不等式在中学数学中的应用范文
时间：2023-09-21 17:35:57
导语：如何才能写好一篇不等式在中学数学中的应用，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。
篇1
一、不等式证明的三种基本方法
（1）比较法：主要有两种作差比较和作商比较，做差主要是用两个数相减和0作比较大小。即：[a-b>0?a>b]，如[a>b]则[a-b>0]；当[b>0]时，[a>b?ab>1]。比证明的方法中比较法是最常用的方法，同样也是最重要的一种方法，一般根据一些题设最终会转化为等价的比较法。
（2）分析法：一些求证的不等式，往往看似无从下手，思路不显而易见，这种情况选择分析法探究证明途径，寻找可以使不等式成立的条件。
（3）综合法：从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。
二、思想方法
1.不等式中常见的基本思想方法
（1）等价转化。比如说，高次幂函数除以高次幂函数时，同时除以同类项，将高次等价转化为低次等。
（2）分类讨论。当在解决问题的过程中遇到棘手的问题时，分类讨论是首先的方案，但是没有遇到需要分类讨论的问题是，一般不提前采用。
（3）数形结合。有些不等式的解决可化为两个函数图像间的位置关系的讨论等几何问题。
（4）函数方程思想。根据题意判断所求解的区间。如“标根法”实际上是一种函数方程思想。
2.证明不等式的常用方法
课本上介绍了一些常用方法，还有下列几种解法：
（1）放缩法
[若证明A≥B，我们先证明A≥C，然后再证明C≥B，则A≥B。]
（2）反证法
[反证法是通过否定结论导致矛盾，从而肯定原结论的一种方法。]
（3）数学归纳法
证明与自然数n有关的不等式时，常用数学归纳法。此法高考中已多次考查。
（4）变量代换法
变量代换是数学中的一种常用的解题方法。在解题过程中往往会一些结构复杂，变化多并且关系很不清楚的不等式，这个时候就需要引进一些新的变量进行替代，从而简化解题过程。具体技巧有局部代换、整体代换、增量代换等。
（5）函数方法
[通过利用函数的性质]，如[单调性、凹凸性、有界性、实根存在]的条件等证明不等式的方法称为函数方法。
（6）构造方法
不等式证明中的构造方法，主要是指通过引进合适的恒等式、数列、函数图形及变量等辅助手段，从而使命题转化，进而不等式得到证明。
总结：不等式是高中数学的重要内容，其应用主要体现在两个方面：其中一类是不等式穿插在其它的数学问题中的一起考查，形式体现在求未知数的取值范围，要想解决这类问题就必须进行等价转化.值得注意的是必须要考虑到各考点之间的相互联系，灵活的应用不等式的各种方法.另一类不等式问题就是利用不等式来解决生活中的实际问题，这类问题的做题方法是应认真审题，挖掘题中的内在联系，找出题中的隐含条件，然后根据具体的实际问题设想成为数学问题，再运用已学的有关知识对已经建立起来的不等式的解决.总之，不等式既是一类高中数学题型，又是一种解决数学问题的一种方法。学好不等式就成为高考成功的必经之路。
参考文献：
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[5] 李锦昱.从一道模拟试题谈《不等式选讲》的考查变化[J]. 广东教育（高中版）. 2010（Z1）
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[7] 宁连华.对高中选修课程《不等式选讲》的认识与思考[J]. 数学通讯. 2009（22）
篇2
数列与不等式的链接是考试中的热点话题，这类问题不仅能考查多方面的知识和技能、技巧，而且对于思维能力也提出了较高的要求，常成为试卷中的“制高点”。值得重视的有以下几种类型：证明不等式；比较大小；研究单调性；求最值；求取值范围等。证明不等式，分析法是证明不等式的一种重要方法，其作用不可小视。下面我们看一道例题。
2.均值不等式与函数结合
第一：函数与方程思想
（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。
（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。
第二：数形结合思想：
（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面。
（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系。
在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。
数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。
第三：分类与整合思想
（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。
（2）从具体出发，选取适当的分类标准。
（3）划分只是手段，分类研究才是目的。
