微积分教学范文

导语：如何才能写好一篇微积分教学，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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关键词：高等数学 数学文化 微积分 价值研究

高等数学在教学中多围绕数学知识及了理想，通过宏观知识和数学命题来探讨其应用。随着数学文化价值的不断研究，从关注数学教育到重视数学文化，已经从传统的数学定理、公式等方法上，逐步形成数学技术教育的双重功能。从整个数学学科的结构来看，微积分的思想和方法是人类智慧的伟大成就之一。微积分是高等数学中的重要内容，也是打开数学之门的钥匙。学者科朗提出“微积分作为人类思维的重要内容，是联系自然科学与人文科学的桥梁”。因此，加大对数学文化价值的挖掘，从其教育实践中来引导学生体味数学素养，并通过具体的教学课程来进行文化渗透。

一、微积分中的数学文化及价值

从高等数学知识结构来看，微积分占据重要位置，尤其是微积分思想和方法在社会、经济中的应用更为广泛。作为人类思维艺术之一，微积分中的文化价值熠熠生辉。从微积分学科起源来看，古希腊数学家阿基米德从《圆的测量》与《论球与圆柱》中就提到微分和积分思想，我国古代史料中的《庄子》・天下篇中也有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，刘徽的《割圆术》，也提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。随着数学研究的不断深入，基于微积分理论的应用日益凸显其价值，特别是在研究天文学、物理学中更成为科学界的重要理论。然而，对于微积分知识的教学，由于其理论证明和公式推导的复杂性，在逻辑上难以理解，如“无穷小量”与“是否为零”等认识上的模糊性，因此需要从数学教育的价值实践中来突出。

高等数学中的微积分教学，不仅需要从知识和方法的学习上，帮助学生理解和掌握微积分，更重要的是，利用微积分思想中的辩证法，可以促进学生抽象思维能力、运算能力和创新能力的养成。一是微积分有助于提升学生的创造力。从微积分的理性精神和理性思维中，将自然界的物质运动与变化作为数学知识描述的宏观世界，并利用微积分来解释运动的变化和无限的思想。另外，微积分从现代数学的应用中，将人的思维方式作为培养学生创新力的指导，更有助于培养学生的创造力。二是微积分从数学美育价值中促进学生的全面发展。数学不仅是数学符号的表述，在数学美育价值中，正确的认知数学美，将有助于从微积分中来探讨数学的简洁性、对称性、和谐性、精巧性。利用微积分来养成学生的数学态度，拓宽学生的数学思维，帮助学生从欣赏数学美中来优化审美能力，促进学生品德和智能的发展。三是微积分有助于学生掌握现代工程技术等知识。从微积分的应用实践来看，对于物理学、电学等自然科学，利用函数、微分方程、数理统计等方法，将有助于学生从中来认识新的科研知识，掌握微积分工具，来更好的学习其他相关学科知识。

二、在微积分教学中渗透数学文化

数学与数学文化是建构数学理论的基础，也是人类理性思维的重要内容。在微积分教学中，结合数学知识及教学目标，不断延伸数学史及数学文化，从中来帮助学生感受数学的魅力。如对于函数中康托的生平、集合论等数学悖论的引入，介绍数学危机中的发展过程，从微分、导数教学中来探讨导数符合的演变等等。从中来激发学生的学习兴趣，促进学生对数学及数学价值的理解。如对于π的研究，从π的相关文献梳理中，来介绍人们从π的精确值追求中来发掘智力的意义。π又称为“徽率”、“衡率”、“阿基米德数”等，这些不同名称背后的故事，开启了对π的理论探究。同时，在微积分中所展示的严密的逻辑性和抽象性，有助于学生从“思维的体操”中增强抽象能力，唤醒学生的好奇心。如在数学中的逻辑美，我们从数学符号的表达中，从符号的简洁性中来进行形象直观的数学表示。对于某一曲边梯形，在计算器面积时就需要用积分符号 。另外，在数学的对称性研究中，微积分将数与形的对称性进行了诠释，更是对抽象概念及方法的直观应用。如在微积分的实例证明中，对于对称性的利用，可以减少繁复的计算。对于分部积分中的 ，可以进行变形得到 ；对于某一对称区间[a，b]上的积分，如果

，当f（x）为奇函数时，则 ；当f（x）为偶函数时，则 。对于微积分中的和谐性研究，从其公式中即可体现。微分在局部性质与积分的整体性质中获得统一。积分的运算过程是微分的逆运算，我们可以从基本导数的计算中获得基本积分公式；当次微分与积分进行成对出现时，微分与积分公式显示出对称性。如微分中的中值定理与积分中的中值定理，也是微积分和谐美的重要内容。另外，对于拉格朗日中值定理的特殊性，以及柯西中值定理，再加上泰勒定理想高阶导数的推广等，都是微分中值定理的不同形式，这些公式都能够从其内在联系中帮助学生从中感受数学美。

三、在高等数学教学中渗透数学文化的实践研究

抽象性思维是数学的灵魂，对于高等数学中的符号化、抽象化问题，可以从数学文化的渗透中来构建模型，引导学生从中认识、判断和推导、计算。如在欧几里德《几何原本》中，对于数学中概念及命题是建立数学逻辑推理的基础，这些思想和方法更是多门学科知识广泛采用的方法。如形象思维是激发人的创造力的有力工具，数学教学中对代数与几何图形的对应中，为我们的想象力创造了条件，也为更深刻的理解高等数学概念提供了基础。数学中的猜测与想象，将直觉思维运用到数学哲学中，以复杂的数学想象和抽象的逻辑，在直觉中将数学敏锐的洞察力作为数学素养，引导学生从中完善自我认知。可见，在高职阶段数学教学中，渗透数学教育观首先要更新教育理念，从教育的特殊性上来全面审视数学教学，并非从单纯的数学演练中来训练，更多的是通过数学文化的逻辑思想和方法，引导学生从数学知识中发现和欣赏美。再次，借助于数学教学内容，从体现数学文化价值中整合首先内涵，让学生从中发现数学文化，提升数学文化素质。其次，拓宽数学教学课堂中的师生互动，注重发挥师生之间、学生之间的交流与协作，能够从倡导探究中来鼓励学生观察生活，联系实践，从问题情境中来构建数学模型，展开对数学知识及数学意识的培养。最后，注重课堂教学评价创新，特别是在体现数学文化中，要依托现有的评价方式，加大对数学思想、方法、数学精神的主动考察，让学生从探讨交流中发现问题，从良好的情感、态度、价值观上来认识数学概念，掌握多种数学学习及评价方法，充分发挥学生的学习积极性，改进和提升学生的综合数学素养。

参考文献

[1] 曾艳妮.微积分教学中如何融入数学文化[J]. 湖北经济学院学报（人文社会科学版）. 2014（12）.

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【关键词】 微积分；MM教学模式；数学认知

21世纪以来，世界各国将微积分引入职业学校数学课程. 然而微积分的教学却面临极大挑战. 首先，高等数学思维与数学经验的冲突. 其次，教师教学方式与内部动机的对立. 再有，强调重中之重与学无所用的矛盾. 高职微积分教育的最高目标是：以知识为载体，提炼“极限”中的返璞归真思想，感受导数的演绎推理观点，掌握积分计算的一般计算方法等，并运用这些思想、观点、方法去分析、探究、解决今后学习工作上的难题. 而此最高目标的达成需要改变教育方式，实践证明，MM教育方式是适合微积分教学的目标达成度最高的方式.

