逆向思维的训练范文

导语：如何才能写好一篇逆向思维的训练，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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一、定义教学中逆向思维的训练

教科书中，作为定义的数学命题，其逆命题往往是成立的。因此，学习一个新概念，如果能从逆向切入，学生不仅能对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，而且还能培养学生双向考虑问题的良好习惯。如在向量教学中，关于向量垂直定义为：

非零向量a、b，若ab，则a・b=0。

反过来，对非零向量如果a・b=0，是否有ab？

又如，逆用方程根的定义解下列两题，比用一般方法要简捷。

例1：①解方程（7-4√3）x2-7x+4√3=0。

因为7-4√3-7+4√3=0，所以1是此方程的一个根，设另一根为x2，则1・x2= ，故x2= 48+28√3。

②已知a、b为不相等的实数，且a2=7-3a，b2=7-3b，求

的值。显然，a、b是方程x2=7-3x的两根，由根与系数的关系即可解之。

二、公式教学中逆向思维的训练

数学中的公式都是双向的，然而很多学生只会从左到右使用，对于逆用往往不习惯。在公式教学中，应注意强调公式的正用和逆用、聚合与展开。

例2：求sin（-3x）cos（-3x）-cos（+3x）sin（+3x）的值。

分析：该题基本符合sin（α+β）展开式结构，只是角度不符，但 -3x与 +3x、 -3x与 +3x恰是余角关系。

解：原式=sin（-3x）cos（-3x）-sin（-3x）cos（-3x)

=sin（ - ）=。

例3：已知

，求sin2α的值。

分析：本题很自然地去逆向思考2α的来源，结合已知的两种复合角α-β与α+β，不难看出已知角与解题目标角间的关系：

2α=（α+β）+（α-β）

解：

sin（α-β）= √1-cos2（α- β）= ，cos（α+β）=- 。

sin2α=sin〔（α+β）+（α-β）〕=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=-。

在公式的应用教学中，有意识地进行双向训练，可起到事半功倍之效。

三、运算法则在教学中逆向思维的训练

在运算法则教学中进行逆向思维训练，有利用学生对法则的掌握，在教学中要反复训练，如集合教学中：

如果A是B的子集，那么A∩B=A，A∪B=B，可列举一些逆向应用的例子。

例4：若集合A={1，2，3，4}，A∩B={1，2}，B=？答案唯一吗？A={1，2，3，4}，A∪B={1，2，3，4，5}， B=？答案唯一吗？

如此多角度、多向思考问题，对思维水平的提高很有益处。

四、解题教学中逆向思维的训练

解题能力是学生数学综合能力的体现，解题的首要环节是审题，只有审清了题设与题设、题设与结论间的内在联系，才能找到解题切入点，从而使解题顺畅。逆向思维在解题中具有举足轻重的作用，应予以重视。

例5：已知抛物线y=mx2-1上存在着以直线 x+y=0为对称轴的两个点，求m的取值范围。

分析：为了求得m的取值范围，逆向思考条件中“两个对称点”与直线、与抛物线的内在关系，即①关于直线x+y=0对称；②均在抛物线y=mx2-1上；③两点的存在性。

解：P，Q两点关于直线x+y=0对称，可设P（x0，y0）， Q（-y0，-x0），又P，Q

y0=mx02-1……（1）

-x0=my02-1……（2）

两式相减得：（x0+y0）[m（x0-y0）-1]=0。

又x0+y0≠0，m（x0-y0）-1=0，即 y0=x0- ，代入（1）得：

mx02-x0+ -1=0，又P，Q是抛物线上的两个不同点，故该二次方程有异根，则>0，解得m> 。

评析：分析思路运用了“执果索因”即逆向思维方法，这种方法在数学解题中应用非常普遍，如平面几何和立体几何的证明题等等，教学中应予以重视。

五、定理教学中逆向思维的训练

不是所有定理都有逆定理，但好多定理的逆命题是成立的，甚至有些是教科书中明确的，如三垂线定理及逆定理，而有些定理的逆定理虽然教材中没有明述，但作为逆定理在应用，如二次方程的根与判别式的关系定理及韦达定理等，这些都是很好的教学例子，应在教学中有意识地加以利用。

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关键词：逆向思维；受阻表现；训练；实施；策略

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）15-202-01

数学是思维的体操，思维是智力的核心。逆向思维是数学的一个重要法则，其特点表现在：善于从不同的立场、不同的角度、不同的侧面去进行探索，当某一思路出现阻碍时，能够迅速地转移到另一种思路上去，从而使问题得到顺利解决。

一、阻碍学生逆向思维的因素

从教学形式看，最主要是教师在数学课的教学中，往往采用“建立定理--证明定理--运用定理”这三部曲或采用“类型+方法”的教学模式，忽视了逆向思维的培养与训练，以致学生不能迅速而准确地由正向思维转向逆向思维。

二、逆向思维受阻的具体表现

1、缺乏显而易见的逆向联想

由于学生在学习过程中，进行了较多的是由此及彼的单向训练，而忽视了逆向联想，这就造成了知识结构上的缺陷和思维过程中顽固的单向定势习惯。

2、混淆重要定理的正逆关系

对于运用正逆关系的数学命题，学生经常混淆题设与结论的顺序。如：勾股定理的逆定理的运用，“在ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么ABC是直角三角形吗？请说明理由。”学生认为运用的是勾股定理，理由是“AC2 + BC2 = AB2，52 +122 =132 ，ABC是直角三角形。”其实有“AC2 + BC2 = AB2”，已经是直角三角形了，还要“52 +122 =132”干什么呢？

3、忽视正逆转化的限制条件

如：已知……（条件），则……（结论） ；但反过来由结论推出“条件”就不全面了，遗漏了另一种情况。特别是对一些限制条件的反求，学生更是束手无策，如：当cbc，则a

4、缺乏逆向变形的解决能力

如：计算 ，有些学生竟然对它进行通分，却不会用变形。

5、缺乏逆向分析的解题思路

学生在分析问题时只习惯于从条件到结论，却不会从结论出发去寻求解题思路，缺乏双向思维解决问题的能力。

三、逆向思维训练在教学中的实施

心理学家研究的结果表明，中小学的学生思维发展中所表现的思维方向和水平是不同的，最初只能是单向的，没有逆向思维，以后才逐渐形成思维的可逆性和反复性。对于学习能力不同的学生，从正向思维序列转到逆向思维序列程度也不同：一般地，能力较强的学生几乎在建立正向思维的同时，就建立了逆向思维，只需稍加点拨；能力中等的学生，要建立逆向思维必须进行适当的训练；能力较差的学生，要形成这种逆向的心理过程是非常困难的，对于这些学生还是把重点放在正向思维的建立上，在巩固了正向思维的基础上，通过教师长期多方面的引导和特别训练，才能逐步地接受逆向思维。本文从以下几个方面探讨如何在教学中实施逆向思维。

