高一函数的单调性范文

导语：如何才能写好一篇高一函数的单调性，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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函数是高中数学最核心的概念，函数和方程思想是重要的思想方法。高中函数的性质是指函数的单调性、奇偶性和周期性，课程标准要求为：通过以学过的函数，特别是二次函数理解函数的单调性，最大（小）值及几何意义，结合具体函数，了解奇偶性的含义，了解函数的周期性。

一、数学的抽象性必须以具体为基础

函数的性质在教学过程中的安排：大纲版教材，高一上学期学习“函数”这一章节单独学习函数的单调性，高一下学期学习“三角函数”这一章，借助正弦函数的性质导出函数的奇偶性和周期性。在课标人教版高中数学教材中，高一上学期学习“集合、函数概念与基本初等函数”这一章节学习函数的奇偶性和单调性，高一下学期学习“三角函数”这一章，借助正弦函数的性质导出函数的周期性。

二、直观化是从具体上升到抽象的辅助手段

数形结合使抽象的概念关系得以直观化、形象化，有利于分析发现和理解概念，故讲授函数性质要充分利用函数图象。在讲授函数的单调性时，我们要充分利用已学过的一次函数、二次函数及反比例函数，特别是二次函数的图象来认识函数的单调性，使单调性得以直观体现，并经历由图形化理解、关系化理解再到离散化理解三个阶段。

三、抽象性要以具体性为归宿

从抽象的数学内容进一步过渡到实践，即过渡到更广泛、更丰富的具体对象，是认识事物更关键、更本质的阶段。

四、从抽象到抽象是对学生抽象思维能力的检验

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函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．

对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）用准确的数学符号语言刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标．重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

三、教学方法和教学手段的选择

本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．

四、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：

（1）在探索概念阶段， 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．

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关键词：二次函数、单调性、最值

中图分类号：G633.6

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。下面我把自己在多年的职高数学教学中对二次函数在高一数学中具体应用做一个小结。

一、可以帮助学生进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射 :AB，使得集合B中的元素 与集合A的元素X对应，记为 这里 表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知 ，求

这里不能把 理解为 时的函数值，只能理解为自变量为 的函数值。

类型Ⅱ：设 ,求

这个问题理解为，已知对应法则 下，定义域中的元素 的象是 ，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

(1)把所给表达式表示成 的多项式。

，再用 代 得

(2)变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令 ，则 从而

二、进一步论证了二次函数的单调性与图象。

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数 在区间 及 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学次函数有关的一些函数单调性。

类型I：函数 在区间 上单调递减，求：实数 的取值范围

解：因为函数 的图象的对称轴为直线 ，且在区间 上单调递减，所以

，即

类型Ⅱ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

三、巧妙求二次函数的最值

解决二次函数在给定区间上的最值问题，核心是对函数图象的对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论，一般分为对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况。

1、 正向型

正向型指已知二次函数的解析式和定义域，求其最值。对称轴与定义域的相对位置关系的讨论是解决此类问题的关键，此类问题包括三种情形：轴定，区间定；轴定，区间变；轴变，区间定。

轴定，区间定

类型I：已知函数 ，当 时，求最大值和最小值。

解：

当 时， ，则当 时， 取得最小值 ，当 时， 取得最大值 。

轴定，区间变

类型Ⅱ：设函数 ， ，求函数 的最小值。

解： ， ， ，对称轴为 。

当 ，即 时，函数 在区间 为减函数，所以最小值为

当 ，即 时，在对称轴为 处取得最小值，最小值为

当 时，函数 在区间 为增函数，所以最小值为

综上可知， ，

，

，

轴变，区间定

类型Ⅲ：求函数 在 上的最大值

解： 的对称轴为

当 ，即 时， 在 上的最大值为

当 ，即 时， 在 上的最大值为

当 ，即 时， 在 上的最大值为

综上可知， ，

，

，

2、 逆向型

逆向型指已知二次函数在某区间上的最值，求函数解析式或区间中的参数值。

已知函数 在区间 上有最大值 ，求实数 的值。

解：

当 时，函数 在区间 上的值为常数 ，不符合题意，舍去

当 时，函数 在区间 上是增函数，最大值为 ，解得

当 时，函数 在区间 上是减函数，最大值为 ，解得

综上可知， 的值为 或

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关键词： 高考数学 概念教学 基本思路 单调性

笔者继2011年高考阅卷后又有幸参加了江苏省2015年数学高考阅卷，批阅的正好是19题.第（1）问是含参的三次函数单调性讨论的基础题，预测本问得分率应该不低.而实际批改时情况却很糟糕，最终此问均分不过四点几分.主要问题有：（1）求完导后无思路;（2）不知道a对进行分类讨论;（3）单调区间乱放并.针对本小题出现的问题，笔者进行了反思，并结合平时教学中的措施和体会，谈谈如何从理解概念和掌握基本思路两个方面让学生不功亏于基础题，以期抛砖引玉.

一、治疗区间乱放并，理解概念是良药

19题（1）问主要错误之一是单调区间乱放并.教师在平时教学中对此问题已是苦口婆心，然而盲点依然“逍遥法外”.是学生笨吗？这个问题真的很难？都不是.是学生没有真正理解单调性定义中的“任意”.而“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”――中国科学院李邦河院士（数的概念的发展.《数学通报》，2009，8）.因此，重视概念教学毋庸置疑.笔者针对单调性定义的理解作了如下习题教学设计：

例1：画出下列函数图像，并写出单调区间：

（1）y=-x+2; （2）y=（x≠0）

设计意图：本例来源于课本，旨在反映单调性是局部性质：即函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数.但（2）是学生的一个盲点，而且正确与否直接反映学生对单调性定义的理解与否.所以不可操之过急，要动之以情.以下记录的是笔者精心设计的片段：

生1：（2）中函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），单调减区间也为（-∞，0）∪（0，+∞）.

