高中数学基本计数原理范文

导语：如何才能写好一篇高中数学基本计数原理，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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关键词：高中数学　选修内容　合理性　价值

从2003年4月《高中数学课程标准(实验稿)》正式出版发行以来，对于高中数学课程的价值的研究，大多是基于必修加选修这个总体框架的，这种研究对于课程编写者和大纲制定者来说具有一定的参考价值，但是作为一线教学的教师，经常会困惑于教学的内容，例如，为什么要教学生框图和算法，这部分选修内容有什么价值。因此，有必要来研究普通高中数学课程标准中关于选修内容的合理性及价值。

1、普通高中数学选修课的合理性分析

1.1从教学对象的角度分析普通高中数学选修课的合理性

我们经常说，“术业有专攻”。文科生和理科生在将来的学习和生活中所用的数学知识是不同的，因此，数学教育在文理科教学中应有不同。高中数学分文科数学和理科数学，分别为文科生和理科生所修。文理之间的区别主要体现在数学选修内容和要求的不同上。在系列1、系列2的课程中，有一些内容基本相同，但要求不同，如导数及其应用、圆锥曲线与方程、推理与证明；还有一些内容是不同的，如系列1中安排了框图等内容，系列2安排了空间中的向量与立体几何、计数原理、离散型随机变量及其分布等内容。《普通高中数学课程标准》(实验)

(以下简称《标准》)明确说明，选修1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的；选修2则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。

1.2从教材广度分析普通高中数学选修课的合理性

可以大致地把高中数学选修课程的内容分为两类：一类内容是必修课程的后续。例如：(必修)平面解析几何与(选修)圆锥曲线与方程等，后续内容是必修课内容的补充或加深，可以使学生深入到了某一知识领域，进一步加深学生对该知识领域数学思想的体会。另一类内容是与必修课程无直接联系的(这里所说的无直接联系是指，这部分内容的设置可以与必修课同时开设，学生有没有必修课程的学习经验和知识储备，都可以学习其内容)，例如，选修1、2模块中的一些内容和选修3、4的专题内容。其中选修1、2模块中的内容是为了满足学生的不同数学需求，它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程。专题内容的学习有利于学生的终身发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。依据《标准》来看，选修课程的安排，满足了学生的不同数学需求，适应个性选择。

1.3从教材深度分析普通高中数学选修课的合理性

教材的深度，即《标准》中对教材内容的要求。高中数学选修课程设计在深度上的不同体现在：选修1、2中有一些内容是相同的但要求学生完成或达到的程度不同，如导数及其应用、圆锥曲线与方程、推理与证明；选修1、2中有一些内容是不相同的，如系列1中安排了框图等内容，系列2安排了空间中的向量与立体几何、计数原理、离散型随机变量及其分布等内容。这样在内容和要求上的不同设计，不仅能使学生在高中三年有限的学习时间里，对自己感兴趣的专业集中精力，提高学生的学习兴趣、热情等，而且势必会使学生对所学习的知识进一步加深理解以及在某一知识领域有一定程度深入地探究。

2、普通高中数学选修课的价值分析

2.1基础教育的价值

必修课程与选修课程的相同价值之一就是基础教育的价值，即，使学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。

2.2实际应用的价值

高中数学课程，不是一门技术课，它并不能直接转化为现实的生产力，因此只能说它体现了数学在实际应用中的价值。《标准》中指出“高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。”具体体现在：首先《标准》中提出“通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用”、“能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题”等要求。这些无不鲜明地体现了《标准》对数学在实际问题中应用的强调与重视。其次，设立了体现数学某些重要应用的专题课程，如，信息安全与密码、优选法与试验设计初步、统筹法与图论初步等。在选修课中重点介绍数学应用的内容，这对于培养学生的创新意识、实践能力可以起到很好的作用。

2.3数学文化价值

高中数学选修课程中处处渗透着数学文化。《标准》中指明：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中”，这说明数学的文化价值是隐含在各个模块或专题中了。除此之外，《标准》中的选修内容在课程设计上还直接地引入了数学文化，例如，选修1、2的导数及其应用、推理与证明等内容与要求中明确提出数学文化和选修3-1“数学史选讲”。数学文化的介绍，可以使学生了解数学的发展过程及发展方向，提高学生的数学素养及能力，数学故事又是进行爱国主义教育很好的题材。

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关键词： 高中数学 概念教学 创设情境 本质属性 练习

数学概念是数学基础知识和基本技能的核心．教师不能只强调解题方法与技巧，而忽视基本概念．相反的还要加强概念教学，狠抓“双基”．我结合自己的教学实践，对概念教学的实施提出如下几点粗浅的认识．

一、创设教学情境，引入概念

教师应遵循高中数学新课标的要求，合理创设情境，使学生积极参与教学，感受到学习的乐趣，这样也能使学生加深对概念的记忆和理解．我在教学实践中，总结了如下几种引入方式.

1.以实际问题引入概念.

从实际问题出发引入概念．例如利用学生熟悉的具体事例，通过学生的观察、分析、归纳形成新概念.比如根据无雨和有雨的概率引入“离散型随机变量的期望”．

2.利用学生已有的知识经验引入概念.

利用已学知识，对新概念大胆猜想．如在“异面直线距离”的概念教学时，不妨先让学生回顾学过的有关距离的概念，启发学生思考：在两条异面直线上是否也存在这样的两点，它们间的距离最短？并通过实物模型演示确认这样的线段存在．在此基础上，自然地得到“异面直线距离”的概念．

3.通过学生实验引入概念.