1、定义教学中逆向思维的训练

作为定义的数学命题，其逆命题总是存在，并且是成立的。因此，学习一个新概念，如果注意从逆向提问，学生不仅对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，而且能够培养学生养成双向考虑问题的良好习惯。

2、公式教学中逆向思维的训练

数学中的公式总是双向的，可很多学生只会从左到右顺用公式，对于逆用，尤其是利用变形的公式更不习惯。事实上，若能够灵活地逆用公式，再解题时就能得心应手，左右逢源。

在此应特别注意两点：第一、强调公式的顺用和逆用，“聚合”和“展开”。第二、逆用公式是求代数式的值、化简、计算的常用手段。

3、运算法则教学中逆向思维的训练

数学中的很多运算都有一个与它相反的运算作为逆运算，如：加法和减法、乘法和除法、乘方和开方都是互为逆运算，彼此依存，共同反映某种变化中的数量关系。而且在同一级运算中，可以互相转化，如利用相反数的概念减法可以转化为加法，利用倒数的概念可以转化为乘法。

4、定理教学中逆向思维的训练

不是所有的定理的逆命题都是正确的，引导学生探究定理的逆命题的正确性，不仅能使学生学到的知识更加完备，而且能激发学生去探索新的知识。勾股定理、一元二次方程根的判别式定理、韦达定理的逆定理都是存在的，应用也十分广泛。

四、逆向思维训练的实施策略

在学数学的过程中，经常会遇到这样一些问题，当从正面考虑时会出现很多障碍，或者根本解决不了，而从反面着手，往往可以使问题迎刃而解，再或者证明问题的不可能性，等等都需要有非常规思路去解决。比如“正”难则“反”。

反证法是一种逆向思维的方法，被誉为“数学家最精良的武器之一”，是解数学题常用的方法。当题目出现有“至少”或“至多”字样，或以否定形式给出时，一般采用反证法。

五、逆向思维的训练应注意的问题

实践证明，在教学中，关注学生的逆向思维的训练，不仅能培养思维的灵活性、敏捷性、深刻性和双向性，而且还能克服由单向思维定势造成解题方法的刻板和僵化，以及不善于在新条件下独立发现新方法、新结论等不足之处。

在数学教学中培养学生逆向思维值得说明的是：首先，必须有扎实而丰富的基础知识和基本思想方法为前提，只有具备大量的知识信息，才能从事物的不同方向、不同联系上去考虑问题；其次，在教学中要充分注意类比、引申、拓广、举反例等多种思维方法的培养，使之形成习惯；再者，提倡变式教学，“模式化+变式”是逆向思维训练的高效率的形式之一；最后，培养学生的逆向思维的能力，必须量力而行，应注意学生的可接受性，因为许多逆向问题对中、下学生来说，考虑起来还是比较困难的，该回避的还是不涉及为好，让这些学生集中精力掌握好基本内容；对学有余力的学生，加强逆向思维的训练，对培养他们的学习兴趣，拓广思路，提高能力都起着十分重要的作用。

参考文献：

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关键词：小学数学;逆向思维;培养策略;数学素养

小学生逻辑思维能力较弱，培养学生的逆向思维需要循序渐进的过程，部分学生思维运动性较强，即为创造性思维能力较强，学生存在思维能力差异。良好的思维训练具有很多作用。一是培养学生创造性思维，克服顺向思维解决问题的困难;二是避免学生思维定式，提升学生思维灵活性;三是探寻学生思维弱点，强化学生思维的广泛性和深刻性。由此，小学数学教学中，需要加强对学生逆向思维的训练与培养。

一、深化对互逆概念的理解

小学数学知识中概念较多，有很多概念涉及互逆、互为关系，如正比例和反比例中的数与数之间的关系，平行与垂直的互为关系，倍数与约数的相互关系，加减、乘除的互逆关系等。掌握这些概念中的互逆内涵，不仅能掌握知识本身，还能奠定培养学生逆向思维的基础，对于学生思维发展非常重要。

二、引导学生善于逆向观察

观察与思考是思维的基础，学生基于观察展开思考过程。引导学生逆向观察，能推动学生逆向思维。逆向与顺向观察都是强化学生思维能力的过程，逆向观察指的是改变以往从左到右、从上到下的观察顺序，转变方向、角度和思维模式，展开反方向、反角度的观察过程。比如：没有示数的闹钟上指针显示反向的45°，引导学生逆向观察，离12点还差3个钟头，那么应该是早上9点或晚上9点了。又如设计一张收支明细表，最后本月存下来7000元，问这个月挣了多少钱。这就需要学生逆向观察与运算了。

三、加强学生逆向思维训练

克鲁捷茨基表示，逆向思路中，思想会向着相反的方向运动。这里谈到的相反方向的运动，指的就是逆向思维能力。学生将眼前看到的事物、过程、事实，和与之相反的事物、过程、事实联想起来，产生出新的感悟，可以进入不一样的数学意境。加强学生的逆向思维训练，有助于培养学生的逆向思维。如两杯果汁共400ml，A杯多B杯少，A向B中倒入了40ml，两杯一样多了，问最初A、B各多少升。这就需要学生反过来思考，一样多后，A、B有多少升？平均后，A、B都有200ml，而B被加了40ml，所以之前为160ml，A给了B40ml，即少了40ml之后为200ml，若没少，那么就是240ml了，得出没倒前A、B分别有240ml、160ml。加强对学生的逆向思维训练，是培养学生逆向思维能力的策略。

四、鼓励学生解题逆用公式

小学数学中的公式，凡是用等号连接的都具有双向性，存在互逆关系。公式为解题规律的抽象概括，可以说，公式是建立模型后的经验总结，数学公式的双向性为学生提供了多样化的思维方式，正向运用可以得出问题的结果，反向运用也可解决更多的数学问题。小学数学教学可以鼓励学生解题逆向运用公式，深化学生对公式的理解与掌握，训练学生的创新思维、多元化解题思路。例如：圆柱体体积=底面积×高=π×半径的平方×高，而2π半径×高=侧面积，也就是说体积=侧面积÷2×半径。这3个要素中知道其中2个，就可以运用逆向推导方法，得出未知项。即为侧面积=体积×2÷半径。乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c，能从左边得出右边，反之亦可。

