高三数学数列求和范文

导语：如何才能写好一篇高三数学数列求和，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

【关键词】高考数学；数列复习；思想方法；有效策略

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。近几年来，主要有以下三个方面的命题：（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其他知识的交汇结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。那么对于高三课堂，如何才能在不增加学生负担的前提下，更有效地复习好数列呢？

一、紧扣课本，夯实基础知识

对于一名高三教师，应该认真学习研究《新课程标准》与《考试说明》，明确数列的考查要求，突出两种基本数列（等差、等比数列）的复习，从历年数列考题可以看出，多数问题解决最终均化归为等差或等比数列求解。在复习中，我们教师要注意难度的把握，等差、等比数列的基本量计算是个常考点，常涉及“知三求二”题型，对于该题型的训练我们要强化，使学生熟练掌握，又要适度，不要人为做那些太难、太繁题目，这样不仅增加学习负担，而且还淡化了数学本质；同时还应适当关注等差、等比数列的性质在化简运算方面的作用；等差、等比数列的判定（定义法，中项公式法等）以及数列求和也是高考的另外两个常考点，我们应通过适当的练习训练来加深学生对数列求和方法（公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等）的正确运用，并注意引导学生关注易漏、易错、易混点，培养学生的认真、严谨的思维品质，避免不必要的失分。例如，（2012高考重庆理1）在等差数列{an}中，a2=1，a4=5，则{an}的前5项和S5=（ ），本题可采用基本量法，也可利用数列的相关性质解决问题。

二、把握基本思想，提高解题能力

数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式等有着密切的练习，在数列综合问题中涉及很多数学思想方法，如函数思想、方程思想、分类讨论思想、转化与化归思想、递推思想与数学归纳思想等。在复习中若能灵活应用这些数学思想方法，将会取得事半功倍的效果。

（1）函数思想。数列是一种特殊的函数，等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，而等比数列的通项公式，则要弄清它与指数函数之间的关系，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析，加以解决。例如，设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13

（2）方程思想。数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量a1，n，d（q），an，sn，“知三求二”是一类最基本的运算，根据题设条件，结合数列通项公式和求和公式构建方程或方程组求解，方程思想贯穿于数列学习和解题的始终。例如，已知等差数列{an}的公差是正数a3a7=-12，a4+a6=-4，求前n项的和sn。此题利用了a3+a7=a4+a6这一性质构造了二次方程巧妙的解出了a3=-6，a7=2，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与an+am=ap+aq（或an・am=ap・aq）找出解题的捷径。

（3）分类讨论思想。数列中渗透分类讨论的思想。在运用等比数列求和公式时，若公比q没有明确给出，需要分q=1和q≠1讨论；在数列求和中有时需要进行奇偶分析讨论；有些数列的通项公式是分段表示，解题过程需要讨论；在数列解题中有时根据过程需要进行讨论。

（4）递推思想与数学归纳思想。递推是数列的本质性的内涵，是数列的一大特色。数列中涉及n，an，sn之间的关系问题，常采用递推思想来解决，其中主要使用公式法、累加法、累乘法、迭代法、构造法、数学归纳法等思想方法。例如，设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a-na+an+1・an=0（n=1，2，3…），求通项an。对于此题，通过化简已知等式，得到（n+1）an+1-nan=0，然后利用累乘法或累加法都可以解决问题，对于一些有些不易直接化成等差或等比的数列，经推理可以寻求特殊关系的，可以把它转化为可求通项的特殊数列再求解。

三、关注交汇内容，做好融会贯通

数列除了考查本身知识内容，还常与程序框图、对数、三角结合、一般函数、不等式等知识相结合进行交汇考查。

例如，在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn，n≥1

①求数列{an}的通项公式；②设bn=tanan・tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn。

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一、回顾梳理，查漏补缺

师：回顾等差、等比数列的前n项和求和公式，并解答下列小题。

1．若an=n,则a1+a3+a5+…+a11=；若an的前n项和为Sn，则Snn的前n项和Tn=。

2．1+(1+2)+(1+2+4)+(1+2+4+8)+…+(1+2+4+…+2n－1)=。

同学们开始认真思考，并积极回答问题。但在解题时错误主要体现在对公式中字母含义的理解。

师：同学们将公式记得都很熟练，但希望大家不仅能用符号语言表达，也能用文字语言表达。比如，等差数列前n项和可说成（大家随着老师指着公式中的字母齐声回答）二分之首项加末项乘以项数，那么其他公式可以说成……

同学们能齐声回答，气氛热烈。

点评：作为教师，通过学生对本题的解答了解他们对这一知识的认识情况，了解到他们获得的经验和存在的问题，在学生原有的基础上有针对性地进行教学，也更贴近学生的需要，有更好的效果。作为学生，同时也可以通过本题，不仅回顾了知识，调动了从前的学习经验，同时也了解到了自己在知识掌握方面有问题的地方，对知识进行进一步地钻研和再认识，从而达到高效复习。

二、一题多变，师生互动

例1已知等差数列an的通项公式为an=n，已知等比数列bn的通项公式为bn=2n。

（1）若cn=1anan+2，则数列cn的前n项和为；（2）若cn=14an2－1，则数列cn的前n项和为。

学生解答（1）的过程：cn=1anan+2=1n(n+2)=12(1n－1n+2)，前n项和为12［(1－13)+(12－14)+(13－15)+…+(1n－1n+2)］=34－2n+32(n+1)(n+2)。

学生解答（2）的过程：cn=14an2－1=1(2an+1)(2an－1)=12(12n－1－12n+1)，前n项和为12［(1－13)+(13－15)+(15－17)+…+(12n－1－12n+1)］=12(1－12n+1)=n2n+1。