学生通过动手实验，可在脑海中留下深刻印象．如讲椭圆概念时，教师指导学生固定钉子在纸板的不同位置，然后让绳子长度大于两钉子之间的距离，同时用铅笔挑动绳子画线，最终可以得到椭圆．这样学生不知不觉地从具体到抽象，由感性认识逐步上升为了理性认识．

二、抓住本质属性，讲清概念

数学概念是为了解决数学问题，对概念理解不清，在解题时就会出现错误，教师要根据学生的知识结构和能力特点，引导学生剖析概念，抓住概念的实质．可以从以下几个方面努力.

1.强调概念中的关键词语，结合正反例子，做好概念理解.

如对函数概念中的“任何”与“唯一”要重点强调．然后举例y=x，y=x前者可以称y是x的函数，后者不能称y是x的函数．因为对于任何一个x，不是对应唯一y．这样通过正反实例，强调概念中的关键词语，更能加深概念的理解．

2.逆向分析，加深对概念的理解.

教学中，有意识地培养学生的逆向思维，能使学生加深对概念的理解与运用．例如学习正棱锥的概念后，可以提出如下问题并思考：①侧棱相等的棱锥是否一定是正棱锥？②底面是正多边形的棱锥是否一定是正棱锥？这样学生对正棱锥的概念就会更清楚．

3.对比相似概念，明确其联系和区别.

有比较才有鉴别．用对比的方法找出容易混淆的概念的异同点，有助于学生区分概念，获取准确、明晰的认识．比如对分类计数原理与分步计数原理、排列与组合的概念，就可以通过概念对比，并结合实例的方式加深概念理解．

三、精心设计练习，巩固、深化概念

数学教育将由传授知识向培养能力转变，通过培养学生分析解决问题的能力，全面提高学生素质．

学生通过对概念的逆用和变用使问题迎刃而解．例如：“已知函数f（x）是定义在［-1，1］上的增函数，且f（x-1）＜f（x-1），求x的取值范围．”遇到抽象函数，许多学生感觉无从下手．这其实是“函数单调性”的概念逆向应用，学生掌握了函数单调性，解决上面的问题就豁然开朗了．所以加强概念间的灵活变通可顺利将问题转化．

综上可知，学好数学概念是运用数学方法，提高数学能力的前提．教师在数学概念教学中要转变观念，使课堂教学由知识型转化为能力型，切实搞好数学概念教学，全面提高学生的数学素养．

数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，是数学知识的最基本形式.数学概念间具有逻辑联系性.数学命题描述的是证实了的数学概念之间固有的关系.数学方法是人们在数学研究、数学学习和问题解决等数学活动中的步骤、程序和格式.数学思想是对数学概念和数学命题的本质认识，是该类数学方法的概括.

因此，数学概念是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高解题能力的前提，是数学学科的灵魂和精髓.数学概念教学是“双基”教学的核心，是数学教学的重要组成部分，必须引起足够重视.

参考文献：

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例1.（2013年高考广东理8）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x

若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（ ）

A. （y，z，w）∈S，（x，y，w）？埸S

B. （y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，

C. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S，

D. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S，

【解析】答案B.

解法一（直接法）：因为（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以x

解法二（特殊值法）：

由于集合S中的元素要满足的条件是：x，y，z∈X且三条件x

点评：本题设计比较有新意，巧妙地借用集合的语言，结合不等式描述三个数的大小关系，主要考查对集合的含义，不等式等相关知识点，考查分类讨论的数学思想方法.对集合中元素的理解成为解题的关键，本题中集合元素是（x，y，z），对这三个数要求“x，y，z∈X且三个条件x

例2.（2013年高考广东理13）给定区域D：x+4y≥4，x+y≤4，x≥0，令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定______条不同的直线.

【解析】答案6.

画出可行域如图所示，其中z=x+y取得最小值时的整点为（0，1），取得最大值时（x，y）落在直线x+y=4上，故取最大值时整点为（0，4）、（1，3）、（2，2）、（3，1）及（4，0）共5个整点.故可确定5+1=6条不同的直线.

点评：这是一个综合性较高的填空题，将集合的知识融入到线性规划中，再结合平面几何的内容考察计数原理等知识点，考察数形结合的思想方法.对集合T中元素的理解也是解题的关键步骤.本题中是集合T中的元素是点（x0，y0），其本质线性目标函数z=x+y在区域D内的最优解.要求考生熟练掌握线性规划的求解方法的相关概念.最后以T中的点共确定几条不同的直线，考察平面几何和计数原理相关知识，由于点数不多，可以直接画图找到答案.

变式1. （2013年高考湖南理16节选）设函数f（x）=ax+bx-cx，其中c>a>0，c>b>0记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为____.

【解析】答案：{x|0

分析题目，对集合M中元素的理解也是解题的关键部分之一，我们会想到“a，b，c能够成三角形”等价于“a+b>c且a+c>b且b+c>a”；那么条件“a，b，c不能够成三角形”等价于“a+b≤c或a+c≤b或b+c≤a”，因此由集合M中元素的条件可知a+b≤c即2a≤c即 ≥2.函数f（x）=2ax-cx，令f（x）=0得x=log 2= ≤1，所以f（x）的零点的取值集合为{x|0

点评：本题主要考查集合，函数零点及不等式等知识点，利用集合M巧妙构造a，b，c三者之间的大小关系，抓住元素特点理解集合M的含义，从而得到结果2a≤c是解决这一个问题的关键突破口.

变式2.（2013年高考重庆理22节选）对正整数n，记In={1，2，3，…，n}，Pn={ |m∈In，k∈In}.（1）求集合P7中元素的个数.

