数学应用的广泛性范文

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【关键词】广泛应用性 高中数学 教育 联系 影响

中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2017.10.148

基于社会的不断发展与进步，传统的高中数学教育模式显然已难以满足当前人才的需求，必须打破旧有的教育模式，开⑷新的数学应用教学的征程。数学作为理论与实践紧密联系的一门学科，教师在实际的数学教学活动中要重视数学的应用性，让学生意识到数学于实际生活中的作用。以往的高中数学教学模式倾向以应试教育为主，过于重视学生分数的提高，而忽视其实用性。高中数学广泛的应用性有着双面效用，为教学工作的开展带来一定的难度，同时又可以借助数学的应用性，有针对性地开展高中数学的教学工作。

一、当代数学广泛应用性与高中数学教育的联系

（一）数学广泛应用性的体现

1.基于数学理论层面的应用。在相关经济学的研究中，常常会涉及较多的数学理论，如线性规划、运筹学、优化理论等。

2.基于数学思想方法层面的应用。在相关历史学的研究中，借助数学的思想方法，可以使研究的过程与研究成果更加严谨、精准，有利于收集与整理材料，并分析材料的内容，拓宽思考问题的方式，从而解决某些难题。

3.基于数学思维层面的应用。掌握并灵活应用数学思维模式，数的意识、化归意识、推理意识等数学的广泛应用性是普遍适用、强有力的思维方式，可以构成技术时代至关重要的能力，能够识别谬误与估计风险，同时提出变通的方法。

4.基于数学语言层面的应用。数学的“语言”是世界不同种族通用的语言，正如伽利略所说的那样，“自然界的伟大的书是用数学语言写成的”，数学的应用需要以数学语言作为表征。

（二）高中数学教育中的价值取向

当前我国高中数学教育虽然对数学的应用思想予以一定的重视，但着力点仍停留于数学的空间能力、运算能力、逻辑能力上，偏重于抽象的思维能力方面。高中数学教育中一直有着价值取向选择的问题。

1.应用价值。数学学科有着较强的应用性，高中数学的教材中有许多相关的例题与习题，教师在教学活动中要把握实例，以此来引申拓展，让学生形成应用数学知识解决具体问题的思路。比如，运用函数的最值来解决优化问题，运用对数、指数、数列等知识解决与经济相关的问题。近年来，高考数学试题的编制倾向于应用型问题，与时代要求相契合，又源于数学自身的应用价值。

2.思维训练价值。数学可以启迪、训练人们的思维能力，被看作锻炼思维的“体操”，通过长期的数学学习，可以在潜移默化中形成严谨、缜密的思维，使其学习、生活更加富有条理性，各方面的能力都能得到一定的提升。数学思维具有创造性、策略性、条理性的思维模式，数学教育学家奥加涅相说：“区别于传统教学，现代教学的特点就在于力求控制教学过程以促进学生思维的发展，而基本的思维方式则成为学生要掌握的专门内容”。

（三）平衡数学教育中的两种价值取向

数学可以看作为思维的科学，即使从事与数学亳不相干的职业，加强数学思维的训练也有着极大的益处，这也就是数学最为广泛的“实用性”。在高中数学的学习过程中，要想解决实际问题，离不开数学的思维方式。学生的思维得以活跃，必须借助一定外界因素的刺激，因此，在数学的教学活动中，教师需要认真钻研教材内容，精心创设问题情境，从而激发学生的数学思维，全方位地提升学生的素质。高中数学教育中的应用价值与思维训练价值，二者之间的张力如何平衡，是值得深入研究的问题。

二、当代数学广泛应用性与高中数学教育的影响

（一）高中数学的应用性教学及其目的性

1.对高中数学的应用性教学的界定。高中数学的应用教育，借助于数学知识、方法与思想来研究客观世界中存在的各种现象，并对其进行加工、整理与组织的教学过程。通过实际问题，来构建数学的模型，转化为与数学相关的问题，再运用数学的思想与方法解决问题，整个过程呈现的是一种基于能力型的教育活动。

2.高中数学的应用性教学的目的。《新课程标准》对数学知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观方面提出了较为明确的教学目标。高中数学的应用性教学的目的在于开发学生的智力水平，强化数学的思想方法于其他领域中的运用，使学生的发散思维得以发展，促进学生分析问题与解决问题的能力的形成，培养学生的实践能力，可以自主地运用相关的数学知识去处理问题。

（二）对高中数学教材的处理

1.从数学广泛应用性的角度思考高中数学教材的处理。 第一，高中数学的教材中要充分体现数学应用价值与思维训练价值二者的有机融合；第二，高中数学的教材中要突显其工具性；第三，基于素质教育实施的层面考虑，高中数学的教材建设要尽可能体现数学应用所具有的教育价值。我国当前高中数学教育所使用的教材多数为理论型教材，理论型数学教材不利于数学应用教育的开展。要以数学应用为出发点，构建多层次、多形态与多样化的教材体系，既有严谨探讨的理论，也有实例阐述的理论，并对理论的应用多加关注。

