是相互依赖、相互依存的，要精细地研究一个问题常常无从下手，就是因为思考相关问题太多所致。因此，对初学者最好的方法就是使问题简单化、理想化，在特殊或极端情况下进入课题，然后加入相关因素，修正结果，使问题深化。这一步的核心思想就是在复杂的现实中孤立我们所关心的事物与什么有直接因果关系，把这些孤立出来的事物用符号、算式及相关学科的理论进行数学分析处理的全过程，就可以认为是数学建模的过程了。

1.2 假定及符号认定

在比较理想的情况下建立数学模型还是很容易的。所谓理想就是通过假设条件把所研究的问题进一步明确，哪些条件先不虑，哪些条件应设为变量，哪些变量与时间（路程、费用等等）有关。这样就为下一步建立数学模型打下了良好的基础。

1.3 数据处理与模型建立

数学模型的建立一般有两种情况。其一，问题本身给出一些数据，建模的人应从数据上找出一定的规律性，这时就应通过相应的数学方法整理数学数据。如使用最小二乘法、统计学方法等。对于没有数据的数学模型的建立，一般要使用数学手段建立形式，如矩阵、微分方程、数学优化形式等等，这些都可以视为数学模型的初创时期。在建模初期还必须注意使用其它学科的成果，如物理学、化学、生物学、电工、机械、光学等学科，把这些学科的现成结论直接拿来使用也是数学建模时必不可少的一环。

1.4 分析结果及修改模型

在比较理想的状态下建立的数学模型一般都与实际原形有较大差距。为使数学模型更能反映原形，就必须按实际情况再修改、补充新条件，分析新结论，最终经反复研究会得到一个令人满意的结果。

2.以对“减肥问题的研究”为例，探讨数学建模方法和步骤

2.1 问题的提出

对于人类来说，肥胖症或减肥问题越来越引起人们的广泛关注。目前各种减肥食品或药物数不胜数，各种减肥新法也纷纷登场，如国氏全营养素、减肥酥、soft海藻减肥香皂等。一时间，爱美的人，害怕肥胖的人面对如此多的食品、药物或疗法简直无所适从。这里不准备也不可能去论证各种食品、药物或疗法的机理和有效性，只从数学上对减肥问题作些讨论，即科学减肥的数学。

2.2 合理假设

A1：不妨假设人体由脂肪构成。（相对而言，成人是由骨骼、水分、脂肪组成，短时间内人体的骨骼、内脏等变化不大，可视为常数。）

A2：设时刻t，人的体重为W（t）千克，显然W（t）可假设为t的连续函数；

A3：假设单位时间内人食用食物产生的热量为A大卡，同样也假设A为常数；

A4：单位时间内维持新陈代谢的热量为B大卡，同样也假设为常数；

A5：设单位时间内因运动消耗的能量与体重成正比，即C・W（t）大卡（由于运动需要消耗能量，而且体重越大，能量越多）；

A6：对于人体系统而言，能量守恒；

A7：过剩的热量按1千克脂肪=D大卡热量转化为脂肪（D=4.2*10焦耳/千克，称为脂肪的能量转换系数）；

A8：初始时刻t=0时，体重为W0千克。

注：1千克脂肪完全“然烧”相当于释放10000（即1D）大卡热量。

2.3 模型的建立

由能量（热量）守恒原理即任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间的摄入的能量与消耗的能量之差。故在t（或[t，t+t]时间间隔内，“增加”的热量=t[单位时间内吸入热量-单位时间内消耗的热量]，于是有：

3.总结

（1）一般方法只供参考，各步有机联系但侧重点不同。

（2）模型虽粗，但能定性说明问题，每步还有改进的余地。

参考文献：

[1]数学建模[M].高等教育出版社.

