高中数学的基本不等式范文

导语：如何才能写好一篇高中数学的基本不等式，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

【关键词】高中数学；不等式；教学问题

不等式在教学中呈现出以下问题，这些问题主要可以归结为教师的问题、学生的问题以及应试教育的问题，下面就一一阐述.

一、高中数学不等式教学中的常见问题

1.教师的问题

不等式的教学在高中数学既是重点也是难点，加之高考的要求比较高，所以导致高中数学教师在讲课时就采用了全面的灌输方法.有的教师为了让学生学会，于是整节课都在不停地讲解例题及练习题，讲解完了还不算，还要再给学生发一些试卷进行相应的练习.老师这样的教学方法，完全忽略了学生的主体地位，整节课都是教师在唱主角，学生被放在了边缘位置.所以说，教师教学思想的落后，教师教学方法的落后，导致了学生学习效率的低下.教师自身的问题，不仅仅影响不等式的教学，他还会影响整个高中阶段数学的教学.

2.学生的问题

教学是一个双向反馈的问题，教师教得好，学生不一定学的好.作为多年的数学教师我们都有同样的感触：有些题老师不讲学生就不会，还有些题，老师一讲学生就会了.我们也常听到学生们这样说：这个题这么简单，老师没讲之前，我怎么就没想到呢，但是老师稍微一解释我就会做了.面对上面这些现象，我们不得不深入思考，问题到底出在哪里.其实，之所以会有上面的这些现象的出现，不外乎有这两个原因：第一，学生学习迁移能力比较差，当老师的只是个引路人，具体该怎么走，还要靠学生自己找到途径.第二，学生的思维不够灵活，高中数学中的不等式确实比较难，它的解题方法比较单一，在解题的时候，如果想不到适当的方法就会很难把问题解决.

二、解决不等式教学常见问题的对策

1.复习巩固、做好衔接

数学知识本身就是系统的，不等式的学习，基础知识其实在初中就有，高中阶段的不等式学习是建立在初中不等式知识的基础上的，所以，在高中不等式教学过程中要加强跟初中知识的衔接，这也符合学生的认知需求.从课程标准对不等式的安排来看学生通过对初中不等式有关内容的学习基本上已经掌握了基本不等式的解法，也了解了不等式的性质，并且有部分学生还学会了不等式的应用.所以，利用初中的这些基本知识，基本上可以解决高中数学不等式中比较简单的不等式试题.将高中数学不等式教学与初中不等式知识相衔接，为高中不等式知识的进一步教学做好铺垫工作.

2.教给方法、归纳类型

不等式的解题方法有很多，所以，教师在教学的过程中，尤其是数学的整合与复习过程中，要善于教给学生方法，激发学生的思维，引导学生用不同的方法去解决不同的不等式问题.学生掌握的方法越多，才能学以致用、融会贯通.

用放缩法解决数列型不等式问题是高考常见的题型之一，这类题的难度较大，考查的知识面比较广，学生在考试中不易得分.数列型的不等式放缩技巧大致有九种，如：利用重要不等式法放缩、部分放缩法、添减项放缩法等等.在此就列举一个例子：

例如：已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足an（2bn-1）=1，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：

3Tn+1>log2（an+3），n∈N*.

解 （1）由a1=S1=16（a1+1）（a1+2），解得a1=1或a1=2，由假设a1=S1>1，因此a1=2.

又由an+1=Sn+1-Sn=16（an+1+1）（an+1+2）=16（an+1）（an+2），

得an+1-an-3=0或an+1=-an

因an>0，故an+1=-an不成立，舍去.

因此an+1-an-3=0.从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an=3n-2.

（2）由an（2b-1）=1可解得

bz=logz1+1an=logz3n3n-1；

从而Tn=b1+b2+…+bn=logz32・65・…・3n3n-1.因此3Tn+1-logz（an+3）=logz32・65・…・3n3n-13・23n+2.

令f（x）=32・65・…・3n3n-13・23n+2，则

f（n+1）f（n）=3n+23n+5・3n+33n+23=（3n+3）3（3n+5）（3n+2）2.

因（3n+3）2-（3n+5）（3n+2）2=9n+7>0，故

f（n+1）>f（n）.

特别的f（n）f（1）=2720>1.

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【关键词】不等式性质，解不等式，等价变形，基本不等式，等号成立条件

《普通高中数学课程标准》把不等式作为刻画现实世界中不等关系的教学工具，刻画不等关系的一种数学模型，而不是从数学到数学的纯理论探讨。笔者在教学当中发现，学生在利用不等式的性质、基本不等式求最值解题时，会出现很多类似的错误，现给予归纳分析。

1.取倒数时，忽视左右的符号

例1：解不等式〖SX（〗1〖〗x-1〖SX）〗

错解：原不等式等价于x-1>0.

方法1：由于可能为正，也可能为负，故原不等式同解于0

方法2：原不等式等价于〖SX（〗1〖〗x-1〖SX）〗-1

2.认为同向不等式可加，放宽了不等式中变量的约束条件

例2：设f（x）=ax2+bx，且-1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围.（高中数学必修5北师大版）

错解：依题意得〖JB（{〗1≤a-b≤2，（1）2≤a+b≤4，（2）〖JB）〗 〖JB（{〗〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗≤a≤3，（3）0≤b≤〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗，（4）〖JB）〗

又f（-2）=4a-2b，3≤f（-2）≤12 .

分析：由（1），（2）加减消元得（3），（4）时，不是等价变形，致使f（-2） 范围扩大.

方法1：由f（-1）=a-b，f（1）=a+b得

从而〖JB（{〗a=〖SX（〗f（1）+f（-1）〖〗2〖SX）〗b=〖SX（〗f（1）-f（-1）〖〗2〖SX）〗〖JB）〗 从而f（-2）=4a-2b=f（1）+3f（-1）

又-1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4

f≤f（-2）≤10.

