大概念教学的定义范文

导语：如何才能写好一篇大概念教学的定义，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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【关键词】高中数学；概念教学；质量

著名数学家华罗庚曾说过：“数学的学习过程，就是不断地建立各种数学概念的过程”。“一切从定义出发，一切从概念出发”，这是许多在解题方面富有很强能力和经验的人的共同感受，可见深刻理解概念的重要性。

一、当前高中数学概念教学的现状及问题

我们经常会听到教师抱怨，反反复复讲了无数遍，学生还是不理解，作业漏洞百出。学生则苦恼做了大量练习后成绩也没有明显提高。事实上，长期以来，受传统教学理念和外部升学压力等因素影响，教师在数学概念教学中常常会采用一些有违教学规律的方法，不仅降低教学质量，也无形中使学生养成了错误的学习方法，具体表现为：

（1）重结果轻过程，重解题轻概念。有的教师在课堂上对概念的讲解走马观花，一带而过，接下来马上布置题目以求“巩固概念”，使学生缺乏时间对概念深入理解。有的教师认为，概念的形成过程教学可有可无，只要让学生记住概念公式，把注意点、易错点告之即可。另有一些教师觉得“会做题、考高分就是硬道理”。他们不重“磨刀”只顾“砍柴”，片面注重解题技巧训练，没有把备课的重心放在带领学生对概念的形成和探究上，自然在概念教学时平淡无味，而“砍柴”自然也因为刀刃不够锋利无功而返。学生觉得概念学习单调乏味，教师讲的书上都有，没啥好听的，还不如在下面自己做点练习实在，甚至有的同学昏昏欲睡。

（2）高中各科任务繁重，学生学习方法不当。进入高中以后，数学概念学习比初中时增加很多，由于高中阶段课程较多且各门功课都抓得很紧，从中分配到数学科目的时间本来就少，加上一些学生对数学本身缺乏兴趣，对概念的重要性认识不到位，觉得既然考试不考概念填空、定理推导证明，那么只要知道大概就可以了。功利的学习方法使学生将概念学习与习题隔离，占用大量时间去背题型、做习题，削弱了概念学习。很多学生完全没有意识到自己的学习方法存在问题，遇到题目不会从概念出发去分析思考，而是极力寻找相似题型去套。家长则认为做不出题目就是做的太少、不熟练，因此继续买更多的参考书让孩子做。

（3）教师缺乏正确的教学观念。有的教师在教学时，仅把数学概念看作一个名词，简单地用“一定义、二要点、三注意”的形式完成概念讲解，而没有注重概念形成过程中对蕴涵的数学思想的渗透，更没去挖掘概念的内涵和外延。同时，经常人为的将难度提高，使得学生无法全部消化吸收，数学概念无法真正的入脑入心。结果学生只是按自己认为的“要点”，记住了概念定义的大概内容，殊不知那些在他们看来“无所谓”、“差不多”的地方，才是导致他们日后解决问题处处碰壁的源头。

（4）忽略数学课本的阅读。进入初中以后，学生一般都会慢慢丢弃阅读数学课本的习惯，其中除了数学难以读懂以外，另一个原因是许多数学教师在讲课时，也很少阅读课本，喜欢不停的讲，大篇幅的写板书，一方面浪费了不必要的板书时间，降低课堂效率，还可能因口误、笔误产生概念教学错误，另一方面使学生对教师的授课产生依赖性，失去了从课本准确汲取基础知识、深入理解数学概念的机会，自主学习能力也得不到培养。

（5）缺乏数学思想和思维能力训练。“授人以鱼，不如授之以渔”，数学思想是数学思维的内核，数学教学中要有目的地结合概念渗透数学思想，以提高学生的数学思维能力。但许多教师由于自身对概念教学的重要性认识不够，所以在概念的引入、探究、形成、反思各个环节缺乏精心设计，未能有的放矢，对概念问题生搬硬套，和盘托出，思维过程没有得到充分展现，学生没有主动参与教学实践活动，对概念引出的必要性、概念的本质及其功能缺乏深刻的认识，无法体会其中的数学思想，更何谈应用与创新。

二、提高高中数学概念教学的质量的举措

教师自身应先做到对概念教学的重要性有正确认识，把课堂的重心从讲解例题转移到对概念的引入、探究、形成、反思的过程中来，引导学生真正的理解数学概念，在“磨好刀”的前提下再去提高解题和思维能力。

（1）借助直观方式引入概念教学。数学概念的建立是一个主动、复杂的知识再创造过程，不能由教师包办代替，随便抛给学生一个生硬的概念。通过直观形式，为学生提供丰富、典型的感性材料，在感性认识的基础上，可以使他们逐步抽象内化为概念。如在椭圆的定义教学中，椭圆第一定义是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹，就可以用两个钉子一条绳子进行直观演示。

（2）用问题串动态展示概念探究、形成过程。华罗庚曾说过：“学习数学最好到数学家的纸篓里去找材料，不要只看课本上的结论”。 教学中采用在概念的形成中掌握概念的策略，以数学概念、原理的发生、发展过程为引入线索，教师通过精心设计的问题串循序渐进引导学生的观察、思维和知识应用，带动学生动眼看，动脑思，动手做，动口说，全身心地投入概念学习。

（3）重视课本概念的阅读，培养学生的学习能力。数学课本是数学基础知识的载体，课堂上指导学生阅读数学课本，可以正确理解书中的基础知识，从中挖掘更丰富的内容，也可培养学生准确的文字表达和自我学习能力。重视阅读，首先要求教师在上概念课时，让学生翻开课本，按课本逐字逐句逐节的读，要引导学生认真思考，通过反问等方式使学生对概念、定理、定义中有本质特征的关键词句深刻理解。

（4）坚持“三管齐下”，巩固深化数学概念。一是要对概念逐字逐句推敲分析，认真剖析概念的要点，通过多层次启发促进学生理解掌握。二是辨析易混淆概念。三是对概念的理解与掌握需要循序渐进，尤其是在学习几个相似的概念之后，新旧知识容易在头脑中产生交叉，此刻就需要适当的练习来巩固、消化，加深对概念的区分和理解。

总之，高中数学教学应该给学生留下的是数学思想及思维能力，而不是大量的公式和定理。以概念、原理这些冷冰冰的形式化知识展现的背后，隐藏着的原始的、生动活泼的数学思维，才是我们数学课堂的目标和核心。

参考文献：

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关键词：人地关系；空间问题；区位

区域对于一门课程来说基本概念是基础，是其他理论、方法论展开的重要根基。本文围绕地理学课程中的三大概念，即经济地理学的研究对象、经济活动区位概念及区域概念进行辨析，旨在明晰概念内涵。

1关于经济地理学研究对象的探讨

经济地理学是研究经济活动区位、空间组织及其与地理环境相互关系的学科。这一定义明确了当今国内经济地理学主要研究领域为人类经济活动与地理环境关系和经济活动的空间问题两大模块，与过去的相关教材相比具有鲜明地理学特色并体现地理学科研究优势。教材中明显将经济活动空间问题研究和经济活动与地理环境关系并重为经济地理学两大研究对象。作者认为经济地理学擅长研究的领域自然是经济活动的空间问题和经济活动与地理环境之间的关系（人地关系）。由于地理学向来擅长研究的领域为人地关系地域系统，因此对于后者大家普遍认可并容易接受。其原因为地理学的根基是区域性与综合性，对于人地关系地域系统研究来说，综合性不必费笔墨，人地关系系统包括诸多要素的综合，自然体现地理学的综合性。地理学的区域性主要体现在区域内部的一致性及区域之间的差异性，而区域差异性主要由地球的圆形形态与太阳的位置关系及地球自身的地质演化历史所决定。其中，地球圆形形态与太阳的位置关系这一基础物理条件使得地球表面的热量分布产生区域差异，即维度地带性规律。热量分布差异带来诸多自然地理要素（气候、植被、土壤）的空间差异，而自然地理要素的空间差异是地理学区域性特点的根基。地球自身的地质演化带来当今地球表面的地形地貌以及海陆分异状态，而上述差异又进一步影响水热分布状态，进而影响“区域性”。人地关系地域系统的基础是“地”，即人地关系协调的关键是地理环境的承载能力，因此从此种意义上讲，人文地理学科的基础亦是自然地理学科，这是由研究对象或研究领域所决定的。经济活动的空间问题研究这一领域若将其独立与人地关系之外进行研究，就不是地理学所擅长的，而传统经济学比较擅长研究经济活动的空间问题。其原因有：（1）经典区位理论，如杜能的农业区位理论、韦伯的工业区位理论、克里斯泰勒的中心地理论以及廖什的市场区位理论，均为经济学家或受到经济学思维的地理学家所创。（2）上述有关区位经典理论虽关注的是经济活动的空间问题，但关注的核心问题为经济活动的空间成本或空间支出问题，而成本与收益问题显然是经济学的基本问题。（3）目前区域经济学诸多著作中介绍经典区位理论的情形常见，由此看来区位论对经济学和地理学都非常重要，两种学科均将其视为本学科的基础理论或基础理论之一。若地理学将经济的空间问题与本学科擅长的基础理论——人地关系理论相融合可能有助于本学科更好地发展。本文认为，经济地理学应将研究对象中的人地关系概念进一步强化，而空间问题的研究需要以人地关系研究为前提即在经济地理学的空间（或区位）问题研究中，首先以人地关系的区域性和综合性研究为基础，便能更好地发挥地理学在空间问题研究上的特色与优势。为了进一步说明问题，此处简单举一例：如以某区域城镇体系空间优化为例，从单一的经济学视角分析，城镇体系的空间规划，无一例外都是按照严格的假设条件，遵循中心地体系（或其他经济学理论模式）即可。因为在仅考虑少数经济学因素（成本—效益等）的情况下，地理环境因素（综合性和区域性）的作用或影响不能够充分体现，而现实的区域城镇体系规划应首先考虑地理环境，考虑人地关系的协调性。原因是，地理环境为人类生存基础，而成本—效益等诸多经济因素是人类在保证生存基础之后的发展方面的问题。基于上述认识，本文认为在地理学教材中应将学科研究对象描述为人地关系（人类经济活动与地理环境关系）及人地关系协调基础上的区位、空间组织等问题更为合理。

