逻辑推理与演绎推理的区别范文

导语：如何才能写好一篇逻辑推理与演绎推理的区别，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

一、准确理解概念的内涵与外延，区别命题的真假性

生物学概念是反映生物本质属性的思维形式。教师首先要准确理解生物学概念的内涵（反映事物“质的问题”）与外延（反映事物“量”的问题）。一般来说，概念的内涵越丰富，外延越小，反之外延越大。比如“血细胞”与“红细胞”，其内涵（不具体说明）差别较大，“红细胞”的内涵比“血细胞”丰富，但外延比血细胞要小。“血细胞”外延可以指各种动物的红细胞、白细胞和血小板。有的概念内涵非常丰富，往往具有特指性。比如制备纯净细胞膜材料，“哺乳动物成熟的红细胞”区别于“成熟哺乳动物的红细胞”。虽然概念前有两个修饰词，都是指哺乳动物和成熟，但排列顺序不同。

高中生物学中存在较多的“集合概念”与“非集合概念”。如“植物细胞”（包括植物体内根细胞、叶肉细胞、花瓣细胞等各种植物细胞）和“植物根尖分生区细胞”。准确区别概念之间的关系有：“种属关系”、“交叉关系”和“同一关系”。比如：核酸分别与DNA或RNA之间的“种属关系”；蛋白质与激素之间的“交叉关系”；蓝藻与蓝细菌的“同一关系”。这些也可以指导学生用“韦恩图”来表示。概念之间的联系，可以形成“概念图”。绘制概念图时，可以依据概念之间的关系，也可以用一个或几个“关键词”或用“真命题”来联系它们。比如：细胞与真核细胞、原核细胞，依据概念之间的关系绘制概念图。染色体与DNA之间的概念关系，用“染色体的主要成分之一是DNA”真命题来联系，绘制概念图，两个概念之间的关键词：“主要成分”和“之一”。

生物学命题是人们对事物情况（生物学知识）有所判断的一种思维形式。命题不同于概念，高中生物教学中，教师要注意各种命题的真假性判断。命题形式较多，需要学生具备一定的逻辑能力，来判断是“真命题”还是“假命题”。比如：①真核生物的遗传物质是DNA（真）；②具有细胞结构的生物遗传物质是DNA（真）；③所有生物遗传物质是DNA（假）。所以，教师在平时的生物教学中，要有意识地培养学生这方面的能力。

二、生物学科的逻辑推理过程

生物学科涉及的推理类型常见的有：归纳推理、演绎推理、类比推理等。教师在课堂教学中，注重对学生的逻辑能力培养，有利于科学思维的形成，进而提高学生的生物学素养。下面，以归纳推理与演绎推理为例说明推理的方法。

1.关于归纳推理过程

生物学科知识点繁多，专业术语复杂，学生无法准确理解，很难做到像物理学科那样的逻辑推理。教师在生物教学过程中，要教会学生进行逻辑推理，其中归纳推理分为“完全归纳推理”和“不完全归纳推理”。比如：①真核生物的遗传物质是DNA；②原核生物的遗传物质是DNA；③大多数病毒的遗传物质是DNA；④少数RNA病毒的遗传物质是RNA。上述几个真命题的归纳推理结论为：DNA是生物的主要遗传物质（真命题）。推理过程表述为：由①②推出具有细胞结构的生物遗传物质是DNA。由①②③推出绝大多数生物的遗传物质是DNA。由①②③④推出DNA是生物（生物界）的主要遗传物质。这种属于“完全归纳推理”。另外，还有“不完全归纳推理”。比如：①纯合子AA自交后代全是纯合子AA；②纯合子aa自交后代全是纯合子aa；③纯合子AAbb自交后代全是纯合子AAbb；④纯合子aabbCC自交后代全是纯合子aabbCC。由上述这些真命题可以归纳出：纯合子自交后代全是纯合子（真命题）。

2.关于演绎推理过程

高中生物学科教学指导意见把“假说演绎法”作为生物学科的基本逻辑能力，这就要求教师的教学过程也要具备逻辑性。比如教师在进行“遗传信息的传递——DNA复制”内容教学时，可以这样设计演绎推理过程。先从日常生活的复制（计算机的文件复制与资料的复印），引出“全保留复制”。如果DNA是这种复制机制的话，亲代DNA双链标记32P在以31P作为原料的条件下DNA复制一代，形成两个子代DNA，通过密度梯度离心得到结果为：一个为“重带”，另一个为“轻带”。而科学家实验结果是只出现“中带”。这说明了全保留复制是错误的。然后，教师再让学生设计复制机制，得到结果是“半保留复制”。这个教学过程本身是一个演绎推理过程。

还有，在命题判断上，学生经常犯逻辑上的错误。比如认为“DNA是人的主要遗传物质”（假命题）是正确的。他们往往这样演绎：①人是生物；②生物的主要遗传物质是DNA；③所以人的主要遗传物质是DNA。这个命题中的生物是指生物界。虽然，“人是属于生物，但生物不全是人”。他们没有正确理解概念的内涵与外延。教师可以运用“三段论”来演绎推理：①人体具有细胞结构；②具有细胞结构的生物遗传物质是DNA；③所以人的遗传物质是DNA（真命题）。相关推理示例：①人体细胞属于动物细胞；②动物细胞具有中心体结构；③所以人体细胞具有中心体结构。

三、教学中注意分析与综合问题

高考生物试题的综合性很强，部分选择题的选项，知识点跨度很大，这就要求学生具备很强的分析能力。那么，什么是分析？所谓的分析是指把整体分解成部分，把复杂的问题分解成简单的要素，或把历史的过程分解成片段来研究的思维方法。对生物学来讲，定性与定量分析显得非常重要。

篇2

【关键词】记者 理性思维 培养

《帮女郎 帮你忙》是一档民生新闻栏目,栏目所报道的内容主要集中在情感、投诉和趣闻三个方面。趣闻暂且不说,但说投诉和情感,无不需要理性思维的驾驭和指导。可以说一个好的记者必然是一个具有理性思维的记者。

记者理性思维是指记者站在理性的高度,客观、准确地审视和把握作品,以及对作品进行必要的编辑加工。记者之所以需要理性,是因为记者活动作为新闻生产的极其重要的一个环节,其行为直接关系到作品能否面世,或者以什么样的面貌与读者见面,以及发表或出版后的社会效果如何。因此,记者在其采访写作的活动中,应该多一份理性,多一点思考。在采访时要以当事人的视角和心境去感受,只有这样,记者与当事人才能更好地沟通。记者还需要用理性的透镜去透视和审视作品,用客观、公正的标准去衡量作品,进而准确地认识和理解作品的主题和内涵,把握作品的社会价值以及理论与现实意义。在记者工作中,只有在对作品的感性认识的基础上,借助于概念、判断、推理等理性认识的思维形式,对感性材料加以去粗取精、去伪存真、由表及里、由此及彼的分析与综合,才能全面、正确、深刻地认识和把握作品。由此得出的结论才有可能是客观的,经得起推敲的。

另外,记者在其采访活动中应该是“中立”的,即不带任何倾向性。对于作品中的观点和主张无论是否与自己相同或相近,甚至相反,都应一视同仁,不偏不倚。决不能将自己的观点和主张强加于事件。

更重要的一个方面是,记者在采访时,要有责任感,要有求证意识。信息社会的特点是知识的爆炸,新闻也呈现出多元化,其中还掺杂着一些假新闻,记者要严格把关。媒体是面向公众的,是窗口单位,其社会影响力是巨大的,记者就好比公众的防火墙,必须将假新闻挑出来,使其无法毒害受众。那怎样才能做到这一点呢?那就得有责任感,有求证意识,遇到稿件,要多问多查。只要记者肯下这个功夫,假新闻不愁不被发现!

培养记者的理性思维首先要以科学的世界观和方法论为指导。这就要求记者不仅要学习专业技能,而且还要通过实践环节,来启发、开导、使自己成为全面发展的人。在这当中要特别注重逻辑思维的培养,因为逻辑思维是理性思维的重要组成部分。

然后是要加强责任感的培养,因为,逻辑思维是理性思维的基础,而责任感则是理性思维的催化剂,良好的责任感对理性思维的形成大有裨益。因此,记者不仅要学会学习、学会做人、学会创新,还要树立正确的世界观、人生观和价值观,培养责任感。

如何培养理性思维呢?

一、逻辑思维是理性思维的核心,是培养理性思维的基础

1、养成从多角度认识事物的习惯。逻辑推理是在把握了事物与事物之间的内在的必然联系的基础上展开的,所以,养成从多角度认识事物的习惯,全面地认识事物的内部与外部之间、某事物同他事物之间的多种多样的联系,对逻辑思维能力的提高有着十分重要的意义。首先是学会“同中求异”的思考习惯:将相同事物进行比较,找出其中在某个方面的不同之处,将相同的事物区别开来。同时还必须学会“异中求同”的思考习惯:对不同的事物进行比较,找出其中在某个方面的相同之处,将不同的事物归纳起来。

2、发挥想象在逻辑推理中的作用。发挥想象对逻辑推理能力的提高有很大的促进作用。发挥想象,首先必须扩大自己的知识范围。知识基础越坚实,知识面越广,就越能发挥自己的想象力。其次要经常对知识进行形象加工,形成正确的表象。第三,应该丰富自己的语言。想象依赖于语言,依赖于对形成新的表象的描述。因此,语言能力的好坏直接影响想象力的发展。有意识地积累词汇,多阅读文学作品,多练多写,学会用丰富的语言来描述人物形象和发生的事件,才能拓展自己的想象力。

3、丰富有关思维的理论知识。其实,推理有着概括程度、逻辑性以及自觉性程度上的差异,同时又有演绎推理、归纳推理等形式上的区别。而且推理能力的发展遵循一定的规律。

4、保持良好的情绪状态。心理学研究揭示,不良的心境会影响逻辑推理的速度和准确程度。失控的狂欢、暴怒与痛哭,持续的忧郁、烦恼与恐惧,都会对推理产生不良影响。所以,记者平时应该学会用意识去调节和控制自己的情绪和心境,使自己保持平静、轻松的情绪和心境,提高自己逻辑推理的水平和质量

5、敢于质疑。无论是权威结论和个人结论,如果逻辑上明显解释不通时,就要敢于质疑,坚持真理。

二、要加强责任感

有了责任感,就必然会保持清醒的头脑,有求证精神,避免了跟着感觉走的情况发生。在编辑的责任感下,在编辑的求证精神前,无论是假新闻还是失实的稿件,必然无所遁形。编辑要始终牢记自己代表的是整个媒体,在稿件的面前不能带有主观偏见。■

篇3

    论文关键词 法律逻辑学 形式逻辑 非形式逻辑

    在我国,法律逻辑的研究开始于80年代初期,起步较晚,而且国内学者对国外法律逻辑的研究状况也了解较少。在我国法律逻辑研究的初期阶段,法律逻辑学的主要研究方向是如何把形式逻辑的知识应用到法律当中,法律逻辑的任务在于把形式逻辑的一般原理运用于法学和法律工作中。但随着研究的深入以及学科理论的发展,不少学者认识到把法律逻辑限制在形式逻辑的框架下,不仅阻碍了这一学科的发展,也没能使这一学科发挥出其应有的作用。因此,国内的法律逻辑学教材多呈现出两种趋势,一种是以形式逻辑为框架穿插法律案例,以形式逻辑的推论来解决法律案例中的逻辑问题;另一种是不局限于形式逻辑,而是采用了更多的非形式逻辑的方法来解决法律实践中遇到的难题。在这样的背景下,便产生了法律逻辑学的研究方向的转向。有的学者更多的是从法律的角度出发,把法律思维分为立法和司法两个领域,司法领域中所涉及的推论分为事实推理、法律推理和判决推理。也有的学者更多的是从逻辑学角度出发,认为法律逻辑学研究的主要趋向应该是非形式逻辑的方向。本人认为法律逻辑学是法学和逻辑学的交叉学科,它既是法学的一个分支,又是逻辑学的一个分支,它运用的是逻辑工具,它需要解决的则是法律领域的问题,因此法律逻辑学有着它固有的逻辑基础——形式逻辑,但仅有形式逻辑明显不足以支撑起法律逻辑学的大厦,法律实践中遇到的问题很多还要留给非形式逻辑去解决。

    一、形式逻辑与法律逻辑学

    法律推理是指运用“情境思维”的方法或“个别化的方法”来解读或解释法律,从已知或假定的法律语境出发判断出法律意思或含义的推论,是一个在法律语境中对法律进行判断或推断的过程。法律推理旨在为案件确定一个可以适用的法律规则即上位法律规范,为判决确立一个法律理由或法律依据即裁判大前提。形式逻辑可以为法律逻辑学提供一定的理论基础,这是毋庸置疑的,运用形式逻辑的方法来解决法律逻辑问题的案例在法律逻辑学教科书中也屡见不鲜:

    侦查机关通过一番调查,初步判断:

    被害者的上级(B)、妻子(M)、秘书(G)中至少有一人是凶手,但他们不全是凶手。

    仅当谋杀发生在办公室里(A),上级才是凶手;如果谋杀不发生在办公室里,秘书不是凶手。

    假如使用毒药(C)那么除非妻子是凶手,上级才是凶手;但妻子不是凶手。

    毒药被使用了,而且谋杀未发生在办公室里。

    问:侦查员的这些判断都是真实的吗?