（4） 有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。
（5） 含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。
第四：化归与转化思想
（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。
（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。
（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。
第五： 特殊与一般思想
（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。
（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。
（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。
（4） 构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。
（5） 高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。
第六：有限与无限的思想：
（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。
（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。
（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。
（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查。
在现代科学技术领域中，随着计算机的诞生和日益普及，教育教学也在不断发展，因此教育技术也有了翻天覆地的变化。计算机科学技术把教学媒体与传统教育相结合，不但深化教学，加大信息容量，也提高课堂的教学效率。利用软件资源，融合声音、图形、动画、视频等多种媒体信息传授知识，使师生交流更方便、更快捷，使教育的目的更突出。
计算机辅助教学最大特点就是利用计算机技术的交互性有效地辅助教学，提高教学效率。人机交互是其他媒体所没有的，在交互式教学环境中能有效地激发学生的学习兴趣，使学生产生学习欲望，从而有利于发挥学生的主体作用。数学作为一个传统的科目，课堂教学则要求学生在教学活动环境中通过积极的思考，不断深入理解这门科学。如何合理地将计算机科学技术与数学教学相结合已成为我们不断探讨和实践的问题。
一、 运用计算机科学技术，辅助数学教学活动，突出辅
在传统的教学过程中，从教学内容、教学方法、教学总结、教学练习都事先安排的，学生只能被动地参与这个过程。而利用计算机科学技术的交互性中学生则可以按照自己的基础、兴趣来选择适合自己的学习方式，学生在探索数学问题中计算机科学技术只是的一种手段和工具，起到辅助作用。比如说，数学建模（Mathematical Modeling）整个过程中模型求解，模型分析，模型检验这三部分都需要应用到计算机科学知识。利用计算机科学技术解决科学计算，就是把实际问题转换为程序，经过对问题抽象的过程，建立起完善的数学模型，我们才能设计良好的程序解决问题，从中不难看出计算机科学技术中在数学建模中的重要性及密不可分的关系。但是在影响教学效果的多种因素中，计算机对于教学的仅仅只是一种“辅助”手段，而教师的责任感、良好的师生关系是任何计算机都无法替代的。
二、在计算机科学技术辅助数学教学环境下，要正确处理好教师、学生、计算机三者的关系
数学知识是从生活实践中提炼出来的，来源于生活，但比现实生活更严密、更精确，更抽象、更具有创造性。因此在传授数学知识时应尽可能地考虑学生的生活经验，把数学课堂与学生的生活经验有机结合起来，才能促进学生对知识的理解和掌握，计算机科学技术辅助数学教学的这种过程，需要教师和学生与计算机之间相互学习，相互适应时才可能发挥最佳的效果。
1.教学手段的改革性让数学教学手段灵活起来。传统的教学是由教师、学生和教材这三个要素构成的，在现代化教学环境下还增加一个要素，这就是教学媒体。教育改革的理念是终身学习，教师要努力培养数学专业素养，还应积极参加计算机方面的学习和培训，学习一些与数学教学相关的软件和先进的教育技术，并应用到教学实践中来，达到好的教学效果。例如：“几何画板”、“几何专家”和“Frontpage”、“ Excel”、“ Powerpoint”这一类软件通过计算机科学技术引入数学课堂，使数学课堂教学图文并茂、增大信息量、动静结合，有着传统教学手段无法比拟的优越性，使之能提高数学课堂的效率，突破教学难点。
篇3
关键词：构造 构造法 模型 不等式
1. 引言
近年来，有关不等式证明的题目愈来愈多地出现在各级数学竞赛、高考中，是竞赛、高考中热门话题之一。不等式证明的方法很多，从化简特征上看可分为两大类：一是利用不等式的性质及重要不等式；二是辅助方法，通过变量代换，构造辅助元素（如图形、函数、方程、代数式、反例等）来达到证明的目的。
