关联矩阵法的基本原理范文

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篇1

关键词：柔性关节铰 柔性机械系统动力学 动力分析

1.前言

复杂空间机械臂的物理模型是受控多体系统。考虑到现代机构的的构型愈来愈大及其高速运转，其组成部件及关节必须视为柔性体。建立柔性体系统的程式化、便于计算机自动实现的数学模型是机械系统动力学数字仿真的基础。从理论上讲，根据力学基本原理推导系统离散的仿真数学模型并无太大困难，只是比较繁琐。近几十年来，国内外许多学者已给出多种形式基本类同的数学模型。然而，数学模型相当复杂，数值计算呈病态，仿真计算慢是长期困惑着力学工作者的难题。

近几十年来，多体系统动力学迅速发展，成为应用力学中发展最快的领域之一。一方面，多体系统正越来越多地用来作为诸如机器人、机构、链系、缆系、空间结构和生物动力学系统等实际系统的模型，另一方面，对多体系统动力学的研究活动已经促进了许多子领域的研究.当前最感兴趣的多体动力学研究领域是把柔性效应并入动力学控制方程中去[1-3]。对于柔性多体系统，特别是由小变形物体组成的系统运动，大多采用相对描述的方法，引进浮动坐标系来分解系统部件的运动，如节点切向坐标系、割线坐标系、或Trsserand坐标系和Bucken坐标等等[4]。弹性体相对浮动坐标系的离散，通常有有限元法、部件模态法等。后者是建立在现代结构振动分析领域内动态子结构方法 ，它大大降低了动力学方程的广义坐标数，且可利用静力修正模态收回模态截断误差，提高计算精度。在部件有大变形时，则需考虑采用有限变形的理论进行系统建模。对多体系统的动力学分析，目前已形成了Kane方程、Roberson/Wittenburg体系、变分方法、最大数量坐标法、旋量矩阵法及动力学方程单向递推法等多种方法，推导方程则可以从Largrange方程、虚功原理、虚功率原理、Gibbs-Appells方程和牛顿-Euler方程等出发，但哪些方法最好仍存在争论。在描述多体结构的方式上，有Wittenburg的关联矩阵、通路矩阵，Huston的内接刚体数组和Kim， Haug的递推方程， Shabana等人的递推投影算法等。对于非树或约束多体系统、处理约束方程的方法也有伪逆解法、正交补法、奇异值分解法和零/切空间法等等。多体系统动力学分析中的这些方法的优劣很难评价，各有长短，需要不断研究与探索。由于多体系统动力学方程相当繁杂，呈强非线性，多体系统，特别是柔性系统，其数值计算特性一般都不能令人满意。

2. 转动铰连接系统的运动学

运动学的研究先从树系统开始，因为树系统具有最简单的数学表达形式，而且非树系统可使用切割铰或者物体切割方法简化为派生树系统来进行处理。首先讨论转动铰联结的系统，这里铰点相对邻接物体的位置不变而最有利于分析研究。

2.1 物体的变形描述

考虑弹性系统的第i个物体，在弹性小变形内，可以借助有限元方法与模态综合理论，它的弹性变形up可用弹性模态基Ψi与模态坐标向量ηi表示为：up =Ψηi （2.1）

其位移与转角分量分别为： （2.2）； （2.3）

其中o-e0为整体坐标，其上固连一正交坐标基 ，Ci-ei为浮动坐标，在质心Ci处，其上固连一正交坐标基 ，P0为弹性体上任意点，其变形后的位置为P，P-eP为单元坐标系，固连于P点，坐标基 。对（2.2）与（2.3）求导，有：

（2.4）； （2.5）

2.2 弹性体的运动描述

根据弹性体Bi上任一点P的有限元节点P的矢径的表达式（2.6），再考虑式（2.2）与（2.3），得到P点在惯性坐标系下的速度与角速度为

（2.7）

（2.8）

这里 与 分别为弹性体Bi的质心速度与相对质心的角速度。弹性体Bi上的节点P的加速度与角加速度可分别由对式（2.7）与（2.8）求导获得：

（2.9）

（2.10）

这里 与 分别为弹性体Bi的质心加速度与相对质心的角加速度。

3.物体的相对运动递推关系

3.1物体绝对角速度与角加速度

现在考虑系统中任意物体Bi-（a）相对惯性参考系的绝对角速度与角加速度。系统中任意物体Bi-（a）相对惯性参考系的绝对角速度ωi应等于B0的角速度ω0以及沿物体B0与物体Bi-（a）的路上各对邻接物体的相对角速度之和，引入图论方法，考虑沿物体B0与物体Bi-（a）的路上的通路矩阵Tji，则任意物体Bi-（a）相对惯性参考系的绝对角速度可写作

（j=1，2，…，n）

3.2物体的质心速度与加速度

考虑铰在物体上的分布情况：在树系统内部，任意物体B0所所关联的全部铰中，只有一个特殊铰与B0连通而成为内铰接。使用规则标号时，内连接的与物体的序号相同，记作Oi，除内接铰以外的其他铰均通过与Bi连通的外侧物体为外铰链。

结束语

利用Wittenberg的关联矩阵对开环拓扑树结构进行了柔性关节铰运动学递推组集建模，采用连体浮动坐标系对柔性关节铰运动进行分解，用部件模态法对柔性关节铰变形进行离散，取得了如下成果：1.建立了柔性关节铰系统运动学递推组集建模的数学描述方法。2.推导了柔性关节铰系统运动学方程。3.推导了柔性关节铰系统动力学学方程。

参考文献：

[1]Huston R L. Multibody dynamic-modeling and analysis methods[J].力学进展，1992，22（3）：426-432