【解析】答案：46.

由于集合中元素 的条件是m∈In，k∈In，根据分步计数原理可得共有7×7=49个数，但是由于集合中元素的互异性，所以还要排除重复的情况.当k=1，2，3，5，6，7时，都没有重复出现，只有当k=4时，有3个数与的k=1时的数重复，分别是 =1， =2， =3，因此P7中的元素个数为49-3=46个.

点评：本题考查集合概念的理解和计数原理的应用，理解集合Pn中的元素性质是解题的关键.解题过程中容易忽略集合中元素的互异性而出现错解49个.所以理解集合中元素的属性时不要忘了集合中元素的三个特性，即确定性、无序性、互异性.只有抓住这些特点，才能够在解题中避免出错.本题也可以用列举法解决.

总结：通过对2013年广东及全国各地高考中对集合综合性题型的研究，大家应该可以感受到，集合在高中数学中的基础性地位，它可以充分融入到其它数学分支中，例如：例1中的不等式，例2中的线性规划，变式1中的函数等，在知识的交汇点命题，形成问题的呈现，着重考查数学思想方法和能力.解决此类问题的关键是集合中的元素，用集合的语言和思想去思考问题，只要抓住了集合中的元素及其属性就抓住了集合的本质，那么对集合的含义理解和集合关系的判定问题就会迎刃而解了.

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一、直线型涂色问题

例1 用四种不同的颜色给图中的4个区域涂色每个区域涂一种颜色，问：

（1） 共有多少种不同的涂色方法？

（2） 若要求相邻区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？

分析：由于所要完成的一件事是“进行逐一涂色”，故可利用分步乘法计数原理解决。

解（1） 由于1至4号区域各有4种不同的涂法，故按照分步乘法计数原理得，不同的涂色方法共有 种。

（2）先涂区域1有四种方法，涂区域2时，由于要与区域1不同色，故只有3种方法，同理涂区域3和区域4均有3种方法。故有分步乘法计数原理得，共有不同涂色方法 种。

二、方形涂色问题

例二 用5种不同的颜色给下图中的4个区域涂色，每一个区域涂一种颜色，若要求相邻区域（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？

分析：若按图中顺序涂色，涂区域1有5种，涂区域2有4种，但是涂区域3时就比较麻烦了，区域3是否与区域1同色直接影响区域4的涂色。

解：第一类：区域1与区域3同色。

按区域顺序，有分步乘法计数原理的共有 种不同的涂法。

第二类：区域1与区域3不同色。

按区域顺序，有分步乘法计数原理的共有 种不同的涂法。

依据分类加法计数原理可知，共有不同的涂色方法 种。

点评：方形中的区域就较为复杂了，各临近的区域均互相干扰，因此，一般处理方法是根据着色要求，应对相隔区域是否同色加以分类讨论，即综合运用分类与分布来解决。

三、圆形涂色问题

例3 如图，用5种不同的颜色给图中的5个区域涂色，每一个区域涂一种颜色，若要求相邻区域（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？

分析：由于有5种不同颜色可供选择，所以可选择

3种、4种、5种不同的颜色，可见有3类方法可以独立完成这件事，

而每一类又不能一次完成，所以分步进行。

解：（1）当用3种颜色时，区域2、4涂同种颜色，有5种方法，

区域3、5涂同种颜色，有4种方法，区域1有3种方法，

由分步乘法计数原理知有 种

（2）当用4种颜色时，则区域2、4涂同种颜色，或区域3、5涂同种颜色。若区域2、4涂同种颜色，有5种方法。区域3有4方法，区域5有3种方法，区域1有2种方法，由分步乘法计数原理有 种不同方法；若区域3、5涂同种颜色，同理得也有 种不同方法；再有分类加法计数原理共有 种不同方法。

（3）当用5种颜色时，有 种不同方法。

根据分类加法计数原理共有 种不同方法

点评：当两个原理混合使用时，常见的思维模式是分类讨论，再逐类分析。

教育不仅具有生产力等经济功能和价值，而且这种价值和功能要与人的精神世界的丰富，道德品质的提高，人与自然的和谐，人文精神的培养相协调。而我们原来的一些教育方法，对学生个性心理的发展，以及创新素质的培养是格格不入的。针对这一客观事实，教师的职能应该做相应的改变，由封闭式的教学改为指导学生“开放式学习”，教师应树立以“学生的发展 为本”的教育观念。建立完全平等的新型师生关系。另外，“双基”是我国教育的特长，但“双基”是随着时代而变化的，“代数运算的熟练和逻辑推理的严谨”虽然是双基的两个基本点，应该是“新双基”的有机组成部分，高中数学教师对此必须有清醒的认识。

新课程中，增设了“数学建模，探究性问题，数学文化”这三个模块式的内容。这些内容的增设其主要目的是培养学生的数学素质。这些内容要求教师要用全新的教学模式来教学，因此，要求教师要具有创新精神，要能够推崇创新，追求创新和以创新为荣，善于发现问题和提出问题。要善于打破常规，突破传统观念，具有敏锐的洞察力和丰富的想象力。使思维具有超前性和独创性。教师自身应具备宽厚的基础知识和现代信息素质，形成多层次、多元化的知识结构；有开阔的视野，善于分析综合信息，有创新的数学模式，创新的教学方法，灵活的教学内容选择，以创新思维培养为核心的评价标准等。善于创设“创新的自由空间”，为学生提供更广阔的学习园地，指导学生改进学习方式。