构造性解题方法（简称构造法）是一个古老而又崭新的科学方法，历史上许多著名的数学家，如欧几里得、高斯、欧拉、拉格朗日、康托等，都曾运用这一方法解决过数学难题。构造法是数学中一种极富技巧性和创造性的解题方法，当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题的结构特征和内在规律，要么把题设条件中的关系构造出来，要么将关系设想在某个模型上得到实现，要么将已知条件经过适当的逻辑组合而构造出一种新的形式，从而使问题等价转化为与之相关的函数、方程和图形等，再进行求解。构造法本质上属于转化思想的范畴，但它常常表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性。运用构造法证明不等式，重在“构造”根据由已知条件与要证的结论所提供的信息进行联想、类比，构造数学模型，通过对这个数学模型的研究去实现原问题的解决。本文归纳总结了构造法在证明不等式中的应用，并就构造函数模型、几何图形模型、数列模型、方程模型、代数式模型和向量模型五个方面进行了初步的探讨。
2. 主要内容
2.1构造函数模型
我们常常利用一次函数的线性性质、二次函数的最值以及函数的单调性等性质证明某些不等式问题。在证明不等式时，抓住不等式与函数的密切关系，以问题的结构特征为起点，构造相应函数，从函数的思想和方法来解决问题。
2.2 构造方程模型
解不等式的实践告诉我们，不等式的解区间的端点就是它相应方程的解，正是利用它们之间的这种内在联系，可设法构造方程来证明不等式。
例2若{a }是由正数组成的等比数列，S 是它的前n项的和，证明：S ・S ＜S。
分析：联想到二次方程的=6 -4ac，因此可以试用构造二次方程的办法解决问题。
解：构造一元二次方程S x +2S x+S =0?摇?摇?摇 ①
S 是正项数列前n项的和
说明：这里为解决有关数列差的问题，由联想构造出了一个一元二次方程，由于易于判断它的根的性质，从而达到了证明Δ＞0的目的，转而证明了数列问题，这里就是典型的构造法。
2.3 构造几何模型
把已知条件或要证不等式中的代数量直观化为某个图形中的几何量，即构造出一个符合条件的几何图形，便可应用该图形的性质及相应的几何知识证明不等式。
例3正数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cA＜k 。
用构造法，数形结合，得出此不等式的巧妙证法。
证明一：由求证的不等式联想到面积关系，有所设条件联想到构造以边长为k的三角形，如下图所示：
证明二：由求证的不等式联想到面积关系，由题设条件式联想到以边长为k的正方形。如下图所示：
上面从代数和三角各举了一例。从上面两道例题足以说明：利用几何图形来证明不等式，不仅能使有关问题简捷获解，更重要的是能提供有效的几何直观，以加深对不等式实质的理解。但在用这种方法时应注意：
（1） 构造几何图形不能盲目乱凑，要有正确的思考方法。从上面例子可得出总的思考原则：先寻找题目条件与所求问题中给出的各种式子的几何含义，然后考虑可借用哪些有关的几何概念和性质，在这些基础上进行设计，构造出合适的几何图形。
（2） 此法不是对所有的代数或三角题都适用。因此，这种方法既要用得当，又要解法比较简便。这就要求我们所构造出的几何图形比较简单，切不要故弄玄虚，生硬拼凑出复杂的几何图形来解题。
2.4 构造向量模型
例4设a、b为不相等的正数，求证：（a +b ）(a +b )＞(a +b ) 。
分析：利用向量的数量积不等式
|m|・|n|≥|m・n|。
证明：设m=(a，b)，n=(a ，b )，利用向量的数量积不等式有|m|・|n|≥|m・n|。由于a≠b，故ab -a b≠0，也即向量m与n不是平行向量，故|m|・|n|＞|m・n|，|m| ・|n| ＞|m・n| ，即（a +b ）(a +b )＞(a +b ) 成立。
2.5 构造数列模型
例5求证：C+C+…+C＞n・2 。
分析：不等式左边即为2 -1= ，从而联想到等比数列的求和公式，于是
将上述三式相加并整理，即得x +y +z ≥ 。
3. 总结
构造法证明不等式涉及的内容很广，综合应用了转化函数、方程、数形结合等多种思想方法。其构造的形式也很多样，例如构造复数、构造向量、构造数列、构造反例等也是常遇到的。这也充分体现了构造法在中学数学教学中的教学价值：提高学生对数学模型的敏感性和数学解题能力，培养学生的创造性思维能力和审美能力。
参考文献：
［1］王延文.构造法证明不等式［J］.中等数学.1997，(2)：16.
［2］杨世海.浅析构造法极其教学价值［J］.中学数学教学参考，2004，(7)：29.
［3］王延文，王瑞.构造函数证明不等式［J］.中学数学杂志，2002，(2)：18.
［4］赵春祥，赵文涛.构造函数解（证）不等式［J］.数学通讯，2000，(17)：17.
［5］张君达.高中数学奥林匹克专题讲座［M］.北京：光明日报出版社，1993：295.
［6］刘桦.精心联想，巧妙构造［J］.中学数学教学，1988，(1)：14.