五、激励学生展开逆推练习

逆推法也可以说是还原法，是一种重要的数学思想方法，也就是从题目中所给事情的结果分析出发，一步步还原最初事情的开始。还原法需要运用到题目的每个细节，按图索骥、分析推理、追根究底，一直到问题得到解决。运用逆推法实施逆向思维训练，能够激活学生思维，提升学生创新思维能力。

以五年级书本中的趣题作为例子，“李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒，借问此壶中，原有多少酒”。学生在趣味题目的激励下，展开逆推练习。三次遇到店和花，壶中酒为0。最后一次遇到花前壶中酒就为1斗，即为第3次遇到店前壶中为1/2斗，逆推得出第2次遇到花前为1/2+1=3/2斗，第二次遇店前3/2÷2=3/4斗，那么相同的第一次遇花即为3/4+1=7/4，最初壶中为7/8斗。

逆向思维属于发散思维中较为重要的部分，为培养学生的创新能力、思维发散能力，需要加强对学生逆向思维能力的训练与培养。引导学生善于从反方向思考、解决问题，打破思维定式，养成从多角度、多方向解决问题的习惯。教师有计划、有目的地实施逆向思维训练，需要基于学生认知基础、身心发展规律，关注学生思维兴趣，挖掘学生思维潜力，科学调动学生思维主观能动性，从而有效强化学生逆向思维能力。

参考文献：

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关键词： 数学教学 逆向思维 能力培养

逆向思维是指从问题的相反方向着手的一种思维。笔者从教十几年，深感许多学生数学水平一直提不上来，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，拘泥于顺向、单向学习，死板套用公式、定理，缺乏创造能力、分析能力和开拓精神。因此，在训练正向思维的同时，加强逆向思维的培养，犹如周伯通之“左右互搏”，可有效改变其思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向能力，提高分析问题和解决问题的能力。笔者在培养学生逆向思维方面积极进行了探索和尝试，获得了一定的成效，现归纳如下。

一、指导学生树立正确的数学学习观

很多学生，特别是那些处于中低层次水平的学生常问笔者：“老师，学习数学为什么？”显然，这个问题不解决，逆向思维能力的培养无从谈起。为此，笔者专门答复学生：“高考文理均考语、数、外三门功课，是因为上述三门功课能概括地表现一个学生的能力，语文是锻炼感性思维能力，外语是掌握工具，而数学是通过训练数学逻辑思维，进而培养严谨的理性思维能力。”

这个答复让学生耳目一新，笔者便趁机展开，着重谈思维能力的培养特别是逆向思维的培养，通过介绍逆向思维在日常生活、发明创造等方面的典型运用，激发学生浓厚的学习兴趣，为开展逆向思维的训练奠定基础。

二、帮助学生克服对正向思维的依赖

很多学生患有“正向思维”依赖症，拿到题目，条件反射先设“x”，列出方程后，埋头解方程，久之，解方程能力大大提高，但逆向思维能力严重不足，此类学生往往还自鸣得意，以为解方程乃“一招鲜、吃遍天”。

对此问题，笔者在挑选习题时，故意挑选些解方程难度大的，“逼”学生通过逆向思维解决问题，比如下面这道题：

第一天，往池塘中投入1单位面积绿藻，已知绿藻每过一天分裂一次（即池塘中绿藻第一天为1，第二天为2，第三天为4……），则第17天，该池塘正好布满绿藻，问何时绿藻布满池塘面积的1/4？

题目出后，很多同学不假思索地就设绿藻单位面积为“x”，池塘面积为“S”，意图通过解方程式x+2x+4x+…+216x=S，求出“x”与“S”关系后，再设所求天数为“y”，通过解方程式x+2x+4x+…+2x=（1/4）S，得到所求天数“y”。

显然，上述方程式十分繁琐，班级里几位解方程“高手”都束手无策，笔者见已达目的，从容解答：第17天布满池塘，那么第16天布满池塘的一半，第15天则布满1/4，符合题意。学生心悦诚服。

笔者通过类似“绿藻问题”，有效减少了学生对“正向思维”的依赖，加深了学生对“逆向思维”的理解。

三、采取各种方法开展逆向思维基础训练

培养逆向思维能力，夯实基础非常重要。逆向思维能力的提高，必须建立在对概念、定义、公式、定理深入理解的基础上，笔者在实践中主要侧重以下方面。

1.加强对概念、定义教学中反方向的思考与训练

数学概念、定义总是双向的，在平时的教学中，往往习惯了从左到右的运用，于是形成了思维定势，如果逆用则感觉很不习惯。因此在概念、定义的教学中，除了常规应用外，还引导学生反过来思考，使其能融会贯通，从而加深理解。

2.加强公式逆用的教学

数学公式可以从左到右，也可以从右到左，闪烁着“逆向思维”的光辉。因此，笔者注重数学公式的逆运用，当讲授完一个公式及其常规应用后，“趁汤下面”，即举一些公式逆应用的例子，以此为抓手，开展逆向思维教育，学生容易理解，也容易运用。

3.加强逆定理的教学

每个定理都有它的逆命题，有的逆命题成立，即为逆定理。如：平行线的性质与判定，线段的垂直平分线的性质与判定等，加深对定理的理解和应用，重视逆定理的教学应用对开拓学生思路、活跃学生思维大有益处。

4.结合证明题开展逆向思维训练

每一道证明题都是很好的逆向思维训练题，给出条件和结论，求过程。笔者习惯让学生从结论入手层层推导，直指已知条件。反证法是几何中尤其是立体几何中常用的方法。有的问题直接证明有困难，可反过来思考，假设所证的结论不成立，经层层推理，设法证明这种假设是错误的，从而达到证明的目的。

四、摸索“逆向思维”教学新方法

通过上述训练，许多学生形成了逆向思维习惯，但笔者在实践中发现，还是有部分学生不能随机应变，灵活选用适合题目的解题方法。还是上述“绿藻问题”，笔者稍作改动，很多学生就解答错误。

例如：上述“绿藻问题”中，题目改为：若第一天投入2单位面积绿藻，则何时布满水塘？

很多同学想当然，拿到题目，照例不假思索，投入面积为原来的两倍，时间自然为原来的1/2，回答8.5天。

其实，解法还是利用了“逆向思维”：

解法：已知第一天投1单位面积的话，第二天则分裂为2单位面积，……第17天布满池塘，按题意，可将第二天分裂的2单位面积看成第一天投的2单位面积，所以答案为17-1=16，答：第16天。