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【关键词】数学教学；教学质量；思考

众所周知，数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，现代文明的任何进步都离不开数学，所以在世界各国的基础教育中，数学一直是学生的一门主要基础课。然而数学学习却让许多人闻而生畏，特别是学生更是以矛盾的心情看待数学：必须要学又害怕学，非常想学好可是又很难学好，相当多的人学得很被动、很痛苦、很没有成效，如何把学生的数学成绩搞上去一直是家长、老师、学生的一个老大难问题，其中的原因是多方面的，如何能尽快地改变这种状况，提高数学教学质量，使学生能够主动的、快乐的学数学？近年来我在高中数学教学中进行了以下一些探索：

1.学前进行两个“转变”的教育

学生进入高中后无论在心理上、生理上都面临一个重大的转折，由于初中和高中的数学教学无论在学习内容上还是在教学方法上都有很大的差异，许多同学不能适应高中的学习，只是被动的接受知识，针对学生的各种思想问题，我们首先帮助学生从“要我学”到“我要学”的转变，树立正确的学习目的与态度，更重要的是帮助学生由“学会”到“会学”的转变，为此在开学时我先进行高中数学学习与初中数学学习的联系讲学，对于高中数学学习的灵活多样性，常引导学生发现生活中的数学问题并加以讨论，通过讲学与讨论使学生明白我们的生活离不开数学，学习数学知识对自己有意义，并结合教学的具体内容进行数学学习方法的指导，通过两个转变的教育使学生有了能学好数学的精神准备，为顺利地完成高中的数学学习打下一个良好的基础。

2.教学中注意培养学生学习数学的兴趣及自学能力

2.1 培养学生学习数学的兴趣。数学是学生花费时间最长精力最多而又是大部分同学以失败而告终的一门课。如何提高学生学习数学的兴趣呢？我们在讲课时应有意识地结合课本的相关知识点，从一些与实际生活有关的趣味题或社会热点来设问。在课堂教学中引导学生通过对问题的分析和解决使学生认识到数学是有用的、是有趣的，学习数学可以使自己更聪明，加深他们对数学重要性的理解，提高学习数学的积极性和主动性。

2.2 培养学生的自学能力。学生的能力最重要的是独立获取知识的能力、独立解决问题的能力和独立创新的能力。在科技发展日新月异的21世纪，人们的学习不可能永远在学校里、在老师的指导下进行，人的一生中绝大多数的知识，一是通过自己的实践去发现、研究、总结，二是通过阅读图书、杂志等去理解、吸取、掌握别人的成果，这是主要的途径，这就对自学能力有较高的要求，会不会读书，能不能从别人获得成果的过程中除了掌握知识之外还能学会他们的方法并指导自己的学习与工作，是高中数学教学应当重视的问题。为此我布置一些生动、有趣的数学问题让学生课外找资料，课内讨论，教师答疑，选择一些教学内容中较直观的章节（如两条直线的平行与垂直、分类计数原理与分步计数原理…），指导学生自学，教师答疑辅导，实践证明这种做法不仅可以培养和提高学生的自学能力，而且可以增强学生的自信心和成功的喜悦与成就感。

3.科学评价教学质量

3.1 学生成绩考核的改革。目前，教学质量的评价方法之一是通过对学生进行考核。考数学应当考什么？一直以来都是考书上的黑体字的内容记得是否准确、能否正确地利用这些内容解题。这些题目自然可以考查学生掌握知识的程度以及用所学知识解决数学问题的能力，但我们学习数学的根本目的并不在此，试想一个高中或大学毕业生走上工作岗位后有多少机会回去解一个对数方程或去证明线面垂直呢？他们所遇到的是各个不同领域内的实际问题，而解决这些问题的关键并不在于要用的那些公式定理是否记得很熟（完全可以去查数学手册），运算是否快速准确（可以让计算机去算），这里最重要的应当是如何最快地分析和找到实际问题的本质，建立它的数学模型，根据已知条件和目标确定解决它的思路、方案以及所要用到的工具，下一步才是解决问题。为了减轻学生的机械记忆的负担，把更多的时间和精力用在分析和解决问题上，我在一些作业与测验中允许学生在答卷的过程中可以翻阅课本查找欲用的公式并记在题目旁，但是不能互相商量交流解题方法，不许对答案。这样做一方面可以使学生心理上得到放松，减轻考试带来的压力，有利于他们发挥自己的正常水平，同时也有利于真正考查出学生的能力水平。

3.2 科学评价学生的学习成绩。本来考试的目的对于教师来说应当是发现教师在教学中的问题以改进工作，而对于学生来说则是检测自己对所学知识的掌握程度及运用所学知识解决问题时的不足之处，现在的情况是考试往往是教师促学的手段，吓唬学生的法宝，学生一听要考试就害怕，就紧张。为了改变这种不良情况，我除了在考试方式上进行改革外，也从如何科学的评价学生的学习成绩上进行了以下一些探索：（1）淡化横向比较，侧重纵向比较。 每次考试以后宣布平均分，让每个学生根据与平均分的差距和自己以前的成绩相比较，是进步了还是退步了；（2）可以申请重考。

