混沌理论的应用范文

导语：如何才能写好一篇混沌理论的应用，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

关键词：波浪理论；混沌市场

一、引言

1938年艾略特发明的波浪理论成为西方投资者进行技术分析的必备工具，艾略特认为只要存在市场的地方，其走势都会遵循波浪形态的规律，一切都有迹可循；21世纪以来随着电子化交易的兴起，市场结构发生了明显的变化，波浪理论所提出的“5-3'’走势变得不甚明显，投资者如何根据新的“浪”规则进行预测，就成为分析的重点。

二、混沌市场

1.指标幻像。传统的技术分析是普通大众常采用的一种投资分析技术：以预测市场价格变动趋势为目的，通过技术指标、量值以及图表对市场行为进行的研究；市场行为涵盖一切，价格呈趋势运动，历史往往会重演。可到目前为止，没有任何一套科学，严谨，周密的理论能对传统技术分析理论的三个前提进行论证。

指标在传统技术分析领域具有举足轻重的地位，它是根据市场交易价格，量能计算而来的，没有任何的内在理论基础，仅仅在于编著者对市场的看法和投资经验的不同；即使MACD，RSI等经典指标也没有科学而严谨的理论推导和论证，国内投资人过分崇拜个别指标的做法与投资人凭感觉去猜没有区别。

2.非线性的市场混沌。混沌是指无序和混乱的状态，表面看起来无规律，不可预测的现象，实际上有它自己的规律；混沌理论是寻找混沌现象的规律，把复杂多变的不稳定事件达到稳定的状态。在混沌理论中有个重要的效应，叫路径锁定效应，事物的发展对道路和路径的选择有依赖性，一旦做出了选择形成了习惯就很难再去改变，这种效应在市场中非常常见，分形则是这一效应的重要体现具有自相似特征的图像，现象，过程不断重复出现。

三、波浪理论新解

艾略特波浪理论是一个伟大的发现，“5-3”规律在市场中时有显现，但静止的，线性的思维来进行的价格划分不符合市场的规律；新的“浪”形划分应当以混沌理论为基础，去揭示价格运动的分形结构和内在规律。从历史的角度来看，任何事物都不是只有单一的发展方向，高矮，胖瘦，美丑，长短，事物的发展总是对应着两个方面，纯粹单方向，单一性质的发展是不存在的；证券市场也是人类社会的一部分，必然也要遵循这一规律，下面两个原理则是根本规律的反映。

1.基本原理。多空博弈理论：主力是多头与空头主力的统称，多空的博弈将价格推往单一方向的暂时发展；只有多空两股力量同时存在并时时转换，市场价格才有运动的生命力，否则无人接盘，无人抛盘，最后的结果只能是崩市。

循环反复原理：市场总是存在上涨，下跌和震荡三种走势；这三种发展不断交替，互为因果。

’

根据上述的两个基本原理，可得到这样几个推论：

(1)波动，浪势，浪元，浪态是价格运动的基本分形；

(2)顺势的浪形运动使价格往阻力最小的方向前进。和水流一样，价格总是向阻力最小的方向运动，正如上涨的回调可以消化空头的压力，而下跌中的反弹可以消化多头的支撑。

2.基本概念。中心K线趋势K线价格中心所构成的运动趋势。

价格波幅：K线中心移动方向上，垂直间的最大距离。

波动：当K线中心运动方向相同时，连续3-5个交易日构成的--波幅不超过最大振幅日形成的波幅范围称为K线的波动。

浪势：至少有511，当K线中心运动方向相同时，连续3--5个交易日构成的波幅不超过最大振幅日形成的波幅范围―组K线称为浪势。

浪元：连续两个波动形成浪元。

浪态：至少连续3个波动称为浪态。

浪队列：中心K线移动趋势是相同的，一个以上的浪态构成浪队列，浪队列通常以一种常见的，频繁的结构形态出现例如收敛三角形，或者凯尔特通道。

3.基本分形。新波浪理论的分形结构波动，浪元，浪态，浪势可以看做波浪理论在混沌市场下新解的分形，这些分形都往往具有“势，时，态”的结构。

势：指中心价格结构所处的空间周期

时：指中心价格结构的时间周期，例如中心价格走势有多少个交易日，浪队列由多少交易日的K线构成

态：指中心价格结构涨跌的波幅和形态

价格结构的出现是随机的，这是价格的混沌而价格的运动是由波动，浪元，浪态这三种基本分形结构构成；从分形的角度划分把波动分为上涨波动，下跌波动和整理波现把浪元分为V形浪和反V形浪；把浪态分为上涨浪态，下跌浪态和往复调整浪态；对浪态上涨和下跌的判定可按照传统波浪理论的判定规贝，调整浪在时间和空间上都不超过主升浪的0.618，同时第三浪和第一浪的方向相同。

4.中心趋势分形。中心趋势是把价格的基本分形联系起来，所谓中心趋势与中心K线的运动方向有关，对中心趋势分形的研究有利于投资者更宏观的把握价格的运动规律，进行仔细的投资分析，制定相应投资策略。与传统的技术分析理论一样，在这种形势下也存在当前趋势，主趋势，价格空间循环，价格时间循环等基本概念，这里就不再赘述。

价格中心趋势分形按照周期循环模式和推动模式来做说明，如果用圆圈来描述，圆圈可以形成无限多种价格中心趋势分形，但若按位置和形态类似性以及排除交易嗓音来划分，实际上至多有六种分形，如果把圆圈来替代六变形，每条边代表一种波动，代表一种趋势，那么任意三边可以组成有明显含义的趋势分形。

篇2

关键词： 混沌理论 金融数学 实验教学

引言

随着我国金融市场的发展，期货、期权等金融衍生工具大量涌现，金融创新产品层出不穷。我国金融业在迎来新的发展机遇的同时面临各种金融风险的挑战。金融风险的管理及市场秩序的维持需要大批既懂金融又能熟练运用数学和计算机技术等工具处理大量数据的复合型高层次人才，需要金融从业人员具备更高的专业素质。为满足市场需求，各高等院校金融专业相继开设了金融数学教学。随着金融产品不断创新和现代信息技术发展，金融业务操作的技术含量越来越高。要实现对金融数学专业本科学生创新精神和实践能力的培养仅靠书本上的知识是远远不够的，必须重视实验和实践教学环节。

一、金融数学实验教学现状

我国在本科生中开设金融数学教学已经有十几年的历史。随着学科的发展，金融数学教学在取得一些宝贵经验的同时，一些缺陷也暴露出来，实验实践教学这一块尤为突出。

首先，目前从事金融数学课程的教师很少真正是金融数学专业毕业的既懂金融经济又有深厚数学功底兼具熟练掌握计算机技术的，同时没有金融市场实战工作经验。势必在教学过程中不能将金融理论与数学知识和实践实验教学相结合，学生实验创新、实践工作和综合分析能力得不到有效锻炼。

其次，在课程设置及教学过程方面。实践教学形式单一，缺乏系统性、连贯性，对实践实验环节重视不够。学生缺少模拟实训锻炼，对金融专业理论知识的理解不够深入，同时解决实际问题和创新能力得不到强化，使学生毕业踏上工作岗位实际工作能力不强。

最后，实验实践教学软硬件等整体设备不够齐全。一些高等院校由于实践教学经费缺乏，学校虽然设立了金融实训模拟实验室，但设备陈旧不够齐全，只能开展一些简单的模拟训练。

二、金融数学教学特点

金融数学教学应注重培养学生理论联系实际和创新能力。实现创新精神和实践能力的培养目标，仅靠教师在讲台上讲解理论知识是不够的，实验教学与实践教学成为必不可少的教学环节。金融数学理论比较枯燥，内容繁多，因此为增强教学效果，给学生更多时间讨论和分析问题，加深学生对所学知识的记忆，可以通过案例分析、课程实验及金融实验室对学生进行模拟实训，这样不仅可以使学生加深对金融专业理论知识的理解，而且可以锻炼学生的动手能力、解决实际问题的分析能力和创新能力，增强学生学习金融数学各门课程的热情和兴趣。当然，针对培养目标还可以设置专业见习、专业实习等环节，作为实验和实训环节的有力补充。

三、混沌理论

混沌理论是一种描述系统从有序突然进入到无序的演化理论。混沌是一种确定性系统内在的随机性，系统长期的行为敏感地依赖于其初始条件。“蝴蝶效应”指对初始条件敏感性的一种依赖现象，也是非线性系统在一定条件下出现混沌现象的直接原因。混沌应具备三个主要定性特征：内随机性、分形性质、奇异吸引子。混沌系统应具备以下条件：

设是一个紧度量空间，连续映射f：VV是混沌的，如果满足下列三个条件：

（三）f的周期点集在V中稠密。

混沌理论说明确定性系统的行为不仅仅是定常、周期和准周期的，更普遍的则是貌似无序的混沌。混沌理论是一种复杂性理论，而教育现象是一种复杂的现象，我们可以利用混沌理论中蕴含的思想引出思考和研究问题的新视角。

四、混沌理论引入金融数学实验教学的依据及启示

金融数学实验教学是提高教学质量和效率的有效途径。混沌的产生，一方面是整体思维特征的呈现。个体差异性使学生思维能力、方法具有个性特征，同时受到其他同学的影响，具有耦合性，学生间相互作用的耦合性越大，教学过程中混沌出现的可能性越大。另一方面是人为组织的混沌，即在总体实验教学目标指导下的局部混沌设计。这种混沌现象是教师能控制的，是有目的的行为结果。在金融数学实验教学中，由于内外部环境不断发生变化，导致不规则、不可预测、不确定性、非线性的因素越来越多，从而金融数学实验教学活动是动态的、多变的、混沌的。其非线性与开放性的特点会产生混沌行为，并且管理中具有奇异吸引子、初值敏感性、自相似特征等混沌特征。