2.从数学应用的角度思考高中数学教材的处理。高中数学教材中要尽量选用源于实际生活中的问题，阐述与数学知识相对应的实际应用领域，直观呈现数学这一解决现实问题的手段。高中数学教材作为重要的教学资源，教师要对其进行适当的加工，在理解教材内容的基础上，灵活驾驭教材中的数学知识，创设合理的教学情境，有效提升教学的质量。

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一、高中数学的特点

1.高度抽象性

学习数学首先是学习抽象，而抽象离不开观察、概括、比较、分类，因此数学学习方法要求掌握观察、比较、分类、概括、抽象等思维方法，多观察和制作模型，并把实物和模型联系起来。

2.逻辑的严谨性

观察和实验不能作为论证的依据和方法，而要经过逻辑推理，才能得到承认，而逻辑推理在数学中主要通过证明和计算来完成，所以数学学法也就是具体的证明和计算方法。

3.应用的广泛性

数学应用的广泛性表现在数学研究的主要是对象的空间形式和数量关系。而应用数学解决问题主要通过提出问题，明确地用数学语言表述，建立数学模型，证明和计算，检验评估，因此数学学法必须掌握建立数学模型，用数学文字描述客观事物，并对之证明、计算、检验。

二、如何学好高中数学

1.养成良好的学习习惯

建立良好的学习习惯，会使自己学习感到有序而轻松。学习高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

2.掌握常用的数学思想和方法

学好高中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的数学思想有以下几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等。

3.逐步形成“以我为主”的学习模式

学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，正确对待学习中的困难和挫折，养成积极进取，不屈不挠的优良心理品质；在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质，结合自身特点，寻找最佳学习方法。

4.针对自己的学习情况，采取一些具体的措施

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【关键词】初中数学教学；数学教学过程和结果；问题；策略

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）20-0182-02

一、初中数学教学的特点

初中数学主要研究的数量关系、空间，符号体系具有严密性，公式结构也是独特的，图像语言非常形象。和小学数学相比而言，初中数学拥有逻辑性的教材结构、更强的系统性。首先在知识衔接上，后边学习的基础往往是前面所学的知识；另一方面表现在数学知识掌握的技能技巧方面，已有的技能技巧是新的技能技巧形成的前提条件。概括起来讲，初中数学教学有以下几个方面的特点：抽象性，逻辑的严密性，应用的广泛性。

（一）抽象性

数学和其它学科的抽象性相比，初中数学在对象上、程度上都不同。借助于抽象才形成起来的数学，也是凭借抽象发展的。对象的具体内容是抽象的数学撇开的，而只是保留了数量关系和空间形式。运算数学、推理数学、证明数学、理论数学的合理性等，而不同于可以借助可重复的实验来检验那样，严密的逻辑方法才能保证其实现。

（二）逻辑的严密性

具有严密逻辑性的数学，任何被承认的数学结论都是经过了严格的逻辑推理的。也并非数学所独有严密的逻辑性。任何科学都会有逻辑工具的应用。但和其它科学相比数学对逻辑的要求不同。

（三）应用的广泛性

数学作为一种工具或手段，运用在科学技术及一切社会领域中。数学化各门科学，是一大趋势。互相联系的三个数学的特点，抽象性的高度，决定了严密性的逻辑，同时又确保其应用性的广泛性。

二、初中数学教学的过程

新课标形势下，要求初中数学教学要包含以下几个过程：

（一）教师专业化的学习

教师进行专业理论以及专业知识的学习，是教育教学能力提高的重要途径之一。为推进教学改革数学新课程，数学教师应加强学习现代教育理论。加强对大众数学、新的教学理论的了解；加强对当下数学教育发展的总体趋势的了解，把握数学学科改革的大体方向；加强对《数学课程标准》学习和把握；加强对本学段全套数学教材的钻研；各个部门组织的专业培训应积极参与，学校数学课程的培训和研究应主动参加，理论素养不断提高，不断加强数学专业水平和教学能力。

（二）教师学科备课

（1）制定长期和短期教学计划。

（2）了解国家精神和学校要求，明白教材理念和精神。

（3）制定本学期的教学安排和内容，巩固好本阶段和上阶段已完成的阶段性的胜利。

（4）制定复习计划。

（三）教师课堂教课

1.数学课堂的教学要求

（1）实施的教学目标应符合新课标的要求，学生此阶段的心理基础、特征、认知水平。

（2）学习资源、素材应提供丰富、恰当，教学媒体的运用有助自主学习课堂的建构。

（3）有学习组织的有序，数学教学过程清晰。

（4）学习指导的合理有效。数学问题情景的合理创设，学生探究心理被激发；

（四）批改作业

1.布置作业紧扣新课标，习题的精选，适当的难度，适中的份量，学生过重课业负担得到减轻。

2.题型避免单一，注重弹性，不同的作业要求对不同水平的学生。

必须批改统一布置的作业。

三、初中数学教学的主要问题

（一）落后的观念，学习积极性缺乏

目前，大部分的课堂教学仍然是以老师为主，讲的越多越好，学生只是被动的听，练习也很机械，这种教学方法对学生的发展很不利，也不符合新课标的要求，不能适应当代社会对人才的需要。

