数学建模的微分方程方法范文

导语：如何才能写好一篇数学建模的微分方程方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

摘 要：在“微分方程数值解”的教学过程中，选取一类典型的微分方程（如：热传导方程）作为重点进行精讲：首先讲授该方程的建模思想、数值求解方法，再理论分析数值解法的稳定性和收敛性，随后详细指导学生编程并上机实现数值解法，避免学生“杂而不精”；最后在课堂上会对多数微分方程进行泛讲，指导学生充分利用课余时间探索方程的相关知识，培养学生的自学能力和创新能力。

关键词：微分方程数值解 教学模式 教学实践

中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）03（a）-0155-03

On the Teaching Program of “Numerical Solution of Differential Equation” Course

Jiang Yingjun

（Department of Mathematics and Science Computing，ChangshaUniversity of Science and Technology，Changsha Hu’nan，410004，China）

Abstract：A typical differential equation such as the heat conduction equation is firstly detailed，in the teaching process，with presentations of its modeling idea， numerical schemes，stability and convergence analysis for the schemes，and numerical tests；other differential equations are briefly presented afterwards；students are finally instructed to fully utilize their spare time to investigate results of the related equations，which helps to cultivate their self-study and innovation abilities.

Key Words：Numerical solution of differential equations；Teaching mode；Teaching practice

《微分方程数值解》是该校信息与计算科学专业高年级学生学习的一门专业基础课。信息与计算科学专业是教育部在1998年新设的一个专业，专业培养目的是培养具有一定的科学计算能力、信息处理知识和技术的复合型人才。信息与计算科学专业开设了数学分析和高等代数等重要数学基础课，还开设了C语言、数值分析、数学实验等科学计算相关课程。这些课程都为将学生培养成复合型人才打好了基础。《微分方程数值解》是以上述课程为基础开设的具有理工融合的专业课程，该课程有较强的实际应用背景，是训练应用所学数学工具解决实际问题的重要课程，也是将学生培养成应用型人才的关键环节。为提高教学效率，许多一线教育工作者撰文对《微分方程数值解》课程的教学进行了探讨[3-6]。

近年来在《微分方程数值解》课程的教学方法与教学手段改革方面有了很大进步，形成一定的教学思想和指导方针，但还未达到理想的教学效果，主要原因有：（1）课时偏少（48课时）；（2）课程理论性强，公式推导烦琐；（3）缺乏实际应用背景介绍。为了在有限的课堂教学时间内达到理想的学习效果，提出将整个教学分成两个环节：（1）对某一方程精讲，选取一种典型微分方程，详细讲解该方程的建模思想，数值解法，理论分析，并指导学生在计算机上实现算法；（2）对多种方程泛讲。对大部分微分方程仅讲解对应的数值方法和理论分析，充分利用课余时间结合课堂时间，指导学生自主完成从建模到上机完整的学习过程。

1 某一方程的详细讲解

在《微分方程数值解》这门课程之前，学生已经学到了的很多有用的数学工具，但都只停留在理论层面上，还不能有效地使用。笔者认为，讲好《微分方程数值解》这门课的一个关键任务是培养学生熟练使用数学工具的能力。此课程所涉及方程众多，但基本的建模思想、数值解法和理论分析所使用数学工具是相同的。主张先对一种方程进行全面讲述，使学生学会使用数学工具完成：（1）建模获得微分方程；（2）设计方程的数值解法；（3）理论分析数值解法的稳定性和收敛性；（4）在计算机上实现算法。在学生真正掌握相关数学工具的使用方法后，再对其他的方程进行泛讲，以学生为主体进一步应用数学工具解决问题。

抛物型微分方程的建模思想和数值求解均具有普遍的代表性，这里建议针对此类微分方程进行精讲。下面详细阐述实际操作过程，相关建模过程请参考文献[1]，数值解法和理论分析请参考文献[2]。

1.1 建模获得方程

课程教学中溶入数学建模思想，不但可以培养学生建模的能力，还能有效提高学生的学习兴趣。值得一提的是，信计专业的学生熟悉使用定积分元素法计算许多物理量，但并未使用过此方法通过物理建模获得微分方程。只要适当引导，学生即能掌握通过建模获得微分方程的方法，所需的前期预备知识为微积分和热学物理。针对三维的热传导问题（也可选取气体扩散问题）进行建模为例。将一空间体置于空间直角坐标系中，通过物理建模得到温度分布所满足的微分方程。设置物理参数：

2 多种方程的泛讲

《微分方程数值解》课程背景广泛，理论丰富，实验复杂，但各章内容有很多相似之处。对一类方程进行精细讲解，强化培养学生使用数学工具的能力和实践能力，做到抛砖引玉。对其他的方程主要讲解数值解法和理论分析，更多的任务如建模、实验等任务，指导学生独立完成。对于泛讲的内容建议：（1）充分使用多媒体工具，如将课程内容制作成若干10 min左右的小视频微型课程；（2）介绍一些参考书供学生课后阅读；（3）安排学生分组完成任务，可以将学习成绩好的和差的分在一起，相互促进；（4）考核成绩以独立完成任务的情况作为重要的评分标准。

3 结语

实现《微分方程数值解》课程教学的重要目标，要求授课教师既要熟悉工科建模思想，又要有扎实的数学知识，还要有熟悉的计算机编程能力，在今后工作中要的培训教师达到相关的知识储备。

参考文献

[1] 谷超豪，李大潜，陈恕行.数学物理方程[M].北京：高等教育出版社出版，2012.

[2] 李荣华.偏微分方程数值解法[M].北京：高等教育出版社出版，2005.

[3] 张宏伟.注重培养研究能力的5微分方程数值解法课程教学研究与实践[J].大学数学，2006，22（6）：4-6.

[4] 杨韧，杨光崇，谢海英.微分方程数值解的教学研究与实践[J].高等数学研究，2010，13（1）：124-125.

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【关键词】数学建模；常微分方程；实际应用

近年来，随着教育教学改革的不断深入，高校的教育目标逐渐由偏重于理论教学向实践教学以及创新模式教学方向发展.教师更加注重学生实践能力和创新能力的培养.数学建模是将实际问题与数学知识相联系的重要桥梁，借助数学模型的构建，很多重要的实际应用问题被巧妙解决.例如：厂房分配问题、原材料运输路线问题以及商场选址问题等.常微分方程建模便是数学建模思想运用的一个重要类型.本文重点探索数学建模思想在常微分方程建模中的应用.

一、常微分方程建模的主要方法

（一）根据实际问题包含的条件构建常微分方程模型

像气象学、天文学这类实际问题中，常常存在一些隐含的等量关系，为构建常微分方程模型提供了必备的条件.例如：等角轨线，同已知曲线或者曲线族相交成给定角度的一条曲线.由此可知，等角轨线的切线同对应的曲线或者曲线族的切线形成了一个给定的角度.这一关系，便可以构建一个常微分方程.同时，这一条件还说明，等角轨线同曲线相交点的函数值是相等的，进而可以构建出有关等角轨线的柯西问题模型.

（二）借助基本定律或者公式构建常微分方程模型

类似于物理学中的牛顿第二运动定律、虎克定律以及傅里叶传热定律的一些基本定律、公式，高校学生并不陌生.而在掌握这些定律、定理的具体应用之后，便可以在解决实际问题时作为常微分方程建模的重要模型构建条件.其实，很多实际问题都可以借助这些定律构建数学模型，例如人口的增长问题、经济学问题以及生物学问题等.

（三）借助导数定义构建常微分方程模型

导数是微积分中的一个重要概念，其定义表示为：

dy1dx=limΔx0f（x+Δx）-f（x）1Δx=limΔx0Δy1Δx.

如果函数f（x）可微，则dy1dx在实际应用中可记为y相对于x点的瞬时变化率.这一含义可以在很多实际问题解决中加以运用.例如：常见的人口问题，人们在对人口进行统计的过程中，常常会计算人口的增长速率；在各类放射元素衰变过程中，常常需要计算出其具体的衰变率；在经济问题中，也是常常会涉及一些“边际问题”.类似的问题还有很多.可见，导数的定义在常微分方程建模中的应用十分广泛.

（四）借助微元法构建常微分方程模型

在实际问题中，探寻微元之间的关系，并借助微元法构建微元关系式，进而构建数学模型.通常，在一个实际问题中，涉及的变量满足以下条件时，便可以构建此类数学模型.

变量y是和自变量x在区间[a，b]内有关的量，y在区间[a，b]内有可加性，部分量Δyi≈f（ξi）.具体的构建过程包括：根据实际问题的具体情况，确定一个自变量x，并将其变化区间确定为[a，b]，在选定的区间[a，b]中选取一个任意的小区间[x，x+dx]，计算出该区间部分量Δyi.，将Δyi表示成为一个连续函数在x处的值f（x）与dx的乘积.即：Δyi≈f（x）dx，记f（x）dx=dy，其中，dy成为量y的微元.在等式两边同时积分，便可以得出变量y的值.这种方法被广泛应用到多个实际应用领域.例如：空间解析几何中曲线的弧长、旋转曲面面积或体积等.在代数领域中，常常利用该方法解决流体混合问题.在物理方面，亦会借助该方法解决压力、变力做功等问题.