1.初值敏感性对实验教学的启示

现代实验教学强调以学生为中心，教师只是学生的辅助者和引导者。复杂的实验教学环境必然会导致教学系统内部各种不确定因素的增加，从而加剧教学系统对初始条件的敏感性。教师进行金融数学实验教学时，应创造良好的学习初始条件，在不同阶段设置明确目标，引导学生寻找合理的解决办法，做好实验教学设计。在实验教学的实验项目设计时，要先认识到学生思维的敏感性和心理特点，激发学生的创造性，使学生对自身能力进行判断、对学习实验结果进行预期，最后确定学习实验目标。从而制订计划，选择能够实现目标的相应学习实验策略，最终对自己的学习实验结果作出正确评价。教师要给学生留出足够的时间和空间让学生多动手、多练习，让他们自己发现问题、分析问题、解决问题。

2.自相似性对实验教学的启示

学习过程是一个非线性系统。每个学生的智力、情感、接受能力、技能操作等的发展均处于复杂的多因素动态过程中，对其信息接收、应用能力的培养有很大影响。人的思维是复杂的，想找到每个人发展的线性方程显然是不可能的。按照分形理论，应考虑采用不同教学模式和手段，在实验教学设计中应注意发展和培养元认知，有意识地运用分形迭代的思维方法和分形认识观点，开发元认知能力。对课程教学内容和教学策略的设计与安排，以促进其基础知识的拓展性应用能力及科学思维方法养成。注重使学生掌握基本方法、思路和技术内涵，熟练运用典型的信息处理方法，加强学生应用解决实际问题的能力，提高学生获取信息、处理信息、创造信息的能力，培养创新意识和科学研究能力。

3.奇异吸引子对实验教学的启示

金融数学实验教学是一个动态的创新过程。从混沌理论可以知道一个小的变化会得到差别很大的结果，所以学习过程中，寻求奇异吸引子，一些小小的提示都可能引起学生的思维发生混沌，继而提升知识模型和思维模式的丰富程度。金融实验教学环境信息微小变化，学生内心状态的微小的变化，教学内容设计上的微小变化及对教学目标的微小偏差等，都会导致其实际教学效果很大变化。实验教学内容直接决定实验教学质量，决定学生创新意识、创新能力和实践能力培养质量。所以精心设计开展一些有特色的综合设计类实验项目，对这些实验要注意融入金融数学最前沿的科学知识和最新的技术成果，以特色实验项目为奇异吸引子，以激发学生的创新意识，培养学生的创新能力。就业的要求、个人的兴趣、项目的驱动、就业的导向等多种因素致使学生偏离收敛性吸引子的区域而导向不同性态，在不同程度上诱发学习积极性。在金融数学实验教学中允许学生与原设计输出有很大出入的认知建构，允许学生学习结果不同情况的出现，充分挖掘每一个人的潜能，使每一个学生都学有所得，真正实现其发展的可能性。

五、结语

本文尝试在财经类院校金融数学实验教学中引入混沌理论，调动学生学习的自主能动性，积极主动地学习金融数学课程，提高学生的学习兴趣。根据引发混沌现象的“蝴蝶效应”，对实验教学初始条件的创造及教学过程各学习目标的设置加以重视，既能发挥教师的主控作用，又能发挥学生思维的主体能动性。注重在实验教学过程中非线性及奇异吸引对实验教学课程设计的影响，从而真正将理论与实践结合到一起，使枯燥的看似纯理论的学习变得生动活泼，增强学生的自主学习能力，提高学生发散思维和逻辑思维及分析解决问题的能力。教师可以更好地了解学生的学习心理，掌握学生的学习特点、学习方式、学习效果，及时采取有效的教育措施和有针对性的教学手段。

参考文献：

[1]谢霖铨，吴克晴.关于金融数学教学的思考[J].江西理工大学学报，2012.12，Vol33，6.

[2]杨刚，张鸿雁.金融数学本科专业教学现状及对策分析[J].当代教育理论与实践，2014.8，Vol6，8.

[3]康世瑜.浅谈混沌理论在课程教学中的应用[J].大众科技，2007.12.

篇3

1990年，美国的研究员Pecora和Carroll首次提出了一种混沌同步的方法，且通过电子线路实现[1]，开创了由理论研究到工程应用的先河。其应用领域也从物理学迅速扩大到各领域，成为非线性科学的研究热点之一[2]。混沌保密通信是通信领域研究中的一个重要课题，且随混沌系统同步控制研究的发展，混沌同步通信技术及同步方法引起学者们广泛的研究兴趣[3]。混沌是非线性动力学系统中一种特有的运动形式，由于其对初值敏感性、伪随机性、不可预测性等特征，它是确定与不确定的统一，规律与无序的统一，隐于复杂系统但不可分解[4]。混沌在保密通信中具有广泛的应用前景。目前，混沌保密通信技术大致分为两类：其一是模拟混沌保密通信，主要包括混沌掩盖和混沌参数调制；其二是数字混沌保密通信，主要包括混沌扩频和混沌键控。混沌学术研究也提出了多种混沌同步控制的方法，如驱动一响应同步法、主动—被动同步法、耦合同步法、反馈微扰同步法、自适应同步法及脉冲同步法等，其中混沌脉冲同步保密通信方法具有非常广阔的发展前景[5,6]。从结构上看，现有的混沌通信系统都包含收发两端：发送端将信息调制成具有混沌特性的波形或码流；接收端通过同步解调将接收的波形或码流恢复出信息源。从传输信道来看，可分多用户和单用户通信。下面将对主要的混沌同步通信技术及方法的基本原理和性能进行分析、比较与总结。

2混沌同步方案

下面介绍几种主要混沌保密通信方案，说明其原理和取得的一些研究进展，并进行分析比较。

2.1混沌掩盖

混沌掩盖保密通信方案是Cuomo和Oppenheim[7]提出的，基本原理是：用具有统计特性的混沌信号对有用信号进行掩盖，形成混沌掩盖信号，即混沌信号作为载波，使信息信号叠加在混沌信号上，在接收端用一个同步的混沌信号通过逆运算解调出信号信息，来达到保密效果。此方案的特点是：①实现简单，系统用混沌掩盖直接把模拟信号发送出去；②信息信号功率远低于混沌掩盖信号的功率；③系统严格依赖于发送端、接收端混沌系统的同步。即系统须满足不失真性和安全性两个要求，使非法截获者难以从信号中解调出信息信号。为解决此类通信系统方案存在的问题，1999年匡锦瑜提出了多级混沌掩盖通信系统[8]，该系统的发送端与接收端均有两级混沌系统，从而使系统具有较好的保真度及安全性能。2002年李建芬等提出了一种新的蔡氏混沌掩盖通信方法[9]，将信息信号直接加在被发射的混沌信号中，在接收端用一个自适应线性神经元来维持收发系统的同步，并通过逆系统恢复出信息信号，提高了混沌掩盖方法的安全性。同时，通信系统的保密性能取决于混沌动力系统的复杂性，目前有Rossler系统、Lorenz-Haken系统、Chua’s系统和Chen系统被应用到超混沌掩盖系统中。

2.2混沌参数调制

在传统的通信系统中，用待发送的模拟或数字信号对载波的频率、振幅或相位进行调制，由此形成3种基本的调制方式：调频、调幅和调相。在混沌通信中，同样可以用待发送的模拟或数字信号对混沌吸引子的各种参数进行调制，从而产生了混沌参数调制的各种方法。1992年，Oppenheim等报道了有关混沌开关和混沌加密调制的实际应用[10]。混沌参数调制基本原理：以信息信号源来作为混沌系统的状态变量，接收端则利用同步性能提取出相应的混沌系统状态变量。此方案特点：①将发送的信息隐藏在混沌系统参数内，保密性比混沌掩盖技术更强；②通常采用函数求逆的解调方法易于受外界干扰，会降低信息通信效率；③适合对慢变信号进行处理。

2.3混沌键控

混沌键控（CSK）的原理与方法是由Dedieu、Kennedy和Hasler于1993年首次提出[11]。基本原理是：用2个不同的混沌振荡电路的输出信号来代表0、1，用开关切换混沌振荡电路，而开与关由所要传输的信息源控制。对CSK解调有两大类方法：相干解调、非相干解调。此方案特点：①相干解调抗噪声性能优于非相干解调，但要求收发端混沌振荡电路严格同步；②非相干解调对收发端混沌振荡电路同步不作要求、简单易于实现，但抗噪声性能较差，判决门限值依赖于信噪比。1996年Kolumban提出DCSK方案[12]解决了CSK判决门限值依赖于信噪比的问题。DCSK的一个不足之处是它只能用于较低速码率的混沌数字通信中。1998年Kolumban又提出了频率调制的DCSK方案[13](FM-DCSK)，利用混沌模拟锁相环电路产生混沌信号，通过一系列措施，可使接收端相关器件的输出为常数，不受码元速率大小的限制。混沌键控常用的方法为：微分混沌频移键控（DCSK）、积分混沌频移键控（QCSK）以及频率调制混沌键控（FM-DCSK）。混沌键控的方案受信道带宽的限制，保密性较大程度取决于混沌信号复杂度。混沌脉冲控制及混沌脉冲开关键控在超宽带的脉冲通信系统中的应用成为研究热点之一[14]。

