二次根式有理化的方法范文

导语：如何才能写好一篇二次根式有理化的方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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是商的二次根式的性质及利用性质进行二次根式的化简与运算,利用分母有理化化简.商的算术平方根的性质是本节的主线，学生掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键，从化简与运算由引出初中重要的内容之一分母有理化，分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的掌握.

教学难点是二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.二次根式的除法与乘法既有联系又有区别，强调根式除法结果的一般形式，避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大，要让学生首先理解分母有理化的意义及计算结果形式.

教法建议：

1.本节内容是在有积的二次根式性质的基础后学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质.教师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.

2.本节内容可以分为三课时，第一课时讨论商的算术平方根的性质，并运用这一性质化简较简单的二次根式(被开方数的分母可以开得尽方的二次根式);第二课时讨论二次根式的除法法则，并运用这一法则进行简单的二次根式的除法运算以及二次根式的乘除混合运算，这一课时运算结果不包括根号出现内出现分式或分数的情况;第三课时讨论分母有理化的概念及方法，并进行二次根式的乘除法运算，把运算结果分母有理化.这样安排使内容由浅入深，各部分相互联系，因此及彼，层层展开.

3.引导学生思考“想一想”中的内容，培养学生思维的深刻性，教师组织学生思考、讨论过程中，鼓励中国学习联盟胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维.

教学设计示例

一、教学目标

1.掌握商的算术平方根的性质，能利用性质进行二次根式的化简与运算;

2.会进行简单的二次根式的除法运算;

3.使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题;

4.培养学生利用二次根式的除法公式进行化简与计算的能力;

5.通过二次根式公式的引入过程，渗透从特殊到一般的归纳方法，提高学生的归纳总结能力;

6.通过分母有理化的教学，渗透数学的简洁性.

二、教学重点和难点

1.重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算，还要使学生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法进行.

2.难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.

三、教学方法

从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，在学习了二次根式乘法的基础上本小节

内容可引导学生自学，进行总结对比.

四、教学手段

利用投影仪.

五、教学过程

(一)引入新课

学生回忆及得算数平方根和性质：(a≥0，b≥0)是用什么样的方法引出的?(上述积的算术平方根的性质是由具体例子引出的.)

学生观察下面的例子，并计算：

由学生总结上面两个式的关系得：

类似地，每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：

(二)新课

商的算术平方根.

一般地，有(a≥0，b>0)

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

让学生讨论这个式子成立的条件是什么?a≥0，b>0，对于为什么b>0，要使学生通过讨论明确，因为b=0时分母为0，没有意义.

引导学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算.

例1化简：

(1);(2);(3);

解∶(1)

(2)

(3)

说明：如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数;本节根号下的字母均为正数.

例2化简：

(1);(2);

解：(1)

(2)

让学生观察例题中分母的特点，然后提出，的问题怎样解决?

再总结：这一小节开始讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中分母可以完全开的尽方的情况，的问题，我们将在今后的学习中解决.

学生讨论本节课所学内容，并进行小结.

(三)小结

1.商的算术平方根的性质.(注意公式成立的条件)

2.会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简.

(四)练习

1.化简：

(1);(2);(3).

2.化简：

(1);(2);(3)

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【关键词】 教学；经验；体会

《实数》一章，是在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围。由于实数涉及的理论较深，数的概念又比较抽象，这些概念看似简单，学生要真正掌握还是有点困难。 因此，教学经验丰富的老教师常说初中数学的“3个2”，其中之一就是《实数》这一章“平方根”和“二次根式”。可见，《实数》这一章在初中数学中有着举足轻重的位置。对于我们初中的数学教师来说，上好本章的重要性是不言而喻的。在《实数》这一章对概念的处理上，重点抓住主要概念，注重概念的形成过程，让学生在具体的活动中获得认识，增强理解；对内容的安排上，联系实际情境，导入新知识，注意前后知识间的对比，同时让学生在运用中促进对知识的理解和掌握。例如：在第一教时里先通过具体的活动求面积为2的正方形的边长，提出问题：它可能是整数吗？它可能是分数吗？让学生亲身经历这些活动，在讨论中引起认知冲突，感知生活中确实存在不同与有理数的数，产生探求的欲望：它不是有理数，那它是什么数？再让学生进一步借助计算器充分探索，得出它是一个无限不循环小数，从而给出无理数的概念。这与历史上无理数的产生和发展过程是一致的，符合人的认识规律，同时让学生体会到抽象的数学概念在现实世界中有其实际背景。

无理数有很多，开方开不尽的数是其中的一种，也是我们计算中经常接触到的。在课堂教学时应选取一些生动的素材，引入平方根和立方根的概念和开方运算。由于在实际情境中的开平方运算结果取的都是算术平方根，而且正数有两个平方根与学生长期的经验不符，学生不易接受，因此教科书先引入算术平方根的概念，然后再引入一般的平方根的概念。

为了让学生能很好地理解和掌握《实数》这一章的知识，强化部分知识点的教学。在教授《实数》这一章时，应注重以下几个方面的教学：

一、“最简二次根式”和“分母有理化”是二次根式运算的一个基础

新教材淡化了此教学内容。在教学二次根式的化简时要进行适当的补充，不要让学生死记硬背概念，只要学生能理解会用就行。这样，学生在遇到二次根式计算时，做到什么地方结束，心中便有了底。

