质点运动学问题范文

导语：如何才能写好一篇质点运动学问题，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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1力学课程教学过程中存在的问题

1．1大量知识点与高中物理重叠，知识的新鲜感不足，难以激发学生学习兴趣

力学课程中质点运动学、质点动力学、动量、动能、势能、振动和波动等大量知识点都是高中物理重点内容，大学力学课程只是以微积分为载体用一种更系统、更基本、更符合物理思维逻辑的方式展现出来，并在此基础上进一步深入、拓展。学生在高中三年很大一部分时间都在与这些知识点打交道，早已没有了新鲜感。这就导致学生对力学知识的求知欲不强，课程的学习兴趣不足，对教学过程和教学效果不可避免地产生负面影响。而且，一些高中物理的核心知识点，如质点运动学、质点动力学、动量以及动能等正好是力学课程前面部分的内容，很容易使学生在刚刚接触力学课程的时候产生错觉，认为它仅仅是在高中物理相关知识基础上简单的进行一下扩充和补充，从而在课程学习的初期产生轻视的态度，造成课程前期基础掌握不牢，后续学习力不从心，严重影响学习的效果。

1．2高中物理式思维惯性严重，难以建立以微积分为基础的物理思维模式

力学课程是将经典力学的基本定理和规律以微积分为基础并通过严密的数学推演呈现出来的。这与高中物理直接给出基本定理、规律的教学模式完全不同，它更具普遍性，也更符合物理思维模式。然而，学生通过三年高中物理的学习，已经习惯了高中物理教学模式和思维模式，对力学基本定理、规律的推演过程不重视，解题过程总是习惯采用高中思维模式，不愿意尝试采用以微积分为基础的更一般化的思维来处理力学问题。这样很容易导致力学课程仅成为高中物理力学知识的简单补充或扩充，达不到建立以微积分为基础的更具系统性、普遍性和逻辑性的经典力学理论体系的要求，也难以达到通过力学课程的学习培养、锻炼学生物理思维的目的，更直接的后果往往是到了力学课程中后期，对一些较为复杂且必须以微积分为基础的力学问题，很多学生就感觉力不从心，严重影响一些核心知识点的学习和掌握。

1．3注重知识的积累，忽视了知识的消化和内化力学课程包含质点运动学、质点动力学、动量及动量守恒定律、动能及机械能守恒定律、角动量及角动量守恒定律、刚体力学、流体力学、振动、波动以及相对论力学等内容。虽然课程知识点多、定理多、公式多，但是这些知识之间有内在关联，其中质点运动学和动力学是基础和核心，通过质点系可以引申到其他大部分知识点。此外，微分和积分的思想与力学基本物理量、基本定理和定律的建立密切相关，利用微积分思想可以将很多物理知识点关联在一起理解。然而，学生在力学课程学习过程中往往只注重这些具体知识点的理解和掌握，忽视了它们之间的内在关联，致使学生往往学完力学课程后感觉所学知识太零碎，不成体系，印象不深刻，理解不透彻，更达不到举一反三、触类旁通的效果。

2力学教学改革的探索

2．1合理规划教学内容和方法，突出重点和特色

笔者所在学院物理学专业力学课程近年来一直采用高等教育出版社出版的文献作为教材。该教材也是目前国内物理学专业力学课程使用最多的教材之一，其内容丰富、全面，包含了物理学和力学、质点运动学和动力学、三大守恒定律、万有引力定律、刚体力学、振动和波动、流体力学以及相对论简介，共11章的内容。根据长期的教学实践，我们发现力学课程的这些知识点大致可以分为三类。第一类，如质点运动学和动力学、动量和机械能及其守恒定律等，这些内容是高中物理核心内容，学生对知识点很熟悉，有较好的基础，只需引入微积分思想，建立以微积分为基础的知识体系和思维模式。第二类，如角动量及其守恒定律、刚体力学等，这些内容是学生比较陌生的全新知识点，也是力学课程中的难点部分，需要学生重点把握。第三类，如流体力学、相对论等，这些知识点只是作为完整力学课程体系进行了简要介绍，如果要全面掌握这些内容还需要系统的学习后续相关课程。因此，针对第一类知识点，我们重点突出微积分的基础作用，重建基本物理概念、定理和定律的过程，以及采用微分或积分的方式处理力学问题实例的教学，而淡化类似高中物理式的知识点的应用；针对第二类知识点，我们既重视学生对基本概念、定理、定律的理解和掌握，知识点理解的强化和深化，也注重知识点的具体应用；针对第三类知识点，我们在建立基本概念体系的基础上引导学生自主学习。

2．2加强微积分与物理思维的融合，培养学生物理思维

建立以微积分为基础的经典力学体系，并在此过程中培养、锻炼学生物理思维是力学课程的核心任务和目标，为此，我们从三个层次强化微积分与力学知识以及物理思维的融合。首先，强化基本物理量的微分或积分定义，以及基本定理、定律的推演过程的讲解，使学生逐渐体会细分后取极限构建基本物理量的思维方式和方法，领会基于导数和积分几何意义所表示物理量、物理定理和定律的本质及具体内涵，感受基于微积分的力学知识表述的简洁性、准确性和一般性。其次，利用一定量的例题和练习题教导和训练学生运用求导和积分的方法处理力学问题，引导学生逐渐习惯以微积分为基础的力学思维方式。在此过程中，要着重注意物理量方向导数的计算和积分上下限的确定。前者为对矢量求导，学生一般不熟练，且物理意义也较为难懂一些，需要重点讲解，使学生既理解物理内涵又熟悉计算方法；后者需要将高等数学中的定积分与一个具体物理过程对应起来，以该物理过程的初态和末态来确定积分的上下限，需要结合具体例题和练习题有针对性地进行强化训练，使学生能够灵活处理关于某一物理过程的积分问题。最后，利用微积分的内涵将不同物理量、物理定理和定律联系起来，体会这些物理量、物理定理和定律的共同特征，更深层次的理解他们的物理内涵。例如，力函数对时间和空间的积累分别对应冲量和功，虽然二者物理含义不同，但其实都是力函数对自变量的积分，只不过积分对象不同。显然，若是将二者统一起来，学生将对力的作用效果的理解更加深刻，也会进一步促进学生对冲量、功的概念以及质点动量定理和动能定理的掌握。又如，守恒量从微积分角度来说就是其对时间的导数为0，以此来理解动量、机械能和角动量三大守恒定律自然更加深刻、透彻，也更能在具体应用中达到举一反三的效果。

2．3借助知识之间的关联性，开拓思维，促进知识的二次消化

剖析力学课程中各研究对象、知识点之间的关联性，找出其共性、相似性以及差异，不仅可以促进学生对相关知识点的理解和把握，而且可以促进学生的自主思考，开拓思维，实现对知识的二次吸收和消化。为此，我们首先从质点、质点系、刚体以及理想流体这些力学课程非常重要的理论模型和研究对象入手，通过理清他们之间的内在关系，调动学生主动思考，尝试对知识点进行外延式和内涵式拓展，促进学生对知识点进行迁移、融合，从而达到对知识的二次吸收和消化，建立更加完整、有机的经典力学体系。在这个过程中，质点的运动学和动力学是基础，将其拓展到质点系是关键。在从质点拓展到质点系过程中，要着重注意内力和外力的处理以及借助高中物理熟悉的整体法与隔离法使用技巧。有了比较扎实的质点及质点系力学知识后，再将刚体和理想流体看成是特定质点系，引导学生利用质点及质点系力学理论分析、处理刚体力学和流体力学相关知识不仅可以达到事半功倍效果，而且有利于学生对经典力学整体性和系统性的理解。其次，我们将一些相关知识点进行对比、对照，分析其共同性、差异性以及内在联系，促进学生进一步理解知识的内涵和外延，达到融会贯通、举一反三的效果。例如，将质点平动的概念、定理和定律与刚体转动的概念、定理和定律进行对比、对照，并借助线量与角量间的关系将二者有机联系起来，利用学生熟悉的平动知识不仅会极大促进学生对刚体转动的学习和应用，也会促进他们对整个经典力学体系更深刻的理解。再如，将经典时空观与相对论时空观进行对比分析会使学生更加容易建立正确力学时空观，将不同坐标系特征进行比较会促进学生对三种坐标系更好地理解和选择等。最后，根据知识之间关联性，多角度分析、处理问题，开拓学生思维，加深其对相关知识点的理解。例如，关于人在船上行走的问题，可以从牛顿运动定律、动量守恒以及质点系质心运动定理三个角度来分析、处理，这样既解决了具体问题，又将牛顿运动定律、动量守恒定律以及质点系质心运动定理有机联系起来进行了一次对比和比较，增强了学生对它们的理解。又如单摆做简谐振动的证明，可以从其所受的动力矩、满足的动力学方程以及表现的运动方程三个方面进行证明，从而加深学生对简谐振动本质的理解。