（五） 模拟近似

当遇到一些较为复杂，并且其中隐含的规律并不清晰的实际问题时，常常会借助模拟近似法构建常微分方程模型.此类模型在建立的过程中，常常事先做一些合理的假设，凸显所要研究的问题.由于建模过程中，涉及很多近似问题，所以要对所得解的有关性质进行分析，多与实际情况进行比较，确保建立的数学模型符合实际情况.

二、 常微分方程建模实例分析

（一）一阶线性常微分方程模型中的打假模型构建

1.问题的提出

一直以来，打假问题是全社会共同关注的问题.随着市场经济体系以及法律、法规的逐步完善，假冒伪劣产品已经得到了有效的遏制，但是仍有很多的造假分子十分猖獗.为了有效地促进打假工作的顺利进行，人们借助一阶常微分方程模型的构建，对打假过程进行系统分析，并得出最优的实施方案.

2.模型假设

（1）假设时刻x，f（x）为x时刻假冒伪劣产品的数量，并假设f（x）为关于自变量x的连续函数.（2）假设某区域伪劣产品的制造者数量相对稳定.换句话就是在一定的时间内，伪劣产品的生产数量为常数a.（3）假设在一定的时间内，打假掉的产品的数量为固定数b.（4）假设在一定时间内，打假的产品数量同x时刻的假冒伪劣产品数量满足正比例关系，即：kf（x），其中k为打假强度系数，该系数与打假资产成正比关系.（5）假设当x=0时，市场中假冒伪劣产品的数量为f0.

3.模型构建

根据微观模型守恒定律，可以得出Δx时间间隔内，具备：

f（x+Δx）-f（x）=[a-b-k·f（x）]Δx.

令c=a-b，则有：

f（x+Δx）-f（x）=[c-k·f（x）]Δx.

等式两边同时除以Δx，则：

f（x+Δx）-f（x）1Δx=c-k·f（x）.

令Δx0，便得出打假模型为：

df1dx=c-kf，

f0=f0.（1）

4.模型应用

（1）当c=0时，f（x）0，即在单位时间内，伪劣假冒产品的生产数量和打假数量持平，社会中不存在假冒伪劣产品.

（2）当a>0，k0时，ft+∞，说明当对市场中的假冒伪劣产品放任不管时，存在于市场中的伪劣产品将严重破坏正常的市场秩序.

（3）这种变化过程同“生命周期”相类似.意思是说，在市场经济初期，造假并不多见.随着市场经济的快速发展，造假活动日益猖獗.当市场经济环境达到一定水平，这种问题将会得到有效遏制，最终归向平衡.

（二）二阶常微分方程建模中的追击问题

1.问题提出

实际生活中，经常会遇到追击问题.例如：动物世界中的老虎和羊，战场上的子弹与目标以及生活中赛跑比赛等.

2.模型假设

（1）构建一个坐标系，假设马从原点出发，并沿着y轴以速度a向前行进，老虎在（b，0）点出发，并以速度c追击马.

（2）老虎和马在同一时刻发现对方，并开始追击过程.

（3）追击者和被追击者的方向一致.

（4）老虎的速度方向不断变化，其追击路线可认为是一条光滑的曲线，设定为：f（x）.

（5）在t小时后，马逃到了（0，at）处，老虎抵达（x，f（x））处.

3.模型构建

由导数的几何意义可以得出：

df1dx=f-at1x.（2）

即：

xf′-f=-at.

分别对x两边求导，由已知ds1dt=v，以及弧微分公式ds=1+（f′）2dx，得出：

xf″=a1v1+（f′）2.

即老虎追马的运动轨迹模型.

某些类型的跟踪导弹对目标追击的数学模型与上述老虎和马追逃的数学模型相似，根据追击者和被追击者的距离以及被追击者的逃亡范围，通过调整速度即可追上.

三、结论

数学建模思想的庞大功效已经逐渐为人们所认可.常微分方程建模是一种常见的数学模型，其能够有效解决多领域内的多种实际问题.本文仅从几个方面进行分析，希望能够对相关的研究工作者提供一些参考资料.

【参考文献】

＼[1＼] 李明.将数学建模的思想融入高等数学的教学＼[D＼]. 首都师范大学，2009.

＼[2＼]汤宇峰.数学建模在供应链管理中的应用研究＼[D＼].清华大学，2008.

＼[3＼]朱铁军.数学建模思想融入解析几何教学的实践研究＼[D＼].东北师范大学，2009.

＼[4＼]倪兴.常微分方程数值解法及其应用＼[D＼].中国科学技术大学，2010.

＼[5＼]勾立业.高等数学建模教育研究＼[D＼].吉林大学，2007.

＼[6＼]张宏伟.数学建模中的动态规划问题＼[D＼].东北师范大学，2008.

＼[7＼]宋丹萍.在数学教学中渗透建模思想＼[J＼].科技资讯，2008（36）.

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Abstract： Firstly， the significance of integrating ideas of mathematical modeling into the content of higher mathematics course is discussed. Then starting from the basic concept and basic theorem of higher mathematics， it through concrete example shows how to blend mathematical modeling case in higher mathematics teaching. Finally， typical cases according to the content of higher mathematics are given.

关键词： 数学建模；高等数学；微分方程；零点定理

Key words： mathematical modeling；higher mathematics；differential equation；zero point theorem

中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）03-0258-02

0 引言

高等数学课程[1]是数学类主干课程的核心，长期以来，在高等数学的教学中，教材大部分内容讲解概念、定理、推论及公式，教学上一味强调数学的严密性和逻辑性、抽象性，让学生感到似乎数学离我们很远，甚至有学了也没有什么用的错误想法，而数学建模正是联系数学理论知识与实际应用问题的桥梁，反映数学知识在各个领域的广泛应用，所以我们教师在高等数学教学过程中要不断渗透数学建模思想。中国科学院院士李大潜曾提出“将数学建模的思想和方法融入大学数学类主干课程教学中”[2]。合理安排数学建模案例是数学建模的思想与方法融入到高等数学中的具体实践[3，4]，譬如，减肥模型、销售模型、人口模型、传染病模型等，让学生带着较愉悦的心情实实在在体会到所学数学知识与日常生活与现代科学技术的密不可分性，使学生在分析实际数学建模案例过程中体会数学的乐趣与应用价值，以培养学生解决实际应用问题能力。因此，将数学建模案例融入在高等数学教学中有着十分重要的意义。究竟如何将数学建模与高等数学相融合呢？

1 在高等数学的概念引入中渗透数学建模思想

高等数学的概念一般都是从客观事物的某种数量关系或空间形式中抽象出来的数学模型，本身这一过程就是数学建模的过程，因此，我们在引入概念时，借助概念产生的来源背景和实际生活中的实际例子，对其抽象、概括、归纳求解自然而然引出概念，使学生实实在在感受到数学的作用，数学就在我们身边。

案例1 微分方程的概念

问题引入： 刑事侦察中死亡时间的鉴定

问题提出：当一次谋杀发生后，尸体的温度从最初的37℃按照牛顿冷却定律（物体在空气中的冷却速度正比于物体温度与空气温度差）开始下降，假定两小时后尸体温度降为35℃，并且假设室温保持20℃不变。试求尸体温度H随时间t的变化规律。如果法医下午4：00到达现场测得尸体温度为30℃，试确定受害人的死亡时间。

问题分析：牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定。

模型建立： 设尸体的温度为H（t）（t从谋杀死起），运用牛顿冷却定律得尸体温度变化速度■=-k（H-20），这就是物体冷切过程的数学模型。我们得到了含有温度H关于时间t的导数的方程，可以请学生观察这个方程与之前我们学习过的方程有什么异同呢？通过这个方程我们能解出关于H（t）的函数关系吗？如果能解出来，方程的解是什么呢？如何解呢？通过这个问题我们可以首先引入微分方程的概念：含有未知函数H及它的一阶导数■这样的方程，我们称为一阶微分方程。

模型求解：确定了H和时间t的关系，我们需要从方程中解出H，如何求解该微分方程■=-k（H-20）呢？将方程改写成■dH=-kdt这样变量H和t就分离出来了，两边积分，得到？蘩■dH=？蘩-kdt，即ln（H-20）=-kt+lnC，H-20=Ce-kt。

由初始条件：t=0，H=37；t=2，H=35；得37-20=Ce■35-20=Ce■解得C=17k=0.0626即H=20+17e■。当H=30；t≈8.48=8小时29分，谋杀时间大约为早上7点31分。

通过方程的求解过程进一步引入可分离变量的一阶微分方程的定义及解法：如果一个一阶微分方程能写成g（y）dy=f（x）dx（或写成y′=φ（x）ψ（y））的形式，即能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。可分离变量的微分方程的解法：

