高三数学导数及其应用范文

导语：如何才能写好一篇高三数学导数及其应用，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

导数及其应用

第七讲

导数的计算与导数的几何意义

2019年

1.（2019全国Ⅰ文13）曲线在点处的切线方程为___________．

2.（2019全国Ⅱ文10）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为

A．

B．

C．

D．

3.（2019全国三文7）已知曲线在点处的切线方程为y=2x+b，则

A．a=e，b=-1

B．a=e，b=1

C．a=e-1，b=1

D．a=e-1，

4.（2019天津文11）曲线在点处的切线方程为__________.

5.（2019江苏11）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的

切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是

.

2010-2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅰ)设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为

A．

B．

C．

D．

2．（2017山东）若函数(e=2．71828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是

A．

B．

C．

D．

3．（2016年山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是

A．

B．

C．

D．

4．（2016年四川）设直线，分别是函数，图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，则的面积的取值范围是

A．(0,1)

B．(0,2)

C．

(0,+∞)

D．(1,+

∞)

5．（2013浙江）已知函数的图像是下列四个图像之一，

且其导函数的图像如右图所示，则该函数的图像是

6．（2014新课标）设曲线在点处的切线方程为，则=

A．0

B．1

C．2

D．3

7．(2011重庆)曲线在点（1，2）处的切线方程为

A．

B．

C．

D．

8．（2011江西）曲线在点处的切线斜率为（

）

A．1

B．2

C．

D．

9．（2011山东）曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是

A．-9

B．-3

C．9

D．15

10．（2011湖南）曲线在点处的切线的斜率为（

）

A．

B．

C．

D．

11．（2010新课标）曲线在点处的切线方程为

A．

B．

C．

D．

12．（2010辽宁）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是

A．[0,)

B．

C．

D．

二、填空题

13．(2018全国卷Ⅱ)曲线在点处的切线方程为__________．

14．(2018天津)已知函数，为的导函数，则的值为__．

15．（2017新课标Ⅰ）曲线在点处的切线方程为____________．

16．（2017天津）已知，设函数的图象在点处的切线为，则在y轴上的截距为

．

17．（2016年全国III卷）已知为偶函数，当时，，则曲线在点(1,2)处的切线方程式_____________________________．

18．（2015新课标1）已知函数的图像在点的处的切线过点，则

．

19．（2015陕西）函数在其极值点处的切线方程为____________．

20．（2015天津）已知函数，，其中为实数，为的导函数，若，则的值为

．

21．（2015新课标2）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则

．

22．（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线(a，b为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是

．

23．（2014江西）若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______．

24．（2014安徽）若直线与曲线满足下列两个条件：

直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)

①直线在点处“切过”曲线：

②直线在点处“切过”曲线：

③直线在点处“切过”曲线：

④直线在点处“切过”曲线：

⑤直线在点处“切过”曲线：

25．（2013江西）若曲线（）在点处的切线经过坐标原点，则=

．

26．（2012新课标）曲线在点处的切线方程为________．

三、解答题

27．（2017山东）已知函数．

(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)设函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

28．（2017北京）已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．

29．（2016年北京）设函数

（I）求曲线在点处的切线方程；

（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；

（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.

30．（2015山东）设函数，，已知曲线在点

处的切线与直线平行．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）是否存在自然数，使的方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设函数（表示中的较小值），求的最大值．

31．(2014新课标1)设函数，曲线在点处的切线斜率为0

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若存在，使得，求的取值范围．

32．（2013北京）已知函数

（1）若曲线在点处与直线相切，求与的值．

（2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围．

专题三

导数及其应用

第七讲

导数的计算与导数的几何意义

答案部分

2019年

1.解析

因为，所以，

所以当时，，所以在点处的切线斜率，

又所以切线方程为，即．

2.解析

由y=2sinx+cosx，得，所以，

所以曲线y=2sinx+cosx在点处的切线方程为，

即．

故选C．

3.解析

的导数为，

又函数在点处的切线方程为，

可得，解得，

又切点为，可得，即.

