逻辑中的基本推理方式范文

导语：如何才能写好一篇逻辑中的基本推理方式，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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一、重视基本概念和基本原理的教学

数学知识中的基本概念、基本原理和基本方法是数学教学中的核心内容。基本概念、基本原理一旦为学生所掌握,就成为进一步认识新对象,解决新问题的逻辑思维工具。如果没有系统的科学概念和原理的掌握作为前提,要进行分析、判断、推理等思维活动是困难的。

二、结合具体数学内容讲授一些必要的逻辑知识

在数学教学中,结合具体数学内容讲授一些必要的逻辑知识,是学生能运用它们来进行推理和证明。培养学生的推理能力,必须掌握逻辑的同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等基本规律。教师应该结合数学的具体教学帮助学生掌握这些基本规律,使他们明了不能偷换概念和论题。要使学生懂得论断不能自相矛盾,在同一关系下对同一对象的互相矛盾的判断至少有一个是错误的;论断不得含糊其词,模棱两可,在同一关系下,对同一对象的判断或者肯定或者否定,不能有第三种情况成立。在数学证明过程中,必须步步有根据,每得到一个结论必须有充足的理由。

三、有计划、有步骤地进行逻辑推理的训练

数学推理既具有推理的一般性,又具有其特殊性。其特殊性主要表现在两方面。其一,数学推理的对象是数学表达式、图形中的元素符号、逻辑符号等抽象事物,而不是日常生活经验;其二,数学推理过程是连贯的,前一个推理的结论可能是下一个推理的前提,并且推理的依据必须从众多的公理、定理、条件、已证结论中提取出来。数学推理的这些特性会给学生在推理论证的学习中带来困难。有关心理实验表明;初一学生已初步掌握了普通逻辑的基本规律和某些推理形式,但必须依赖于生活经验的支撑。例如他们从“爸爸比妈妈高,妈妈比我高”的前提很容易推出“我比爸爸矮”的结论,但有些刚学习不等式的学生从“∠A>∠B, ∠B>∠C”的前提推得“∠C

1.在代数学习中,重视说理性练习。教师在教学中要注意把运算步骤和理论依据结合起来,是学生不仅知其然,而且知其所以然。同时可以进行适当的说理性训练,这样做可以使学生在说理的过程中养成寻找理由、言必有据的习惯。

例如,解方程(2x+1)-1=(5-x),并写出解方程的步骤和每一步的依据。

解:去分母,2(2x+1)-6=3(5-x),(等式性质)

去括号,4x+2-6=3(5-x),(分配律)

移项,4x+3x=15+6-2,(等式性质)

合并同类项,7x=19,(分配律)

两边同除以x的系数,x= (等式性质)

在每一步运算中明确运算依据,这实际上是寻找三段论推理中的大前提。初一学生通过这类练习,就会对了解他们具有了感性认识和初步体验。

再如,某汽车公司的汽车票价为单程票票价4元,周票票价为36元,张老师每星期一三五要乘汽车上班,搭朋友的车回家。问张老师应该买周票吗?请说明理由。

评析:该题目的是希望学生能说明一个清晰的推理过程中的依据。按照常规算法,张老师一个星期乘8次,买单程票需32元,而周票需36元,因此她不应买周票。但从另一个角度考虑,她也可以买周票。其理由是如果她周末外出乘车至少8元以上,那么买单程票总花费就多于36元,所以买周票能省钱。

这种类型的训练,可以从代数的运算过渡到几何推理打下良好的基础。

2.在平面几何教学中有层次地进行推理技能的训练。平面几何教学的任务之一,就是要训练和培养学生的推理技能,发展逻辑推理能力。对于推理论证技能的培养,一般可分几个阶段有层次地进行。

第一阶段:通过直线、线段、角等基本概念的教学,使学生能根据直观图形,言必有据地作出判断。

第二阶段:通过相交线与平行线以及三角形有关概念的数学,使学生能根据条件推出结论,会说出每一步论证的理由和依据,能用数学符号写出一个命题的条件和结论,初步掌握证明的步骤和书写格式。

第三阶段:在“全等三角形”学习之后,学生已积累了较多的概念、性质、定理,此时可以进行完整的推理论证的训练。通过命题证明,要求学生根据题目中条件与待证结论进行分析探索,建立一条连接条件与结论的逻辑通道,从而逐渐掌握推理技能。

第四阶段:在学生已初步掌握技能技巧的基础上,通过较复杂问题的求证,帮助学生掌握寻找证明途径的各种方法,以发展逻辑推理能力。

四、教学中重视探究过程的揭示

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摘要：本文针对河北外国语职业学院2013 级小学数学教育专业学生的综合能力，结合小学数学专业的课程设置，经过对学生进行问卷调查后，总结出学生在逻辑推理能力方面存在的问题。为了培养出专业素质高、专业能力强的师范类小学数学教师后备军，针对存在的问题进行剖析，设计解决问题的方法和策略、完善教学内容、调整教学方法和训练方式等。通过课堂教学改革探索，使理论与实践有机结合在一起，以适应当前培养学生逻辑推理能力发展的要求。

关键词 ：数学课堂逻辑推理能力素质培养

1 逻辑思维能力的含义

一般定义下的逻辑推理能力是以敏锐的思考分析、快捷的反应、迅速地掌握问题的核心，在最短时间内作出合理正确的选择。对于逻辑推理来说，通常情况下包括归纳推理、演绎推理和类比推理。其中，归纳推理是根据事物所体现的某种性质，对这类事物的所有对象具有的这种性质进行相应的推理。简言之，归纳推理就是从个别性知识推出一般性结论的推理。所谓演绎推理主要是以一般性为前提，通过推导，在一定程度上得出具体或个别的结论。对于演绎推理来说，其逻辑形式对理性的意义是，在严密性、一贯性方面，对人的思维具有不可替代的作用。对于类比推理来说，通常根据两个或两类对象具有的部分属性，进一步对它们的其他属性进行推理，简称类推、类比。这种推理方式是以两个事物的某些相同属性进行判断为前提，同时对两个事物的其他相同属性进行推理。而数学中的逻辑推理能力是指正确地运用思维规律和形式对数学对象的属性或数学问题进行分析综合，推理证明的能力。在课堂上数学老师通过启发式引导、结合实际，灵活运用板书和多媒体课件展示，激发学生的学习积极性和创造力，让学生亲历归纳推理、演绎推理和类比推理的确切含义。

2 该院数学教育专业学生逻辑思维能力现状分析

本次问卷调查的对象是2013 级预报小学数学专业的48 名学生进行的问卷调查，回收有效问卷40 份。问卷结果反映出该院学生现阶段在逻辑思维推理方面存在如下问题：

①逻辑推理定义的含义不明确，容易混淆。

②概念和定理掌握不牢，综合逻辑推理分析、判断思维能力弱。

③不擅长准确尺规作图，不能规范正确书写。

④学生学习数学的兴趣不浓。

⑤学生没有适合自己的学习方法和策略。

数学这一科目具有逻辑严谨性特点，逻辑推理能力应该是小学数学专业学生必须具有的基本能力之一。数学专业学生的逻辑推理能力培养极为重要，也是将来作为数学教师的核心能力。针对该院学生面临以上的问题，笔者所在团队在讲授专业课程时进行了相应的教学改革，希望在培养学生逻辑推理能力培养方面能发挥大家的智慧和力量。

3 如何在数学课堂中培养学生逻辑推理能力

数学被看作是一门论证科学，逻辑推理的重要性是不言而喻的。著名数学家G.波利亚教授说过：“一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学习论证推理，这是他的专业也是他那门科学的特殊标志。”

数学在提高学生的推理能力和创造力等方面有着独特的作用，数学课堂是培养学生逻辑推理能力的主要阵地。那教学中应如何培养学生数学逻辑推理能力呢？应从以下几方面入手。

3.1 重视基本概念和原理教学

数学知识中的基本概念、基本原理和基本方法是数学教学中的核心内容。基本概念、基本原理一旦为学生所掌握，就成为进一步认识新对象，解决新问题的逻辑思维工具。例如在《线性代数》课程中行列式和矩阵的定义的区别和联系：

①从形式上看行列式是一个数，矩阵是一个数表，二者不能混淆；而且行列式的记号为“|*|”，矩阵记号为“(*)”也是不一样的，不能用错。

②从内容上行列式的行数与列数必须相等，而矩阵的行数与列数未必相等。

③在计算过程中行列式用“=”，而矩阵用“”，书写格式也不同，更不能混用。

④在加法运算时，行列式相加与矩阵相加有本质区别，行列式与矩阵不仅有明显的区别也有内在的联系，当且仅当A=(aij)为n 阶方阵时，才可取行列式D=|A|=|aij|n，对于不是方阵的矩阵是不可以取行列式的。

在实际的授课过程中，没有扎实掌握行列式和矩阵定义的学生在学习《线性代数》第四章特征值和特征向量这一章节的时候就把书写格式写错，更严重者竟然把行列式和矩阵弄混了。为了解决这样的问题只能进行先学知识的综合复习，然后再讲授新课程。由此可见学好基础知识的重要性，如果没有科学的概念和原理，在这种情况下，难以进行综合分析、判断、推理等思维活动。

3.2 有计划、按步骤地进行逻辑推理训练

对于数学推理来说，一方面具有推理的一般性，另一方面具有其特殊性。通常情况下，这种特殊性主要表现为：其一，数学表达式、图形中的元素符号、逻辑符号等抽象事物是数学推理的对象，而不是选择日常生活经验作为推理对象；其二，数学推理过程需要保持连贯性，下一个推理需要以前一个推理的结论为前提，并且推理的依据需要从众多的公理、定理、条件、已证结论中进行提取。在推理论证方面，数学推理的这些特性会增加学生学习的难度。因此，在授课过程中要从学生熟知的知识为出发点，有计划、有步骤地进行归纳推理、类比推理、归纳推理等，这样学生能够逐渐地学习并掌握新知识。在讲授《线性代数》中矩阵和向量时，为了加强学生推理训练，任课教师在课堂中将矩阵与向量的定义、相等和运算律等分别进行类比，学生分组讨论总结。在实际教学中要有目的、有计划、有步骤、潜移默化地进行逻辑推理的训练和引导，学生一定会逐渐理解并掌握这些推理方法，并在学习掌握知识的过程中使他们的推理能力不断得到提高，使自己解决问题的能力有新的突破和创新。

3.3 利用多媒体设备增强学生的空间想象能力

在认识现实世界空间形式方面，空间想象是一种重要的能力因素，同时也是帮助学生发展创造力的基础。因此在数学教学过程中，需要将空间想象能力作为基本的数学能力来培养。在几何数学教学过程中，在制作模型、画图、识图时，让学生进一步对图像进行描述，同时对图形进行分类、整理等，在现实世界中，通过认识、理解几何空间，进而在一定程度上帮助学生形成空间观念，从逻辑的角度进一步帮助学生弄清几何空间的现实意义。

随着科学技术的不断发展，当前社会已进入信息化时代，社会对数学的要求呈现出多元化、深层化的趋势，在这种情况下，数学技术被广泛地应用到社会各层次、各领域。因此，在教学过程中，对于解析几何，需要注重培养学生的代数———几何关系，同时需要在几何和代数之间实现相互转换，进而在一定程度上对学生的数学素质进行培养。当前，教学的功能就是培养学生的创新能力，因此需要不断创新教学教学手段，通过数学软件直观再现解析几何中的复杂图形，进一步体现解析几何的主体性、过程性、合作性等特征。为此，在解析几何教学过程中，引入数学软件具有重要的意义，同时也是实现数学专业基础课程实践教学环节的重要组成部分。

4 总结

综上所述，在数学教学过程中，培养和发展学生的逻辑推理能力，这是组织开展数学教学的一个重要方面。它需要教师长期的付出，深挖教材内涵，要求学生在平时多观察，多思考，借助多种教学手段，不断激发、培养学生的学习兴趣，进而在一定程度上增强学生学习逻辑推理的积极性。同时，由于个体学生学习情况的个体差异，还要根据学生自身特点进行私人定制学习方法。希望在师生共同努力，共同合作的情况下，实现逐步提高学生的分析、综合、归纳、推理等方面的能力。

参考文献：

[1]吴建生，周优军.基于MATLAB 计算机辅助解析几何课程的数学实验[J].柳州师专学报，2010-02-15.

