逻辑推理的概念范文

导语：如何才能写好一篇逻辑推理的概念，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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关键词：初中 数学教学 逻辑推理

推理是人类所特有的一种高级心理活动，是大脑反映客观事物的一般特性及其相互关系的一种过程。概括地说，推理就是人们对客观事物间接的概括的认识过程。所谓逻辑推理，是一种确定的、前后一贯的、有条理的、有根有据的思维，是人类正确认识事物必不可少的手段。《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》明确提出展逻辑思维能力和逻辑推理能力，并能够运用所学知识解决简单的实际问题”。逻辑推理能力是与数学密切相关的特殊能力，培养这种特殊能力的最终的着眼点，是要使学生能够运用所学知识解决简单的实际问题。培养学生逻辑推理能力的首要关键是教师必须熟练地掌握各种不同的推理方法.而其根本途径是通过发掘教材内部的逻辑推理因素，考虑教材特点以及学生年龄特征结合数学来进行，既要做到有意融，叉必须潜移默化。任何离开教材另搞一套的做法都是不必要的。晚离学生实际，片面追求逻辑上的完整、严谨，提出过高过急的要求也是难以收到良好效果的.培养和发展学生的逻辑推理能力，是中学数学的重要教学目的之一。当然教师首先本身应该研究逻辑学，掌握一定的逻辑知识，在课堂教学中，应当充分体现出教材本身逻辑系统的要求，充分揭示教材的矛盾和学生认识过程的矛盾。通过设计一系列逐步深化的问题引导学生由浅人深地进行思考。

一、在加深对基本概念的透彻理解的过程中发展学生的逻辑推理能力

培养和发展学生的逻辑思维能力，是中学数学教学的目的之一，中学数学教材从始至终都包含着丰富的逻辑因素，体现了逻辑规律和逻辑形式.在教学中，要不断地揭示出教材的内在逻辑性，以培养学生的逻辑思维能力。常常碰到有的学生在解答数学习题的时候，只重视公式定理的记忆，热衷于难题的求解，却不重视对数学概念的透彻理解，因而常有偷换概念等错误出现。

例如，在求解汽船往返甲、乙两码头之间顺水速度为60千米/小时，逆水速度为30千米/小时，往返一次的平均速度时，学生错解为平均速度是（30+60）×1/2=45（千米/小时）。这里对“平均速度”概念的理解是错误的，把它和两个数的算术平均数混淆起来了。违反了思维的基本规律，因而得出的结论是错误的。

正确的解法是：设两码头相距s公里，则往返一次的距离为2S，顺水用的时间为未小时，逆水时间为S/60小时，故平均速度为V=2S/（S/60+S/30）（千米/小时）。从这个例子可以看到如能运用逻辑推理方法去理解平均速度，也就可以加深平均速度这概念的理解。在教学中如果教师掌握了这一规律也就能强调对这概念的具体理解和使用，培养学生的逻辑推理能力。

二、从特殊到一般，再从一般到特殊，在掌握知识和运用知识的过程中，培养学生的逻辑推理能力

初中数学中的概念、命题（公理、定理、公式）、推理、论证等都属于思维形式的范畴，这些思维形式都要遵循一定的思维规律。例如，在设计同底数幂的乘法法则推导时，先引导学生以特殊的例子103×l02=（10×10×10） ×（10×10）（乘方的意义）=10×10×10×10×l0（乘法的结合律）=105（乘方的意义）。

得出：103×l02=103+2。

然后用同理可得23×24=23+4；（1/2）2×（1/2）4=（1/2）2+4；说明不同的底数有相同的规律再举出a3·a2得a3·a2=a3+2，从而提出问题引导学生思考am·an=？，由学生分析并归纳出am·an=am+n从而得到一般地如果m、n都是正整数，那么am·an=am+n，这就是一个由特殊到一般的思维过程。这样训练，既使学生搞清公式、法则的来龙去脉，又加强了学生逻辑推理能力的培养。

三、在更正学生练习或作业的错误中，培养学生的逻辑推理能力

例如，含盐12%的盐水4千克，需加人多少克盐，才能达到含盐20%的盐水

解：设需加入戈克盐，根据题意，可得方程：

4×12/100+x=202（4+x）×20/100解得：x=0.4克

这个根在检验时，可能不难发现不合题意。如能遵循逻辑思维基本规律，在同一运算过程中，保持同一运算单位，就不会错在单位不统一上，而造成列错方程了。

正确方程应为： 4000×12/100+ x =（4000+ x） ×20/100

从上面解题中可以看出：在列方程解应用题时，最容易忽略单位的统一而列错了方程。如果你能运用逻辑思维基本规律检查一下你所列出的方程，就可能会发现问题，从而得到一个正确的方程。因此，在更正学生的练习或作业时，要加强对知识的理解和掌握，根据逻辑推理迅速、准确的解答问题，论证自己的论断，以及严谨而前后一贯地叙述自己的思想，从而培养学生的逻辑推理能力。

总之，逻辑推理能力，是正确、合理地进行思考的能力，它在能力培养中起到核心的作用。初中数学教学中，发展学生的逻辑推理能力，主要是逐步培养学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括，会用归纳、演绎和类比进行推理，会准确地阐述自己的思想和观点，形成良好的思维品质。只有培养学生的逻辑思维能力，并在发展的过程中，不断地修正错误，认识真理，使他们获得越来越丰富的科学知识，这尤其是在初中起点年级更为重要。

参考文献：

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关键词： 化学实验 逻辑推理 案例

逻辑方法是人们在逻辑思维过程中，根据现实材料按逻辑思维的规律、规则形成概念、作出判断和进行推理的方法。推理是从一个或者一些已知的命题得出新命题的思维过程或思维形式。推理或论证的作用就是预测、解释、说服和决定。预测是根据某些一般性原理推出某个未来事件将会以何种方式发生；解释是根据某些一般原理去说明某个个别事件为何会如此这般发生；说服是用论证把一些理由组织起来，以使对方和公众接受自己的观点；决定是根据某些一般原理和当下的特殊情况作出行为上的决断：做什么和不做什么。通常我们进行推理时，前提和结论之间总是存在着某种共同的意义内容，使得我们可以由前提想到、推出结论，正是这种共同的意义内容潜在地引导、控制着从前提到结论的思想流程。

逻辑推理方法是基本的科学方法，适用于科学的各个领域。逻辑推理也适用于化学实验。中学化学实验中的逻辑方法就是依据中学化学的已有知识，借助逻辑推理方法进行探究性设计和实验。进行合乎逻辑的探究性实验设计有利于化学新知识的产生、新概念建立和理解、科学方法的学习、科学能力的提高。

下面就案例进行说明。

1.实验室制取氧气中二氧化锰的催化作用

初中化学用双氧水或加热氯酸钾制取氧气时，加入二氧化锰催化，通过简单实验说明二氧化锰在这两个反应中是催化剂，起催化作用。在新老教材中，引出催化剂、催化作用两个概念都显得突然和欠缺逻辑性，缺少说服力，学生心存疑虑，学生心理始终处于愤悱状态而得不到满足。

进行探究性实验的方法有两种：（1）定性定量分析实验推理方法。把反应后的反应物进行分离提纯，称量MnO质量，鉴定并称量KCl、HO，进行推理说明，然后引出催化作用、催化剂两个概念。这是很多教学参考资料介绍的常用的探究性实验方法，我在这里权且称之为定性定量分析实验推理方法。这种方法优点是以实验为依据，加之逻辑推理，有很强的说服力，科学合理，在教学中能达到很好的教育教学效果。但这种方法也有时间长、操作复杂、课堂教学受到限制等缺点，这种方法可作为学生课外科学探究的方法之一进行。（2）实验逻辑推理方法。以二氧化锰催化分解双氧水为例说明。取A试管加入适量二氧化锰再加入适量双氧水，剧烈反应，收集检验生成的气体，证明是氧气。反应完毕后少静置一会儿，用吸管吸出上层清液放入B试管内，再往A试管里加入双氧水，则出现跟原来一样的反应现象，收集检验生成的气体仍然是氧气。说明A试管里加入的二氧化锰性质没有变化；再往B试管内加入二氧化锰，则没有发生变化，即无氧气放出，说明B试管内的清液已不是双氧水了，即原来A试管加入的双氧水发生变化生成了氧气，生成的清液按组成推理应该是水。整个实验的结果经过逻辑推理，显然是双氧水分解生成水和氧气，二氧化锰在此反应中性质和质量都没有变化，起催化双氧水分解的作用，为催化剂。同样的逻辑推理方法可以运用到二氧化锰催化分解氯酸钾制取氧气的反应中。此方法简单，操作方便，现象明显，逻辑推理有力，结果合乎道理。能达到很好地课堂教学效果。

2.加热分解氯化铵实验逻辑推理方法

现用高中化学第二册第一章氮和氮的化合物里，有以氯化铵为例说明铵盐受热分解的演示实验。实验的内容是：在试管中加入少量NHCl晶体，加热，观察发生的现象。可以看到，加热后不久，在试管上端的试管内壁上有白色固体附着。教材接着说是由于受热时，NHCl分解，生成NH和HCl；冷却时，NH和HCl又重新结合，生成NHCl。

