复数概念教学反思范文

导语：如何才能写好一篇复数概念教学反思，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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【关键词】复数，数学史，概念，教学设计

由于新课改后，复数这一章，相对老教材删减了很多内容，老师也就随便介绍一下.这对学生以后更进一步的学习复数、复变函数等产生了困难.这需要我们对复数a+bi的概念及本质含义真正深刻的理解.

一、复数概念教学的研究

就复数如何引入，前人们主要从几何和代数两个方面入手.

几何方面：北京师大女附中高中代数互助组（1955）该文建议从 数轴上的点与实数一一对应出发引入复数a+bi.杨大淳等人（1957）给出了两种引入复数的方法，一是用复数的发展史；二是把平面直角坐标系中的点，或以点P为终点，原点为始点的向量OP，用一对实数（a，b）来描述，并把这实数对叫做复数，复数（a，b）又可记为a+bi.严信一（1979）则提出从笛卡儿平面到高斯平面，导出复数概念的方法.

代数方面：许敏（2005）从二次，三次方程引入虚数.（陈跃2004，陈克胜2005）提出由实数与纯虚数“复合”起来的“数”称为复数.

二、复数概念的教学设计

教学目标：1.知识与技能；2.过程与方法.

教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类以及复数在实际生活中的应用

教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点，复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后得到的.

学情分析：高中的学生在复数的概念以前，已经经历了实数从N，Z，Q，R的扩充过程，对数系扩充的过程方法、注意事项有一定的了解，因此在介绍新知识之前，可以先回顾一下以前是如何进行扩充的，然后给出新的问题，为什么现在又要进行扩充.

教学过程：

1.知识回顾及问题提出

通过多媒体，借助图片，展示数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N.

随着生产和科学的发展，为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.

通过多媒体展示无理数的由来，正是有了无理数，前面学的数就叫有理数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.

因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾.

2.复数的分类

3.复数集与其他数集之间的关系：NQRC.

4.两个复数相等的定义

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.

这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d.

复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.

现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对，如果两个复数都是实数，就可以比较大小，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小.

三、教学反思

这节课我们学习了数系的扩充与复数的概念，需要同学们理解虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件.

在实际教学中，如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类.

本文的设计还存在不足的地方，希望大家多提意见，使之不断完善.

【参考文献】

[1]曹建华.中学生对复数的认知过程――一项个案研究[D].华东师范大学硕士学位，2003（中国知网）.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社.2003.

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本学期，我们学校开展对外交流课，我有幸作为数学组的成员参与了我校一位同事一次一次的试教，一次一次的反思，一次一次的更改，一次一次的收获这样的一个磨课过程。课堂应是师生共同创造奇迹，唤醒各自潜能的时空，离开学生的主体活动，这个时空就会破碎。磨课的课堂就是一个供大家研究的大舞台，让大家研究如何唤醒师生的潜能，由初始的平淡无奇到后来的精彩纷呈，这是一个蝶变新生的过程。磨课教师从中体验完美课堂历练过程，在一次一次的教学实践中不断提升自己，同伴们也从中获得新的发现和启迪。从而在自己的课堂上成为学生的引领者，发挥学生的主体作用。

二、案例呈现——痛苦的三次磨课

孟老师上的课题是复数的概念，是一次概念课，试上的第一个班级是2010级的一个高职班，基础还是比较扎实，学生的基本功还是不错。第二个班级也是2010级的一个中职班，相对而言，基础要差点，第三个班级是2009级的一个中技班（之前未学过此课题），学生也比较活跃。这里重点说说三次得出复数概念的过程以及反复斟酌、修改、提升的过程。

第一次教学，孟老师利用精美的多媒体课件从数的扩充开始引入（时间比较长），顺理成章地过渡到如何解方程x2+1=0，由我们以前的知识，在实数范围内是没有解的，从而要引入一种新的数来解决这个问题，由此我们就规定一个新的数——虚数，单位i，并且规定了它的一些运算，接着给出一些形如5-i，2i，-3+4i，■+5i，3等一些数，让学生利用合情推理归纳出这些数的特征，把这些数就叫做复数，并且给出复数的实部和虚部，然后在复数中再去讨论什么时候是虚数，什么时候是实数，从而给出分类。组内的教师对这部分进行讨论，指出孟老师自己传授的时间比较多，虽然流程也比较顺畅，但是学生的主动性不够。提出的建议是是否可以把概念从学生原有的认知水平出发，让学生自己来给出概念和分类。

第二次教学，孟老师先利用专业课中正弦交流电的产生，从学生已有的知识引入，在实际生活中，存在着大家没有学习过的数。数的扩充虽然也利用了多媒体，但是比较简洁，不再那么冗长，而且让学生举出一些学过的自然数、整数、有理数、无理数，尤其是在无理数中，特别提出e，π这类用字母表示的无理数，这样在下面给出虚数单位i的时候不会非常唐突。然后提出问题：如何解方程x2+1=0，非常自然地给出虚数单位。接着给出一系列数5-i，2i，

-3+4i，■+5i，3，0（比第一次多了0），让学生小组讨论进行分类，并说出分类的理由。学生第一眼就可以找出3和0，这是熟悉的实数，剩下的为另一类，教师此时适时地引导，另外一类是否可以细分，再由特殊到一般，把虚数、纯虚数的形式归纳，这里都是多媒体做好的，一点点呈现。不过，此时问题出现了，学生的回答并没有按照老师预期的顺序出来，所以有点牵强。课后，大家一致讨论，这一节课比前一节课有新的突破。如，引入内容与学生所学的专业相关，可以让学生觉得数学是源于生活的，师生的关系非常融洽，尤其教师用具有感染力的语言来调动学生的兴趣，学生的学习积极性相当高，特别在讨论归纳部分，学生的情绪高涨，说话的欲望比较强烈。我们认为，如果讨论的过程不用多媒体做好，而是教师与学生一起互动，在黑板上把这个过程板演下来的话，效果会更好。在一些细节的处理上还有一些疏忽，而且在每一次的语言操练上递进性不够，过渡语言还要加强。

第三次改进部分：孟老师正式开课那天，在对复数的分类这部分处理得更加好了，提前做了数的小卡片，让学生自己贴上去，然后说出理由，更棒的是，教师根据现场学生的互动，按照学生的顺序把复数进行了分类，使学生主动发挥，师生的互动操作恰到好处。课堂环节有条不紊，层层推进，学生的学习积极性得到充分的调动，课堂气氛活跃，重点和难点得到了有效的突破。

三、案例反思

（一）教学设计的“磨”，更好地调动了学生的情绪和学习主动性

教学设计是我们实践的蓝本，它的优良决定着课堂教学的效果。因此，教学设计的优劣尤为重要。在本次磨课中，参演教师理念上以行为理论为指导，教学设计将教学传递的设计、学习环境的设计与学习行为的设计整合在一起，构建了一个完整的、全新的教学理论框架。在对概念的处理上反复推敲，几经斟酌，深入到每一个细节，对如何调动学生的积极性，如何处理教材等进行反复修改。在学生的学习能够顺利进行时，就给予肯定、赞赏，同时试着提供新的任务。如果学生的学习遇到困难，就提供适时有效的帮助，让学生通过自己的努力获得新知，解决问题，从而使学生的学习情绪高涨，学习主动性得以发挥。