2．4结合科研和实践以及计算机辅助开展教学，激发兴趣，拓展思维和视野

结合教师自身科研，设计一些“科研小题目”，展示经典力学在其中的具体应用，不仅使学生切身感受到经典力学重要性和生命力，极大地激发学生力学课程的学习兴趣，而且可以拓展学生思维和视野，增强其专业学习的热情和信心。例如，在关于牛顿第二定律的应用中，以强场物理中经典模型为例向学生展示即使是在微观粒子与飞秒激光脉冲相互作用的情景下，牛顿力学也可以描述其很多重要特征和特性，可以大大减少牛顿力学在学生心目中“老、旧、土”的形象，激发其学习兴趣，再辅以计算在激光场中不同时刻释放的电子能否返回初始位置及其返回初始位置时动能的练习，可以使学生更好地理解和掌握牛顿第二运动定律的应用。此外，引入一些利用力学知识处理日常生活中相关力学问题的具体实例，如骑自行车下坡时为什么不能突然刹前轮，将绳子在树桩上缠几圈后在绳子一端只需很小的力就可以拉住绳子另一端很重的物体等等；不仅可以激发学生积极主动地将力学知识学以致用的热情和兴趣，而且还可以通过这些具体实例培养学生通过抽象建模处理实际问题的物理思维。最后，通过一些通俗易懂的计算机软件，如Matlab、Math－ematica等进行辅助教学，将一些力学现象、力学规律和计算结果等用可视化图像甚至动态视频展现出来帮助学生理解、消化，或引导学生自己进行类似的尝试，也将增强学生力学课程的学习兴趣，加深学生对相关力学知识的理解。例如，在讨论简谐振动的合成时与分解时，我们通过Matlab软件直观地画各简谐振动及其合成的质点运动轨迹来进行分析，学生感觉即真切又有趣，显著提升了教学的效果。

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关键词：高中;物理;教学

高中物理是相对较难的学科，太多的基本概念、基本规律，难以记忆而且容易混淆。正因为如此，一部分学生感觉学习物理越来越难，越来越吃力，慢慢地学习成绩越来越差，学习兴趣越来越低。高中物理知识的学习是一个循序渐进的、漫长的过程，教师要注重对学生学习方法的指导，让学生始终保持对物理的浓厚兴趣，相信这样坚持下来学生的物理成绩会越来越好。

作为高中物理教师，我认为对学生进行指导是非常必要的，不管是课前预习，是上课，还是课后复习。下面我谈一谈我对物理教学的一些想法。

一、重视基本概念、基本规律

对基本概念、基本规律要让学生理解清楚， 弄清本质， 理清相关概念和相关规律之间的联系，对物理概念从定义式、变形式、计算式以及物理意义、单位、矢标性等方面全面掌握， 对定理、定律的理解从实验基础、基本内容、公式形式、适用条件等全面分析。物理概念是物理知识的重要组成部分。 物理概念有严格的科学界定。 同一物理概念在不同的物理学识水平阶段严密的程度不同。 一些能力较差的学生对物理概念的界定模糊不清， 思维混乱，解题注意分配不合理。 如： 质点的位置、位移、速度、加速度及其时间是描述运动学的物理量， 几个物理量之间有密切的联系 。 位移是描述物置变化的物理量， 速度是描述物置变化快慢的物理量，而加速度是描述物体速度变化快慢的物理量。

匀 变 速 直 线运动公式， 抛体运动公式， 匀速圆周运动公式等，都是我们在研究运动学动力学问题时常常要用到的 。从动力学角度看运动学概念、规律能加深理解， 能知道它的本质。 如：加速度是力产生的，它建立了运动学和动力学的联系;抛体运动是质点在恒力作用下的加速度恒定的曲线运动;简谐运动是质点在线性回复力作用下的运动等.

二、注重物理思想、解题方法的指导

物理方法是物理思想的具体表现。 研究物理的方法很多，如有观察法、实验法、假设法、极限法、类比法、比较法、分析法、综合法、控制变量法、图象法、归纳法、总结法、发散思维法、抽象思维法、逆向思维法、模拟想象法、知识迁移法、数学演变法等。

极限法是利用物理的某些临界条件来处理物理问题的一种方法，也叫临界（或边界）条件法。 在一些物理的运动状态变化过程中，往往达到某个特定的状态（临界状态）时， 有关的物理量将要发生突变， 此状态叫临界状态， 这时有临界值。 如果题目中出现如“最大、最小、至少、恰好、满足什么条件”等一类词语时， 一般都有临界状态，可以利用临界条件值作为解题思路的起点， 设法求出临界值， 再作分析讨论得出结果。 此方法是一种很有用的思考途径，关键在于抓住满足的临界条件，准确地分析物理过程。

类比法是指通过对内容相似、或形式相似、或方法相似的一类不同问题的比较来区别它们异同点的方法。 这种方法往往用于帮助理解， 记忆、区别物理概念、规律、公式很有好处。 通常用于同类不同问题的比较。 如： 电场和磁场，电路的串联和并联， 动能和动量，动能定理和动量定理，单位物理量的形式（如单位体积的质量、单位面积的压力）等的比较。

而比较法可以是不同类的比较，更有广义性。 比如数学中曲线的斜率在物理图象里表示的物理意义是不同的， 应学会比较， 有比较才能有区别。

三、引导、鼓励学生表述解题过程

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力学可粗分为静力学、运动学和动力学三部分，静力学研究力的平衡或物体的静止问题；运动学只考虑物体怎样运动，不讨论它与所受力的关系；动力学讨论物体运动和所受力的关系。

力学也可按所研究对象区分为固体力学、流体力学和一般力学三个分支，流体包括液体和气体；固体力学和流体力学可统称为连续介质力学，它们通常都采用连续介质的模型。固体力学和流体力学从力学分出后，余下的部分组成一般力学。

一般力学通常是指以质点、质点系、刚体、刚体系为研究对象的力学，有时还把抽象的动力学系统也作为研究对象。一般力学除了研究离散系统的基本力学规律外，还研究某些与现代工程技术有关的新兴学科的理论。

一般力学、固体力学和流体力学这三个主要分支在发展过程中，又因对象或模型的不同出现了一些分支学科和研究领域。属于一般力学的有理论力学(狭义的)、分析力学、外弹道学、振动理论、刚体动力学、陀螺力学、运动稳定性等；属于固体力学的有材料力学、结构力学、弹性力学、塑性力学、断裂力学等；流体力学是由早期的水力学和水动力学这两个风格迥异的分支汇合而成，现在则有空气动力学、气体动力学、多相流体力学、渗流力学、非牛顿流体力学等分支。各分支学科间的交*结果又产生粘弹性理论、流变学、气动弹性力学等。

力学也可按研究时所采用的主要手段区分为三个方面：理论分析、实验研究和数值计算。实验力学包括实验应力分析、水动力学实验和空气动力实验等。着重用数值计算手段的计算力学，是广泛使用电子计算机后才出现的，其中有计算结构力学、计算流体力学等。对一个具体的力学课题或研究项目，往往需要理论、实验和计算这三方面的相互配合。

力学在工程技术方面的应用结果形成工程力学或应用力学的各种分支，诸如土力学、岩石力学、爆炸力学复合材料力学、工业空气动力学、环境空气动力学等。

力学和其他基础科学的结合也产生一些交又性的分支，最早的是和天文学结合产生的天体力学。在20世纪特别是60年代以来，出现更多的这类交*分支，其中有物理力学、化学流体动力学、等离子体动力学、电流体动力学、磁流体力学、热弹性力学、理性力学、生物力学、生物流变学、地质力学、地球动力学、地球构造动力学、地球流体力学等。

