运筹学经典问题范文

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【论文摘 要】本文分析了信息管理与信息系统的专业特点和运筹学的学科特点，探索了适应信息管理与信息系统专业运筹学教学方式，从运筹学的教学目的、教学内容、教学方式以及与专业相结合等方面对运筹学课程的教学改革进行思考和尝试，并对改革效果进行了一定的分析总结。

一、引言

运筹学是20 世纪新兴的学科之一，近年来，运筹学作为一门学科，在理论和应用方面，无论就广度还是深度来说都发展很快。1998年教育部颁布的《本科专业目录和专业介绍》中，将运筹学课程列为经济管理专业的主干课程。

信息管理与信息系统专业（以下简称信管专业）是管理科学与工程下的一个二级学科，我校的信管专业隶属于信息工程学院，运筹学一直被定为专业基础必修课列入培养方案，有多年的教学历史。我在运筹学课程的教学过程中，探索适应信管专业培养目标和学生特点的教学方法，积累了一些想法并进行了尝试，取得了初步的效果。

二、信管专业和运筹学的特点及关系

信息管理与信息系统专业培养具备现代管理学理论基础、计算机科学技术知识及应用能力，掌握系统思想和信息系统分析与设计方法以及信息管理等方面的知识与能力，能在国家各级管理部门、工商企业、金融机构、科研单位等部门从事信息管理以及信息系统分析、设计、实施管理和评价等方面的高级专门人才。本校的信管专业学生的培养目标是成为既懂技术又懂管理的企事业单位信息化建设急需的复合人才。

运筹学的基本特点是：多学科交叉性、应用性、最优性和多分支。

（1）多学科交叉性。运筹学具有多学科交叉性的特点，综合应用经济学、管理学、数学、物理学、化学等学科的科学方法，这些学科相互渗透，综合应用。

（2）应用性。运筹学是一门应用科学，它起源于二战期间的军事问题，二战以后应用于经济管理领域。

（3）最优性。运筹学强调最优决策。运筹学则提供了以数量化为基础的方法，寻求各种实际问题的最优方案，大大提高了信息管理的水平，增强了决策的科学性。

（4）多分支。运筹学包括各个分支，主要有：线性规划、目标规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论与网络分析、存贮论、排队论、对策论等。

结合本校的信管专业特点及上述运筹学特点，我认为信管专业学生学习运筹学的目的是综合各学科的知识，利用运筹学的方法来对实际问题进行定量的分析和建模，掌握一定的算法，并能运用计算机工具对问题进行求解，以达到使生活、生产和管理等方面的各类问题获得最优解决。

三、传统教学中存在的问题及改进措施

从前面的分析可以看出，运筹学作为信管专业的基础课程，能够为信管专业的培养目标提供有效支持。但是实际教学效果，有时却达不到预期的水平，下面针对传统教学过程中存在的问题提出了一些改进的想法。

1.教学目的的改进

传统的运筹学教学，仍然存在重理论、轻应用的倾向，教学的目的在于让学生理解和掌握运筹学的各类算法。结果是过分偏重数学，而不是应用，加上信管专业学生本身数学功底不深，致使很多同学在学习过程中产生畏惧心理，甚至放弃学习。

我认为运筹学的教学应该是理论和实践相结合，算法是运筹学的重要组成部分，是运筹学思想的精髓，完全放弃算法学习不可取，完全将运筹学变成算法课也不可取，应该使学生在熟悉运筹学各类问题的基础上，重点培养学生分析问题，根据问题类型建立数学模型的能力，能用一些经典算法求解简单问题，并能用运筹学的软件求解复杂问题。用经典算法的思想来开拓学生的思维，用运筹学软件的使用来提高学生的应用能力，最大限度地发挥运筹学对学生各方面素质和能力提升的作用。

2.教学内容的改进

传统的运筹学教学内容以典型问题为依据来引出运筹学的各类问题的模型，并着重分析数学模型的形式，算法和模型中参数的变化。这些内容的学习需要具备相当的数学基础，对于本身数学基础不佳的我校信管学生来说很容易产生畏难情绪，时间一长会产生厌学心理，进而导致学习效果不佳。

根据上面教学目的的改进措施，我在运筹学的教学过程中将教学重点放在问题的分析和建模中。在讲解算法时，我也突出讲解算法的设计思路，并积极引导学生来改进经典算法。在理论学习之余，我校的运筹学课程还安排了专门的实践教学内容，在实践课中，学生通过学习运筹学软件的使用，例如excel的规划求解工具、winqsb、lingo，使学生能灵活运用计算机工具来解决一些复杂的运筹学问题，真正提升学生的运筹学的应用能力。

3.教学方法改进

运筹学以数学为主要工具，一些理论和算法比较复杂，讲解难度较大，如果教师按部就班，平铺直叙，较少结合案例，就会让学生觉得枯燥乏味，晦涩难懂，从而丧失学习动力，影响教学效果。

针对上述情况，我在运筹学的教学过程中，对运筹学的教学方法进行了如下的尝试：

（1）加强了加强案例教学。给出大量经济管理中的问题，引导学生用运筹学的理论和方法去解决，提高学生学习的兴趣，培养学生的思维能力。

（2）加强互动，鼓励学生参与教学，发表自己的观点与想法。

（3）在实践教学环节，我组织学生以小组为单位，自行选择实际问题作为研究课题，并通过小组成员的合作完成问题的数据收集，问题的详细描述，以及选择合适的运筹学方法来建立问题的模型，并用运筹学软件来求解问题。这样，让学生真正体验到运筹学在实际中应用的完整过程，并且培养了学生的团队合作能力。

（4）通过建立运筹学的课程网站，为学生提供了良好的课余学习环境，以及丰富了学生和老师之间的课外交流渠道。在课程网站中为学生提供了丰富的教学资源，并且设置专门的学生在线答疑功能，老师或其他同学都可以回答。通过课程网站的使用还可以完成课后作业的布置和在线批改，丰富了学生完成课后作业的途径。

4.与相关专业课的结合

国内院校在设计信管专业课程体系时，一般是在传统的经济管理课程基础上，拼合统计、运筹和信息技术等课程。现实情况就是许多课程简单堆砌，缺乏紧密配合，运筹学的教学也经常会与相关专业课脱节。

所以应注意在教学内容上使运筹学与相关专业课的有效衔接，将运筹学的教学自然地融入整个专业课程体系。如运筹学中图论的教学，要和数据结构、离散数学中的有关章节相结合；网络计划中的关键路线法，对后继课程项目管理有很大的价值；网络计划的优化部分讨论有限资源的合理分配，这一思想在生产管理课程中也有所体现；存贮论直接指导erp中库存订货点的管理。总之要把运筹学和各相关专业课有机结合起来，才能促进运筹学的教学和信管专业的建设。

四、改革效果分析和总结

经过近一年的运筹学教学改革，初步取得了一定的成果，学生对运筹学的学习兴趣逐渐提高，学习效果也有所改进，从学生完成的作业和考试情况来看都有所提高。在以后的教学过程中，我还将对课程的考核方式，学生的课外兴趣小组的组织以及学生竞赛方面进行积极的探索和尝试。争取使运筹学在信管专业的学生中成为一门受欢迎的课程。

参考文献：

[1]胡运权.运筹学教程[m].北京：清华大学出版社，2003

[2]胡运权.运筹学基础及应用[m].北京：高等教育出版社，2011

[3]欧阳瑞，陈春华.在运筹学教学中要体现数学建模思想[j].长春教育学院学报，2011（27）

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关键词：单纯形法；循序渐进；教学模式

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）45-0036-04

运筹学是二战期间发展起来的一门应用学科，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的一些问题，为决策者选择最优策略提供定量依据，其内容包括：规划论（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、多目标规划等）、图论与网络分析、对策论、排队论、存储论、决策论、排序与统筹方法等[1]。运筹学的实际应用涉及生产计划、运输问题、人事管理、库存管理、市场营销、财务和会计等方面。另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择与评价、工程优化设计、环境保护等问题中。据统计，50%数学建模问题与运筹学内容相关，可以用运筹学的方法解决。另外，为各大高校数次争得荣誉的建模队伍，长期以来一直接受运筹学相关知识的培训。

运筹学中最主要的分支是线性规划。线性规划模型是前苏联著名经济学家康托罗维奇于1939年提出的，这一重大发现使他获得了诺贝尔经济学奖。1947年G.B.Dantzig提出求解线性规划的单纯形法。针对退化问题，1952年A.Charner和W.W.Cooper[2]给出了摄动法，1954年G.B.Dantzig，A.Orden和P.Wolfe[3]提出了字典序方法，1976年G.G.Bland[4]提出了Bland法则，这些方法都能避免循环发生。线性规划理论上已趋于成熟，应用也越来越广泛。事实上，运筹学中许多问题都可以或需要用线性规划模型来描述或近似地描述，如运输问题――求解运输问题的表上作业法本质上就是单纯形法，并且这种方法充分展示了单纯形法的魅力。求最短路、最小费用最大流的问题都可以用线性规划模型来解决。求解指派问题的匈牙利法本质上也是单纯形法[5]。矩阵对策问题最后转化成求解线性规划。学习运筹学的先修课程主要有线性代数、微积分、概率论与数理统计。事实上，运筹学不仅应用了这些学科，也从理论上进一步发展了这些学科。