（二）浓厚的磨课氛围，提升了教师的勇气和自信

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【论文摘要】 提高数学教学质量，就必须激发学习内驱力，充分发挥学生的主体作用，引导学生主动参与数学教学活动，在教学中我从以下几个方面展开尝试：让学生充分感受数学美；在数学教学中充分展示数学思维过程；增强数学教学语言的吸引力；给数学后进生更多关照等。

学生是教学的主体，学习的主人，教学的成败主要看学生的反映。这就要求教师在教学时，要能根据知识的内在结构和学生的学习规律，提供现象和问题，创设思维情境，引导学生主动参与，进行观察、思考、探索。但是，学生的主动参与一般不是自发的，要靠老师为他们提供条件，唤起他们的觉悟，在教学中我主要从以下几个方面展开尝试。

一、让学生充分感受数学美

数学美是客观存在的。从内容上来看，可分为结构美、方法美等。从形式来看上，可以分为形态美与神秘美等。基本特征表现为：简洁性、对称性、统一性、奇异性、思辨性，数学美与艺术美在审美意识上是有区别，数学美是一种理性美，是观念美，是一种理性的折光。艺术美在审美意识上是借助与物质形式表现出美的感性形象，这种美不依赖于人的意识活动，但可以被意识活动所反映。

数学中的美不同于一般的自然美、艺术美，因而有时不被人们理解接受。许多人因为在学校里的数学学习遭受挫折，加之有的数学教师对数学难学扩大化的宣传，在他们的记忆中数学是枯燥的符号和令人头痛的定理的证明，回忆中只有失败与挫折，与“美”无缘，形成了一个错误的数学观。这是在数学学习中没有体会到美的结果。应试教育以考试成绩论英雄，教学过程中对应试无关的内容就毫不客气地放弃，课堂中体会不到数学中美的思想、美的方法，学生整天忙于做习题，没有时间体验数学中的美，有朝一日，当学生不需要学习数学时，他们就异常高兴，终于脱离苦海了，因此有人认为除了在学校，其他地方简直不需要用到数学，数学实际上没有任何的实用价值，那就成为理所应当的事了。改变数学在公众中的形象，提高数学教育的实际效果，让数学真正成为人们生活中不可缺少的一部分，让学生体验到数学教育中的美是必不可少的。

二、数学教学过程中要充分展示数学思维过程

一个数学概念的形成有其原型模式和历史背景，要努力解释概念的抽象、概括过程，抓住问题本质特征。如复数的引入，就是解诸如x2+1=0的方程的需要。解释这些历史背景，有利于学生对复数的正确认识，有利于建立复数概念。

教无定法，贵在得法。学生在遇到一个新的问题时，他的第一感知就是要对题目的信息进行分析，然后和自己的知识储备进行比对，寻找共同点和差异处，然后再选择适宜的解题方法。我们教师要特别重视课本中例题、习题中的典型题，善于对其进行变式训练，遵循“依照课本例（习）题，从点到面”的原则。在创新意识的指导下，努力搜索与问题相关的知识，全方位，多角度地看待问题。要努力探寻与其它知识之间的逻辑联系，挖掘其新的意义，新的作用。尤其要对一些典型题，要想一想是否有其它新的解法，是否有更简捷的解法，代数问题能否用几何方法来解，能否建立数学模型等等；在开放题的求解过程中，不仅要重视解法的多样性，答案的不唯一性，更要重视方法及解答过程的比较与鉴别，在比较与鉴别中复习所运用的数学思想方法，所涉及运用到的知识、技能。

数学反思性学习的过程，可从以下几个方面进行：首先，要反思所学习的知识，技能。例如本节、本章涉及哪些知识，自己是否已达到所要求的程度；其次，反思所蕴涵的数学思想方法。中学数学中蕴涵着丰富的数学思想与方法。在复习过程中，反思一下课堂中涉及到了哪些数学思想方法，这些数学思想方法是如何运用的，运用过程中有什么特点，这样的思想方法是否在其他情况下运用过，现在的运用与过去的运用有何联系和差异，有无规律；再次，反思基本问题（包括基本图形，基本图象，基本等式等），典型问题，弄清楚本节、本章有哪些基本问题，哪些典型问题，平时碰到的问题中有哪些问题可归结为这些问题等；最后，要反思自己在学习过程中出现的失误，避免在以后的学习过程中继续出错。

三、增强数学教学语言的吸引力

语言是传递教学信息的工具，只有让学生听的清楚、容易理解、具有吸引力，学生才会产生兴趣，我们的教学才会吸引学生的主动参与。所以，作为教师要仔细琢磨教学语言的特色，不断修炼，提高语言艺术。从吸引学生参与的角度来说， 幽默故事或语言是不错的选择，但要注意选取是根据教学内容实际自己编制一个有趣味的、具有现实意义的，和社会流行的话题有关的，能够激发学生兴趣的故事情节。从而激发他们对本节课的教学内容充满幻想和渴望，急切想一探究竟的心理。运用语言幽默，要有丰富的想象力。幽默不是可有可无的东西，它是课堂教学的兴奋剂，它不是油腔滑调的俏皮，它是智慧闪耀的火花。凡是善于幽默者，多是思维敏捷、联想丰富的人。教学幽默，说到底是为了教学服务的，是让学生在欢乐轻松的氛围中更好的理解和运用物数学知识。所以教师在运用教学幽默语言时要牢记这一点，要真诚善意的运用教学幽默，切不可流于低俗。教学幽默能把教学内容具体化、形象化，这样有助于学生理解知识；教学幽默是教师智慧和自信心的表现，因此教学幽默常常富于启发性，学生只有通过积极的思考和想象才能会意，这样就能加深学生对教材内容的理解；教学幽默以学生喜闻乐见的形式出现，易于学生巩固知识。

总之，在任何时候，任何地方，任何情况下，我们都应该以宽广的胸怀和满腔热情，去唤起学生参与到学习中来，并为他们的参与创造条件，而不能有任何冷漠，甚至排斥、打击的想法和做法。

【参考文献】

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关键词：概念教学；习题教学；变通与共性；单元练习评讲

“文似看山不喜平”，自古以来文章大家都这么说，这是因为精美的文章往往让读者一咏三叹，咏的是文章的形式和直观内容，叹的是文字背后的意味. 好的文章曲折回环，引人思考，是需要读者步步用心去审美，去感受，最终共鸣而内化为读者的自我精神世界的一部分；高中数学课堂教学也是如此，一堂好的数学课，不是让学生一览无余的知识的简单呈现纪录片，也不是单调乏味的重复练习，而是在探究数学知识、体验数学方法、领悟数学思想的过程中，师生永生难忘、共同度过的美好时光. 数学学习的内容的丰富、方法的精妙、思想的深邃注定了高中数学教学不可能是简单的线性结构. 高中数学课堂教学需要“一咏三叹”，教师的教学创新就体现在跌宕起伏的教学节奏安排中.笔者观览了一些成功的数学课堂教学展示，反思了自己数年来的教学经历，在以下几个方面有所悟，以膳同仁.