篇4
【关键词】均值不等式 几何解题 应用
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0164-01
1.均值不等式的基本知识
均值不等式应用的先决条件是对己知条件或目标不等式的相关项或因式进行分拆分组，使之符合均值不等式的结构，而待定系数法则是帮助我们进行合理配凑的技巧之一，待定系数由配凑的目标确定，它常依赖于等号成立的条件、与相关常数的吻合以及分组后的局部不等式的构造[2]。也就是说，求待定系数的过程与应用均值不等式的过程自然地统一起来了。
常见的不等式公式，如a2+b≥2等等，其中不定值在什么情况下，以什么数值出现时，其公式会产生什么变化，这些都需要谨记。
应用最值定理必须注意：一正二顶三相等。“一正”即各项或各因式必须为正数；“二定”即必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；“三相”等要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。
2.均值不等式具体应用
2.1用于平面几何
各省市的高考试题中对均值不等式的考查，均以最值问题为背景，利用均值不等式求最值问题是考生必须掌握的基本技能和重要的解题方法。
例1：设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB-bcosA=c。其中不等式成立的前提条件a，b为正数。
点评：这道题从表面上看是简单的几何模型问题，但是在求解面积时涉及到面积的最大值，进而将集合问题转换为均值不等式应用问题。只有将求解中t放入根号中变为t2，出现均值不等式的定值才能顺利实现解题的目标。
均值不等式是高中数学教学中重要内容，在数学解题及生活实际中有着广泛的应用。但是在实际的解题过程中，很多学生在遇到看似复杂的问题时不能灵活的使用不等式来解决问题。本文通过对均值不等式在几何解题中的应用研究，总结了均值不等式的基本知识，并在此基础上分析均值不等式的具体应用，希望以此对中学数学中均值不等式的理解和应用有所帮助。
篇5
关键词： 数形结合 数与形 以形助数
以形助数就是把数量关系转化为图形的性质来确定，借助形的生动直观性来阐明数量之间的联系，即以形作为手段，数作为目的.实际上，在某些问题上常用的方法就是数形结合，如有关集合问题，在正确理解集合的概念及运算意义的基础上，合理运用文氏图和数轴；常结合图像去研究函数的单调性、对称性、值域等；结合图像研究一系列与二次方程的根的分布有关的结论；利用二次函数的图像直观地处理与二次方程、不等式有关的问题；利用单位圆、三角函数的图像研究三角函数问题；向量的基本概念和基本运算都可以与有向线段结合起来；在解线性规划问题时常把约束条件转化为平面区域（可行域）而用一族平行直线ax+by=z表示目标函数z=ax+by……由此可见数形结合在各个知识点中都被广泛地运用着.灵活运用数形结合的思想方法在数学学习中具有重要意义.下面从解题的对比说明问题.
1.与不等式有关的问题
例1：若不等式|x-4|+|3-x|＜a的解集为空集，求a的取值范围.
这道题目是已知不等式的解集求未知的参数，是考查不等式解法的逆向运用，解这道题的一般思路是：先对a分类讨论：（1）a≤0时，不等式的解集为空集，符合题意；（2）a＞0时，先求不等式有解时a的取值范围：a＞1，从而得当0＜a≤1时，原不等式的解集为空集.然后求出（1）（2）两种情况的并集：当a≤1时，原不等式的解集为空集.整个解题过程涉及分类讨论，去绝对值，多次解不等式.按照这种方法去解题，易出错，花费时间多.如果我们运用数形结合方法，显然|x-4|+|3-x|=|x-4|+|x-3|表示数轴上的点x到3和到4的距离之和（图1），其最小值为1.即|x-4|+|x-3|≥1，若|x-4|+ |3-x|＜a的解集为空集，只需a≤1所以a的取值范围是a≤1.后一种方法明显比前一种方法简单、清楚，运算量小，出错率低.
2.与函数有关的问题
例2：求函数y=的最大值和最小值.
解：y=，令A（2，0）、B（cosx，-sinx），点B在单位圆x+y=1上，y=k.由图2可知：当直线AB与单位圆相切时，斜率有最大值及最小值，容易求出k的最大值为，最小值为-.
3.与轨迹有关的问题
例3：设x，y∈R，i，j为直角坐标系内x，y轴正方向上的单位向量，若向量=x+（y+2），=x+（y-2），且||+||=8，求点M（x，y）的轨迹C的方程.