一、选择MM数学教育方式的必然性

（一）MM教育方式掠影

MM教育方式，即数学方法论的教育方式，取“Mathematical

methodology education pattern”前两个词头，是波利亚方法论在中国数学的实践运用，是由无锡市教科所的徐沥泉同志在1989年提出并付诸实践. 该方式的理论精髓：运用数学方法论的观点指导数学教学，即应用数学的发展规律、数学的思想方法、数学中的发现、发明和创新机制设计和改革数学教学的一种数学教学方式.[4]使用MM方式在数学教学的全过程中遵循“2238”原则，充分发挥数学教育的2个功能：科学技术功能和文化教育功能；自觉遵循2条原则：教学、研究、发现同步协调原则和既教证明又教猜想原则；瞄准3项具体目标：一般科学素养、社会文化素养、数学品质；恰当操作8个变量：返璞归真教育、数学美育、发现法教育、数学家优秀品质教育、数学史志教育、演绎推理教育、合情推理教育、一般解题方法教育. 从而全面提高学生素质.

（二）大浪淘沙始见金――MM教育方式能实现有效教学

20世纪80年代至今，各种数学教育理论、教改方案、教学方法层出不穷，有“探究性学习”理论、“情境设置”方案、“活动课”教学方法等，然而探究无度、情境无限、活动无目的造成很多方法的片面使用. 因为数学教学内容的复杂性、相关度等的不同，教条主义已不适用，需要使用组合拳. 而MM教育方式正是几十年来硕果仅存的数学教育方式，它不光存活，还在发展.

（三）MM教育方式对微积分教学的积极意义

对高职校的学生而言，微积分理论高深，符号语言抽象，解题方法多样. 然而徐沥泉认为：“学习数学的困难，并不是它本身的抽象形式，而是离开了它抽象的背景，离开了用似真推理来发现它的过程，离开了在受到挫折以后对反馈信息的分析，离开了生动活泼的创造发明的活动机制. ”[4]那么要问：这些背景、过程、分析、发明从哪里来？答案就是MM教育方式. 解决微积分教学的困难不是把难讲的证明删去，把抽象度高的理论忽略，把考试难度降低，如果这样，只会纵容学生的好逸恶劳、偷工减料和知难而退的心理，造成学生素质的下降. 教师需要MM设计，把数学的精彩内容和完美形式呈现；除了培养学生学习知识之外，教给学生从“宏观”到“微观”的思想，让学生感受微积分的神奇，解决初等数学没有办法解决的问题，从而产生学习微积分的自豪感.

二、微积分教学中“MM设计”原则

（一）情境引入恰当原则

由于微积分基础对象复杂的结构，教学中需要创设相应的情境引导学生进入主题学习，然而只有恰当的情境才能激发学生的求知欲. 教师要根据微积分教学内容和要求，考虑学生的认知，创设良好的教学氛围，运用适合学生理解的情境，最终促进学生知识的迁移.

（二）符号讲解详尽原则

符号是数学的语言，是数学简洁抽象特点的重要因素. 只有在设计中对符号的讲解细致深入，配以学生的书写练习，才能真正对微积分符号达到了然于胸的程度. 极限符号“■”的讲解不光要注重与英文单词“limit”的联系，更要关注字母的书写. 可以用英文三线格给出正确的示范，让学生感受字母相应的位置和大小状况. 不定积分符号“ ∫”可从它的发明者莱布尼茨讲起，发现其是由英文单词“sum”的首字母“s”拉长得到，这样不光对学生进行了数学史志教育，更感受了积分的内涵是求和.

（三）学生参与广泛原则

学生是课堂的主体，然而微积分的教学容易变成教师的独角戏. 在MM教育方式的指引下，为了实现发现法教育，需要设计出学生能够广泛参与的MM课堂. 布鲁纳（Bruner，1966）这样说：“我们讲授某个课程并不是为了形成有关该课程的小型百科全书，而是让学生自己去思考……像历史学家那样去考虑问题，去参与获得知识的过程. ”虽然微积分概念的讲解学生的参与度极低，然而教师可以通过层层推进的问题帮助学生思考，用启发创新的方式让学生自己尝试定义、命名，用黑板演练的形式加强学生符号书写能力，从而提高参与课堂的广泛度.

三、微积分教学中MM模式的使用

下面从微积分最重要的三个部分极限、导数、积分出发，探讨一下学生对这几部分的理解和认知，并给出MM设计案例，展现MM模式的效果.

（一）极限思想

极限思想贯穿微积分始终，是学习微积分的敲门砖. 柯尔尼（Cornu）指出：“极限教与学的困难不仅在于极限概念本身的丰富性和复杂性，还在于仅凭定义本身并不足以生成理解该概念所需的认知要素. ”[2]为了降低难度，课本删去了“ε - N”精确定义，只有“描述性”定义. 然而如何帮助学生理解这种思想，需要精心设计，合理解读，适时思考. 以“数列极限概念”为例，简述MM设计过程：首先介绍牛顿和莱布尼茨发明了微积分以及它的用途，对学生进行数学家优秀品质教育、数学史志教育；从“生活中的极限”出发，让学生畅所欲言，展现他们对“极限”最本真的认知，是一种返璞归真；多媒体演示割圆术等古代极限思想，让学生模糊感受数学当中极限这个词的意义，初步对比与自己所想“极限”的异同；学生讨论得出前面给出例子中最重要的信息：一个量变化，另一个量的变化趋势，数学中“极限”是一个过程，这遵循了教学、研究、发现同步协调原则；使用数轴法让学生观察当n趋于无穷时数列an的变化趋势，用发现法帮助学生从不同场景中抽取共性的能力；给出数列的描述性定义，强调极限的写法、读法和字母大小位置的分配，并提问对“无限趋近”的理解；师生共议得出无限趋近是越来越接近，且接近的过程不会停止；通过考察数列求极限的例题，让学生说过程、写出极限表示、适度练习. 该节课学生积极参与、热烈讨论、认真书写，达到教学应有的效果.

（二）导数应用

研究表明，学生对简单函数的求导运算掌握得不错，在于能够记得公式和运算法则. 然而关于导数的深层次的理解还相当欠缺，举个最简单的例子：为什么（sin x）′ = cos x？答：公式就这么给的. 这也就造成了导数记公式，应用背步骤，考试背题目，毫无探索、发现、掌握的乐趣. 用MM模式设计导数，能够让学生知其然更知其所以然，通过获得知识的努力感受成功的喜悦. 下面就以（sin x）′ = cos x为例给出MM设计：首先教师根据定义证明（sin x）′ = cos x；其次，对结论剖析：涉及两个函数，一个函数为f（x） = sin x，另一个函数为f（x） = sin x的导（函）数f′（x） = cos x；再有，从函数的观点讨论导函数如何得来的，每一个点x0，就有过x0切线的斜率值即k0，根据导数定义，k0 = f ′（x0），x0与f′（x0）形成一种对应关系，构成新的函数y1 = f′（x），我们称为导（函）数；最后，选取定义域为[0，2π]的函数图像（图1），作出切线斜率变化的趋势分析，师生共同完成表格，并观察表格中的一、三两行猜想得出结论：f′（x） = cos x，即（sin x）′ = cos x. 该设计既教证明又教猜想，为的是让学生感受思维的过程，体会结论得之不易的艰辛，领悟简单公式蕴藏的深刻联系. 经过此番讲解，学生对求某点切线斜率也就得心应手了，因为导数公式求得的就是导（函）数，有了导（函）数就能求得某点的导数值，即切线斜率值. 不光如此，在后续的导数应用的章节中学生也能够自己分析得出很多重要的结论.