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关键词：思维训练；创造性设计；数学魅力

有人曾这样说：音乐能激发或抚慰情怀，绘画能赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学能使人获得智慧，科学可以改善物质生活，而数学能给予以上一切。可见，数学的学习蕴含着丰富的内容。而对于小学生来说，丰富的数学学习中，训练有逻辑的思维能力，特别是逆向思维能力的训练是有一定的难度。解决此类问题，往往要求学生牢固掌握逻辑性强的数学知识，清楚数量间的关系。但是，小学生年龄小，知识储备和认知水平有限。解决逆向思维的问题，容易受到定性思维影响而存在困难，解答出错率很高，出现了教师教的辛苦，学生学得费劲的结果。如何通过数学教学加强学生逆向思维的训练，展现数学学习的魅力？一次教学活动引发了我的思考。

教学片段：

在教学小学三年级长方形周长计算后，我设计了这样的情境问题：王奶奶要给一块长10米，宽5米的长方形菜地围上栅栏，需要买多长的栅栏？这个问题学生迎刃而解。接着出现第二个情境：张叔叔买了50米长的栅栏，正好给宽10米的长方形菜地围上，这块菜地长多少米？，我发现学生尝试解答这个问题时很多学生觉得很难，不会做。于是，设计了 “画数学”的教学活动。

师：该怎样计算长方形菜地的长呢？

生1：“用50米减去10米！”话音刚落就听到有异议。

生2：“应该用50减去10乘2！”

师：“到底谁对呢？大家讨论一下吧！”

经过同桌讨论，很多学生认为应该从用50先减去2个10，可还有一些学生很茫然。课堂上开始了一次小小辩论会。

师：“为什么从50中减去2个10 ？”

生3解释说：“因为长方形有2条宽，用50中减去10乘2就是减去2条宽，得到的30米就是长。” 有的同学点头同意。

生4：“30米不是长”

师：“30米不是长，是什么？”

生4急忙说：“30米是两条长，除以2才是一条长。”

听了几个同学的发言，一些孩子们明白了，但我发现仍有一部分学生的眼神迷茫，完全没有搞清楚刚刚思考的过程。

师：同学们，前面在学习长方形周长计算时，大家用“画”周长的方法理解公式，老师发现你们非常喜欢这种方法。我建议大家试着再用“画”的方法来思考这个问题。

学生流露出好奇的表情，有的同学已经掩盖不住想要当小老师的喜悦，高高举起小手要进行板演了。

我请了一位同学上台，他在黑板上画了一个长方形，把数据写在图上。然后说：“从周长50米里减去10乘2，就是减去两条宽，30米就是剩下的两条长，。”我引导她擦除掉，让大家一目了然看到剩下的就晒两条长。只见她用板擦轻轻擦去长方形的两条宽。接着说：“30除以2就是一条长。”只见她又擦掉一条长。

师：“长方形怎么只剩下一条长了，你看明白了吗？想想也像这样一边画一边算呢？

音刚落，很多同学已经打开本子开心的画画了。同桌交流的时候，每个人都那么自信的比划着、讲解着，所有的孩子都明白了计算的道理。

这时，一个小男孩举手了，他说自己能“画”出另一种方法。我请他上黑板讲解。他先画好一个长方形，竟然用红粉笔把一条长和一条宽描成红色，把剩下的一组描成了黄色。接着，轻轻地擦掉红色一组，说：“我先用50除以2等于25，算的是一条长与一条宽的和是15米，再用15米减去宽10米，就是一条长了。”我看到很多同学都点头称赞，理解了便开始动手边画边算了。

两次“画”数学之后，每个孩子 “画”出了逆向思维问题的解答过程，能够总结出两道题相同与不同之处，这道逆向思维的问题变得简单而有趣。之后，我布置的作业是根据今天学习的内容，自己编一道同类的题目，用“画”的方法表示思考的过程并计算。作业交上来后，我欣喜的看到了每一份作业解答中的思维过程，全班38个学生掌握的很好！

教学反思：

回想教学过程，学生对逆向思维的问题从开始觉得困难到最后爱学、会学、善于表达，创造性的理解让我不觉赞叹，真是别样的教学，有趣的数学！

一、依据儿童的身心特点，变式设计逆向思维的题目。

教学中，教师要准确把握教学内容，根据学生的身心特点，对课本练习创造性的再设计，适时改变题目进行逆向思维的训练。如改变长、宽、周长的已知条件，让学生清楚逆向思维的题目的数量关系，帮助孩子对周长的知识有更深入的理解，引导学生善于动脑，学会思考，在数学学习的过程中不断积累逆向思维的学习经验，引导学生善于动脑，学会思考，促进学生对知识的理解与掌握

二、妙用数形结合的思想，加强逆向逻辑思维的训练。

本节课我改变了传统教学的讲授法，运用数形结合的思想，采用“画图”呈现出周长与长、宽的关系，让逆向思维的过程动态化外显，让学生一目了然。这样借助“形”表示数量间的关系，易于学生逆向思维的连贯性，帮助学生克服了理解中的难点问题，激发学习兴趣，课堂上留下了解决数学问题别样的思考和有趣的方法。

三、善用师生合作交流，加强语言外化思维的训练。

动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。学生在数学学习的过程中有时出现困惑、有时出现思维的间断，这时，师生、生生间的对话沟通是答疑解惑的好方法。语言的交流就是思维的碰撞，思维穿上了语言的外衣，在加上数形结合的外在呈现，逆向思维的过程就生动的展现在学生的面前，问题的解答也就变的简单了。

数学学习的重要任务就是思维的训练，其中，逆向思维的训练日渐被老师们所重视。爱动、爱说的小学生的逆向思维训练，需要教师依据其身心特点，采用灵活多变的教学方法，设计有趣的变式题目，借助数形结合的思想，引导学生在动手、动脑、动口的过程中理解逆向思维的过程，让逆向思维的逻辑过程犹如涓涓细流从孩子的手中画出，从口中缓缓流淌，让枯燥的数学知识变成连贯，焕发童话般有趣的色彩，只有这样，不但能使孩子们数学逆向思维得到训练，而且能感受到的数学学习的乐趣，让别样的教学展现数学的魅力，真是一举多得。

参考文献：

[1]《小学数学课程标准》，北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]李伯玲，小学数学教学中学生逆向思维训练 [J]；现代阅读（教育版）；2011年11期.