反应式：NHCl=NH+HCl

NH+HCl=NHCl

这是一个简单的实验，现象很鲜明，结论也是一定的，但没有严密充分的说服力。这时的高二学生都知道升华概念。依据上述的实验现象，学生很自然地有三种假设：（1）是教材上所述；（2）NHCl受热升华，在试管上端的试管内壁上有白色NHCl固体附着；（3）NHCl受热分解，生成一种新的白色固体附着在试管上端的内壁上。

要对该实验进行逻辑推理设计，首先要检验生成物，假设生产物是NHCl，则取出该生产物少许配成溶液，分成两份，其中一份加入AgNO溶液和少许稀硝酸，有白色AgCl沉淀，则证明有Cl-存在；在另一份溶液中加入适量NaOH并加热，在试管口用湿润的红色石蕊试纸检验，试纸变蓝色，说明该反应有NH放出，说明配成的溶液中有NH存在。结论是NHCl受热后在试管上端的试管内壁上的白色固体仍是NH4Cl。这样的结论可以排除上述假设的第三种：NHCl受热分解，生成一种新的白色固体附着在试管上端的内壁上。

那么，试管底部的NHCl晶体受热转移到试管的上部，要么是第一种假设正确，要么是第二种假设正确。若是第一种假设正确，则可以在试管内检验到NH。因此在试管中加入少量NHCl晶体，加热时，在试管口放入湿润的红色石蕊试纸检验，结果是红色石蕊试纸变蓝色，说明有NH存在（NHCl分解，生成NH和HCl，由于NH扩散能力比HCl大，因此可以在试管口检验到NH），推理说明第一种假设成立。

该实验的逻辑性设计与实验不但可以解决教师课堂的灌输式教学的弊端，而且可以很好地培养学生的探索求异发散思维能力，培养学生的科学方法和分析问题解决问题的科学探究能力。

3.二氧化碳与水的反应及碳酸分解反应实验

初中化学有二氧化碳与水的反应及碳酸分解反应的简单演示实验，是一个验证性实验，教师可以改为具有逻辑性的探究性实验，也可以在教师的指导下学生进行随堂探究性实验。

用醋酸溶液及稀盐酸溶液点滴干燥蓝色石蕊试纸，试纸变红，说明酸能使蓝色石蕊试纸变红的性质。用干燥的蓝色石蕊试纸检验干燥的二氧化碳气体，试纸不变色，说明二氧化碳不是酸。把二氧化碳气体通入试管的水中，用蓝色石蕊试纸检验二氧化碳水溶液，试纸变红。说明二氧化碳气体的水溶液，具有酸的性质，该酸是二氧化碳气体溶于水形成的，即应该是二氧化碳与水反应生成的酸，该酸按组成推理应该是碳酸。

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在该书中，他站在逻辑哲学的立场上对因果律(因果性，因果关系)给予了如下表述:“我们不能从现在的事件推导出将来的事件，相信因果关系是迷信”［1］65;“因果律不是规律而是规律的一种形式”［1］97;“‘因果律’是一个通名。正如在力学中有一些‘极小原理’，如最小作用律，在物理学中也有一些因果律，即具有因果形式的规律。”

［1］97在西方哲学史上，因果问题十分复杂，但维特根斯坦只用寥寥数语便道破了逻辑与因果律之间所深深隐藏着的玄机。本文站在逻辑哲学的立场上，试图对“因果律”给予逻辑意义的分析，以回应维氏上述三个命题所蕴涵的微言大义。

一、“因果律”的哲学实质

因果性是一个十分复杂的问题，其自身概念的界定远未达成理解上的一致。哲学史上，由于各不相同的哲学态度和知识取向，哲学家对因果概念的分析方式和结果从来都存在着巨大差异。前希腊时期的赫拉克利特把那个抽象的理性原则“逻格斯”看成世界的原因，但他对因果性本身还没有一个明确的表述;第一个严正意义上的哲学家亚里士多德根据形而上学的内在使命区分了“四因”，并把对原因的探索当成对事物终极本性之追问;中世纪宗教哲学在因果问题上大概还在延续着亚里士多德的基本观念，神学家把因果表述与逻辑表述形式混同在一起，并把世界的最终原因归于上帝;在近代科学和哲学那里，伽利略和牛顿把因果概念从形而上学里分离出来，并从机械力学方面赋予因果关系以严格的决定论色彩;同代的休谟倒是个例外，他并没有否认因果性，而是对因果关系之必然性进行猛烈地批判，从而触动了近代关于知识来源的根基;休谟的批判使康德为之震惊，康德的哲学使命乃要为知识奠定牢不可破的形而上学基础，因此他另辟其径，在先天综合判断的框架中重新对因果性确立了知性范畴的地位，并继续延伸和夯实着近代性的尺度;20世纪初，新物理学的代表量子力学横空出世，因其电子动量与位置不可同时测量之缘由，便得出原因与结果之间只有概率统计意义的结论，因果性本身所蕴含的可预言性就这样被科学家抛弃了。

由于因果问题是哲学中的核心问题之一，历史上的每一次哲学转换都必须首先对因果问题本身给予重新定位。哲学史中对因果性各种涵义的探讨，从哲学分期上可分为:前希腊时期、古希腊时期、中世纪、知性上升和成熟的近代、知性延续和继续扩张的现代共5个时期(也许这种划分还不够准确)。下面我将对因果性本身给予其逻辑哲学(PhilosophyofLogic，即关于逻辑本性的哲学表述，而非逻辑和哲学或哲学逻辑)的分析，从而撇开上述5种区分的限制。

(一)“因果推理”的性质及“判断”

首先，因果关系的外在形式表现为事物或概念间的一种连结关系，从原因到结果的过程，人们通常称之为因果推理。于是，从推理的逻辑本性入手，辨别纯粹逻辑推理与因果推理的区别与联系，就成为澄清因果性的有效方法。亚里士多德在他的形式逻辑中对“推理”给予了界定，认为推理是一种间接的认识，是经由可见的事物推知不可见者的思维形式。他把人类思维形式的晋升次序分为:概念、判断和推理。概念是对一事物本质属性的认识表达;判断涉及到两个概念之间相互肯定或否定的关系;推理涉及到三项，包括逻辑主词、逻辑谓词以及连结主谓词之间的逻辑中项。但佛教逻辑(印度的逻辑“因明学”)认为，这三者在本质上都是一种判断，它们分别代表着判断类型的不同形式。应当注意，佛教逻辑所谓的判断概念不同于西方逻辑，它的原始意义是“决定”，是一判决，一判断，一意志行为。具体说来，它是关于两事物同一化的主体性决定，以从中区分出差异来。判断分为两种，一是直接判断，如概念就是此种判断形式，它是连接感性内容与知性规则的思想行动;二是间接判断，即所谓推理，亦称为推理的判断，主体意志从推理中对一物有所断定。在概念判断中(或称之为感觉判断，感觉综合，即从分散的知觉事实集结成某个概念的思维过程)，人们通过概念A这个符号去认识具有那个符号的对象X，而在推理判断中，则依据两个符号A和B来确定对象X。在纯粹逻辑推理过程中，由于不涉及任何经验事实，符号A与B体现为理由与结论的关系，而非原因与结果之间的关系。

当A被认识后，B就必然随后而被认识，与形式逻辑的三段论不同，前者相当于小前提与结论的结合，后者相当于亚里士多德所谓的大前提。举例说，三段论的典型推理形式是:从大前提“凡人皆有死”和小前提“苏格拉底是人”推知“苏格拉底有死”。在上述所谓A与B之间的判断推理中，A概念综合了亚里士多德意义上的小前提“苏格拉底是人”和结论“苏格拉底有死”，B概念代表“凡人皆有死”。那么，A和B之间的判断推理就表述为“此为人，以有死故”。在这里，A代表的是“人”的概念，B代表的是“死”的概念，前者指的是一个事物，后者指称该事物的某种本质属性，A与B两个符号的结合则共同来认识那个永远隐藏着的X，X代表的是那个具有“死”属性的抽象意义的“人”，亦即X是一个实体。

上面的陈述是我对佛教逻辑关于“推理的判断”理论的简单总结(佛教称之为“比量”)。相比于亚里士多德，佛教逻辑出于不同的哲学表述形式，把判断与推理二者没有截然分离开来，而是把人们对实体的把握方式称之为“判断推理”，即所谓的比量。由于这种形式的判断只由两个概念构成，二者是理由和结论的关系，并且前者的陈述是后者陈述的必然基础。

即是说，B所指称的“死”概念只是A指称的“人”概念的必然属性，故A与B具有必然的联系。相应地，原因与结果之关系虽以经验为基础，但其形式仍体现为两个对象或两个概念间的连结关系，而丝毫没有隐含亚里士多德意义上推理形式所涉及的三项，即三个概念。因此，因果关系在本质上也是一种判断，但其在外在形式上表现为推理，所以运用佛教逻辑中的“判断推理”概念来解析因果性本身，才能比较方便地澄清它的逻辑哲学意义。

判断推理与因果推理虽然都表现为两个概念间的连结关系，但二者在根本上还不是一回事。判断推理处理的是一个事物，它关涉到对抽象实体的认识。“一个比量(判断推理)的主体相当于亚里士多德的小词，从本体论角度看，作为最终的主体，则相当于他的实体或第一本质。它只是主词，而绝不会表象为对别的任何东西的谓词。它处于一切称谓活动或显或隐的底层。”［2］271