（三）原函数概念

积分与微分互为逆运算，然而贝里（Berry）和尼曼（Nyman）发现学生把积分看成是一系列的运算技巧，这也造成了如果不打破常规，寻求可行的教学方式，学生只会成为照搬结论、不会思考的公式的奴隶. 原函数是积分中一个重要的概念，下面就从原函数出发探讨MM设计：从最熟悉的公式（x2）′ = 2x与d（x2） = 2xdx出发，复习导数与微分：

从图示发现两函数间有关系，已经知道2x称为x2的导（函）数，如今也给x2取个名字，叫2x的原函数；给出原函数定义后，师生共同探讨原函数的个数；从d（x2） = 2xdx出发，以小组接龙形式回答d（x2 + 3），d（x2 - 5），d（x2 + 2.5），d（x2 - 7850）的结果，并说出谁是谁的原函数，谁是谁的导数，让学生更清楚原函数的概念；学生发现2x的原函数有无数多个，并举出了不同的实例；进一步设问：你能用一个表达式表示这无数多个原函数吗？学生思维活跃，x2 + n，x2 - n，x2 ± k，x2 ± C等答案纷纷出炉，最后得出结论x2 + C（C为常数）. 有了上述分析，学生自己很轻松地得出原函数族定理，获得极大的成就感，觉得神圣不可侵犯的定理也可以自己思考得出.

总之，在尝试“MM教育方式”下，高职数学的微积分教学在不断地寻求突破、找到捷径、取得效果. 万里开头难，为了学生数学素养的综合提升，需要坚持不懈地贯彻MM的“2238”原则，将数学应有的教育功能完美呈现.

【参考文献】

[1]罗伯特・斯莱文.教育心理学[M].北京：人民邮电出版社，2011.

[2]李士，吴颖康.数学教学心理学[M].上海：华东师范大学出版社，2011.

[3]郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，2007.

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一、微积分在处理物理问题中的核心思维

与中学物理相比，大学物理最大的特点是所研究的物理量由原来的稳恒量和离散量变成了变量和连续量。利用微积分解决问题本质上是因为物理规律的可加型，如力的叠加原理、电场强度的叠加原理、磁感应强度等矢量的叠加原理;微积分通过微分-积分方法实现了有限向无限，近似向精确的转化。微积分思想和方法的精髓是：对物理对象取微元后，复杂物理对象变成简单对象，变量可看成常量，非均匀量可看成均匀量，曲面可看成平面，实现了变与不变的辩证转换。

二、大学物理微积分教学关注点

高等数学中有大量知识点和物理问题对应，例如：多重积分可以用于求解刚体的转动惯量;第二类曲线积分对应物理中的变力做功、静电场中电势的计算;第二型曲面积分则对应物理中的流量、电通量和磁通量的计算。但是数学是一门高度抽象的科学，它完全摒弃了具体的现象，具有普适性，而物理研究的是客观物质世界的基本规律，所以解决物理问题的思维方式也并不等同于数学，物理学中的许多微元概念，他们有具体的物理含义，不能简单等同于数学上的微元。要形成独特的用微积分解决物理问题的思维。

（一）注重物理图像，跳出套用公式的思维定式

电通量、磁通量流量等对应高等数学中的第二类曲面积分，数学中对这类问题通常是已知曲面的函数，化为重积分计算，学生感觉数学学会了，会计算一定量的积分题目，但是碰到具体的物理问题还是觉得束手无策，不能达到融会贯通。物理中的电通量和磁通量是由通过与匀强场垂直的平面的通量引入的。并且大学物理教学中的问题是具有某种对称性的，所以从物理意义的角度分析问题更快捷，更有普适性。

（二）自觉用微积分方法分析和解决问题

例如，在高斯定理一节的讲解中，有一个问题是求解均匀带电球面的电场分布，教学中发现“由于电荷分布是球对称的，电场是由电荷产生的，可判断出空间的电场分布必然是球对称的，即与球心O距离相等的球面上各点电场强度大小相等，方向沿半径呈辐射状。”这样的语言并不能使学生 清楚了解电场为什么是这样的分布，学生仍然搞不清楚为什么如此。为解决这个问题，我们以球面外任意一点为例，做过这个点的和球心的直线，我们沿垂直于此直线的方向将球面分割成无数的小圆环，我们知道均匀带点圆环在轴线上某一点的电场方向是沿轴线的，无数小圆环的电场方向都是沿轴线，所以整个球面在P点的电场方向就是沿OP轴线方向的，这样的具体分析使学生更容易接受，同时也锻炼了微积分分析问题的思想。

（三）辨明微分的物理意义

物理中有很多物理量，每个物理量都是为了定量描述某种现象和规律引入的，每个物理量都有明确的物理意义大学物理中的微元分成两种：通常情况某个物理量的微分是和微小的时间段或者微小过程相关的，表示的是一个微小的变化量或微小过程量例，如：位移微元、速度微元、动量增量、元功、微小过程的吸热、磁通量的变化量;如果微分形式是在某固定时刻或状态的，则表示的是一个微小量，例如：计算电通量及磁通量时的dS表示的是一个有方向的面积元;计算动生电动势中出现的dl导线的微小一段，都不涉及时间的改变。

（四）强化注意，形成用微积分解决物理问题的思维习惯

运用微积分思想解决物理问题的一般步骤是：（1）根据问题的特征将物理对象或过程适当分解，选取合适的微元;（2）建立合适坐标系，计算微元的待求物理量;（3）确定上下限，并统一变量，积分求解最终结果。

电流为I的长直载流导线近旁有一与之共面的导体ab，长为l.设导体的a端与长导线相距为d，ab延长线与长导线的夹角为θ，如图所示.导体ab以匀速度v沿电流方向平移.试求ab上的感应电动势。

第一步：根据问题的特征将物理对象或过程适当分解，选取合适的微元

分析：这里产生的电动势是由与导体在磁场中运动，导体中的电子受到洛伦兹力而产生，但是，与导线不同距离处，其磁感应强度是不同的，为解决问题，将复杂的不能直接处理的问题分解为可以处理的问题。我们可以将导线分成无限小的微元dl，因为dl非常小，可认为dl上各点的磁感应强度是匀强磁场，计算其电动势。

第二步：建立合适坐标系，计算微元的待求物理量

v×B的方向根据右手螺旋判断为从右指向左，与dl的夹角是+θ，计算dl上的电动势：

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作者于2013年9月至2014年1月担任了经管类专业的微积分教学工作，总结了教学过程中出现的一些问题以及提出了相应的解决办法。

第一，有很多学生在中学阶段的知识准备难以快速适应微积分学习的要求。微积分的核心内容是极限，极限定义又是在该门课程中最难理解的内容之一。极限定义具体划分有数列的定义和函数的定义。学生理解该定义的困难在于的任意性以及、的相对确定性。此时，教师需要用通俗易懂的语言解释之，是表示数列项（或者函数值）与极限的接近程度，想有多少接近程度都可以，对于预先给定的接近程度，数列从某一项开始，所有的项与极限值的距离小于接近程度。对于函数极限，对给定的接近程度，总存在正数，只要，都有。此外，一个难点就是，基于直角坐标系来计算二重积分的问题。这方面，需要给学生讲解两种类型的区域：-型区域和-型区域。积分区域D称为-型区域，如果≤≤ ≤≤，反之，积分区域D称为-型区域，如果≤≤≤≤，还有一种积分区域是混合型的，就是通过分割后，得到若个-型区域和-型区域的并。