同学们积极讨论，并口头表述解题思路。但在解题过程中也出现了一些错误，如：（1）中12(1n－1n+2)的12是怎么来的，（2）中为什么要变形为1(2an+1)(2an－1)，教师也顺势给出了通项公式的分子为常数，分母为等差数列连续两项相乘都可以用裂项求和法。

点评：课堂上，当学生口头表述出解题的主要方法之后，如果能就势让学生大胆地尝试，完整地展示其思考过程，这样的教学不仅有利于激发学生自主探究、主动学习的热情，也有利于活跃课堂气氛，增加学生参与课堂的积极性。至于教师讲什么？应该讲解学生思维中暴露出的不足之处，适度点拨，在“精”字上下工夫，起到“点睛”的作用。

高中数学复习是对学生在高中所学的知识的梳理和夯实的一个重要过程，可以说是高考成败的关键。下面谈谈对高三数学复习的几点思考。思考1：教学难度的把握，高考说明对学生的个性品质的要求是：“要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神。”可见，在平常复习时保持适当地难度是符合考试说明精神的。所以安排部分中等难度的例题、习题供学生练习，部分较高难度的试题布置为思考题，供学有余力的学生去研究。思考2：让数学复习课的课堂真正“活”起来。不可否认，到了高三以后，复习的时间紧、任务重，老师急于把尽可能多的知识都传授给学生，但不能仅仅因为这个原因而一味地苦教，低效率地循环和重复，不顾及学生的感受；不顾及学生的接受程度；不顾及学生的学习实际。我觉得高三复习课仍然要备学生，仍然要讲究教法，仍然要充分调动学生积极参与课堂教学的主动性，仍然要贯彻“以学生为主体”的课堂教学理念，充分了解和掌握学生的学习实际，在课堂上一定要留出足够的时间让学生消化知识、思考问题、提出疑问、引导解决、总结提高，要让学生真正成为课堂教学的主动参与者，而不是旁观者。思考3：课堂上多一点练习并能及时纠错。数学课的一轮复习课堂练习时间应占有较大的比重，这是对数学知识记忆、理解、掌握的重要手段，必须坚持不懈，这既是一种速度训练，又是能力的检测。学生做题是无心的，而教师所寻找的例题是有心的，哪些知识需要补救、巩固、提高，哪些知识、能力需要培养、加强应用，上课应有针对性。

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学科：高一、高三数学

数列是高中代数的重点内容之一，也与其他数学知识有着广泛的联系，所以解决数列问题不仅需要综合的运用各种知识，同时还要充分的注意到解题的灵活性，因此，数列成为每年高考的考点，在高考试题中占有一定的地位。下面对在数列解题中常见的几种错误进行剖析，以减少学生在高考中的失分。

一、忽视 导致错误

例1.数列 的通项公式为 （ ），且数列 是单调递增函数，求实数 的取值范围。

错解： ，其图像对称轴方程为

数列 是单调递增函数，则应有 ，即 为所求的取值范围。

错解剖析：上述解法错在只考虑了数列 是单调递增函数，忽视了 ，即数列 在 时单调递增函数。

正解： ，所以其图像对称轴方程为 ，数列 是单调递增函数，则应有 ，即 ；又 ，所以当 ，即 时，数列 也是单调递增函数，综上 所求实数 的取值范围是

二、忽视隐含条件导致错误

例2.在等差数列 中， ，从第10项开始每一项均不小于1，求公差d的取值范围.

错解：依题意 ，即 ，

错解剖析：上述解法错在忽略了隐含条件

正解：依题意得 即 解得

三、由于公比设法的不合理而引起错误

例3.已知四个数成等比数列，其积为 ，中间两项之和为 ，求其公比

错解：设这四个数为 ，则公比为 ，

由题意可得：

由（1）解得 ，由（2）解得

把 分别代入（3）得：

或

解得： 或 ， 或

错误剖析：上述设法中公比为 ，说明公比大于0（公比为0无研究意义），这明显是缩小了公比的取值范围，而公比可正可负，所以我们应设更具广泛代表意义的q

正解：设这四个数为

由题意可得： 即

由（1）得： 将 代入（2）得： ，

即 ，解得： 或 ；

将 代入（2）得： ，解得：

故所求公比为 或 或 。

四、忽视公式使用的条件导致错误

例5，已知数列 的首项为 ，通项 与前n项和Sn之间满足 （n≥2）（1）求证： 是等差数列，并求其公差；

（2）求数列 的通项公式

错解： （1）

，数列 是等差数列，并且

（2）由第（1）问的结果可得 ，即

所以

错解剖析：上述解法错在 只有在 时才能成立，解题时往往忽视 的条件，解关于由Sn求an的题目时，按两步讨论，可避免出错，（1）当n=1时，a1=S1；（2）当 时，

检验a1是否适合由（2）求的解析式，若符合，则统一，若不符合，则用分段函数表达：

正解：（1）当 时， ， 两端同除以 ，得 ，根据等差数列的定义，知 是等差数列，且公

差为

（2）由第（1）问的结果可得 ，即

当 时， ；

当 时， 所以

五、忽视对等比数列中公比的分类讨论导致错误

例5.求和

错误解法：

错误剖析：当数列的通项为 的形式，而 是等差数列， 是等比数列时，求 通常用错位相减法。但在求解过程的式（3）中直接运用等比数列求和公式 是错误的，它忽视了公式成立的条件 ，所以在解题的开始，我们应该首先对等比数列 的公比 进行是否为x的讨论。

