高考数学常用数值范文

导语：如何才能写好一篇高考数学常用数值，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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【关键词】 高考数学题；高中数学教学；应用价值

高考一直在高中教学中起着指导性作用，高中教学中十分注重对高考数学题的分析和研究，以便帮助学生熟悉高考数学题型、适应高考数学题难度，同时掌握解决他们的方法和能力.但高考数学题经常都是将考查的知识点隐含在内容、形式各异的题目当中，所以，它很考验学生的创新能力和数学应用能力.为此，我们需要在了解高考数学题在内容、形式和考查内容方面特点的基础上调整教学侧重点和方法.

一、高考数学题分析

首先，高考数学题向来注重对基础知识和基本数学能力的考查，通常都通过选择题、填空题这样的客观题来考查教材中涵盖的知识点.

其次，数学教学除了教授学生基本的数学知识、理论、方法之外，更注重数学逻辑推理、数据处理等数学思维能力的培养.但一直以来创新能力的培养似乎都是高中数学教学中较为薄弱的地方，究其原因是在高考数学中缺少考查学生推理和创新能力的试题.为此，在新课程改革的逐步推进下高考数学题中逐渐加入了一些考查学生逻辑推理能力和数据处理能力的试题.

最后，数学教学的主要目的并不是简单的掌握数学知识，更重要的是将数学思维、思想和方法交给学生，让学生获得利用数学分析、解决生活实际问题的能力.所以，新课程改革后，高考数学也逐渐加重了对数学应用意识的考查，在考题中引入一些把数学问题隐藏在或实际、或生活化问题当中的题型，在解答此种类型高考数学题时需要学生能够抓住考题本质，将其转化成考查自己所学数学知识的数学问题.近些年来，某些高考数学考题的叙述就呈现出愈加复杂的趋势，将所要考查的数学知识点隐藏得越来越深，学生需要在读懂题目的基础上，将一些无关因素排除，进一步探索出其中包含的数学考点，实质上就是考查学生运用数学知识、思想、方法解决实际问题的能力.

二、高考数学题对高中数学教学的应用价值――指导性作用

高中数学教学短期内的主要目的就是能够增强学生的数学能力，提升其在高考中的数学成绩，为此，高考数学题不仅对高中数学教学内容，还对思维能力的培养具有一定的指导作用，从这点来看，应对高考和素质教育两者并不冲突.通过以上对高考数学考题的分析，其在以下几方面给高中数学教学带来一些指导方向：

（一）回归课本

数学基础知识是数学教学的基本内容，也是解决各种数学问题的理论基础和前提，同时，高考数学题中有很大一部分都是考查基础知识的.因此，要想将学生解题能力提升上来，就必须让学生熟练掌握数学概念、公式、定理等基本数学知识，具备扎实的数学知识基础，将教学重点回归到课本当中，以教材为中心，但并不是说将课本包含的基础知识教授给学生就可以，而是要在教授学生这些知识的过程中把数学思想、方法渗透给学生，让学生在解答基础性习题的过程中掌握一般数学规律和应用数学知识解题的方法、能力.

（二）注重数学素养和能力的培养

高考数学题时常需要分析各种情境，从中提炼出考查点，进而综合运用数学知识、思想、方法解决问题，这些都对学生的数学素养和能力有一定要求，而素养和能力并不是通过大量习题练习就能获得的，而是要在日常教学中逐渐渗透和培养.在高中数学实际教学中可以通过以下几点实现：

其一，无论是从新课程理念，还是高考数学题考查点出发，都应注重学生学习的主动性，尊重学生在教学中的主体地位.因此，在高中数学教学中教师应让学生掌握课堂学习的主动权，培养其形成独立思考的习惯和自主探究能力，自己则充当好学生学习过程中的组织者、合作者和引导者.

其二，平时要及时归纳和总结班级学生学习中遇到的各类问题，找出他们容易犯错的地方，然后有针对性地强化他们薄弱的地方，并定期检测和考查下他们对这些知识的掌握程度，同时，在讲解数学知识时还要注重讲解方式的多样性.