故选D．

4.解析

由题意，可知.因为，

所以曲线在点处的切线方程，即．

5.解析

设，由，得，所以，

则该曲线在点A处的切线方程为，因为切线经过点，

所以，即，则．

2010-2018年

1．D【解析】通解

因为函数为奇年函数，所以，

所以，所以，

因为，所以，所以，所以，所以，所以曲线在点

处的切线方程为．故选D．

优解一

因为函数为奇函数，所以，所以，解得，所以，

所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．

优解二

易知，因为为奇函数，所以函数为偶函数，所以，解得，所以

，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．

2．A【解析】对于选项A，，

则，，)在R上单调递增，具有M性质．对于选项B，，，，令，得或；令，得，函数在和上单调递增，在上单调递减，不具有M性质．对于选项C，，则，，在R上单调递减，不具有M性质．对于选项D，，，

则在R上不恒成立，故在R上不是单调递增的，所以不具有M性质．

3．A【解析】设两个切点分别为，，选项A中，，，当时满足，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A.

4．A【解析】设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得

切线的方程分别为，

切线的方程为，即．

分别令得又与的交点为

．，

，，故选A．

5．B【解析】由导函数图像可知函数的函数值在[1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函数值在[1,0]递增，即原函数在[1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选B．

6．D【解析】，由题意得，即．

7．A【解析】切线斜率为3，则过（1,2）的切线方程为，即，故选A.

8．A【解析】，，．

9．C【解析】，切点为，所以切线的斜率为3，

故切线方程为，令得．

10．B【解析】，所以。

11．A【解析】点处的切线斜率为，，由点斜式可得切线方程为A．

12．D【解析】因为，即tan

≥－1，所以．

13．【解析】由题意知，，所以曲线在点处的切线斜率，故所求切线方程为，即．

14．【解析】

由题意得，则．

15．【解析】，又，所以切线方程为，即．

16．1【解析】，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为

17．【解析】当时，，则．又为偶函数，所以，所以当时，，则曲线在点(1，2)处的切线的斜率为，所以切线方程为，即．

18．1【解析】，，即切线斜率，

又，切点为（1，），切线过（2,7），，

解得1．

19．

【解析】，极值点为，切线的斜率，因此切线的方程为．

20．3【解析】因为，所以．

21．8【解析】，，在点处的切线方程为，，又切线与曲线相切，当时，与平行，故．，令得，代入，得，点在的图象上，故，．

22．－3【解析】由题意可得

①又，过点的切线的斜率

②，由①②解得，所以．

23．【解析】由题意得，直线的斜率为，设，则，解得，所以，所以点．

24．【解析】①③④

对于①，，所以是曲线在点

处的切线，画图可知曲线在点附近位于直线的两侧，①正确；对于②，因为，所以不是曲线：在点处的切线，②错误；对于③，，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，③正确；对于④，，，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，④正确；对于⑤，

，在点处的切线为，令，

可得，所以，

故，可知曲线：在点附近位于直线的下侧，⑤错误．

25．2【解析】，则，故切线方程过点解得．

26．【解析】，切线斜率为4，则切线方程为：.

27．【解析】（Ⅰ）由题意，

所以，当时，，，

所以，

因此，曲线在点处的切线方程是，

即．

（Ⅱ）因为

所以，

，

令，则，所以在上单调递增，

因此，所以，当时，；当时．

（1）

当时，，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增．

所以，当时，取到极大值，极大值是，

当时，取到极小值，极小值是．

（2）

当时，，

当时，，单调递增；

所以，在上单调递增，无极大值也无极小值．

（3）

当时，，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增．

所以，当时，取到极大值，极大值是；

当时，取到极小值，极小值是．

综上所述：

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是．

当时，函数在上单调递增，无极值；

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是．

28．【解析】（Ⅰ）因为，所以．

又因为，所以曲线在点处的切线方程为．

（Ⅱ）设，，则

．

当时，，

所以在区间上单调递减．

所以对任意有，即．

所以函数在区间上单调递减．

所以当时，有最小值，

当时，有最大值．

29．【解析】（I）由，得．

因为，，

所以曲线在点处的切线方程为．

（II）当时，，

所以．

令，得，解得或．

与在区间上的情况如下：

所以，当且时，存在，，

，使得．

由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．

（III）当时，，，

此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．

当时，只有一个零点，记作．

当时，，在区间上单调递增；

当时，，在区间上单调递增．

所以不可能有三个不同零点．

综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．

故是有三个不同零点的必要条件．

当，时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件．

因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．

30．

【解析】

（Ⅰ）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以，

又所以．

（Ⅱ）时，方程在内存在唯一的根．

设

当时，，

又

所以存在，使．

因为所以当时，，

当时，，所以当时，单调递增．

所以时，方程在内存在唯一的根．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程在内存在唯一的根，且时，，时，，所以．