4.高中数学课程建设的设想

教学内容直接影响着学生的学习积极性，然而现行的数学教材中的许多内容对大多数学生来说难度太大而广度不够，经典的内容多而现代的内容少，纯理论的内容多而联系实际的内容少，枯燥的内容多而有趣的内容少，学生在数学学习上被培养成了解题机器，而在思维品质上收效甚微，他们所用的许多时间可以说是投入与回报不成比例，更不幸的是因此产生的对数学的误解及信心的丧失，本来花时间和精力所学的课程应当是最爱学、认识最清楚、理解最透彻的，而事实却恰恰相反，相当多的学生对于“数学是什么？” 这样的问题却说不出个一二三来，这说明我们的数学教育是失败的。为了使学生能够更加生动、主动的学习，应当对教材进行必要的改革。我认为高中的数学内容除了与专业相结合外，应面向大多数学生，以日常生活中的简单问题所需要的基本数学素养为主，以使他们能学会在任何时候都能应用数学的方法进行思考，善于用数学思想去观察分析处理各种实际问题，新课程要体现这样的理念：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学知识；不同人在数学学习上得到不同的发展”。让学生真正的认识数学、了解数学、热爱数学、学好数学、用好数学。

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关键词：几何概型；前科学概念；概率；事件集合；几何变量

高中数学教学中，“概率统计”是值得关注的必学内容。 它不仅是升学考试的必考内容，更是当代社会公民素养必不可少的内容。 从生活中的柴米油盐，到交通旅游，再到普通工业农业生产、金融卫生、高尖科技等各方面，“概率统计”的知识方法无处不在，运用“概率统计”的数学思想解决的问题比比皆是。

现阶段高中数学“概率统计”部分的教学，古典概型、几何概型两类概型的分析与运用是学生颇感有难度的内容之一。 其中，几何概型貌似简单，其实学生解决问题时很容易误判，比如下例：

例1 如图1，边长的正方形ABCD的顶点A与坐标原点O恰重合，AB，AD恰与x轴、y轴重合。 直线OP绕O点以 rad/s的角速度从与x轴重合位置逆时针开始转动，至与y轴重合后，立即以同样大小的角速度顺时针转动至与x轴重合的位置，再重新逆时针旋转…，直线OP交对角线BD于点K，正方形ABCD的对角线交点为Q，==，试求转动中K点位于MN之间的概率。

笔者发现，一道貌似简单的概率问题，课堂教学中竟让众多数学高手“翻船”，学生所得解答往往是：K点只能在BD之间来回运动，而所求概率事件中K点对应的位置范围是=，所以概率是。 然而，这道题的正确答案却是。

事实上，许多“几何概型”问题，学习状况中等的学生极易做错。 为何“几何概型”问题学生极易误判导致出错？笔者认为需要对此进行教学剖析。

从教育心理学的角度看，数学概念习得有一个“前科学概念”的阶段。 高中数学概率统计的学习也是如此。 学生对“概率”与“事件”早在童年时已有模糊认识，自发观察生活中大量现象，对事件“分类”、“统计”，自发归纳，随着年龄增长，对“同一事件”或 “同类事件”的出现频率逐渐有较为精细的体验，在此基础上产生对生活事件发生的可能性大小的自发的经验式预估、验证，产生对“统计与概率”早期的模糊认识，在知识系统中产生“概率”的前科学概念。 前科学概念对学习有一定影响，虽然在新知学习的引入过程中，有时前科学概念有好的心理定向诱导作用，但在数学概念学习中，绝大多数前科学概念其实会产生一定的学习障碍。 因为数学来自于生活与生产实践，但经哲学意义上的理性思维的抽象，更专注于本质的归纳、本质关系的推究与论证，具体事物一经抽象为科学概念，不再局限在狭隘经验范围，新概念必在内涵、外延上突破原有经验。 早期对“概率”与“事件”的认识中，学生能够领悟或作出思维反应的过程一般是自然发生的离散过程，涉及的数学变量是离散的小范围、小数值数学变量，过程往往反复发生，且数学变量能直观感知，如个数、天数、次数等。 在其后的过程，包括高中数学概率与统计的学习中，学生首先学习且也先习惯的是离散变量统计与概率问题。 如“古典概型”，涉及变量一般离散，“事件集合”基数有限，“事件”可能性有限可数，分类过程简单，可用组合学的公式和原理进行计算，并且计算结果有时可直观检验。 “古典概型”属于能与学习者已有学习经历密切联系的新知，大多数学生能很好理解“古典概型”，并能运用其解决数学问题。 但从高中数学教学现状看，学习“古典概型”时处理离散型变量的经验，虽为导入“几何概型”的学习创造数学教学的学科背景，但由于处理的数学对象不同，也会给连续型变量的学习形成不利心理定式，即使“几何概型”是最简单的连续型变量的统计与概率问题。 因此，相当多的高中学生学习“几何概型”时有着明显的思维障碍。

首先，处理的变量由离散型过渡为连续型。 “几何概型”有两显著特点：一是某一次试验中，事件可能性具有无限性，而其基本事件集基数无限；二是每一基本事件发生的可能性均等，事件之间具有等可能性。 学生学习“几何概型”的过程中，通过课堂学习，能知道“几何概型”，但理解几何概型的数学意义，并进而运用几何概型的思想方法解决问题则存在困难。 在每一个涉及“几何概型”的问题中，学生要面临一系列的问题：“基本事件”是问题中的哪个事件？与“基本事件的集合” 对应的几何变量是哪些变量？事件发生的概率与构成该“事件集合”中的事件对应的几何变量，如长度、面积或体积等几何量，两者之间有何种确定的数学对应关系？这种数量关系往往不像古典概型那样可以进行简单计数，而且绝大多数几何变量（如长度、质量、面积等）是连续型变量，有时需联系问题实际背景，综合运用所学的基本函数知识、平面与立体几何关系、不等式、数列、方程和解析几何的知识方法。由离散变为连续，固然是认识的一大飞跃，但由此带来的知识综合性与方法运用复杂性也形成学生学习中的思维障碍。