运动学发展简史

运动学是理论力学的一个分支学科，它是运用几何学的方法来研究物体的运动，通常不考虑力和质量等因素的影响。至于物体的运动和力的关系，则是动力学的研究课题。

用几何方法描述物体的运动必须确定一个参照系，因此，单纯从运动学的观点看，对任何运动的描述都是相对的。这里，运动的相对性是指经典力学范畴内的，即在不同的参照系中时间和空间的量度相同，和参照系的运动无关。不过当物体的速度接近光速时，时间和空间的量度就同参照系有关了。这里的“运动”指机械运动，即物置的改变；所谓“从几何的角度”是指不涉及物体本身的物理性质(如质量等)和加在物体上的力。

运动学主要研究点和刚体的运动规律。点是指没有大小和质量、在空间占据一定位置的几何点。刚体是没有质量、不变形、但有一定形状、占据空间一定位置的形体。运动学包括点的运动学和刚体运动学两部分。掌握了这两类运动，才可能进一步研究变形体(弹性体、流体等)的运动。

在变形体研究中，须把物体中微团的刚性位移和应变分开。点的运动学研究点的运动方程、轨迹、位移、速度、加速度等运动特征，这些都随所选的参考系不同而异；而刚体运动学还要研究刚体本身的转动过程、角速度、角加速度等更复杂些的运动特征。刚体运动按运动的特性又可分为：刚体的平动、刚体定轴转动、刚体平面运动、刚体定点转动和刚体一般运动。

运动学为动力学、机械原理(机械学)提供理论基础，也包含有自然科学和工程技术很多学科所必需的基本知识。

运动学的发展历史

运动学在发展的初期，从属于动力学，随着动力学而发展。古代，人们通过对地面物体和天体运动的观察，逐渐形成了物体在空间中位置的变化和时间的概念。中国战国时期在《墨经》中已有关于运动和时间先后的描述。亚里士多德在《物理学》中讨论了落体运动和圆运动，已有了速度的概念。

伽利略发现了等加速直线运动中，距离与时间二次方成正比的规律，建立了加速度的概念。在对弹射体运动的研究中，他得出抛物线轨迹，并建立了运动(或速度)合成的平行四边形法则，伽利略为点的运动学奠定了基础。在此基础上，惠更斯在对摆的运动和牛顿在对天体运动的研究中，各自独立地提出了离心力的概念，从而发现了向心加速度与速度的二次方成正比、同半径成反比的规律。

18世纪后期，由于天文学、造船业和机械业的发展和需要，欧拉用几何方法系统地研究了刚体的定轴转动和刚体的定点运动问题，提出了后人用他的姓氏命名的欧拉角的概念，建立了欧拉运动学方程和刚体有限转动位移定理，并由此得到刚体瞬时转动轴和瞬时角速度矢量的概念，深刻地揭示了这种复杂运动形式的基本运动特征。所以欧拉可称为刚体运动学的奠基人。

此后，拉格朗日和汉密尔顿分别引入了广义坐标、广义速度和广义动量，为在多维位形空间和相空间中用几何方法描述多自由度质点系统的运动开辟了新的途径，促进了分析动力学的发展。

19世纪末以来，为了适应不同生产需要、完成不同动作的各种机器相继出现并广泛使用，于是，机构学应运而生。机构学的任务是分析机构的运动规律，根据需要实现的运动设计新的机构和进行机构的综合。现代仪器和自动化技术的发展又促进机构学的进一步发展，提出了各种平面和空间机构运动分析和综合的问题，作为机构学的理论基础，运动学已逐渐脱离动力学而成为经典力学中一个独立的分支。

固体力学发展简史

固体力学是力学中形成较早、理论性较强、应用较广的一个分支，它主要研究可变形固体在外界因素(如载荷、温度、湿度等)作用下，其内部各个质点所产生的位移、运动、应力、应变以及破坏等的规律。

固体力学研究的内容既有弹性问题，又有塑性问题；既有线性问题，又有非线性问题。在固体力学的早期研究中，一般多假设物体是均匀连续介质，但近年来发展起来的复合材料力学和断裂力学扩大了研究范围，它们分别研究非均匀连续体和含有裂纹的非连续体.

自然界中存在着大至天体，小至粒子的固态物体和各种固体力学问题。人所共知的山崩地裂、沧海桑田都与固体力学有关。现代工程中，无论是飞行器、船舶、坦克，还是房屋、桥梁、水坝、原子反应堆以及日用家具，其结构设计和计算都应用了固体力学的原理和计算方法。

由于工程范围的不断扩大和科学技术的迅速发展，固体力学也在发展，一方面要继承传统的有用的经典理论，另一方面为适应各们现代工程的特点而建立新的理论和方法。

固体力学的研究对象按照物体形状可分为杆件、板壳、空间体、薄壁杆件四类。薄壁杆件是指长宽厚尺寸都不是同量级的固体物件。在飞行器、船舶和建筑等工程结构中都广泛采用了薄壁杆件。

固体力学的发展历史

萌芽时期 远在公元前二千多年前，中国和世界其他文明古国就开始建造有力学思想的建筑物、简单的车船和狩猎工具等。中国在隋开皇中期(公元591～599年)建造的赵州石拱桥，已蕴含了近代杆、板、壳体设计的一些基本思想。

随着实践经验的积累和工艺精度的提高，人类在房屋建筑、桥梁和船舶建造方面都不断取得辉煌的成就，但早期的关于强度计算或经验估算等方面的许多资料并没有流传下来。尽管如此，这些成就还是为较早发展起来的固体力学理论，特别是为后来划归材料力学和结构力学那些理论奠定了基础。

发展时期 实践经验的积累和17世纪物理学的成就，为固体力学理论的发展准备了条件。在18世纪，制造大型机器、建造大型桥梁和大型厂房这些社会需要，成为固体力学发展的推动力。

这期间，固体力学理论的发展也经历了四个阶段：基本概念形成的阶段；解决特殊问题的阶段；建立一般理论、原理、方法、数学方程的阶段；探讨复杂问题的阶段。在这一时期，固体力学基本上是沿着研究弹性规律和研究塑性规律，这样两条平行的道路发展的，而弹性规律的研究开始较早。

弹性固体的力学理论是在实践的基础上于17世纪发展起来的。英国的胡克于1678年提出：物体的变形与所受外载荷成正比，后称为胡克定律；瑞士的雅各布第一·伯努利在17世纪末提出关于弹性杆的挠度曲线的概念；而丹尼尔第一·伯努利于18世纪中期，首先导出棱柱杆侧向振动的微分方程；瑞士的欧拉于1744年建立了受压柱体失稳临界值的公式，又于1757年建立了柱体受压的微分方程，从而成为第一个研究稳定性问题的学者；法国的库仑在1773年提出了材料强度理论，他还在1784年研究了扭转问题并提出剪切的概念。这些研究成果为深入研究弹性固体的力学理论奠定了基础。

法国的纳维于1820年研究了薄板弯曲问题，并于次年发表了弹性力学的基本方程；法国的柯西于1822年给出应力和应变的严格定义，并于次年导出矩形六面体微元的平衡微分方程。柯西提出的应力和应变概念，对后来数学弹性理论，乃至整个固体力学的发展产生了深远的影响。

法国的泊阿松于1829年得出了受横向载荷平板的挠度方程；1855年，法国的圣维南用半逆解法解出了柱体扭转和弯曲问题，并提出了有名的圣维南原理；随后，德国的诺伊曼建立了三维弹性理论，并建立了研究圆轴纵向振动的较完善的方法；德国的基尔霍夫提出粱的平截面假设和板壳的直法线假设，他还建立了板壳的准确边界条件并导出了平板弯曲方程；英国的麦克斯韦在19世纪50年代，发展了光测弹性的应力分析技术后，又于1864年对只有两个力的简单情况提出了功的互等定理，随后，意大利的贝蒂于1872年对该定理加以普遍证明；意大利的卡斯蒂利亚诺于1873年提出了卡氏第一和卡氏第二定理；德国的恩盖塞于1884年提出了余能的概念。

德国的普朗特于1903年提出了解扭转问题的薄膜比拟法；铁木辛柯在20世纪初，用能量原理解决了许多杆板、壳的稳定性问题；匈牙利的卡门首先建立了弹性平板非线性的基本微分方程，为以后研究非线性问题开辟了道路。

