逻辑推理的规则范文

导语：如何才能写好一篇逻辑推理的规则，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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关键词：离散数学;存在量词;规则

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1002-4107（2015）12-0003-02

离散数学是计算机科学与技术、软件工程等本科专业的一门基础课程，而数理逻辑是离散数学课程中的一个重要组成部分，对提高学生理解和构造数学证明的能力以及培养学生的计算思维（computational thinking）具有重要作用[1-2]。

命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑教学内容中的两个部分。一阶谓词逻辑通过引入量词来表达个体与总体之间的内在联系与数量关系[3]，从而克服了命题逻辑中无法表达数量关系的局限性。

量词包括全称量词和存在量词。全称量词表达个体域中的所有个体，通常用符号“ ”表示;存在量词表达个体域中的单个个体，通常用符号“ ”表示。一般用小写字母a、b、c等符号表示个体常元，用小写字母x、y、z等符号表示个体变元，用大写字母A、B、C、P、Q、R等符号表示谓词。在谓词公式 xP（x）或 xP（x）中，x是约束变元，也称变元x是约束出现，这时的P（x）称为 x或

x的辖域;如果谓词公式Q（y）中不存在变元y的约束出现，则称变元y在Q（y）中自由出现，或称y是自由变元。在谓词公式 x yP（x，y）或 x yP（x，y）中，变元x在 x或 x的辖域内是约束出现，但在 y或 y的辖域内是自由出现。

一阶谓词逻辑推理系统除了具有与命题逻辑推理中一样推理规则之外，还有4条与量词的引入和消去有关的规则，分别是全称量词引入规则（简记为 +或UG）、全称量词消去规则（简记为 -、UI或US）、存在量词引入规则（简记为 +或EG）、存在量词消去规则（简记为 -、EI或ES）。量词引入也称为量词泛化，量词消去也称为量词实例化或指定。这4条与量词有关的引入和消去规则极大地丰富了一阶谓词逻辑推理的表达能力。

在量词引入规则和量词消去规则的教学中，保证量词引入规则以及量词消去规则的内容与形式的统一性对学生正确理解和接受推理规则及推理过程具有重要作用，否则容易引起学生理解上的困惑。

一、现有的规则

我们以文献[3]中关于存在量词引入规则（ +或EG）和存在量词消去规则（ -、EI或ES）为例进行说明。文献[3]是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，具有代表性。在文献[3]中给出的全称量词引入规则和全称量词消去规则的内容与形式是统一的，不存在理解上的困惑。

文献[3]给出的存在量词引入规则（ +或EU）形式为：

或 （1）

以及

或 （2）

其中，x、y是个体变元符号，c是个体常元符号。应用该规则的前提要求是：在谓词公式A中，变元y不在 x和 x的辖域内自由出现，常元c不在 x和 x的辖域内出现。

在上述式（1）这对表述中，第一个表述成立的依据是公式A（c） xA（x）永真，因此有A（c） xA（x）;第二个表述成立的依据是假言三段论规则：（BA（c））∧（A（c） xA（x）） B xA（x）。式（2）的情形类似。 我们看到，这个规则称为“存在量词引入规则”，其推理结果在形式上也体现了存在量词 ，规则的内容与符号形式是统一的，学生易于理解和接受。

然而，文献[3]给出的存在量词消去规则（ -或EI）的形式为：

或 （3）

以及

或 （4）

其中，y是个体变元符号，c是个体常元符号，应用该规则的前提要求是：变元y不在推理的任何前提公式以及谓词公式B中自由出现，常元c不在推理的任何前提公式以及谓词公式 xA（x）及B中出现。

我们看到，在这个称为“存在量词消去规则”的推理结果形式中反而出现了存在量词 ，使得规则的内容与符号形式不统一，导致学生理解上的困惑。

实际上，在上述式（3）这对表述中，第一个表述可以当作一条存在量词引入规则;该表述成立的依据是假言三段论规则：

（ xA（x）A（c））∧（A（c）B） xA（x）B。其中，常元c是满足谓词公式 xA（x）的个体。

而式（3）中的第二个表述在本质上不是消去存在量词，而是得出结论B，其成立的依据实质上是假言推理规则，即：

（ xA（x）A（c））∧（ xA（x）） A（c）

以及

A（c）∧（A（c）B） B。

其中，常元c是满足谓词公式 xA（x）的个体。因此，在该规则描述中的第二个表述其实是不必要的，可以从该规则中删去。

类似地，在式（4）这对表述中，第一个表述也可以当作一条存在量词引入规则;考虑到变元y的任意性，该表述成立的依据是假言推理规则（ xA（x）A（c））∧

（ xA（x）） A（c）、化简规则A（y）B A（c）B以及假言三段论规则（ xA（x）A（c））∧（A（c）B） xA（x）B 。

其中，常元c是满足谓词公式 xA（x）的个体。

式（4）中的第二个表述在本质上也不是消去存在量词，而是得出结论B，其成立的依据实质上是假言推理规则（ xA（x）A（c））∧（ xA（x）） A（c）、化简规则A（y）B A（c）B以及假言推理规则A（c）∧（A（c）B）

B。其中，常元c是满足谓词公式 xA（x）的个体。因此，该表述其实也是不必要的，可以从该规则中删去。

二、修改后的规则

为了保证规则内容与形式的统一性，我们可以将式（3）的第一个表述以及式（4）的第一个表述纳入到存在量词引入规则中，这种做法

其中，x、y是个体变元符号，c是个体常元符号。应用该规则的前提要求是：应用式（5）或（7）时要求常元c、变元y分别不在公式A中 x和 x的辖域内出现和自由出现;应用式（6）或（8）时要求常元c、变元y分别不在公式A中 x和 x的辖域内、公式B以及推理的任何前提公式中出现和自由出现。

在修改后的存在量词引入规则（ +或EU）中，式（5）的第二个表述和式（7）的第二个表述可以看成是在蕴含式的后件引入存在量词的情形，式（6）和式（8）的表述可以看成是在蕴含式的前件引入存在量词 的情形。这些表述具有内容与形式的统一性，便于学生理解和记忆，可以根据不同情形选择使用。

那么，存在量词消去规则应具有怎样的形式呢？我们可如下表述存在量词消去规则（ -、EI或ES）：

其中，c是个体常元符号。应用该规则前二个表述的前提要求是：常元c是满足公式 xA（x）的个体。

在修改后的存在量词消去规则（ -、EI或ES）中，当常元c是满足公式 xA（x）的个体时，式（9）中第一个表述成立的依据是公式 xA（x）A（c）为永真式，因此有

xA（x） A（c）;第二个表述成立的依据是假言三段论规则：

（B xA（x））∧（ xA（x）A（c）） BA（c）。第三个表述成立的依据是假言三段论规则：

（A（c） xA（x））∧（ xA（x）B） A（c）B 。

与对修改后的存在量词引入规则（ +或EU）形式的看法类似，在修改后的存在量词消去规则（ -、EI或ES）中，第二个表述可以看成是在蕴含式的后件消去存在量词 的情形，第三个表述可以看成是在蕴含式的前件消去存在量词 的情形，这样更便于学生理解和记忆。修改后的存在量词消去规则（ -、EI或ES）也是对文献[4]中对应规则的进一步扩充。

综上所述，在一阶谓词逻辑推理中，我们应保证规则的内容与形式的统一性，使学生正确理解和接受相应的推理规则，合理构造推理过程，从而有利于培养学生的计算思维能力以及提高学生的推理能力。

参考文献：

[1]Kenneth H.Rosen. Discrete mathematics and its

applications（7th Ed.）[M].McGraw-Hill（Asia）

Education Press，2012：xvi.