方法2：（待定系数法）

令f（-2）=4a-2b=mf（-1）+nf（1）=（m+n）a+（m-n）b

〖JB（{〗m+n=4m-n=2〖JB）〗 即 〖JB（{〗m=3n=1〖JB）〗

则f（-2）=3f（-1）+f（1），下同正解1.

方法3：（利用简单线性规划）

〖TP000.TIF；%40%40，Y〗由题意得〖JB（{〗1≤a-b≤22≤a+b≤4〖JB）〗 ，

令z=f（-2）=4a-2b，求f（-2）的取值范围转化为

求目标函数z=4a-2b在约束条件〖JB（{〗1≤a-b≤22≤a+b≤4〖JB）〗 下的最值.

5≤z≤10，即5≤f（-2）≤10 .

已知f（x）=ax2-c，且-4≤a-c≤-1，-2≤f（2）≤5，求f（x）的取值范围.

3.利用平均不等式时忽视等号成立的条件

例3：某工厂拟造一座平面为长方形，且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，处理池的高度一定，如果四周为池造价为400/m ，两道隔墙造价为248/m，池底造价为80/m，那么如何设计污水池的长和宽，才能使总造价最低？（高中数学必修5北师大版）

错解：设长、宽分别为a/m，b/m，总造价为y元，则ab=200，0

y=400（2a+2b）+248×2b+80×200

=800a+1296b+1600

=800a+1296·〖SX（〗200〖〗a〖SX）〗+16000（0

y≥16000+2〖KF（〗800a·（1296·〖SX（〗200〖〗a〖SX）〗）〖KF）〗=30400

当且仅当800a=1296·〖SX（〗200〖〗a〖SX）〗，即a=324时，总造价最低.

正解：由错解中得到

y=400（2a+2b）+248×2b+80×200

=800a+1296b+1600

=800a+1296·〖SX（〗200〖〗a〖SX）〗+16000（0

由于函数是减函数，所以当a=16m，b=〖SX（〗200〖〗16〖SX）〗=12.5m时，总造价最低.

4.解不等式忽视等价变形

例4：求不等式〖SX（〗x-2〖〗x-1〖SX）〗≥0的解集.

错解：原不等式等价于（x-2）（x-1）≥0.

正解：原不等式等价于（x-2）（x-1）≥0且x-1≠0

原不等式的解集为{x|1

例5：解关于x的不等式xlogax>〖SX（〗x〖SX（〗9〖〗2〖SX）〗〖〗a2〖SX）〗（a>0，a≠0）.

错解：对已知不等式两边同时取以a为底的对数，得（logax）2>〖SX（〗9〖〗2〖SX）〗logax-2，整理，得 ，解得2（logax）2-9logax+4>0，解得logax4.

（1）当a>1时，x>a4或0

（2）当0〖KF（〗a〖KF）〗 .

分析：由于对数函数是单调函数，当底大于1或底大于0小于1时，对数函数的单调性不同。因此，对数函数的底固定，不等号方向才固定，底不定，不等号方向不定。此类问题“应该先固定底，后取对数”。

正解：（1）当a>1时，对已知不等式两边同取以a为底的对数，得（logax）2>〖SX（〗9〖〗2〖SX）〗logax-2，由此解得x>a4 或0

（2）当0

5.恒成立的参数讨论特别是特殊值

例6：不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4

A.（-∞，2] B.（-2，2] C.（-2，2） D.（-∞，2）

分析：在本题当中最易出现错误的是忽视对a-2的讨论，误认为原不等式是一元二次不等式。

解：当a-2=0时，原不等式变为0·x2+0·x-4

参考文献

[1] 蒋明权，马成铭. 高中数学知识问答词典. 湖南大学出版社，2010.

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【关键词】探究式学习；高中数学；开展策略

在高中数学教学中顺利地开展探究式学习，教师就要做好对教材的把握，和对学生思维能力的培养.教师在实际教学过程中，可以依据对不同数学题型的讲解，帮助学生开展探究式学习.

一、注重一题多解，帮助学生养成多角度看问题的习惯

对同一问题的不同解法，可以帮助学生综合运用所学知识，在对习题的分析探究过程中，养成从多角度看待问题的习惯.

例1已知x，y∈R+且1[]x +16[]y=1，求x + y的最小值.

解法1用换元法，利用基本不等式.

由1[]x+16[]y=1，得y=16+16[]x-1（x>1）.

所以x+y=x+16+16[]x-1

=17+x-1+16[]x-1

≥25.

（当且仅当x-1=16[]x-1时，即x=5时，“=”成立）

x+y的最小值为 25.

解法2构造x+y的不等式解法.

由1[]x+16[]y=1，得（x-1）（y-16）=16≤（x+y-17）2[]4.

所以， x+y的最小值为25.

每一种方法，都是对这道习题的一次思考和探究，通过这样的练习，学生在知识的综合运用上的能力会进一步加强，对一道习题的思考会从多角度看待.

二、注重专题的讲解，加强学生思维系统化

高中的数学内容较多，教师可以通过对专题的讲解，将学生的数学知识由点串成线，由线串成面，由面联成体，让学生的数学知识条理化和系统化，帮助学生对所学知识全面地认识和掌握.例如：求函数的值域.

例2

已知y=x2-2x-3，求函数的值域.

解此题可用观察法，x2-2x-3≥0，所以函数值域为[0，+∞）.

例3已知y=x2-4x+6，x∈[1，4]，求函数的值域.

解y=x2-4x+6=（x-2）2+2，

对称轴为x=2，x∈[1，4].

当x=2时，函数值最小为2；

当x=4时，函数值最大为6.

函数的值域为[2，6].

分析对于二次函数的值域求解，通常都是用配方法，利用对称轴，求出函数值域.

例4

已知y=x+4[]x，x∈[0，+∞），求函数的值域.

解y=x+4[]x≥2x×4[]x=4.

函数的值域为[4，+∞）.

分析对于不等式形式的函数形式，一般通过基本不等式来求解.