2.4混沌扩频

扩频通信是将要传输的信息数据用高速率的扩频码进行调制，实现频谱扩展，接收端进行相关解调，恢复原始数据信息。传统的扩频技术受到扩频码的周期特性以及可用的正交地址码个数的限制，而混沌扩频通信[15]就是利用非线性映射的混沌序列代替扩频通信的PN码。混沌扩频通信其关键在于混沌序列的选择，利用混沌的伪随机性和遍历性来实现性能优良的扩频序列。混沌扩频通信目前主要有两种方式：直接序列扩频和跳频序列扩频。近年来，提出的多进制正交扩频是一种高效的扩频方式。混沌扩频特点：①混沌序列产生方便，数目众多且不可预测；②序列都具有较好的自相关特性，但其互相关函数则存在大量的尖峰脉冲；③传输信息所用的带宽远远大于信息本身带宽；④具有很强的抗干扰和抗多经能力；⑤隐蔽性好，可以实现码分多址。混沌映射能够产生数量众多的混沌扩频序列，但是并不是所有的序列都满足实用要求。在码分多址通信中，可以用平衡性作为混沌序列的优选标准。用周期抽取和多比特抽取相结合的方法产生混沌序列，使生成的序列码元分布均匀，平衡性好[16,17]。随着超混沌研究的深入，人们获得了更多的性能优良混沌序列，但是系统越复杂，出现不稳定状态的程度会越高，因此工程中最好寻找系统状态变量尽可能少的超混沌系统。人们把超混沌序列降维后应用于扩频通信，为扩频通信技术的深入研究提供了一条新方法[18]。

3混沌同步控制方法

研究者们从不同的角度提出了同步的概念，混沌同步控制方法有很多种，下面对常用的驱动响应同步、主动被动同步、耦合同步、反馈微扰、自适应同步和脉冲同步6种方法进行分析和比较。

3.1驱动响应同步方法

驱动-响应同步方法是由美国的L.M.Pecora和T.L.Carroll提出[19]。其特点是：两个非线性动力学系统存在着驱动与响应关系，响应系统行为取决于驱动系统，而驱动系统的行为与响应系统的行为无关。Pacora和Carroll对响应系统的稳定性及同步原理进行了分析，发展了混沌信号驱动系统的稳定性分析理论，即所谓的条件Lyapunov指数稳定性判据[19,20]。Pacora、Carroll以马里兰大学的RobertNewcomb设计的电路为基础，运用该同步方法，首次现实了两个混沌系统的同步[20]。后来Cuomo和Oppenheim也成功地用电子线路模拟了Lorenz系统的混沌同步[21]，Carrroll和Pecora在后来的研究工作中，进一步将驱动-响应的混沌同步方法推广到高阶级联混沌系统[22]。3.2主动被动同步方法由于驱动-响应同步方法需要将系统进行特定分解，而许多实际非线性系统不能分解为两个子系统，因此其应用受到很大的限制。1999年，L.Kocarev和V.Parlitoz提出了一个改进方法[23]，即主动-被动分法，此方法非常灵活，且具有一定的普遍性。主动-被动同步方法的特点是：可以不受任何限制地选择驱动信号的函数，因此具有更大的普遍性和实用性，特别适合于保密通信方面的应用。实际上，驱动-响应同步方法只是主动-被动同步方法的一个特例。

3.3耦合同步方法

1990年，Winful和Rahman针对激光混沌研究了相互耦合的半导体激光阵列系统中混沌同步的可能性[24]。1994年，美国的Roy和Thornbury及日本的Sugawara等人通过利用激光光强相互耦合，分别独立地从实验上观察到两个混沌激光系统达到同步[25,26]。Carroll等人在研究三个总体耦合的脉冲耦合振子阵列时，也发现了同步现象。研究表明对于相互耦合的混沌系统在满足一定的条件下，可达到混沌同步。Kapitaniak和Chua等人用相互耦合的方法[27,28]，使两个Chua氏电路实现了混沌同步。由于相互耦合的非线性系统在自然界中普遍存在，因此，其理论和实验研究意义重大。

3.4反馈微扰同步方法

1993年德国学者K.Pyragas提出了一种对非线性连续混沌系统的控制方法[29]，即:连续变量反馈微扰控制法。后来这一方法被应用到研究两个混沌系统的同步问题。不同系统中可以灵活的采用单变量、多变量及所有系统变量的反馈微扰。成功应用变量反馈微扰使得两系统达到混沌同步的实例较多[30,31]，如：两个Chua氏混沌电路，两个Duffing振荡器，两个VanDePol振荡系统及用Maxwell-Bloch方程描述的两个激光系统等。

3.5自适应同步方法

1990年Huberman和Lumer提出用自适应原理控制混沌的方法[32]。John和Amritker对此方法做了改进，用来控制混沌系统的相空间轨迹与所期望的不稳定轨道达到同步[33]。其基本原理：利用自适应控制技术来自动调整系统的某些参数来达到混沌同步的目的。其特点：①系统至少有一个或多个参数可以得到，且参数值已知；②系统中受控参数的调整根据系统输出变量与所期望轨道的相应变量的差值及受控参数值与所期望的轨道相应的参数值之间的差值；③可以选择不同的控制函数，保密性较强，但是自适应控制函数选择是难点，如果选择复杂的控制函数，性能会提高，但也使系统的复杂性增加。3.6脉冲同步方法脉冲同步法是Yang与Chua提出的[34]，脉冲同步方法也是目前的一个研究热点，其特点是：它传送的是一种不完全的混沌信号，即把驱动混沌信号转化为脉冲信号来使响应系统同步。此方法需要取样脉冲频率达到一定要求。脉冲控制是在一系列的时间点上加入一定强度的脉冲控制量，来改变系统的状态变量使系统稳定。混沌脉冲控制可以分为小量常数脉冲控制和自适应脉冲控制等。2003年邓成良等人提出了混沌脉冲宽度调制技术[35]。

4结论

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关键词：新混沌系统；变形蔡氏电路系统；混沌同步；Lyapunov函数

中图分类号：TN918文献标识码：B

文章编号：1004 373X(2009)02 079 03

Synchronization of New Chaotic System

and Modified Chua′s Circuit System with Different Structure

GUO Yuxiang,WU Ranchao

(School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei,230039,China)

Abstract：Synchronization of new chaotic system and modified Chua′s circuit system with different structure is studied.The Lyapunov function is deduced based on the Lyapunov stabilization theory,a nonlinear controller is designed to realize the synchronization between chaotic systems with different structure.Conclusion about the error variable approaching to zero smoothly and quickly is also testified with the evolution of the time.Numerical simulations prove that the approach is effective and feasible.The designed controller processes the merits of highly operating,getting better results on synchronization and generalizing easily.

Keywords：new chaotic system;modified Chua′s circuit system;chaotic synchronization;Lyapunov function

0 引 言

近年来，混沌及其应用是非线性科学研究领域中的一个热门课题。由于混沌系统有着复杂的动力学行为，且对初值的敏感性和长时间的不可预测性，所以混沌的控制与同步就成了研究混沌应用的重要环节。自20世纪90年代初Pecora和Carrol［1］首次提出混沌同步以来，人们随后也提出了各种不同的混沌同步方法；如自适应同步、脉冲同步、混合同步、耦合同步等［2－9］。在此针对一类新混沌系统［10］，用变形蔡氏电路系统严格地跟踪这个新系统，根据Lyapunov稳定性理论，分步构造出Lyapunov函数［9］，使得误差变量方程渐近稳定，从而使驱动系统和响应系统在结构不同和参数失配的前提下达到了完全同步。数值仿真验证了该方法的可行性和有效性，进一步推广了混沌同步在非线性科学领域中的应用。

1 系统模型描述

文献［10］提出一个新的三维混沌系统，其动力学方程为:

1=a(x3－x1)，

2=bx1－dx21

3=kx1x2－cx2－gx3(1)

显然，该系统仅存在两个非线性项。文献［10］利用理论推导、数值仿真、Laypunov指数分析了它的基本动力学特性，验证了系统丰富的混沌特性，该系统对于混沌在信息加密中具有重要的应用价值。当a=8，b=40，c=10/3，d=1，g=4，k=1时，该系统的混沌吸引子如图1所示。

变形蔡氏电路混沌系统［11］为:

1=a1［y2－(2y31－y1)/7］

2=y1－y2+y3

3=－b1y2(2)

当a1=10，b1=100/7时，系统的混沌吸引子如图2所示。下面将讨论这两类系统之间的同步问题。

2 非线性控制器的设计

设系统（1）为驱动系统，受控的变形蔡式电路系统为响应系统:

1=a1［y2－(2y31－y1)/7］+u(t)

2=y1－y2+y3，

3=－b1y2(3)

在系统（3）中引进单个控制器u(t)，当u(t)未作用时，两系统随时间变化的轨迹各不相同，即它们属于异结构混沌系统。

图1 系统的混沌吸引子（一）

图2 系统的混沌吸引子（二）

定理对于混沌系统（1）和（2），若控制器结构为:

u(t)=－（1/b1）\，b1＞0

则两系统同步。

式中，e1,e2是误差变量；Ω(t)是关于系统状态变量的多项式。

证明 引入误差变量e3，并令e3=y3－x3。由式（1）和式（2）可以得到:

3=－b1y2－kx1x2+cx2+gx3

分步构造Lyapunov函数，先构造如下形式:

V3=（1/2）e23

则:

3=e33=－e23+e3(e3－b1y2－kx1x2+cx2+gx3)

令:

e2=b1y2－k1

其中:

k1=e3－kx1x2+cx2+gx3

则:

2=b1(y1+y3)+k(1－g－a)x1x2－cbx1－

c(1－g)x2－g(1－g)x3+akx2x3+

(kb+cd)x21－kdx31

构造第二部分Lyapunov函数 V2=V3+（1/2）e22，则:

2=－e22－e23+e2(b1y2－k1－e3+2)

=－e22－e23+e2［b1(y1+y2+y3)－2y3+

2x3+k(2－g－a)x1x2－cbx1－c(2－g)x2－

g(2－g)x3+akx2x3+(kb+cd)x21－kdx31］

令e1=b1y1－k2，其中:

k2=－［b1(y2+y3)－2y3+2x3+k(2－g－a)・

x1x2－cbx1－c(2－g)x2－g(2－g)x3+

akx2x3+(kb+cd)x21－kdx31］

则:

1=b1{a1［y2－(2y31－y1)/7］+u(t)}－2

=b1u(t)+Ω(t)

其中:

Ω(t)=a1b1［y2－(2y31－y1)/7］－2=

［a1b1－b1(b1－1)］y2－（1/7）a1b1(2y31－y1)+

b1(y1+y3)+［2－g(2－g)+akx2］(kx1x2-

cx2－gx3)+［ak(2－a－g)x2－abc+

2a(kb+cd)x1－3kdax21］(x3－x1)+

［k(2－a－g)x1－c(2－g)+akx3］・

(bx1－dx21)

构造Lyapunov函数 V1=V2+（1/2）e21，则:

1=2+e11=－e21－e22－e23+

e1

对于响应系统式（3），当同步控制器形式满足:

u(t)=－（1/b1）\，b1＞0

就有 1=－e21－e22－e23≤0。根据Lyapunov稳定性理论［12］，两个系统达到混沌同步，即:

limt∞ei(t)=0； i=1,2,3

其中:

e1=b1y1－k2，e2=b1y2－k1，e3=y3－x3

下面通过数值模拟验证此方法的有效性。利用Matlab编程进行仿真，选取参数:

(a,b,c,d,g,k)=(8,40,10/3,1,4,1)，

(a1,b1)=(10,100/7)

初始值:

(x1(0),x2(0),x3(0))=(1,2,3)，

(y1(0),y2(0),y3(0))=(0.1,0,0)

图3给出了系统（1）和（3）的状态变量的误差曲线；图4给出了驱动系统和响应系统的状态变量的同步过程。从图中可以看出误差变量随时间的推移逐渐趋于零值，驱动系统和响应系统在短时间内很快完全达到同步，另外，还可以看出这两个系统能否达到同步与系统的初始值选取无关，仅需取定的初始值能使系统处于混沌状态即可。

图3 误差e1(t),e2(t),e3(t)随时间的演化曲线

图4 同步是状态变量随时间的演化曲线

3 结 语

通过设计单个非线性控制器的方式，实现了一个新混沌系统与变形蔡式电路系统之间的异结构同步，并给出了控制器的设计过程。理论验证和数值仿真说明了该方法的可行性和有效性，进一步推广了混沌的应用。这种混沌同步的方法，可以应用于混沌遮掩和混沌参数调制保密通信。

参考文献

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［11］Yan J J,Lin J S,Liao T L.Synchronization of a Modified Chua′s Circuit System via Adaptive Sliding Mode Control［J］.Chaos,Solitons}Fractals,2008,36(1):45－52.

篇5

众所周知，自然界的燃烧现象需具备三个条件:氧气、可燃物、着火点。牛文元将燃烧理论运用于社会事件中，提出社会燃烧理论，即当“人与自然”“人与人”之间的和谐状态被打破，会给社会稳定以不同程度的“负贡献”(即“可燃物”)，当此类“负贡献”的量累积到质变的程度，并辅以错误的舆论导向(即“氧气”)，会使社会不良情绪的淤积达到一定的人口数量密度和地理空间规模，此时，在某一“突发导火线”(即“着火点”)的激励下，即可爆发社会失序或民众动乱等问题。

2.突变理论    

1972年勒内·托姆勒内·托姆以结构稳定性理论为基础，以拓扑学为工具，研究某种事物结构不稳定发生突然改变的现象及规律，即突变理论。突变理论强调变化过程的间断或突然转换，区别于过程稳定的渐变过程。在现实生产生活中，不仅存在光滑的渐变现象，也存在着大量的突变现象，如岩石破裂、桥梁崩塌、天体相撞、企业倒闭、经济危机等。托姆将系统内部状态的整体J胜“突跃”称为突变，具有过程连续而结果不连续的特征，可以用于认识和预测自然界和人类社会的复杂系统行为。 

3.混沌理论    

1963年爱德华·诺顿·劳仑次提出混沌理论(Chaos theory ) o混沌理论是研究动态系统(如:人口迁移、气象变化、化学反应等)中无法用部分、单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测其行为的理论，它解释了决定系统可能产生随机结果，是一种兼具质性思考与量化分析相结合的方法。混沌理论用简单的模型获得明确的非周期结果，具有结果的不可预见性和过程的可推导性，在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用，在教育行政、课程与教学、教育研究、教育测验等方面也有些许应用的例子。混沌理论指出，在混沌系统中起初十分微小的变化，经过不断放大，对未来的表现形态会造成极大差别，广为人知的蝴蝶效应正是混沌理论典型的案例。因此，将混沌理论运用于农业灾害系统领域，用以分析农业旱灾发生后，极小的社会危害不引起人们重视，最终导致社会风险爆发的研究，最合适不过了。    

4.信息扩散理论    

信息扩散理论最早源于Everett M.  Rogers在(( Diffusion of Innovations》一书中提出的新事物发展S曲线理论，该理论认为新事物的发展与扩散会经历了解、兴趣、评估、试验、采纳五个阶段。信息扩散理论认为几乎大部分新思想、新事物的扩散传播过程都是呈“S”形曲线，即开始人数很少，扩散的进程很慢，当人数增加到居民的10%一25%时传播和扩散的进程会突然加快，曲线呈迅速上升趋势，而在接近于最大饱和点时再次慢下来。    

篇6

吉 杨 东北电力大学 吉林省吉林市 132012

【文章摘要】

针对Duffing 混沌振子在微弱信号幅值检测中的应用，提出了基于相图检测法的混沌特性判别方法。本文介绍了该方法自动判断系统混沌状态的原理、过程及测量结果。应用到微弱信号检测领域，达到测得待测信号幅值的目的。

【关键词】

混沌特性判别；Duffing 阵子；微弱信号

【Abstract】

A i m i n g a t t h e a p p l i c a t i o n o f Duffing chaotic oscillator in weak signal detection in chaos characteristics,puts forward a Chaotic Identification method based on phase detection.This paper introduces the automatic judgment principle, process and measurement results of chaotic state of the system.Applied to the field of weak signal detection,achieves the amplitude of the signal to be detected to.

【Keywords】

Chaotic Identification;Duffing Oscillator; Weak Signal

0 引言

微弱信号检测一直是信号检测领域的热点和难点。早在九十年代就有学者将混沌理论引入到微弱信号检测领域，并取得了成功。随着混沌理论研究的不断深入和发展，利用混沌振子检测微弱信号被广泛应用于通信、生物医学、气象学、故障诊断等领域。

混沌系统对微弱信号的敏感性以及对噪声免疫的特点是混沌理论检测信号的依据。常用的混沌振子为Holmes 型Duffing 振子，其具体形式如下：

（ 1）

式中为周期策动力；k 为阻尼比； 为非线性恢复力。取以适应不同频率的待测信号，其等价系统为：

（ 2）

Duffing 振子系统检测信号原理为： 将周期策动力值取为临界值，使系统处于混沌状态到大尺度周期状态的过渡状态。由于混沌系统对小信号敏感，加入待测信号后，系统状态从临界状态跃为大尺度周期状态，调节策动力值，使系统再一次处于临界状态，记录此时策动力值，则待测信号幅值。因此确定不同输入信号的周期策动力的临界值是检测微弱信号幅值的关键，而系统的混沌特性判别则是确定临界状态的基础。

1 基于相图检测法的混沌特性判别方法

1.1 相图检测用到的基本概念

（1）连接数

像素x 的值用B（x）代表，如果二值图像里B（x）等于1，像素x 的连接数Nc 即为与x 连接的连接成分数，其计算公式如下。

4 连接时：

（3）

8 连接时：

（4）

式中S={0，2，4，6}， ，当时， 。

（2）欧拉数

对于二值图像，1 像素的连接成分数C 和孔数H 的差值被称作该图像的欧拉数。用E 表示图像的欧拉数，则。在图像进行缩放变化时，欧拉数能够保持图像的特征量不发生改变。

1.2 判断混沌特性的图像检测方法

在Duffing 系统中，不同的状态有不同的相图特征，具有代表性的状态为混沌状态和大尺度周期状态：混沌状态下系统相图曲线混乱，毫无规律可循；大尺度周期状态下相图曲线规律，相轨迹封闭。对大尺度周期状态下的相图进行特征提取发现，其欧拉数一定为1，而混沌状态下的相图，其欧拉数随轨迹的改变而改变，并不确定为某一固定值。因此，计算相图的欧拉数，判断其值是否为1 成为判断系统是否处于大尺度周期状态的依据，文中提出的方法就是利用这一点进行自动判断。