苏联的穆斯赫利什维利于1933年发表了弹性力学复变函数方法；美国的唐奈于同一年研究了圆柱形壳在扭力作用下的稳定性问题，并在后来建立了唐奈方程；弗吕格于1932年和1934年发表了圆柱形薄壳的稳定性和弯曲的研究成果；苏联的符拉索夫在1940年前后建立了薄壁杆、折板系、扁壳等二维结构的一般理论。

在飞行器、舰艇、原子反应堆和大型建筑等结构的高精度要求下，有很多学者参加了力学研究工作，并解决了大量复杂问题。此外，弹性固体的力学理论还不断渗透到其他领域，如用于纺织纤维、人体骨骼、心脏、血管等方面的研究。

1773年库仑提出土的屈服条件，这是人类定量研究塑性问题的开端。1864年特雷斯卡在对金属材料研究的基础上，提出了最大剪应力屈服条件，它和后来德国的光泽斯于1913年提出的最大形变比能屈服条件，是塑性理论中两个最重要的屈服条件。19世纪60年代末、70年代初，圣维南提出塑性理论的基本假设，并建立了它的基本方程，他还解决了一些简单的塑性变形问题。

现代固体力学时期 指的是第二次世界大战以后的时期，这个时期固体力学的发展有两个特征：一是有限元法和电子计算机在固体力学中得到广泛应用；二是出现了两个新的分支——断裂力学和复合材料力学。

特纳等人于1956年提出有限元法的概念后，有限元法发展很快，在固体力学中大量应用，解决了很多复杂的问题。

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一、应用牛顿第二定律解题的一般步骤

（1）确定研究对象，分析它的受力情况，画出受力图。注意不能遗漏任何一个力，又要避免重复，因为物体最终所获得的加速度为所有外力共同作用的结果。

（2）找出所受外力的合力表达式，采用正交分解。通常其中一坐标轴选为加速度所在的方向比较容易计算。

（3）应用牛顿第二定律列出方程，求解作答。在求解过程中，一般先进行字母运算，得出解答的一般形式，然后再代入数值进行计算，这样不但可以减少烦琐的数字运算，而且还能获得题中相关量之间的变化关系。

（4）对结果在各种条件下进行讨论，达到举一反三的效果。

二、单个质点的动力学问题

例1、一木块能在与水平面成α角的斜面上匀速滑下，若使它以初速度v0沿此斜面向上滑动，试证它能上滑的最大距离

解：（1）先分析木块匀速下滑的过程，木块受重力G、弹力N，动摩擦力f，如图1-a所示，运用正交分解有

又f=u・N

解得：

（2）用同样的方法分析木块的匀减速上滑过程，受力如图1-b所示，根据牛顿第二定律得：

其中f=u・N=G・sinα

解得：a=2g・sinα（1）

由运动力学规律和（1）式得：

v02=2a・s

讨论：①如果tanα=u，即斜面倾角满足此条件式时，木块正好能匀速下滑。

②如果tanα>u，物体将匀加速下滑。

③如果tanα

三、多个质点构成的物体系的动力学问题

上面讨论的是单个质点的动力学问题，但是在实际问题中，会经常遇到几个有相互作用力的物体系的动力学问题，这种情况一般都采用“隔离法”来求解。

所谓“隔离法”就是根据需要把研究对象从整个物体系中“隔离”出来，当作单个质点问题审查处理。具体步骤如下：

（1）选择“隔离体”。一般先选已知条件比较齐全的物体作为“隔离体”，后选其它的物体。

（2）根据牛顿第二定律解题的一般步骤，对每一个“隔离体”运用正交分解法列方程。

（3）如果独立方程的个数少于未知量的个数时，要考虑相互联系着的个体之间的作用力与反作用力的相等关系。

（4）为了解答相互联系着的物体的动力学问题，还必须写出由运动学条件所确定的各“隔离体”之间的加速度关系。通常情况下，各连接体的位移、速度、加速度全都相等。

例2、一条轻绳子跨过定滑轮，在轻绳子的两端各挂有物体A、B，如图-2示，已知mA=0.5kg，mB=0.1kg，开始时物体A离地面h=35cm。

求：（1）A物体下落的加速度大小？

（2）A物体落地时的速度大小？

（3）A物体落地后，B物体还能继续上升多高？

解：（1）根据牛顿第二定律有：

对于A：GA-T=mA・aA①

对于B：T-GB=mB・aB②

据题意有aA=aB=a，由①+②得GA-GB=（mA+mB ）・a③

③式所表达的含义是将A和B视为一整体，内部之间通过绳子的相互作用力已彼此抵消，运用牛顿第二定律得出的结果，即：A+B=AB.

（2）A物体拖着B物体从静止开始匀加速下降，加速距离为h，最终得到的落地末速度为：

（3）A物体着地后，绳子失去对B的拉力，B仅受重力，开始以初速度Vt作竖直上抛运动，直至速度减为0

例3、质量m1=4kg和m2=8kg的两个物体，用一轻绳相连，沿着倾角为30°的斜面下滑，如图-3示，若m1与斜面间的动摩擦因数为0.25，而m2与斜面间的动摩擦因数为0.50。

求：（1）各个物体的加速度？

（2）绳的拉力？

解：（1）由于绳的牵连，m1和m2具有相同的加速度a，可视为整体，如图-3a示，根据牛顿第二定律有：

（m1・gsin30°+m2・gsin30°）-（m1・gcos30°u1+m2・gcos30°u2）=（m1+m2）・a

上式第一项g・sin30°为重力的分力――下滑力产生的沿斜面向下的加速度，后面两项和为动摩擦力产生的沿斜面向上的加速度。可见每个力都对加速度有贡献，少算或多算任何一个力都不行，因为这相当于少算或多算了它们各自对加速度的贡献，肯定是错的。

（2）要计算绳子的拉力，需从绳子处分割开，单独研究m1或m2，把绳子的拉力变成它们的外力才可以。因为内力是物体内部各部分之间的力，彼此间抵消，对整个物体不产生加速度效应。只有外来的力才一定对物体产生一定的加速度。

“隔离”出m1，受力如图-3b示：

根据牛顿第二定律有：

对于连接体问题，一般先采用“整体法”求出加速度，再用“隔离法”求出彼此之间的作用力。要得出正确的结果，准确的受力分析是关键。

拓展思考：如果两物体与斜面间摩擦因数相等，两物体将如何运动？T是多大？

例4、如图-4，A静止于光滑的水平面上，板A与物体B质量依次为M、m，若物体相对于水平面的初速度为v0，物体B与A板间的动摩擦因数为u，A木板长为L，B物体的长度忽略不计，求：（1）物体A和B板的加速度；（2）初速度v0满足什么条件时，物体B最终不从A板上滑下来。

解：（1）由于A和B的加速度不相等，只能用“隔离法”单独研究，对于A受力如图-4a示，

对于B，受力如图-4b示，

u・mg=m・aB

aB=u・g

很显然彼此之间的动摩擦力虽然相等，但作用在质量不等的两个物体身上，各自获得加速度并不相等。

（2）要使物体B不从A板上滑下来，必须满足当A和B最终的速度相等再不发生相对滑动时，B在A上滑过的距离不大于L。

设它们的最终速度为V，根据题意有：

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1巧用微积分，化难求为易求

例1质点沿Ox坐标轴运动，它的速度v与x2成正比.已知，质点从x1=10 m到x2=20 m其平均速度为v12=1 m/s，求从x2到x3=40 m的平均速度v23及从x1到x3的平均速度v13.

对于高中生来讲，这是一道较难的运动学问题，笔者曾拿这道题目给学校物理成绩较好的学生做，也是能求者少.但是如果引入微积分的知识，这道题目将会比较容易.

解如图1所示，设质点在x时速度v=kx2，在其右侧取一距离元dx，运动dx用时dt，则dt=dx1kx2.

因为v12=1 m/s，所以从x1到x2用时t1=10 s，有

∫t10dt=∫x2x111kv2dx（1）

带入数据可求出k=11200.同样的质点从x2到x3，用时t2满足

∫t20dt=∫x3x211kv2dx（2）

代入数据可求得t2=5 s，所以v23=4 m/s，

还可以求得v13=2 m/s.