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一、逆向思维的有利作用

逆向思维是相对于顺向思维而言的另一种思维形式,是发散思维的一种。它的基本特征是:从已有的思路反向去考虑和思索问题。这种思维形式反映了思维过程的间断性、突变性和反联结性,是对思维惯性的克服。一般的学生从正向思维转向逆向思维是存在着一定的困难的,而有能力的学生在完成这种转变时是迅速且自如的,这就是能力不同的学生在思维的运动性方面的素质差异。这种思维的运动性,是创造性思维的一个重要组成部分,加强学生的逆向思维训练,是培养学生创造性思维能力的一个重要方面。从小学数学中看,逆向思维的作用主要表现为几个有利于:(1)有利于排除顺向思维中的困难,培养思维的创造性;(2)有利于克服顺向思维中的定式,培养思维的灵活性;(3)有利于挖掘顺向思维中的弱点,培养思维的深刻性。

二、逆向思维的训练方法

1.互逆概念。小学数学中有许多“互为”与“互逆”关系的概念,如“互为倒数”、“互为倍数与约数”、“加法与减法”、“乘法与除法”等。在教学中让学生从正反两面去思考与理解这些知识,不仅对于学生掌握知识本身,还是对培养学生逆向思维的能力,都具有十分重要的意义。

例如,①3的倒数是( );②1的倒数( );③16是( )倍数;④( )的倒数是8;⑤()的倍数是8。

2.逆向观察。观察是思维的触角,是培养学生思维的基础。数学中逆向观察与顺向观察都是培养学生思维能力的体操,逆向观察是改变过去的由上及下、由左到右的顺序而进行的。有目的、有意识地让学生进行逆向观察,不但可以使学生全面地掌握知识和熟练地运用知识,而且能培养学生逆向思维的习惯。

例如,在教学分数的基本性质时出示练习题:把四个相同的圆片分别平均分成2份、4份、8份、16份,并涂上了颜色。如果把每张圆片都看成单位“1”,请你把涂色的部分用分数表示,这四个分数所表示的面积都相等,即1/2=2/4=4/8=8/16。组织学生从左向右观察,12的分子与分母都同时乘以2,则等于2/4;若都同时乘以4得4/8;若同时乘以8得8/16;可见分数的分子与分母都同时乘以同一个不为零的数,分数的大小不变。再组织学生从右向左观察,8/16的分子与分母都同时除以2,则等于4/8;若都同时除以4得2/4;若再同时除以8 得1/2;可见分数的分子与分母都同时除以同一个不为零的数,分数的大小不变。通过顺向与逆向观察就可以总结出分数的基本性质。

3.逆想训练。前苏联教育心理学家克鲁捷茨基说过:“在一种逆向思路中,思想并不总是必须沿着完全相同的思路进行,而只是向相反方向运动。”这里指的“向相反方向运动”是逆联想能力。逆想训练就是要求学生能由眼前的事物、事实或过程联想到与之相反或相对立的另样事物、事实或另种过程,从而进入新的数学意境,产生新的领悟。

例如,某粮店有两个仓库,甲仓库存米是乙仓库存米的4 倍。当乙仓运出5 吨米后,甲仓存米则是乙仓的6 倍,甲、乙两仓原来各有米多少吨?学生习惯于顺着题意从倍数角度思考:5÷(6-4)=2.5(吨)(乙仓);2.5×4=10(吨)(甲仓),这种解法显然是错误的。有的学生虽能看出作为一倍量的乙仓存米数是变化的,却又不知从何入手。具有逆联想能力的学生就能自觉地调整思考方向,从变化的量逆想到不变的量,从而用甲仓存米数5÷(1/4-1/6)=60为单位“1”的量,实现由“倍”到“率”的思路逆转,便能很快地求出甲仓存米(吨),再求乙仓原有存米为60÷4=15(吨)。

4.逆用公式。小学数学中的公式都是求周长、面积、体积等。公式是解题规律的抽象概括,数学中的公式都具有双向性,在正向应用的同时,加强公式的逆向应用训练,不仅可以加深学生对公式的理解和掌握,培养学生灵活运用公式的能力,还可以培养学生的双向思维能力。

例如,学生掌握了三角形的面积之后,出示下列练习题:一块三角形的塑料面积是90 平方厘米,它的高是10 平方厘米,这块三角形塑料的底边长是多少厘米?

组织学生思索,三角形的面积=底×高÷2,可以逆推出三角形的底=面积×2÷高,由此可列式为90×2÷10=18(厘米)。

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在自己长期教学中，发现学生由于受习惯性思维的影响，形成了思维定势，造成在解题及思考问题的过程中思维受阻，发挥不出自己的潜能，主要有下面几种情况：

从教学形式看，最主要的是教师在数学课的教学中，往往采用“建立定理――证明定理――运用定理”这三部曲或采用“类型+方法”的教学模式，忽视了逆向思维的培养与训练，以致学生不能迅速而准确地由正向思维转向逆向思维.

从思维过程看，由正向思维序列转到逆向思维序列是思维方向的重建，是从一个方面起作用的单向联想转化为从两个方面都起作用的双向联想.这种转化给学生带来了一定的困难，另外，一种思维在其逆向思维过程中并不一定恰好重复原来的途径，所以正向思维的训练并不能代替逆向思维的训练.

从思维能力看，学生的思维从直观、具体的形象思维向抽象的逻辑思维转化需要一个过程，学生在解答数学问题时的思维必然受到传统的教学方法的约束；只具有机械的记忆和被动的模仿，思维往往会固定在教师设计的框框之内的定势中，逆向考虑问题的思维并不顺畅.2 逆向思维受阻的具体表现

2.1 缺乏显而易见的逆向联想

由于学生在学习过程中，进行较多的是由此及彼的单向训练，而忽视了逆向联想，这就造成了知识结构上的缺陷和思维过程中顽固的单向定势习惯.

比如，证明：两个平行平面中，一个平面内的直线必平行于另一个平面.很多学生无从下手，不知道要怎么表述.其实，逆用定义就可以了.设两个平行平面为α、β，直线mα.因为α∥β，所以α∩β=（平行平面的定义）.又因为mα，所以m∩β=，所以m∥β（线面平行的定义）.

再比如，设三角形ABC的一个顶点A（3，-1），角B，角C的平分线方程分别为x=0，y=x，则直线BC的方程是 .很多学生尝试了很多方法，就是没有想到逆用角的平分线性质，其实因为y=x为角C的平分线，则A对直线y=x的对称点A1（-1，3）一定落在直线BC上.因为x=0为角B的平分线，则A对直线x=0的对称点A2（-3，-1）一定落在直线BC上.由两点求出BC所在直线为：2x-y+5=0.