    解决这一问题首先需要把四个命题用形式化的方法表示出来,然后运用自然推理系统PN进行推理,推理过程中如果得出了相互矛盾的结果则说明这些判断不都是真实的,如果得出的结果没有相互矛盾,则证明这些判断都是真实的。这是运用形式逻辑来解决刑事案件的典型例子。从这个例子可以看出,形式逻辑是研究推理的,是一种证明的逻辑,传统法律逻辑运用的是传统逻辑即形式逻辑,可见它解决的是法律推理问题。所谓推理是指由一个推论的序列组成的推论链,其中一个推论的结论是下一个推论的前提;所谓推论是指一组命题,其中一个命题是结论,其他命题是前提;而一个推理序列则组成了论证,其中一个推理的结论充当了下一个推理的前提。可以说,一个论证包含了多个推理,一个推理包含了多个推论。形式逻辑虽然解决了法律推理问题,但是未能解决法律论证问题。

    另外,法律推理理论的研究大致有两个方向,一是法律的形式推导,二是法律的实质推导。法律的形式推导是指基于法律的形式理性或逻辑理性进行的法律推理,是基于法律规范的逻辑性质或逻辑关系进行的法律推理。法律的形式推导的结果是法律规范的逻辑后承,是对法律规范进行逻辑判断的结果,是对法律规范进行“形式计算”或“概念计算”的结果。如果要进行法律形式推导,则必定是建立在法律规范含义明确清晰,案件事实确凿清楚,案件所适用的法律规范是确定无疑义的情况下的,这样一来就可以根据法律规范本身的逻辑特性,按照相应的逻辑规则进行推理,这种推理可以运用形式逻辑的的方法,但是这种法律形式推理只适用于较为简易的案件判决。从这里可以看出,形式逻辑确实可以为法律逻辑学提供一定的理论基础。

    虽然形式逻辑可以为法律逻辑学的研究提供一定的方法,但是仅仅有形式逻辑时无法满足法律逻辑学发展的需要的。众所周知,能够进入诉讼程序的案件往往不是那么容易就被确认的,控辩双方经常会在法律规范的模糊意义下摆出自己的道理,控辩双方对于案件事实的描述也往往大相径庭,在这种情况下,法官则需要运用法律的实质推导来处理案件。法律的实质推导是指基于实践理性或目的理性以及价值理性进行的法律推理。它是基于法律意图或目的、法律的价值取向、社会效用或社会效益、社会公平正义观念等实质内容对法律展开的推论。在法律出现空隙,法律规范含混不清,相互抵触,“合法”与“合理”相悖的困境等问题上,法律实质推理作出了法律形式推理无法给出的回答。

    形式逻辑也有传统和现代之分,传统形式逻辑主要是指亚里士多德三段论理论和斯多葛命题逻辑为主体的形式逻辑,现代形式逻辑主要是指皮尔士、弗雷格、罗素、希尔伯特等人发展起来的数理逻辑或符号逻辑。从形式逻辑本身性质来看,它自身的一些特点决定了它无法完全满足法律逻辑学发展的需要。

    首先,我们知道形式逻辑主要研究的是演绎推理的有效性问题,如果想要得到真实可靠的结论,则需两个条件:前提真实并且形式有效,而形式逻辑关心的则是人工语言论证和逻辑系统的有效性,它对前提是否真实则关注不够。一个论证的形式是有效的并不能保证前提是真的。“形式逻辑对论证的评价是从真前提开始,但如何判定前提的真假,这已经超出形式逻辑所讨论的范围。”

    其次,在法律事务中遇到的问题往往不像上述例子中那么简单,某些不确定的因素总是包含在法律论证的大、小前提(即法律规范和案件事实)当中,在由前提到结论的推论中,不是单纯的形式逻辑的推演活动,因而这样的推论不可能是像书本例题中的那种简单形式逻辑的操作。作为法律论证大前提的法律规范是基于自然语言的产物,因此难免会受到自然语言多义性、模糊性的影响,导致法官、律师在运用法律规范的过程中产生困扰。

    在实际操作中,作为法律推论小前提的案件事实并不总是清晰地摆在人们面前,法官、律师也总是面对不完整的案件事实而进行推理、推论,而形式逻辑所进行的演绎推理必然是在前提充分的条件下进行的,它关注的更多是程序化的论证及人工语言的论证。从这点来看,用形式逻辑来进行法律推论显然是力不从心的。

    再次,形式逻辑所研究的命题都是事实命题,是有真值的对象,形式逻辑对事实命题做出的非此即彼的评价是形式逻辑二值性的充分体现。但是在法律文本中有较多的命题并非事实命题,而是如“外国人入境,应当向出入境边防检查机关交验本人的护照或者其他国际旅行证件、签证或者其他入境许可证明,履行规定的手续,经查验准许,方可入境。(中华人民共和国出境入境管理法第二十四条)”这一类的规范命题或价值命题,这类命题的性质无所谓真假,它们也不充当演绎推理的前提和结论,这类命题显然已经超出了形式逻辑的研究范围。形式逻辑并不专门以法律领域中的推理与论证为对象,没有涵盖法律思维领域里的全部推理与论证。

    第四,《牛津法律大辞典》指出:“法律推理是对法律命题的一般逻辑推理”,包括演绎推理、归纳推理和类比推理。法律思维中涉及了大量的归纳推理、类比推理、语境推理等,这些都属于非演绎推理的范畴,而形式逻辑对非演绎推理的研究十分粗糙,无法满足法律思维的实践,因此形式逻辑无法有效地评价、规范全部法律思维。

    二、法律逻辑学的研究方向——非形式逻辑

    非形式逻辑兴起于上个世纪60年代,到目前为止,它还没有一个完全统一公认的概念,现任《非形式逻辑》杂志主编拉尔夫·约翰逊(RalphH.Johnson)和安东尼·布莱尔(J.AnthonyBlair)提出:“非形式逻辑是逻辑的一个分支,其任务是讲述日常生活中分析、解释、评价、批评和论证建构的非形式标准、尺度和程序”。这个定义被认为是当今流行的定义。从这个定义中可以看出,非形式逻辑的研究对象是日常生活的语言,也就是自然语言,这一点恰恰迎合了法律逻辑学以自然语言为文本的的特性。

    非形式逻辑之所以是“非形式的”,这主要是因为它不依赖于形式演绎逻辑的主要分析工具——逻辑形式的概念,也不依赖于形式演绎逻辑的主要评价功能——有效性。非形式逻辑在这方面与形式逻辑形成了良好的互补,形式逻辑研究论证主要是基于语义的研究,即真假命题之间的关系研究;而非形式逻辑研究论证主要是基于语用的研究,即从语境和论证目的角度进行研究,正是这一点成为了法律逻辑学与非形式逻辑的完美联姻。在法律逻辑学中,与法律形式推导对应的是法律实质推导,法律实质推导是指基于实践理性或目的理性以及价值理性进行的法律推理,是基于法律意图或目的、法律的价值取向、社会效用或社会利益、社会公平正义观念等实质内容之间的关系对法律展开的推论,可分为法律的目的推导和价值推导。法律实质推导是基于目的蕴涵和价值蕴涵,而不是基于形式蕴涵,因此它应当有不同于法律形式推导的框架,而非形式逻辑从语境和论证目的角度进行研究就为法律实质推导提供了工具。

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【关键词】小学数学；思想方法；解决问题

一、对小学数学基本思想方法的认识

数学课程标准修订稿指出：数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。因此，关于数学课程的总体目标，除了传统的基础知识和基本技能的“双基”目标，又加上了数学的基本思想和基本活动经验，成为“四基”目标。要求教师在教学中“引导学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想”。由此可见，我国中小学数学教育一直重视渗透数学思想，并且这种重视越来越明确，对数学的基本思想的内涵认识也越来越清晰，对教师的教学也提出了更加明确的要求。那么，什么是“数学的基本思想”呢？史宁中教授认为：数学思想不仅包括学习数学知识所涉及的思想，比如，等量代换、数形结合、递归、转换等，还包括解数学题所涉及的合并同类项、配方法、换元法等。“基本思想”主要是指演绎和归纳，在具体的问题中，会涉及数学抽象、数学模型、等量代换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。这里之所以用“基本思想”而不用“基本思想方法”，就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法加以区别。每一个具体的方法可能是重要的，但不具有一般性，作为一种思想掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。这里所说的思想，是希望学生领会之后能够终身受益的那种思想方法。演绎推理是根据概念、定理等按照规则进行的推理，是一种由一般到特殊的推理。它的主要功能在于验证结论。而归纳推理正好与演绎推理相反，它是一种从特殊到一般的推理，包括枚举、归纳、类比、统计推断、因果分析以及观察实验、比较分类、综合分析等。它的主要功能在于发现新的真理。传统的中小学数学教育在培养学生的演绎推理能力方面做得很好，但是缺少对归纳推理能力的培养，这也正是目前学生普遍缺乏创新能力的原因之一。因此，在小学阶段，要让学生理解和掌握数学的基本思想，同时加强“基本思想”的渗透和“基本活动经验”的积累，这样才能更好地培养出具有创新精神和实践能力的人才。

二、教学中对数学思想方法的渗透

教学中一个比较突出的问题是过于关注解决问题的方法，而数学思想的渗透不够。

以四年级下册“植树问题”为例。现实生活中和“植树问题”类似的问题很多，因此教材选取植树问题作为代表，通过建立数学模型，探究发现解决植树问题的一般规律，并将发现的规律推广到解决这一类实际问题上。这里重要的是让学生探究发现一条线上植树问题的规律，经历数学建模的过程，体验“化繁为简”的解决问题策略和数学思想方法。但在教学中，教师更加关注的是让学生掌握植树问题三种情形的规律。我们常常看到课上教师引导得很多，给学生自主探究的时间不够，规律更多的是在教师的层层引导下得出的，虽然学生当时能利用这些规律解决问题，但是时间一长就会忘记。因此，这样的教学只是让学生在解决问题的层面上掌握了具体的方法，但没有很好地体现“数学广角”渗透数学思想的宗旨。

笔者认为，教师应该在提出问题后让学生自己去探索，留给学生充分的思考空间，让学生在动手实践的基础上，经历发现规律、建立模型的过程，教材要突出呈现学生的实际操作，然后抽象出线段图，借助实际操作的经验和线段图的直观支撑，学生才能更好地探索和发现植树问题中蕴涵的规律。

数学方法不是简单地教学某个具体问题的解题方法，而是借助对这类问题的探究，让学生经历解决问题的过程，渗透基本的数学思想，培养学生的数学素养。

再以五年级下册“找次品”为例。教材以“找次品”为载体，让学生通过观察、猜测、实验等方式感受解决问题策略的多样性，通过归纳推理的方法体会运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力。在这里蕴涵了逻辑推理、猜想验证、化归等重要思想方法。但在教学中，我们看到更多的是学生被动接受已经被前人证明的最优化的方法，再经过反复的练习加以巩固。这样的教学，学生只记住了找次品的方法，可能还有一部分学生尚未完全掌握这种方法。至于为什么平均分成3份就能最快找出次品，学生没有机会去思考和探索，更谈不上体会其中的数学思想了。教学的重点不是让学生记住具体的结论而是让学生经历探索结论的过程。感悟数学思想方法，教师应该明确它的教学要求。因此，这节课应该让学生在实验操作的基础上，通过图示、列表等方式表示探索的过程，在解决问题的多种方案中感受并发现最优的策略，经历归纳推理的过程，再将发现的规律应用到解决找次品问题上。记住结论只能解决找次品这一类问题，而经历探索的过程，是对学生思维能力的培养，是学生终身学习的基础。

结论

在具体的教学中，一是要注意引导学生潜意识地应用一些数学思想方法，帮助学生在分析问题时把握思考的方向，突出数学思想方法对解决问题的指导作用。二是开展解决数学问题策略的专题教学，解决问题的策略是联系数学思想和解决问题具体方法的桥梁，教学中可以以解决问题的策略为线索开展专题教学，让学生既感受到数学思想方法对解决问题的指导作用，也体验到解决问题的具体方法的演绎过程，强化学生对数学思想方法的感悟。

【参考文献】

[1]马云鹏.小学数学教学论[M].北京：人民教育出版社， 2003.

