高中数学数列求和的方法范文

导语：如何才能写好一篇高中数学数列求和的方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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关键词：高中数学 数列试题 解题方法 技巧

学生们在高中的数学学习过程中如果能够充分掌握高中数学数列试题的解题方法和技巧，这对于在大学期间学习数学会有很大的帮助。在最近几年的数学高考中，数列知识点的考查已经成为高考出题人比较看重的一项考点，甚至有一部分拔高题也都和数列有着直接的关系。可是在高中数学的学习阶段，很多的学生对于高中数学数列试题的解题方法和技巧还非常欠缺，对有一些问题和内容并没有得到充分的理解和吸收，往往在解题过程中，出现这样那样的问题。所以，探索和研究不同类型数列的解题方法和技巧，能够帮助学生更好地学好高中的数学。

一、高中数学数列试题教学中的解题思路与技巧

1.对数列概念的考查

在高中数列试题中，有一些试题可以直接通过带入已学的通项公式或求和公式，就可以得到答案，面对这一种类型的试题，没有什么技巧而言，我们只需熟练掌握相关的数列公式即可。

例如：在各项都为正数的等比数列{b}中，首项b1=3，b1+b2+b3=21，那么b3+b4+b5等于多少？

解析：（1）本道试题主要是对正项数列的概念以及等比数列的通项公式和求和公式知识点的考查，考查学生对数列基础知识和基本运算的掌握能力。

（2）本试题要求学生要熟练掌握老师在课堂上所教的通项公式和求和公式。

（3）首先让我们来求公比，很明显q不等1，那么我们可以根据我们所学过的等比数列前项和公式，列出关于公比的方程，即3（1-q3）/（1-q）=21。

对于这个方程，我们首先要选择其运算的方式，要求学生平时的练习过程中，要让学生能够熟练地将高次方程转化为低次方程进行运算。

2.对数列性质的考察

有些数列的试题中，经常会变换一些说法来考查学生对数列的基本性质的理解和掌握能力。

例如：己知等差数列{xn}，其中xl+x7=27，求x2+x3+x5+x6等于多少？

解析：我们在课堂上学习过这样的公式：等差数列和等比数列中m+n=p+q，我们可以充分利用这一特性来解此题，即：

xl+x7= x2+x6= x3+x5=27，

因此，x2+x3+x5+x6=（x2+x6）+（x3+x5）=27+27=54

这种类型的数列试题要求教师在课堂教学中，对数列的性质竟详细讲解，仔细推导。使得学生能够真正的理解数列性质的来源。

3.对求通项公式的考察

①利用等差、等比数列的通项公式，求通项公式

②利用关系an={S1，n=1；Sn-Sn-1，n≥2}求通项公式

③利用叠加、叠乘法求通项公式

④利用数学归纳法求通项公式

⑤利用构造法求通项公式.

4.求前n项和的一些方法

在最近几年的数学高考试题中，数列通项公式和数列求和这两个知识点是每年必考的，因此，在高中数学数列的课堂教学中，教师要对数列求和通项公式这方面的知识点进行细致重点的讲解。数列求和的主要解题方法有错位相减法、分组求和法与合并求和法，下面对三种数列求和的解题方法进行详细说明。

（1）错位相减法

错位相减法主要应用于等比数列的求和中，在最近几年的高考试题当中，以此方法来求解数列求和的试题经常会有所体现。这一类型的试题解题方法主要是运用于诸如{等差数列・等比数列}数列前n项和的求和中。

例如：已知{xn}是等差数列，其前n项和是Sn，{yn}是等比数列，且x1=y1=2， x4+y4=27， S4-y4=10，求（1）求数列{xn}与{yn}的通项公式；（2）Tn= xny1+xn-1y2+…+x1yn，n∈N*证明Tn+12=-2xn+10yn，n∈N*

解析：（1）xn=3n-1，yn=2n；

（2）Tn= 2xn+22xn-1+23xn-2+…+2nx1，

2Tn= 22xn+23xn-1+…+2nx2+2n+1x1

计算得，Tn=-2（3n-1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+1=12（1-2n+1）/（1-2+2n+2-6n+2）=10×2n-6n-10

-2an+10bn-12=-2（3n-1）+10×2n-12=10×2n-6n-10

所以，Tn+12=-2xn+10yn，n∈N*

错位相减法主要应用于形如an=bncn，即等差数列・等比数列，这样的数列求和试题运算中，解此类题的技巧是：首先分别列出等差数列和等比数列的前n的和，即Sn，然后再分别将Sn的两侧同时乘以等比数列的公比q，得出qSn；最后错一位，再将两边的式子进行相减就可以了。

（2）分组法求和

在高中数列的试题当中，往往会遇到一部分没有规律的数列试题，它们初看上去既不属于等差数列也不属于等比数列，但是如果将此类型的数列进行拆分，就可以得到我们所了解的等差数列和等比数列，遇到此类型的数列试题，我们就可以通过分组法求和的方法进行解题，首先将数列进行拆分，通过得到的等差数列和等比数列进行运算，最后将其结合在一起得出试题的答案。

（3）合并法求和

在高考数列的试题中，往往会遇到一些非常特殊的题型，它们初看上去没有规律可循，但是通过合并和拆分，就可以找出它们的特殊性质。这就要求我们教师平时要锻炼学生对数列的合并能力，通过合并找出规律，最终成功地解决这类特殊数列的求和问题。

二、结束语

数列知识是各种数学知识的连接点，在数学考试中，往往是基于数列知识为基础，对学生的综合数学知识进行考查。在高中数列学习过程中，首先要做好数列基本概念和基本性质的掌握，否则任何解题技巧都无济于事。