其三，高中数学知识具有很强的抽象性和逻辑性，使学生在理解上存在一定难度，所以，应充分利用网络信息技术和现代教学设备进行辅助教学.一方面，通过图片或视频动画来展示数学知识可以更直观生动，容易吸引学生注意力，调动其学习热情.一方面，利用多媒体教学设备可以把函数图像或立体图形、圆等的运动变化问题动态展示出来，将抽象变具象，有助于学生理解.

三、以高考数学中的不等式试题为例

不等式是解决数学问题时的常用工具，并广泛应用与实际的生产和生活中，是高考热点，考查的内容有解不等式、变量取值范围、求函数值最大值、最小值、利用不等式解应用题和线性规划等.

在针对这部分进行教学时，一是要将不等式知识融入在与生活实际联系密切的问题情境当中.

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高考数学是一门比较占分的科目，但数学也比较难，难在它的深度和广度，但如果能理清思路，抓住重点，多加练习，学渣变学霸也不是不可能的。高考数学知识点2021有哪些?共同阅读高考数学知识点2021，请您阅读!

高中数学各知识点公式定理记忆口诀集合与函数

内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。

复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。

函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数;

正切函数角不直，余切函数角不平;其余函数实数集，多种情况求交集。

两个互为反函数，单调性质都相同;图象互为轴对称，Y=X是对称轴;

求解非常有规律，反解换元定义域;反函数的定义域，原来函数的值域。

幂函数性质易记，指数化既约分数;函数性质看指数，奇母奇子奇函数，

奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数;图象第一象限内，函数增减看正负。

三角函数

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割;

中心记上数字1，连结顶点三角形;向下三角平方和，倒数关系是对角，

顶点任庖缓扔诤竺媪礁S盏脊骄褪呛茫夯蟠蠡。?nbsp;

变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，

余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用;

1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范;

三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围;

利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集;

不等式

解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。

还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。

数列

等差等比两数列，通项公式N项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。

数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，

取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：

一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：

首先验证再假定，从K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。

复数

虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。

对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。

箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。

代数运算的实质，有i多项式运算。i的正整数次慕，四个数值周期现。

一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。

利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，

减法三角法则判;乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。

三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。

辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，

两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。

排列、组合、二项式定理

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。

两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。

排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。

关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。

立体几何

点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。

垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。

方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。

立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。

异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。

平面解析几何

有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。

笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者―一来对应，开创几何新途径。

两种思想相辉映，化归思想打前阵;都说待定系数法，实为方程组思想。

三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。

四件工具是法宝，坐标思想参数好;平面几何不能丢，旋转变换复数求。

解析几何是几何，得意忘形学不活。图形直观数入微，数学本是数形学。

高三数学复习重要知识点知识点1

1.对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数;

2.对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数;

3.一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称;

4.一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a-x)，则它的图象关于x=a成轴对称。

5.函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;

6.由函数奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).

知识点2

一、充分条件和必要条件

当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。

二、充分条件、必要条件的常用判断法

1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可

2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。

3.集合法

在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：

三、知识扩展

1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：

(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题;

(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题;

(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。

2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。

一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。

高考数学复习重点总结第一，高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二，平面向量和三角函数

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。难度比较小。

第三，数列

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四，空间向量和立体几何

在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五，概率和统计

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六，解析几何

这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七，押轴题

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作者寄语：尽管高考数学试题千变万化，但是解法上仍有内在的规律可循，掌握试题的通解通法，是普通考生抢分最有力的保障。进场后刚拿到试卷，心情比较紧张，不要忙于解答，可先通览全卷，尽量从卷面上获取更多信息，为实施正确的解题策略做全面的准备。这里我们就以选择题、填空题和解答题三种题型的抢分技巧为例分别予以说明。

