运筹学求最优解的方法范文

导语：如何才能写好一篇运筹学求最优解的方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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关键词：运筹学；企业管理；应用

运筹学作为一门新兴科学，其应用范围是十分广泛的。对于不同类型问题，运筹学都有着不同的解决方法。在企业管理中，运筹学的思想贯穿了企业管理的始终，运筹学对各种决策方案进行科学评估，为管理决策服务，使得企业管理者更有效合理地利用有限资源。优胜劣汰，适者生存，这是自然界的生存法则，也是企业的生存法则。只有那些能够成功地应付环境挑战的企业，才是得以继续生存和发展的企业。作为企业的管理者，把握并运用好运筹学的理念定会取得“运筹帷幄之中，决胜千里之外”之功效。

一、企业管理中常用的运筹学方法

（1）线性规划： 线性规划是目前在经济管理中应用最广泛的一种优化法， 它的理论已经十分成熟， 可以应用于生产计划、物资调用、资源优化配置等问题。它主要研究的是经济管理活动中经常遇到的两类问题： 一类是在有限的劳动力、设备、资金等资源条件下， 研究如何合理安排生产计划， 以取得最大的经济效益； 另一类是为了实现某一特定的目标（ 生产指标或其它指标） ， 研究如何组织生产， 或合理安排工艺流程， 或调整产品的成份等等，以使消耗的资料（ 人力、设备台数、资金原材料等） 最少。这类统筹规划的问题用数学语言表达（ 即数学模型） ， 先根据问题要达到的目标选取适当的决策变量， 问题的目标通过用决策变量的函数形式来表示， 称之为目标函数，对问题的限制条件用有关变量的等式或不等式表达， 称为约束条件。当目标函数和约束条件均为线性时， 即为线性规划的数学模型。线性规划可通过单纯型法求出最优解， 现在已有专门的软件， 使用起来非常方便。

（2）动态规划： 动态规划是运筹学的一个分支， 是一种解决多阶段决策过程最优化的数学方法， 它把复杂的多阶段决策问题分解成一系列相互联系的较容易解决的单阶段决策问题，通过解决一系列单阶段决策问题来解决多阶段决策问题。以寻求最优决策序列的方法。动态规划研究多阶段决策过程的总体优化， 即从系统总体出发， 要求各阶段决策所构成的决策序列使目标函数值达到最优。在经济管理方面， 动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题、排序问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题等等， 所以它是现代经济管理中的一种重要的决策方法。

二、企业生产计划与市场营销

（1）生产计划。使用运筹学方法从总体上确定适应需求的生产、贮存和劳动力安排等计划，以谋求最大的利润或最小的成本，运筹学主要用线性规划、整数规划以及模拟方法来解决此类问题。线性规划问题的数学模型是指求一组满足一个线性方程组（或线性不等式组，或线性方程与线性不等式混合组）的非负变量，使这组变量的一个线性函数达到最大值或最小值的数学表达式.

建立数学模型的一般步骤：①确定决策变量（有非负约束）；对于一个企业来说，一般是直生产某产品的计划数量；②写出目标函数（求最大值或最小值）确定一个目标函数；③写出约束条件（由等式或不等式组成）.约束条件包括指标约束需求约束、资源约束等；④最后根据目标函数为作出最合适的企业生产计划决策。

（2）市场营销。一个市场研究专家试图用数据证明消费者的洞察多么有意义，而一个战略管理咨询专家则强调成功营销案例中隐藏的思路更有价值。我认为市场营销管理的任务主要是探查决策环境，进行数据和信息的搜集、加工、分析，确定影响决策的因素或条件。因此，在确定目标阶段实际上包含了问题识别和问题诊断两个内容。在设计方案阶段要理解问题，建立模型，进行模拟，并获得结论，提供各种可供选择的方案（方案主要通过对产品、价格、销售渠道、促销等基本环境的控制来影响消费需求的水平、时机和构成）。评价方案阶段要根据确定的决策准则，从可行方案中选择出最优或满意的方案。这些都都可以使用运筹学的理念来为管理者提供辅助决策。

三、企业库存管理、运输问题和财务管理

（1）库存管理。如果说生产计划是从信息流的角度指挥、控制生产系统的运行，那么库存的管理则是从物质流的角度来指挥和控制。库存管理的目标是如何最有效的利用企业的物质资源的问题。现在流行的库存管理系统的库存管理软件，一般含货品进货、出货管理系统，仓库管理系统，报表系统等子模块等，运用的原理还是运筹学模型。

（2）运输问题。在企业管理中经常出现运输范畴内的问题，例如，工厂的原材料从仓库运往各个生产车间，各个生产车间的产成品又分别运到成品仓库。这种运输活动一般都有若干个发货地点（产地）、又有若干个收货地点（销地）；各产地有一定的可供货量（产量）；各销地各有一定的需求量（销量）；运输问题的实质就是如何组织调运，才能满足各地地需求，又使总的运输费用（公里数、时间等）达到最小。运输模型是线性规划的一种特殊模型。这模型不仅实用于实际物料的运输问题，还实用于其它方面：新建厂址的选择、短缺资源的分配问题、生产调度问题等。

（3）财务管理。运筹学的理念在财务与会计中显得更为突出也就是说它解决企业如何最有效的利用资金资源的问题。其涉及到投资决策分析、成本核算分析、证券管理等。在投资决策分析中，企业如何利用剩余资金，如何投资往往有多种方案。而运筹学的作用就是要要对这些不同的投资方案进行决策，以确定最优的方案，使得企业的收益最大。

运筹学是运用科学的数量方法，研究对有限的人、财、物、时、空、信息等资源进行合理筹划和运用，寻找管理及决策最优化的综合性学科。随着国民经济的发展，科学技术的飞跃，运筹学也不断的发展完善成为近代应用数学的一个重要分支，主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决。运筹学将为决策者提供定量、定性分析结，有助作出全局优化决策。

参考文献：

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一、运筹学方法

运筹学是秘书人员计划工作的有效工具，它广泛地用于解决有限资源如何合理运用以实现既定目标的问题。

应用运筹学一般包括以下主要步骤：

（1）建立问题的数学模型。

首先根据研究目的对问题的范围进行界定，确定描述问题的主要变量和问题和约束条件，然后根据问题的性质确定采用哪一类运筹学方法，并按此方法将问题描述为一定的数学模型。

为了使问题简经和突出主要的影响因素，需要作各种必要的假定。

（2）规定一个目标函数，作为对各种可能的行动方案进行比较的尺度。

（3）确定模型中各参量的具体数值。

（4）求解模型，找出使目标函数达的最大值（或最小值）的最优解。通常，即使是求一很简单的管理问题模型的最优解，也要编制计算机程序上机运算。

二、滚动式计划方法

滚动式计划方法是一种编制具有灵活性的、能够适应环境变化的长期计划方法。

秘书人员在编制这种计划的方法是：

在已编制出的计划的基础上，每经过一段固定的时期（例如一年或一个季度等，这段固定的时期被称为滚动期），便根据变化了的环境条件和计划的实际执行情况，从确保实现计划目标出发对原计划进行调整。

每次调整时，保持原计划期限不变，而将计划期限顺序向前推进一个滚动期。

采用滚动式计划方法，可以根据环境条件和实际完成情况，定期地对计划进行修订，使组织始终有一个较为切合实际的长期计划作指导，并使长期计划能够始终与短期计划紧密地衔接在一起。