第一步：分离变量，将方程写成g（y）dy=f（x）dx的形式；

第二步：两端积分？蘩g（y）dy=？蘩f（x）dx，设积分后得G（y）=F（x）+C；

第三步：求出由G（y）=F（x）+C所确定的隐函数y=？准（x）或x=ψ（y）。

通过上述案例，我们发现在概念讲授中选取恰当的背景材料，就能引导学生积极参与教学活动，概念模型也将随之自然而然地建立起来，这比直接用抽象的数学符号展现给学生要生动有趣得多。

2 在讲授高等数学定理时引入建模案例

在讲授高等数学中定理时，对学生来说，学过定理不知如何用及何时用，比如，零点定理、微分中值定理等。下面以零点定理为例进行说明。

案例2 零点定理：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）

问题引入：切分蛋糕问题

问题提出：妈妈在姐姐过生日这天做了一个边界形状任意的蛋糕。可是弟弟看了也想吃，于是姐姐指着蛋糕上的任一点，要求妈妈从这一点切一刀，还要使切下的两块蛋糕面积相等，这下可愁坏了妈妈。大家帮妈妈想一想，一定存在过这一点的某一刀可以把蛋糕面积二等分吗？

问题重述：一块边界形状任意的蛋糕，过上面任意一点是否可以把蛋糕分成两块面积相等的部分。

问题分析：这个问题可以归结为平面几何问题，即把一个封闭图形二等分。

模型假设：是平放在桌面上的，蛋糕表面与水平面是平行的。

模型建立：已知平面上有一条封闭曲线，形状任意，但没有交叉点，P是曲线所围成的图形上任意一点。求证：过P点一定存在着一条能够将图形面积二等分的直线L。

符号说明：P是曲线所围成的图形上一点；L为过P点的任意一直线；S1，S2表示直线L将曲线所围图形分为两部分的面积；α0为直线L与X轴的初始交角。

模型求解：如果S1=S2，则L即是所要找的直线，现在，考虑S1≠S2的情况，假设S1S2同理）。点P为旋转中心，直线L按逆时针方向旋转，则面积S1，S2依赖于角α连续地变化，即S1=S1（α），S2=S2（α）都是关于角α的连续函数。

令f（α）=S1（α）-S2（α），则f（α）是[α0，α0+π]上的连续函数，并且

f（α0）=S1（α0）-S2（α0）

f（α0+π）=S1（α0+π）-S2（α0+π）

=S2（α0）-S1（α0）>0

根据零点定理，存在一点ξ∈（α0，α0+π），使得f（ξ）=S1（ξ）-S2（ξ）=0，即S1（ξ）=S2（ξ）。

模型结论：由几何问题的证明可知，过蛋糕表面上任意一点，一定存在着一条直线L能将这蛋糕切成面积相等的两块。

模型评价：上述模型的建立和求解并没有解决如何实际操作把一块蛋糕二等分，但是它从理论上证明了这块蛋糕被二等分的可能性，此模型可以分析其他类似问题，具有一定的推广价值。

3 结束语

为了更好地使数学建模进入高等数学的教学中，有必要在教材中附上应用数学建模的优秀案例，在课堂教学中，以具体案例作为教学内容，通过具体问题的建模范例，介绍数学建模的思想方法，如表1。

总之，只要我们在平时的教学中，把数学教学和数学建模有机地结合起来，在教学的每一环节适时适当渗透数学建模思想，可以提高学生的各方面能力，有助于他们更好的学好专业课，更有利于今后适应时代对人才的需要。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）上册[M].北京：高等教育出版社，2007：23-24.

[2]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006（1）：9-11.

篇4

【关键词】常微分方程 应用能力 改革方法

【中图分类号】G642.0 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）10 -0182-02

1 常微分方程课程教学现状

常微分方程是大学本科数学专业的一门专业基础课，是基础数学的一个重要内容，有着广泛的应用，是数学理论联系实际的一个重要组成部分。它是众多精确社会科学、自然科学中表述基本定律和各种问题的基本工具之一；从诞生之日起，它日益成为人类认识自然、改造自然的有力工具；自动控制、电子技术、力学、生物学、海洋学、经济学等各个学科的科研人员都把它作为必需的研究工具。常微分方程为后续课程的学习起着铺垫作用，它是学习偏微分方程、微分几何等相关课程的基础；它所体现的数学分析思想、逻辑推理方法以及处理问题的技巧，在整个大学数学学习中都起着奠基作用；常微分方程模型是数学建模的重要内容之一，也是部分硕士研究生入学复试的笔试内容。因此，伴随着数学在现代社会中的作用和地位的不断提高，常微分方程课程也越来越受到重视。

现实中，常微分方程课程教学略显枯燥，部分学生不愿意学，即便掌握了充足的理论，也缺少解决问题的能力。随着教学改革的不断深入，专业课程的课时相对减少，内容却相对增加，这对常微分方程教学有不小的负面影响。由于高校扩招，使得学生整体素质下降，部分学生接受新知识的能力下降，再加上受一些不正确思想的误导，学生的学习主动性不足、积极性不高、知识融会贯通的能力较差。教师对教学内容的处理不够得当，忽视了相关课程知识间的联系，教学方式和教学手段的使用不够恰当，不能调动学生主动探究知识、获取知识、分析问题、解决问题的积极性，同时也忽略了学生能力、素质的培养。教学中缺乏数学思想方法的渗透，不利于学生创新意识及应用能力的培养和提高。

应用人才培养已成为国家人才培养战略的重点之一。数学系在课程教学中如何培养学生的应用能力是一个紧迫而必须回答好的问题。数学系，具有自己的课程特点和培养目标，学生应该具有独特的应用能力。

1. 通过数学模型解决实际问题的能力。数学是一门工具学科，除了使这一工具更加有力之外，重要的是使用这一工具去解决实际问题。数学在物理、生物、经济、环境等方面已经有了很多的应用分支。学生应该具有数学建模的能力，对相关其他专业知识了解之后，可以迅速建立数学模型，运用数学理论进行分析或数值模拟，给出解决方案。

2. 运用数学软件解决实际问题的能力。随着计算机的发展，很多问题都可以借助计算机加以解决，对较复杂的问题需要使用专业软件，并需要进行适当的程序设计。数学系的学生要掌握较专业的数学软件，熟悉程序设计，对一些实际问题可以编写适当的程序利用数学软件迅速解决。

3. 传授数学知识的能力。除了口语、板书、课件设计与制作、课堂组织等教师的基本能力之外，还要熟悉专业知识的脉络，了解学习中的思维过程，据此设计出合理的教学方案并实施。

常微分方程作为数学系的基础课程，具有很强的应用性，所以责无旁贷的要在教学中培养学生的应用能力。高校课程改革正风起云涌，人们正改变传统的授课方式，积极探索科学、高效、目的明确的授课方式。四川大学的张伟年把教学内容和重点同当今微分方程发展主流及非线性科学飞速发展实际相结合，同时实行双语教学，多媒体教学等，努力培养学生的创新意识和能力[1]。张红雷从教学内容、教学方法和加强学生创新能力的培养等方面，探索常微分方程课程的教学改革[2]。储亚伟等从教学观念、内容、方法、手段等方面探讨了常微分方程课程的改革[3]。钟秀蓉在分析常微分方程课程对自动化专业学生的重要性的基础上，结合目前常微分方程的教学改革现状，提出“两重”和“四原则”的思想[4]。蓝师义提出了教学内容与教学方法改革的一些设想和建议，以促进大学生独立思考能力和创新能力的培养，提高课堂教学质量[5]。方辉平以建模的思想作为切入点，在常微分方程的教学内容、方法和手段上进行了探索和改革[6]。程国华把常微分方程分成若干模块，将数学实验、建模思想和方法融入常微分方程教学[7]。

如何学习常微分方程这门课程，如何提高课堂教学质量，如何激发学生的学习兴趣，如何提高学生的应用能力，如何促进学生基本数学素养的形成和提高是每位任课教师都应思考的问题。

2 常微分课程中应用能力的培养

2.1 结合实际应用

在讲授常微分方程的过程中，教师应引入一些实际问题，多介绍一些微分方程的来源与应用背景，让学生认识到微分方程的重要性及其广泛的应用性，感受到常微分方程的魅力，培养学生学习常微分方程的兴趣和信心。这样，既巩固了课堂的理论知识，降低了理论讲解的枯燥性，提高了学生的学习兴趣，又增强了学生的应用能力。

在常微分方程课程中可以引入传染病模型，分析其变化规律。设时刻t的健康人数为y（t），染病人数为x（t）。假设传染病传播期间总人数不变，设为n，则有x（t）+y（t）=n。在单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，设比例常数为k，称为传染系数。于是

=ky（t）xt

或

=kx（n-x）

这个模型称为SI模型，是伯努利方程，可以解出这个方程并通过它的解分析疾病的流行规律。这样不仅开阔了学生的视野，还让学生经历了用所学知识解决实际问题的过程，激发学生的学习兴趣。

