高中数学圆和椭圆的知识点范文

导语：如何才能写好一篇高中数学圆和椭圆的知识点，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

一、数形结合思想，增强直观感受

师：同学们，在我们的生活中存在着各种各样的椭圆，你们知道椭圆是如何画出来的吗？椭圆又有什么性质吗？

生1：椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.

师：说得没错，根据我们以前学习的知识，椭圆就是轴对称图形，也是中心对称图形.那么接下来就看老师在黑板上画的这个椭圆，要观察老师是如何画的.

（然后教师就用一根绳子、两个图钉和一只粉笔画出了椭圆，同学们都被教师画的过程惊呆了.）

师：同学们，有没有感觉到椭圆画起来很神奇呢？

生：是.

师：那么就需要接下来好好听老师讲解椭圆的性质.我们一般会以椭圆的中心为原点，以对称轴为坐标轴建立坐标系，就是这个样子的，同学们看仔细了.还有这两个比较短的轴我们就叫做短半轴，而两个比较长的轴我们就叫做长半轴.同学们明白了吗？

生：明白了.

【设计思路：让学生对学习的内容产生兴趣，这就需要让学生对椭圆有直观的感受，因此就需要利用数形结合的方式来加深学生的印象，教师在作图的时候，学生也会紧跟着教师的思路，积极思考教师提出的问题，这样就能够大大提升教学效率.】

二、函数与方程思想，简化解题过程

师：我们已经对椭圆的基本性质有了了解，现在同学们来思考一下椭圆的表达式是怎样的呢？椭圆的方程和我们之前学过的哪个图形的表达式比较相近呢？

生：椭圆和之前学过的圆比较相似.

师：没错，在圆中，长轴和短轴是相等的，但是在椭圆中是不相等的，因此我们的椭圆表达式就如下所示，x2a2+y2b2=1 （a>b>0），其中c2=a2-b2；y2a2+x2b2=1（a>b>0），其中c2=a2-b2.前一个式子是长轴在x轴上的椭圆的表达式，而第二个式子是长轴在y轴上的表达式，同学们明白了吗？

生：明白.

师：那么接下来老师问同学们一个问题，如果求某条直线和椭圆之间的关系，同学们如何来进行思考呢？想一想直线和椭圆之间的关系和我们之前学过的哪些知识比较相近.

生1：和直线与圆之间的关系比较相近.

师：那我们之前是如何来进行圆与直线之间的关系处理，那么又如何将以前的方法迁移过来呢？

生1：以前是将圆和直线的方程联立起来，建立方程来进行解答，看二者之间的解的个数.

师：说得没错，我们以前就是将几何问题转化为函数方程问题来进行解决，那么我们是否能够将这种函数方程的思想迁移到这里呢？

生1：可以，我们也可以将椭圆的方程与直线的方程联立起来，看解的个数就知道直线与椭圆之间的位置关系.

师：真聪明，要解决直线与方程之间交点问题，需要做的就是联立方程，求共同解，这样就能够很快得出结果.

【设计思路：对学生渗透函数与方程的数学思想，教师并不是立即就告诉学生答案，而是对学生进行引导，将之前学习的知识引申到新的知识点的学习中，这样学生对于新的知识点就能够自然而然地接受，学生以后在进行新的数学问题解决的时候，也学会将以前学过的数学思想借鉴过来.】

三、分类讨论思想，锻炼逻辑思维

师：同学们，我们刚才探究了直线和椭圆之间的问题，那么椭圆和直线之间的关系应该有几种呢？（学生沉默.）

师：那么同学们想一想直线和圆之间的关系有几种呢？

生1：三种，相交，相切以及相离.

师：那么直线和椭圆之间的关系是不是也应该有这三种呢？

生：是的.

师：同学们在看到直线的表达式中含有字母的时候，在探究与椭圆的问题的时候，就需要对字母进行分类讨论，只有通过分类讨论才能够将所有的情况都考虑进来.同学在以后的学习中也需要具备这样一种分类讨论的思想，明白吗？

生：明白.

篇2

关键词： 数学 读、听、讲、写与用

高中数学的学习关键在于学习方法的掌握，而数学中的读、听、讲、写与用是学好数学的关键之关键。那么怎样才能实现数学中的读、听、讲、写与用，在此谈谈以下看法。

1 高中数学学习中的“读”

在教学中教会学生读书，引导学生进行联想，善于发现各个问题之间的联系，揭示问题之间联系的规律，有利于开拓学生的智力，培养学生的逻辑思维能力，从而提高教学效果。

首先是阅读教材：读教材包括课前、课堂、课后三个环节。课前读教材可了解教材内容，发现疑难问题；课堂读教材则能更深刻地理解教材内容，掌握有关知识点；课后读教材是对前面两个环节的深化和拓展，达到对教材内容全面、系统地理解和掌握。这是因为教材是学生学习数学的主要材料，它是数学课程教材编制专家在充分考虑学生生理心理特征、教育教学质量、数学学科特点等众多因素的基础上精心编写而成的，具有极高的阅读价值。

其次是读书刊：除读教材外，学生应广泛阅读课外读物，如《中学生数学》杂志、《中学数学》等，从书刊杂志上关注我们日常生活中的数学，捕捉身边的数学信息，体会数学的价值，了解数学发展动态。数学学习中的“读”，需纸笔演算推理来“架桥铺路”，还需大脑建起灵活的语言转化机制。

2 高中数学学习中的“听”

高中数学学习中的“听”主要指课堂上听课，它是学生获取知识的重要环节，也是学生系统学习知识的基本方法。听课不仅指听教师上课，而且包括听学生的理解性的发言。在数学学习中“听”到知识并作出正确的判断，有利于促进学生得到的知识信息得以进一步升华。听教师上课主要是了解教师上课的思路，即发现问题、明确问题、提出假设、检验假设的思维过程。既要听教师讲解、分析、发挥时的每一句话，更要抓住重点，听好关键性的步骤，概括性的叙述。特别是自己读教材时发现或产生的疑难问题。听同学发言，倾听和接受他人的数学思想和方法，学生间的思想交流更能引起共鸣，从而进一步了解其他同学对数学的思考方法，开阔思路、激发思考、澄清思维、引起反思。

3 高中数学学习中的“讲”

高中数学学习中的“讲”主要是指学生用自己的语言去讲解数学知识，它是数学概念的理解与加深。一是教师在导学中的讲，是引导学生掌握知识的前提。教师的讲是关键，但不能因此把学生当作被动的学习工具。满堂灌已不适用于现代教育理念，但不能在关键问题上不加以重点点拨。所以“讲”必须讲出重点、难点，讲必须留有一定的让学生发挥的充分空间。二是学生在学习中的讲。根据教师所设计的问题，学生通过思考回答相应问题，通过学习再主动提出问题，同学间互相讨论发表自己的见解。

4 高中数学的写与用

学习数学的主要目的在于应用数学，数学中的用必须与练相结合，要解决数学中的每道题必须亲手做一遍。俗话说，眼看千遍不如手写一遍，只有动手试验才能体会数学知识内在的精华。因此教师必须让学生真正地动起来。课堂教学的有趣设计是关键。