2活用微积分，化不可求为可求

例2如图2所示，质量为m的长直杆一端固定在光滑转轴O处，杆由水平静止释放，用光电门测出另一端A经过某位置时的瞬时速度vA，求杆转动的动能.

解可把细杆均分成很多小段，每一小段为一质量元，杆转动动能等于这许多质量元的动能之和.如图3所示，对于距O点x的质元，质量为dm=m1Ldx.同一根杆ω相等，所以距O点x的质元的速度vm=xω=xxA1L，其动能为

Ekm=112・m1Lx2v2A1L2dx（3）

则杆的动能Ek=∫L0112・m1Lx2v2A1L2dx（4）

积分可得Ek=116mv2A.

长直杆转动动能，在高中阶段是没有办法计算的，但是在引入微积分之后，从上面的计算过程中我们会发现求解并不复杂.

3活用微积分，化知其然为知其所以然

例3如图4所示，有一圆台柱状合金棒电阻率为ρ、长为L、直径分别为d和D的，求证其电阻为R2=RDRd，其中RD是电阻率为ρ，长度为L，直径为D的圆柱状合金棒电阻；Rd是电阻率为ρ，长度为L，直径为d的圆柱状合金棒电阻.

解均匀圆台状合金棒的截面如图5，设距A点为Lx的圆柱体的半径为r，根据几何关系有r=d12+dx，其中的dx满足

D-d121L=dx1Lx，

可以求得r=d12+dx=d12+Lx（D-d）12L（5）

半径为r，长为dLx的圆柱体的电阻为ρdLx1π[d12+Lx（D-d）12L]，

所以整个圆台状金属导体电阻为

R=∫L0ρdLx1π[d12+Lx（D-d）12L]

=∫L04ρL21π[dL+Lx（D-d）]-2dLx（6）

根据积分公式可求得

R=4ρl21π・11-1（D-d）（11DL-11dL）=4ρL1π・11Dd（7）

上式可以写成R=ρL1π（D12）2・ρL1π（d12）2，

也就是R2=RDRd.

例题3来源于2009年江苏高考试题的第十题，但是题干中R2=RDRd是直接告诉的，只要将相应数据代入公式就可以了，所以，学生只知其然不知其所以然.如果在讲解此题过程中，充分应用此题素材，把它上升到一个理论高度，不但可以加强学生的理论探究能力，而且可以加深学生对微积分思想的理解，那样就远比代公式的作用大的多了.

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关键词：矢量；微积分；大学物理

中图分类号：G633.7 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）09-0067-02

大学物理是高等院校对理工科学生必开的一门公共基础课[1]，使学生通过物理课程的学习树立科学的人生观、价值观，具备一定的逻辑思维能力和利用物理知识解决问题的能力，同时还可以提高学生的求知欲和创新能力，对学生今后的发展有着举足轻重的作用。

大学物理与中学物理相比研究的问题更接近生产、生活实际，更具有普遍性，如中学阶段介绍加速运动时只涉及到匀加速运动，即加速度的大小和方向都不随时间发生变化，由牛顿第二定律可知此时所涉及的力也是恒力，最典型的是自由落体运动。而生产工作中常遇到的是加速度的大小和方向可能时刻发生变化，如学生骑车从宿舍到教室的路上速度的大小和方向就会不停地变化。这种情况必然导致大学物理研究问题的方式与中学物理不同。

每学期上大学物理绪论课时，学生翻开课本总会发现大学物理课本中有大量的矢量和微积分，事实上这是中学物理向大学物理转变的必然结果。矢量和微积分贯穿整个大学物理始终。在塔里木大学这所综合性大学里面，大学物理通常在大一第二学期或大二第一学期开课，这时的学生经过一年高等数学的学习，对矢量和微积分已经有了初步的了解，但是在上课过程中发现学生还是习惯于用初等数学知识去思考和解决大学物理问题，将矢量和微积分应用到大学物理学习过程中成了学生普遍认为的难点。

一、矢量及微积分在大学物理学习中的重要性

物理学研究问题总是从简单到复杂，从特例到普遍这样一个过程，大学物理研究物理问题的过程也不例外。如介绍加速度时从中学阶段的匀加速运动开始，然后提出该方法的局限性，引入变加速运动，里面又涉及到加速度随时间变化或随空间变化，由于在这个过程中加速度是随时间或空间变化的，才引入矢量及微积分的运算。大学物理的前两章介绍质点运动学和动力学，为后面其他章节的学习做铺垫，因为刚体、理想气体、理想流体及点电荷均可看作是由很多质点组成的质点系，即先把这些理想化模型进行无限分割，每一个小质元均可看作一个质点，先研究各个质点的运动情况，然后对所有的质点运动情况进行叠加就得到整个理想化模型的运动情况，事实上在对理想化模型进行分割的过程就是在进行微分，而对所有质点运动情况进行叠加的过程就是在进行积分。同时，大学物理所研究的物理量不再是恒定不变的，如力是变力，会随空间位置和时间发生变化，什么情况下力才可以看作恒力呢？当对时间或空间进行微分时，在无限短的时间或无限小的位移内力可以看作是恒力，相应的物理过程就趋向于无限小，有限的物理过程就需要对其进行积分。由于所研究的物理量不再是恒量，相应的中学阶段的标量表示方法已不再适用，需要用到矢量来表示。因此矢量和微积分贯穿整个大学物理学习过程的始终，在大学物理的学习过程中占有重要的地位。

二、大学物理初学者常出现的问题

在中学阶段由于很多情况下研究的力是恒力，即其大小和方向是不发生变化的，因此通常情况下力采用一个标量来表示，同样情况的还有位移、力矩等，而大学阶段由于通常情况下所研究问题中的力是变力，所以必须用矢量来表示。矢量的合成必须符合三角形法则或平行四边形法则，大学物理中矢量的运算涉及到矢量的点乘和叉乘，如计算功用到点乘，计算力矩用到叉乘。大学物理绪论课上笔者会详细讲三维直角坐标系中矢量的点乘与叉乘，要求学生做好课堂笔记。

微积分思想在大学物理中应用也较多，主要涉及到微分和积分两部分，这点在质点运动学中体现得较典型，在已知位矢表达式的情况下会通过微分求导的方法求出速度和加速度，同样的，在已知加速度和初始条件的情况下会通过积分的方法求速度和位矢表达式。开学初绪论课上笔者会给出大学物理中常用到的微积分公式，并要求学生做一些相关的习题。

大学物理初学者虽然已经在高等数学课中学习过矢量和微积分，但是要把这些数学知识与物理模型结合起来并不是一个简单的过程。初学者常犯的错误有以下几种：对矢量的计算过程中，矢量一会儿就变成了标量，往往忘记矢量符号，或者等式的左边是矢量右边是标量；矢量的点乘与叉乘区分不开，通常会混淆三维直角坐标系中单位矢量之间的点乘与叉乘的结果；不清楚哪些物理量可以无限分割，往往一个单重积分式中有两个或多个微分量，不明白这些物理量之间的变换关系，或者说是对积分式的意义理解不够深入。

三、如何引导学生采用矢量及微积分方法处理物理问题

高等数学比初等数学更为抽象，同样的，大学物理较中学物理抽象，当数学公式被用来解决物理问题的时候，数学公式不再是单纯的公式那么简单，而是被赋予了物理意义[2]。如何有效地将数学公式应用到解决物理问题中，特别是使初学者具备这方面的能力是很重要的。教师在教学过程中需要对学生加以引导，使学生尽早适应这种方法去学学物理。

在平时的课堂教学过程中教师要不断去分析目前所研究的物理问题与高中物理的不同之处，自如地引入微积分思想，刚开始可以不用微积分去计算，但是要使学生习惯这样一种思维方式，改变中学阶段形成的思维定式，当学生的思维方式发生改变后，再逐渐将微积分的计算加入到课堂训练中。往往经过几道例题的讲解大多数学生自认为可以采用矢量及微积分去处理问题了，此时笔者通常会请一个学生到讲台上给大家讲解一道例题，采取边做边讲的方式，而讲台下的同学则要集中精力去发现台上同学出现的问题，力争使这道例题讲解完美，最后会利用几分钟的时间去归纳总结或者留出两分钟时间给大家自由讨论，小组总结。采用这种方法既调动了学生学习的积极性和主动性，同时还使学生在练习的过程中及时发现问题并改正自身的错误。

n堂所列举的事例一定要贴近生活，比如讲刚体转动惯量的计算时，当刚体的质量为连续分布必须采用微积分的方法去计算其转动惯量。课本上的例子是均质细杆，可以换成均质挂面，球面的例子可以举篮球，球体的可以说铅球，一个个活生生的例子摆在学生面前，学生才会去思考怎么去分割，怎么去求和，无形之中强化了微积分的思想。

四、结束语

微积分在大学物理研究问题上的思想方法是将复杂的物理学问题，无论是在时间上也好空间上也好首先进行无限地分割，分割成无限小量，即微分；然后将各个无限小量进行求和叠加，即积分。学生只有经过反复地训练掌握了矢量和微积分的思想和精髓才能将其自如地应用到大学物理的学习过程中，这种素质需要经过长时间的强化练习。而这种素质的形成会使学生树立学好大学物理的信心，提高他们应用高等数学知识解决物理问题的能力，为今后专业课程的学习打下坚实的基础。

参考文献：

[1]王娜.谈大学物理微积分思想和方法[J].江西教育，2015-28-28.