正确解法：当 时，

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关键词：试卷讲评课；高三数学；针对性；层次性；激励性

在高三，数学由于测试、训练多，训练的效果好坏，将直接影响到高考的成功与否。试卷讲评课是课堂教学中的一个重要环节，既可以帮助学生复习、巩固所学知识，弄清在某些方面的模糊认识，又能提升学生的解题能力。有些老师认为文科班数学题目相对简单，印发答案给同学自己对一对，老师上课时再用一点时间讲讲，我觉得这看法是错误的。我们经常听到这样的说法，题目讲了好多次也做过好多次，学生就是不会，我认为这就是老师在讲题目时没有归纳总结方法，学生没有掌握通性通法。对于学生来说，成绩优秀的学生觉得老师的讲评没有将难题一一重点讲，

成绩差的学生觉得老师讲评的时候很多知识没有理解，对他们的关心的力度不太够，导致他们上课没集中注意力听老师分析试卷。

因此，对我们的一线老师来讲很有必要提高对试卷讲评课的认识，探索出符合自己学校学生的一个模式。下面我结合我自己的教学实际，谈谈对试卷讲评课的几点思考。

一、对试卷讲评课的认识

试卷需要讲评，讲什么，怎样讲，这能够反映出一个教师教学方法的优劣和教学技能的高低。试卷讲评课上得好是老师成功的重要体现。下面介绍一些常见的老师的讲评课的模式和我的一些做法。

1.讲答案

这种讲法是最省力、最省时的，教师打印出答案，希望学生在课后自我消化。这种方法对于有良好学习习惯和较强自学能力的学生自然不错。事实上，这是在教师认为题目比较简单，或者由于时间紧张的情况下采用的，其弊端是忽略了对学生学习方法、学

习技能的培养，导致学生难提高水平。因此，这种讲评是效果最差的讲评。

2.讲题意、讲思路、讲方法、讲错因

这种方法比讲答案自然高出一筹，其最大好处就是让学生了解解题的过程，学会审题、解题、辨题的技能。要学会解题首先要学会审题，而要学会审题就要弄清题意，明白出题者的深层用意或者说要考查的知识点。因此，要上好试卷讲评课，讲题意、讲思路、讲方法、讲错因势在必行。这种方法大部分老师都在使用。我常采用的方法是，我每次测试完会先让学生自己再改一次，看看错的原因主要在哪里，老师先讲同学在考试中出现的典型错误，然后帮同学们总结原因，这样，我们以错误原因为主要线索，通过“错在哪里？为什么错？今后如何避免？”的线索贯穿试卷讲评课的始终。然后以知识点为主要线索一一道破：就是把试卷上同一知识点的题，归在一起进行分析、讲评。这种归类可让学生在教师指导下进行，可选择重点知识的典型题目进行分析讲评。例如数列问题，可以按“数列通项”“数列求和”两类知识集中讲评。

3.讲联系、讲创新

讲联系、讲创新是讲评课的最高境界，一般的教师只能围绕一道题讲好题意、讲清思路、讲明方法，但要从一道题中跳出去讲联系、讲创新并非易事，因为它要求教师脑子里装的不只是一道题，而是许多题，从一个知识点，联系到整个知识网，由一道题拓宽为同类的几道题，从而让学生掌握此类题。比较创新就是促使学生讲出教师没讲出来的思路与方法，做到有创新解题，这点难度比较大，操作起来不容易，但是这对培养学生的创新能力是很有好处的。对于学生水平比较好的学校，学生掌握知识相对容易，老师可以尝试多使用这种方法。这种方法对尖子的培养是有很大帮助的，2012年我教的303班的钟同学，他的数学成绩每次比第

二名至少多出20分，我对他的试卷的评讲主要是通过面批，重点讲数学思想和数学方法，数学常用的方法在每次的考试后我都会问他，每个题他所使用的方法是什么，有没更加简单的方法，对于数学常用的分析法、综合法、数形结合法、配方法、导数法、向量法、转化与化归的方法等他都能熟练应用。最后，钟同学在2012年高考中以546的优秀成绩考取大学，其中数学成绩为130分，是我校那么多年来数学科考得最高分的同学。

二、数学试卷讲评的三个原则

数学试卷的讲评，应鼓励学生积极参与，讲评中还要兼顾学生的心理感受，及时激励，让各层次的学生在每一次考试后都有成功感，都能获得良好的心理体验，从而不断获得进步。

1.突出针对性

教师要准确分析学生在知识、方法、思维、表述、能力等方面的薄弱环节，找出试卷中出现的具有共性的典型问题，针对导致错误的根本原因及解决问题的措施与方法进行讲评。在讲评试卷前可以先和同学们聊聊，看看他们想知道什么，想老师讲清楚具体的哪一步。例如，对于数列{■・4n+2n}的求和问题，有的学生可能会问老师：“你是怎么看出来用分组求和的？如果知道用分组求和，我就会做了。”从这里我们就会和学生讲，“数列求和主要是看它的通项公式的形式，这里是等差数列和等比数列的和的形式”，从而把问题解决。

2.强调层次性

班级的学生通常差异都比较大，在课堂上要满足各层次的学生需要不容易。试卷讲评是全体师生的双边互动，但不同的学生存在的问题不尽相同，因而要调动各层次学生都积极参与讲评活

动，使每一位学生都能在自己的发展区域里，有不同的收获，这就要求教师从整体上把握讲评内容的层次性，使内容层次与学生层次相吻合，从而提高讲评课的效率。一般来说，题目大部分学生都会的，而且错的原因学生容易找到的，我们没必要讲得太多，给点时间学生互相改正就可以了。而对于难度大，绝大多数学生不会的，可以尝试利用课余时间个别辅导的形式进行处理。