二、对于二次根式的计算，要进行必要的补充练习，适当增加二次根式计算的教学课时

二次根式的运算是本章的重点，新教材上安排了2课时的教学时间，且练习题量小，这样学生对二次根式的运算的熟练程度和正确率明显降低。因此，在教学时要增加习题量，注重题型的变化、注重整式乘法法则与乘法公式结合的题目，注重对积、商的算术平方根性质（包括逆用）的练习，并帮助学生不断地进行归纳整理。如化简：12×3-5，课本上是这样做的：12×3-5＝12×3-5＝36-5＝6-5＝1，在上完二次根式化简后，要及时补充上另一种方法：12×3-5＝23×3-5＝6-5＝1。这样，有利于学生能更好地理解二次根式化简。

三、对平方根、立方根知识体系的理解与掌握是核心

对算术平方根、平方根、立方根，以及平方根的性质、立方根的性质要求学生在理解的基础上识记。对概念的掌握做到 “四会”：会叙述、会判断、会举例、会应用。以叙述（背颂）为基础，会判断、会举例为检测标准，会应用为最终目的。注重每个概念的形成过程的教学。如算术平方根与平方根的区别学生很难把握，很容易出错。要求学生首先弄准题意到底是在求平方根或算术平方根。如，已知2=9，求，这里是求平方根；9＝？这里是求算术平方根。

四、分两个层次来突破无理数概念这个难点

无理数概念的教学历来是一个难点，为了加深对无理数意义的理解，分两个层次来突破这个难点：其一突出对无理数产生背景的教学，让学生经历无理数产生的过程，感知无理数的存在，使学生产生探究的欲望。其二逐步加深对无理数的理解，多举无理数的实例。如：在数轴上找无理数点，强调实数与数轴上的点一一对应的关系。可告知数轴上的无理数的点多得很，几乎处处都是无理数。明确告诉学生无限不循环小数、开方开不尽的数都是无理数。自编无理数，0.1010010001――等让学生加强对无理数的理解。

五、注意易错知识的教学

譬如，学生经常出现的错误：X2=7，则X=7；36 =±6；（-2）2=2；364=8；364=±4等等。教学时细致为学生分析错误原因，加强练习，并反复为学生讲解，直到学生弄懂为止。

六、注意估算方法的教学，使学生掌握估算的方法，发展学生的合情推理能力

在实际生活和生产实际中，对于无理数我们常常通过估算来求它的近似值。要多安排一节内容：例如公园有多宽，介绍估算的方法，包括通过估算比较大小，检验结果的合理性等等，其目的是发展学生的数感。

七、注重概念教学

概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的。概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很必要的。例如：无理数的引入，先让学生亲身经历活动，感受引入的必要性，初步认识无理数是无限不循环小数这一意义。在教学时，鼓励学生动手、动脑、动口，与同伴进行合作，并充分地开展交流。再如，平方根的概念，对正数有两个平方根学生不太容易接受，往往丢掉负的平方根，因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符。对此，在平方根的引入时，多提一些具体的问题，例如：16的算术平方根是4，也就是说，4的平方是16。还有其他的数，它的平方也是16吗？等等，旨在引起学生的思考，特别是负数的情况，让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念。接着让学生去讨论：一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？引导学生更深刻地理解平方根的概念，然后再通过具体的求平方根的练习，巩固新学的概念。

八、类比法是也是是本章的重要方法之一

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和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明