[2]熊青玲.大学物理中关于矢量的应用问题探讨[J].希望月报，2008，（3）：14-15.

The Role of Vector and Calculus in College Physics Teaching

ZHANG Hong-mei，KONG De-guo*

（College of Mechanical and Electrical Engineering，Tarim University，Alaer，Xinjiang 843300，China）

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一、关于物理的学习方法

所谓物理学习方法，简单的说就是研究或学习和应用物理的方法。方法是研究问题的门路和程序，是方式和办法的综合。首先，学好物理要识记、理解物理概念、规律及条件，要解决描述物理问题，就要会对物理问题进行唯象的研究，然后进一步研究它的原因、规律，再寻求解决的方法。在中学物理课中我们只要注意到参考系、速度、质量、力、动量、能量、功等概念和牛顿运动定律、万有引力定律、动量守恒定律、动能定理、动量定理、动量守恒定律、机械能守恒定律等规律，以及时空观、物理模型、数学工具（矢量、图象、变化率）等在热学、电学、光学、原子物理学中的应用和分析、解决的方法，就会对此有所体会。研究物理的规律，也要从历史上看，学会从描述物理过程开始，判断什么物理问题说明用什么物理概念、物理量去描述物体的状态，用什么方程可以描绘物体的运动状况，变化关系，从而可以解决控制物理的问题。如：质点的位置、速度、加速度及其时间是描述运动学的物理量，匀变速直线运动公式，抛体运动公式，匀速圆周运动公式等,都是我们在研究运动学动力学问题时常常要用到的。从动力学角度看运动学概念、规律能加深理解，能知道它的本质。如：加速度是力产生的，它建立了运动学和动力学的联系；抛体运动是质点在恒力作用下的加速度恒定的曲线运动；简谐运动是质点在线性回复力作用下的运动等。又如：从动力学角度能判定运动独立性原理不存在，分运动的独立性是有条件的。可见，明确题设的物理情境，理解物理过程是解决物理问题的关键。教学过程必须始终贯穿物理思想和物理方法，这是授之渔和受之渔的根本。方法是沟通思想、知识和能力的桥梁，物理方法是物理思想的具体表现。研究物理的方法很多，如有观察法、实验法、假设法、极限法、类比法、比较法、分析法、综合法、变量控制法、图表法、归纳法、总结法、发散思维法、抽象思维法、逆向思维法、模拟想象法、知识迁移法、数学演变法等。对于上述各方法的灵活运用需要学生们在解题过程中加以揣摩和总结。

二、减轻学生精神负担，变革考试制度

学校的考试制度不改变，学生精神上的压力就不会减少，学生在生理上和心理上就不会得到应有的放松，能力就不会得到较好的发挥。传统的考试制度、形式、内容及评估方式，对学生精神压力太大，以分定位，一榜定论，像一具精神枷锁枷走了年青人的朝气，锁住了孩子们的兴趣。重知轻能使同学们钻入了“高分低能”的怪圈，个性得不到发展，特长难以发挥，总是围绕高考指挥棒游来转去：凡是考试内容，深挖细究，猜题押宝，填鸭硬灌，反之一略而过，甚至置之不理，纯属应试教育。

为了改变这种被动局面，我们摸索了一套行之有效的考试方式和新评估模式。

实行“两种考试并行，三种活动辅助”的新方案。开卷考试（占40％）与闭卷考试（占60％）并行，概念的形成，规律的推导，物理学史实，实验操作，实践应用等方面进行面试和开卷考试，可以查阅资料，可以相互研讨，但最后师生必须共同讲评，这样面向全体学生，人人积极主动探究，个个动脑思维进取，为进一步掌握高层次科学技术知识打下坚实的基础。而对于开发智力，培养能力，提高思维素质的题目进行笔试，试题设计要有层次，有梯度，有大有小，新颖脱俗，波浪起伏，不拘一格，有效度，有信度，有难度，有区分度，让每个同学在自己的起跑线上再大跨一步。更重要的是不论哪种考试，取消百分制，实行等级制，淡化分数，使每个同学心悦诚服，欢畅乐学。

三种活动指的一是章一活动，一编一竞赛，一年一答辩，以此作为检验同学们智能的主要途径，通过这些活动，一可增强师生竞争意识，二可充分展现自我，三可加重智能检测比例，四可突出物理知识在实践中的意义。例如高三学年总复习前，我们拟定了“高中物理学基本思路与方法探讨”的答辩论文题目，同学们积极准备，踊跃答辩，取得了良好的效益。一位同学从“合成与分解”，“整体与隔离”，“宏观与微观”，“力与运动”，“图象”，“能量转化与守恒”等七个方面基本完整总结了高中物理所涉及的思路与方法，为全面复习工作奠定了坚实的基础。

三、创新课堂教学，提高学习效益，减轻学生作业负担

课堂教学是学生接受知识的主战场，要打破“堂上尽由着老师灌”的僵局，实行“四主”“三同步”教改新路。四主是学为主体，教为主导，思为主攻，练为主线，把学生完全推向教学，让他们在学习中参与，参与中学习。思、看、读、做、听、议、写、评，在教师指导下，交错进行，步步深入。三同步指的是知识、方法、能力一起抓，同步走。教师的备课、讲课、辅导，学生的领会、理解、记忆，都要把知识的核实，智力的开发，能力的提高当做基础工程去抓。像遇到习题教学时，首先做好习题的分类归档工作，海水舀不尽，习题做不完，但类型毕竟有限，所以狠抓典型，翻透弄清，举一反三，触类旁通，真正做到攻克一点，解决一片。在课堂上争取把知识落到实处，多给学生方法，多指点学法，从能力上、素质上、根本上解决问题，提高效益，从而减轻学生课业负担。

高中物理教学中的基本训练包括两个方面：⑴运用已掌握的物理概念和规律来分析解决实际问题；⑵物理实验技能的训练。通过基本训练可以深化、活化学生已掌握的物理知识，它是提高学生思维能力的重要手段，成败的关键在于精选好例题和练习题。精选的例题和练习题，应该有代表性，能收到举一反三的效果：有针对性，能针对知识的重点、关键和学生的水平；有启发性，能激发学生思维。对学生分清正确与错误并灵活运用知识有较大补益。

下面谈谈例题教学与定时练习两个问题。

例题教学，侧重在开拓思路，放手让学生搞一题多解、一题多思，在“解”、“思”中“自悟”，以期形成深刻的记忆和能力。教师在例题课上的讲解，是在学生“悟”不出的时候，侧重在物理模型的分析上花功夫，教给学生如何针对所研究的问题，应用物理模型、构造物理模型的方法，例如在复习动量守恒与机械能守恒时，通过小球在圆弧槽中滑下，不计摩擦的例题分析，构造了这类问题的物理模型：⑴不计摩擦，水平方向又无其它外力，系统动量守恒；⑵小球和圆弧槽系统，只有重力做功，无机械能与其它形式能量转化，机械能守恒。由于重视物理模型的分析，学生很自然的把上面所讲物理模型与平抛运动的物理模型结合起来，顺利的对此类题型作了正确的解答。