关于函数值域的求法还有很多，例如图像法、判别式法、导数法等等，在这里就不一一举例了.对专题的讲解或是对某一内容的精讲，可以让学生对知识的理解加深.

三、注重一题多变，引导学生探究题目更深内容，培养学生发散思维

对同一题目，教师要引导学生注意因为题目的微弱变化对题目解法造成的影响，要注意一题多变，将知识掌握得更扎实.

例5已知y=x2-2x+3，求函数的值域.

解y=x2-2x+3=（x-1）2+2，

对称轴为x=1，图像开口向上.

当x=1时，函数值最小为2.

函数的值域为[2，+∞）.

例6已知y=x2-2x+3，x∈[2，3]，求函数的值域.

解y=x2-2x+3=（x-1）2+2，

对称轴为x=1，图像开口方向向上.

当x=2时，函数有最小值3；

当x=3时，函数有最大值6.

函数的值域为[3，6].

例7已知y=x2-2x+3，x∈[-2，0]，求函数的值域.

解y=x2-2x+3=（x-1）2+2，

对称轴为x=1，图像开口方向向上.

当x=-2时，函数有最大值11；

当x=0时，函数有最大值3.

函数的值域为[3，11].

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【关键词】高中数学 解题思想 解题方法

中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2016.04.090

数学学科担负着培养学生运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力以及创新思维能力的重任，高中数学教师在教学中必须对此予以重视，教授学生正确的解题思想方法。

一、数形结合

所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合。

数形结合思想解决的问题常有以下几种：构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围；构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；构建立体几何模型研究代数问题；构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；构建方程模型，求根的个数；研究图形的形状、位置关系、性质等。下面以数形结合求根的个数为例分析：

若方程f（x）=x+a有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ） 。

思路分析：画出f（x）的图像画出y=x的图像将y=x的图像进行平移即可。

二、函数与方程

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等。方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f（x）=0，就是求函数y=f（x）的零点；解不等式f（x）>0（或f（x）

例：若a，b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。

思路分析：方法一：用a表示b根据b>0，求a的范围把ab看作a的函数求此函数的值域。

方法二：利用基本不等式 ： 转化成求不等式的解集。

方法三：设ab=t，则a+b=t-3，所以a，b可看成方程X2-（t-3）x+t=0的两个正根。

三、化归与转化思想

数学中的化归与转化思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。化归与转化的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决。在化归思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决。因此，我们化归的方向应该是由未知到已知，由难到易，由繁到简。在化归与转化的过程中要遵从目标简单化原则、和谐统一性原则、具体化原则、低层次原则、正难则反原则五个原则。而化归与转化的方法主要包括直接转化法、换元法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法、等价问题法、加强命题法、补集法等。以补集法和等价问题法为例分析化归与转化思想。

例：若不等式x2-ax+1≥0对于一切x∈（0，2）恒成立，则a的取值范围为（ ）。

思路分析：利用分离参数求解，注意应用基本不等式。

四、分类与讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分三种a>0，a=0，a2时分a>0，a=0，a

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。以③的分类讨论为例分析分类讨论在高中数学中的体现：

例：（2013・天津模拟）已知函数f（x）=1nx-a2X2+ax（a∈R），求f（x）的单调区间与极值。

思路分析：求f（x），根据求单调区间与极值的步骤求解；关注点：f（x）中含参数a，需对a分类讨论。

总之，学生由初中升入高中，是他们学习生活的一个转折点，教师要分析清楚学生学习数学困难的原因，抓好初高中数学教学工作的衔接，使学生尽快适应新的学习模式，从而更高效、更顺利地接受新知和发展能力。

参考文献

[1]赵宇，徐赢.例谈高中数学基础知识教学中的解题思想《新课程・中学》2015年2期.

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一、寻找问题切入点，灵活证明不等式

用基本不等式证明时，要注意四个字“正”、“定”、“等”、“同”.“正”是指均值不等式成立的前提条件是各项均为正整数；“定”是指用均值不等式求最值时，和或积应为定值，这时常常需要运用拆项、补项、平衡系数等变形技巧；“等”是指利用均值不等式时，应注意探究等号是否成立，即等号成立的条件是否具备，若等号不成立，则不是最值，若等号成立，才是最值；“同”是指多次使用均值不等式时，等号成立的条件中的变量的取值范围应相同.由于不等式的形式多种多样，所以证明的方法也灵活多变，具体证明时要注意方法的选择.

1.正用：它是对基本不等式从左往右使用，由积式向和式变形，有的时侯还要先分析所求证的不等式，根据特征进行适当的变形，再利用基本不等式来证明.依据不等式的结构，凑出常数因子是解决此类问题的关键.

2.逆用：它是对基本不等式从右向左用，即由和式向积式的变形.根据对数的运算法则，往往可以把两个正数的乘积的对数转化为它们的对数的和，而基本不等式特别适合解决两个正数的和与积的转化问题，所以与对数函数有关的不等式证明问题，要多考虑基本不等式的灵活运用.

3.叠用：即叠和的形式，利用基本不等式的变形，并且连续使用，在连续使用时要注意两次取等号条件必须一致，否则是错误的.