当时，若，．

若，由可知故．

当时，由可得时，单调递增；时，单调递减．

可知且．

综上可得函数的最大值为．

31．【解析】：（Ⅰ），由题设知，解得．

（Ⅱ）的定义域为，由（Ⅰ）知，，

（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，

即，解得.

（ii）若，则，故当时，；

当时，，在单调递减，在单调递增.所以，存在，使得的充要条件为，

而，所以不合题意．

（iii）若，则．

综上，的取值范围是．

32．【解析】：（1）

因为曲线在点处的切线为

所以，即，解得

（2）令，得

所以当时，单调递增

当时，单调递减．

所以当时，取得最小值，

当时，曲线与直线最多只有一个交点；

当时，，

，

所以存在，使得

篇2

概念教学的几个常见误区及应对策略

高中数学有效训练的策略分析

新课程背景下数学教学避免内容泛化的几点思考

“随机事件的概率”说课

使用新教材后的几点体会与思考

高中新旧教材中有关“数学家”栏目的研究与实践

浅谈新课程中类比教学

让“旁批”成为高中数学教学的点金石

以日积月累之功，收水到渠成之效——例谈初中几何证明题中推理根据书写的教学处理

初中数学变式练习的设计研究

对选修内容《坐标系与参数方程》中坐标系教学的思考

与学生共同经历解题研究的过程——以两道试题为例

新课程下高中数学有效课堂教学的探讨

初探新课标下初中数学愉悦式教学

初中数学课堂教学有效评价分析

用拉格朗日乘数法巧解二元函数最值

由“错设”引起的错误

从一道三角函数的设问建构三角函数图象及性质的复习课

应用数学归纳法时的常见七大误区

例析三角形的解的判定

从容易的事情开始——例说解题突破口的打开

挖掘生成资源，开展有效探究

将课堂学习自还给学生

如何关注数学文化的传承和数学精神的滋养

—道题、一类题、一条思路——对称专题“三一”复习法课堂实录

让椭圆第二定义“返璞归真”

在发散中超越“思考与探索”的文本资源

设计教案的几点体会

数学证明教学要教什么

刍议教师在数学教学中的作用

敢问有效教学之路在何方

几个有趣的无理不等式

浅谈作差法中的数学思想

例谈数学解题中对称性的巧用

向量法与综合法在几何解题中的整合

数学化归思想在七年级教学中的渗透——从新人教版七（上）课本谈起

平面向量基本定理的体积表示及其应用

用三视图来确定小正方体的块数

构造齐二次式解决圆锥曲线的两类定值问题

椭圆的内接三角形的一个性质的简证及其推广

函数凸性巧证一类条件不等式

构造等差数列研究高考三角求值问题

利用导数研究函数极值要注意检验

从思维的层次性谈“定义法解题”