2关于经济活动区位概念的探讨

地理学众多教材将经济活动区位定义为人类经济活动所占有的场所。这一定义范围较广，年轻学生不能很好地把握其内涵。本文认为，经济活动区位有两大核心内涵，一是相对位置的内涵，即“此经济活动”与“彼经济活动”之间的相对位置决定“此经济活动”的区位的“好坏”或“优劣”，而教材所定义的经济活动所占有的“场所”一词，不能很好地体现经济活动本身的相对位置的内涵。二是须从某一视角去看待区位这一概念。例如在比较两种地理事物的区位中“谁优谁劣”，须从同一视角进行比较才具有可比性。如，北京和二连浩特的区位“谁更优”的问题，中国和蒙古国的经济贸易往来这一视角看问题，那必然是后者的区位优势显著。但从国家层面去比较区位优势，显然前者具有绝对优势。我们经常看到或者听到“什么与什么比较起来，哪一个更具区位优势”等表述，这样的表述显然忽略了两种事物的比较必须在某一个统一视角下进行才有意义这一基本常识。本文认为，经济活动区位更为容易掌握的概念表述应为，“某统一视角下，经济地理事物的相对位置”。

3关于区域概念的探讨

区域概念在诸多领域中无统一定义，不同的学科有不同的定义。政治学认为行政界线既是区域边界；区域经济学认为统一经济特征的区域即为其边界；地理学认为区域是具有一定范围的地理空间。本文主要探讨地理学对于区域的理解或者表述。地理学对于区域的上述定义与区位定义同样，其内涵较为宽泛，没有一定的专业基础的本科生理解起来较为困难。定义表述中的“一定范围”一词，其所指范围宽泛，如，“一定范围”从小到社区，大到全球的理解均可，因此不易在学生头脑中植入清晰的空间概念，易出现歧义。由于地理学的两大根基之一的“区域性”是在自然区域的基础上发展起来的，具有很强的自然地理属性。即使在人文地理学研究中，也应强调区域的自然地理属性。因此本文更倾向于将区域定义为，某一标准下，具有内部一致性，外部差异性的地理单元。其中，“某一标准”一词是为区分不同学科（或不同研究视角）对区域的不同认识（或表述）。例如，人文地理学中的文化区仅仅是从文化这一视角划分区域的，而经济区仅仅是根据经济类指标对区域进行划分的。因此“区域”在一定标准下才具有实际意义，同时在一定标准下区域内部必然具有一致性，对外必然产生差异性。

4结论与讨论

本文所探讨的三大基础概念是地理学课程体系中常见和重要的概念，对于本科生学习掌握本学科相关理论和相关方法论十分重要。作者以目前国内流行的几本教材为参考，结合自身教学和科研体会，对人地关系和经济空间问题之间的相互关系及概念融合问题进行初步探讨，并对人文地理学两大基础概念，即经济活动区位概念和区域概念进行深入辨析，旨在明晰三大概念的实际内涵。上述三大基本概念仅仅是作者本人结合十余年的教学及科研所总结出的一些心得体会，有待同行深入交流探讨。

参考文献

[1]李小建.经济地理学(第二版).北京:高等教育出版社,2006.

[2]崔功豪.区域分析与规划.北京:高等教育出版社,2006.

[3]陈才.区域经济地理学(第二版).北京:科学出版社,2009.

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【关键词】大学数学 概念 数列极限

【中图分类号】G642.0 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）01－0115－01

跨入大学校门，很多同学都对大学数学的学习方式很不习惯，他们发现大学数学与中学数学差别很大。总体上说，中学数学内容比较简单，接近于常识，许多理论仅仅是把常识系统化或者逻辑化了，所以有些人就误以为数学只是讲计算方法，会计算就是懂得数学了。大学数学则不同，它往往不用常识，甚至需要我们抛开常识而从纯逻辑上去认识其中的规律，所以不少大学生很困惑。因此，要学好大学数学就要注意以下几方面：

一、要认真领会概念、定义等含意

比如在《高等数学》学习中，函数概念是重要概念之一，要注意符号f与f（x）的区别，前者是指确定的对应规律，后者是对应于自变量x的函数值。在“数列极限”中，对ε－N定义要尽可能的去理解，此定义就是为了描述数列{xn}的收敛性，即在N之后的那些点都很接近于某一个常数，接近程度如何呢？比任意的一个小正数ε都小。理解此定义并能用此定义证明数列收敛，就较容易接受函数极限和微积分中的很多概念。再如学习定积分，首先，要理解它的概念，弄清定积分概念是怎样从实际问题中抽象出来的。其次，要弄清定积分的性质和牛顿－莱布尼茨公式，然后能熟练地计算。会用定积分解决实际问题，主要掌握微元法，此方法反映了无限细分和无限求和的定积分基本思想，学习中应仔细分析。

二、要善于积累知识，总结做题心得。

学习时不能只注重所谓的重点和难点而忽视细节。比如学习洛必达法则，不能只记结论，忽略条件。在应用洛必达法则时一

定要注意，它只解决 和 不定式的极限，并且分子、分母的

函数要可导，分子分母求导后极限要存在才能求出原极限。再如我们可以将极限、连续性、导数、积分等几种常见题型总结一下，各自用哪种方法比较好，归归类，那么以后做题也就有思路了。

三、要及时复习，多做练习。

古语有云：“温故而知新”，特别是针对大学教学中，课时少、内容很多的现状，教师在课堂上传授完知识后几乎就没有太多时间留给学生练习，而解题是学习数学重要的一环。习题不仅能使读者增强计算能力，复习学过的知识，记忆一些公式、定理；而且能够锻炼思维能力，所以学生就要自己课下找时间做大量习题。对于教材中的内容，每学完一章或一部分后，要把这章或这部分的内容系统地回顾几次，要做到不看书本记清各定理、公式之间的关系。比如计算定积分的几种方法一定要通过做题才能熟练掌握，哪种类型的积分用哪种方法一看就能有个大概。

四、加强记忆，熟练运用定理结论。

在数学学习过程中，我们得到许多结论，将这些结论记住，遇到类似题目时可以套用，就大大节省了做题时间。比如，像求极限中运用一些等价无穷小代换，可以大大简化求极限的步骤，更容易得到极限；熟记一些基本初等函数的泰勒展开式，利用间接法可以在短时间内将一系列的函数泰勒展开。再如“对称区间的奇函数积分为0”等结论可以直接将定积分计算出，不必大费周折地运用换元法和分布积分法。

五、抓住答疑时间，及时与老师、同学沟通。

由于一堂课内容很多，短时间内全部掌握很难，所以课后做题时经常会有一些疑问，如果自己深思熟虑后能想清楚最好，实在想不清楚要及时请教老师、同学，不要不懂装懂。特别是与老师交流时，往往不仅解决了你心中的疑惑，而且老师的举一反三经常会让你对一部分的内容有综合的理解。比如，你可能有一道求极限的题做不出来去问老师，老师经常会联系一般求极限的方法给你介绍哪种方法适用于那种题型。

总之，要学好大学数学就要下苦功夫，区分大学数学与中学数学的联系与不同，课后及时复习巩固，多做练习，查阅资料，将所学知识应用于实际中。

参考文献

1 李心灿.高等数学应用205例［M］.北京：高等教育出版社，1997

2 李 薇、戴明强.高等数学教学中应加强应用［J］.高等数学研究，2005（2）：30～32

3 戴宏亮.运用多媒体改革高等数学课堂教学的实践和认识［J］.高等数学研究，2006（6）：54～56

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【关键词】高中生物 概念 学习习惯

中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2017.13.155

生物学科是高中教学的重要组成部分，生物学科中涉及的生物概念知识有很多，掌握生物概念是学生学好生物的基础。如果学生对生物概念都把握得不牢靠的话，那么，教师的生物教学工作就难以顺利的进行。我通过对学生的日常学习习惯的观察发现，学生对于生物概念的掌握并不重视，许多学生对生物概念的掌握并不透彻，导致他们在上课时，跟不上老师对更深层次的生物知识讲解的步伐。再对学生的生物试卷的答题情况进行分析后，发现学生在基础概念题上很容易丢分，学生写出的答案模棱两可，抓不住问题重点而导致丢分的情况非常多。如果生物知识的概念理解不透彻，长期发展下去会导致学生的学习效率越来越低，学生的生物成绩越来越差。故而在教学中开展概念性教学方法是必不可少的，通过生物的概念教学模式，提高学生的生物基础，是教师在教学中不断研究的重点内容。下面来谈谈我在教学工作中对学生进行概念性教学的使用的几点方法：

一、学生重视基础概念教学

生物概念是学习生物的基础，它对于学生建立完整的生物学习系统有着非常重要的作用，能够引导学生形成良好的生物计算或者综合性解答题的能力。许多学生对生物基础概念不重视，是因为在初级教学中许多老师认为生物是副科，觉得学生学习生物没有必要，上课教学敷衍，由于老师的教学态度，导致学生对生物的学习也越发的不上心。学生长时间养成的思想难以得到改变，让高中老师在教学中也无法改变学生对生物的学习态度。因此老师在进行高中生物教学之初，就要转变学生对生物的固有学习态度，要让学生认识到学习生物的重要性，认识生物概念对生物学习的重要性。在教学的时候不断的向学生灌输生物概念的重要性，在教学时不断的强调。只有让学生自己重视起生物概念的学习，才能让学生自己积极主动的进行学习，培养起学生的自学能力，这也是提高生物概念教学的教学质量的第一步。