[2]侯卫民.教学中如何培养学生数学逻辑推理能力[J].数学大世界(教师适用)，2010-09-15.

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理性一词源于古希腊时期赫拉克利特提出的“逻各斯”(logos)说,它兼有客观规律和主体理性思维的双重含义。博登海默曾说过,“理性乃是人用智识理解和应对现实的(有限)能力。有理性的人能够辨识一般性原则并能够把握事物内部、人与事物之间以及人与人之间的某种基本关系。有理性的人有可能以客观的和超然的方式看待世界和判断他人。他对事实、人和事件所作的评价,并不是基于他本人的未经分析的冲动、前见和成见,而是基于他对所有有助于形成深思熟虑的判决的证据所作的开放性的和审慎明断的评断。”①随着学科分类的细化,对于理性的研究也呈现出一种细化的趋势,司法理性就是在这一历史和现实背景下新生的词语,它也是人们对于法律问题的认识不断深入的产物。尽管司法理性这一概念可以从不同角度加以界定,但在一般意义上指司法者(法官)在司法过程中运用程序技术进行法律推理和判断、寻求结论的妥当性所体现出的一种睿智和能力。这种理性与法官职业有着密不可分的联系,在事实上构成法官这一特定职业的内在要求,在这一层面上,司法理性可以定义为法官的职业理性。②作为专司裁判之权的法官职业来说,他需要在具体与抽象、规范与事实之间思索和决择,司法理性因而也成为人们对于法官这一职业的恒久期待。

司法理性既表现为一种法律适用中的形式理性,同时也包含着实质理性。司法理性,从外部视角看,在形式上体现为司法者运用程序技术进行推理和论证的技能,如关于程序、证据、推理、解释的技能。司法理性以司法的程序为依托,借助于司法的程序技术得到表达,是在程序中通过程序技术发展起来的。从这一点上看,英国的柯克大法官将其视为“技艺理性”,很恰当地凸显出司法理性的形式特点。但司法理性并不等同于程序技术,隐含在程序技术背后的则是一种道德视角,是以程序技术为依托和表达形式的由司法职业特有的实践态度、思维方式、价值取向以及职业经验等因素综合构成的、对司法者的判断和推理产生指引和控制作用的内在视角,是司法者行为选择的自我调节和自我控制机制,是对各种价值、原则、政策进行综合平衡和择优选择的结果。这种特殊的内在视角是由一系列基本的理念所支撑的,如独立自主的精神、作为正义守护者的使命感、法律家的思维方式等等。一个充分体现司法理性的司法过程既包含了司法官对法律条文形式上的遵守,又包含了司法官以其睿智解读所形成的法律条文、法律规范、法律理论的逻辑正当性。换言之,司法官在司法过程中并不以表面化的法律形式为限,更强调对法的实质性内涵的遵从,只不过这种遵从是通过一种正当化的形式所展现出来而已。

司法形式理性是程序性的理性,首先要求法官具有通过程序进行思考,在平等听取双方当事人对立意见的前提下进行判断、在对话和论辩的基础上形成结论的职业习惯和程序伦理。其次要求法官严格遵循逻辑原则谨慎地运用各种法律推理方法来保证司法裁判结论的确定性和妥当性。在我国法学界,形式理性不仅备受关注,而且被赋予很高的地位。在法哲学研究领域,有的学者认为法律形式合理化是“以法治现代化为关键性变相的法制现代化”的判定标准之一。③这是因为我国是成文法制国家,司法过程具有强烈的形式主义和程式化色彩,程序正义乃司法的核心价值,司法的实质价值包容于其形式价值之中,并通过形式正义体现出来。但在司法过程中,一个被高度认同的司法裁判除却形式符合逻辑外,还有该裁判对公平、正义、善良等法律价值的实现程度。单纯的形式理性并不是实现公正裁判的充要条件,在司法实践中也出现了严格遵守推理的形式要求,做出的裁决却背离法律的一般价值要求司法理性是与法官的自主判断和选择联系在一起的,并体现在法律规范与案件事实之间的这种互动关系之中。司法过程实际上是法官能动地运用理性,妥善地将抽象的法律规范与具体的案件事实进行沟通和对接,在具体的个案处理中实现司法实质理性,进而实现司法公正的过程。

司法理性在本质上又是一种实践理性,这体现在以下几个方面:首先,司法理性的存在是基于司法实践客观存在的制度性事实,法官面对的是各种活生生的社会现实,他要做的就是运用理性解决这些现实发生的社会矛盾。法官的司法实践解决的都是活生生的社会问题。其次,法官的司法理性只能通过司法实践才能得以表现出来。审判当中法官运用的方法更多的是实践的方法,而非单纯的科学方法。再次,司法理性与实践的作用是反复和循环的。理性的获取、提升和实现都离不开实践活动,理性反过来对实践的方法和方式产生影响,司法实践对于司法理性来说是决定性的。从法官的角度来看,即使最简单的案件也绝不是“1+1=2”的过程。法官的经验在司法理性中占有极其重要的地位,法官在处理具体案件时所练就的一些技艺,包括驾驭庭审、参与调查、展开询问、主持调解、撰写判决等,在法庭之外是无法达致的。这些技艺因人而异,各有千秋,充分体现了司法理性的实践性特点。④

二、法律推理中的司法理性

法官在司法过程中通过法律推理来进行论证说理,在多种相互竞争的论据和理由之间进行权衡和取舍并获得最佳选择的过程,也是彰显司法理性的过程。法律推理首先体现了司法形式理性。在我国,“以事实为根据,以法律为准绳”、“由法官独立审判案件”等正是将待决案件事实置于法律规范构成要件之下,以获得特定判决的一种逻辑思维过程,也就是以法律规范为大前提、案件事实为小前提、最后得出判决结果的推理过程。这一法律推理所反映的基本思维模式就是司法三段论,它是“一种利用演绎推理中的涵摄特点把法律作为大前提,事实作为小前提,法官根据大前提与小前提之间的逻辑涵摄关系进行的推理。”⑤这种演绎推理所体现的司法形式理性是显而易见的,因为法律本身是人们理性思维的产物,理性思维无法脱离逻辑思维而存在,尤其是像我们这样的成文法国家,法律制度以条文的形式体现出来,要把这些抽象的条文和纷繁复杂的具体案件事实加以对应起来,通过逻辑演绎方式进行形式论证是至为有效的。在法律形式主义看来,司法三段论是以逻辑为基础而建构起来的,逻辑是司法三段论的重要工具,它对于实现司法裁判的确定性、一致性和可预测性发挥着极其重要的作用。

因此,建立在逻辑基础之上的司法三段论裁判模式是一种最基本的裁判模式。在此种裁判模式下,法官进行法律推理的过程在严格的诉讼程序中展开,是一种严密的逻辑思维活动,具有规范性和公开性的特点,体现了形式理性的基本要求。此外,法律推理的逻辑性质还意味着“平等而无偏见地对待每一个社会成员”、“同类案件相同处理”,因此三段论模式在形式上的特点即意味着平等无偏见地实施公开的规则,从而尽力保证了法律规范与司法判决的一致性。这种推理至少从外在形式上告诉人们法官的判决是符合大众的一般认识规律的,判决给出的结论不是某一位法官的个人认识与选择的结果,而仅仅是规则,事实以及规则与事实二者勾连起来后逻辑运行的结果。如果把司法三段论看作是一种程式,则形式理性就意味着对这种程式的严格恪守,通过合理的推理规则或者规律实现前提到结论的逻辑有效性。法律推理同样也体现了司法实质理性。在司法实践中,如果一个案件的事实清楚,争议不大,同时法律规则对某种利益要求或权利主张的保护是明晰的、确定的,法官可以在确定了利益冲突的事实后,进行权利义务分析,运用三段论式的演绎逻辑推理方法,作出最终的法律决定,这类案件就是所谓的简单案件。在简单案件中不存在所谓利益衡量问题,因而法官进行法律推理时不需要进行价值判断和自由裁量。然而我们知道法律终归是人制定的,人的认识能力是有限的,社会生活是纷繁复杂的,是不可能全部预见的,法制再严密,总会是有漏洞的,而且由于法律相对于社会发展的滞后性,这种漏洞是随处可见的。人类理性的有限性决定了创制完美的制定法注定属于徒劳。抽象、概括的法律规则不可能与纷繁复杂的社会生活形成直接的对应关系,规则的普遍性、抽象性、稳定性与社会生活的多样性、复杂性、变易性的矛盾也不可能依靠立法的方式得到根本的解决。实践也表明,“无论怎样精心设计的审判制度,在其中总是广泛存在着委诸个人自由选择的自由领域”⑥,这就使得司法过程不可能成为一个机械的纯粹逻辑化的适用法律的过程。即使是在严格规则主义的约束下,法官的能动作用也不可能彻底排除,而且机械的裁判也并不能很好地实现立法者的意志。没有法官的自由选择和裁量,就没有真正意义上的司法活动。这就要求法官必须在各种社会因素的制约下,对多元的法律意义进行权衡和选择,并充分考虑他的选择会有怎样的后果。这就是我们通常所说的实质推理,它体现了一种司法实质理性,相对于形式理性为基础的形式法治而言,实质理性代表了一种实质法治观。