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关键词：小学阶段数学 归纳推理课程 实施研究

思维从科学层面来讲可以分为两大类，分别是演绎思维及能力和归纳思维及能力，演绎推理主要用于验证结论而不是发现结论，归纳推理是必不可少的推理形式和思维形式。数学作为我们从小学开始就接触的科目，在我们的日常生活中也并不少见数学的应用，数学又是通过概念和符号进行逻辑推理的科学，数学家拉普拉斯也说过：“在数学里，发现真理的工具是归纳和类比。”随着新课程改革的新标准要求，对小学数学归纳推理课程更为重视，而在实际的小数阶段数学课堂上归纳推理课程的实施又会是怎样的呢？这也是一下我们所要讲的。

一、小学阶段数学归纳推理的理论依据

1、自然界规律依据

归纳推理不是人类的自主发明，它是人类依据自然界中的事物变化规律总结而来的，更是自然界的逻辑表现形式。归纳推理是学生在学习数学课程的过程中经常使用到的一种思维形式，一般可以把归纳推理分为两个部分，分别是完全归纳推理和不完全归纳推理，完全归纳推理和不完全归纳推理还存在一定的差别，在小数数学阶段归纳推理中是对某类数据或知识完全的或不完全的考察总结，小学阶段数学归纳推理也是自然界的一种逻辑表现形式，因此，我们要遵循自然界的规律。[1]

2、认知心理依据

小学阶段数学归纳推理课程的实施，主要是针对小学阶段的学生，他们在年龄上还都处于儿童时期，发展特征和心理因素都与他们自身的发展有关，在小学阶段数学的归纳推理课程中应与小学生的思维和心理因素相互联系起来，遵循认知心理发展依据。小学生的思维能力和推理能力在小学阶段是初步形成培养的阶段，他们的思维一般都同时具有具体的成分和抽象成分，每个年级的小学生都会从具体到抽象过渡的阶段，这也是他们思维逐渐成熟的阶段。归纳推理贯穿整个小学数学的阶段，对于小学数学也分为几个年级的学习阶段，每个年级的的学习任务也是不同的，随着年纪的增长所学的数学知识难度也会不断增加，不同年级数学课程的归纳推理的侧重点也是不同的，这需要教师针对性的做好备课，为学生提供更好的学习氛围和空间，要注意根据小学生的自身情况和心理活动规律情况，针对性的对数学进行推理归纳教学。

二、小学阶段数学归纳推理课程的实施

小学数学和归纳推理课程应该是一体的，只有把归纳推理课程和小学阶段数学教学相互融入到一起，才能更大价值的体现归纳推理的最大作用，而归纳推理课程和小数阶段数学还有着层次性的区别，所以它又是分阶段性的教学过程。教师在小学阶段数学教学过程中要把每一步的教学要求和目标都提前明确，以免在教学过程中出现各层次没有连接性，影响教学效果。

1.培养学生的归纳推理能力

归纳推理能力不仅仅是教师在讲课过程中要用到的，也是学生在学习中会用到或者总结的，在小学阶段数学教学过程中，也要培养学生的归纳推理能力。学生在学习了一定的数学知识基础之后，对数学会有一个初步的认识，在以后的学习过程中教师会让学生自己对所学知识进行归纳推理，这不仅有助于学生对数学学习产生积极影响，还能提高学生的归纳推理能力，不管学生的归纳推理能力如何，教师都应鼓励学生，对于学生不懂得地方要要耐心指导，积极鼓励学生对所学知识进行归纳推理，不过课堂时间有限，课下时间教师也不可能一直都在教室帮助学生解决难题，在这样的情况下，教师可以把归纳推理和实际生活联系在一起，让生活融入到归纳推理的学习中去，这样在课下学生也能锻炼自己的归纳推理能力，更有助于学生的归纳推理能力。

2.科学归纳推理

小学数学不只是一个年级，还分为低年级和高年级，不同的年级之间的学习内容也不同，在小学阶段不同年级之间进行科学归纳推理是很有必要的。小学数学的学习重在理解，只有在理解的基础上才能更好的学习数学这一科目，在现实生活中，人们的工作生活都会多多少少的和数学有一定关系，学好数学也是小学教育阶段的重要目标之一，小学数学从低年级到高年级之间的数学都有一个共同点，那就是大多数数学命题都是可以使用科学归纳推理得出结论的，而由于年级的不同，学生的接受和认知能力也存在一定的差别，对于科学推理能力也有一定的限度，根据我国教育实践表明，科学归纳推理是可以被小学不同年级不同阶段的学生所能接受和应用的。

3.小学数学归纳推理课程实施的阶段划分

小学数学归纳推理不是一个既定过程，而是学生每一个新的阶段学习都是对前一阶段学习的总结，前阶段学习既是对后阶段学习提前做好基础准备，又是对新阶段学习归纳推理的过程，阶段的学习是有划分的，从低级到高级、由具体到抽象，这是学生对推理过程学习的阶段，也是学生在数学阶段学习中由浅到深的学习过程。小学数学归纳推理课程的实施需划分阶段、循序渐进的进行，这也是小学阶段数学学习的基本目标之一。[2]

三、结语

目前小学阶段数学归纳推理课程的实施已成为小学教学目标之一，而说到具体如何实施，这是要各小学根据自身情况量身设计出适合自己学校的方式方法，让学生在学习数学的过程中更加有动力，随着年级的增高不断提高学生的归纳推理能力，把生活和归纳推理有机结合在一起，提高学生学习兴趣，充分发挥小学阶段教学中归纳推理课程实施的作用和效果。

参考文献：

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离散数学主要是一门研究离散量的结构与其相互关系的数学学科，它不处理连续数学，在这点上和传统的微积分学科有着明显区别。离散数学是高中数学的一门重要课程，因为它具有计算机科学离散性的特点，通过学习离散数学，就可以掌握处理离散结构的描述工具、描述方法，为学习其他相关课程打下基础，还可锻炼抽象思维能力、逻辑推理能力、创新能力。想要学好高中数学就必须学好离散数学。按照数学思想，离散数学其实是比较注重研究问题可行性的数学学科，解决问题首先要证明问题是否可解，如果问题可解就要找出解决问题的方法和步骤，解决问题的步骤是规则的、有限的。从宏观上来讲，所有可研究的数学离散量都是离散数学的范畴，离散数学涉及很多，有数理逻辑、集合论、代数系统、图论等内容，这些内容既单独存在，又有紧密的内在联系，因此，这些知识可用通俗易懂的方法直接讲授。数理逻辑是属于数学推理方法当中的一部分，集合运算可用逻辑语言直观地描述出来，集合运算可定义代数系统，图论是代数系统的一部分。

二、离散数学与数学教学改革

高中数学教学中比较注重运算技巧，而不注重数学思想，数学内容比较传统，没有现代数学的符号、术语的应用，只是不断地要求数学内容的完整系统，没有与实际情况联系起来，教学模式缺乏创新意识，比较没有层次。离散数学课程中有大量的先进数学思想、数学方法，脱离了传统数学模式的呆板内容，可帮助改进连续数学中出现的较多问题。离散数学中衍生出实用的数学方法被广泛运用于科研、工农业生产、管理等方面，如果运用得当，就会出现在人们的生活中。在高中数学教学中加入离散数学的内容，可弥补现阶段高中数学教学存在的不足，有助于培养学生的数学建模能力。由于数学模型基本都是离散数学模型，这些年我国大学生数学建模竞赛题目当中，连续数学与离散数学各占一半，这就说明了离散数学在当今高中数学中的重要性。高中数学教学具体应从学号理论知识、培养解决问题能力、培养创新能力这三个环节开展，以往的教学模式比较注重理论知识的教授，而没有注重培养解决问题能力和创新能力，而离散数学教学就可以实现这三个环节的相互协调，共同进步。

三、离散数学在高中数学教学中的应用方法

（一）实现多媒体和板书的结合

离散数学在高中数学教学中的演绎推理过程是比较复杂的，离散数学课程中有着较多的知识点、概念、定理等，给学生记忆带来了困难，其中重、难点还需要学生理解和接受。只有将多媒体和板书结合在一起，才有利于开展数学教学。其中定义和例题可通过多媒体展示出来，证明定理的过程就可用板书的方式逐渐讲解，一步步推演，便于学生理解和吸收，有助于培养学生的思维能力、逻辑能力和概括能力。

（二）注重趣味性教学方法

趣味性教学方法可通过举例子、提问等方式启发学生，引导学生思考，有利于提高学生的学习兴趣。由于离散数学中定理、概念很多，通过举例，便于学生理解和接受数学知识。提问的教学方法通过创设适合的教学情境，引导学生主动探索和分析问题的原因，找出解决问题的方法，启发学生自主思考，积极参与数学教学活动。兴趣是最好的老师，通过应用趣味性的教学方法，有助于活跃课堂气氛，充分激发学生的学习兴趣。教师讲到图论部分时，可列举与学生生活相关的例子，例如欧拉图、格尼斯堡七桥等，拉近学生和教师之间的距离，激起学生的好奇心与求知精神。

（三）注重应用性教学

在高中数学教学中将离散数学作为一种辅助工具，可帮助学生解决应用性问题，让学生明白离散数学的具体作用。离散数学中与、或、非和数字逻辑中的与门、或门、非门有紧密联系，包括图论与数据结构当中的图和树等这些数学知识都有关联，教师在讲解数学知识时，要将这些数学知识的前后关系告诉学生，注重离散数学的实用性。在教师讲授理论知识时，学生理解和吸收需要一定的时间，这里举一个例子，当学生在看到一阶逻辑当中八个关于量词作用域里的扩张与收缩公式时，学生可能在看第一眼的时候，就感觉到这些公式记背比较困难。教师通过一步步推解证明方法，向学生演绎推理的过程，让学生了解到这些公式的前因后果，学生就能够顺利记忆这些公式。

（四）优化教学内容

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关键词： Peirce；科学家；逻辑学家；科学；指号学；化学概念

Charles Sanders Peirce（1839-1914），其一生曾作为“一个美国人的悲剧”〔1〕，现在已经越来越多地被认为是他那个时代、也是美国至今产生的最有创造性、最具多才多艺的伟大思想家。他广博的研究涉及非常不同的知识领域：天文学、物理学、度量衡学、测地学、数学、逻辑学、哲学、科学理论和科学史、指号学、语言学、经济计量学和实验心理学等等。而且这里的许多领域，Peirce在不同程度上被视为倡导者、先驱甚至是“鼻祖”。Russell早就做出评价：“毫无疑问，他是十九世纪末叶最有创见的伟人之一，当然是美国前所未有的最伟大的思想家。”〔2〕而当代在世哲学家H.Putnam称他为“所有美国哲学家中高耸的巨人”〔3〕。

虽然Peirce的思想具有极为广阔的视野，但当今学者所公认、Peirce本人也承认的他的两个主要研究领域却是科学和逻辑学。科学和逻辑学是Peirce毕生付出精力最多的两个领域，也是他在大学毕业后决定他一生将做什么时曾犹豫不决的两种选择。但在其学术兴趣上它们是他的孪生子，二者在理论联系上常常是融为一体，成为Peirce最倾心关注的焦点。而且，作为科学家和逻辑学家的经验是Peirce整个哲学系统构建的基础与出发点，是贯穿他一生思想发展变化的重要影响因素。实际上，科学和逻辑学的共同追求正是Peirce为自己所界定的生活目标。把握他的这一显著特征，我们可考察作为科学家的Peirce与作为逻辑学家的Peirce之间的某些联系。

1 科学家职业、逻辑学家志向

从实际从事职业来看，Peirce是位科学家，包括化学家、大地测量员、物理学家、天文学家、工程师、发明家、实验心理学家等等；同时这也是他谋生的门路，是他最早获得学术名声的领域。

成为一名科学家，Peirce具有非常优越的条件；同时这也是他的亲戚朋友尤其是父亲所期望的。Peirce出生于具有良好科学氛围的家庭，特别是其父亲Benjamin Peirce是哈佛大学天文学和数学Perkins教授，也是当时美国最有影响的数学家。Peirce从小由其父亲教授数学、物理学和天文学等学科；其聪颖智慧深得父亲欣赏。而Peirce本人也深受父亲影响，尤其是在父亲1880年去世之后，他极想遵照父亲遗愿而继承父亲的事业，从此专注于科学研究。