其次，长期生活和学习中，处理连续型变量问题，学生最习惯的相关关系是正比例关系。 学习古典概型时他们发现，事件发生的概率正比于频率。 在处理相当多的“几何概型”问题中，往往因抓不住事件发生过程中的带根本性的核心变量，有时简单认为，某事件发生的概率与“该事件集合”对应的任一几何变量值取值的区间长度都成正比。 例1列举的那道常见易错题中，伴随着直线OP的旋转，会引起一系列几何量的改变，比如点K的位置变化，向量，，等的位置变化，这些量的变化其实是直观的，引起这些几何量变化的根源是直线本身的转动，因此，直线的转速才是核心的量。 转速的大小决定了确定的时刻直线所处的具置、确定时刻K点的位置。 所以K点位置的变化范围及其对应的几何量其实应该转化为对应的转动阶段的时段的时长。K点位置对应的几何量选择OP与x轴的夹角就十分方便，位置的变化范围对应角度的变化范围，位置的概率问题转化为转动角度的概率问题，因为直线OP匀速转动，转动角度的概率随时间等概率分布，进而转化为涉及时间的等概率分布问题。 用一句话说，就是相等时间必然转过相等的角度，直线在相等角度里也即相等时间段里出现的概率相等。 由正方形ABCD边长为，==，不难求出∠MOQ=30°，∠MON=60°，而∠BOD=90°，所以K点位于MN之间的概率为=。

值得关注的是，近年高中数学涉及物理过程的“几何概型”问题越来越多，学生感到有一定难度，往往因为问题涉及的某些变量的取值区间长度并不与事件的概率成正比，而学生往往误用，比如下面一道题：

例2 如图2，点S处有一光源向四周发光，点E位置与点S位置关于过A点的直线AD对称，小球P从A点出发沿直线在点D和点A之间来回往复做匀速运动，P在A点时投下的影子在E点，P在B点时投下的影子在F点，P在C点时投下的影子在G点，P在D点时投下的影子H恰在D点，∠PHE=∠SEH=∠SBA=60°，∠SFH=90°，∠SGE=75°，∠SDA=30°，试求P的影子出现在FG之间的概率。

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【关键词】高中数学 排列组合 解题技巧

排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点，其思考方法独特，求解思路灵活，因而在解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误。虽然近几年高考将侧重点放在两个计数原理的考查上，但当对问题类型把握准确时，解答的准确性上将会有很大的提升，解答速度也会大大提高，本文结合教学实践探讨数学排列组合试题的解题技巧。

一、在具体的教学过程中一定要引导学生注意以下几点

1. 使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

2. 处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

3. 在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。

二、具体的操作方法

（一）相邻捆绑、不邻插空法

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。

例16名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）种。

A、720B、360C、240D、120

解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列，由乘法原理可知，共有240种不同排法，故选（C）。

【解析】从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是对元素进行整体处理的形象化表述，体现数学中的整体思想。对于以“某些元素必须相邻”为附加条件的排列组合问题，只要把必须相邻的元素“捆”成一个整体，视作一个“大”元素，再考虑相邻元素内部的排列或组合，就能保证这些元素相邻而不散乱。

（二）插板法

一般解决相同元素分配问题，而且对被分成的元素限制很弱（一般只要求不等于零），只对分成的份数有要求。

例2 把20台电脑分给18个村，要求每村至少分一台，共有多少种分配方法？

A.190 B.171 C.153 D.19

【答案】B。【解析】此题的想法即是插板思想：在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板，这样即把其分成18份，那么共有： C（19，17）=C（19，2）=171 种。

（三）特殊位置和特殊元素优先法

对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑。

例3 从6名运动员中选4人参加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案各有多少种？

A.120 B.240 C.180 D.60

【答案】B。【解析】方法一：特殊位置优先法：首先填充第一棒，第一棒共有5个元素可供选择，其次第4棒则有4个元素可以选择；然后第2棒则有4个元素可以选择，第3棒则有3个元素可以选择。则共有5×4×4×3=240种。

方法二：特殊元素优先法：首先考虑甲元素的位置

第一类，甲不参赛有A（5，4）=120种排法；

第二类，甲参赛，因只有两个位置可供选择，故有2种排法；其余5人占3个位置有A（5，3）=60种占法，故有2×60=120种方案。

所以有120+120=240种参赛方案。

（四）分类法

解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

例4 三边长均为整数，且最大边长为11的三角形有多少个？

解：设三角形的另外两个边分别为x和y，要构成三角形，则分类讨论如下：

当y为11时，x可以为：1，2，3，…，11，可有11个三角形；

当y为10时，x可以为：2，3，4，…，10，可有9个三角形；

当y为9时，x可以为：3，4，5，…，9，可有7个三角形；

当y为8时，x可以为：4，5，6，7，8，可有5个三角形；

当y为7时，x可以为：5，6，7，可有3个三角形；

当y为6时，x可以为：6，只有1个三角形；

所以所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36个。

总之，课堂教学中教师应该发挥学生的主体意识和主观能动性，让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。

【参考文献】

［1］汪家玲.排列组合题型及解题策略[J]. 数学学习与研究，2010（13） .