例析高考数学中函数模型的最优化问题

—道高考试题的探究

谈二次函数在高考中的应用

一道课本例题的探究

《算法初步》高考题型例析

中考试题中的探究性问题简析

一道竞赛习题的解法探究

有圆真好——一道初中数学竞赛题的推广及解法

在数学教学中培养学生的辩证思维

对充分条件与必要条件教学的几点认识

从一节评优课看数学课堂教学重、难点的处理

一道高三调研试题的探究

一道中考动手操作探究题的变式与拓展

篇3

1.第一轮复习要系统整理，构建数学知识网络

第一轮复习，也称“知识篇”。在这一阶段，老师带领同学们重温高一、高二所学课程，但这绝不只是以前所学知识的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一、高二时，老师是以知识点为主线索依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，因此学生学的往往是零碎的、散乱的知识点，而在第一轮复习时，老师教学的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将它们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。平时复习中应重视教材中概念、定理、公式等基础知识、基本技能；同时，更应注重知识的发展形成过程，例题的分析思路、求解过程。在复习中应立足教材、夯实基础，以课本为主，全面梳理知识、方法，注意知识结构的重组与概括。将高中阶段所学的数学知识进行系统整理，用简明的图表形式把基础知识进行有机的串联，构建成知识网络，使学生对整个高中数学体系有一个全面的认识和把握，以便于知识的存储、提取和应用，也有利于学生思维品质的培养和提高，这是数学复习的重要环节。第一轮重点是“三基”（基础知识、基本技能、基本方法）复习，目标是全面、扎实、系统、灵活。学生极易忽视复习课本重要例、习题所蕴含的数学思想方法。在复习过程中应做到以下几点。

（1）立足课本，迅速激活已学过的各个知识点。（建议大家在高三前的一个暑假里通读高一、高二教材）

（2）注意所做题目使用知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。注意到老师选题的综合性在不断地加强。

（3）明了课本从前到后的知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。

通观高中数学教材，是由一个大陆、一个半岛和一个群岛组成的。这个大陆，就是二维空间的形与数，涉及集合、映射与函数，方程与不等式，数列及其极限，直角坐标系下的点与数对、曲线与方程、曲线的交点、参数方程及相关参数的意义，导数及其应用。这个半岛，是指立体几何，它的体系与平面几何一脉相承，都是古典的公理体系，都要进行严密的推理论证，且立体几何问题一般都要化归为平面几何问题来加以解决。当然，还要特别关注向量这一工具的作用，总结出利用向量解决立体几何问题的基本模式。这个群岛，是指离散数学撒在中学教材中的一些珍珠，如排列组合、二项式定理、概率与统计、数学归纳法等。

2.切实做好集体备课工作

对高三复习课一定要精心备课，绝不能按参考资料照本宣科，要对资料上的知识内容、例题、练习题进行深入细致的分析研究，在此基础上进行必要的整合，梳理知识网络，组织变题教学，安排针对性的训练，做好回顾小结。集体备课是提高课堂效率和教师水平的重要环节，集体备课内容为:知识目标、能力目标、情感态度价值观，知识重、难点及其突破，课前预习题的设置、例题的变式和反思、习题的配置、数学思想方法的渗透。通过集体备课，明确教学目标和教学流程，提高教学能力和水平。集体备课做到定时、定人、定任务、定质量。每周进行一次课堂教研活动，研究三种课型:概念复习课、习题拓展课、试卷讲评课。不管是哪种课型，均强调学生的自主学习，注意数学思想方法的总结和回顾反思。集体备课正常进行，教学计划才能得以周密落实，教师理论水平才会不断提高，保证课堂效率，从而使教学质量不断提升。

3.渗透思想，培养能力

近几年的高考数学试题不仅紧扣教材，而且十分讲究数学思想和方法。这类问题一般较灵活，技巧性较强，解法也多样。这就要求考生找出最佳解法，以达到准确和争取时间的目的。常用的数学思想方法有：转化的思想，类比归纳与类比联想的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想，以及配方法、换元法、待定系数法、反证法，等等。这些基本思想和方法分散地渗透在中学数学教材的各章节之中，在平时的教学中，教师和学生把主要精力集中于具体的数学内容之中，缺乏对基本的数学思想和方法的归纳和总结；在高考前的复习过程中，教师要在传授基础知识的同时，有意识地、恰当地在讲解过程中渗透基本数学思想和方法，帮助学生掌握科学的方法，从而达到传授知识，培养能力的目的。

4.加强训练，培养学生良好的心理素质

平时的课堂作业我们着重加强五个方面的训练，即基础训练、阅读训练、表达训练、计算训练、创意训练。高三学生在高考中要考出水平，必须做到审题细，演算准、表达清。我们对学生灌输这样的理念:未弄清题意切勿下笔，要审清问题涉及哪些基础知识，用什么数学思想方法去突破；表达要完整清晰;过程须简洁明了，让人看后一目了然;不轻易丢失应得的分数，解决会而不对、会而不全的老问题。强调高质量地去解题，不求量但求质，通过一个问题的解决，巩固基础知识，提高思维能力，提炼数学思想方法。还要求学生把每次的作业都当做考试，养成独立自主的好习惯，定时完成作业。每次考试后，我们都让学生总结失分的原因，及时调整复习策略，尤其注意培养学生良好的心理素质，解决学生题目怕新、运算怕繁的心理问题。