课堂必须有重点，课堂的教学都是围绕着这个重点来逐步展开的。为了让学生明确本堂课的重点、难点，教师在上课开始时，可以在黑板的一角将这些内容简短地写出来，以便引起学生的重视。讲授重点内容，是整堂课的教学。教师要通过声音、手势、板书等的变化或应用模型、投影仪等直观教具，刺激学生的大脑，使学生能够兴奋起来，对所学内容在大脑中刻下强烈的印象，激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。如教学解析几何第二章的《椭圆》第一课时，其教学的重点是使学生掌握椭圆的定义和标准方程，难点是使学生掌握椭圆方程的化简。教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆形台面的直观图、圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面的影子等等，让学生对椭圆有一个直观的了解。为了强调椭圆的定义，教师事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解，尤其是上台板演的那两位学生，更是终生难忘。在进一步求轨迹方程时，学生容易得出结果，但化简却遇到了麻烦。这时教师可以适当提示：化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？学生回答：可以两边平方。教师问：是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？学生通过实践，发现对于这个方程，直接平方不利于化简，而整理后再平方，最后能得到圆满的结果。这样，椭圆方程的化简这一难点也就迎刃而解了，同时也解决了以后要学的求双曲线的标准方程时的化简问题。

只有通过自己的亲自体验生活，学生才会知道知识点的来龙去脉以及解决问题的方法。关键是讲解例题的时候，要能让学生也参与进去。教师应腾出十来分钟时间，让学生做做练习或思考教师提出的问题，或解答学生的提问，以进一步强化本堂课的教学内容。若课堂内容相对轻松，也可以指导学生进行预习，提出适当的要求，为下一次课作准备。

篇3

关键词：高中数学；数形结合方法；应用

同其他的学科不同，高中数学有很强的逻辑性，因此对学生也提出了更高的要求。要求其不仅要有空间想象能力，还要能够对数量关系进行解答。而对学生来讲，学习数学的过程是一个非常枯燥的过程，所以教师应想方设法将课堂效率提高。实践证明，在高中数学中应用数形结合方法，不仅能够调动学学生学习数学的积极性，还能够将学生分析问题、思考问题以及解决问题的能力有效提升。

一、应用数形结合方法来解决方程问题

一般情况下，在高中数学当中，都是以文字和代数式相结合的方式来展示方程相关的问题，而学生同这些题目接触的时候，即便能理解文字的含义，也很难将问题成功解答。而这很显然，学生不能将解题速度有效提升，而通过应用数形结合方法，学生能够在最短的时间内将解题方式以及解题途径找到，从而有效地提升其解题的效率和数学能力。比如以下这道例题：

已知圆心为H的圆和定点A（1，0），B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为椭圆，记为C，求C的方程。

在这个时候，可运用数形结合的方法，然后教师需要帮助学生分析：由圆的方程求出圆心坐标和半径，由|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4可得点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，则其标准方程可求。而后学生就会快速的找到解题思路，将这道题解答出来。通过“数”理念与“形”特点结合在一起，实现两者的相互促进和配合，能够为学生提供更广的思路，启发学生对问题的思考，从而助于学生快速的将问题解决。

二、数形结合方法在函数的应用

从某种角度来讲，函数是非常抽象的概念，而学习这一知识点，对于学生来讲，也有较大的难度。因此，在实际的教学中，可应用到数形结合的方法解决一些三角函数的问题。比如，有以下例题：

函数的零点个数是？

这道题主要的知识点就是，根的存在性及根的个数判断。因此首先要将函数的零点个数可化为函数与的图象的交点的个数，然后再将相关的图做出来就可以得到答案。

解：函档牧愕愀鍪可化为方程的解的个数，即函数与的图象的交点的个数；

作函数与的图象，通过图像可知

函数与共有2个交点，

故答案为：2。

通过数形结合的方式，即便面对函数的问题，学生也能够以最快的速度，最有效的方式将其解答出来。

三、数形结合方法在集合中的应用

可以这么说，集合是学习高中数据的基础。而碰到集合的问题时，通过图形能够很好的将问题核心抓住。比方说，可以对韦恩图进行利用来解答集合题，这样能够将问题生动且形象的展示出来。比如，以下的集合的练习题，就可应用到数形结合的方法。

在满足条件的奇数中，重复的有：15，45，75，105，135，165，195，225，255，285共10个。故集合T={xy|，}中元素的个数为15010=140。故选：B。

通过绘制韦恩图的方式，能够助于学生理清问题的思路，并抓住核心要点，从而将问题解答出来。

四、三角形中数形结合方法的应用

在高中数学当中，有很多较为抽象的知识，而纯粹的文字解读，很难正确的解答问题。因此，在解题的过程中，需要对数形结合的方法进行应用，这样不仅能够助于生动地将问题的要点呈现在学生面前，让其理清思路，还能够让其快速的将问题解答出来。比如这道题：如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°。若A，B两点相距130m，则塔的高度为？要想更好地将这道题解出来，首先就要作出平面ABD的方位图，并根据根据方位角求出∠ADB，利用仰角的正切值得出AD，BD关系，在ABD中使用余弦定理解出AD，BD，从而得出CD。通过这样的方式，能够化抽象为具象，让学生掌握更多的数学知识点。

五、结语

总而言之，在高中数学教学中应用数形结合方法，能够帮助学生更好地理解数学的抽象知识，也能够拓展学生的数学思维。因此，在实际的教学中，教师应充分发挥好数形结合方法的作用，只有这样能够在激发学生数学兴趣的同时，保障数学的整体教学质量。

参考文献：

[1]曹一鸣，王立东，Paul Cobb等.美国统一州核心课程标准高中数学部分述评[J].数学教育学报，2010，19（5）：8-11.

[2]王建磐，鲍建生.高中数学教材中例题的综合难度的国际比较[J].全球教育展望，2014，43（8）：101-110.

[3]宁连华，顾锋，何晓敏等.高中数学新课程变化内容对大学数学学习的影响研究[J].数学教育学报，2014，23（4）：16-20.

篇4

【关键词】新课改 高中数学 高效 简约

【中图分类号】 G 【文献标识码】 A

【文章编号】0450-9889（2014）09B-0033-02

高中新课程标准实施以来，数学作为变化较大的一个学科，原先较多艰深的知识被删除，概念性的难题被大幅减少，数学知识更加切合生活，更重视理论与实际的结合。同时，很多国际及国内的先进教学理念得到广泛推广。有了先进的数学教学课程标准、先进的教材，国内涌现了多种教学模式，如EMPO模式、洋思教学模式、杜郎口模式等。但是，有些老师不加分辨全盘吸收，有些老师过多追求情境、媒体、活动，使原本简单的数学课堂变得烦琐、拖沓、沉重。其实，高效的课堂并不需要花里胡哨，高中数学课应该是简约而不简单，删繁就简，去浮存真。本文从教学目标的定位、教学情境的创设、教学环节的设计、教学课件的运用四个维度思考新课程背景下高中数学课程如何实现高效简约教学。

一、新课改下高中数学课程实现高效简约教学的必要性

目前的高中教学课堂仍十分沉重，教与学都较为辛苦。一部分年轻教师喜欢过度追求花哨的形式，过于浮华，与真正有效课堂愈来愈远；一部分老教师过于墨守成规，使得教学环节复杂烦琐、课堂语言冗长无效。这些现象都会使学生的思维受到限制，甚至产生厌学心理，务实性较低，没有办法很好地达到教学目的。

教学模式迫切需要从繁杂走向简练，从紧张走向舒缓，从杂乱走向清晰，因此要使得教学更加流畅、自然、简洁、精练，以便更好地达到教学目的。

数学教学应是简约高效的。数学教师应学会有效地取舍，筛选和提炼精华，沉淀出深刻的文化内涵。“大音希声，大象无形”，大道至简，最有价值的道理其实是最朴素的道理，很重要的道理其实是很简常的道理。数学课堂教授的更多是概念、方法以及思想，应用最简洁的方式、最精练的语言、最简明的活动，达到学生对知识最深刻理解，追求教学模式多样化中最优化，追求表达的高效化简约化，实现数学学习思想与方法的延伸。数学知识本身是朴素自然简洁的，这就决定了其教与学的方式也应是高效简约的。“高效简约”应成为一种数学教与学的模式，与此同时 “高效简约”思想应成为教师在课堂教学中潜移默化培养学生养成的思维习惯。