二、分清生活常识与生物概念

许多生物知识与我们的生活息息相关，甚至有些属于生活常识，但是在生活中，学生所看到的现象往往是不明确的、浅层的、模糊的，没有过多的思考或验证。知识概念与学生的生活完全不同，学生在学习时经常根据自己的生活经验为生物概念下定义，但是往往定义并不全面并且可能发生错误。比如对动物的概念下定义，动物：是不能将无机物合成有机物，只能以有机物为食物，由细胞构成，细胞有细胞核，没有细胞壁。在生物学中，人也属于动物，但是学生在生活中并没有把人归为动物一类的说法。所以学生要能够将生物概念与生活分清楚，避免学生用生活常识解答生物问题的习惯生成。

三、加强概念与概念之间的联系

在生物课程中有大量的生物概念，但是学生记忆这些概念性的东西非常的困难，所以教师在教学时，要加强这些概念与概念之间的联系，让学生学会联系记忆，让学生记忆概念变得更加的简单。比如在记忆食物链的概念时，首先，对食物链的字面意思进行准确的了解，然后通过食物链的概念解释延伸到食物网、生物圈等概念上去。还可以与食物链的构成部分联系，了解消费者、生产者、分解者三者的概念与他们之间的关系。通过这样的联系，将概念与概念之间的关系变得更加紧密。将生物书的内容联系，形成一个统一的整体，能够将知识更加熟练的掌握，在学生做题寻找概念头绪时也更加容易。比如对食物链的概念解释，学生如果硬记食物链的概念，那么如果在考试时，一时无法记起食物链的概念的话，那么这道题的分学生就丢掉了。但是如果学生是通过联系记忆的话，就算学生想不起食物链的概念，但是学生可以通过食物网或者消费者，以及生产者来想起食物链的概念。而且将知识联系起来以后，学生更容易将生物知识进行整体把握，将知识互相有机的结合起来，使运用知识对问题进行全面分析变得更加简单。

四、准确记忆生物概念

许多学生掌握概念模棱两可，因此教师在进行生物教学时采用生物概念的教学方法，在教学中注意规范学生概念的记忆，纠正学生一直以来对生物概念错误的认知，让学生学会建立起正确的基础概念学习模式，形成良好的学习习惯。为学生构建起正确的生物知识概念，能够对学生以后的日常学习、生活，以及学生以后的人生都会产生积极的影响。学生在概念学习时要细心、耐心，认真仔细的记对每一个字。通常在对生物概念进行考察时，大多数题目都是对概念中的一些重点字眼进行转换，比如将概念中的“可能”变成“一定”，如果学生对这些重要字眼掌握得模棱两可的话，会导致严重的丢分情况。而且在考试中这样的考察都存在于选择题中，四个选项的“大概”、“一定”一类的可能性语气以及肯定语气，关键词被替换的几类现象是学生觉得生物很难的一个方面。

五、深化生物概念的应用

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本人在教学实践中，力图体现新课程改革的基本理念：①注重提高学生的思维能力；②发展学生的数学应用意识；③强调本质，注意适度形式化；④注重信息技术与数学课程的整合；⑤建立合理、科学的评价体系。在教学实践和批改学生的作业中，有令人欣慰的收获，也发现不少问题，存在不少困惑，在此与大家交流。

一、教学实践中发现的问题

第一，学生缺乏提出问题的主动性，没有或不能提出问题、发现问题。有人说我们的教育培养的学生都只是高级打工仔、高级白领，有较强的分析问题、解决问题的能力，但缺乏提出问题、发现问题的能力，不能成为老板――发现问题、提出问题的人。这值得每一位教育者深思。

第二，对概念理解不够重视，甚至满足于一知半解。表现在：①函数的概念，对相当多的同学，问其什么是函数，要么只能说个大概，要么一句话，“我心里知道，但说不出来”。实质是未能将概念内化、构建成自己的知识结构。②奇偶数的概念，只记得f（－x）＝－f（x），而忽视函数的定义域要关于原点对称。③函数的单调性，说函数是增函数或减函数，却不指明与之相应的区间。④求数集的补集时，最容易忽视区间的临界值。求子集时最容易忽视空集。⑤求二次函数在闭区间的最值问题，只是简单的将两个端点代入函数解析式中即求得函数最值。⑥分段函数是在定义域的不同子集上有不同的对应关系，而有的学生把分段函数当成几个

函数。⑦类似课本第39页第3题中 ，x∈（0，＋∞），

即认为它是二次函数，而忽略了k＝0的情况。（教参中也存在此问题）

第三，演绎推理模式理解不深刻。学生在利用定义、定理、公理等进行分析演绎推理论证的能力较弱。如在利用函数奇偶性求分段函数的解析式时的典型错误：

已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2－2x－3，求当x＜0时f（x）的解析式。

错解如下：由题可知f（x）是R上的奇函数

且当x≥0时，f（x）＝x2－2x－3

f（－x）＝－f（x）＝－（x2－2x－3）＝－x2＋2x＋3

当x＜0时，f（x）＝－x2＋2x＋3。

第四，对形式化的表达重视不够。如在函数单调性的证明中，学生在第一步设两个变量x1，x2时不注意取值范围，第三步变形中不够彻底，判断符号时敷衍了事，不重视最后的说理，未给出f（x1）与f（x2）的大小便下结论。

第五，审题的能力和意识不强。在每次考试之后，总有不少学生因没有看清题目的条件、结论、要求等而后悔不迭。

如：Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0，对任意的实数x恒成立}，不少学生误以为mx2＋4mx－4＜0是二次不等式，而忽略了m＝0的情形。这既有概念的因素，也有审题不清的原因。

第六，在数学思想方法的指导下解题的意识尚未形成。如比较大小问题，往往是构造函数，利用函数的单调性解决问题。如有关抽象函数的不等式，往往是利用函数单调性进行转化，化归为自变量的大小问题。如子集问题往往利用分类与整合的思想，分类处理。实际中学生只是凭经验或已有的方法去解决问题，很少考虑数学思想方法，更谈不上数学思想方法对解决问题的指导。

二、针对存在的问题提出的对策

第一，培养提出问题的能力和鼓励措施。

第二，注重概念教学，体会概念的深刻内涵。

第三，强化演绎推理模式，体会形式化的表达。

第四，注重合作学习，鼓励学生敢于交流、善于交流。

第五，加强审题意识、审题能力、审题方式的培训。

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【关键词】概念教学；抽象性；直观化

概念是物理学科中最基本也是最本质的构成，学生要想学习物理知识，首先一个环节就是如何构建物理概念。可以说，只有概念学好，接下来的学习活动才能顺利展开，如果概念理解的不够透彻，以此概念延伸出去的知识学生也很难真正的掌握，在解决相关问题的时候也会错漏百出。然而，就是概念这样一个如此重要的问题，却在物理教学中普遍存在着不受重视的境遇。概念教学在整个教学活动中处于十分薄弱的环节，存在着各式各样的问题。因此，从一名从事物理教学工作的教师角度来看，正确认识概念教学中的诸多问题，并努力解决这些问题才是当务之急。

一、物理概念教学中常见的问题

（一）概念教学理念有误

虽然没人会否认概念的重要性，但在物理教学中，对概念教学的重视程度是有很大区别的。一些学生甚至是部分教师，对概念教学的认知上就存在错误，在他们看来，把概念记熟背牢就可以了。在这样的理念下，概念学习就变成了死记硬背的学习活动。学生会花上大量的时间大段大段地背诵各种概念、定义，但由于理解只停留在表面，很多学生即使概念背的很熟，但一到应用就会犯各种各样的错误。由此可见，这种概念学习的理念和方法是存在很大弊端的。

（二）学生认知储备缺乏

概念的理解是基于一定的科学认知的基础之上，但很多时候，我们的学生由于课外活动单一，课外学习匮乏，导致认知储备严重不足，这就使得很多学生在进行概念学习的时候，常常要借助于实际生活中的一些不科学的直观体验，从而造成前概念对概念学习的不利干扰。例如，在很多学生的观念中，一个物体的运动，必然会受到另一个方向运动着的力的作用。这个观点的由来就是由于片面的生活错误经验导致的，一旦错误经验入住头脑，正确的概念的建立就相对比较困难。

（三）概念教学方法单一

根据不同的分类方法，概念分为很多不同的种类，但很多教师在开展概念教学的时候，方法的选择往往比较单一，再加上高中阶段很多的物理概念抽象性、逻辑性都很强，但由于方法选用的不恰当，导致学生在概念学习的时候不但感到索然无味，同时，一些概念的学习也不够透彻清楚。这种“囫囵吞枣”式的学习方法导致学生无法真正地将概念运用好，从而使得概念教学的有效性大打了折扣。