参考文献：

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【关键词】高中数学 数列求和 等差 等比

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）33-0149-02

数学是高中阶段的主要学科，对学生的高考有直接的影响，而数列问题又是数学课程的重要组成部分，因此，在高中阶段的数学学习中，教师和学生必须对数列求和问题要有足够的重视。数列求和问题的解决，既可以采用基本的公式法，也可以采用技巧性更强的其他方法，如裂项相消法、分组相加法、倒数相加法等，要根据具体问题具体分析和应用不同解题方法。笔者从事高中数学教学工作多年，现结合自身教学经验，对高中数学数列求和问题进行浅显的探讨。

一 牢固掌握数学基础知识

数列求和问题是高中数学重要的组成部分，要掌握好这部分知识，应当要求学生牢固掌握最基本的数列知识。如数列的定义、性质和基本公式等。等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫作等差数列;等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫作等比数列。一些重要的数列性质也要认真掌握，如{an}为等差数列，则有：（1）从第二项起，每项

是前一项与后一项的等差中项，（n>1）。（2）

an=am+（n-m）d （m，n∈N*）。（3）若m+n=p+q，则：am+an=ap+aq，特殊的：若m+n=2r，则有：am+an=2ar。（4）若am=n，an=m则有：am+n=0。（5）若Sm=n，Sn =m则有：Sm+n=-（m+n）。

{an}为等比数列，则有：（1）只有同号的两数才存在等比中项。（2）an=amqn-m（m，n∈N*）。（3）若m+n=p+q，则：am・an=ap・aq，特殊的：若m+n=2r，则有：am・an=ar2。

（4）{an}，{bn}为等比数列，则{an・bn}，，{can}为等

比数列（c≠0）。（5）等比数列中连续n项之积构成的新数列仍是等比数列，当q≠1时，连续项之和仍为等比数列。（6）an=cqn（c≠0，q≠0），Sn=kqn-k（q≠0，q≠1）等较多的数列性质。最重要的数列公式更要牢固掌握，这也是解决数列求和问题的基础。例如{an}为等差数列：an=a1+

（n-1）d，。{bn}为等比数列：

bn=b1qn-1（q≠1）;（q≠1）。

此外，还要注重培养学生敏锐的观察力，让学生能够洞察问题的本质，能够建立起相应的数学模型，将简单个例普遍化。

二 利用数列基本公式进行求和

在牢固掌握数列知识的基础上，遇到数列求和问题时，可首先分析是否可以套用公式进行解答，是数列求和问题中较为容易的一类。在利用数列基本公式进行数列求和时，要注意公式的准确性，如果公式不正确，答案自然也南辕北辙。因此，学生一定要认真记忆公式。例如，下面的问题就可以采用公式进行求和。

求和：（1）;（2）Sn=（x+）2+

;（3）求数列1，3+4，5+6+7，

7+8+9+10，…前n项和Sn。

思路分析：通过分组，直接用公式求和。

解：（1）

（2）

当x≠±1时，

当x=±1时，Sn=4n

（3）ak=（2k-1）+2k+（2k+1）+…+[（2k-1）+

（k-1）]

Sn= a1+a2+…+an=

在解答这个问题时，要注意对公比q=1或q≠1讨论，从而运用等比数列前n项和公式对问题正确解答。

利用公式法求和是数列求和问题中较为简单的一种，一般来说，这类题型可以直接套用公式，或只需要简单的分类合并，再套用公式进行解答。在教学过程中，教师应要求学生牢固掌握这类解题方法，在考试中，这类问题是很容易得分的题型。

三 采用错位相减法求和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列;分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn;然后错一位，两式相减即可。当有待定系数时，要进行分类讨论。乘以公比，错位相减，数准项数，计算细心，确保结论正确。错位相减法求和是数列求和的重要方法，是高考的常考重点。

错位相减法比公式法的难度有较大提高，是学生得分较低的一类题型，在解题过程中，要注意对问题分析并寻找规律，避免漏项或书写错误，从而得到问题的正确答案。教师在讲解这个方法时，可以结合学生常犯的错误，并按照一定的流程进行讲解，让更多的学生掌握这种求和方法。

四 借助裂项相消法求和

利用解析式变形，将一个数列分成若干个可以直接求和的数列，进行拆项重组，或将通项分裂成几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后剩下有限项的和。在学习过程中，应当教育学生掌握“裂项相消求和法”的几个特征：（1）通项的分母是因式相乘的形式;（2）每项裂成两个式子的差;（3）相邻两项裂开后，前一项的后式与后一项的前式互为相反数;（4）裂项的关键是紧抓相邻两项的相同项。裂项相消法求和是一种非常常见的题型，也是高考中的热点考题。相对于其他题型来说，这种题目的难度大，有一定的思维能力，对于培养学生的思维能力有很大帮助。

在解答此类问题时，应当多写一些项，然后进行观察，才可能看出抵消的规律，从而使用该方法解决求和问题。

五 借助倒序相加法求和

在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么可考虑选用倒序相加法。

例题：设数列{an}是公差为d，且首项为a0=d的等差数列，求和：

解：因为 （1）

（2）

（1）+（2）得：

利用倒序相加法解决数列求和问题，大都是利用等差数列、等比数列以及函数的重要性质，从而顺利地解答问题。在使用倒序相加法时要注意不断变形，然后用知识具备的特有性质作为条件把和求出。

六 结束语

综上所述，作为高中数学重点内容的数列求和问题，其解答方法有很多种，如公式法、错位相减法、裂项相消法以及倒序相加法，此外，还可以利用其他求和法，如归纳猜想法、奇偶法等。在面对较为复杂的数列求和问题时，应当认真分析，将复杂的问题转化为我们熟悉的等比、等差数列，然后根据题型采取不同的解答方法。解题过程中，应当掌握每个方法的本质，而不能生搬硬套，否则问题答案南辕北辙。要想达到良好的学习效果，教师与学生需要互相配合，才能不断提高教学效率和教学质量。