[2]Jeannette M.Wing. Computational thinking[J].

Communications of the ACM，2006，49（3）：33-35.

[3]屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学（第二版）[M].北京：

高等教育出版社，2015：60，81.

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语义Web旨在实现Web上数据之间的链接，为这些数据赋予语义信息，使得计算机能够理解和自动处理。在Tim Berners-Lee等给出的语义Web层次模型中，语义Web的实现依赖于以下关键技术: 用XML来承载Web页面的内容，使得Web文档含有XML标签所携带的元数据信息; 用本体定义XML标签的语义，使得XML标签所携带的元数据信息得到共同的理解; 使用智能agent，基于逻辑推理，对Web文档进行自动处理。在这些技术中，本体是实现语义共享并

进而实现逻辑推理和自动处理的关键。

描述逻辑是语义Web的逻辑基础

W3C于2004年2月接受了基于描述逻辑的OWL语言，将其作为Web本体语言的推荐标准。OWL语言由三个描述能力依次增强的子语言组成: OWL Lite、OWL DL和OWL Full。其中，在描述能力上，OWL Lite和OWL DL分别与描述逻辑SHIF(D)以及SHOIN(D)等价; OWL Full支持与RDF的兼容，但其对应的逻辑是不可判定的。鉴于本体在语义Web中所处的核心地位，描述逻辑也在一定程度上被看作语义Web的逻辑基础。

描述逻辑是一类用于知识表示的形式化工具。描述逻辑的渊源可追溯到上世纪60、70年代对知识表示的研究。当时出现的知识表示方式可大致分为两类: 基于逻辑的形式系统和非逻辑的表示系统。基于逻辑的形式系统采用命题逻辑、谓词逻辑等经典逻辑，对客观世界的某些部分进行准确刻画。非逻辑的表示系统则采用语义网络、框架、以及产生式系统等进行知识表示。与一阶逻辑等相比，语义网络和框架显得更加有效和易于使用。但是，语义网络和框架存在一个共同的缺点，即缺乏清晰的语义。在这种背景下，KL-ONE应运而生。

KL-ONE结合了语义网络和框架系统的优点，在提出之后就得到了学术界的广泛关注，并于1980年召开了第一届KL-ONE专题研讨会。该系列的专题研讨会一直延续至今，在依次改名为KL-ONE类专题研讨会、术语包含语言专题研讨会、术语逻辑国际专题研讨会等之后，于1994年正式更名为描述逻辑国际专题研讨会。在这期间，CLASSIC、BACK、LOOM、K-REP等逻辑系统相继涌现，描述逻辑家族的成员逐渐增多，对描述逻辑的研究逐渐成为一个热点。

描述逻辑的主要特征在于具有清晰的模型理论机制，适合于通过概念分类学来表示应用领域知识; 此外，其在具有较强表达能力的同时还保持了相关推理问题的可判定性。

扩展的描述逻辑支撑语义Web

经过二十多年的研究，FACT、RACE、DLP、Pellet等经过高度优化的描述逻辑推理机已经被开发出来; 描述逻辑也被成功应用到信息系统、数据库、软件工程、自然语言处理、以及网络智能访问等领域。对描述逻辑的研究趋于成熟。

在语义Web出现之后，尤其是在W3C组织将OWL本体语言作为推荐标准之后，关于描述逻辑的研究再次吸引了学术界和工业界的关注。Web具有开放性、动态性、分布性、交互性等特征，使得仅仅依靠描述逻辑难以实现语义Web的远景目标。因此，研究人员面临的一个课题是: 如何对描述逻辑进行扩展，或者如何将描述逻辑与其他形式的系统结合起来，从而为语义Web提供充足的逻辑支撑。

中科院计算技术研究所史忠植研究员提出了一种动态描述逻辑，将描述逻辑与动态逻辑以及情景演算中的动作理论有机地结合起来，可以在一个逻辑系统内对基于描述逻辑的静态的知识、关于动作的知识以及具有动态内涵的知识进行统一的描述和推理。动态描述逻辑弥补了描述逻辑在动态性方面的不足，为语义Web提供进一步的逻辑支撑。基于动态描述逻辑，史忠植研究员领导的智能科学实验室进行了一系列深入研究。研制了动态描述逻辑推理机，为动态描述逻辑所刻画的知识提供有效的推理服务，能够在开放的Web环境下进行推理，并且与OWL DL本体语言兼容。同时，动态描述逻辑推理机被嵌入到知识管理系统KMSphere，实现了从知识的描述和编辑，到对知识的推理、管理、以及应用等全方面的有效支持。此外，描述逻辑推理机还被应用到语义Web服务SWSBroker，为语义Web上Web服务的自动发现和组合提供支持。

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关键词：数学 逻辑 教学

一、高中数学逻辑

1、现阶段高中数学逻辑的基本内容

早在1956年的数学教学大纲中，就首次提出了要发展学生的逻辑思维能力，涉及了“定义、公理、定理”等逻辑基本知识。之后，逻辑知识的学习就成为数学大纲的一个重要组成部分，内容不断丰富，针对性不断增强。到2003年，教育部颁布了新的《普通高中数学课程标准(实验稿)》，其中常用逻辑用语作为单独的一章被列入高中数学选修1-1和选修2-1中，推理与证明内容作为单独的一章被列入选修1-2和选修2-2中。其具体要求为学生能了解、体会逻辑用语在表述和论证中的作用，并且能够利用逻辑用语准确地表达数学内容。经过一定的训练之后，可以形成自觉地利用逻辑知识对一些命题间的逻辑关系进行分析和推理的意识，发展学生利用数学语言准确描述问题、规范阐述论证过程的能力。

具体而言，高中数学的逻辑教学内容主要涉及常用的逻辑用语和逻辑推理方法。常用的逻辑用语包括：（1）各种命题。（2）简单的逻辑用语。（3）量词及命题的否定。（4）四种命题及相互关系。（5）充分条件和必要条件。逻辑推理包括：（1）三段论推理。（2）合情推理。（3）思维要符合逻辑。以上的八个方面基本涵盖了目前高中数学的逻辑知识类型。

2、高中数学逻辑知识的价值

在高中数学课程标准中，尽管专门的逻辑教学内容不足十课时，但是所涉及的常用逻辑用语和逻辑推理规则及方法却贯穿于全部的数学知识之中。除此之外，高中数学所学逻辑的价值绝不仅仅限于数学领域，在日常生活的诸多领域都起着非常重要的作用。

（1）应用价值。数学逻辑知识首先是为数学学习服务，上文提过数学是一门抽象的学科，一个命题的成立与否、几个命题之间的关系的证明都需要逻辑的参与。学好这些简单的逻辑用语、推理方法及规则是学好数学的前提。在数学领域之外，其同样也起着重要的作用。例如机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计、逻辑电路等计算机应用和理论等都是以这些简单的逻辑用语和推及规则为最根本的基础，甚至在经济、政治、哲学、文学等各个学科中，这些在高中学到的基本的逻辑知识也是必不可少的。

（2）思维价值。数学学科的一个重要目标就是培养学生抽象的逻辑思维能力。瑞士心理学家皮亚杰的心理发展阶段论认为，学生在高中阶段是以经验型为主的思维方式向理论型抽象思维过渡的阶段，这个时期逻辑思维占主导地位。而此时若进行简单逻辑知识的学习有利于最大限度地促进学生的思维训练，促进逻辑能力的培养。

二、高中数学逻辑教学中的问题和相关教学方法

目前在高中数学逻辑的教学中存在着不少问题，有的是因为教师知识储备和教学方法等方面的原因，有的是因为学生的认知能力有限方面的原因。下面是几个有代表性的问题和相关教学方法的建议。