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作业是教学组织形式之一，是数学课堂教学的延伸和补充。它是需要学生在课外的时间完成，是锻炼学生独立完成学习任务的重要手段，同时也是学生复习、巩固以及审查自己对学习内容掌握情况的有力工具。但是在实践的过程中，由于受到传统应试教育思想的影响，作业变成了教师以高考为参考，以教材为依据形成的题海，使学生在完成做作业的时候苦不堪言，教师在预留和批改作业的时候也感到压力巨大，师生都陷入了作业越做越多，越做越做不完的怪圈中。于是，学生为了完成作业，有的抄袭，有的应付，有的甚至不做，而老师又忙于批改，难以有针对性性地提出建议，这样的作业是低效的，是不符合当今教育的。经过长期的实践和研究，对于高中数学有效性设置我有以下几点建议。

一、作业设置

新课程理念下的数学作业的设计更应体现出新课改精神，以培养和发展学生的基本技能和能力，更重要的是要把学生的思维潜能充分开发出来。对于教师而言，布置作业的目的是为了掌握学生的学习情况，对自己的教学得失作出客观的评价，并及时查缺补漏、调整和改进教学方法；对于学生而言，完成作业的目的是及时巩固课堂知识，加深对所学知识的理解，通过作业检查、了解自己的学习水平和学习效果。本人认为作业设置要遵循以下原则。

1.目的性原则。即作业要体现高中数学新课程的总目标、教学单元目标、课堂教学应达到的教学目标。

2.针对性和差异性并重原则。即作业能体现教学内容的层次，适合思维能力层次不同的学生。或称为层次性原则，分层次作业就是根据知识点的多少、思维的难易程度、知识交叉联系的程度等把作业分成三个层次：第一层次为基础题，针对基础较薄弱的学生，主要突出基本概念的理解和基本技能的掌握；第二层次为基本题，针对一般学生而设计，主要突出概念的理解、基本方法的掌握和综合运用；第三层次为发展题，针对少数基础较好的学生设计，主要突出概念的综合运用和拓展延伸，重要的思想方法的理解和灵活运用。

如在“一元二次不等式”的教学中，布置如下三个层次的作业供各层次学生选择：

A组：解下列不等式：

（1）4x2-4x>15， （2）14-4x2≥x

（3）x（x+2）

B组：求下列函数中自变量x的取值范围：

（1）y=■ （2）y=■ （3）y=■

C组：已知不等式kx2-2x+6k

（1）如果不等式的解集是{x|x-2}，求k的值。

（2）如果不等式的解集是实数集R，求k的值。

设计探究性作业，提高学生学习的主动性。使学习能力强的学生在自己的“最近发展区”得到充分的发展。即便对学有余力的学生，也要求基础题必做，夯实双基是必备的。这样的分层作业才能真正体现“因材施教”的原则，才能让不同程度的学生都得到提高。

3.研究性和开放性原则。传统的数学作业题就是一题一解，这样极大地束缚了学生们的创造性思维，所以在设计作业时，要适当适量的设计一些解题策略开放型作业，这样有助于，培养学生思维的独创性和发散性。由于思考分析的角度不同，致使同一道题目具有多种解答方法。设计作业时，教师要充分挖掘教材中多解的因素，结合学生的认知水平和已有经验，引导学生进行多角度、多渠道、多式样的尝试，寻求新颖独特、有创造性的解法。

例如：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2（x-■）2+■由于x∈（0，1），根据二次函数的图像与性质知当x=■时，x2+y2取最小值■；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。

解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设x=cos2θ，y=sin2θ其中θ∈（0，2π）则x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2sin2θcos2θ=1-2■当cos4θ=-1时，x2+y2取最小值■；当cos4θ=0时，x2+y2取最大值1。

解法三：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1则xy≤■=■，从而0≤xy≤■于是，x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy 所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=■时，x2+y2取最小值■。

通过引导学生进行多角度、多渠道、多式样的尝试，寻求新颖独特、有创造性的解法，既可以使学生增加兴趣，又可以使学生融会贯通。

二、作业的有效批改

1.恰当运用批语点拨，体现教师的人文关怀。教师的批语，不仅要反映学生解题的正误，要对学生进行恰当的学法指导，使学生形成正确的解题思路和方法，而且利用批语适当给予启发，拓宽学生思路，培养学生自主学习能力，开发学生的潜能，激活创新意识。教师要去寻找作业中的长处，甚至可以寻觅作业外的闪光点，以肯定成绩，鼓励上进，注意保护学生的自尊心，增强他们学习的进取心。

2.注意批改形式的多样性和针对性。布置作业，批改作业不仅仅是教学的重要环节，还是师生双方获得信息的重要窗口，精心设计，布置作业，认真批改作业，能使师生双方及时接受正确的信息，加快信息反馈的速度。只有师生共同配合，才能真正达到做作业和批改作业的目的，批改作业的方法应多样化。但关键是调动学生的积极性，把师生活动紧密结合为一个整体。批改的形式有：①全批全改。②随堂批改作业③小组批改作业④教师抽查和面批⑤可以由课代表向全班学生收集作业中出现的问题。

3.注意及时反馈和布置二次作业，真正达到作业的高效利用。平常要关注作业中问题的跟踪与作业反馈信息的处理，加强对作业的分析与研究。对于学生作业中的反馈信息，要引起教师高度重视，对学生的作业记录，可以帮助教师辩证的思考，科学的判断，有利于制订更符合学生的作业布置方案。

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【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）11-0061-02

【作者简介】1.王芳，江苏省宜兴市阳羡高级中学（江苏宜兴，214200）教师，一级教师；2.从建华，江苏省宜兴市阳羡高级中学（江苏宜兴，214200）教师，一级教师。

高中数学教师都很重视逻辑思维，认为在分析问题时要条分缕析，但有时也不免过分强调了严密性，走向了一种线性思维的极端。这样的教学方式，容易禁锢学生的思想，使数学在学生心中片面化，成为一串串枯燥无味的数字和符号，扼杀了学生的想象力和探索精神，制约了学生数学素养的提高。其实，数学并非只是枯燥的线性思维，它很多时候需要我们的思维有所变换。以高中数学的解题为例，数学问题的顺利解决，有时需要我们有意识地捕捉一些解题的灵感。正如美国心理学家布鲁纳所说的那样：“在我们向学生揭示演绎和证明这种更传统的和更正式的方法之前，使其对材料有直觉的理解可能是头等重要的。”

灵感是一种直觉联想思维，具有直接性、敏捷性、简缩性、跳跃性等特点，可以认为它是逻辑思维的凝聚或简缩。它最显著的特征是越过思考的中间推理阶段，直接理解和洞察问题的实质及规律性的联系，直达有关结论。所以在解题教学过程中，教师要善于帮助学生生发灵感、捕捉灵感。笔者结合自己的教学经验，归纳了以下三个解题灵感的来源，希望能对教师的解题教学有所助益。