1.3 判别流程

相图检测法的整体思路为：运行Duffing 振子系统，得到系统相图；然后对相图按固定的时间段分段，画出初始时段的相轨迹图，对图片进行灰度转换，然后将灰度图转换成二值图像，随后计算二值图像的欧拉数，判断欧拉数值是否为1。对每个时间段的相图均按照步骤处理计算欧拉数，如果某个时间段的相图欧拉数为1（不包括最后一个时段），并且之后所有时段相图欧拉数均为1，那么判定系统处于大尺度周期状态，否则为混沌状态。

2 仿真应用

将上述混沌判别方法与Duffing 振子仿真模型结合，自动改变Duffing 系统周期策动力值，直至得到新的临界值，计算得待测信号幅值。

先对Duffing 振子系统不加入待测信号时进行判断，取式（2）中k 值为不同值， 分别对不同频率的策动力进行测量，得到初始临界值结果如表1，其中f 为策动力频率。由表1 可知k 值越大，测得的临界值越稳定，策动力频率对Duffing 系统影响较小。可以证明此方法能够准确判别系统临界值，且不受频率影响。

一般情况，取k 值为0.5。系统加入待测信号，分别对不同频率、不同幅值的待测信号进行测量，幅值测量结果如表2。由表中数据可知，结合相图检测法的微弱信号检测可以准确测量出信号的幅值。

值得注意的是，仿真过程中要注意仿真时间和仿真步长的协调，而且仿真时间要足够长，以免发生误判。

表2 待测信号幅值

3 结论

以上分析和仿真结果表明，本文提出的基于相图检测的混沌特性判别方法对于Duffing 振子系统，具有较高的实用价值，不但能够快速的进行混沌特性判别， 更能准确的测量待测信号的幅值。电力系统中某些故障时产生的微弱信号可以用此种方法进行检测，具有一定的应用价值。

【参考文献】

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篇7

关键词： 复合混沌; 置乱算法; 空域复合加密; 抗攻击

中图分类号： TN911?34; TP13 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2015）02?0015?03

Data encryption and algorithm comparison realized by mutual iterative chaos algorithm

CAI Su?ya

（School of Information Engineering， Shaanxi Polytechnic Institute， Xianyang 712000， China）

Abstract： A complex chaotic model of Logistic and Henon mutual iteration is used in this paper. The design of chaotic encryption algorithm is completed by chaotic sequence optimization. The improved algorithm can ensure the security of encryption and achieve the rapid encryption. The decrypted image effects found that the algorithm has a strong anti?attack capability. In comparison with the traditional airspace composite encryption algorithm， the improved algorithm has advantages in anti?key brute?force attack， encryption speed ratio and deciphering difficulty.

Keywords： composite chaos; scrambling algorithm; airspace complex encryption; anti?attack

一直以来混沌理论在非线性学科中占据中较为重要地位。混沌信号具有非周期性连续宽频带，与噪声类似的特点，并且在一定的时间内是不可预估的，因此非常合适在应用保密通信方面领域[1?3]。混沌系统是把很多有序的操作整合在一起，然而任意一个有序子量处于正常状态下都无法起到决定性地位，因此混沌看似是任意随机的，实际都是明确的量。最先观察到混沌现象的是Lorenz，经过一段时间以后，学者研究分析得出一系列混沌系统，如映射ehua电路、chen′s电路、Rossler系统等[4?7]。混沌和密码学有很多几乎一样的特点，因此，涉及在密码的领域中，混沌也被大量应用[8?9]。基于信息论，香农验证了一次一密可靠，实质是满足了加密的密钥流大于信息数据所占据的长度。然而在现实中是无法实现的，怎么利用短密钥序列形成长密钥流序列，这个问题在密码学是亟需解决的[10?13]。近几年应用当中发现混沌理论在数据加密方面应用优势并不明显，特别表现为抗密钥穷举攻击、加密速度等方面[14?16]。文中基于这一背景，进行了复合混沌算法实现数据加密的性能改进及对比分析，结果很好地改进了混沌算法存在的问题。这一研究对混沌密码学的进一步改进应用具有明显的理论和实践意义。

1 相互迭代的优化设计

1.1 Logistic映射混沌序列优化

Logistic模型一开始是表达昆虫种群增长量的模型，也叫做虫口模型。下面设计针对Logistic混沌序列进行优化，Logistic模型的动力学过程如下：

[x=-σ（x-y）y=-xz+rx-yz=xy-bz] （1）

式中的参数较为经典的取值是σ=10，r=28，b=[83]。当σ，b仍取值为10和[83]，此时如果r>24.75，那么系统处于混沌状态。由于系统输出的实值混沌序列存在如下缺点：x，y，z的值域各不相同，不利于批处理;x，y，z局部取值呈现单调性，易受线性预测攻击;x，y，z自相关特性非理想的δ函数，互相关特性非理想的零特性，难以保证不可预测性，而且系统多输出特性也得不到充分利用。为了尽可能地避免这些缺陷，提出了一种改进方法对混沌序列做优化，设计了一个模型，方程如下所示：

[x（i）=10mx（i）-round（10mx（i））y（i）=10my（i）-round（10my（i））z（i）=10mz（i）-round（10mz（i））] （2）

式中：x′，y′，z′是经过优化后的序列;m是控制参数，能够起到提升序列取值的不规则性;round（）是最接近整数函数，能够实现混沌优化序列。

1.2 优化算法过程

通过式（2）可以得到经过优化处理的3个混沌序列x′，y′，z′，形成3个置乱矩阵，利用其分别对RGB彩色图像的3个分量做置乱加密处理。通过优化后的混沌序列可以形成对应的置乱矩阵PM×N。该置乱矩阵中的任意一个元素Pij都在[1，2，…，M×N]的范围里，如果有Pij=Pkl，且只有满足i=k，j=1时才成立。如果M=4，N=4时，那么P就是4×4的矩阵，通过优化混沌序列从而形成16个实数值的混沌序列，把这些序列按照从大到小进行排序，用1～16做标识，那么就能够得到序列：4，6，7，3，1，2，8，15，10，12，14，13，16，11，9，5。以行排列为4×4的置乱矩阵P4×4为：

[46731281510121413161195]

通过使用非线性置乱的方法，把图像IM×N中子元素和对应的PM×N中的元素做置乱处理，这里设计的详细过程如下：

[I4×4=i11i12i13i14i21i22i23i24i31i32i33i34i41i42i43i44I′4×4=i21i22i14i11i44i12i13i23i43i31i42i32i34i33i24i41]

算法程序的过程如下：

先定义一个寄存器变量ch。

register char ch;

再进行加密处理。

while（str1[++j0]）;

ch=fgetc（fp1）;

while（！feof（fp1） /*加密算法开始*/

{

fputc（ch^str1[j>=j0？j=0;j++]，fp2）; /*异或后写入fp2文件*/

ch=fgetc（fp1）;

v++; /*统计视频字节数*/

}

2 数据加密的安全性的分析

一个较好的加密算法，不仅要其安全可靠性能高，而且要其运行的速率快。在前面的叙述中，已经知晓混沌方程进行迭代是能够生成伪随机数列的。密钥循环一次大概能够加密100 kb视频数据信息。又因为由于周期很长，并且还是伪随机数列，所以在安全方面的性能得到了较好的保障。另外，鉴别时效性主要是取决于验证程序能不能较为快速的加密。在进行验证时，选取了约1 GB大小的各种不同类型的视频文件。凭借较大信息量的视频文件能够很明确地显示出程序加密地速度的快慢。先对一个710 MB扩展名为“dvd.mp4”以及一个970 MB扩展名为“soldier.rmvb”视频文件进行测试，其测试所得数据结果见图1。

<E：＼王芳＼现代电子技术201502＼Image＼03t1.tif>

图1 测试所得数据

在做验证加密时会生成一些文件。其中，文件hundun1.mp4与hundun2.rmvb都无法打开，然而文件decode1.mp4与decode2.rmvb能够打开。经验证可以知道解密之后的视频和最初的视频是一样的。另外，还可知加密以及解密所需要的时间不超过1 min。该时间是把生成密钥流以及加密视频的所需时间计算在内的，其速率是超过10 MB/s。由此可知，利用混沌加密的算法的适用性强。该方法不仅能够确保安全，同时具有较快的加密速率。假如破解视频所耗的成本比视频自身所拥有的价值还要大，于是进行破解就显得多余。虽然对于安全要求非常高的场合是不适用的，然而在人们日常生活若需加密的视频文件时，使用该方法是较好的方法。加密系统的关键性能是自身抵抗外界攻击的能力，若抵抗能力越强，说明该系统安全系数越高。破解人员对加密系统的攻击实质就是此系统密钥流进行的攻击，因此混沌Logistic映射的抵抗攻击的性能实际上就是等同于整个加密系统抵抗攻击能力。如果N>μ，μ=3.569 945 6时，Logistic映射处于混沌状态，当周期N无限接近于∞时，如果攻击人员采用穷举法的方式做蛮力攻击，那么要进行2N次，所以考虑到实际情况以及成本的因素，都不可能顺利完成的。在实际应用里，不可能满足精度无穷大的要求，如果在没有采用参数μ动态累加产生器的情况下，序列周期是N′，此时有攻击人员采取穷举法做蛮力攻击，那么就得做N′次运行。然而，在采用参数μ动态累加产生器的情况下，序列周期是22′rN，此时有攻击人员采取穷举法做蛮力攻击，那么得做2′2rN次运行。加密算法，关键的优势功能是在整体的加密结构进行了优化处理、科学的安排及长度为128的密钥。如果进行强力攻击效果最突出，则以位方式得到密钥得进行2128次加密运算，就会耗费1012年的时间。面对IDEA采取强力的方式进行攻击，那么生成解密子密钥的速度远远不及加密子密钥速度。可以看出，解密需要耗费的时间会很多。综上所述，采用混沌利用混沌算法生成高性能的密钥，并且利用IDEA优质性能以及高质量的加密体系，确保了整个加密系统具备了很高的安全性能。