在Peirce十几岁时，他已经在家中建立了私人化学实验室，并写出了《化学史》；其叔叔去世后，他又继承了他叔叔的化学和医学图书馆。1859年从哈佛大学毕业后，他父亲安排他在美国海岸测量局（后来改名为海岸和地质测量局）野地考察队作为临时助手学习锻炼了一年；而同时他私下跟随哈佛动物学家Louis Agassiz学习分类学方法。1862年进入哈佛的Lawrence科学研究所，并于1863年毕业获得化学理学士。其间于1861年他再次进入海岸测量局，但这次是作为长期助手；1884年10月至1885年2月主管度量衡办公室；1867年父亲成为海岸地质测量局的第三任主管，Peirce于同年7月1日由助手(Aide)提为副手（Assistant），职位仅次于主管；他的这一职位上一直持续到1891年12月31日，时间达24年半之久。从1872年11月开始，他又负责钟摆实验；在1873—1886年间他在欧洲、美国以及其他地方的站点进行钟摆实验。晚年（1896年直到1902年）主要为圣劳伦斯能量公司做顾问化学工程师。

同时，Peirce在1867年被安排在气象台从事观测工作，并于1869年被任命为副手。他曾是一次日环食和两次日全食现象的观测者，还负责使用气象台新获得的天体光度计。1871年其父亲获得国会授权进行横跨大陆的地质测量，Peirce由此又成了职业的大地测量员和度量衡学家。

Peirce 生前虽只出版过一本科学方面的书（《光测研究》(1878)），为《the Nation》杂志撰写的短评、书评现多收集在由Ketner和Cook编辑出版的《Contributions to the Nation》中；但他在海岸地测局和哈佛气象台的诸多贡献已经为他（也为这两机构）在很年轻时就赢得了国际（特别是在欧洲）声誉（Peirce1870年、1875年、1877年、1880年和1883年先后五次接受测量局任务到欧洲考察，同欧洲的许多科学家建立了联系，并极力主张扩大科学界的国际联系）。Peirce于1867年成为美国文理学院的常驻会员，1877被选为国家科学院的成员，1880年被选为伦敦数学学会成员，1881年被选进入美国科学进步协会。而且值得一提的是，现在Peirce已被认为是采用光波长来测定米制长的先驱。

然而，尽管他原本可以很好地专职于科学职业，并有广阔的前景；并且事实上，他也是由化学进入了各种各样的科学部门，并投入了极大的兴趣和精力，成为美国当时杰出的科学家。但与逻辑学相比，它们只是他生命的第二焦点。

从理想志向来看，Peirce视逻辑学为其天职。早年在父亲指导下学习《纯粹理性批判》时就认为康德的失败主要在于其“平庸的逻辑”，要超越康德体系，必须发展一种崭新的逻辑。他声称在12岁时已经除了逻辑别无其他追求；甚至在生活潦倒、疾病缠身的困境中他依然坚持这一工作。他建有自己的私人逻辑史图书馆，他是近代以来少有的精通古代和中世纪逻辑的一位逻辑学家。他自己说，他是自中世纪以来唯一全身心贡献于逻辑学的人，并声称他是终生的逻辑推理学习者。1906年他在美国《WHO’S WHO》中把自己命名为一名逻辑学家，这在当时是绝无仅有的现象。晚年在Milford的Arisbe，他形容自己为田园逻辑学家、逻辑学隐士。与具有美好前程的科学职业相比，Peirce之所以热中于当时不可能成为谋生手段的逻辑学，更多的是出于对自己既定学术目标的追求：要发展一种有前途的逻辑。他对于逻辑的执著和热情，使得他在逻辑学上的贡献并不亚于科学。

年仅二十几岁时，Peirce就开始在哈佛和Lowell学院作关于逻辑学的演讲；从1879年直到1884年，在保持海岸地质测量局职位的同时，他作为Johns Hopkins大学（美国历史上第一所研究生学院）的兼职逻辑学讲师（这是他一生唯一一次获得的大学职位），并在这期间出版了他第二本书（也是最后一本）《逻辑研究》(1883年，Pei

rce主编)。这本书在当时的美国乃至整个欧洲都有较大影响。在1901年，他为Baldwin的《哲学心理学辞典》撰写了大部分的逻辑学词条。

虽然Peirce只有短暂的学院生活来传播他的逻辑理论，但在他那个时代，Peirce已经是一位国际性人物。在五次访问欧洲期间，虽然他是作为科学家去考察，但不仅碰到了许多著名科学家，也会见了当时知名的数学家与逻辑学家，包括De Morgan、McColl、Jevons、Clifford、Spencer等，还与Cantor、 Kempe、Jourdain、Victoria夫人等保持着通信关系。1877年英国数学家和哲学家W. K. Clifford评价“Charles Peirce. . .是最伟大的在世逻辑学家，是自Aristotle以来已经为这一学科增加实质内容的第二个人，那另一个是George Boole，《思维规律》的作者。”〔4〕

而在今天，Peirce学者不断发掘出的Peirce的逻辑尤其是现代逻辑贡献更是值得重视。一般认为，他早期主要是作为一名布尔主义者（Boolean）从事代数逻辑方面的研究，而晚年他的贡献主要集中于图表逻辑方面，主要包括存在图表系统和价分析法。1870年Peirce的“描述一种关系逻辑记法，源于对Boole逻辑演算的扩充”是现代逻辑史上最重要的著作之一，因为它第一次试图把Boole逻辑代数扩充到关系逻辑，并在历史上第一次引入（比Frege的 Begriffschrift 早两年）多元关系逻辑的句法。在1883年之前他已经发展了量化逻辑的完全的句法，与直到1910年才出现的标准的Russell-Whitehed句法仅仅在特殊符号上有点不同。

在对于数理逻辑贡献的广泛性和独创性方面，Peirce 几乎是无与伦比。与逻辑主义学派的Frege相比，Peirce的特殊贡献不在定理证明方面上，而更多的是在新颖的逻辑句法系统和基本逻辑概念的精制化发展上。他创造了十多个包括二维句法系统在内的不同逻辑句法系统。把实质条件句算子（在他那里的形式为“—

我们看到，Peirce不仅是有着突出贡献的科学家，同时也是著名的逻辑学家。然而在二者关系上，首要的一点是：他承认自己热爱科学，但坦言对于科学的研究只是为了他的逻辑；因为逻辑的研究需要从各种特殊科学（还有数学）的实际推理方法中概括出一般的逻辑推理方法，而决不是仅仅从逻辑书籍或讲课中背诵、记忆和解题；多样化的科学研究正是为了逻辑之全面概括，由它们获得的材料形成了逻辑学的基础和工具。实际上，这种前后的“从属关系”最突出地表现在他晚年常常是以作为科学家的收入来维持从事逻辑学研究的时间。

2 逻辑学作为科学

虽然上文表明逻辑学家Peirce与科学家Peirce之间有近乎目的与手段间的主从关系，但事实上并非如此简单，它们还有更为深刻的一层关系，那就是：逻辑学也是科学。很显然，这是Peirce长期的实验室经历已经使得他以科学的方法处理所有问题（他有时的确称自己为“实验室哲学家”）包括逻辑学了。

我们首先看，科学在Peirce那里意味着什么？Peirce看到大多数人包括科学界之外的人都习惯于把科学视为特殊种类的（主要是指系统化的）知识，而他更愿意像古希腊人那样把科学作为认知的方法，但他强调这种方法一定要是科学探究（inquiry）的方法。知识开始于怀疑，为了寻求确定的信念我们必须要解决（settle）怀疑，一般解决怀疑的方法主要有情感方法（求助于自己的感觉倾向）、信忠团体的方法（选择那些最适合其社会团体的那一信念）和尊重的方法（求助于自己对于某特别个人或机构的尊重之感情）等；但这些方法本质上都是自我中心的非客观的方法，它们往往只通过怀疑者自己的行为、意愿来选择信念，缺乏足够的证据。而真正客观的方法只有科学探究的方法，在这种方法指引之下，探究者从经验出发基于科学共同体(community)的合作去寻求真理（TRUTH）或实在（Reality），这也正是科学活动；最终的真理性认识可能并不是由某一实际的探究者所发现，但只要是遵循这种方法、运用先前的结果，最后都必定会一致达到真理的。这正是Peirce在《通俗科学月刊》上发表的两篇经典性论文《信念的确定》和《如何使我们的观念清楚明白》中所阐述的实用主义（与后来James版本的实用主义有很大不同）方法相一致的，事实上如Peirce所指出的，实用主义不是什么世界观，本质上是一种方法，一种科学探究的方法。而与此同时，我们看到，Peirce把逻辑学视为设计研究方法的艺术，是方法之方法，它告诉我们如何进行才能形成一个实验计划；逻辑就是对于解决怀疑的客观方法的研究，是对于达到真理之方式的研究，其目的就是要帮助我们成为“科学人”。现代科学之优于古代之处也正在于一个好的逻辑，健全的逻辑理论在实践上能缩短我们获知真理的等待时间，使得预定结果加速到来。

但是我们发现，他在思想更为成熟的阶段是把逻辑学的科学属性放置于指号学（Semiotics或更多的是Semieotics）的语境中来考察的，虽然这种处理与以上把逻辑学视为科学方法之研究存在着根本上的一致性。

Peirce不止一次指出，在最广泛的意义上的逻辑学就是指号学或关于指号的理论，仅仅是指号学的另一个名字。〔5〕它包括三个部门：批判逻辑学（ Critical Logic），或狭义上的逻辑学，是指号指称其对象的一般条件的理论，也即我们一般所谓逻辑学；理论语法（Speculative Grammar），是指号具有有意义特征的一般条件的学说；理论修辞（Speculative Rhetoric），又叫方法论（methodeutic），是指号指称其解释项的一般条件的学说。〔6〕这种划分可能受中世纪大学三学科：语法、辩证法（或逻辑学）和修辞的课程设置的影响，指号学在某种程度上可视为对于中世纪后期所理解的逻辑的现代化版本。而我们在此需要强调的是，Peirce把指号学视为经验科学、观察科学。推理就是对于指号的操作，观察在其中发挥着重要作用；指号学同其它经验科学的不同在于它们实验操作对象不一样，在于其它科学的目的仅仅是发现“实际上是什么”而逻辑科学要探明“必定是什么”。但既然是经验科学，根据经验学习的科学人进行逻辑推理所得到的结论就是可错的即准必然的（事实上，任何逻辑必然都只是相对于特定

推理前提而产生必然的特定结论）。

更进一步，Peirce把狭义上的逻辑学(logic exact)分成假设逻辑（abductive logic）、演绎逻辑和归纳逻辑三部分。显然这比传统逻辑上演绎（必然的）、归纳（可能的）二分的做法多出了内容。Peirce得出这样的结论是对于Aristotle三段论基本格研究的结果，他认为Barbara集中表现了演绎推理的本质，而作为特殊的演绎三段论Baroco（把Barbara中结论的否定作前提、小前提的否定作结论）和Bocardo（把Barbara中的结论的否定作前提、大前提的否定作结论），如果把它们的结论考虑为或然性的，则分别相应于假设推理(abductive reasoning)和归纳推理。但更重要的是，Peirce在此显示出了逻辑学与科学的最合理的紧密联系。在他看来，演绎逻辑也即数学的逻辑，而假设逻辑和归纳逻辑主要就是科学的逻辑。在演绎逻辑已经得到普遍承认的情况下，他终生的愿望就是要把归纳和假设（Abduction）同演绎一起坚固地和永久地确立在逻辑概念之中。在科学探究过程中，假设、演绎和归纳先后组成了三个不同阶段的科学方法，它们的共同作用使得科学探究能自我修正。

Peirce把假设放在首位，作为科学探究程序的第一步，目的在于发现和形成假说。假设是为解释违反规律（或习惯）的意外事实而产生假说的过程，它能产生新信息，Peirce把它视为所有科学研究甚至是所有普通人的活动的中心。但这种假设并没有提供安全可靠的结论，假说必须要经过检验。于是，还需要演绎来解释（explicate）和演示（demonstrate）假说即得出预言；再后由归纳回归到经验，旨在通过观察被演绎出的结果是否成立来证实或否证那些假说，即决定假说的可信赖度。在这连续的三种推理形式中，假设是从意外事实（surprising facts）推到对事实的可能性解释，演绎是从假说前提推到相应结论，归纳则是从实例到一般化概括。经过这样的科学探究，我们在科学共同体中将能不断接近真理。