“比量的主体代表一种负载层，一种基础在实在，它上边被移植了相应谓词的概念，而这被显示为由直接现知者(知觉判断———笔者加)与非现知(推知、比知)者所构成。”［2］270所以，一切判断推理的形式都基于某种实体与属性的关系，它是人们知性的一种构造，但并不代表最终的实在，并且作为逻辑推理中的理由与结论之关系是必然的。最为关键的是，判断推理虽然是两个概念间必然的连结关系，但这两个概念所涉及的是同一对象，同一实体，因而判断推理的形式是基于同一关系而成立的。从逻辑哲学讲，同一性是当主词自身自主作演绎时，推演一谓词的理由。即当谓词属于主词的一部分时，可以推论出该谓词的理由。因此，纯粹逻辑意义上的判断推理涉及到的那个实在就是同一性的体现。“比量不过是表明两事实之间的相互必然关系而这必然性又指向客观实在之点。”［2］285对此，用康德的话来说，判断推理就属于一种分析判断，谓词不依靠事实就能从主词分析而出，因而两个概念之间具有必然性。就处理两个概念之间的连结关系而言，因果关系在形式上等同于判断推理。但是，因果判断是一种经验性判断，这种判断涉及的是两个事物及其对应的两个概念间的连结关系。一切经验性的存在物都是依赖性的存在，一个事实依赖于另一个事实的存在方式有两种，要么其中一个是另一个的部分，要么是其结果，此外再没有第三种可能性。依据这个原则，就存在两种推理类型，一是基于同一性的，一是基于非同一性的，而因果推理就属于后者。在因果性概念中，每一“结果”都肯定了那个作为“原因”的前提的存在“因”的存在可以从“果”中推论出来;但反过来说，从原因中绝不能必然地断定结果。出于因果概念表述两个事物之间的连结关系，它们不能对应同一个客观所指，所以原因并不必然地包含着结果。因此，形而上学意义的非同一性概念(差异性)是因果性(因果律)存在的逻辑哲学前提。

(二)因果关系与经验

因果性概念既然不具有同一性的形而上学基础，那么它便是实际经验的事情，它处理的是事物或概念间的差异性关系。譬如，根据千百年的观察经验，人们可以判断“如果有烟，那么必然有火”。“烟”与“火”属于两种不同的事物，二者又是各自独立的概念，但作为因果推理之原因的“烟”与作为结果的“火”是依据怎样的形式被联系起来呢?康德按照知性判断力的综合作用对原因概念与结果概念之关系进行了分析，他说:“理性只有在它以往结合过的地方才能分解。不过，一种情况下谓词是主词的一部分并且似乎由分析而从中抽象出来的。而在另一种情况下谓词则并非主词之一部分，而只能附到主词上去，从而只有经验才可以发现它。”［3］15

康德所谓的理性就是因果性原则，因果性原则具有先天必然性，因而“有烟则有火”在陈述上是必然的。当然，休谟又要作出反对，认为这“烟”与“火”的联系是偶然的。

我认为，休谟的反对意见不够完满，因为他的分析始终遭致那种纯粹经验因素的限制。在关于“烟”与“火”之关系的实际观察经验中，人们往往看到的只是“火”生“烟”，唯有“火”的现实存在才能够导致“烟”的存在，所以“有火则有烟”与“有烟则有火”这两种推理都是有效的。尽管两个事物最初都来源于经验，但“有烟则有火”的陈述则完全是形式上的，这个形式就是康德所谓统摄经验的因果性原则。应该注意，作为知性原则的因果律是先天必然的，但以因果律统摄经验实在而形成的命题陈述则不具有必然性。然而，人类思维只要涉及到推理本身，无论是那种形式，它都具有必然性，因果推理当然也不例外。

休谟把推理说成是一种习惯性联想，但他却没有说明构成这种联想的具体规则是什么。从哲学上讲，一谈到“联想”概念，总意味着有一种思维原则隐藏在里面起作用。更何况，因果推理是一种事物或概念间的连结关系，“关系”概念本身是不能被经验到的，它是一个无形的但又实实在在起作用的纽带，是一种“潜存”(区别于“实存”)，这个纽带只能是那种知性的连结能力。

然而，并非一切符合那种既非基于同一性关系，又有知性能力参与的两种事物或概念间的结合就表现为因果关系。实际上，存在着大量无矛盾的经验事实之间固有的确定性关系，但它们不能归结为因果关系，也不能归结为基于同一性的判断推理。如，月亮在地平线上出现了一半，人们就会“推知”到有另一半被遮盖了。但不能说显露的半月是被遮盖之半月的原因，更不能说前者导致了后者。两半月之间虽然能够被必然性地“推知”，由于对象只是同一个物，它又被“月亮”概念单独地指称，所以它们之间并不是原因与结果的关系，单一的事物或现象并不具有知性范畴意义的因果性。但此处的“推知”不是基于同一性的，由于在对两半月的描述中，“显露”与“遮盖”并不是月亮这一实体的固有属性。基于同一性的实体当然不含时间的属性(历时性)，故因果关系成立的又一个前提在于两个经验事实的历时性存在，因为人类意识中只要存在两个以上的经验事实并以因果原则相连结，它们之间必然体现为时间上的先后关系。

因果性建立在非同一性(差异性)与历时性基础之上，非同一性意味着对两种或两种以上经验事物的判断，历时性意味着知性因果律实现的前提条件。因此，依据逻辑分析，只有当因果关系被五种有着连续性的经验事实(知觉判断)及推理出来的事实所证实时，它的具体形式才能够为人所理解。举例说明，这五种:1)如果“烟”未被经验到，则“火”不能被推知出来;2)“烟”被经验到了，当它的因———;3)“火”也曾被经验到;4)“烟”没有被经验到，在当———;5)它的原因“火”并未被经验时。就其中的果而言，有两种(即1和4)不能被经验到以及一种能被经验到(即2);就其原因来说，有一种能被经验到(即3)和一种不能被经验到(即5)。根据这种逻辑分析，可以看出，那构成因果关系的经验事实本身，人们通过知觉判断去认识;它们之间的因果关系，则只有在推理判断中才能获得。因果性本身不能经由感官而进入头脑，它是人类知性的构造物。所以说，因果推理虽然在表面上非常相像于逻辑推理，但二者的区别在于同一性与非同一性(差异性)、经验与非经验、同时性与历时性;其联系在于，逻辑推理是对观察到的因果系列的演绎性表述，人们思想中的推理活动半是因果性的，而相应的判断在无法直接感知的那部分则是推理性的。之所以说半是，由于逻辑推理的形式如果不借助于经验，它本身就无法显示出来，因而就不能为人所觉知。也许正出于这个原因，因果律被当成是人类逻辑思维的基本规律之一。佛学中的逻辑研究结果就是:“矛盾律、同一律、因果律是知性开始搜集经验之前要用来装备自己的三件武器”。［2］303

二、“逻辑推理”与“因果律”逻辑推理与因果律之区别，根本上基于同一性与差异性的内在分延。逻辑推理体现为理由和结论的关系，而非原因和结果之关系。因此，辨明“理由”与“原因”的本质区分，遂为澄清因果关系的又一关键。

(一)“原因”与“理由”

哲学主题之一，就是解释世界。一个特殊的事实，当它的原因被找到时，通常认为它是被解释了。

如果它的原因尚未弄清，它就是一个未被解释的事情。但是，原因只适用于有限的事实，却无法解释无限之物。如果整个世界有一个原因，或者存在一个类似上帝的“第一因”，它不是任何在前原因的结果，或者这个原因是又一个在前原因的结果，如此向上回溯，原因链条会延伸为无穷的系列。如果是后者，那么就不可能有一个终极的解释;但如果存在一个第一因，那么这个第一因本身就是一个未被解释的事实。

如果解释一个事实就是给出它的原因，那么，所谓第一因就是未被解释和不能说明的假设，因为人们无法给它找到一个在前的原因。所以，用一个自身还未被解释的终极原因来解释世界整体是不成功的。

如此一来，因果性是一个只能够解释特殊事物(有限事物)，但不能解释世界整体(无限事物)的原则。对于无限来说，它只是思想或逻辑上的无限，根本不可能有经验事实上的无限;所以作为无限之物的世界整体，它只能存在于纯粹思想或纯粹逻辑中。然而，人总有一种对世界整体寻求解释的内在冲的，以证明其存在的合理性，但是，对世界合理性之解释必须放弃因果原则，另谋新路。这条路就是，世界存在的基本原则并不是引起世界这个结果的原因，而是推导出世界整体这个无限之物的逻辑结论和理由，是寻求世界整体性存在的“理”，而不是它的“因”。即是说，对无限的探索，对思想本身的追问，应归之于逻辑推理而非因果关系。因此，一种真正要解释世界的哲学必须把理由而不是原因作为其第一原则，从这个基本理由出发，它将把世界整体作为一个逻辑“结论”，而不是作为一个“结果”推论出来。正因为这样，亚里士多德曾说，世界的第一原则并不是从时间上在世界之先，即不是因与果的关系，而是逻辑在先，是一个逻辑前提先于它的结论。