师：此函数图像在整个定义域上都是单调递减吗？请从左往右仔细观察图像.

生2：函数的单调减区间有两个：（-∞，0）和（0，+∞）.函数图像整体上从左往右看不是下降的.

师：很好.从形的角度解释本题的两个单调减区间之间不能放并.所以同学们要养成画草图看单调性的习惯.同学们能否再从单调减区间定义出发说明不能放并呢？

生3：在区间（-∞，0）∪（0，+∞）中取-1和2，-1

师：很好.通过找到一个反例，发现与单调减区间定义中的“任意”矛盾.从数的角度再次说明这两个减区间之间不能放并.所以本题答案：单调减区间是（-∞，0）和（0，+∞）.放并就变成一个了.

练习1：根据下列函数图像，写出单调区间.

（1） （2）

（3） （4）

答案：（1）增区间为（-∞，0]和（0，+∞）

（2）增区间为R

（3）增区间为（-∞，0]∪（0，+∞）

（4）减区间为（-∞，-2.5）和[1，+∞），增区间为[-2.5，1]

设计意图：由于高一学生基本初等函数图像模型掌握较少，因此可以设计性地给出函数图像，在丰富学生的图形库的同时，通过练习对比：图（1）（4）不能放并，图（2）（3）要放并，让学生从形的角度真正理解“并”的去留，而并非教师口中通常所说的单调区间不能放并.

练习2：（苏教版必修1课后练习P408）判断下列说法是否正确：

（1）若定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞）上也是单调增函数，则函数f（x）在R上是单调增函数.

（2）若定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调增函数，在区间（0，+∞）上也是单调增函数，则函数f（x）在R上是单调增函数.

设计意图：练习1是从图形直观感知，练习2旨在让学生自己通过画图并适当进行代数说理进行判断正误.如果学生能将练习1中的四个图纳为己用，解决练习2，那么体现的不仅是学生图形库的丰富，而且是在灵活应用中对单调性的认识上升到了理性层次.

二、重重障碍不可怕，基本思路定心丸

19题（1）问中通过设置参数考察了分类讨论的思想，这是高中重要的思想方法之一，它体现了思维的严谨性和全面性，对思维的要求较高.然而将这样的思想方法放在第一问，是不是意味着第一问就变成了难题呢？非也.

数学中很多问题都有其解决的基本思路，有时我们认为一个问题较难，只是因为在基本思路的某一步或某几步中设置了一些障碍.例如用导数研究单调性的基本思路如下：

S1：求定义域

S2：求f′（x）

S3：判断方程f′（x）=0在定义域内是否有根

S4：列表画草图

S5：写出单调区间

出现求完导后无思路的情况显然是未掌握用导数研究单调性的基本思路，若再添加几个参数干扰，则自然无所适从.而不知道对a的范围进行讨论的考生大多数没有列表，不然就会考虑到0与-a是如何分割定义域的，分类讨论自然水到渠成.考生如果理解单调性的定义，养成画草图的习惯，那么不论是从形还是数的角度都不会乱放并的.所以，掌握了基本思路，即使在多个步骤设置障碍，也不会黔驴技穷.

数学中还有很多其他类问题都有解决的基本思路，如：二次函数求最值、用导数研究函数最值、解一元二次不等式.这些问题中都可以通过设置参数考察分类讨论思想增加难度，但仍然属于基础题.令人不解的是，栽在这几类问题上的学生每届都有.如果教师授予的是基本思路，并在平时教学设计中多体现障碍可能出现在哪几步，那么学生做此类问题时定有“会当凌绝顶，一览众山小”之感.

高考中，基础题是学生踏进象牙塔的前提.如何助学生不失江山于基础，笔者认为平时教学中要注重概念教学.除了重视概念的生成外，还要针对概念理解中的盲点，精心设计，充分发挥教材例题和习题的作用.此外，教师还要教给学生解决某一类问题的基本思路，让学生认识到障碍可能出现在哪几步中，给学生一颗定心丸.这样，学生才能在高考中稳操胜券地拿下基础题.

参考文献：

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数学教学过程总是充满了矛盾，如教与学的矛盾、学生认知特点与数学学科特点的矛盾、学生认知发展水平与数学教学内容的矛盾等.有矛盾才能有发展，其中，学生现有的知识基础、能力水平与教学要求之间的矛盾是数学教学的决定性动力.作为教师，应努力做到敏锐地发现、深刻地认识各种矛盾，进而在教学中科学合理地暴露、“创设”甚至“激化”矛盾，以帮助学生在解决矛盾的过程中发展自己的认知结构、提升自己的数学素养，这可以充分体现出教师的专业水平、教学能力与教学智慧.

“函数的单调性”是反映函数变化规律的一个最基本的性质，是学生学习了函数概念后研究的第一个函数性质，也是学生在高中阶段遇到的第一个用数学符号语言刻画的概念，对学生进一步学习函数的其它性质具有示范和引领作用.本节课汇集了数学教学的诸多矛盾，如何在教学中处理好这些矛盾，特别是其中的主要矛盾，对每个数学教师都是一项极具挑战性的任务.笔者认为，“函数的单调性”教学，关键是要深刻认识、科学处理以下“三个矛盾”.1 “上升”、“下降”、“单调”等名词的数学意义与学生的生活理解之间的矛盾

“函数的单调性”教学，通常是从现实生活入手——展示某地某天的气温变化图、举出生活中描述“升降”变化规律的成语（如蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏）并画出相应的函数图象等，然后让学生观察得到：函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，而在另一个区间内呈下降趋势，此时教师指出：函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性，接下来引导学生用自然语言进行描述，并体验单调性是函数的局部特征（教师可在此处提前介绍“增函数”、“减函数”、“单调区间”等名词）.