单纯形法是建立在一系列理论基础之上的。首先，如果线性规划的可行域非空，则它是一个凸集，这个结论很容易证明。线性规划的可行域的顶点与基可行解之间是一一对应的，所以其顶点个数有限，这个结论与单纯形法的关系不大，其证明可以省略。其次，线性规划若有可行解，则一定有基可行解，这个结论是很重要的，为了更好地理解它的证明，我们先看下面的例子。

进一步讲，若线性规划有最优解，其最优解一定可以在其可行域的顶点上找到，也就是在其基可行解中找到，这样就把一个从无限个可行解中找最优转化成在有限个可行解中找最优。这是单纯形法的理论基础。为了更好地理解这一重要结论的证明，我们看下一个例子。

X2的正分量的个数是2。由于P2，P4线性无关，所以X2是基可行解。这样我们就找到了一个最优解也是基可行解。一般地，若X2的正分量对应的系数列与线性相关，继续上述过程，直到找到基可行解为止。

从基可行解中找最优解所用的方法是单纯形迭代法。那么，如何判断一个线性规划是否有最优解？如何判断一个基可行解是否是最优解？在一个基可行解不是最优的情况下如何迭代到下一个与其相邻的更好的基可行解？为回答这些问题，我们举例说明。

先讲特例再引入最优性判别定理、基可行解的改进定理以及单纯形法的迭代步骤，学生就容易理解。即使针对有些专业的学生讲解这些定理的证明，也容易接受。

总之，现代社会信息量大，大学生需要学习的课程很多，用于预习或复习的时间就很少，这样上课时间就尤为珍贵，教师应该如何讲，才能使学生当堂听明白所授内容，这是一个必须思考的问题。其实，运筹学这门学科更侧重的是应用，数学理论并不难，之所以有人觉得难学，是因为没有把握一种好的学习方法。本文针对单纯形法给出了一种循序渐进的教学模式，实践证明这种模式能使学生更容易的理解课堂内容，有利于激发学生的自信心和学习兴趣，使学生在轻松掌握数学理论的基础上，能更好地探讨运筹学的经典案例的建模和求解，加强学生运用所学知识解决实际问题的能力和创新能力。

参考文献：

[1]《运筹学》教材编写组.运筹学[M].北京：清华大学出版社，2004.

[2]Charnes，A.And Cooper W.W.，The stepping stone method of explaining linear programming calculations in thansportation problems，Management Science，1954，（1）：49-69.

[3]Dantzig，G.B.，Orden.A.and Wolfe.P.，Note on linear programming，Pacific J.Math.1955，（5）：183-195.

[4]Bland，G.G.，New finite pivoting rules of Simplex method，Math.Of Operations Research，1977，（2）：103-107.

[5]Hamdy，A.Taha，Operations Research-An Introduction[M].北京：人民邮电出版社，2007.

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关键词：应用型人才培养；运筹学；教学改革

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）01-0092-02

运筹学是高等学校工程管理、交通运输等专业的基础课程之一。其内容丰富且实用性很强，掌握其思想方法对学生今后的学习和工作均有很大帮助，且运筹学教学对提高大学生素质教育、提高学生解决实际问题的能力等方面都具有重要作用，因此探讨运筹学的教学方法和实践具有重要意义。尤其是在国内工科院校运筹学教学改革的大背景下，在工科院校向应用技术型大学转型过程中，为践行“有理论基础，更强调实践能力”的教学理念，笔者结合工科院校学生的专业背景和实际水平，制定了以为专业服务为核心的《运筹学》课程标准，探索适合工科院校学生的运筹学教学模式。

本次教学改革以交通运输专业为试点，研究《运筹学》课程标准制定，探索适合交通运输专业学生的运筹学教学模式，目的是使运筹学教学展示出它应有的魅力，体现运筹学“从实践中来，到实践中去”的应用特色，真正让学生能够用运筹学的知识和方法来解决专业学习中遇到的实际问题，寓学科知识于专业能力培养之中，最终提升学生的专业素质。

一、运筹学教学过程中存在的问题

（一）学生反映本门课程不好学，与学生专业结合度不高，学生学习兴趣不高

一方面，由于学习运筹学需要先修的数学课程较多，如高等数学、线性代数、概率论与数理统计等，很多学生在学习过程中感到基础知识缺乏，容易知难而退。另一方面，运筹学作为一门公共课，授课内容与学生所学专业没有密切联系，学生很难学以致用，学习的目的往往是为应付考试，普遍学习兴趣不高。

（二）学生难以掌握学习方法

运筹学中一些问题的分析和解决方法与传统学科大不相同，如分支定界法，割平面法，动态规划以及图论和网络流等方面内容的学习，不同于数学，更不同于一般社会科学的方法和思路，所以学生的学习方法和思维方式不能迅速转过来。

（三）学生主动学习意识薄弱

长期以来，在传统教育思想影响下，通常把教师当作教学的主体，把学生当作客体，过分强调教师的权威性，在一定程度上忽视了学生作为学习主体的存在。

过分强调了知识的灌输，而忽视了师生之间的互动，这样的形式削弱了学生主动参与学习的积极性，导致学生知识掌握不牢固，一定程度上影响了教学效果。

（四）学生两极分化现象严重，学困生难以融入课堂

同一个班级的学生学习兴趣、学习欲望、学习成绩有很大的差别，学习习惯不良、成绩落后的学生人数逐年增加。在运筹学的课堂上，数学底子薄、注意力不集中的学生很容易脱离课堂教学节奏，最后放弃学习，沦为学困生。

（五）学习效果评价手段单一

教学效果的评价一般采用传统闭卷笔试的考试方式，其中尤以期终考试卷面成绩为主，导致学生将学习重点放在对知识的死记硬背上，难以将其“活学活用”。

二、本次改革的手段、创新点

（一）明确教学目标，改革教学内容

本次课程标准制定及教学改革分专业进行，目的是寓各学科知识于专业能力培养之中。因此，运筹学课程标准制定及教学改革以“紧密联系学生所学专业，引导学生在理解运筹学基本理论和方法的基础上提升学生的实践应用能力”为教学目标，教学内容紧密联系学生所学专业，在传承经典运筹学知识的基础上，去掉了优化理论推导证明以及纯粹作为计算手段的算法，引入Lingo软件作为求解模型的工具，并深入研究交通运输专业各课程的需求，增加了与交通运输专业联系密切的运筹学问题。

（二）教学过程中引入与学生实际生活、专业密切相关的案例

案例教学可以适当减轻难度，激发学生的学习兴趣。因此，笔者在教学过程中引入了交通运输专业常见管理问题的案例。例如：司机的排班问题，地铁车站的人员排班问题，运输问题，站点、设备厂房等的选址问题，最优路径选择问题等，引导学生运用运筹学的理论方法分析管理中的实际问题。

（三）通过引导学生解决身边的问题，培养其学以致用的能力

运筹学很多教学内容与学生实际生活密切相关。教学过程中，在向学生介绍基础知识、例题之后，引导他们探索书本之外的解题思路和方法，鼓励他们探索用所学知识解决身边的问题。例如，在学习最大流问题的课堂上，完成基本问题和算法的学习之后，询问学生是否碰到过可以用最大流方法解决的实际问题。同学们踊跃发言，用身边的问题、专业的实例与教学内容相结合，将抽象的最大流变得可以理解与接受。

（四）讲课过程注重师生互动，逼着学困生融入课堂，给绩优生一个展示能力的机会

1.课堂上经常随机提问，让学生回答问题。问题一般比较简单，以达到提高学生自信，让学生感受到学习乐趣的目的。通过随机提问，可以带给学生压力，逼着每个同学都认真听课。

2.课前设计一些有难度的问题，鼓励学生自告奋勇地回答问题，及时发现并表扬答题过程中的闪光点，让学生在学习过程中有一种成功的体验。

（五）通过分组讨论，提交小组报告等形式培养学生的团队合作精神

实际问题的解决往往需要多学科知识，培养学生的团队合作精神应该贯穿于各个教学环节。运筹学从全局出发，研究的是系统最优化问题，所涉及问题的领域是多学科的，所用方法是交叉的，综合的。运筹学的这一特点决定了运筹学教学应该注重培养学生的团队合作精神。

课堂上提出稍有难度的问题，组织学生分组讨论，以培养学生合作解决问题的意识。

与专业课教师合作，归纳一些学生感兴趣的可以用运筹学方法解决的专业问题。将这些问题作为课后大作业布置，让学生每3人组成一个小组，分工合作，通过查阅资料、小组讨论、调查研究、建立模型、编程求解、撰写论文，最终提交小组研究报告，在解决问题过程中培养他们坚韧不拔、团结合作的精神。

（六）改变考核方式

多元化的考核方法，可以引导学生从应试学习向提高知识应用能力的方向转变。采用小组课程报告、课堂表现、作业与笔试相结合的考核方式，综合考察学生掌握知识的情况与应用知识的能力。提交小组课程报告的方式不仅能够考察学生应用运筹学基本理论解决较复杂实际问题的能力，而且也反映了学生沟通与合作的能力，这部分成绩占总成绩的20%；根据课堂听课认真程度、回答问题的积极性、分组讨论时的表现等评分，可以激励学生认真上好每节课，避免期末突击学习应付考试，这部分成绩占总成绩的10%。以后会逐渐增大这两部分考核内容在总成绩中所占比重。

三、取得的效果

（一）学生的学习积极性有了明显的改善，听讲态度有了非常大的改变，出勤率明显提高

上课睡觉、玩手机的现象得到改善，课堂气氛活跃，尤其是一些原来不太听讲的学生也开始积极想办法解决问题。

（二）学生在解决问题、分工协作过程中培养了互助精神，增强了团队意识

（三）学生综合运用所学知识解决实际问题的能力明显增强

有些学生积极参加学校组织的数学建模竞赛，并在这一过程中主动使用工具书、教科书，充分利用图书馆、计算机网络，独立查阅文献资料，收集各种必要的知识信息。有些学生会主动找老师讨论实际生活中、专业学习中碰到的问题，试图用运筹学的方法解决。

四、存在的不足

教学改革是个长期、循序渐进的过程，本阶段改革仍存在不少需要完善的地方。主要表现在：平时成绩在总评中所占比重还偏低，以后会继续探索对学生学习有更大激励性的考核机制，继续增加平时成绩在总评成绩的比例，增加实践操作技能的考试，继续完善案例库，增加更多与学生专业密切相关的案例。

参考文献：

[1]李苏北，姜英姿，张红雷.运筹学课程建设与改革实践研究[J].大学数学，2005，21（5）：15-17.