三、计划－规划－预算方法

计划－规划－预算方法是完全从目标出发编制预算的。新晨

计划开始时，首先由最高主管部门提出组织的总目标和战略，并确定实现目标的项目。

其次分别按每一个项目的实施阶段所需的资源数量进行测算和规划，并排出项目的优先次序；

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[关键词] 线性规划 方法 应用

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，早在1939年苏联的康托洛维奇（H.B.Kahtopob ）和美国的希奇柯克（F.L.Hitchcock）等人就在生产组织管理和制定交通运输方案方面首先研究和应用线性规划方法。1947年旦茨格等人提出了求解线性规划问题的单纯形方法，为线性规划的理论与计算奠定了基础，特别是电子计算机的出现和日益完善，更使规划论得到迅速的发展，可用电子计算机来处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划（或非线性规划）问题。从应用范围来看，小到一个班组的计划安排，大至整个部门，以至国民经济计划的最优化方案分析，它都有用武之地，从解决技术问题的最优化，到工业、农业、商业、交通运输业以及决策分析部门它都可以发挥作用。线性规划方法具有适应性强，应用面广，计算技术比较简便的特点。其基本思路是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。前者是求极小，后者是求极大。线性规划是在满足企业内、外部的条件下，实现管理目标的极值(极小值和极大值)问题，就是要以尽量少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出。因此，线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具，它在辅助企业经营决策、计划优化等方面具有十分重要的作用。

一、线性规划模型的结构

企业是一个复杂的系统，要研究它必须将其抽象出来形成模型。如果将系统内部因素的相互关系和它们活动的规律用数学的形式描述出来，就称之为数学模型。线性规划的模型决定于它的定义，线性规划的定义是：求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。

根据这个定义，就可以确定线性规划模型的基本结构。

1.变量:变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如Xl，X2，X3，Xm等。

2.目标函数:将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值（如产值极大值、利润极大值）或者极小值（如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等）。

3.约束条件:约束条件是指实现系统目标的限制因素。它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件。约束条件的数学表示形式有三种，即≥、＝、≤。线性规划的变量应为正值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负。

在经济管理中，线性规划使用较多的是下述几个方面的问题：

(1)投资问题―确定有限投资额的最优分配，使得收益最大或者见效最快。

(2)计划安排问题―确定生产的品种和数量，使得产值或利润最大，如资源配制问题。

(3)任务分配问题―分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)，使产量最多、效率最高，如生产安排问题。

(4)下料问题―如何下料，使得边角料损失最小。

(5)运输问题―在物资调运过程中，确定最经济的调运方案。

(6)库存问题―如何确定最佳库存量，做到即保证生产又节约资金等等。

二、应用线性规划建立数学模型的三步骤

1.明确问题，确定目标，列出约束条件。

2.收集资料，建立模型。

3.模型求解(最优解)，进行优化后分析。

其中，最困难的是建立模型，而建立模型的关键是明确问题、确定目标，在建立模型过程中花时间、花精力最大的是收集资料。

三、线性规划的应用实例

例1 某工厂生产甲、乙两种产品，每件甲产品要耗钢材2kg、煤2kg、产值为120元；每件乙产品要耗钢材3kg，煤1kg，产值为100元。现钢厂有钢材600kg，煤400kg，试确定甲、乙两种产品各生产多少件，才能使该厂的总产值最大？

解： 设甲、乙两种产品的产量分别为X1、X2，则总产值是X1 、X2的函数

f(X1，X2)＝120X1＋100X2

资源的多少是约束条件：

由于钢的限制，应满足2X1＋3X2≤600；由于煤的限制，应满足2X1＋X2≤400。

综合上述表达式，得数学模型为

求最大值（目标函数）：f(X1，X2)＝120X1＋100X2

2X1＋3X2≤600

2X1＋X2≤400

X1≥0，X2≥0

Xl，X2为决策变量，解（略）得：Xl≤150件，X2≤100件

fmax＝(120 ×150＋100×100)元＝28000元

故当甲产品生产150件、乙产品生产100件时，产值最大，为28000元。

例2：已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地。东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨。煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?

解：设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费

f(X，Y)=x+1.5(200－x)+0.8y+1.6(300－y)(万元)

即f(X，Y)=780－0.5x－0.8y

现要求此目标函数的最小值。

x、y应满足：x≥0 ;y≥0

200-x≥0

300-y≥0

x+y≤280

200-x+(300-y)≤360

解（略）得：X=0 ，Y=280

甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运280万吨向西车站运20万吨时，总运费最少。

上述两例是只有两个变量的线性规划（求目标函数最大，最小）问题，其求解方法为图解法，对于含更多变量的线性规划问题，在解决思路、步骤上基本一致，只是在具体求解方法上要用到所谓的“单纯形”方法，在此不再赘述。

四、结束语

线性规划作为运筹学的重要分支，它在辅助企业经营决策、计划优化，对于企业优化配置资源，降低成本，实现效益最大化等方面都具有重要的作用，因此作为企业的经营决策者有必要学习一点线性规划知识，为科学决策，合理规划做必要的知识准备。

参考文献:

[1]管梅谷郑汉影:线性规划[M].山东科学技术出版社， 1983

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关键词 运筹学 理论教学 对偶理论 实例导入

中图分类号：G642 文献标识码：A

0引言

运筹学是高等学校经济管理专业必修的一门重要基础课程，课程设置的目标是培养学生运用定量分析的方式来解决经济与管理实际问题的能力。由于授课对象普遍是文科生，他们的数学基础比较薄弱，加上这门课程的预备知识与微积分、线性代数等紧密相连，导致学生对运筹学的学习有着恐惧心理，学习兴趣不浓。针对这一现状，怎样合理地讲授这门课程，恰当地通过生活中的具体实例导入理论知识，避免过于抽象的理论知识的直接灌输和推导在很大程度上决定了运筹学的教学质量。下面通过教学过程中学生的重难点“线性规划的对偶理论举例说明。

1实例

借助PPT向学生展示两个实际问题并引导学生建模：

例1：（工厂生产计划问题）某工厂在计划期内要安排生产I，II两种产品，已知工厂的设备有效台时数为8，原材料A，B的库存量分别为16和12千克，而生产单位I产品需设备1台时、消耗原材料A4千克；生产单位II产品需设备2台时、消耗原材料B4千克。设该工厂生产单位产品I和II可分别获利2和3元。问如何安排计划使该工厂获利最多？（不妨设x1，x2分别表示在计划期内产品I和II的产量）

例2：在例1的背景下工厂决定不生产产品，而是将其所有资源出租或销售。问如何安排出租和出让价格使该工厂获利最多？（不妨设y1，y2，y3分别表示出租单位设备台时的租金和出让原材料A，B的附加额）

口述强调例1为第一章讲过的线性规划问题，而例2对应的模型称为例1的对偶问题，即为这节课要讲述的内容“线性规划的对偶理论”。通过讨论，在黑板上写出这两个实际问题的线性规划模型，并用矩阵形式表示。为了方便描述，称例1为原问题，称例2为对偶问题。

在这两个具体模型中，引导学生观察对比找出原问题与对偶问题的联系和区别。

通过PPT设置以下问题：（1）原问题的目标函数系数在对偶问题中扮演何种角色？（2）原问题约束条件的右端常数在对偶问题中充当何种角色？（3）原问题约束条件的系数矩阵在对偶问题中扮演何种角色？（4）原问题和对偶问题中约束条件的不等号有何区别？