[?] 在新课教学中“咏概念之创新，叹概念之内涵和外延”

几位诺贝尔经济学奖获得者曾经这样评论过：“科技飞速发展的今天，任何一门学科成熟的标志就是数学在该学科运用的程度”. 数学的概念是概括、抽象了大量达到现实生活中的数量关系之后产生的，但一经产生便反过来可以在更广阔的领域显示出它的普适性. 高中数学的主要内容必须借助于一系列的概念阐述，概念的学习是高中数学必不可少的基础工程. 但是，从高中数学新课标的角度审视，许多数学教师的课堂教学只注重教师向学生进行的单向性信息输出，在概念教学中认为概念的学习就是让学生知道“某个概念说的是什么”. 这实际上仅仅是对概念的内涵进行了简单介绍，其实把概念作为教学的素材，其中可以挖掘的教学价值很多.

任何一个概念的出现都不是可有可无的，它一定有某种“需要”，一定是因为原有的概念体系 “不够用”，需要一个“新概念”，因此，数学课堂教学中概念教学不妨从概念的创新之处入手，紧紧扣住“为什么会出现这个概念”，然后才是“这个概念究竟该是怎么个说法才能满足需要”，“建立的概念，它包括哪些数学对象”，也就是“咏概念之创新，叹概念之内涵和外延”. 例如，关于“加减乘除……”等各种运算概念的学习，其实很关键的是在课堂教学中让学生理解某种运算究竟新奇在何处. 笔者听过一节数学公开课“向量的数量积”，教师在课堂教学中，通过物理学中学过的力学“功”等实例，说明向量还可以进行一种类似力学功这样的运算，即“数量积”. 这要比直接介绍“数量积”定义进行教学更具有数学教学价值.

再如，关于“数”的概念的教学，这是所有数学教师都知道的教学内容. 但是，多年来相当多的教师一直把“数”的概念的教学等同于介绍“自然数、整数、分数、小数、有理数、无理数、实数、复数……”的定义，在课堂教学中只见对于学生进行数学知识的介绍，缺少引领学生进行数学知识获得的体验，对于这些数的概念，学生充其量只会根据文字意义做一些判断与机械性练习. 其实这儿教师不妨抓住每个“数”概念的创新：从自然数、整数、分数、小数、有理数、无理数、实数到复数，每一次新概念的扩充，主要是两种情况，一是描写对象的范围大了，这主要体现在从自然数、整数、分数、小数、有理数的这几次数的概念的扩充；二是描写的数学关系范围扩大，从有理数到无理数的扩充体现了方程对应的数量关系除了有理运算关系，还应该包含无理运算关系，从实数到复数体现了一维数量关系到二维数量关系的飞跃. 在设计课堂教学流程时，紧紧抓住概念的创新之处，从引入数学和生活中的实例入手，指导学生思考、讨论，最后体会到新概念的建立是“应运而生”的，从中体会数学家们在“创造”新概念的过程中，创新思维是如何展开的. 不仅如此，还应在后续教学中，让学生自己自主学习概念的内涵，彻底搞清概念“究竟说的是什么”，引入大量的数学实例，让学生讨论，学会运用新概念判断、推理，体会新概念的数学价值，并将其融入自己的概念体系中.

[?] 习题教学中“咏基本方法，叹方法之变通与共性”

[?] 单元练习评讲中“咏命题之立意，叹问题之联系”

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教后反思，就是教师对自己教学过程中每个环节的工作进行重新认识，是一种高层次和高水平的思考，是教师提高自身素质和实施素质教育的重要保证。古人云：“教然后知困，知困难后能自强也。”就是这个道理。笔者认为，教后反思应从四个方面考虑，那就是：思得、思失、思效、思改。

第一，思得。这是对课堂教学效果而进行的思考，一节课结束后，学生得到了什么？教师受到了什么启发。

在课堂教学过程中，教师一方面要根据教案施教，另一方面还要根据课堂教学的实际随时调整教学内容。例如：为讲解重点和突破难点而临时选用更具有典型性的例句，为培养学生的某种能力而临时变换教法，对于这些调整，我们都应在课后认真思考，反复推敲，并记载下来，作为日后教学工作的宝贵借鉴。例如，有一次，我请一位学生归纳，不同人称正确使用is、am、are的用法，他念了一段顺口溜：“我用am；你用are；is跟着他她它；复数后面用什么，统统都是一个are。”这段顺口溜读起来朗朗上口，学生容易牢记，成了我日后教is、am、are用法区别的借鉴，我后来教得学生都能被这段顺口溜，而且对is、am、are的用法都掌握得很好。再如，有一次，讲look for 与find，listen to 与hear两组词的区别时，正巧有一个学生在前天晚上丢了一支钢笔，上课注意力不集中，我马上把例句做了临时调整。我对全班学生说这样几句话：I’m sorry to hear a piece of bad news. Xiao Dong los’t his pen last night （He has looked for it every where but he coundn’t find it. And now he is listening to me but he may not hear me deary.）becouse he is a little sad.接着，我把上面括号里的句子写在黑板上，同学们一看就心神领会了。

第二，思失。这是针对课堂教学效果及作业完成情况而进行的思考。一节课后教师的教学工作在哪方面做得不够理想？从一次作业中我们发现学生在哪些方面有缺漏？

我们的教学对象是一群在心理上和生理上都不尽相同的，知识水平和理解能力各异的学生，即使我们理解了教学大纲的精神，熟悉了教材，精心准备了教案，我们的构思和设计与实际教学过程总会有不相适应的地方，如在教材的处理，板书的采用等方面，课后都会让我们感到有不尽人意之处，甚至会留下某种遗憾，这就是我们教学工作的缺漏。对此，我们要认真思考，仔细分析和及时补救，并采取有效措施，确保以后不犯相同或类似的错误。

我第一次教授句型“so+助动词+主语”时在课堂上学生表现得相当活跃，看上去似乎掌握得不错，但在课后作业里却出现了不少错误现象。

1. He offten does her homework at home and so does I. （乱用助动词）

2. She played basketball yertrday and so do you. （时态不一致）

3. I will go to the farm tomorrow and so does he. （时态不一致）

针对这些错误，我认真思考，找出了自己教学上的问题，并立即作了补救，再次教授“so+助动词+主语”时，我帮助学生作了如下归纳：一个前提，三个条件，一个前提指的是“陈述部分要表示肯定的概念，三个条件指的是时态，陈述部分助动词时态一致，人称（主语）、助动词。三者紧密联系缺一不可。”

例：People in England eat a lot of vegetables and so do we.前提：陈述部分表示肯定的概念即“英国人吃许多蔬菜”。

条件1：一般现在时。

条件2：第一人称复数（we）。

条件3：助动词（do）

例2：Ann felt very happy and so did I.