2.2 混淆定义、定理的正逆关系

对于运用正逆关系的数学命题，学生经常混淆题设与结论的顺序.比如，勾股定理的逆定理的运用，“在ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么ABC是直角三角形吗？请说明理由.”学生认为运用的是勾股定理，理由是“因为AC2+BC2=AB2，所以52+122=132，所以ABC是直角三角形.”其实有“AC2+BC2=AB2”，已经是直角三角形了，还要“52+122=132”干什么呢？

2.3 忽视正逆转化的限制条件

比如，函数y=（a2-3a+3）ax是指数函数，则有a= .由指数函数定义知a2-3a+3=1同时a>0且a≠1，所以a=2.本题容易忽视指数函数y=ax的限制条件a>0且a≠1.

再比如，已知函数f（x）=log2（x2+ax-a）的值域为R，求实a的取值范围.

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一、逆向设问，培养学生的逆向思维的意识

在课堂教学中，教师除了对知识作正面讲解外，还要经常有意识地挖掘互逆因素，反向设问，打破学生的思维定势，对学生进行逆向思维的培养，加强学生对知识的理解和应用。

例如：在讲绝对值的知识时，在对学生进行正面的训练后可设计这样的问题：若|a|=4，则a=?摇?摇?摇?摇.

像以上可逆向思维考虑的问题在初中教材中无处不在，教师如果有意识地去抓住，及时加以处理，就可促进学生思维向多向发散，这无疑对其逆向思维的培养有积极的作用。

二、抓住定义的可逆性对学生时行逆向思维的培养

定义教学是初中教学的一个重要环节，定义总是可逆的，具有性质和判定两方面的作用。在教学中，让学生学会从正反两个方面理解、运用，对学生正确全面地理解定义和提高学生思维的灵活性都是有益的。

例如：对线段中点的定义可对学生进行正反两方面的训练。

（1）C为AB的中点（已知）

AC=BC（中点的定义）

（2）AC=BC（已知）

C为AB的中点（中点的定义）

三、重视公式、法则的逆应用，培养学生的逆向思维

在数学中，有许多的公式和法则，而且有许多公式和法则反过来也成立，可以正反使用。在数学学习过程中，学生往往习惯于公式法则的正向使用，而忽视了公式法则的逆应用，有时逆用公式，或适当改变公式的形式再用，往往能起到意想不到的效果。教师可抓住公式、法则的可逆特点，对学生进行公式的正反两方面的使用训练，既能使学生加深公式的理解和应用，又能培养学生的逆向思维。

例1：计算2×（）

这里可引导学生逆用同底数幂相乘和积的乘方公式：a=a•a，a•b=（ab）

解：2×（）=2×（）×=（2×）×=

例2.计算（x+3y-2z）-（x-3y+2z）

此题很多同学都习惯先算平方再算减法，当然逆用平方差公式就简单多了。

解：原式=［（x+3y-2z）+（x-3y+4z）］［（x+3y-2z）-

（x-3y+2z）］

=2x（6y-4z）

=12xy-8xz

四、利用逆命题的教学，培养学生的逆向思维

数学中存在大量的命题，在教学中教师可经常引导学生考虑逆命题是否成立;成立的话，逆命题又应如何应用等，以帮助学生发现新的结论，加深学生对知识的理解，启发学生思维的灵活性，培养学生逆向思维的能力。

如：定理：两直线平行，同位角相等。

问：逆命题是什么？成立吗？从而自然引导学生得出逆命题：同位角相等，两直线平行。通过对逆命题的探索得到一个新的定理。

又如：命题：若a=b，则a=b。

问：逆命题是什么？成立吗？这个命题的逆命题是：若a=b，则a=b。它是不正确的。

经常对学生进行这方面的训练，让学生养成反过来思考问题的习惯，可培养学生逆向思维的能力，让学生从中发现许多新的结论，提高学生思维的深刻性。

五、在问题解决过程中重视基本逆向思维方法的教学，培养学生的逆向思维方法

在数学问题解决过程中，如果单纯用一种思维方式去思考，有时往往会陷入困境。在教学中，要善于引导学生学会从不同的角度，不同的方向思考问题。顺推不行时，考虑逆推；直接解决不行时，考虑间接解决，在解决问题遇到障碍时，迅速转变思维方向，寻找解决问题的其他途径，促使问题解决。教学基本方法是教学的重点内容。其中的几个重要方法――分析法、反证法，是培养逆向思维的主要方法。在教学中，教师可加强对学生进行这些方法的指导。

1.分析法，人们称之为“执果索因型逆向思维”。它是分析问题解决问题的非常重要的方法，在几何证明题中，体现更多。让学生在分析问题中养成“要证什么，需证什么”的思维方向，从命题的结论出发，逆推它成立的充分条件，达到把问题转化，如此一步一步地进行下去，达到推出原命题的条件，从而使问题得以解决。教师通过分析法进行教学，可培养学生的逆向思维，提高学生分析问题解决问题的能力。

例如：如图，在ΔABC中，BD和CE分别是ΔABC的两条高.

求证：∠ABC=∠ADE.

分析：从逆向思维的角度出发，从结论出发，欲证明∠ABC=∠ADE，若能证明ΔADE∽ΔABC就可以得出∠ABC=∠ADE，这样就把证明∠ABC=∠ADE的问题转化为证明ΔADE∽ΔABC的问题。如何去证明ΔADE∽ΔABC呢？结合题设，这里已有∠A=∠A这个条件，要找到其余一组角对应相等是不可能的，若有条件=就可以得出ΔADE∽ΔABC，这样把证明ΔADE∽ΔABC的问题转化为证明=的问题，那么有如何去证明=呢？只要证明出ΔADB与ΔAEC相似即可得出=这个结论。这样又把证明=的问题转化为ΔADB∽ΔAEC的问题，而根据条件完全可以证明出ΔADB∽ΔAEC，从而问题得以解决。

2.反证法是数学中的一种重要方法，由于它的思维特点，在数学中也有广泛的应用，下面是用反证法证明的一个例子。

例如：证明：一个三角形中至少有一个角不小于60度。

分析：至少一个角为60度的情况有三种：一个、二个、三个，这证明起来比较难。换个角度想，至少一个的反面是没有一个角不小于60度，只要说明一种情况不可能就能说明命题成立。显然，若没有一个角不小于60度，则三个角都小于60度，这样它的内角和将小于180度，这与三角形内角和定理矛盾。因此，没有一个角不小于60度不成立，所以原命题成立。

通过这些数学基本方法的训练，学生能明确用一种方法解不出来时，要转化思维方向，从反面来思考，提高学生逆向思维的能力。

逆向思维有着许多优点和长处，在数学教学中，教师应重视加强学生的逆向思维能力训练，使学生认识到，当一个问题用一种方法解决不了时，可转换思维方向，进行反面思考，从而提高逆向思维能力。培养学生的逆向思维，不仅仅对提高学生分析问题、解决问题的能力有益，更重要的是能改善学生的思维方式，有利于培养学生思维的灵活性、广阔性、深刻性，使学生形成良好的思维习惯，有利于激发学生的创新开拓精神。