第二，学生作业抄袭的现象较严重。互联网是把双刃剑，在给我们工作、学习、生活带来诸多便捷的同时，也对教学环节尤其是课后作业完成质量提出了挑战。可以这么说，只要教材上出现的习题，都能在网上找到解题过程。这给部分学生作业抄袭提供了一个诱因。解决该问题的一个行之有效方法，布置的作业不在教材课后习题上，也不参考习题册。而是由教师根据学生的学习状况，自适应地布置题目。该方法有两个明显的益处：首先，学生找不到参考答案，只能独立完成作业。其次，所布置的作业具有较强针对性。另外，也需要转变作业的批改方式。一些简单的作业，可以随堂完成。为了进一步防堵学生之间的相互抄袭，课后作业，可先由课代表、班长等先查阅是否存在抄袭现象，这方面需要做好记录以便给出期末总评成绩部分的平时成绩。

第三，提高学生积极性。由于数学具有高度的抽象性，造成许多学生感觉十分枯燥。数学本身是来自于生产实践，学生之所以感觉到枯燥，主要是体会不到数学在实践中的应用。为了解决这个问题，作者经常要求学生用Matlab编程实现微积分的一些定理结论、定义等。例如：积分的定义分四大块思想：分割、近似、求和以及求极限。以上四大思想的要掌握的两个关键点是：（1） 对区间的分割时任意的，也就是说，不管是等距离加分点还是随机加分点，只要使得区间被分得越来细，当然，其中一个问题是，如何刻画区间被细分的程度。（2）近似的方法也可以多种多样，只要是每个小曲边梯形的面积用一个小矩形代替即可。作者要求学生编程求函数的积分，对不同的区间分割方法和面积近似方法，当区间被充分细分时候，得到的求和值渐进相等。平面图形的面积、旋转体的体积计算以及最大利润问题也是微积分中理论与实际的很好结合点。作者在针对经管类的特点，尤其注重最大利润问题，该问题设计到的知识点有：需求与供给函数，成本、收益与利润函数，库存函数，区间上函数的最值求解等。

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【关键词】教育要求；微积分教学；最大限度；兴趣

随着社会的发展和科学的进步，学习不单单是教师机械地讲解书本知识，学生被动接受的过程，更多的是学生了解所学知识的现实意义，主动学习的过程.只有学生积极主动地参与，才能更加透彻地理解所学知识，从而更进一步与现实生活相联系，将知识付诸实践.以微积分的教学为例，为了能使学生更好地学习这部分知识，应在以下几个方面做好准备.

一、发挥学生的主观能动性，安排学生做好课前预习

学生是课堂教学的主体，可以课前给学生布置两道思考题：变速直线运动的速度和距离两者之间如何已知其一求另一个？曲边梯形的面积如何计算？让他们对将要学习的知识有一定的认识.也可以让其通过网络或书籍了解赵州桥的形状及其构成，为定积分求面积做准备.有了一定的了解之后微积分的学习就会比较自然并且学生也容易接受.

二、在微积分教学中渗入数学文化

有时单纯讲解数学概念及习题是比较枯燥的，其实数学中的许多概念并不是凭空捏造出来的，而是经过历史的沉淀，一代代数学家不断的潜心研究发展而来的，若能将这部分背景按照讲故事的方式呈现给学生，讲解生动形象，那么学生也会喜欢听.但由于课上时间的限制，并不能对这部分背景进行系统详尽的介绍，而是要根据所讲内容选取主要事件进行讲解.

在微积分教学中对其思想萌芽的讲解是必不可少的，两千多年前的古希腊时期，地中海沿岸的奴隶们认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力，于是广泛应用装有滑轮和圆轴的车子来运输东西.而要精密地制造这些工件，就需要对圆形有精确的认识，在深入研究的过程中，出现了“无限细分，无限求和”的微积分思想的萌芽.我国古代也早就有了微积分思想的萌芽，西汉刘歆的“记里车”，东汉张衡的“浑天仪”，蜀汉诸葛亮的“木牛流马”，都要设计制造圆形的物件，魏晋时期刘徽提出的“割圆术”就使问题得到了解决，他用正多边形的面积来逼近圆的面积，“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，包含了“无限细分，无限求和”的微积分思想方法.又如：隋代建造的赵州桥，是微积分“以直代曲”思想的生动原形，它是用一条条长方形条石砌成的，一段段直的条石却砌成了一整条弧形曲线的拱圈.

但当时由于生产实践水平的限制，并没有形成完整的微积分理论.直到16世纪前后，社会生产实践进入了一个新时期，开普勒总结出行星运动三大定律，伽利略发现了自由落体运动规律，笛卡尔及费马提出了变数的概念.在这种背景下，微分和积分就成为必要的了，于是也就产生了.

那么微积分是解决什么问题的呢？其中最重要和比较典型的要属速度和距离以及曲线的切线和曲线下面的面积这两类问题.中学及之前我们学过了匀速直线运动路程及速度的计算，那么当物体做变速直线运动时又是什么样的呢？我们也会计算三角形、矩形、梯形的面积，但如何计算曲边三角形、曲边梯形的面积呢？正是为了解决这两类问题，才导致了牛顿和莱布尼茨两人各自独立创立了微积分.

实际上对于曲边三角形来说，古代的“割圆术”和古代劳动人民用一块块石头砌成的拱桥的桥洞给了我们启示，整体看是曲的东西，在局部却可以“以直代曲”.

牛顿和莱布尼茨创立的微积分由于时代的限制有些观点并不严密，之后的数学家在极限理论上建立的微积分使得其完善起来，这也就是我们现在要学习的微积分.

通过对历史的讲解，可以让学生们对这部分知识的来龙去脉有个清晰的认识，同时，古代数学家们对知识探求的精神也是值得我们当代人学习的.

三、加强数学软件的运用，以辅助教学

随着科学的进步，数学软件的运用将成为一种趋势，目前国内高校普遍运用的数学软件主要有Matlab，Mathmatic，Maple等，这些软件的运用很大程度地方便了教学，对于学生和老师来说都大有帮助.

其一，通过数学软件绘图可以更清晰地将要学习的对象展示给学生.如在学习用“微元法”计算图形面积和体积的时候，通过图形的三维性，能够更清晰地理解微元如何选取以及变量是怎么变化的.如果能以动画的形式将微元随着变量的变化而移动的过程展示出来，那么效果更佳.

其二，通过简单编程实现微积分的实践应用.在微积分教学中适当使用数学软件辅助教学，通过设计一些小程序，在讲解完基础知识之后让学生来实践练习，既验证了理论知识，又提高了学生的实践能力，当然也能够激发学生的学习热情.

四、通过适当的作业来巩固教学

课堂上大部分时间是老师讲，学生互动和接受的过程，作业对教学来说作用是非常重要的，通过课下作业可以巩固学生课堂上所学的知识，加深对内容的理解，也提高了学生的动手能力.当然对于作业的布置也是有要求的，并不是老师灵机一动，信手拈来，而是需要之前认真准备，挑选最能反应课堂内容并且具有可行性的题目，由简到繁，以培养学生分析解决问题的能力，将课上知识转化为技能和技巧.

总之，要想上好一堂数学课，课前、课上、课后的准备都不可少，通过教师有计划的引导，使用适当的方法和工具，要让学生们有兴趣来学习，发挥学生的主体作用，那么学生从知识的理解、接受到应用都是比较容易的，从而也就达到了目的.

【参考文献】

［1］朱家生.数学史［M］.北京:高等教育出版社，2004.

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【关键词】高职院校；微积分；问题以及解决方式

一、微积分在高职院校中的教学内容

微积分教学是高职院校学习内容的核心，为其他高等数学打下了坚实的基础.当前高等院校微积分必修课程，第一，微积分理论与应用，学生自觉学习微积分课程基础知识，掌握基本应用能力，以达到灵活运用；第二，要为学生学习本课程提供必需和够用的学习工具，使学生学会灵活运用分析和计算能力.然而，高职微积分课程的教学现状不宜乐观，没有体会到微积分的应用价值，学生学习微积分的兴趣低下.