前提：陈述部分表示肯定的概念即“安妮感到很高兴。”

条件1：一般过去时。

条件2：第一人称单数（I）

条件3：助动词（did）

通过这样讲解，能有效地帮助学生避免乱用助动词，时态不一致的现象。

第三，思效。这是针对课后作业，个别辅导或检测考试而进行的思考。了解某一阶段的教学工作是否达到了预期效果，分析在这一阶段里学生对哪些基础知识和基本技能掌握得好，哪些掌握得差；对于同一类知识，哪些学会了，哪些学生还弄不明白等。对于从学生方面反馈回来的信息，我们都要进行全面的分析，认真思考自己教学的实际效果，即哪些工作做好了，哪些工作还有待改进。

我第一次讲解如何选择感叹句的感叹词时，其中有这样两个例句：

1. good boys they are！

A.What B. How C.What a D. How a （答案为A）

2. delicious the food is！

A. How a B. What C. What a D. How （答案为D）

例1不少的学生选择B，例2不少的学生选择B，我认真思考和分析从学生方面反馈回来的信息，找到了自己教学工作的不足。因为，能有定冠词the来修饰，而How引导的感叹词所修饰的形容词或副词，其后主语如果是名词要加定冠词“the“。导致学生两者混淆起来。

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数学能力是一种个性心理品质，它对数学活动的进程方式起着直接的、稳定的调节作用，数学能力是数学素质在数学活动中的外化，高考考查的数学能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等能力，其中运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件与目标寻找与设计合理简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计和近似计算。

1. 高中阶段常见运算形式：

（1） 复数的四则运算

（2） 代数式的运算

（3） 幂、指、对数运算

（4） 三角运算

（5） 向量运算

（6） 导数运算

（7） 极限运算

（8） 方程与不等式运算

（9） 抽象运算

2 当前运算能力培养的现状

（1） 初中课程改革弱化了运算能力要求。

（十字相乘法等乘法公式、因式分解、代数恒等变形、韦达定理、比例、平面几何……删减）

（2） 计算器的广泛使用削弱了运算意识和技能。

（3） 高中数学教学突出了知识模块，弱化了运算教学，淡化了运算训练意识，没有补上初中去掉而高考又必考的一些运算内容，江苏省高中数学教学要求和教学参考书如苏教版教学参考书（必修2）第2章平面解析几何初步提及本章教育目标8，在知识和概念的形成过程中，培养学生的合情推理能力，数学交流能力，探索能力和逻辑思维能力，唯独不强调运算求解能力；而在选修11、21圆锥曲线一章也同样只字不提运算求解能力，导致部分教师在实际教学中重视知识教学和解题思想、方法，轻视运算过程，自己钻研解题不够，对解题过程中的运算算理、算法不甚了解，无法有效、高效地指导学生。

（4） 学生不明算理，学习了算法不会应用，机械套用运算公式，不顾运算目标，进行盲目的推理演算，运算过程中缺乏选择合理、简捷的运算途径的意识，运算过程繁琐，错误率高，对运算求解能力的内涵缺乏科学认识，误以为是“马虎”、“粗心”造成运算错误，平时复习解题认为“只要方法对，做错了不要紧”。主要问题有：

① 概念模糊不清，学生容易因概念模糊导致运算失误。

② 公式、性质记忆不准确，不会对公式、定理进行反向代换和等价变形。

③ 数据处理能力（计算、排序、筛选、分类讨论等）差.

④ 数学语言不过关，导致阅读习惯差，阅读能力差，运算无从下手.

⑤ 代数恒等变形常规方法不熟练.

⑥ 识别、驾驭图表的能力差.

⑦ 算法意识差，算理不清，对运算问题缺乏检验、反思、总结的意识.

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[关键词]新课程标准 高中学生 数学思维 能力培养

《高中数学课程标准》在培养目标第二条中明确指出：“提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。”这里所指的也就是学生的数学思维能力。如果学生有了一定的数学思维方法和能力，不仅能够很好地完成学业，还会终身受益。所以，数学教师在教学中要尽量为学生科学地组织好思维材料，为他们的探索提供桥梁和阶梯。

（一）分析概念，揭示本质，为思维打好基础

概念教学的关键步骤是揭示其本质特征。概念的本质特征指的是它反映一事物区别于他事物的主要之点。在学习概念时，学生常会出现两种倾向，或是不顾概念成因而孤立地记住定义，即死背；或是在丰富的感性材料面前陷入困境，找不出主线来，即缺乏思维能力。因此，教师要引导学生在概念的正面辨析和反面类比上下功夫。

1.正面辨析。在给学生提供大量感性材料的时候，笔者就有意识地作好铺垫，让他们的感性认识自然地向理性认识过渡，通过反复讨论，归纳出概念的本质特征。比如数学上的“排列”概念，生活中存在大量学生熟知的例子，如排队、通信、选代表等。教师可以由此入手，进而启发学生探讨排列定义中的“顺序”两字的含义，知道“顺序”不仅是指通常意义上的排列次序，还可以广义地理解为“两种取法产生两种结果”。由此，学生便可以理解“两两通信”、“班干部的不同分工”等排列问题与“顺序”有关，而“两两通电话”、“两两球队赛球”与顺序无关，不是排列问题。这样也为组合概念的引入伏下了一笔。

2.反面比较。比较是一种重要的思维形式，大纲中明确指出：“对于容易产生混淆的概念，要引导学生用对比方法认识它们之间的区别和联系。”例如，在关于复数概念的三角表示法的教学中，可用如下一组题目来帮助学生获取正确形式：求以下复数三角式的幅角主值：①Z=4(cos -isin )②Z=-2(cos +isin )③Z=4(sin +icos )。学生在解题过程中常常会误以为幅角主值是 。通过对各种错误的辨析，学生领悟到复数三角式r(cos?兹+isin?兹)的特征是：①r>0；②实、虚部分别由rcos?兹和rsin?兹组成；③中间以加号连接。由此回溯复数三角形式的来源，就获得了对这一概念的完整认识。

（二）给概念下定义，为学生的思维“点睛”

给概念下定义，就是用简练的语言表述概念所反映的事物的本质特征。概念的定义揭示了该概念的内涵，而使用的语言又是极精练的。要求学生正确、完整地领会并用言语表述定义，不仅有助于他们对概念的记忆，更能培养他们思维的严密性和精确性。例如，在教等差数列的时候，先让学生自学等差数列的定义，然后要学生按定义证明一个五项数列为等差数列。有些学生由a3-a2=a2-a1迫不及待地作出了肯定的结论。这从逻辑上来说，是犯了以偏概全的错误；从定义上说，是由于学生没有仔细领会其中“每一项”三个字的含义。于是笔者将这三个字写在黑板上，有意引起学生的注意，然后再让学生证明一遍。经过这样一个反复认识的过程，学生对等差数列的定义有了深刻的印象。