在学生的参与互动下得出以上四个问题的答案，即为标准形式的原问题与对偶问题的变换关系，并在黑板上给出一般化的结论。紧接着设置一个问题：“若原问题中存在等式约束，怎么处理？”引导学生思考将这个等式约束变换成原问题中的“≤”约束，从而可以借助刚才的结论来写对偶问题。讨论得出“X=b X≤b且 X≤ b”的处理技巧。下面设置一个简单的例题，求含有等式约束的线性规划原问题的对偶问题。引导学生通过上述处理技巧，写出相应的对偶问题，从而总结得出等式约束对应的变换关系。至此，可以总结得出一般模式下的原问题与对偶问题的变换关系。并用PPT展示出来。在这个基础上，可以给出对偶问题的基本性质，并强调这些性质的重要性在于“在求解线性规划问题的最优解时，可以借助简单易求的问题来得出另一个问题的解”。并给出例题帮助学生消化吸收。

2总结

针对教学过程中学生的重难点“线性规划的对偶理论”，借助具体实例导入理论知识的方法，从简单具体的实例出发，精心设计互动的场景，通过设置引导性的问题，推导并归纳总结抽象的理论知识，由于每一阶段的问题比较简单，学生有能力参与进来，从而充分调动了学生的学习积极性，提高了运筹学教学的质量。

基金项目：武汉纺织大学教学研究项目（2014JY125）资助。

参考文献

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关键词：EOQ；订货成本；储存成本

中图分类号：F275.3文献标识码：A文章编号：1672-3198（2007）10-0258-01

1引言

人们在生产和日常生活中往往将所需的物资、用品和事物暂时地储存起来，以备将来使用或消费。这种储存物品的现象是为了解决供应（生产）与需求（消费）之间的不协调的一种措施，这种不协调性一般表现为供应量与需求量的供应时期与需求时期的不一致性上，出现了供不应求或供过于求。人们在供应与需求这两环节之间加入储存这一环节，就能缓解供应与需求之间的不协调，以此为研究对象，利用运筹学方法去解决最合理、最经济地储存问题。

2存储数学模型的建立及求解

2.1瞬时送货的确定性库存问题（不允许缺货的情况）

存货的功能是满足生产经营的需要,而存货必然发生相应的成本。经济订货批量是存货的相关总成本最低的一次订货批量。经济订货批量应根据实际情况,分不同类型来确定。基本的经济订货批量(EconomicOrderingQuantity,简称EOQ)模型建立在以下的假定条件之上:

①订购的存货瞬时到货;②不允许缺货;③全年的存货需求是确定的;④存货的价格稳定,没有数量折扣;⑤存货的耗用比较均匀。

经济订购批量模型如图所示：

在上述假定条件下,存货的相关成本包括以下两项:

(1)订货成本。订货成本是指为组织进货所发生的各种费用,包括采购人员的差旅费、通讯费、运输费、检验费等。这些费用一般与订货的次数有关。在存货的全年需求量一定的情况下,一次订货量越多,全年的订货次数越少,订货费用越低。

(2)存储成本。存储成本是指企业为持有存货而发生的费用,包括存货资金占用费用或机会成本、仓储费用、存货保险费用等。这些费用一般与平均存货水平的高低成正比。在存货的全年需求量一定的情况下,一次订货量越多,全年的平均存货水平越高,存储费用越高。

基本的经济订货批量有关的计算公式如下:

总成本=订货成本+储存成本或

R:一定时期存货的需求量

S:一次采购费用

C:存货单价

K:存货的存储费率,CK为单位存储费用

3扩展的经济订货批量模型

当基本的经济订货批量模型的某些假定条件改变以后,即可得到扩展的经济订货批量模型。扩展的经济订货批量模型主要是以下下这种形式。

非瞬时送货的确定性库存问题（不允许缺货的情况）。

在订购的存货不能瞬时到货而是陆续供应、且边送边用的情况下,经济订货批量有关的计算公式如下:

经济订货批量:Q*=2RSCK(1-d/g)

最佳的订货次数:N*=RQ*

最低订储费用(订货费用和储存费用合计):

T*=2RSCK(1-d/g)其中,g为送货期内每日平均送货量,d为每日平均消耗量。

4数值实例及求解

（1）某厂年计划生产6500件产品，设每个生产周期的订购成本为200元，每年每件产品的储存费为3.2元，每年工作300天，试求最经济的生产批量Q*和最小的库存费用T*。

①一次订购成本S=200件，年计划产量R=6500件，设该厂每批生产Q件产品，则订购成本为：

RSQ=13*105/Q

而储存成本为：

5分析与结论

（1）扩展情形下的经济订购批量模型与基本经济订购批量相比，进货虽然不是瞬时完成，且每次订购批量较大，但是这种边送边用却能有效的降低总的存储费用。

（2）建立的模型是确定性的，即一个周期内的需求量是已知道的。如果不是这样的话,更合适的模型将是随机的(或概率的)，也就是一个周期内的需求量是一个已知分布的随机变量。

（3）本文仅考察了基本经济批量模型及不允许缺货的情况下非瞬时送货的确定性库存问题，对EOQ模型的进一步扩展尚未完全展开，比如允许缺货、备货时间很短、允许缺货（需补足缺货）生产需一定时间、价格有折扣的存储问题等经济批量模型就有很研究价值，需要以后补充完善。

参考文献

［1］胡运权，郭耀煌.运筹学教程［M］.北京:清华大学出版社，2003.

［2］姜启源，谢金星，叶俊.数学模型［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［3］运筹学.教材编写组.运筹学［M］.北京：清华大学出版社，2005.

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关键词：旅行商问题；流水算法；元启发式算法；优化

中图分类号：C934文献标识码：A文章编号：10035192（2014）01006505doi：10.11847/fj.33.1.65

1引言

旅行商问题（Traveling Salesman Problem，简称TSP）又称为旅行推销员问题、货郎担问题，最早于1859年由威廉·汉密尔顿首次提出，属于运筹学中经典的组合优化难题。该问题是单一旅行者由起点出发，不重复地走完其余地点并回到原出发点，在所有可能的路径中求出路径长度最短的一条。旅行商问题属于组合优化范畴，是NPhard问题，具有组合优化问题的典型特征，并且问题描述简单，因此很多学者将旅行商问题算例作为算法研究的公共实例。同时，旅行商问题有着广泛的实际应用背景，如物流配送、调度排班、道路交通、计算机网络节点配置、生产调度、组合优化求极值等问题。所以，旅行商问题成为优化领域里的研究热点，吸引了管理优化、运筹学、数学、物理、生物和人工智能等领域的研究者的关注。

TSP问题的解空间是多维、多局部极值、复杂的解空间。这个解空间类似一个无穷大的丘陵地带，山峰、山谷连绵起伏，其中的山谷就代表局部极低值，最低的山谷代表最短路径，对应的方案就是最佳旅行方案。旅行商问题的求解方法大体可以分为两类：精确求解法和近似求解法。精确求解法主要是通过解析方法求得最优解，包括枚举法、分枝定界法、动态规划等。旅行商问题描述虽然非常简单，但随着需要访问城市数目的增加，会出现所谓的“组合爆炸”现象，在多项式时间内无法精确求解。所以，人们提出了以获得次优解为目标的近似启发式求解算法。受到自然界的启发，人们提出各种各样的元启发式算法（MetaHeuristics）用于优化求解，如遗传算法[1]、模拟退火[2]、禁忌搜索算法[3]、蚁群算法[4～6]、粒子群优化算法[7]等。这些智能算法被广泛地应用于TSP问题求解，虽然不能保证获取最优解，但当问题规模较大时，保证在可行时间内找到满意的解。求解TSP问题的近似求解算法又可分为环路构造算法和环路改进算法两类[8]。前者从某个非法解开始，通过某种增广策略逐步改变该解，直到得到一个合法解为止，这类算法包括最近邻算法、贪心算法、ClarkeWright算法和Christofides算法等。环路改进算法则在给定初始的合法解后使用某种策略来改进初始解。这些策略更多的是元启发式算法，包括遗传算法[9～12]、模拟退火[13]、禁忌搜索算法[14]、蚁群算法[15，16]、粒子群优化算法[17，18]等。旅行商问题的本质是根据旅行商问题的解空间特征，研究局部最优解、全局最优解和邻域结构之间的关系，具体包括：一种邻域结构的局部最优解和另一种邻域结构的局部最优解之间的关系；全局最优解和所有邻域结构的局部最优解之间的关系。所以，提出一种更能协调上述关系的启发式算法是组合优化领域学者长期追求的目标。