这里，“上升”、“下降”、“单调”的数学意义与学生在日常生活中的理解有一定的“矛盾”：在生活中，若从A到B是“上升”，则从B到A就是“下降”，如同“上坡”“下坡”那样，仅仅考虑了铅垂方向；而在数学中，若x增大时y也随之增大，则称函数y=f（x）“上升”，若x增大时y随之减小，则称函数y=f（x）“下降”，是水平与铅垂这两个方向的“合成”.在生活中，“单调”是指“重复而缺少变化”；而在数学中，“单调”是指“随着自变量的增大，函数值始终增大或始终减小”，是不断变化的.对此，有些学生可能会因区分不清而产生错误理解.例如，对于函数y=x2（x≥0），有学生认为：x由小到大时，y是“上升”的，x由大到小时，y是“下降”的；又如，对于函数y=2，有学生认为它是“单调”的，理由是“y始终没有变化”.

因此，在本节课的教学中，教师应明确地指导学生将数学名词与日常概念区分开：

（1）对于同一段函数图象来说，在数学上它究竟是“上升”还是“下降”，应该是确定的，不能产生歧义.因此，我们选择x轴正方向作为参照，从左往右，沿着图象“策马前行”，函数图象的“上升”“下降”就有了统一的规则和统一的结论；

（2）数学上的“单调”，其本身也含有“重复而缺少变化”的意味，但它不是指函数值始终保持不变，而是指函数在某个区间“上升”“下降”（或“增加”“减少”）具有不变的规律性，反映的是一种“变中的不变性”，当然也显得“单调”.

2 学生已有的知识基础和认知习惯与新知学习的必要性之间的矛盾

我们知道，“精确定量思维方式”是数学教育所能给予学生的最重要和最基本的数学素质，也是培养学生理性精神的最好体现.在高中阶段，“函数的单调性”定义之所以要进一步符号化（形式化），正是基于数学精确化、严谨性的要求.只有这样，学生才可以通过准确的计算进行推理论证，以保证结论的严密性，在此过程中逐渐培养并形成“算法的思维”.

然而，学生在初中已经接触过一次、二次、反比例函数，对函数的单调性已经初步有了直观形象的认识：图象从左往右上升（y随x的增大而增大）是增函数，图象从左往右下降（y随x的增大而减小）是减函数.他们会觉得这种定义通俗易懂、易于接受，用它解决函数的单调性问题时也没遇到过什么困难，进而产生疑问：为什么还要费尽周折地去学习符号化（形式化）定义呢？岂不是“多此一举”！学生一旦在心理上排斥新知，那么教与学的效果都将大打折扣，这是一个很重要的问题.

因此，在学习抽象的定义之前，教师应针对性地设置“认知冲突”，以便让学生充分体验到学习新知的必要性，增强研究的兴趣和积极主动性.例如，可让学生依据函数单调性的图象特征或自然语言描述，尝试判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.由于学生对该函数的图象性质并不熟悉，因此无法判断函数图象呈现什么样的变化趋势，也难以根据函数解析式描述其变化规律.此时，学生就会自然意识到自己知识上的欠缺，认识到用精确的数学语言刻画定义的必要性，从而进入一种“愤悱状态”，产生较强劲的学习动力.

3 学生现有的思维水平与函数单调性定义的思维要求之间的矛盾

这是本节课教学的核心矛盾.刚进入高一的学生，其思维处于从经验型水平向理论型水平转变的阶段，仍然偏于简单化、直 观化，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.函数单调性的定义，是数学概念形式化的典型案例，具有高度的抽象性.从“随着x增大，y也增大”这一自然语言转换到“对于某区间上任意的x1<；x2，有f（x1）<；f（x2）”这一数学符号语言，跳跃性较大，学生非常不习惯，特别是为什么要用“任意”二字，在区间上“任意”取两个大小不等的x1<；x2，通过比较f（x1）与f（x2）的大小来刻画函数的单调性，学生更是感到难以理解，容易产生思维障碍.

为此，教师应精心设置一系列问题，让学生充分参与函数单调性定义的符号化过程，感悟数学的研究方法，积累基本的数学活动经验.首先，要紧紧抓住新旧知识间的内在联系，使得形式化定义是在文字语言描述的基础上自然“生长”出来的，而不是“天上掉下个林妹妹”.其次，对于单调性概念中“自变量不可能被穷尽”这一本质（也是难点），应及时唤醒学生已有经验，使他们自然想到用“任意”突破“无限”.最后，对于学生中出现的错误认识，应引导他们结合具体例子（最好是由学生自己举出）、分别用图形语言和文字语言进行辨析，以逐步形成对概念正确、全面而深刻的理解.

以下是笔者施教这一环节时的具体设计：

问题1 如何用符号化的数学语言来表述“当x增大时，函数值f（x）随之增大”？

教师引导学生分析其中的关键词“增大”的含义及其符号表示，得出：增大，刻画的是一种相对性，说明第二个量比第一个量大，它是两个数值之间的大小比较.因此，可将x的第一个取值记为x1，第二个值记为x2，则将文字语言“当x增大时，函数值f（x）随之增大”用符号语言表示即为“当x1<；x2时，f（x1）<；f（x2）”.

问题2 能否取满足x1<；x2的若干组具体数值，只要验证相应的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以断定函数f（x）的单调性？

教师应尽量放手让学生思考讨论，若学生作肯定回答，则追问“为什么”；

若学生作否定回答，则让其举出反例，以不断完善学生的认知结构，必要时教师应进行引导：

以函数f（x）=x2（x∈R）为例，由于自变量x的取值“无限”，因此，不论验证多少次也无法穷尽.虽然当-1<；2<；3<；…时，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但这并不能保证f（x）=x2（x∈R）的图象从左往右始终“上升”.可见，具体验证是不可靠的.