1.从类比结构中寻找灵感。

当我们遇到一个数学问题需要解答时，一般是先分析题意，找出条件与结论之间的关系。但有时逻辑的方法未必能顺利地解决问题，这时，如果我们关注题目形式上的类比，就有可能出现“顿悟”现象，令我们豁然开朗。这正是著名数学家波利亚所说的：“直觉类比是一个伟大的引路人。”

分析：本题的难点是a与的结构大不相同，学生无从下手。但若从“形”上考虑，分子是一次式，分母是两次式，可以想到将两者的最高次幂做到统一。若要想构造成齐次式，则不难联想到把h≤a，h≤两式相乘，因此有h2≤。再在分式上下同除以分子，得到h2≤，此时就可以利用基本不等式解决问题。

2.在数形结合中寻找灵感。

数形结合是高中数学的一大重要思想，是解决问题的一条有效途径，也是高考填空题考察的一个重要方向，它能很好地体现学生思维的广度、深度。我国著名数学家华罗庚先生曾说，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，所以我们需要“数上觅形”。

例2：已知x，y>0且x-y≤0，求的取值范围。

分析：本题的常规方法是平方后变成齐次式，然后再进行消元变成一元二次分式问题，接下来可以结合不等式、利用导数来判断函数的单调性，进而求解。这种解题思路对学生的思维要求不高，但对学生的化简求解能力要求较强，学生稍有不慎就容易算错，进而“前功尽弃”。但倘若如果我们“数上觅形”，或许别有一番天地。

从这里可以看出，从“数”到“形”，再从“形”到“数”，数形的内在转化使我们得到了最优解，同时它也为我们的解题提供了灵感，使我们在数学直觉上有一种进步与发展。

3.在追求美感中寻找灵感。

数学美主要表现在数学本身的对称性、相似性以及和谐性等性质上。法国数学家阿玛达认为，数学直觉本质上就是某种“灵感”和“美”的意识。为此，我们从“美”的方向去探寻，有时也会有解题灵感的生发。

例3：已知经x，y∈R，4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值为 。

分析：本题很容易想到的是平方后转化为不等式问题进行求解，但做到后面发现这种常规的方法并不容易，也或者可以用判别式的方法进行求解。若我们从美学的角度来审视，可以这样思考：等式左边有平方关系，右边是常数1，所以直观联想到三角函数的平方关系cos2α+sin2α=1，故可以将原式转换为

通过上面的例题，我们感受到数学问题中的相似之美与对称之美，深刻体会到数学之美对解题的重要性，犹如拨云见日。如此求解，思路简洁、方法明确。学生容易掌握，从中能体会到数学的对称之美，解题中能感受到数学带来的乐趣，变“好学”为“乐学”。所以，我们在解题中要善于发现数学的美，从而利用数学之美更好的解题。如果我们在教育中充分挖掘数学的“美”，引导学生去发现、欣赏、感知、创造，就能大大地提高学生的学习兴趣，充分调动学生的非智力因素。

灵感与逻辑思维一样，是人类的一种基本的思维方式，它可以使很多数学题目、特别是上手较难的题目化难为简，拨云见日。所以，灵感在解题中有着不可低估的作用，我们在高中数学教学中要重视对它的引导。

【参考文献】

[1]G・波利亚.怎样解题[M].阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.

[2]周以宏.浅谈数学直觉的解题功能[J].数学通报，2004（02）.

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【关键词】高中数学；数形结合思想；以数化形；以形变数；形数互变

我国伟大的数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非.”数与形是数学中的两个最古老、最基本的研究对象，同时也反映了事物的两面性.数形结合，主张的是数学世界中数与形有着一一对应的关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系、直观的几何图形、位置关系等等数学知识相结合起来，通过抽象思维和具体思维的结合，从而达到复杂问题简单化、抽象问题具体化、解题最优化的目的.数学的种种知识都离不开数形结合思想的影子，所以高中数学教师如何在教学中渗透数形结合的思想方法，让学生掌握学习思维方式，显得尤为重要.下文，笔者将结合人教A版高中数学的具体教学实践，谈谈一些见解.

一、以“数”化“形”的应用，使抽象数据具体化

数学语言中处处体现着数量，但是有些数量是比较抽象，让学生在学习过程中难以掌握.像上文说道，“数”与“形”是有着一一对应关系的，教师们可以利用“形”的形象性、直观性把“数”表达出的“形”找出来，从题目的情境中分析出符合问题目标的某个理论“模式”，然后构建对应的图形来解决问题.在高中数学中，平面几何知识、立体几何知识、解析几何知识等章节的教学都可以从“数”转化为“形”问题.

例如，在进行高中数学人教A版必修2 直线的点斜式方程时，笔者首先引导学生思考一个问题：对于直角坐标系内的直线，它的位置由哪些条件确定？学生知道“两点确定一条直线”，在认识到可以用直线与坐标轴的位置确定后，笔者在与同学们一同用代数方法表示直线的“倾斜程度”，引入斜率概念.最后，通过教材引导语：“在直角坐标系中，给定一点P0（x0，y0）和斜率k，就能唯一确定一条直线，即平面直角坐标系中的点在不在这条直线上，完全由点P0（x0，y0）和斜率k确定.也就是说，直线上任意一点P（x，y）的坐标完全由P0的坐标x0，y0和k确定.那么这种关系的代数表达式是什么呢？”引出本章节的主要知识――点斜式方程，笔者将引导语中的数学语言在黑板上用坐标系把点斜式方程推导了出来，以“数”辅“形”，完整地表述了“平面几何语言――解析几何语言――坐标关系”的转化.实践表明，这样的以“数”化“形”教学，不仅促进了学生对点斜式方程推导过程的理解，更提高学生综合运用数学知识解决问题的能力.