3 逻辑学中的化学概念移植

为更具体地论述Peirce的科学研究与逻辑学研究之间的紧密联系，我们在此可谈到Peirce对科学中的许多概念向逻辑学研究的成功应用，这突出表现在化学上。因为化学是Peirce的大学专业，也是他进入整个经验科学的入口。

逻辑学作为一门特殊的学科领域，事实上从近代以来，就从数学（包括代数和几何）理论那里找到了非常有力的发展动力和理论技术。我们在此谈到的化学概念应用作为整个自然科学概念推广中的一例其实也是Peirce为发展逻辑学而提出的。

首先，Peirce晚年极为倾心的存在图表逻辑构想正是基于化学图表原理（可能还有拓扑学方法的启发）。存在图表是Peirce在其指号学背景下对Euler图和Venn图的重大发展，具有极强的表现力。其在自然、直观、易操作上要远胜于代数方法（包括标准的Peano-Russell记法），因为我们心灵的思想过程被同构地展现在推理者面前，对于图表的操作代替了在化学（和物理）实验中对于实物的操作。化学家把这样的实验描述为向自然（Nature）的质疑，而现在逻辑学家对于图表的实验就是向所关涉逻辑关系之本性（Nature）的置疑。〔7〕

第二个例子，现代逻辑（可能从《数学原理》开始）中的一对基本概念:命题和命题函项（或有时称为闭语句和开语句）原本就是来自化学中的“饱和”（Saturation或Gesättigkeit）和“未饱和”概念。Peirce用黑点或短线来代替语句中的“指示代词”（即逻辑中的自变元），得到形如“——大于——”、“A大于——”这样的形式，它们分别被称为关系述位（relative rhema）（区别于像系词一样的关系词项）和非关系述位，也即他那里的谓词（谓词是几元的取决于我们到底如何选择去分析命题）。他指出，述位不是命题，并坦言“述位在某种程度上与带有未饱和键（unsaturated bonds）的化学原子或化学基极为相似。”〔8〕然而不无意外，我们发现同时期欧洲大陆的Frege也正在独立地从化学概念得到逻辑研究的灵感。他把诸如“……的父亲”的函项记号称为“未饱和的”或“不完全的”表达式，以与专有名词相区别。〔9〕

另外一个例子是Peirce提出的价分析（Valency Analysis）法。正如名字所显示出的，它同化学中的化合价概念密切相关，Peirce所使用的词语Valency直接源于化学中的术语Valence即化合价。价分析是Peirce在图表化逻辑思想指引下于存在图表（Existential Graphs）之外创设的另一种二维表现法。其中，显然他是把思想中概念的组合与“化学离子”的组合相比拟，如他采用类似“——”这样的结构表示带有“开放端（loose end）”(即黑点后面的横线)的实体，即谓词；这就是化学中离子结构的简单变形。由于它们的开放端导致的“不稳定”（正像离子本身不稳定一样），开放端之间就可能连接起来形成共同“键”（bond）。如 “—— ”同“ ——”可形成“——”样式的新结构〔10〕。正是利用这样的离子组键技术，Peirce成功证明了其著名的化归论题，即对于三元以上关系都可化归到三元和三元以下的关系，但一元、二元和三元关系却不能化归。这一论题是他哲学思想体系中所坚持的三分法原则的逻辑证明。

综观Peirce的科学家经历和逻辑学家志向，Peirce把逻辑学视为对于各种科学推理方法的概括，同时又把逻辑学理论指导、应用于科学研究过程。二者紧密相连，互为作用。而更为突出的，他的逻辑贡献大都可追溯到其多样化的科学研究，他的逻辑独创往往也是其科学研究经验的启发性建议。笔者以为，研究Peirce的这些方面，我们至少可得出以下启示：逻辑学应从数学和科学推理实践中概括推理的一般本质；逻辑学家应尽可能学习、掌握科学（传统逻辑就因为没有这样做而失败，科学家非逻辑学家或逻辑学家非科学家都不能胜任于对科学推理的分析工作），因为拓宽自己的科学研究领域必将能加强逻辑学家对于逻辑科学的贡献能力；同时科学家要想更为一般地把握住推理方法也应了解逻辑学，但是前者在当前学术界值得特别注意。当前处于被冷落地位的逻辑学要想摆脱这种局面，必须加快发展自己；而经验科学（不再仅仅是数学）必能使得逻辑学发展获得新的生命力，这已经是被现代逻辑的发展史（特别是初创时期）所证实的。

参考文献

〔1〕库克. 现代数学史〔M〕.呼和浩特：内蒙古人民出版社，1982年. 61.

〔2〕罗素. 西方的智慧〔M〕.北京：商务印书馆，1999年. 276.

〔3〕Hilary Putnam. Peirce the Logician〔J〕.Historia Mathematica ， 9（1982）. 292.

〔4〕Max Fisch. The Decisive Year and Its Early Consequences〔M〕. Writings of Charles S. Peirce: a Chronological Edition(Vol.2). Bloomington， Indiana. Indiana University Press. 1984. Introduction.

〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕Charles Sanders Peirce. Collected Papers of C. S. Peirce (Vol.1-8)〔C〕.Cambridge， Massachusetts. Harvard University Press. 1931-58. 2.227，2.93，4.530，3.421.（按照Peirce文献的通常标注法，这里如“2.227”的记法，小圆点前面的数字为卷数，后面的数字为节数）

〔9〕威廉·涅尔，玛莎·涅尔. 逻辑学的发展〔M〕.北京：商务印书馆，1985年.624.

〔10〕Robert Burch. Valental Aspects of Peircean Algebraic Logic〔J〕， Computers Math. Applic， Vol.23， No.6-9， 1992. 665-677.

Peirce：The Scientist and Logician

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一、数学与理论的科学性

众所周知，数学作为一个独立的知识体系起源于古希腊，两千多年特别从牛顿时代以来，数学及其具体应用-----自然科学取得了辉煌的成就。长期以来人们习惯认为，能充分应用数学的学科或领域等价于科学，数学所显示出的人类理性能力、根源和力量在诸多自然科学领域也似乎得到了完美的体现。这自然使人们猜想，为什么不能把数学方法应用到社会学科领域去寻求其真理呢？西方经济学也许正是这种猜想的一个主要结果或实验。数学究竟能给经济学带来什么呢？在进一步分析经济学中数学的意义之前，我们应先来概略了解一下几个数学基础问题。

1、数学是什么？

简单回答这个问题是十分抽象的。例如若干著名学者认为，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。数学“是研究抽象结构的科学“。“数学是结构及其模型的科学”。等等。数学在理论上的概括和科学的实际发展中，一般给人们的印象是，与其他学科相比，数学的特点可归结为更高度的抽象性、更严密的逻辑性和更广泛的应用性。因此，说数学是一切科学的根本基础，是科学的皇后，是十分自然的。

稍具体说，首先，数学概念是抽象的典范，几乎它的所有基本概念在现实世界中是找不到的，例如，点、线、面；自然数、实数、虚数和四元数等等；它们是抽象的，又是深刻的，极其奇妙地、精确地刻画自然事物的某种基本特征。其次，数学是严密逻辑推理的象征，其方法论的核心是演绎法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理；其实质含义是，若公理为真，则可保证其演绎的结论为真；从逻辑上看，演绎法是清晰、合理和完美的，由数学推出的显然是毋庸置疑的正确结论。最后，由上面两点，数学应用的广泛性是不言自明的。

人的认识是无止境的，由于数学在科学发展中至高无上的地位，人们自然要进一步问，数学是绝对真理吗？亦即数学的抽象性是绝对无误的吗？数学的严密逻辑性是绝对可靠的吗？数学应用的广泛性是无限的吗？稍考察一下数学发展的历史可以看出，人们在这个问题的认识是不断变化发展的。

2、数学的真理性问题

十九世纪二十年代之前，数学的发展是顺利的，人们对于数学的真理性是确认的。特别是十五～十八世纪，数学的顺利发展达到高峰；这一时期一大批数学家同时在在数学和自然科学方面做出了惊人的成就，如哥白尼、开普勒、伽里略、笛卡尔、惠更斯和牛顿等。他们从许多方面证明了自然界的一些现象与数学定律相吻合，最突出是牛顿力学；所有这些极大地加强了数学作为绝对真理的信念，人们相信上帝设计了宇宙，而数学的作用就是揭示出这些设计。

然而十九世纪二十年代非欧几何的提出和集合论中悖论的出现，使整个科学界震动，它迫使数学家们从根本上改变了对数学性质的认识，以及数学和物质世界关系的理解，由此引出数学巨人之间关于数学基础的新数学方法而展开激烈的争论。如由弗雷格、罗素和怀特海为代表的逻辑主义认为，逻辑法则是一个真理体系，而所有的数学是可以由逻辑推导出来。同一时期，以克罗内克、鲍莱尔、彭家勒和贝尔为代表的直觉主义却认为，从逻辑原理所推导出来的东西，不比直觉感悟的更可信，数学可能是从经验开始的，但并不真正源于经验，而是来源于心智（经验只是唤醒心智）。第三大派系大卫·希尔伯特领导的形式主义认为，数学实际上是一些形式系统，各有各自的概念，各自的公理，各自的推导定理的法则，以及各自的定理，把每个演绎系统发展起来，就是数学。最后是以策梅罗、弗兰克尔为代表的集合论公理化学派，他们把解决悖论的方法寄托于集合论的公理化，即对所容许的集合类型加以限制，同时又使它们有充分的性质作为一切数学分析的基础。

到了本世纪三十年代，这四种彼此独立、不同的关于数学基础的方法已形成并相互对峙，人们再也不能说某一个数学定理已证明了，这时还必须加上是依哪个标准它才是被证实了。人们不禁要问这些数学是相容的吗？除了直觉主义认为人的直觉能保证相容性外，这个问题对于数学和科学来说，变得越来越重要和严峻。然而1931年著名数学家哥德尔得出了震惊世界的两个结论，其中对于数学基础问题研究具有毁灭性的结论是：任何数学系统，只要它能包含整数的算术，其相容性就不可能通过这几个基础学派（逻辑主义、形式主义和集合论公理化学派）采用的逻辑原理而建立。另一个结论也可称作“哥德尔不完备性定理”，它断言：不仅数学的全部，甚至任何一个系统，都不可能用类似哥德尔使用的能算术化的数学和逻辑公理系统加以概括，因为任何这样的公理系统都是不完备的。哥德尔的结论实际上表明，我们使用的任何数学方法都不可能借助于安全的逻辑原理来证实其相容性，亦即表明数学结果的绝对确定性和有效性已丧失。从更深刻的意义上说，歌德尔不完备性定理是对排中律的否定；即有些命题既不能被证明，也不能被证伪，而又有意义。

3、数学的有效性

现在数学已发展这样一个阶段，逻辑主义、直觉主义、形式主义和集合论公理化主义，它们都有着某种不同的哲学基础，而难以形成某种共同的基础。而这似乎意味着这样一个事实：并不是只有一种而是有多种数学；亦即数学并不是一个独一无二的、严格的逻辑结构；它也许是一个人造体系，是一系列经过逻辑筛选、抽象和组织、是某种人所公认的非凡的直觉；这些直觉是我们的感觉器官、大脑和外部世界相结合的产物。任何一种数学或其分支都只是提供了某种可用的理论，根本意义上说数学也是一门自然科学，任何为其寻求绝对基础的企图是注定要失败的。

当然，自然科学发展的历史也表明，与任何其它实验科学相比，数学作为一种精确而有效的思维方法，相对来说是最为广泛和深刻、有效的；其作用也更为基本、更为重要。例如，在其它科学的历史发展中，都曾经发生过若干次根本性的变化，而在数学中，大部分逻辑和经典分析已使用了许多世纪（虽理论上存在某些深刻的问题），现在仍然还适用。从这个意义上说，数学又的确不同于其它科学，我们可以把它称为准经验知识。

数学在自然科学的应用中为什么能得出非凡的实际结论？为什么那些长而复杂的纯推理过程（纯推理是独立于经验的）能产生意想不到而又准确的结论？现在并没有令人满意的解释。一种解释是，人类试图从复杂的自然现象中猜想（提炼）出某些简单的系统，其性质能用数学来描述，正是人类这种抽象化能力产生了对自然令人惊异的数学描述。我们也必须清醒地看到，这种成功是有条件限制的，例如，数学成功的领域主要是物理世界或无生命的物质，其方法论是把物理世界用长度、质量、重量和时间等简单概念来刻画，也许由于其行为是可重复的，因而用数学描述是有效的。另一方面，其代价是牺牲自然世界的丰富性；数学只能是描述了自然某些简单化了的方面和过程，决不是全部。另外，在政治学、社会学、心理学、经济学和生物学等领域，数学的有效性就非常不明显了，这自然是由于研究对象的不同性质和复杂性所决定的。