简约教学并非是简单教学，其是在教学设计和教学环节等各个方面都能高效化、务实化，教学环节高效简练、课堂目标简洁、课堂内容简明扼要、教学过程高效、多媒体加入简练、教学语言简洁、课堂练习精巧，在课堂中留下更多的时间给予学生，让学生成为课堂的主体。著名特级教师华应龙这样评价高效简约型教学模式：“这是一个由薄到厚再由厚到薄、由多而少、由繁到简、由浅入深再深入浅出的教学问题，这也是一个返璞归真的话题。”

二、新课改下高中数学教学实现高效简约的策略

构建高效简约型课堂，要以高中数学新课程标准为教育教学指导，以“数学双基”的培养渗透为主要指导方针，以符合学生的认知规律为教学备课前提。通过高效简约的教学策略与教学方法的整合高效简约实施，追求课堂高效性、务实性，促进学生在数学知识与技能、数学思维与数学素养上的发展，更加便于教师和学生共同参与。华东师范大学钟启泉教授认为：“教育改革的核心环节是课程改革，课程改革的核心环节是课堂教学，课堂教学的核心环节是教师的专业发展。简约教学的理论与实践的研究，集中地体现了这个改革逻辑。”

（一）教学目标简洁。目标决定了课堂活动的导向、内容、方法和效果等。课前数学教师应当认真思考教材、教辅资料，上课内容要达到的三维目标等，做到一切了然于心，并结合实际制定切实可行的课堂教学目标。所以一节课的内容为彻底解决一至两个学生需要解决的问题，真正将知识理解透彻，远比走马观花、蜻蜓点水的教学要有效得多。以选修2-1 1.1.1“命题”为例，将教学目标设定为“让学生真正理解命题的概念和构成，能判断命题的真假”。围绕这一教学目标，教学活动设计为让学生判断给定陈述句是否为命题、指出命题中的条件和结论、判断命题的真假、能将命题改写为“若，则”的形式，保证所有的学生下课时都能理解命题的定义，并学会判断命题的真假。

（二）教学内容简约。目标确定以后，不能遍地开花，应不断延伸内容。课堂时间是有限的，学生的注意力、精力也是有限的。因此，数学教学内容应该简约，必须有所侧重，围绕一节课的重点进行高效教学，选材“少而精”，用材“简而丰”，把最精华，最重要的知识完全教授给学生，以充分发挥教师的主导作用。其实，就高中数学教学的过程而言，它的最高形式都可以表现为三个问题：教什么、怎么教、为什么这么教。三个问题也构成了数学课的认知冲突的主线。教师应紧紧抓住这三大问题，艺术地合理处理教材，有效取舍，洗练、整合、浓缩，在重组与优化中凸显资源的简约和高效，达成“以少胜多”的效果，从而让数学教学过程高效简约，教学内容务实有效。用材“单而丰”主要表现在一题多解，一题多改，一题多议等方面。在人教A版必修5的“简单的线性规划”一课中，在第61页的例6后可以呈现变化的题目：

（1）实数 满足 ，目标函数的最小值为-1，则实数 等于多少？（2）在例6的基础上，如果目标函数 仅在点 处取到最大值，则实数 的范围是多少？（3）在例6的基础上，若在区域内有无穷多个点

可使目标函数 取到最小值，则实数 等于多少？以此引导学生体会问题的内在联系，从多种角度分析问题，培养学生的思维能力。

（三）教学过程高效。教学过程高效，就是尽可能地减少花样，简化环节，用最有效、最直接的方法达到教学实效，在课堂中留下更多的时间给予学生，让学生成为课堂的主体，使学生从感知认知到理想认识，达到知识的高效内化。学习“双曲线的几何意义”时，教学“大环节”就设定为学生想办法推导双曲线的标准方程，该环节摒弃猜想、交流、总结各环节，而是直接让学生在椭圆知识的基础上，就直接根据定义动手推导，再总结交流，这样学生的思维更加连贯，教学流程更加顺畅。

（四）多媒体应用简练。多媒体应用于课堂的目的就是为教学服务。但是，一部分教师在使用多媒体时往往过犹不及，过多使用多媒体课件，从而导致视觉疲劳，削弱学生对于概念、知识本质的理解与应用。目前数学课堂中的“四无”（无板书、无看书、无笔记、无作业）现象和多媒体课件的过多使用有关。教师应把握使用多媒体的时机，该出手时再出手；巧用，即学会驾驭多媒体，在促进学习兴趣、思维培养、教学拓展等方面巧妙组合与运用；活用，即从学生实际出发，有选择性采用课件。如教学“椭圆的定义”，完全可以让学生用绳子粉笔实物操作画出椭圆，亲历探究的过程，理解椭圆的第一定义。

（五）教学语言精准简洁。著名特级教师于漪女士说：“教师的教学语言虽属日常口语，但应该是加工了的口头语言。”“言尽而旨远，言简而意丰”，在备课时考虑学生的吸收，精心设计教学语言，力争在最短时间内让大部分学生听懂并接受。问题语言要导向明确、过渡语言要自然流畅、评价语言要扼要坦诚，对于需要重点强调的，不能是简单地重复，而是换个角度、换种说法，引导学生更好地捕捉知识要领，要求教师做到支离破碎的分析不讲，学生已经懂的不讲，学生自己能讲的不讲，教师讲不清楚的不讲，学生听不明白的不讲；删无效提问；删无谓行为。例如，在上必修三“诱导公式”一课时，六组诱导公式可以总结为“奇变偶不变，符号看象限”，形象简洁的语言概括了六组公式区别和特征，符合学生的最近发展区，给学生留下了鲜明、深刻的印象。

（六）课堂练习简要精巧。教师应该把握课堂中练习的创新与有效性原则，对练习内容进行整合重组，删去重复练习，补充设计部分新练习，删除低效或无效的问题，聚焦重难点，具有典型性，串联知识点；紧扣热点内容，设计相关习题，以达到针对性练习的目的；围绕学生易错点，具有代表性，遵循由浅入深的原则，设计层次性练习，既巩固新知识，沟通新旧知识的内在联系，又发展学生的智力和能力。在学完椭圆单元后，可以给学生一个问题：我们有哪些方法动手直接操作得到一个椭圆？通过小组合作，将有可能得到以下几种答案：（1）直接做圆锥（或圆柱）的截口曲线（人教A版 选修2-1 P40），（2）椭圆第一定义，（3）将圆伸缩（见教材P40例2，由此可推得很多结论，比如椭圆的面积S=π，过椭圆上一点的切线方程等），（4）平面内到两个定点 的斜率之积是 的点的轨迹（见教材P41例3），（5）圆的第二定义（见教材P47例6），（6）圆内中垂线说（见教材P47A组练习7）等。 由一个问题引导学生回归教材，一节课内复习了椭圆的两个定义以及训练了求轨迹方程的方法（直接法、定义法，待定系数法、相关点法）。

总之，新课程改革中数学高效简约的教学而非简单教学，必然是在教学设计和教学环节等各个方面都能高效化务实化，教学环节的高效简练，课堂目标简洁、课堂内容简明扼要、教学过程高效、多媒体加入简练、教学语言简洁、课堂练习精巧，在课堂中留下更多的时间给予学生，让学生成为课堂的主体。它是一种教学理念以及教学策略，数学教师要致力于将各种教学方式进行有效整合，用简约的成本、精简的语言、优化的课堂教学结构取得较大的教学收益。新课程改革的数学课堂只有追寻高效简约化教学，真正让学生在短短的课堂中有所思，有所得，教学质量才能得以提高，从而实现数学课堂教学的高效性。