探索事物的原因，是因果推理的任务;而追寻存在的理由，乃逻辑推理之本质。原因是一个东西，是经验性的事物，它是特殊的、个别的，并存在于时空当中。如“此有烟，以有火故”，火是烟的原因，且是一个经验事实。但在逻辑推理中，理由本身并不是一个特殊的东西，不是时空中的经验之物。如柏拉图所说，一切事物的理由是“善”，那么每个东西之所以是其所是，因为它符合着“善”。从这个观点看，“善”不是一个物，个别之物无疑是善的，但善本身却不是那个具体的叫做善的东西。再譬如，一个三角形所以是等角的，由于它是等边的，但等边性并不是离开三角形而独立存在的一个经验物。每一个经验之物都存在于时间或空间中，但作为理由的“善”、“等边性”却超越了时空。于是，与原因极为不同，一个理由不是一个本身能够独立存在的东西，它是一个抽象，表现为诸多事物的共相。理由存在于思想中，是思想依靠推理寻求共相的过程。如三段论“凡人皆有死;苏格拉底是人;所以，苏格拉底是有死的”，“死”概念乃人之“共相”，思想经由中介陈述“苏格拉底是人”，给作为个别物的“苏格拉底”找到了“死”这个“共相”。

逻辑推理是探索事物之理由的思想运动，理由就是事物的共相，这是与因果推理过程中“原因”概念有本质区别。这样以来，人类对于世界整体的解释，则是寻求世界存在的第一理由，而不是第一原因。如前所述，对事物的原因的探求具有无限上溯的缺憾，世界的第一原因只是一个未经解释的假设而已，所以这并不能解释世界，因为不存在原因与它的结果之间的必然联系。但是，如果世界存在的第一原则是一个理由，且人们能够揭示出世界是它的必然结论，这样的解释则非常完满，因为理由和它的结论存在着逻辑的必然联系。既然原因是一经验之物，不存在第一原因，那么第一理由究竟为何物呢?为了避免出现像追寻“原因”那样的无穷上溯，解释世界的第一理由只能被规定为一个自我解释的原则。由于自我解释原则截止了向更高理由之追问，所以它不但是纯粹理由本身，而且是一个思想实体，它在自身之中，并通过自身而被认识、被规定。譬如，按照西方人的传统观念，上帝创造了世界和人类;那么上帝是谁呢，它又是怎么来的呢?上帝说:“我是自有永有(IAMWHOIAM)”。再譬如，维特根斯坦《逻辑哲学论》中，人们之所以能够用语言认识和表达世界，乃在于语言与世界具有共同的逻辑形式。那么，逻辑形式从何而来?

应该说，它既不来自经验世界，也不出自命题语言，它也是个“自有永有”，故不能再被语言表达。无论是“上帝”还是“逻辑形式”，它都是不被规定的，而是独立自由的，二者在逻辑上是等价的，表现为绝对真理。

所以，第一理由就是自身的理由，它最终表现为真理，并成为自由。相反，作为经验事实的原因无法充当某种最高原则，原因概念不能自我解释，所以它是不自由的，而体现为“他由”。这是逻辑推理与因果原则的本质区分。

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关键词:几何概念、图形、几何语言、三段论、逻辑推理

一、牢固建立几何概念

几何概念总是和某些种图形有联系,这是平面几何的本质特征。概念教学应紧紧抓住和围绕这一特征来进行。

1、突出和强化直观教学。

2、要着重讲清概念的本质,不要让学生死记定义的词句。

3、要强调众多概念之间的有机联系,又注意这些概念之间的区别。

二、强化图形教学

图形教学包括认图和作图,但以识图为主,使学生初步掌握认识几何图形的方法。

1、从基本图形入手,抓好基本图形的填写,形成对基本图形的识别能力,再逐步认识比较复杂的图形。

2、用翻转、旋转、平移等方法改变图形的位置,不改变图形的大小和性质,培养学生对图形在不同位置情况下的识图能力。

3、让学生剪剪、拼拼、折折,改变图形的形状、大小和性质,使学生领悟几何图形的千变万化,突破常规思维形成的思维定势,启发学生利用图形的变化设计出不同的组合图形。

4、利用某些几何图形的对称性进行变换,启发学生的想象能力,进行图形变换能力的培养,提高识图的熟练性。

5、要求学生对几何图形多观察,勤画画,量一量,算一算,通过比较、鉴别、计算,从直观思维能力的培养中提高识图能力。

作图是识图的组成部分,是几何课的技能训练。要着重抓好基本作图学习,教师的作图示范要步步有根据,有推理内容。此时还没有学过尺规作图,主要使学生正确熟练地掌握工具画图方法,养成良好的画图习惯,图形正确、清晰,画面整洁、美观。作图表达以口头表达为主,为正确使用几何书面语言作准备。

三、突破语言难关

几何语言的特点是具有高度的简明性和严谨性,是正确理解概念、认识图形、进行推理论证的工具,是一个需要花大气力才能突破的难关。

1、要着力培养学生认真阅读几何课本的习惯,熟练掌握课本语言的运用。

2、抓住几何语言总是和一定的图形有联系的特点,引导学生用自己的语言表达对几何图形性质特征及其位置关系的观察结果,然后修正其语言的不规范之处,达到几何课本术语的表述。学生对这样的几何语言学习过程印象深刻,记忆牢固。

3、要讲清几何的描述性语言、作图语言、推理语言以及符号语言的变化规律和相互联系、相互渗透的内在关系,总结归纳出各类语言的常用的常用格式,编写通用模句,反复训练和熟练运用。

4、抓住提问、作业、复习、考试、个别了解等多个教学环节,进行强化训练,务求学生掌握几何语言所表述的数学事实,表达准确,书写正确。

四、狠抓逻辑推理能力的培养

平面几何学生数学能力培养方面最主要的是逻辑推理能力的培养,因而推理教学是平面几何教学的核心,在入门阶段必须打好这个基础。

1、用早渗透的办法,抓好推理证明的最基本方法――三段论的教学,这是逻辑推理的基本功,要分层次、有步骤的练习。

初始,用三段论最简单的形式表示图形的定义或性质。如把垂直线的定义表示为:

ABCD()

∠AOC = ∠COB=∠BOD= ∠AOD=90°( )

反之

∠AOC=90°()

ABCD ()

由此总结出推理证明的基本形式是:

有A(注明A的来源) 有B(注明AB的根据)

在此基础上,通过主要让学生填写证明过程每一步骤的理由或填充空项的办法训练“三段论”证题的规范过程和写法。

如图:已知:AD∥BC ∠ADC=∠ABC

求证:AB∥DC

证明:

AD∥BC( )

∠ADB=?( )

∠ADC=∠ABC( )

∠ADB-∠ADB=∠ABC-∠CBD

∠CDB=( )

AB∥DC( )

再结合定理或例题教学,选编一些不同类型、不同深度的题目让学生在课堂或课余按规范要求独立练习,熟练“三段论”的证题过程、步骤、推理思路,培养逻辑推理能力。

对于计算题,要侧重于用推理指导计算,在计算过程中突出推理,把计算与推理结合,拓宽“三段论”的运用范围。

如:已知直线AB、CD、EF相交于O点,

ABCD,∠COE=30°,求∠AOF的度数。

解:ABCD( )

∠AOD=90°( )

∠FOD=COE=30°( )

∠AOF=∠AOD-∠FOD=90°-30°=60°

篇5

关键词：物理专业；高等数学；数学思想；教学

作者简介：唐果（1957-），女，湖南湘潭人，湖南科技大学数学与计算科学学院，副教授。（湖南 湘潭 411201）

基金项目：本文系2011年湖南省教育厅教学改革研究资助项目、湖南省教育厅学位与研究生教育教改重点课题（项目编号：JG2011A019）的研究成果。

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）19-0125-02

“高等数学”是物理专业学生必修的一门重要基础课程，是学生学习物理各专业课程的基础。目前国内外很多学者认为高等数学的任务是为学生学习物理各专业课程以及今后的工作提供必要的高等数学基础知识。[1，2]数学严格的逻辑性、高度的抽象性、语言的简明性，使数学具有培养学生逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力的独特功能。[3]因此，高等数学的任务除了为学生学习物理各专业课程以及今后的工作提供必要的高等数学基础知识之外，应该还具有培养学生逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力的任务。而物理学中的问题，就是利用数学严密的推理、高度的抽象及空间想象建立模型，最终经过实践检验，求得其理论。[4]因此，培养物理专业学生逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力就显得尤为重要，也是物理专业“高等数学”教学责无旁贷的任务。如何在物理专业“高等数学”教学中培养学生逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力是每位教师必须思考的问题。

一、数学思想简介

数学思想是数学产生以及数学发展过程中必须依赖的基本思想，是人们在谈论数学时，总要谈及到的独特素质。数学思想是由三种基本思想，即抽象、推理和模型思想组成。抽象思想是把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，其素质表现为抽象能力强；推理思想是逻辑推理促进数学内部的发展，其素质表现为逻辑能力强；模型思想是沟通数学与外部世界的桥梁，其素质表现为应用能力强。