二、以“形”变“数”的应用，使图形变化公式化

虽然形具有形象性、直观性的优点，但在定量方面还要借助各种代数公式的计算，在遇到比较复杂 的“形”问题时，学生要学会正确地将图形数字化，细心观察图形的变化特点，研究题目中所给出的条件，通过图形的性质或几何意义，用已学过的相应公式或定理正确地将题目中的图形用代数式表达出来，得出计算公式的条件和结论等.

新人教版A版高中数学（必修5）3.4《基本不等式》教学中，教学内容多为图形引出数学公式为主，在课本110页探究中，便要求利用教材图形得出不等式的几何意义，题目如下：如图，AB是圆的直径，O为圆心，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD、OD.

①如何用a，b表示OD？OD=

②如何用a，b表示CD？CD=

③OD与CD的大小关系怎样？ODCD

利用图形直观地表示定量的值，学生能在图形结合中得到直观理解，水到渠成地得到相应解决问题的方法.

三、“形”“数”互变的应用，使形数共同作用

“形”“数”互变是指不仅只是简单地以“数”变“形”或以“形”变“数”就能解决数学问题的方法，而是需要“形”“数”互相变换，要在这两者之间找到共同点进行联系互换.解决这类问题往往需要同时从已知公式和结论出发，认真分析题目中所给出的“形”“数”互变条件，使复杂问题简单化、抽象问题具体化.

在解决三角函数问题时，数形结合的思想方法在这章知识的教学中便显得尤为重要.笔者在进行y=Asin（wx+）+b的函数图像变化的内容教学时，为了让学生直观地观察此函数变量A，w，φ，b对函数图像的影响，笔者利用几何画板对函数的各个变量变化进行如下解析式的演示：（1）y=sinx，y=sin（x+1），y=2sin（x+1）+4.几何画板有着强大动态展示动能，只要输入A，w，φ几个变量数据，教师通过随着鼠标拖动改变A、w、φ的值，几个函数解析式的图像就会发生相应的变化.学生通过不同颜色的图像变化进行观察，对探索图像变化规律可谓一目了然.

数形结合的思想，其本质就是将抽象的数学语言与直观的图像联系起来为数学服务，使代数问题与图形问题的相互转化.教师们要在漫长的高中数学教学中将数形结合思想渗入到学生的数学知识体系，将其内化为己有，才能更好地培养学生严谨缜密的数学逻辑思维，为数学领域打造新人才.

【参考文献】

[1]林佳佳.中学数学公式教学研究[J].数学教学通讯.2011（33）；

[2]庞彦福，詹慧，翁寿峰.数学教师的“六研究”[J].中学数学.2014（06）；

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一、“课后思考题”的特征

高中数学“课后思考题”应符合以下主要特征。

1　问题性

由于数学“课后思考题”是以教师设计的一个或几个具有数学思维价值的问题作为载体，学生通过自主探索，在解决问题的过程中深化对所学内容的理解和掌握，因此问题性是“课后思考题”的形式特征，也是最典型的特征。

2　开放性

数学“课后思考题”的教学目标不囿于教学内容的完成度，而从数学综合素质考虑，如学生的数学探索精神、求知欲望、研究兴趣、意志力培养等等。教学目标的开放性决定了“课后思考题”的内容组织的多元化和形式的多样化，也决定了“课后思考题”的评价反馈方式和结果运用的多样化和个性化。开放性是“课后思考题”的内容特征。

3　激励性

数学“课后思考题”具有一定的数学思维价值，它不是简单的知识、技能的考查，而是把学生引向新的目标，鼓励学生开展尝试和探究活动，有时它是一个小型研究课题，具有较强的挑战性，它能激起学生探究的兴趣和愿望，因此激励性是“课后思考题”的情意特征。

二、设计“课后思考题”的策略和方法

在高中数学新课程实验中，出现了许多精彩的“课后思考题”，它们或拓展延伸，深化重点；或立意深远，引导探究；或设置悬念，令人遐思；或联系实际，感悟应用等等。下面以南京市正在实验的江苏教育出版社出版的高中数学教材《普通高中课程标准实验教科书・数学》中的教学内容为例，谈谈高中数学课堂教学中设置“课后思考题”的策略和方法。

1　拓展延伸式“课后思考题”

教师在设置“课后思考题”时，可以从学生的实际出发，基于学生实际的知识水平、认知能力、知识结构，以问题的形式或探究课题的形式适度延伸拓展数学教学内容，挖掘内涵，帮助学生深化对知识的理解和掌握。

例1　《圆的方程(第2课时)》(必修2)的课后思考题：

(1)已知点M(x，y)与两个定点O(0，0)，A(-2，0)的距离之比为2，那么点M的坐标应满足什么关系?你能说出动点M的轨迹是什么?

(2)根据例题1(1)，完成下面2008年江苏省高考数学试题：

满足条件AB=2，AC=x／2AB的AABC的面积的最大值是_____。

这个思考题延伸拓展了教学内容，实际上介绍了“阿波罗尼斯圆”和“阿波罗尼斯轨迹”，由于“阿波罗尼斯圆”在全国各地近年的高考数学试卷中时有出现，因此结合高考数学试题可以有效激发学生的探究兴趣。

例2　《三角函数的诱导公式(第1课时)》(必修4)的课后思考题：

(1)在三角函数的诱导公式中，你能由公式二、三、四中的任意两组公式推导出另外一组公式吗?

(2)角a和角β的终边还有哪些特殊的位置关系，你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗?