1、对命题的理解。课本中的“命题”定义为“能够判断真假的语句叫做命题”。但在学习过程中，有的学生认为命题一定要有条件和结论，即命题都可以改写为“如果……，那么……”的形式。而对于“3>2”，因其不能改写成“如果……，那么……”的形式，就认为这不是一个命题。为了避免学生产生这种思维定势，教师在教学中应该不能过多地使用“如果……，那么……”来解释命题，同时要明确指出“如果……，那么……”只是命题的一种典型的格式而已。

2、逻辑联结词的掌握。逻辑联结词，主要是“或”“且”“非”三个，是高中数学逻辑知识的重要内容。准确地掌握逻辑联结词及其相互间的关系，就可以将复杂的复合命题分解为若干个简单命题，使命题简单化。有的学生将数学逻辑语言中的“或”“且”“非”与自然语言中的“或”“且”“非”混淆，辨别不清，产生错误。例如“4的平方根是2或-2”，如果“或”理解为逻辑联结词，意思是对的；然而理解为自然语言中的“或”就是不恰当的说法，这会让学生产生疑惑。因此在教学中，教师应该严格地区分自然语言和数学逻辑语言的区别，并明确指出两者之间的差别。因此，上文命题严格说法应是“4平方根有两个，是2和-2”，或直接说成“4的平方根是2和-2”，这样就不易造成混淆。

三、全称量词和存在量词的理解

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关键词：离散数学；自动推理；吴方法

中图分类号：O158文献标识码：A文章编号：1007-9599 (2010) 06-0000-00

Application of Wu's Method in Predicate Calculus Discrete Mathematics Teaching

Li Yi

(University of Electronic Science and Technology,National Computer Experiment Teaching Center,Chengdu610054,China)

Abstract:Discrete Mathematics is an important branch of modern science,is the basic theory of computer science core curriculum,and predicate logic is one of the important contents.How to Computer Automated Reasoning another classic method - Wu introduced into the teaching of discrete mathematics is the focus of this issue.

Keywords:Discrete mathematics;Automated reasoning;Wu's method

一、引言离散数学是计算机科学与技术专业的一门核心课程

作为数学的一个分支，其研究的对象是各种各样的离散量的结构及其离散量之间的关系。通过这门课程的学习，可以培养学生们严密的数学思维能力。同时，离散数学与计算机科学中的数据结构、操作系统、编译理论、数字逻辑理论、算法分析、逻辑程序设计、系统结构、容错诊断、机器定理证明、计算机网络、人工智能等课程有着紧密的联系。

离散数学的基础知识主要包括数理逻辑、集合论、抽象代数、格、布尔代数以及图论。对于工科学生，教学中，不仅要从数学的逻辑性和严密性上去论述所涉及的数学理论知识，更要注重培养学生了解这些数学知识在计算机科学诸领域中所起的应用作用。数理逻辑往往是工科学生在学习离散课程中最早接触的内容，且与人工智能和定理机器证明有着极大的联系。因此，如何让学生学好数理逻辑将直接关系到学生逻辑推理能力提高。谓词演算的演绎推理是数理逻辑部分的重点和难点内容，里面涉及到大量的知识点。教学实践表明，工科学生对这部分的内容往往难以掌握。而大部分院校在讲授谓词演算推理时，往往采用“纸和笔”的形式向学生演示整个推理的过程，甚少采用人机交互的方式。

本文中，针对谓词演算的演绎和推理，我们探讨了如何将吴方法引入到该教学内容中，以此从侧面来帮助学生了解数学推理的本质，加深他们对计算机自动推理的认识，提高学习数理逻辑的热情。

二、谓词演算的演绎和推理

在谓词逻辑中，为了研究命题内的内在联系就必须对命题做进一步的分解。

例1：小王是老师

对上述命题进行分解得到：首先，这里的“小王”被称为个体；“是老师”被称为谓词。如果用字每s来表示小王，用字母Q来表示谓词“是学生”。那么，上述命题可表为Q(s)。当需要描述个体间的关系时，就要引入二元谓词。

例2：10小于3

引进谓词Q，则上述命题可表位Q(10,3)。

此外，为了更好地刻画命题函数所表达的意思，往往还需要引进量词： 。在引入了个体、谓词和量词之后，谓词逻辑的表达就更加广泛了。如：

例3：并非所有的实数都是有理数

引进谓词R和Q，有 。

命题演算系统是被包含在谓词演算系统之中。因此，在谓词演算系统内，除了要使用命题演算系统所使用的RP，RT和CP规则外，还要引入关于量词的4条重要性质的推理规则：

US（全称特指规则）：

ES（存在特指规则）：

UG（全称推广规则）：

EG（存在推广规则）：

应用上述4条规则以及命题演算的推理规则，使得谓词演算公式的推理过程可类似于命题演算中推理理论那样进行。这样的推理方法常常需要一些技巧，在教学过程也很少通过计算机向学生演算整个推理过程。为了加深学生对计算机自动推理的理解，并便于人机交互的形式去演示推理过程，我们将计算机代数中的经典推理方法――吴方法引入到谓词演算推理的教学中。不同于前面介绍的经典逻辑推理，吴方法的引入实现了几何、代数命题推理的机械化。

三、几何定理机器证明

定理的机器证明是自动推理和符号计算领域最为活跃的分支之一。我国数学家吴文俊在70年代末提出的吴方法是在计算机上证明和发现几何定理，解决各种几何问题的有效工具。定理机器证明的思想可追溯到17世纪的G.W.Leibniz和R.Descartes。它的目标是要把一类数学问题当作一个整体，建立一种统一的，确定的证明过程，使得该类的定理只要按程序步骤机械地进行下去，在有限步后，就一定能判断出定理的真伪。这方面的工作可分为：以Hebrand理论及归结原理为代表的逻辑方法；以A.Newll及H.A.Simon等人的工作为代表的人工智能方法；以Tarski理论和吴方法为代表的代数方法。吴方法从提出至今，已在世界各国广泛传播，并出现了大量的学术论著。吴方法的发现使初等几何真正跨入了机械化阶段。当人们在初等几何范围内提出新命题而不知真假时，只要上机一试，便知分晓。而人的工作则主要是猜测、发现，并从机器证明的定理中挑选最漂亮的加以分析。吴方法的基本思想非常朴素：把几何命题化为代数形式加以处理。

例4：设梯形ABCD的两条对角线之中点的连线EF与梯形的一边AB相交，那么直线EF将线段AB平分（如图）。

当然，对此例，可以使用谓词逻辑的推理方法进行推断定理的真伪。这种推理方法需要一些技巧才能完成，且推理过程在教学中不便于通过计算机采用人机交互方式进行演示。因此，我们采用吴方法来进行自动推理，使得整个推理过程可通过计算机实时演示，从而使教学过程可视化。根据吴方法，