[2]王芳华，冯春生.运筹学课程教学中的探索与实践[J].大学数学，201l，27（5）：185-188.

[3]祝荣欣，李萍.工业工程专业“运筹学”课程教学模式探讨[J].长春理工大学学报，20ll，6（10）：164-165.

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目前本专业生产与物流类课程群的教学内容存在如下主要问题：（1）课程群包含的各门课程的主流教材内容之间有重复之处。比如生产计划与控制和ERP原理与应用这两门课程都重点介绍生产计划的体系、层次与方法，只是讲解的侧重点有所差异；物流与设施规划和供应链管理这两门课程都有一部分内容介绍物流与供应链的基本知识与概念；精益生产的概念在多门课程都有所提及，然而在这些课程里都只是泛泛而谈，并没有哪一门课程能详细介绍其精髓。不同课程的教材之间的重复性使得教学工作的部分重点模糊化，导致学生难以把握这些重复的内容在工业工程学科体系里的定位。（2）各门课程的内容在本质上有很强的内在联系，但是在目前的课程体系里并没有充分体现不同课程内容之间的逻辑关系，没有形成一个完整的体系结构把各课程内容捏合成一个有机整体，因此没有很好体现基础课程、先修课程的作用，不利于学生对工业工程各领域知识的整体把握和融会贯通。（3）重理论，轻实践。过于注重理论的传授，设置的题目和列举的例子过于理想化，缺乏和产业应用实践的结合分析，案例的说服力和实验环节的合理性仍有很大的提高空间。工业工程是结合管理与工程性质的学科，强调实践性和应用性，目前的教学与高标准的要求相比还有差距。（4）各门课程的许多典型问题都采用启发式方法或试验法来求解，并没有运用运筹优化的技能来求解，因此难以求得全局最优的解决方案。启发式方法是一类基于经验或直觉的方法，它一般由一系列步骤或规则组成，依照这些步骤或规则可以求得解决方案。试验法是一种尝试性、摸索性的方法，它提供一套定性描述的流程，学生根据这套流程通过不断的试验以求生成较优的方案。无论是启发式方法还是试验法都是短视的，不能在全局范围内寻找最优解决方案。综上所述，传统教学内容与方法已成为进一步提升学生学习兴趣、提高学习效率、改善教学效果的瓶颈。有鉴于此，本专业对生产与物流类课程群的各门课程进行系统的调整与改革，重新梳理该课程群的体系结构与教学内容，加强各课程教学内容之间的联系；基于运筹优化技术对生产过程管理相关课程的教学方式进行改良，获得一种在解决问题初期就综合考虑实际限制条件和预设约束的方法。

2生产与物流类课程群教学的改革内容与目标

生产与物流管理各领域都存在大量优化问题，求解优化问题最有效方法是建立运筹优化模型来求解，而目前相关的课程与教材很少使用这种方法，即使采用这种方法也只是泛泛而谈，只给出一个粗略的模型，并没有写出详细的建模思路、布置以及编程求解的方法。因此，本研究把这一点作为主要抓手，主要工作是基于运筹优化技术（主要在运筹学课程里面讲述）对生产与物流管理各领域关键问题的教学环节进行改革，具体改革内容主要包括：（1）分析生产与物流类课程群内各门课程的重要内容模块，在课程群的宏观层面理清各重要内容模块之间的内在联系，精简各门课程的冗余内容，调整侧重点的分布，并从各门课程中提炼出生产过程管理各领域的一系列有一定关联性的典型问题。（2）筛选生产过程管理的若干典型问题，根据学生的接受能力对其进行合理化的抽象，根据实际情况确定复杂程度适中的考虑因素和限制条件，并选择合适的运筹学模型（整数规划、0-1规划、目标规划、动态规划或二次规划等数学规划模型）对典型问题进行建模。（3）基于以上运筹优化模型，根据学生的实际情况构造情景引导式的教学案例和上机实验指导书，循序渐进地引导学生学习运筹优化模型的设计理论及其建模过程，引导学生透过这些模型理解生产过程管理问题的本质，并通过采用运筹优化软件求解模型来获得生产过程管理问题的最优解决方案。（4）通过行业应用案例加深学生对问题与方法的理解，设计开放式的综合作业，鼓励学生选择生产过程管理的实际问题，综合运用本研究提出的方法进行建模并编程求解，巩固教学改革的效果。生产与物流类课程群教学的改革目标是：（1）研究生产与物流类课程群内各课程之间的融合方法与机制，促进课程之间的交叉渗透，以生产过程管理系列典型问题的定量最优化模型为范例进一步完善运筹优化技能的培养体系。（2）通过生产过程管理系列典型问题的教学方法改革来培养学生运用运筹优化技术求解最优方案的能力，包括运筹优化模型的选择能力、建模技巧与建模能力、求解能力和分析能力。（3）调整生产与物流类课程群理论环节和实践环节的层次结构与比例关系，培养学生运用主流商用运筹优化软件（比如ILOGOPL或Xpress）求解生产过程管理典型问题的运筹优化模型的能力，通过上机实验培养集合化思维方式和编程求解实际专业问题的能力。（4）使学生全面掌握生产与物流类课程知识点之间的逻辑关系，增强理论联系实际的能力，为达到培养复合应用型人才的目标探索新途径。

3实施方案

本研究主要依托生产与物流类课程群的核心教学环节，结合毕业设计等教学环节，沿用理论分析、模型提炼与编程实验相结合的方法展开研究。实施方案主要分为以下几个阶段：

3.1理清生产与物流类课程群各课程的重点问题之间的层次结构和逻辑关系。

生产与物流类课程群各课程以运筹学为基础，其他课程都有部分内容与运筹学相关，而这些课程相互之间又有或多或少的联系。因此，有必要分析生产与物流类课程群各课程之间的具体联系，找出课程之间重复部分的内容，理清各课程的各部分重要内容之间的层次结构和紧密关系，对各课程的教学重点重新进行系统的规划、调整。

3.2提炼生产与物流管理各领域的典型问题并建立运筹优化模型。

总结生产与物流管理相关专业课程中所涉及的重要生产过程管理问题（如图2所示），把它们分门别类，划分其知识层次、学习阶段，并提炼其本质的运筹优化问题，再根据运筹优化问题的特点选择最合适的运筹优化模型进行建模。以物流与设施规划教学为例，选择物流流程优化、基于作业单位相互关系的生产设施布局这两类核心问题进行抽象建模，改革教学方法。物流流程优化采用线图、多产品工艺过程图、从至表等图表化工具进行描述，优化的本质目标都是对不同工序、设备的顺序进行安排，其实质是运筹学的排序问题；因此借助定量的运筹学数学规划模型对这类问题进行抽象并建模描述。基于作业单位相互关系的生产设施布局包括基于物流量的生产设施布局、基于非物流关系的生产设施布局以及基于综合关系的生产设施布局等典型问题，其本质是对多个作业单位在给定范围内进行布局，安排它们的位置，使整个系统的物流成本最小化或者密切关系程度高的作业单位之间的距离尽量缩小。这类问题的实质是运筹学的二次分配问题，因此借助运筹学的二次规划模型对其进行抽象并建模描述。把生产与物流管理相关问题转化为定量模型，这是一个从文字语义描述到数学公式的转化过程，此环节是教学的重点，也是解决问题的基础。在教学设计中注重针对问题的具体形式选择合适的规划模型表示形式进行建模（包括定义变量、构造约束和目标函数等环节），避免选择太难太复杂的规划模型导致学生有心理负担，丧失学习兴趣。

3.3运用运筹优化软件求解典型问题所对应的模型，积累教学案例与实验素材。

由于建立的模型通常规模不小，因此需要使用专业软件求解。选择OPL专业运筹优化软件来求解模型。运筹优化软件编程是从数学模型到专业的计算机程序代码的转化过程。商用运筹优化软件的建模语言是解释性、描述性语言，虽然它们的语法没有C++等高级语言复杂，但是其编程逻辑比较独特，采用集合化编程思维，因此在设计教案时要突出这一点，刻意培养学生“集合化”的编程思维方式和使用习惯。结合生产与物流管理典型问题的图文描述、运筹优化模型、程序及运行结果综合编制理论教学与实验教学案例。与常用高级语言编程相比，运筹优化软件编程的一个显著特点是采用集合化运算。集合化运算对学生而言是一种全新的编程方式，因此应充分利用软件使用手册的例子并有针对性地设计例子引导学生循序渐进地适应集合化运算的思维方式和编程方式。集合化运算是商用优化软件解决大规模优化问题的技术手段，因此学习时要习惯用集合的思想来定义数据、变量和约束。统筹考虑整个模型的所有组成部分，定义若干个底层的基本集合，其他集合均由这些基本集合运算、衍生得到，再利用这些集合来编写业务逻辑模型。