二、有效开展概念教学的具体策略

（一）活化概念引入途径

概念的引入是概念教学的第一个步骤，我们知道，概念是对一系列事物或现象的抽象的概括，在学习概念之前，我们要选择其中一个事物或者现象来逐渐地引入概念，而选择怎样的引入方式就会非常重要。因为概念本身是一种高度抽象的语言文字组成，因此它本身相对比较枯燥乏味，并且也较为晦涩难懂，然而，剥开概念的外壳，它其中包含的丰富的各类现象则是非常生动的，也是非常容易理解和接受的。我们在选择概念引入的时候，就可以从这些概念之下的生动的现象入手，以多样而有趣的方式引入概念，这会给接下来的概念学习打造一个很好的学习基础。例如，在讲到加速度的概念时，关于这个概念一向是理解难点，怎样来突破这个难点呢？在引入这个概念之前，我们可以采取哪些方法呢？这时候，最好的引入方法就是列举生活中的实例，如教师可以这样设置问题：一辆时速为80千米的汽车始终按照这个时速在道路上行驶和一只乌龟在五秒钟之内从静止到加速至每秒钟1厘米的行进速度，比较一下两者谁的加速度更快？通过这样一个实例对比，学生立刻就会明白加速度和速度之间的区别，从而初步形成加速度的概念。通过这种有趣的概念引入方式，不但让抽象的概念变得不再那么深不可测，可以为接下来的概念教学做好铺垫，同时还增加了教学的趣味性，让概念学习也变得趣味十足。

（二）通过讨论探究深化概念理解

很多时候，光靠死记硬背的方式来学习概念，虽然表面看起来似乎是掌握了，但学生对概念的理解仅仅是停留在一些字面的意思，并没有深入理解概念的内涵，一旦涉及到实际的应用，就可能造成错误。因此，把概念学习进一步深入是非常有必要的。怎样才能深入理解概念呢？笔者认为，适当地问题讨论能够最有效地深入了解概念的内涵。例如，在学完了力的定义以后，笔者给学生提了这样几个问题：为什么可以这样定义力？定义中的“相互”有什么具体含义？力之间的相互作用有没有顺序？物理中所说的力与我们生活中常说的体力、脑力有什么区别？通过这几个问题，可以将学生的关于力的思考引入到更广泛的领域，这样一来，学生的思维就会处于更加开放的状态，从而能够从多角度深层次地理解这一概念。

（三）以生动的比喻降低概念的抽象性

在学习物理概念时，学生遇到的最大的难点可能就是它的抽象性，因为没有直观的形象，学生在理解概念时往往只能借助于想象，而一旦想法出现偏差，理解自然也会出现错误。如果我们能将概念的这种抽象性通过一定的语言描述，将它直观化、形象化，这样就可以大大降低思维难度。在概念学习中，以生动的比喻来描述概念就是一种十分常见的直观化教学手段，例如，在讲到分子间的空隙的概念时，很多教师都会采用实验手段将酒精和水混合起来，通过混合后的酒精溶液的体积变小来说明分子之间是存在一定空隙的，但倘若我们不用实验手段，而是用比喻的方式将酒精分子和水分子比作苹果和绿豆，让学生想象一下，将苹果装入纸箱之中，直到完全塞不下为止，纸箱的空间已经被苹果全部占据，这个时候，再拿来一碗绿豆，将他们倒入纸箱之中，这时候，塞不下一个苹果的纸箱却能装下整整一大碗绿豆。通过这样一类比，关于分子间的空隙的概念就会跃然纸上，比起实验手段，这种比喻的方式在直观性上往往更强烈。这样一来，学生在理解这一概念的时候就会倍感轻松了。

（四）适当扩大概念特征

一般来说，在学习某一个知识时，关键特征越明显，干扰特征越少，就越容易理解和接受，相反，如果某一个知识点关键特征很不明显，相反，它的干扰特征却很多，这样会给学习带来极大的困难。根据这个规律，我们在学习物理概念的时候，要想办法尽量突出关键特征，排除干扰特征，这样会明显降低学习的难度，提高把握性。例如，通过在自由落体和平抛运动的背景上选择相同的竖直位置标出几根横线的方法，这样一来，平抛运动竖直方向的特征就被突出地显示了出来，而它的曲线和水平运动的干扰特征就不会干扰到关键特征了。

（五）巧用科学记忆法

虽然我们不倡导在学习概念的时候采取死记硬背的方式，但记忆的确是我们学习概念时不可逾越的一环，无论我们采用什么样的方法去理解概念，但最终还是要将具体的概念记住才能进行接下来的运用。因此，在概念学习技巧中，记忆的技巧的运用也是非常重要的。在记忆物理概念时，我们可以采用形象记忆法、顺口溜记忆法、图标记忆法、关键词记忆法等各类记忆方法，根据不同的概念内容选择不同的记忆方法，可以让记忆的效率明显提升。例如，记忆速度与加速度的概念时，我们可以将概念变成口诀这样来记忆：“速度决定物体动，速变决定加速度，同向加速反向减，两者关系要记牢”，通过这样朗朗上口的顺口溜，很快就能将这两个概念记得清楚牢固；又比如，在记忆“牛顿第一定律”的时候，如果要把一长串的语句描述都记下来，难免会感到很吃力，这时候，我们只需要抓住其中几个关键字词，如“不受外力作用”、“静止或匀速直线运动”，这样来记忆不但能够减轻记忆量，同时还能更好地记住概念中的关键字词。

概念教学看似简单，其中却蕴含很多的学问，概念教学相较于整个物理教学，就好比是一座大厦的地基，地基打的牢固，未来大厦的建造才能牢固。作为教师，我们首先要从教学理念上正确认识概念教学，接下来，要从具体的教学策略入手，结合不同的教学内容，和面对的不同的学生群体特征，选择适当而灵活的教学方法，最后，还要提供必要的实践条件，让学生在实践和运用中进一步巩固和完善概念。只有经过这样一整个科学的流程，采用合理的方法，才能切实保证概念教学的有效性，帮助学生打好物理学习的“地基”，将学生送往物理科学大厦之中。

【参考文献】

[1]徐文恒.浅谈高中物理概念教学[J].学周刊：C，2010年第9期.

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【关键词】数学概念；数学教学；APOS理论

概念是对客观事物的本质特征的认识，每个概念都有内涵和外延，形成的心理过程大致可分为以下几个步骤：识别不同事例，从同类事件中抽出共性，将这种共性与记忆中的观念相联系，同已知的其他概念分化，将本质属性一般化，下定义.概念的形成实质上可以概括为两个阶段：从完整的表象升华为抽象的规定，使抽象的规定在思维形成中导致具体的再现.而“数学概念”则反映了思考对象空间形式和数量关系本质属性的思维方式.所谓“本质属性”就是指构成某种事物的基本特征，这种属性只为这类事物所具有，它是一种事物区别于另一种事物的基本依据.《中学数学教学大纲》明确指出：“正确理解和掌握数学概念是学好数学基础知识、掌握基本技能和培养基本方法的前提.”在中职的课堂教学中，常有一部分学生对数学学习缺乏兴趣甚至心怀恐惧，这部分同学在课堂上的有效参与度不高，数学基础普遍较差，尤其是在概念的理解和应用方面.在数学教学过程中，数学概念之所以有如此重要的地位，原因在于学生在分析题目、理解和解决问题的过程中发挥的重要指导性作用，因此，数学概念的教学，是整个数学教学的重要内容.正确理解数学概念是运用数学知识的前提，可见概念的重要性.

一、中职概念教学现状及原因分析

从数学概念学习的心理过程分析来看，影响数学概念学习的心理因素主要有：（1）原有的认知结构；（2）感性材料和感性经验；（3）抽象概括能力；（4）语言表达能力.研究表明，优生与中下生在（1）（3）两点的差距较为明显，而在（2）（4）两点则区别不大.究竟怎样才能有效提高中下生对数学概念的学习水平呢？笔者认为：“以学生现有的思维发展水平为依据进行教学”，采用符合中下生认知水平的概念教学方法和策略，优化教与学的环节，将有效提高概念教学的水平.因此，更多地通过感性材料和感性经验来组织概念教学，遵循学生的认知规律，化难为易，逐步培养中下生的抽象概括能力和语言表达能力，有效促进概念的自主建构.

一方面是学习方法不适应数学的学习.数学具有高度抽象性和形式化的特点——数学中的形式化，就是用特定的数学语言，包括数学的符号语言、图像语言和文字语言表达自然现象和社会现象的空间结构和数量关系.数学的表达方式大多是形式化的思想材料，这通常导致这些学生对概念学习产生障碍.另一方面是教师不太注重传授概念学习的策略，相关的策略训练就更少.一些教师照搬照抄，方法简单，在教学中凭经验备课，对概念的背景、内涵和外延没有引起足够的重视，很多数学概念教师往往一带而过或直接要求学生记住结论，然后通过解题来理解概念，题海战术是理解概念的常法，让学生在练习中去领悟概念.“只重结果不重过程”，学生学到的概念是机械的、零碎的，不利于知识迁移形成能力，更不用说掌握其中的数学思想方法.这种让学生背概念、背题目、背结论的做法，其恶果让学生彻底对数学反感，最终放弃数学.

二、APOS理论溯源

APOS理论是针对于数学概念学习过程研究的一种建构注意的学习理论，该理论是美国数学教育家杜宾斯基在数学的实践中提出的一种观念理论模式.该理论认为：学生学习数学概念的过程其实是一种自我心理建构的过程，在这个过程中学生只有调整自己的认知结构或改造外部的认知结构，使得主客观彼此一致，才能建构起新的认知结构.一般来说，这一建构过程要经历四个阶段：活动阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Object）和图式阶段（Scheme）.取这四个阶段英文单词的首个字母，故命名为“APOS理论”，“APOS理论”的科学性和实用性为数学概念教学提供了有力的理论支持.APOS理论对特定的数学概念学习过程作出了切实分析，它解释数学学习心理活动的核心概念和概念框架，揭示了数学概念学习的本质.APOS理论的四个阶段反映了学习数学概念过程中的思维过程，体现了数学概念形成的规律性，为教师如何进行数学概念教学提供了一种具体而实用的教学策略.