3.讲究激励性

考试以后，学生可能会出现各种各样的心情，有的学生因为考得好而感到骄傲，有的学生因为考差了泪流满面。在试卷讲评时，不可忽视各类学生的心理状态，要用好激励手段。其实，表扬同学的原因可以是很多，例如表扬选择题全对的，表扬对某道题有很好解法的，表扬卷面整洁的等等，对成绩好、有进步的学生提出表扬，哪怕是进步了一点点，促其再创佳绩。要善于挖掘他们答卷中的闪光点，肯定其进步。要让他们在老师和同学的赞扬声中获得满足和愉悦。

因为高三的考试很多，而且难度各不相同，文科班女生也多，在试卷比较难的模拟考后，做好她们的思想工作就显得非常重要了。我曾有位学生这样说：“老师，怎么办呀，只有可怜的60分，今后我对数学没信心了，我想放弃。”这时就应该多点关心她们，鼓励她们，使她们走出低谷。

总之，讲评课要以赞扬、肯定为主基调，引导鼓励学生以个人的发展为参照，自己和自己比较，关注自己的努力和进步情况。切忌出现过激的语言批评学生，通过讲评课，应让学生达到知己知彼，“胜不骄、败不馁”的较高境界。

三、数学试卷讲评课常用的几个环节

1.分析试卷：比如数学思想方法的考查、试题的难度分布等。

2.分析考试情况：如平均分、最高分、最低分、分数段分布，以及分析某些进步特别大或退步特别大的学生的考试情况。

3.总结好的解题思路与方法，归纳试题中学生出现的各种解法，从而拓宽学生解题思路，使学生学会寻找解题的思路。

4.指出解题中普遍存在的问题及典型的错误，分析解题错误的主要原因及防止解题错误的措施，努力使学生今后不再出现类似的解题错误。

5.帮助学生学会对一些较重要的、典型的题目从不同角度进行变式，并从中总结出解题的规律与方法，使学生能够触类旁通，举一反三，提高分析问题、解决问题的能力。

6.布置考后作业，讲评课除了要求学生认真做好试题的订正工作外，还要针对学生在考试中暴露出来的普遍性问题，再设计一些相应的变式题让学生再练习、再提高。

7.引导学生做好数学讲评课的笔记。对老师分析的每个题目的切入点，针对某题的通性和通法，在试卷中表现出来的数学能力如何培养等等问题，要求学生做好笔记，认真领会老师的点评和总结。

四、数学试卷讲评的几点技巧

试卷的讲评也要讲究技巧，什么时候讲，讲什么，怎么讲，都有一定规律，如能按规律讲评，就能使讲评课达到最佳效果。

1.抓住讲评的最佳时期

有些教师为了反馈及时，往往是批阅完试卷后发下去就立即讲评，认为学生刚做完还没忘，效果要好一些，其实不然。教师应在发下试卷后留给学生一定的时间，让他们自己去思考、去更正，再由老师去讲。而且老师应该趁热打铁，及时把试卷改好后发放给学生去思考和改正。

2.充分发挥学生的主体作用

试卷讲评课切忌教师满堂灌，教师的作用在于组织、引导、点拨。促进学生主动思考、积极探究、大胆假设猜测、提出问题，培养学生的创新意识和能力，使学生真正成为讲评课的主人，让学生在动脑、动手活动中获取知识、发展智力、培养能力。我在评讲试卷时经常让学生讲出自己考试时怎样想的，思路是怎样形成的，不会做的话主要是想到了问题的哪一步，哪一步没有想到等等。

3.重视启发学生

讲评课教师应重在解题思路的分析和点拨，引导学生阅读题中的关键字词，探寻题目中的已知因素和未知因素之间的内在联系，再现正确的数学模型，让学生对要解决的问题建立清晰的数学情景。例如，文科中的概率计算问题，我们可以先问学生题目考查的是几何概率还是古典概率，几何概率的话是长度问题还是面积问题还是体积问题，古典概率的话是否考虑顺序，是否重复，这样的话可以一步步地把思路弄清楚。

要把高三数学试卷讲评课上好，我们可以采用的方法很多，

无论怎样的方法都好，我们应该尽力使学生能认真听老师分析，

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一、试题模式：

与重庆卷不同，全国卷文理科试题模式相同，均是12道选择题，每题5分，共60分：4道填空题，每题5分，共20分;解答题是5+1模式，5道必作题每道题12分，共60分，最后三道选作题三选一，每题10分，合计解答题共70分，选择、填空题80分。

二、命题特点：

1、选择题：

a

从整个选择题难度来说，比填空题难度稍高。其中2013年的10、11、12三道题均有一定难度，8、9两题也可能难住很大一部分学生;2014年难度低于头年，只有10题和12题较难，但是其中12题难度超过2013年的12题;2015年又如2013年，8、9、10、12均有一定难度。从考查知识点来说，首先三视图与重庆考的不太一样，2013年是给出空间坐标系中几个点，学生自己做出几何体，指定投影面要你找出正视图，2014年和2015年都是求体积比，比重庆考的多一个步骤，多一次运算。第二，比较重视线性规划和二项式定理，每年都考，而且都是考线性目标函数最值，只是含不含参数的区别。第三，选择题数列都是考的等比数列，没有等差数列，可能是为了加点运算量的考虑。第四，选择题的压轴题都是求参数取值范围，都要结合函数、不等式、导数知识，我们学生基本可以放弃，靠猜答案。

2.填空题：

从试题来看，2013年4道填空题均无难题，中上等学生基本可以做出来;2014年只有16题相对困难，但数形结合做就很简单，不过4道题总体难度高于2013年;2015年和2013年一样，整个无难题，难度低于重庆卷。从知识点而言，三角和数列有特点，当年解答题考了数列，这里就是考三角，解答题考的三角，这里就是考数列。