数学中的抽象主要包括两方面的内容：数量与数量关系的抽象、图形与图形关系的抽象。其中关系是重要的，正如亚里士多德所说：数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西剩下的只有数量和关系。对于数学研究而言，线、角，或者其他的量，不是作为存在而是作为关系，通过抽象得到数学的基本概念，从而把现实生活中的与数学有关的东西引入数学的内部。这些基本概念包括数学的研究对象的定义，刻画对象之间关系的术语和符号，还包括刻画对象之间关系的运算方法。这种抽象是一种从感性具体上升到理性具体的思维过程，但这样的抽象只是第一次抽象。在此基础上，还能凭借想象和类比进行第二次抽象，其特点是符号化，得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法，比如实数和高维空间的概念，极限和四元数的运算。第二次抽象是此理性具体扩充到彼理性具体的思维过程，在这个意义上，数学并非仅仅研究那些直接来源于现实生活的东西。

数学主要依赖的是逻辑思维，逻辑思维的集中表现是逻辑推理，人们通过推理，能够深刻地理解数学研究对象之间的逻辑关系，并且可以用抽象了的术语和符号清晰地描述这种关系。所谓推理，是指一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。所谓推理有逻辑，是指所涉及的命题内涵之间具有某种传递性。在本质上，只存在两种形式的推理，一种是归纳推理，一种是演绎推理。人们通过推理形成各种命题、定理和运算法则。随着数学研究的不断深入，根据研究问题的不同，数学逐渐形成各个分支，而且数学各个分支得到的结果之间却是相互协调的。为此，人们不能不为数学的这种整体一致性感到惊叹：数学似乎蕴含着类似真理那样的合理性。

数学模型是用数学的概念、原理和思想方法描述现实世界中规律性的东西。所以数学模型是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想。数学模型使数学走出数学的世界，是构建数学与现实世界的桥梁，通俗地说，数学模型借用数学的语言讲述现实世界的故事。数学模型的出发点不仅是数学，还包括现实世界中的那些将要讲述的东西。并且，研究手法也不是单向的，需要从数学和现实这两个出发点开始，规划研究路径、构建描述用语、验证研究结果、解释结果含义，从而得到与现实世界相容的、可以描述现实世界的结论。数学模型也必然有其适用范围，这个适用范围通常表现于模型的假设前提、模型的初始值、模型参数的某些限制。

由数学思想的概念可以看到，培养物理专业学生逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力就是要在物理专业“高等数学”教学中提高学生的数学思想。

二、提高物理专业学生数学思想的“高等数学”教学途径

对于物理专业的学生，提高了逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力，即数学思想，也就增强了他们的创新能力、数学应用能力、可持续发展能力和终身学习能力，才能使培养出来的学生真正做到知识、能力、素质三者并重。下面结合笔者 长期物理专业“高等数学”教学的实践，针对教师在“高等数学”教学的过程中如何提高物理专业学生数学思想谈谈体会和具体做法。

1.教师自身必须具有较高数学思想和数学方法论的素养

由于数学思想蕴含于高等数学的各部分内容之中，只有教师具有了较高的数学思想素质，才能挖掘出高等数学各部分内容之中的数学思想，才能做到在高等数学的讲授中，善于向学生传授这些思想以及寓数学思想于平时的教学中，因此教师自身要加强对数学史和数学方法论的学习与研究。

2.教师必须具有较好的物理素质

由于高等数学中的概念和定理只反映数量关系和空间形式，没有具体的描述对象，而物理中的概念和定理则有具休的描述对象，比如，向量在高等数学中是一个抽象概念，但是在物理中则用来表示力、速度等具体的概念。另外，高等数学中的很多概念和定理是科学家们在研究物理问题时抽象出来的，例如：微积分就是牛顿在研究力学问题时首先提出，并为解决各种力学问题而日益丰富起来的。因此教师具有了较强的物理素质后，一方面与物理专业的学生有更多的“共同语言”，可以使用在实践中看得到的现象解释十分抽象的数学概念和定理，提高学生学习高等数学的积极性；另一方面，可以利用物理实例引入高等数学的概念和定理，培养学生的数学思想。所以，教师自身应加强物理知识的学习。

3.教师要善于将高等数学各部分内容中的数学思想挖掘并系统地分类

教师在备课时要深入研究教材，结合教材的知识点，查阅其发生发展过程，把握住有关概念和定理的来龙去脉，抓住数学知识与数学思想的结合点，挖掘出蕴含于教材每章节中的数学思想，在教学中做到统筹安排，有目的、有计划和有要求地进行数学思想的教学。

4.教师应针对不同的教学内容，通过多种途径设计数学思想教学

由于同一教学内容可以蕴含多种数学思想，而同一数学思想又分布在不同的教学内容中，所以教师应根据不同的教学内容，选择不同的教学手段和方法开展数学思想的教学。选择的原则为有利于学生领悟和掌握数学思想，例如：在遇到反映推理数学思想的教学内容时，可以采用探究式和启发式教学方法进行教学。特别是对于物理专业的学生，教师应充分利用其对物理现象熟悉和物理问题理解的特点，首先提出问题，然后学生在教师的引导和启发下模拟科学家解决问题的过程，或支持学生从多角度以不同方式对问题进行思考，最后让学生自己得出结果。在遇到反映抽象数学思想的教学内容时，可以采用发现式教学方法进行教学，教师可以利用高等数学中的很多概念和定理是科学家们在研究物理问题时抽象出来的特点，结合教学内容，向学生展示该教学内容的形成和演变过程，使学生体验抽象数学思想的作用和巨大价值；或采用案例式教学方法进行教学，由于抽象是从许多不同事物中提取的共同点，因此教师可以从许多领域收集既体现数学的本质，又通俗易懂，引人入胜的例子，然后根据教学内容适当地提炼一些最新的有趣的例子作为应用案例，从这些案例中提取共同点得出结论。在遇到反映模型数学思想的教学内容时，可以采用启发式教学方法进行教学。由于数学建模是对实际问题进行合理抽象和量化，利用数学公式进行模拟和验证的一种处理方法，因此教师可以结合教学内容适当选择一些实际应用问题，然后引导学生加以分析，通过抽象、简化、假设、建立和求解数学模型，从而解决实际问题；或采用实验教学方法进行教学，教师首先设计出注重数学思想的剖析、数学技术的灵活性和数学理论的实用性的实验项目，然后在教师的指导下，学生亲自动手建立和求解数学模型，从而解决问题。当遇到同一教学内容蕴含多种数学思想的情况，可以同时采用多种教学方法进行教学。

5.教师要充分认识到学生掌握数学思想是一个反复认识、训练和运用的过程

由于学生对于蕴含在具体数学知识中的数学思想开始只能形成初步的感性认识，只有经过多次反复后，在较为丰富的感性认识的基础上，才能逐步抽象、概括而形成理性认识，再在实践活动中反复检验和运用，才能加深这种理性认识。因此，学生对每种数学思想的认识都是在反复理解和运用中形成的，其间有一个由低级到高级的螺旋上升过程。所以教师应该将高等数学各个内容中的数学思想形成为具有一定结构的系统，对于某一种数学思想而言，所串连的具体数学知识也必须形成自身的体系。由此明确每一种数学知识的教学中可以进行哪些数学思想的教育，并设计好对每种数学思想进行反复认识、训练和运用的过程。由于绪论课一般都要讲述知识产生的背景，发展简史，研究对象，基本和主要的问题，研究的思想和与其他各章知识的联系等，教师可抓准时机在绪论中直接简述有关数学思想，而在复习课中则可顺势总结概括本章用到的数学思想，这也可以形成学生对数学思想系统的反复认识。

三、结束语

数学思想是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁。数学教育的目的不仅要使学生掌握基本的数学知识与技巧，更要重视发展学生的能力，全面提高综合素质。因此本文就如何在“高等数学”教学中提高物理专业学生数学思想，培养学生逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力，提高他们的创新意识和创新能力，根据多年的教学实践谈了一些认识、体会和具体做法，希望能起到抛砖引玉的作用。

参考文献：

[1]余天培.提高物理系高等数学教学质量初探[J].西北师范学院学报，1987，（4）：86-88.

[2]左东林，滑超伦.高等数学在物理中的应用举例[J].淮阳教育研究，1994，（4）：18-21.