三、APOS理论下的概念教学策略

数学概念是数学知识的基础，概念教学相当重要.只要遵循认知规律，就可以使学生理解抽象的概念，从而学生在轻松愉快的氛围中获得知识、掌握知识.所以概念的教学策略应注意以下几个方面：

（一）注重概念的背景

在学习概念时，APOS理论强调学生首先需要处理的数学问题应具有现实生活情境，并认为概念的理解始于在情境中活动.因此，在概念教学时，教师应注意概念的情境，组织学生开展数学活动，通过活动，学生获得概念的初步认识.

1.以“问题”的形式引入新概念

以“问题”的形式引入新概念是概念教学中常用的方法.一般来说，用“问题”引入概念的途径有两条：①从现实生活情境问题引入数学概念；②从数学问题或理论本身的发展引入概念.

例如“函数的概念”的导入利用问题情境进行：①学校为了鼓励学生多参加体育锻炼，以便增强体质，购置一批运动器材.经询问一个足球大概需要110元，列出需要足球个数x与应付钱数y的关系式；②要组建一支队伍，要购置一批队服，每件需要84元，且取货需要路费20元，列出购买件数x与应付款数y之间的关系式.

这是一个“导入”材料，以“设问”的形式出现，主要作用是容易引起学生的注意，引发学生思考.创造生活情境，让学生形成函数意识！

2.以直观材料为基础引入新概念

以日常生活中的事物或模型、图形、图表等直观材料，引导学生观察、分析、比较、归纳、概括去获取概念.数学概念是从现实生活中抽象出来的，如集合、函数、二面角、异面直线等都是因实践的需要而产生的，这类概念的直观材料很多.

例如，学习“二面角”的概念时，可以让学生辨认一些熟悉的实例，像翻盖式的课桌、门板与门框、相邻的两面墙面、打开的电脑灯等，然后分化出各例的属性，从中找出共同的本质属性.翻盖式课桌可以看成是两个半平面，相邻的墙面也可以看成两个半平面，并且都有公共的棱.它们的共同属性是：都可以抽象地看成从一条直线出发的两个半平面，得到二面角的定义.

以直观材料为基础引入新概念，是用概念形成的方式进行教学，因此，在教学中，应选择能充分显示被引入概念的共同属性的事例，引导学生观察和分析，使学生从事例中概括出共同的本质属性，形成概念.

3.从概念的发生过程引入新概念

有些概念是用发生式定义的，这类概念的教学可以采用演示活动的直观教具或演示画图说明的方法去揭示事物的发生过程.这种方法直观形象，体现了运动的观点，导入的过程自然地阐明了概念的客观存在性.教师要根据概念产生的背景，选定最佳的引入路径，让学生尽快触及概念的本质特点，体现概念建立过程的高效化，而不应为了追求形式上的新颖，模糊概念产生的背景，把简单的问题复杂化，把清晰的问题混乱化.如，等差数列概念一直是学生学习代数过程中的难点，有很多学生学过后只能记住等差数列的形式特征，不能理解公差、首项的真正意义与关系.等差数列的本质在于按照一定的规律递增或递减.认识这一点，需要通过操作活动，理解具体的等差数列的意义.

4.以新、旧概念之间的关系引入新概念

大部分数学知识的连贯性是很强的，概念不是孤立产生或存在的，概念之间往往有着密切的联系，特别是那些具有相似或相同关系的概念，我们可以根据新旧知识的连接点、相似点用类比法引入概念.这样有利于学生在思维中将知识和技能从已知的概念迁移到未知的概念上来，有利于培养学生的探索能力.

例如，由“椭圆”的概念类比“双曲线”的概念、抛物线的概念，并且把学过的二次曲线的概念做系统的归纳总结，形成知识链，同时，把这个系统比喻成家庭成员表利于加强学生对概念的掌握.

（二）注重概念的形成过程

APOS理论指出，学生是在“过程”中对“活动”进行抽象反省，得到概念的本质属性.由此出发，在概念教学时，教师应当注重学生的分析探究，让学生经历概念的形成过程.教师应提出合理的问题来引导学生对“活动”进行反思，学生的思维活动朝着概念本质属性的方向进行，初步形成概念.这样学生获得的不仅仅是概念，更重要的是经历了抽象概括的思维过程.

1.抓住概念的重难点

概念的形成过程往往带着许多无关特征，因此，教师应抓住重点引导学生.这样学生便能把握概念的实质，尽量减少乃至消除不利因素的干扰.如“圆的标准方程”的公开课教学中，通过“剪圆—在直角坐标系贴圆—找圆心、半径—写出圆方程”的活动，让学生经历学习过程，体验在“直角坐标系”中圆的标准方程这一概念形成成因.教师在听取学生的意见后，因势利导，概括出大家的意见，引导学生得出确定圆的标准方程的方法.

2.抓住概念的关键词

数学中包含着大量的数学概念，而有些概念往往是由若干个词或词组组成的定义.这些数学语言表述精确，结构严谨，对这一类事物的本质属性作了明确的阐述.我们在教学时就要“抓”住这些本质的东西不放，让学生建立起正确的概念.如，在学习“首尾顺次连接不共面的四点所构成的图形，叫作空间四边形”这一概念时，就应抓住“不共面”和“首尾顺次连接”不放，用长短不同的一些木条，让学生搭出空间四边形，从而让学生明确组成空间四边形的两个基本条件，加深对空间四边形及性质的理解.

3.抓住概念间的内在联系

对于有内在联系的概念，要做好比较，加深学生对概念本质的理解.

例如，“一元二次不等式”的概念，是建立在“元”“次”“不等式”这三个概念基础之上的.“元”表示未知数，“次”表示未知数的最高次数，次数是就整式而言的，“一元二次不等式”是在学习一元一次不等式基础上的整式不等式的学习.这样的学习方式在一元一次不等式中，学生已有类似的经历，便于知识的迁移，同时有利于学生便于抓住“一元二次不等式”与“一元一次不等式”的关系.并为以后学习其他不等式的概念打下基础.

4.抓住概念内涵与外延的揭示

概念的内涵和外延是概念的本质特征，是理解和把握概念的基础.只有充分理解和把握概念的内涵和外延才能清楚、准确地界定某一概念，区分概念间的差异.因此，揭示概念的内涵与外延是概念教学中必不可少的.比如：在讲授一元二次不等式时，其概念的内涵是“只含有一个未知数（x）且未知数的最高次数是二次的不等式”这个性质，其外延是一切形如一元二次不等式的全体.

（三）重视概念的对象化

APOS理论强调，数学概念只有在学习者头脑中呈现出“过程—对象”一体化时，才算真正形成.这体现了概念形成实质上的两个阶段：从完整的表象中分离出抽象的规定，使抽象的规定在思维中具体地再现.在数学概念教学时，教师要帮助学生抽象出定义，还应考虑如何使数学概念转化学生思维中的具体.学习数学概念的目的就是实践.学生对概念的掌握是在头脑中主动地进行思维.它能使已有知识再一次具体形象化，能使概念的理解更全面化、深刻化.数学家波利亚说过：“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量题目，还不如适当地选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题的过程中，提高他们的才智与推理能力.”这一思想与我国的变式教学相吻合.变式数学能提供一定的学习前景，能激发学生思考问题，指导学生对各种信息进行加工和转换.学生进行归纳总结能发现各种变式的实质联系.在解决变式的过程中，学生对概念、原理形成深刻的理解有利于建立良好地知识结构.因此，在概念的教学中运用变式巩固强化概念，可以使学生从多角度认识概念，良好地实现知识的迁移，从而掌握概念的本质属性.在数学概念的教学中，巧用变式，对于学生形成清晰的概念有明显的促进作用，它有利于开发学生的思维，使学生透过现象看本质，可以使概念的本质属性更加突出，达到化难为易的效果.同时也有利于激发学生学习兴趣，调动学生的积极性、主动性.

如，函数概念表示的多样性，一方面表现在定义域、值域表示的多样性，可以用集合、区间、不等式等不同形式来表示；另一方面表现在它可以用图像、表格、对应、解析式等方法表示，从每一种表示中都可以独立地抽象出函数的概念来.认识学习函数概念一般有三个角度：用变量的依赖关系认识函数、用图像认识函数、用对应关系认识函数.

（四）重视概念图式的建构

APOS理论指出，数学的建构还要上升到“图式阶段”，即在知识的整体结构中深化概念的认识和理解.“图式阶段”是一个循序渐进的建构过程，首先是数学概念的结构，包括数学概念的抽象过程、定义、实例、形式化表示、子概念（如定义域、值域、对应法则）；在此基础上，加强概念与其他概念的区别和联系，建构起概念网络.教师应加强引导学生在知识体系的整体中深化对概念的理解.

例如，在著名的建筑物或公园中代表性景点等实物中寻找几何图形，发现重要几何特征和性质，通过学生动手绘制和测量这些几何体中相关的量，老师带领学生发现、运用公式进行练习，并在其中尝试体验数学在生活中的运用，认识它的优越性.这样在学生头脑中建立棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的心理表征、直观的实例、概念形成过程、定义形式（抽象的）四者之间的联系与区别.老师引导学生思考它们的联系与区别，然后帮助学生建立合理的图式，让学生自主建构知识，帮助学生在头脑中建立知识网络.当然学生建构概念的图式层面是学习的最高阶段，在现有教学环境下很多学生难以达到这一层面.例如，为什么要学次函数？学次函数的本质是什么？

四、结束语

数学概念的教学是教师教学研究的一个重要课题.虽然数学概念种类繁多，但在APOS理论指导下，注重概念的背景、概念的形成，注重概念的对象化和图式的建构，采用符合学生认知水平的概念教学方法和策略，优化教与学的环节，有效提高概念教学的水平，从而在数学知识与数学思想方法之间建立有机的结合，形成完整的系统.