（二）只注重形式，忽视教学本质

有些老师课堂上只一味的和学生进行互动，对互动的目的并没有很多思考。随意的带动学生，随意的开展讨论，只是对新课标的理解的流于形式。

（三）单调的形式，没有互动

和上一条相比，有些教师在课堂上只是注重学生考试成绩，只是讲解各个知识点，并不能让学生很好的理解为什么是这样，更有甚者让学生自己死记硬背公式，或者例题，课堂上根本没有和学生有互动，一个人在讲台上唱独角戏。

（四）互动没有深度，层次停留在表面

在和学生的互动中，老师经常一味的提问，学生机摸不着头脑的回答，很机械。我们还经常发现很多学生回答问题的答案都是一样的，问题在于老师的提问很有问题。

（五）教师只是喜欢数学好的学生

我们都喜欢好孩子，老师都喜欢好学生，在课堂教学中，成绩比较好的学生更容易获得老师关注，成绩会越来越好，但是有些本来数学成绩不好的学生成绩会愈来愈差。

四、初中数学教学的策略

（一）教师理论水平的提高

要想上课有东西可讲，老师首先必须有足够的理论知识，而且必须保证其理论知识不断的更新。在培养学生综合素质的同时，教师应该不断的提高自己的综合素质，教师理论水平很大程度了影响了学生的水平。

（二）课堂气氛要平等，和谐

教师要亲切，和蔼可亲，讲堂上像对自己的孩子一样，耐心细致的对待自己的学生。

（三）扩大互动范围

教师要注重调动每位学生的积极性，而不是某些特别的学生。师生互动的主要目的就是让学生参与到课堂中来，让学生真正的收益，我们应该坚持师生互动，提高教育水平，个性化的制定教学方法。

（四）深化教学过程，注重教学结果，实现过程和结果的和谐统一（下转147页）

（上接182页）要让学生在学习过程中感受到快乐，同时又能学习到知识。在学习知识的同时又能得到成长，获得人生的感悟和总结。针对不同阶段的教学特点，制定该阶段的教学过程和适用的方法，以达到教学效果最大化。

五、小结

初中阶段的学生有其该时期的特点，该阶段的数学教学也有其独特的特点，我们应该深化教学过程，找到最优教学办法，以达到教学效果最优，使学生体验到学习快乐的同时，又能学到数学知识。

参考文献

[1]《关于初中数学教学全过程的有效性的研究》2010.张传敏

[2]《初中数学教学中问题情境创设的研究》2012.镇江四中.将红

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一、数学的应用价值

1.数学提供计算的工具和方法

在科学发展的进程中，数学的作用日见凸现。一方面，高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学;另一方面，随着计算机科学的迅速发展，数学兼有了科学与技术的双重身份，现代科学技术越来越表现为一种数学技术。当代科学技术的突出特点是定量化，而定量化的标志就是运用数学思想和方法。精确定量思维是对当代科技人员的共同要求，所谓定量思维指人们从实际中提炼数学问题，抽象为数学模型，用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解题的计算软件，以便得到更广泛和更方便的应用。高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点，无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的控制来实现的。电子计算机是数学与工程技术相结合的产物，而在其发展的每个历史关头，数学都起了关键的作用。

数学在经济、财政和金融等社会活动中有重要意义。用数学模型研究宏观经济与微观经济，用数学手段进行市场调查与预测、进行风险分析、指导金融投资，这在世界各国已被广泛采用。经济与金融的理论研究上，数学的地位也更加特殊。在诺贝尔经济学奖的获得者中大部分是数学家，或有过研究数学的经历。

数学在社会生产实践中应用的具体事例很多。海王星的发现、技术的应用、密码学的产生、量子力学的发展等，数学在其中都起了重要的作用。我国研制原子弹，试验次数仅为西方国家的十分之一，从原子弹爆炸到氢弹研制成功，只花了2年零3个月，大大低于美国所花的时间，其原因之一是选派了许多优秀数学家参加了研制工作。

2.数学是描述科学理论的合适语言

在数学史上，有两个最重要的方法极大扩展了“数值计算”的语义表现力：一个是我们熟悉的笛卡尔坐标，它能够把所有的几何证明问题转换为代数计算问题; 另一个是天才的哥德尔编码，它能将所有形式语言系统的符号变换（当然也包括了所有的推理证明），都变换为自然数论中的计算问题，从此“可计算”这一概念就包含了所有的推理证明。从这里我们可以看出，“计算”并不只是对某个实际问题求解的“术”，它是数学语言独特的表达形式，即将日常谓词用算术谓词的形式表达出来，变成一个数值计算问题。比如决策问题对应一个极值求解，相关判断对应于内积运算等等。另外，与自然语言和逻辑语言相比，数学语言能更细腻，更方便地表达差别。

二、 数学的理性价值

1.数学方法是一种科学的认识方法

数学追求一种完全确定、完全可靠的知识，数学的对象必须是明确无误的概念，作为推理出发点的命题必须明确清晰，推理过程的每一步骤都必须明确可靠，整个认识过程必须前后一贯而不容许自相矛盾。正因为如此，数学方法成为一种典型的认识方法，帮助人们正确地、客观地认识宇宙和人类自己。因此，M.克莱因说：在最广泛的意义上来说，数学是一种精神，一种理性精神，正是这种精神，使得人类的思维得以运用到最完美的程度，也正是这种精神，试图决定性地影响人的物质、道德和社会生活，试图回答有关人类自身存在的问题，努力去探求和确立已经获得的知识的最深刻、最完美的内涵。