篇9

【关键词】基本模型；建模方向；建模能力；解决问题

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）01-0009-03

苏教版三年级上册的教材包括八个单元，依次是“两、三位数乘一位数”“千克和克”“长方形和正方形”“两、三位数除以一位数”“解决问题的策略”“平移、旋转和轴对称”“分数的初步认识（一）”“期末复习”。其中解决问题的内容大致是这样分布的：①具有明显指向性的从条件出发分析和解决的问题，集中在第五单元；②与计算教学紧密结合的简单实际问题，指第一、四单元中直接运用两、三位数乘（除以）一位数计算或估算解决的问题，如“求一个数是另一个数几倍”和“求一个数的几倍是多少”，以及相关的单两步计算的问题；③其他简单问题，如涉及重量单位换算、长方形和正方形周长计算、简单同分母分数加减计算的简单实际问题。

解决实际问题的过程，是根据数学变量之间的关系或关系网建构解法的过程，也就是结合运算意义建模或连续建模过程。解决问题的关键在于合理地建模或连续建模，小学阶段数学建模的基础在于对加减乘除四则运算意义的理解，其关键在于对问题中出现的数量关系的分析。

而学生在一、二年级已经知道了最基本的数量关系，理解了四则运算的意义，并初步建立了它们的模型（把部分合起来得整体是加法的基本模型，从整体中去掉一部分得另一部分是减法的基本模型；而乘法是求几个相同加数的和的简便运算，除法则是把整体按一定的要求平均分，求平均分的结果）。同时学生已经能够简单模糊无意识地运用解决问题的基本策略――从条件想起和从问题想起，进而建模或连续建模解决简单实际问题。

三年级上册解决问题的教学，需要引导学生有意识地从条件出发，结合四则运算的意义，分析数量之间的关系或关系网，建立或连续建立数学模型，进行运算及运算组合解决问题。在帮助学生积累分析数量关系、探寻解题思路经验的过程中，培养学生“从条件想起”的策略意识（渗透从问题想起的策略），鼓励学生尝试简单推理，初步发展抽象思维。

一、掌握基本数学模型

1. 复习巩固，熟练运用基本运算模型

三年级的学生已经对加减乘除四则运算的基本模型非常熟悉：加法本质是“合”，把部分合成整体，“部分+部分=总体”；乘法的本质也是“合”，是把相同部分合起来的简便运算，“每份数×份数=总数”。减法的本质是“分”，表达把整体分成部分的过程，“总体-部分=部分”；除法的本质也是分，要求每部分完全相同，“总数÷每份数=份数”，“总数÷份数=每份数”。

四则运算，既相互区别，也有所联系：①加法和减法，乘法和除法互为逆运算，本册也经常用到这一点。比如第四单元中提倡用乘法验算两、三位数除以一位数，观察“商×除数（+余数）=被除数”是否成立。第二单元中克与千克之间的单位换算，5千克=5000（5×1000）克，5000克=5（5000÷1000）千克。②加法和乘法的本质都是“合”，乘法是求几个几的和的简便运算，减法和除法的本质都是“分”，除法是特别的平均分。乘法可以转化成加法，除法可以转化成减法，但在实际运用中一般选择更加简便的表达方式。第三单元学生在探索长方形和正方形周长的过程就体现了这一点。

这些已知的运算模型在本册的解决问题中，被不同情境包装后以不同的形式不断重复出现。比如同样是乘法模型，在书P1例1中以图文结合的方式呈现，“王阿姨在购物网站订购了3箱黑玉米，每箱20根，一共有多少根？”，每箱根数×箱数=总根数。在书P15第5题中以表格的方式呈现，“每个书包39元，2个一共多少元？每个文具盒12元，5个一共多少元？每瓶墨水4元，18瓶一共多少元？”，每个书包的价格×书包个数=书包的总价格，每个文具盒的价格×文具盒个数=文具盒的总价格，每瓶墨水的价格×墨水瓶数=墨水的总价格，都是“单价×数量=总价”。

因此三年级上学期解决问题的教学，首先要让学生能够从现实生活和具体情境中抽象出数学问题，然后不断地建立模型、解决模型，进而熟练地运用这些运算模型，最后在加深基本数量关系理解的基础上，掌握这些“简单的”模型。