二、分析高职院校微积分教学存在的问题

1.学生对微积分学习过程中存在的问题

现如今学生的认知水平不够高，学生一般都是以固化思维来思考问题，不能将有限思维上升到无限思维方式.这与学生以前的生活与学习环境有着密切的联系，由于国内教学设备不够齐全，既没有无限数学模型，也没有无限变化的实践活动.所以学生思维的惰性与单向性阻碍了知识的迁移和应用.

2.教师在目前微积分教学中存在的问题

微积分教学紧密结合专业实际.当前的微积分教材呈现出单调和抽象等特征，学生在学习过程中难于理解，此外，部分教师的微积分教学方法也趋于陈旧化和单一化，并未表现出多样化和灵活化的教学方式.随着教育改革的不断推进，在当前高职院校中，单一化的微积分教学方法，仍然是数学教学的主要表现方式，课堂上以知识灌输型的形式为主，同时老师只是将自己定位成知识传递者的角色，并未注重与学生之间“教”与“学”的互动，这样既不能使学生对课堂表现出极大的主动和热隋，也不利于学生数学思维的延伸和发展.

3.学校教学时间安排存在不足之处

高职院校必须要保证微积分教学质量的提高和预期目标，这需要教师和所有学生的共同努力，并且还需要科学合理的安排教学课程.其中，主要是指学校管理阶层对课程教学时间的安排.基于此，要求在学生完成基础课的前提下，尽量减少课时的任务量，以此达到提高微积分课程教学质量的目标.

三、提高高职微积分教学质量的解决方法

1.微积分在高职院校中的教学内容

随着时代不断变化，微积分在教育教学中越来越重要，微积分的发展是一个新时代的产物，面向未来教育发展趋向.因此，微积分需要更好的方法和手段去深入探究钻研.把微积分教学面向现代化，面向未来的工作岗位，面向世界，必须进行教学改革.

2.对微积分教学的改革方式进行分析

应用多媒体课件是教学过程中最强有力的工具，在教学上增大教学容量，拓展教学内容，拓宽学生想象空间，提高课堂教学效果和效率，是保证教学质量的一种有效手段.

3.建设“立体化教材”

立体化教材，提高学生自主学习兴趣.所谓教材建设，是教师和学生用以进行教学活动的材料.

注：limx+∞arctanx=π[]2；

limx+∞arctanx=-π[]2；

limx+∞arctanx不存在为了最大限度地满足教学需要，应加强教材建设，完善书本，进一步优化整合教学内容，不断提高多媒体课件的制作水平和教学效果，结合教学条件和学生实际，利用多媒体信息技术，尽可能提高教材建设的立体化水平，努力使纸质教材、电子教材和网络教材有机结合，扩大教学空间，提高教学质量.借助函数图像引导学生观察分析函数的极限，可以更为形象和直观地理解函数极限的定义，符合高职学生的认知过程，教学效果明显.直观教学法对高职学生观察能力的培养，学习兴趣与学习能力的提高，数学学习信心的增强起着重要作用.如图所示.

四、调动学生学习积极性

1.建立师生平等的关系

老师在学生心目中是一个很神圣的人，对老师又敬又怕.一个好的老师不仅仅是教书，更重要的是育人，只有育成人才能更好地传授知识.拉近老师与同学之间的距离感，与同学和谐相处，保持师生相互平等，相互配合，共同创造美好优质课堂.

2.加强教师道德修养

一个教师的自身素养，直接关系到优质课堂教学水平的高低，老师的素养直接影响着学生在生活中一些为人处事的举动，在学生心中产生了潜移默化的变化，甚至是终身影响.由于教师能够带给学生一种最直观形象的榜样力量，因此在微积分的实际教学中就要求教师坚持“以身立教”的教学思想，能够在不断加强师德修养的同时，还能不断提高自身修养和综合业务能力.

五、总 结

数学具有非常明显的逻辑性和严密性，强调的是科学，客观以及逻辑思维，数学的精髓不在于知识本身，而在于与实际生活的紧密联系.基于此，加强微积分思想方法的教学，是提高高职微积分教学质量，达到与世界全球化接轨的教学模式.把学生培养成我国的合格人才.

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关键词：微积分教学 教学手段 学习积极性

中图分类号：G424.21 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）01（c）-0174-01

微积分是理工科学校一门重要的基础理论课，内容丰富、应用广泛。但同时这门课又具有抽象性和严密的逻辑性，这就决定了这门课比较枯燥、乏味。

另一方面，学生以前在中学学的都是有限的概念。而进入大学后一开始学习微积分就遇到无限的概念，这是一个质的转变，学习上不太习惯。

此外，中学数学的证明都比较直观，证明过程也不太繁杂，而微积分里的定理和习题的证明方法比较抽象，技巧性较高，过程也相对复杂。

因此，学生刚开始学习这门课程时，感到难以理解和接受；另外，整个微积分的教学要持续一学年，课堂教学主要以教师讲解为主，学生被动地听教师讲课，由于一次课学生都会接受大量的知识点，学生很难做到当堂课的知识当堂课理解消化，而当学生的接收出现问题时，就会出现厌学的状态，表现就是逃课现象。

而且，就目前的学生本身来说，中学时的学习状态一直是在家长及学校老师的严格监督下进行的，到了大学之后，很多学生缺乏主动学习的自觉性。

所以要想让学生在微积分的学习过程中发挥自己的积极主动性，并且保持长久的学习热情，教师的讲课艺术在其中占有绝对的重要性，该文，我想谈谈以下几点我在微积分教学过程中有关这方面的一些体会。

1 认真备课，掌握课程的精髓

教师要熟悉教材，深入钻研教材，吃透课程的精髓，才能精心设计课堂教学。预先估计到可能出现的各种情况，并善于随机应变地驾驭课堂教学，在课堂的舞台上才能信手拈来，左右逢源。

2 在教学的过程中引入悬念与对比，将概念拟人化，从而加深学生的记忆

例如，当我讲到一元函数的原函数存在问题时，我告诉学生，这个一元函数只要连续即可。我又反问学生为什么，并且停顿了一下，用眼睛巡视着学生们，学生们以为我要让他们回答，一个个都赶紧低头翻教材找答案，此时，我用很慢的语速跟他们说，先让这个问题潜伏下来，我们将在后面的牛顿莱布尼兹公式那一节中揭晓原因。

学生们都愣了一下，然后发出会意的笑声。后来在我讲到牛顿莱布尼兹公式那一节时，又把以前留下的悬念强调了一下，从学生们的反应来看，这种讲课方式是有效的，学生们对相关概念的掌握是扎实的。

另外，为了让学生将一元函数的微积分部分的知识点与多元函数的微积分的知识点有机的连接起来，我在进行多元函数微积分的授课时，将相关知识点进行对比教学，增加学生们的印象，加强知识的内部联系。

例如，我在讲解多元函数的全微分时，领着学生们回忆了一元函数的微分的概念，然后告诉他们，多元函数的全微分实际上就是一元函数的微分概念的延伸，本质上说的是一回事，那为什么概念中多一个“全”字呢？

这是因为多元函数的自变量不止一个，所以多元函数的全微分就是对所有自变量的微分的线性组合。通过这样的对比学习，学生们对新概念的出现就不会太陌生了，从而接受的也相对快了。

还有，在整个微积分的教学过程中，我将一些概念或性质之间的关系拟人化，从而是学生们在快乐的气氛中学习，效果也是很好的。

比如，连续与可导这两个函数性质，一元函数时，我告诉学生它们是有关系的，到了多元函数，它俩就分道扬镳了，没有任何关系，这样就加强了学生的记忆。

3 增强与学生的互动性，从而使学生积极参与到课堂教学中

教师的讲课艺术不仅体现在教上，还体现在学生如何能主动参与进来。我认为，学生如果100min，即两节课，只是被动地听课，那么课堂上的学习效果是极差的。一般情况下，我在教学过程中讲授一至两个知识点之后，就要举几个例题来具体说明一下所讲知识点的应用。