问题3 在此之前，你有没有遇到过“无法穷尽”的情况？当时是怎么处理的？

教师引导学生回忆“子集”的证明方法：设A、B是两个无穷集合，要证明AB，逐一验证A中的每一个元素都属于B是不可能的，于是，为了突破“无限”这个障碍，就一般性地“任取”一个元素x∈A，只要能证明x∈B就行了.

至此，学生不难理解，在函数f（x）的单调性中，x1、x2也应该是“任意”的.

问题4 设区间D是函数f（x）的定义域I内的某个区间，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）来刻画函数f（x）在区间D上是增函数、减函数呢？

学生尝试用数学符号语言表达单调增（减）函数的定义，师生共同修正.在此过程中，学生可能会有一定的模仿的成分，这也是一种内化的过程，对初学者来说是正常的，也是必要的.

问题5 请你尝试利用上述定义判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.

这是对前述“遗留问题”的呼应，由学生尽量独立完成，教师可在“作差”、“变形”等关键环节适时予以指导，解决该问题后，师生共同概括出用定义证明函数单调性的一般步骤.显然，由之前的“不能”到现在的“能”，既加深了学生对定义的理解与掌握，也体现了定义的应用价值，学生从中可以获取成功的学习体验和心理上的满足感.

问题6 判断下列说法是否正确，并说明理由.

（1）设函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），若取x1=0，且对于任意的x2>；0，都有f（x2）>；f（0），则f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；

（2）下图是三个分段函数（定义域均为R）的图象，它们都是R上的增函数；

（3）反比例函数y=1x的单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）.

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摘要：实施素质教育，要求之一就是在教学中要面向全体学生。但就目前各校各班的学生状况看，就学习成绩而言，参差不齐，且差异较大。那么，在课堂教学中，如何设计教学过程，才能真正体现面向全体，才能使不同层次的学生都得到发展和开发，都能获得较大的收益，这就是我们在课堂教学中必须认真考虑的一个问题。“低起点、多层次”教学法，给出了一种尝试。

关键词：低起点、多层次、面向全体。

一、问题的提出：

据大连市现行的初升高招生政策，即使是重点高中，每届学生的入学成绩也是参差不齐，且成绩差异较大。即对高一新生而言，原有基础不等，又由于初升高试题重考察学生能力不够，使得有些靠初中用功学习而升入重点高中的学生，因高中学习理性要求较初中强或因学习方法不当而不适应，又要产生一些入学成绩较高不适应高中学习的成绩差生，而实施素质教育要求在教学中要面向全体学生，那么，如何设计教学过程，才能真正体现这一点呢？对此，我做了“低起点、多层次”教学试验，收到了较好的效果。

二、“低起点、多层次”及其做法

所谓“低起点”，就是在分析教学内容和了解学生的基础上，适当放低教学过程的起点，使全班学生从教学过程开始，都能进入到教学活动中去。

所谓“多层次”，就是在分析教材知识结构与学生认识发展过程的基础上，将教学内容及其所要达到的教学目标分解为若干个由低到高的梯度较小而又层次分明的问题，使绝大多数学生都能在这些问题的引导下，一步一个台阶上到本节教学所要达到的基本目标，同时又使学习基础好的学生能上到尽可能高的层次，达到较高的教学目标。

“低起点、多层次”教学思想用一句话来表示就是：适当放低教学起点，适当增多教学层次，尽可能提高课堂效益。这种做法，尤其适用于专题教学和拓宽引用方面的教学。

具体做法是：

（一）分析与新课相关的旧知识有哪些，了解差生对这些旧知识掌握情况。从学生实际出发，确定本节课教学过程的起点，一般说来，这个起点要比传统教学过程起点低，使成绩差生都能接受。上课时，从这个适当放低了的起点出发，把全班学生都吸引到教学活动中来。

（二）剖析教学内容及其要达到的教学目标的层次和学生认识发展过程的阶段结构，按照由低到高、由浅入深、由单一到综合的顺序，安排教学层次，包括教师讲课的层次和学生活动的层次。

（三）根据教学层次安排，设计或选配相应的启发性问题、例题和练习题，使之形成梯度较小，层次分明的台阶，上课时，教师引导学生沿着这些台阶逐步掌握本节课的教学内容，达到自己力所能及的目标。

（四）对于学生可能出现的困难和较高层次的问题，在备课时要准备补充性问题，以便使学生“启而不发”时，再上一个台阶，让学生能借助这个台阶攀上教学的较高层次。

（五）上课时注意学生的反馈信息，根据学生认识过程发展的实际情况及时调整某些不完全符合实际的教学层次，同时注意掌握各教学层次的节奏使其与大多数学生相适应。

（六）每节课都要安排有尽可能高的层次问题，作为机动内容，供学习基础好的学生研究，如果课堂时间不够，就留给学生课外研究。

三、“低起点、多层次”课例：

课题：求函数的单调区间

教学目的：

l、使学生进一步掌握函数单调性定义；

2、使学生初步掌握求函数单调区的方法；

3、使学生了解复合函数及其单调性。

起点：己掌握的函数图象的作法及函数单调性定义。

教学过程：

l、复习：

（l）函数单调性的定义及其主要作用：用函数单调性定义证明函数f(x)在区间D上的单调性的步骤；

（2）判断函数f(x)在区间D上的单调性已知道的方法（①定义；②图象：）门）单调区间与函数定义域的关系；

（4）单调函数的图象特征。

2、引入新课：

通过上节学习，上要解决了用单调性的定义证明某函数在指定区间上的单调性问题，在此基础上，这节来学习函数单调性的另一类问题——求函数的单调区间。

例题：

(l) 作出函数f(x)－X－X’（X∈R）的图象，并根据图象指出它的单调区间及单调性。

分析：根据学生掌握的作函数图象的能力，略加引导学生便会作出图象，从而即可写出函数的单调区间。

说明：利用函数图象可求函数单调区间。

(2) 己知函数y=f(x)