数学关系，形成良好的思维品质。

【关键词】思维培养

在数学课堂教学中应当如何贯彻教学大纲的思想，更加有效地培养学生的数学思维能力呢？笔者从以下

几个方面来谈谈一些的看法。

一、 创设问题情境，激发积极思维

加强教师与学生的感情交流，是促进认知发展的动力。为了营造良好的氛围，教师应紧密联系教学实际

，深入钻研教材，从教材中挖掘出有一定思考价值的知识内容，将其设计转化为问题，激发学生的主动

精神，保持迫切解决问题，表现自我的心理欲望。设计问题的方式有：1、引而不发式：由教师设计和引

发思维过程，学生实现和展开思维活动，由于学生亲自参与和经历了数学思维活动全过程，使学生逐渐

体会数学思维的特点，了解数学的策略方式和方法，掌握和实践数学思维的操作技能，培养了学生的创

造性。如：对开二次根式ɑ2 ＝ ｜ɑ｜学生总是难于掌握，开始推出： ɑ2 ＝a， (－ɑ)2 ＝－a,再让学

生展开讨论，最终由实数算术根的意义得以理解，概括出 ɑ2 ＝ ｜ɑ｜的公式。2、定势打破式：对不同

问题提供同一思路来解决方法，提供特殊的变异，需要新的思路才能解决，迫使学生进入积极思维状态

。例如：学了根式的分母有理化后，设计了这样的一个问题，比较 7 －6 ， 8 －7 的大小，学生采用

常规的求差法对这个问题难以解决，由根式联想到分母有理化知识，采用分母有理化的技巧，问题立即

得到解决。3、似是而非式：提出一些模棱两可，似是而非的问题时，让学生捉摸不透，无所适从进入思

维状态。例如：学了无理数的概念后，设计了这样的一组判断题：（1）无理数是开不尽方的数。（2）

有的无限小数是有理数。（3）无限小数是无理数。（4）带根号的数是无理数。学生通过对这些问题的

思考，不仅巩固了有关概念，还激发了学生的积极思维。

二 、注重集中思维，加强发散思维能力的培养

集中思维是指从同一来源材料探求一个正确答案的思维过程，思维方向集中于同一方向，即从同一方

面进行思考。在当前，不管从教材，还是教师，都非常注重集中思维能力的培养，相对忽视了学生发散

思维能力的培养。因此要加强学生发散思维能力的培养。 发散思维能力的培养，可从以下几个方面：

1.对问题的条件进行发散。

对问题的条件进行发散是指问题的结论确定以后，尽可能变化已知条件，进而从不同的角度，用不同的

知识来解决问题。这样，一方面可以充分揭示数学问题的层次，另一方面又可以充分暴露学生自身的思

维层次，使学生从中吸取数学知识的营养。例如，ABC为直角三角形，∠ACB=90 0,CD AB于D,如图，

试给出适当的条件，可以确定AC的长。 已知条件的给法有多种，现仅考虑每次给出两边的情况，一般有

如下十种：（1）AD、CD; (2)AB、BC; (3)AD、AB;

(4)AD、BD; (5)AB、BD; (6)CD、DB; (7)BD、BC;

(8)BC、CD; (9)AD、BC; (10)AB、CD。这样做，

学生认为是自己出题自己解答，有一种轻松感。

即使基础较差的学生，也觉得可以试一试。

2.对问题的结论进行发散。

与已知条件的发散相反，结论的发散是确定了已知条件后，没有固定的结论，让学生自己尽可能多地确

定未知元素，并去求解这些未知元素，这个过程是充分揭示思维的广度和深度的过过程。如：已知☉O内

切于四边形ABCD,AB=AD,连结AC、BD。不再标注其它字母和添加任何线段，由这些条件可推出哪些结论？

这里我们给出几个结论：

（1）A、O、C三点共线；（2） ∠ABC=∠ ADC (3)AC平分 ∠A；（4）BC=CD；

（5）AC垂直BD；

（6）SABCD = (1/2)AC.BD

3.对图形进行发散。

图形的发散是指图形中某些元素的位置不断变化，从而产生一系列新的图形。了解几何图形的演变过程

，不仅可以举一反三，触类旁通，还可以通过演变过程了解它们之间的区别和联系，找出特殊与一般这

间的关系。例如：（1）如图，PA切☉O于A点，PA=PB,BCD为☉O割线，DP交☉O于E点，BE的延长交☉O于F

点，连结CF,求证：CF//BP。（2）若点B在圆内，CBD为弦，其他条件不变，原结论是否成立？证明你的

结论。

4．对解法进行发散。

解法的发散即一题多解。例如：已知：a，b，c为 ABC的三边，D在线段AB上且BC=DC，设AD=d，求证：

c+d=2bcosA，cd=b2－a2 。

证法一：根据题目中含有"cosA"可以联想到利用余弦定理来证。

证法二：根据题中含有："c+d"和"cd"，可以联想到

利用一元二次方程的根与系数的关系来证。

证法三：根据题中含有"bcosA",可以联想到利用以b为斜边、 A为锐角的直角三角形来求证。 除了以上

三种方法外，还可以用其它方法来证明。

因此，教师在课堂上有意识、有目的地培养学生的集中思维和发散思维能力，对提高学生分析问题和

解决问题的能力，提高学生学习数学的兴趣是十分有益的。

三．注重思维品质的培养。

思维品质包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和独造性，它们反映了思维的不同方面的特征，

因此在教学过程中应该有不同的培养手段。数学思维的深刻性就是分清实质的能力，数学思维的敏捷性

，主要反映了正确前提下的速度问题，数学思维的灵活性是指思维活动的灵活程度，数学思维的批判性

是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的智力品质，思维的独创性是指思维活动的创造性精神，是在新颖地解决问

题中表现出来的智力品质。平时在课堂教学中要注重思维品质的培养，选择恰当的题目，分阶段有计划

的逐步进行。例如：证明恒等式 ɑ2(x－b)(x－c)(ɑ－b)(ɑ－c) ＋ b2(x－c)(x)－ɑ)(b－c)(b－ɑ)＋

c2(x－ɑ)(x－b)(c－ɑ)(c－b) ＝ x2。若有学生能用方程的观点和方法，这就说明他具有良好的数学思

维品质；设想这是关于x的方程，说明思维具有深刻性和广阔性；解法新颖独到，说明思维具有灵活性和

独创性；能迅速判断x=a、x=b、x=c为方程的解，说明思维具有敏捷性；论据和结果均正确，说明思维具

有批判性。

总之，学生思维能力的培养是一个长期而复杂的过程，不可能一蹴而就，它要求我们在课堂教学中要持

之以恒地认真钻研教材，合理创设问题情境、加强思维训练并积极探索规律，总结经验，改进教学方法

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    一、为什么要讨论衔接问题

    首先,课改以来的教材变化和课程标准的变化使初高中数学知识在具体内容上出现了较大的跨度。初中数学教学内容有较大程度的压缩,而高中数学在教材内容上有所增加,而且有些内容没有衔接,使得学生从初中到高中要跨越很高的台阶,增加了学习的难度。