（三）探索解题思路，培养思维能力

解题是数学教学的一个基本形式，高中学生一般也比较喜爱。但他们对题目往往是不加选择，拿来就做，做后就丢，题目一改头换面又得重新思考。教师可从学生的实际水平出发，不断向学生提出一些比较新颖的、典型的，同时又是他们通过独立思考可以解决的题目，引导他们去探索思考的方法。一单元结束后，还要求学生写单元小结，小结中要求最后一部分是“本单元的主要思想方法”，这是锻炼学生思维性思维的一项“基本训练”。通常可以采用以下几类题目和解法来帮助学生探索思路。

1.难题浅解。“难题”是个相对的概念。一般来说，它总是指一些综合性较强、抽象性较高的题目。这类题目思维容量十分丰富，如果教师启发得法的话，它们可以成为训练学生思维力的很好材料。1981年高考数学试卷中的一道附加题就是一例。此题解法不少，但有些思路太奇特，学生不容易想得到。于是笔者就采用从特殊到一般这一容易为学生接受的思想方法来启发学生。我们知道，不完全归纳法不能代替证明，但可以从中找到证明一般形式的雏形。

[例1]已知：以AB为直径的半圆内有一个内接正方形CDEF(见图1)，其边长为1，AD=a，BD=b，u1=a-b，u2=a2-ab+b2，u3=a3-a2b+ab2-b3…，uk=ak-ak-1b+ak-2b2-…+(-1)kbk。

求证：un= un-1+ un-2（n>2）。

分析：不少学生一上来就想从un-1，un-2表达式相加得un，结果由于字母繁复而迷失了方向。

引导学生由证明u3= u2+u1(即n=3时) 成立来找到解题的思路。学生发现，由于a的最高次幂不等，不能直接看出上述关系式成立的原因。等式要成立，b间一定有某种关系。于是从图中找得a-b=1，ab=1，这个“1”乘上去不影响结果。

有学生就尝试u2乘(a-b)向u3靠近，发现u2(a-b)=(a2-ab+b2)(a-b)=a3-a2b+ab2-b3-a2b+ab2=u3-abu1，即得u3=(a-b)u2+abu1=u+u1。遵循上述思路，展开此式可得：un=(a-b)un-1+abun-2=un-1+un-2。学生由此得到启示，解难题一定要找到正确的思考规律，才能做到“深入浅出”。

2.妙题巧解。这类题目难度并不高，但思路巧妙。教材中有这样一道习题：“4个男同学和3个女同学排成一队，如果女同学不能排在一起，有多少种排法？”这道题目要考虑的方面很多，“女同学不能排在一起”这个条件表明不能有两个女同学相邻。解这个题目，学生习惯于走“大路”，采用列举法，通过一一列举，可以算得1440的结果。但由于计算过程繁复，不少人失败了。此时再提出新问题：若是男同学改为m个，女同学改为n个（m>n）, 该怎么考虑呢？问题上升为一般形式，列举方法已无能为力，得另辟蹊径。然后启发学生从计算结果的形式中找找方法。有的同学把计算结果变形后，得到A44×A35―― 喔!A44可以看作男同学的位置排法，那么A35怎么理解呢？在肯定了学生的可贵发现后，笔者进一步启发他们：“排列问题关键在于选择适当的位置，大家可以为女同学找找符合条件的位置，看能否与A35挂上钩？”一会儿，有的同学巧妙地得到了这个位置：・男・男・男・男・，四个男同学隔出五个空隙，排上女同学，则女同学一定不会相邻。这是五个位置中取三个的排列，也就是A35的意义。这种方法我们不妨形象地称它为“插入法”。据此，学生们马上把结论推广到m个男生和n个女生的一般情况，就是Anm+1Amm（m个人中间有m+1个空隙）。

参考文献：

[1]何江卫.新课程标准理念下的教学反思[J].中学数学教学参考,2004,(2).

[2]王良成.面向21世纪中学数学教育改革[J].川东学刊,2003,(10).

[3]赵育建,戴林源.高中数学课堂教学改革新理念[J].中学数学教学参考,2005,(2).

篇8

摘要：基于高中数学新课程理念，本文对数学概念教学策略进行了有益的探索，体现了以学生为主体、教师为主导、问题为主线的教学思想．

关键词：概念教学；探究

数学概念是揭示现实世界空间关系与数量关系的思维形式． 数学概念的形成是一个归纳、概括、抽象的过程． 因此，概念学习及教学应该是一个探究的过程．

正如《普通高中数学课程标准（实验）》指出：有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探究与合作交流才是学生学习数学的重要方式． 数学教学必须改善教学方式，为学生营造多样化、开放式的学习环境，使学生逐渐形成主动参与探究的状态． 因此，数学概念的教学不在于教师把数学概念讲得如何透彻，更不是把概念硬塞给学生，而是要根据学生已掌握的知识去启发、指导和鼓励学生主动去探索问题，在探究活动中学习概念．

[⇩]创设问题情境，激发探究

爱因斯坦说过, 源于兴趣的动力是无穷的，问题是激发学生兴趣的心理动力；思维经常从问题开始，问题是激发学生求知欲，产生学习兴趣的内在动力． 不管在生活中还是在学习中，问题都能引起学生的兴趣，激发学生的探究热情．

例如，“等比数列”概念教学中，教师创设如下有趣的情境：阿基里斯（古希腊神话中的善跑英雄）和乌龟赛跑，乌龟在前方1里处，阿基里斯的速度是乌龟的10倍． 当他追到1里处时，乌龟前进了0.1里；当他追到0.1里处，乌龟前进了0.01里；当他追到0.01里处，乌龟又前进了0.001里……接着给出三个问题：

问题1分别写出相同的各段时间里阿基里斯和乌龟各自所行的路程.

问题2阿基里斯能否追上乌龟？

问题3观察这两个数列，它们有什么共同特点？

由于问题情境趣味生动，学生兴趣十分浓厚，很快就进入了主动探究的学习状态，得出了等比数列的概念．

又如，“复数”概念可以从“如何表示方程x2+1=0的解”引入． 如果数轴上数a的对应点记为A，那么a乘以－1的几何意义是什么？如果将点A绕原点旋转90°能否也通过乘以某一个数来实现？由问题激起学生的内在需求，然后引入复数概念．

[⇩]经历构建过程，体验探究

现代数学教育观认为，数学概念既是数学思维的基础，又是数学思维的结果，数学概念形成或产生之前，往往存在着生动活泼的思维过程．因此在数学课堂教学过程中，教师要重视揭示概念产生的背景，展示概念的“再创造”过程，让学生亲自去探究、体验、经历这个过程，使学生领悟概念形成过程中所蕴涵的思想方法，体验探究的乐趣．