①求它的定义域；②利用函数单调性定义探索它的单调区间。

分析：利于②根据题目要求，则不难知道如何入手。

说明：

l. 求单调区间应注意的问题（要考虑定义域；单增（或减）区间不只一个时的写法）；

2. 利用函数单调性定义求函数的单调区间。

(3) 己加f(x)、g(x)在R上是增函数，求证 f[g(x)]在R上也是增函数，又问f(x)与g(x)在R上一增一减时，结论如何。

分析：①先通过具体例了说明f[g(x)]的意义，并给出复合函数一说；②根据学生实际完成这个证明是可行的；③启发引导学生概括出得到的结论。

l

（4）利用 门）得到的结论求函数y一二厂丁 的单调区间。

分析：①把所给函数视为哪两个函数的复合，为什么？

（l“y一 7；2”u—x‘干 1，会求它们的单调厂问）

②求函数单调区问是求讼的变化范作I？如何山X的4刨饲求得X的范m。说明：利用复合函数的单调性求函数的单调冈。

3、小结：

（1）以上介绍了求函数单调厂问的＿斥十基本方法（图象、定义、复合函数），对于只体题目，要注意题目要求（要求证明的最好用定义）没要求的要从方便考虑。

（2）求函数的单调区间应注意的问题。

4、练习：分层次给出，考虑篇幅，略。

5、作业：分必作题和选作题，略。

四、收获与体会

通过开展“低起点、多层次”教学实践，已取得较好效果。首先是激发了学生的兴趣，促进了成绩差生学习成功，使差生建立了自信心、自尊心、胜任感、成功欲和学习兴趣，从而为提高整体水平扫清了障碍；其次提高了课堂的教学效率，使不同程度的学生学习成绩有所提高。再次是使本人摸索到了备课和上课的规律，能分层次地启发学生思考问题，教和学密切配合，课堂教学质量有所提高。

体会是：

l、与传统教学相比较，“低起点、多层次”教学有以下好处：①由于起点低，学生学有所得，逐渐对本学科的学习产生了兴趣，为实现成绩差生学习上的转化创造了条件；②由于增多了教学层次，减缓了坡度，从而减少了差生学习上的困难，使他们能保持学习的积极性；③由于教学层次分明，一步一个台阶，便于启发学生思考，促进了教学方法的改进；④由于实行多层次安排教学，避免了简单重复，增大了课堂容量，提高了课堂效益；⑤由于教学层次的科学安排，随着教学活动由低到高的发展，学生的学习与探究能力相应地得到提高；③由于每节都安排了尽可能高的层次问题，优生也受益匪浅；③实行“低起点、多层次”教学，促进了教师专研教材、了解学生，有利于教师掌握备课和上课的规律，对培养和提高教师有促进作用；③实行“低起点、多层次”教学，把对学生学习方法的指导寓于教学的层次安排之中，在帮助学生掌握学习数学的科学方法方面有一定的作用。

2、“低起点、多层次”教学思想是面向全体学生，因材施教，贯彻启发式原则，实施素质教育等教学思想的具体化，解决课堂教学中统一施教与学生程度参差不齐的矛盾，能使教学过程更加符合学生的认识规律，还能很好地发挥教师的主导作用与学生的主体作用，使教与学更加紧密地协调配合，从而提高课堂教学的效益，使素质教育在教学中得到很好地实施。

主要参考文献：

l、《精心设计问题，提高教学质量》，中学数学教学参考，2000年l～2期

2、《教学方法》和《教学模式》——教师教学基本功

3、李兴怀《素质教育与数学教学》，中学数学教学，1996年6期

篇7

一、 关键点1：必须使学生深刻理解并把握函数概念的本质

实践表明，由于函数概念的抽象性，“变量”概念的复杂性以及函数符号的抽象性，使函数概念成为中学生感到最难学的数学概念之一. 学习了集合理论后，教材运用集合与映射的观点重新定义了函数：函数是非空数集上的映射. 而映射是一对一，多对一的对应. 于是在康托集合论的基础上来理解函数，别有一片天地. 之前的函数概念：在某一运动变化过程中有两个变量x，y，当x在某一给定范围内任意取值时，在某一对应法则f的作用下，y都有唯一确定的值与它对应，那么y就叫做x的函数，其中x叫自变量，x的取值范围构成的集合就是定义域，y的对应值的集合是值域，这种运动变化观点下的函数定义称为传统定义，而现在建立在集合与映射观点之上的函数定义称之为近代定义.

事实上，函数的本质是两个变量之间的一种特殊的对应关系，有三个要素：定义域，值域和对应法则，通常可表示为f：AC，A代表定义域，C代表值域，f指的是对应法则，函数就是建立在两个非空数集A，C上的一种对应关系，有判别两个函数是否表示同一函数的问题. 如 ①f（x）=x，g（t）=■；虽然表示自变量的字母不一样，但因为g（t）=■=t，和f（x）=x的定义域和对应法则都一样，因而值域肯定一样，g（t）与f（x）表示同一函数；②f（x）=■，g（x）=x+2；因为②中的两函数虽然化简后的解析式一样，但因定义域不同，故就不是同一函数；③f（x）=x，g（x）=■；这两个函数，虽然定义域相同，但g（x）=x，与f（x）=x的对应法则不同，也不是同一个函数. 三要素中只要有一项不同就不是同一函数，这种题型有助于我们理解函数的本质.