3 图像应用数据的加密实验

3.1 实验设计

本文图像采用图2（a）所示，把分量图合成为彩色图像后的加密图像见图2（b）。这里迭代过程应用了1 000次。

<E：＼王芳＼现代电子技术201502＼Image＼03t2.tif>

图2 实验对象和加密图像

3.2 保密性测试优势

为了验证算法的保密性性优势，图3进行如下实验：（a）为参数r的偏差为10-10次方时的错误解密图像;（b）为初值xo的偏差为10-10次方时的错误解密图像。从算法改进结果来看图像已经发生了视觉方面的色彩改变，显然图像必将梗难破译，有理论分析可知对图像加密的需要进行3MN次操作，显然这一结果验证了算法保密性方面的优势。

3.3 抗攻击测试

为了分析图像的抗抗击性，图4分别进行如下实验：（a）加密后的图片经过压缩改进的解密图像;（b）则采用高斯噪声后的解密图像，从图片视觉表现来看，算法显然实现了解密图像效果保持，这验证了算法有较强抗攻击能力。

<E：＼王芳＼现代电子技术201502＼Image＼03t3.tif>

图3 r和xo错误的解密

<E：＼王芳＼现代电子技术201502＼Image＼03t4.tif>

图4 JPEG压缩和高斯噪声解密

4 算法对比

空域复合加密算法与比特移位加密算法的比较如表1所示。

表1 空域复合加密算法与比特移位加密算法的比较

由表1可知，与改进的混沌加密算法对照，本文算法有主要的三个优点：第一，在有限精度下密钥空间从[1016≈253]扩大到[1048≈2158]，很大程度上提高了抗密钥穷举攻击的能力;第二，一次能加密多个比特，并且比特移位操作速度远远大于比特异或操作，所以该算法加密速度比空域复合算法的速度快。第三，因为xi的随机性，在加密的流程中破坏了原图像像素的独立性，使得破译的难度加大。

5 结 语

设计过程中，采用复合混沌方程是形成密钥流的方式，由于混沌方程能够因为反复迭代生成类似的随机数列，把其数列当成是加密程序的密钥与加密算法的要求是相当吻合。若密钥完全是随机的，则想破译密很难实现。因此，密钥随机性越强，加密算法就越安全。设计加密时，直接使用异或方式加密，该方法的加密速率是很高的。另外，还要定义一个寄存器变量，采用此变量存取加密时形成的字符，同时也提升了加密的速度。最后，测试程序执行所需花费的时间，也验证了此程序能够快速加密的功能。

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篇8

关键词：房地产价格预测 混沌理论

混沌理论

相空间重构。根据一维时间序列的特征反向构建出原系统的多维相空间，即相空间重构。基本思想是系统任一分量的演化是由系统中的其他分量共同决定的，其演化过程包含着这些分量的相关信息。具体计算方法见关联维数计算。

混沌特性判定：

时间延迟。选择时间延迟τ，使Xn与Xn+τ不完全无关又在某些方面保持独立，使他们能够在重构的相空间中作为独立的坐标处理。本文主要应用去偏复自相关法进行计算。定义m维的去偏复自相关法为 ：

（1）

其中x为序列均值，在实际应用中通常近似无偏。一般情况下：

（2）

因此选取的第一个零点为τ。

关联维数。本文应用G-P算法进行相空间重构和关联维计算。

确定一个较低维数的相空间，由时间序列{X(t)}构造出相空间向量Y(t) ：

（3）

计算相空间中Y(t)的关联积分：

（4）

Tn为n维相空间中向量点Y(t)的个数；ε为给定的向量点“点对”距离；为点对Y(i)、Y(j)的范数距离；θ(x)为赫维赛德函数。若Dm为序列{X(t)}的关联维数，对于ε，当N充分大，ε充分小时，C(ε)应满足下列关系式：

（5）

有关联维数：

（6）

增加空间维数m，当m增加到一定大时，Dm就不再随着m的增加而增加，而是趋于饱和值D。D就是该时间序列中混沌吸引子的关联维数，通常是非整数，一般m≥2D+1。

Lyapunov指数。当一个系统状态是混沌的，它在相空间中的演变轨迹对于初始条件的依赖应该是十分敏感的，这一特性可用Lyapunov指数来刻画。识别混沌运动时通常只计算最大Lyapunov指数。本文采用Wolf法计算Lyapunov指数。

设时间序列x(1)，x(2)，…x(t)，…，嵌入维数m，时间延迟τ，则重构相空间

（7）

设初始点为X(t0)，与最近邻点X(t0)的距离为L0，追踪这两点的时间演化直到ti时刻，其间距超过某规定值ε(ε>0)，L0′=

|X(t1)-X(t0)|>ε，保留X(t1)，并在X(t1)领域内寻找另一个点X1(t1)，使L1=|X(t1)-X1(t1)|

（8）

用最大Lyapunov指数可以度量混沌系统对初始条件敏感依赖性程度：λ1>0，原时间序列x(t)存在混沌吸引子，为混沌状态；λ1

对于混沌系统，在最大预测时间尺度范围内，系统预测误差随预测步长变化比较平稳，反之，误差会被成倍地扩大。因此，最大预测时间尺度被定义为衡量混沌系统可预测程度的一项指标。在系统的平均可预测时间尺度内，预测结果精确度较高。

系统最大可预测时间尺度 ：

（9）

系统的平均可预测时间尺度 ：

（10）

房地产价格混沌预测模型

（一）预测实例介绍

本文采用区域性数据对居民住宅商品房价格进行预测，选取1996-2010年的哈尔滨市居民住宅商品房价格进行短期预测。数据来源为《中国房地产统计年鉴》、《哈尔滨统计年鉴》和哈尔滨网上房地产，共15个数据，如表1所示。

（二）房地产价格时间序列的预处理

为了扩大样本，又不改变样本的性质，应用三次样条插值法扩大样本数量。通过三次样条插值处理，年度数据增加到141个，如图1所示。

（三）房地产价格时间序列的参数

1.房地产价格混沌时间序列的时间延迟。运行Matlab中的相关程序求取时间延迟的曲线（见图2），可以得到时间延迟τ=8。

2.房地产价格混沌时间序列的关联维数。利用Matlab工具箱中关联维数计算程序进行计算。对哈尔滨市房地产系统中从1996年到2010年的住宅商品房价格时间序列{Xi},i=1,2,…15进行状态空间重构，计算其关联维数。

依次构造m（m=2，3，4…）维向量空间Yi(m)(i =1,2,…N ), N=15-m+1。根据计算程序，分别算出每个m维空间向量的Cm(ε)，logCm(ε)，logε。为ε赋予适当的值，得logCm(ε)-logε的相关图形，如图3所示，可以看出哈尔滨市住宅商品房价格时间序列进行的状态空间重构过程中logCm(ε)和logε的变动趋势，根据计算，得到房地产价格时间序列的关联维D=3.539，饱和维数为m=8，关联维数为小数。其混沌吸引子的关联维数不是整数，因此，此时间序列具有混沌特性。

3.房地产价格混沌时间序列的最大Lyapunov指数。利用Matlab工具箱最大Lyapunov指数程序输入。最大Lyapunov指数的程序运行结果为：嵌入维m=3时，λ1=0.0834；m=4时，

λ1=0.0286；无论嵌入维是3、4…15，时间序列的最大Lyapunov指数λ1均为大于零的正值。时间序列的最大Lyapunov指数大于零，说明房地产价格时间序列具有混沌性。

通过相空间重构的关联维和最大Lyapunov指数λ1的计算得出（见表2），房地产价格的时间序列为混沌时间序列，因此可应用混沌理论进行房地产价格预测。其混沌预测模型为时间延迟τ=8，关联维D=3.539，从而进行相空间的重构。

混沌时序预测

（一）RBF神经网络

径向基网络是由一个输入层、一个径向基神经元的隐层及一个线性神经元的输出层组成，径向基网络能较好地拟合任意有限值函数。单变量径向基神经网络非线性时序模型定义：

{Xnp}( p=1,2,…p)为时间序列经过小波分解后不同尺度的高频成分和低频成分，p为模型的输入节点数；vi为输出层神经元与隐层神经元i的连接权；yp是网络输出值；θ为人工神经网络非线性映射，在径向基网络中为径向基函数：

oij为径向基函数的中心，σi为径向基函数的宽度。当网络中的σi、oij和vi值确定后，就能求给出的不同尺度的高频成分和低频成分{Xnp}( p =1,2,…p)时网络的相应输出yp，把不同尺度的yp经过重构后就可以得到原时间序列。

（二）混沌时序的RBF神经网络预测

1.哈尔滨市房地产价格预测。基于MATLAB7软件包神经网络工具箱中的径向基（RBF）神经网络，哈尔滨市房地产价格样本数据共有141个，前面的131个用作训练样本，后面的10个数据则用作测试样本进行数据对比。以相空间重构的饱和维数8作为径向神经元的输入，进行网络训练。房地产价格的实际值与预测曲线图见图4，相对误差见表3。