分析：如果纯粹从向量的模的代数意义上考虑，||+||=8，可化为+=8，再通过移项，平方等步骤得出轨迹方程，整个方程需要两次平方去根号，从学生解答的情况看，很容易出错.如果从向量的模的几何意义上考虑，+=8指的是动点M（x，y）到两定点F（0，-2）、F（0，2）的距离之和为8.由椭圆的第一定义可知，轨迹C就是以F，F为焦点的椭圆，其方程是+=1.
这道题充分反映了数形结合的优势.有些问题比较特殊，采用常规方法来解，推理运算过程复杂，如果利用数形结合的方法来解，就可以使推理运算过程简化.有意识地开发并利用解析几何中的“形”去思考、分析并解决问题，可以拓宽思路，有利于提高综合运用知识分析问题、解决问题的能力.
4.与最值有关的问题
例4：若|z|=1，求|z+i|+|z-6|的最小值.
解：|z|=1，复数z对应的点P在单位圆（如图3），
|z+i|+|z-6|表示点P到A（0，-1），B（6，0）两点之间距离的和，即：|z+i|+|z-6|=|AP|+|BP|≤|AB|=.
故|z+i|+|z-6|的最小值为.
数形结合的思想方法是数学中重要的思想方法之一，它可以使某些抽象的数学问题直观化，生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.我们在解题中充分应用这种思想方法，对培养学生的数学素质，提高学生的解题能力，发展学生的思维会有很大的帮助.
参考文献：
［1］蔡惠萍.数学通报.几何图形在代数解题中的应用，2004.3：20-21.
［2］周润玲.中学数学研究.解析几何中“形”的开发和利用，2004.1：21-22.
［3］吴翠纹.中学数学研究.例谈数形结合思想在中学数学中的运用，2004.7：9-11.
［4］齐如意.中学数学研究.巧用数学思想解不等式，2005.1：41-43.
篇6
一、数形结合思想在中学数学中的地位与应用
美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化成一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”这就表明解题时若能挖掘问题的几何意义配以适当的图形，就有利于分析题中数量之间的关系，丰富想象，拓展思路，化繁为简，化难为易，迅速找出解决问题的方法，提高分析和解决问题的能力。
二、数形结合思想在中学数学解题中的应用举例
1数形结合思想与参数方程、不等式的关系问题
例1：讨论关于x的方程x2-2|x|-3=a（a∈R）的实数解的个数。
解法一：（常规思路）因为方程中含有绝对值，所以分x≥0和x＜0来求解。方程比较复杂，对于大多数高中生而言是比较困难的。
解法二：（数形结合思想）把等号两边分别看成2个函数，即令f（x）= x2-2|x|-3 ，g（x）=a作出f（x）的图象，函数g（x）是与y轴垂直的直线。观察图形可知：a＜-4时，两图形无交点，即原方程无解。a=-4时，两图形有两个交点，即原方程有两个解。-4＜a＜-3时，两图形有四个交点，即原方程有四个解。a=-3 时，两图形有三个交点，即原方程有三个解。a＞-3时，两图形有两个交点，即原方程有两个解。
结果表明：用常规的解题思想很难下手，可以说根本就没办法做出，而用数形结合思想则可以很准确地得出答案，思路明确。
在参数方程中，我们还会遇到已知参数方程的解求参数的问题。我们同样可以利用例1的方法，如例1就可以转化为此类题型，由参数方程解的个数即为函数f（x）和g（x）图象的交点个数，结合图形就可求出参数a的取值范围。
结果表明：用解法一这种常规思路来解答此类题比较复杂，容易出错。而用数形结合的思想方法来分析、解决此类问题是比较方便、简捷、一目了然的。
2数形结合与不等式的解
例2：设f（x）=|2x+1|-|x-4|，解不等式f（x）＞2。
解法：（数形结合思想）作出函数f（x）=|2x+1|-|x-4|的图象如图，它与y=2的交点为（-7，2），（5/3，2）所以它的解集为x＞5/3或x＜-7。
结果表明：数形结合思想可以较快地把题解出。
例3：不等式的证明：已知a,b,c,d∈R,m=a2+b2+c2+d2,n=(a－c)2+(b－d)2，求证：m≥n。
证明：m=a2+b2+c2+d2=(a－0)2+(b－0)2+(c－0)2+(d－0)2，n=(a－c)2+(b－d)2，在直角坐标系中，设P(a,b),C(c,d),O(0,0)，由下图可知，m=PO+CO≥n=PC(三角形两边之和大于第三边，当O点在线段PC上取等号)。
3数形结合思想与最值、值域问题
例4：实数x，y满足等式（x-3）2+y2=3，求y/x的最大值。
解法：（数形结合思想）可观察y/x的结构即为过点（x,y）与点（0,0）的直线的斜率k，而过点（0，0）的直线与圆相切时k最大。如图所示：
设直线方程为y=kx，则d=3k/k2+1=3，所以k=2/2（取k＞0），所以y/x的最大值为2/2。
篇7
一、柯西不等式的一般形式
二、柯西不等式与点到直线距离公式的联系
笔者将通过对高中阶段一道常见的最值题目进行研究，得到两种“形很远”而“神很近”的解法，进而找到柯西不等式与几何中距离问题的联系.