司法实质理性通常出现在法官自由裁量的场合,凭借法官个人对公正、善良的价值观为指导的司法裁判实现个案中的正义。实质理性实际上代表了个案实质正义实现的理性路径,法律推理的过程实际上包含着法官对法律规范的选择和解释、对案件事实的理解、对具体情境的斟酌、对各种相关因素的综合考虑,以及在合理性与合法性的张力下对解决问题的最佳方法的探求。具体而言,法官所适用的作为推理大前提的法律规范不是法律文本中自在自为的法律条文,而是法官“发现”的结果,是法官针对特定案件事实对相关法条进行理解和解释的法律规范,这种理解和解释包含着法官针对该事实的具体的价值判断,即法律应该是什么的判断。同样,法律事实是建立在证据的基础之上的,法官对案件事实的判断实际上是对证据的判断,即对事实应该是什么的判断。法官不是要恢复已经逝去的客观事实,而是对由证据建构起来的事实形成一种内心的确信。这就是说,作为法律推理的大小前提往往都有赖于法官的主观认定。从推理的实际过程来看,法官的推理作为法律与事实的结合,并非是一个由前提到结论的线性推理,而是一种基于经验的由前提到结论和由结论到前提的双向结合的实质推理。⑦法律推理更是一种实践推理活动。法律推理不仅仅是一种思维领域的现象,是法律实践主体的逻辑思维活动,它还是一种可以实际运用和操作的方法和过程,具有很强的实践性。在法律适用中,推理的运用就是要建立起待决案件事实与法律规范的某种关联,并依据这种关联的“正当性”得出待决案件的具有说服力的结论。在适用法律的作业中,法官对待决案件事实的确认,对所要适用的法律规范的选定,以及对待决案件事实与法律规范关联性的论证,不是单凭逻辑思维就能解决的。霍姆斯因此说,法律的生命不在逻辑,而在于经验。作为一种实践理性,它是建立在经验的基础之上,依靠司法者在司法实践中的不断学习和探索逐步掌握和积累起来的。因此法律推理所蕴涵的司法实践理性,是与智慧、审慎、深思熟虑联系在一起的以司法程序技术为依托的实践推理能力。另外,法律推理本质上是一种行为选择,而行为选择的灵魂则是价值与目标判断。⑧无论是法律漏洞的填补、规则歧义的消除、抽象规则的具体化还是推理的后果评价,都需要推理主体借助于价值论和目的论评价在多种可替代的规则解释方案中作出选择。在同一案件中,由于推理主体的价值与目的偏好的不同,同一规则的适用也完全可能得出不同的结论。因此,法律推理不同于纯粹形式的逻辑推理,也不同于与价值无涉的科学推理,法律推理实质上是一定原则提导下的价值判断与行为选择。价值判断与利益权衡使得法律推理不再是一种机械性操作,法律推理主体不是机械地受到法律规范的决定与支配;以价值判断与利益权衡为核心的行为选择也不会成为法官的个人专断,法院也不被认为是纯粹的强力机构。法律推理作为一种有目的的实践活动,正是由于实践理性的作用,才有可能成为防止司法专横的手段。

法律推理的这种实践理性虽然不排除个人价值判断、个人的利益主张与要求,但它要求法律推理主体应该使个人的主张和意见具有可普遍化的性质,因为只有可普遍化的理由才能为各方所接受,使个人的利益主张具有正当性。作为一种实践理性活动,法律推理“既是一个社会化的过程,又是一个非常个性化的过程。说它是一个社会化的过程,是指任何行为的选择都是存在于一定的社会关系之中,任何行为最终都必须与他人发生关联,都必须接受一定的社会评价;说它是一个个性化的过程,是因为行为的选择最终是由行为者自己做出的,根本上取决于对自身行为目的的认识和把握”。⑨法律推理作为法律职业者实际地处理自身与世界之间关系的活动,它是以人与人之间的社会关系的观念为范导的,是人类有目的地、能动地处理人与世界之问关系的活动。

三、运用法律推理,促进理性司法

笔者认为,理性的司法就是当司法机关对待舆论背后的民意、司法官面对人性之中的情感,首先必须恪守自身的专业理性。法律是理性的产物,司法作为适用法律的一种官方活动,在职业属性上最忌讳“头脑发热”。相反,舆论监督却崇尚“热度”,人性情感易于“升温”,这其中难免夹杂着非理性的因素。司法官要避免“头脑发热”,首先必须理性思维,而理性思维就是要求法官严格遵循法律程序,运用法律的解释技术和法律的推理方法去裁决案件。我们说法治社会的生成需要很多条件,如必须具有比较完备的法律体系以及明确法律在社会生活中的最高权威性、具有崇尚理性的民众与政府、具有独立的司法机构以及较高素质的法律职业者,等等。但在这其中,司法思维的理性化是必不可少的条件之一,而法律推理的运用,最集中的反映了司法思维的理性化。理性的司法首先需要法官在处理案件时依靠理性,而不是依赖感性作出裁决。理性裁判的过程,就是对案件事实进行周密细致的分析,认真思考,对适用的法律规范的理解和说明的过程。法官对案件事实和法律规定经过头脑的仔细思考,用法律的严谨思维和缜密逻辑进行推理,从案件事实和法律规定作出裁判结论,这就是我们主张法官重视并运用法律推理的目的之所在。法官运用法律推理论证判决理由的正当性,是法治精神的要求和体现。因为法律推理本身就是一种理性思维方式,它决定法官判决必须排除一切干扰因素,排除一切压力,遵从逻辑规则和法律规则的要求作出判决。这样的判决必然具有正当性、合理性和合法性。然而在我国的司法传统上,司法者运用的一直是感性化的司法思维方式,他们在裁决案件的过程中根本不追求严格的法律逻辑,而是充满着情感化的非逻辑色彩。传统司法者关注的是如何在尽量考虑各种因素的前提下将一个个的个案顺利解决,而决不会去考虑什么严格的规则治理问题。以个案的解决牺牲普遍的公平和正义来求得短暂的和谐,这种传统的司法思维方式一直延续到了今天。实际上,这种一厢情愿的越俎代庖能否达到这些法官们所希冀的“社会效果”本身就是值得质疑的。相反司法的软弱会助纣为虐,导致更多纠纷的发生,更为严重的是,这种法院的错位必将导致人们认为法律并没有固定的标准,从而失去对法律的敬畏,最终,法律信仰无从形成,司法权威无法树立。10

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[关键词]抽象性 严密性 确定性 综合法 分析法 符号 概念

关于思维,心理学给出的定义是:思维是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反应,数学思维既符合人类一般思维的规律,又有它自己的规律。一般来说,数学思维特征主要表现在:高度的抽象性、严谨性、严密的逻辑性以及思维结果的确定性。

数学思维的抽象性表现在在数学思维的过程中,把思维对象某些非本质的(对数学本身来)东西舍弃,把思维对象抽象化为一定的数量关系、空间形式或逻辑关系,然后再把这些特定的数量关系表示成为一般的符号形式。数学思维的抽象性还表现在它不仅仅停留在一次抽象的基础上,通常的数学符号形式可能经过了多次的抽象。与人类的所有思维形式相比,这种完全人为创造的数学语言,是数学思维高度抽象化的基础。

数学思维的严谨性,是指数学思维在发生、发展和表述的过程中,完全依据一种形式化的严密过程,这种过程中不容许出现一丝差错,也不允许有对与错之间的状况。正是数学思维的这种形式化的严谨性,使数学成为人类所有科学形式的最终表达手段。

数学思维具有严密的逻辑性,我们知道,排中律、同一律、矛盾律和充足理由律,是逻辑思维的基本规律,它们是客观事物和现象之间相对稳定性在思维中的反应,它是保证人们正确认识客观世界和正确表达思维的必要条件。正确的思维应该是确定的、无矛盾的、前后一贯的、论据充足的。不然的话,思维就将陷入混乱。在数学思维的过程中,如果违背了这些基本规律,就会产生逻辑错误,论证就得不到正确的结论。因此,数学思维中必须遵守逻辑思维的基本规律。

数学思维结果的确定性,是指在数学思维的过程中,其结果是唯一的。我们知道在数学领域中,每一个命题的结果都是唯一的,不可能有两种不同的结果,也就是说任何一个数学命题的结果在对与错之间二者必据其一。

数学思维的方法是数学的符号、概念、语言按照数学特定的规律、法则,运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。数学思维方法具有一般科学的方法论特征,又有自身的特殊形式。

按照数学思维方法运用的领域、表现形式不同可以把数学思维方法分为宏观思维方法和微观思维方法,按照数学思维的逻辑形式不同,可分为逻辑思维方法和非逻辑思维方法,按照数学思维解决问题的不同方式,可以分为程式化思维和发现性思维,按照数学教育的阶段或领域的不同,可以分为不同的带有专业特征的思维方法。

宏观数学思维方法,也称基本或重大的数学思维方法,是指对整个数学领域产生重大影响的数学思维方法,如公理化思维方法、变量分析思维方法等。这些思维方法曾极大地推动了整个数学的发展。

微观数学思维方法,是指对某个数学分支发挥作用或由某些数学家群体使用的数学思维方法,如代数学的一些思维方法、几何学的一些思维方法等。微观数学思维方法还包括数学问题解决和数学问题发现的思维方法。主要包括最基本、最常用的数学思维方法:分析法、综合法、归纳法、演绎。分析法是从问题的结论开始,逐步推出已知条件或已确认成立的事实,从而断定命题成立的方法。综合法是从问题的条件开始逐步推出命题的结论的方法。演绎推理是按照严密的逻辑法则,采用由普遍到个别,由一般到特殊的推理、论证方法,归纳推理是从个别到一般的推理方法,归纳推理试图从个别的例子中得出一般的规律,采用由个别到普遍、由特殊到一般的方法进行推理论证。在归纳推理中,需要注意的是如果前提为真,结论不一定为真。通常情况下,由归纳推理得到的结论还需要用科学的数学方法进行论证。

逻辑思维方法,主要是指按照形式逻辑的方式展开数学思维方法。数学的定理、证明及理论构造都是严格按照形式逻辑的思维方式展开和构造的,可以说数学的结果都是按照形式逻辑来表现的。数学思维的非逻辑方法,是指在数学思维中应用的猜想、直觉、灵感、现象等思维方式。这些思维形式经常地、大量地出现在解决数学问题过程中。随着数学的发展,人们越来越认识到非逻辑思维方法在数学学习和数学教育中有着及其重要的作用。

数学思维的程式化方法,是指按照数学习惯的、原有的方式来解决问题。在数学学习和解决问题的过程中这种方式表现为规范的逻辑演绎方式。数学的发现性思维,又称之为创新性思维。这种思维方式的特点是它不遵守程式化的逻辑演绎的思维方式,而选择带有个人特性、主观色彩、独立特性的思维方式。现代数学教育理论十分重视这种与传统的数学思维相区别的思维方式。

如果按照数学教育的阶段和领域不同还可将其分为不同的带有专业特征的思维方法,如按数学分支的差异,可将其分为几何思维方法、代数思维方法、微积分思维方法、概率统计思维方法等。尽管现代数学的发展使某些数学分支之间的界线变得模糊,但对于初等数学或一般高等数学阶段的学习而言,不同数学分支的数学思维方法都有其自身的明显特征。对于初等数学的学习而言,集合对应的思维方法、公理化结构的方法、空间形式的思维方法变量思维方法等都是具有初等数学特征的一些思维方法。

在学习某个数学分支的数学思维中,还可以把数学思维分成不同的思维方法,主要包括:解决数学问题的思维方法;论证表述数学命题的思维方法;构建数学理论体系的思维方法。

参考文献:

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摘要:介绍了描述语言SHIF(D)以及本体语言OWL Lite,证明了OWL Lite的形式化基础是SHIF(D),总结出OWL Lite的推理问题可以归约为描述逻辑SHIF(D)知识库的满足性。最后设计了基于本体的手足口病的辅助诊断系统(HFMDS),由OWL Lite推理工具进行相应地推理工作,便于医生提出相关的治疗方案及临床建议。

关键词:描述逻辑;SHIF(D);OWL Lite;HFMDS

中图分类号:TP391文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)28-7970-04

The Researches on Formal Foundation of OWL Lite and Application

MENG Yun, WANG Yang-yang

(College of Computer and Information Engineering,Henan University, Kaifeng 475001, China)

Abstract: This paper introduces the description language SHIF(D) and the ontology languages of OWL Lite, proves that the formal foundation of OWL Lite is SHIF(D), shows that OWL Lite entailment can be transformed into KB satisfiability in SHIF(D).Finally, HFMDS is designed, and reasoning methods of description logic are analyzed in order that doctors advance related treatment programs and clinical recommendations.