    其次,初高中数学对数学思想方法的教学和要求也有很大的不同。初中涉及的思想方法较少而且要求不高,甚至没有明确地提出思想方法的概念,而高中涉及较多的思想方法,而且要求学生熟练地运用这些思想方法来解决问题。这也对学生提出了更高的要求,使许多学生不能很快适应。

    二、哪些具体内容需要衔接

    1.初中删去的,高中经常要运用的内容

    (1)立方和与立方差公式在初中课程中已删去,而在高中课程的运算中经常用到。

    (2)因式分解在初中课程中一般仅限于二次项系数为"1"的分解,对系数不为"1"的涉及不多;初中课程对高次多项式因式分解几乎不做要求,但高中课程中的许多化简求值都要用到这些因式分解。

    (3)二次根式部分对分母有理化在初中课程中不做要求,而分子、分母有理化是高中课程中函数、不等式部分常用的运算技巧。

    (4)几何部分很多概念(如重心、外心、内心等)和定理(如,平行线分线段比例定理、角平分线性质定理等)初中课程中大都已经删去,而高中课程中要经常涉及这些内容。

    2.初中要求低,而高中需要熟练运用的内容

    (1)初中课程对二次函数的要求较低,但二次函数却是高中课程中贯穿始终的重要的基础内容,而且对二次函数的图象和性质要进行深入的研究。

    (2)二次函数、一元二次不等式与一元二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不做要求,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。

    (3)含有参数的函数、方程、不等式,初中不做要求,只作定量研究,而高中课程中这些内容是必须掌握的重点内容。

    3.数学思想方法的衔接

    (1)初中对分类讨论思想、数形结合思想只是有一些渗透,而高中就要求学生理解并在解题中应用。

    (2)配方法、待定系数法、分离常数法、十字相乘法等运算方法和变形技巧,初中做要求,而高中数学中却要求学生熟练掌握。

    三、怎样做好衔接工作

    1.教学内容的衔接

    在高中阶段刚开始的数学教学中,适当放慢教学进度、降低课程难度。新授课的导入,尽量由初中的角度切入,注意新旧对比、前后联系,把高中教材研究的问题与初中教材研究的问题在文字表述、研究方法、思维特点等方面进行对比,使学生明确新旧知识之间的联系与差异,从而顺利地过渡到新知识的学习中。

    2.数学思想方法的衔接

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一、提高学生的运算技能——多练运算

对于学生计算能力差的班级数学老师通常会感到苦恼，怎样来提高学生的计算能力呢？笔者认为有以下几个原因：一是没有从计算中吸取和储备计算技巧；二是不善于结合自己的计算方法开动脑筋；三是计算练习次数太少。针对以上三个原因，笔者在具体的教学中做了这样的处理。

例如，在教授《二次根式》一章时，在课堂上讲析各类运算的法则（包括取值范围、运算依据、化简要求），然后出示对应的典型习题，鼓励学生进行运算训练，从而掌握同类二次根式、运算律的运用、公式的运用、分母有理化等需要实践应用才呈现并需要掌握的知识方法技能，让其获得过程体验，掌握基本技能。

二、构建学生的解题模型——多练例题

课堂教学中要能提高学生分析问题的能力，就必须进行有效的应用拓展训练。这不仅可以巩固已经学到的新知识，提高对新知识的认识，也可以将新知识与旧知识有机地结合在一起，从而给学生得到新知识运用的特有情境，显示了新知识在解决问题中的价值，同时也提高了学生学习新知识的兴趣。数学课本上的例题是综合了一个学段的重点知识和方法的典型题目，在课堂上既要考虑让学生对例题的解题方法进行挖掘，又要注意授学生以“渔”，使其获得学习能力和解决问题的能力。

例如，在讲解《一元二次方程与实际问题》时，教材提供了三种类型的实际问题并通过例题方式呈现，这三道例题虽然都很有实用性且课本分析科学合理、解答过程详细完整，但是不利于学生渗透和强化“方程建模”的思想方法。于是，笔者将三个例题安排给学生自主阅读学习，利用这三个例题让学生明白实际问题中如何取舍方程的根，而在课外资料上找了四类利于建模并易于学生模仿的题目作为例题。

三、培养学生的破题能力——多练方法

数学教育的核心是数学思维教育，而数学问题的解答则是形成学生的数学意识和培养学生的数学思维素质的主要途径。为此，我们的数学教育应从学生的实际出发，能够通过恒等或同解等方法将问题转化，从而使问题得到解决。

例如，在讲解《解一元二次方程》时，方法是很重要的，课堂上笔者通过渗透“降次转化”的思想方法，精讲配方法和因式分解法解一元二次方程的步骤和依据，然后由易到难的设计梯度练习，让学生在应用基本方法的过程中逐步理解数学思想方法，把握解题关键，总结方法技巧，从而推广延伸，得到公式法和十字相乘法分解因式的解方程方法。

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初、高中数学教学衔接问题存在的原因主要有以下四个方面：

1.初高中教材的差别显著。现行高中数学课本（必修本）与初中数学相比，初步分析有其以下显著特点：从直观到抽象，从单一到复杂，从浅显至严谨，从定量到定性。初中数学教材的文字叙述通俗易懂，语法结构简单，运用的数学知识基本上是四则运算，且其公式参量也较少。高中数学语言叙述较为严谨、简练，叙述方式较为抽象、概括，理论性较强，对学生的思维能力和方式的要求大大地提高和加宽了。再加之教材从数学的知识体系出发，将最难的部分“函数”放在高一阶段，也就必然会给学生的学习带来困难、造成障碍。