使用方法二处理时，若问何时取得最小值，还可以运用求两垂直直线AB与OE交点的方法，得到最值在点E（15，25）处取得.
比较上面两种方法，不难发现：两种解法的解题思路相去甚远，一种是从代数的方向，使用柯西不等式；而另一种则是从几何的方向，使用点到直线的距离公式.然而不论是最终的结论与还是中间的解题过程，两种方法都是完全相似的.
那么，柯西不等式和距离之间是否有某些联系呢？能否用柯西不等式证明平面内一般性的点到直线的距离公式？空间上有点到平面的距离公式吗，如何定义？
在高中数学必修二中，课本采用平面解析几何的方式，求出过已知点垂直于已知直线的新直线的方程，再运用方程的思想，联立方程组，求两相交直线的交点坐标，最终运用两点的距离公式得到点到直线的距离公式：平面上的点P（x0，y0）到直线ax+by+c=0（a，b不全为0）的距离为d=|ax0+by0+c|a2+b2.然而，此方法虽然思路简单，但证明过程却非常繁琐.下面笔者将运用柯西不等式证明平面上点到直线的距离公式.
三、运用柯西不等式类比导出点到平面的距离公式
我们知道柯西不等式不仅仅适用于二维的情况，三维乃至n维它仍然适用.由于高中阶段对三维空间上的立体几何也有比较高的要求，因此下面重点应用三维的柯西不等式，得到类似于平面上点到直线距离公式的新的空间上点到平面的距离公式.
四、点到平面的距离公式在立体几何中应用
篇8
在中学数学的教学中，对“数形结合”、“由形到数”，解题时可以观察图形的特征以及数量关系。“数”“形”“数形结合”思想不仅对于学生掌握知识变得统一，更是一种思维的训练与提高的过程。函数的单调性解决不等式、函数与数列、函数的思想对于解决方程根的分布问题。函数与解析几何等等都会应用到。但是传统的教学中，重视表层知识的学习的现象弊端太多，数学学科是一种抽象思维的学习学科，不同于语言思维，过于感性化，不够严谨与理性，而数学思维是抽象性、理性严谨的知识体系学科，如果不注重思维学习的方法，是不能达成教学效果和目标的实现的，不利于对于数学学科的学习,难以提高。
2.“数形结合思想”在实际生活中的应用
将实际问题转化，运用数形结合的思想去解决。“数形结合”思想可以帮助理解抽象的问题，会在实际生活中有很大的应用。“数形结合”的思想不仅在教学中有用，利用数形结合的思想来解决现实生活中的问题有很大的帮助。例如：对于在实际生活的中，需要地域500元购入60元的单片软件3片，需要购入70元的磁带2个，额选购方式有几种？其实这样的题目就是对于数形结合思想、排列以及数学中不等式的解法的考查，那么只要设需要软件x片，需要磁带y盒，然后列出不等式，相反，如果用列举法一一列出，是可以解决的，但是过程就会变得麻烦。因此，掌握数形结合思想对实际问题的解决作用是很大的。
3.“数形结合思想”在几何当中的应用
中学数学中对于“数形结合”思想对于直线、四方形、圆以及圆锥曲线在直角坐标系中的特点，都可以在图形中寻找解题思路。不论是找对应的图像，以及求四边形面积等的几何问题都有很大的应用。例如：已知正方形ABCD的面积是30平方厘米，E，F是边AB，BC上的两点，AF，CE并且相交与G点，并且三角形ABC的面积是5平方厘米，三角形BCE的面积是14平方厘米，要求的是四边形BEGF的面积。在求解过程中，结合图形，连接AC\BG并设立方程可巧妙求解。可见，在具体实际的几何中的分析与思考，运用到数形结合思想就会将问题变得简单。
4.结语
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一、引言
在中学数学学习中，掌握一定的数学思想方法远比掌握一般的数学知识要有用的多.转化思想是我们解决问题经常采用的一种方法，它也是一种最基本最重要的思想方法.转化思想又称转换或化归思想，是一种把待解决的问题经过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去.能掌握并合理利用这种方法，将对学生数学思维的培养、解题方法的灌输等产生重大而深远的影响.