类似的，针对我国2011年进行的人口普查，可以引入Malthus模型、Logistic模型等人口模型预测人口的发展趋势；针对2008年SARS的传播可以引入适当的模型，并结合实际数据，分析疾病的流行动态。

2.2 利用计算机辅助学习

随着计算机的发展，产生了很多数学软件，如Mathematica、MATLAB、Maple等，可以利用这些软件辅助常微分方程的学习。一方面通过数值计算和绘图迅速了解或探讨某些常微分方程的性态；另一方面应用软件中符号计算功能可直接求解某些常微分方程。

Mathematica语言中，符号运算、数值计算及图形绘制均有特色，特别是输入显示界面可以直接输入及显示人们习惯的数学符号，非常直观。

如可按下面的过程求方程组 基解矩阵：

A={{2，1} {0，2}} 建立矩阵A；

Eigensystem[A] 求矩阵的特征值、特征向量；

Exp[A*t] 得到基解矩阵。

再如，常微分方程 可如下求解：

DSolve 。

此外，Mathematica语言在向量场、等高线、微分方程数值解及作图、拉普拉斯变换等问题上都可以很方便应用。

2.3 整合课本内容，让学生对知识有整体掌握

不要拘泥于教材的内容，可以从课外找出相应问题作为例题，这样会扩大学生的知识范围，吸引学生的注意力，培养学习兴趣和应用能力。

对教材中的一些内容进行归纳总结，例如，由于高阶微分方程与线性微分方程组在可解的意义下是等价的，可以把高阶线性微分方程解的存在唯一性定理及其基本理论与一阶线性微分方程组的相应内容放到一起，它们解的结构及其性质也基本相同。经过对比讲解可以指出它们的异同，站在更高处审视所学的知识，这样这部分内容能较容易地被学生掌握，同时还能解决学时少，课堂效率低的问题。

可以以解决实际问题为主线，引导学生建立学习团队，通过自身或团队开展发掘、调查、访问、资料收集、操作等多样的学习活动，分析、解决问题，以培养和提高学生的应用和创新能力。

2.4 利用现代教学手段，提高教学效果

随着科技的发展，各种现代教育技术异彩纷呈。作为现代教育技术典型代表的多媒体辅助教学，有利于提高课堂的教学效率和教学质量。但多媒体教学也有操作速度快、学生反映跟不上等弊端。对于常微分方程教学，在传授知识的同时，不可缺少的是严谨的推理过程，推理的每一步都是对学生思维的训练过程，如果把内容一股脑地全显示出来，这很难给人留下深刻印象，简化了学生对知识的思维过程，抑制了学生的思维能力，效果较差。因此，为了提高教学效果，教师可将板书和多媒体结合使用，在需要推导的时候使用板书，对只需要展示的内容可事先做好课件。

通过建设课程网站，建立个人主页、建立课程邮箱、设立网上讨论区等方式，打破传统的师生之间教与学的关系，增加学生主动学习的机会，建立平等讨论、互相促进的关系，开拓出新的教学空间。

2.5 授课过程中注意引导学生进行思考

教师应该授之以渔而非授之以鱼。在常微分方程的教学过程中，教学工作是教会“如何把未知问题归结为已知问题求解”的思想和方法，引导学生如何由已知探求未知知识，培养他们认识问题、理解问题、解决问题的能力，同时他们也会领会知识的整体体系，达到融会贯通的目的。

2.6 改革考核方法，加强对学生学习效果检测

考试是教学过程中的重要环节，是检验学生学习情况，评价教学质量的手段。现行的闭卷考察方式更多考察的是记忆能力、知识本身、理论基础而忽略了理解能力、智力因素、实践能力，存在着弊端。选择什么样的考核方式对教学具有重要影响。常微分方程课程的考核可采取N+1的考核方式，可将常微分方程的考核分为平时到课率、期中考试成绩、上机考试（如实验设计能力的考核、计算机数学软件使用等的考核），再加上期末理论考试成绩。分别设置不同的权重，取综合成绩。这种考核方式，除了让学生掌握课本的理论知识外，还注重学生平时各方面的表现以及各种能力的训练，有利于应用型人才的培养。

参考文献：

[1] 张伟年.本科数学专业常微分方程教学改革与实践.高等理科教育.2003（1）

[2] 张红雷.信息与计算科学专业常微分方程教学改革初探.徐州教育学院学报.2008（1）

[3] 储亚伟，朱茱.高师本科常微分方程教学改革的探究.阜阳师范学院学报（自然科学版）.2008（3）

[4] 钟秀蓉.本科自动化专业常微分方程教学之改革与实践.内江科技.2009（4）

[5] 蓝师义.常微分方程教学改革的探索.广西民族大学学报（自然科学版）.2009（3）

[6] 方辉平.常微分方程教学改革与实践.滁州学院学报.2010（2）

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关键词：数值分析；数学建模；数学实验；教学改革

一、引言

“数值分析”是为我校机械工程、电气工程、材料工程和化学与环境工程等专业的硕士研究生开设的一门学位课程，通常需要学生在本科阶段学习过“高等数学”“线性代数”及“常微分方程”三门课程。“数值分析”课程又为后续的“数学模型”“软件工程”和“算法设计与分析”等课程奠定知识和方法论基础。该课程涉及内容较多，并具有很强的理论性和实践性。随着现代计算机技术的迅猛发展以及社会对硕士人才培养提出的更高要求，如何采用有效的教学方法，提高教学质量已成为“数值分析”课程教学任务中不可回避的重要问题。为了培养和提高学生发现、分析以及解决问题的能力，为今后能够顺利担负科研任务打下坚实的基础，根据该课程的特点，融入数学建模和数学实验的教学法，不仅可以激发学生的学习兴趣，使其对教学内容掌握得更加扎实，讲解和实践的案例还可以成为学生在将来从事科研活动时的重要参考资料。

二、“数值分析”课程的特点

国内外为硕士生开设的数值分析理论及类似课程所采取的讲授方法基本类似。教学模式或者较为注重计算公式的推导，或者偏重于具体算法的应用。从教学方式上看，传统的“注入式”教学模式仍占主导地位，这严重影响了研究生的个性培养、创新思维的训练。总体来说，该门课程的特点可以概括为以下两点：（1）具有理论数学的抽象性与严密科学性；（2）应用的广泛性与实践的高度技术性。

三、融合数学建模和数学实验教学法的内涵与实例

（一）教学法的内涵与作用

结合“数值分析”课程教学的特点，可以作出如下定义：融合数学建模和数学实验教学法是指在教师的策划和指导下，基于教学创新理念，以提高学生分析解决问题的能力为目的，并以数值分析课程的知识结构为主线，组织学生通过对具有代表性的数值分析模型的提出、原理的解释、应用领域的分析、思考、讨论和交流等活动，引导学生自主探究，加深对知识理解等的一种特定的教学方法。

该教学法是一种理论联系实际，启发式的教学过程。通过教师采用数学模型引导来说明理论知识，通过实验仿真，激发学生的学习兴趣，提高学生分析解决问题的能力。采用该教学法可以克服传统教学中“教师主体”的模式缺点，使学生成为教学的中心，不仅不必强记定理公式，而且能够使学生了解到实际问题的多选择性和不确定性，激发学生的创新精神。

目前，我校进行了研究生培养模式的改革，提高了要求，在这种情况下，传统的培养方式及教学方式必须进行改革，该教学法具备上述优点，是一种非常适应现代教学现实的方法。

（二）教学法的实例

目前的数值分析理论课程教学，只是在分析已有的模型，而对于模型的提出过程讲授得较少，因此造成了学生的分析能力强于综合能力。而学生在未来的科研工作中，对于综合能力的要求要高于分析能力。所以讲授数值分析模型的提出过程对培养学生的综合能力是十分有益的。在此笔者列举教学实践中的典型例子说明该教学法的优点。

应用实例：

在讲授教材中“常微分方程初值问题数值解法”这部分的内容时，教材上只是给出了微分方程的几种数值方法及其对应的误差估计、收敛性和稳定性，内容较为晦涩难懂，学生往往不能理解常微分方程来自于哪些实际问题，特别不理解数值解的内涵，于是笔者在讲授该部分内容时融入了数学建模的思想。为使学生理解数值解的内涵，借助C++、MATLAB或MATHEMATICA等软件做程序的编写，完成数值解的求解及几种方法解的图形显示，加深对该部分内容的认识和比较。

提出数学建模问题：食饵捕食者问题。

意大利生物学家D’Ancona发现：第一次世界大战期间意大利阜姆港捕获的鲨鱼的比例有明显的增加，如表1所示。

事实上，捕获的各种鱼的比例代表了渔场中各种鱼的比例。战争中捕获量会下降，而食用鱼会增加，以此为生的鲨鱼也同时增加。但是捕获量的下降为什么会使鲨鱼的比例增加，即对捕食者更加有利呢？