一般我具体讲一个例题，其他的由学生自己来做，方式有很多种，比如说我的学生们由五个班组成，我就让每班出个代表来做题，让他们竞争，看谁做得好，就让全体同学为他所代表的班级鼓掌，每个学生都有集体荣誉感，所以他们在我讲的时候不敢留神，来防止后面做题的时候出丑，这样，不仅课堂气氛活跃，而且效果出奇的好。

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摘 要：问题转化是数学中常用的思想方法。问题转化思想在微积分教学中的应用很多，包括极限的数学定义、微分中值定理、洛比达法则、定积分以及微分方程等。转化的形式是将一个问题转化为另一个问题，转化的原则是由繁到简，由难到易，直至问题解决。

关键词：问题转化；微积分；极限；微分中值定理；定积分

微积分是高等数学的主要内容，是一般非数学类专业大学生的重要基础课之一。关于学生学习该课程的作用在教育部高等学校“数学与统计学教学指导委员会”的《数学学科专业发展战略研究报告》[1]中指出了五个方面：提供必要的数学工具，学会数学方式的理性思维，领会数学文化，培养审美情操以及为终身学习打下基础。这是在现阶段对高等数学教育的指导性文件。其中的工具和基础作用是以往一直强调的，而数学思维以及文化和审美方面在过去并未受到足够的重视。我们认为：思维方式的培养应该以概念、理论等知识点为载体，教师在点点滴滴的教学中有意提升，使这项工作日常化，形成习惯。至于文化和审美方面的培养则需要更高理念的支持。

数学思维方式有很多形态，如归纳、类比、转化等等。其中问题转化是数学中最基本最常用的一种思维方式，它的基本思想为将一种形式的问题转化为另一种形式的问题，将较难的问题转化为简单的问题，从而实现问题解决。这里作者就问题转化思想在微积分教学中的应用谈谈个人的想法和做法。

1 从极限的描述性定义到数学定义的转化

众所周知，极限是整个微积分的基础，它的定义在微积分各部分内容中都有应用。但很多学生在学到极限的数学定义时，无法将其与形象直观的描述性定义画等号，从而产生排斥心理。这种情况甚至影响了他们后继学习高等数学的兴趣。在教学中如何实现从极限的描述性定义（下面简称为A）到数学定义（下面简称为B）的转化是每个教师面临的一大考验。这里我们介绍一种分段转化的教学模式[2]，即在A，B中间插入两种过渡形式A1，A2，下面是数列极限从描述性定义到数学定义的分段转化：

A：当n无限增大时，xn无限接近于a；

A1： 可以任意小，只要n足够大；

A2： （ 为事先给定的一个正数，无论它多么小），只要n足够大；

B：对于任意给定的一个正数 （无论它多么小），总存在正整数N，只要n>N，就有 。

对于函数极限的定义，可类似进行分段转化：

A：当x无限接近于a时， 无限接近于A；

A1： 可以任意小，只要 足够小；

A2： （ 为事先给定的一个正数，无论它多么小），只要 足够小；

B：对于任意给定的一个正数 （无论它多么小），总存在一个正数 ，只要 ，就有 。

恰当地为难于理解的概念设置铺垫是教师在教学中发挥作用的主要方面。李大潜院士在文[3]中指出：教师“要遵循学生的认识规律，要设身处地的站在学生的角度来思考，不应该把自己的高观点直接加到学生身上。拔苗助长的做法只能影响学生打基础，不利于他们今后的成长。”教学实践表明，对极限定义的分段转化符合学生的认知规律，能够尽快实现学生对极限数学定义的认同，进而使学生在解决问题中自觉运用极限的思想方法。这种转化也为定性描述到定量定义提供了一种范例。

2 四个微分中值定理的转化

作为一元函数微分学应用的基础，中值定理是微积分的核心内容之一。从罗尔定理，到拉格朗日中值定理，再到柯西定理，最后到泰勒中值定理[4]，四个定理逐渐深入，层层递进，充分展现了一元可微函数的性质。但这里因为定理多，理论性强，学生在学习中感到吃力。在这一部分教师的作用就是将知识条理化，帮助学生由低级到高级，由简单到深入地理解和掌握这一块知识。

首先看罗尔定理，它告诉我们对于闭区间上连续、开区间内可导的函数，如果还满足两端点函数值相等，那么在区间内必存在一点，函数在该点的导数等于零，也就是在曲线上有一点处的切线平行于x轴。其次，罗尔定理可以推广为拉格朗日中值定理：去掉两端点函数值相等的条件，结论就是曲线上有一点处的切线平行于两端点的连线。而罗尔定理仅仅是拉格朗日中值定理的特殊情况。但是一般情形的导出又恰恰是通过将问题转化为特殊情形实现的。这里蕴含了重要的方法论价值。将拉格朗日中值定理中的曲线以参数方程表示，这可以得到第三个中值定理—柯西定理。并且拉格朗日中值定理还是柯西定理的特例。在问题形式不断转化的过程中，知识就这样一步步展开。最后是著名的泰勒中值定理。因为和泰勒级数的交融关系以及在工程技术中被高频使用，泰勒中值定理实际上是微积分中的一个重量级公式，尤其是在工程师们的眼里。

这个定理因为涉及到高阶导数使得我们无法像前面一样给出直观的解释，但就是这个看起来十分繁琐冗长的结果却可以通过连续运用柯西定理推导出来。这正体现了自然界中的一个常见规律：简单问题叠加后将不再简单；复杂问题往往可以分解成若干简单问题。泰勒定理之精妙所在还在于将微分表达式中的线性主部推广到了任意次多项式，并且将高阶无穷小给出了具体表达式，使人们不仅能够对函数的近似表示有所选择，而且可对误差进行控制。可以说泰勒公式将微分中以直代曲的思想进行得完全彻底。再回头我们会发现，在泰勒定理中n=0时的特殊情况就转化成了拉格朗日中值定理。从而可以将朴素的拉格朗日中值定理蕴含于泰勒定理中。

中值定理的演化犹如人类社会的演化，时而平缓，时而急剧，但一直在起作用的恰恰是最基本的规律。通过教师的有效整合，可以将该部分的各知识点有机地串联起来，形成一个网络。既便于学生理解掌握，又承载了一定的思想方法，收到一举多得的效果。 转贴于

3 洛比达法则的使用

作为微分中值定理的应用范例之一是洛比达法则[5] ，它是微积分中又一个十分经典的问题转化的案例。洛比达法则有多种形式，但核心都是求未定式的极限。在一定条件下两个无穷小（或无穷大）比值的极限等于它们分别求导后的比值的极限。这里需注意的是法则并没有告诉我们极限值是多少，只是将原来的比值极限转化为另一种形式的比值的极限。使用洛比达法则的前提之一是后者的极限易求出。我们只是通过这种转化将问题由繁化简、由难化易，直至最后解决。这里如果问题朝着相反的方向转化，那就要立即停止，另想它法。在教学中教师强调这种转化可以提醒学生进行积极有效地思维，并有意识地训练问题转化思想的运用。

4 关于定积分的定义与性质

初学定积分的人会感觉其定义及其繁琐。为减轻初学者的心理压力，教师可以将冰冷的定义转化为通俗的语言。事实上，定积分蕴含了重要的变量求和思想，这种思想在科学研究和工程计算中十分常见。概括地讲定积分可以分为四步：①分割：将一个量分为若干个小量；②近似：对每个小量进行近似，这里的关键技术是用常量代替变量；③求和：将所有小量的近似值相加；④取极限：当分割无限加细时总量近似值的极限即为其精确值。