如何认识数学的真理性问题，如何看待数学在自然科学中的有效性问题，如何理解数学在社会科学等领域中的作用问题，等等；这类的问题大都属于哲学的范畴；虽然实难形成确定性结论，但通过学习和思考得到的有关认识，对于我们学习和认识西方经济学是十分有益的，能使我们的看法更加深刻起来。

二、经济学中数学应用意义的初步思考

西方经济学从亚当·斯密《国富论》起的二百多年来，已形成了一个庞大而较严密的理论体系。在整个社会科学中，经济学的理论形式、研究方法是公认为最接近自然科学的。我认为这实际上表明，数学作为一种理论信念、方法论和研究手段，十分明显地体现在西方经济学的基本特征中。下面具体展开谈一谈。

1、经济学能成为一门科学吗？

提出这个问题至少有两个层次的含义：一是经济学和一般自然科学的研究对象有根本差别吗？二是西方经济学是如何具体进行科学研究的？从方法论的角度看，某些自然科学成功发展的历史似乎明确告诉人们，一门学科要想成为一门科学，起码要解决两个基本问题：一是要有坚强的科学信念，即坚信其理论研究对象的客观性或研究对象客观规律性；二是数学方法要成为研究的主要方法；这两个问题实际上是不可分离的。众所周知，经济学是研究关于人类行为的学科，而人类行为是很难简单看作是客观的。因此，西方经济学首先要解决其研究对象的客观性问题。

西方经济学在讨论经济学的研究对象时，往往引用最多的著名论述是约翰·梅纳德·凯恩斯的观点，在其名著《政治经济学的范围与方法》一书中，他指出“一门实证科学……是关于是什么这一类问题的系统的知识体系；而一门规范科学(或称管理科学)……关于应该是什么这一类问题的标准的系统的知识体系……。”这一观点把经济学分为实证经济学和规范经济学，同时强调实证经济学作为整个经济学基础的重要地位；美国著名经济学家弗里德曼也在其著名论文《实证经济学的方法论》中指出：“从原则上说，实证经济学是独立于任何特别的伦理观念或规范判断的。……。简言之，实证经济学是，或者说可以是一门‘客观的’科学，这里‘客观’一词的含义完全等同于任一自然科学上的定义。”西方经济学长期的发展过程中，模仿自然科学及方法的信念是十分坚定的，仅从其内容和研究方法看也是有效的。这一点从许多基本概念及思想就可见一斑，例如效用、边际、理性经济人、均衡、最大和最小原则、需求定律、理性预期等等。从方法论看，这些基本概念设定的一个核心思想是避免或消除经济关系中的不确定因素，从而使其研究能得到确定性或“规律性”的东西。又例如，“均衡”作为西方经济学中的核心概念和思想，是从亚当·斯密“看不见的手”的思想演变而来，实际上“看不见的手”的思想并不完全等同于“均衡”思想，原思想更深刻、更复杂和更宽泛得多，“均衡”是对其的简化，即去除其不确定性部分，形成某种确定性或新的明确信念。“均衡”似乎给我们更多的是某些确定性的结论或信念；（在某些非常严格的假设条件下）如供求定律、均衡价格的存在性、一般均衡、局部均衡、边际收益等于边际成本，等等。“均衡”是什么？是经济运行的基本特征或基本状态吗？我认为，“均衡”是一种精巧的理论构思，更是一种“科学的信念”，在解释和理解某些常规经济现象时是有分析力的，但更重要地是希望符合一般科学研究特征的要求。

如果我们期望（或假设）把人类经济现象能够作为科学研究的对象，或者说具有这样的坚定信念，则西方经济学的确是有成效的和富有智慧的。因此，经济学是否为一门科学，在很大程度上是一个信念问题，或者说其信念将产生巨大的影响。当然，把人类经济问题转化为科学研究的问题，光有信念是不够的，还必须有具体的思想、创造和方法；从方法论的角度看，也就是要解决数学在经济学中应用的基本思想及其假设。

2、经济学中应用数学的思想及其假设

按传统流行的科学观，一门学科达到科学的一个重要标准是看它能否充分运用数学方法，西方经济学认为这对经济学也应是对的。另一方面，经济现象与自然现象又非常不同，它是一种与人、人类（文化、政治）历史进化、人与人关系等等一系列复杂的社会因素有关的、比自然现象更加复杂、不稳定的现象。把这样一种现象人为地转化为科学研究的对象，并达到数学能运用之，的确需要坚定的科学信念和具体的研究手段；其中最重要的就是，如何确定西方经济学中的有关基本假设及其思想。根据作者的初步认识，西方经济学中基本假设及其思想可概括如下：

（1）注重静态忽略动态。如“均衡”思想，强调静态均衡状态（特征）是一般经济运行的本质特征及其在经济学中的中心地位，而忽略实际经济运行过程及其不确定因素的分析。西方经济学相信任何经济运行过程是围绕均衡进行的，均衡是实际运行轨迹的中心线；均衡是客观的、确定的，即使实际经济运行可以是不稳定的但最终总是收敛于均衡的。正是基于这种认识，西方经济学研究中不考虑诸如历史文化、人际制度等复杂、易变的动态因素；着重研究静态的物与物、人与物的关系，而不考虑人与人的关系。例如，“均衡”这个概念没有历史、文化和制度的差异涵义，象一个物理定律（均衡概念及思想实际上来源于比较静态力学的研究思想）；又例如，西方经济学中经常出现的一个假设条件“假设其他条件不变”也是这一思想的具体反映。

（2）强调理性拒绝非理性。实际经济中，影响人的行为的因素是十分复杂的，如历史的、文化的、进化的、心理的和经济的等等因素混合其中；简言之，是理性因素和非理性因素综合作用的。科学（数学）的力量主要在于理性分析，而对非理性等的分析是无力的，理性等价于逻辑和确定性而排除不确定性。西方经济学自然也不能例外，在分析人类经济行为方面，可以说极端地相信和强调理性因素在人们行为中的作用，而完全避免非理性因素的作用。例如，西方经济学中的若干基本假设：理性经济人、效用的量化、生产者和消费者只追求最大利润和效用、生产者和消费者具有完全信息（知识）、供求定律、理性预期等等，十分明显的反映了这一思想；这些有关完全理性的假设在经济学中的核心作用是不言而喻的。

（3）追求确定性避免不确定性。自然科学的成功及其信念就是其理论在一定时空内的确定性；从方法上讲，上面两点的思想及有关假设的具体作用，实际上也是追求经济理论上的确定性，亦即为其理论的数学应用作信念及方法上的准备。另一方面，在具体研究中，则进一步表现为追求理论上确定性的形式，亦即分析、结论的几何和数学模型形式。值得注意的是，得到这些确定性的形式又需要具体满足各种数学方法正确运用的种种假设条件，哪怕是完全不现实的。例如，有关均衡的若干假设、市场上存在充分多的生产者和消费者以保证他们都只是价格的接受者、生产要素和商品的完全可替代性、供求曲线的设定、边际概念等价于导数、变量之间某种形式的“线性型”关系假设、规模收益不变假设等。

总之，可以理解的是，为了实现经济学的科学信念，方法上必须引入数学思想和方法，亦即演绎法：从创造性假设出发──经逻辑推理（数学推理）──得到确定性结论。值得指出的是，经济学中演绎法（数学）成功应用的关键，是巧妙和创造性地构思其演绎的前提──假设条件。我认为深入认识和理解其主要的假设及其思想，是认识西方经济学方法论及其数学意义的关键所在。

3、经济学中应用数学的方法论意义

西方经济学方法论的演变经历了一个长期过程，西方学者认为，十九世纪其思想基础是西方科学哲学中的“证实主义”，而二十世纪则是“证伪主义”；“证伪主义”科学方法论的核心思想是彻底反对归纳法而推崇演绎法，而数学是演绎法的典范。我认为演绎法及其思想在经济学中应用的方法论意义，简单说具体表现在三个方面：即创造假设、数学推理、检验理论。下面稍稍展开谈一下。

（1）创造假设条件是理论假说演绎推理的关键和必要条件。确立假设条件一个最基本目的，就是要创造性地简化现实经济现象的复杂性,从而确立现象间联系假说的核心结构，并建立演绎推理确定性的前提。一般来说,不同假设下所形成的分析思路、分析范围和分析方法往往是不同的；不明确提出假设条件,理论本身将显得含糊不清,无法形成理论讨论中的共同规范,往往会造成对同一理论认识和理解的不同,容易引起理论基本概念的混乱,这将阻碍理论研究中科学探讨统一基础的形成。另外，值得注意的是，西方经济学的假设条件中往往包含了其理论假说演绎的大前提；这里所谓“大前提”即是理论假说或假设条件的核心；它实际上蕴涵了理论假说的基本思想、主要结论和演绎的最终前提。应指出的是，根据“证伪主义”的思想，所谓“大前提”的形成是研究者“自由创造”的结果，而无需什么严密的逻辑推理或经验事实依据；实际上，不同理论或学派的主要思想分歧或创新，往往表现在其演绎“大前提”的不同。因此，我们应特别认识到假设条件在经济学中的方法论意义。

（2）演绎法的典型推理形式是数学推理。数学推理的一个基本特点是其前提（即假设条件）应十分确定和严格的；经济学中的假设条件往往确立了逻辑推理的“大前提”及其变量间的具体数量关系、演绎方向等；西方经济学中演绎推理的基本过程可简要概括为：提出假设条件(大前提)------逻辑推理(数学推理)------结论(并检验结论)。根据演绎法的特点,如果推理的结论不正确或通不过检验，则问题一定出在假设条件部分，而与逻辑推理过程无关；因为演绎法中,结论只是其假设条件(大前提)必然的逻辑结果，逻辑推理(特别是数学推理)一般是不会出问题的，这正是演绎法逻辑清楚或简单的科学方法论意义所在。这个意义告诉我们，任何经济理论存在问题是肯定的，也是十分明确的，即问题肯定在假设条件中，理论的发展或创新在于对原有假设条件的修正或创新。

（3）理论的可检验性是演绎法的目的。“证伪主义”判断理论科学性的唯一标准是看理论是否具有可证伪性或可检验性；一般来说,假设条件和数学推理将使经济学研究的对象明确具体、变量之间的关系数量化、以及保证逻辑推理过程的严密性，最终将保证理论结论的具体明确,亦即具有经验的可检验性（西方经济学的主要检验方法是计量经济学），从而保证了其理论假说科学性的主要特征。值得指出的是，按照证伪主义思想，就一般经验科学而言，演绎法意义上的检验是检验理论的结论，而不是检验其假设条件。但就经济学来说，是检验假设条件还是理论结论或是都检验是有争论的，其原因可能是由于社会科学的特殊性所决定的。

从上面的讨论我们可以看出，演绎法或数学在西方经济学中的应用具有科学方法论上的意义，是将经济学作为一门科学研究信念的必然结果，它的研究思路、体系和研究方法应该说是按科学研究的要求来设计的，并达到了相当高的技巧水平。当然，社会科学与自然科学是有（根本？）差别的，自然科学方法与社会科学方法也应有差别；我认为这个差别集中反映在经济学的基本假设上，或者说可以从西方经济学中的基本假设及其思想上去认识。另外，确立假设条件本身是一个十分复杂的创造过程,按照“证伪主义”的思想,理论核心假设的提出是一种大胆的猜想、“自由创造”或某种非理性因素作用的结果，而没有什么逻辑的方法可循。但在西方经济学中，科学的信念和数学应用的条件，实际上对其基本假设的形成起了非常重要的影响；另一方面，其基本假设的思想是尽量去掉不确定性因素，而经济学中的任何事实又渗透了人们心理变化的不确定性；在处理更加复杂经济社会现象的面前，数学的威力仍在吗？因此，在我们分析了经济学中数学应用的科学意义后，还应更深入地思考另一方面的问题，经济学中数学应用的限制又在哪里呢？

三、经济学中数学应用限制的初步认识

数学在经济学中应用的有效性一直是一个有争议的方法论问题。我认为其关键点在于，如何认识自然现象和社会现象的差异，以及怎样认识数学有效性的深度和广度；实际上这两个问题在某种程度上是一个问题。虽然对这一问题的认识很难说理论上会有什么最终定论，但某种深层次的思考和了解，将有助于我们对经济学方法论目前仍存在的某些基本问题有所理解。