选择题类

答题要诀

多管齐下，小题小做

阅卷发现

总结本人多年来的阅卷心得，高考数学选择题分值较高、量大面广，临场时不仅要求准，而且更要快，因此还要研究解答选择题的特殊技巧。在考场上，我们提倡“小题小做”和“小题巧做”，谨防“小题大做”“易题难做”。

常用解题法

直接法：直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

代入法：将选项代入题干，检验其是否成立，代入顺序从最简单的选项开始，若选项是一个区间（集合），则取选项中的特殊数值代入检验。此法适用于题设复杂、结论简单的选择题，如方程的解、不等式的解集和字母系数的取值范围等。

排除法：如果能设法将选项中错误的答案排除，余下的便是正确答案。

图象法：画出函数、曲线方程或几何体的图象求解。

估算法：根据题设条件进行估值（近似值）推算，判断与哪个选项接近，从而获得结论。

实例举证

例1.（2012年山东理科第9题）函数的图象大致为（ ）

【解析】本题可以采用的解题方法有两种，一个是直接法，直接按部就班对题目中所给出的条件进行分步骤计算，得出答案；另一个是排除法，由f（x）是奇函数，故排除A项，又因为

当时，即

f（x）>0，故排除B项，而f（x）=0有无数个根，所以排除C项，D项正确.

阅卷总结

考场上，无论你采用的是直接法还是排除法，其中都有“估算法”的色彩。因此，在实际解题中要根据具体的问题，采用具体的策略，甚至是多管齐下，直到问题解决。

值得强调的是，选择题的答题时间平均每个要控制在3分钟以内，争取做到用最少的时间做对最多的题目，从而为解答题留下充裕的思考时间，防止“超时失分”。

填空题类

答题要诀

小题巧做，谨防失误

阅卷发现

填空题就是小的计算题，由于没有中间解题过程，也就没有过程分，因此答案中稍微出现点错误都是致命的。阅卷时发现，考生需对那些起关键作用的或容易混淆的概念、符号、图形要特别注意，因为这些往往会成为考点。

常用解题法

解答填空题要注意利用一些已知的重要结论、公式或者采用特殊值法。

实例举证

例2（苏州市2013届高三数学调研测试第14题）已知向量a，b满足

， 则 的最小值为 .

【解析】本题可利用特殊值法代入，令a=（1，0）， b=（x，y），计算得出的最小值是圆与

x轴的交点A到原点O的距离.

阅卷总结

该解析利用特殊值法，取了特殊的向量a，只需经过少量的计算就可以得到最终结果。为了简便作答，在考场上，你还可以利用直接法，直接利用公式、定义等进行计算，但步骤多、对计算能力要求高；也可以用几何法，利用“向量和的平行四边形法则”“两个向量的数量积为零，则两向量垂直”“圆的内接直角三角形的斜边是圆的直径”三个结论，有效地减少计算，在此不做列举。

可见，依据题目的具体特点，多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。此外，解答填空题时，还应该作图准确、推理严密、注重检验，从而提高正确率。

解答题类

答题要诀

规范书写，分步得分

阅卷发现

阅卷时可以看出，审题仔细的同学更容易得分，尤其是对于解答题来说。只有了解题目提供的条件和隐含信息，联想相关题型的通性通法，才能确定具体的解题方案。评卷时，解答题是分步给分，所以解答中的关键步骤和结论一定要书写清楚。

常用解题法

高考卷中，解答题通常分为三个层次，前两题为基础题，中间两题为中档题，后两题是较难问题。对于基础题，要力争不失分；对于中档题，要尽量多得分，这类问题主要有数列、解析几何等，解题入口宽，思路方法易找，基本无须特殊技巧，解答时应尽量做到审题无误，解法通常，过程合理，运算准确，问答相符；对于难题，一定要作答，即把通过数学计算或论证得出的结果，“翻译”成实际问题的回答。