他无法解释这个现象，于是求助于他的朋友，著名的意大利数学家Volterra。Volterra建立了一个简单的数学模型，回答了D’Ancona的问题。

模型假设：

1.食饵增长规律遵循指数增长模型，相对增长率为r；

2.食饵的减小量与捕食者数量成正比，比例系数为a；

3.捕食者独自存在时死亡率为d；

4.食饵的存在使捕食者死亡率的降低量与食饵数量成正比，系数为b。

通过上述教学案例的使用，使学生在学习常微分方程问题数值解的理论后，对一些实际问题，能够建立微分方程组模型，并动手实验给出方程组的数值解，加深对数值解的认识，对数值解收敛性、误差情况和稳定性有具体的认知，并进一步通过图形等方法对结果进行验证、解释和分析。

通过3个教学循环的教学经验和多年的科研实践经验，如果采用新教学法，可以显著提高教学效果，并且可以引入现代科研领域的一些前沿内容，推动教学改革的进行。

在数值分析理论课程的教学活动中引入了数学建模和数学实验的教学法，对教学内容及实践活动进行了总结，教学实践活动表明该教学法能够提高学生的独立思考能力，解决问题的能力，使学生在理论知识和实践能力方面达到了学以致用的效果，教学质量得到了明显提高。

参考文献：

[1]赵景中，吴勃英.关于数值分析教学的几点探讨[J].大学数学，2005，21，（3）：28-30.

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关键词：数学建模 高等数学 课程教学 综合素质

中图分类号：G642 文献标识码： A 文章编号：1672-1578（2013）04-0050-02

大学数学教育的任务是通过数学的教学活动让学生掌握数学的思想和方法，并能够应用数学知识解决实际问题。但传统的数学教学忽略数学应用的广泛性，重理论，轻应用。学生在学习中很难将理论与实际问题结合起来，因而影响学生学习数学兴趣，缺乏学习数学的主动性和自觉性。数学建模不仅能有效激发学生的学习兴趣，而且能有效提高学生的观察力、想象力、逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。但是由于竞赛规模限制，加上对学生数学知识的要求比较高，专门的数学建模类课程并不适合大众化的高等职业教育。要提高高职学生的数学素质和应用能力，解决知识和实践脱节的问题，在传统的高等数学教学中渗透数学建模思想则成为一个理想的途径和教学改革的方向。

1 数学建模对学生能力培养的重要意义

1.1培养学生综合应用和分析能力

数学建模面对的是实际问题，一般没有标准答案，也没有固定的求解方法，而且大多数不是单靠数学知识就可以解决的，它需要跨学科，跨专业的知识综合在一起才能解决。这就需要学生综合各方面知识，深入分析，从实际问题中抽象出合理的、简化的数学模型，并创造性地使用数学工具，寻求问题解决方法。在这个过程中，综合知识运用能力和分析解决问题能力会得到显著提高。

1.2激发学生的参与探索的兴趣

数学建模是实际问题经过适当的简化、抽象而形成数学公式、方程、函数式或几何问题等，它体现了数学应用的广泛性，所以学生通过参与数学建模，充分体会到数学本身就是刻画现实世界的数学模型，感受到数学的无处不在，数学思想和方法的无所不能；同时也体会到学习数学的重要性。建模过程充分调动学生应用数学知识分析和解决实际问题的积极性和主动性，激发学生把数学知识和方法应用到实际问题中去的渴望，从而激发学生学习数学的兴趣和热情。

1.3提高大学生的综合素质

数学教育要教给学生的不仅仅是数学知识，还要培养学生应用数学的意识、兴趣和能力，让学生学会用数学的思维方式观察周围的事物，用数学的思维方法分析、解决实际问题。在高等数学的教学中融入数学建模思想可以培养学生如下能力：（1）培养“翻译”的能力。（2）培养对已知的数学方法和思想进行综合应用的能力，形成各种知识的灵活运用与创造性的“链接”。（3）提高面对复杂事物的想像力和洞察力、逻辑思维能力以及分析、解决问题的能力。（4）提高查阅文献、收集资料以及撰写科技论文的文字写作能力。（5）培养团结合作精神和进行协调的组织能力。

2 在教学内容上渗透数学建模的思想和方法

高职数学内容历来要求“以应用为目的，以必需、够用为度”，其知识范围广、线条粗、深度浅。但又往往容易成为本科数学的压缩饼干，常常是经典过多，现代不足；理论过多，实际不足；运算过多，思想不足。教师应积极开展课程论研究，在教学中要善于挖掘教学内容与学生所学专业及实际生活中实例的联系，根据学生专业的实际需求编排高等数学课程教学内容和教学重点。以下举例说明在高等数学课程的教学中融入数学建模思想方法，配合数学模型内容，有利于提高学生的数学实践能力。

2.1数学概念的引入

高等数学课本中的函数、极限、导数、积分、级数等概念都是从客观事物的某种数量关系中抽象出来的数学模型。在教学中，应该从学生熟悉的日常生活的例子中自然而然的引出来，使学生感到数学概念与日常生活是有密切联系的，并了解相应知识在实际中的应用场合，增加学习的积极性。例如，在学习函数概念时可以介绍指数模型（人口增长、物质衰变等），三角函数模型（交流电、经济规律、人的生理、情绪等都有周期性）、函数族模型等。作为在学习极限概念时可以介绍：蛛网模型、科赫雪花模型（面积有限，边长无限）等。

2.2导数的应用

利用一阶导数、二阶导数求函数的极值，求实际问题的最值，利用导数求函数曲线在某点的曲率。由导数概念引入的函数相关变化率在解决实际问题中很有意义。作为导数的实际应用可以介绍最大收益原理、鱼群的适度捕捞、征税问题、最优批量、电影院优化设计、惊险杂技的设计、拱型桥梁的原理与优化、未来医院拐角设计等问题的数学模型。

2.3定积分的应用

定积分以及微元分析法在数学建模和其他专业课程中有着广泛的应用。因此，在定积分的应用这一章中，微元分析法和定积分在几何、物理中的应用都要重点讲授，尤其是借助微元分析法建立积分关系式的技巧。例如堆积煤矸石的电费、非均匀资金流的现值与未来值，广告费用，油田储油罐的设计等都是定积分在实际中应用的很好例子。

2.4二元函数的极值与最值问题

求二元函数的极值与条件极值，拉格朗日乘数法，以及最小二乘法在很多实际问题中都有具体应用，在教学过程中应注意培养学生用上述工具解决实际问题的能力。多元函数微分与极值可介绍：河水的污染与净化的数学模型、生产调度最优化模型、存贮费用优化问题（允许缺货）、野生动物乐园的面积、曲线拟合的参数估计等问题；梯度应用可介绍：攀岩路线问题、热锅上的蚂蚁何处逃生、鲨鱼进攻路线。

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关键词：非线性动力学；防屈曲支撑；理论建模

Abstract: The engineering applications of nonlinear dynamics is the research frontier and hot point of nonlinear science. It is of great theoretical and practical value to employ the theory of nonlinear dynamics to reveal the nature and mechanism ​​of the objects dynamic phenomenon. The anti-buckling support is a widely used metal damper,whose mechanical properties study has a significant role in the guidance of its design and performance evaluation. However, anti-buckling support also is a strongly nonlinear system, whose mechanical performance analysis has been the difficulty. The paper conducts some preliminary exploration of application of the theory of nonlinear dynamics in the study of anti-buckling support, focusing on theoretical modeling method of nonlinear dynamics of anti-buckling support core.

Key words: nonlinear dynamics; anti-buckling support; theoretical modeling

中图分类号：TH122 文献标识码： A文章编号：2095-2104（2012）

引言

经典力学的基础是一些“实验事实”。随着科学技术的发展，实验设备变得更为先进，实验方法在不断改进，所得的实验结果也更为贴近实际力学过程。然而，更新更精确的实验结果也说明了：一、处理力学模型的线性化方法在许多模型应用中具有很大的局限性，线性化可能导致很大的误差，甚至导致结论与实际情况十分的不相符；二、原来被忽略的一些因素事实上对力学模型影响很大，而这些被忽略的因素表现往往很难用线性化方法处理，并且还表现为强非线性。

真实的动力系统几乎都含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性、构件大变形，控制系统中的元器件饱和特性、变结构控制策略等。实践中，人们经常试图用线性模型来替代实际的非线性系统，以求方便地获得其动力学行为的某种逼近.然而，被忽略的非线性因素常常会在分析和计算中引起无法接受的误差，使得线性逼近徒劳无功.特别对于系统的长时间历程动力学问题，有时即使略去很微弱的非线性因素，也会在分析和计算中出现本质性的错误.