2.初高中数学知识存在“脱节”。（1）立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。（2）因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。（3）二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。（4）初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最值、研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。（5）二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。（6）图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上下、左右平移，两个函数关于原点、轴、直线的对称问题必须掌握。（7）含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视为重难点，方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。（8）几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理、射影定理、相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

3.升学考试要求不同下教法的变化。初中教师的教学主要依据初中学生特点及教材的内容，教学进度较慢，对重点内容及疑难问题都有较多时间反复强调、答疑解惑;而高中教师在处理高中教材时却没有充裕的时间去反复强调教材内容，对于习惯于初中教师教法的学生，进入高中后难以适应高中教师的教法。

4.学习方法的变化。在初中，考试时学生只要记准概念、公式及教师所讲例题类型，一般均可对号入座取得好成绩，不注重独立思考和对规律的归纳总结。到了高中，由于内容多时间少，教师不可能把知识应用形式和题型讲全讲细，只能选讲一些具有典型性的题目。因此，高中数学学习要求学生勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思想方法，做到举一反三、触类旁通。然而，刚入学的高一新生往往继续沿用初中学法，致使学习困难增多，完成当天作业都很困难，更别提预习、复习及总结等自我消化、自我调整的时间。这显然不利于良好学法的形成和学习质量的提高。

根据以上四方面的问题，为搞好初高中衔接，我认为应采取以下主要措施：

一、摸清底细，规划教学

为了搞好初高中衔接，教师首先要摸清学生的学习基础，然后以此来规划自己的教学和落实教学要求，以提高教学的针对性。在教学实际中，我们一方面通过进行摸底考试和对入学成绩的分析，了解学生的基础;另一方面，认真学习和比较初高中教学大纲和教材，以全面了解初高中数学知识体系，找出初高中知识的衔接点、区别点和需要铺路搭桥的知识点，以使备课和讲课更符合学生实际、更具有针对性。

二、优化课堂教学环节，搞好初高中衔接

要立足于大纲和教材，尊重学生实际，实行层次教学;重视新旧知识的联系与区别，建立知识网络;展示知识的形成过程和方法探索过程，培养学生的创造能力;培养学生自我反思、自我总结的良好习惯，提高学习的自觉性;重视专题教学，利用专题教学，集中精力攻克难点，强化重点和弥补弱点，系统归纳总结某一类问题的前后知识、应用形式、解决方法和解题规律，并借此机会对学生进行学法的指点，有意渗透数学思想方法。

三、加强学法指导，培养良好的学习习惯

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关键词：高中数学；初中数学；断层现象；原因分析

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）10-240-01

自从高中使用北师大版的新课程标准实验教科书以后，自己在高中的数学教学中总感觉有一种断层现象，今年专门研究了一下初中数学教与学的过程，发现确实存在着很多断层现象。许多初中学校、高中学校是完全独立的，因此高中老师不了解初中的程课设置和教学特点，对初中新课程改革中，新课标对教学及学生要求的一系列的变化更是不了解，初中老师也不了解高中的课程设置和教学特点。然而在实际教学过程中我们发现学生进入高中阶段后遇到了很多不适应的情况，初高中的教学确实存在着断层现象，下面从知识、能力两方面浅谈一下断层现象及原因。

一、初高中知识、能力方面的断层现象

1、知识方面的断层

（1）在平面几何结论（三角形的内心、外心、重心、垂心概念，内角平分线定理、重心定理、圆幂定理等）上不衔接；（2）用十字相乘求一元二次方程的根不衔接；立方和（差）公式不衔接；（3）二元二次方程组（含一个二元一次方程）不衔接；（4）一元二次不等式求解不衔接；（5）三元一次方程组求解不衔接。

2、能力方面的断层

（1）学生对变量的理解与认识不够；（2）学生的空间想象力不够；（3）学生在书写规范性和准确简明表达解题过程方面不足；（4）学生的多项式计算化简能力不强；（5）学生对分式的计算与化简能力不强。

二、初高中知识、能力方面的断层现象的分析

1、知识分析：代数，几何，概率统计三方面完全删除或降低要求的部分；新增或提高要求的部分

删减或降低部分代数方面1、立方和(差)公式删除；2、因式分解：总体要求大大降低；3、二次根式删除同类二次根式的概念，降低分母有理化要求；4、删除三元一次方程组、二元二次方程组；删除韦达定理，一元二次不等式、分式方程，没有要求可化为一元二次方程的分式方程；5、函数；6、三角函数。这些知识都是进入高中之后的基础和重点，立方差公式、因式分解、方程组都是在高中解题化简中常用的方法，韦达定理就更不用说了，高考中的有关圆锥曲线知识的解题中，80%要用到韦达定理，而这个知识点只能在高中解题的时候重新讲解；不等式，分式方程的解法在高中也是一个重点，这些知识在初中阶段的要求降低，学生进入高中之后的运算能力就显得非常弱。

几何方面1、三角形“四心”中的重心、垂心只做过介绍；大边、大角关系没有要求；2、完全删除平行线分线段成比例定理及逆定理；三角形角平分线定理；比例性质，射影定理没有明确要求；相似三角形的推理证明要求下降；3、圆的相关要求大大降低。