3流水算法原理

现代元启发式算法成为近似求解大规模复杂的旅行商问题的研究热点。研究者从生物系统的进化和大自然中自适应性现象得到灵感，提出了一些以搜索近优解为目标的仿生元启发式算法，如遗传算法、蚁群优化算法、粒子群优化算法等。仿生优化算法是一类模拟自然生物进化或者群体社会行为的随机搜索方法的统称。借鉴自然和社会的各种现象，提出并设计优化算法成为一个重要的求解途径。本文正是在这样的背景下，基于旅行商问题的解空间类似一个无穷大的丘陵地带特点，受到自然现象“水无常形，水往低处流，水流千里归大海”的启发，设计新型的求解旅行商问题的元启发式算法—流水算法。

3.1流水的启示

总启示：“水无常形，水往低处流，水流千里归大海”是众多流水全局寻优，求极值（地势最小）的过程。如图1所示，一个流水从初始位置A，流经B、C、D等锚点位置（局部极小）最终到达最低点E（全局最小）。流水的位置与旅行商问题可行域具体解的编码相互映射。

（1）流水局部搜索启示：“水无常形，水往低处流” 是一个流水根据地势状况局部搜索更低点，并向着下一个局部更低位置流动的过程，在这个过程中流水总是尽可能选择并流经最短路径到达最低点。并且，流水不可能倒着流动，具有禁忌搜索的特点。

（2）水漫溢出的启示：当流水流到一个局部最低的位置，会出现停滞（如图1中位置B）；但随着水量增加，水位上升到一定高度，流水从一个局部次优的位置溢出，并由此继续向下流动，跳出局部收敛。从优化算法的角度，流水的这种特点具有突破局部收敛的能力，即当流水若干代不变后，强行更换位置到局部次优的位置，从而继续进行局部搜索。

（3）流水凿洞的启示：流水向着下一个更低、更好位置流动时，落差越大，流水冲击惯性越大，就会对周围的泥土或岩石进行磨损，甚至可以凿洞突破当前位置的限制，向着比当前位置好的附近点流动（向着局部较优解方向搜索），向着最低点流动（向着全局最优解方向搜索）。并且，在现实中往往可以通过人工凿洞方式，让水流到更低位置，并且路径较短。从优化算法的角度，流水的这种特点具有突破局部收敛、向着全局最优解收敛的优点。

（4）蒸发下雨的启示：在自然界中，位置高、水量少的流水容易被蒸发掉形成水蒸气；相应水蒸气会在一定的气候影响下随机下雨，形成相对应数量的流水。从优化算法的角度，“蒸发”具有“优胜劣汰”优点；“下雨”具有多样化群体，具备随机全局寻优的优点。

[4]Colorni A， Dorigo M， Maniezzo V. Distributed optimization by ant colonies[A]. Processings of the First European Conference on Artificial Life[C]. Amsterdam： Elsevier， 1992. 134142.

[5]Colorni A， Dorigo M， Maniezzo V. An investigation of some properties of an ant algorithm[A]. Processings of the Parallel Problem Solving from Nature Conference[C]. Amsterdam： Elsevier， 1992. 509520.

[6]Dorigo M， Maniezzo V， Colorni A. Ant system： optimization by a colony of cooperating agents[J]. IEEE Transactions on System， Man， and Cybernetics PartB： Cybernetics， 1996， 26（1）： 2941.

[7]Kennedy J， Eberhart R C. Particle swarm optimization[A]. Proceedings of the 1995 IEEE International Conference on Neural Networks[C]. Piscataway， New Jersey， 1995. 19421948.

[8]戚玉涛，焦李成，刘芳.基于并行人工免疫算法的大规模TSP问题求解[J].电子学报，2008，36（8）：15521558.

[9]唐立新.旅行商问题的改进遗传算法[J].东北大学学报，1999，20（1）：4042.

[10]Chang P C， Huang W S， Ting C J. Dynamic diversity control in genetic algorithm for mining unsearched solution space in TSP problems[J]. Expert Systems with Applications， 2010， 37（3）： 18631878.

[11]Albayrak M， Allahverdi N. Development a new mutation operator to solve the traveling salesman problem by aid of genetic algorithms[J]. Expert Systems with Applications， 2011， 38： 13131320.

[12]Nagata Y， Soler D. A new genetic algorithm for the asymmetric traveling salesman problem[J]. Expert Systems with Applications， 2012， 39： 89478953.

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[16]蔡荣英，王李进，吴超，等.一种求解旅行商问题的迭代改进蚁群优化算法[J].山东大学学报（工学版），2012，42（1）：611.

篇7

关键词 目标函数 LINGO 最优解

中图分类号：O232 文献标识码：A

Application of Mathematics in the Mix of Natural Casings

YANG Jingjing， OU Bing

（Zhongshan Polytechnic， Zhongshan， Guangdong 528404）

Abstract By measuring all the ingredients first， then create a mathematical model， the optimal solution using mathematical software model to arrive at the optimal solution of a mix of materials， and significantly improve the efficiency of the company's production casing processing.

Key words objective function； LINGO； optimal solution

1 提出问题

在肠衣加工厂，工人依靠边丈量原料长度边心算方式，将肠衣清洗并整理分割成长度不同的原材料，最后按指定根数和总长度扎成捆做成成品出售。

原材料分割后依据不同长度分档，隔0.5米为一档，在该档位所有长度的肠衣原料，按照该档位中最低长度计算。肠衣加工几种常见成品的规格表（见表1），工人以米的单位来丈量，第三种规格的最大长度在14米到26米之间（不包括14和26米）。肠衣加工厂建立以某批次原料描述的一个原料描述表（见表2）。目的是通过先丈量所有原料，后通过内部的计划和商讨改变组装工艺，设计出一个原料搭配的最优方案，工人能根据这个优化方案“照方抓药”进行生产，并能提高该公司的生产效率。

表1 成品规格表

2 问题分析，模型建立

可以看出肠衣加工公司提出该问题的目的是为了提高生产效率。而生产效率的提高，可以通过改变成品的扎捆方式和提高成品的均匀性、原料的使用率、工人的工作效率等方面来实现该公司生产效率的提高。若要得到的成品捆数最多，考虑到最短长度最长成品越多越好，原料有剩余降级使用的情况，所以需从第三种规格考虑，先求出第三种规格的能扎捆成的最大捆数，得到剩余量，再将剩余的降级到第二种规格中，求出第二规格中能扎捆成的最大捆数，再得到剩余量并以此类推即可。

结合相关资料，我们知道总长度允许有5米的误差，我们在建立目标函数的时候，每种规格都分别按每捆88.5米、89米、89.5米来建立函数。对于任意的一批材料，为了使成品的捆数最多，建立第三规格的成品捆数最大值： = + + 为了使目标函数更加清晰，让工人更好地按照方案来“照方抓药”，我们首先把不同扎捆方式的总捆数（ =1表示每捆长88.5米， =2表示每捆长89米， =3表示每捆长89.5米）分别表示出来，并可由数学软件lingo来求解得出 = 132， = 5，= 0或者 = 137， = 0， = 0。