3.4与传统解决方法进行详细对比分析，改善模型。

对基于运筹优化模型的方法与传统的生产与物流管理问题解决方法从求解步骤、求解效果、运算时间效率、适用范围等多个角度进行对比。通过对比结果进一步优化模型，减少变量和约束的数量，缩短求解时间，降低模型的时间复杂度和空间复杂度。通过大量案例与传统解决方法作对比，充分突出基于运筹优化模型方法的优势。

3.5教学实践与持续改进。

在教学中尝试结合基于运筹优化模型的方法设置理论介绍、案例讨论和实验环节。在教学实践中注重培养学生把实际问题抽象为数学问题的能力，增强学生的建模与分析能力，力图使学生在掌握生产过程管理问题求解技能的同时巩固“运用运筹优化技能”的观念，鼓励学生自主提出并解决由生产过程管理基本问题所衍生的相关问题，促进学生从理论到实践的全面学习。在采用新的教学方式教学的过程中，遵循工业工程学科提倡的P.D.C.A.方法和基本步骤，即Plan（计划）、Do（实施）、Check（检查）、Action（改善），根据新发现的问题进行持续的调整、改进、完善。

4实施结果

在课程群教学改革过程中设计生产与物流管理应用问题与运筹优化技术的结合方法，由浅入深地设置多层次教学体系，引导学生接受、适应这种融合运筹优化技能的教学方式，掌握生产计划与调度、物流流程优化、生产设施布局等典型问题的建模、求解及分析方法，并主动采用这种思维方式去解决生产过程管理领域的其他优化问题。教学的关键是针对大部分学生的实际情况因材施教，控制好建模的难度和复杂度，在培养解决问题能力的同时注重培养思维方式和思维品质；同时面向学习能力强的学生有针对性地设计开放性的行业实际案例，发掘他们的潜力，给予他们自由发挥、创新的空间。教学改革方案通过长期的实施，获得一定的成果：（1）为生产与物流类课程的核心环节教学提供创新性的支撑材料，为改进物流与设施规划、运筹学等课程的实践教学环节提供重要案例，为学生学习运筹优化技术提供合适的学习资料，并为工业工程专业调整运筹优化技能的教学内容提供参考依据。（2）由于运筹优化应用技能是工业工程教学中日益重要的一类新兴技能，因此本研究为工业工程乃至管理科学工程学科其他专业课程和毕业设计等实践环节与运筹优化技能的融合提供范例，使学生培养模式更适合产业发展和地方经济向集约化转型的实际需求。（3）项目研究成果可在地方性院校的工业工程教学中交流、推广，也可供各类普通工科院校借鉴，具有一定的实践推广价值和示范作用。

5结束语

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关键词：遗传算法；运筹学；应用

中图分类号：F27 文献标识码：A

收录日期：2011年10月28日

一、遗传算法简介

遗传算法（GAS）是由美国密执根大学的Holland等人创立的。与其他启发式方法顺序搜索解空间的工作方式不同，遗传算法采用解的种群作为工作单元，使用模仿生物进化的适者生存原则指导搜索并改进目标。种群由代表个体的定长字符串组成，每个个体表示解空间的一个点，每个解的质量，通过依赖于问题目标函数的适应值函数来进行评估。搜索过程通过进化来进行，每代中的个体以正比于它的适应值的概率遗传到下一代。它使用3个基本算子：选择、交叉和变异。选择是指个体以其适应值比例复制到池中；交叉是池中的两个个体进行，组合形成一个（或几个）新个体，复制和交叉将好的特性进行遗传；变异则是发生在少数字符串某基因位上的基因的突变，它使搜索过程能够有机会从搜索到的局部最优解逃出。

解决一个实际问题的遗传算法通常包括下列两个决策步骤：（1）将求解问题模型化为符合遗传算法的框架。可行解空间的定义，适应值函数的表现形式，解的字符串表达式方式；（2）遗传算法参数的设计。种群规模，复制、交叉、变异的概率选择，进化最大代数，终止准则设定等。

二、遗传算法的基本特点

（一）结构特点。遗传算法是以适应值提供的启发式信息进行搜索的，与其他启发式（模拟退火、爬山法、神经网络等）方法相比，在结构和工作过程方面的特点见表1。（表1）

（二）实验性能方面的特点

1、高效性。遗传算法具有大范围全局搜索的特点，与问题领域无关，前期工作量比较少。

2、健壮性。遗传算法的搜索是用种群作为基本单元，采用三个不同作用的基本算子进行搜索的，解的结果随时间增加而趋于稳定，不受初始解的影响，而且不因实例的不同而蜕变。

3、通用性和灵活性。遗传算法可用于多种优化搜索问题，解题程序可以通用，针对不同的实例，适当调整算子参数，就可以使算法执行获得最佳的解结果和占用CPU机时的关系。

三、遗传算法在解决经典运筹问题中的应用

（一）旅行商问题（TSP）。旅行商问题自诞生以来，颇受数学家推崇，今天的旅行商问题已远远超过其本身的含义，成为一种衡量算法优劣的标准。旅行商问题是采用非标准编码遗传算法求解最成功的一例，基因编码用推销员顺序经历的城市名表示，求最佳路线即是改变编码次序而求最低适应值的问题。对类似字符串使用标准交叉，产生的后代可能有重复或丢失的元素，因而成为非可行解。为克服这种困难，人们提出许多非标准的交叉和变异方法：交叉主要采用重排序方法――部分匹配重排序，顺序交叉和循环交叉等；变异主要采用位点、反转、对换、插入等方法，使旅行商问题得以有效地解决。值得一提的是，清华大学张雷博士提出的自适应多点交叉算子，能够保证多点交叉后路径的可行性，加快了搜索速度。

（二）作业调度问题。作业调度问题同样是自然变更次序的问题，可以用基于变更次序的遗传算法进行处理。（表2）

（三）背包问题。一维、二维和三维背包问题在商业和工业领域有着广泛的应用，基于遗传算法的求解方法很多。传统求解采用启发式规则，决定下一步该装哪一块和装在哪里，此时变更次序的编码与启发式安置策略是利用遗传算法解决这类问题的最为出色的方法，Lin使用一系列的惩罚项指导其搜索策略，测定单个个体的适应值。

Bortfeldt使用一个层次背包问题，个体用它们的层次代表，当两个亲代被选择交叉时，它们的层次混在一起，从中选择最好的作为子代的第一层，再从余下的组件中选择最好的作为第二层，以此类推，直至产生所有的层次。

陈国良等设计了一种“与/或”交叉方法，使子代继承双亲的同型基因，对杂型基因采用不同支配方式，这种策略为遗传算法的硬件实现创造了良好的条件。

（四）时刻表排定问题。Corne对Edinburgh大学7日内的28个时间期间安排40门课的考试问题作了处理，寻找一个可行的时间排定表，使每个学生参加的考试在时间上能够错开，时刻表用字符串代表，字符串每个位置代表一门课，该位置的值代表考试的时间，用均匀交叉和标准变异操作求解。

这类问题扩展到基于二维的矩阵代表的逼近问题，Colorini使用行代表教师列代表可用的小时数的矩阵，每个单元的值为教师在此时承担的任务，包括教室和其他一些资源配置，教师的任务是事先给定的，故行都是可行的，列代表的时间安排可能会发生冲突，将此冲突用惩罚函数表示在适应值函数中，而且采用修复算子在评价之前尽量将结论调整回可行区域内，该算法用Milan学校的实际数据进行了检验。

除此之外，遗传算法在运输问题、指派问题、分割问题及网络计划优化问题等方面都获得了非常成功的应用，这些问题被认为是NP类问题，其规模随变量的增加呈指数增长，遗传算法在这些问题的求解中，充分体现了其操作性能方面的优势。

四、应用和推广中存在的问题

在上述问题中，遗传算法求解展示了优良的性能，但遗传算法并未像其他启发式方法那样容易地被OR学者广泛接受而用于大量的实际问题中，究其原因，主要有以下几点：

（一）传播方式的障碍。遗传算法最初的工作是以密执根大学严谨的研究小组作为研究项目和学术讨论中心，当研究成员扩大时，这类讨论会演变为机构的学术会议（美国现有5个，欧洲有3个，我国目前还没有），许多研究者聚于此而远离问题导向，有关的会议论文公开出版数量很少，而且，由于历史原因，研究者常常将他们的研究结果选择在有关人工智能的杂志上发表，导致了应用遗传算法的信息很缓慢地扩散到其他不同技术应用领域的工作者中，这与模拟退火等其他启发式方法快速在运筹学会议及杂志上发表相反。由于缺乏交流导致了两方面的问题：一是许多关于遗传算法的论文不能与从其他方法得到的结论进行质量的比较，二是削弱了许多遗传算法多的潜在使用者用遗传算法与其他方法竞争的信心。