不难看出，全国二卷以解三角形，概率统计，立体几何为基础试题，考察知识点和难度与重庆题类似，也是我们学生相对容易得分的题，复习中要加大力度，花大力气，让学生基本清楚考的知识点，考题模式和答题方法;解析几何主要考查直线与椭圆，难度低于重庆试题，是我们好班的好学生争取要突破的题，其他班也要争取拿分;导数考查模式和重庆不一样，一直作为压轴题出现，基本牵涉参数，二价导数，比重庆难度高的多，我们的学生只能尽可能解决一些基本问题，得部分分数就好。从必作题来看，有变化的就是数列和解三角形，如果考数列，就不考解三角形，反之亦然，估计2016年考数列可能更大。

综合近三年高考题，我们可以看到，全国二卷和重庆卷考查知识基本一致，只是侧重点有些不同，总体难度也略低于重庆高考。具体复习建议：

1.首先是函数、导数压轴，数列简单化甚至淡化。函数、导数在选择题和解答题均是年年处于压轴题位置，也基本是全卷最难的两个题。建议高三复习主要以切线、单调性、极值这些基本应用为主，好班适当加点含参数的讨论，不过多追求。

2.数列还是主要复习等差、等比数列基本量运算和性质，前n项和与通项公式的关系，数列求和中的裂项相消法、错位相减法，简单、常用的放缩法、构造法，常见的递推公式求通项公式等。

3.三角函数方面，以三角公式和解三角形为重点，三角函数图像与性质方面感觉比重庆高考有所淡化。

4.概率统计和重庆也有所不同，往往和统计相结合，而分布列有所淡化。

5.立几和重庆考查的一样，主要是空间线面关系（尤其是平行和垂直关系）空间的角（线线角，线面角，二面角），其中二面角比重庆高考的地位略低，不再年年出现。

6.解几何方面，全国二卷难度不是特别高，应该鼓励我们的好学生把它完整解决，而不再是以前重庆高考的放弃第二问。

7.选修最好选参数方程与极坐标，若不等式选讲是绝对值不等式方面的问题，也可以考虑选择。个别平面几何好的同学，当然可以考虑选择，但总体不建议选它。

8.客观题方面，集合、复数、线性规划、二项式、向量、框图、三视图是每年必考，属于学生容易得分的题，要让学生熟练掌握解题方法，尽量在这些题上不丢分。

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一、把握基础知识点与重点考查内容

在高三的基础复习过程中，对于例题的设计和讲解有着严格的要求和考量。数学的复习侧重于数理基础知识，因此在例题的设计方面必须考虑其难易程度是否得当，如果例题过难就会打击学生们的学习积极性，这对高三学生来说是极为不利的，但是教师又不能简单地把知识点罗列出来，因此，教师必须全面把握所要复习的知识点，抓住题目设计的主要信息和考查内容，使知识点能够通过例题的形式串起来形成一个有规律的知识脉络。比如，在复习可以裂项的数列通项这部分知识点时，就可以围绕书本内容以及学生容易出现错误的地方进行设计，先给定学生一个较为容易的裂项求和题目，然后再逐步加大难度，层层递进，不断引导学生进行更加深入地学习和探讨，使学生所接触的问题都能够符合学生的“最近发展区”原则，这种有效的复习活动和例题设计能够使所有学生都能够有所收获，极大地提升了学生在复习过程中的自信心和学习兴趣，这对即将参加高考的学生来说无疑是十分重要的。因此，高中数学教师在例题的设计方面必须要回归基础，使所有学生在课堂学习中都有事可做，积极参与课堂复习活动，从而提升能力和学习成绩。

二、连题成组增强复习效果

在高三数学的复习过程中，设计题组，将各个有关联的题目连成一个题组，以题组的方式进行复习和训练，在这个过程中学生可以将已经学习过的不完整的知识点进行自我整理，知识点层层递进的安排方式也符合学生的接受能力，使学生能够在头脑中形成一个更加清晰的知识网络，这样才能提升复习效果。比如，依然是在复习裂项的数列通项中可以设计一个与数列问题有关的题组，在设计题组的过程中要坚持循序渐进的原则，学生在复习完这样一组题后就会对数列有一个更深刻的了解，从而也为以后的复习打下一个坚实的基础。

三、选取有代表性的学生错题以错纠错

高中数学与初中数学相比，学习难度极大提升，学生在数学学习过程中出现种种问题和误区也都是在所难免的，而教师在教学工作中应该仔细分析学生的错误，并根据具体规律将其进行分类，选择有代表性的错题作为课堂复习案例，从而达到“以毒攻毒”的效果。学生在学习中出现的这些错误都是学生学习情况的真实反映。因此，学生必须正视并且试着解决这些问题，使之在已有的知识结构上进行修正，并且构建正确的知识结构。从心理学的角度来说，学生在领会新知识的过程中，学生头脑中已经有了一定的知识储备。教师在针对学生的错题进行设计例题时，忽视了学生头脑中已经存在的知识构架，过分纠正学生在学习过程中的错误，这就给学生的学习带来了极大的约束，严重阻碍了学生的创新思维和逻辑思维能力。一些有经验的高中数学教师就会适当地利用学生的错误设计出合理的教学内容，并且还要对学生进行鼓励，这样就能够有效增强学生的学习自信，在错误中学习和创新。