第三种规格的目标函数：

= （14 + 14.5 + 15 + 15.5 + 16 + 16.5 + 17 + 17.5 + 18 + 18.5 + 19 + 19.5 + 20 + 20.5 + 21 + 21.5 + 22 + 22.5 + 23.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5） / 88.5

= （14 + 14.5 + 15 + 15.5 + 16 + 16.5 + 17 + 17.5 + 18 + 18.5 + 19 + 19.5 + 20 + 20.5 + 21 + 21.5 + 22 + 22.5 + 23.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5） / 89

= （14 + 14.5 + 15 + 15.5 + 16 + 16.5 + 17 + 17.5 + 18 + 18.5 + 19 + 19.5 + 20 + 20.5 + 21 + 21.5 + 22 + 22.5 + 23.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5） / 89.5

从求解结果可知，能得到的总捆数为137捆。在根据原料描述表我们可查找到：14.5米到14.9米间余留1根和19.5米到19.9米间余留1根，也就是说第三规格降级到第二规格在13.5米到13.9米间的有2根； 14.米到14.5米间余留1根和21.5米到21.9米间余留1根，也就是说同样第三规格降级到第二规格在13.5米到13.9米间的有2根，所以用两个解除的需降级的都为2根，降到13.5米到13.9米区间加上原来的25根，一共有肠衣27根。

类似地，我们可以建立第二种规格以及第一种规格的目标函数，并由lingo得出结果：第二种规格 = 37， = 0， = 0 。即求得第二规格的总捆数为37捆。在与原材料表对比后发现在，7米到7.4米间余留24根；7.5米到7.9米间余留24根；8米到8.4米间余留8根；8.5米到8.9米间余留1根；12米到12.4米间余留1根；12.5米到12.9米间余留1根；13米到13.4米间余留1根；总共60根。也就是说第二规格降级到第一规格在6.5米到6.9米间的有60根，降到6.5米到6.9米区间加上原来的21根，一共有肠衣81根。

对于第一规格，我们在设计模型的时候考虑到第一规格剩余量不再降级使用，对此，我们要在第一规格实行利用率最大化，减少企业的浪费程度。为更全面地考虑问题，我们把方程放入管理运筹学软件以及lingo中分别进行求解，得到的最佳结果为：第一规格的总捆数为19捆。那么原料表中装出的成品捆数最大值为：

= + + + + + + + + = 193（捆）

3 模型的评价

在建立目标函数时，要充分考虑到目标函数的各项约束条件。比如说，各个未知数均大于0。特别地，对于第三规格中，每一捆的标准根数为5，但是，为了提高原材料的使用率，每一捆的总根数允许比标准少1根。所以在不同的扎捆方式中，实际使用的总根数应该介于4倍的捆数与5倍的捆数之间。这些要求都要在约束条件中体现出来。

另外，为了提高模型结果的正确性，我们采用了两种不同的数学软件（lingo、管理运筹学软件）来求解。甚至于我们还用到了同一软件的不同版本（lingo9以及lingo11）。事实证明，不同的软件求解出的结果的确不同，lingo求解出的最大捆数为191捆，而管理运筹学软件求出的最大捆数为193捆，经过分析我们知道，193捆才是最佳答案。在计算第三规格时，用不同版本的lingo求解，得出的结果也是不一样的。

模型的优点主要有：（1）模型根据实据数据，考虑根数、丈量误差等因素来建立，又以求捆数最多的最优解求解，并分级考虑问题，减少降级使用率，充分利用了肠衣的原料，确实做到提高肠衣加工的生产效率；（2）模型能提供较为精准的方案，确保考虑到了求解出的捆数最多的同时，与下一模型的建立提供较好的联系，规划性较强。（3）模型的建立最大的特点就是在依据较多的数据基础上，进行多方案对比比较而得出最优的方案，方案的准确性与可靠性较高。

模型的不足之处主要是由于建立模型是依据某此原料描述表得出，我们并没有经多个原料描述表加权求平均的方法求出一个比较符合实际的原料描述表。这样一来，建立的模型与实际模型存在一定的误差范围；并且虽然该方案是以求总捆数的最优解来建立最初模型，但在模型的求解过程中，未考虑到公司的经济效益而提高生产的总捆数。

参考文献

[1] 袁新生，邵大宏，郁时炼.Lingo和Excel在数学建模中的应用.北京：科学出版社，2007.

[2] 姜启源，谢金星，叶俊.数学建模（第三版）.北京：高等教育出版社，2003.

[3] 薛毅，常金刚，程维虎.数学建模基础.北京工业大学出版社，2004.

篇8

关键词：生产成本；存储成本；层次分析法；动态规划

中图分类号：F23

文献标识码：A

doi：10.19311/ki.16723198.2017.02.051

1 引言

τ谥圃煨推笠道此担想要获取更多的利润，可以通过减少企业生产成本、提高客户服务质量、提高工厂作业效率、减小企业库存投资等手段和方法。现代企业不会只单一考虑其中一方面的影响因素，而是会将所有的目标同等看待，力求找出各个目标之间的一种平衡状态，也即寻找各目标之间的最优解。

生产与存储成本的合理控制是企业获取最大化利润的重要途径，生产库存不能积压，又不能出现短缺。在已知市场需求、本身生产能力、生产成本费用、仓库存储容量以及存储费用等若干因素下，为了制定实际的生产和存储计划，必须确定在不同时期时的生产量与库存量关系，这样的问题可以看作是一个多阶段决策问题。采用动态规划模型对生产与存储问题进行建模，并且优化求解，制定最优的生产策略，使生产成本与存储成本最优，以期达到最佳的经济效益。

本文以主要对宇通客车股份有限公司进行分析。郑州宇通客车股份有限公司是一家以客车产品研发、制造与销售为一体的大型现代化制造企业，日产整车达325台以上。在宇通客车的一次生产与存储过程中首先分析了影响生产成本与存储成本的因素，然后以这些因素构建了基于层析分析法的模型，计算出生产成本与存储成本，最后基于动态规划理论，建立最佳生产计划，确定每个生产和存储能力的合同期，以便使生产成本和库存成本和最小总和。

2 层次分析法与动态规划理论基础

2.1 层次分析法

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是由美国运筹学学家Saaty教授提出的。应用层次分析法，一般可以被分为四个步骤：

第一步： 通过分析决策系统中各因素之间的内在关系，建立决策系统的递推层次结构模型。在选用AHP方法分析决策问题之前，要把所研究问题分层次、有条理的构造出一个简单易懂的结构模型。这样看似复杂的问题就可以被分解成为多个元素的组合，同时元素又可以按照某种规则组成若干的递进层级，相邻两层之间在上一层次的元素对下一层次的连接元素起到支配作用。

第二步：对处在相同层次中的各元素之间的重要性进行两两成对比较，得到比较结果，构造两两比较判断矩阵。假设准则层元素所支配的下一层次的元素集合为U1，U2，…Un，那么针对准则层CC，决策者对它支配的两个元素Ui和Uj，判断其哪一个元素的重要性更高则使用判断矩阵A=（aij）nxn，其中aij即为元素Ui和Uj相对于准则的重要度比例标度。

第四步：计算各个层次对于系统的总体排序权重，并且进行排序。通过排序结果得到各个方案对于总目标的总排序。如果对于层次的某些因素对于其所支配的元素Aj的一致性指标为CIj，那么相应的平均随机一致性指标为RIj，则B层次总排序的一致性比例可以计为：

CR=∑mj=1ajCIj∑mj=1ajRIj

2.2 动态规划理论

动态规划（Dynamic Programming）是运筹学理论方法体系中的一个重要分支，它是分析解决多阶段决策过程最优化问题的一种十分有用方法。动态规划理论在解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题等问题上有自己独特的理论体系。