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一、让学生感受数学从生活中来，培养学生应用数学的意识

要使学生有较强的应用数学知识的能力，首先要培养学生良好的应用数学知识的意识，有了这种意识，学生就能将已有的知识自觉地运用到实践中去。在知识的运用中，既理解巩固知识，又有利于培养学生的创造力。

新课程教学要以实际事实为背景，使学生认识到数学问题来自生活。数学学科对于小学生来说，还是比较抽象的，老师在教学时要善于用学生身边的实际事实为背景，结合生活事例进行教学，使学生感到学习材料与生活很贴近，从而以积极的心态投入学习。例如：我在教学4的认识时，让学生寻找有关数量是4的事例：汽车有4个轮子，小兔子有4只脚，桌面有4条边，正方形有4个角等。教学“千以内数的认识”时，列举一些生活中熟悉的数据，如学校操场一周长250米，一辆自行车400元，一本新华字典600页，像250、400、600等数据都来自生活实际，学生很容易理解和接受，从而以积极的心态投入学习，正确掌握了数的概念。在教学“长方形的面积计算”时，从学生熟悉的游泳池引入，让学生思考如何求游泳池的面积。在我的指导下，同学们运用已有的知识，分工合作，积极探索长方形面积的计算方法，最后求出了游泳池的面积。通过这样的情景教学，同学们在学习过程中应用了原有知识，解决了生活中的实际问题，尝到了解决问题的快乐，应用数学知识的能力增强了，使学生渐渐明白：数学与生活实际紧密联系，生活中处处离不开数学，数学是一门十分有用的学科。

二、联系实际，引导学生认识生活中的数学问题

数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，作为学科的小学数学也有严密的知识系统。小学生由于缺乏日常生活常识与社会实践经验，以及心理、生理上的特点，他们往往感到数学抽象，学起来很枯燥。著名数学家华罗庚说：“人们对数学早就产生了枯燥乏味、神秘难懂的印象，成因之一便是脱离实际。”因此，在小学数学教学中要紧密联系学生生活实际和他们所熟悉的社会实践，以利于他们理解和掌握抽象的数学知识，把所学知识与生活实际、社会实践联系起来，解决一些简单的实际问题，达到学以致用的目的。同时，教师在教学中要注意采取多种形式激发学生的情感，引导他们动手、动脑，使之在获取知识、解决问题的过程中，亲身体会到数学知识应用的广泛性。经常向学生提出生活实际、社会实践中需要解决的问题，激发学生学习数学的求知欲，这样他们就会热爱数学。当学生发现自己所学的知识是有用的，能解决实际问题时，他们就不会再感到数学是枯燥的了。例如：我在学生掌握了长方体、正方体的体积后，拿出事先准备好的一个土豆问学生：它的体积是多少，你们会计算吗？学生面对这个不规则的物体开始不知所措，这时我启发学生思考能否用我们所学过的知识来解决这个问题呢？有的学生提出可以用“割、切、拼”变形的手段把土豆的不规则形状转化成一个长方体，再求出它的体积。我表扬了这位学生的想法，同时又设疑：如果不改变土豆的形状，而想求出它的体积，怎么办？正当大家迷惑不解时，我把一个盛了一部分水的透明长方体水槽轻轻放在讲桌上，启发大家能不能利用长方体水槽里的水来测量并计算出土豆的体积？这时课堂气氛十分活跃，学生争先恐后地讲自己的想法。有的说：可以先量一下水槽里水的深度，再把土豆放进水槽，从水面上升的高度可以计算出土豆的体积；有的补充说：必须先量出水槽的长和宽，算出它的底面积是多少；还有的说：算出水槽的底面积后，也可以先把土豆放进水槽里量一量水面的高度，再把土豆取出来，水面就下降了，然后再量一下水面下降的高度，同样也可以计算出土豆的体积。我因势利导，让学生量出水槽的长是30厘米，宽是20厘米，计算出水槽底面积是600平方厘米。又让学生用两种方法测量出水面上升或下降的高度都是1.2厘米，很快计算出这个土豆的体积是600×1.2=720（立方厘米）。同学们个个脸上露出成功的微笑。这样他们不仅学会了计算不规则物体的体积，能用所学的数学知识解决生活中的实际问题，而且也激发了他们学习数学的兴趣。

三、开展丰富多彩的实践活动，把数学知识运用到生活中去

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【关键词】职高数学 数学实验 探讨

【中图分类号】G712 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2011）24－0189－01

近年来，职高教育迅速发展，出版发行了许多供职高学生使用的数学教材，但良莠不齐，为了弥补这些教材的不足，除了授课教师根据教学的实际情况整合、优化各种教学资源外，笔者设想在职高数学教学过程中融入数学实验也是弥补教材不足的重要方式之一。