1、自然现象与社会现象

一般性讨论已告诉人们，自然现象与社会现象之间的确有某些根本性的差别。与自然现象根本不同在于，社会现象中人及其关系在经济事件实际过程中产生极其重要的影响（某种意义上说，这种影响在自然科学中也存在，但影响的性质是完全不同的）；如果不作某种严格的假设，这种差别将限制数学在经济学中的应用，经济分析将最终归结为社会的、意识形态的、心理学的等方面的分析。因此，如何认识这种差别及其性质，是认识经济学中数学应用限制大小或性质的关键。下面稍展开分析：

分析之一：两种现象演化过程的客观性不同。在观察自然现象演化过程中，人和自然现象演化过程（主体和客体）是明显分离的，除了人的观察和认识可能有（某种相对固定）偏差外，自然现象演化过程本身相对来说是一个客观过程；简单地说，其过程是一个客观事实直接连接着下一个客观事实，与人的观察和认识无关。而在社会现象演化过程中，由于其过程本身参入了有思考能力的人，人与社会现象演化过程不能明确分离开来，亦即人不能独立或脱离自身来观察自己；简单地说，如若以事实为起点，事实经过人的思考产生认识或决策，进而影响到人的行动，而人的行动结果形成下一个事实；这里一个事实并不直接连接另一个事实，事实本身不是客观的，而是参入了人的观察或认识，亦即事实与人的思考是相互影响的（这种现象有人称为“反射”现象），这时主客体是合二为一难以明确分离的；因此，我们观察到的社会现象演化过程很难说是一个客观过程，其不确定性因素是显然存在的。

分析之二：两种现象演化过程的科学特征不同。自然现象演化过程客观性的一个基本特征是：相对来说，在人所能控制的范围内（或在相同的条件下），其现象演化过程是可重复的或可控制的，这实际上是产生科学研究和确定性知识的基本特征。而社会现象的演化过程则完全是一个不可重复的历史过程，亦即人们在其研究中，无论利用多少人为的条件（总是有限的）来刻画条件相同但时间不同或地理不同的两个实际社会（或经济）状态，都是不准确和客观的，有时甚至是差别巨大；历史事件是不可重复的！这突出地表明，历史的、文化的、制度的和心理的等因素复杂作用、进化的不可逆性和不确定性，也表明社会现象的复杂性远甚于自然现象。

分析之三：人的认识偏颇性对研究对象的影响不同。众所周知，人对世界的认识是有限的，亦即总是存在偏颇或不完全性，但这种偏颇对我们所考察的两种现象过程的影响是非常不一样的。对于自然科学来说，由于其现象过程的相对客观性，人的认识或偏颇相对来说不可能影响现象过程（事实）本身，亦即这里人的认识或偏颇和其现象过程实际上分别属于两个相互隔离的空间，客观过程能不断纠正认识上的偏颇；也正因为如此，自然现象或事实在自然科学研究中，既是扮演着可观察的独立现象，又实际上扮演着独立而客观标准；亦即相对来说，人的认识或理论的正确与否可以通过与现象或事实的对应得到客观地检验或确定；因此，这种研究结论才可称之为确定性的和科学的知识。而对于社会科学来说，由于其现象过程的非客观性，即人的认识或偏颇渗透了现象过程本身（事实）之中，事实和人的思考两者是互相影响而不断变化的；因而造成了研究对象和研究本身的不确定性或非客观性，例如，我们可以发现，经济学中缺乏象自然科学中那样无可争议的假设或概念；这种状况下的研究方法和结果很可能是，要么是确定性的而脱离实际，要么是不确定性的而失去科学研究的意义。

我认为，以上的初步分析反映了自然科学和社会科学研究对象之间差别性质，也是数学在经济学中应用限制的深层次原因。

2、常规事件与历史事件

我们自然想到，数学在经济学中的有效性可能受到限制，怎样来认识这种限制的大小呢？又怎样来认识经济学的实际作用呢？我认为认识和区分社会经济现象中所谓“常规事件”和“历史事件”的含义是十分重要的。

（1）常规事件和历史事件。社会经济现象（事实）中参入了人的思考（为）因素，事实和人的思考（行为）相互影响，不可分离，这里的事实相对而言失去了其客观性；因而我们说经济（社会）事件相对来说更具有不确定性；当然这并不能认为，经济（社会）现象完全无稳定性、无研究意义，而是要着重指出它与自然现象的重要差别；这里历史学研究及其内容给我们一个重要启示。一般历史学研究所包含的内容，主要是描述和分析历史上的重大事件，即所谓“历史事件”，从时间上衡量，“历史事件”发生的时间长度在整个历史过程中只占很小一部分；而其余大部分时间中所发生的相对稳定、普通的事件，我们则可称之为所谓“常规事件”，但它并不是历史研究所描述的主要对象。如果从经济学的角度对照来看，可以简单地说，所谓经济中的“历史事件”部分主要对应于较大经济波动时的波峰或波谷时期的经济状态，或者说是指那些远离“均衡”时的经济状态；而经济波动其余部分相对较稳定时期，或者说那些较接近“均衡”时的经济状态则对应于所谓“常规事件”部分。某种意义上说，“历史事件”和“常规事件”的区别本质上是不确定性和确定性、非理性和理性的区别。

（2）经济学与“历史事件”。值得指出的是，“历史事件”在人类历史上的作用和意义是显而易见的，它往往是历史进程重要的转折点，也是难以事先认识和预测的。同样，经济（社会）现象中的不确定性也主要突出地反映在其所谓“历史事件”中，简单地说，即指较大经济波动中的波峰和波谷部分（较大经济波动转折点的某一邻域），目前的经济学或经济数学模型对此的解释或预测是十分无力的。经济中“历史事件”的形成，实际上是人们思考或认识的偏颇逐渐加强（或非理性作用突出），并不可遏制地、不断放大的结果，亦即实际事实与参入者的偏颇不断相互影响、一致偏颇（或非理性）行为的程度积聚放大最终导致崩溃（突变）的过程，这一过程的不确定性（或非理性）特别显示在波峰和波谷的形成上。这一过程的典型例子在金融证券市场上是十分常见的，也许目前科学方法对此的解释是无能为力的。我们同样可以看出，对这一过程的形成，均衡的力量或均衡思想的解释力是微不足道的，更不用说去预测它了。

（3）经济学与“常规事件”。当然，社会经济中的不确定性不可能总是激烈地表现出来；一般来说，在“常规事件”时期，人们的偏颇及行为相对处于稳定（或较理性的）状态，与实际状况比较接近；这时，人们的总体偏颇状态不会形成某种变化的趋势，人们的思考及行为与实际状态的相互影响处于稳定，不确定性或非理性的程度相对较小或相互抵消。这时“均衡”经济学的确具有相当的解释力和预测力，或者说在“常规事件”条件下或某种严格的假设条件下，数学在经济学中的意义是显著的。但我们应注意的是，由于“常规事件”本身的稳定特征或属于经济现象中常规部分，使得这种解释力的实际意义和重要性骤然变小。这里出现的一个问题是：经济学的研究对象应主要是“常规事件”还是“历史事件”呢？西方经济学显然是选择了具有较好确定性特征的“常规事件”作为其研究对象和经济本质特征的，而把“历史事件”作为例外加以处理。

3、检验经济学的困难

众所周知，自然科学真理性的一个突出特征，是其理论能相对其对应的客观事实得到检验，这种检验不会因人的认识或理论的不同而改变，也不会因研究者的不同研究动机而改变；其基本原因是这里的“事实”是唯一的或客观的，通过这种检验而得到的理论（或知识）是科学性的保证。然而，对经济学的检验却有明显的不同。

首先，经济学及其实际预测无论正确与否，它们都会对人们的思考和行为产生某种影响，特别是有重大实际经济意义的预测，可能会对预测的事实本身产生有利或不利的影响，亦即经济学预测的事实本身并不是唯一的或客观的，是可以变化的，这样的预测成功或失败似乎并不能客观地说明其理论的正确或错误。在经济学的检验中，在用什么“事实”作为检验的共同标准问题上，实际上缺乏一致和明确的认识。

其次，自然科学中，数学方法预测成功的一个重要特征是所谓“有条件预测”，亦即相对而言，其预测的假设（或前提）与其预测的结论之间是逻辑或直接（客观）的关系；或者说，在相同条件下预测过程是可重复的或多次有效的。我们已知道经济学预测不存在这种“有条件预测”的特征；在实际预测过程中，预测的条件（假设）与其预测结论之间存在着不确定性因素的干扰，尤其在经济波动的转折点时更是这样。经济学中的大量不同理论学派或预测模型之所以可以长时间地同时并存，是因为与自然科学不同，某个模型的某次成功预测并不能表明其理论的正确或有效；同样，某个模型的某次失败预测也不能表明其理论的错误或无效；因此，经济学的检验意义是有限的。

最后，在任何科学研究中，研究者的研究动机主要有两种类型，可分为追求真理和追求功利的动机。在自然科学中，无论研究者的动机如何，检验研究者成果的标准是唯一的----客观事实，来不得半点虚伪的东西。而在经济学研究中，由于检验的标准可能是不确定的，不正确的动机、错误的理论或预测也可能取得“成功”，因为它能影响人们的思想和行为进而影响到经济现象本身或所检验结论的形成；如果加上政治和个人利益等倾向的影响，某些研究结论的偏颇性将十分突出，再利用经济学“科学性”分析声誉的影响，短期内使实际状况达到某种检验目的的要求是完全可能的和有效的；这种检验破坏了科学检验的客观性。

总之，经济学的检验与自然科学意义上的检验具有较大的差别，不能简单地混为一谈；这一问题的存在也是数学在经济学中应用的一个主要限制。

四、小结

以上从不同的方面，初步探讨了经济学中数学应用的意义及其限制，应该说还是十分粗浅的。总的来说，我认为经济学中数学的意义，主要表现在纯理论的信念统一和理论体系完美的结构上。因此，西方经济学对于我们进入经济学领域能够起到基础知识和技术的作用，学习经济学不可不了解和学习西方经济学；另一方面，对经济学中数学的意义也不应过分夸大，特别是在实际应用时，要深刻认识经济学的局限性。举一个例子，在实践意义上，经济学中数学的作用很类似计算机在人工智能应用方面的作用。在某些方面，例如计算机在解决那些被严格限定的问题（如逻辑问题、国际象棋等）方面，的确具有超人的能力；但如果它面对大量人们不费吹灰之力就能解决的那类问题（诸如辨认一张面孔、一种声音，或在拥挤的人行道上行走等）时，可能会一筹莫展。因此，许多时候，经济学上的优美数学结构和确定性结论，一用到具体实际中往往会感到无用武之力或失效；特别是，数学在认识类似“历史事件”的经济问题时，其实际作用可能是十分有限的。

篇9

关键词：形式法律推理；实质法律推理；社会效果

中图分类号：D920.4 文献标志码：A 文章编号：1002-2589（2013）15-0118-02

一、两种法律推理的统一

从认识论的角度讲，根据前提推断结论有两条模式可供选择：一是根据前提与结论之间的历史的、社会的、政治的、价值的等实质性联系进行推断；二是根据前提结论之间的形式联系进行推断。前者之所以根据前提推出结论是因为存在一个实质依据。所谓实质依据，是指道德的、政治的、习俗的或者其他社会因素。后者之所以能够根据前提推出结论是因为存在一个形式依据。所谓形式依据，是指一种权威性的法律依据，法官和其他人被授权或要求以其为基础做出判决或采取行动，这种依据通常排斥、无视或至少是弱化出现在判决或行为过程中的、与之进行对抗的实质性依据[1]。

根据形式依据进行的推理是形式推理。在我国，法律推理首先是形式推理，尤其我国确定了“以事实为根据，以法律为准绳”的办案原则，这就要求法官在裁判案件中遵循演绎推理的思维方法。何为演绎论证模式？在我国的司法裁判书中，一般都按照“经审理查明”，“本院认为”，“依据……判决如下”的字语。首先是将具有普遍约束力的法律规范作为大前提，其次是将具体体现该法律规范的案件事实作为小前提，最后是法官理所当然得出的案件结论。这种形式推理是典型的三段论模式。三段论推理“使结论更加客观、更合逻辑、更加合理，从而使结论具有不可抗拒的逻辑力量。”[1]而其合理性在于这种推理形式能够说明判决中的司法推理过程是由逻辑过程推导出来的，而非法官在运用自身的思考方式进行判断，其最大限度地排除了法官个人的主观感情。