四、例题学习之后注重反思教学

在高三数学的复习过程中，教师在例题讲解完成后，并不意味着真正地结束，教师还要采取各种教学措施或者恰当的教学语言来引导学生进行反思，借助反思教学环节能够使学生将一些数学知识点内化成个人的一种学习能力，使学生能够将知识与实际生活结合起来，提升学习的有效性。比如，在复次函数这部分知识点时，教师首先就给出了一个例题：“如果函数f（x）=x2-2x+3（a-1≤x≤a+1）的最小值为18，求实数a的值。”有经验的教师在讲解完这个题目之后，就会给学生留下充足的反思和思考时间，或者是给学生抛出一个举一反三的问题，比如，若函数为f（x）=x2-2x+3，求该函数的最小值。学生们在得出答案之后，教师就再给出反馈和正确的答案。教师在复习过程中实施的反思教学和举一反三教学，不仅将数学基础知识进行了充分的复习和巩固，而且还将问题逐步深化，借助学生已经掌握的知识结构，一步步推进，实现突破和创新，从而也在很大程度上提升了高中数学的教学质量和教学效果。

五、展示案例并引导学生进行自主评价

从我国现阶段教学的现状来看，普遍要求在课堂中要充分体现学生的主体地位。因此，教师在安排复习计划过程中也应该遵循以学生为主的原则，先展示例句，让学生进行思考和分析，之后教师再针对学生的理解进行评价和反馈，当然中间学生之间进行合作交流的环节也是必不可少的，教师可以根据实际的课堂操作情况将其安排在评价之前或者评价之后，学生也可以充分参与课堂生活。教师也要积极融入学生中，对学生进行引导和鼓励。

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一．重视推导，理解掌握公式的形成过程

在数学教学中，多数的公式都有推导过程。课堂上，教师通常会引领学生进行推导，但多数同学对公式的推导不重视，想着只要记着公式，并会应用就可以了，这种错误的思想困扰了许多同学，没有理解公式的来源与推理，单纯的死记硬背，当时学时或公式少时还管用，到整章﹑整本书或整个高中复习时，很多公式或记不清或混在一起，结果一团糟。因此，在教学过程中，我先给学生讲清公式推导的重要性，然后每次公式推导过程中，引导学生多参与其中，讲清原理，这样即使忘记公式，学生也能推导出来。如在进行数列前n项和公式的教学中，等差数列的前n项和根据其特点，采用首尾相加法求和，第一项与最后一项﹑第二项与倒数第二项……的和相等，全为a1+an，且有 项，这样前项和公式即为sn= ，再结合an= a1+(n-1)d，也可是sn=n a1+ 。等到比数列的前n项和分q=1和q≠1，当q=1时sn= n a1，当q≠1时，根据其特点，采用错位相减法求和，先写出sn，再两边同乘公比q，然后相减，即可求出sn= 。重视公式推理过程，不仅可以帮助学生记公式，还可帮助学生掌握基本解题方法，如本例中数列求和的首尾相加法和错位相减法。

二．找特点与联系，对公式进行自我加工再记忆

心理学理论告诉我们，对要记忆的内容进行再加工，不仅可以帮助我们快速记忆，还可在长时间不遗忘，所以，在教学中，推导出公式后，我引导学生找公式的特点，对公式进行自己的加工，形成独特的记忆方法。三角函数部分公式多而杂，是令学生头痛的地方。在教这部分内容时，我们这样加工以下公式，如：

公式（1），角的顺序为 ，右边展开式中简记为赛考考赛（谐音），展开式中的符号与角之间的符号相同；公式（2），角的顺序为 ，右边展开式中简记为考考赛赛（谐音），展开式中的符号与角之间的符号相反；公式（3），展开式中分子符号与角之间的符号相同，分母符号与角之间的符号相反，而二倍角公式只是将 换成 再合并即可。又如，空间向量运算公式大多由平面向量公式类比而来，只要再加一个z坐标即可，等等。这样经过加工，学生记公式的效率大大提高，而且在找特点的过程中，学生的主动性与创造性得到提高与发挥，也增强了学生学数学的兴趣。 转贴于

三．在做题目中记公式，不要单纯死记硬背公式。

数学的学习是灵活多变的，我们记公式的目的是应用公式解决实际问题，而不是单纯死记硬背公式。在解题目过程中，我们可以进一步熟悉公式及其应用，更深刻地理解公式，这样也可加深记忆，并且使公式有了应用的生命力，但切忌一边做题一边看书查公式，而不作记忆，下次碰到再查，导致翻开书会做题，合上书做不下去的情况。当然，公式记得多少因学生而定，我经常对学生说：“基本公式要记牢记准，推理能力强的同学可以推导其它公式，但过多的公式推导会影响解题的速度，记忆能力强的同学可记进一步推导出的公式，但必须记准确。”

四．将易混淆、易记错、难以记忆的公式进行整理

在学习的过程中，有一些公式学生记起来容易混淆，我建议学生将此类公式专门进行整理，对这些公式特殊照顾，多看多记，而且记清楚，如定积分的题大多比较简单，但学生容易将y=sinx和y=cosx的导函数与原函数记混。又如二项式定理、点面距离、点线距离等公式，学生记起来有难度，这些公式归纳在一起，有助于学生特殊对待，逐一掌握。

五．分析同类型题目，引导学生总结常用公式

在高三的模拟题目复习时，当学生做过一定数量的题目后，我引导学生对同类型题目进行分析，总结常见类型题目解题思路和常用公式，分试题类型归纳公式，将知识系统化。如分三角函数、概率、立体几何、数列、解析几何、导数解决函数问题几大类，整理出常考知识点和常用公式，形成学生自己的能够指导解题的公式大全。

六．对照常用公式，查漏补缺，建立自己的公式库

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关键词：高中数学； 变式教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2016）02-051-001