5.数学复习中的注意点

（1）关注知识交叉点的训练。知识的交叉点，即知识之间纵向、横向的有机联系，既体现了数学高考的能力立意，又是高考命题的“热点”，而这恰恰是学生平时学习的“弱点”。

（2）关注思维过程的培养。数学思维过程的表现形式是数学思想方法的集中体现，又是师生共同交流的纽带。在复习中教师要让学生人人参与讨论，相互进行交流，得以共同提高。

篇4

关键词：高中数学；教材改革；教学模式

高中数学新教改是对高中数学教育的又一次严峻挑战，如何解决数学新教改在推行过程中出现的各种问题，以及有效提高教学质量，推陈出新，是我们应该思考的问题，笔者认为首先要把握好以下几个方面。

一、明确新课标

要把握新教改的命脉，必须首先清楚它的基本要求与特点，这

样我们才能在新课标思想的指导下摸索出最佳的教学方式。数学新

课标思想内容主要体现在以下几点。

1.知识内容的基础性、选择性和启发性

高中数学是进一步的基础性数学教育，注重培养公民的基本数学素质。其教学内容分为必修与选修，其中必修课是基础课程，为选修课及大学知识的学习做出铺垫；针对文理科学生，不同爱好偏向的学生，又设置了不同的选修系列。这样既避免了课程的单一化，又增加了同学们自由选择的力度，增加了学生对数学学习的兴趣。同时教材在知识传授上一改以往的直接陈述，而是通过启发学生自己猜一猜，画一画得出结论，内容上更具启发性。

2.提倡以学生为主，激发学生的再创造能力新课标大力倡导学生自主学习，勇于探索的学习方式。老师只起一个引导作用，启发学生积极思考与动手，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力，提高学生的数学思维能力，加强学生的数学应用能力。

3.双基拓展为四基

在已有的双基经验教学上，与时俱进，发展成为四基，即基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，注重全方位提高学生的数学水平。

4.重视“数学教育技术”的使用

为了更生动的上好一堂课，教师可以借助多媒体等工具，全面拓宽学生的视野，不仅提高了学生学习的趣味性，也为数学教学开辟了新的道路。

二、新课标推行初期的现状

目前正值新课标推行初期，数学新教材的应用还没有进入成熟阶段，老师与同学们在享受新教改全新思维模式的同时也遇到了一些问题，主要体现在：

1.知识量大，教学进度快，学生任务重

现在高中数学新课标必修有5本教材，文科生选修有两本，理科生有三本。高三一年的时间拿来总复习，只有高一高二在学新内容，也就是说一个高中生平均一个学期要学两本教材。这样的教学任务必定会加快教学进度，使学生们感觉知识容量大，速度快，掌握不牢固，课业任务重。

2.新知识让老师和同学们“望而生畏”

新教材给人最深的印象莫过于内容上下放了一些大学课本中的内容，比如必修中算法的初步应用，选修中导数及其应用（涉及微积分）。现在大学生们在学习算法和微积分时都会感到不易接受，对高中生来说更是无从下手，摸不着门路。有些老师以前也从未接

触过这些新内容，这让他们在教学过程中力不从心，无法达到预期的教学效果。

3.有心摘花花不开

新教材中很多内容不是直接给出，而是通过问题让学生自己思考，学生的侧重点不同，可能得不出教材想要引导出的知识，这就要求老师一定要起到很好的阐述作用。

三、找准战术，逐个击破

1.教师要具备扎实的专业基础

师者，传道授业解惑也。新课标对广大高中教师提出了新的要求，教师们应该扎实专业基础，不断拓宽自己的专业领域。深入了解新教材脉路，做到心中有数，应用灵活，不断完善教学质量。

2.激发学生学习热情

只有有了兴趣，学生才会由要我学转化为我要学。新课标注重对学生数学兴趣的培养，在教学过程中，我们也应该利用积极的手段激发学生的兴趣，比如将导数转化为求瞬时速度的时候，可以结合奥运会上跳水运动员在空中运动的过程图像，既直观，又采用时事热点抓紧学生们的眼球，使他们充满好奇希望继续探究下去。还可以结合课后的自主探究环节，鼓励同学们阅读相关书籍，办数学手抄报，充分提高他们的学习热情，激发学习的主动性。