人们很早就开始关注非线性系统的动力学问题.早期研究可追溯到1673年Huygens对单摆大幅摆动非等时性的观察，从19世纪末起，Poincar6，Lyapunov，Birkhoff，Andronov，Arnold和Smale等数学家和力学家相继对非线性动力系统的理论进行了奠基性研究，Duffing，van der Pol，Lorenz，Ueda等物理学家和工程师则在实验和数值模拟中获得了许多启示性发现.他们的杰出贡献相辅相成，形成了分岔、混沌、分形的理论框架，使非线性动力学在20世纪70年代成为一门重要的前沿学科，并促进了非线性科学的形成和发展.

近20年来，非线性动力学在理论和应用两个方面均取得了很大进展.这促使越来越多的学者基于非线性动力学观点来思考问题，采用非线性动力学理论和方法，对工程科学、生命科学、社会科学等领域中的非线性系统建立数学模型，预测其长期的动力学行为，揭示内在的规律性，提出改善系统品质的控制策略，一系列成功的实践使人们认识到：许多过去无法解决的难题源于系统的非线性，而解决难题的关键在于对问题所呈现的分岔、混沌、分形、孤立子等复杂非线性动力学现象具有正确的认识和理解.

近年来，非线性动力学理论和方法正从低维向高维乃至无穷维发展.伴随着计算机代数、数值模拟和图形技术的进步，非线性动力学所处理的问题规模和难度不断提高，已逐步接近一些实际系统.在工程科学界，以往研究人员对于非线性问题绕道而行的现象正在发生变化.人们不仅力求深入分析非线性对系统动力学的影响，使系统和产品的动态设计、加工、运行与控制满足日益提高的运行速度和精度需求，而且开始探索利用分岔、混沌等非线性现象造福人类。

防屈曲支撑是土木工程抗震中目前应用较为广泛的一类耗能构件，它利用金属的屈服来消耗地震中产生的能量，从而保护主体结构的安全。常用的防屈曲支撑有全钢型的防屈曲支撑和钢管混凝土约束型的防屈曲支撑， 都由内芯和外包约束构件构成。从原理上来看，内芯一般用中等屈服强度钢，承受轴力；外包约束构件约束内芯的局部屈曲与整体屈曲，不承受轴力；内核钢支撑与外包约束构件之间有适当的间隙，以保证内芯在屈服以后能有横向的变形空间，从而减小内芯在受压时的与约束构件之间的摩擦力，尽量避免外包约束构件承受轴力。工作时，仅内核钢支撑与钢框架连接即仅钢支撑受力，而外包钢管混凝土约束内核钢支撑的横向变形，防止内核钢支撑在压力作用下发生整体屈曲和局部屈曲。如图1中所示为典型的防屈曲支撑与其在轴向拉压力作用下得到的滞回曲线。

图1 典型的防屈曲支撑形式与其滞回曲线

虽然防屈曲支撑已经有了广泛的应用，但是对于防屈曲支撑性能的研究并未取得较大进展，特别是防屈曲支撑的受力分析。防屈曲支撑内芯与约束构件间存在间隙，在支撑受力过程中内芯与约束构件之间存在摩擦力，而且在实际应用中支撑内芯经常达到较大的变形。这些都属于强非线性问题。因此合理地利用非线性动力学理论就可以解决防屈曲支撑的分析问题。

防屈曲支撑的理论建模

对所关心的非线性动力系统建立数学模型是后继分析的基础。通常，建模前要对系统的构成进行分析，尽可能把握系统的主要非线性因素。然后，需要根据已掌握的信息决定建模的方法。完全借助力学理论进行建模的过程一般称作理论建模，而以实验作为主要手段的建模过程可称作实验建模。实践中，通常交替采用这两种建模技术进行相互检验，或混合采用两种技术进行复杂系统的联合建模。

具有无限自由度的连续介质系统的建模非常复杂。系统的非线性来自两方面，一是系统的运动（如大变形），二是构成系统的材料。对于计入上述非线性的杆、轴、梁、板和简单的壳体，高等材料力学和弹性力学提供了一些建模的手段。至于更复杂的结构，则需要采用非线性有限元、多柔体动力学等方法，在计算机上完成建模。

在支撑达到屈服力之前，内芯是处于弹性状态。依次列出系统的动力平衡方程、变形几何方程和本构方程，然后尽可能消去联立方程中的未知函数。

图2 内芯的变形示意图

可以将内芯的一端简化为两端铰支、均匀材料等截面梁，其左端纵向固定，右端纵向可移动且作用有纵向载荷P(t)。下面运用弹性力学位移法建立系统的运动偏微分方程。

图3 轴向力作用下的内芯中等挠度振动及其微段受力分析

首先，取梁上距左端处（对应于弧长坐标xs）的微段。根据图中的受力分析，得到该微段质心的纵向运动u(x,t)和横向运动w(x,t)所满足的动力平衡方程

（1）

其中N (x,t)是梁在截面上沿梁变形后中性层切线方向的轴力，Q(x,t)是剪力。若略去梁微段的旋转惯量，则剪力Q(x,t)与弯矩M(x,t)间具有准静力关系.

（2）

将公式（2）代入公式（1）中，得到

（3）

对于梁的中等挠度变形，通常将方程(3)中的三角函数近似为:

(4)

并在后继分析中保持这样的二阶Taylor截断。

在建立变形几何方程阶段，通常根据实验观察结果引入一些变形假设，以便使问题得以简化。此处引入的基本假设是：变形前垂直于梁轴线的横截面在变形后垂直于变形的轴线。根据这一基本假设，距中性层z处点的纵向位移ux由三部分组成：一是轴力引起的横截面纵向平动，即微段质心的纵向位移；二是由横截面转动引起的;三是横向弯曲引起的。因此，该点的纵向位移是

(5)

由此得到该点的正应变

(6)

在线弹性范围内，梁在横截面上的正应力为

(7)

其中E是材料的弹性模量。

现以梁的纵向位移u(x,t)和横向位移w(x,t)为未知量来建立其运动偏微分方程。将式(6)代入式(7)，在梁的横截面上积分得到轴力和弯矩:

(8)

(9)

其中是梁的截面惯性矩。根据几何关系，可导出

(10)

因此

（11）

将式(8)和(11)联同式(4)代回方程(3)，得到仅含未知位移的动力学方程

（12）

（13）

这就是计入几何非线性效应的梁纵横向运动耦合动力学方程，其最低阶截断误差为。

研究梁的横向非线性振动时通常对纵向运动微分方程引入简化假设。如果略去梁横向运动对纵向运动的影响，方程(12)将简化为线性波动方程

（14）

相应的边界条件是

（15）

在给定的初始条件下解出纵向位移u(x,t)后代入方程(13)，可得到以横向位移w(x,t)为未知函数、纵向位移u(x,t)为时变系数的非线性偏微分方程。

对于定常纵向 载荷P(t)=P0，一般略去梁的纵向惯性效应，视轴力为

（16）

所以

（17）

这时，方程(13)简化为

（18）

或简记为

（19）

其中D(w)是关于x的非线性偏微分算子。

方程(19)是一非线性偏微分方程，其解空间具有无限维。通常，人们采用Galerkin方法将其简化为有限个常微分方程来进行研究。Galerkin方法的基本思路是取一组满足梁边界条件的形状函数，构造

(20)

将其代入方程(19)，方程残差反映了残余力。为了尽量减小残余力，可以选择未知函数，使残余力关于各形状函数对应的位移平均作功为零，即,

(21)

这显然是n个关于未知函数的二阶常微分方程。

对于梁振动问题，最常用的形状函数就是梁的微振动固有振型。以简支梁的低频振动为例，通常仅取梁的第一阶固有振型。将其代入方程(19)后再代入方程(21)，经计算得到一个单自由度非线性振动系统

（22）

一般在最初阶段就取，但取弯矩表达式(11)中的。这样的不一致截断使最终结果成为

（23）

以上过程就是防屈曲支撑内芯的非线性动力学理论建模方法。

应用非线性动力学理论对防屈曲支撑进行研究还没有先例，本文仅仅对于防屈曲支撑内芯的建模做了初步的探索。非线性动力学理论作为一种处理非线性问题的方法必将在防屈曲支撑的研究中发挥巨大的作用。

参考文献

1. 非线性动力学理论与应用的新进展. 张伟，胡海岩. 科学出版社，2009.11

2. 应用非线性动力学. 胡海岩. 航空工业出版社. 2000

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关键词：通信工程；数学建模；高等数学；建模思想

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）08-0157-02

一、引言

进入21世纪以来，自然科学的各个学科都发展至前所未有的高度，数学在各个学科范畴的使用更加广泛，也产生了深远的影响，被各个国家倍加重视[1]。一方面，先前的大数学家或物理学家发现的纯粹的抽象概念和数学模型在某些学科领域付诸于实践，在实际中得到应用；另一方面，许多学科领域越来越依赖于数学的建模，通过合适的软件将各种实际问题在计算机中数字化，既能离线地发现最佳方案，又能在线实时监控和调控。伴随着各个自然科学学科的数字化和我国大学教育的大众化，大学中的数学基础课程教育应该着重培养学生分析与解决实际问题的能力、数学建模的思想和思维意识[2]。这也是普通高等学校数学基础课程教学改革的重要任务之一。为此，非数学专业数学基础课程教学指导委员会在对工科专业数学课程教学的基本要求别指出：“数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式”，并明确提出，“要突出数学的思想方法，加强数学应用能力的培养”[3]。始于1992年的全国大学生数学建模竞赛，发展至今已受到广泛的关注。比赛的题目是来源于现实问题，需要学生综合所学的高等数学知识，自行建立模型，既有很强的趣味性，也调动了学生主动思考的能动性，极大地提高了学生的创新能力。因此，在通信工程专业的高等数学课堂中，适当穿插数学建模思想，结合数学知识对有关通信工程的典型题目做必要的讲解，这样就使学生通过建模案例了解了建模思想，增强了数学实验能力，对深化高等数学课程的教学改革有着重大的促进意义。