参考文献 [1]王莹玉.浅谈高中数学教学中学生思维能力的培养[J].科教新报（教育科研），2011（9） [2]於青.高中数学教学中学生解题能力的培养探析[J].语数外学习（数学教育），2013（2） [3]赵翠娥.探讨高中数学教学如何培养学生的解题能力[J].成功（教育），2012（24） [4]张海芳.新课改下高中数学“高效课堂”的构建[J].中国科教创新导刊，2011（21） [5]王锦章.一道高中数学课本例题的解法探究与变式训练[J].考试周刊，2012（92）

ontT ? e 9 ??～ ?? font-family：'Times New Roman'; vertical-align：sub; " >n=cqn（c≠0，q≠0），Sn=kqn-k（q≠0，q≠1）等较多的数列性质。最重要的数列公式更要牢固掌握，这也是解决数列求和问题的基础。例如{an}为等差数列：an=a1+

（n-1）d，。{bn}为等比数列：

bn=b1qn-1（q≠1）;（q≠1）。

此外，还要注重培养学生敏锐的观察力，让学生能够洞察问题的本质，能够建立起相应的数学模型，将简单个例普遍化。

二 利用数列基本公式进行求和

在牢固掌握数列知识的基础上，遇到数列求和问题时，可首先分析是否可以套用公式进行解答，是数列求和问题中较为容易的一类。在利用数列基本公式进行数列求和时，要注意公式的准确性，如果公式不正确，答案自然也南辕北辙。因此，学生一定要认真记忆公式。例如，下面的问题就可以采用公式进行求和。

求和：（1）;（2）Sn=（x+）2+

;（3）求数列1，3+4，5+6+7，

7+8+9+10，…前n项和Sn。

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关键词：高中数学；公式法求法；倒序相加法；错位相减法；裂项求和法；分组求和

中图分类号：G633.6 文献标志码：B 文章编号：1008-3561（2016）04-0089-01

数列这部分内容出现在高中数学人教版必修5第二章，课本重点介绍等差数列及等比数列，它们的前n项和分别采取倒序相加和错位相减法。但是，在平时解题训练中出现的题目，绝非简单的等差或等比数列求和。本文结合教学实践，对高中数学中常见数列求和方法进行探究。

一、公式法求和

能够用公式法求和的，是课本中列举的等差或等比数列的前n项和求法。例1：设数列{an}满足a1=1，an+1=3an，n∈N* 。（1）求{an}的通项公式及前n项和Sn . （2）已知{bn}是等差数列， Tn为其前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20. 解析：（1）已知数列{an}为等比数列，所以an=3n-1，Sn=（3n-1）. （2） b1=a2，b3=a1+a2+a3=13，b3-b1=10=2d，d=5，故数列{bn}是以3为首项，以5为公差的等差数列，所以T20=20×3+×5=1010. 解题感悟：利用公式求解数列的前n项和，需要先对数列的类型作出判断，因而对等差或等比数列的定义要特别清楚。除了定义判断外，常见的方法还有通项公式法、前n项和公式法、等差（比）中项法等。

二、倒序相加法

课本借助高斯算法引进等差数列的前n项和求法，即倒序相加法。倒序相加法适用题型的数列特点是距离首末两项等距离的两项之和相等。例2：设函数f（x）= 上两点为P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若=（+），且点P的横坐标为：（1）求点P的纵坐标。（2）若Sn=f（）+f（）+…+f（）+f（），求Sn. 解析：（略） 解题感悟：此类题目往往在知识交汇处命题，与数列、函数、不等式、向量联系较紧密，量大面宽，学生要学会知识融会贯通。倒序相加注重一个等式（自变量的和是定值，函数值的和也是定值），利用题目条件推导此类式子是解题关键。

三、错位相减法

课本推导等比数列的前n项和采用了错位相减法，推广以后可以用错位相减法解决一类数列求和问题，即一个数列中的项是由一个等差数列中的对应项乘以一个等比数列的对应项构成的新数列，该数列的前n项和可采用此法。例3：人教版必修5习题2.5A组第4题（3）：求和1+2x+3x2+……+nxn-1 .解析：（略） 解题感悟：很多学生对于错位相减法在具体操作过程中漏洞百出，不能完整作答。究其原因，主要是对错位二字没有正确理解。再者，含参问题一定要分类讨论。同时，也发现部分学生在运算时能力较差。

四、裂项求和

裂项求和首先是将数列的通项拆分成结构相同的两式之差，然后求前n项和时，利用正负相消的原理将中间若干项抵消掉，剩下有限的几项再求和。需要注意的是，必须搞清楚消掉了哪些项，保留了哪些项。一般保留的项前后具有对称的特点，即前面剩下的项数与后面剩下的项数相等。例4：（人教版必修5习题2.3B组第4题）数列

前n项和 Sn=++++…+.研究一下，能否找到求Sn的一个公式。你能对这个问题作一些推广吗？解析：（略） 解题感悟：裂项求和法适用的题型数列通项往往是分式结构。平时，要多留意几个常见的裂项公式（篇幅所限，略）。

五、分组求和

数列的通项公式是由明显差异的几部分构成时，并且每一部分可以求和，可按分组求和的方式进行求和，此法便于操作。例5：已知an=2n-3×5-n，求数列{an}的前n项和Sn.解析： （略） 解题感悟：分组求和时，首先应抓住数列通项的特点，对数列的通项进行研究，找出每一部分的差异，然后每一组转化成我们比较熟悉的等差或等比数列，它们的求和采用前面介绍过的公式法求和。