3.详略侧重，调整教学进度

依据教纲与考纲，明确不同章节知识点的不同掌握要求，针对不同的程度要求规划不同进度的课程安排。重点知识尽量做到讲解细致，循序渐进，多花一些时间去巩固加强。次重点知识讲解速度则适当加快，达到教学目标即可。这样详略得当既不影响教学任务的完成，又利于学生对教材知识的掌握。

4.化抽象为具象，渗透数学思想

想要把一个抽象的数学问题讲清楚，必须学会把它具象化。例如在定积分中求解曲边梯形的面积时，我们采用微元法，将曲边梯形分成一个个很小的长方形，而长方形更为具体直观，它的面积也是以前学过的，所有长方形面积之和就是曲边梯形的面积，问题得到简化。新教材体现数学思想的应用，其中很重要的一条便是用已经学过的知识去解决未知知识。教学过程中需要不断渗透数学思想，以培养学生的数学思维能力。

5.规范的示范作用

新课标更加要求提高学生们的数学素质，只有经过千锤百炼，才能青出于蓝而胜于蓝。学生学习首先是通过模仿然后实现再创造，因而教师必须起到规范的示范作用，良好的思维方式，严谨的解题步骤不可或缺。学生通过模仿老师的思路步骤，形成解题模式，从而提高学习能力。

四、教学相长促繁荣

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一、新教材的优点

1.定位准确

必修课程的5个模块定位为：使所有学生掌握高中数学的基础知识和基本技能，注重提高学生在数学方面的各种能力，发展学生的理性思维习惯，提高学生对数学价值的认识，培养他们的应用意识和创新意识.其中模块1是基础中的基础，它包括了集合、基本初等函数及其应用，我们采取了1的顺序开展教学.

2.理念创新

新教材在总体上为学生构建共同基础，提供发展平台，又兼顾个性发展的选择，强调师生互动，学生在老师引导下，主动积极地参与学习，获取知识，发展思维能力，着眼学生的发展与未来，注重数学应用意识，突出体现数学的文化价值和教学手段的现代化.

3.设计新颖

5个必修模块的设计与布局与旧教材不同，对新知识的学习，大部分都通过适当的问题情景，引出需要学习的数学内容，然后安排观察、探究、思考、提示等引导学生用正确的学习方式掌握知识；同时又了许多辅助资料，如：探究与发现、阅读与思考、观察与发现、信息技术应用等到拓展性栏目，为学生学习提供选学素材，极大地开阔学生的视野.同时，教材留有许多空白空间，让学生在学习过程中自由发挥，充满个性.课本习题的A(B)类型设计，满足不同学生的需求，对发展不同学生的数学能力提供了舞台.特别是B中的某些问题，既是课本知识的补充，又为后续学习埋下伏笔，课本中不乏精彩习题出现，非常值得钻研.

4.注重情景引入

教材在很多地方都有情景引入，如垂直关系的判定引入中，教材先举例一：学校的操场上树立的国旗杆与地面是垂直的.例二：将书打开直立在桌面上，书脊和书的各页面都与桌面垂直.例三：拿一块教学用的三角板放在墙角，将三角板转动.大量的情景设置，使学生获得了直线与平面垂直的形象认识，为直线与平面垂直的判定定理的提出作了很好的铺垫.

5.课题学习的设置培养了学生探究能力

在教材中精心设计了课题学习《正方体截面的形状》，提出了问题及研究的建议.要求写一份学习报告，所涉及的问题在学生的能力范围以内，具有可行性.同时也很好地联系了生活，培养了学生实际动手制作能力.

6.注重联系生活

教材中大量的情景和实例多数来自生活，在每个小节开始前都会给出一些形象的图片，如介绍球时展示了地球和足球两张图片，三视图的介绍中展示了飞机与汽车模型.习题也有很多来源于生活.