Key words: description logic; SHIF(D); OWL Lite; HFMDS

1990年,Tim Berners-Lee发明了万维网,其目的是让人们通过因特网来获得各种知识,随着因特网的迅速发展,信息变得日益庞大,给信息的获取、存储、传递以及使用都带来了一系列的问题。于是在2000年,万维网的缔造者Tim Berners-Lee提出了语义Web的概念,它是现有Web的扩展,其目的就是让Web上的信息能够被计算机所理解,从而实现Web信息的自动处理,便于人与计算机更好地交互和合作。

描述语言是语义Web的逻辑基础,本体是语义Web的知识表示模型,OWL是由W3C的一种语义Web的本体语言,以描述逻辑为基础理论,在语法和语义中,都融合了描述逻辑的构建思想,尤其是OWL Lite可以归约为SHIF(D)。目前OWL的推理工具都是将OWL本体转化为描述逻辑知识库进行推理的。

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关键词　美术学　逻辑方法　非逻辑方法

作为人文学科之一的美术学。它包涵着美术实践与美术理论两个方面。从思维科学的角度来看，美术实践与美术理论各自有着不同的思维方式，并且它们之间也存在着某些交叉与互补的关系。美术实践主要是通过形象思维的过程来完成的，但它并不完全拒绝逻辑思维的方法：美术理论则主要是通过逻辑思维的过程来完成的，但它亦不排斥形象思维等非逻辑方法的应用。美术理论是关于美术实践的科学总结，它包括美术史、美术基础理论和美术批评等，即“美术史论”。

由于美术实践与美术理论存在着密切而辩证的关系，由于美术理论研究的对象具有较强的实践性特征，再由于当代中国美术理论的科学体系建构尚处于一个探索阶段，传统的美术理论研究方式又缺少分析和推理的特征，缺少方法、规律和科学描述的探讨，因而，在当今美术理论研究中，许多美术实践者甚至美术理论家往往凭着某些具体的感受和体验来代替缜密而严格的推理判断，在美术理论研究中，对逻辑思维方法与非逻辑思维方法合理、有机的应用，还未能引起研究者的普遍重视，两种不同类型的思维方法在艺术理论研究中常常会出现主次不分、含混不清的状态。这种状态不仅消释着美术理论研究的学术性特征，同时也制约着中国美术理论学科的建设以及当代中国美术的总体发展。科学的方法不仅是学术研究最一般的基础，同时也是学术发展的有效机制。

笔者以为，美术理论是对美术的理性的认识。理性认识是认识过程的高级阶段和高级形式，是人们凭借抽象思维把握事物的本质和内部联系的有效方式。理性认识以抽象性、间接性、普遍性为特征，以事物的本质、规律为对象和内容。作为理性认识的美术理论主要是通过逻辑方法来完成的。逻辑方法是以研究概念、判断、推理及其相互联系的规律、规则，从而帮助人们正确地思维和认识客观真理的方法。逻辑的思维形式是抽象思维。抽象与感性直观是对立的，一切科学的概念或范畴都是抽象的结果。抽象既与感性直观相区别，又是感性直观的发展，它是以感性直观为中介的对客观对象的间接反映，它所提供的关于对象本质的知识是感性直观不能达到的，因而，它又是一种创造性的思维过程。人类只有借助于思维的抽象力才能揭示和把握感性直观所不可能发现的客观对象的本质及其运动规律。抽象思维作为一种基本的思维类型，它主要是指应用概念、判断、推理等形式反映事物内在本质和一般规律的过程与方式，是通过逻辑方法而获得认识成果。按照逻辑规则，借用概念、判断、推理、比较、分类、类比、证明、反驳、归纳、演绎、分析、综合等方法完成的。因而，抽象思维与逻辑方法即构成了人们理性认识过程的两个不同侧面。

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关键词：名称语义；名称指称；使用规则；推理解释；直觉

中图分类号：B81 文献标识码：A 文章编号：1673-9841（2013）02-0017-07

语义研究得到哲学、语言学和心理学等多学科领域的重视。经过塔尔斯基（A.Tarski）、卡尔纳普（R.Carnap）、蒙塔古（R.Montague）、克里普克（S.Kripke）、蒯因（W.Quine）等人的努力，名称语义研究成为语义研究的一个重要方面，并形成一个语言哲学的研究传统。在这个传统中名称语义研究被分为意义与指称两个方面。上述研究传统有两个特点：一是使用技术手段，使得语义研究有形式化特征；二是坚持弗雷格（G.Frege）的“心理与逻辑”之分，拒绝接受对心理因素的分析。近十几年来，随着心灵哲学研究的兴起，学界出现了结合语言学与心灵哲学研究名称语义的趋势。“二维语义学”（two-dimensional semantics）和“推理主义”是其代表。前者注重意向在确定名称语义过程中的作用，将个体意向分为“原初意向”（primary intention）与“次要意向”（secondary intention），并将它们与对可能世界的两种认识结合起来确定名称的外延。“推理主义”则依据自然科学的史实诠释名称指称及其解释作用。这些努力使得名称语义研究呈现出一种诉诸语用解决语义问题的趋势，但其中都有对个体心理因素的观照，而一个不容回避的问题是：个体如何把握名称的语义？

本文即研究个体何以确定名称的指称，试图给出一种诉诸语用解决语义问题的途径，要回答的问题是：当个体遇到含有某个名称的表达式并意欲对之作出反应时，他/她如何确定该名称的指称？（本文所谓个体是指没有受过系统逻辑推理训练的普通人。）我们希望概括出个体确定名称指称的特征。文章共分为三节。第一节分析一阶逻辑的理论预设，认识从逻辑的角度研究名称语义的意义。第二节分析确定名称指称的两个前提条件。第三节，基于对“使用规则”和“决定性信念”的概括，提出一个确定名称指称的“推理解释”，将个体获得名称指称的过程解释为一个推理，并检验其解释力。

一、一阶逻辑与名称语义认知

一阶逻辑以演绎性为突出特征，这种演绎性得益于“逻辑后承”概念的丰富与发展。但“逻辑后承”这个范畴自产生起就有其不确定的一面。多数情况下，一阶逻辑不能实现全称证明，只能将其理论合理性建立在“不出现反例”的基础上。对“逻辑后承”概念的常见解释如下：

在某个形式语言L中，如果从前提ψ1，ψ2，ψ3，ψ4，ψ5……ψk到结论φ的推理有效，则φ是前提集{ψ1，ψ2，ψ3，ψ4，ψ5……ψk}的后承。或者说，如果句子φ是句子集合г的后承，那么，不可能关于г的所有句子的解释都为真而φ为假。

这一解释中的“……”是一种由集合论作支撑的概括，很少有学者把这种省略视为一阶逻辑的缺陷。但正是由于如此省略的存在，一阶逻辑的证明才不得不依赖于“不出现反例”。除了证明技术的需要，这种省略所概括和应对的是什么？

塔尔斯基从语形和语义两个方面认识一阶逻辑的上述困难：一方面，一阶逻辑不得不基于一些非句子的因素来量化句子，这使得对句子之真的解释难以摆脱循环定义；另一方面，受维也纳学派的影响，逻辑学家倾向于认为“真”是一个形而上学的东西。当时还没有明确的语义后承概念，塔尔斯基创造了“可满足关系”（“|”）这个术语，以图区别逻辑后承与语义后承，并在二者之间建立某种联系。塔尔斯基做出如下界定：

句子φ是句子集合г的后承，记为гφ iff φ在г的所有句子解释为真的解释中也为真。

关于这一界定的一个共识是，“可满足关系”将“真”这一语义内容与“解释”巧妙地结合起来。既然句子φ是句子集合г的后承，则φ由г中一个以上句子的意义导出。г所包含的句子根据某种语义相关性簇集起来，可以导出φ的那些句子之间也有某种语义相关性。不管这两种语义相关性是否同一，从逻辑的角度看，联接词和名称是决定这种语义相关性的关键。那么，接受“句子集合”的不定外延和一阶逻辑“逻辑后承”解释中的“……”都是技术的需要，认识逻辑后承，则必须解释名称的语义。

可能有人认为，一阶逻辑的上述不足可以在哥德尔（K.Godel）那儿得到补充，因为哥德尔的工作表明，通过对有限对象的分析或者形式证明，可以接受关于“|”的全称量化结论（事实上，一阶逻辑的公理化方案都是根据有限的公理和推演规则做出断言）。哥德尔完全性定理是哥德尔对一阶谓词演算完全性的证明，加上一阶谓词演算的可靠性，可以认为，在哥德尔给出的理论语境中“可满足关系”（“|”）与“可证关系”（“|”）外延等值，即：

对任意的公式φ和公式集合г，г|=φ iff г|φ

这里的等值显然是公式等值，它可以给出公式语义的自洽解释。但这种解释是对形式“真”的辩护，搁置了从对象到名称及公式的抽象过程。这里已经看不到塔尔斯基意义上的语义后承。在认知的视域下，接受这种相对“纯粹的”逻辑后承关系，把它作为认知世界的前提，就选择了一个荒诞的理论进路――依据公式推演导出整个世界的存在。而克里普克与普特南（H.Putnam）以雄辩的论证表明，通过语义分析不可以获得名称所指对象的形而上学性质，“意义不在脑中”，人们只能通过后验努力以及诉诸专家获得关于对象性质的知识。

令人奇怪的是，逻辑学家似乎不屑于此。紧致性定理（compactness theorem）和骆文海・斯科论定理的证明就是如此。这些定理的证明基于哥德尔完全性定理，其中对“有限”、“任意”等术语的使用也是出于技术的需要，但我们很难从中察觉现实世界的存在样式。然而，这些证明并没有切断形式演绎与现实世界的联系，它们使用了“集合”、“协调”和“满足”等术语。这些术语的意义是逻辑学家证明定理时的基本预设。多数逻辑学家在建构其理论的过程中不自觉地预设了一些基本术语。例如，弗雷格不做解释而直接运用的术语有：“常数”、“个体变元”、“如果……，那么……”、“+”、“・”、“=”、“谓词”、“量词”和“括弧”等。进而言之，这些逻辑学家关注名称如何与世界卡日关，但没有给出关于名称语义的彻底诠释，或者说，他们关于名称语义认知的解释总是有其先验条件的。

