变分法的基本原理范文

导语：如何才能写好一篇变分法的基本原理，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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中图分类号：C935 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）36-0043-01

1、最优控制问题基本介绍

最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法，是现代控制理论的核心之一，是从大量实际问题中提炼出来的。它所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标最优。最优控制是最优化方法的一个应用。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，是经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。

控制理论发展到今天，经历了古典控制理论和现代控制理论两个重要发展阶段，现已进入了以大系统理论和智能控制理论为核心的第三个阶段。对于确定性系统的最优控制理论，实际是从20世纪50年代才开始真正发展起来的，它以1956年原苏联数学家庞特里亚金（Pontryagin）提出的极大值原理和1957年贝尔曼提出的动态规划法为标志。时至今日，随着数字技术和电子计算机的快速发展，最优控制的应用已不仅仅局限于高端的航空航天领域，而更加渗入到生产过程、军事行动、经济活动以及人类的其他有目的的活动中，对于国民经济和国防事业起着非常重要的作用。

对于静态优化的方法，解决的主要是如何求解函数的极值问题；变分法则被用来求解泛函的极值问题；极小值原理的方法，适用于类似最短时间控制、最少燃料控制的问题。另外，还有线性系统二次型指标的最优控制，即线性二次型问题。与解析法相比，用最优控制理论设计系统有如下的特点：

（1）适用于多变量、非线性、时变系统的设计。

（2）初始条件可以任意。

（3）可以满足多个目标函数的要求，并可用于多个约束的情况。

2、最优控制的求解方法

2.1 变分法

变分法是求解泛函极值的一种经典方法，可以确定容许控制为开集的最优控制函数，也是研究最优控制问题的一种重要工具。掌握变分法的基本原理，还有助于理解以最小值原理和动态规划等最优控制理论的思想和内容。

但是，变分法作为一种古典的求解最优控制的方法，只有当控制向量u（t）不受任何约束，其容许控制集合充满整个m维控制空间，用古典变分法来处理等式约束条件下的最优控制问题才是行之有效的。在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此，古典变分法不适于解决许多重要的实际最优控制问题。

2.2 最小值原理

极小值原理是对经典变分法的扩展，可以解决经典变分法无法解决的最优控制问题。也就是当控制有约束，哈密顿函数H对U不可微时，要用极小值原理。所得出的最优控制必要条件与变分法所得的条件的差别，仅在于用哈密顿函数在最优控制上取值的条件代替，可以看出，后者可以作为前者的特殊情况。其他条件包括正则方程，横截条件，边界条件等都一样。需要注意的是，极小值原理解决最短时间控制问题时，最短时间的控制量只能取约束的边界值+1或-1；而最少燃料控制的控制量可取边界值+1、-1、0。

用极小值原理解非线性系统的最优控制将导致非线性两点边值问题，这类问题求解是很困难的。即使系统是线性的，但当指标函数是最短时间、最少燃料这种形式，要求得到最优控制的解析表达式，并构成反馈控制（即把U（t）表示为X（t）的函数）也是非常困难的。

2.3 动态规划

动态规划又称为多级决策理论，是贝尔曼提出的一种非线性规划方法。它将一个多级决策问题化为一系列单极决策问题，从最后一级状态开始到初始状态为止，逆向递推求解最优决策。动态规划法原理简明，适用于计算机求解，在许多理论问题的研究中，都应用到动态规划的思路。

动态规划是求解最优化问题的重要方法，在应用动态规划时，有一个前提条件是系统的状态变量必须满足“无后效性”。所谓无后效性的概念是：在任一时刻，系统状态为x（），以后的状态仅决定于x（）以及x（）到达终点时刻的状态x（）的控制策略，而与以前的状态和以前的控制策略无关。因此，在应用动态规划方法时，要注意状态变量的选取，使之满足“无后效性”的条件。例如，讨论物体在空间运动时，不仅选用物体的空间位置座位状态变量，而且要将速度变量也包括在状态变量之内，以便满足“无后效性”的条件。动态规划法的局限性还表现在所谓的“维数灾难”问题：当状态变量的维数增加，要求计算机内存成指数倍增长，计算工作量也大大增加。此外，求解连续决策过程采用的动态规划法得到的哈密顿-雅克比方程是偏微分方程，求解x（）也是相当困难的。动态规划虽然提供的是充分条件，但是，由于连续型系统的哈密顿-雅克比方程难于求解而不能满足实际需要。