第一步，选取Descartes坐标系，不失一般性，将各点坐标依次选为：

于是，定理的假设由下列关系构成：

E是AC中点

F是BD中点

M是AB和EF交点

要证明的结论是：

M是AB中点

至此，我们已经完成了吴方法证明定理的第一步：用解析几何方法将问题代数化。剩下的问题就是，在假设一组多项式为0的条件下，求证另一组多项式为0。对本例，这就是：

设 求证

第二步，吴-ritt整序原理。将 或 中的变元 消去，得到一个导元为 的多项式，再用 将该多项式中的 消去，继而将 或 中的 消去。最后得到 的特征列为

其中， 。

第三步，伪除。即对 ，都有 。这说明，在非退化条件 下，定理是成立的。事实上，这些非退化条件是有几何意义的：

AD不与BC重合；

AB不与AD垂直；

ABCD不是平行四边形。

从上述过程易见，吴方法将推理的过程转变为代数方程组整相关的问题。

四、推理平台Maple

上述的三个步骤完全可以在计算机上通过人机交互的方式进行计算推理。这里，我们主要采用计算机代数系统Maple进行上述推理计算。

Maple是1980年由加拿大waterloo大学开发出来的。

当初开发Maple的目的是为了解决繁杂的代数运算问题。如今其版本已提升到Maple13，并已发展成一个相当完备的软件。它提供的数学元算工具相当完备，气符号运算能力使我们能一步一步地进行复杂的公式推导。对例4中的推理，我们仅需要将 对应的表达式键入到Maple工作区中；然后，调用Maple函数 计算 的值是否均为0。若是，则定理为真；否则，定理为假。此方法虽然是代数的，但它提供了一个可视化的方式去引导学生对计算机推理的认识。同时，通过在课堂上比较逻辑推理和吴法代数推理之间的差异和各自的特点，加深学生对谓词演算推理方式的理解。

五、结束语

由于谓词演算的推理涉及到大量规则的使用，因此在利用相关规则推理时，需要一定的技巧性。在教学方法上，针对工科学生的特点，我们不仅要注重启发创新，引入新方法，使教学内容丰富多彩，而且还要培养学生们的严密的逻辑思维能力。具体体现在，教学中，多采用可视化强，可人机交互的方式进行授课，从而便于学生容易理解和接受。对大部分概念都用实例加以说明；强化基本概念的描述，注重基本理论的证明方法。此外，对同一个问题，引导学生采用多种方法进行求解，充分发挥学生的主观能动性。通过开设实验课，使学生们不仅要掌握书上的理论知识，还要让他们了解这些知识的应用背景，真正做到学以致用。

参考文献：

[1]傅彦.离散数学基础及应用[M].电子科技大学出版社,2000.8

[2]左孝凌,李为a,刘永才.离散数学[M].上海科学技术文献出版社,1982,9

[3]魏长华,王光明,魏媛媛. 离散数学及其应用[M].武汉大学出版社,2006.6

[4]杨路,张景中,侯晓荣. 非线性代数方程组与定理机器证明[M].上海科技教育出版社,1995,12

[5]吴文俊.几何定理机器证明的基本原理[M].科学出版社,1984、

[6]何锋.离散数学教学中的命题符号化难点讨论[J].计算机教育,2007,(9):38-40

[7]师雪霖,尤枫,颜可庆.离散数学教学联系计算机实践的探索[J].计算机教育.2008,(20):113-115

[8]刘光洁.谈谈离散数学的教学[J].计算机教育,2007,(12):62-64

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关键词：自动扶梯；专家系统；JESS；J2EE

中图分类号：TP391：5；X943

文献标志码：A

文章编号：1006-8228（2017）01-12-04

0.引言

遵照《TsG T7005-2012电梯监督检验和定期检验规则一自动扶梯与自动人行道》的规定，在作检验时，由于检验员的工作经验及个人认识偏差等因素，很可能导致检验Y论不准确，主要表现在以下方面。

（1）检验项目：同一检验项目可能包含多个部件，每个部件可能有多种失效形式，不同的失效部件和失效形式组合具有不同的伤害大小和发生概率，情况非常复杂，检规不能――详细罗列。

（2）检验方法：部分检验项目的检验方法是“目测”，这无法对所列检验项目的伤害大小和发生概率进行具体量化。

（3）检规适用性：由于新的自动扶梯制造技术及新工艺的出现，导致现有检规不能涵盖所有类型自动扶梯，也无法及时跟踪技术的更新。而普通电梯检验员因为专业知识不够全面、对新技术不了解，导致检验结果判定存在偏差。

专家系统拥有该领域相当数量的专家知识，能模拟专家思维去解决困难和进行复杂的故障诊断、模式识别、风险评估等。为了解决自动扶梯安全检验项目的安全风险无法量化导致检验结论出现偏差的问题，开发了基于JEss和J2EE（Java 2 Platform，Enterprise Edidon）的自动扶梯安全检验专家系统。用户通过专家系统人机界面向系统提问，推理机按照匹配规则将用户的问题与知识库中事实进行匹配，推理出该项目的风险级别和检验结论，呈现给用户。

1.系统功能模块

自动扶梯安全检验专家系统从功能上分为四大模块，如图1所示，分别为人机交互模块、知识获取模块、逻辑推理模块和知识存储模块。人机交互模块以B（Browser），S（server）方式提供人员与专家系统远程交互界面，供检验专家知识的录入和检验人员进行逻辑推理。专家知识通过人机交互界面进入知识获取模块。专家知识是依据（（TSG T7005-2012电梯监督检验和定期检验规则一自动扶梯与自动人行道》检验项目，列出检验项目的主要失效形式、失效部件、失效原因、伤害实例、伤害部位、严重程度、概率等级、检验结论、检验方法及整改办法。问题严重程度按照《GBT20900-2007电梯、自动扶梯和自动人行道风险评价和降低的方法》，分为“1（高）”、“2（中）”、“3（低）”和“4（可忽略）”四种。概率等级可以分为“A（频繁）”、“B（很可能）”、“c（偶尔）”、“D（极少）”、“E（不大可能）“F（几乎不可能）”六个等级。在知识获取模块中，由规则解释器负责对专家检验案例进行解释，转换为专家系统能够识别的语言添加到专家知识库，然后通过调用知识存储模块将更新信息存入到知识存储模块中的持久化数据库中。检验人员的检索信息包括失效部件及失效形式，检索信息通过网页人机界面发送到专家系统服务器，经过规则解释器后，转换为专家系统能够识别的专家系统语言，检索信息一旦输入专家系统，即触发专家搜索引擎，调用预定义的专家逻辑，检索结果经过人机逻辑推理模块后，返回人机交互模块，显示伤害程度、风险等级、检验结论和对应的检测及整改办法。

2.系统技术方案

专家系统构建已经有很多种技术，如硬件与软件相结合C/S模式的vc++结合SQLServer，B/S模式的结合SQLServer等，本自动扶梯安全检验专家系统的开发采用J2EE+JESS技术，推理流程的技术方案如图2所示。J2EE处理人机交互、调用专家知识获取模块、专家逻辑推理模块和处理知识存储模块。JESS是Java平台上的规则引擎，JESS使用的声明式编程通过一个名为“模式匹配”的过程连续地对一个事实的集合运用一系列规则。JESS使用非常高效的Rete运算法则来处理规则及解决复杂匹配问题，适合自动化专家系统的逻辑编程。

基于JESS和J2EE的自动扶梯安全检验专家系统实现的技术方案如下。

（1）用户与专家系统的交互采用B/S模式，采用支持动态网页开发的JSP（Java Server Pages）技术编写，利用JSP标签在HTML网页中插入Java代码，实现Java web应用程序的用户界面部分。JSP通过网页表单获取用户输入数据、访问数据库及其他数据源，然后动态地创建网页。

（2）用户利用浏览器访问专家系统的网址，浏览器将用户请求封装成为HTML的Form表单提交到服务器。

（3）用户的检索请求被服务器转发至Servlet。Servlet是的主要功能在于交互式地浏览和修改数据，生成动态Web内容。服务器启动并调用Servlet，Servlet根据客户端请求，调用相应的Action处理。

（4）J2EE框架采用开源框架Structs 2来简化开发工作，Structs2使用Action来封装HTTP请求参数，Action类包含了对用户请求的处理逻辑，被称为业务控制器。