（二）术语的隔膜。初始跨入遗传算法领域的使用者常常感到起步非常艰难，遗传算法依赖于遗传学的术语也像模拟退火的术语来自于统计热力学一样。然而，温度、冷却等可能很快赋予新的意义，但遗传算法中的基因位、染色体、遗传型却难以很快被人理解和接受；另外，许多发表的研究偏重于用某些专门函数检验他们的新思路或新设想，这对于全面理解该技术固然是一件好事，但对于一个面对如此丰富复杂材料的初用者会发现，他将不知从何做起。即使一个非常愿意使用遗传算法的人，也要有足够的决心去克服上述障碍。

（三）方法的局限性。对于具有强约束的优化问题，采用惩罚函数逼近常常达不到预想的结果。Radcliffe评论说：“约束通常被认为是遗传算法面临的最大问题”因为惩罚因子选择不当时，会招致错误结论。目前，求解带约束优化问题的启发式遗传方法已经有了一些，但是，它们多数与问题领域相关，在这方面还缺少普遍适用的方法的系统研究。

（四）编码的困难。不是所有问题解空间中的点都能明显地用编码表示，作为OR研究者，常常从问题结构取得利益，用矩阵、树、网络或其他更适用的方法建立表达式；串表达中的建筑块假说建议适用较少的字符，导致人们对二进制编码的偏爱，但二进制编码具有一定的映射误差（实际计算时，我们是把问题作为整数规划），特别是它不能直接反映出所求问题本身结构特征，因此很难满足生成有意义的积木块编码原则；再者，二进制字符的长度随问题发生明显变化，当问题复杂时会因为编码太长而无法进行正常工作。

以上的种种阻力，在一定程度上减缓了遗传算法在运筹学实际问题中的推广和应用。

主要参考文献：

[1]陈国良等.遗传算法及其应用.北京：人民邮电出版社，1996.6.

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关键词：萤火虫算法；0/1背包问题；感知范围

中图分类号：TP18 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）02-0166-03

Abstract：In this paper， the glowworm dwarm optimization was applied to solve the small-scale 0/1 knapsack problem， using basic idea of glowworm swarm optimization ， analyze the 0/1 knapsack problem， Through the items for 10、20 and 50 knapsack problem to carry on the simulation experiment， The experimental results show that the algorithm in solving the small-scale 0/1 knapsack problem is feasible.

Key words： glowworm swarm optimization； 0/1Knapsack problem ； feeling range

1 引言

背包问题（Knapsack Problem）是运筹学中一类经典的优化问题，是一个经典的N-P问题[1]。背包问题在现实生活中具有广泛的应用背景，如物流公司货物的发配、控制预算以及工厂的下料等都可以用背包问题进行求解。在设计解决复杂组合优化问题时，背包问题往往作为其子问题出现。

对于0/1背包问题人们提出了很多好的改进的算法，例如蚁群算法[2]、粒子群算法[3]、人工鱼群算法[4]等等。萤火虫算法（Glowworm Swarm Optimization， GSO）[5-6]是2005年由印度学者Krishnanand和Ghose提出的一种基于生物群体智能的随机优化算法，它是继粒子群优化算法、细菌觅食算法、人工鱼群算法之后的又一种新型的仿生智能优化算法。萤火虫算法是通过模拟萤火虫在觅食、警戒和求偶等生活习性中产生的因光而吸引移动的行为来解决最优问题的。该算法具有实现简单，计算效率高、适用能力强等特点，已经成为了计算智能领域的研究热点。

0/1背包问题是典型的背包问题，0/1背包问题是指：给定[n]种物品和一个背包，第[i]个物品的重量为[wi]，第[i]个物品的价值为[v i]，背包的限制容量为[c]。求应怎样装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。

2 萤火虫算法

自然界中的萤火虫都会发出特有的闪光信号来吸引其它萤火虫，这种闪光信号就是短促并有节奏的荧光，萤火虫借助荧光来完成觅食、求偶和警戒等行为。萤火虫算法就是模拟自然界中萤火虫发光行为来构造的一种随机优化算法，算法中利用萤火虫的发光特性在其感知范围内寻找其它同伴，并向感知范围内位置较好的萤火虫方向移动，从而实现位置更新和移动过程。

萤火虫算法首先在问题空间随机分布[N]只萤火虫，这些萤火虫都带有荧光，每个萤火虫都具有自己的感知范围[Rid]（[0

2.1 萤火虫的荧光素

萤火虫算法中，萤火虫的荧光素值体现了萤火虫所处位置的优劣并决定萤火虫的移动方向。荧光素值越高对其感知范围内的其它萤火虫的吸引力就越强，朝这个方向聚集的可能性也就越大。

4 结论

本文根据基本萤火虫算法的基本思路，分析了萤火虫算法在解决小规模背包问题上的可行性。通过仿真实验对物品数为10、25和50的问题进行了求解，实验结果表明，对于基本萤火虫算法，当问题规模较小时可以找到目前已知最优解，但随着问题规模的增大寻优效果不是很理想，需要对基本萤火虫算法加以改进来适应求解大规模的背包问题。

参考文献：

[1] Tian Feng-nan， Wang Yu. Summary algorithm for solving 0-1 knapsack Problem [J].Soft ware Guide.2009，8（1）：59-61.

[2] 马良，王龙德. 背包问题的蚂蚁优化算法[J]. 计算机应用.2001，21（8）：4-5.

[3] 沈显君，王伟武，郑波尽，等. 基于改进的微粒群优化算法的0-1背包问题求解[J]. 计算机工程，2008，32（18）：23-25.

[4] 宋潇潇.求解大规模0-1背包问题的改进人工鱼群算法[J].西华大学学报：自然科学版，2013，32（4）：5-9.

[5] Krishnanand K N，Ghose D. Detection of multiple source locations using a glowworm metaphor with applications to collective robotics[C]//Swarm Intelligence symposium，2005. SIS 2005. Proceedings 2005 IEEE. IEEE，2005：84-91.

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关键词 最优化原理与方法 教材改革 实际案例

中图分类号：G643 文献标识码：A DOI：IO.16400/ki.kjdks.2017.05.018

0引言

最优化研究的是如何在有限或无限备选方案中选择一种以达到某种最优指标。它广泛应用于我们生活的各个方面，如工业、农业、商业、交通运输业、国防以及经济管理、系统工程等各个领域。我国大部分工科院校都在研究生教学中开设了“最优化原理与方法”课程，同时也将其作为重要课程来建设。从实际应用来讲，通过该课程的系统学习，使得学生既掌握了最优化的计算方法，又能掌握各种方法的来龙去脉，从而能灵活地根据实际情况，选择最有效的方法或者综合几个算法来解决问题。而从学生学习系统来讲，该课程是学生学好其它专业课程及从事科学研究的重要工具，也是一些学科专业博士研究生入学考试必考科目之一。

1最优化课程改革现状

最优化理论与方法是二十世纪五六十年代随着计算机的普及应用而发展起来的。各高校陆续编写《最优化原理与方法》教材，在本科高年级或者研究生阶段开设课程。到现在已经有半个世纪的时间了。

随着高校扩招，各个学校各科课程都在寻求改革的出路，“最优化原理与方法”课程教学改革成为大学研究生教改的重要环节之一，受到相关专业研究生导师与任课教师的普遍关注，很多院校已经结合自身特点进行改革。如张火明等在教学中提出了讲座式教学法模式。该模式强调以“学生”为主体，培养学生主动性与创造性思维。王文静等结合高师院校特点，在“最优化原理与方法”课程教学中，强化教学实践环节，在教学的同时，培养学生实践能力与创新精神，使得学生在实际教学场景中学习如何做一名合格的教师。朱婧等在“数学模型与最优化”课程教学中，设计了培养大学生创新能力的研究型教学模式，在教学内容、教学过程、课内外学习、数学软件的应用四个环节中各有侧重，一方面激发学生的学习兴趣，另一方面也培养了学生的动手能力。李顺杰根据“运筹学与最优化”课程和信息与计算专业学生特点，把最优化方法从“运筹学与最优化”课程中分离出来，作为独立的一门课程在下一个学期开设。在教学过程中，加强案例教学，充分利用学生的上机实验课。提高学生学习兴趣的同时，也锻炼了学生的动手能力。“最优化原理与方法”课程教学改革已经在各高校陆续展开，不过，大部分改革都是针对教学方法、教学内容等课堂教学进行的，对教材的改革很少见。

2《最优化原理与方法》教材的现状

教学改革的前提是教材改革，优秀教材对教学效果有着明显的促进与提高作用。因此最优化原理与方法的教材改革就显得尤为重要。

现有最优化课程教材，普遍存在着理论与实际严重脱节的现象。目前可供选择的最优化教材大体上分为两类，一类注重理论、方法，而没有算法的框图，更没有实际案例。其弊端是学生只学到一些理论知识，但不会将算法与实际问题结合起来，很难将学到的理论基础应用到科研实际中，另一类是单纯介绍某一种算法的应用，忽视其理论基础。学生参考这种教材，只能盲目套用，根本无法领会算法的精髓，更谈不上灵活运用。同时，教师要丰富课堂内容，做到理论联系实际，使理论更加生动，就要不停地在很多教材与参考资料之间艰难的选择。因此教学上急需一本将理论方法与实际案例有机结合的教材。