六、结束语

数列部分的题目常考常新，且与函数、不等式、向量等联系紧密，借助它们命题是一种趋势，而且难度较大。这就要求学生在掌握好基本功（基础知识、基本方法、基本技能）的同时，重点提升自己的内功（逻辑思维能力），能将数学知识进行融会贯通。在本章的学习过程中，学生要多思考，多归纳，多总结。

参考文献：

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关键词：函数性 实质 数学方法

中图分类号：G623.5

正文：

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，是高中数学当中函数部分的延续和深入，在整个中学数学的教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多的知识都与数列有着密切的关系。而有关数列的通项公式、递推公式、前n项和公式的考查，也是高考当中的重要考点和热点，有关数列的试题（解答题）经常是综合题，且常常把数列知识和指、对数函数，不等式等知识综合起来，试题也常把数列和数学归纳法综合在一起，主要以中、高档题为主，综合性强，难度较大，能力要求较高，常以压轴题的形式出现。另外，探索性问题也是高考的热点，常在数列解答题中出现。教学中我们要设法提高学生用分类讨论的思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、以及方程思想研究数列问题的能力，培养学生主动探索的精神和科学理性的思维，提升学生能力。本文从五个方面，分析数列的实质，结合函数概念探讨了在数列教学的方法和技巧，从而能够在数列教学当中得到突破。

一、　理解数列的定义，理解数列的函数性是联系高中数学知识点的桥梁

等差数列和等比数列都是从项与项的关系出发定义，等差数列是从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，而等比数列是从第二项起，每一项与前一项的比是同一个常数。理解数列的定义实际上也告诉我们如何去判断和证明一个数列是等差还是等比数列。同时数列也是一种特殊的函数，是第n项关于次序n的函数关系，定义域为正整数集。所以等差数列和等比数列的很多性质都与n有关，而它们函数性质的通项公式和前n项和公式的灵活应用可以起到很好的作用，同时对于理解等差数列和等比数列也有很大的帮助。

三、　牢固掌握数列通项公式的求法，巧妙的运用数学方法是解决问题的关键

数列通项公式是一个重要的知识点，总体可以分为以下3类：

1、　在明确了数列性质，可以把问题转化为求首项以及公差或公比，然后根据通项公式求解

2、　已知求，可以用与的关系，这个公式适用于所有的数列，但是在具体问题当中一定要验证是否满足的情况，如果不满足时必须写为分段函数

3、　已知递推关系求，如果是，则灵活运用迭加法；如果是，则灵活运用迭乘法。

掌握这几类问题的求法是解决通项问题的关键，也能够在高考当中更加的得心应手，如前面例1、例2问题的解决也可以采取这种方法

总结：数列的核心内容是等差数列和等比数列，特别应该注意这两类最基本数列的研究方式和方法，要牢固的理解掌握数列的概念、性质以及公式。要充分认识和理解它们的通项公式和求和公式的形成过程及其结构特点，理解数列的函数性。灵活的应用几种类型数列求和的方法，重视通性通法。在教学当中注意培养学生的综合、探究和创新能力，并且在应用时，要注意分类讨论的思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、以及方程思想等数学思想的渗透。特别注意构造法求解数列问题题目的训练和总结，了解高考中数列问题的命题规律，掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法，针对性地开展数列知识的复习和训练，对于在高考中取得理想的成绩具有十分重要的意义。

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【关键词】高中数学；有效教学

课堂是教师知识传授的“主阵地”，学生技能锤炼的“主渠道”。传统理念下的数学教学，将学生解答问题、提高学习成绩作为唯一追求目标，忽视学生学习能力方面的培养，同时，加之高考升学压力的影响，部分教师在此方面表现得尤为显著。当前，新实施的高中数学课程标准指出，注重学生主体内在特性的激发，重视学生探究合作创新能力的培养，善于利用现有教学资源，使学生在高中数学教学活动中，学习技能和学习素养得到“双提升”。近年来，本人根据新课标要求，结合教学纲要目标，就开展高中数学课堂教学有效策略进行了探索和实践，本人现从“三个结合”方面开展有效教学活动，进行简要论述。

一、坚持教学内容设置与学生学习实际相结合，实现学生学习效能整体进步

学生个体之间在学习方法、学习能力以及智力发展等方面存在差距，致使学生在解题水平和学习效能上表现出差异性。新实施的高中数学课程标准则将“人人获得发展和进步，人人掌握必需的数学知识”作为有效教学的根本要求，倡导“整体性教学目标”教学模式。这就要求，高中数学教师在课堂教学中，要坚持“为了一切学生发展”理念，在教学目标、新知传授、教学方法中，渗透整体性教学理念，将教学内容与学生实际进行有效结合，使每一学生类型都能找准“定位”，参与探究，掌握知识。

如在“任意角三角函数”教学活动时，教师将教学准备作为有效教学的重要条件和基础，在制定“1.理解任意角的三角函数的定义；2.会求任意角的三角函数值；3.体会类比，数形结合的思想”教学目标基础上，针对不同类型学生学习实际，将“理解任意角的三角函数的定义”作为课堂教学重点，将“从函数的角度理解三角函数”作为新知教学的难点。在上述教学活动中，教师通过设置具有“一一对应”特性的教学内容，很好体现了“因材施教”的教学原则，这样，教师在内容选择和新知传授上，能够有所侧重，有的放矢，学生在学习新知和掌握新知上，能够找准“坐标”，锻炼实践。

二、坚持问题教学过程与解题方法传授相结合，实现学生探究方法有效掌握

问题：设等比数列{an}的公比为q ，前n项和为Sn ，是否存在常数C，使数列{Sn+c}也成等比数列？若存在，求出常数C ；若不存在，请说明理由。

分析:该问题是一道数列方面的数学问题案例，并且是具有开放性的数学问题案例。在进行该类型问题案例解答时，其一般方法是从假设存在入手, 结合等比数列相关概念、性质等内容，逐步深化解题进程，同时，要注意等比数列 n 项求和公式中公比的分类,公比q=1的情形。