篇6

关键词： 初中数学教学 合情推理能力 培养方法

我曾有过一种困惑：认为新教材轻视了对概念的准确定义及定理的推理论证，没有展开分析、讨论，只要求学生去记概念、定理，讲求会用就行，这叫知其然，不知其所以然，显然不利于学生的长期发展。如：“三角形内角和定理”教材中没有证明过程，而是让学生用剪纸拼接实验来加以说明。又如：教材中轴对称图形、线、底边上的中线、高线重合（三线合一）等，教材中没有加以证明，就用折纸的方法使学生确定它们的存在。这是逻辑推理的一大忌讳，不利于学生逻辑推理能力的培养，失去了数学的严谨性。通过认真解读《数学课程标准》，我消除了误解。课标指出：“学生通过义务教育阶段的数学学习，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。”

数学家波利亚说:“数学可以看作是一门证明的科学，但这只是一个方面，完成了数学理论，用最终形式表示出来，像是仅仅由证明构成的纯粹证明性。严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。”由一个或几个已知判断推出另一未知判断的思维形式，叫做推理。合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维形式。合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法做出的探索性的判断，因而在平时的课堂教学中如何教会学生合情推理，是一个值得探讨的课题。

当今，教育领域正在全面推进旨在培养学生创新能力的教学改革。但长期以来，中学数学教学十分强调推理的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起重要作用，合情推理与演绎推理是相辅相成的。在证明一个定理之前，先得猜想、发现一个命题的内容，在完全作出证明之前，先要不断检验、完善、修改所提出的猜想，还要推测证明的思路。首先要把观察到的结果加以综合，然后进行类比，再一次又一次地进行尝试，在这一系列的过程中，需要充分运用的不是论证推理，而是合情推理。合情推理的实质是“发现―猜想”，牛顿早就说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”著名的数学家波利亚早在1953年就大声疾呼：“让我们教猜测吧！”“先猜后证──这是大多数的发现之道。在解决问题时的合情推理的特征是不按逻辑程序去思考，但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合起来的一种跳跃性的表现形式。因此在数学学习中，既要强调思维的严密性，结果的正确性，又要重视思维的直觉探索性和发现性，即应重视数学合情推理能力的培养。

一、在“数与代数”中培养合情推理能力

在“数与代数”的教学中，计算要依据一定的“规则”――公式、法则、推理律等。因而计算中有推理，现实世界中的数量关系往往有其自身的规律。对于代数运算不仅要求会运算，而且要求明白算理，能说出运算中每一步依据所涉及的概念运算律和法则。代数不能只重视会熟练地正确地运算和解题，而应充分挖掘其推理的素材，以促进思维的发展和提高。如有理数加法法则是以学生有实际经验的向东向西问题用不完全归纳推理得到的，教学时不能只重视法则记忆和运用，而对产生法则的思维一带而过；对于加乘法各运算律也都是采用不完全归纳推理形式提出的，重视这样的推理过程（尽管不充分）既能解释算律的合理性，又能加强对算律的感性认识和理解；初中教材是用温度计经过形象类比和推理引入数学数轴知识的；求绝对值|-5|=？|+5|=？|-2|=？|+2|=？|-3/2|=？|+3/2|=？从上面的运算中，你发现相反数的绝对值有什么关系？并作出简捷的叙述。通过这个例子，教学可以培养学生的合情推理能力，再结合数轴，可以让学生初步接触数形结合的解题方法，并且让学生了解绝对值的几何意义。

在教学中，教材的每一个知识点在提出之前都进行该知识的合理性或产生必然性的思维准备，要充分展现推理和推理过程，逐步培养学生合情推理能力。

二、在“空间与图形”中培养合情推理能力

在“空间与图形”的教学中，既要重视演绎推理，又要重视合情推理。初中数学新课程标准在关于《空间与图形》的教学建设中指出：“降低空间与图形的知识内在要求，力求遵循学生的心理发展和学习规律，着眼于直观感知与操作确认，多从学生熟悉的实际出发，让学生动手做一做，试一试，想一想，识别图形的主要特征与图形变换的基本性质，学会识别不同图形；同时又辅以适当的教学说明，培养学生一定的合情的推理能力。”并为学生“利用直观进行思考”提供了较多的机会。学生在实际的操作过程中，要不断地观察、比较、分析、推理，才能得到正确的答案。如：在圆的教学中，结合圆的轴对称性，发现垂径定理及其推论；利用圆的旋转对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系；通过观察、度量，发现圆心角与圆周角之间的数量关系；利用直观操作，发现点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，等等。在学生通过观察、操作、变换探究出图形的性质后，还要求学生对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机地整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。在这个过程中发展了学生的合情推理能力，注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质。同时也有助于学生空间观念的形成，合情推理的方法为学生的探索提供了努力的方向。

三、在“统计与概率”中培养合情推理能力

统计中的推理是合情推理，是一种可能性的推理，与其他推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑推理的方法去检验，只有靠实践来证实。因此，“统计与概率”的教学要重视学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断和决策的全过程。如：为筹备新年联欢晚会，准备什么样的水果才能最受欢迎？首先应由学生对全班同学喜欢什么样的水果进行调查，然后把调查所得到的结果整理成数据，并进行比较，再根据处理后的数据作出决策，确定应该准备什么水果。这个过程是合情推理，其结果能使绝大多数同学满意。

概率是研究随机现象规律的学科，在教学中学生将结合具体实例，通过掷硬币、转动转盘、摸球、计算器（机）模拟等大量的实验学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对其合理性的理解。

四、在学生熟悉的生活环境中培养合情推理能力

教师在进行数学教学活动时，如果只以教材的内容为素材对学生的合情推理能力进行培养，毫无疑问，这样的教学活动也能促进学生的合情推理能力的发展。但是，除了学校的教育教学活动（以教材内容为素材)以外，还有很多活动也能有效地发展学生的合情推理能力。例如，人们日常生活中经常需要作出判断和推理，许多游戏很多中也隐含着推理的要求。所以，要进一步拓宽发展学生合情推理能力的渠道，使学生感受到生活、活动中有“数学”，有“合情推理”，养成善于观察、猜测、分析、归纳推理的好习惯。

总之，在数学教学中对学生进行合情推理能力的培养，对于老师，能提高课堂效率，增加课堂教学的趣味性，优化教学条件、提升教学水平和业务水平；对于学生，不但能使学生学到知识，学会解决问题，而且能使学生掌握在新问题出现时该如何应对的思想方法。

参考文献：

［1］中国教育学会中学数学教学专业委员会.面向21世纪的数学教育.浙江教育出版社，1997.5.

［2］教育部基础教育司.数学课程标准研制组编写.数学课程标准解读.北京师范大学出版社，2002.4.

［3］新课程研究・基础教育.2007，（11）.

篇7

关键词：常用逻辑用语；逻辑推理；数学思维

逻辑在数学领域扮演着重要的角色.它是在形象思维和直觉顿悟思维基础上对客观世界的进一步的抽象.五十年代的数学教学大纲中逻辑思维能力涵盖了概念、原理、性质等逻辑知识，并要求学生必须具备逻辑思维能力，指出了其重要性.随着逻辑涉及的知识内容不断丰富，使用范畴逐渐扩大，其在数学大纲中的地位及重要性日益凸显.到2003年国家颁布的《普通高中数学课程标准（实验稿）》，逻辑的基础知识、常用逻辑用语及推理与证明就已作为独立章节被选入高中数学必修及选修教材中.

逻辑用语融入日常生活的方方面面，《数学课程标准》中提出正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，因此，如何正确地使用逻辑用语表达我们的思考显得非常重要.高中阶段逻辑教学课时少，不足十课时，但是所涉及的逻辑思维、逻辑推理、逻辑知识却贯穿于高中教学的全过程.可以看到高中所学的逻辑知识不但在数学领域而且在其他诸多领域都有极其重要的价值.下面根据个人教学经验， 谈谈有关逻辑教学的看法.

数学学科的一个重要目标就是培养学生抽象的逻辑思维能力.逻辑是一个基本的工具，因而逻辑在教学上的定位及落脚点应是着重于阐述数学思维的方法.心理学家认为，高中阶段学生的思维方式是从形象思维向抽象思维过渡的阶段，在整个高中时期学生的思维应是以逻辑思维为主导，如果此时抓住契机加强逻辑知识的学习，训练学生的抽象思维，就能最大限度促进学生逻辑思维能力的培养.

我们知道数学思想方法蕴含在数学知识之中，它是数学的精髓和灵魂.数学教学的核心是在教会学生掌握数学知识的同时，更重要的是让学生学会运用数学思想方法解决数学问题.逻辑推理便好比是适当地连接那些数学知识的螺丝钉，将知识融为一体.比如几何学中的公理化方法，就是指从公理、公设出发根据一定的演绎规则得到其他命题，从而建立一套逻辑体系的方法.而且在逻辑推理过程中不断地研究还会不断地发现新的性质， 假如我们不设法加以整理，只是把空间的无数性质杂乱地收集着， 最后无法成为体系，所以我们必须要把几何的种种性质加以整理，而逻辑推理就是我们的工具， 我们的不二法门.可见逻辑这种素材在数学上是绝对必要的.具体地说，常用逻辑用语和逻辑推理是高中数学逻辑学的主体，其中常用逻辑用语包括量词、四种命题、充要条件等，逻辑推理包括三段论、合情推理等.对于逻辑的最简易部分弄清楚之后，在今后的教与学进程中如何不断地适时适地渗透它们，才能使学生逐渐熟悉它的用法，也就是说逻辑在教学中不能把它当成只是一个独立的知识教过就算，因为它是普遍出现在数学的各个领域及问题之中，因此我们在教学上务必掌握它的这个特性，适时适地的突出它的作用，逻辑的教学才可能落实.

下面举一些例子来说明上述的观点.

例1. 设椭圆的两焦点是F1（-c，0），F2（c，0），而椭圆上的点到这两焦点的距离和是 2a（a > c > 0）， 则椭圆方程是+=1（a>b>0）.（注： 本问题及下面的证明出自人教A版选修2-1中2.2.1椭圆及其标准方程）

证明： 点M（x，y）在椭圆上的充分必要条件是MF1 +MF2=2a，因为MF1=，MF2=，所以+=2a.〔1〕

为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得=2a-，〔2〕将这个方程两边平方，得（x+c）2+y2=4a2-4a+（x-c）2+y2，〔3〕整理的a2-cx=a，〔4〕上式两边再平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得（x2-c2）x2+a2y2= a2（a2-c2），〔5〕两边同除以a2（a2-c2），得+=1.