现有教材缺乏上机实验内容。现有教材中所采用的例题与课后习题都是可以通过简单笔算、经过几步迭代就能得到最优解的，有一些是能够求出解析解的，而没有相应的上机实验内容。简单的题目确实是教学过程所必需的，但是只有简单题目，就显得单一了，也不足以满足学生学习以及提高动手能力的需要。还会造成教学过程枯燥，学生缺乏学习兴趣，学生学习难度大的恶果。

现有教材内容一直没有更新。现有教材大部分是以线性规划与非线性规划，约束优化与非约束优化的传统理论与经典算法作为这门课程的学习内容，但仅仅学习这些传统、经典的内容，已经远远不能满足科学研究和社会实践快速发展的需要，特别是近几年智能优化算法、凸规划的理论、非光滑优化等有了较新的发展和广泛的应用，都应该在教材中介绍，起到引路的作用。

3《最优化原理与方法》教材改革内容

为方便学生直观理解一些抽象的定义、定理，激发学生的学习兴趣，提高学生的动手能力，经过几年的教学实践，我们在教材改革过程中，从教材内容、结构、例题和习题的选取四个方面进行了深入的研究。通过深入细致的理论分析，直观的几何解释、算法框图、实际例题和实验题等相关内容，做到了把抽象的描述与直观解释相结合、理论研究与实际应用相结合、夯实学生理论基础与锻炼学生动手能力相结合，把经典传统理论与近代研究成果相连接。

3.1在教材内容上

首先，教材内容以基础知识为主。经典、传统优化算法针对结构化的问题，有较为明确的问题和条件描述，有清晰的结构信息，属于确定性算法，有固定的Y构和参数，计算复杂度，有严格的收敛性。这些都是最优化算法坚实的理论基础，是研究最优化问题必不可少的，当然也是最优化教材的重要内容。

其次，加入直观几何解释与算法框图。由于经典、传统优化算法一些理论证明需要一定的数学功底，这些内容的讲述一般比较抽象、枯燥，不利于学生理解。为帮助学生理解一些基本概念和基本结论，在教材中加入一些直观的图形。一方面帮助学生理解、记忆，另一方面也能激发学生的兴趣，调动学生的学习积极性，同时还能引导学生思考，进行深入的研究。

最后，引入近代优化算法等内容。随着时代的发展，知识的更新，教材内容需要不断更新、补充。传统优化算法对于单极值问题，传统算法大部分时候已足够好，对于多极值问题很容易陷入局部最优。而对多极值问题，近十几年兴起并迅速发展的智能优化算法展现了其优于传统算法的一面。不止如此，智能优化算法也能解决一些缺乏结构信息的最优化问题。因此，可以说智能优化算法是传统算法的有益补充，是知识更新的需要。不过，目前已经有很多专门介绍智能优化算法的书籍与其他参考资料，有的甚至已经形成一门专门的课程。因此，我们只是在教材的最后简要介绍一下智能优化算法中的遗传算法和粒子群算法，作为传统优化算法的补充，近代优化算法的引领。

3.2教材结构与知识结构符合系统性、循序渐进性原则

在教材内容的编排上，按照“基本思想-基本概念-直观几何解释-主要结论-算法步骤-算法框图-算例-实际应用算例-小结-基本习题-实验题”这样的结构编排。这样的结构安排，符合由浅入深、由易到难的规律，符合学生的认知过程，更有利于学生掌握知识，学会利用所学的知识分析并解决实际问题。使学生在获得系统的最优化基本理论知识、抽象思维和逻辑思维能力训练的同时，也能对其运用数理分析的方法分析实际问题的能力进行必要的训练，使其能综合运用所学知识和具体优化算法，形成最优化数学模型并求解的能力，激发学生的学习兴趣，提高学生分析问题、解决问题能力。

3.3例题的选取

例题分为两种，一种数据简单，运算量小，但是能体现算法涉及到的每一种可能。通过这样的例题，学生可以按照算法步骤或者算法框图掌握整个算法步骤。另一种例题便是实际应用算例。这类例题只能按照算法编制程序计算，但是要求有实际来源，学生会先形成数学问题，再求解。这类例题的目的在于激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，逐渐学会怎样利用所学的知识分析并解决实际问题。

3.4习题的选取

习题也分为基本习题和实验题两种，均有答案。基本习题可以是基本概念理解题，基本证明题，也可以是计算量偏小的计算题。学生通过基本习题的训练，掌握基础知识，理解基本概念和结论，掌握算法的基本思想。实验题主要是计算题，有实际背景，有一定的计算量，必须借助于计算机才能求解。通过实验题的训练，学生要能掌握算法精髓，对于实际问题，能熟练选择算法，并能熟练使用计算机求解。一方面巩固了基本知识，另一方面学生的动手能力、创新能力、探索问题的能力都会得到锻炼，为后续科研工作做好充分的准备。

总之，通过深入的教学研究和对最优化基本理论体系与阐述方式进行再思考，改革旧的体系，吸收先进的处理方式，反映当代最优化的发展趋势。坚持“以理论为基础，注重实践，突出实用”的原t，从工科院校的学科专业背景出发对教材进行了“再创造”，建成了基本完整的最优化课程新教材体系。

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【关键词】动态规划；模型；应用

本文主要讨论动态规划模型的建立以及模型的应用。动态规划模型是求解决策过程最优化的数学方法，在生产实践中有很大的实用价值，本文采用数学建模的形式，将生活中的一些实际问题用数学模型表示出来，以生产―库存管理系统为例，并且根据动态规划模型的相关原理，查阅相关文献，用数学的语言提出解决办法，从而实现其为生产实践服务的目的。

1、国内外对本课题涉及问题的研究现状

动态规划发源于20世纪50年代左右，是目前用来解决多阶段决策过程最优化的一种方法。国内对动态规划的研究起步较晚，国外对此研究起源较早，且研究范围很广。根据了一类多阶段决策问题的特点，1951年，美国数学家理查德・贝尔曼提出了解决这类问题的“最优化原理”，由此，理查德・贝尔曼及学者将其应用于很多实际生活问题中，研究并解决问题，从而建立了运筹学的一个分支-动态规划。1957年，在美国普林斯顿大学，理查德・贝尔曼发表了第一本正式的著作。随后，理查德・贝尔曼与众多学者和科学工作者发表了一些列动态规划应用的著作，包括动态规划在资源理论、最佳控制论、经济学、工业工程、马尔柯夫变分法和管理科学过程中的应用。因此在国内外，动态规划的发展始终伴随着它的广泛应用而不断臻善的。

2、动态规划的优点

动态规划的核心思想是美国数学家理查德・贝尔曼提出的最优化原理，该原理产生了分阶段决策的方法。分阶段决策的方法是在整体最优化的基础之上建立的，在探寻某一阶段决策时，既要对局部的利益进行考虑，而且还应顾及到总体的最优。动态规划通过分阶段处理一个N维变量处理的复杂问题，将N维变量问题转化为求解N个单变量问题，将解决过程大大简化，节省了大量的计算量，这是一个典型的求解极值方法无法做到的。目前，动态规划几乎超越了所有的计算方法，特别是大大超越了经典的优化方法，它可以确定绝对（全局）最大或最小，而不是相对（局部）的极值，所以我们不再需要再担心的局部最大值或最小值的问题。动态规划的另一个特点是泛函方程的“嵌入”特性。动态规划方法不仅能求出整个过程的某一个特定的状态的一个值，同时也为后面子流程的所有可能出现状态的一族解。

3、动态规划建模在实际生活中的应用

下面举例说明动态规划在生产―库存管理系统的模型及求解。设每一个季度为一个阶段，并且取第k季度初具有的产品数为状态变量xk；取第k季度需要生产的产品数为决策变量uk；第k季度的销售量（订货量）为sk。显然由状态xk采取决策uk后的状态转移方程为： Xk+1=Xk+Uk-Skk=1，2，3，4 对现在的问题，效益就是费用，故阶段效益为

d（Xk，Uk）=Xk+0.005U2k

若用fk（xk）表示从状态xk出发，采用最优策略到第四季度结束时的最小费用，则有如下的模型：

fk（xk）=min{xk+0.005uk2+fk+1（xk+1）}（uk≥sk-xk）

f5（x5）=0，k=4，3，2，1

下面，我们用逆推算法求解以上模型。 1、先从最后一个季度k=4考虑起，即求： u4≥1200-x4时，f4（x4）=min{x4+0.005u42} 由x5=0和状态转移方程可得： 0=x4+u4-s4=x4+u4-1200 从而得到u4=1200-x4，代入f4（x4）可得： f4（x4）=7200-11x4+0.005x42

2、再考虑k=3，即求 u3≥500-x3时，f3（x3）=min{x3+0.005u32+f4（x4）} =min{x3+0.005u32+7200-11x4+0.005x42} 由状态转移方程可知： x4=x3+u3-s3=x3+u3-500

代入f3（x3）可得：U3≥500-x3，f3（x3）=min{x3+0.005u32+7200-11（x3+u3-500）+0.005（x3+u3-500）2}