动态规划有自己的一套理论体系，在构建动态规划模型时，需要规定背景问题所拥有的阶段、状态、决策、策略、状态转移方程、指标函数和最优值函数等概念。利用动态规划理论求解问题的思想可以归纳概括为通过求解基本的递推关系式已经设定恰当的边界条件，首先将问题划分为若干个相互有联系的阶段，根据所研究的问题，恰当选取状态变量、决策变量以及定义最优值函数，经过上述的几个阶段，可以将一个较大的问题转化为在此大问题下的若干个与之有联系的小问题，然后对这些小问题逐个求解，当每个小问题都满足最优值条件时，即可得到整个大问题的最优策略。在求整个问题的最优策略过程中，由于初始状态是已知的，而每段决策都可以理解成为在该状态的某一函数，故最优策略可以由各段状态逐次变换得到，从而确定了最优路线。

3 基于层次分析法与动态规划理论的模型建立

3.1 影响因素选取

企业在进行生产和存储活动中，影响企业生产成本和存储成本的影响因素涉及方方面面，在影响因素选取的过程中，既要突出重点，又要不失全面。经过深入且全面调查之后，本文将影响生产成本的因素归纳为以下六个：（1）制造成本A1；（2）零部件等原材料成本A2；（3）工时与管理成本A3；（4）设备和产权均摊成本A4；（5）纳税成本A5；（6）技术研发成本A6。将影响存储成本的因素归纳为以下四个：（1）仓库所选地段租金B1；（2）仓库管理人员费用B2；（3）装卸以及搬运产品费用B3；（4）商品破损费用B4。且假设影响生产成本和存储的各个影响因素之间相互独立。

3.2 基于层次分析法的生产与存储成本模型建立

在选取影响生产成本和存储成本的影响因素之后，就可以采用层次分析法确定使用何种生产成本以及存储成本方案了。假设，现拥有若干种生产成本方案{C1，C2，…Cn}以及若干种存储成本方案{D1，D2，…Dm}。

首先，分别建立生产成本和存储成本影响因素两两成对比较矩阵，这里依据的是Saaty教授给出的度量比较方法：（1）比例1表示元素与元素具有相同的重要性；（2）比例3表示元素比元素稍微重要；（3）比例5表示元素比元素明显重要；（4）比例7表示元素比元素强烈重要；（5）比例9表示元素比元素极端重要；利用此套对比量尺分别建立生产成本的影响因素之间比较矩阵以及存储成本的影响因素之间的比较矩阵。

然后，利用公式Aw=nw，分别求解生产成本和存储成本的特征向量和特征根，再利用一致性指标检验公式：

CI=λ-nn-1

当CI在一定范围内时，认为A的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。

最后，分别确定生产成本和存储成本的各个影响因素的权重，得到生产成本和存储成本的最优解决方案以及生产成本与存储成本的最后值。

3.3 基于动态规划理论的最优生产策略模型建立

在得到生产成本和存储成本之后，建立基于动态规划理论的求解最优生产策略模型。动态规划的模型建立过程主要包括以下几个步骤。

3.3.1 阶段

用动态规划求解问题时，首先将问题的全过程适当地分成若干个互相联系的阶段，以便能按一定的次序去求解。

3.3.2 状态

状态是指每个阶段开始时所处的自然状态或客观条件。

3.3.3 决策

决策是指在某一阶段内决策者的选择，第n阶段的决策与第n个阶段的状态有关系，使用xn（sn）表示第n阶段处于sn状态时的决策变量，而这个决策又决定了第n+1阶段的状态。

3.3.4 策略

由所有各阶段组成的决策函数序列称为全过程策略，记作p1，n（s1）。能够达到总体最优的策略叫作最优策略。从第k个阶段开始到最后阶段的决策组成的决策函数序列称为k子过程策略，记作pk，n（sk）。

3.3.5 指标函数

指标函数是衡量全过程策略或子过程策略优劣的数量指标，指标函数的最优值称之为最优指标函数f1（s1）和fk（sk），其中f1（s1）表示全^程上的最优指标函数，fk（sk）表示为第k子过程上的最优指标函数。

3.3.6 状态转移方程

第n+1阶段的状态可以由第n阶段的状态和第n阶段的决策所决定的，表示为：

sn+1=Tn（sn，xn）

对于n阶段的动态规划问题，在求子过程上的最优指标函数时，k子过程与k+1过程有如下递推关系：

4 模型求解

4.1 案例背景描述

郑州宇通客车股份有限公司是一家集客车产品研发、制造与销售为一体的大型现代化制造企业。假设，某市公交集团向宇通客车订购一批公交车，要求每月月底交付一次，交付期限为半年，每月的需求量分别为：第一个月需求量为2；第二个月需求量为3；第三个月需求量为2；第四个月需求量为4；第五个月需求量为3；第六个月需求量为4。宇通客车每组织一次生产准备费用为3，每生产一辆产品的生产费用可根据影响生产成本的因素中得出，每次生产由于生产能力的限制最多不超过6。存储方面，每库存1的产品每个月的费用可以通过影响存储的费用中得出。并且在第一个月的月初和第六个月的月末均没有产品库存。要求在上述条件下应该如何安排各季度的生产与库存，以使得总成本费用为最低？

4.2 生产和存储成本求解

5 结论

本文以宇通客车股份有限公司为例，在生产与存储活动中，首先分析了影响生产成本与存储成本的因素，然后以这些因素构建了基于层析分析法的模型，计算出生产成本与存储成本，最后基于动态规划理论，制定生产策略，确定不同时期的生产量和存储量，最后得到当x6=4，x5=3，x4=0，x3=6，x2=0，x1=5；总的生产成本费用和库存费用之和最小。

参考文献

[1]陈启申.MRP制造资源计划基础[M].北京：企业管理出版社，2005.

篇9

关键词：遗传算法；运筹学；应用

中图分类号：F27 文献标识码：A

收录日期：2011年10月28日

一、遗传算法简介

遗传算法（GAS）是由美国密执根大学的Holland等人创立的。与其他启发式方法顺序搜索解空间的工作方式不同，遗传算法采用解的种群作为工作单元，使用模仿生物进化的适者生存原则指导搜索并改进目标。种群由代表个体的定长字符串组成，每个个体表示解空间的一个点，每个解的质量，通过依赖于问题目标函数的适应值函数来进行评估。搜索过程通过进化来进行，每代中的个体以正比于它的适应值的概率遗传到下一代。它使用3个基本算子：选择、交叉和变异。选择是指个体以其适应值比例复制到池中；交叉是池中的两个个体进行，组合形成一个（或几个）新个体，复制和交叉将好的特性进行遗传；变异则是发生在少数字符串某基因位上的基因的突变，它使搜索过程能够有机会从搜索到的局部最优解逃出。

解决一个实际问题的遗传算法通常包括下列两个决策步骤：（1）将求解问题模型化为符合遗传算法的框架。可行解空间的定义，适应值函数的表现形式，解的字符串表达式方式；（2）遗传算法参数的设计。种群规模，复制、交叉、变异的概率选择，进化最大代数，终止准则设定等。