【参考文献】

[1]王华民，郑宝生.对数学概念形成过程实施局部探究的实践与思考[J].数学通报，2011（7）.

[2]陈雪梅，王梅.关注教学法表征的数学归纳法教学设计[J].数学通报，2011（4）.

[3]李求来，昌国良，编著.中学数学教学论[M].长沙：湖南师范大学出版社，2006.

[4]涂荣豹，著.数学教学认识论[M].南京：南京师范大学出版社，2003.

[5]刘长春，张文娣.编著.中学数学变式教学与能力培养[M].济南：山东教育出版社，2001.

[6]濮安山，史宁中.从APOS理论看高中生对函数概念的理解[J].数学教育学报，2007（2）.

[7]张伟平.基于APOS理论的数学概念教学探究[J].数学通讯，2006（15）.

[8]唐艳.基于APOS理论的数学概念教学设计[J].上海中学数学，2005（12）.

篇8

1 教学目标定位的偏差分析

教学目标的形成至少应该包括目标分解、任务分析、起点确定和目标表述四个环节.在这四个环节的处理中教师往往很难充分体现新课程的要求，具体表现为：

1.1 目标分解不具体

目标分解就是把学生应该掌握和形成的知识与技能等要素具体化、结构化.满足不同学生的合理兴趣和需求是教学目标制定的出发点，在目标分解的过程中，教师常会将课程目标等同于课堂目标，从而产生教学目标过高或过低的倾向.而新课程数学教学特别要求重过程、重背景，数学课堂上要让学生体会数学知识的形成过程，但在实际的教学过程中，教师为了能取得好成绩，总是急于让学生做题，因为要多做题，所以只能将数学概念的教学匆匆带过，这样导致的直接结果是题也做不好，数学的精神也很难体会到.虽然数学解题时数学学习的重要组成部分，但毕竟不是数学学习的全部，殊不知现代的数学教学，肩负着让学生考出成绩为升学、养成素质为发展的双重任务.数学教学若不能让学生通过学习体会数学知识的精神实质，这对学生来说不能不是一种伤害.

1.2 任务分析不到位

根据不同学生的知识技能的基础与水平，为不同的学生提出较为恰当的学习任务，这是现代教学追求个性化价值的重要体现.对不同的学生提出不同的教学任务，让学生做到"我选择我喜欢"，使每个学生都能得到发展，这一过程往往很难实现.在实际的教学中，由于教师过分重视数学内涵的揭示、数学本质的挖掘，会将一些简单的问题复杂化，这不能不说是一种浪费.

1.3 起点确定不准确

起点确定是教学目标制定过程的重要环节，但在实际教学中，教学目标不是超越学生的接受能力和知识背景，就是学生不管经过怎样的努力都无法实现.过去的数学教学教师特别喜欢一题多解，有时候甚至是为一题多解而一题多解，这与新课程强调"数学是自然"的理念相违背，评判一种方法的优劣，主要看学生是否容易想到，是否容易上手，符合学生实际的方法才算是好方法，否则只能算是教师的强制给予.起点确定的目的是让学生慢慢学会合理的去思考、积极的去行动.

1.4 目标表述不清楚

目标表述是用具体的、明确的和能够操作的语言将学生通过学习之后应当达到的行为状态陈述出来，作为评价教与学的依据.教学目标不是最优秀学生才能实现的最高目标，而是大多数学生经过努力都可以实现的基本目标，"大家好才是真得好"这是目标定位的最现实要求.人的想法总是在变化的，只有将教学目标用文字的形式表达出来，才能避免在教学中随时改变，以文字的形式表达出来的教学目标是行动的依据，它更有利于丰富和完善，这一过程往往只是停留在教师的头脑中很少会清楚地表述.

2 数学教学目标定位的应用举例

在课堂教学目标的定位中要处理好课堂目标（要带给学生什么）、模块目标（知识之间的相互联系）和课程目标（完人的教学）的关系.新课程要求的知识技能、能力方法、情感态度与价值观的三维目标绝不是一句空话，教学目标定位的研究应以促进学生的发展为根本宗旨.

针对不同的教学内容，教师可以作如下的目标定位：

2.1 主干知识的教学目标分阶段实现

函数概念作为新课程高中数学的一个主干知识，其背景之强大、内涵之丰富、应用之广泛为每一位数学教师所共知.函数概念的教学在新课程要求中是必须加强的，但要在有限的时间内将函数概念的发展历程全面呈现给学生，并使学生在函数概念的历史发展中认识函数的本质，教学任务很重，课程目标需要分阶段实现，如果过分强调课程目标和模块目标，而忽视课堂目标，就很难成功，这就需要对函数概念的教学目标进行合理的分解.在认识函数概念的历史发展过程中提炼函数是两个非空数集之间的对应这一数学本质，探究函数概念的形成获得用函数观点认识事物、解决问题的能力和方法，认识数学知识是依附于问题而存在，数学方法是为问题解决得需要而产生，数学与数学方法相依相伴.在函数概念的教学中认识函数的三要素：定义域、值域、函数解析式，后续的学习任务自然产生，教师也不必急于在一节课中把所有内容都抛出来过一遍，这样可以使教学变得从容.

2.2 要求降低部分的数学知识以知识的学习带动情感的培育

要求降低部分的数学知识是因数学知识结构的完整性而存在的，这些内容的教学不必人为地加重学生的负担.例如在双曲线定义与标准方程的教学中，由于教师个人的知识储备过于强大，可能会忽视课堂目标，将过多过难的知识灌输给学生，会造成教师教得很苦学生也学得很累，这是任务分析的偏差，但如果从与椭圆的类比中得出双曲线的定义，并对其进行简单的认识，让学生意识到几何图形从封闭走向开放，情况变得更加复杂，内容也变得更加丰富多彩，这样学生会学得清楚明白的.在新课程实施的初期，教师普遍感到无所适从，心里总是放不下，主要问题在于老的灌不进、新的吃不透，但经历了一轮的教学之后，可以清楚地认识到要求降低部分数学知识的教学只要认识"是什么，怎么样"即可，这是以知识的学习带动情感的培育.

2.3 新增知识的教学以情感态度来唤起学生的学习欲望

课标中新增的数学知识是为适应现代社会的发展需要而设置的，认识为什么学优于怎么学.例如在变量的相关关系的教学中，这是新增的教学内容，要求通过实际生活中的例子来认识相关关系与函数关系的区别，懂得函数关系是确定性关系，相关关系是不确定性关系、是随机的，而寻找相关关系中的非确定性关系的某种确定性，这是统计学的精髓.这部分内容考试要求很低，但实际应用价值较大，以情感态度来唤起学生的学习欲望是现实的选择.又如在《随机事件的概率》的教学中，教师引导学生体会小概率事件几乎不可能发生，大概率事件经常发生，但小概率事件经过积累会变成大概率事件，意味着量的积累会变成质的飞跃，所以不能忽视细节，这是数学教学中的理性思考和人生启迪.

篇9

【关键词】操作活动；准确性；恰当；感官

数学起源于人们的生产实践，起源于人们的生活需要，起源于人们创造性的劳动之中，人们对数学的认识也都是从实践开始的，但数学的研究对象是客观世界的空间形式和数量关系，是一种形象思维向抽象思维的过渡，在形象思维阶段，又往往依靠事物或者动作行为为思维的起点，所以让学生操作物质化的实物来揭示数量关系是至关重要的，也是发展学生思维，培养学生数学能力最有效的途径之一。为此，操作活动成了数学课堂教学过程的一个重要环节，教师如何精心设计操作活动，使学生边操作、边思考，用操作促进思维，用思维指导操作，需要我们教师在教学中不断探索，总结经验，才能起到良好的教学效果。

一、操作材料要有准确性、全面性

操作材料是教育媒体，是帮助学生系统的构建数学知识及诱发学生主动探究学习的工具，但目前许多教师对操作认识不足，对如何提供材料缺乏研究和考虑，存在着一定的盲目性和随意性。提供材料不单是活动前的准备，还是引导学生学习数学知识，发展思维能力的教育过程。

第一，操作材料要有准确性，要从教育内容和教育目标出发，把教师的教育意图和要求融进材料之中，应选择与数学概念的属性有关的物体、图片等，如教学长方体和正方体的认识时，提供了实物框架（只有棱、顶点），当让学生数长方体有几个面时，教室一片嘎然，学生要么不会，要么连对角线确定的面也算上，材料不能恰到适时的发挥作用，给教学带来不必要的麻烦。

第二，提供材料要有全面性，首先要注意对同一问题不同角度、不同方面的完整考虑，如三角形按边分类时，让学生准备好的长15cm，8cm，11cm的小棒摆三角形，看能摆出多少形状各异的三角形，这种教学起到了一定的教学效果，但它忽视了三角形两边之和小于第三边时不能构成三角形，若再准备5cm，18cm，11cm的小棒，就更完美全面了。因此，只有教师深入钻研教材，才能尽可能提供全面的数学模具，从而使学生在多种材料中达到最终的学习目的。其次，要注意感知对象突出，心理学研究表明，加大感知对象与背景材料的差异，突出感知对象，对提高知觉的效果具有重要作用。一般可通过颜色、形状、动态、声音和强度等方面来实现。例如：等底等高的圆柱与圆锥体积比较的操作活动。（1）制作等底等高无色透明圆柱圆锥教具各一个，然后用红色圈把圆柱等分成三截，（2）在圆柱中盛满蓝颜色水，（3）将水分三次倒入圆锥，每一次使圆柱中的水面刚好到一道红色圈，发现圆锥刚好满了三次。这样操作由于红蓝的对比明显，感知对象突出，学生就直观清楚的看出：圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一。