2.4 线性二次型最优控制

线性二次型问题的实用意义在于：把它所得到的最优反馈控制与非线性系统的开环最优控制结合起来，可减少开环控制的误差，达到更精确的控制的目的。

与经典控制问题相比，线性二次型问题有两个显著的特点：第一，它研究的是多输入多输出动态系统的控制问题，其中包括了作为特例的单输入单输出情形；第二，它的性能指标是综合性的，既包含有误差的成分，又包含有控制能量的成分。根据线性的最优反馈控制律，即控制量正比与状态变量，可写成或。把这种线性二次型问题的最优控制与非线性系统的开环控制结合起来，还可减少开环控制的误差。线性二次型问题的最优控制一般可分状态调节器问题和伺服跟踪问题两大类。

对于终端时刻tf有限的连续系统状态调节器问题，要求加权阵P、Q为对称半正定，R为对称正定，但并不要求系统完全可控。

3、三种方法之间的相互关系

动态规划法、极小值原理和变分法，都是求解最优控制问题的重要方法。由动态规划的哈密顿-雅克比方程，可以推得变分法中的欧拉方程和横截条件：也可以推得极小值原理的必要条件。

变分法对解决开集约束的最优控制问题十分有效，但对于处理闭集性约束就无能为力了。变分法与极小值原理都可以解微分方程所描述的变分问题作为目标，结果得出了一组常微分方程所表示的必要条件。这三种方法要求的条件不同，其中属动态规划要求最高。在所要求的条件都满足的情况下，使用这三种方法所得结论相同。

参考文献

[1] 胡寿松-最优控制理论与系统[M].（第二版）北京：科学出版社，2005.

[2] 张莲-现代控制理论.北京：清华大学出版社，2008.1.

[3] 于长官-现代控制理论及应用.哈尔冰工业大学出版社，2005.1.

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关键词：

最小二乘有限元法； 有限体积法； CFD； 预处理共轭梯度法； Kovasznay流动； 后台阶流动； 圆柱绕流

中图分类号： O35；TB115.1

文献标志码： A

Application comparison of least square finite element method and finite volume method in CFD

TAO Sha1, YANG Zhigang1, JIANG Bonan2, GU Wenjun1

(1. Shanghai Automotive Wind Tunnel Center, Tongji University, Shanghai 201804, China;

2. Department of Mathematics and Statistics, Oakland University, Miami 48309, USA)

Abstract： To compare the advantages and disadvantages of Least Square Finite Element Method(LSFEM) and finite volume method in actural applications, a least square method is used to discrete the finite element model of incompressible N-S equation, the positive definite symmetric linear system is obtained, and the equations are solved by efficient preconditioned conjugate gradient method; the least square finite element method and FLUENT which is based on finite volume method are separately used to calculate the examples such as Kovasznay flow, steady 2D and 3D backward-facing step flows, and unsteady flow around cylinder. The comparison results indicate that the least square finite element method performs better convergence rate and accuracy than finite volume method and shows good application value in CFD.

Key words：

least square finite element method; finite volume method; CFD; preconditioned conjugate gradient method; Kovasznay flow; backward-facing step flow; flow around cylinder

0 引 言

近30年来，最小二乘有限元法（Least Square Finite Element Method，LSFEM）在流体动力学中的应用得到越来越多的关注，其引入残量最小化概念求解N-S方程，具有很强的稳定性，不需要验证LBB条件［1］，能更灵活地选择有限元计算域.此外，LSFEM求解各种条件下N-S方程的离散形式都正定对称，有利于选择高效、统一的求解方法而不需要任何迎风格式和调节参数，使得基于LSFEM的计算代码具有很强的通用性.［2］

目前，大多数针对LSFEM的研究主要侧重于可行性探索和论证［2-8］，尚未见对其实际应用价值的研究.本文用基于LSFEM的计算代码模拟各种条件下的流体算例，与现今广泛应用的基于有限体积法的FLUENT软件进行比较分析，探索LSFEM在CFD领域推广应用的价值和途径.