例如，在“二面角的平面角”的定义教学中，让学生先观察二面角α－l－β与二面角α－l－γ（如图1），学生不难发现它们的大小不同，自然想到二面角的度量问题. 再通过回顾异面直线所成的角、斜线和平面所成角的定义，形成用平面角去度量空间角的观念．

经过这种类比联想，产生用平面角∠AOB度量二面角α－l－β的大小的意向后，接着引导学生思考：

当点O放在棱l上，边OA，OB分别放在面α和β内时，对点O，边OA，OB的位置放置有什么要求，可以任意放吗？

学生通过探究发现：只有当OAl，OBl时，∠AOB才是最小的，并且∠AOB的大小与点O在棱l上的位置无关． 经此背景揭示了二面角的平面角形成过程，再由学生抽象、概括出二面角的平面角的定义就水到渠成了． 学生由于经历了定义的构建过程，对二面角的平面角定义理解就透彻了．

[β][α][l][γ]

图1

[⇩]自主动手操作，促进探究

动手操作是学生直接参与教学活动，获取感性认识的主要途径． 它是思维的起点，认知的来源，也是认识事物的开端． 新课程理念倡导动手操作的学习方式，以此来培养学生勇于探索和自主学习的能力． 因此，教师在课堂教学中，应为学生创设动手操作的条件与机会，使学生在动手操作中获取对抽象概念的感性认识，进而通过加工、整理上升为理性认识，促进学生的主动探究．

例如，“椭圆的定义”教学中，课前要求全班每两个学生为一组，准备两枚图钉、一条细线、一张白纸、一支铅笔． 课堂上请各组同学按以下程序操作并思考和记录．

（1）取长度为2a的细线，在细线两端系上图钉并钉在铺有白纸的桌面上两点F1，F2处，这两点的选取满足F1F2

（2）用铅笔尖拉紧细线，并转动一周，画出一个椭圆；

（3）改变细线长度，使2a=F1F2，重新操作（2），得到什么结论？

（4）改变细线长度，使2a

根据（1）～（4）的操作，讨论椭圆的定义． 像这样，学生经历了实验操作、合作讨论后，对椭圆的定义的实质就会掌握得比较扎实，不会出现忽略椭圆定义中的定长应大于两定点之间的距离的错误．

[⇩]科学合理练习，深化探究

许多数学概念本身具有二重性, 既表现为一种过程操作, 又表现为对象结构. 作为一种操作实践的练习是达到理解数学概念的必要步骤. 更重要的是，一定量的练习为学生提供了反思和感悟的可能， 而这种反思和感悟是学生深入理解概念所不可或缺的. 但练习的功效又不能一味夸大，我们必须反对那种盲目的、机械的、企图毕其功于一役式的练习，而要根据认知规律科学合理地进行练习，并在练习中深化探究．

1. 旁敲侧击式

为了让学生深刻理解“必要条件”的概念，可以让学生做如下一道题：若函数f（x）＝+a是奇函数，求a的值. 学生通常会根据奇函数的充要条件f（－x）=－f（x）得到a=－. 教师可以引导学生思考：f（x）定义域中有0吗？由f（x）为奇函数可以得到什么结论？学生发现利用f（x）为奇函数的必要条件f（0）=0能很快得到a=－，教师提醒此时仍需验证f（x）为奇函数. 不直接正面叙述“必要条件”，而是在解题中，从一个侧面揭示概念的重要性，让学生在对两种解法的比较中加深对“必要条件”概念的印象.

2. 反面突破式

对等比数列定义“从第2项起每一项与它的前一项的比等于同一常数”中的“同一常数”学生的理解往往浮于表面，只知道这个同一常数即等比数列的公比， 其值可正可负. 其实当公比为正数时数列各项必然同号， 当公比为负数时数列各项的符号必然是正负相间. 正面的讲解学生印象不深刻，不妨让学生做如下一道题：已知数列1，a2，a3，a4，4成等比数列，求a3的值． 通常会有学生不加考虑地得出答案为±2，教师问两个答案都可以吗？学生仔细思考后发现当a3=－2时，原数列构不成等比数列，答案只能是2. 针对学生的薄弱环节有目的地设计练习，通过对错误的纠正，让学生从反面来突破概念.

3. 逐层推进式

在数学概念学习的不同阶段提出不同要求，练习题的选择要目标明确体现一定的层次感. 例如教学单调函数的概念.

第1步：先让学生熟悉定义，因为单调性判定有明确的操作程序，为了完成概念由陈述性知识向程序性知识的转化，教师应该明确函数单调性判定的步骤,在练习中选择判断函数单调性的题目.

第2步：因为任何一个定义的逆命题都是真命题，选择需要应用单调函数性质解答的题目，逆向使用概念.

第3步：进一步灵活使用单调函数的性质解题，选择有一定难度的综合题.

第4步：选择需要构造单调函数求解的问题，培养创造性思维.

这样，通过由易到难，逐层推进的练习加深对数学概念的理解.

篇9

在高中数学一轮复习后期中，学生经过几次月考，加之复习内容越来越多，题型综合性越来越强，学生可能会产生忧虑和烦躁的情绪，这时如何稳定学生的情绪，帮助学生稳步提高这是我们急待解决的问题，这时复习仍然是以课本为主，在学习中应加强知识间的横向联系，在充分掌握每一章节基本理论的基础上，结合自己以往解题的经验，适当将规律性的知识加以提炼，形成自己的解题思路，是使学生稳步提高的关键。我仅就后期复习谈几点刍见。

1掌握好数学思想和方法，培养学生的创新意识

高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内容；数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法。只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法，才能解决高中数学中的一些基本问题，而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅。教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象。因此，教师的概括、分析是十分重要的。教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力，这样才能把数学思想、方法的教学落在实处。

2培养学生的解题反思，提高学生的思维能力

新的数学教育理念认为：数学是过程，是活动，学数学就是做数学，就是去解决一个问题，获得一种体验，数学知识的学习和能力的培养很多都是通过解题过程来体现的，解题过程的反思，实际是解题学习的信息反馈调控阶段，通过反思，有利于学生深层次的建构；通过反思，可以深化对问题的理解，优化思维过程，揭示问题本质，探索一般规律；通过反思，可以沟通知识间的相互联系，从而促进知识的进化和迁移，产生新的发现，通过培养学生的解题反思，对提高学生的思维能力无疑有很大的帮助。对于一些数学思想方法蕴含丰富的题目，应从多方面启发，引导学生反思题目的变形引申，克服学生孤立思考问题的习惯，使学生的思维向广处联想，向深处发展，达到由此及彼，触类旁通，从而培养学生思维的深刻性。引导学生对题目进行“一题多变”，让学生在思维过程中不受固定的范围和方向的限制，充分发挥想象力，突破现有的知识圈，从一点向四面八方展开，由已知探索未知，形成一个坚固的知识网络，这样经过长期的反思，一方面能增强学生的创新意识和数学思维能力，另一方面有利于学生思维深刻性的培养。