二、数学建模思想概述

数学建模是通过不同的形式、从各个角度来对某个或多个实际问题进行抽象，并配合一定的理论开展全方位的论证。例如，在一个类矩形区域的地方铺设通信基站，要求在覆盖区域内所有社区在不超过预算的情况下，使得基站铺设方案尽可能地覆盖区域内的所有人口。对这个问题，通过创建数学上的模型，对比分析和方案论证，就会有比较完整全面的解释。通过对每个基站覆盖面积、地理位置、地形特点、人口稠密程度、交通等因素开展全方位多角度的分析论证，学生对数学建模有一个基本的了解，在分析论证过程中从多个方面尽可能地选取重要的因素进行讨论。数学建模不是简单地重现中学数学中常常提及的数学思想，而是通过这些思想来对实际生活中的问题进行深层地概括抽象、分析及凝练，通过严密的数学推理和方案演绎，将得到的模型拓展到类似的问题上去，从而举一反三，利用典型事例提高学生的积极性和能动性，在教学过程中要求学生对数学模型展开启发式思考，把零碎的知识融入到整体的框架中，亦能将整体的框架投放到具体的问题中。

三、建模思想的渗透对学生的影响

1.促进学生专业课程的学习。高等数学作为通信工程专业的基础课程，为该专业学生系统掌握现代通信技术，具备通信技术和信息系统的基础知识，并能够从事各种各类通信设备和信息系统的研究、设计、制造、开发和维护，提供了理论基础。要实现上述培养目标，首先必须奠定优良的基础，即高等数学的知识一定要扎实。例如，对于天津师范大学通信工程专业的学生而言，高年级所学习的专业必修课程都是整篇幅的数学公式，且都是以实际中的应用背景作为基础。只有在大学一年级的时候，学生从高等数学中经受各种建模方法的熏陶，能够从一般的层面上概览各种通信场景的数学模型，才能够灵活掌握专业必修课程的内容。

2.提升学生的创新能力。在2014年9月的夏季达沃斯论坛上，总理发出了“大众创业、万众创新”的号召。大学教育逐渐普及，而大学生正是处在学习的上升阶段，创新更应该作为大学课程中的重要的环节进行培养；另一方面，高等数学的学习和训练能够使人的思维更加缜密和灵活，数学建模思想和思维的训练使人学会从问题的表面洞察内在本质。通信是所有学生生活中能够实际接触的事物，所以教学应该从这一点出发，在教学生从实际中提炼问题的过程中，突出该学科的实用性。例如，通过一定区域内通信基站的铺设位置引申到数学模型上，进而讨论极值问题的求解方法。此外，辅以小组讨论的方式，能够激发学生的团队精神，使得学生从更高的层面对所学知识进行构建，既能扎实地掌握知识，又能提升自身的创新能力。

3.培养学生理论联系实际的能力。一般来说，理论知识的学习对许多学生来说是枯燥的、乏味的，但是在教学过程中注入一些合适的实际背景，让学生能够将理论知识与相应的实际背景结合在一起理解、学习，辅以多种多样的教学方法让学生形成把理论知识灵活运用到实际问题中的能力，引导学生对不同的事物进行分析和比较，对比它们之间的区别与联系，让学生能够独立地对事物进行判断和决策，最终行之有效地解决工作中、生活中遇到的问题。

四、实际通信问题在教学中的渗透

几年前，同济大学、华东师范大学、北京师范大学等高校就联合修改了工科高等数学的教学大纲，并就教学改革问题提出了重基础、重思想的观点。高等数学中的微积分的几何应用、极值、微分方程等内容与通信工程的专业必修课程有密切的关联，这就要求教师不仅要熟悉高等数学的内容，而且对该专业必修课程的内容有具体充分的了解，才能够将相关的内容联系起来教学，这对教师提出了更高的要求。然而，有些高等院校的数学课程聘请的是数学系的教师授工科高等数学课，而数学系的教师没有接触过工科的专业课程，这就形成了不可弥补的隔阂，导致教师不能够在高等数学的教学过程中，将数学建模思想与专业背景联系起来，使学生在低年级学习数学知识的时候没有形成良好的建模思维，进而在高年级学习专业课的时候非常艰难。在天津师范大学，通信工程专业的高等数学课程均是由通信专业的教师讲授，避免了上述问题。例如，在微分方程教学中，可以穿插电路方面的背景知识，电流强度的计算在高中的时候已经学习过，大学对该知识的学习只要从微分方程的角度出发，通过建立相应的数学模型，让学生学习如何分析这类问题，构建一般的表达形式，从而对类似的问题有更加深刻、更深入本质的理解。建模完成之后，教师再讲授相应的求解微分方程的方法，对微分方程模型的求解一方面可以动手计算，另一方面可以借助于数学软件来计算。在这个过程中，学生可以感受到数学模型的能量，提高解决实际问题的能力。

五、总结

南开大学的顾沛教授曾说：“越是抽象的东西，越是能够放之四海而皆准”。在通信工程专业高等数学的教学过程中，教师适当引入该专业必修课程相关的实例，或具体的通信相关的应用问题，结合高等数学的相关知识章节，以数学软件作辅助，这样既加深了学生对实际问题的理解，锻炼了数学软件使用的能力，又培养了学生的数学建模思想和思维，并对通信专业有了更深的认识，为学生的自身发展奠定了坚实的基础。

⒖嘉南祝

[1]崔建斌.在高校理工科高等数学教学中渗透数学建模思想方法探索[J].德州学院学报，2014，（6）：102-105.

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（大庆师范学院教师教育学院数学系，黑龙江 大庆 163712）

【摘要】随着信息时代和微时代的到来，社会对高师学生的人才培养提出了新的目标，促使高师本科院校教学改革的步伐不断加快。同时，为了实现应用型本科院校的人才培养目标，提高大学生创新能力、职业技能和自主学习能力，主要从教学内容和教学模式方面入手，探索了高师数学专业《常微分方程》的教学改革。

关键词 常微分方程；教学内容；教学模式；微课

Research to Reform Ordinary Differential Equation Teaching of Mathematics in Teachers College

ZHAO WeiGAO Yang

(Department of Mathematics of Daqing Normal College, Daqing Heilongjiang 163712， China)

【Abstract】With the arrival of information age and micro age, the society put forward new target for students in teachers college, and promote the pace of teaching reform of high college to accelerate. At the same time, in order to realize the talent target of application oriented under graduate colleges, improve the students’ creative ability, occupation technical ability and autonomous learning ability. In this paper, we mainly start from the teaching content and mode, explored the teaching reform of ordinary differential equation for mathematics teaching colleges.

【Key words】Ordinary differentia equation; Teaching content; Teaching mode; Micro calss

常微分方程作为数学专业核心基础课程之一，也是高师数学专业的一门重要专业基础课，对培养学生数学思维能力和提高应用数学解决问题能力有重要指导意义。它也是学生进一步学习偏微分方程、数学建模、微分几何等课程的前期基础，同时对动力系统及非线性科学起到奠定基础的作用。

在信息时代飞速发展的今天，常微分方程课程的内容也应该跟上时代的步伐，其教学模式也要考虑信息化网络化，以此来提高学生的自学能力、实践能力和创新能力，以满足将来学习工作的需要。那么如何对常微分方程进行教学改革，使其更加符合时展的需要，满足学生的需求，应该是教学工作者思考的问题之一。鉴于在常微分课程中的多年教学经验，笔者从以下几个方面对常微分方程的教学进行改革探究。

1教学内容的改革

1.1适当优化整合教学内容

由于课时的压缩,为了照顾不同层次的学生,同时要确保教学质量,提高教学效果,因此考虑对现用教材（高等教育出版社，王高雄主编[1]）的教学内容，进行一些适当的整合，并根据课程的前沿增加新的内容。

首先,对于章节内容中理论、方法相同或相近的内容进行优化，避免相似内容反复讲授，以节省课时。例如在讲授高阶微分方程的理论基础时，可以先简略介绍理论基础，对于它的证明理论及相关知识可以放到微分方程组中去处理，把高阶微分方程看作是微分方程组的特例，这样使得两章的内容在整体上有了明显的缩减，且由于理论相似可以使学生更加方便理解和记忆。