对于一个具体的函数关系，我们首先要把握一个重要的原则，就是定义域优先. 定义域是函数的一条生命线，在求函数值域，判断函数的周期性或奇偶性时必须首先考虑函数的定义域. 如求f（x）=loga（x2-2x-3）的单调区间，学生们常常会忽视定义域，有时在求解过程中还要注意定义域的变化.

例1 已知f（x+■）=x2+■，求f（x-1）.

错解：由已知得：f（x+■）=（x+■）2-2.

f（x）=x2-2.

f（x-1）=（x-1）2-2=x2-2x-1.

剖析：在使用直接拼配法或换元法求函数解析式时，没有考虑定义域变化.

正解：由已知得f（x+■）=（x+■）2-2.

x+■≥2，f（x）=x2-2（x≥2）.

从而. f（x-1）=（x-1）2-2=x2-2x-1（x≥3或x≤-1）

分段函数的学习更能帮助我们理解函数的本质，分段函数是一个函数而不是多个函数.

例2 求分段函数y=2x+3，x≥0，x2-1，x

错解：当x≥0时，y=2x+3≥3；当x-1. 故原函数的值域为：当x≥0时，值域为y■≥3；当x-1.

剖析：分段函数是借助于几个不同的表达式来表示的，它是一个函数，而不能误认为是几个函数，在处理分段函数的问题时，要分段处理，其函数的值域应是各个分段函数的并集，同时各个分段的“断点”要注意处理好.

正解：x≥0时，y=2x+3≥3；当x-1，故原函数的值域为y■>-1.

函数概念的学习是一个循序渐进的过程，为了切实使学生理解函数的概念我们应当做到如下三点.

1. 注重学生学习函数概念的心理建构过程

建构主义教学理论认为：应把学习看成是学生主动的建构活动，教学应与一定的知识、背景即情境相联系；在实际情境下进行教学，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要教学的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中. 在函数概念教学中，可以适当采用引导讨论，注重分析、启发、反馈，先从实际问题引入概念，然后揭示函数概念的共同特性：（1）问题中所研究的两个变量是相互联系的. （2）其中一个变量变化时，另一个变量也随之发生变化. （3）对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应. 同时从阅读、练习中巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，让学生自己完成从具体到抽象的过程，避免概念教学的抽象与枯燥，使学生深入理解函数的实质，从而让学生较好地完成函数概念的建构.

2. 注重函数概念与信息技术的适时适度性结合

刚进高中的高一学生，思维较为单一，认识比较具体，注意不够持久. 并且高中数学比较抽象，学生教学普遍感到困难. 因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习. 应用信息技术时要根据教学需要，学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，掌握分寸，避免过量信息钝化学生的思维. 函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作，观察函数图象的变化过程，引导学生交流与讨论，更好地教学和理解函数.

3. 注重函数概念的实际应用

抽象的函数概念必须经过具体应用才能得到深刻理解，生活中许多问题都是通过建立函数模型而解决的. 在函数概念教学中，可以通过函数性质比较大小，解不等式，证明不等式等活动加强理解. 同时引入具体的函数生活实例，如银行利率表、股市走势图，让学生记录一周的天气预报，列出最高气温与日期的函数关系等. 这样学生既受到思想方法的训练，又对函数概念有了正确的认识，使学生相应的数学能力得到充分的培养与发展.

二、关键点2：必须使学生正确理解和刻画函数的图象

函数的图象不仅是函数表示的一种方法，更是函数性质的外在表现，通过图象可以帮助我们认清和理解函数的性质，教学中必须明确函数的图象都是满足一定条件的点所构成，本质上就是以x作为横坐标，y作为纵坐标的所有点构成的曲线、折线或孤立的点. 同时必须明确的是，并不是所有的函数图象都是连续的或是光滑的，有的函数图象就是由一些孤立的点组成的，甚至有的函数图象根本就画不出来（如狄里克雷函数）.

数形结合是一种重要的数学思想方法，其作用在此不作赘述，这里只强调作图的准确性. 也就是说利用这种数学方法解题时，前提是图象画得必须正确. 如图1，y=sinx，x∈（-■，■）和 y=tanx，x∈（-■，■）的图象不是左图这样的，而应如右图所画. 如画图不准，数形结合就会得出sinx=tanx x∈（-■，■）解的个数为3的错误.

三、关键点3：必须使学生深刻理解函数的性质

平时必须注意函数性质的教学，舍得在函数性质的新授课上花时间、花精力. 让学生真正理解函数性质的定义，什么样的函数才有这样的性质，应用的条件和范围等，下面以单调性的教学为例说明.

1. 要使学生深刻理解单调性的定义

在函数的单调性定义的教学中，必须尽可能地做到：（1）把函数单调性的定义与直观图象结合起来，加深对定义的理解，渗透数形结合的数学思想方法；（2）强调单调性是函数的局部性质，单调性是相对于给定区间的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性，不能说函数在x=5时是递增的还是递减的，在强调局部性的时候也不排斥有些函数在其定义域内都是增函数，也就是说并不是所有函数的单调区间都不能以并集的形式写的；（3）厘清定义中的“任意”和“都有”的含义，强调“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的单调性，而“都有”则是说只要x1

2. 要让学生厘清函数的单调区间与函数在某一区间单调的区别

例3 函数y=x2+2ax+1在x∈（-∞，1]上是单调减函数，求a的取值范围.

错解：因为函数y=x2+2ax+1在x∈（-∞，1]上是单调减函数，所以-a=1，即a=-1.

剖析：错把函数在x∈（-∞，1]上单调递减理解为函数的单调减区间是（-∞，1]，事实上，当a≤-1时，函数y=x2+2ax+1在（1，-a]上也是单调减函数. 函数在某一区间单调与函数的单调区间不要混淆.

正解：函数的对称轴为x=-a，因为函数在x∈（-∞，1]上是单调递减函数，a≤-1.