利用微积分求极值方法，令0.01u3-11+0.01（x3+u3-500）=0 解得 u3=800-0.5x3

f3（x3）=7550-7x3+0.0025x32

3、再考虑k=2，求极值问题。 u2≥700-x2时， f2（x2）=min{x2+0.005u22+7550-7x3+0.0025x32} 仍由状态转移方程可知： x3=x2+u2-700 代入可有

u2≥700-x2时，f2（x2）=min{x2+0.005u22+7550-7（x2+u2-700）+0.0025（x2+u2-700）2} 再令

0.01u2-7+0.005（x2+u2-700）=0 解得： u2=700-x2/3

f2（x2）=10000-6x2+（0.005/3）*x22

4、再考虑k=1，求极值问题。 u1≥600-x1，f1（x1）=min{x1+0.005u12+10000-6（x1+u1-600）+（0.005/3）*（x1+u1-600）2} 仍令{x1+0.005u12+10000-6（x1+u1-600）+（0.005/3）*（x1+u1-600）2}=0

可得： 0.01u-6+（0.01/3）*（x1+u1-600）=0 注意到x1=0，于是有：

u1=600，f1（x1）=11800 因此，这个生产―库存管理问题的各个季度的库存量和最优策略序列分别为

x1=0，x2=0，x3=0，x4=300，x5=0，u1=600，u2=700，u3=800，u4=900应用这一策略，才能使总费用最少，为11800元。若每季度都按订货量生产，即u1=600，u2=700，u3=500，u4=1200，库存量总是0，但是总费用为12700元，比最优策略多900元。

4、结语

在实际生活中，使用动态规划建模为理论基础，能解决许多类型决策过程中的问题，如资源分配问题、生产与存储问题、背包问题、排序问题和货担郎问题等等。本文以生产―库存管理系统为例，使用动态规划模型，很好的解决了实际问题，展现了动态规划模型建立的特点和优点――计算量小，结果丰富。可广泛运用于实际生活的解决中。

【参考文献】

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【关键词】 供应链 逆向物流 存储策略

一、前言

供应链的物流管理作为企业“第三利润源泉”成为全球经济发展的一个重要热点和新的经济增长点，而在环境法律法规的压力和经济利益的驱动下，与之如影随行的逆向物流正成为企业管理者和相关学术研究者关注的重要问题。而存贮控制是逆向物流中的一个关键领域。对于生产商而言，在一个考虑逆向物流的制造/再制造系统中，销售产品的存贮可以由新制造产品进行补充，也可以由返回产品经过简单处理进行补充。当产品处于生命周期的成熟期时，其需求速度应大于商品的回流速度。以下两种模型基本假设条件为：产品处于生命周期成熟期，确定性需求，稳定回流率，退回品的修复时间为L，产品一经退回即进行处理，如图1所示。

二、不考虑生产时间模型

1、基本假设

（1）假设市场需求的一般特性商品处于生命周期中的成熟期，即市场需求相对稳定，可以用常数来近似描述产品的市场需求速度。

（2）假设商品的返回是以一定的比例进行的，不考虑回收产品的不确定性，即本期产品的回收量是前期产品销售量的一定比例。

（3）这里考虑的回流是指通过某次销售后，从消费者手中产生的回流。这里的回流率是建立在统计意义上的某一相对稳定值或服从某个分布。回流量是指在“正常销售”部分中按照一定回流率回流的量。

（4）回流处理中各环节发生的成本统称为回流处理成本，每个回流产品的回流处理成本相同。

（5）产品退回后立即进行修复处理并进入存贮，且与新产品的单位存贮成本相同。

（6）返回产品进行简单处理后可以全部再次销售，即不考虑回收废旧产品的弃置问题。

（7）假设返回产品在处理后重新销售时，与新产品无差异并服务同一级市场，产品的销售价格一致。

（8）不考虑订购/制造新产品的提前期，即存贮降为0时可以立即得到补充。

（9）不考虑价格折扣问题。

2、模型中符号说明

Q：期初订购量；

T：订货周期；

C：成本；

N：退回产品速度，N为常数；

M：产品的生产速度，M为常数；

R：商品的需求速度；

u：产品的回流率，u为常数且0≤u

hs：单位数量待售品单位时间的存贮持有成本；

hr：单位数量退回产品单位时间的存贮持有成本；

T：订货周期；

P：单位产品的订购价格；

C0：每次订货的固定成本；

Cr：单位退回产品的修复成本；

Cr0：退回产品每次修复的启动成本，即固定成本；

I（t）：时刻t的存贮水平；

L：退回产品的修复时间。

3、模型提出及求解

基于以上假设，问题即为计算出单位时间内总成本最小的订货周期T和订货数量Q，整个订货周期内的成本包括以下四个部分。

（1）整个订货周期内新产品的存贮成本：单位时间产品需求速度为R，又单位时间有uR的产品经修复进入存贮并优先销售，所以单位时间经销售的新产品为（1-u）R，即净需求为R'=（1-u）R，所以整个周期内新产品的存贮成本为：

hs■（Q-Rt+uRt）dt=hs■（Q-R't）dt=hs（QT-■R'T2）（1）

（2）整个订货周期内退回产品的存贮成本：产品退回后即进行修复出售，所以退回产品的存贮是均匀的。修复时间为L，所以任一时刻的存贮为uRL。

hr■uRLdt=hruRLT （2）

（3）退回产品的处理成本：CruRT （3）

（4）订货成本：C0+PQ （4）

所以整个订货周期内的平均总成本为：

C（Q，T）=■[hs（QT-■R'T2）+hruRLT+CruRT+C0+PQ]

（5）

因为不允许缺货，且当存贮降为0时立即得到补充，订货量应等于净需求量。即：

Q=R'T=（1-u）RT （6）

将（6）式代入（5）式，得：

C（Q，T）=■hsR'T+hruRL+CruR+PR'+■

对T求导并令其为0，可得最优订购周期为：

■=■hsR'-■=0

？圯T？鄢=■=■（7）

将（6）代入，得最优订货批量为：

Q？鄢=■=■（8）

当没有退货，即u=0，公式则成为经济订购批量公式，由于T？鄢与Q？鄢均与产品价格P无关，所以以后在成本函数中去掉PR'这项，此时最佳成本为：

C？鄢（Q，T）=■■+hruRL+CruR+■ （9）

由（7）、（8）、（9）式可知，考虑逆向物流与不考虑逆向物流相比，最优订货周期延长了，最优订货批量降低了，最佳成本增加了。即使考虑了退回产品的修复时滞，但是由于生产经营的连贯性，其对最优订货周期和最优订货批量并没有影响，只是在最佳成本中有所体现。

4、数例求解

假设某销售商销售某种商品，每次订货的固定订货成本为900元，单位商品的订货价格为50元，销售价格为每件100元。商场规定，若顾客对商品不满意或商品有瑕疵，从商品购买之日起两个月内可以退货。对以往销售数据进行统计发现，退货产品的数量约占销售量的10%，所退商品中由于商品本身严重缺陷而返厂大修或废弃的比例非常小，低于1%，可忽略不计。产品退回就进入回流产品存贮进行修复，修复时间为两天，每次修复的启动成本为100元，每件产品的修复成本为5元。修复后就可以进入待售品存贮，销售价格与新产品一样，仍为100元。回流产品存贮及待售品存贮的存贮成本分别为每天每件1元和每天每件2元。根据市场调查统计，此商品的市场需求比较稳定，基本保持在每天10件的销量。假定能够瞬时补货，且要求不允许缺货的条件下，制定一个长期补货策略。

将问题代入以上模型中，可将参数整理如下：R=10件/天，u=0.1，hs=2元/件・天，hr=1元/件・天，L=2天，P=50元/件，C0=900元，Cr=5元，Cr0=100元。

将参数代入模型中，可得最优策略为：

最优订购周期为：T？鄢=10天；

最优订货批量为：Q？鄢=90件/次；

最佳成本为：C？鄢=187元。

三、均匀生产模型

假设存贮降为0，立即得到补充是一种理想状态，实际生产总是需要一定过程，或者购买过程中，总是存在订货提前期的，此模型即假设均匀生产，生产速度为M，如图2所示。

1、基本假设

（1）假设市场需求的商品处于生命周期中的成熟期，即市场需求相对稳定，可以用常数来近似描述产品的市场需求速度。

（2）假设商品的返回是以一定的比例进行的，不考虑回收产品的不确定性，即假定本期产品的回收量是前期产品销售量的一定比例。

（3）返回产品进行简单处理后可以全部再次销售，即不考虑回收废旧产品的弃置问题。

（4）假设返回产品在进行处理重新销售时，与新产品无差异并服务同一级市场，产品的销售价格一致。

（5）考虑生产时间，假设均匀生产，生产速度为M。

（6）产品退回后立即进行修复处理并进入存贮，且单位存贮成本与新产品无异。

2、模型中符号说明

R：商品的需求速度，R为常数；

u：产品的回流率，u为常数且0

M：产品的生产速度；

hs：单位数量产品单位时间的存贮持有成本；

hr：单位数量退回产品单位时间的存贮持有成本；

Q：周期订货量；

T1：生产时间；

T：订货周期；

P：单位产品的订购价格；

C0：每次订货的固定成本；

Cr：单位退回产品的修复成本；

Cr0：退回产品每次修复的启动成本，即固定成本。

3、模型提出及求解

基于以上假设，问题即为计算出单位时间内总成本最小的订货周期T和订货数量Q，整个订货周期内的成本包括四个部分：整个订货周期内产品的存贮成本；整个订货周期内退回产品的存贮成本；退回产品的处理成本；订货成本。分别计算如下。