（5）在专家系统中，含有大量的某个领域专家水平的知识与经验，称为“事实（facts）”。对于自动扶梯安全检验专家系统，每一条事实包含的信息为：“检验项目”、“检验类别”、“失效形式”、“失效部件”、“失效原因”、“伤害实例”、“伤害部位”、“严重程度”、“概率等级”、“检验结论”、“检测方法”、“整改方法”。“检验项目”和“检验类别”依据《TSG T7005-2012电梯监督检验和定期检验规则-自动扶梯与自动人行道》检验项目给出。“失效形式”是指具体的功能表现。“失效部件”是指发生失效的具体部件。“失效原因”是指发生失效的物理原因。“伤害实例”是指发生伤害事故的具体表现。“伤害部位”是指对人体产生伤害的具体部位。添加事实的页面如图3所示。

（6）在JAVA中使用JESS有两种方式，第一种为直接调用JESS.Rete类建立Reta对象，然后用JESS.Reta.eval函数对Reta对象的JESS语句进行操作，即JESS语句是嵌入到Java语句中的。第二种为预先编写好JESS的clp文件，然后在Java调用。本系统采用两种方案混合的模式，在保存、读取事实和规则时采用预先调用预先编写好的clp文件方式，在进行检索推理时，直接在java中生成并绦JESS语句。

（7）在专家系统中同时还含模仿专家解决问题的方法称之为“规则（rules）”。在自动扶梯安全检验专家系统中，作为通用检索条件的项目为“检验项目”、“检验类别”、“失效形式”、“失效部件”和“失效原因”。

（8）在检索条件输入专家系统后，推理机就针对当前问题的条件或已知信息，反复匹配知识库中的规则，生成检索结果集合。

在Struts2框架中，当action处理完之后，就应该向用户返回结果信息，该步骤任务被分为两部分：结果类型和结果本身。在检索结果显示页面，采用AJAX技术动态显示搜索结果列表，还可以点击打开该条案例的详细JSP页面供使用者参考。检索结果的列表显示页面如图4所示。

3.应用案例

《TSG T7005-2012电梯监督检验和定期检验规则一自动扶梯与自动人行道》的第6.11条“检修盖板和上下盖板开启监控”规定：检修盖板和楼层板应当配备一个监控装置，当打开桁架区域的检修盖板和（或）移去或打开楼层板时，驱动主机应当不能启动或者立即停止。对于“如机械结构能够保证只有先移除某一块检修盖板或者楼层板后，其余检修盖板或者楼层板才能依次移除，则至少在移除该块检修盖板或者楼层板时，电气安全装置动作”的情况，普通检验人员按照检规规定可以根据“移除任何一块检修盖板或者楼层板时，电气安全装置动作。”，而判定该检验项目为“不合格”，同时划分该项目风险为“I.需要采取保护措施以降低风险”。而实际检验中，检验专家也可以根据“如机械结构能够保证只有先移除某一块检修盖板或者楼层板后，其余检修盖板或者楼层板才能依次移除”，判定该检验项目为“合格”，同时划分该项目风险为“Ⅲ，不需要任何行动。”采用自动扶梯安全检验专家系统后，可以将此条例外情况作为一种专家经验，输入到专家数据库中，给普通电梯检验员提供参考。该条正向推理规则的流程图如图5所示。

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关键词：逻辑； 思维； 实践； 真理

中图分类号：B81 文献标识码：A 文章编号：1673-0992（2010）08-0332-01

结论对前提来说是否新知，逻辑证明能否得出新真理？这是逻辑史上长期未获解决的问题。我个人认为，逻辑证明是一种思维过程，是人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等思维形式能动地反映客观现实的理性认识过程，是一种理论思维。它是作为对认识着的思维及其结构以及起作用的规律的分析而产生和发展起来的。真理就是事物发展的客观规律。客观规律存在于人的主观意识之外，不以人的意志为转移。客观规律在人们头脑中的反映，就是主观真理。主观真理总是相对的。认识来源于实践,但认识有正确和错误两种可能；认识回到实践，同样也有成功和失败两种可能。从实践上升为认识，上升为理性，这是一个飞跃。同形象思维不同，它以抽象为特征，通过对感性材料的分析思考，撇开事物的具体形象和个别属性，揭示出物质的本质特征，形成概念并运用概念进行判断和推理来概括地、间接地反映现实。通过逻辑证明，就象1+1经过证明可以得出2一样，1+1得出2，就得出了新结论，但也可以说是客观实际。逻辑规律主要是研究客观世界的逻辑规律的科学。这种客观规律在人类诞生之前早就广泛地存在，人类认识了这种规律后便形成了逻辑科学，在人认识了事件到事件的过渡之后，就形成了思维的过渡，客观世界存在的过渡是必然的，但人认识的过渡却不一定是必然的，就需要逻辑证明和科学解释。

如果狭义的理解，那逻辑证明不出新真理，广义的理解引申的理解，逻辑证明出新真理。逻辑证明过程只是一种纯思维的理性的思考过程，是在不段实践中总结出来的科学思考方法，是一种工具。证明的结论只是用一种科学方法循序渐进得出的必然结果，换言之只是用科学的逻辑方法经过正确的逻辑推理得出一个合乎理性的答案。正像新元素在没发现之前就已经存在一样，科学的研究也只是一个不断探索、发现的过程。单纯的用逻辑证明、推理是很难得出新知识，逻辑证明和推理过程必然要结合大量的自然科学知识，甚至是自然科学为主体，逻辑证明为辅助工具。

逻辑证明更准确的说就是运用已知的正确判断，通过逻辑推理，从理论上确立另一判断正确性的方法。它是严格按照人的思维规律来进行的。思维规律是人们认识客观世界的最一般规律，它是在人们认识客观世界过程中，对实现主客观相统一的最典型、最一般模式的升华和抽象，因此具有普遍性。逻辑思维是人类全部历史实践的产物，理性思维能力是人类实践能力在精神形式上的内化和积淀，逻辑推理的规则也是人类实践活动的内在普遍特性的反映。逻辑证明是人类认识世界必不可少的方法，它对理论的形成、发展和检验具有重要作用。例如，在某种新的理论尚待发现的时候，它可以起到由已知推论未知的探索真理的作用；在真理形成和发展过程中，它可以起到阐述真理的作用；在运用真理的过程中，它可以提供指导线索，避免走弯路；在检验和实现真理的过程中，它可以起到理性分析的、甚至于可以直接对某一认识的真理性进行检验使其实现。众所周知，凡是已知的知识是对事物最本质、最一般化的认识，那么它就有共性，不仅是对某一特定对象的反映，而且也是对同类事物共同本质的反映，由已知推出未知是毫无困难的。如用“凡生物必死”作为已知的普通性的知识就可以推论出各类生物一定死亡的正确性。此外，认识在实践中接受检验时，必须运用逻辑方法使其具有可检验的形式。同时，对实践过程和实践结果分析时，也必须充分运用逻辑方法。总之，逻辑证明常常发挥着直接检验和实现真理方式的作用，有时在一些领域，例如数学、逻辑学和哲学领城里常常单独地起着检验和实现真理方式的作用。 但是相对实践方式，逻辑证明还不是检验、实现真理的根本方式。因为：一是逻辑证明所依据的是思维规律和逻辑规则，而思维规律是否正确地反映了客观规律，逻辑规则是否正确地反映了人的思维规律，这些归根到底都需要实践来证明的，二是只有科学的逻辑证明才是实践检验的间接的、集中化的形式。逻辑证明的前提、规则和过程都是以实践为基础的。三是经过逻辑证明了的认识或结论，还需要实践给以最终检验或持续不断的检验。只有以实践为后盾的逻辑证明才能在一些领域中起着单独的直接的检验和实现真理的作用。