类似的事情在二重积分上发生了，仅仅是变量从一个发展到两个，问题的形式和解决的方式可以说是完全重复。那么三重积分的情况怎样呢？也只是再多一个变量而已。如此一来我们就通过这种升级转化实现了一重积分到二重积分、三重积分的过渡。不仅如此，对于两类曲线积分和两类曲面积分也可以继续沿用前面问题转化的思想，顺利引出相应的定义。至此，七类积分的全貌已现，而我们也可以重新归纳积分的本质，即是对可变量的求和。

除了定积分的定义，定积分还有七个著名的性质。由于这些性质的证明要用到定义，而定义形式又具有一致性，因而相应地产生了其他类型积分的性质。不过第二类曲线积分和第二类曲面积分的性质稍有不同，需加注意[6]。

5 微分方程中的问题转化

解微分方程的目的是寻求方程的通解或特解，其中最原始的方法是积分。由于积分问题本身的难度，使得人们十分关注那些能够积出来的方程类型，而对于其他类型的微分方程只好试图通过问题转化化成已解决的类型，因而在这里转化的工作司空见惯。如齐次方程就是通过变量代换化为可分离变量的方程，甚至包括可化为齐次方程的方程类型。另外关于可化为一阶方程的二阶微分方程也总结了三种类型。

特别值得一提的是在解常系数线性微分方程时，我们引入了一个重要的代数方程—特征方程，将原问题的解的形态完全转化为相应的特征方程的根的情况。这种转化将微分方程问题转化为代数方程问题，这种跨领域的转化大大降低了问题的难度，成为问题转化领域的又一个经典案例。

6 结束语

问题转化作为一种重要的思想方法它蕴含于许许多多的概念、定理和公式中，需要我们在教学中不断发现、整理，以充实教学实践。当然还有其他的思维方式也需要教师在教学实践中有意识地运用。大学数学作为一门公共基础课，不仅为学生后继课程的学习准备知识基础，更是培养新一代青年科学思维方法的良好素材。随着时间的流逝，具体的概念或公式可能记不清楚了，但是作为数学文化价值的科学思维方式，如果培养了，则会使学生终身受益[7]。

参考文献

[1]教育部高等教育司.高等理工科专业发展战略研究报告[M].北京:高等教育出版社.2006:1-11.

[2]Donald Trim.Calculus[M]. Scarborough， Ontario:Prentice-Hall Canada Inc. 1993:82-83.

[3]李大潜.关于高等数学教学改革的一些客观思考，大学数学课程报告论坛论文集(2009).北京:高等教育出版社.2010:3-7.

[4]同济大学数学系.高等数学(第六版)(上册)[M].北京:高等教育出版社.2007:128-145.

[5]吴建成.高等数学[M].北京:高等教育出版社，2005:153-157.

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关键词:微积分;教学方法;专业

应用数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。随着现代科学技术和数学科学的发展，人们逐步发现数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式;不仅是一种知识，而且是一种素养;不仅是一种科学，而且是一种文化。作为众多教育者中普通的一员，我深深意识到了在培养高素质经济管理人才的过程中数学教育的作用是无可替代的。那么，下面我将从自身教学经验和所接触到的教学现状等方面去谈一谈三大数学基础理论课之一的微积分课程在经济管理专业中的教学教法。首先，微积分课程是经济管理专业的学科基础课程，也是全国硕士研究生入学考试数学科目的考查内容之一，其所占比重也是最大的。其次，在经济管理领域微积分课程所研究的理论知识及解决问题的思想、方法有着广泛的应用，因此这门课程的重要性自然是不言而喻。那么为了让学生有效地学习好这门抽象的课程，下文将结合自身的课堂教学经验和目前教学现状，从以下几点给出该课程的教学方法，供大家参考。

一、注重教学内容的整体性和连贯性，突出重难点

在首次课堂教学时向学生简要地介绍微积分这门课程，要让学生明白其所研究的主要内容，以及整个教学内容的主线———研究函数的微分、积分及相关方程等问题。因为大家在中学数学阶段已经学习过函数、导数、简单的积分等内容，所以可以从这些点入手帮助学生很轻松地打开学习的大门，并带着强烈的好奇心和求知欲进入课堂，因为他们会想这些新的内容与以前学习过的知识点会有哪些异同?同时我还强调学生要通过应用将这门抽象的课程变得形象化，在培养学生学习兴趣的同时夯实基础，形成良好的学习习惯，并持之以恒，因为微积分这门课程教学一般会贯穿整个学年。在严格遵循教学大纲的基础上，为了让学生更快地掌握住学习的方法与技巧，我制定了与教材配套的教学顺序是函数———极限与连续———导数与微分———中值定理与导数的应用———不定积分———定积分———多元函数微积分———无穷级数———微分方程与差分方程简介。虽然每一年的微积分教学顺序是保持不变的，但教学内容并不是一成不变，每一年我都会参考最新颁布的“全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲”和“经济管理类本科数学基础课程教学基本要求”来对教学内容进行更新，做到与时俱进。从函数出发引出极限与连续，通过数形结合的教学方法很容易让学生接受理解。由导数的变形得到“微分”的内容，并进一步给出微分中值定理，最后通过应用的讲解，让学生对“微分”这一块内容有了系统的了解。根据对导数逆运算的思考，引出不定积分，再由实例的求解给出定积分，通过牛顿———莱布尼茨公式建立二者之间的联系，因此采用层层深入的教学方法让学生对“积分”的内容有所认知和了解，并通过其在经济管理中的应用案例，体会其的重要性。最后，在学生掌握微分学和积分学的基础上，进行剩余内容的教授———其中，采用类比、启发式的教学方法去教授多元函数微积分这一块的内容，引导学生自主地发现并归纳出多元函数在概念、偏导数与全微分、复合函数与隐函数微分法、极值与最值、二重积分等方面与一元函数的异同，从而可以让学生更加深入地理解掌握这部分的要点;由中学的数列知识引出“级数”的概念，然后分类介绍常数项级数、正项级数、任意项级数、幂级数等内容，并给出其在经济应用中的经典案例，可以让学生与自己所学的相关专业相联系，达到强化巩固知识点的目的;对于微分方程和差分方程来说，从概念入手，让学生先从表象理解这类抽象方程的构成，然后重点讲解一阶线性微分方程和二阶常系数线性微分方程，让学生体会微分学在其中的应用，最后再补充给出方程在经济学中的简单应用，掌握如何用方程去建立对应数学模型的理论思想，达到学以致用的目的。整个学年的教学进程由简入繁、层层递进、环环相扣，这样可以连贯流畅地突显出这门课程内容的整体性，学生就可以很容易地突破并掌握其中的重难点，从而达到学以致用的目的。

二、多元化教学方法的应用

在课堂授课的过程中，我会在教材内容的基础加以其他相关教学资源(比如MOOC、微课等)，使教学方法多元化、教学内容更有针对性，从而达到调动学生的学习积极性的目的，并同时培养其学习的主动性。为了培养学生的自学能力，我会向学生介绍不同的学习资源，使他们能够接触到一些教材以外的内容。在每次授课之前，我都会给学生下达预习通知，要求学生对将要学习的内容有所了解，让其带着问题走入课堂进行听课，以便于课上快速接受;在课堂教学的进程中，我会采取多媒体和板书教学相结合的方式，穿插数学史的介绍，让学生体会到微积分不是想象中那么枯燥无味，并在详细讲解完概念、性质、定理等之后，通过例题应用练习等方式让学生参与进来，调动学生积极性的同时，可以提高掌握新知识的效率;在课下，我会布置多种多样的教学任务，并且要求学生做好复习工作，这样既可以让学生高效地巩固已学的知识点，又可以为下次课的学习打下基础。因此，这种混合式教学方法的应用不仅可以使学生有效轻松地接受新内容，而且可以实现前后内容的融会贯通，轻松掌握重难点。