是什么支持逻辑学家接受上述理论预设？对此的一个可能回答是，他们相信一阶逻辑给出了关于推理的最佳刻画。一阶逻辑背景下的推理服从“二值原则”，“二值原则”默认推理的单调性（monotony），即相信随着前提的增加，结论的正确性会得到强化。但是，正如缺省逻辑（default logic）研究所揭示的那样，因为有了名称语义默认，存在推理不服从单调性的情况。如果把一阶逻辑的推理步骤理解为对名称的使用，则以一阶逻辑技术解释名称语义也属于一种诉诸语用解决语义问题的努力。如果把这种努力视为以逻辑技术认知名称语义，则需要进一步解读一阶逻辑推理的语义默认。在哲学研究中语义默认是常识（common sense）的代名词，而在《命名与必然性》中。直觉（intuition）已经完全代替常识，成为哲学推理的前提和判据，它“负载经验理论，有其处理中心，……并具有直接、非反思的特征，很少基于有意识的推理”。从语言哲学研究的历史来看，经典语义理论都把直觉作为确定名称指称的依据。在日常生活中，直接支持人们作出选择抑或行动的往往是某种直觉，直觉无处不在，用普特南的术语来讲，在“共同体”及“专家”的规约和影响下，普通人多数情况下总是能够做出正确的直觉选择。如果把语义学视为系统化直觉之类认知条件的结果，则关于名称语义的直觉有意向直觉（intension-intuition）和内涵直觉（intention-intuition）之分，前者可错，是个体对名称语义的把握，后者则具有相对稳定性，是语言学共同体统一接受的对名称语义的把握。如此看来，一阶逻辑的成就可以坚定个体关于公式之间如何相关的意向直觉，但名称语义的内涵直觉是一阶逻辑的理论预设。

至此可以看出，如同测量和计量是构建整个数学大厦的基础，名称语义预设是一阶逻辑由以发展的根基，但一阶逻辑的演绎性在一定程度上遮蔽了认知名称语义的必要性。而且，一阶逻辑推理和语言哲学研究中的语义预设都以直觉的方式发挥作用，在推理的语境中语义预设即直觉。由此，对于本文的研究而言，认识内涵直觉及其与推理的不解之缘，是解读名称指称的关键所在。

二、名称“使用规则”与关于名称指称的“决定性信念”

除非实指（ostension），个体很少以单个名称表达意义，人们常常以这样的句子表达式表达意义。当个体遇到含有某个名称N的句子E并意欲对之作出反应时，他/她已经接受E所表达的某个意义M，把M视为使用N的结果。例如，在理解“尼克松曾经是美国的总统”这个表达式时，人们可以把它所表达的某个意义视为使用名称“尼克松”的结果。诚然，上述表达式还可以被视为使用“总统”、“美国”等名称的结果，个体可能在不同认知条件下为含有某个名称的句子选择不同的意义，但共同体将导引和规约个体作出选择。在特定语境条件下，人们统一接受的E的意义只有一个。我们把这个意义称为N的“使用规则”。由于N可以用于多个句子，而同一个句子在不同语境条件下可以表达不同意义，那么对于一个有能力使用某个N的个体而言，他/她必定拥有关于N的多个“使用规则”，这些规则以经验知识的形式存在。正是由于“使用规则”的多样性和复杂性，在确定N之指称的过程中个体必须首先选择一个关于N的“使用规则”。

个体拥有关于名称N指称的多个信念储备。例如，“老马”的指称可能是“一个姓马的朋友”、“一匹老马”或者“单位上一个兢兢业业工作的同事”。这些关于“老马”指称的结论符合生活实际，它们以“老马指称一匹老马”、“老马指称一名同事”等形式表达关于“老马”的指称性信念。我们把类似信念称为关于名称指称的“基本信念”。这样，个体确定名称N指称的过程实则是个体从这些“基本信念”中作出选择的过程，而刺激个体作出如此选择的仅仅是N的某个“使用规则”。在某个具体语境条件下，个体所选择某个“基本信念”并用它来确定名称的指称，我们把这种具体语境条件下用以确定名称指称的“基本信念”称为“决定性信念”。这样就可以把个体确定名称指称的过程当做一个简单的推理，“使用规则”和“决定性信念”是其前提。在某种语境条件下，只要“决定性信念”与名称“使用规则”融贯一致，就可以认为“决定性信念”给出了名称的指称。我们要对以“使用规则”和“决定性信念”为推理前提作出进一步的解释。

首先看两个常见的例子：

（1）飞马会飞。

（2）飞马不存在。

按照密尔（S.Mill）的名称理论，专名（proper names）仅仅向包含它的句子所表达的意义贡献出某个对象，再无其他。由于不存在与“飞马”相应的实在对象，句子（1）和（2）都无意义。然而（1）和（2）确实表达了某种意义，尤其是（2）表达了一个真命题。

按照本文对“使用规则”的界定，如果个体认为（1）和（2）有意义，则可以把这种意义理解为“飞马”的“使用规则”。个体在使用“飞马”之后才产生对“飞马”之指称的思考，而不是相反。个体可以将“飞马”的指称理解为“古希腊神话中会飞的马”，接受“飞马指称古希腊神话中会飞的马”这个直觉。这一认识与（1）和（2）给出的“使用规则”并不冲突，因而可以将“飞马”的指称确定为“古希腊神话中会飞的马”。这里的认知旨趣在于确定名称指称，而不在于以指称裁定表达式是否有意义。由此可以把（1）视为一个有意义的表达式，暂时避开“句子无意义”这一荒唐结论。

按照弗雷格对涵义与指称的区分，是“飞马”的涵义给（1）和（2）以认知意义。但涵义是什么？弗雷格没有给出令人信服的回答。虽然如此，有了对“飞马”之涵义的默认，就有理由按照弗雷格的思路认为（1）和（2）表达意义，并认为（2）为真。按照弗雷格对名称语义的把握，可以将“飞马”与“古代一位勇士的坐骑”之类的摹状词对应起来，这是他对密尔名称思想的推进。如此推进是对名称“使用规则”的解释，而这种解释以认可“使用规则”为前提；弗雷格首先把（1）和（2）所表达的尚不确定的意义当做“飞马”的“使用规则”，然后才有对“飞马”之涵义与指称的反思。

从其存在及作用形式来看，“决定性信念”都有直觉的特征，毋宁说，它是个体关于名称指称的“意向直觉”，但个体相信这个直觉实现了当下语境条件下与名称指称之“内涵直觉”的同一。在语言哲学家那里，直觉有语义直觉与指称性直觉之分，它们分别是对语言表达式和现实对象的直接反映。与之相应，可能“决定性信念”仅仅是语义的，但“基本信念”来自对世界之实在的观照。因此“决定性信念”有其现实支撑，这是以“决定性信念”为推理前提的一个理由。在经典语义理论对指称的解释中不乏接收“决定性信念”之处。以“描述论”为例。认识“描述论”的关键在于认识到其理论建构中有对象性质的引入，它以对象的表面性质将名称与摹状词结合起来。而认识到这一点，就可以将指称认知问题归于性质探测。但“描述论”仅仅依据表面性质刻画对象，这一理论预设使得使用名称的人拥有关于名称所指对象的知识。对于专名所指称的对象而言，关于其性质认知的分歧尚不明显，但对于通名情形就不一样了。就类词项而言，其语义认知的困难在于两个方面：第一，相似性与个体化（individuality）是语义认知过程中两个不可分割且又不得不相互界定的范畴；第二，相似性和类之间是一种共变关系，根据相似性定义类不可取，根据类定义相似性有缺陷。

个体所做分类有其公共性的一面，他/她对分类知识及标准的把握依赖于共同体的相关约定，或者说，关于名称指称的意向直觉以内涵直觉为旨归。据此可以进一步认识“决定性信念”为推理前提的理由。从解释学的角度看，存在支持个体获得“基本信念”进而获得“决定性信念”的两个共同体：诠释共同体和交流共同体，二者以语言约定的方式对个体的信念选择作出规约。在这两个共同体的规约下，个体相信其对象分类及“基本信念”都反映世界的实在，并相信其“决定性信念”也反映世界的实在。而在意向的作用下，个体常常仅根据语义分析得出其关于名称之指称的“决定性信念”，那么上述两个共同体就位于“决定性信念”的远端，与世界的实在一并成为个体获得“决定性信念”的先验条件。

从“因果论”中也可以找到接受“使用规则”和“决定性信念”这两个范畴的必要之处。关于“因果论”的讨论可谓卷帙浩繁，这些研究与本文所谓“使用规则”这个解释并不矛盾。相反，相关讨论中随处可见接受本文所谓名称“使用规则”这一说法的影子。例如，从“因果论”者对“因果链”（causal chain）的解释来看，个体总是“意欲”与“说出”含有该名称表达式的人一样使用该名称的指称，这意味着个体总是“意欲”与说话者接受名称的同一条“使用规则”。而从克里普克等人对“因果论”的阐释来看，个体之间达成名称“使用规则”的共识并不容易。例如，在讨论身心同一理论时，克里普克比较了“热是分子运动”与“疼痛是C-纤维肿胀”。他认为：

我们从上面看到，既然“热”和“分子运动”都是严格的指示词，那么它们所命名的现象之间的同一性就是必然的了。……“疼痛”是指示某种类型或现象的严格指示词，它指示：如果某种东西是疼痛，那么它从本质上就是如此，要说疼痛可能是某种不同它自身的现象，这是荒谬的。

在这里，克里普克把“热”当作单称词项，把“热是分子运动”等同于“热一分子运动”；既然表达式等号两边的单称词项指称同一个对象，表达式就是一个必然同一陈述。而在对“疼痛”的分析中，克里普克把“疼痛”理解为一个谓词，它等同于“是疼痛的”，表示一类现象。人们在日常生活中总是能够成功交流，这说明个体之问多数情况下总是能够达成关于名称“使用规则”的共识。（限于篇幅，我们将另文探讨个体之间如何可能达成关于“使用规则”的共识。）

分析“因果论”所遇到的困难，可以进一步认识确定指称过程中以“决定性信念”为前提的必要性。“因果论”以“命名礼”（baptism）和“因果链”为主要理论特征，但“因果论”在这两个方面都遇到了困难。“命名礼”遭遇所谓“资格问题”（qua-problem），“因果链”则无法排除自身分又的可能，难以应对名称外延的变更问题。例如，当某人指着一杯水说“那是水”的时候，他说的“水”是指一杯水还是整体意义上的水？他指称的是纯净的水还是含有杂质的水？这些问题直指克里普克的本质主义（essentialism）。按照本质主义，对象凭借本质性质而属于某个名称的外延，但上述问题质疑人们揭示本质性质的能力。在本质性质认知出现困难之际，一个不失为妥当的方法是，根据实际需要相信某些性质在决定对象属于某个名称外延方面有关键作用，由此接受关于名称的“基本信念”，并选择某个“基本信念”作为用以确定名称指称的“决定性信念”。