（1）整个订货周期内新产品的存贮成本：单位时间产品需求速度为R，又单位时间有uR的产品经修复进入存贮，所以净需求速度为：

R'=（1-u）RT

因为不允许缺货，且当存贮降为0时立即得到补充，生产量应等于净需求量。即：

Q=R'T=（1-u）RT （10）

根据文献，可知（M-R'）T1=R'（T-T1），即MT1=R/T。

由此得到整个订货周期内新产品的存贮成本为：

■hs（M-R'）T1T=■hs（M-R'）■T2 （11）

（2）整个订货周期内退回产品的存贮成本：产品退回后即进行修复出售，考虑修复时间L，任一时刻t的存贮水平为uRL，因为此时刻之前L时间之内的退回产品都还在存贮内，处于修复过程中。所以，整个订货周期内退回产品的存贮成本为：

hr■uRLdt=hruRLT （12）

（3）退回产品的处理成本：CruRT （13）

（4）订货成本：C0 （14）

所以整个订货周期内的平均总成本为：

C（Q，T）=■[■hs（M-R'）■T2+hruRLT+CruRT+C0]

=■hs（M-R'）■T+hruRL+CruR+■ （15）

成本函数对T求导得：

■=■hs（M-R'）■-■

令成本导函数为0，得最优订货周期为：

T？鄢=■=■（16）

将（10）代入，得最优订货批量为：

Q？鄢=■=■（17）

最优生产时间为：

T■■=■=■ （18）

将（17）和（18）代入（15）得平均总成本为：

C？鄢（Q，T）=■+hruRL+CruR（19）

由上面的一些式子可知，当没有回流，即u=0时，公式即与经典存贮模型的结果相同。与经典存贮模型相比，最优订货批量减少了，最优订购周期可能延长也可能缩短：当2R≤M时，最优订货周期延长；当2R>M时，最优订货周期缩短。

4、数例求解

假设某生产商生产并销售某种商品，生产速度为25件/天，每次生产的固定成本为900元，单位商品的生产成本为50元，销售价格为每件100元。另有规定，若顾客对商品不满意或商品有瑕疵，从商品购买之日起两个月内可以退货。对以往销售数据进行统计发现，退货产品的数量与销售量成正比，约占销售量的10%，所退商品中由于商品本身严重缺陷而返厂大修或废弃的比例非常小，低于1%，可忽略不计。产品退回就进入回流产品存贮进行修复，修复时间为两天，每次修复的启动成本为100元，每件产品的修复成本为5元。修复后就可以进入待售品存贮，销售价格与新产品一样，仍为100元。回流产品存贮及待售品存贮的存贮成本分别为每天每件1元和每天每件2元。根据市场调查统计，此商品的市场需求比较稳定，基本保持在每天10件的销量。假定能够瞬时补货，且要求不允许缺货的条件下，制定一个长期补货策略。

将问题代入以上模型中，可将参数整理如下：M=25件/天，R=10件/天，u=0.1，hs=2元/件・天，hr =1元/件・天，L=2天，P=50元/件，C0=900元，Cr=5元，Cr0=100元。

将参数代入模型中，可得最优策略为：

最优订购周期为：T？鄢=12.5天；

最优生产时间为：T1？鄢=4.5天；

最优订货批量为：Q？鄢=113件/次；

最佳成本为：C？鄢=151元。

四、结语

由以上两个模型的结果可以得出结论，考虑到退货产品修复处理之后的时间，只是对平均总成本产生影响，对能得到最优平均总成本的最优订货批量及最优订货周期没有影响。在经典存贮模型中，用净需求速度替代市场需求速度，即可得出相应条件下的最优策略。

【参考文献】

[1] 袁霄：基于逆向物流的存贮控制研究[D].北京交通大学，2006.

[2] 马士华等：生产与作业管理[M].高等教育出版社，2004.

[3] 《运筹学》教材编写组：运筹学[M].清华大学出版社，2003.

[4] Fleischmann M.，Bloemhof-Ruwaard J.，Dekker R.，van der Laan E.，van Nunen J.，Van Wassenhove L..Quantitative models for reverse logistics：a review[J].European Journal of Operational Research，1997，103（1）.

[5] 益宇鸣：基于逆向物流的存贮控制研究[D].上海海运学院，2003.

篇10

关键词：铁矿安全现状评价；层次分析；指标体系；可拓工程；算法研究与实现

中图分类号：X913.4 文献标识码：A 文章编号：1007-9599 （2013） 02-0000-02

目前，国内外常用的安全评价方法有数十种[1]，其各有优缺点。可拓学始于不相容问题的转化规律与解决方法的研究[2]。它以物元为基础建立物元模型来描述矛盾问题，以物元可拓性为依据，以物元变换作为解决矛盾问题的手段，并在可拓集合中，通过建立关联函数对事物的量变和质变过程进行定量描述，即利用可拓域和零界元素对事物的量变和质变进行定量化的描述。它可描述事物的可变性，把是与非的定性描述发展为定量描述，也为解决等级的评判问题提供了一个新的途径。研究中依据铁矿厂安全评价的安全标准和安全评价的各要素，构造了矿厂安全评价的的经典物元和节域物元，应用可拓学的综合评判方法，建立多指标的铁矿厂安全综合评价模型，通过计算其关联度，给出定量的数值评定结果。

1 铁矿厂安全现状评价指标体系的建立

铁矿安全评价的研究对象是整个生产系统的安全问题，其安全现状评价指标体系统中的因数是相互联系、相互制约的，评价指标的选取是否适宜直接影响评价结果。因此要综合考虑瓦斯、围岩、顶板、水害等几个控制指标，提取鞍钢矿业集团某铁矿安全状况作为总目标层，其中水文地质、技术设备、人员素质、安全教育、环境安全、领导管理水平等6项作为二级指标。

2 采用层次分析法确定指标权重

2.1 层次分析法的基本原理和步骤

20世纪70年代美国运筹学家Saaty针对许多评价对象属性多样，结果复杂，难以完全采用定量方法的问题，提出了著名的层次分析法（The Analytic Hierarchy Process，即AHP）。在运用AHP方法进行评价和决策时，应遵循其基本步骤。

2.2 构造判断矩阵并计算排序权重

铁矿厂安全现状影响因素递阶层次结构如图1。判断矩阵是层次分析法的主要结构，也是进行指标间相对重要程度（权重）计算的重要依据。根据层次分析法的要求，制定出各层指标两两之间比较的表格，采用按指标重要程度1～9及其倒数的标度方法，通过资料分析、实际调查以及专家评分，权衡各指标两两之间的相对重要程度，构造判断矩阵。

根据以上步骤得到二级指标（B层）判断矩阵排序指标权重计算及检验如表1所示。

2.3 安全等级计算

现以鞍钢矿业集团某铁矿安全现状为例，采用层次分析评价法对其进行整体安全现状评价。根据专家评分，多为专家对各个指标进行评分，然后根据安全等级加权值和标准分值的规定将专家打分归纳到安全等级，最后将对相同指标的各个评价等级的专家数除以总数，得到一个评价指标的安全等级分数。

3 用可拓集确定评价安全等级

可拓学始于不相容问题的转化规律与解决方法的研究[3]。它以物元为基础建立物元模型来描述矛盾问题，以物元可拓性为依据，以物元变换作为解决矛盾问题的手段，并在可拓集合中，通过建立关联函数对事物的量变和质变过程进行定量描述，即利用可拓域和零界元素对事物的量变和质变进行定量化的描述。

3.1 同征物元分析

系统安全的物元定义为 其中，R表示物元，N表示事物（影响因素安全等级），C表示事物特征（影响因素），V表示事物特征的量域（影响因素安全等级值化范围）。结合本例特征元的确定。用N表示：N={不安全，较不安全，一般安全，较安全，很安全}。

3.2 构建经典域

设 是 的同征物元体，则经典域为 ， 是 关于 的量的取值范围 。则相应的节域为 ，P表示安全因素的全体， 是关于 的量的取值范围。

3.3 确定待评价物元

对影响因素分别进行评价打分，并用物元R表示待评价物元。，P为待评价矿厂的安全级别，R为待评价矿厂， 表示因素， 代表相应因素的安全评价值（专家打分值（表5安全等级部分））。

对专家打分进行中和： 。

3.4 计算影响系统安全的子系统的关联度

对于第j个安全影响因素关于安全等级 的关联度为： （i=1，2，…，n；j=1，2，…，m）

其中，

根据上式计算安全等级关联度 ，{很安全、较安全、一般安全、较不安全、不安全}={-0.3818、-0.1795、0.2762、-0.3210、-0.5473}， ，所以该铁矿厂的安全等级为一般安全。

4 结论

（1）基于可拓学和层次分析的铁矿厂区域安全现状评价从多角度、多因素出发，所选取的指标参数的种类和数量可不受限制，可以适用于不同的铁矿厂安全标准的具体特点，能最大限度的利用安检人员得到的数据结果，使评价结果更符合实际。通过层次分析对各个因素的全重进行分析。可拓工程方法可以用来对复杂模糊概念的安全评价得以量化，这对于传统评价方法来说是质的飞跃。

（2）使用MATLAB实现基于可拓方法、层次分析法的安全现状评价算法是可行的，方便的。

（3）从评价结果可以看出，该方法引入了级别变量特征值，简单易行。可拓安全评价方法不仅可以判定铁矿厂的安全等级，而且可以反映区域的安全程度与安全等级的距离。

参考文献：

[1]李传贵.安全评价中的方法问题[J].劳动保护科学技术，1997，17（5）：17-18.