解题过程：设存在常数C，使数列{Sn+c}成等比数列。

(Sn+c) (Sn+2+c)=( Sn+1+c)2

Sn.Sn+2-S2n+1=c(2Sn+1-Sn-Sn+2)

当q=1时, Sn=na1代入上式得

a12n(n+2)-a12(n+1)2=ca1[(a(n+1)-n-(n+2)] 即a12=0

但a1≠0, 于是不存在常数 C，使{Sn+c}成等比数列。

当q≠1时，Sn=■， 代 入 上 式 得

■(1-q2)=■(1-q)2，c=■

综上可知，存在常数c=a1/(q-1),使{Sn+c}成等比数列。

总结提升：这是条件探索性开放型的问题案例，该类问题大致可分为条件未知，需要探注和条件不足，要求寻求充分条件两种。解答这类问题，一般从结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，逐一推导，从中找出满足结论的条件。

上述解题过程中，教师发挥学生主体能动性，将探究解题方法作为学生进行问题解答的重要任务，使问题解答过程变为探寻问题解法过程，实现了问题解答过程与揭发要领传授的有效融合，切实提升了学生探究实践的学习能力。

因此，高中数学教师要将问题解法传授作为开展有效教学活动的重要内容，借助数学问题在知识要义方面的精辟性和学生能力培养上的发展性，发挥主体能动特性，引导和指导学生进行探究解答活动，使学生在掌握有效解题方法基础上，探究实践能力获得显著提升。

三、坚持新知巩固练习与解题评价辨析相结合，实现学生思维素养良性提升

学生是教学活动的参与者和学习活动的主人，其主体性不仅仅表现在解题方法传授环节上，还表现在对解题过程及解题方法的辨析中。这就要求，高中数学教师要善于抓住学生在学习新知、问题解答等方面表现出的“症结”，针对学生解题过程、解题方法以及解题思路等方面的不足，利用学生自主反思能动性，借助评价教学指导作用，创设问题辨析评价环节，让学生开展问题解答评价活动，使学生在问题评价中，新知得到复习巩固，不足得到认清改正，达到提升思考分析水平，形成良好思维素养的目标。

问题：已知有一个有穷的等比数列，它的首项为1，并且项数为偶数，现在知道这个等比数列奇数项的和为85，偶数项的和为170，试求出这个数列的公比和项数。

这是一道关于等比数列方面的问题案例，教师在教学活动中采用巩固性教学原则，将知识巩固与问题辨析有效结合，学生分析如下：

设等比数列为{an}，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q。

解题过程略。

此时，教师引导学生开展问题辨析活动，学生根据解题经验，结合各自问题解题过程，通过辨析、反思活动，认识到：“运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时，对公比q要分情况讨论。有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的”。此时，教师与学生共同巩固新知，让学生领会解答该类型问题解答方法，然后，再要求学生反思，针对性的进行补正。

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关键词 新课程 高中数学 教学方法 情境 学习

一、创设问题情境

随着课改的进行，广大教育工作者对教育教学有了许多新的理念，这些理念积极地帮助大家进步，使得在教学方面取得了很大的成功。在数学课改中，最凸显的应该是“创设情境”。数学教育提倡在情境中解决问题，所以在数学课上，教师要学会创设情境，把教科书的知识转化为问题，引导学生探究，帮助学生自己构建知识框架。长时间以来，数学给人的印象是枯燥无味、抽象复杂、毫无用处。作为一名数学教师，很能理解学生的感受，但是课改改变了数学课堂陈旧的模式，我们的备课多了很多新鲜，如预设和生成，情境引入，探索启发等。而创设问题情境是整节课的开端，这就要求教师善于在上课的开始阶段设计一个好的教学情境，引领学生进入数学的殿堂，展开思维的翅膀，开启智慧的大门。学生接收新知识的过程有两种方式：一种方式是同化，把新知识转化为旧知识；一种方式是顺应，当新知识被旧知识同化时，要调整原有知识结构，去适应新知识。而问题情境则是有效地激发起学生主动地将新旧知识发生相互联系、相互比较的载体。例如：在上“等比数列前n项的和”这节课时，通过印度国王奖励国际象棋发明人的故事引入，问学生国王奖励的米粒需要多少？为什么一个国家的米都不够？也即求总米粒数1+2+22+……263=？学生们都跃跃欲试，但却无从下手。于是教师慢慢引导学生思考，问：这个是什么数列求和？学生都能回答这个是等比数列求和。然后再问：等比数列的特点是什么？学生基本都知道是公比q.ak/ak-1（k=2，3，……，n），引导学生发现这个式子的变形：ak-q.ak-1=0。然后让学生观察分析这个式子并提供一个重要规律，学生经过观察，发现等比数列中的第k项与第k-1项q倍的差等于0。再问：那这个式子的规律能不能应用到等比数列求和呢？通过上面的思考，很多学生都会自己应用这个规律来解决等比数列求和问题。此时学生主动调动原有认知结构中能解决新问题的那部分知识，并将其重组、构建，找到在新的问题情境下解决问题的数学思想方法，学生们也享受到了创造的喜悦。