二、转化思想的概念
1.转化思想的定义
从转化思想的本质上讲，转化思想可分为等价转化思想和非等价转化思想.等价转化前后是充要条件，即旧问题通过转化成新问题的过程中不需要限制条件，新旧问题完全等价，这种转化思想就叫做等价转化思想。必要的验证，不等价转化在明确附加限制条件后也有等价转化同样的意义和应用.
2.转化思想遵循的基本原则
（1）、熟悉化原则.就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，利于我们应用熟知的知识、经验来解决问题.
（2）、和谐化原则.指转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐形式，或者转化命题，使其成为有利于运用某种数学方法或其方法符合的思维规律.
（3）、简单化原则.就是将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的或获得某种解题的启示和依据.
三、转化思想在数学解题中应用的范围
当人们面临一些新问题，用正规的思维方法不能解答时，我们就需要转化为我们熟知的已解决问题中，从而使未解决的问题变得熟悉和简单，体现了转化思想的熟悉化原则.
1.转化思想在集合中的应用
集合是现代数学的基本概念，是研究数学问题的基础和工具，可见其重要性.在解决一些集合问题时从集合的表达形式不好入手，就需要进行转化，转化到我们所学过的知识上，这样便能迅速的得到解决问题的思路，如：是的子集可以转化为、等.
说明：点的交集问题往往可转化为曲线之间的公共点问题，进而转化为方程组求解的问题，或者使用数形结合的思想将问题的题设和结论转化到图形中，使问题直观形象化，从而有利于问题的解决.
2.转化思想在方程、不等式中的应用
可以说每个方程、不等式的解决都渗透了转化思想，将方程和不等式中的未知数向已知数转化就是一个典型的转化，当然在解题的过程中转化思想也随处体现，例如：将分式方程转化为整式方程；将无理方程转化为有理方程；将分式不等式转化为整式不等式等等.
说明：在解分式方程或分式不等式时都要转化为整式方程或整式不等式，在转化的过程中注意原式分母的取值情况.
3.转化思想在几何中的应用
在解决代数问题时我们常用到数形结合的思想，即由代数式转化为图形，而在解决几何问题时，我们所用到是形与形之间的转化，即在一个大图形中实行局部图形之间的转化或是在多个图形中根据相似、全等等特征实行线段与线段、图形与图形之间的转化.
例3 如图4-1所示，是半圆的直径，过作的垂线，在这垂线上任取一点，过作半圆的切线，为切点.作，连结交于，求证：.
分析：由题意，，，.则是的位似对应线段（以为位似中心，以为位似比）.欲证点为的中点，只需证明点为的位似对应线段的中点即可.连结并延长与的延长线交于，连结， 为半圆直径，，，为直角三角形，欲证，只需证即可.、同为切线，，只需要证明.即要证，又，，于是问题解决.
证明（略）.
说明：在上述解决几何问题的过程中，我们用到了线段与线段之间的转化思想，这种转化方式称为线段的位似转化，通过线段之间的联系将未知线段通过已知线段求解出来.位似转化思想在图形与图形的转化中也是适用的.
例4 求证等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于腰上的高.
已知：在中，，是上任一点，交于，交于，交于.求证：.
说明：利用面积法解决图形中的线段关系，从已知条件出发，使未知条件与已知条件联系在一起，找到解题的思路，从而解决未知问题.
五、结论
1.意义
数学转化思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想. 转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较轻易解决的问题，是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中.
2.局限性
数学转化思想在中学数学中的应用广泛，无论是数与数之间的转化、形与形之间的转化还是数与形之间的转化都是转化思想的重要体现，数学转化思想的应用渗透于代数和几何两个学科的方方面面，本篇论文只是针对其中重要的几个方面做论述，未涉及到数学的整个领域.