新增或提高部分。

代数方面1、用函数观点统一方程(组)、不等式(组)：非常明确的提出，并作了详细的介绍；突出了函数思想的重要性；2、利用图像法求解方程(组)、不等式(组)：作了介绍，并在一些综合题中有所体现；加强了数形结合的思想；3、用方程(组)、不等式(组)以及函数解决实际问题：要求大大提高，在每部分都进行了较为系统的训练，但不同学生的差异较大、更注重数学应用意识。

这些我个人认为处理的非常好，函数思想，是贯穿初中数学、高中数学、大学数学的一个主线，用函数的观点研究方程（组）、不等式（组），以及高中知识里面的数列等，典型突出了函数思想的重要性。

几何方面（几何方面新增内容为后续高中学习立体几何，三视图等知识打下了很好的基础）

（1）简单多边形的重心；2、视图与投影；3、几何变换，这些内容的新增，为将来学生在高中阶段对立体几何、三视图的学习打下了很好的基础，所以高中学生学习三视图的内容就相对简单。

概率统计(为高中学习概率统计打下基础)

（2）统计观念的培养；2、掌握常用统计图表的绘制，理解其意义；3、理解常用统计量的意义，会计算；4、概率：从初中教材中，学生了解了概率的意义，学生对“频率稳定于概率”有了初步的理解；5、会用列举法求解简单的古典概型问题。这些内容在高中知识里面也是非常重要的，可见初中新增内容与高中教材新增内容在体系上保持了一致性，起到了很好的铺垫作用。

2、数学学习心理上、习惯上的断层分析

篇8

1、运用类比思想挖掘初中数学教材，提高学生学习数学的自主性

类比是根据两个或两类事物的一些相同或相似的属性猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。类比是提出问题，做出新发现的主要源泉，是科学研究最普遍的方法。

例如：在学生学完乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2后，可让学生自行类比探索如何展开(a＋b)3与(a＋b＋c)2。这并不困难，其用意是教会学生触类旁通、举一反三。

我们更可从类比的种类与形式上着手，挖掘初中数学教材中可以进行类比思维训练的内容。类比可以由性质、公式、法则的相似进行类比或推广，可以由“数”或“形”的结构形式的相似类比，可以由解决问题的相似进行类比，还可以进行由有限到无限的类比，由低维到高维的类比，等等。

从具体内容上看，可以进行类比思维训练的内容，在初中数学教材占有较大的比例。如类比于同底幂乘法法则推导的方法研究幂的乘方法则、同底幂的除法法则；类比于整数的因数分解研究多项式的因式分解；类比于二元一次方程组的解法研究三元一次方程组的解法；类比于分数的概念、性质、运算研究分式的概念、性质、运算；类比于合并同类项法则研究二次根式的加减法；类比于三角形的面积公式研究扇形面积公式；类比于直线与圆的位置关系研究圆与圆的位置关系，等等。

2、挖掘初中数学教材，加强学生归纳思维能力的训练

归纳是对某一事物若干个体进行研究，发现它们之间的共性，然后由此猜想这类事物的总体也具有这种性质的思维方法。

例如，七年级上册习题：由一些点组成三角形的图形，每条边(包括两个顶点)有n(n＞1)个点，每个图形总的点数S是多少?当n＝5，n＝7，n＝11时，S是多少?

又如在求多边形的内角和的推导过程中，从三角形的内角和开始，推广到四边形、五边形……，直至n边形的内角和的推出。

通过这些有趣、能引起学生思考的题目，向学生逐渐渗透由特殊向一般转化的归纳思维方法。

初中数学教材中可进行归纳思维能力训练的内容还有不少。初中代数有关运算法则的引出几乎全部使用的都是一般归纳法。从主观上而言，初中学生还没有进入使用逻辑思维的阶段，这些法则不可能给出严格的逻辑证明。从客观上看，这正是训练学生归纳思维能力的最佳时机。如有理数的加减乘除运算法则，有理数运算的交换律、结合律、分配律、添(去)括号的法则，同底数幂的运算法则，整式乘除法的有关法则，不等式的基本性质。对一元二次方程根与系数的研究，可用归纳法进行探索发现；对函数图像与性质的研究，是从个别具体函数的图像与性质出发的，使用的也是一般的归纳法。如初中的正、反比例函数、二次函数。在平面几何中，由三角形的内角和、四边形的内角和研究n边形的内角和可以使用归纳法。在圆这一章，对圆周角定理、弦切角定理的证明使用的是完全归纳法。除此之外，在教学过程中我们还经常对解题思路、解题方法或解题步骤及知识结构进行总结与归纳。这些都是总结、归纳思维能力训练的体现，应尽可能让学生自己来完成。

3、运用猜想推理，让学生在质疑、释疑的过程中获取知识

以某些已知的事实和一定的经验为依据，对数学问题做出推测性的判断，就是猜想。

教师在处理教材时，注意引导学生“在没有定理之前”的猜想。并引导学生思考定理、公式或例题所省略了的探索过程，要求学生对问题的处理应当是先“猜”后“证”。提倡猜想与推测，鼓励创造性思维。在猜想过程中，教师注意应用多种教学工具：如“几何画板”、“TI计算器”等，启发、引导学生思考及猜想，从而得出正确结论。