二、课堂合作交流，发挥学习主动性

在课堂教学中，合作交流的教学方法体现了师生之间、生生之间的合作关系。教学过程是对立统一、相辅相成的矛盾运动过程，建立良好的师生关系，是创建课堂教学氛围、搞好合作探究的基础。师生关系应是良师益友、良性互动、平等交往、共同发展。而学生是学习的主体，教师要通过自己的创造性劳动充分挖掘学生的学习潜能，引导他们“会学、学会和乐学”。学生是教师和知识的接受者，但又是教师和知识的挑战者。因此教师得随时准备接受学生的提问和质疑。合作交流将师生关系由“权威―服从”的被动关系改变为“指导―参与”的互动关系，这种升华了的师生关系正是课改中追求教育民主的基础，是激发学生积极性和创造性的源动力，是学生成为学习的主人并获得成功的保证。例如，在某节课堂中，我把学生分成几个小组，由于学生层次不同，所以在分组时就得注意学生的组合能不能在学习中互相交流，尤其是那些判断题的教学，我要求同学利用周围现有的工具，在小组里讨论，互相研究。最后不仅探索出了正确的结论，而且还培养了学生充分利用现有环境解决问题的意识。而最大的实惠是使一些成绩不太好，惧怕数学的同学，对数学产生了兴趣。大大提高了学生的认知能力。使学生充分认识到，只要用心去做，就可以学好数学。所以合作小组应包括不同层次和特点的同学，以确保优势互补。这样不仅能使学生互相促进提高认知能力，还对培养团队精神和社会交往能力都有很大的作用。

三、倡导探究意识，培养探索精神

在新课程基本理念中应该多倡导积极主动、勇于探索的学习方法，并指出“学生的数学学习活动不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学还应当倡导主动探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式”。所以发展学生的创新探究意识也是很重要的。在课堂上，探究意识在数学教学中主要表现在的对已解决问题寻求新的解法。“学起于思，思源于疑”，学生探索知识的思维过程总是从问题开始，又在解决问题中得到发展和创新。教学过程中学生在教师创设的情境下，动脑思考、动口表达，自己动手操作、探索未知领域，发展学生探究创新意识，这些学习方式有助于发展学生学习的主动性，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”过程。例如在讲完异面直线所成的角后，让学生继续探究，对其作适当引申、推广、探索、创新，激发了学生的数学学习兴趣，培养了学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯。如果在课堂上坚持做下去，使学生形成习惯。那么他们以后在自己独立解决问题时，也就会多问几个为什么？在以后的学习中，也就会形成习惯，解完习题后，就会在此基础上自觉延伸拓展。只有培养这种创新数学思维，才能保证学生具有分析问题、顺利解决问题的能力。而这种能力将是提高学生的素质，提高学生用数学知识发现、探索、提炼、研究和解决问题的重要品质。作为数学教师，应当把培养创新人才作为我们的教育目标， 将创新教育落实到课堂实践中去。

四、总结

高中数学的教学，既突出对基础知识、基本技能、基本数学思想方法的考察，又强调能力立意。以数学的基础知识为载体，考察学生的数学能力，包括思维能力、运算能力、空间想象能力及分析和解决问题的能力，同时也得注意考察学生的创新能力。因此，在新课程下探讨高中数学的教学方法是非常有必要的。

参考文献：

[1]顾剑峰.高中数学“导研型”课堂教学模式研究[D].苏州大学 2010

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一、导数在高中数学新课程中的地位

高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的。必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修。导数在选修课程里，是函数学习的进一步深入。

（一）有利于学生更好地理解函数的性态

在高中阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。如 ，y=x3-2x2+x-1，y=ex-x-1等函数，仅用描点法就很难较为准确地作出图像。但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像。这样就有利于学生更好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识面。

（二）有利于学生更好地掌握函数思想

数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决，这也正体现和显示了新课程的优越性。

其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数，来解决相关问题。

（三）有利于学生弄清曲线的切线问题

学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响，误认为曲线在某点处的切线，就是与曲线有一个公共点的直线。如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道f（x）在点X=X0 的切线斜率k，正是割线斜率在XX0时的极限，即

由导数的定义 所以曲线y=f（x） 在点（x0，y0）的切线方程是

这就是说：函数f在点x0的导数 是曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率。

从而，学生就掌握了切线就是割线的极限位置，可能与曲线有多个交点。

（四）有利于学生学好其他学科

高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关，我们所学的导数是微分学的核心概念，它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用。在学习并且掌握了导数及其应用以后，学生就可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程：算出物体的瞬时速度： 、瞬时加速度： 对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了。

（五）有利于发展学生的思维能力

通过学习导数，使学生学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题，而不仅仅是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上。在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立与统一，发展学生的辩证思维能力。

二、导数在解题中的应用

导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点。这几年的高考命题趋势表明：导数是分析问题和解决问题的重要工具。下面举例探讨导数的应用。

（一）利用导数解决函数问题

⒈利用导数求函数的解析式

例1 设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与 轴交点为p点，且曲线在p点处的切线方程为 12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式.

分析：①切点既在曲线上又在切线上；②切线斜率的两种求法。

⒉利用导数求函数的值域

⒊利用导数求函数的最（极）值

一般地，函数f（x）在闭区间[a，b]上可导，则f（x）在[a，b]上的最值求法：

（1） 求函数f（x）在（a，b）上的极值点；

（2） 计算f（x）在极值点和端点的函数值；

（3） 比较f（x）在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值。

⒋利用导数求函数的单调区间

函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质.函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑 的正负即可，当 时，f（x）单调递增；当 时，f（x）单调递减。

（二）利用导数解决切线问题

题型：求过某一点的切线方程

例5 求曲线 在原点处的切线方程.

分析： 此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程.

（三）利用导数解决不等式问题

纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点。利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题。

综上所述，原命题成立.