【参考文献】

[1]朱芳.数学新课程教学方法探索[J].改革与开放，2009（8）

[2]粟高燕.树立与新课程相适应的知识观[J].教育探索，2005（3）

[3]华应龙.现在的课堂会“飞”[J].人民教育，2009（18）

篇5

“算两次”的解题形式，单教授将其比喻成“三步舞曲”，即从两个方面考虑一个适当量，“一方面……，另一方面……，综合起来可得……”。如果两个方面都是精确的结果，综合起来得到一个等式；如果至少有一个方面采用了估计，那么综合起来得到一个不等式。“算两次”不仅体现了从两个方面去计算的解题方法，还蕴涵着换一个角度看问题的转换思想。向学生介绍“算两次”的解题应用，能有效地培养学生思维的发散性，使学生体会到数学知识的内在联系及统一性。它应当成为学生进行再发现、再创造活动的探索方式。本文介绍算两次原理在高中数学解题中的应用情况，以期引起大家的重视。

一、算两次与解析几何

例1 椭圆以正方形ABCD的对角顶点A、C为焦点，且经过各边的中点，求椭圆的离心率。

评注 如何建立关于a、c的关系式从而求出e呢？在这里线段AM具有双重身份，可有两种表达形式，正是表达的多样性使得“算两次”有了用武之地。在很多与图形有关的题目中只要细心寻找诸如AM这样的量，“算两次”就有了一展身手的机会。

二、算两次与向量

评注 本题解决的关键是从两个角度来考虑向量AP。一个角度顺其自然（题目已知），一个角度曲径通幽（隐藏的结论）。教学过程中教师有必要总结提炼出这里的数学方法――算两次，使学生对问题的解决能力得到进一步提升。

三、算两次与导数

评注 题中分别利用导数的几何意义和斜率的坐标公式得到切线的斜率k的两种算法，建立方程使问题得以解决。数学中一些公式、定义有多种表达形式，正是这些公式、定义表达的多样性，使得公式、定义的应用具有很强的灵活性。而“算两次”正是灵活运用、理解公式和定义的一种重要手法。

小议曲线的切线方程 费小林 03，

曲线的切线方程是高考必考的一个重要的知识点。但是，我在教学过程中发现学生求曲线的切线方程时，对曲线的切线的概念理解不透彻，产生漏解和错解的现象。我们在初中平面几何中学过圆的切线，它的定义是：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。此时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。圆是一种特殊的曲线。它的切线的定义并不适用于一般的曲线。而曲线的切线是通过逼近的方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线。它适用于各种曲线。这种定义才真正反映了切线的直观本质。一般曲线的切线不象圆的切线，它可以与曲线有两个公共点。而圆的切线与圆只有唯一的公共点。如果对曲线的定义理解不够准确，解题时容易产生错解和漏解的现象。为此我根据自己的教学心得谈谈曲线切线方程的求法。

一、求曲线上某点处的切线方程

例1 曲线y=2x2+1在点P（-1，3）处的切线方程是

点评 求曲线上某一点处的切线方程时，先根据导数的几何意义求出切线斜率，再用点斜式写出直线方程即可。

二、求过曲线上某一点的切线方程

例2 求过点（1，-1）的曲线y=x3-2x的切线方程。

三、求过曲线外的一点的曲线的切线方程

例3 求过点P（3，5），且与曲线y=x2相切的直线方程。

四、算两次与证明定理

例4 在ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C所对的边，证明：csinB=bsinC。

简证 过点A作ADBC，垂足为D，向量AB、AC在向量AD上的正射影数量，无论∠C是锐角、钝角还是直角，得到的两个数量都是相等的。

评注 对于一些等量关系不太明显的定理证明，“算两次”思想帮助我们找到了隐藏的等量关系，巧妙地、无中生有地建立了等式。算两次可用来证明高中数学中的一些定理如正弦定理、余弦定理、两角和与差的正、余弦公式等。

篇6

【关键词】拓展训练 开阔眼界 激发兴趣

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2013）06-0154-01

有人说学数学很无聊，我感觉如果课堂内容是老师精心设计和准备后在学生投入的气氛下进行的，能够激发学生探究问题的兴趣和学习数学的热情，那就另当别论了。问题是数学的心脏，学生在课堂上带着问题去探究，老师在课堂上可以带着解决问题的方法去引导，开展必要而有恰到好处的拓展训练，课堂教学会更有效，课堂也就不会那么无聊，枯燥。举例如下：

“椭圆的性质”一节课中，拓展椭圆的一个性质时可以这样引导学生。

步骤1：先画一个数轴，提示学生思考原点把这条线分成了左、中、右三部分（两段线和一个点）对应实数x0。教师诱导学生要有耐心，而且要循序渐进。

步骤2：建立一个坐标系，启发学生思考y轴把平面分成了左、中、右三部分，对应不等式x0；x轴把平面分成了上、中、下三部分，对应不等式y0。教师注意应当给学生适当思考知识的时间和空间。

步骤3：建立一个坐标系，做一条一三象限的角平分线，根据我们学过线性规划的问题，得出一三象限的这条角平分线仍然把平面分为左上、直线上、右下三部分，可以用数学式表示为y>x、y=x、y

步骤4：教师趁热打铁，在坐标系中，画一条一般的直线y=kx+b（kb≠0）。让学生思考这条直线把平面分为几部分？学生很快进入状态，娴熟的说出三部分，而且线性规划学的好的同学能很快得出这三部分可以用ykx+b，具体探讨哪一部分对应哪个不等式，只需要用（0，0）点或其它不再已知直线上的点带入不等式去验证即可，满足不等式的点的周围区域就可用此不等式表示，不满足的就不是这个区域。 慢慢地，随着问题的深入，学生会发挥无限想象，挖掘出学生更多的潜力。

步骤5：在平面直角坐标系中画一个单位圆，考虑两点之间距离公式，很容易得出圆上的的点满足x2+y2=1，圆外的点满足x2+y2>1，圆内的点满足x2+y2 r2、（x-a）2+（y-b）2>=r2、（x-a）2+（y-b）2< r。有了前面的铺垫，这个结论自然水到渠成。

步骤6：建立坐标系，画一个中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，写出椭圆的标准方程 + =1，有了前面的知识做铺垫，很容易得到结论：椭圆曲线把平面分为椭圆外部、椭圆上、椭圆内部三部分，各部分可用不等式表示为 + >1、 + =1、 +

步骤7：如在空间坐标系中，x2 +y2 +z2 =1表示单位球，把空间分为球的外部，球面，球的内部三部分，用数学表达式可以表示为x2+y2+z2>1、x2+y2+z2=1、x2+y2+z2

步骤8：在三维空间坐标系中，y和z轴确定的平面把空间分为左中右三部分，用x0表示……让学生插上想象的翅膀，翱翔在数学知识的天空里，尽情的飞翔，飞的越来越高。

篇7

关键词 高考数学；福建卷；全国课标卷；比较；对策

为确保高考的公平性、科学性和权威性，2016年福建省普通高校招生统一考试数学试卷将由国家教育中心组织专家命制.这对已经习惯自行命题达12年之久的福建省高中数学教育而言，无疑是一个具有挑战性的变化.比较高考数学福建卷与全国课标卷的异同点，进而思考相应的教学对策，是迎接挑战所必须的准备工作.

一、高考数学福建卷与全国课标卷的共同特点

近年来，高考数学福建卷与全国课标卷的命制都能严格地遵循“纲领文件”（《考试大纲》或《考试说明》）的相关规定，试卷在题型设置、分值安排、内容分布、难易预设、考试时间等方面都保持稳定.试题稳中有新，追求能力立意，选材源于教材又高于教材，主要考查学生对基础知识的理解、掌握及运用的水平，具有很强的科学性、规范性、基础性、公平性和选拔性.