例如：在进行“直角三角形的性质”一节的教学时，对“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理，即可利用几何画板软件设计引入，引导学生猜想，并最后证明自己的猜想。

4、运用化归转化方法，帮助学生加强知识之间的联系

化归是指由未知到己知，由难到易，由复杂到简单的转化。

例如：在“梯形中位线定理”的教学时，小结后指出：在处理梯形问题时，我们常把梯形的问题化为熟悉的三角形问题来研究，并提供各种转化的类型供学生练习。

在初中数学教材中可进行化归转化训练的内容几乎无处不在。例如在运算中，减法向加法的转化，除法向乘法的转化；解方程中，高次化低次、多元化一元，无理化有理；在对几何图形性质、面积、体积的研究过程中，复杂图形向简单图形、基本图形的转化。

5、加强知识与生活的联系，激发学生的数学热情

篇9

代数比算术高明，高明在一个“代”字上. 用字母来代替数，会使我们大开眼界.

用字母表示未知数，我们就有了解应用题的有力武器——方程.

用字母表示任意数，我们就有了各种各样的公式、恒等式、不等式.

在解题的时候，如果你对“代”字深有体会，适当“代”一下，往往可以收到意想不到的效果.

有这样一道题：

例1 已知方程ax2+bx+c=0（a，c≠0）的两根为x1，x2，试写出以，为两根的一元二次方程.

这道题有多种解法. 有的同学老老实实用公式求出x1，x2，再算出，，并利用x-x-展开找到所要的方程. 有的同学不用解方程的方法，而用韦达定理求出：

+==-÷=-；

·==.

然后用根与系数的关系写出要求的方程为：

x2+x+=0.

有的同学更妙，用“代”的方法. 设所要求的方程中的未知数为y，则y与原方程中的x互为倒数，即x=. 把它代入原方程，得到

a2+b+c=0.

去分母得到cy2+by+a=0.

这就是y应当满足的二次方程！（注意，因为a，c≠0，故x，y都不会是0）

用“代”的方法，我们还能解决不少类似的题目. 比如要求一个一元二次方程，使它的根是方程x2+3x-2=0的根的3倍，怎么办？好办，设y=3x，则x=. 代进去一整理，便得到+y-2=0，也就是y2+9y-18=0. 这就是所要求的方程.

要求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2+px+q=0两根的平方，怎么办呢？只要设y=x2，则x=±，同样可以代进去. 但是，这样要用到根式，麻烦！可以变通一下，把原方程移项变成x2+q=-px，两边平方得

（x2）2+2qx2+q2=p2x2，

再用x2=y代进去，得到方程y2+（2q-p2）y+q2=0.

要是所求方程的两根分别是方程x2+px+q=0两根的立方，又该怎么办呢？

第一步：由原方程得x2=-px-q，？摇①

两端乘x，得到x3=-px2-qx.②

第二步：把①式代入②式右边的第一项里面，得到

x3=-p（-px-q）-qx=（p2-q）x+pq，

也就是y=（p2-q）x+pq，故x=. 将其代到原方程里面，就得到y应当满足的方程. 要留心的是，用p2-q做分母是不是合理，p2-q什么时候为0.

代，对解方程也有帮助. 一位学物理的大学生，碰到一个方程可以化成四次方程，但是很麻烦，可把他给难住了. 我们来看看这个方程.

例2 证明方程+=的根在任何条件下全是实的.

要是直接进行有理化，就成了一个四次方程. 如果仔细观察一下，把分母的样子变得对称一些，会给解题带来方便.

设x=y+，代入原方程就是+=，这样的方程去分母后变成了2y2+=·y2-2.

这是一个特殊形式的四次方程，用代换y2=z可以化成二次方程. 下一步怎么做，你一定会了. 最后的解答是Δ≥0，也就是说，在任何条件下方程的根都是实的.

像这样用代换使式子出现对称形的方法，用处可不小. 例如，要证明当0≤x≤1时，有不等式x（1-x）≤，就可以设x=+y，因为0≤x≤1，所以-≤y≤. 把x=+y代入x（1-x），得到x（1-x）=+y-y=-y2≤，这样便一下子就出来了.

用“代”的方法还可以从一个平平常常的事实出发，推出一些有用的、不那么明显的式子. 例如，若A是实数，总有A2≥0，用A=x-y代入，得到（x-y）2≥0，展开之后便是x2-2xy+y2≥0，也就是x2+y2≥2xy. 当xy>0时，把xy除过去便是+≥2. 这就不很明显了. 如果在不等式x2+y2≥2xy（xy>0）中，用x2=a，y2=b代入，便得≥，这就是用处很多的“平均不等式”！

刚才说的都是用字母代替字母，有时在一个公式里面用数字代替字母也有用处. 一位同学在分解因式时，把公式x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）错记成x3+y3=（x+y）（x2+xy-y2）. 他觉得不对，但是又不能肯定，便设x=0，y=1，代进去试后发现左边是1，右边是-1，于是立马肯定是错了.

但是要注意，这样验证公式，如果两端相等，并不能断定公式没记错. 比如，如果他设x=1，y=0代进去，那么两边都是1，也就发现不了错误了. 比较可靠的方法是，用字母代替记不准的地方，比方写成：

x3+y3=（x+y）（x2+axy+by2），将x=0，y=1代入，可求得b=1. 又将x=1，y=1代入，得2=2×（1+a+1），所以a=-1. 这样就把公式找回来了.