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关键词 高考数学题 不等式 函数 解决

中图分类号：G642 文献标识码：A

不等式恒成立问题是高考及各类考试的命题热点，也是数学教学的重点和难点。学生在进行此类数学题目的解答时，往往在构造函数方面出现问题，受困于某一点上不能顺利进行又或按照错误的思路方向进行解题，因此，现结合相关经典考题进行讲解论述，以帮助学生更好解决此类数学难题。

1参变分离原则

在含参数的不等式成立问题中，常常可将含参数的部分“分离”到一端，并且另一端的“无参”函数可求最值，这种“分离参数法”的思路简洁通俗、直截了当，是我们建构目标函数解决问题的一种典型做法。

例1：对一切x∈R+，不等式2xlnx≥x2+ax3恒成立，求实数a的取值范围。

解析：上述不等式中含参数的部分“单一”，参数分离非常容易：a≤x++2lnx，对于不等式另一侧的无参函数g（x）=x++2lnx（x>0），利用导数知识求其最小值也很常规。运用分离参数法必须具备两个基本条件：一是不等式中含参数的部分容易“分离”，二是分离后的无参函数可求最值。如果将本题不等式的常数项“3”改为“3a2”，该种方法恐怕就失效了！

2通性通法原则

对于形如“f（x）>g（x）”的不等式，我们通常构造左右两端的“差函数”F（x）=f（x）g（x），分析目标函数的单调性研究其极值、最值情况。在实际的函数导数压轴题中，所构造的“差函数”往往蕴含着参数，这就给目标函数的单调性、极值点、零点、最值等性质的研究带来不确定性，需要我们把握分类讨论的依据，罗列所有可能情形逐一分析，方能将目标函数的各种性态研究透彻，进而实现问题的化解！

例2：（2015年山东高考理科21）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中a∈R。

（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）若x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范围。

解析：（1）略；（2）f（x）本身即为目标函数，关键是确定其在（0，+∞）上的最小值或取值范围，对其求导得f′（x）=+a（2x1）=（其中x>0）：

①当a∈[0，1]时，f′（x）>0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）>f（0）=0满足题意；

②当a∈（1，+∞）时，由 =a28a（1a）>0得方程2ax2+ax+1a=0存在异号两根x1，x2（不妨设x1

③当a∈（∞，0）时， =a28a（1a）>0，设方程2ax2+ax+1a=0两根为x1，x2（其中x1

综上，a的取值范围为[0，1]。

3简约可行原则

笔者认为：在建构目标函数模型时，还应注意所构造的函数要进行提炼、简化或变形，否则，若函数结构过于复杂，必然造成求导运算繁琐，难以确定其函数单调性，导致函数性态研究受阻、无法持续。这就需要我们先对所构造的目标函数进行充分“预估、调试、简化”，才能使所构造的目标函数模型优化有效，从而让问题的解决路径得以通畅顺达！

例3：（2011年全国高考理科21）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y3=0。

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>+，求k的取值范围。

解析：（Ⅰ）a=1，b=1（解略）；

（Ⅱ）不等式+>+有多种转化方式。

思路一（分离参数法）：k

思路二（构造差函数）：分析h（x）=+的单调性、最值情况，仍然繁琐；

思路三（优化差函数）：h（x）=+=[+（1）（）]，从而问题转为为2lnx+（1k）（x）0在（0，1）上恒成立。于是构造函数 （x）=2lnx+（1k）（x），倘若再令m=1k，则目标函数又可简化为 （x）=2lnx+m（x）， ′（x）=，讨论如下：

（1）当m≤0时， ′（x）>0， （x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，且 （1）=0。故在（0，1）上， （x）0，不合题意；

（2）当m>0时，由 =44m2得：

①若 ≤0即m≥1时， ′（x）0；在（1，+∞）上 （x）

②若 >0即0

综上，m≥1，即1k≥1，k≤0。

4一元归化原则

遇到求解有关二元不等式成立的综合问题时，需要认真分析不等式结构，从中提炼二元函数模型：y=f（x1，x2），但如何研究二元函数又是一个挑战，可以考虑转换为一元函数去解决。事实上，很多二元函数y=f（x1，x2）可围绕或x1x2等进行适当的配凑变形，再令其中t=或t=x1x2等，即可转换成关于t的一元函数y= （t）来解决，这是一种常见的化归策略。