三、习题练习的层层深入

微积分身为一门数学类课程，与之配套的习题是不可或缺的。我采用以下形式给出不同类型难度的习题:一是当堂练习和课后作业，这部分习题全是定义和定理的直接应用，没有太大的难度，与期末考试内容相近，可以保证每一个学生都能独立完成，达到及时巩固课堂教学内容的目的。布置之后采取抽查的形式及时批改作业，对于作业中出现的问题，会在下次课上进行讲解。二是自选习题作业，因为整个教授学生群体的个人数学水平都参差不齐，所以我会布置一些有难度的习题，供学生选择性去作答。对于这种做法，肯定有人会有一个疑问———是不是只有数学基础好的学生才会去做题?其实不然，与此同时我建立了相关的奖励制度，并建议各班成立学习小组，使得每一位同学都加入到了难题的思考中，因此学生的参与度较高。这样不仅进一步地调动了学生的学习积极性，而且养成了团结合作的精神。当然对于这些题目，我会在线下通过如微信或QQ等平台对有问题的习题向学生进行讲解。三是考研题目，在结束每章内容授课之后，我都会进行一次复习，和学生一起归纳出主要知识点的框架图，进而引入相关考研真题。这些题目大多较难，在讲解之前，我会留给学生思考的时间，让其自行尝试完成。这样既能锻炼数学能力，又能发散思维，并且让学生提前与考研数学内容接触，深受学生的欢迎，营造了良好的学习氛围，大大地提高了学习的效率。如果学生解答出来，那么大家彼此交流做题思路方法，寻求确定一个最优解;如果学生没有解答出来，那么我会给予一定的提示，引导做题，让其在求索结果的过程中意识到自己的不足之处。

四、强调知识在经济管理类中的实际应用

如果光有枯燥的理论教学，却没有与之相关的应用举例很显然是远远不行的。因此，在讲透微积分理论知识的同时，通过数学建模的方法举例给出与经管专业相联系的实际应用，以提高学生学习微积分的兴趣和应用微积分知识解决专业实际问题的意识和能力。比如，利用导数可以解决“边际”和“弹性”问题;无穷级数应用于“商业银行通过存贷款业务创造货币”和“劳资合同问题”等案例;微分方程和差分方程在价格调整模型、多马经济增长模型、索洛经济增长模型、存款模型等当中的应用。最后，学生不仅会发现微积分在经管专业有着广泛的应用，而且更加意识到微积分不是孤立存在的，从而可以提高学习的兴趣，为将来专业课的学习打下基础。

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【关键词】分层次教学 因材施教 个体差异

一、实施分层教学的紧迫性

我校作为一所教学型民办本科院校，以培养适应社会经济发展需要，具有良好的思想品德、较扎实的专业基础、较强的实践能力和较高英语应用能力的高素质应用型人才为目标，在明确的办学定位指导下，坚持“以生为本”，以应用型人才培养模式改革为主线，以促进人的全面发展和适应社会需要作为衡量人才培养的根本标准，始终将提高教育质量、教学水平放在首位，在办学规模迅速扩大的同时，办学质量稳步提高，2012年5月顺利地迎来了由教育部组织的本科教学工作合格评估。在本次评估中，《微积分》作为我校本科教学十分重要的基础课程，受到了评估组专家的高度重视。评估组专家通过听课、座谈、抽查试卷等途径，在对我校《微积分》教学工作充分肯定的基础上，也指出了其中存在的问题和不足。突出表现在课堂气氛不活跃，学生学习积极性不高，考试及格率低。

究其原因，主要是因为在教学过程中没有考虑到民办本科院校所招收的学生在学习习惯、学习自觉性、数学素养等各个方面存在较大的个性化差异，忽视了学生对教学方法、教学内容的不同需求，只强调统一，不能随着客观情况的改变而改变，而是按照传统的一刀切模式来组织教学而形成的。

因此，兼顾学生的个体差异及专业需求，实施微积分的分层教学已迫在眉睫。

二、实施分层教学的意义

“分层次教学”思想，最早源于孔子提出的“因材施教”，所谓分层次教学，是指学校根据大部分学生的个体差异，将学生分为若干个群体，制定不同的教学目标，因材施教，实行分级教学，使各个层面的学生都能学有所得、学有所用，最终适应社会对不同层次人才的需求，达到良好地培养目标。

微积分分层次教学是一种符合因材施教原则的教学方法，在教学过程中实施分层教学具有重大的意义：首先，分层教学适应于各层次学生的学习心理，不但能发展学生的智力因素，而且能培养学生的非智力因素，能有效地调动学生的学习积极性，减少甚至杜绝厌学现象的产生。其次，分层教学能面向全体学生，为学生的全面发展创造条件，有利于学生数学素质的普遍提高。再次，分层教学能消除或者缓解学生的厌学情绪，培养学习兴趣，增进课堂的互动，有利于促进和谐校园与的建设。最后，开展分层教学，能够尊重学生的个性差异，促进学生健康成长，存同求异，为社会培养创造性人才。

三、实施分层教学的具体措施

按照不同专业对微积分知识需求的不同，结合学生的数学基础在自愿的基础上分成三个层次。每个层次分别制定教学大纲、培养目标等。

第一层次（A班）：每个学期都设立两个A班（每班50人左右），第一学期，主要参考高考成绩。以后每个学期都参考上学期考试成绩，让学生自愿报名组成。A班在完成常规教学任务的基础上，适当补充较多的课本以外的知识，主要包括大学生数学竞赛和考研数学中典型题型的讲解、基本数学方法的归纳总结和相关知识在解决实际专业问题中的应用等，课堂容量和知识难度都相对较大。以满足数学素养高、对数学有兴趣，有志于考研的同学的需要。

第二层次（B班）：B班为微积分教学的主题部分，第一学期除A班外，以后每个学期除A班和C班外，其余学生全部编为B班。B班教学难度适中，教学内容符合各专业需要，教学过程中弱化对偏难的理论的证明，注重基础计算和逻辑思维的培养，讲课速度和手法适合大部分学生。

第三层次（C班）：第一学期不设C班，从第二个学期起根据上学期考试结果，把成绩较差（低于30分）的一少部分学生编入C班。C班在降低教学目标和难度的基础上，通过放慢教学速度，查漏补缺。更多地对新旧知识进行比较、归纳，吸引学生注意力，引导学生学会发现问题及找到解决问题的方法。在不断的鼓励中，使学生对数学逐步产生兴趣。

分层次教学的A班、B班和C班的同学，可以在每学期期末考试结束以后，根据考试成绩和平时的表现，在不同层次之间实行动态流动，让第二、第三层次中学习表现突出的同学有机会进入上一层次班级学习，让那些跟不上本层次的进度，学习上感觉吃力甚至难以毕业的学生进人第三层次学习。

合理的分层和动态流动，将会增加学生的学习紧迫感，充分调动学习积极性，避免层次划分的“一划定终身”弊端；同时这也非常有助于学生间的良性学习竞争的形成，从而提高教学效果和学习效率。

参考文献：

[1]施宝林.分层教学方法研究[J].唐山职业技术学院学院学学报，2004，（2）.

[2]杨江霞.分层教学在数学中的应用[J].教育教学研究，2012，（3）.