3. 注意复合函数的单调性

例4 求函数y=cos（■-2x）的递增区间.

错解：由2kπ≤■-2x≤2kπ（k∈Z），解得-kπ+■≤x≤-kπ+■π（k∈Z）.

y=cos（■-2x）的单调增区间为

-kπ+■，-kπ+■π（k∈Z）

剖析：解法忽视了复合函数的单调性规则，正确的答案应是-kπ-■π，-kπ+■（k∈Z）.

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【摘 要】由函数图象观察、推导函数性质是学生学习函数所必须经历的过程，而在这一过程中，学生对函数的理解必然得到有力地促进。本课例就是以指数函数为例，教师通过研课——上课——反思——再研课——再上课——再反思的思路对指数函数进行深入的研究。从而对如何培养学生由函数图象观察、推导函数性质给出一些有益的启示。

关键词 课例研究；指数函数；同课异构；课堂实录

一、研究背景:

《指数函数》这节课出自普通高中课程标准实验教科书(北京师范大学出版社数学必修一)。指数函数的图象和性质是教学重点，这部分要注重数形结合、几何直观等数学思想方法的渗透。指数函数是高中第一个系统的由图象观察、推导性质的函数。所以这节课对于给学生确立先图象后性质的研究函数的方法至关重要。而教师如何培养学生的这种意识或者说是能力，自然成了我们研究的主题。我们通过研课——上课——反思——再研课——再上课——再反思的思路进行了探索和研究，以期找到一条适合我校学情的教学解决方案。

二、研究主题：

培养学生由函数图象观察、推导函数性质的能力。

三、教学实践：

第一次教学实践：

1.上课班级：高一五班

2.学情分析：我们所面对的学生大多数数学基础薄弱，理解能力、思维能力、运算能力等方面普遍很低。同时相当一部分学生学习信心不足，学习的主观能动性有待加强。基于此我在教学中就要立足实际，适当降低学习内容的难度和深度，对学习任务的完成也要降低标准。实际课堂教学中多关注学生的实时反馈，引导学生学会学习、学会思考，激发学生的求知欲和学习的积极性。

3.教学目标：(略)

4.重点、难点：（略）

5.教学过程设计：

（1）创设情境，导入新知。a举例：由白纸对折事例，创设问题情境，引发学生思考。b呈现本节课的学习目标。

（2）启发诱导，发现新知。a据上一环节教师引导学生归纳出指数函数的定义。b教师要求学生完成相应练习。

（3）深入探究，理解新知。a教师指导学生完成以3和1/3为底的指数函数图象。b教师对学生总结的指数函数的性质进行质疑、补充。

课堂实录：

师：现在我们已经有了具体的函数图象，并进而推测得出a>1和0<a<1的图象，现在我们利用以前学过的有关函数定义域、值域、单调性的有关知识填写《问题导学案》上的表格，当然有些函数图象的特点表格没有列出来，你也可以说。（学生自主或合作填写指数函数图象和性质表格，教师巡视指导）师：好了，大家填写完了没有？生：填完了。师：现在大家就自由发言，每一个同学填一空。生：定义域为R。生：由图象可知，值域为（0,+∞）。生：观察图象的变化趋势知道a>1时是增函数，0<a<1时是减函数。师：函数的单调性是我们刚刚学习的性质，哪位同学说一下什么是函数的单调性？ 生：……师：大家再接着说。生：图象既不关于x轴对称，也不关于y轴对称，还不关于原点对称。生：图象过（0,1）。师：大家说得很好，但有些地方没有说完整，这样吧，我们先看大屏幕。

（4）强化训练、巩固新知。a教师讲解例题，并辅导学生完成相应练习题。b教师下发当堂检测题。

（5）小结归纳，拓展新知。教师引导学生总结本节的知识点。

（6）布置作业，内化新知。教室布置课外作业，提出复习要求。

6.课后反思：

在教学实践中，第四环节由于时间问题被临时取消了。只完成了一二三五环节，并且五环节的反馈没有达到预定目标，甚为遗憾。

第二次教学实践：

1.上课班级：高一一班

2.教学过程设计：

（与第一次课基本一致，略）

课堂实录：

师：现在我们已经有了具体的函数图象，而且是具有普遍性质的图象，我们可以用图象获得函数的性质，图象的宽的范围就是定义域，高的范围是值域，图象的变化趋势就是单调性，关注图象与x,y轴的交点以及图象上的特殊点和图象的边界性。那么现在就请结合大屏幕上的图象，填写《问题导学案》上的那个表格。（学生自主或合作填写指数函数图象和性质表格，教师巡视指导）师：好，现在哪位同学把你填写的结果与大家交流一下。生：观察图象宽度知道定义域为R，观察图象高度知道值域为[0,+∞）……师：先打断一下，由刚才这位同学说的值域，我知道函数值可以取到0。大家再观察一下我们刚刚画的以3和1/3为底的指数函数图象，看看是不是这样的？另一位同学：函数值是不能得0的，因为3的任何次幂都不为0，所以值域中不包含0，那个应是左开右闭区间。师：这位同学说的很不错，指数函数的值域中确实不包含0。你再接着说吧。生：观察图象的变化趋势知道a>1时是增函数，0<a<1时是减函数。生：图象必过（0,1）。师：这又是为什么呢？你再给大家解释一下。生：因为任何数的0次幂都是1。师：除了表格上列的一部分性质外，大家再想一下还有没有其他的性质。……老师提示一下如这两个图象有没有关于某个点或线对称啊？生：图象不具有对称性。师：再看看图象因为x的取值不同而被限制在特定区域。（学生间交流）生：我来说，a>1时，x<0时图象在（0,1）之间，x>0时函数值都大于1。同样0<a<1时也有类似的性质。师：加上这位同学的补充，我们总结的已经比较完整了，还有个别地方，一会儿我们再做补充。现在大家一同和我看大屏幕。（教师呈现最终结果，并稍作补充）