1 不可压N-S方程的LSFEM简介

1.1 不可压N-S方程1阶偏微分形式

不可压N-S方程可写成无量纲形式

式中：U为来流特征速度；L为流场特征长度；ν为运动黏度.

由于式(1)中含有速度的2阶导数，直接对其使用LSFEM需要采用连续可微的形函数.为避免该问题，可引入独立未知量的涡量ω[WTBX]=（ωx,ωy,ωz）=Δ×u[WTBX]，得不可压N-S方程的“速度-涡量-压力”1阶偏微分形式［2］

由于式(3)中的对流项u・Δu为非线性，需用牛顿法进行线性化处理，得

u0・Δu+u・Δu0+Δp+

1ReΔ×ω=

f+u0・Δu0

(4)

将上述方法运用于笛卡尔坐标系下的二维问题，可得1阶偏微分方程组

u0ux+uu0x+v0uy+vu0y+px+1Reωy=fx+u0u0x+v0u0y

u0vx+uv0x+v0vy+vv0y+py－1Reωx=fy+u0v0x+v0v0y

ω+uy－vx=0

ux+vy=0(5)

1.2 基于1阶偏微分方程组的LSFEM

用最小二乘法求解1阶偏微分方程组的基本原理为残差的L2范数最小化.考虑如下1阶偏微分静态边值问题［3］

Au=f， x∈Ω

Bu=g， x∈Γ[JB)][JY](6)

式中：Ω为有界实数空间；Γ为Ω的分段连续边界；f和g为给定向量；B为边界代数算子；A为1阶偏微分算子，

Au=ndi=1Aiuxi+A0[WTHX]u[JY] (7)

式中：nd为空间维度；[WTHX]u = (u1,u2,…,um)T代表m个[WTHX]x=(x1,x2,…,xnd)的未知函数；[WTHX]Ai和[WTHX]A0为随[WTHX]x变化的Neq×m矩阵，Neq为方程组中的方程数量.

设式(6)解的试探函数为ν，ν属于希尔伯特空间L2(Ω)且满足边界条件

Bν=g， x∈Γ (8)

并定义残差函数

R=Aν－f

(9)

求解式(6)可得适当的ν，使残差的L2范数[WTHX]R2取最小值.

令

运用变分法求解

limt0ddtI([WTHX]u +[WTHX]vt)2∫Ω ([WTHX]Av)T([WTHX]Au-[WTHX]f)dΩ=0 (11)

得

B(u,v)=F(v)

B(u,v)(Au,Av)

F(v)(f,Av)[JB)][JY](12)

将式(5)所示的二维N-S方程组写成如式(6)所示的1阶偏微分系统，得

A0=0000u0xu0y00v0xv0y000001

A1=1000u00100u001Re0－100

A2=0100v0001Re0v0101000

f=0fx+u0u0x+v0u0yfy+u0v0x+v0v0y0

u=uvpω[JB)][JY](13)

利用式(12)所示方法求解式(13).式(12)为对称双线性系统，适于求解偏微分方程的各类边值问题，因此LSFEM在工程中各个领域的应用具有统一的计算格式，不需另加数值差分格式.当遇到不同的问题时，只需重新输入相对应的A0，Ai和f值即可，给编写通用的求解代码带来很大的便利.

引入有限元分析，将原定义域分解为一系列子元素，在每个子元素内使用适当的形函数

因此，LSFEM对任意适定的式(6)进行离散化，都可得到正定对称矩阵K[WTBZ]，有利于选用高效、统一的迭代方法求解方程组.本文采用预处理共轭梯度法［9］，该法在求解大型正定对称矩阵系统时具有很高的迭代率和收敛性.

2 计算实例和对比结果

2.1 Kovasznay流动

考虑具有精确解的Kovasznay流动［10］，验证LSFEM离散定常不可压N-S方程的收敛性.KOVASZNAY［10］给出如下满足N-S方程的精确解

u(x,y)=1－eλxcos(2πy)

v(x,y)=λ2πeλxsin(2πy)

p(x,y)=p0－12e2λx

λ=Re2－(Re24+4π2)1/2(19)

式中：p0为参考压力(任意常数).Kovasznay流动的结果与二维周期圆柱列后的尾迹流动非常相似，图1和2分别为Re=40时精确解的流函数分布和速度u的分布.