二、新教材中值得商榷的几点认识

1.应用题目一般很长

有些学生没有相关的生活经历，特别是农村学生，无法理解题意，如税收问题、贷款问题，等等.数学知识的应用固然重要，但不能要求过高，不能为了“应用”而应用，教材中牵强的、要求过高的地方出现的比较多，与学生的实际情况有距离.如：《必修1》76页例6，《必修4》第六节《三角函数模型的简单应用》中的例3、例4等题目，脱离学生的实际水平，题目失去了设置的意义.应用问题应基础、基本，让学生感觉数学就在身边，自己有能力解决许多问题，以免造成看见应用问题就害怕的局面.

2.不重视对概念下定义

造成学生学完后没有形成概念知识，缺乏知识的完整性、系统性，结果是教师到了高三仍要补充相关的概念定义.有时教材为了减轻学生的负担，简化概念的定义，如：三角函数的定义不具有普遍性，学生在练习“已知角的终边过点P（3，4），求角的三角函数值”时结果出现错误.建议采纳旧教材的三角函数定义.

3.例、习题设计需进一步斟酌

新课程实施中，发现课本例题与习题不够配套，如《数学》必修2所提到的“斜线与平面所成的角”，安排了难度不低的例题2，但没有一题相应的练习题、习题，让人摸不着头脑；有些题目设计不够严谨；有些知识点衔接不好，如学习直线的斜率时由于没有学三角函数，很勉强地加了公式；教材很多都以物理为背景引入数学知识，但两个学科在时间上有时差，如由“简谐运动”引出三角函数的曲线，由物体做功引出向量的数量积等，对学生学习新知识没有什么帮助.

4.淡化了定理的证明，不利于培养学生的逻辑思维能力

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2012年高考湖北数学试题创造性地融入了新课程理念与目前数学教学中的新思想、新观念和新要求，试卷整体突出了对高中数学基础知识、数学理性思维、数学应用能力和学生创新意识等方面的考查，成功实现了“考查目标以考查能力与素质为主，考查内容遵循《教学大纲》，依据教材，考查试题新颖脱俗突出重点”的命题指导思想.

1.贯彻课改理念，形成科学导向

2012年高考湖北数学卷集中体现出“结构合理、注重基础、灵活新颖、拓展思维、考查能力”的鲜明特色.试题立意鲜明、取材讲究、形式活泼，增强了考试的活力.命题者还在知识网络的交汇处设计问题，创设问题情景，把握住了时代的脉搏.

2.试卷结构合理，试题朴实无华

2012年高考湖北数学卷，重点突出，层次分明，以主干知识构建试题主体，在考查主干知识、学科整体意义上设计试题.重点内容重点考，主干知识反复考.考查函数、不等式、数列、向量、圆锥曲线、空间线面、概率统计、导数等主干知识及其应用的考题占全卷总分的80%左右.文理科新增内容均占总分的20%左右.

试题朴实无华的风格充分表现在淡化特殊技巧，注重通性通法的考查上.试题选材从考查基础知识出发，解题方法立足常规.试题的情境、载体和设问都力求公平、自然和贴切，不刻意设置障碍为难考生.试卷图文并茂，努力追求外部形式与内部结构的和谐统一.纵观文理全卷，不难发现考查基础主干是不变的旋律，重视探究应用是新课改的指向，力求推陈出新是永远的追求.绝大多数试题以简单的问题、常见的背景、基本的方法、规范的陈述呈现在考生面前，让考生能在宽松、平和的氛围之中进行数学思维和逻辑推理.

3.试题立足教材，摒弃题海战术

试题回归教材，增效减负，是2012年高考湖北文理试卷的又一亮点.2012年高考湖北数学文理卷通过将课本上的典型例题、习题、材料进行加工、改造、整合而成的试题的分值均超过了90分.如文10、理8由教材必修3，P140练习第1题改编而成；文3、理9由教材必修4，P45.2（2）加工而成；文16、理12与教材必修3，P15的程序框图如出一辙；文20、理18以教材必修5，P44例2为素材加工而成；文21、理21取材于教材选修2-1，P41例2.还有文科1，2，4，5，8，9，11，12，14，15，19题与理

科1，2，3，4，5，6，11，14，15，16，19题均是教材中例题、习题的类题、变题、组合题.不仅如此，试题的表达方式与语言叙述尽可能与教材保持统一.这种在源于教材的基础上推陈出新，适当引申拔高的命题方式，充分体现了“重视教材，重视基础，重视思想方法，重视综合能力”的命题原则.