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【关键词】 高中数学 教学 信息技术 运用

《数学新课程标准》中提出：要“注重信息技术与数学课程的整合”，“整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质”。信息技术与数学学科的整合，即把信息技术发展的成果应用到数学课堂教学的实践之中，使信息技术成为与数学新课程内容和课程实施高度和谐的有机部分，对提高学生的信息获取、信息分析、信息加工、信息交流和创新能力，培养协作意识，促进学生以新的思维方式发现问题，分析问题。信息技术使数学课堂教学越来越精彩，越来越体现人文化。它是我国21世纪基础教育教学改革的新视点，是与传统的学科教学有着密切的联系和继承性，又具有一定相对独立性特点的教学类型。对它的研究与实施将对发展学生主体性、创造性和培养学生创新精神和实践能力具有重要的意义。

一、信息技术辅助教学和数学课堂结合起来，有助于培养学生的数学理解思维

《普通高中数学课程标准》指出：“教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能”；“要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿以及复杂技巧”。数学理解是数学学习的关键，影响着学生数学情感的发展。促进学生的数学理解，是数学教学的一个重要任务。理解是一个心理过程，数学理解就是学生对数学知识建构心理意义的过程。没有理解就不能有真正意义上的学习，理解是对知识进行应用的前提。学生对一个数学概念或原理是否理解，表现在是否能够用自己的语言来叙述一个概念或原理。而信息技术能够向学生展示丰富的大量的适合他们自己学习的模式，看到多样、规则和相互联系”提供了可能，使学生容易发现同一数学对象的“多元联系表示”，从而使数学对象的不同方面的特征得到显示，为学生理解数学对象的本质特征奠定基础。如：利用计算机精确作图，数形结合促进理解。“数缺形来少直观，形缺数来难入微”，数形结合能有效促进学生的数学理解。《几何画板》等软件能帮助我们方便、迅速地画出精确的几何图形，并能将局部放大，动态显示，这些功能为展示数量和形状上的联系提供了更好的平台。

二、信息技术辅助教学和数学课堂教学结合起来，有利于帮助学生进行探索和发现

数学教学过程，事实上就是学生在教师的引导下，对数学问题的解决方法进行研究，探索的过程，继而对其进行延拓，创新的过程。于是，教师如何设计数学问题，选择数学问题就成为数学教学活动的关键。而问题又产生于情境，因此，教师在教学活动中创设情景就是组织课堂教学的核心。现代多媒体信息技术如网络信息，多媒体教学软件等的应用为我们提供了强大的情景资源。例如：我在《平面向量的基本概念》及《平面向量的坐标表示》的教学中，利用Powerpoint制作动态的平面向量课件，学生通过探索，发现了平面向量的基本概念，深刻的理解了平面向量的坐标表示的意义和作用。

三、有助于减轻教师的工作量以及提高教师计算机使用技能

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【关键词】和与积；排与组；和与差；积与商；重与漏

1.和与积的区别

分类计数原理和分步计数原理是解决排列组合应用题的最基本的工具，可以说对每道应用题我们都要考虑在计数的时候进行分类或分步处理，至于一些较复杂的事件，那么两个原理还要综合起来应用.而分类和分步的区别就是是否能独立完成一件事，正确掌握这两个工具，对解决排列组合应用题至关重要.

2.排与组的区别

排列和组合是计数问题中的两类主要问题，它们形同实异，一字之差，能否正确的加以区分是解决问题的第一道坎. 排列与组合的实质是顺序问题. 排列是讲顺序的，组合则不讲顺序. 在理论上二者容易区别，但一碰到具体问题就不大好区分了，这就需要根据问题的条件和要求，结合生活经验做出判断.

例1 平面内有10个点，以其中每两个点为端点的线段共有多少条？以其中每两个点为端点的有向线段共有多少条？

分析 前者中线段AB与线段BA是同一线段，与端点的顺序无关，因此前者为组合问题；后者中有向线段AB与BA是不同的，因此与顺序有关，是排列问题.

例2 由3个3和4个4可以组成多少个不同的七位数？

分析 由于许多组数、排队问题都是有顺序的，所以学生误以为是排列问题. 实际上，交换相同的3 或4仍是原数，因此这是一个组合问题.

3.和与差的区别

即直接法和间接法.“和”指直接法，即直接求出符合题意的所有不同方法数，可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地，特殊者优先考虑，其余则“一视同仁”；“差”指间接法，采用“正难则反”的策略，从反面剔除不符合题意的部分.

例3 过三棱柱任意两个顶点的直线中，异面直线共有多少对？

分析1 直接法，对各种情况的异面直线分类讨论，侧棱的条数为3条，且和每一条侧棱异面的直线有4条；侧面的对角线条数为6条，且和每一条侧面对角线异面的直线有6条，且和每一条边异面的直线有5条.已知直线l1与l2构成异面直线，则l2与l1也构成异面直线，因此异面直线共有12（3×4+6×5+6×5）=36（对）.

分析2 间接法，一个三棱锥可以确定3对异面直线，一个三棱柱可以组成C46-3=12个三棱锥，所以共有36对异面直线.

显然，上例中间接法比直接法简洁得多，那么是否不管什么问题用“减”法都比用“加”法简单吗？

4.积与商的区别

积、商问题指的是排列组合中一种重要的又不易区分的问题——分组与分配问题，部分定序问题.

（1）分组问题

例4 6本不同的书，分成三组，每组至少一本，有多少种不同的分法？

可见，在教学中一定要使学生注意“积”、“商”问题，即均匀或部分均匀分组时要用“商”，分配问题时要注意用“商”.