二、操作方法要恰当

操作方法虽没有统一的模式要求，但随心所欲、信手拈来的方法是不可取的。经过精心设计、合乎逻辑联系的方法，不仅能使学生获得知识更容易，而且有利于提高学生的逻辑思维能力。

例如：教学《长方体的表面积》时，在演示长方体表面积的操作过程中，有的教师是把表面积整体展开，得到一个组合平面图形，然后分析推导求长方体表面积的方法；有的教师把三组相对的面逐次撕下来，贴在黑板上，然后分析求表面积的方法。我认为以上方法不够妥当，因为无论是认识长方体表面积的概念，还是探索长方体表面积的计算方法，都必须通过三维空间才能实现，所以演示操作活动前，应制作活动教具（可逐次展开相对两个面，又可马上复原），操作时，凭借“体”的形象，用动态演示突出感知对象，把一组对面展开，展开这组对面仍离不开“体”，学生看清楚后，马上复原“体”上。这样通过操作不仅可让学生从部分到整体综合归纳出求长方体表面积的一般方法，还可培养学生的空间想象能力，发展学生的思维。

三、充分调动多种感官

数学知识的形成往往经历感知―表象―概念―内化的过程，而伴随知识的形成过程的教学活动，将是操作―表达―抽象―概括，这就需要动脑、动手、动口，调动多种感官共同参与活动，才能达到理想的教学效果。

在学习理解大概念与小概念关系时，设计实验，用投影的办法，让学生拿着长方形课本在阳光下或灯光下照射，变换各种姿势移动课本，学生不但看到了长方形、平行四边形、还看到了菱形和正方形，地面上形成的各种形状有一个共同特征，都是四边形，且两组对边分别平行，因此都是平行四边形。通过动手操作，经过观察和讨论，学生思路打开，想象丰富，还发现了他所不知道的数学知识，个个感到满足和欣慰。

特别要注意发挥语言功能，具体形象的语言有助于具体形象思维的形成。在实践操作中，动作和动作之间，直观材料和直观材料之间，动作和直观材料之间往往都存在着一定的逻辑联系，而这些联系，用动作和直观材料都是无法表示的，这就善于用恰当的语句，揭示这些联系，帮助学生建立前后连贯的、合乎一定逻辑联系的思路。例如，在进行椭圆概念的教学时，可分几个步骤进行：（1）实验――获得感性知识，要求学生用事先准备好的两个小图钉和一定长度的细线，将细线两端固定，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，所得图形是椭圆。（2）提出问题――思考讨论，①椭圆上点有何特征？②当细线长等于两定点距离时，其轨迹是什么？③当小于时，当大于时，轨迹是什么？④你能给椭圆下一个定义吗？（3）揭示本质――让学生给出定义。这样学生经历了实验、讨论、总结后，对椭圆定义的实质会掌握的很好，不会出现忽略限制条件的错误。

由此，让学生在活动中动手操作，动口陈述操作过程，动脑思考新规律，总结新结论，始终处于积极状态，多种感官协同活动，有助于学生思维的发展。学校应从学生最年幼的时候开始，就加强和发展外部感觉、视觉、听觉、触觉等，因为知觉的力量和多样性都取决于这些感觉的敏锐性的完善和发展程度。

总之，在教学中尽可能安排操作活动，尽可能让学生动手摆一摆，拼一拼，量一量，在做一做，看一看的活动中，亲身体验理解新知识，从而提高数学能力。

除此之外，要注意学生主体地位的发挥，引导学生独立思考，探索结论。动手操作实践活动要做到适时，在学生想知而想，似懂而非懂时进行，操作活动可以起到化难为易，化抽象为具体的作用，千万别成为“教师的脑，学生的手”，应做到并且加强教师与学生之间、多种感官之间协同合作的目的，才能达到良好的课堂教学效果。

参考文献：

[1]严运华 《提高数学课堂教学中学生的参与程度》

篇10

在人教版小学实验教科书《数学》六年级上册第43页上，以我国“神舟五号”顺利升空为载体，对“比”和“比值”的意义作了这样的描述：“两个数相除又叫作两个数的比”“比的前项除以后项所得的商叫作比值”“比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。”在2014年7月出版的人教版义务教育教科书《数学》六年级上册第48页上引进“比”和“比值”的概念时，内容基本不变，就是把“两个数相除又叫作两个数的比”这句话改为了“两个数的比表示两个数相除”。而在与课本配套的《教师教学用书》第86页上指出：“教师还可以指出，两个同类量的比表示这两个量之间的倍数关系，两个不同类量的比可以表示一个新的量。如‘路程比时间’又表示速度。”

实验教科书和2014版教科书引进“比”的例子相同，其一都是用航天员展示的国旗长15厘米，宽10厘米，长和宽的比是15比10，可记作15∶10，15∶10=15÷10=，就是比值。其二是“神舟五号”平均90分钟绕地球一周，大约运行42252km，指出“路程和时间的比是42252比90”。

根据教科书的例题看，比值是不带计量单位名称的，这里路程和时间的比值应该是42252÷90=（或469.46）。

从教科书和配套的《教师教学用书》引出值得我们思考的几个问题。

1.在小学数学教学中应该怎样引出“比”和“比值”的概念？“比”究竟是“两个数的比”还是“两个量的比”，或者两者都可以？

2.“神舟五号”绕地球一周运行的路程和时间的比是42252比90，那么根据教材中“比值”的定义，它们的比值应该是42252÷90=（或469.46）。而根据《教师教学用书》所言，“两个不同类量的比可以表示一个新的量”。那么该例中比值要不要写成千米/分？能不能写成千米/分？

3. 在小学数学教材中是否有必要引进不同类量的 “比”和“比值”的概念？

信中提到的把“比”等同于除法的信息，令人惊讶。恰巧接信不久，又蒙某教材编辑寄来2014年修改的教材一套。于是连同网上下载的旧版，看到了“比的认识”一节的修改过程。

图1

图2

某教材的较早版本在编排“比的认识”一课时，曾用获胜场次的多少加以比较（图2）。显然这不属于“比”的例子。原以为编者想用此例区别一般的排名和“比”的概念有别，可是教材未置一词（新版则删去了，颇为可惜）。接着就是路程除以时间得速度，总价除以数量得单价的不同类量的相除。这本来是一类标准的除法题目，教材却不加说明地拿来当作“比”的概念的引例。那么有了除法为什么还要引进“比”？没有任何解释。在随后的两页中，倒是研究了同类量之比，矩形的放大与缩小，树和影子的长度。尤其是甘蔗汁和水的配比，极具“比”的意义。但是教材却偏偏不说这些例子和“比”有什么关系。这样一来，教材就成了让人费猜的谜语。

新版教材使用照片长、宽比值不同而引起人像变形的童趣例子，这本来可以引向比的意义。可是教材却突然说“两个数相除，又叫作两个数的比”。（图1）

阅读之后，不觉陷入沉思。

随手打开《辞海》，看到“比”的条目这样写着：

“比较两个同类量的关系时，如果以 b为单位来度量a，称为a比b，所得的k值称为比值”。

这大概是“比”的老式定义。新潮的小学数学教材已经将之废除，直接把两数之“比”说成就是两数相除了。其目的不过是要学生记住：比只是除法的另一种说法而已，并没有新的内容。这样的“改革”，究竟是进步，还是倒退？没头没脑地将除法说成就是比，把“比”当作除法的附庸，该如何落实知识发生的过程性目标？既然要贯彻“四基”，那么“比”的基本数学思想方法何在？返璞归真，正本清源，是数学教学的一项基本原理。稍微想想就可以知道，《辞海》的定义重在揭示“比和比值”概念的内涵，而新潮教材则回避了“比”的本质，仅仅是描述了“比”的外壳而已。

让我们作进一步的分析。

顾名思义，学生看到“比”，第一个联想到的词就是“比较”。《辞海》释义中，首先提到的也是“比较”两字。对六年级的学生而言，关于如何比较两个量的大小，已经学过两种方法。

第一种方法是比较两数的差距关系。如果a比b大，用减法就可以知道差距是a C b。在日常语境中我们常说：

（1）小明“比”小华高2厘米;

（2）甲、乙两队篮球比赛的结果是100 比99，乙队以一分之差输了;

（3）中国乒乓球队以3比0 完胜对手。

（4）比较胜利场次排名次。

这里都用到“比”这个词。但只是比较差距，而差距用减法可求得。这是a与b之间的“差关系”。

第二种方法是比较两数之间的倍数关系。对a，b两正数，若a>b， 那么a÷b = k >1; 如果a

（1）姚明“比”我高，他的身高是我身高的1.5倍;

（2）我比小胖的体重轻，我的体重只是他的0.8倍。

这就是说，“比”这一概念的本源是“比较”。用倍数比较大小，表明a与b之间存在着“比关系”。本单元要学习的就是这第二种方法的比较。

现在，我们可以给“比”下一个比较合理的定义了。

“两个量a，b，如果以b为单位去衡量a，称a和b之间有关系a比b，记作a∶b。 a÷b = k 称为比值”。

通过以下的例子，可以不断强化“比”的本源意义。

例1.做面包时，用三杯面粉加一杯水。面粉体积和水体积是3比1，记作3∶1。比值是 3÷1=3。

例2.用1杯纯甘蔗汁加5杯水兑成甘蔗饮料。甘蔗汁和水的数量是1比5，记作1∶5。比值是 1÷5=。

例3.在某时刻，以树影子长度衡量树的高度，形成2比1的关系，记为2∶1.比值是 2÷1 = 2。（如图3）

图3

例4. 一个矩形的长度a 和宽度b，形成a比b的关系。如果比值a÷b=k >1， 那么矩形是扁平状的。如果 k< 1，则矩形是竖条状的，若k=1，矩形是正方形。（如图4所示放置）