1.注重考查数学基础知识理解水平与逻辑推理能力

数学基础知识是数学思维的根基，数学思维中的逻辑推理方法与分析问题解决问题的能力，是学生未来生活所需要的，高考数学福建卷与全国卷都能紧紧抓住数学的这些学科特点，重点考查数学基础知识理解水平与数学逻辑推理能力.

在近年高考数学福建卷与全国课标卷中，高中数学基础知识和核心概念是试题的主要载体，试卷重点考查高中数学学科主干知识（如函数与导数、立体几何、解析几何、三角函数与数列等），同时将考查运用逻辑推理分析解决问题的能力作为重要目标，某些年份的数学试卷还出现单纯的逻辑题，使问题不单纯依赖于教材的数学知识，更能体现能力立意，更有利于科学选拔人才和学生的健康成长.

2.增强试题综合性，注重考查通性通法的运用水平

近年高考数学福建卷与全国课标卷在注重考查数学基础知识和基本技能的基础上，越来越多地将试题内容设计在一些重要的知识交汇点处，使试题的知识综合性逐年增强.同时，也越加重视考查数学通性通法的运用水平，刻意淡化解题的特殊技巧.

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，数学思想既是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的催化剂，引导学生掌握数学思想方法学会以思想方法解题，是高考数学福建卷与全国课标卷命制中不断追求的目标.深入考查学生数学思维的灵活性，考查学生对数学解题通性通法的运用水平，也是为了引导学生掌握数学思想方法，学会以思想方法解题.

3.关注生活实际注重考查创新应用意识

数学问题源于生活源于实践，数学基础知识是解决实际工作问题的重要工具，数学思维方式是每一个公民必备的素养.因而，近年来的高考数学福建卷与全国课标卷也考查考生基于日常生活和其它学科知识以发现并提出数学问题的能力，以及应用所学数学知识、数学思想方法进行思考探究的能力.

命题有时也会关注现实社会热点问题，以考查学生应用数学方法解决实际问题的能力，体现数学在解决实际问题中的作用和价值.不断拓宽试题素材来源，联系社会生活实际，使试题更接地气，对提高学生数学应用意识与对数学文化价值的认识，促进学生理性思维习惯的养成，以及未来人生规划所必备的数学基础都有积极作用.

二、高考数学福建卷与全国课标卷内容比较

近年高考数学福建卷与全国课标卷在题型结构与赋分方面都十分稳定.

全国课标卷试题分必答题和选做题两类，选做题三选一.其题型结构与赋分情况是：选择题12道，每道5分；填空题4道，每道5分；解答题6道，每道10或12分.

福建文科卷的题型结构与赋分情况是：选择题12道，每道5分；填空题4道，每道5分；解答题6道，每道12或14分.

福建理科试卷分必答题和选做题两类，选做题三选二.其题型结构与赋分情况是：选择题10道，每道5分；填空题5道，每道4分；解答题6道，每道13或14分.

在选择题方面，近年高考数学福建卷与全国课标卷每年都有与集合、函数、命题、几何、算法初步与框图、复数的计算等知识点相关的试题，也都有一些综合题型，考查学生对多个知识点的掌握情况以及综合能力.大部分选择题对于学习基础扎实解题思维细致的考生而言都比较容易，一般地，两类试卷的最后两道选择题都有一定难度，且涉及的知识点在不断变化，都需要灵活、综合地思考.

在填空题方面，近年高考数学福建卷与全国课标卷中每年必有一道与函数相关的试题，其它问题涉及的知识点多是立体几何、不等式、概率统计、数列等.从整体上看，填空题考察的知识内容也都比较基础，但在形式上较为灵活，常常需要进行数形转化，解答时要勤于画图，认真计算，以避免出错.

在解答题方面，福建理科卷与全国课标卷的试题内容大都与函数、几何、数列、概率统计、解析几何、选学等知识有关.福建文科卷与全国卷II一般都必考数列问题，且大都是在第17题位置，属容易题，主要考查学生的计算与公式记忆能力，解答时要运用转化策略，将计算归结为以基本量为未知数的方程问题.

概率统计是所有试卷必考问题，试题常与随机这一核心概念紧密相关，既有概率计算问题，也有统计分析如直方图等问题，一般都较为简单.

在历年的福建卷中，对函数问题的考查分值较多，大都有两道，一道是三角函数问题，另一道是导数在函数中的应用问题.而在全国课标卷中，函数的考查内容与福建卷相似，但分值相对较少，且较少对三角函数进行独立命题；导数在函数问题中的应用大都是综合问题，对考生而言是比较困难的，结合图形进行思考往往是解题要诀.立体几何问题都是各卷必考内容，大部分是容易问题.

全国课标卷的选考内容为《4-1几何证明选讲》《4-4坐标系与参数方程》和《4-5不等式选讲》，不同于福建卷的《4-2矩阵与变换》《4-4坐标系与参数方程》和《4-5不等式选讲》.全国课标卷的《几何证明选讲》试题涉及的图形一般是由圆与三角形（或四边形）构成的.

福建理科卷考查的知识点主要有：1.共轭复数的概念及复数的运算；2.三视图的概念，常见几何体的三视图；3.等差数列的通项公式和前n项和公式；4.幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；5.循环结构程序框图；6.直线与圆的位置关系，充分必要条件的判定；7.基本初等函数的图象和性质；8.平面向量的基本定理及坐标表示；9.圆与椭圆的位置关系的相关知识及待定系数法；10.排列组合的两个基本原理与穷举法；11.可行域的画法及最优解的控求；12.利用正弦定理解三角形，求三角形的面积；13.基本不等式及函数的实际应用；14.利用定积分求面积及几何概型概率的求解；15.排列组合中的分类列举和集合中元素的特性；16.同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的图象与性质；17.空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及求空间角的方法；18.古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差等基础知识；19.双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识；20基本初等函数的导数、导数的运算及导数应用、全称量词与存在量词的基础知识；21.（1）逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量等基础知识；（2）直线与圆的参数方程等基础知识；（3）绝对值不等式、柯西不等式等基础知识.

全国课标卷考查的知识点主要有：1.集合的含义及表示、集合的运算；2.复数的四则运算；3.函数奇偶性的判断；4.双曲线的标准方程及几何性质、点到直线的距离公式；5.古典概型的求法；6.单位圆与三角函数的定义；7.循环结构程序框图的基础知识；8.诱导公式及倍角公式等的灵活应用；9.线性规划的最优解；10.抛物线的定义，向量的共线；11.利用导数研究函数的图象、特殊值法解题；12.三视图还原为几何体，三棱锥中棱长的计算；13.二项式定理及二项展开式的通项公式；14.对实际问题的逻辑推理；15.向量加法的几何意义；16.正、余弦定理及三角形的面积公式、基本不等式；17.等差数列的定义，递推关系的应用；18.用样本的数字特征估计总体的数字特征，正态分布，数学期望等；19.线面垂直的判定与性质，二面角在小的计算及空间向量的坐标运算；20.椭圆的标准方程及离心率，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，面积问题，直线方程的求解；21.导数的几何意义，利用导数求函数的最值，不等式的证明；22.圆内接四边形的性质等几何基础知识；23.参数方程、普通方程的相互转化，点到直线的距离公式；24.重要不等式、均值不等式的应用.

此外，全国课标卷更加注重体现选拔性，试题从易到难的梯度明显；福建卷则更加关注试卷的区分度与知识覆盖面，容易题偏多，但押轴试题较为困难.

三、教学与复习对策

高考数学福建卷与全国课标卷虽有一定差异，但从根本上看，二者都以《考试大纲》为指南，顺应高考改革大方向，对高中数学的基础知识、基本技能、基本思想方法和应用进行系统、全面、科学地考查.试卷都注重对数学本质理解的考查，都注重对空间想象、数据处理、应用创新、逻辑推理和方法迁移能力的考查，力图实现高考为高校招生提供区分与选拔的功能.