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关键词： 逆向思维 逆问 逆境 逆用

智慧的核心是思维，数学是锻炼思维的体操，数学教学在培养思维能力方面，具有其他学科无法比拟的独特作用。思维能力是在有意识、有计划的训练中得以培养和发展的，教师要根据教材内容，结合特征，对学生进行各种逻辑思维方法的训练，特别是逆向思维的训练也是很重要的。

一、“逆问”中积累逆向思维意识

数学知识中有很多互逆关系的，教师要经常有意识地挖掘互逆因素，进行逆向设问。这样，不仅可以使学生对新知识的理解更深刻，而且可以消除思维定势带来的消极因素，从而培养学生逆向思维的意识。

例如：在教学《分数的意义》一课时，在教学完把一个月饼平均分成4份，取其中的1份，可以用1/4表示后，老师接着问：这一整个月饼怎么用1/4表示？在学生答出可以把4个月饼平均分成4份，那么一个月饼就可以用1/4表示后，又问：两个月饼也用1/4该怎么表示？在学生答出可以把8个月饼平均分成4份，那么两个月饼就可以用1/4表示后，再问：你对1/4有了什么认识？1/4还可以表示什么？这几个逆向思维的问题，改变了原来的出示以下三幅图，让学生说一说每幅图的阴影部分可以用哪个分数表示的学生运用正向思维就能轻而易举解决的教学环节。这样逆问，紧紧扣住1/4，让学生去溯本求源，既理解了几个物体可以看成一个整体，完善了对单位“1”的建构，又在分率和具体数量之间架起一座桥梁，明确了尽管分率1/4没有变，但随着总个数的变化一份表示的具体数量却发生了变化，同时帮助学生积累了逆向思维的意识。

像上例可供逆向思维的问题在教材中无处不在，我们应当有意识地抓住它，并进行适当处理，帮助学生积累逆向思维的意识，使正向思维和逆向思维同步发展，减少正向思维对逆向思维的抑制作用。

二、“逆境”中养成逆向思维习惯

学生只具有逆向思维的意识是不够的，教师还需要为学生创设“逆向思维的情境”，就是教师在教学内容和学生的正向思维间制造一种“不协调”，“不协调”必须有意识、巧妙地融于符合学生实际的知识中，且能在他们心里造成悬念，从而迫使学生不得不从另外的角度思考，即逆向思考。怎么设置“逆境”呢？

例如，在《分数的意义》一课中，为了使学生准确区分要求的问题应该用具体数量表示还是用分率表示，老师创设了这样一个情境：出示一个笔袋，问：要把笔袋中的笔平均分给5个同学，每个同学分到多少会用分数表示吗？由于笔的总量未知，用原来的正向思维，即笔的总支数除以人数很显然已经无法解决，以此造成学生认知上的冲突，那么学生的思维重心必然会由总支数转向唯一的已知条件“平均分给5个同学”上，也就是只能用分率表示每个同学分到的支数占总支数的几分之几这一思维的核心上。等学生得出每个同学分到的支数占总支数的五分之一后再问：笔袋里有10支笔，那么每个同学分到多少支？可以用哪个分数表示？而如果一开始就出示10支笔，学生往往会受过去经验的影响，想到每个同学分到2支笔，而不会再思考其他结果。创设了这样的情境后，学生不得不在“逆境”中调整思维的角度，进行逆向思考得出了每个同学能分到总支数的五分之一。

因而，适当地创设逆境可以催生逆向思维，使学生在逆境中逐渐养成逆向思维的习惯，能多角度、全方位地研究数学问题。

三、“逆用”中提升逆向思维能力

1.逆用定义概念。许多数学定义或概念中存在着可逆因素，利用这种定义的可逆性对问题进行分析研究，就能使某些解题过程得到简化，学生的逆向思维能力也可以得到锻炼。例如：在教学《比例尺》时，在学生掌握了比例尺的定义：图上距离：实际距离=比例尺后，出示一幅地图的比例尺：1∶1000，让学生说一说是怎样理解这个比例尺的，根据学生的回答归纳出三点。第一，图上1厘米的线段表示实际距离10米；第二，图上距离是实际距离的1/1000；第三，实际距离是图上距离的1000倍。这样，组织学生进行对定义的逆向转换练习，扩大了学生的认知领域，在后继解决求实际距离和图上距离的实际问题时，学生都能根据归纳出的三点意义尤其是第一点灵活地选择简单的算术方法解决，如：在一幅比例尺是1∶500000的地图上，量得甲、乙两城的距离是12.5厘米。甲、乙两城实际相距多少千米？学生根据1∶500000得出图上1厘米表示实际距离5千米，那么图上12.5厘米表示的实际距离就是：12.5×5=62.5（千米），很显然，这种解法要比根据“图上距离：实际距离=比例尺”用方程解来得简单，如此简单的解法正得益于对定义的逆运用。

2.逆用公式法则。在进行公式教学时，教师应对公式做适当变形，并强调公式的逆向使用，学生在遇到相关的问题时，就能做出有益联想，会对公式作逆向使用，使一些难题迎刃而解。例如教学平面图形的周长和面积计算公式后，要引导学生根据这些基础公式推导出变形公式，如三角形的底=三角形的面积×2÷高，圆的直径=圆的周长÷圆周率，等等。

学生在逆用公式法则中体会到了便捷，就会大大激发对“逆用”的兴趣，这无疑会大大推动他们的逆向思维能力向着更高处发展。

总之，逆向思维不仅对解题能力有益，更重要的是改善学生的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维品质，提高学习效果、学习兴趣及提高思维能力。值得注意的是，正向思维有很大的积极面，决不能一味地追求逆向思维的训练，否则适得其反，要结合学生的实际情况，适当、适度地培养他们的逆向思维，使逆向思维培养真正达到“风景这边独好”的境界。

参考文献：

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一、学生逆向思维受阻的因素

1.从教学形式看，最主要是教师在数学课的教学中，往往采用“建立定理――证明定理――运用定理”这三部曲或采用“类型+方法”的教学模式，忽视了逆向思维的培养与训练，以致学生不能迅速而准确地由正向思维转向逆向思维。

2.从思维过程看，由正向思维转到逆向思维是思维方向的重建，是从一个方面作用的单向联想转化为从两个方面都起作用的双向联想。这种转化给学生带来了一定的困难，另外，一种思维在其逆向思维过程中并不一定恰好重复原来的途径，所以正向思维的训练并不代替逆向思维的训练。