由椭圆的定义可知，2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令b2=a2-c2得椭圆方程为+=1.

评注：我们在讲授这个证明的同时，就应该引导学生思考并回答下面问题：由〔2〕推 〔3〕及由〔4〕推〔5〕，因为使用平方操作， 会不会因此产生增根？ 也就是〔2〕与 〔3〕，及〔4〕与〔5〕，它们是彼此互为充要吗？ 或者说它们在逻辑上是等值吗？

例2. 已知f（x）=为R上的奇函数，求实数a的值.

解： f（x）是R上的奇函数， f（0）=0，解得a=1.

评注：上述解题过程只能说明结果a=1是题设的必要条件，结论虽正确，但目标是不是题设的充分条件呢？如果将 f（x）改为 f（x）=x3+ax2+a2-a，按上述逻辑推理应解答为： f（x）是R上的奇函数 f（0）=0 a=1或a=0.可是当a=1时 f（x）并不是奇函数，故a=1是增解应舍去.有些学生利用原问题的一个较弱的必要条件或者充分条件，即利用非等价转化来进行解题.但是最后缺乏进行等价性检验或证明，从而丧失了纠错的机会.

例3. （2012年高考全国大纲卷2O题第2问）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]， f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.

解：由 f（x）≤1+sinx在[0，π]上恒成立，则其必要条件为 即a≤.

g（x）在x=0或x=π处取得最小值.又g（0）=0，g（π）=2-πa≥0，所以a≤.

综上可知：a的取值范围为（-∞，].

篇8

【关 键 词】 数学；小学；逻辑；能力；培养

小学数学教学，很重要的一点就是培养学生的逻辑思维能力，特别是在应用题的教学中，老师引导学生对应用题进行分析理解的过程，实质上是一个逻辑思维的过程。

一、什么是逻辑思维

逻辑思维是指人们认识客观事物过程中运用要领进行确切的判断，有层次地进行分析推理。小学生限于年龄特点和生理关系，逻辑推理还未十分严谨。因此在数学的应用题教学中，必须经过老师的反复示范，引导学生模拟，逐步地潜移默化地通过不断解答应用题的训练方式初步掌握形成逻辑思维的方法，使学生学会运用这些方法去分析问题和解决实际问题能力。

二、怎样利用应用题教学培养学生的逻辑思维能力

（一）利用“对比分析”培养学生的逻辑思维能力

对比分析也可以说是比较分析，对比是区分事物异同点的逻辑方法之一，小学生学习应用题基础知识的过程从不会到会，从囫囵枣到理解，经常需要引导学生进行观察、对比，才能更好地区分联系与区别，以便学生正确地理解与掌握。不论数的多少、形的大小，抑或量的长短等，都要通过对比才会形成要领。所以说，对比是培养学生逻辑思维能力的基础。

如求一个数比另一个数多多少或少多少？用加减法计算的简单应用题，教师便是通过运用教具演示，如白球11个，黑球6个，引导学生观察，运用已有知识――同样多的基础上，迁移来进行对比。（如下图）

白球：

黑球：

说明白球和黑球除了同样多的6个外，白球多5个，就是说在同样的6个的基础上还多5个，用加法就是5+6=11个。在此基础上，反过来问学生黑球比白球少多少个，通过观察对比学习，学生认识到11比6多5，也就是6比11少5，进一步认识两者间的联系与区别，学生计算起来也就没什么难度。至此求比一个数多几或少几的简单应用题，学生便能更好的掌握，并且加深了理解。

但在对比时必须注意两个问题：

（1）对比的两个事物必须是相互联系的。如“求一个数的几倍”和“求一个数是另一个数的几倍”的应用题，它们之间是相互联系的，如果拿线段与分数则不可能相比。

（2）对比时必须抓住事物的本质进行比较。如商不变的性质、分数的基本性质、比的基本性质这三个性质的本质联系。通过抓住本质对比，能对知识点的理解更正确、透彻。

（二）利用“推理”培养学生的逻辑思维能力

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。数学作为一种演绎系统，它的重要特点是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通过定义引入的。这种演绎系统一方面使得数学内容以逻辑意义相关联。另一方面从知识结构所蕴含的逻辑思维形式中得到的研究方法（如逻辑推理等），再去获取更多的知识。

如简单的求平均数的应用题，（1）小明有7本课外书，小新有3本，小芳有8本，他们平均每人有几本课外书？（2）小明做了6道数学题，小英做了8道，小立做了7道，他们平均每人做了几道数学题？（3）小花期末考试，语文96分，数学100分，英语94分，音乐98分，平均每科多少分？通过这些不同内容的题目，找出共同的解答方法是：归纳为先求得几个数的和，再除以个数，并可概括出：个数的总和÷个数=平均数。

在日常的数学教学中，我们经常运用到三段论的推理方法，它由三个部分组成：（1）大前提；（2）小前提；（3）结论（最后决断）。如第一中队由少先队员36人，每12个队员一小队，这个中队里有几个小队？运用三段的过程是在引导学生先弄清楚题目的内容条件和问题，一般提出下列问题：（1）这道题目告诉我们什么？（2）题目问题是什么？（3）用什么方法计算？为什么？因此在数学教学解答应用题的过程中，应逐步培养学生养成运用演绎推理的习惯。

（三）利用“抽象概括”培养学生的逻辑思维能力

抽象是把客观事物许多属性中排除其中的偶然的，非本质的属性，抽取出它本质的属性，以便形成鲜明的概念和规律。概括是把同一类事物具有共同的本质的属性结合起来的叙述。数学中的概念，法则、性质、定律、公式等都是通过文字、数学、符号等进行抽象概括出来的结果。

如解答一定数量的复合应用题以后，我们就引导学生作出如下的概括。解答应用题的步骤：（1）弄清题意，并找出已知条件和所求问题；（2）分析题里的数量关系；（3）确定解答的顺序和运算方法；（4）列出算式进行计算；（5）检查、验算，并写出答数。抽象和概括是大量客观事物的基础上抽取出共同特性的结果。抽象概括在小学数学教学中，经常结合在一起运用。如果不教会学生对所学的知识作抽象概括的叙述，就难以运用概念进行判断，用法则指导计算。所以，从低年级开始的数字教学中，就应注意逐步培养抽象概括的能力。

三、在解答应用题教学中应注意几点

1. 默读题目。注意培养学生默读题的习惯。

2. 了解题材。对于不熟悉的题材，老师提供知识背景，有利于学生对题目的了解，允许学生简单地将题材所反映的情境加以描述。

3. 可以找关键性的词语。因为词语提示了一定的计算方法，表达了某种数量关系，但不能孤立地抓词语，防止学生将某个词语与某个计算方法不恰当地联系起来。

4. 用图表示数量关系，富有直观性。

5. 培养学生分析推理能力，即思考方法。借以培养学生聚合思维和发散思维，使两者相辅相成，相得益彰。

小学应用题教学与学生逻辑思维能力的培养不是通过一节课，一个单元，或一个学期的教学就能完成的，是一个潜移默化的过程，需要较长时间逐步培养。实践证明，教师只要在平时有意识、有目的、科学地运用有效的教学策略来培养学生的逻辑思维能力。另外学生的逻辑思维能力的培养应该不仅仅是局限于数学领域，还可以拓展到其他的生活领域。“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”，我们要为培养学生的逻辑思维能力而不懈努力。

【参考文献】

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素质教育先进理念要求，在数学教学过程中注重培养学生的数学思想和在实际生活中对数学的应用能力的提高。在遇到实际问题时，能够运用数学思想熟练解决问题，是适应信息时展的合格公民的需要。本文从数学思维的特征，品质出发。结合中学数学教育的实际。探讨了中学数学教育如何有效地培养学生数学思维能力的问题。

1.数学思维及其特征

思维就是人脑对客观事物的本质、相互关系及其内在规律性的概括与间接的反映。而数学思维就是人脑关于数学对象的思维。数学研究的对象是关于现实世界的空间形式与数量关系。因而数学思维有其自己的特征。一个人的数学思维包括宏观和微观两个方面。宏观上。数学思维活动是生动活泼的策略创造。其中包括直觉、归纳、猜测、类比联想、合情推理、观念更新、顿悟技巧等方面，微观上，要求数学思维具有严谨性。要求严格遵守逻辑思维的基本规律。要言必有据，步步为营，进行严格的逻辑演绎。事实上。任何一种新的数学理论。任河一项新的数学发明。只靠严谨的逻辑演绎是推不出来的。必须加上生动的思维创造。诸如特殊化一般化。归纳、类比、顿悟等等。一旦有了新的想法。采取了新的策略。掌握了新的技巧。通过反复深入地提出猜想。加以修正。不断完善。才有可能产生新的数学理论。也可以说。数学思维过程总是似真推理与逻辑推理相互交织的过程。似真推理起着为逻辑思维探路。定向的作用。可以用来帮助在数学领域中发现新命题。提出可能的结论。找到解题的途径与方法等。其中。类比推理和不完全归纳推理更是两种重要的策略推理形式；而逻辑推理则是似真推理的延续和补充。由似真推理所获得的结论。往往需要借助逻辑推理作进一步的论证、证实。因此。数学思维只有将策略创造与逻辑演绎有机结合。才能显示出强大的生命力。