单元例题教学以后，安排二课时的定时练习，题目是精选了的，题型较活，有浅有深。要求学生按时完卷，教师及时进行批改评分，根据反馈信息，上好评讲课。对难度大的题一般不在课堂评讲，原因是评讲这类题花时较多，针对性不强，可做好答案，让有能力的学生自己去钻研，评讲的重点是那些错误较多，难度不太大的典型题目。评讲侧重分析物理模型，因为这是正确解题的关键。模型错了，结果肯定不对。对于多数学生已掌握，少数学困生未掌握的题目，则只进行个别辅导，根据题目的重要程度与考试情况，把答案分别做成“详解”、“略解”和“一题多解”，为学生提供正确的依据，让他们自己去对照、思考。

在此基础上，以练带讲，帮助学生纵观整个知识体系，在头脑中形成三条清晰的主要线索，重点做好以下几件事：⑴力的线索；⑵能的线索；⑶动量的线索；结合知识跨度大的综合性例题进行分析，以提高学生综合运用知识的能力。

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■ 一、 曲线运动

1. 用极限思想研究曲线运动速度方向的方法

若一质点经过一段时间由A点沿曲线运动至B点，则该质点在这段时间内的平均速度与位移AB的方向相同，即沿着该曲线的割线AB方向. 所取的时间间隔越短，B点就越靠近A点. 当所取的时间间隔趋近于0时，B点就趋近于A点，平均速度也就趋近于A点的瞬时速度，而割线AB也就趋近于曲线过A点的切线. 因此，质点在A点的瞬时速度方向沿曲线过A点的切线方向.

2. 平抛运动的正交分解方法

物体以一定初速度水平抛出后，物体只受到重力的作用，在竖直方向的初速度为零，所以平抛运动的竖直分运动就是自由落体运动. 而水平方向上物体不受任何外力作用，所以水平方向的分运动是匀速直线运动. 通常可将平抛运动沿水平方向与竖直方向分解. 当然，在一些特定场合，也可将平抛运动沿倾斜方向进行正交分解.

3. 向心力的分析方法

首先对做圆周运动的物体进行受力分析，作出物体的受力分析图；然后将各力沿半径方向和垂直于半径方向分解，则各力沿半径方向分力的代数和（指向圆心的分力为正，背离圆心的分力为负），即为物体做圆周运动的向心力.

4. 圆周运动动力学问题的研究方法

① 明确研究对象，并对其进行受力分析；

② 明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置；

③ 求出物体受到的合力或向心力；

④ 运用牛顿第二定律及圆周运动的运动学公式列出方程；

⑤ 求解并进行必要的讨论.

5. 一般曲线运动的研究方法

运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般曲线运动. 研究一般曲线运动时，可将曲线分割成许多极短的小段，每一小段曲线都可看作一小段圆弧. 当然，这些圆弧的弯曲程度通常是不一样的. 这样，就可用研究圆周运动的方法来研究一般曲线运动.

■ 二、 万有引力与航天

1. 牛顿发现万有引力定律的研究方法

① 观察获得规律：行星运动的开普勒定律. 问题：行星运动为什么会有这样的规律？

② 猜想原因：太阳对行星的引力作用. 问题：太阳对行星的引力与什么因素有关？

③ 数学演绎得到规律：根据已知规律（开普勒行星运动定律和牛顿运动定律）推出太阳与行星间的引力遵从的规律F∝■.

④ 进一步猜想：地球使地面上物体下落的力，与太阳使行星运动的力、地球使月球运动的力是否出于同一原因？

⑤ 猜想得到检验：月―地检验使猜想得到证实.

⑥ 更大胆地猜想：自然界任何两个物体之间是否也有这样的吸引力？

⑦ 得到万有引力定律：F=G■.

2. 解决天体运动问题的两种方法

① 根据万有引力提供向心力，运用G■=m■进行分析；

② 根据重力等于万有引力，运用mg=G■进行分析.

式中g为天体表面的重力加速度，r为轨道半径，R为天体半径.

3. 人造地球卫星的计算方法 有关人造地球卫星的计算，要牢牢把握人造地球卫星绕地球运行的向心力来源于地球对卫星的万有引力，可根据已知条件，选用下列规律：

mg′=G■=m■=mω2r=m■2r=m（2πn）2r.

式中M、m分别表示地球和卫星的质量，r表示卫星的轨道半径，g′表示卫星轨道处的重力加速度，T、ω、n分别表示卫星的运转周期、角速度和转速. 对于近地卫星，式中的g′即为地球表面的重力加速度g，r即为地球半径R. 对于同步卫星，式中的T、ω、n即分别为地球自转的周期、角速度和转速.

■ 三、 机械能及其守恒定律

1. 功的计算方法

计算恒力的功可直接应用功的公式W=Fxcosα. 计算变力的功常见的有以下几种方法：

① 转换研究对象求解 通过转换研究对象的方法，将变力所做的功转化为恒力做功问题处理.

② 运用累积思想求解 把物体通过各个小段中力所做的功累加在一起，就等于变力在整个过程中所做的功.

③ 应用动能定理求解.

2. 应用动能定理解题的方法

应用动能定理解题的一般步骤是：

① 选取研究对象，确定研究过程；

② 分析物体受力，明确做功情况；

③ 根据初、末状态，确定初、末动能；

④ 应用动能定理，列出方程求解.

应用动能定理解题应注意以下几点：

① 正确分析物体受力，要考虑物体所受的所有外力，包括重力.

② 有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态、受力等情况均发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待.

③ 若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题时可以分段考虑也可视全过程为一整体，用动能定理求解，后者往往更为简捷.

3. 判断机械能是否守恒的方法

① 做功条件分析法 应用系统机械能守恒的条件进行分析. 若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒.

② 能量转化分析法 从能量转化的角度进行分析. 若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能增加），则系统的机械能守恒.

③ 增减情况分析法 直接从机械能各种形式能量的增减情况进行分析. 若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统的动能（或势能）不变，而势能（或动能）却发生了变化，则系统的机械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能也不守恒. 当然，这种方法只能判断系统的机械能明显不守恒的情况，对于另一些情况（如系统的动能增加而势能减少）则无法做出定性的判断.

4. 应用机械能守恒定律解题的方法

应用机械能守恒定律解题的一般步骤是：

① 选取系统对象，确定研究过程；

② 进行受力分析，考察守恒条件；

③ 选取零势能平面，确定初、末态机械能；

④ 运用守恒定律，列出方程求解.

根据机械能守恒定律，求解具体问题时可从以下不同的角度列出方程：

① 从守恒的角度 系统的初、末两状态机械能守恒，即E2=E1；

② 从转化的角度 系统动能的增加等于势能的减少，即?驻Ek=-?驻Ep；

③ 从转移的角度 系统中一部分物体机械能的增加等于另一部分物体机械能的减少，即?驻EA=-?驻EB.

5. 运用功能关系求解相关物理量的方法

能量转化是与做功紧密地联系在一起的. 力做功时，必然伴随着能量的转化，而且功与能量转化的量值是相等的. 这一等量关系不仅提供了计算功的大小的另一种途径，而且涉及功与能的其他物理量也可能在这一等量关系中求出. 在力学中，常涉及以下几种力的功引起的相应的能量变化的等量关系：

① 合外力所做的功等于物体或物体系动能的变化――动能定理；

② 除了重力和弹力外，其他力对物体系所做的功等于物体系机械能的变化――功能原理；

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关键词：物理定律；教学方法；多种多样

关键词：是对物理规律的一种表达形式。通过大量的观察、实验归纳而成的结论。反映物理现象在一定条件下发生变化过程的必然关系。物理定律的教学应注意：首先要明确、掌握有关物理概念，再通过实验归纳出结论，或在实验的基础上进行逻辑推理（如牛顿第一定律）。有些物理量的定义式与定律的表式相同，就必须加以区别（如电阻的定义式与欧姆定律的表式可具有同一形式R＝U/I），且要弄清相关的物理定律之间的关系，还要明确定律的适用条件和范围。