根据离散方法收敛率的定义可知，随着网格尺寸的不断减小，计算结果的L2误差也逐渐减小，并且二者在对数坐标系中呈线性关系，其斜率即为收敛率.本文在［-0.5,1.5］×［-0.5,1.5］的计算域内分别划分8×8，16×16，32×32和64×64个网格进行数值计算，计算域边界上采用精确解的边界值作为第一类边界条件.分别采用LSFEM代码与FLUENT计算得到速度u和v残差的L2范数收敛率，见图3.

由图3可知，2阶精度LSFEM的收敛率达到4，表现出超收敛性；而2阶精度FLUENT的收敛率只有2，因此LSFEM的收敛性远优于FLUENT.

2.2 定常二维后台阶流动

后台阶流动是工程中常见的流动现象之一，其流动现象较复杂，本文仅对其层流范畴内的流动进行分析.ARMALY等［11］对后台阶分离流进行较为系统和全面的实验研究，本文参考的数据来源于他们的实验结果.根据ARMALY等的实验设置设定后台阶几何模型，见图4，几何模型的尺寸见表1，各边界条件和待测参数设置见图5.

用LSFEM和FLUENT模拟二维后台阶流动所得值与实验值对比见图7，可知，当Re小于400时，LSFEM得到的数值结果比FLUENT更接近于实验结果；当Re大于400时，由于实验存在的三维效应，2种数值解与实验值都有一定偏差；此外，FLUENT在Re大于600后，结果出现较大振荡，无法收敛，而LSFEM仍然得到稳定解，也说明LSFEM的稳定性优于FLUENT.

2.3 定常三维后台阶流动

为进一步验证LSFEM对于三维流动计算的适用性，同时也为排除实验结果中由于三维效应影响所产生的误差，本文在上述二维后台阶流动算例基础上进行三维后台阶流动数值模拟.

LSFEM和FLUENT模拟三维后台阶流动所得x1值与实验值对比见图8，可知，当Re较大时，三维计算结果比二维计算结果更接近实验结果，实验值确实受到三维效应的影响；LSFEM的三维计算结果明显比FLUENT更接近实验结果，进一步证明LSFEM在求解定常N-S方程时具有比FLUENT更高的精确性.此外，LSFEM可采用更高阶的精度以得到更精确的数值结果.因此，在对计算精度要求较高时，LSFEM更胜任.

2.4 非定常圆柱绕流

圆柱绕流不仅是经典的流体力学问题，而且在工程实际中也具有重要意义.当流场中Re大于40时，圆柱上的附着涡瓦解，下游流场不再定常并在后缘上、下两侧出现周期性轮流脱落的涡，形成卡门涡街.WILLIAMSON［13］曾对该流动情况下Re与斯特劳哈数的关系进行过详尽研究.本文以WILLIAMSON的研究结果为参照，考察2种数值方法求解非定常N-S方程的准确性.

圆柱绕流几何模型见图9，定常速度入口和Re分别取100和200.分析通过2种数值方法得到的斯特劳哈数，LSFEM和FLUENT模拟非定常圆柱绕流所得到的斯特劳哈数与参照值对比见表2，可知，LSFEM在非定常数值计算中也具有较高的准确性.

3 结束语

简介LSFEM求解不可压N-S方程的过程，由此具体说明LSFEM的优点.通过计算实例证明，相对于目前广泛应用于CFD的FLUENT，LSFEM具有更高的收敛率和精确性.此外，不可压N-S方程的LSFEM求解代码不需要另加任何迎风格式和调节参数，代码简单、通用，避免人为设置参数导致的结果偏差问题.从理论上讲，LSFEM继承FLUENT的高阶特性，可采用高阶网格达到更高精度，具有很高的实际推广价值.

参考文献：

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［10］ KOVASZNAY L I. Laminar flow behind a two-dimensional grid［J］. Math Proc Cambridge Philos Soc, 1948, 44(1): 58-62.

［11］ ARMALY B F, DURST F, PEREIRA J C F, et al. Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow［J］. J Fluid Mech, 1983（127）: 473-496.