（四）利用导数解决数列问题

数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法。事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题。

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关键词： 高中数学 反思性教学 活动实施

常言道，思则通、通则活，活则升。判断、概括、推理等活动，是学习数学学科知识、解决数学问题的常见活动形式。数学学科是抽象的数学“艺术”，需要学习对象进行深入细致、严密有序的数学思维活动。数学思维能力，是数学学科学习目标要求的重要内容，也是学习对象所必须具备的数学技能之一。反思作为思维活动的一种形式，是数学思维的较高形式。组织和开展对教与学之间双边活动“回头看”活动，并进行深入研究和剖析，是当前高中数学课堂教学的重要内容之一。以思维辨析为主要手段的反思性教学活动，具有显著深刻性、促进性、提升性等功效，应用较广泛。本文围绕教学要素，从三个方面对高中数学反思性教学实施做了探究。

一、紧扣教材内容精髓，数学反思应利于教材要义认知

任何课堂教学活动的实施，都必须围绕和抓住教材这一“纲”。教育学指出，教材是一切教学实践活动的“总遵循”和“总要求”。高中生数学实践活动，必须依托和紧扣数学教材而付诸实施和行动。反思性教学活动，其“回顾”的重要对象之一、考量的重要标尺之一，都是教材内容的重难点等“核心”，需要围绕教材要义进行深入的自我思考、自我剖析和自我提升。反思性教学的重要目的之一，就是促进和帮助学习对象更好、更全面、更深刻地认知教材要义。因此，高中数学教师实施反思性教学活动，要紧扣和围绕数学教材这一“纲”实施和开展，“接”数学教材这一“地气”，抓住数学教材的重点、难点，以及学习要求和情感目标等关键要点，进行深入细致的“回顾”和“研析”，对照教材要义及目标要求，深入查询和思考教与学实践活动的得与失、优和劣，提高高中生数学教材认知度。如“不等式的证明第一课时”教学中，教师在新知内容探究反思性教学活动中，组织高中生“回头看”学习探知活动成效，要求高中生结合该节课“掌握证明不等式的方法――比较法”、“熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤”等重要知识点和“比较法的意义和基本步骤”教学重点及“常见的变形技巧”学习难点等要求，进行深入的对比和思考，找出自身在新知学习实践进程中，教学目标是否达成，教学重难点是否解决，教材知识点是否认知，从而在紧扣教材要义的“接地气”活动中，实现教材要义的认知和掌握。

二、紧扣学生主体特性，数学反思应助于数学技能提升

教育实践学认为，反思性教学策略是锻炼和提升学习对象数学思维能力素养的一种有效手段，反思活动是思维活动的形式之一。学习对象自身数学技能，通过思考、分析、剖析、改正等实践活动，能够切实得到锻炼和进步。反思性教学的对象是学生，学生能动积极地参与思考、剖析等“呼应”活动，是数学能力提升的首要前提。因此，高中数学教师要充分运用学生自身所具有的积极特性和内在潜能，组织高中生进行数学学习活动及表现的思考和剖析活动，要求高中生在现有学习基础上，根据所掌握的学习技能和经验，对自身的数学探知活动进程再次“梳理”和“回望”，通过动手探究、思考研析、判断概括等方式手段，进一步明晰学习探知的方法策略，提升其数学解析技能和水平。如“有一个等差数列{a}，它的公差和等比数列{b}的公比之间相等，并且都等于d（d大于零，并且不等于1），如果现在等差数列{a}和等比数列{b}之间存在a=b，a=3b，a=5b，试求出等差数列{a}和等比数列{b}的值”案例教学中，教师在与高中生共同努力获取解题策略基础上，组织高中生围绕解题过程、解题方法及解题表现等方面，进行深入的辨析和反思活动。高中生再次阅读分析问题条件后，认识到该问题的设计意图是考查等差数列、等比数列的综合应用能力，需要运用等差、等比数列的知识点内容进行分析。针对该案例的解题过程，高中生通过分析题意活动后，认为解答等比数列和等差数列的综合应用这一类问题时，应采用方程思想，先构建方程组，然后求基本量，从而求a，b的值。这一过程中，部分高中生通过思考分析及前后对比，意识到解题过程中未能有效利用其方程思想解题策略，此时教师要求高中生从构建方程组方面进行重新解析活动巩固练习。在此反思性教学活动中，高中生“回顾”解题过程，变为整改、提升的实践活动，其数学探究、思维等能力得到锻炼。

三、紧扣课堂教学实情，数学反思应善于灵活务实

课堂是教师和学生这两个教学要素的活动“高地”和“阵地”。教育运动学指出，课堂教学，不是按部就班、一成不变的既定活动，而是受多方教学要素因素影响，运动变化的多变过程。反思性教学策略的一个重要任务，就是组织学生对课堂学习情况进行思考和辨析。因此，反思性教学活动开展，不能按照预设教学活动“步骤”，按部就班实施，而应该结合课堂教学的实际情况，坚持问题导向原则，针对发生的问题，做到“有的放矢”，具体问题具体对待，针对课堂教学“突发事件”，进行深刻反思活动，及时引导、深入反思、有效剖析，切实提升。

总之，高中数学教师在反思性教学具体实施中，要充分结合各方面因素，突出教育教学功效，让反思性教学策略成为助力有效教学的重要手段之一。

参考文献：

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一、创设情境，激发学生探究兴趣

学起于思，思源于疑。疑即是问题，是激起学生认知需求和探究精神的最积极因素。高中阶段，学生的抽象思维能力尚未开发，探究思维潜力正待发展。探究式教学模式下，通过一定教学情境的创设，能够使学生的多种感官功能充分调动起来，促进学生对探究问题本身产生兴趣，激发认知需要，进而形成积极的探讨倾向，有效增强学生参与课堂学习的积极性。同时，具体的情境氛围下，能促进学生对探究问题的认识由形象感知过渡到建立表象的层面，从而拓展探究空间。