这个办法对记公式、恒等式很有用.

总之，“代”的方法用处很广. 它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用. 在学代数、解代数题时，同学们不要忘了在“代”字上多做文章.

实战演练

1. （1）已知x2+bx+c=0的两根分别为-1和3，那么b，c的值分别为多少？b，c与根的关系是什么（假设x1=-1，x2=3，用含x1，x2的式子表示）？

（2）已知x2+bx+c=0的两根分别为x1，x2，那么以（x1-x2）2和（x1+x2）2为两根的一元二次方程是什么？

2 . 已知ax2+bx+c=0（a，c≠0）的两根分别为x1，x2，那么以和为两根的一元二次方程是什么？以5x1和5x2为两根的一元二次方程呢？

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总复习不是知识的再现，而是通过总复习搞清楚知识的疑难点、混淆点的区别以及知识的内在联系，从而引出知识的延伸、深化，达到彻底理解和掌握所学的知识，进一步提高解答数学问题的能力，从而有助于学生在中考中发挥出最好的水平，考出最好的成绩。那么怎样才能抓好初中数学总复习呢？笔者认为制定好切实可行的总复习计划是抓好初中数学总复习的基础和前提，这一点必须引起教师的高度重视。

在制定总复习计划时，教师要认真研读中考说明，弄清哪些知识是必考知识点、哪些是考试重点、哪些是考试的难点、哪些知识是以选择题的方式出现、哪些知识是以填空题的方式出现、哪些知识是以证明题的方式出现、哪些知识是以计算题的方式出现以及哪些知识在中考中不涉及等方面的情况，以有利于在制定总复习计划时更有针对性，也便于在复习过程中的侧重和方向。接着，教师要认真阅读教材目录，并对照中考说明，把不考的章节、重点考的章节、难点章节一一做好标记，便于制定总复习计划时一一落实考纲要求。只有这样才能制定出高水平、高质量、有针对性和实用性的总复习计划。

教师应注意复习方法，订好复习计划，一般分为三个阶段：

第一阶段，立足课本，抓好“四基”（基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验）和“四个能力”（运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力及运用数学知识和方法、分析问题和解决问题的能力）。

第二阶段，专题复习。让学生在每一个专题知识中，弄通一类题型的解答，提高解题能力。在这个阶段，教师要把同类、同质的知识点聚集在一起，选择具有代表性的例题进行讲解，讲透每个知识点的基本含义、基本原理、出题的类型、深浅难度等方面的情况，便于学生准确有效地掌握该知识点。

第三阶段，综合训练。适当地进行套题练习，增强学生的应试能力。综合训练选择的试题深浅难度、题量大小、题型类别、分值分布等方面要和中考试题相匹配，以便提高学生练习的针对性和适用性。在学生每做完一套综合题后，要及时批改，以便及时掌控学生的复习效果。同时对学生的习题做到有针对性的讲解，凡是学生都懂的题不讲，少数人不懂的课后单独指导，普遍不懂的教师要重点讲。在讲完之后，可以建议学生把难理解或重要的习题摘抄到专用笔记本上，便于随时复习和巩固。

二 抓实抓好“四基”，巩固基础知识

复习中注意抓好基本概念的透彻理解，让学生弄通它的内涵外延。充分发挥学生主体作用，通过回顾、听讲、练习或讨论三步的复习课型的教学，真正落实复习是学生实现知识、能力“自我化”的重要环节。

如相反数这一基本概念，让学生明白：零的相反数是零，a的相反数就是-a，这样由有理数延伸到实数，如 的相反数是-（ ）或 。

在复习中，将新寓于旧之中，将技能寓于概念之中。例如理解 的相反数的倒数的绝对值，从而使根式有理化的技能也寓于这一概念之中，这样将会收到举一反三、触类旁通的复习效果。

在抓“四基”复习中，将四基训练纳入判断题、选择题、填空题等题型中。做到在做练习、讲练习题时巩固和提高复习效果。对于个别由于“欠账”特别多，“四基”把握得不牢靠的学生，不能让他们继续“缺腿少脚”了，教师要采取单独辅导的形式帮助他们牢固掌握好相关知识，为下一步深入复习打下基础。

例如2007年中考数学题（8）：

如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC∽ADE的是（ ）。

A.

B.

C.∠B=∠D

D.∠C=∠AED

本题的解答是在知道一个角的情况下，再添加一个什么条件可以使两个三角形相似的问题。只要回顾“两边对应成比例，且夹角相等”或“两角对应相等”的两个三角形相似，便知A、C、D都能使两三角形相似，故选B。

三 全面复习和专题复习相续推进，从两个层面把握相关知识

全面系统的复习，是复习数学的基本要求。一般说来，首先根据教材复习一遍，选择典型例题、习题讲解练习，将学生遗忘了的知识信息又一次储存在大脑里，使其切实掌握各章节的基础知识，为知识的系统化打下基础。然后，根据知识的系统性，分类分专题进行技能训练。专题中的练习题的选择，要注意针对性、启发性、概括性、系统性、典型性、综合性，以培养技能的灵活性为主，方能提高学生的解题能力。

四 注重知识纵横联系，构建完整的知识体系