4.注重传承创新，彰显数学文化

2012年高考湖北数学卷较往年更加成熟，文理试卷在保持稳定的基础上迈出了“稳中求变、变中求实、实中求新”的步伐.不少考题似曾相识，又未曾相识，全部命题以原创形式呈现，反映了命题者在考查考生创新思维能力方面所做的有益探索.原创题立足于基础，以考生熟悉、常见的问题为背景，给考生提供了一个公平答题的平台和机会，消除了考生心理上的恐惧，让考生能够正常发挥其真实水平.试卷一是注重数学知识的灵动.如文8的“求正弦比值”、文10的“阴影图形求概率”、文15的“几何体求体积”、文21的“探索参数m值”等等；理3的“定积分求面积”、理5的“二项定理求余数”、理13的“回文数求个数”、理15的“CD求最大值”、理22的“证明推广结论”等等，均力求在动态变化过程中设置问题，进而全面客观地检测考生的观察、联想、猜测、类比、探究等思维品质.二是注重数学知识的应用.如文15“用哑铃实物为素材的组合体求体积”、文19的“零件表面防腐加工处理”、理20的“工期延误天数的概率、均值、方差”等等，试题背景公平，贴近生产，关注生活.在体现数学的学科价值和人文价值的同时，体现出了数学与社会、人与自然的和谐统一.三是注重数学文化彰显.如文17的“古希腊毕达哥拉斯学派研究的三角形数”、理10的《九章算术》中近似计算“开立圆术”、理14的“优美双曲线”、文7理7的新定义“保等比数列函数”等等，从“古”“洋”“今”多层面、多角度、多方位地将知识、方法、能力适度交融，以彰显数学文化.“历史使人明智”，恰当地引入数学史料，展示其深刻内涵和完美形式，对开阔考生视野，启迪考生思维都大有裨益.这种“在传承中折射创新，在平和中凸显精彩”的命题风格，很有可能延续到2013年.

5.有效控制难度，正视文理差异

2012年高考湖北数学试题在整体安排上由易到难，由浅入深，由简单到综合.选择题、填空题、理科选做题都尽量减少计算量，考生只要概念清楚、基础扎实就能顺利得到基本分数.解答题均坚持设置一题多问，且层次分明、梯度合理，较好地控制了入口的难度，使考生易于上手，倍增信心，几乎每道题的第一问都很容易拿分，但完全答对则需要具备扎实的功底，因而从整体看去年的文理试卷都达到了“难度适中，坡度平缓”的效果.同时，命题者根据文理科的教学实际和高校对文理考生的不同要求，对文理科考生群体在数学学科上表现出的差异，给予了准确的定位，文科试题重视数学的工具性和形象性，理科试题突出数学概念的深刻性和抽象性.

6.倡导素质教育，突出能力考查

2012年高考湖北数学卷的命题重点是考查考生运用数学知识分析问题的方法和解决问题的能力，它包括逻辑思维能力、运算求解能力、观察分析能力、数据处理能力、空间想象能力、创新应用能力.创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现，知识的迁移、组合、融合的程度越高，展示能力的区域就越宽，展示能力的层次就越厚，显现出的创造意识也就越强.2012年高考湖北文理数学试卷保持了这种命题的特点，全卷没有出现偏难、偏怪的试题，命题者力图通过简洁通俗的语言表达，让考题不仅能考查考生数学知识的积累是否达到了能够进入高校学习的基本水平，还能以数学最基本的问题为载体测量考生将知识迁移到不同情景的能力，突出了试卷甄别、选拔、导向的功能.这再一次向考生传递出一种新的信息，即减少重复训练，跳出题海战术，理解数学本质，发展数学能力是数学学习之根本.因此，高三数学复习备考应把培养学习兴趣放在首位，注重独立思考，努力做到“自主学习、自由交流、自发探究”.

分析2012年高考湖北数学试题，可以看到新高考呈现出融数学教育的新思想、新观点、新理念于数学命题之中，在数学认知、理性思维、数学应用与创新和数学人文价值等方面设计试题，努力实现数学的文化性、应用性与理论性的有机结合与相互渗透.给考生的启示是：