一 当前职高学生的学习基础

学生文化基础薄弱，他们不知道怎样学好数学，他们把更多的精力花在如何应付期末考试上。很多学生不知道用数学如何解决今后工作或生活中遇到的问题，甚至很少关心和思考这个问题。因此，学生普遍对数学的学习热情不高，重视不够，不了解数学的应用，也不关心数学的应用；职高学生对所学专业课程缺乏必要的基础训练和深刻的思考已是一种通病，从各门课程的课后习题解答的就可以间接地证明这一点。

笔者认为，在职高数学应着力解决以下几个问题：（1）职高数学的教育目的，是职高数学教学要为职高院校的人才培养服务。（2）处理好数学基础与学生个人的后续发展、数学基础与教学应用之间的关系。（3）采用灵活的授课方式，提高课堂教学质量，提高教学效率。（4）提高学生学习数学的热情，加强学法指导。（5）引进案例教学，突出数学应用的广泛性。（6）借用数学软件包教学，降低数学应用过程中的运算量和难度。

在职高数学教学中引入实验，虽不能解决全部问题，但至少可以解决以上一部分问题并且还有着一系列的促进作用。

二 数学实验在教学中的作用

职高数学教学中融入数学实验，可以大大提高学生的学习兴趣、运算速度和动手能力。由于计算机在日常应用中的普及，使原来因计算复杂而难以实现的问题得以解决，在数学问题上不用刻意编拟人为的“应用数学问题”成为现实；在教学中不再回避复杂计算，而将问题的分析引向更深的层次。在教学中，如果能像设计业和制造业那样利用计算机，把师生从繁琐重复的低级劳动中解放出来，把更多的时间用于概念、方法和建模的思考，那么教学的效率必然会大大得到提高。使学生更好地了解学习数学的目的，提高学习积极性，将突破只在课堂进行数学教学的限制，扩充学习时空。

三 在数学教学中融入数学实验的模式

职高数学的实验融入教学的一个重点在于职高数学的应用，如经济学中的边际分析、弹性分析、最优化问题、热力学、电学、信号系统、控制理论等方面。

具体的模式分为以下几个步骤：学习职高数学的基础知识，进行简单运算的训练，根据实际问题创设问题情境，用所学知识把实际问题转化为数学问题后得到数学模型，利用计算机解决问题，有时还要对结果预测检验和改进模型。讲授职高数学基础知识，即主要的概念、基本方法，然后进行简单的运算训练。必须让学生知道运算法则和结论，并清楚计算的方法，了解计算的过程。

根据实际问题创设问题情境，在授课过程中，教师要力求避免这些教材存在的缺憾，大胆采用案例教学，根据实际问题尽量创设真实的问题情境，将数学问题解决置于一个具有现实意义的背景中，突出数学应用的广泛性，方能让学生觉得数学有用，所学的数学可用、能用，提高学生学习数学的兴趣，激发学生的学习热情。同时，所选案例应针对学生、针对专业来选，如对于相关金融保险专业的学生，引入类似的案例：推出一种与养老结合的人寿保险计划。

例如，（1）制订一个完整的个人购房贷款等额本息月均还款额表，初始贷款额为10000元，借款期限不超过20年，据1999年9月公布的商业贷款利率，1～5年期为5.31%，1年期为到期一次还本付息，5年期以上者（不包括五年期）为5.58%，公积金贷款利率分别是4.14%和4.59%，表中应包括借款年限，根据以上两种贷款利率计算出的月利率、月还款额、总还款额和利息负担总额。（2）以某一个借款期限（譬如2年或3年）为例，将上述的逐月还款制改为逐年还款制，或者是每季度还款制，研究何种还款周期对贷款人更有利？

这样，既充分体现了职高数学教学为学生专业服务的原则，又达到了为人才培养服务的教学目的。在教学中，要引导学生养成检验求解结果和不断改进数学模型的习惯，这可以帮助学生培养求真、求善、勇于探索的科学精神。

总之，数学实验的教学能在数学掌握程度不高的职高学生中顺利开展，但是教学中引入案例，创设问题情境对教师提出了极高的要求，一般教师对真实案例若是不熟悉领域问题，将很难给出专业的判定，且很多时候超出职高学生的可接受范围。因此，如何找到适合的案例进行建模和实验操作，这一问题有待日后继续探讨。对于广大同行而言，这是一个值得研究的课题，期望大家一起努力，为新课改添砖加瓦，为减负增效贡献自己的力量。

参考文献

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关键词：不等式 算术-几何均值不等式 应用

中图分类号：0178 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）05（a）-0165-02

均值不等式是数学中的一个重点内容，由文献[1]知，它是由调和平均数、几何平均数、算术平均数 和平方平均数所联合满足的不等式≤≤≤。“算术-几何平均值不等式”（≤）的应用广泛性已经得到了人们的重视（见[2，3，4]）。研究工作主要集中在函数最值问题，不等式成立问题，但对它在不等式证明中应用的延伸还需进一步深入研究。本文分别从内容的突破和形式的构造两个方面，探索算术-几何均值不等式在不等式证明中的应用。

1 基本算术-几何均值不等式

如果、，那么≥（当且仅当时，“=”成立），这个不等式称为基本“算术-几何”均值不等式，也叫均值定理。深刻理解和掌握此不等式的内容及形式，便能快速找到问题的突破口，从而解决问题。

4 算术-几何均值不等式在积分不等式证明中的应用

命题[5]：若函数在上是正值可积的，且，则≤，应用“算术-几何”均值不等式可推出该命题成立。过程如下：先构造不等式≤，再两边同时积分≤，化简不等式≤1，去分母可得≤

利用算术-几何均值不等式来证明不等式时需要构造不等式的内容及形式，同时需要注意均值不等式的条件“一正二定三相等”，从上面的例子可以看出算术-几何均值不等式在不等式证明中的实用性和重要性。

参考文献

[1] 王学功.著名不等式[M].北京：中国物资出版社，1993：12-15.