这个思考题延伸拓展了要研究的内容，即三角函数的诱导公式中内隐的公式之间的相互关系，通过学生课后探究，不仅可以掌握和运用公式，还可以再次体验这些研究三角函数诱导公式的方法，也为学生进一步探究三角函数诱导公式提供了素材和空间，

例3　《等比数列前n项和(第1课时)》(必修5)的课后思考题：

求数列：1・2+2・22+3・23+…+n・2n的和，

这个思考题延伸拓展了研究等比数列求和公式的重要方法，即错位相减法。在等比数列前n项和公式推导时，使用错位相减可以直接得出公式，而本题使用错位相减后构造了一个新的等比数列。因此，作为数学“课后思考题”，本题具有方法拓展的价值。

2　迁移应用式“课后思考题”

迁移应用式“课后思考题”主要涉及数学知识和方法的适当迁移和应用，包括用数学知识解决数学问题和实际问题。设置迁移应用式“课后思考题”不仅可以提高学生解决问题的能力和水平，还能培养学生的应用意识和创新意识。

例4　《基本不等式ab≤a+b／2(a≥0，b≥0)》(必修5)的课后思考题：

一个矩形的两条边长分别为a、b，这个矩形的面积的数值比其周长数值大3，求这个矩形的面积的取值范围。

在这个思考题中，因为a、b是正数，所以列出等式ab=a+b+3后，运用基本不等式就可转化为关于ab的一元二次不等式，设置这个思考题的目的是提高学生运用基本不等式分析问题、解决问题的能力。

例5　《函数的单调性(第1课时)》(必修1)的课后思考题：

将适量的糖完全溶解于一碗水中，如果这碗水的质量为1kg，糖的质量为xkg，糖水的浓度为y，试写出y与x的函数关系式，并用函数单调性说明“糖加得越多糖水就越甜”这一特征。

这个思考题是函数单调性的简单应用，由于联系了实际问题，因此能激发学生研究“课后思考题”的兴趣，也有利于学生进一步理解函数单调性的概念。

3　前后呼应式“课后思考题”

前后呼应式的“课后思考题”可以从两个方面出发：其一是与本节课的教学内容或方法相呼应，其二是与下节课的教学内容或方法相呼应。

例6　《椭圆的标准方程》(选修2―1)的课后思考题：

(1)将圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得的曲线是不是椭圆?

(2)如何借助椭圆的标准方程研究其几何性质?

本例中的第(1)题，有别于教材中椭圆的定义，这是一种变换的方法，但可以帮助学生从变换的角度再认识椭圆，与本节课教学内容相呼应。而本例中的第(2)题，开始涉及椭圆的几何性质，这是与下一节课的教学内容相呼应。

例7　《平均变化率》(选修2―2)的课后思考题：

一运动质点的位移s与时间t满足s(t)=t2，如何刻画t=1这一时刻质点运动的快慢程度呢?(位移单位为m，时间单位为s)

本例中的思考题的作用是引导学生课后思考如何由平均变化率到瞬时变化率来刻画现实问题，也为下一节课学生学习瞬时变化率打下伏笔。

4　操作实验式“课后思考题”

操作实验式“课后思考题”就是设置一些操作实验活动，使学生在操作实验中加深对知识、方法的理解和感悟，以便深化认识，发展数学思维。

例8　《直线与平面的位置关系(第2课时)》(必修2)的课后思考题：

(1)如图1，请用一个三角形的纸片做试验：过AABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，使BD，DC都与桌面接触。

①折痕AD与桌面垂直吗?

②如何翻折才能使折痕AD与所在的桌面垂直?

(2)你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗?

本例中，第(1)题需要学生动手操作，在操作过程中不断进行分析和调整，直至得到正确答案；而第(2)题要求学生不断地进行图形的构造与尝试，学生在操作实验中，能加深对若干常见图形的性质的理解和掌握，也进一步明晰了一些特殊图形中的线与线、线与面、面与面之间的位置关系。

5　质疑纠错式“课后思考题”

利用学生在解决问题的过程中的常见错误设置“课后思考题”，能引起学生的质疑和反思，这些“常见错误”是数学教学中的重要资源。

例9　《直线的斜率(第1课时)》(必修2)的课后思考题：

下列判断是否正确?请说明理由。

(1)如果直线1过点P(3，2)和点Q(m，O)(m为实数)，那么直线1的斜率为2／3-m；

(2)如果过点c(2，4)的直线1与线段AB相交，点A、B的坐标分别为A(-3，-2)、B(3，-3)，那么直线1的斜率的取值范围是[-7，5／6]。

本例来自于学生学习这部分内容时最常见的错误，也就是忽视了直线斜率不存在的情况。通过学生课后思考，可以使学生进一步理解和认识直线的斜率。

6　查阅资料式“课后思考题”

教师通过布置这类思考题，使学生利用课余时间查阅各种书刊，或网上查阅，自己寻找资料解决“课后思考题”，这有助于丰富学生的学习和探究问题的方式。

例10　《数系的扩充》(选修1―2)的课后思考题：

虚数是虚无缥缈的吗?虚数在现实生活中有用吗?

完成这个思考题，学生必须查阅各种书刊，或网上查阅，在解决这个思考题的过程中，学生可以进一步了解数系扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

7　微型课题式“课后思考题”

微型课题式“课后思考题”就是教师设计一些数学探究性问题，要求学生围绕这些数学问题，经过自主探索和合作交流，解决与数学或生活经验相联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展解决问题的能力。

例11　《基本不等式的应用(第2课时)》(必修5)的课后思考题：

已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大。现有以下两种设计：

图2的过水断面为等腰ABC，AB=BC，过水湿周l1=AB+BC；

图3的过水断面为等腰梯形ABCD，AB=CD，AD∥BC，∠BAD=60°，过水湿周l2=AB+BC+CD，

若AABC与梯形ABCD的面积都为s。

(1)分别求l1和l2的最小值；

(2)为使流量最大，给出最佳设计方案。这个“课后思考题”与学生正在学习的数学内容紧密相连，能使学生经历从问题到函数，再通过研究比较两个函数之间的关系，得到解决问题的方案，其中解决函数最值问题的主要方法是利用基本不等式和正弦函数的有界性。这个“课后思考题”突出了数学应用价值，对改善学生的学习方式，能起到积极的推进作用。