哥德巴赫猜想是为无数实践证明是对的,但是至今未能得到理论上的证明，所以仍然只能是猜想和经验，不能当作普遍的规律去使用。如果承认科学的定理是真理的话，那么很多定理是根据已知的定理推导出来，而推导出来的定理马上就可能用于解决实际问题，而无须再用实践检验一下。哥德巴赫猜想用实践证明不了,只能有待于理论的证明； 再说逻辑证明，就是运用已知的正确概念和判断，通过推理从理论上来论证另一种概念和判断的正确性的逻辑方法。逻辑证明还能在具体实践之前大体证明认识的真理性，节省人力、财力、物力，而且对于实践检验真理的过程有重要作用。逻辑证明可以论证实践无法直接检验的认识。如宇宙大爆炸理论，人类起源理论等，从而得出新知。但是逻辑证明中的推理前提是在以往的实践中被证明的正确的认识，逻辑证明中使用的逻辑规则是在实践中产生，并被实践证明过的，逻辑证明所得的结论还要再回到实践中去由实践最后判定其真理性。逻辑证明在根本上依赖于实践标准。这有就是说为什么有必要区分广义和狭义。为了避免由于用语的歧义而导致的假争论，逻辑证明出新知就有必要廓清语词的涵义和论题的意义。真理应该为认识与对象的符合，把检验真理的标准规定为判定认识与对象是否符合的标准，把逻辑规定为传统的和现代的演绎逻辑，把逻辑证明规定为以确定论题的真为目的的演绎推理。无论何种复杂冗长的逻辑证明，均由论据（即前提）、推论（即根据普遍有效的推理形式而进行的思维活动）和结论（亦即待证的命题）组成。对论据进行了分析，指出作为论据的命题不外乎经验命题、公理、定理和定义四种。然后分别对四种命题的特点作了详细的分析，无论何种命题都只要自己证明自己是否与客观对象相符合。再对推理进行了分析，推理所依据的推理形式本身是否普遍有效并由逻辑来证明的，当然也可以由人类亿万次的实践来证明。无论从推理的起源看，从形成以后的功能看，均是如此。

综合论述得出的结论是：既然前提和推理形式本身的真实性都能由逻辑来证明，可见由前提推出的结论是否与对象符合是可能由这一推理过程本身来判定。逻辑证明揭示前提与结论之间的蕴涵关系，并在检验真理的过程中的作用是巨大的、不可缺少的，并且是不可代替的，没有逻辑证明的辅助，实践检验真理将无法进行。

おげ慰嘉南祝

[1]亚里士多德.工具论[M].北京：中国人民大学出版社，2003.

[2]罗 素.逻辑与知识[M]. 北京：商务印书馆，1996.

[3]张家龙 .逻辑学思想史[M].长沙：湖南教育出版社 ，2004.

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七年级下学期开始几何证明的学习，教师学生共同的反应是几何难学。教师认为讲解很清楚，可学生的思维仍然跟不上。学生听得懂，可自己做时无从下手，或东扯西拉，就是说不清。教材的安排很简单，证明入门时的内容是平行的判定和性质两节，练习也没有难度，可综合练习学生根本不会做。因此，在实际教学中绝大多数教师认为，只有一遍又一遍地讲解，一题又一题地练习，以期学生早点开窍。

二、问题的根源分析

首先，是学生的思维方式和思维习惯没有及时“转轨”。以前的数学分析大多数是数字之间的计算和基于现实生活中的问题，很容易理解。如时间、速度、路程，单价、数量、总额，收入、支出、余额，等等。学生理解并分析这些问题没有障碍。可是在几何证明问题中，给出两个相等的角，能得到什么？基于学生的生活知识和经验的缺乏，很难理解这个问题。简而言之，以前学生单纯的根据条件就能理解的思维方式在现在的几何证明中完全行不通。

其次，几何证明需要严密的逻辑推理，一个条件要根据数学定理（或公理）才能得到一个结论。前一步得到的结论作为一个新条件继续进行推理。这样，由多个推理组成一个严密的“链条”，经过共同作用得到最后的结果。就学生的生活阅历和理解能力来说，思维缺乏这种严密性和条理性。

三、解决措施

学生的几何学习难可归纳为三个问题：几何读图、逻辑推理、过程书写。针对问题，笔者认为，几何证明入门初期的教学可从这三个方面入手。

1.理解条件时要数形结合

几何问题与学生原来接触的代数问题最大的区别是数形结合。离开图形，一切条件都没有作用。比如，题目中给出两边平行的条件，对照图形就可以得到角与角的关系：相等或互补。如果离开具体的图形，根本不知道能得到什么。而学生恰恰不习惯的地方就在这里。原来可以通过自己的思想分析就可以自己进行的推理，在这里出现“卡壳”。因此，读懂图成了教学的首要任务。对照图，理解条件的真实作用是几何入门的第一步。

在日常的教学中，教师一开始几何知识的教学，就要告诉学生，图形是分析问题的唯一工具。因此，将学生的思维落脚点放在图形上是教师转变学生思维习惯的重中之重。还要强调的一个问题是，对于图形能提供的信息有哪些，学生可能不明白分析问题必须遵循的规则。几何入门时学生必须熟悉的规则是：两条直线相交一定有对顶角和邻补角；三角形的三个内角的和是180°；平行线相交产生的三种角，等等。这里面还要着重强调的平行与等角之间关系，通过平行将角进行移动，培养等量代换的思维习惯。在几何证明中，条件必须依赖图形，分析问题必须遵守图形的客观规则。

2.理清思路时要前后连贯

几何证明时使用几个条件经过中间的转换得到一个结论，需要严密的逻辑推理。在教学初期，学生由一个条件根据定理（平行的判定和性质等）得到一个结论，很不习惯。因为这中间包含的逻辑知识,学生以前没有接触过。现在要完成一连串的推理更是无从入手。因此,教师在教学时，可以分解难度。比如要证明两边平行，告诉学生首先从问题入手，根据所学平行线的判定，必须找到相关的角。然后，再从已知条件入手，结合图形，由已知条件可得到角或边的有关结论。这样的前后两头分析很容易将思路连接起来。

分析问题是由角得到平行，还是由平行得到角，学生的思路不清晰，甚至将未知条件当成已知条件来应用，还有的将结论当已知条件应用。出现这些问题的原因是对基本定理理解不透，一知半解。也就是说，思维不能遵循图形的规则。分析问题时要培养学生正确的解题习惯，那就是条件的正确标注。比如将平行、等角这些已知条件标到图上。这就像指挥员作战前在地图上标注敌我双方的兵力布防一样，学生只有熟悉掌握“自己的兵力”，才能进行综合的判断，顺利的找到解题思路。如果没有这一步的准备工作，学生分析问题时不能进行系统的考虑，顾此失彼，很难找到正确的思路，这也是学生学习的一大难点。

3.理顺过程时要有因有果

学生理清思路后在书写推理过程时容易犯两种错误。

第一是顾此失彼，推理不严密，有结果无原因。教师要特别强调，每一个结论必须有一个原因支持，没有原因结论就不能成立。原因可以是已知条件，或图形中的已知关系（对顶角、邻补角等），或是上一步得到的结论。

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【关键词】命题逻辑；命题公式；逻辑连接词

一、引言

命题逻辑本质上就是命题运算，它把命题作为运算对象，逻辑连接词看作运算符号，是一个简单命题组成复合命题的过程.这里的逻辑连接词反映的是各个原子命题之间在自然语义当中的逻辑关系，使用准确才能够真实有效地把自然语句符号化为命题公式，从而进行逻辑推理.本文中我们将对“析取词”和“蕴含词”这两类使用易错的逻辑连接词在命题符号化过程中使用的要点和难点进行解析.