文中将15年内的房地产价格进行三次样条插值，将一年分为10个部分取得样本价格，一部分代表1.2个月。由图5和表4可知，进行RBF神经网络预测取得的预测值和实际值比较接近，最大误差为

1.82%，平均相对误差为0.67%，误差低于1%的占60%，预测准确度均超过98%；在前三个月内最大误差为1.23%，平均误差为0.74%。根据公式(11)和公式(12)得最长预报时间为11.99（1年4个月），平均可预报时间为2.81（3个月）。计算结果与此结论完全符合，在最长可预报时间内，平均相对误差为1.82%，在平均可预报时间内最大误差为1.23%，即预测结果在3个月之内精度很高，在三个月之后有所下降。

2.未来房地产价格预测。基于以上理论模型和房地产价格时间序列，并结合哈尔滨市2011年上半年住宅商品房价格，对于2011年7-12月和2012年1-4月的房地产价格进行混沌预测。取得预测结果见表4。根据上文可知，在样本中，一部分代表1.2个月。根据最大可预报时间11.99可得到最长可进行1年4个月的房地产价格预测，而由平均可预报时间为2.81可知，在3个月内的价格预测最为准确。再由测试样本的误差测算得到，10个月内的预测误差均在可允许范围内。因此，本文对2011年7-12月和2012年1-4月的房地产价格在可预测范围内进行预测，得到的预测精确度较高，预测结果较为准确。

由预测数据结果可以看出，房地产价格从2011年7月份开始出现下降趋势，显现房价拐点，虽在2012年开始又出现上升，但随即又呈现下降趋势，并且此时房地产价格仍远低于之前的房地产价格，这与我国现行的房地产价格调控政策相吻合。由此可见预测的准确性，并且房地产价格在未来一段时间内一直处于下降趋势。

本文通过仿真模拟得出：混沌理论和RBF神经网络结合可进行高精度的房地产价格短期预测，具有优越性和可行性，为房地产价格预测提供了一种新的途径。

参考文献：

1.刘洪.经济系统预测的混沌理论[M].科学出版社，2003

篇9

关键词： 线性反时间 混沌理论 信号延迟技术 仿真 实验

1.简介

信号延迟技术是相关处理中的关键技术，已经在通信和雷达领域得到广泛的应用［1―9］。传统的信号延迟技术通常采用同轴电缆线、声表面波延迟线、光纤延迟线和数字射频存储等技术。但传统的信号延迟技术都是有限带宽的，延迟后的信号性能由这些方法的通带带宽决定。混沌信号作为理论上具有无限带宽频谱的宽带信号，传统延迟技术的带宽限制必然会恶化延迟后的信号性能。

为此我们提出了一种基于线性反时间混沌理论的混沌信号延迟技术。线性反时间混沌理论是由文献［10―14］提出的，该理论证明了噪声驱动的线性系统能产生反时间混沌（reverse-time chaos）。我们利用线性反时间混沌理论研究混沌信号的延迟技术，由于反时间混沌信号与混沌信号有相同的频谱和自相关函数，在相关处理中没有区别，因此下文中不对反时间混沌信号与普通混沌信号加以区分。我们利用数字系统产生脉冲信号和延迟后的脉冲信号，将其分别通过相同的线性滤波器得到反时间混沌信号和延迟的反时间混沌信号。文中通过理论阐明了该混沌信号延迟技术，并经由仿真和试验进行了验证和分析。

2.线性反时间混沌理论

本节简单介绍文献［10―14］中的线性反时间混沌理论。首先，我们从非线性混沌映射开始，考虑如下混沌映射：

z=2zmod1（1）

其初始条件0≤z＜1。如果状态变量z写为一个二进制分数，（1）式中的映射将可以看成左移然后舍去整数位的操作。在有限精度实现映射（1）时，假设初始条件z=0.11101101，那么将有z=0.1101101?。其中?意味着一个比特的新信息，其可以看作初始条件z取有限精度值时舍去的信息。后续的迭代继续每次一个比特的左移出新的信息，而确定性系统的这种产生新信息的能力解释了混沌系统对初始状态的极度敏感性。

由文献［10―14］的线性反时间混沌理论，与混沌系统（1）相应的反时间混沌映射可以描述如下：

y=（2）

其中初始条件0≤y

类似于离散映射，连续的反时间混沌信号可以由受驱动的二阶线性系统产生

+2β+（ω+β）x=s（t）（3）

其中x（t）为标量状态变量，β>0为衰减率，ω为阻尼振荡的频率。驱动信号s（t）为随机产生的脉冲。系统（3）通过类似离散系统（2）的机制产生反时间混沌信号，详细证明参见文献［11］。下文中，我们以系统（3）为混沌信号源的基本模型。

3.信号延迟技术

本节阐述混沌信号延迟技术。首先设u=x和v=，那么系统（3）可以表示为如下动力系统：

=-2βv-（ω+β）u+s（t）=v（4）

然后，我们构造一个与之相似的动力系统

-2 -（+）+s（t-Δt）-=（5）

其中，当=β，=ω时，系统（4）与系统（5）的不同只在于驱动信号s（t）和s（t-Δt）。下面我们证明系统（5）产生的信号将是系统（4）的延迟信号。

定理1：当=β，=ω时，对任意初始值的系统（4）和系统（5），其解有如下关系：

|（t）-u（t-Δt）|=0（6）

证明：设系统（4）与系统（5）的状态变量误差为e=v（t-Δt）-、e=u（t-Δt）-，误差系统可以由公式（4）（5）得到：

=-2βe-（ω+β）e=e（7）

构造李雅普诺夫函数L=e+（ω+β）e，利用公式（7）可得到其一阶导数。

=2e+2（ω+β）e

=2e［-2βe-（ω+β）e］+2（ω+β）ee

=-4βe≤0（8）

根据李雅普诺夫稳定性理论，可从（8）式的结果判断公式（7）表示的误差系统在原点全局渐进稳定，因此有：

|e（t）|=0

?圯|（t）-u（t-Δt）|=0

由此得证。

由定理1可知，要延迟系统（4）产生的信号u（t），只需要延迟驱动信号s（t）。因此我们提出的延迟技术，如图1，由数字系统产生噪声序列，一路经数模转换得到驱动脉冲s（t），然后驱动线性滤波器（4）得到反时间混沌信号u（t）。另一路数字延迟后再数模转换得到脉冲s（t-Δt），然后驱动（5）式的系统，得到延迟后的信号u（t-Δt）。这种方法利用便于延迟的数字信号驱动滤波器直接产生延迟后的宽带混沌信号，解决了宽带混沌信号延迟的难题。

4.数值仿真

本节通过仿真验证信号延迟技术，分析该技术在参数失配时的鲁棒性。仿真中，设β=ln2，ω=2π，驱动信号s（t）为由标准正态分布的噪声量化后产生的脉冲信号。如图2a所示，s（t）的幅度为±1，脉冲宽度为1秒。线性系统（4）产生的反时间混沌信号u（t）如图2b，图2c中为信号u（t）的频谱，从其平坦的特性可以看出反时间混沌信号有和混沌信号相似的频谱特征，因此也将有相似的自相关特性。

延迟的信号由系统（5）产生，理想情况下=β=ln2，=ω=2π，图3a和图3b分别画出了Δt=0和Δt=1时的信号u（t）和（t）。图中可以看出，本文提出的信号延迟技术有效的获得了延迟信号。为考虑信号延迟技术在参数失配时的鲁棒性，我们令Δt=0，并分别变化和，使和逐渐离开理想值β和ω，然后计算各个情况下的信噪比（u）/（（-u））来衡量此刻信号延迟技术的性能。图4a所示的是以（-β）/β为自变量，以（u）/（（-u））为函数的仿真结果，以（-ω）/ω〉为自变量，（u）/（（-u））为函数的结果显示在图4b中，其中图4结果中的每个点都由100次独立试验的平均得到。图4结果表明，本文提出的信号延迟技术在参数失配时具有鲁棒性。

5.试验结果

本节给出本文推荐的混沌信号延迟技术的试验结果。试验系统的结构如图5所示，脉冲驱动信号由EPF10K10LC84-4，ALTERA系列FPGA实现的数字系统产生，脉冲重复频率为16kHz，组成线性滤波器的元器件参数分别为L=6.8mH，C=132pF，R=150Ω。图6a为用于驱动的脉冲信号和输出信号u（t），图6b为由电容两端电压和电阻两端电压画出的吸引子图。图6验证了简单结构的线性系统能产生反时间混沌信号，其具有和混沌信号相似的波形和吸引子。为验证延迟技术的实用性，我们搭建了两个完全相同，如图5所示的系统，分别产生反时间混沌信号和其时延信号。图7为两个系统的输出信号，其中图7a和图7b所示分别是延迟为0和延迟为6.25×10时的结果。图7表明，本文推荐的混沌信号延迟技术可以方便地由实际系统实现。

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图6 线性反时间混沌。（a）驱动脉冲和反时间混沌信号波形，（b）以电容两端电压和电阻两端电压分别为横轴和纵轴的吸引子图。

6.结语

本文提出了一种基于线性反时间混沌理论的混沌信号延迟技术，该技术利用易于实现的数字延迟技术产生时延的脉冲信号，再由脉冲信号驱动线性系统直接产生时延的混沌信号。我们通过仿真和试验对该技术进行了验证和分析。