三、关于个体确定名称指称的一个“推理解释”

从前面的分析来看，可以认为个体以一个推理确定名称的指称。这个推理有两个前提：一是名称的“使用规则”，二是个体关于名称指称的“决定性信念”。在具体语境条件下，如果“使用规则”和“决定性信念”融贯一致，则个体可以根据“决定性信念”确定名称的指称。例如，当个体s听到“亚里士多德喜欢狗”并意欲对之作出反应时，s已经选择了这个句子所表达的某个意义，把这个意义当作名称“亚里士多德”的“使用规则”，进而，在“使用规则”的刺激下，S得出其关于“亚里士多德”指称的“决定性信念”――“‘亚里士多德’指称一位古希腊哲学家”。如果这个选择与“使用规则”之间相容，s就断定“亚里士多德”指称一位古希腊哲学家。

由于纳入“使用规则”、“信念选择”和推理这些范畴，这个解释给综合哲学、逻辑学、心灵哲学和语义学等方面研究解读名称指称以可能，表达了一种以语用分析解决语义问题的实践诉求。我们把这个解释称为关于名称指称的“推理解释”。

关于“推理解释”的首要问题是，个体确定名称指称的推理是什么推理？上述确定名称指称的推理类似于皮尔斯（C.S.Pierce）所谓回溯推理。皮尔斯将推理分为三种：演绎推理、归纳推理和回溯推理。个体可以通过演绎推理和归纳推理得出名称指称。但上述推理不具备探究新知的归纳语境，个体仅仅是从其经验中作出选择。那么，根据我们对个体的限定，个体确定名称指称的推理只可能是回溯推理。皮尔斯式回溯推理是一个从“规则”（rule）和“结论”（result）得到“事例”（case）的过程。例如，如果从口袋P中拿出的豆子都是黑色的，而眼前的这些豆子是黑色的，因此这些豆子是从P中拿出来的。但“推理解释”中的推理不同于皮尔斯式“回溯推理”，它对后者作出改造――用“决定性信念”取代“结论”。确切地说，它是在皮尔斯式回溯推理过程中加注一个由“结论”提取信念的过程。

本文暂不考虑个体之间何以达成关于“使用规则”的共识，那么，关于“推理解释”的另一个关键问题在于，如何认识由“基本信念”导出“决定性信念”的过程？对此的回答首先要解释个体何以可能获得关于名称指称的“基本信念”。皮尔斯对如何获得确定性信念做出了卓越的研究，他把获得信念当做思维的唯一功能，认为人类有四种获得信念的基本方法：先验的方法、权威的方法、固执的方法和科学的方法，并将逻辑学界定为研究科学方法的学问。诉诸皮尔斯这个权威，无疑将给解释“推理解释”中由“结论”提取“基本信念”的必要性及途径以支持。但这里要说的是，信念有清楚（clear）信念和清晰（distinct）信念之分。基于这一认识，一些自然主义者在确定名称指称过程的解释中引入心理因素，他们用心灵哲学的术语作出论证，认为确定名称指称的过程必然经历一个从诸多信念中剔除陪衬信念的过程。这在一定程度上说明了从结论提取“基本信念”及由“基本信念”提取“决定性信念”的必要性。认知心理学研究则给出了解释如何获得“决定性信念”的广阔天地。例如，在计算机模拟技术研发中出现了语义网络（semantic network）、生产式系统（production systern）、连接主义网络（connectionist network）等成熟模型。基于这些模型的努力将为进一步解释“信念选择何以可能”创造条件。

关于“推理解释”的另一个可能问题是，“推理解释”的“使用规则”中存在关于名称指称的假定，而这一解释的结论在于获得名称的指称，这里似乎有某种解释循环。个体基于其关于名称使用之恰当性的信念选择“使用规则”，他/她相信所做选择已经与他人达成了“使用规则”共识，因此，至少可以从对获得“基本信念”及“决定性信念”的讨论中得出破除上述解释循环的启示。但限于篇幅，在此我们仅仅以“推理解释”回答经典名称指称理论所遇到的几个问题，以期说明上述解释循环不是“邪恶的循环”。

首先，“指称改变”问题。由于马克・波罗的错误认识，“马达加斯加”的指称发生_『改变，语言哲学家已经就此给出一些解释。但来自自然科学的研究表明，在科学研究中指称改变似乎不可避免。随着科学研究的进展，似乎任意一个名称都将面临外延的丰富或删减。例如，在发现单孔目动物后，遗传分类学家不得不重新界定“哺乳动物”的外延。有学者提出，科学家没有发现名称语义内涵，而是改变了名称的语义内涵。接受本文给出的名称指称“推理解释”，则可以根据对名称“使用规则”的分析解释名称指称改变。名称“使用规则”的多样性源于认知目的方面的差异，不同的认知共同体往往会选择不同的“使用规则”。当“使用规则”固化为某个特定共识时，名称指称就发生了改变，但这种改变并不排除名称的其他“使用规则”。例如，在习语中仍然把鸭嘴兽当做“爬行动物”。

其次，“解释循环”问题。罗素以抽样检测（spot-to-check）道出了使用摹状词解释名称指称的必要性：解释一个名称的语义总是要使用其他名称或解释。但按照这个思路，任意一个名称的解释必然使用其他名称。“因果论”也没能摆脱这种认知局限。如果用“水是那些样品例示的液体”（作出一个实指的手势）这样的方式引入“水”，但“液体”一词又当如何引入？按照名称指称的“推理解释”，我们可以暂时撇开接受摹状词和语言学能力预设，通过诉诸以某种由实践或训练引入的习惯，找到接受解释循环的理由。因为习惯是与多种刺激建立联接的反应，能够引起反应的刺激越多，习惯就越牢固。

第三，“无知与谬误”（ignorance and error）问题。这一问题由“因果论”者在批判“描述论”过程中提出，而“因果论”者于此也没有得到公认的合理解释。假如迈克只知道爱因斯坦是一位物理学家，他仅仅拥有“爱因斯坦是一位物理学家”这个“基本信念”。按照“描述论”，当麦克说出“爱因斯坦是个天才”这句话时，由于“一位物理学家”这个摹状词并不能够识别出唯一的一个对象，因此只能说迈克没有用“爱因斯坦”指称某个人。这就是所谓“无知问题”。但是，“爱因斯坦是一位物理学家”这个信念不可能孤立地存在，其中隐含着“爱因斯坦是某个人的名字”、“爱因斯坦懂物理学”、“爱因斯坦是某个方面的专家”等信念，有能力接受或者使用“爱因斯坦是一位物理学家”这个信念的人可以从这个信念中导出上述分支信念。迈克关于“爱因斯坦”这个名称的信念看似唯一，实则不然。按照本文关于名称指称的“推理解释”，迈克说出“爱因斯坦是个天才”这个表达式时，他首先要选择“爱因斯坦”这个名称的一条“使用规则”，至少这个规则要求使用“爱因斯坦”意指一个人，而支配迈克以“爱因斯坦”指称爱因斯坦的可能是一个由“爱因斯坦是一位物理学家”导出的信念。

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关键词：法律论证；司法三段论；逻辑

中图分类号：D923 文献标识码：A 文章编号：1673-2596（2013）05-0075-02

方法是人类行为的某种行动以达到一定意图的说明和途径，它来自于人们自身的实践活动，久而久之便形成了人们认识事物所必须遵循的内在规律逻辑。三段论作为方法论之一，同样具有这样的普遍性特征。三段论分为三个部分，即两个前提和一个结论。理论上，在运用司法三段论时，法律人曾一度将其作为法律运用中的最普遍最有效的法律方法，但又对它进行了各种批判。但笔者认为对此我们应该以辩证的思维方式和事实为依据进行评价。在现代的方法论观念下，作为传统的法学三段论，以另一种形式在当今法律论证理论中得到延续和运用，并使三段论推理在法律论证（主要是内部证成）中继续发挥作用。①

一、经典的三段论法律推理模式

“三段论”（Syllogism）是亚里士多德最重要的发现之一。三段论，又叫直言间接推理或直言三段论，是由包含有共同的中项作为大小前提进行判断所得结论的演绎推理，它是由逻辑推理演化而形成的。从相关定义可以看出，亚里士多德对三段论的定义是比较笼统的，也并非人们通常意义上所理解的三段论。换句话说，亚里士多德所创造的三段论应是广义上的三段论，是陈述某些事物的论证（一种理性），它不同于假定的情况。长期以来，我国学界在论证到亚里士多德的“三个词项、两个前提”式的三段论定义时，最常用的经典的例子便是：

所有的人都会死，

苏格拉底是人，

因此，苏格拉底会死。

这便是后人所称的barbara（全称肯定），即逻辑学上的三段论公式。由此可以看出，三段论推理是根据两个前提所表明的中项M与大项P和小项S之间的关系，通过中项M的媒介作用，从而推导出明确的小项S与大项P之间关系的结论。从推理的过程看，三段论推理通过人工构造的形式语言与建立的演算系统，从前提到结论给人以“必然地得出”的印象。②但是如上文提到的，在法律领域，法律人对它一直有着各种各样的争议，甚至是误解。所以需要首先对此种误解予以解释，这便不得不对逻辑进行探讨。

二、逻辑在法律上的运用

从古希腊到近代，在关于科学研究方法的探索过程中揭示了科学研究方法的两个主要方面，即逻辑结构和经验观察。一般认为，逻辑是指客观事物的规律性，指某种特别的理论和观点，指思维的规律和规则，指研究思维形式和思维规律和思维方法的科学。每一门科学都是有其特定的研究对象和方法的，逻辑是一门以思维方式及其规律为主要研究对象的方法科学。逻辑在法律上的运用即推理在法律上的运用，是法律人在法律运用过程中所应当遵循的基本规则。同时，逻辑方法作为一种方法论，也是法律人思维中惯用的方法之一。无论是在理论中还是实务上，裁判或是任何结论都是通过这一逻辑方法论证出来的。在司法适用法律的过程中，我们可以看到司法裁判的合法性是讲具有普遍性的法律规则运用逻辑方法适用在个案上，而这个证成过程就是一个典型的运用演绎逻辑（即三段论）的过程，当然这是从整体上看。这就是作为大前提的法律规定必须具体化才能适用在具体的案件上，并得出相应的有法律效果（结论）。“是故由三段论法所获得的结论中关于法律效果的部分，必须被作进一步的具体化。把其法律效果中之抽象部分相应之具体事实代进去，例如：将人、时、地这些具体的事实代入法律效果中与之相应的部位。”③这样司法三段论便成为了法官判案过程中的一个有利的逻辑证成方法，同时在维护法律适用的稳定性和权威性方面具有很强的工具性意义。