2. 迁移新知，丰富调整基本运算模型

复习巩固已知的运算模型是一种“同化”，是学生将外界信息纳入到已有的四则运算基本模型的认知结构的过程。但是有些信息与现存的认知结构并不十分吻合，比如学生之前没接触过“分数”运算，不了解“倍”的概念，这时就应调整改变原来对于运算模型的认知，进行“顺应”。当学生的新认知结构能够轻松同化环境中的新经验时，就会再次感到平衡，从而在不断地“平衡――失衡――再平衡”中，实现对基础运算模型的认知发展。

（1）加法和减法模型。“同分母分数加减法”的教学，需要学生结合对加减运算意义的理解，在把同分母分数加减法与整数运算相联系，丰富对原有加减法基本模型应用范围的认识。

①学生找出“小明吃了这块巧克力的 ”和“小红吃了这块巧克力 ”这两个信息，并从条件出发提出问题“两人一共吃这块巧克力的几分之几”，“小明比小红多吃了这块巧克力的几分之几”？

②根据加法意义，得出“小明吃的+小红吃的=两人一共吃的”，求“两人一共吃这块巧克力的几分之几”，也就是求“ + =？”。学生自由探索，如把整块巧克力想象成一个由8块小长方形组成的大长方形，把它的 涂上红色， 涂上绿色，思考“5个 加上2个 是7个 ，就是 ”，得出涂色部分共占大长方形的 。在过程中体会，分数加法的意义与整数加法的意义相同，是把两个数合并成一个数的运算，再次丰富学生对加法的运算模型的认识。

③根据减法意义，得出“小明吃的-小明吃的当中与小红吃的同样多的部分=小明比小红多吃的”，求“小明比小红多吃了这块巧克力的几分之几”，也就是求“ - =？”。其探索过程与同分母分数加法相似，通过迁移整数减法中“大数-小数=相差数”，认识到分数减法与整数减法意义一样，都是从总数中去掉一个数得另一个数的运算，从而丰富学生对减法的运算模型的认识。

④进行相关变式的题组练习，总结出运算模型“ + = ”。

（2）乘法和除法模型。“每份数×份数=总数”，“总数÷每份数=份数”，“总数÷份数=每份数”是解决乘除法问题的基本数量关系式，其他如“单价×数量=总价”，“路程÷时间=速度”等都是对它们的简单延伸。本册教材要求学生联系对乘、除法运算含义的已有认识，理解“倍”的含义，能正确解答求一个数是另一个数的几倍和求一个数的几倍是多少的简单实际问题。这是对乘法、除法运算模型的丰富，也是对乘除法运算意义的再认识。

求一个数的几倍是多少的实际问题的关键是建立“倍”的概念。求一个数的几倍是多少，就是求几个这个数的和，本质上是求几个相同加数的和，符合乘法的运算模型。而要知道一个数是另一个数的几倍，就是要把一个数平均分，看能分成几个另一个数。其本质上是一种包含除，大数里有几个小数那么多，有几个那么多就是几倍，符合除法的运算模型。

二、策略引领建模方向

“解Q问题的策略”单元是苏教版教材特色之一，三年级上下册分别安排了“从条件想起”和“从问题想起”，这也是学生建立模型解决问题的两种基本思路。

1. 明确“从条件想起”的策略

（1）提取条件信息，并理解其含义：信息的呈现方式多种多样，有文字、表格、图片等，有的很明确，有的却很隐晦。因此，在解决问题前必须用画线段图、列表统计等手段提取信息，同时设法理解其中的关键，如“至少”“不大于”“照这个速度”等。

（2）组合条件信息，碰撞解决问题：根据数量关系组合条件，看能否直接解决问题，如果不能则先得出新信息，帮助解决问题。像这样从已知条件向问题推理的方法，就是“从条件想起”。

比如，书P71例1：“小猴帮妈妈摘桃，第一天摘了30个，以后每天都比前一天多摘5个。小猴第三天摘了多少个？第五天呢？”

学生在提取条件信息“第一天摘30个”和“以后每天都比前一天多摘5个”后，需要先理解“以后每天都比前一天多摘5个”这一关键的条件。根据它表明的数量关系，通过列式计算、填表列举等方法，依次得出第二天摘的、第三天摘的......