具体的来说，变式教学指从一道题目出发，通过改变题目的条件、结论或改变题目设计的数学背景，重新进行讨论的一种教学方法。这样有利于实现学生思维由经验型向理论型的飞跃，达到真正领会知识的目的，从而形成良好的数学思维。由于这种教学方法具有很强的考查功能，对学生的能力要求高，因此这种方法是高三复习中常用的教学方法之一。从近年各地高考命题的趋势来看，对于学生思维的广度、深度的要求有所增加，试题比较注重学生探究能力的考查。因此，在平时教学中我们可以从一些最简单的命题入手，设计一些有层次、有梯度、要求明确、题型多变的例题、习题，训练学生不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到发展；对于一些容易混淆的数学的概念、法则，可以将它们进行“变式数学”，促使学生做出客观的评价，提高辨别是非的能力，提高思维的批判性。

在数列一章的复习中，我曾多次采用变式教学的方法引导学生进行复习，效果良好。以下先谈谈我在复习过程中的一些具体做法：

一、在复习“根据递推关系求数列的通项”一节时，设计了如下两组变式题目：

第一组为：

1.已知数列an中，a1=1，an+1-an=2（n∈N*），求数列an的通项公式。

2.已知数列中an，a1=1，an+1-an=2n+3（n∈N*），求数列an的通项公式。

3.将2n+3改为2n，，n2等呢？改为111……1122……2呢？

这一组训练中，数列的递推公式均为a1=aan+1-an=f（n）（n∈N+），其中f（n）可求和，均可使用叠加法求其通项。题目难度由浅入深，通过f（n）的不同变化，可使学生深刻理解到叠加法的本质特征。

在第一组的基础上，再将an+1与an的系数作变化，设计了第二组变式训练题：

1.已知数列an中a1=1，an+1=an+2（n∈N*），求数列an的通项公式。

2.已知数列an中a1=1，an+1=4an+3n-2（n∈N*），求数列an的通项公式。

3.已知数列an中a1=1，an+1=3an+2n（n∈N*），求数列an的通项公式。

4.已知数列an中a1=1，a2=，an+2=an+1-an（n∈N*），求数列an的通项公式。

这组题目均可使用化归法求解，其中第四题的变化已经从一阶递推公式变化到了二阶递推公式求通项的问题，这里，不仅能使学生看到事物的表象，更能让他们自觉地探索事物的本质，使他们明白复杂问题都是从简单转变而来的，消除了学生们的定势思维和学习数学的畏难情绪，同时也提高了学生的数学研究和创新能力，使学生真正成为课堂教学的主体。

二、在复习“前n项和Sn与通项an的关系”时，设计了如下一组变式题目：

1.已知数列an的前n项和Sn=n2-2n+2（n∈N*），求数列an的通项公式

2.已知数列an的前n项和Sn=2n-1（n∈N*），求数列an的通项公式

3.已知数列an的前n项和Sn=4an+2（n∈N*），求数列an的通项公式

4.已知数列an的前n项和Sn=4an+2n+3（n∈N*），求数列an的通项公式

5.已知数列an的前n项和Sn+1=4an+2，a1=1（n∈N*），求数列an的通项公式

这些题目是对例习题进行了变通推广，重新认识，题目的变化有一定梯度，循序渐进，不仅有助于学生对本节课内容的掌握，而且通过恰当合理的变式，能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，开阔学生的视野，激发学生的情趣，有助于培养学生的探索精神和创新意识，并能使学生举一反三，事半功倍。当然，变化必须要限制在学生思维水平的“最近发展区”上，变式题目的解决要在学生已有的认知基础之上，否则会使学生产生畏难情绪，影响问题的解决，降低学习的效率。

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关键词：课标；高考；策略；板块；目的性

一、在现行新教材的高考模式下，老师和学生必须清楚高考必考的六大核心板块是：一是三角函数（包括三角形中的三角函数、平面向量，高考时大概占17-22分。）和数列（包括等差数列、等比数列、递推通项求和三者之间的关系等，高考时大概占17-22分），这两块在高考大题的设置上属于二选一，一般出现在第17题的位置；二是立体几何，高考时大概占17-22分；三是实际问题（围绕三大概率与统计、频率分布直方图、数学期望、线性相关、独立性检验等，高考时大概占17-22分）；四是平面解析几何（包括直线与圆的方程、圆锥曲线方程、平面向量与解析几何的综合等，高考时大概占17-22分）；五是函数+导数的高级应用（高考时大概占17-22分）；六是坐标变换和参数方程（其固定在第23题的位置）.这样的话我们的复习就有目的性、就有针对性、就好办的多了！

二、老师和学生必须清楚高考数学试题中中低档试题产生的板块：一是在三角函数和数列上选一个大题（实质上属于二选一）；二是立体几何；三是解析几何一个大题的第一小题；四是关于实际问题一个大题；五是导数的高级应用的一个大题的第一小题；六是坐标变换和参数方程.什么意思呢？这六大板块是高考数学试题中的六块软骨头，是对基础好，肯下功夫的好学生来说志在必得，一分都不能丢的板块，是我们复习的重中之重，这样我们的共识就很清楚了。

三、老师和学生必须清楚高考数学试题中难题产生的位置：就一般而言选择题的后一个或后两个；填空题的后一个。数列一个大题的第二小题（在新课标下这个小题的难度有所下降）；导数的高级应用的一个大题的第二小题；解析几何一个大题的第二小题是历来高考数学试题出现难题的地方，是名副其实的三大硬骨头，对一般学生来说可以放弃吗？据统计，难题所占的分数一般为5+5+5+6+6+6=33分或5+5+6+6+6=28分，但也有例外，如果某一年高考数学试题整体比较简单，那就另当别论，如果难易相对稳定在3：5：2，前面的认识还是遵循上述特点的。

基于上述认识，我们的复习规划是：

1.严格围绕这些板块进行复习，力争做到稳扎稳打，卓有成效，坚决不搞疲劳战，低效战，题海战，消耗战，使同学们轻松愉快地搞好这一年的复习。

2.对高三数学配置的复习资料根据学情一定要科学取舍，合情选用，灵活处置，预计到没有效果的讲解和没有效果的训练坚决杜绝之，千万不要被手头的资料所左右、所绑架、所束缚。