三、设置“课后思考题”的注意点

1　要切合学生实际

学生是完成数学“课后思考题”的执行主体，这就决定了“课后思考题”的设置要符合学生的知识水平和能力水平，过易过难都会失去有效性，要使学生“跳一跳，够得到”。同时，要关注学生差异，对不同的学生有弹性要求，使每个学生都能得到应有发展。

2　要整体设计规划

对一个阶段的数学“课后思考题”的设计，教师要有整体规划，要根据学生的发展状况，在不同时期要有不同的重点以及需要突破的难点，突出数学核心观念和思想方法。

3　要注重反馈评价

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关键词：高中数学 反思能力 培养方法

我们通常所说的反思能力是指主动对数学的活动行为展开思考、研究、总结、反馈等等的能力。经由培养学生的反思能力，可增进学生从多个角度、全方面的对问题实行思索，从而增进其对问题的认知水平，找到解决问题的规律。

一、在高中数学学习当中实行反思的重要作用

1.老师在反思的过程当中受到的益处

对高中数学实践教学来说，通过培养学生学后反思的能力，可增进老师教学行为的开展。老师在对学生学后反思能力的培养过程当中，对于老师自身也会受到一定启示，经过对自己的教学方法与教学内容的回顾、重温。老师可实现和学生一起反思，对于自身教学经验的积累有一定的促进作用，也促进了自身工作质量的提升。经过对学生学后反思能力的培养，有利于老师教学工作的开展，促进老师更顺利的完成教学实践的要求。老师经由反思，可对教学过程之中呈现的问题实时的发现和处理。长久下去，可以为老师内部学术研究创造一个良好的环境，进而使其教学的综合水平得到提升。

2.学生在反思的过程当中受到的益处

在高中数学课堂教学过程中反思能力的培养，对学生来讲其意义非同寻常，促进了学生思维能力的培养，同时对于学生学习热情的激发有一定的促进作用。老师在实际教学中，要把学习的方法传授给学生，促进学生自主学习能力的提升，从而使学生对所学知识实施反思，做到融会贯通，进而培养了学生主动解决问题的能力，而不是遇到困难就找老师。与此同时，通过对学生学后反思能力的培养，有助于学生综合素养的提高，增进其养成优良的学习习惯。

二、在高中数学学习中增进学生学后形成反思习惯的方案

1.激励学生对解题方式实行反思

作者经调查发现这样一个现象，许多学生做错一道题目之后，老师在实施讲解的时候，学生当时听的很明白，然而没多久，再遇到原题，学生还是一样不会做，以至于错误的形式和上次都一样。因而老师要激励学生对解题方式实行反思。要让学生清楚的了解这道题在解决怎样的问题，这个问题有几种解法，选择这一种解法方法的原因，还有没有另一种解法等等，经常对类似的问题实施反思，这对于学生解题能力的提高有很大的促进作用。

2.激励学生时常反思学习方式

在数学教学中老师会发现很多的学生数学分数不佳，重要原因在于他们的学习方式不合理。即使每个学生的学习方法之间都存在一定的差异性，但如探究概念的来源、定理的证明，挖掘定理的意义，分析常见的题型等等方面，这些问题的学习方法要求老师在课堂上经常强调，希望可以促进学生死记硬背的学习方法的改变。

3.老师要对数学定义实行反思，增进学生把握数学的思想

对学生来说，学习数学的方向在于把握数学的思想，从数学的角度去认知世界：以数学的精神展开学习行为。而对数学老师来说，老师要站在教的位置去发现数学知识的奥秘，老师自身不仅要对数学知识做到会与理解，与此同时还要让学生做到这两点，促进学生对数学问题更好的发现，培养其对新问题的解决能力。这就需要老师要对数学定义实行反思，增进学生把握数学的思想。例如函数教学中，老师要用逻辑的思维去理解函数的定义，例如定义域、值域、对应法则三要素，还有函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等等性质，此外还要掌握特殊函数，例如指数函数、对数函数等等。

4.激励学生对知识点实行反思

老师会发现很多学生把知识点背的很熟练，但是在实际做题中就会突显出对知识点的理解的不全面等等问题。比方说基本不等式的学习之中，学生们都了解了“一正二定三相等”是取等于号的基本条件。那举出几个反例在不满足这三个条件的时候不能取等于号？对此种问题老师要鼓励学生去思考，不要直接给出答案。学生如果能够自己例举出反例，这样对于知识的理解才会更深刻，在以后的做题中就会很好的运用。

5.设置反思材料，增进学生养成反思的良好习惯

在数学实际教学当中，培养学生反思能力，老师可从如下几方面进行把握：第一方面，要求学生一人准备两个本子，一个做学习笔记本，一个做错题集，在课前要指导学生做好预习，把课堂即将要讲的内容和预习中出现的问题，把不理解的地方具体的记下来。还有要指导学生把自己的学习体会、个人反思结果记载下来，把所学的知识的进行重温，进而建立学习知识的目标。第二方面，学生在做作业的时候，可把典型的、易出错的题标出来，收集到错题集上，之后从两方面实施反思。第一寻找错的原因，是因为对知识掌握的不牢固，还是做题不认真造成的，怎样才能杜绝这样的错误出现，此外，学生要在错题中标记出相似的问题，这样有利于以后查看。第二当在学生把错题实施整理的时侯，结合知识点相互之间存在一定的联系性的特点，引导学生对解题时的思路进行记录，找到问题的不足，给出恰当的自我评价，在此基础上对知识实施构建，这样学生对知识的学习就会更加的深刻、牢固。

整体来讲，在高中数学教学当中学生的反思能力的培养是教学的重点。老师要从多个角度，运用合理的方法鼓励学生对知识点实施反思，促进学生反思能力的提升，从而提升数学教学的质量。

参考文献

[1] 刘为民.高中数学反思性教学方法浅析[J].学周刊，2011，15（2）：75.

[2] 周忠良 . 浅谈对高中数学教学的反思[J]. 中学教学研究，2013，6（13）：124-125.