因而，在教学与复习中，以下的对策对于从福建卷到全国课标卷的教学对接是有一定益处的.

1.立足基础突出主干，系统构建知识网络

高考数学福建卷与全国课标卷中，函数、数列、三角、立体几何、解析几何和概率统计都是考查的主体内容，在这些基础知识的网络交汇点处设计试题，有利于考查学生数学思维的灵活性与综合处理数学问题的能力.因而，在高中数学日常教学与复习课中，要立足基础突出主干，帮助学生构建知识网络，促成知识系统化.在高一、二学习阶段，受学生的知识与能力范围限制，许多知识的获得是零散的，缺少深度与高度，在高三复习阶段，学生的知识视野已变得更加广阔，复习时根据知识间的纵横联系，对所学的知识与方法进行系统复习，可以进一步优化学生的数学认知结构，让学生对已知知识有新的理解、新的发现和新的感悟.

特别地，在高三第二轮复习阶段，需要适应回归教材，引导学生学会站在知识系统的高度审视所学内容，画出知识导图，以在解题中能快速调用所学知识拟定解题思路.

2.注重思维能力培养，深入挖掘例习题的潜在价值

高考数学福建卷与全国课标卷常以基础知识为载体，以方法为依托，以考查思维能力为目的.因而，教学与复习过程中，在立足基础突出主干努力帮助学生构建知识网络的同时，还要十分重视学生数学思维能力培养.数学思维能力的培养，要重在引导学生学会从具体的知识与方法中概括数学基本思想，领悟转化的策略智慧，掌握解题的通性通法.

由于高考数学重在考查通性通法，因而在解题教学中，要刻意淡化特殊的解题技巧，不钻研偏题怪题，不解过于烦琐的运算量很大的数学问题.精心筛选解题教学所用的例习题，解题方法以通性通法为主，让学生学会举一反三.教材例习题具有代表性与迁移性，是渗透数学方法体现数学思想的重要素材，所以要充分认识例习题的潜在价值，适当地对其进行改编与延伸，让学生通过归纳总结，掌握解题的基本转化策略，逐步感悟数学的思想方法.

3.重视阅读理解能力的培养，发展学生探究意识与创新思维能力

篇8

关键词：反思性笔记学习 数学解题 自主学习

好多学习比较刻苦的高中生，在学习过程中养成了做题后做数学笔记的好习惯.虽然整理出大量的数学笔记，但是遇到生疏的问题时往往还是一筹莫展，遇到熟悉的题目，依旧是漏洞百出.其主要原因是：只注重机械的记解题笔记，导致数量多而杂却不重视解题笔记的归纳和整理；只注重解题结果的正误，而不重视解题的思维过程及解题后的反思.因此，要提高解题效果的数学笔记学习，就必须在“反思”上下功夫，促使学生在自己的数学笔记引领下，通过追问和反思，提升自主学习能力，掌握数学解题反思性笔记学习的方法。

解题后的“反思”性笔记学习是对解题活动的反思，主要包括对题意理解的反思、试题涉及知识点的反思、解题思路形成的反思、解题规律的反思、解题结果表述的反思以及解题失误的反思等.开展反思活动是认知能力培养的重要形式.若从一个新的角度多层次、多方面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考，从而深化对问题的理解、优化思维过程、揭示问题本质、探索一般规律、沟通新旧知识间的迁移、深化对知识的理解.反思是一种积极的思维活动和探索行为，是一种再创造的学习.通过回顾、思考、总结、评价和调节等思维过程，反思也是学生自觉地对自己认识活动的再认识、思维活动的再思维.在高中数学学习中，反思还是发现的源泉，是思维训练和优化思维品质的好方法.要做好高中数学解题笔记学习，学生必须要具备反思的能力和养成反思的习惯，经常进行自我诊断和反思。

1、反思所涉及的知识点

高中数学的基本内容是有限的，考试标准规定的基础知识更是有限的，但题目却是灵活多变的.对同一个知识点，命题者可以从不同的角度和侧面或以不同的层面和题型来考查.很多同学在面对新题型时，往往觉得很难，其症结主要是找不到命题者的意图及考查的知识点.由于知识点不清晰，在解题时就无从下手.因此，做笔记后对笔记学习或复习笔记时，应反思题目所涉及的高中数学基础知识，使知识点和题目挂钩，以达到对知识的查缺补漏、夯实基础，优化知识结构的目的，便于知识的消化、贮存、提取和应用。

例1 如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BCC1B1内一动点，若P点到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）

（A）直线 （B）圆

（C）双曲线 （D）抛物线

剖析 此题为一道很有新意的题型，符合“在知识的交汇点命题”的高考命题原则.它综合性强，涉及知识点多，是高考的“热点”，也是易错点，作为测试题，区分度较好.整理和总结这种题型的笔记时，学生不仅要“反思”立体几何中点、线、面间的位置关系及有关知识，而且还要“反思”平面解析几何中圆锥曲线的定义和求轨迹或轨迹方程的方法及注意事项.也正是这两大块知识构成了求解本题的依据，一个知识点有误则会造成错选.明确了命题者考核本题的意图，就能依据这两大块知识和有关方法，进行分析判断；清楚本题所考的知识点后，就有了正确的思维起点及解题目标，以后遇到类似的问题时解题速度会明显加快，正确率也会明显提高.由抛物线的定义知，答案为（D）。

2、反思所用的解题方法

许多高中数学试题重在考查学生思维的全面性、深刻性和灵活性，因此，一题可能有多种解法.在学习和复习做过的笔记时，我们不能仅仅满足于一种解法，要养成解题后反思解题方法的习惯，想一想：本题还有其他解法吗？哪一种解法更好？若把某一条件换了，此题又变成什么样的试题？又如何去解答等等.通过一题多解、一题多变、多题一解，引导和追问自己从不同的角度全面考察问题，摆脱固定的思维模式，发现思维过程中的不足，来完善思维过程及培养思维的严密性.通过反思，探索出新的解题途径，寻求最佳的解题方法，养成“从优从快”的思维习惯，激发学生思维的创造性和灵活性，提高解题效率.

例2 已知实系数方程X2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2， 求 的取值范围.

剖析 这个题学生往往会想到“根的分布”列出关于、的不等式组，即

但计算比较费时，思路也易混乱.学生对照数学笔记，经过反思，回顾审题环节，找出“题眼”，即“关于a、b为不等式组的几何背景，联系斜率公式”，用数形结合的数学思想便易求得取值范围.于是学生容易得如下解法：

不等式组（*）表示的平面区域如图2所示，其中A（-3，1），B（-1，0），D（1，2）.设C（a，b）为可行域内任一点， 的几何意义为直线CD的斜率，由图知，故.

由上可知本题若按常规思维进行，需要教强的推理论证的能力，无疑不是每个学生都能快速解答的，特别是在具体的解题情景下更是不易想到。若认真反思，追问自己高中数学最常规的一些数学思想方法，是教容易联系都数形结合的数学思想方法的，这自然在回顾中反思，在反思中引申，从而打开思维的天窗。

引申 若把条件换为：已知函数在（0，1）内取得极大值，在（1，2）内取得最小值，又如何求的取值范围呢？

通过对函数f（x）求导，将f（x）在（0，1）内取得极大值，在（1，2）内取得极小值的问题转化为研究二次方程的根的分布问题即变成例2.