推理是一种思维形态，是由一个或几个具体命题推断出另一个命题。推理由称作前提和结论的命题构成，二者之间必须具有逻辑关系，即推理跟命题一样，也是具有具体内容，又有逻辑形式特征。典型格式是：所以s都是p，所以，有的p是s。博登海默曾经把法律中的推理分为形式推理和辩证推理。④博登海默的形式推理被定义为：演绎方法（通常被用来解决法律问题）、归纳方法和类推方法，即演绎推理、归纳推理和类推推理。辩证推理又称实质推理，它是指这样一种情形：当作为推理前提的是两个或两个以上的相互矛盾的法律命题时，借助于辩证思维从中选择出最佳的命题以推断出法律适用的各种结论。这便是构建三段论前提的方式，即逻辑在司法中的运用。

作为研究思维形式及其规律的逻辑学，发展到今天又是有好多分支的。由于现代逻辑对推理的形式化特征的重视，而辩证逻辑无法提供形式化的具体特性，于是乎，现在逻辑学界并不把辩证逻辑作为逻辑学方法论的内容，只是把它当作广义的科学方法论中的一部分。

三、三段论推理在法律论证中的运用

司法三段论不是形式逻辑三段论的简单应用，而是融入相关法律实质内容，在法律和事实间整合的应用。在法学中的运用就是对法律规范和法律事实进行建构时的一种循环。卡尔・恩吉施的比喻更恰当一些，认为是在法律规范和法律事实之间的“目光的流连往返”。而这个“流连往返”的过程是在用法律规范建构法律事实这一小前提的过程，同时在寻找法律规范这一大前提时也在考察法律事实这一小前提，它是一个动态的过程。社会关系是千变万化的，而法律规范是相对稳定的，用相对稳定的法律规范去调整变化发展的社会关系便体现了法律规范的滞后性，这也是法律规范与生俱来的必然特性。这也说明了法律三段论跟实际的法律思维不一致，司法实践中并不是从法律规范到案件事实的线性推理过程。具体来说，法律规范是对多样化的社会关系进行的抽象性和一般性的调整，所以在建构大前提的过程中，法律人便必须将法律规范一层层地根据具体的法律事实进行具体化。同样，在构建小前提的思维过程中，法律人同样需要对具体案件事实进行抽象化、一般化以符合法律规范。所以，如有些学者所言，法律规范在成为大前提的过程是演绎逻辑过程，案件事实成为小前提的过程是归纳逻辑过程，司法三段论大、小前提的构建是演绎和归纳共同作用而形成的。

涵摄在司法实践中的含义为“将具体的案件事实置于法律规范的构成要件下，并据此得出结论”，由此，法律事实与法律规范的“来回穿梭”，这也形成了当今法学界对法律适用的基本观点。法律规范与案件事实之间的关系不是单纯概念间的涵摄关系，两者之间的对应是以价值判断为中心的类比结果。如上所述，三段论，又叫直言间接推理或直言三段论，它融汇了各种逻辑推理中的精华且至今一直起作用的演绎推理。三段论要解决的真正问题就是预设前提，尤其是小前提的预设。在当今法学界，后现代法学强有力的发展趋势，必将会对形式三段论进行毁灭性的打击。不管是国内还是国外法学界，我们都可以从其相关研究看到这样类似的意识观点。

霍姆斯是社会法学派的代表人物，他把法律的生命定位于经验，可以说他在讲三段论时更注重的是法律的社会实效，而非法律逻辑本身的正确与否。这也从这一角度折射出了社会法学固有的基本特点。“法律的生命不在于逻辑，而在于经验”⑤也成为现今众所周知的法律谚语。但是，当今美国法学家布鲁尔对霍姆斯的观点进行了充分的研究后提出了批判性的意见，认为其所产生的深远影响是有害的，是一种误导。“由于霍姆斯不恰当地把‘经验’放在‘逻辑’的对立面，使得好几代的律师、法官和法学教授（不管是否沿着霍姆斯的道路）事实上没有把严格的逻辑形式研究放在法律课程中的适当位置。”⑥或许该看法对美国法学理论界和事务界产生的消极影响有所夸大，但却从另一个侧面反映出霍姆斯的观点的确有其负面影响。要知道，法律适用的思维是一个从案件事实开始的“诠释循环”的过程，是目光在规范与案件之间往复“流转”的过程，是法律适用者与法律规则之间“视域融合”的过程，是法律适用者的法律意识与社会的“常识、常理、常情”对话交流的过程，是法律内的判断过程，是一个“六经注我，我注六经”的过程，是“带着前见又改变前见”的过程。

正如布鲁尔所指出的，在评价演绎逻辑在法律推理中起的作用的论证过程中，其实霍姆斯对兰德尔进行批判时把两种不同类型的逻辑推理在法律证成中突出了工具性价值。他主张：“法律的生命在于――逻辑中充满着经验，而经验又要受逻辑的检验。”这也是他所论证的观点。

四、结论

综上所述，司法实践和法律理论中所经常运用的三段论并不是严格意义上的司法三段论。所以要认识清楚这个问题，我们就得知道逻辑学鼻祖亚里士多德是如何论证他的三段论的。在司法实践中，普遍适用的三段论是运用命题变形法进行推理，也就是把法律规范和案件事实放进大小前提中进行推理以得出法律判决和结论，所以，相对而言亚里士多德式的三段论是比较复杂的。它和当今普遍适用的司法三段论的最重要的区别在于它不是一个“推论式”，而是一个“合取式”。具体适用到法学领域中来就是：从司法三段论的大小前提并不能推论出来法律判决或者其他结论，这是一个内外部证成所要解决的。要知道其早就包涵在司法三段论的前提之中了，它不需要证成，只要构建正确的三段论的格式并且其大小前提所包涵的内容是恰当的，便能推断出对的结论。也就是说，单纯把司法三段论看成是形式逻辑三段论在法律适用中的直接适用，是不准确的和没有根据的。司法文书结论的错误是发生在建构司法三段论大小前提的过程，在这个过程中有内外部证成、运用法律解释等进行了价值判断，而价值判断便是主观性的，这便会产生错误的可能性。三段论不能保证推理结论的可靠性、合理性和必然性，这便是荀子所说的“在人不在法”。司法三段论在限制法官的自由裁量权、维护法律适用的稳定性和权威性具有重要的作用，同时增强了法律适用的可预见性和操作性。

注 释：

①②焦宝乾.三段论推理在法律论证中的运用[J].求是学刊，2008（1）.

③黄茂荣.法学方法论与现代民法[M].中国政法大学出版社，2001.

④博登海默.法理学――法律哲学和方法[M].上海人民出版社，1992.

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首先，我们在听课时需要利用逻辑推理，现在很多同学在逻辑推理中存在两大误区：一是想当然地用一些事实和命题，这些事实和命题毫无依据；二是依据是有的，但处理的时候不是等价转化，比如说逆命题的使用，弱化或强化条件等，这两大误区直接导致在数学的学习评价中达不到预期的效果，那我们平时怎样走出这些误区呢？那就需要当老师在讲授某个问题时，我们要养成逻辑推理地听的习惯，要关注这个问题的产生情境，成立的条件，条件是否可以弱化，是否可以强化，逆命题是否成立等等，我们以学习导数为例，考虑结论：对于函数y=f（x），如果在某区间上f'（x）>0，那么函数在该区间上是增函数；如果在某区间上f’（x）0成立吗？如果不成立，举一些反例，今天这节课的结论对于我们求函数的单调区间有怎样的帮助？利用导数如何求函数的单调区间呢？我们自己的逻辑推理中就应该弄清这些问题串，如果每节课都能自己进行类似的逻辑推理，那么将会使得我们的逻辑推理变得很强，而且每一步的推理很严密，每个知识点都推理得很严谨，那么我们就可以走出误区――滥用没有理论依据的公理、定理、公式等。

其次，我们在课后做作业时，也就是应用知识的环节，这一环节我们也要用逻辑推理，在做练习时，解决一道题可能有很多逻辑上的想法，在读完题后，我们一般有一个最基本的认识，脑子里会浮现出一些初步的解题设想，这时可能会出现若干思路，我们以解析几何中的两道题为例：

例题的解答告诉我们，在解题过程中，我们每遇到一道题，会有我们初步的设想，可能有多种想法，此时就需要我们逻辑分析出较优的解题策略，此时运算上的逻辑思维可以帮助我们筛选出较优的解题策略，比如说，例1刚刚用第一种思路，计算时会有点繁琐，耗时间，假如我们一开始就选了这种方法，那么就需要我们进行逻辑推理，是不是需要换种思路呢？思路2、思略3充分利用P，Q关于原点对称，所以需要我们尝试，从运算的逻辑推理中选择较优的解法，另外，无论解法1还是解法2、解法3，求得点M后，点N只要改换下标就可以了，这种借助逻辑推理，下标对称的思想，能够有效地简化我们的运算，这种简化在解析几何和导数等章节都很常用，当然在我们运算的时候还会遇到很多需要我们逻辑推理的地方，比如：ab=ac，此时a是否能约？若能约，需要说明非零；若不能约，就需要分类讨论，如果不去细作讨论，很可能会出现解不出正确答案的情况。

最后，我们在课后复习整理时也需要利用逻辑推理，数学知识往往分布在不同的阶段，庞大的学习知识网络容易被割裂，这就需要我们有逻辑地进行整理，我认为我们应该根据不同的内容，采用不同的逻辑推理的方式进行整理，一方面，在进行解题策略的选择整理的时候，可以利用有逻辑的问题串式的整理方式，比如说在整理复习排列组合这章内容时，从逻辑上，我们可以问自己以下的问题串：排列还是组合？和还是积？和还是差？积还是商？重还是漏？元素是相同的还是不同的？元素是可重复的还是不可重复的？有序还是无序？插空法中元素相邻还是不相邻的？平均分配还是不平均分配？分组还是分配到不同对象？隔板法和插空法的使用注意点有哪些？将这些问题都搞清楚，那么我们在解排列组合问题时就轻松了，另一方面，我们在对相关知识点进行整合的时候，也可以采用一条主线、框架式的整理方式，把平时相对独立的知识，通过某一条线将它们串起来，比如说椭圆的定义、标准方程和几何性质，同学们可以用以下的框架图来理解本部分内容：

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普通高中数学课程标准（2017年版）指出：数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法；提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界[1].教科书作为依据课程标准和学生接受能力编写的教学材料，它是课程目标与教学内容的具体体现，在一定程度上决定了学生的学习机会和学业成就[2].课标提倡教材编写的多样化，在以课程标准为基础的前提下，不同的教材可以有各自的风格和特点.因此，不同版本教材，对知识内容的安排、数学思想方法的渗透、数学语言的表达也不尽相同，那么不同的数学教科书在渗透数学思想方法、用数学语言进行表达、例习题与内容的匹配等问题的差异就值得研究了.长期以来，几何承担着推理与证明的责任，这种责任并不会因为数学教育的改革而消亡，究其缘由，几何知识比其他数学内容能更好地使学生体会和理解数学世界的推理与证明，或者说是更明确、更符合人们认识事物的直觉[3].因此，本文选取人教A版和北师大版教科书立体几何部分内容进行比较，探析两版本教科书渗透数学思想方法、运用数学语言、例习题与内容的匹配的问题，以期为教材编写者就数学思想方法与知识的有机融合提供数据支撑与理论依据，为一线教师教学提供教学建议与方法.