3.从思维能力看，学生在解答数学问题时的思维单单从直观、具体的形象思维向抽象的逻辑思维转化，学生在解答数学问题时思维必然受到传统的教学方法的约束；只具有机械的记忆和被动的模仿，思维往往会固定在教师设计的框框之内的一种定势。

二、逆向思维受阻的具体表现

1.缺乏显而易见的逆向联想

由于学生在学习过程中，进行了较多的是由此及彼的单向训练，而忽视了逆向联想，这就造成了知识结构上的缺陷和思维过程中顽固的单向定势习惯。例：“1，0，-1的立方根分别是 ”，学生回答得非常轻松，也非常正确；但对“若某个数的立方根是它的本身，则这个数是 ”，这一问题，却只有少数学生才能填写完全的。像这些显而易见的逆向问题，在教学中常常遇到，学生解答起来却并不顺利。

2.混淆重要定理的正逆命题关系

对于运用正逆关系的数学命题，学生经常混淆题设与结论的顺序。

例：勾股定理的逆定理的运用，“在ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么ABC是直角三角形吗？请说明理由。”学生认为运用的是勾股定理，理由是“AC2+BC2=AB2，52+122=132，ABC是直角三角形。”其实有“AC2+BC2=AB2”，已经说明ABC是直角三角形了，还要“52+122=132”，干什么呢？

3.忽视正与逆转化的限制条件

例：已知a+b，则│a│=│b│推出“a=b”就不全面了，遗漏了另一种情况“a=-b”。特别是对一些限制条件的逆求，学生更是束手无策，如：当a 时，│a- │=-2a；若 =1-x，则x的取值范围是 ；使 成立的条件是 ；等等。

4.缺乏逆向变形的解决能力

例：计算 ，有些学生竟然对它进行通分，却不会用 的变形。

5.缺乏逆向分析的解题思路

学生在分析问题时只习惯于从条件到结论，却不会从结论出发去寻求解题思路，缺乏双向思维解决问题的能力。

例：已知：在ABC中，AB=AC，BDAC于D，求证：BC2=2AC×CD的“BDAC”条件联想到可以用勾股定理。有此想法的学生很少，完全做正确的学生更少。

三、逆向思维训练在数学中的具体实施

1.定义教学中逆向思维的训练

作为定义的数学命题，其逆命题总是存在，并且是成立的。因此，学习一个新概念，如果注意从逆向提问，学生不仅对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，而且能够培养学生养成双向考虑问题的良好习惯。如：在几何教学中，特别是入门阶段，对每一个定义，都要引导学生分清正与逆的关系，对今后推理论证的教学很有裨益。值得注意的是教师在平时教学中，经常强调一个定理的逆命题不一定成立，在讲定义时，如不强调它一定具有可逆性，将会引起学生对定义的逆用产生怀疑。

例：解方程： 。

分析：此题容易想到用一元二次方程的求根公式，但计算繁琐，如注意到方程中各项系数之和“a+b+c=0”的特点，就可以逆用方程根的定义，可知“x=1”是方程的一个根，再根据韦达定理求出另一个根。

2.公式教学中逆向思维的训练

数学中的公式总是双向的，可很多学生只会从左到右顺用公式，对于逆用，尤其是利用变形的公式更不习惯。事实上，若能够灵活地逆用公式，再解题时就能够得心应手，左右逢源。在此应特别注意两点：

第一、强调公式的顺用和逆用，“聚合”和“展开”。

第二、逆用公式是求代数式的值、化简、计算的常用手段。

3.运算法则教学中逆向思维的训练

数学中的很多运算都有一个与它相反的运算作为逆运算，如：加法和减法、乘法和除法、乘方和开方都是互为逆运算，彼此依存，共同反映某种变化中的数量关系。而且在同一级运算中，可以互相转化，如利用相反数的概念减法可以转化为加法，利用倒数的概念可以转化为乘法。

例：已知：xm=3，xn=7，求：x3m-2n的值。

分析：该题将同底数幂除法法则逆用后得到结果。

解：原式：x3m÷x2n=（xm）3÷（xn）2=33÷72= 。

4.定理教学中逆向思维的训练

不是所有的的定理的逆命题都是正确的，引导学生探究定理的逆命题的正确性，不仅能使学生学到的知识更加完备，而且能激发学生去探索新的知识。

一元二次方程根的判别式定理、韦达定理的逆定理都是存在的，应用也十分广泛。

a2-bc-8a+7=0

例：设a、b、c满足

b2+c2+2ac-a2+2a-1=0

求：a的值范围。

根据韦达定理的逆定理可知：b、c为关于x的一元二次方程x2±（a-1）x+a2-8a+7=0的根，

（a-1）2-4（a2-8a+7）=-3（a-1）（a-9）≥0，即1≤a≤9。

a的取值范围为：1≤a≤9。

四、逆向思维训练的实施策略

在数学教学的过程中，经常会遇到这样一些问题，当从正面考虑时会出现很多障碍，或者根本解决不了，而从反面着手，往往可以使问题迎刃而解，再或者证明问题的不可能性等等都需要有非常规思路去解决。非常规地实施逆向思维的训练常采用以下二种策略：

1.“正”难则“反”：

反证法是一种逆向思维的方法，被誉为“数学家最精良的武器之一”，是解数学题常用的方法。当题目出现有“至少”或“至多”字样，或以否定形式给出时，一般采用反证法。

例：若三个关于x的方程：x2+4mx-4m+3=0，x2+（m-1）x+m2=0，x2+2mx-2m=0中至少有一个方程有实数根，求：m的取值范围。

分析：若从正向考虑“三个关于x的方程中至少有一个方程有实数根”，情况较多，一一讨论，解题就相当复杂。这时如果应用逆向思维，考虑到其它反面是“三个方程都没有实数要根”，再从全体实数中排除反面求得的的结论就得到本题的答案。

解：假设三个方程均没有实数根，则

16m2-4（-4m+3）

（m-1）2-4m2

4m2+8m

-

即： m> 或m

-2

其反面：当m≤- 或m≥-1时，原命题成立。

2.反“客”为“主”

例：已知：关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0，有且只有一个实数根，求：实数a的取值范围。

分析：按常规思路，把x当成主元，求出x，再对a进行讨论，解题过程相当复杂，如果启发学生运用逆向思维，把a当作主元，这种反客为主的技巧很新颖别致。

解：原方程可变为：a2-（x2+2x）+x3-1=0

[a-（x-1）][a-（x2+x+1）]=0

解得：x=a+1或x2+x+1-a=0

原方程有且只有一个实数根，

方程x2+x+1-a=0无实数根，