本文思路类似于文献［15，16］，不同的是文献［15，16］中以脉冲信号驱动非线性系统直接产生延迟的混沌信号，而本文延迟的混沌信号由线性系统产生。线性系统与非线性系统相比，其稳定性易于控制，系统结构相对简单。基于线性反时间混沌理论的混沌信号延迟技术在参数失配时具有鲁棒性，这也是非线性系统所不具备的。因此相对文献［15，16］，本文的技术更有可能在通信和雷达系统中得到实际的应用。

参考文献：

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篇10

关键词：混沌经济、研究、发展

混沌经济学的兴起

混沌经济学(chaoticeconomics)，也称为非线性经济学（nonlineareconomics），是20世纪80年代兴起的一门新兴的学科，是指应用非线性混沌理论解释现实经济现象，在经济建模中充分考虑经济活动的非线性相互作用，在模型的分析上充分利用非线性动力学的分叉、分形和混沌等理论与方法，分析经济系统的动态行为，以期产生新的经济概念、新的经济思想、新的经济分析方法，得到新的经济规律的一门新兴交叉科学。

传统经济学自亚当·斯密1776年《国富论》问世以来，已逐步在西方经济学中确立统治地位。“完全竞争”市场的自动调节机制在瓦尔拉一般均衡理论和马歇尔的“均衡价格论”体系上取得规范的形式，并在经典科学的基础上建立了一整套分析方法。实际上，传统经济学所构建的经济分析框架，是牛顿力学的绝对时空观（即均衡流逝的绝对时间和恒等且不动的绝对空间）和拉普拉斯决定的可预测宇宙观（即一个单一的公式可以解释所有的现象并结束不确定性）在经济领域的重现。而从现状经济角度看，由于种种意外因素的存在和人类所面临的不确定性。不确定性是现实经济运行过程中最主要的特征之一。自然地，混沌学作为一种科学范式也就成为经济学家们研究经济系统的复杂性、不确定性和非线性的有力工具，成为社会、经济、技术预测的有力工具。混沌经济学(或非线性经济学)已经成为当代经济学研究的前沿领域，并取得迅速的进展。

在文献中正式使用混沌一词的是李天岩和Yorke，他们在1975年发表的题为《周期三蕴涵混沌》的文章中对最简单的数学模型，即只有一个变量的模型，证明了一个重要定理，开启了近代混沌现象研究的先河。下面我们用f表示只有一个变量的函数略加说明。系统(即f)可能是周期的。同是周期现象有一个周期长短的问题。这个定理的第一部分说明，如果这样的系统有一个3周期点，即存在初始值x，使得x，f(x)，f2(x)两两不等，但x=f3(x)1，它就存在以任意整数为周期的周期点。周期现象重要，但非周期现象更重要。为此我们引进一个术语。对任意初始值或点x，x在f的迭代作用下的轨道，是一个点列。如果这个点列收敛到一个固定的点，即系统向一个固定的目标运行。如果系统不向一个固定的目标运行，情况就变得复杂了。定理的第二部分说明，存在由不可数无穷多点或初始值组成的I的子集合S，其中任意不同两点在同步迭代作用下的轨道时而聚拢，时而分离。这个现象说明，如果系统的初始值选在S内的点上，那么系统的运行就将是复杂多变的和不可预测的。也就是出现了混沌现象。1982年6月和1983年5月美国经济学家戴(Day)发表的“非规则增长周期”、“经典增长中显现的混沌”完成了混沌经济学理论上、实验上的突破，以1987年“黑色星期一”为契机，混沌经济学形成了一股不小的研究热潮，使混沌经济学开始步入主流经济学的领地。

经济系统的混沌性

在研究对象和研究方法上，混沌经济学与传统经济学都是利用提出假设，利用数学工具通过规范推演和实证检验来揭示社会经济现象的客观规律；但是由于客观地认识到经济系统的非均衡、非线性、非理性、时间不可逆、多重解和复杂性等特点，混沌经济学在研究和解决问题的具体思维方式和假设前提上以及确切的方法论上，与传统经济学存在显著差异。

混沌经济学假设关系是非线性的，认为经济系统所呈现的短期不规则涨落并非外部随机冲击的结果，而是系统内部的机制所引起的。经济系统中时间不可逆、多重因果反馈环及不确定性的存在使经济系统本身处于一个不均匀的时空中，具有极为复杂的非线性特征。非对称的供给需求、非对称的经济周期波动(现已证明：经济周期波动呈“泊松分布”而非“正态分布”)非对称的信息、货币的对称破缺（符号经济与实物经济的非一一对应）、经济变量迭代过程中的时滞、人的行为的“有限理性”等正是这种非线性特征的表现。

混沌经济学的方法论是集体(整体)主义，即“理论必须根植于不可再分的个人集团的行为”。在混沌经济学看来，经济系统由数以百万计的个体和组织的相互作用所决定，而每一个个体和组织又涉及到数以千计的商品和数以万计的生产过程，因此，个体行为并非是一种孤立的存在，仅仅完备地认识个体的行为并不能使我们掌握整个经济系统的演化状态。运用整体主义的方法论，混沌经济学在经济增长、经济波动、股市涨落、厂商行为、汇率浮动等领域进行探索，得出了经济波动源于经济系统的内生机制而非随机震荡、非均衡是经济系统的常态、杂乱无章的经济现象背后隐藏着良好的结构而非随机状态等一系列在新古典个人主义方法论下所无法得到的、更符合现实的结果。

混沌经济学的时间概念是时间具有不可逆性。认为系统的演化具有累进特征(积累效应)，时间之矢是永远向上的。随着时间的演进，系统总是不断地具有新的性态，绝不重复，原因与结果之间的联系并非唯一确定的，是一种循环因果关系。因此，混沌经济学的一个核心命题是“对初始条件的敏感依赖性”(亦称“蝴蝶效应”)。用通俗的语言来说，混沌系统象一个放大装置，可以将初始条件带进的差异迅速放大，最终将真实状态掩盖，从而实质上导致长期演变轨道的不可预测性。

混沌经济学更注重对递增报酬的研究，认为经济系统在一定条件下（指系统结构演化的各种临界值），小效果的影响力不但不会衰减，而且还倾向于扩大。而这种小效果的扩大趋势也正是由非线性动力系统内的本质特征所决定的。混沌经济学并不排除理性因素，只是认为那种完全理性的假设是不现实的，只有将理性因素和非理性因素综合起来考虑才更符合现实。它认为混沌这种表面上看起来是随机的现象后面隐藏着一定的规律性和秩序，如奇异吸引子、分支、窗口等。混沌学研究的内容就是找出其中存在的规律和秩序，并将事物发展的必然性和偶然性，几率描述和决定论描述统一起来，最后再将研究结果作为工具去解决实践中困扰我们的复杂性难题。

受到众多自然、富有创建性思想体系综合启发的混沌经济学，其思想根基比传统经济学触及更广的自然科学领域，因而也就开阔了它的经济研究视野。

混沌经济学的发展方向

国外的混沌经济学已涉及经济周期、货币、财政、股市、厂商供求、储蓄、跨代经济等几乎所有经济领域。鲍莫尔(Baumol)和沃尔夫(E．Wolff)等人从微观经济角度研究了混沌经济问题。1983年他们在考虑企业的研究开发(R&D)支出水平与企业生产增长率之间关系时发现，在R&D支出水平占企业销售收入的比例到达一定范围时，企业的生产增长率就会呈周期性或混沌态。1985年，鲍莫尔(Baumol)和夸得特(Quandt)发表了论文“混沌模型及可预测性”，研究了利润与广告的关系模型：Pt＝ayt(1一Yt)式中Pt为t时的总利润，Yt为t时的广告支出．他们假定厂商按本期利润的一个固定比例b用于下一期的广告支出，即Yt1＝b×Pt，则在a×b＝α的条件下，可得到Yt1＝α×Yt(1一Yt)；研究表明，这种关系模型经一段时间后，就会出现大幅度振荡，甚至出现混沌。戴(R．Day，1982，1983)研究了包括人口净自然出生率、生产函数和平均工资收入的古典经济增长模型，在最大人口数量时的收入若低于维持最低生活水平所需的收入时，人口的变化将会出现混沌状态。他和本哈比(Benhbib，1981)还研究了不同消费倾向将会产生不同的消费者行为：穷人的消费选择很可能是相当稳定的，而富人的消费行为则可能是周期波动的，甚至是混沌的。博尔丁(Boldrin，1988)的研究表明，经济现象的不规则波动是受到市场力、技术变革和消费倾向三者共同作用下经济系统内生决定的结果。鲁塞(J．B．Rosser，l993)等人以东欧集团国家的经济变革作了实证说明。中央计划的社会主义经济既会出现周期性波动，也会出现混沌，而进入混沌的条件，往往也是将要发生经济制度变革之时。1992年，底考斯持（D．P．Decoster）和米契尔(D．W．Mitchell)研究了货币动力系统混沌问题。布劳克(Brock，1988)、沙因克曼(Schenkman)和莱伯伦(LeBaron，1986)等人提出了用关联性、“搅拌”、“残差”等方法诊断经济时间序列的混沌性。索耶斯(Sayers)、巴雷特(Barnett)和费兰克(Frank)等人也都在股票证券、外汇交易、期货等市场产生高频经济数据的经济活动中找到了低维混沌吸引子。这意味着只需少数几个经济变量就可以描述这类复杂的经济现象。