（1）牛顿第一定律采用边讲、边讨论、边实验的教法，回顾“运动和力”的历史。消除学生对力的作用效果的错误认识；培养学生科学研究的一种方法——理想实验加外推法。教学时应明确：牛顿第一定律所描述的是一种理想化的状态，不能简单地按字面意义用实验直接加以验证。但大量客观事实证实了它的正确性。第一定律确定了力的涵义，引入了惯性的概念，是研究整个力学的出发点，不能把它当作第二定律的特例；惯性质量不是状态量，也不是过程量，更不是一种力。惯性是物体的属性，不因物体的运动状态和运动过程而改变。在应用牛顿第一定律解决实际问题时，应使学生理解和使用常用的措词：“物体因惯性要保持原来的运动状态，所以……”。教师还应该明确，牛顿第一定律相对于惯性系才成立。地球不是精确的惯性系，但当我们在一段较短的时间内研究力学问题时，常常可以把地球看成近似程度相当好的惯性系。

（2）牛顿第二定律在第一定律的基础上，从物体在外力作用下，它的加速度跟外力与本身的质量存在什么关系引入课题。然后用控制变量的实验方法归纳出物体在单个力作用下的牛顿第二定律。再用推理分析法把结论推广为一般的表达：物体的加速度跟所受外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。教学时还应请注意：公式F＝Kma中，比例系数K不是在任何情况下都等于1；a随F改变存在着瞬时关系；牛顿第二定律与第一定律、第三定律的关系，以及与运动学、动量、功和能等知识的联系。教师应明确牛顿定律的适用范围。

（3）万有引力定律教学时应注意：①要充分利用牛顿总结万有引力定律的过程，卡文迪许测定万有引力恒量的实验，海王星、冥王星的发现等物理学史料，对学生进行科学方法的教育。②要强调万有引力跟质点间的距离的平方成反比（平方反比定律），减少学生在解题中漏平方的错误。③明确是万有引力基本的、简单的表式，只适用于计算质点的万有引力。万有引力定律是自然界最普遍的定律之一。但在天文研究上，也发现了它的局限性。

（4）机械能守恒定律这个定律一般不用实验总结出来，因为实验误差太大。实验可作为验证。一般是根据功能原理，在外力和非保守内力都不作功或所作的总功为零的条件下推导出来。高中教材是用实例总结出来再加以推广。若不同形式的机械能之间不发生相互转化，就没有守恒问题。机械能守恒定律表式中各项都是状态量，用它来解决问题时，就可以不涉及状态变化的复杂过程（过程量被消去），使问题大大地简化。要特别注意定律的适用条件（只有系统内部的重力和弹力做功）。这个定律不适用的问题，可以利用动能定理或功能原理解决。

（5）动量守恒定律历史上，牛顿第二定律是以F＝dP/dt的形式提出来的。所以有人认为动量守恒定律不能从牛顿运动定律推导出来，主张从实验直接总结。但是实验要用到气垫导轨和闪光照相，就目前中学的实验条件来说，多数难以做到。即使做得到，要在课堂里准确完成实验并总结出规律也非易事。故一般教材还是从牛顿运动定律导出，再安排一节“动量和牛顿运动定律”。这样既符合教学规律，也不违反科学规律。中学阶段有关动量的问题，相互作用的物体的所有动量都在一条直线上，所以可以用代数式替代矢量式。学生在解题时最容易发生符号的错误，应该使他们明确，在同一个式子中必须规定统一的正方向。动量守恒定律反映的是物体相互作用过程的状态变化，表式中各项是过程始、末的动量。用它来解决问题可以不过程物理量，使问题大大地简化。若物体不发生相互作用，就没有守恒问题。在解决实际问题时，如果质点系内部的相互作用力远比它们所受的外力大，就可略去外力的作用而用动量守恒定律来处理。动量守恒定律是自然界最重要、最普遍的规律之一。无论是宏观系统或微观粒子的相互作用，系统中有多少物体在相互作用，相互作用的形式如何，只要系统不受外力的作用（或某一方向上不受外力的作用），动量守恒定律都是适用的。

篇10

摘要：

研究了考虑变质量效应的柔性两级火箭的动力学建模问题．首先采用Kane方法和模态截断法建立了变质量柔性体的动力学方程，然后将火箭简化为带喷嘴的梁模型，将变质量柔性体的动力学方程应用到火箭动力学建模过程中，分别推导了针对喷嘴和梁的动力学方程，进而组集得到整个系统的动力学方程．在建模过程中，考虑了外部气动力以及两级火箭级间分离时间间隔的影响．文章最后通过数值仿真揭示了火箭柔性效应对系统特性的影响，以及单级火箭和两级火箭在动力学特性上的差异．

关键词：

两级火箭；变质量；柔性；建模；动力特性

随着航天技术的飞速发展，针对变质量系统的研究在航天领域具有重要意义，火箭就是一个典型的代表．由于燃料质量所占火箭总质量比例极大，飞行过程中燃料不断消耗导致火箭质量随时间不断变化；与此同时，随着航天发射任务越来越高，火箭尺寸也在不断增加，随之带来了火箭刚度下降、柔性效应增加的问题[1]．因此，为了更加精确地分析火箭飞行过程中的相关参数变化，在火箭设计工作中建立一个同时考虑火箭变质量效应、柔性效应的动力学方程显得极具意义．

截至目前，国内外众多学者对火箭变质量问题进行了较为广泛的研究．例如，Meirovitch[2]建立了具有内部气体喷射流动的时变质量参数柔性火箭结构的动力学控制方程，对时变质量轴对称火箭结构横向振动的时变系数微分方程进行了解析求解．刑誉峰等[3]提出了变质量系统振动分析的两种方法，根据虚位移原理与动量守恒定理，分析了质量变化对系统动特性的影响，推导了一般变质量动力学系统的变系数控制微分方程，给出了适用于变质量系统的改进欧拉中点辛差分格式和模态叠加方法．Huang和Zeiler[4]从Lagrange方程出发得到了自由飞行柔性火箭的动力学方程，考虑了推力对刚度的作用、质心变化和质量减少引起的结构固有振动特性的变化．缪协兴等[5]分析了变质量火箭燃料喷射带来的质量和边界的变化，将燃料运载火箭视为时变边界的挠性体，火箭的质量变化等效成为作用在时变边界上的表而力，对时变边界挠性体的动力学行为进行研究，建立了挠性体的动力学方程．

本文以柔性火箭为对象，对考虑变质量效应的动力学建模问题进行研究，并且在建模中分别考虑了气动力、变质量效应、柔性效应、级间分离间隔的影响．最后通过数值仿真给出火箭柔性对变质量火箭系统特性的影响，以及单级火箭和两级火箭动力学特性的差异．

1变质量柔性体动力学方程

1.1变质量质点系Kane动力学方程假定一个系统由N个质点构成，各个质点的质量变化率相同．质点系独立的广义坐标数量为f个。

1.2变质量柔性体动力学方程构建变质量柔性体模型时，变质量效应由质点系Kane方程描述，柔性效应由模态截断法描述．如图1，取柔性体上变形单元进行运动学分析．

2柔性火箭动力学模型

本文将火箭简化为喷嘴-梁模型，其中梁为变质量柔性体，喷嘴为不变质量刚体，喷嘴与梁之间为铰接关系．这种模型保留了火箭主要的动力学特性，同时可以简化计算过程．

3数值仿真

本文以单级火箭和两级火箭为例，对考虑变质量效应的柔性火箭动力学问题进行数值仿真研究，并且比较了两者的差异，另外通过数值仿真给出柔性效应对于火箭系统特性的影响．仿真算例中，单级火箭与两级火箭相关参数如表1所示.图3对比了单级火箭在刚体和柔体的数值仿真结果．图3(a)描述水平位移随时间变化关系，由图知，刚体和柔体水平位移几乎一致，可见柔性效应对于单级火箭水平位移影响较小；图3(b)为竖直位移随时间变化关系，竖直位移差距随时间推移呈现扩大趋势，可见柔性变形效应对单级火箭竖直位移有较大影响；图3(c)为俯仰角随时间变化关系，数据显示柔性火箭相比刚体火箭俯仰角更大．综上所述，柔性效应对于火箭飞行具有不可忽略的影响．图4对比了单级火箭和两级火箭的数值仿真结果．两级火箭由于存在级间分离，其与单级火箭相比飞行过程存在较大差异．图4(a)、(b)为水平位移和竖直位移随时间变化关系；图4(c)、(d)为水平方向速度和竖直方向速度随时间变化关系．由图，两级火箭受级间分离影响，其水平速度在级间分离处发生明显变化，虽然分离之后继续增大，但增速明显放缓；两级火箭竖直速度级间分离之后逐渐减小．

4结论