3以开放型习题为载体，培养学生发散思维

所谓策略开放型习题，是指这类习题结论虽然是惟一的，但解决问题时有多种思维方法与途径，反映到实际教学中就是人们常见的“一题多解”现象。高中学生由于年龄上的局限，虽然思维能力有了很大发展，但由于集中思维往往占据了主要地位，发散思维意识相对薄弱。“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养分析问题和解决问题能力。

4突出重点，加大对主干知识的复习力度

高考突出的考查点是高中数学的主干知识，因此考生在复习中要加大对这些知识点的复习力度．从全国各地历年的高考试题中可以发现，高考试题几乎都是以函数、三角函数、数列、不等式、圆锥曲线、空间线面关系及其计算、概率统计这几个主干知识点为中心展开的，高考命题体现“对重点知识的考查要保持较高的比例，并达到必要的深度”这一命题思想是永远也不会改变的．同时也应该看到一些主干知识的变化，如立体几何是高中数学重要的知识板块，是高考中考查考生空间想象能力和逻辑思维能力的良好素材。立体几何是传统内容中变化最大的，应关注文科对空间向量的应用不作要求，而明确要求理科学生用空间向量解决问题。复习时应严格按照“课标”和“考纲”的要求，进行有针对性的训练，应注意培养学生对空间几何体的直观认知能力和逻辑推理能力。再如解析几何的考查内容和要求已发生了变化，如降低了对双曲线的要求等，复习时应重视对其本质的认识，淡化对几何图形性质的技巧性处理，重视基础知识的掌握，适当加强与向量、函数等知识的交叉融合。要把握好解析几何的基本思想，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，解决几何问题，这种“数形结合的思想”应贯穿复习教学的始终。注意圆锥曲线与其他内容的结合，如与导数的结合、与向量的结合等，其中直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系及其相关的综合问题等，这些主干知识的变化也直接对高考产生很大影响。

5注意运算能力的提高和答题的规范化的练习

高考对考生的能力考查是全方位的，但作为考生来说考试成功与否的很大因素是运算能力及答题是否规范，若答题不规范的不良习惯反映到了答卷之中，因此试卷中因逻辑缺陷、概念错误或缺少关键步骤等失分也就在所难免了。良好的习惯是日积月累形成的一种自然行为，因此考生在复习备考时千万要注意对每道题目都要规范解答，始终把良好的复习习惯放在复习的每一个环节中。

6复习过程中要适当关注新课标新增加的内容

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一、创设数学概念形成的问题情景的途径

数学概念有些是由生产、生活实际问题中抽象出来的，有些是由数学自身的发展而产生的，许多数学概念源于生活实际，但又依赖已有的数学概念而产生。根据数学概念产生的方式及数学思维的一般方法，结合学生的认知特点，可以用下列几种方法来创设数学概念形成的问题情景。

（一）回顾已有相似概念，创设类比发现的问题情景

中学数学中有许多概念具有相似的属性，对于这些概念的教学，教师可先引导学生研究已学过的概念属性，然后创设类比发现的问题情景，引导学生去发现，尝试给新概念下定义，这样新的概念容易在原有的认知结构中得以同化与构建。

例1异面直线的距离的教学

（1）展示概念背景：向学生指出：刻划两条异面直线的相对位置的一个几何量——异面直线所成的角，这只能反映两异面直线的倾斜程度，若要刻划其远近程度，需要用另一个量——异面直线之间的距离。

（2）创设类比发现的问题情景：先引导学生回顾一下过去学过的有关距离的概念（点与点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离），并概括出它们的共同点：各种距离概念都归结为点与点间的距离；每种距离都是确定的而且是最小的。

（3）启迪发现阶段：指出定义两异面直线的距离也必须遵循上述原则，然后引导学生讨论：异面直线a、b上哪两点之间的距离最小？为什么？

进一步诱导：如右图，过直线a上一点B作

AB直线b，垂足为点A，则线段AB的长为异面直线a,b间的距离,对吗?因为过A作AC直线a，垂足为C，在RTΔABC中有AB>AC,即AB不具有最小性。再过C作CD直线b，如此下去…，线段只垂直于a、b中的一条时,总是某直角三角形的斜边,不可能是a、b上任两点间距离的最小者，那么，异面直线a、b上任两点间距离的最小者到底应该是哪条线段的长呢？学生会发现：可能是与异面直线a、b都垂直相交的线段。

（4）表述论证阶段：最后引导学生发现：异面直线a、b的公垂线段MN的长度具有最小性,又公垂线是唯一的，所以，可以把线段MN定义为异面直线a,b之间的距离。

以上通过引导学生研究已有“距离”概念的本质特点，即产生新的概念的“生长点”，以类比方法获得异面直线距离的概念，学生觉得这一概念是已有距离概念的一种自然发展，不感到别扭。这样的概念还有很多，如复数的模与实数的绝对值类比、二次方程与一次方程的类比、空间的二面角与平面的角类比等等。

这类数学概念形成的问题情景创设一定要抓住新旧概念的相似点，为新的数学概念的形成提供必要的“认知基础”，通过与熟悉的概念类比（类比的形式多样，如平面与空间的类比、高维与低维的类比、有限与无限的类比，还有方法类比、结构类比、形式类比等等），可使学生更好地认识、理解、掌握新的数学概念。当然要注意类比得出的结论不一定正确，应引导学生修正错误的类比设想，直到得出正确结果。

（二）由已有相关概念的比较，创设归纳发现的问题情景

有些数学概念是已有概念的扩充，若能揭示概念的扩充规律，便可以水到渠成地引入新概念。

例2复数概念的教学

先回顾已经历过的几次数集扩充的事实：

正整数自然数非负有理数有理数实数，然后教师提出以下问题:

（1）上述数集扩充的原因及其规律如何？

实际问题的需要使得在已有的数集内有些运算无法进行，数集的扩充过程体现了如下规律：

①每次扩充都增加规定了新元素；

②在原数集内成立的运算规律，在数集扩充后的更大范围内仍然成立；

③扩充后的新数集里能解决原数集不能解决的问题。

有了上述准备后，教师提出问题：负数不能开平方的事实说明实数集不够完善，因而提出将实数集扩充为一个更为完整的数集的必要性。那么，怎样解决这个问题呢？

（2）借鉴上述规律，为了扩充实数集，引入新元素i，并作出两条规定。（略）

这样学生对i的引入不会感到疑惑，对复数集概念的建立也不会觉得突然，使学生的思维很自然地步入知识发生和形成的轨道中，为概念的理解和进一步研究奠定基础。

这类数学概念形成的问题情景创设的关键是揭示出相关概念的扩充发展的背景及其规律，从而引发新的数学概念的产生。

（三）联想相关数学概念，创设引发猜想的问题情景

许多数学概念间存在着一定的联系，教师若能将新旧概念间的联系点设计成问题情景，引导学生建立起新旧概念间的联系，便可以使学生牢固地掌握新的概念。

例3异面直线所成角的概念教学

（1）展示概念背景：教师与学生一起以熟悉的正方体为例，请学生观察图中有几对异面直线？接着提问：从位置关系看，同为异面直线，但它们的相对位置，是否就没有区别？教师紧接着说：既然有区别，说明仅用“异面”来描述异面直线间的相对位置显然是不够的。在生产实际与数学问题中，有时还需要进一步精确化，这就提出了一个新任务：怎样刻划异面直线间的这种相对位置，或者说，引进一些什么数量来刻划这种相对位置？