2 研究方法与内容

本文选取普通高中数学课程标准实验教科书人教A版[4]（以下简称“人教A版”）与普通高中数学课程标准实验教科书北师大版[5]（以下简称“北师大版”）必修2关于“空间图形的基本关系与公理”的?热荩?比较的具体内容见表1.基于人教A版与北师大版教科书的文本材料，运用文献研究和比较研究的方法，从内容呈现、数学语言及例习题设置三个维度对两版本教科书进行深度剖析.

3 研究结果

3.1 内容呈现

3.1.1 两版本教科书内容结构设置与《几何原本》公理化系统相似，渗透公理化思想方法

内容结构反映了本节教材所包括知识点之间的相互关系，且每一部分内容都是必不可少的，这个有机构成的知识团从侧面反映了它所蕴含的数学思想方法.王仲春先生提出的公理化方法的结构层次分为4层次架构：第一层次――基本概念（对象、基本关系）；第二层次――定义；第三层次――公理组（包括逻辑公理）；第四层次――定理及其证明[6].以此为比较分析框架，两版本教科书内容结构见表2.

从表2可以看出，两版本教科书在“空间图形的基本关系与公理”这一节包含的知识点基本一致，只在定义层次人教A版比北师大版多了空间平面的定义，这是由于两版本教科书在小学和初中两个学段几何内容的安排略有差异.公元前300年欧几里得写成了名著《几何原本》，其对于人类文明的最大贡献在于用演绎方法构建了一个公理化体系，而两版本的教科书内容结构也完全符合公理化方法的层次结构，从公理化体系的角度对几何章节的内容进行安排.基于《原本》的公理化体系，无形中渗透了公理化思想方法，使立体几何章节各部分内容有机结合，呈现出一个精密运作的几何世界.

3.1.2 两版本教科书内容呈现方式“貌离神合”――公理化思想方法的应用

北师大版和人教A版关于空间图形基本关系与公理的呈现方式比较见表3.

从表3可以看出，两版本基于《标准》要求，借助长方体模型，在学生直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的条件下，抽象出空间线、面位置关系的定义，同时了解作为推理依据的公理和定理[7].但是，通过比较发现，尽管两版本教科书知识点呈现顺序大相径庭，看似杂乱无章，实则都是按照一定的主线，将各个知识点以逻辑规则和顺序有机结合.人教A版从空间图形与位置关系的视角，分别以平面、空间中直线与直线之间的位置关系、空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系为小节标题，基于这样的划分分别引出与之相应的知识点，即以空间图形与位置关系为主线引出与之有关联的公理.如：由平面引出公理1、2、3；由空间两条直线位置关系引出公理4.北师大版则选择从公理的角度出发，引出与每条公理密切相关的空间图形位置关系.如：由公理2引出空间直线与平面之间的位置关系等.

由上可知，虽然人教A版和北师大版知识点展开所依据的主线各有侧重，但事实上两版本教科书内容呈现方式貌离神合：教材编写者都应用了公理化思想方法.利用公理化思想方法可以揭示一个数学分支中命题与命题之间的内在关系，从而使它系统化、逻辑化，有利于人们掌握[8].因此，无论选择以位置关系还是公理为主线，都充分运用公理化思想方法，使这一节内容有机结合，使之成为一个有逻辑、有关联的整体.这样的教科书，不管对于教师教学还是学生学习都是一场潜移默化的思维训练.

3.2 数学语言

数学语言是在数学思维中产生和发展的，是数学思维不可缺少的重要工具.数学语言具体可以分为图象语言、文字语言、符号语言三种.数学教材要渗透和传播数学知识与思想方法，就需要使用数学语言来表达.立体几何以空间图形为研究对象，几何内容的学习必然无法缺少数学语言的使用.

3.2.1 北师大版图象语言的使用频率高于人教A版

为了解两版本教科书在图象语言使用方面的区别，本出以下对比统计.北师大版“空间图形的位置关系与公理”内容共7页，其中课文中的插图共25幅；习题（包括练习题）共16道，习题的插图共6幅.以上31幅插图中实物图有5幅，其中包括3张照片，剩余都是几何线条图.人教A版这节内容共14页，其中课文的插图共25幅；习题（包括练习题）共34道，习题的插图共有11幅.以上36幅插图中实物图有3幅，其中包括1张照片，其余都是几何线条图.由此得出下面的对比表.

从表4可以发现，两版本教科书对于课文插图、习题插图、实物图和照片等使用频率相差较大，北师大版图象语言整体使用频率高于人教A版.北师大版教科书平均每页分布3.5幅图，而人教A版还不足2幅.平均图题比相差不大，但北师大版仍然高于人教A版.实物图所占率和照片所占率，北师大版是人教A版的2-3倍.

3.2.2 人教A版同时使用三种语言描述的知识点多于北师大版

由图象语言向符号语言的转化需要借助文字语言的中转，文字语言是对图形的描述、解释与讨论，符号语言则是文字语言的简单化和再次抽象.两版本教科书这一节在对位置关系、公理和定理的描述中，既有只使用一种语言的情况，如公理4――空间平行线的传递性，也有同时使用两种或三种语言的情形.事实上，三种语言之间的转换都是为其后的演绎推理做准备，为学生逻辑推理能力的培养添砖加瓦.因此，文本统计了两个版本教科书中使用不同语言的知识点的情况，见表5.

从表5的数据统计可以得出，两版本教科书使用2-3种语言描述知识点的比例更大.北师大版为83.3%，人教A版为84.6%.此外，两版本教科书中使用三种语言表述的知识点是最多的，北师大有7个，占比为58.3%，人教A版有9个，占比为69.2%.很明显，人教A版中三种语言描述的知识点多于北师大版.

3.3 例、习题设置

例、习题是数学教科书的重要组成部分，是巩固数学基础知识、形成数学基本技能、领会数学基本思想、积累数学基本活动经验以及培养学生数学核心素养的主要途径[9].

3.3.1 两版本教科书例题均设置了推理论证和三种语言间转换的题目

这一节内容中，人教A版设置了4道例题，其中3道考查空间点、直线、平面之间的位置关系；1道为推理论证题.北师大版设置了2道例题，1道考查两条直线之间的位置关系，1道为推理论证题.可以发现，两版本教科书不约而同都设置了一道证明题作为例题，均为“证明空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，构成的四边形为平行四边形”这样一道经典题，证明的过程比较简洁，从中位线出发依据公理4即可证明，但这道题却渗透出数学公理化思想方法，让学生在会做例题的基础之上体会知识点之间的逻辑关系和公理化体系，并训练学生养成严密的逻辑思维.除此之外，人教A版的4道例题和北师大版的2道例题均注重考察三种语言之间的转换，每道例题都配以相应的图形，同时文字语言和符号语言的表述并重.人教A版的例1特意设置为将图象语言转换为符号语言的练习，这也弥补了课文中未设置这样内容的缺憾.

3.3.2 两版本教科书习题设置存在差异，各有侧重

研究拟从习题内容题量分布及对应的百分比两个维度对两版本教科书的习题配置进行比较分析.将本节习题分为空间图形基本关系、公理定理、三种语言间的转换、推理论证这四类.其中将与“异面直线及其夹角”有关的题归类至“空间图形基本关系”这一组；“三种语言间的转换”指考查有关三种数学语言的描述转化的问题；“推理论证”指涉及到有关演绎推理的题目.具体统计结果见表6.

从表6可以看出，无论是北师大版还是人教A版教科书，在习题的配置中，均着重“空间图形基本关系”和“公理、定理”这两类习题，为学生巩固本节内容所学知识提供了平台，这也符合教科书的习题设置的要求.但通过比较可以发现，两版本教科书关于“三种语言间的转换”和“推理论证”的题目的设置存在明显差异，而且各有侧重.北师大版的两类题目数量占到总题数的36.85%，其中“推理论证”类题目的数量甚至超过“公理、定理”类题目，百分比达到26.32%.而人教A版这两类题目数量占总题数的28.30%，相比北师大版低.其中“三种语言间的转换”类题目数量更多一点，百分比达到了15.09%.但从总题数来看，人教A版习题数量是北师大版的两倍多.

4 研究结论及建议

4.1 结论

4.1.1?暮旯凼咏强矗?北师大版与人教A版教科书都渗透了公理化思想方法

欧几里得《几何原本》是有史以来用公理化思想方法建立起来的第一门演绎数学，而且成为以后很长时期严格证明的典范

[10].两版本教科书在内容选取上符合公理化方法结构层次，以空间图形、关系、公理和推理论证为结构基础，与《几何原本》相似.关于内容呈现方式，运用公理化思想方法将本节知识点逻辑、关联、有机地串联起来，建立本节内容的“公理系统”.除此之外，两版本教科书都配置了相应比例的推理论证题目，在应用层面渗透公理化思想方法.

4.1.2 从微观视角看，北师大版和人教A版对于数学语言及例习题配置的侧重各有不同

两版本教科书均十分重视学生对数学语言的学习，但北师大版偏重图象语言的内容设置.图象语言是将现实事物进行数学抽象的第一步，也是问题解决的第一水平[11]，更能培养学生直观想象的能力.但人教A版则更注重三种数学语言转换的学习，从表5、6及例题配置可以看到，人教A版在相关内容所占比例均比北师大版高，此外，人教A版在例题中专门设置了一道三种语言相互转换的题目，北师大版与之相比则显得比较欠缺.例习题的配置中，北师大版有关推理论证题目占总题数的比例均比人教A版高，除此之外，北师大版题目多注重应用.因此，人教A版侧重为后续定理及推理论证的学习奠定基础，而北师大版更关注学生在知识应用过程中加深对其的理解.

4.2 建议

4.2.1 立体几何课堂教学应重视公理化思想方法的渗透

公理化思想方法在数学教学和学习中具有重要的作用和意义.首先，公理化思想方法可以揭示一个数学系统或分支的内在规律性，从而使它系统化、逻辑化，有利于人们学习和掌握.其次，由于公理系统是一个逻辑演绎系统，所以对培养学生的逻辑思维能力和演绎推理能力都有其重要意义[12].虽然《标准》中突出直?^感知、操作确认、归纳类比等方法，但演绎推理仍然是验证猜想、证明结论的重要手段.因此，教师作为知识传递的源头，应在充分理解公理化思想方法的基础之上，将其融入自己的课堂教学中，向学生展示公理化思想方法及系统的特点与优势，在构建学生知识体系的过程中沉淀数学思想方法.

4.2.2 立体几何教学中合情推理与演绎推理应相辅相成

数学推理位于数学核心素养体系塔的第三层次――数学思维层，包括演绎推理和合情推理.合情推理作为获得猜想、发现结论的重要方式，有助于培养学生学生大胆猜想、勇于创造的探索精神；演绎推理注重运用事实和逻辑进行论证，有助于个体形成尊重事实和证据的理性精神[13].因此，立体几何角教学中教师应该在借助几何直观、空间想象、操作确认、度量计算等手段的基础之上，不失时机的引导学生进行抽象概括，体会公理化思想方法，发展学生必要的论证思维水平.