[2] 吴善和，石焕南.平均值不等式的推广及应用[J].贵州教育学院学报，2003，14（2）：14-16.

[3] 刘俊先.平均值不等式在数学分析中的应用[J].廊坊师范学院学报：自然科学版，2009，9（1）：14-15.

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【摘要】应用性问题，是指有实际背景或现实意义的教学问题，在近几年中考试题中，涌现了一批贴近生活实际、富有时代气息新型应用性问题，应用题突出考察学生创新意识和实践能力。使学生在解决问题的过程中了解数学的价值增进对数学的理解和应用数学的信心。

【关键词】中考 数学 应用性问题

应用题是数学中考突出体现考察学生能力的试题之一。应用题按应用的对象、性质和实际背景可分为传统的行程问题、工程问题、百分率问题。非传统的主要是利息、利率、商品销售、利润、人口增长率、环境保护、建筑加工、运输决策，合理规划及综合型问题等，按所用数学知识和方法可分为：应用代数（方程与不等式、函数与不等式）；应用几何（角三角形、全等形与相似三角形知识）：应用图像法；应用二次函数；分类讨论和综合分析等。

传统的应用题主要是布列方程、测量和解Rt应用，实际问题背景较理想化和陈旧，新的应用性试题主要是初等数学建模和数学决策，尤其是建立函数关系，将列方程和不等式等知识综合应用，实际问题的背景较复杂。而后者有利于考查学生分析、综合、整理实际问题，从纷繁的问题中抽出数学模型，即化归能力。值得注意的是初中的应用性试题应逐步按新课标提出的观点，表明有价值的数学和用数学方法去思考，另外要求解决简单的实际问题，不要一提到应用性问题就难，使数学建模变成少数人去做的事，有违大众数学的思想。而数学本身来源于实际，应该用于实际，生活、生产与科学实验、其他学科到处要用数学。日常生活天天有数学，要让数学贴近生活，并不是一得应用，就是去建模。我们教学的目的之一是养成学生用数学意识、数学知识去思考问题，能把一些简单的数学知识和原理直接用于实际。新课标中把学生提出问题、收集、处理数据、做出决策的预测的过程作为目标，中会考已在这方面开始逐步显现。如用样本去预测总体，对实际问题作出数据收集和处理。

数学的特点之一是应用的广泛性，它在各学科和生产与生活实际的应用越来越重要。中学阶段的数学知识与方法在实际中的应用非常多，数学新课程标准指出学生应“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中其它学科中的问题，增强应用数学的意识。”作为中学素质教育的导向作用。中考应加强应用性问题的设置，近年来，数学应用性试题的考查成为中（会）考的热点，各个省市都在这方面作了努力和加强，尤其在新的应用性试题方面，出现了许多有利于考查学生能力和素质的应用性试题，打破了教材中传统的应用题分布，应用性试题分散在选择题、填空题和解答题之中，不孤立于在解答题这一点上，这是中考比高考优秀之处，并出现了具有时代气息的新题型，如有关人口增长、土地资源、环境保护和决策规划等。今后的应用性试题除保持前几年的风格外，应用性试题的知识面不一定要求多和过繁的综合，应注意在试题中的运算上尽可能简单，突出应用中的开放性探究，如方法与结论的开放性；数学实验性的应用，如翻析问题，由几何作图进行实际设计。其应用数学知识和方法有新的突破，能有效地考查学生数学应用能力。

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我们求学生涯经历了很多的科目课程，这些课程对于我们的今后的生活工作有很大的帮助，高等数学就是众多的学科中的一种。高等数学使我们必修的科目之一，高等数学在我们今后的工作学习中都有很好的体现，当我们认识到了高等数学的重要性之后，我们就要认真的学好这门功课，如何的使学生们更好的吸收学习这门功课也不是一件简单的事情。我们要针对于学生的特点学习爱好进行总结，以学生喜欢的形式灌输给学生，不断地推动高等数学的进程，使其不断地改革发展，不断地提升高等数学的品质。

1.高等数学教学的主要目标

高等数学的教学理念就是通过简单引导，不断地提高学生们独立思考，独立完成问题的能力，最终完成解决问题目的。怎样才能很好地培养学生这种独立的思考问题、分析问题的能力呢，我们必须针对课程的内容知识点进行详细的分析，然后制定教学方案，然后进行具体的教学，以便达到预期的教学目的。