5.重与漏的区别

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关键词：主体介入式； 数学课堂教学

中图分类号：G62.02 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2016）01-113-001

课堂教学不仅仅是让学生获取前人已发现和总结的知识与技能，掌握现有的知识和技能，更重要的是让学生通过参与现有知识和技能的发现过程的体验，领悟原理，从而不断更新自己已有的知识与技能。“主体介入式”课堂教学模式就是通过引导学生的主体意识，发挥学生的主体作用，让学生在参与中学会学习、学会创新、学会合作。

一、用生活中的例子激发学生学习的兴趣

在课堂教学中，根据学生的心理特征和教材，精心设计教学引入，激发学生的学习兴趣，使学生真正把自己摆在主置上。

《计数原理》这一课题的引入，教师创设了如下的问题情境：

我的老家在嵊州，从南京到嵊州可以自驾，可以乘坐大巴车直达嵊州，也可以坐高铁到绍兴然后转乘大巴车到嵊州。每天有1趟南京直达嵊州的大巴；有10趟南京到绍兴的高铁，有15趟从绍兴到嵊州的大巴。问：我回家一共有多少种方法可以选择？

这是一个生活中常见的问题，只不过学生或许没有留意过和认真的思考过，并且在出这个问题之前我还展示了一张教师家乡的照片，这更是激发了学生的兴趣，引发了学生积极的思考和热烈的讨论：纷纷为我出谋划策，教师也顺利的引出本节课所要学习的内容，给出较为简单的问题一：

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

这是一个简单的问题，教师没有急于解答，而是让学生动手在课堂练习本上画一画，然后让学生回答，充分发挥了学生的主体作用。

二、用简单的应用提升学生的自信心

在得到分类计数原理的定义的基础上，给出了两个例题和两个练习：

例1.书架上有不同的数学书10本，不同的语文书11本，不同的英语书9本，现从其中任取1本，问，有多少种不同的取法？

例2.在某批电器产品中，国产电器有97件，进口电器有23件，从中任取1件质检，共有多少种不同的取法？

练习1.某职业学校电子技术专业二年级有3个班，每班分别有5人、7人、9人会下象棋，现从中选择1名学生去参加学校的象棋比赛，共有多少种不同的选法？

练习2.两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种取法？

例题和练习都是采用学生自主回答解决的方式进行，教师只是略作指导，规范其解题格式。在这个环节中，给学生充分的时间与空间，教师成为适当提示学生并帮学生板书的配角。

三、用多变的练习引发学生的思考和讨论

在学生顺利完成第一部分的例题和练习的情况下，教师提出了问题二：

两个袋子里分别装有40个红球与60个白球，从中各取一个球，有多少种取法？

这个问题二其实是从练习2中改编而来，把“任”改成了“各”，咋一看这两题没有什么区别，这引起了学生的积极思考与讨论：“任”和“各”到底有什么区别呢？问题二中到底有多少种取法呢？经过学生的一番讨论后，让一名学生在教师的引导下来叙述他的思维过程，解决问题的同时归纳出分步计数原理的定义。

在分析了分步计数原理的定义后相继给出了例题3和例题4，其中例题4：由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的两位数？用分步计数原理并不难解决，但是如果把题目改成：由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的两位偶数？学生又投入到了思考与讨论中：什么样的数是偶数？怎样组合才是一个偶数？该怎么组合？这题目对学生有一点点的难度，但是教师也不急于给出结论，而是通过提问学生来引导学生主动积极地思考，直到得到最终的结果，这样不仅解决了问题，也能培养学生思维的深刻性和创造性。

四、用综合的练习提高学生的解决问题能力

美国教育家布鲁巴克以为：“最精湛的教育艺术，遵循的最高准则，就是学生自己提出问题。”爱因斯坦也认为：“提出问题比解决问题更重要。”在师生共同探讨得到分类计数原理和分步计数原理的定义并进行了相关联系后，给出例题5：

某校评选的优秀毕业生中，加工制造类有10人，土木建筑类有8人，商贸财经类有5人，宾馆服务类有6人。

（1）从这四类专业中选出1名优秀毕业生出席全省优秀毕业生表彰会，有多少种不同的选法？

（2）从这四类专业中各选出1名优秀毕业生参加校优秀毕业生报告会，有多少种不同的选法？

通过这个例题，学生提出疑问，这两个问题哪个用分类计数原理？哪个用分步计数原理？这两个原理到底有什么区别？师生共同归纳总结，这比直接告诉学生结论更能培养学生的自主性和能动性。

接着，通过学案给出了练习4、5和例题6，并且回头解决了引入环节中的实际问题，提高了学生应用数学知识解决问题的能力。鼓励学生归纳小结本堂课的知识点，找到新旧知识之间的联系，使知识升华，将新知识融入到自己原有的知识结构中去，改变自己的知识结构。

五、用分层的作业巩固学生的学习成果

因材施教是教学的基本原则之一，因此要根据各层次的特点进行分层训练，目的是让全体学生的主体性都能得到不同层次的发展。本节课的作业进行了分层处理，有必做的基础题，如阅读教材、教材上的基础题等，也有选做题：请你结合生活中的例子编写一题应用分类计数原理计算的题目和一题应用分步计数原理的题目，并进行解答。通过分层的作业，让学生根据自己的实际情况自行选择，巩固课堂学习成果，提高学习兴趣和学习自信心。

由于数学知识的连贯性和逻辑性，没有办法让学生去自主选择学习的内容，但是通过在“主体介入式”的课堂中充分发挥学生的主体作用，让一节课的效率达到了最大化，让职业学校的学生在数学课堂中找到学习数学的乐趣与自信。

参考文献：

[1]韩涤静.“探究――主体参与型”数学课堂教学模式初探[D]教育硕士学位论文，山东师范大学，2011.4