二、遗传算法的基本特点

（一）结构特点。遗传算法是以适应值提供的启发式信息进行搜索的，与其他启发式（模拟退火、爬山法、神经网络等）方法相比，在结构和工作过程方面的特点见表1。（表1）

（二）实验性能方面的特点

1、高效性。遗传算法具有大范围全局搜索的特点，与问题领域无关，前期工作量比较少。

2、健壮性。遗传算法的搜索是用种群作为基本单元，采用三个不同作用的基本算子进行搜索的，解的结果随时间增加而趋于稳定，不受初始解的影响，而且不因实例的不同而蜕变。

3、通用性和灵活性。遗传算法可用于多种优化搜索问题，解题程序可以通用，针对不同的实例，适当调整算子参数，就可以使算法执行获得最佳的解结果和占用CPU机时的关系。

三、遗传算法在解决经典运筹问题中的应用

（一）旅行商问题（TSP）。旅行商问题自诞生以来，颇受数学家推崇，今天的旅行商问题已远远超过其本身的含义，成为一种衡量算法优劣的标准。旅行商问题是采用非标准编码遗传算法求解最成功的一例，基因编码用推销员顺序经历的城市名表示，求最佳路线即是改变编码次序而求最低适应值的问题。对类似字符串使用标准交叉，产生的后代可能有重复或丢失的元素，因而成为非可行解。为克服这种困难，人们提出许多非标准的交叉和变异方法：交叉主要采用重排序方法――部分匹配重排序，顺序交叉和循环交叉等；变异主要采用位点、反转、对换、插入等方法，使旅行商问题得以有效地解决。值得一提的是，清华大学张雷博士提出的自适应多点交叉算子，能够保证多点交叉后路径的可行性，加快了搜索速度。

（二）作业调度问题。作业调度问题同样是自然变更次序的问题，可以用基于变更次序的遗传算法进行处理。（表2）

（三）背包问题。一维、二维和三维背包问题在商业和工业领域有着广泛的应用，基于遗传算法的求解方法很多。传统求解采用启发式规则，决定下一步该装哪一块和装在哪里，此时变更次序的编码与启发式安置策略是利用遗传算法解决这类问题的最为出色的方法，Lin使用一系列的惩罚项指导其搜索策略，测定单个个体的适应值。

Bortfeldt使用一个层次背包问题，个体用它们的层次代表，当两个亲代被选择交叉时，它们的层次混在一起，从中选择最好的作为子代的第一层，再从余下的组件中选择最好的作为第二层，以此类推，直至产生所有的层次。

陈国良等设计了一种“与/或”交叉方法，使子代继承双亲的同型基因，对杂型基因采用不同支配方式，这种策略为遗传算法的硬件实现创造了良好的条件。

（四）时刻表排定问题。Corne对Edinburgh大学7日内的28个时间期间安排40门课的考试问题作了处理，寻找一个可行的时间排定表，使每个学生参加的考试在时间上能够错开，时刻表用字符串代表，字符串每个位置代表一门课，该位置的值代表考试的时间，用均匀交叉和标准变异操作求解。

这类问题扩展到基于二维的矩阵代表的逼近问题，Colorini使用行代表教师列代表可用的小时数的矩阵，每个单元的值为教师在此时承担的任务，包括教室和其他一些资源配置，教师的任务是事先给定的，故行都是可行的，列代表的时间安排可能会发生冲突，将此冲突用惩罚函数表示在适应值函数中，而且采用修复算子在评价之前尽量将结论调整回可行区域内，该算法用Milan学校的实际数据进行了检验。

除此之外，遗传算法在运输问题、指派问题、分割问题及网络计划优化问题等方面都获得了非常成功的应用，这些问题被认为是NP类问题，其规模随变量的增加呈指数增长，遗传算法在这些问题的求解中，充分体现了其操作性能方面的优势。

四、应用和推广中存在的问题

在上述问题中，遗传算法求解展示了优良的性能，但遗传算法并未像其他启发式方法那样容易地被OR学者广泛接受而用于大量的实际问题中，究其原因，主要有以下几点：

（一）传播方式的障碍。遗传算法最初的工作是以密执根大学严谨的研究小组作为研究项目和学术讨论中心，当研究成员扩大时，这类讨论会演变为机构的学术会议（美国现有5个，欧洲有3个，我国目前还没有），许多研究者聚于此而远离问题导向，有关的会议论文公开出版数量很少，而且，由于历史原因，研究者常常将他们的研究结果选择在有关人工智能的杂志上发表，导致了应用遗传算法的信息很缓慢地扩散到其他不同技术应用领域的工作者中，这与模拟退火等其他启发式方法快速在运筹学会议及杂志上发表相反。由于缺乏交流导致了两方面的问题：一是许多关于遗传算法的论文不能与从其他方法得到的结论进行质量的比较，二是削弱了许多遗传算法多的潜在使用者用遗传算法与其他方法竞争的信心。

（二）术语的隔膜。初始跨入遗传算法领域的使用者常常感到起步非常艰难，遗传算法依赖于遗传学的术语也像模拟退火的术语来自于统计热力学一样。然而，温度、冷却等可能很快赋予新的意义，但遗传算法中的基因位、染色体、遗传型却难以很快被人理解和接受；另外，许多发表的研究偏重于用某些专门函数检验他们的新思路或新设想，这对于全面理解该技术固然是一件好事，但对于一个面对如此丰富复杂材料的初用者会发现，他将不知从何做起。即使一个非常愿意使用遗传算法的人，也要有足够的决心去克服上述障碍。

（三）方法的局限性。对于具有强约束的优化问题，采用惩罚函数逼近常常达不到预想的结果。Radcliffe评论说：“约束通常被认为是遗传算法面临的最大问题”因为惩罚因子选择不当时，会招致错误结论。目前，求解带约束优化问题的启发式遗传方法已经有了一些，但是，它们多数与问题领域相关，在这方面还缺少普遍适用的方法的系统研究。

（四）编码的困难。不是所有问题解空间中的点都能明显地用编码表示，作为OR研究者，常常从问题结构取得利益，用矩阵、树、网络或其他更适用的方法建立表达式；串表达中的建筑块假说建议适用较少的字符，导致人们对二进制编码的偏爱，但二进制编码具有一定的映射误差（实际计算时，我们是把问题作为整数规划），特别是它不能直接反映出所求问题本身结构特征，因此很难满足生成有意义的积木块编码原则；再者，二进制字符的长度随问题发生明显变化，当问题复杂时会因为编码太长而无法进行正常工作。

以上的种种阻力，在一定程度上减缓了遗传算法在运筹学实际问题中的推广和应用。

主要参考文献：

[1]陈国良等.遗传算法及其应用.北京：人民邮电出版社，1996.6.

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关键词：经济应用数学 工作过程系统化 课程设计 物流管理专业

课 题：本文系2016年度山东省青年教师教育教学研究课题《基于工作过程系统化的高职经济应用数学教学改革实证研究――以物流管理专业为例》（编号：16SDJ014，主持人：孙少平）阶段研究成果。

一、物流管理专业教学现状分析

物流管理专业学生主要学习的核心课程为：物流概论、物流企业会计、物流系统与信息技术、仓储与库存管理实务、采购实务、配送实务、运输管理、国际物流、物流企业管理、物流企业财务管理、供应链管理、物流管理软件操作、运筹学、市场营销学、物流电子商务等。要求学生要掌握物流管理的基本理论、基本知识，了解行业发展的最新动态，具备物流管理的应用程序操作能力，具备物流信息组织、分析研究、传播与开发利用的基本能力，能进行物流系统分析、设计、规划，具有物流行业管理的基本能力。

运筹学用数学方法研究各种系统最优化的问题，应用数学模型来求得合理运用人力、物力的最优方案，为决策者提供科学决策的有关信息。仓储与库存管理实务课程内容包括：库存管理概述、需求预测、库存控制系统、库存控制的定量分析方法与模型、生产物料控制、生产计划、能力需求计划、供应链中的库存管理与控制、库存管理绩效与标杆管理等。物流企业管理是以物流企业管理思想和原理为主要框架，综合研究物流企业经营管理的全过程，对物流企业管理的系统观念、管理基础、组织机构、市场研究、决策和计划管理、企业文化、作业管理、质量管理、物资管理、设备设施管理进行专门的研究。