其次，根据一般高师数学专业的特点，对于常微分方程课程的要求可以适当降低，对于教材中的较难环节，可以作为选修内容处理，以满足不同层次学生的需要。例如对于微分方程解的存在性定理的证明，解对初值的依赖，幂级数解法，微分方程的稳定性理论等，就可以通过选修或者其它形式进行授课，这样既满足了学生的需要，也节省了课时数。

另外，可以根据教师对微分方程课题的研究，以及科研工作的研究，适当增添一些前沿的知识以满足学生对知识发展的需求。

1.2注重数学思想文化培养

[2]为了符合信息时展的需求，对于微分方程而言，要重视与实际应用的结合，才能更好地培养应用型人才。因此除了对原有教材内容的整合，更要与时俱进，联系实际，将一些动力系统或者数学建模中的应用实例多多地引入到微分方程中来，这样才能使得学生能够学以致用，将数学思想更好地应用到现实生活中。

此外，在常微分方程的各种类型方程内容上，要探索方程的起源，介绍与之相关的数学家，将数学思想和实际问题密切联系到一起，使学生感觉到数学切实来源于实践，最后真正应用于实践，而不是空中楼阁，使得学生对于学习数学的兴趣大大提升。

2教学模式的改革

2.1融入微课形式

近年来，随着微课实践相关研究的不断深化，微课从最初定义的“一种针对某个教学环节和知识点的新型教学资源”，到2013年微课大赛中教育部全国高校教师网络培训中心定义的“以视频为主要载体记录教师围绕某个知识点或教学环节开展的简短、完整的教学活动”，到最近更新的微课定义“一种针对某个教学环节或知识点的情景化、支持多种学习方式的新型在线网络视频课程”，我们可以清楚地看出微课内涵正沿着“微型资源构成—微型教学活动—微型网络课程”的轨迹发展变化。高校微课的建设同样也正遵循这一轨迹，按照微课的专题化、课程化发展趋势，秉承资源开放共享的理念，积极探索，大胆创新。

如果将微课的授课模式融入到常微分方程的教学中，将起到事半功倍的作用。因此我们根据常微分方程课程本身的特点及课时有限，选取一部分内容以微课的形式来授课，能更好地有利于学生们的学习和发展。

例如，在讲授微分方程解的存在性理论，稳定性理论时，由于内容较难，对于高师数学专业的一般学生来说，需求并不大，对后继课程的影响也不多，因此采取略讲介绍的方式。但是考虑到有些学生将来要考研究生，可能对这部分知识的需求较其他学生高，那么把这部分知识分成多个知识点，录制成微课，对学生来说更加便于自学，同时也可以反复学习，更加有效地利用了课余时间。这样既节省了课时，也满足了学生们的需要。

再如，一些常微分方程的课后习题很多，不可能在课上全部讲解，那么有些难题及证明问题，也可以录制成微课，给学生观看借鉴。这样学生随时随地遇到不会的问题就可以直接到微课视频中查看讲解，给了学生更多的学习机会。

2.2加强职业技能

根据高师数学专业的特点，将来学生们要走上课堂，那么除了在职业技能课上来锻炼职业技能外，还可以在专业课中抽出部分章节给学生机会来锻炼。常微分方程课程本身的难度不是很大，而且多以计算为主，正是由于这个特点，我们可以适当选取一部分知识点，给学生机会进行课堂训练，以提高学生的职业技能素质，为将来走上教师的工作岗位奠定基础。

例如，常微分方程中的变量分离方程，内容相对简单，所需要的前期准备工作并不多，那么就可以在课前提前布置任务给学生，课上选择同学来讲授，将过后，再由老师点评补充，这样能够极大地调动学生学习的积极性，也能使所学知识更加牢固，更能提高师范生的职业技能。

2.3充分利用网络

随着网络技术的飞速发展，学生与老师之间的问答也可以不在课堂或者教室中实现。我们可以充分利用网络平台，实现师生随时互动，有问题及时沟通解决。为此，建立常微分方程网络互动平台，与学生定好辅导时间，有问题可以通过发送图片，录制语音等，随时解决。这样对于那些平时不愿意问老师问题的学生，在有问题时可以不用面对老师，利用网络来解决，起到提高学生学习成绩的目的。同时实现了学习效果的及时反馈，让老师对学生的学习更加了解，对教师的教学工作起到了积极的作用。

3结语

随着信息时代与微时代的到来，高校教师应该与时俱进，用科学发展的眼光对教学内容及教学模式进行革新。这样，才能不断提高学生学习常微分方程的兴趣、自主性和效率，才能更好地培养学生的创新意识，增强高师学生的职业技能素质，从而实现“应用型”人才的培养目标。

参考文献

［1］王高雄,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.

［2］胡铁生,周晓清.高校微课建设的现状分析与发展对策研究[J].现代教育技术,2014,24(2):5-13.

［3］储亚伟,朱茱.高师本科常微分方程教学改革的探究阜[J].阳师范学院学报:自然科学版,2008,25(3):70-73.

［4］杨晨.常微分方程教学改革探讨[J].长春师范大学学报:自然科学版,2014,33(3):167-169.

［5］赵才地,王玮明,应裕林,等.《常微分方程》课程教学改革研究与实践[J].鄂州大学学报,2014,21(9):97-99.

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关键词：水电站水轮机调节系统新型FNNS模糊控制MATLAB软件

1水轮机调节系统动态过程简介

水电站水轮机调节系统是一个复杂的自动控制系统，其动态过程可分为小波动和大波动两类。小波动是指水轮机调节系统受到微小的干扰（负荷或指令信号扰动），系统中各参数的变化都较小，可认为是在所讨论工况点附近作微小变化，则可将调节系统各环节加以线性化，既用线性微分方程式来描述各环节及整个系统的动态特性；而大波动是指水轮机调节系统受到幅度较大的干扰（负荷变化），系统参数的变化剧烈，整个系统已超出了线性范围，因此不能作线性处理，即系统不能按线性系统对待。小波动主要影响的是水轮机调节系统工作的稳定性，即所生产的电能的质量；而大波动不仅影响所生产的电能的质量，而且在负荷突然变化（特别是甩负荷）时影响到水压、转速等各种参数的变化情况。因为水轮机调节系统工作性能的优劣直接关系到水电站和机组运行的安全以及所生产电能的质量，因此，对水轮机调节系统的大、小波动动态过程分析具有重要意义。

2水轮机调节系统分析发展概况

现今水轮机调节系统分析所用方法很多，现在简要介绍如下。

2．1传统方法

小波动稳定性分析一般采用传递函数的数学模型，过水系统按弹性水机考虑，过水系统的数学模型的传递函数中含有双曲函数，为此特根据双曲函数性质将过水系统的传递函数近似表达为若干个一阶微分方程式。因而调速器、水轮发电机组等数学模型也用一阶微分方程式表达。则整个系统小波动的数学模型都采用一阶微分方程组的形式来表达。然后用状态方程来表示，即：

X＆＝Ax＋BU

式中X＆——状态向量；

U——输入向量；

A、B——系数矩阵。

可用求解一阶微分方程组的常用方法：即四阶龙格—库塔法进行仿真计算［1］。

大波动过渡过程一般利用差分方程进行仿真［1］，采用特征线解法原理，将水机的基本方程式：运动方程和连续方程，转变为特征方程组，然后再求解。

2．2新型FNNS控制策略

新型FNNS控制策略是模糊神经网络系统与变参数控制相结合的智能控制系统，该系统能适应水轮机调节系统结构、参数变化较大情况下的控制要求。

廖忠［2］针对水轮机调节系统非线性、结构参数变化范围较大等特点，进行了仿真研究，他指出水轮机调节系统是一个典型的高阶、时变、非最小相位系统，而且又是一个参数随工况点改变而变化的非线性系统，在系统动态及暂态过程中，采用以PID控制为基础的线性控制方法较难满足这一特性复杂的对象的控制要求，在控制效果及控制器调整方面尚不尽人意。随着智能控制理论的发展，人们将神经网络与模糊控制相结合研究，提出了基于神经网络的模糊控制器，并且根据水电机组的特点，将其应用于水轮机调节系统，取得较好效果。新型FNNS控制策略是变参数控制的思想与FNNS二者结合的体现，采用多个FNNS作为控制器，通过辩识当前运行工况，然后基于某种法则选择最适合的FNNS作为当前控制器。变参数控制的思想，所采用的方法主要是基于运行区域的划分及插值运算。变参数控制的思想与传统的PID等控制规律的结合，的确使之具有了适应被控对象参数变化的能力，提高了控制效果，只要能确保所有的FNNS覆盖整个状态空间，那么可以不用在线学习，而只是在不同FNNS中切换就能得到整个工况范围内满意的调节性能，从而保证了控制的实时性。

2．3基于SIMULINK的水轮机调节系统仿真