二、逻辑连接词使用的要点和难点

在符号化一个自然语句成为命题公式的过程中，五种常用的逻辑连接词是：否定词、合取词、析取词、蕴含词和等值词，符号为“

瘙 ，∧，∨，，”.其中最易出错的是析取词和蕴含词的使用，以下我们来分别解析.

在自然语句里面“或”这个词的自然语义是具有二义性的，有时是“同或”，有时是“异或”，那么在符号化带有“或”语义的自然语句时，我们首先要分清楚是“同或”还是“异或”，反映在符号化的结果中会有很大的差异.我们首先要注意的是析取词反映的是“同或”的自然语义.比如，自然语句“周末我们去西湖或者去灵隐寺”，这句话我们分解出原子命题两个：p：周末我们去西湖；q：周末我们去灵隐寺.符号化后的命题公式是“p∨q”，在这里我们周末去西湖还是灵隐寺是同或的意思，去其中一处还是两处都去，都是可以的，那么析取词就用得很恰当了.

以下我们来举一个“异或”的例子，自然语句“G8次列车6点出发或9点出发”，这是一个典型的异或的语义，因为G8次列车不可能6点和9点两个时间都出发，6点与9点只能够选择一个时间.我们分解出原子命题：p：G8次列车6点出发；q：G8次列车9点出发.符号化后的命题公式是“（p∧

瘙 q）∨（

瘙 p∧q）”，“异或”的语义在这个符号化后的命题公式中非常清楚地表现出来了.

接下来给大家解析一下蕴含词的使用要点.蕴含式“pq”中蕴含前件p是后件q的充分条件，反之q是p的必要条件.自然语句中表示蕴含关系的词语非常多，我们在符号化一个带有蕴含逻辑关系的自然语句时，区分哪个是必要条件、哪个是充分条件通常是一个难点.比如，自然Z句“除非你有驾照，否则你不能够开车”，我们分解出原子命题：p：你有驾照；q：你可以开车.符号化后的命题公式是“qp”，这里我们要特别说明一下，不能够符号化为“pq”，因为你有驾照只是你能够开车的必要条件，而不是充分的，比如，你酒后是不能够开车的，尽管你有驾照.

最后我们举一个既包含蕴含关系又包含异或关系的例子，让大家在符号化自然语句时更加清楚明白.自然语句“你在吉利汽车公司买了一辆新车，你将可以获得8 000元现金回扣或者利率为5%的低息贷款”，我们分解出原子命题：p：你可以获得8 000元现金回扣；q：你可以获得利率为5%的低息贷款；r：你在吉利汽车公司买了一辆新车.符号化后的命题公式是“r（p∧

瘙 q）∨（

瘙 p∧q）”，这里你购买新车后两种福利不能够同时获得，只能够二选一，是“异或”的含义.

三、小结

有了第二点中关于析取词和蕴含词这两类逻辑连接词使用难点的解析，学生在学习命题符号化时就可以快速准确地符号化复杂的自然语句，进一步研究自然语句之间的形式结构和逻辑关系、推理规则和推理形式.真正地实现数理逻辑的先驱莱布尼兹曾经的理想，创造出了一种“通用的语言”，把逻辑推理过程像数学一样利用公式来进行演算，最终得到合理正确的结论.

【参考文献】

[1]Kenneth H Rosen.离散数学及其应用（英文版第七版）[M].北京：机械工业出版社，2012.

[2]方景龙，周丽.应用离散数学（第二版）[M].北京：人民邮电出版社，2014.

[3]韦兰英.离散数学课程教学研究与实践[J].广西民族师范学院学报，2010（03）：121-123.

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【关 键 词】 数学；小学；逻辑；能力；培养

小学数学教学，很重要的一点就是培养学生的逻辑思维能力，特别是在应用题的教学中，老师引导学生对应用题进行分析理解的过程，实质上是一个逻辑思维的过程。

一、什么是逻辑思维

逻辑思维是指人们认识客观事物过程中运用要领进行确切的判断，有层次地进行分析推理。小学生限于年龄特点和生理关系，逻辑推理还未十分严谨。因此在数学的应用题教学中，必须经过老师的反复示范，引导学生模拟，逐步地潜移默化地通过不断解答应用题的训练方式初步掌握形成逻辑思维的方法，使学生学会运用这些方法去分析问题和解决实际问题能力。

二、怎样利用应用题教学培养学生的逻辑思维能力

（一）利用“对比分析”培养学生的逻辑思维能力

对比分析也可以说是比较分析，对比是区分事物异同点的逻辑方法之一，小学生学习应用题基础知识的过程从不会到会，从囫囵枣到理解，经常需要引导学生进行观察、对比，才能更好地区分联系与区别，以便学生正确地理解与掌握。不论数的多少、形的大小，抑或量的长短等，都要通过对比才会形成要领。所以说，对比是培养学生逻辑思维能力的基础。

如求一个数比另一个数多多少或少多少？用加减法计算的简单应用题，教师便是通过运用教具演示，如白球11个，黑球6个，引导学生观察，运用已有知识――同样多的基础上，迁移来进行对比。（如下图）

白球：

黑球：

说明白球和黑球除了同样多的6个外，白球多5个，就是说在同样的6个的基础上还多5个，用加法就是5+6=11个。在此基础上，反过来问学生黑球比白球少多少个，通过观察对比学习，学生认识到11比6多5，也就是6比11少5，进一步认识两者间的联系与区别，学生计算起来也就没什么难度。至此求比一个数多几或少几的简单应用题，学生便能更好的掌握，并且加深了理解。

但在对比时必须注意两个问题：

（1）对比的两个事物必须是相互联系的。如“求一个数的几倍”和“求一个数是另一个数的几倍”的应用题，它们之间是相互联系的，如果拿线段与分数则不可能相比。

（2）对比时必须抓住事物的本质进行比较。如商不变的性质、分数的基本性质、比的基本性质这三个性质的本质联系。通过抓住本质对比，能对知识点的理解更正确、透彻。

（二）利用“推理”培养学生的逻辑思维能力

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。数学作为一种演绎系统，它的重要特点是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通过定义引入的。这种演绎系统一方面使得数学内容以逻辑意义相关联。另一方面从知识结构所蕴含的逻辑思维形式中得到的研究方法（如逻辑推理等），再去获取更多的知识。

如简单的求平均数的应用题，（1）小明有7本课外书，小新有3本，小芳有8本，他们平均每人有几本课外书？（2）小明做了6道数学题，小英做了8道，小立做了7道，他们平均每人做了几道数学题？（3）小花期末考试，语文96分，数学100分，英语94分，音乐98分，平均每科多少分？通过这些不同内容的题目，找出共同的解答方法是：归纳为先求得几个数的和，再除以个数，并可概括出：个数的总和÷个数=平均数。

在日常的数学教学中，我们经常运用到三段论的推理方法，它由三个部分组成：（1）大前提；（2）小前提；（3）结论（最后决断）。如第一中队由少先队员36人，每12个队员一小队，这个中队里有几个小队？运用三段的过程是在引导学生先弄清楚题目的内容条件和问题，一般提出下列问题：（1）这道题目告诉我们什么？（2）题目问题是什么？（3）用什么方法计算？为什么？因此在数学教学解答应用题的过程中，应逐步培养学生养成运用演绎推理的习惯。