3.课后反思：

本节课在第一次上课的基础上进行了一些修正，教师只起到了启发、诱导、点拨的作用，学生才是教学的主体。

四、本次课例研究总结：

掌握函数的图象和性质是我们研究函数的根本，本次的课例研究就是在试图探索出一条画图象——学图象——学性质——用性质的函数学习之路。从最终的效果来看，我们达到了一定的目的，对于如何让学生学会由函数图象观察、推导函数性质有了一定的心得体会。

参考文献

[1]韩立福.《新课程有效课堂教学行动策略》.北京：首都师范大学出版社.2006

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高考数学指数函数对数函数公式

(1)定义域、值域

指数函数

应用到值 x 上的这个函数写为 exp(x)。还可以等价的写为 ex，这里的 e 是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还叫做欧拉数。

一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R);

定义域：x∈R，指代一切实数(-∞，+∞)，就是R;

值域：对于一切指数函数y=a^x来讲。他的a满足a>0且a≠1，即说明y>0。所以值域为(0,+∞)。a=1时也可以，此时值域恒为1。

对数函数

一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

(2)单调性

对于任意x1，x2∈D

若x1

若x1f(x2)，称f(x)在D上是减函数

(3)奇偶性

对于函数f(x)的定义域内的任一x，若f(-x)=f(x)，称f(x)是偶函数

若f(-x)=-f(x)，称f(x)是奇函数

(4)周期性

对于函数f(x)的定义域内的任一x，若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数 (1)分数指数幂

正分数指数幂的意义是

负分数指数幂的意义是

(2)对数的性质和运算法则

loga(MN)=logaM+logaN

logaMn=nlogaM(n∈R)

指数函数 对数函数

(1)y=ax(a>0，a≠1)叫指数函数

(2)x∈R，y>0

图象经过(0，1)

a>1时，x>0，y>1;x<0，0< p="">

a> 1时，y=ax是增函数

(2)x>0，y∈R

图象经过(1，0)

a>1时，x>1，y>0;0

a>1时，y=logax是增函数

指数方程和对数方程

基本型

logaf(x)=b f(x)=ab(a>0，a≠1)

同底型

logaf(x)=logag(x) f(x)=g(x)>0(a>0，a≠1)

换元型 f(ax)=0或f (logax)=0

 

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篇10

对高一新生来讲，学习环境是全新的，新教材、新同学、新教师、新集体，学生需要有一个由陌生到熟悉的适应过程。另外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想中的高中，必有些学生会产生“松口气”的想法，入学后无紧迫感。也有些学生有畏惧心理，他们在入学前就耳闻高中数学很难学，高中数学课一开始也确有些难理解的抽象概念，如映射、集合等，使他们从开始就处于被动局面。

二、课时的变化

在初中，由于内容少，题型简单，课时较充足。因此课容量小，进度慢，对重难点内容均有充足时间反复强调，对各类习题的解法，教师有足够的时间进行举例示范，学生也有足够的时间进行巩固。而到高中，由于知识点增多，灵活性加大，课时(自习辅导课)减少，课容量增大，进度加快，对重难点内容没有更多的时间强调，对各类题型也不可能讲全讲细以及巩固强化。这也使高一新生开始不适应高中学习而影响成绩的提高。

三、教学内容的衔接

首先，初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型少且简单；而高中数学内容抽象，多研究变量、字母，不仅注重计算，而且还注重理论分析，与初中数学相比增加了难度。其次，由于近几年教材内容的调整，虽然初高中教材都降低了难度，但相比之下，初中降低的幅度大，而高中阶段由于受高考的限制，教师都不敢降低难度，便造成了高中数学实际难度没有降低的现实。因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，反而加大了。此外相对初中数学所富有“生活趣味” 来讲，高中数学则更有“数学味”。高中数学第一章就是集合、简易逻辑等知识，紧接着就是函数问题。函数单调性的证明又是一个难点，立体几何对空间想象能力的要求又很高。教材概念多、符号多、定义严格，论证要求又高。初中删减的内容都需要在高中阶段补充上，因而增加了高中学生的课业负担，这些都是升入高中后学生数学成绩下降的客观原因。

四、教学方法的衔接

初、高中教学方法上的差异也是高一新生成绩下降的一个重要原因。初中数学教学中重视直观、形象教学，每学习一道例题，都要进行相应的练习，学生板演的机会较多。

一些重点题目学生可以反复练习，强化学习效果。而高中数学教学则更强调数学思想和方法，注重举一反三，在严格的论证和推理上下工夫。高中数学的课堂教学往往采用粗线条模式，为学生构建一定的知识框架，讲授一些典型 例题，以落实“三基”培养能力。 刚进入高中的学生不容易适应这种教学方法．听课时存在思维障碍，难以适应快速的教学推进速度，从而产生学习障碍，影响学习成绩。因此，新高一数学教学中应注意加强基本概念、基础知识的讲授，尽量以形象、直观的方式讲解抽象的数学慨念。 中国论比如讲映射时可举“某班5O名学生安排到50张单人课桌的分配方法” 等直观例子，为引入映射概念创造阶梯。由于初中学生尚未形成严格的论证能力，所以在高一证明函数单调性时可进行系列训练，让学生进行板演，从而及时发现问题，解决问题。又比如在《抛物线及其标准方程 的教学中，可以从学生初中所学过的“二次函数的图像是抛物线”入手，利用学生的已有的知识存量，引导学生找到联系与区别，这样便于学生对新知识的理解。 通过上述方法，能够降低教材难度，增强学生的学习信心，让学生逐步适应高中数学的正常教学。

五、学习方法的衔接