1.1高等数学课程的特点

（1）内容的抽象性。数学内容的抽象性给学生造成接受上的困难，如：高等数学中的极限定义证明，微积分及级数的定义等都具有高度的抽象性。

（2）逻辑的严谨性。数学逻辑的严谨性给学生学习数学带来了理解上的困难，数学的逻辑不仅指数学知识的严密逻辑，更重要的是数学的逻辑分析方法。如：高等数学中的定义、法则、定理的表述，以及性质、定理和习题的证明将逻辑与推理相结合，非常严密。

（3）应用的广泛性。数学应用的广泛性给学生造成了掌握上的困难，如：高等数学中的极限、微积分、级数、微分方程等在后续课程、工程实践和经济领域中都有广泛的应用。

1.2数学应用能力的培养

数学应用能力包括的很广泛对于知识的理解程度，在实际的工作中的运用能力，如何的更好的把学习中的数学与我们的世界的生活联系起来等等，这些都是我们要考虑的能力。在我们的教学中，如何的能够很好地是学生能够拥有这种能力呢？我们要针对于教学的课程的特点进行深入的分析，首先，我们要让学生们必须牢靠的掌握基础知识与基本的数学的技能，因为一切的升级与难点都是从基础的理论不断地演变来的，在传授知识的同时要灌输数学的逻辑思维，推理等数学所应有的能力，不断地提升学生的自身素质，只有这样我们的教学才会更好的开展。下面是对一些方面介绍。

1.2.1抽象思维能力的培养

针对数学内容的抽象性，应加强学生抽象思维的训练，极限是高等数学中最抽象的概念，也是高等数学的难点和重点，它是贯穿于整个高等数学课程的一根红线，高等数学的其他内容基本上是函数极限理论在不同情况下的应用。从连续到导数、从微积分到级数都是用极限来定义的，可以说理解和掌握了极限的抽象思维方法，高等数学的很多内容都可以迎刃而解了。

1.2.2逻辑思维能力的培养

注重培养学生的逻辑思维能力，不仅能使学生学到严谨的思维方法，提高表达能力，而且也能使他们养成严格认真的科学态度，这对他们今后从事科研与生产实践或组织管理都很有益处。教学过程中应结合所讲的内容适当渗透一些逻辑知识，以提高学生的逻辑思维能力。如：极限的唯一性、收敛数列有界性证明，实际上就是逻辑推理方法的应用，特别是“反证法”，思辨性的具体应用。

1.2.3逆向思维能力的培养

数学中的逆向思维最能激发人的创造能力，是培养学生创新意识的重要手段。如：极限的证明方法的练习是最能培养学生逆向思维能力。

2.高等数学竟赛的重要性

大学生高等数学竞赛是为了激发学生学习高等数学的积极性，提高运用数学知识解决问题的能力，培养学生的创新思维，进一步推动高等数学教学体系、内容和方法的改革。高等数学竞赛对学生的逻辑思维、抽象思维、空间想象能力以及学生的自学能力的锻炼和提高都有着积极的作用，主要体现在以下3个方面。

（1）有利于激发学生学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。新颖而有创意的数学竞赛问题使学生有机会享受沉思的乐趣，经历“山重水复无疑路，柳暗花明又一村”，在学生遇到困难问题时，帮助他们树立战胜困难的决心，不轻易放弃对问题的解决，鼓励他们坚持下去，这样做可以使学生逐步养成独立钻研的习惯，克服困难的意志和毅力，进而形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

（2）有利于促进学生全面创造性的发展。学生的创造性是其完善人性的集中体现，而完善人性也是学生创造性发展的基础和保障。因而，培养学生的创造性，是数学竞赛的根本任务。通过数学竞赛教育促进学生创造性的发展，应该是其全面发展的重要内涵和数学竞赛价值的集中体现。

（3）有利于学生数学能力的提高。数学竞赛的命题和培训选手的宗旨是以数学能力为重点。学生在学习和掌握数学竞赛知识方法及其过程中，对发展其数学能力具有重要的教育作用和意义。

3.高等数学教学与高等数学竞赛的关系

高等数学日常教学是高等数学竞赛的基础，日常教学在知识的传授方面具有系统性和结构性，强调知识掌握，是学生掌握高等数学知识的主要途径，其优点是学生对基本知识掌握的较为扎实，有利于学生对整个学科知识点和知识体系的学习和掌握，保证学生掌握进一步发展的必要知识。

高等数学竞赛是常规教学的有益补充，是对高等数学日常教学中知识的延伸、综合、重组与提升。对一部分学生个体而言，他的数学能力远高于课堂教学的基本要求，学有余力，有时间从事自己爱好的各种课外活动，而高等数学竞赛正是为这些优秀学生提供了展示数学能力的平台，有助于发展学生的探究精神、创新精神和实践能力。

教师在日常教学中可把辅导竞赛的经验渗透其中，以培养学生的思维能力为主要目标，注重培养学生思维的灵活性、深刻性、敏捷性和独创性。同时，在数学教学中开展研究性学习，能增强学生学习数学的兴趣，开拓视野，培养独立思考、钻研的精神，在研究性学习中，引入高等数学竞赛的内容，有助于活动向更广泛、更深入的方向开展，提高研究成果的科学含量。