（三）利用“抽象概括”培养学生的逻辑思维能力

抽象是把客观事物许多属性中排除其中的偶然的，非本质的属性，抽取出它本质的属性，以便形成鲜明的概念和规律。概括是把同一类事物具有共同的本质的属性结合起来的叙述。数学中的概念，法则、性质、定律、公式等都是通过文字、数学、符号等进行抽象概括出来的结果。

如解答一定数量的复合应用题以后，我们就引导学生作出如下的概括。解答应用题的步骤：（1）弄清题意，并找出已知条件和所求问题；（2）分析题里的数量关系；（3）确定解答的顺序和运算方法；（4）列出算式进行计算；（5）检查、验算，并写出答数。抽象和概括是大量客观事物的基础上抽取出共同特性的结果。抽象概括在小学数学教学中，经常结合在一起运用。如果不教会学生对所学的知识作抽象概括的叙述，就难以运用概念进行判断，用法则指导计算。所以，从低年级开始的数字教学中，就应注意逐步培养抽象概括的能力。

三、在解答应用题教学中应注意几点

1. 默读题目。注意培养学生默读题的习惯。

2. 了解题材。对于不熟悉的题材，老师提供知识背景，有利于学生对题目的了解，允许学生简单地将题材所反映的情境加以描述。

3. 可以找关键性的词语。因为词语提示了一定的计算方法，表达了某种数量关系，但不能孤立地抓词语，防止学生将某个词语与某个计算方法不恰当地联系起来。

4. 用图表示数量关系，富有直观性。

5. 培养学生分析推理能力，即思考方法。借以培养学生聚合思维和发散思维，使两者相辅相成，相得益彰。

小学应用题教学与学生逻辑思维能力的培养不是通过一节课，一个单元，或一个学期的教学就能完成的，是一个潜移默化的过程，需要较长时间逐步培养。实践证明，教师只要在平时有意识、有目的、科学地运用有效的教学策略来培养学生的逻辑思维能力。另外学生的逻辑思维能力的培养应该不仅仅是局限于数学领域，还可以拓展到其他的生活领域。“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”，我们要为培养学生的逻辑思维能力而不懈努力。

【参考文献】

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长期以来，中学数学教学十分强调推理的严谨性，过于渲染逻辑推理的重要性，而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起着重要作用，合情推理与演绎推理是相辅相成的。在证明一个定理之前，先得猜想、发现一个命题的内容，在完全作出证明之前，先要不断检验、完善、修改所提出的猜想，还要推测证明的思路。你先要把观察到的结果加以综合，然后加以类比，再一次又一次地进行尝试，在这一系列的过程中，需要充分运用的不是论证推理，而是合情推理。合情推理的实质是“发现―猜想”，牛顿早就说过：没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。著名的数学教育学波利亚早在1953年就大声疾呼：“让我们教猜测吧！”先猜后证，这是大多数的发现之道。在解决问题时合情推理的特征是不按逻辑程序去思考，但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合而来的一种跳跃性的表现形式。因此在数学学习中，既要强调思维的严密性，结果的正确性，又要重视思维的直觉探索性和发现性，即应重视数学合情推理能力的培养。

一、在“数与代数”中培养合情推理能力

在“数与代数”的教学中，计算要依据一定的“规则”――公式、法则、推理律等。因而计算中有推理，现实世界中的数量关系往往有其自身的规律。对于代数运算不仅要求会运算，而且要求明白算理，能说出运算中每一步依据所涉及的概念运算律和法则，代数教学不能只重视会熟练地正确地运算和解题，而应充分挖掘其推理的素材，以促进思维的发展和提高。如，有理数加法法则是以学生有实际经验的向东向西问题用不完全归纳推理得到的，教学时不能只重视法则记忆和运用，而对产生法则的思维一带而过。又如，对于加乘法各运算律也都是采用不完全归纳推理形式提出的，重视这样的推理过程（尽管不充分）既能解释算律的合理性，又能加强对算律的感性认识和理解。再如，初中教材是用温度计经过形象类比和推理引入数轴知识的。再如：求绝对值|-5|=？|+5|=？|-2|=？|+2|=？|-3/2|=？|+3/2|=？从上面的运算中，你发现相反数的绝对值有什么关系？并作出简捷的叙述。通过这个例子，可以培养学生的合情推理能力，再结合数轴，还可以让学生初步接触数形结合的解题方法，并且让学生了解绝对值的几何意义。

在教学中，教材的每一个知识点在提出之前都进行该知识的合理性或产生必然性的思维准备，要充分展现推理和推理过程，逐步培养学生合情推理能力。

二、在“空间与图形”中培养合情推理能力

在“空间与图形”的教学中，既要重视演绎推理，又要重视合情推理。初中数学新课程标准对于《空间与图形》的教学指出：“降低空间与图形的知识内在要求，力求遵循学生的心理发展和学习规律，着眼于直观感知与操作确认，多从学生熟悉的实际出发，让学生动手做一做，试一试，想一想，认别图形的主要特征与图形变换的基本性质，学会识别不同图形；同时又辅以适当的教学说明，培养学生一定的合情推理能力。”并为学生“利用直观进行思考”提供了较多的机会。学生在实际的操作过程中，要不断地观察、比较、分析、推理，才能得到正确的答案。如：在圆的教学中，结合圆的轴对称性，发现垂径定理及其推论；利用圆的旋转对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系；通过观察、度量，发现圆心角与圆周角之间的数量关系；利用直观操作，发现点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，等等。在学生通过观察、操作、变换探究出图形的性质后，还要求学生对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机地整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，这个过程中就发展了学生的合情推理能力，注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质，同时也有助于学生空间观念的形成，为学生的探索提供努力的方向。

三、在“统计与概率”中培养合情推理能力

统计中的推理是合情推理，是一种可能性的推理，与其它推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑推理的方法去检验，只有靠实践来证实。因此，“统计与概率”的教学要重视学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断和决策的全过程。如：为筹备新年联欢晚会，准备什么样的水果才最受欢迎？首先应由学生对全班同学喜欢什么样的水果进行调查，然后把调查所得到的结果整理成数据，并进行比较，再根据处理后的数据作出决策，确定应该准备什么水果。这个过程是合情推理，其结果能使绝大多数同学满意。

概率是研究随机现象规律的学科，在教学中学生将结合具体实例，通过掷硬币、转动转盘、摸球、计算器（机）模拟等大量的实验学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对其合理性的理解。

四、在学生熟悉的生活环境中培养合情推理能力

教师在进行数学教学活动时，如果只以教材的内容为素材对学生的合情推理能力进行培养，毫无疑问，这样的教学活动能促进学生的合情推理能力的发展。但是，除了学校的教育教学活动（以教材内容为素材)以外，还有很多活动也能有效地发展学生的合情推理能力。例如，人们在日常生活中经常需要作出判断和推理，许多游戏很多中也隐含着推理的要求。所以，要进一步拓宽发展学生合情推理能力的渠道，使学生感受到生活中有“数学”，有“合情推理”，养成善于观察、猜测、分析、归纳推理的好习惯。

总之，数学教学中对学生进行合情推理能力的培养，对于老师，能提高课堂效率，增加课堂教学的趣味性，优化教学条件、提升教学水平和业务水平；对于学生，它不但能使学生学到知识，会解决问题，而且能使学生掌握在新问题出现时该如何应对的思想方法。

参考文献：

［1］中国教育学会中学数学教学专业委员会.面向21世纪的数学教育.浙江教育出版社，1997.5.

［2］教育部基础教育司.数学课程标准研制组编写.数学课程标准解读.北京师范大学出版社，2002.4.