2. 渗透“从问题想起”的策略

解决问题可以“从条件想起”，自然也可以“从问题想起”，或者把二者相结合。比如同样是解决书P71例1，可以先通过画线段图，分析条件得出第n天摘的比第一天摘的多（n-1）个5的桃，那么求第5天摘的桃，就是求“比第一天摘的30多4个5的数是多少”。甚至当所要求的数比较大，比如第100天摘了多少个桃时，也能轻松解决。

三、培养综合建模能力

本册教材有计划地依次安排了比起低年级更多的连续两问的实际问题、两步计算实际问题，这对学生来说无疑是一次思维的飞跃。为了帮助学生实现这次飞跃，我们需要从以下几个方面培养学生综合建模的能力。

1. 提取信息，理解含义

《数学课程标准》中希望学生“经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程”，在本册教材中，我们需要关注学生的画图（尤其是线段图）和列表整理。比如在解决与“倍”相关的问题时，我们常让学生“圈一圈”，也常用到直条图、线段图。书P27的思考题：“小欣家离学校850米。一天早晨，她从家去学校上学，大约走到总路程的一半时，发现忘记带数学书。于是她又回家拿书，再去学校。这天早晨，小欣上学大约一共走了多少米？”利用线段图能够很直观地发现题中的信息表示小欣一共走了“2个850米”。

2. 叠加组合，接力建模

学生认知的是发展的，其发展是有规律的。教材在学生掌握基本数量关系后有层次地安排了难易不同的实际问题，这就要求我们根据不同的数量关系或关系网，把有联系的不同条件进行一次或多次的组合，甚至叠加组合，进行不断地建模或接力建模。比如书P44第10题：“一块长方形菜地，长8米，宽5米。菜地四周围上篱笆，篱笆长多少米？如果菜地一面靠墙，篱笆至少长多少米？”从条件出发能够先求出长方形的一组邻边的长度，进而得出长方形周长，解决“篱笆长多少米”这一问题。然后结合“菜地一面靠墙”这个新条件，得出“篱笆长度=长方形周长-靠墙那条边的长度”或“篱笆长度=一组邻边的长+一条边的长度”，进而由“至少”两字入手解决最后的问题。

3. 结合现实，灵活思考

有些问题并不能直接通过计算解决，有些问题的解决方法不止一种，因此就需要我们从不同的角度思考，建立模型后，再根据实际问题的现实意义，进行判断和推理，最终解决问题。

比如在第一、四单元中直接运用两、三位数乘（除以）一位数估算解决的问题。书P15第7题，“一个影剧院有318个座位。东华小学近1200名师生分4场观看一部电影，能都有座位吗？为什么？（口答）”。观看一场电影的人数×观看电影的场数=观看电影的总人数，每人对应一个座位，300×4=1200（人），318×4>1200，所以能都有座位。或者需要观影的总人数÷观影的场数=每场需要容纳的人数，如果每场需要容纳的人数比318个座位数少，则人人都能有座位。1200÷4=300（人），300

三年级上学期的解决问题的教学，关键在于帮助学生更好地合理地建立数学模型，主要应做到三点，即掌握基本数学模型，用策略引领建模方向，培养综合建模能力。也就是要引导学生从现实生活和具体情境中抽象出数学问题，初步学会从已知条件出发并在条件和问题之间建立联系的思考方法，让学生能够结合对加减乘除四则运算的义的理解及其基本模型的建构，提炼出相关的数量关系式，灵活地运用四则运算及运算组合，建立相关模型或连续建模，最终解决相关问题。

篇10

【关键词】：职业高中 创新能力 数学建模

社会上很多人认为，职业教育只是普通教育的一个补充，其受重视的程度不及普通教育，而且教育的对象大多是一些中考失利者，面临一个难教的问题，导致一个现象就是:国家很重视，但社会不见得.笔者认为要想有所改观，不仅我们要呼吁整个社会关心职业教育，而且作为教师也应该从提高职高生素质上下工夫。新教学大纲对学生提出新的教学要求，要求学生：（1）学会提出问题和明确探究方向；（2）体验数学活动的过程；（3）培养创新精神和应用能力。