如《正弦定理》的教学，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。为更好地培养学生数学理论知识的实践运用能力，笔者设计了如下探究式的教学情境：“某一海域，一天，甲方在该海域A处执行巡逻任务时，忽然发现其正东处有一乙方敌艇B正以30海里/小时的速度朝北偏西40°方向航行。甲方为防治该舰艇对甲方造成威胁，预向其发射速度为60海里/小时的鱼雷给以打击。那么甲方怎样确定发射角度可击中敌舰？”有疑必有思，有思必有探。通过创设这种生活化的情境，能够有效避免解题式教学的枯燥，让学生在实际的问题情境中去开展深刻的思考和探索，不仅有利于培养学生数学理论知识的实践运用能力，同时也激发了学生参与课堂学习的积极性，提高课堂教学效率。

二、适时引导，启发学生探究思维

探究式教学模式下，探究活动的开展应鼓励学生运用已有的学习经验，通过阅读、观察、思考、讨论等一系列探究活动，建构起对探究问题更深层次的认知理解，进而形成探究意识，获得认知结构。如在高中数学等差数列的通项公式的教学中，笔者开展了如下的探究教学模式：

师：请同学们观察下面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①；48，53，58，63 ②；18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③；10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④。看这些数列有什么共同特点呢？

生：以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数。

师：很好，对于以上几组数列我们称它们为等差数列。那么，这些等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。我们是通过研究数列{an}的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。

生：① an=5n

② an=48+5（n-1）

③ an=18-2.5（n-1）

④an=10072+72（n-1）

师：非常正确，那么，如果任意给一个等差数列的首项a1和公差d，它的通项公式是什么呢？（引导学生进行理性分析与推导，根据等差数列的定义进行归纳），最后通过教师引导、启发，得出：以 a1为首项，d为公差的等差数列{ an}的通项公式为： an= a1+（n-1）d。

这样，通过循序渐进的问题的提出和引导，启发学生由浅入深地对等差数列的通项公式进行思考、分析、探索、理解，从而帮助学生克服机械记忆公式原理的学习方式，让学生亲身体验公式形成与应用的过程，构建完善的知识体系，发展应用数学知识的能力。

三、合作探究，鼓励学生合作学习

合作探究式教学模式的开展是以合作学习为前提，有明确责任和任务分工的互探究活动。该模式下教学活动的开展，能够为学生提供一个宽松的学习氛围，同时提供学生共同思考、讨论的平台，促进学生更好地开展合作学习， 增进学生之间知识的交流、对比、改进、提升、取长补短，让学生在充分体验探究的过程中，通过学生之间的配合、合作，真正发现数学的乐趣，进而激发学习兴趣和探究乐趣，更好地参与到课堂学习中。

参考文献：

[1] 陈 建，廖燕萍.高中数学探究式教学模式研究[J].黑龙江教育学院学报，2012，31（10）：73—74.

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之一，体现了现代数学思想.这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具.将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义.导数知识在研究解决实际问题中有着广泛的应用，主要应用于研究函数的单调区间、最值以及曲线的切线、某些不等式的证明等问题，所以，在高中教学中越来越显现出其重要性.导数对中学数学也有重要的指导作用.下面举例探讨导数在解题中的应用.当然，导数解决的问题还很多，我在这里仅举了其中几个例子.

一、利用导数求函数的最值

求函数的最值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简单化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性质.

一般的，函数f（x）在闭区间[a，b]上可导，则f（x）在[a，b]上的最值求法：

（1）求函数f（x）在（a，b）上的极值点；

（2）计算f（x）在极值点和端点的函数值；

（3）比较f（x）在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.

例1.求函数f（x）=x3-3x在[-3，2]上的最大值和最小值.

分析：先求出f（x）的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[-3，2]上的最大值和最小值.

解：由于f′（x）=3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1），则，

当x∈[-3，-1）或x∈（1，2]时，f′（x）>0，所以[-3，-1]，[1，2]为函数f（x）的单调增区间；当x∈（-1，1）时，f′（x）

又因为f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，所以，当x=-3时，

f（x）取得最小值-18；当x=-1或2时，f（x）取得最大值2.

二、利用导数判别函数的单调性

函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识.用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷.

令f′（x）=0得x=1，又当x=0时导数不存在；以0和1为分界点将f（x）的定义域（-∞，+∞）分成三个区间（-∞，0），（0，1），（1，+∞）.

先将f（x）在各区间内单调增减性列表如下：

由此可见，f（x）的单调增区间为（-∞，0），（1，+∞），单调减区间为（0，1）.

三、用导数证明不等式

利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点.其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式.

例3.当x∈（0，π）时，证明不等式sinx

证明：设f（x）=sinx-x，则有

f′（x）=cosx-1

由已知得x∈（0，π），则有

f′（x）

因为f（x）=sinx-x在x∈（0，π）内单调递减，而f（0）=0，所以

f（x）=sinx-x

故当有x∈（0，π）时，sinx

一般的，证明f（x）

如果F′（x）

四、导数在求曲线的切线中的应用

导数的几何意义：如果函数f（x）的导数存在，则的函数f（x）在x=x0处的导数即为该函数在点（x0，f（x0））切线的斜率.利用这个我们可以求出曲线的切线方程.

例4.已知曲线l∶y=x2-2x+a，求过点P（2，-1）的曲线l的切线方程.

解：因y=x2-2x+a，所以y′=2x-2，

则当x=2时，y=a，y′=2.

①当a=-1时，点P（2，-1）在曲线l上，故过点P的曲线l的切线方程为y-（-1）=2（x-2），即2x-y-5=0，

②当a≠-1时，点P不在l上，设曲线l过点P的切线的切点是（x0，y0），

则切线方程为y-y0=（2x0-2）（x-x0）且点P（2，-1）在此切线方程上，

所以有-1-y0=（2x0-2）（2-x0），即y0=2x20-6x0+3.

又y0=x20-2x0+a，

则有x20-2x0+a=2x20-6x0+3，即x20-4x0+（3-a）=0，

Δ=16-4（3-a）=4（a+1），

当a

五、利用导数解决数列问题

数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法.事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题.