纵观本例，以二次方程的根的分布为突破口，使其转化为线性规划问题，通过讨论斜率使问题获解，充分体现了等价转化和数形结合思想在解题过程中的作用。

3、反思解题思路

解题的关键是从已知和未知中寻找解题的途径.反思解题思路包括对解题策略的选择和运用成与败两个方面.学习笔记时，应充分认识在解题时所遇到的困惑，反思解题思路和策略的成功之处，分析他们的特点和适用条件，概括出思维规律.比较并借鉴教师和其他同学的解题思路，熟练并掌握解题技能，积累解题经验，培养良好的思维习惯，寻求最佳解题方法，及时总结各类解题技能，优化自己的思维方法，提高解题效率。

例3： 已知椭圆与A（0，-1），问是否存在斜率为k（k≠0）的直线L，使L与椭圆交于两个不同点M，N，且|AM|=|AN|，若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.

剖析 此题多出现在高中圆锥曲线部分关于点对称问题中.学生自己往往做了很多题目，甚至做了一些笔记，有时还是力不从心.若自己死死抓住对称的本质和解题思路，学生自己在推导中不难发现解法是从L的斜率k出发，借助|AM|=|AN|，得出LLAP，P为MN的中点，用k表示P点，再考虑P点在椭圆内 ，从而建立k的不等式.解法关键在于控制P点在椭圆内，从而避开了繁琐的计算.这也是一大类有关圆锥曲线和直线的对称问题处理的关键所在.可见，数学的推理过程就是促使反思发生的方式之一，紧紧把握解题思路，沿思路追根求源。

4、反思解题规律

解完一道试题后，反思解题方法中有无规律可循？解题思路是否正确、严谨？解题方法是否灵活、有创意？怎样解答最具技巧性、且通过最简单几道题的求解，引出一类题的解法，可更有效地强化解题能力，提高解题效率.在做数学笔记时，应该通过反思提练出相应题型的解题规律，达到触类旁通的效果.

例4 已知关于x的二次方程有两个等根，求证：、、成等差数列。

剖析 本题的常规解法是应用Δ=0得到a、b、c的关系，再整理可得本题结论.仔细观察原方程，发现隐含着“系数之和为0”这一关系，由此，两个等根均为1，再应用根与系数关系进行论证就简单多了。

证明 由，知原方程的两个等根是1，由根与系数的关系，得.故、、成差数列。

通过反思，可使学生学会在领会题意方面寻找规律，从而积累更多的解题经验，这也是认知方面的训练，可大大提高解题效率。

5、反思一题多变

在解题笔记中，通过多次的笔记复习引导学生自己多侧面，多角度，多渠道地思考问题，让学生自己多探讨、多辨析解题过程，梳理知识网络、拓展解题规律等一系列思维活动，学生不仅能加强对基础知识的理解与运用，而且能拓宽深化解题思路，探索解题规律，提高思维品质，增强应变能力，实现举一反三，触类旁通，胜利走出题海.这样在数学笔记中就能起到事半功倍的效果.

例5： 在椭圆上求一点P，使它与两焦点F1，F2的连线互相垂直.

学生在学习笔记时，可促使学生问问自己该题能有哪些变式.比如

变换1：已知椭圆上存在一点P，它与两焦点F1，F2的连线互相垂直，求此椭圆方程中满足的条件.

变换2：已知椭圆上一点（-3，4），椭圆的两焦点为F1，F2，求ΔF1，PF2 的面积.

反思一题多变，在数学笔记中可以对某个知识点进行系统分析研究，挖掘知识间的内在联系与外延，使知识系统化，同时提高学生的审题，应变能力.重视一题多变训练，提高知识整合，系统扩展，综合运用能力，防止“一听就懂，一看就会，一丢就忘”的现象发生，真正实现“解一题、知一类、会一片”。

6、反思解题中的失误

学生在解题时可能会出现种种失误，这些失误既有知识上的缺陷和能力上的不足，也有非智力因素影响.这些非智力因素主要表现在答题方法、书写规范、应试的心理调试、时间上的合理安排等方面.因此，学生应认真总结和反思解题中出现的失误，充分利用数学笔记这个学习载体，进行如下反思：自己是否很好地理解了题意？在解题时曾走过哪些弯路？犯过哪些错误？这些问题又是如何改正的？我的“老毛病”又犯了吗？解这类题的思维模式是什么？通过及时整理，来提高辨析解题正误的能力，努力克服自己在解题中的不足之处和不良习惯，提高分析问题和解决问题的能力.

例6 若sinα=m，α为第二象限角，则tan2α的值为

（ ）

（A） （B）

（C） （D）以上都不对

剖析 在分析此题时，许多学生认为此题容易，他们的思维模式是：

由sinα=m，α为第二象限的角，得

，

得

所以.

因此，选（A）.

答错了！错在哪里？只有极个别学生意识到题设条件中的m∈（0.1），如当时，1-2m2=0，，tanα=-1，此时tan2α失去了意义，故答案只可选（D）.若题设条件中限制，则应当选（A）.

学生若能能比较两种思路，反思自己错解的原因，自然能使自己思维的严密性和批判性有所收获.

解题时，不能“一叶障目，不见泰山”，应在审清题意的基础上认真解答.做笔记过程中应反思题目陷阱所在及其推理是否严密、有无漏洞？反思语言表述是否简明、准确、严谨、完整？解答过程是否优化？哪些思路是盲目中被多余添加的？我的思考和老师、同学的思考有何不同……并对发现的问题及时改进或纠正，从而提高运用知识的效率和批判思维能力的形成，从而发展自主学习能力.

篇9

李春燕

（南京市秣陵中学，江苏  南京  211111）

摘  要：课堂导入是教师引导学生参与学习的过程和手段，它是课堂教学的必需环节，也是教师必备的一项教学技能；它既是学生主体地位的依托，也是教师主导作用的体现。农村高中学生基础薄弱，恰当的导入利于营造良好的教学情境，集中学生的注意力，激发学习兴趣，启迪学生积极思维，唤起求知欲，为良好的教学效果的取得奠定基础。

关键词：高中数学；导入设计；方法

?

     

一、复习导入法

复习导入法即所谓 “温故而知新” ，它利用数学知识之间的联系导入新课，淡化学生对新知识的陌生感，使学生迅速将新知识纳入原有的知识结构中，能有效降低学生对新知识的认知难度。这种方法不但符合学生的认知规律，而且为学生学习新知识铺路搭桥。教师在导入当中应注意抓住新旧知识的某些联系，在提问旧知识时引导学生思考、联想、分析，使学生感受到新知识就是旧知识的引申和拓展。

     这种导入新课的方法一般适用于定理和性质的运用。例如：学倍角时先提问二角和与差公式 、 、 ，再把上式中的  改为  ，可得到什么结论。讲半角公式也可以在复习回忆二倍角公式的基础上顺利导入。这样学生不但复习巩固了旧知识，而且可把新知识由浅到深、由简单到复 杂、由低层次到高层次地建立在旧知识的基础上，利用知识的联系来启发思维， 促进新知识的理解和掌握，消除学生对新知识的恐惧和陌生心理，及时准确地 掌握新旧知识的联系，达到“温故而知新”的效果。

    二、开门见山导入法

    有时我们谈话、写文章习惯开门见山，这样主体突出、论点鲜明。在数学课上，我们可以直接从课本的课题中提出新课的学习重点、难点和教学目的，以引起学生的有意注意，诱发探求新知识的兴趣，使学生直接进入学习状态。 例如，在讲《二面角》的内容时，可这样引入：“两条直线所成的角，直线和平面所成的角，我们已经掌握了它们的度量方法，那么两个平面所成的角怎样度量呢？这节课我们就来学习这个内容----二面角和它的平面角！”（板书课题），这样导入，直截了当，促使学生迅速集中到新知识的探索追求中。再如，讲《用单位园中的线段表示三角函数值》一节时，可作如下开篇“前面我们学习了三角函数的定义，每种三角函数的数值都是用两条线段的比值来定义的，这是我们在应用中带来诸多不便，如果变成一条线段，那么应用起来就会方便的多，这节课就来解决这个问题：“用单位园中的线段表示三角函数值”，这样引入课题，不仅明确了这堂课的主题，而且也说明了产生这堂课的背景。