笔者从工作岗位、相应的职业活动、应该具备的数学能力、对应的数学知识四个方面分析物流行业人员应具备的数学能力。物流信息处理员具有信息的梳理与处理、数据处理和分析预测能力，需要用到数据拟合、预测方法以及极限的知识。商品流通加工员能够制定商品的加工、原材料的采购和管理方案等，能制订最优生产及采购方案，用到线性规划、动态规划、导数及应用的相关知识。物流配送业务员具有制订装箱、运输路线方案，制订最优物资装配、流通运输路线的能力，需要运输问题、图与网络的知识。物流仓储业务员具备原材料进购、库存管理，制订采购、存储方案的数学模型能力，利用导数应用的知识。物流市场营销员具备市场开发、业务承揽、价格谈判，判断业务成本、收益和利润的变化、走向及合理定价能力，需要极限、导数应用的相关知识。企业管理员具备企业管理决策、最优化企业管理、决策方案制定的数学建模能力，需要学习导数及应用、积分及应用、线性动态规划、运输问题、图与网络等知识。

二、基于工作过程系统化的课程教学设计

基于工作过程系统化的课程整体教学设计，包括以下10个宏观的方面：课程信息（代码、学分、学时、授课对象、课程类型、课程性质），课程整体目标设计（总体目标、知识目标、能力目标、素质目标），课程内容设计（项目名称、学时、子项目编号、名称、知识/能力/素质目标、实施方式、手段及步骤、可展示的结果），课程进程表（周次、学时、单元标题、项目编号、知识/能力/素质目标、师生活动、考核内容、教学方法），第一节课及最后一次课梗概（着重介绍课程的目标、项目任务、考核方式，利用典型的案例、实例、问题和操作引起学生的强烈兴趣），考核方案（课程组集体研讨确定），教学材料（教材或讲义、参考资料、仪器、设备、教学软件等），需要说明的其他问题，常用术语中英文对照，课程整体设计体会。

基于工作过程系统化的具体课程教学设计，高职经济应用数学课程分为两个学期来实现，共68学时。第一学期，1～5单元，16周，每周2学时，合计32学时，教学内容包括：经济活动中的函数关系分析，极限与变化趋势分析，经济最优化问题分析，边际与弹性分析，经济总量问题分析。第二学期，6～11单元，18周，每周2学时，合计36学时，教学内容包括：销售与市场、生产作业计划安排、配送与运输、物流中心选址和车辆配装、指派问题和旅行商问题、物资调运问题的图上作业法。

笔者以第4单元的第2节“边际分析”为例，具体说明课程单元教学设计的流程。能力目标：能够掌握边际成本、收入、利润的概念；能够求出成本、收入、利润等经济函数的边际值和边际函数；能够掌握边际分析模型的应用；能够对经济生活中常见的商家提价和降价的促销手段加以分析。知识目标：边际成本、收入、利润；成本、收入、利润等经济函数的边际值和边际函数；若干边际分析模型。素质目标：深刻思维能力、团结协作能力、语言表达能力。能力训练任务：任务1，理解边际的概念和边际函数；任务2，掌握成本、收入、利润等经济函数的边际值和边际函数；任务3，学会边际分析模型的应用。案例分析及知识讲解：案例1，麦穗问题；案例2，边际利润问题1；案例3，边际成本问题；案例4，边际收入问题；案例5，边际利润问题2；案例6，最大利润问题――边际分析模型。还有课堂操练实训任务和课下实践作业，以及课后教师教学的反思体会。

三、基于工作过程系统化的教学模式

基于工作过程的项目化课程教学设计分为5个模块（情景）：公司经营和生产情况分析，公司生产和产品的边际分析及弹性分析，公司总量经济模型的建立，公司决策规划的最优化模型，公司生产管理及质量管理。

8个知识目标：掌握需求、供给、成本、收入、利润等经济变量之间的函数关系；理解函数的极限概念，掌握求函数极限的方法；理解导数及微分概念，掌握求导数及微分的方法；理解微分的经济意义，掌握微分近似计算的方法；理解不定积分及定积分的概念和几何意义，掌握求不定积分及定积分的方法；了解线性方程组的结构，掌握求解线性方程组的方法；掌握线性规划问题的初等解法；理解概率与统计的概念及性质，掌握其基本方法。

15个能力目标：能够分析典型的、常用的经济变量之间的函数关系，应用其分析和解释经济现象；能用极限方法确定贷款和投资方案；能进行边际与弹性的计算，明确其经济意义和做出实际分析；能用导数的方法解决边际成本、边际收益、边际利润等问题；能用函数的极值和最值，对常用经济函数的问题做出最优决策；能利用利率、现值、终值和贴现之间的关系进行计算；能分析在一种生产要素的投入变化时，边际产量、平均产量、总产量之间的经济关系；能用积分的方法计算在经济变量的边际变化条件下，经济变量的积累变化、总量及平均量；能用表格表示的经济量之间关系的计算；能利用线性代数方法对实际问题建立相应的数学模型；能合理的获取数据资料，并作出估计和检验；能计算产品的合格率；能对随机事件、随机变量问题建立有效的数学模型；能预测连续或者离散变化的经济现象的状况及其发生的可能性；能进行相关的数据统计和分析。

以基于工作过程的六步教学法（明确任务、制订计划、做出决策、实施计划、检查控制、评估反馈）为指导，以物流管理专业学生为教学对象，课堂教学内容为“国美商场”商品采购与库存控制的最优化方案设计，课下作业为“国美商场”商品营销的最优方案设计。利用经济案例，开发实际的数学模型，应用案例驱动教学法，作为现实经济环境的仿真，是很适合高职学生的应用教学的。在案例教学中，教师要引导学生关注衬托数学知识的经济背景，有意识地从经济案例量化分析中汲取建模思想方法，逐步培养学生拨开经济迷雾、捕捉关键信息、洞察内在规律的敏感性和判断力。下图即为数学建模、案例分析的基本线路图。

四、课程改革实证研究的结果分析

笔者以物流管理专业为研究对象较早开始了课堂教学改革，探索出经济应用数学课堂生态化、项目化、系统化教学模式；编辑项目化课程，制订人才培养方案、课程标准和单元教学设计；研究实训实验课教学项目，编写数学建模课教案及竞赛练习册。

笔者在两个学年度（四个学期），在所任教高职学院经管系物流管理专业6个大专班级进行了实践，以2个物流卓越技师班作为实验班，其他4个普通班作为对照班，以下是实证研究的结果分析。

根据表1和表2的数据分析得知：卓越班期末成绩比入学成绩均值增加了18.7分，增幅为29.03%；普通班期末成绩比入学成绩均值增加了9.8分，增幅为18.56%；卓越班比普通班的入学成绩均值高11.6分，但是期末成绩均值高20.5分，增幅为76.72%，差距拉大了；根据表1和表2入学和期末成绩计算的相关性系数分别为0.951和0.873，这说明相关性很强。由此可以证明卓越班所采用教学改革，对提高高职学生的学习效果确实有明显的作用。

参考文献：

[1]姜大源.“学习领域”――工作过程导向的课程模式[J].职教论坛，2004（8）.

[2]姚成龙.基于工作过程系统化的高职教材编写探索与研究[J].中国职业技术教育，2012（29）.

[3]程德蓉.基于工作过程系统化的高职教材建设[J].教育与职业，2014（7）.