图4

对于上述“比”的定义，我们再作一些进一步的解释。

（一） “比”是一种数量关系。“比”不是除法运算，只是在求比值时才要用除法

“比”在《辞海》定义中明确提到a与b之间是一种关系。“维珍百科”里，对英文ratio的解释中，也说“比”是一种关系（relationship）。实际上，“比”有时候只是描述了两个量之间的一种状态，一种对比。说两个同类量a与b 之间存在着比的关系，可以先求出比值，也可以不必求比值。如例1中，做面包时3杯面粉要用1杯水调和，我们就直接说面粉与水的用量是“3比1”，写成3 ∶1。现实中直接照此操作就是了，并非一定要先用除法去计算其比值为3之后再来说二者之比。

换句话说，比，只是在求比值时才是除法。3∶2 可以只是一种状态，3÷2 则是一种运算，二者在意义上不一样。

（二） “比”是为比例做准备，并可以扩展为一种变量之间的正比例函数关系。这种比例关系，其含义远超“除法”

例如，某教材中树高和它影子的关系，就可以看作是一个正比例的函数关系。事实上，在固定的时刻，树高x决定了影子的长度y; 不同高度的树，其影子长度都是树高的k倍，形成 y = kx 的函数关系。这就是说，小学里“比”的学习，不等于重学一遍除法。比的概念，还要进一步发展为四个量的比例关系，并为将来学习正比例函数做准备。这种函数对应思想，较之除法的意蕴要深刻得多。

当然，并非所有的“比关系”都可以扩展为函数关系。例如本班的男生数和女生数恰好相等，形成1比1的关系。但是，别的班级未必如此，我们不能说任何班级的男生和女生的人数都相等。

（三）“比”原本是同类量的比较关系，但是也可以推广到不是“同类量”的情形。不过，同类量之比是“源”，不同类量之比只是“流”

《辞海》定义规定，只有同类量才能作“比”。我们在上述定义中，没有这样限制。事实上，日常生活里有许多对“非同类量”进行比较的事例。例如，为了鼓励回收易拉罐，规定10只易拉罐，可以换100克糖果。易拉罐的个数，与糖果的重量，不是同类量，但我们也会说，易拉罐和糖果之比是10个∶100克。又如我们看到一则广告说，买某牌子牙膏3支，奉送牙刷2把。“牙膏支数”和“牙刷把数”不是同类量，但也会说购买的牙膏数与赠送的牙刷数是3比2。

由于不同类量之间，不能说“倍数”，所以这个定义里只用了“以b为单位去衡量a”的说法。

但是，比的概念的源头毕竟是同类量的比较。不同类量的比乃是流，是派生、引申出来的。区别源流，分清主次，是概念教学的要义。在倡导“过程性”教学目标的今天，更显示出正本清源的重要性。

（四） 不同类量的比，不宜作为“比”的主要情景引入

我们注意到，人教社的教材中，引出“比”的主要例子之一是一个不同类量之比：

“神舟五号”平均90分钟绕地球一周，大约运行42252km。于是指出“路程和时间的比是42252比90”。

这样做，未免失当。如上所述，“比”的本质是“比较”关系，一个除法问题难以覆盖“比”的内在含义。路程除以时间等于速度，明明是一个计算运转速度的除法问题，并没有比较路程与时间大小的含义在内。用不同类量作为主要引例，颠倒了源流关系，增加了学生的理解困难。此外，对于比的理解，先要从两个简单的整数之比说起。例如面粉和水之比为3比1之类。现在一下子出现42252这样大的一个数，分散了学生对“比”的意义的注意力。

至于某教材里问“哪种苹果最便宜”的例子，给出了三种总价和数量，然后计算三种单价，再比较这些单价得出“最便宜”的答案（这里的比较和“比”无关，学生容易混淆）。编者的意图是要学生说出单价是总价与数量之比。但是这明明就是一个典型的除法情景，日常生活中总是说“总价除以数量为单价”。这里生硬地把除法说成是“比”，对学生理解“比”的概念不但没有益处，反而会产生干扰。

（五）同类量的比值没有量纲，不同类量的比值一定会有量纲

同类量之比，其比值是无量纲的。例如长度（4厘米）比宽度（2厘米），相除以后，单位（厘米）约去，比值是无量纲的数2。但是不同类量之比，比的前后项里的量纲不能约去。作为“量”而言，两个量之比一定是有量纲的。路程（米）比时间（秒）得到速度，其量纲是米/秒，不能省略。人教版说“神舟五号”绕地球一周运行的路程和时间的比是42252比90。这样，按教材中“比值”的定义就得出二者的比值是42252÷90=（或469.46），那是不正确的。有人会辩白说那只是“两个数之比”。确实，任何“数”都是无量纲的，例如，有理数是两个整数之比。但是，量和数不能混为一谈。“神舟五号”运行的距离和时间都是具体的量，具有清晰的速度量纲，不能随意抹去。

（六）把“两个数相除，又叫作两个数的比”作为“比”的定义，乃是舍本逐末

比的概念，有一个发展过程。最先是同类量的简单倍数比较，如甘蔗饮料的配比1∶5。 然后是同类量的复杂比，如树高与其影长之比，具有函数对应的背景。再次是不同类量的比较，具有量纲，如速度。最后，则是从“量”到“数”，引出两个无量纲的数的比。

这就是说，直接把“两个同类量之比”定义为“两个数相除”，就跳过了许多步骤，抽去了“比”的概念发生过程，把引申出来的最边远结论当作了概念的本源，不啻是一种本末倒置的做法。

“比值”的计算固然要用到除法，但是“比”不等于除法。比有比的意义，除法有除法的用途。如前所述，比，可以只是两个量之间的一种比较关系，一种对应，一种状态，可以不必凸显“除法”。另一方面，除法的用途很广，可以离开“比较”的本意很远。例如，假定数学和语文的成绩分别是92 和90，那么它们的平均成绩是91。这里只用除法的意义，无须想到这是两科总成绩与2之间的一种比较。

这里，我们不妨以周树人和鲁迅的关系，对“比和除法”作一个比方。周树人和鲁迅确是同一个人，但是含义不同。周树人是出生于19世纪末绍兴周家的自然人和社会人，鲁迅则是一个20世纪的文学家和思想家。周树人是本源，鲁迅是后来派生出来的。如果在解释“周树人”时只写一句“周树人即鲁迅”就算完事，岂不是以偏概全，违反常识了？

通过以上的分析，对于戎老师提出的三个问题，已经发表了我的看法。下面是关于“比的认识”一节教材若干设计建议。小学教材用上述方式定义“比”的概念，固然也是一种选择，但是也可以将同类量之比和不同类量之比分别陈述。

第一段 “比较”

给出两个量，如何比较大小？

例1.篮球赛 55比50 差距5分。排球赛 3比0。

（用加减法比较差距，以前学过）

例2.一样大小的六个红色方块，三个蓝色方块。红色方块比蓝色方块多，6是3的2倍。称为6比3，记作6∶3;蓝色方块少，只是红色方块的倍。称为3比6，记作3∶6。

（今天要学的“比”是要用除法所得倍数来比较大小或多少等，和例1不同）

例3.做米饭合理的配比是4杯米要用2杯水。我们说米和水的用量是4比2，记作4∶2。

（生活化的术语，不涉及比值与除法）

第二段 比的定义

国旗的长、宽比。

从某产品目录中看到国旗尺寸分6种规格，长与宽分别为（单位：毫米）：

1号，2880 ，1920;

2号，2400 ，1600;

3号，1920 ，1280;

4号，1440 ，960;

5号， 960， 640;

6号， 660， 440。

以宽度为单位，求出长度是宽度的几倍？这些国旗的长、宽尺寸都不相同，但每种规格的国旗长都是宽的1.5倍。 由此给出比的定义：

“两个同类量a，b，若以a是b的倍数k来比较它们的大小，称为a比b ，记为a：b。数 a÷b =k称为a与b的比值。比值k就是a除以b 的商。”

（这里先要求“同类量”， 突出“比较”的本意，陈述一种状态，但最后归结为除法。为下一步具有广泛应用的“比例”打基础，数是量的抽象表示，两个数相除称为两个数之比，是自然的结论）

第三段 比的练习

继续举例，并练习。

（1）本班男生人数和女生人数的比;

（2）糖水中糖与水重量的配比;

（3）食物的配比;

（4） 农药的配比;

（5） 树高与其影长之比;

（6） 增加同比与环比内容。某厂月生产量的同比与环比。如某校每年5月和10月，都要捐书给希望小学。今年10月同比于去年10月，环比于今年5月。

（不断强调“比”的意义，突出“除法”之外的特定内涵）

第四段 不同类量之比

“两个不同类的量a，b，虽然彼此没有倍数关系，如果以b为单位衡量a，即考察a÷b，我们也把它叫作a比b，记为a ∶b。”

（1）某商店卖牙膏规定：顾客每买三支牙膏送一把牙刷。购买商品与赠品之比为3支∶1把，比值为3支/把;

（2）路程÷时间 = 速度。我们也说速度是路程与时间之比。如刘翔打破110米栏世界纪录的速度 。

（作为小学教材，把同类量和不同类量之比分开来叙述，眉目清楚）