根据实质依据进行的推理是实质推理。实质推理，是基于法律的实践理性或目的理性以及价值理性进行的推理，基于法律的历史、法律的目的、法律的价值取向、社会习惯或管理、社会效用或社会利益、社会公共政策以及社会公平正义观念等实质内容展开的推理[2]。实质推理适用在前提要件缺乏的情况下，抑或是不能用简单的形式推理就可做出既合法又合理的司法裁判的案件中。因此需要其他前提条件作为大前提，来完成完整的法律推理过程。实质推理注重法律适用和接受的社会效果，需要法官根据法律原则甚至是发展法律原则，与当代社会的基本价值观相联系，来增强判决的可接受性，使法与社会期待相契合，让司法判决真正得到当事人的信服，使当事人自觉自愿履行判决结果，赋予法律更强的实践性，对推动中国的社会主义法治社会具有基础和重要的作用，来弥补形式推理的僵硬和短视。

从以上分析中，我们可以得出形式法律推理体现的价值观念是“合法”，即法官严格按照法律规范的规定，进行逻辑的三段论推理，最后得出案件的判决结果。而实质法律推理所体现的价值观念则是“合理”，即在法律规范不明确或矛盾的情况下，法官根据立法目的、基本原则或一些积极价值取向作为推理依据进行判案，来赋予法律更强的实践性和接受性。

因此，形式推理解决的是法律推理的大小前提与结论之间的逻辑推理联系，实质推理解决的是结论的合理性、正当性问题。笔者认为，科学的法律推理模式应是形式推理与实质推理的有机统一，形式推理与实质推理的紧密互动，使法律推理同时具备形式合法性与实质合理性的双重品质，使法律推理成为追求形式正义与实质正义相统一的工具。

二、形式推理与实质推理在贾正喜侵权案的体现

案情介绍：小说《敌后武工队》是一部家喻户晓的战争题材经典著作，作者是原来的武工大队员冯志。小说反映了武工队员深入敌后，与敌人浴血奋战的真实故事。随着小说的流行，敌后武工队的故事和英雄人物在民间流传甚广，一时间妇孺皆知。1999年，北京电影制片厂电视部、北影音像公司与北京卡特尔广告公司、北京明盾新材料技术开发中心联合将冯志先生的原著《敌后武工队》改编、制作成20集电视连续剧。保定电视台曾分别于1999年和2001年两次播放该电视剧。

保定徐水的老“敌后武工队”队员贾正喜制作和放映电视剧《敌后武工队》的三家单位，要求索赔100万元。贾正喜诉讼的另一方包括北京电影制片厂录音录像公司（以下简称录像公司）、北京电影制片厂（以下简称北影）和保定市电视台。引起纠纷的是1999年由录像公司和北影共同改编的20集电视连续剧《敌后武工队》，电视剧根据冯志的《敌后武工队》小说改编而成。

贾正喜提出，在电视剧的最后一集中，根据贾正喜起塑造的人物贾正被日本鬼子的炮弹炸死，而电视剧的宣传广告中又标明是反映“燕赵儿女浴血奋战的真实故事”。这部电视剧的情节使得50年来在当地备受尊重的贾正喜成为怀疑对象，很多人说：“贾正已经死了，你这个贾正是假的。”贾正喜称自己精神上受到极大伤害，请求三家被告停止侵权，消除影响，赔礼道歉，停止播放，并且赔偿经济和精神损失100万元。

保定市中级人民法院对此案做出一审判决，认为北影和录像公司的行为客观上造成了贾正喜的名誉下降和精神损害，判决赔偿贾正喜20万元人民币，保定电视台不负赔偿责任。

二审判决认为，本案中，改编和录制行为本身并不违法，同时行为人北影厂主观上没有侵害贾正喜名誉权的故意，改编行为使剧中人物更为英勇和壮烈，且改编初衷也无意（事实上也没有）给剧中人物带来不良影响，也无意伤害原型。本案中，北影厂虽将文学作品中的贾正改编为壮烈牺牲，但没有侮辱、诽谤或披露个人隐私的情节，所以，本案不构成侵害名誉权。北影厂虽不构成侵犯名誉权，但客观上使周围有些群众对剧中人物原型贾正喜产生误解。这些误解给贾正喜带来一些影响，对此北影厂应给予适当补偿。判决如下：撤销一审判决；北影厂补偿贾正喜5万元；驳回贾正喜其他诉讼请求。

本案最后获得当事人各方的广泛接受以及较好的社会效果，笔者认为，这其中的关键原因就是二审的判决中，法官将三段论式的形式法律推理和实质法律推理的完美结合，使判决结果既合法又合理，不仅是单纯地进行形式推理，而不顾社会道义等价值导向，而本案法官在坚持形式推理的合法性前提下，又兼顾了案件判决的接受情况及所会产生的社会效果，做出了最终既合法又兼顾社会价值观的判决结果。

在二审判决中，已认定本案不构成侵害名誉权，“北影厂虽不构成侵犯名誉权，但客观上使周围有些群众对剧中人物原型贾正喜产生误解。这些误解给贾正喜带来一些影响，对此北影厂应给予适当补偿。”依据三段论式的形式推理，大前提已有明确确定，事实也已认定清楚，北影厂的改编行为不构成侵犯名誉权，则判决应理所当然是北影厂不承担任何责任。而本案的转折就是在“北影厂虽不构成侵犯名誉权，但客观上使周围有些群众对剧中人物原型贾正喜产生误解。这些误解给贾正喜带来一些影响，对此北影厂应给予适当补偿。”法院在肯定北影厂不构成侵权的情形下，但又对改编后产生的社会效果进行了否定评价，因此要求北影厂承担补偿责任，而不是赔偿责任。而法院认定北影厂的改编行为客观上对原告造成了不良的社会影响，使这样一位曾经在抗日战场上英勇奋战的老英雄得不到社会应给予的尊重和敬仰，相反，老英雄却受到村民对其真实身份的猜疑，这无疑会使老人感到不公平，而这种情形是与我们现在主流道德观念相悖的。因此二审法院的法官进行了实质推理，兼顾了实体正义而认定补偿责任。

而这种判决结果，从各方当事人角度都得到了可接受性，使案件顺利的结案。对于原告贾正喜老人来说，满足其精神利益比获得较大数额的赔偿更重要，在本案的过程始终，老人没强调过要求的赔偿数额，却一直强调北影厂的改编行为所产生的对其社会评价的降低，影响了他在家庭和社会的声誉。如村民都认为他不是真的贾政，类似于请他做讲座的社会活动也减少了很多，使他丰富的晚年生活受到本不该有的评价，是他诉讼的最主要原因。而法院虽然认定北影厂的改编行为不属于侵权，但判定北影厂承担5万元补偿责任，对于一般民众来说，并不能像专业法律人士一样，区分开补偿与赔偿的区别，补偿仅是一种精神上的抚慰，而赔偿则是责任人对其过错进行弥补的方式，补偿对于贾正喜老人来说就意味着其诉讼请求得到法院的肯定，获得了积极的判决结果。这种积极的法律评价将使其重塑英雄形象，重新获得社会的肯定，而不再遭受邻居们的非议和怀疑，得到他应得到的正面和积极的评价。

而从被告北影厂的立场上来看，补偿5万元对于一个电影制片厂确是九牛一毛，相对于损失较小数额的赔偿，比结束案件尽快消除社会影响，付出的代价更少。在一般人看来，是因为北影厂的改编行为使贾正喜老人的社会评价降低，因此案件责任应在北影厂一方，因此案件持续的时间越长，媒体报道越多，而这种舆论导向对北影厂越不利。所以在本案认定北影厂的改编行为并不属于侵权，对于其来说已获得了法院的积极评价，这也是北影厂最期待的评价，其虽在主观上并无诋毁英雄人物的过错，但客观上确实造成了对贾正喜老人不良的社会影响，因为判决其承担5万元的补偿金额亦是其可接受的结果。

综上，法官在本案中完美结合了形式推理与实质推理，综合了双方的诉讼请求所做的判决结果，贾正喜老人要求恢复名誉，重新得到社会的积极评价，而北影厂则追求其合法的创造行为得到法律的肯定，双方的诉求在判决结果中都得到了支持，且这种支持并不是毫无原则地讨好，而是在坚持形式推理下的合法与实质推理下的合理前提下，所得出的公正结论，这种判决不仅能使双方当事人欣然接受判决结果，而且双方当事人更会自觉履行判决结果，这不仅增强了判决结果的可接受性，而且也真正使法律得到当事人的尊重，并产生了良好的社会效果。

参考文献：

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一、 对比地问，带领分辨

对比是指将对象与对象或对象的各个部分、个别方面和个别特征仔细辨别，确定它们的异同及其关系的一种思想方法。许多数学概念之间、计算方法之间既有联系，又有区别，学生容易产生混淆，不能明确其本质。教学中，教师通过对比的问，帮助学生分辨旧知识与新知识之间的联系与区别，使课堂教学目标更明确，学生对课堂教学内容的理解更有效。

例如：教学“24时记时法”一课时，教师播放一段中央电视台“新闻联播”节目的片头音乐，让学生猜一猜是什么节目，学生们都说是“新闻联播”。教师问：那“新闻联播”节目是什么时刻播出，学生们异口同声地说出是晚上7点。接着教师说：同学们都认为是这个时刻，电视画面上是写着“晚上7点”吗？我们一起来看电视。播放“新闻联播”片头视频，学生们通过比较后说：屏幕上显示的不是晚上7点，而是19点。部分学生说19点就是晚上7点。教师：19点，这是什么记时法，它跟我们说的晚上7点有什么不同？今天我们就来一起研究“24时记时法”。接着教师出示一张学生们喜欢的儿童电视节目单，让学生在小组中说一说自己喜欢的节目分别在上午、下午或晚上什么时刻播出，并请他们把对应的时刻写在黑板上。教师问：现在黑板上出现了两种记时法，这两种记时法有什么联系，又有什么区别……

上述教学过程中，教师通过创设情境，将课本上的“24时记时法”与学生生活中用到的“普通记时法”进行对比，在比较中帮助学生们理解“24时记时法”。事实上，学生们是带着知识来上课的，这样的课堂能不有效吗？

二、 猜想地问，引领探究

数学课程标准指出：让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。教师如果能在课堂上设计一些有效的猜想性问题，不仅能激发学生的学习兴趣，还能使学生在轻松愉悦的情境中学习新知，这种形式的提问，能把本来枯燥无味的教学内容变得生动有趣。

例如：教学 “三角形内角和”一课时，教师让学生拿出一副三角尺，说出每个三角尺中三个角的度数，并口算出每个三角尺中三个角的内角和是多少，学生们很快算出了两个三角尺的内角和都是180°。教师问：为什么两个形状不同的三角形，它们的内角和却是相同的?这里面是不是存在某个值得我们去研究的规律?引导学生提出猜想：任何一个三角形的三个内角和都等于180°。这时教师告诉学生，这个猜想对不对，我们可以通过事例来检验，如果有一个事例不符合，这个猜想就被否定了，符合的例子越多，猜想正确的可能性就越大。学生4人一小组为单位进行操作探究。不一会儿，有的学生说：我用量的方法，先量出三角形的每个内角，然后求和，这个和大致是180°，因此三角形的内角和是180°。有的学生说：我用拼的方法，将三角形的三个内角剪下来，然后拼在一起组成了一个平角，得到三角形的内角和是180°。有的学生说：我用折的方法，先将锐角三角形或钝角三角形的一个角折过来，使它的顶点落在底边上，再把另外两个角也折过来，这样三个角正好拼成一个平角，得到锐角三角形或钝角三角形的内角和都是180°，直角三角形的2个锐角折过来正好是一个直角，得到直角三角形的内角和也是180°。所以，三角形的内角和是180°……

一个好的问题应该位于学生的最近发展区。本节课教师让学生从特殊事例的研究中发现规律，教师的一句“这里面是不是存在某个值得我们去研究的规律”，学生提出猜想后，接着让学生经历用事例来检验猜想、论证猜想的过程。这样的教学，在小学高年级是可行的，也是有效的。

三、 概括地问，抓住本质

课堂的生成，也许我们无法提前预知，但根据教学内容精心设计一些有效的数学问题，是可以自我掌控的。在学习新知识的过程中，学生们只有具有一定的抽象概括能力，才能抓住事物的本质和内在联系。

例如：教学 “圆的周长”一课时，学生先通过实验得出圆的周长是直径的3倍多一些，教师告诉学生运用推理也能得出这一结论。正方形ABCD在圆O的外面，它的边长等于直径d，它的周长就是4d，圆的周长明显地比正方形的周长小，所以圆的周长比直径的4倍小（见图1）；圆O内有一个正六边形ABCDEF，这个正六边形可以划分为6个等边三角形，正六边形的边长正好等于圆的半径，正六边形的周长就是6r，即3d，所以圆的周长比直径的3倍大（见图2）。

此时，教师让学生用一句话说一说圆的周长与直径的关系，学生很快地说出圆周长是直径的3 倍多一些……