(2)情境设计阶段：我们知道平面几何中用“距离”来刻划两平行直线间的相对位置，用“角”来刻划两相交直线间的相对位置，那么用什么来刻划两异面直线的相对位置呢？我们还知道两异面直线不相交，但它们又确实存在倾斜程度不同，这就需要我们找到一个角，用它的大小来度量异面直线的相对倾斜程度。为了解决这个问题，我们研究一道题：一张纸上画有两条能相交的直线a、b（但交点在纸外）．现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出a、b所成的角的大小？

(3)猜想发现阶段：解决上述问题的方法是过一点分别作a,b的平行线，该方法能否迁移到两异面直线的倾斜程度呢？经学生研讨后能粗略地得出异面直线的倾斜程度可转化为平面内两条相交直线的角（即过一点分别作a、b的平行线，这两条平行线所成的角）

(4)表述论证阶段：教师提问，这角（或平行线）一定可以作出来吗？角的大小与作法有什么关系？（以上即是存在性和确定性问题）通过解决以上两个问题得到：两异面直线所成角的范围规定在（0，内，那么它的大小，由异面直线本身决定，而与点O（一线的平行线与另一线的平行线的交点）的选取无关，点O可任选．一般总是将点O选在特殊位置．至此，两异面直线所成角的概念完全建立了，在这个过程中渗透了把空间问题转化为平面问题这一化归的数学思想方法。

这类数学概念形成的问题情景创设一定要抓住新、旧数学概念间的本质属性，为新概念的产生创设适当的固着点，使其孕育新的数学概念的形成。（四）提供感性材料,创设抽象与概括的问题情景

有些数学概念源于现实生活，是从生产、生活实际问题中抽象出来的，对于这些概念的教学要通过一些感性材料，创设抽象与概括的情景，引导学生提炼数学概念的本质属性。

例4数轴概念的教学

教师先出示下列问题：小张家向东走20米是书店，向西走30米是少年宫。若规定向东走为正，向西走为负，那么，小张从家出发，走到书店应记作什么？走到少年宫记作什么？温度计显示零上20C，零下3C，你如何用有理数表示。

教师接着要求学生将上述两个问题分别用简单形象的图示方法来描述它们，并进一步引导学生提炼出它们的共同属性：

（1）能用图线表示事物的数量特征（可用同一直线上的线段来刻划）（2）度量的起点（0C和小张家）（3）度量的单位（温度计每格表示1C）（4）有表示相反意义的方向（向东为正，向西为负；零上为正，零下为负）

这样就启发学生用直线上的点表示数，对于“表示相反意义的方向”用箭头“”表示正方向，从而引进“数轴”的概念。这样做符合学生的认识规律，给学生留下深刻持久的印象，同时也有助于激发学生的学习兴趣，促使他们积极参与教学活动，有利于学生思维能力的培养和素质的提高。

这类数学概念形成的问题情景创设一定要遵循认识规律，从感性到理性，从具体到抽象，通过学生熟悉的实际例子，恰当地设计一些问题，让学生经过比较、分类、抽象等思维活动，从中找出一类事物的本质属性，最后通过概括得出新的数学概念。

（五）通过学生实验，创设观察、发现的问题情景

有些数学概念可以通过引导学生从自己的亲自实验或通过现代教育技术手段演示及自己操作（如几何画板提供了很好的工具）去领悟数学概念的形成，让学生在动手操作、探索反思中掌握数学概念。

例5椭圆概念的教学

可分下列几个步骤进行：（1）实验获得感性认识（要求学生用事先准备的两个小图钉和一长度为定长的细线，将细线的两端固定，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，画得图形为椭圆）（2）提出问题，思考讨论。椭圆上的点有何特征？当细线的长等于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？当细线的长小于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？你能给椭圆下一个定义吗？（3）揭示本质，给出定义。象这样，学生经历了实验、讨论后，对椭圆的定义的实质会掌握得很好，不会出现忽略椭圆定义中的定长应大于两定点之间的距离的错误。

这类数学概念的形成一定要学生动手操作实验，仔细观察，并能根据需要适当变换角度来抓住问题的特征以解决问题。培养学生敏锐的观察力是解决这类问题的关键。除了真实的实验外，还可以充分利用现代教育技术设计一些仿真实验，实验的设计不能只是作为教师来演示的一种工具，而是要能由学生可以根据自己的思路进行动手操作的学具，让学生通过实际操作学会观察、学会发现！

以上列举的几种方法不是独立的，而是相互联系的，有些数学概念的产生与形成过程需要综合运用多种方法才能创设出利于学生发现的问题情景。

二、数学概念形成阶段教学应注意的问题

在创设问题情景时，还应创设师生共同研究问题的良好氛围。教师要积极鼓励学生独立提出问题、独立分析、解决问题，还要鼓励学生之间互相研讨问题，大胆向教师提问题或提出创见性的观点，努力营造一种师生之间平等共同研讨、分析解决问题的民主气氛，形成师生间和谐良好的人际关系，使课堂教学充满活力。在教学中要注意以下问题：

（一）注意问题的呈示方式

有了合适的问题情景，还必须注意问题的呈示方式。我们认为：问题的呈示要以学生主体的充分发挥为前提，重视知识的发现和探索过程，重视学生的内心体验。通过问题的呈示能使学生充分地展开思维活动（包括动手、动脑），教师应留给学生一定的思考时间和空间，不要急于将答案告诉学生，应把发现问题的机会，大智若愚地让给学生，让学生的思维得到充分的暴露，教师根据学生出现的一些问题，有针对性地组织讨论、辨析，并在关键处予以点拨，真正使学生体验到新的数学概念的形成过程。

（二）教学形式要多样化

课堂教学从本质上说是一种“沟通”与“合作”的活动，是教师主导与学生主体相互作用以实现学生有意义学习的过程，要使这个过程顺利进行，必须充分发挥师生双方的积极性和主动性。为了充分调动学生的积极性，教学形式应尽可能多样化。教学不能只是教师的讲授，还应包括学生的独立自主探究，集体研究，小组讨论或先学生独立研究再相互交流，或带着问题自学等多种方式。这样有利于激发学生的学习积极性。至于如何确定教学形式，这要考虑所研究问题的难易程度及学生的知识和思维水平。一般来说，要尽可能让学生参与数学活动，只要学生有能力通过活动解决的问题，就应该让学生独立完成。对有一定难度的问题，可先让学生独立研究，再组织小组交流（教师参与小组研究，并在关键处作适当点拨），最后师生一起探索得出结论。