其中，创新意识与实践能力是新大纲中最突出的特点之一，数学学习不仅要在基础知识，基本技能和思维能力，运算能力，空间想象能力等方面得到训练和提高，而且在分析和解决实际问题的能力方面同样需要得到训练和提高，而培养学生的这些能力仅仅靠课堂是不够的，必须要有实践。培养学生的创新意识和实践能力是数学教学的重要目的和基本原则，要使学生学会提出问题并明确探究方向，能够运用已有的知识进行交流，并将实际问题抽象为数学问题，就必须建立数学模型，从而形成比较完整的知识结构。

数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力，并对学生的智力开发具有深远的意义，现就如何加强高中数学建模教学谈几点体会。O

一．要重视章前问题的教学，使学生明白建立数学模型的意义。 2 A$ Z% }8 l. f! a

职业高中的学生自信心差，缺乏积极性，进职校的学生，多是经普高筛选以后剩下的，学生中差生多，基础薄弱，先天不足， 他们害怕抽象的数学.同时，职校的学生普遍存在着一种 “失败者”的心态，集中表现为自信心差，学习缺乏积极性.学生缺乏动力和兴趣，不少学生视学习数学为一种负担，没有信心学好数学，主要是缺乏学好数学的动力和兴趣.不仅如此，大多数学生对自己的要求不高，学习自控力差，没有良好的学习习惯与较为科学的学习方法，学习水平参差不齐.

职业高中的教材的每一章都由一个有关的实际问题引入，可直接告诉学生，学了本章的教学内容及方法后，这个实际问题就能用数学模型得到解决，这样，学生就会产生创新意识，实践意识，学完要在实践中试一试。

这是培养创新意识及实践能力的好时机要注意引导，对所考察的实际问题进行抽象分析，建立相应的数学模型，并通过新旧两种思路方法，提出新知识，激发学生的求知欲。这样通过章前问题教学，学生明白了数学就是学习，研究和应用数学模型，同时培养学生追求新方法的意识及参与实践的意识。

二．通过几何、三角形测量问题和列方程解应用题的教学渗透数学建模的思想与思维过程。

学习几何、三角的测量问题，使学生多方面全方位地感受数学建模思想，让学生认识更多的数学模型，巩固数学建模思维过程，教学中对学生展示建模的过程如下：

0现实原型问题数学模型数学抽象简化原则演算推理现实原型问题的解数学模型的解返回解释W

列方程解应用题体现了在数学建模思维过程，要据所掌握的信息和背景材料，对问题加以变形，使其简单化，以利于解答的思想。且解题过程中重要的步骤是据题意更出方程，从而使学生明白，数学建模过程的重点及难点就是据实际问题特点，通过观察、类比、归纳、分析、概括，化归等基本思想，联想现成的数学模型或变换问题构造新的数学模型来解决问题。如利息（复利）的数列模型、利润计算的方程模型、决策问题的函数模型以及不等式模型等。

三．结合各章研究性课题的学习，培养学生建立数学模型的能力，拓展数学建模形式的多样性与活泼性。

高中新大纲要求每学期至少安排一个研究性课题，就是为了培养学生的数学建模能力，如“数列”章中的“分期付款问题”、“平面向量 ‘章中’向量在物理中的应用”等，同时，还可设计类似利润调查、洽谈、采购、销售等问题。现设计了如下研究性问题：

例1根据下表给出的数据资料，确定该国人口增长规律，预测该国2000年的人口数。

时间(年份) 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 " w& u0 C3 Y; s$ ]% @

人口数(百万) 39 50 63 76 92 106 123 132 145

分析：这是一个确定人口增长模型的问题，为使问题简化，应作如下假设：（1）该国的政治、经济、社会环境稳定；（2）该国的人口增长数由人口的生育，死亡引起；（3）人口数量化是连续的。基于上述假设，我们认为人口数量是时间函数。建模思路是根据给出的数据资料绘出散点图，然后寻找一条直线或曲线，使它们尽可能与这些散点吻合，该直线或曲线就被认为近似地描述了该国人口增长规律，从而进一步作出预测。