2.数学思维品质

数学思维能力高低的重要标志是数学思维品质的优劣，为了提高学生的数学思维能力，弄清数学思维品质的内容是必要的，但对这个问题的争论很多，我们认为数学思维品质至少应包含以下几个方面的内容。

2.1 思维的灵活性，它是指思维转向的及时性以及不过多地受思维定向的影响。善于从旧的模式或通常的制约条件中摆脱出来。思维灵活的学生，在数学学习中，善于进行丰富的联想，对问题进行等价转换，抓住问题的本质，快速及时地调整思维过程。

2.2 思维的批判性。它是指对已有的数学表述或论证提出自己的见解，不是盲目服从，对于思想上已经完全接受了的东西，也要谋求改善，包括修正、改进自己原有的工作，事实上，数学本身的发展就是一个"不断提出质疑，发现问题、提出问题进行争论。直到解决问题的过程。

2.3 思维的严谨性。它是指考虑问题的严密、准确、有根有据。在思维过程中，善于运用直观的启迪，但不停留在直观的认识水平上；注重运用类比、猜想、但不轻信类比，猜想的结果；审题时不但要注意明显的条件。而且要挖掘其中隐含的不易被察觉的条件：运用定理、公式时要注意定理、公式成立的条件；在概念数学中初中数学论文，要弄清概念的内涵与外延。仔细区分相近或易混的概念，正确地运用概念，在解决问题时，要给出问题的全部解答，不重不漏，这些都是思维严谨性的表现。

2.4 思维的广阔性。它是指思维的视野开阔，对一个问题能从多方面洞察。具体表现为对一个事实能从多方面解释。对一个对象能用多种方式表达，对一个题目能想出各种不同的解法。等等。如果把数学比作一座大城市。那么它间四面八方延伸的大路。正好表现出数学思维发展和应用的广阔性。

以上，我们列举了数学思维品质的几个方面。这些方面是相互联系。互为补充的，是一个有机结合的统一体。数学教育中。要根据不同的素材。灵活选择恰当的教学方法。有意识、有计划、有目的的培养学生的数学思维品质。

3.培养学生数学思维品质的教学方法

数学教育必须重视数学思维品质的培养；数学教育也有利于培养学生良好的思维品质。蕴含在数学材料中的概念、原理、思想方法等。是培养学生良好思维品质的极好素材。作为数学教师，只有在培养学生的思维品质方面下功夫。方能有效地提高数学教学的质量。

3.1 应使学生对数学思维本身的内容有明确的认识，长期以来，在数学教学中过分地强调逻辑思维，特别是演绎逻辑初中数学论文，都是教师注重给学生灌输知识。忽视了思维能力的培养。只注重结论，忽视了知识发生过程的教学，造成学生机械模仿，加大练习量，搞"题海战术"，抑制了学生良好的数学思维品质的形成。我们应当使学生明白，学习数学，不仅仅是为了学到一些实用的数学知识，更重要的是得到数学文化的熏陶。其中包括数学思维品质。数学观念。数学思想和方法等，因此，数学教师必须从培养学生的优秀思维品质出发。冲破传统数学教学中把数学思维单纯理解为逻辑思维的旧观念，直觉、想象、合情推理、猜测等非逻辑思维也作为数学思维的重要组成部分。在数学教学中，要通过恰当的途径，引导学生探索数学问题，要充分暴露数学思维过程，这样，数学教育就不仅仅是赋予给学生以"再现性思维"。更重要的是给学生赋予了"发现性思维"。

3.2 优化课堂教学结构，实现思维品质教育的最优化。优良思维品质的培养，是渗透在数学教育的各个环节之中的，但中心环节是在课堂教学方面论文开题报告范例。因此。我们必须紧紧抓好课堂教学这个环节。在课堂教学中，学生的思维过程，实质上主要是揭示和建二新旧知识联系的过程当然也包含了建立新知识同个体的新的感知的联系。在这里我们要特别强调知识发生过程的教学。所谓知识发生过程，通常指的是概念的形成过程，结论的探索与推导过程。方法的思考过程。

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【关键词】能力；基础；操作；动脑

【Abstract】Teach is to not teach， let children academic association study.The teacher of mathematics not only want the church student's knowledge， but also still want church a student how to acquire the skill of knowledge， this be the study mathematics of ability， student's ability of development， the teacher want from the foundation knowledge， mathematics of the basic technical ability commence， concentrate to particularly grind teaching material， with meticulous care best and each section lesson， also want according to the demand of the classroom design problem scenario， encouragement the student begin experiment operation， let the student participate classroom possibly， transfer student study of aggressive， exaltation student analysis problem and problem-solving ability， then development mathematics ability.

【Key words】Ability；Foundation；Operation；Use brains

中学数学是重要的基础学科，它是各科学系的基础和工具，学生能否对数学感兴趣，能否学好数学，需要我们不断的思考和探讨。叶圣陶先生指出，“教是为了不教，要让孩子们学会学习”。所以，教师应根据每名学生的特点，积极引导他们善学，乐学，激发学生的思维，使之主动寻求问题的答案，既获得知识，又学到如何获得知识的本领。这就是学习数学的能力，下面就从五个方面谈谈如何培养数学能力。

1．培养数学能力，从抓基本概念教学入手

在讲授概念时，首先要弄清楚那些是基本概念，哪些是描述性概念，对概念的掌握还有了解、理解、掌握三种不同程度的要求。在教学时就要把握好尺度，各有侧重。如在讲体、面、线、点等概念时，让学生能根据图形进行辨认，而没必要去深抠它的定义。反过来，若对描述性概念讲的太多，也会影响重点内容的讲授。而对基本概念，则要把握好每个概念本身的特点，抓住其特征进行讲解，还可以设计一些填空或判断来加深对基本概念的理解和掌握。

2．培养数学能力，要重视例、习题的教学

教材中的例、习题，是学生把知识转化为能力的第一个加油站，例、习题讲解的好坏，会直接影响学生学习新知识的效果。

如在讲“三角形全等的判定”一节证明例1的结论“ABD≌ACD”以前，首先指出证题的思路：要证ABD≌ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等。师生共同思考：

⑴ 由已知条件AB=AC可知，这两个三角形有一对相等的边。

⑵ 从图上看，AD是公共边，所以是这两个三角形第二对相等的边。

⑶ 关键是第三对边BD、CD是否相等，由D是BC的中点可知，BD=CD，它们是这两个三角形第三对相等的边。

因此，边边边条件得到了满足，因而ABD≌ACD。

通过每一道例题的讲解、分析。逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进而达到学生会分析问题，理清思路，顺利证明问题的目的。

3．培养数学能力，要重视直观操作和逻辑推理的有机结合

学会推理证明是学生学好数学的重要一关，特别对于初学者，证明时往往出现不会证明或层次不清，逻辑关系混乱等的问题。在教学中，我注意到了这一点。在讲与圆的有关的一些性质时，要注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质。

例如结合圆的轴对称性，发现直径定理及其推论，利用圆的旋转对称性，发现圆弧、弦、圆心角之间的关系；通过观察、度量、发现同弧所对的圆心角与圆周角的数量关系；利用直观操作，发现点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系，在学生通过了观察、操作、变换探究出图形的性质后，还及时要求学生对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证顺利成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，然后按照章节的内容，逐步深入引入推理，提高学生推理论证能力。

4．培养数学能力，在层层设疑，多角度思考问题上下功夫

在教学时，重视层层设疑，如在讲到“相交线、对顶角”这节时，让学生把准备好的两根木条a、b和钉子钉在一起，然后随意张开木条，观察这四个角，教师问：∠1和∠2在数量上有什么关系：

学生通过观察和动手度量后回答：∠1+∠2=180°∠1=∠3，然后

固定木条a，转动b，这四个角也随着变化，教师问：∠1和∠2，∠3和∠4，在数量上变没变？学生答：同变。继续问：∠1和∠2这样的角叫什么角？∠1和∠3这样的角叫什么角？它们有那些性质呢？请同学们看书，学生踊跃看书，很容易得出结论：∠1、∠2这样的角叫邻补角，∠1与∠3这样的角叫对顶角，两邻补角互补，对顶角相等。

通过这样层层设疑，使学生一步步认识了对顶角，邻补角的定义、性质、逐步培养学生的动手操作能力和识图能力。

5．培养学生的数学能力，关键让学生明确数学的应用价值

恩格斯在《自然辩证法》中，给数学的定义是：“数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的”，数学不单是简单的几个数字和运算，而是让学生从每一节的教学中，充分意识到数学来源于我们的生活，学好数学是为了更好的服务于我们的生活。生活本身是一个巨大数学课堂，鼓励学生在生活中寻找数学问题，在课间和课后的社会生活中初步应用所学的知识。如我在讲授二次函数这一章时，充分重视二次函数在求利润、面积的最大值等方面的应用，体会数学的应用价值。