高等数学竞赛的开展，应该扎根于日常教学，应遵循课堂教学为主，课外辅导为辅的原则，常规教学是高等数学竞赛学习的基础，而数学竞赛的开展也将促进学生主动加深对常规教学中知识的学习，有利于进一步拓展学生的视野和能力，这两者之间，并不是互相否定和对立的关系，而是相辅相成、互为补充的。

4.结束语

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思维是对客观事物的内在联系和本质属性的反映；反映的方式不是直观的、零散的，而是间接的和概括的：（1）思维要依靠感性认识，但远远超脱于感性认识的界限之外，去认识那些没有直接感知过的或根本无法感知到的事物，以及预见和推知事物发展的进程，其间接性关键在于知识与经验的作用，它随着主体知识经验的丰富而发展起来的，因此知识和经验对思维能力有重要影响。（2）思维之所以能揭示事物的木质和内在规律性，主要来自抽象和概括的过程，以大量的已知事实为依据，在已有知识经验的基础上，舍弃个别事物的个别特征，抽取他们的共同特征，从而得出新的结论。

数学思维通常是指人们在数学研究与数学学习活动中思想的或心理的过程与表现。数学思维是通过数学问题的提出、分析、解决、应用和推广等一系列工作，以获得对数学对象（空间形式、数量关系、结构模式）的本质和规律性的认知过程。也可以简单地说，数学思维是数学活动中的思维。这个过程是人脑的意识对数学对象信息的接受、分析、选择、加工与整合。苏联学者奥加涅相强调数学思维是人们认识具体的数学科学，或是应用数学与其他科学技术和国民经济等过程中的辩证思维。王梓坤院士在《今日数学及其应用》一文中指出：当代数学思维是一种定量思维。

数学思维的特征一方面来自于数学学科本身的特点，即“高度的抽象性”“严密的逻辑性”“结论的精确性”以及“应用的广泛性”。另一方面来自于数学用以认识现实世界现象的方法。正如徐利治教授指出的：数学思维同时还具有类似自然科学思维的“观察、实验、类比、归纳”等特点。我国众多的数学教育专家与学者在不同的论著中也提出了许多大同小异的看法：广泛性、创造性、概括性、批判性、灵活性等。又基于众多数学家与数学思维具有广泛的含义，在教育教学中不断探索。

下面介绍数学思维的几大主要特性。

一、数学思维的深刻性

数学思维的深刻性是学生对实际事物中的数学关系进行抽象概括而获得数学问题，对具体数学材料、数学问题进行分析概括而得出数学模型，选择恰当的数学方法、用合适的数学计算求出此模型的解或近似解，以及对解的实践检验、对模型的修正等过程中，思考的广度、深度、难度和严谨性水平的集中反映，它表现在能深入地钻研与思考问题，善于从复杂的事物中把握它的本质，而不被一些表面现象所迷惑。特别是在学习中克服思维的表面性、绝对化与不求甚解的毛病，要培养学生思维深刻性。首先，在概念的教学中，要让学生了解概念的形式，即要知其所以，又要知其然，充分认识概念的内涵和外延，分清一些容易混淆的概念，如正数与非负数、方根与算术根等。其次，在定理、公式、法则的教学中，要让学生完整地掌它们（包括条件结论和适用范围），领会其精神实质，切忌形式主义、表面化和一知半解、不求甚解。

二、数学思维的广阔性

数学思维的广阔性是指思路宽广，善于从多方面、多角度去思考问题。它表现在能多方面、多角度去思考问题，善于发现事物之间的多方面的联想，找出多种解决问题和办法，并能把它推广到类似问题中去。思维的广阔性还表现在学生对所学数学知识进行归类与概括，并运用概括扩大解题结果的适用范围，把个别在一定条件下推广到一般情况。

三、数学思维的灵活性

数学思维的灵活性主要是指能够根据客观事物的发展与变化，及时调整自己的思路，改变已有的思维过程，寻找新解决问题的方法。数学思维的灵活性主要是学生在数学思维活动中，思考的方向多、过程活、思维技巧能够适时转换。即思维的应变能力强，在数学学习中活跃地表现为解题能力，即有的放失地转化解题方法的能力，灵巧地从一种解题思路转向另一种思路的能力，或是具有超脱习惯处理方法约束的能力，当条件变更时，能迅速找到新的方法，也能随着新知识的掌握和经验的积累重新安排已学的知识，还表现为从已知因素中看出新的因素，从隐蔽的数学关系中找到解决问题的实质。

四、数学思维的批判性

数学思维的批判性是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的思维品质。

五、数学思维的创新性

数学思维的创新性是人类思维的高级形态，它是在新异的问题情境中，在一定目标的指引下，调动一切已知信息，独特、新颖且有价值在解决问题的过程中表现出来的智力品质；数学思维的独创性品质也可以从用新颖、独特的方法解决熟悉问题的过程中表现出来。

以上是数学思维的几大特性，在培养学生数学思维能力的同时也能使学生的创新能力得以提升。创新是名族发展的灵魂，数学的创新是解决数学问题的关键，如奥赛题等均需要我们的创新思维。