 开门见山、直接导入既能突出中心或主题，又可使学生思维迅速定向，很快进入对中心问题的探求，因此也是其他学科常用的导入方法。它往往用于知识相对自成一体或者前面还没有涉及的知识与方法，因此在备课时问题要精心 设计，条理清楚，使学生的思维能朝预定的方向发展。在高中数学中，这样的新课很多，如指数函数、弧度制、数列的概念等等都是相对独立的知识点或初识的概念，在学习中我们都可以采用这种方式。

    三、情境导入法

   《新课程标准》要求“数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生 活经验和已有的知识出发，引导学生经历数学形成的过程，进而理解数学。” 使学生通过感知数学，体验数学知识与生活的联系，把教材内容与“数学现实” 有机结合起来，优化数学教学。 牛顿由“苹果的落地”而发现了“牛顿三大定律”，很多重大科学成果的发现都缘于人在实际生活中对某些事件或情境的不可解释而引发思考和探索。人的思维过程始于问题情境,问题情境具有情感上的吸引力。数学情境能使学生 产生学习的兴趣，激发其求知欲与好奇心。因此，在课堂教学中，若能结合教学内容，捕捉“生活现象”，精心创设问题情境，往往能激起学生对新知学习 的热情，拉近学生与新知的距离，为学生的学习作好充分的心理准备，让学生亲近数学，起到事半功倍的效果。例如，在学习椭圆时利用多媒体向学生展示拉油车的平面图、鸡蛋的平面图、地球公转的轨迹等图形，并固定两个点用一根细绳让学生画封闭的椭圆曲线，揭示椭圆的形状与画法，感受圆与椭圆的不同，从而激发探究兴趣，形成强烈的认知需要。 再如：在学习排列组合时，我问：高一年级四个班，学校组织高一年级进行单循环赛篮球赛，总共需要进行多少场比赛？这是一个实际生活中的例子，学生对此很感兴趣。这样的例子很多，比如解三角形、等可能事件的概率等。

    随着教学改革的深入，数学教学情境导入的方法越来越多，只有我们根据教材特点、学生的实际以及授课总体思路，灵活选择情境导入新的最佳途径才能使学生很快的将情境问题抽象成数学问题，激发学生解决问题、探索真理的兴趣。

    四、设疑导入法

美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题，解决问题的持续不断的活动”，因此教学引入新课时教师要善于提出问题，设置疑问。教师对某些内容故意制造疑团而成为悬念，提出一些必须学习了新知识才能解答的问题，点燃学生的好奇之火，激发学生的求知欲，从而形成一种学习的动力。

例如，在学习《等比数列前n项和》时，教师讲述这样一个故事：相传古印度国王为奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上一粒麦子，在第二个格子里放2粒麦子，第3个格子里放4粒一麦子，依此类推，每一个格子放的麦子数是前一个格子里放的麦粒数的2倍， 直到第64个格子放完为止”，发明者所要的麦子数按每粒0.05克，全球年产量按5.918亿吨计算，需全球158.5年所有小麦才能填满。这时学生震撼了， 心理形成强烈的反差，很多学生心理会怀疑老师所给的结论是否正确，激起学生强烈的探求欲望。

篇10

一、动手操作法

【案例1】

如选修1-1《椭圆及其标准方程》第1课时课堂引入设计如下:课前,将事先准备好的圆形纸片给每位同学发一张,让大家按这样的步骤进行,①在圆内部异于圆心任取点A;②在圆周上分别标记16个等分点为B1、B2、…、B16;③折叠圆纸片,使圆周上的点B1与点A重合,展开纸片后得到一条折痕;④重复上一步骤,使圆周上其余各点与A点重合,得到16条对应的折痕;⑤最后展开纸片,可以发现未被折痕覆盖到的区域正是一个椭圆的形状。

这样的引入方法新颖、引人入胜,能让学生动起来,既能培养学生的动手操作能力,同时又让学生直观感知椭圆这一几何图形。体现了学生是活动的主体。

二、演示导入法

【案例2】

同样是《椭圆及其标准方程》第1课时,也可如下设计:课前准备一根线绳,教师把这根线绳的两端各系一根图钉,再把图钉固定在黑板上(两图钉间距小于该线绳的长),用粉笔将线绳绷紧绕两定点画线,在黑板上画出一条封闭曲线,即为椭圆。

这种导课方法直观形象,有利于培养学生的抽象思维能力和想象能力,能较好地发挥教师的主导作用。

三、引史讲故法

【案例3】

如必修2《空间几何体体积》如下引入:先讲阿基米德检验金王冠纯度的故事,然后过渡到祖原理,祖比17世纪意大利数学家卡瓦列里早1100年发现该定理,这一数学史故事可大大激发学生的爱国热情。

《高中数学课程标准(实验)》提倡:体现数学的文化价值,并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求,设立“数学史选讲”等专题。在教学中我们可以渗透数学的德育教育功能,适当讲授数学史内容。

四、类比猜想法

【案例4】

如选修1-1《充分条件与必要条件》可展示几个电路图:视“开关A的闭合”为命题A,“灯泡B亮否”为命题B,研究命题A是命题B的何种条件。

这种问题情境引入,可唤起学生的熟悉的物理知识,使其兴趣盎然,情结高涨。通过类比回答问题,得出充要条件等相关概念。这样把握数学问题的本质,可谓入木三分。这种方法还可用在新旧知识、相近或同类知识之间。

五、实例探求法

【案例5】

如必修5《基本不等式》作如下引入:某种时令水果,价格起伏很大,甲乙二人同时分两次购买。甲两次都花一样多的钱,乙两次都买同样的数量,谁的平均价格更低?

这种利用现实生活中的具体实例分析和揭示事物的一般规律的课堂引入,既能激发学生的求知欲望,又能体现数学的生活性本源。教材中与生活联系密切的知识点很多,比如:①“糖水加糖甜更甜”揭示的数学道理是什么?②一台两臂长短略有差异的天平,你怎样能称出重物的实际质量?③某企业五年盈利100万元,另一企业二年盈利500万元,哪个企业效益更好?等等,教学中我们都可以灵活的选用作为课堂引入素材。

《高中数学课程标准(实验)》指出:“高中数学课程应提供基本内容的实际背景,反映数学的应用价值”,“应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学应用意识,提高实践能力。”实例探求的方法体现数学知识与现实生活的结合,从生活中来,到生活中去,充分体现了学以致用的最高、最终目标。

除上述引入方法以外,还有直接导入法、温故引新法、实物展示法、归纳导入法、讲评导入法、精心设疑法等等。

当然,对于同一教学内容,由于教师的认识程度、思考角度与经验背景不同,可能会出现各种各样的引入设计。一个成功的课堂引入,必须因“师”而异、因“生”施教。具体教学中应遵循以下一些基本原则:

1.科学性。课堂引入形式应根据教学目标及内容而定,引入问题要符合学生的认知规律,符合学生的已有知识水平,贴近学生思维水平的最近发展区,引入方式方法要结合教学环境、教学设施。

2.启发性。新课程理念倡导“问题情境―建立模型―解释与应用”的教学模式,情境问题要能激发学生的求知欲,问题设置要有一定的挑战性,可以考虑以开放性问题为素材。

3.趣味性。近代教育学家斯宾塞指出:“教育要使人愉快,要让一切教育有乐趣”。教育家乌辛斯基也指出:“没有丝毫兴趣的强制性学习,将会扼杀学习探求真理的欲望”。因此,教师设计问题时,要新颖别致,使学生学习有趣味感、新鲜感。