3.处于简单地位的板块要放在计划的最前面先复习，比如第一单元――集合、复数与常用逻辑用语，第二单元――立体几何与三视图等，第三单元――算法与程序框图，第四单元――统计与统计案例，第五单元――排列组合，二项式定理，概率，随机变量及其分布，第六单元――三角函数、解三角形与平面向量，第七单元――坐标变换和参数方程等。

4.处于难题地位的板块放在计划的后面复习，比如第九单元――数列，第十单元――平面解析几何，第十一单元――函数+导数及其应用，即先边缘，再中心.就是农村包围城市的复习模式！

5.第一轮复习又叫过双基关的复习，抽象地说，就是主要复习基本知识，基本方法和基本技能；具体地说，就是在这一轮里把该记的一定记住，把该练的一定练到家，练到熟，并注意规范和细节，特别在对解题时的精心审题、阅读理解、准确理解题意上下大力气落实和纠偏.这一轮必须与来年的二月底结束，只能提前，不得落后。第一轮复习结束后，快速进入第二轮复习，第二轮复习的核心是围绕六大板块再强化、再巩固、再训练、再提高，具体做法是比如三角函数由我选择有代表性、有预测性的试题20-30个叫学生训练，立体几何由我选择有代表性、有预测性的试题20-30个叫学生训练，平面向量由我选择有代表性、有预测性的试题20-30个叫学生训练，随机变量及其分布，由我选择有代表性、有预测性的试题20-30个叫学生训练，解析几何由我选择有代表性、有预测性的试题20-30个叫学生训练，数列由我选择有代表性、有预测性的试题20-30个叫学生训练，导数的应用由我选择有代表性、有预测性的试题20-30个叫学生训练。第三轮复习做几套综合训练卷即可，在这些措施落实的过程中，大量反复的练习中低档题目，这是我们正常发挥并取得良好成绩的最根本保证，严厉打击在这个过程中把会做的题做错的学生，力争做到每会必对，也就是说“不怕你不会，就怕你不对！不求你全会，只求你全对！”

复习经验花絮

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【关键词】高三数学 总复习 安排

高三数学复习一般分为三轮复习：第一轮复习的目的是全面全力夯实基础，构建“四基”网络。第二轮复习的目的培养提高综合能力，创新能力。第三轮复习的目的通过模拟、质检、月考等考试积累解题经验和提高应试能力。我们要精心组织、认真研究，搞好每个阶段的复习。本文对如何提高效率谈一点看法，提供一些方法和建议。

一、研究大纲，分析特点

教师一定要先利用考试说明（考试大纲）摸清高考对知识的要求 ，结合近几年的 高考试卷对知识点进行梳理，把握高考试题特点。

（一）对每年都考的重点要下大功夫巩固提高，如：集合运算、函数与导数、三角函数、数列、二面角、直线与圆锥曲线。通过分析发现高考并不刻意追求知识的覆盖面，对一些骨干内容重点考察。所以不能盲目撒密网抓小鱼，要对重点基础内容通过专题训练、专题研究强化，使学生能熟练解答基础题，得基础分。

（二）高考试题难度分布一般为3：5：2或4：4：2即容易题占30%，中档题占50%，难题占20%。由此我们对试卷上的80%的中低当题（120分）要有准备有信心。因为它是基础和重点，或直接出自课本，或前几年的变式甚至做过的练习题。

（三）注意创新题即在知识交汇处命题的特点。如函数不等式、函数与数列、解析几何与向量等，在第二轮复习时要进行必要的专题训练，了解和掌握此题型。

（四）重视应用性题目。近几年的数学高考加大了应用性试题的考察力度，更加贴近生产和生活实际，体现科学技术的发展，更加贴近中学数学教学实际。解答应用性试题要重视两个环节：一是阅读理解问题中的材料；二是通过抽象转换为数学问题，建立数学模型。我们只要掌握高考要求和特点，就能在复习时有的放矢，针对性地展开复习，制定科学的复习计划，能够有效地提高复习效果。

二、具体实施策略

（一）重视基础，关注课本。重视基础即掌握基础知识要全面，基本技能要细，基本方法要熟，基本思想要通，必须使“四基”网络化。只有在头脑中形成知识网络并加强记忆，应用时才能快速有效地各取所需，否则提升能力将是空谈。再者关注课本知识，前面提到高考题有些来源于课本，所以要吃透课本知识、习题、例题中的思想和方法。例如等比数列求和公式的推导思想错位相减等是必考的。万丈高楼全在基础，千万不要急于求成，本末倒置。

（二）重视错题，总结反思。根据以往经验，高三的学生在开始复习时一定要有改错本，记录自己在平时练习考试中出现的错题典型题，深挖错误根源，真正弄懂每一个题，多问几个为什么。同时也要适当总结反思同类型题目的解法，或是否有更好的解法。通过总结反思掌握每类题型的通法。注意易错点，积累解题经验和技巧，优化思维，提升自己的解题能力。

（三）重视算理，强调过程。这一点非常重要，因为学习是分听懂、学会、做对三个阶段，是一个渐进地过程。平时学生以为自己课堂上听懂了学会了，就不去动手做了。一到考试就算遇到原题也可能出错，总归结为马虎。归根结底，学生没有彻底掌握，平时只重视思路，忽视其中的算理过程，导致做不对。所以在平时培养学生动脑动手的习惯，重视过程养成一次做对的习惯。这样才能及时掌握和消化知识，变为己有，合理选择运算方法，以提高运算效率，减少运算量，提高准确率，在考试时不出错。