于是问题转化为判断g（x1，x2）=ln的符号，只要令=t，t∈（0，1），利用导数考察 （t）=lnt（t∈（0，1））的符号即可。

5执果索因原则

某些不等式（如二元不等式）的证明，并不能象上面那样直接轻易地构建出目标函数，而是从所要证明的目标开始分析，逐步探求使结论成立的充分条件，在追溯解决问题线索中自然产生构造函数、研究函数的需要，这种函数建构针对性强、目标清晰、规避模式，有利于提升分析问题和解决问题的综合能力。

例5：（2016年全国新课标Ⅰ理21改编）已知函数f（x）=（x2）ex+a（x1）2（a>0）。

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：x1+x2

解析由f′（x）=（x1）（ex+2a）可得：f（x）的递增区间为（1，+∞），递减区间为（∞，1），故其在x=1处取得极小值f（1）=e。第（Ⅰ）小题的设置让我们获得了函数f（x）的大致轮廓；第（Ⅱ）小题可由第（Ⅰ）小题的结果以及函数值的符号、趋势，勾勒出函数f（x）的示意图，容易发现直线x=1是函数f（x）的“类对称轴”，由于“类对称轴”两边增减幅度不同，当f（x1）=f（x2）时，可直观发现：x1+x2

下面我们结合图像寻找证明思路：（不妨预设x1

x1+x21）

f（x2）

f（x1）

（f（x）

g（x）=f（x）f（2x）

于是解决问题的切入点转为常规的构造函数运用导数知识证明不等式恒成立问题。

6结语

上述不等式问题的解决，关键一点是借助构造函数的方法，从题目的不等关系中挖掘出我们熟悉的函数，利用函数的相关知识达到解决问题的目的。同时，在我们的平时学习中，要加强重视函数的学习，将函数的图象、的性质学习熟悉，对于解决不等式问题有着极大的促进作用。

参考文献

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学习基本初等函数时，要对如何运用所学的函数知识来研究一个具体函数的方法有较完整的认识.指数函数和对数函数的性质与底数a的取值有关，应注意分类讨论；在求解含有参数的指数函数、对数函数问题时，常运用化归思想，将复杂问题简单化，应注意数形结合、类比、换元等数学思想与方法的灵活应用.

重点：指数与对数的运算性质；指数函数与对数函数的概念、图象和性质．

难点：底数a对指数函数、对数函数的单调性的影响；指数函数、对数函数的性质的综合应用．

1. 比较大小

涉及指数值或对数值比较大小的问题，通常要借助指数函数或对数函数的单调性进行解决. 解决这个问题的前提是能化同底，或者考虑使用中间量，即让一个值大于中间量，一个值小于中间量，问题便能解决． 特别地，熟练掌握中间量“1”与“0”的应用，如1=a0=logaa，0=loga1等.

2. 函数图象

函数图象是函数的一种直观形象的表示，在同一坐标系可用直线x=1（y=1）区分不同底的指数函数（对数函数）． 函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础，要掌握好画图、识图、用图三个基本问题．

3. 底数范围

指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，特别是解决与指数函数、对数函数的单调性有关的问题时，首先要看底数a的取值范围，情形不明时，需分类讨论．

4.复合函数

指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数、对数函数的复合问题，一般采用换元处理，如：y=a2x+2ax－3，通常令t=ax（特别地，要注意新变量的取值范围）． 另外，复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径，对其单调性的判断常借助于“同增异减”这个性质．

思索 题目条件中给出的是两个超越方程，直接求出x1，x2的值不切实际． 如果从函数与方程思想切入，立足于指数函数与对数函数，将条件中的方程形式进行变形，分解出指数型或对数型函数，再利用数形结合的方法即可求解．

点评 在对简单复合函数的性质进行研究时，应该将其拆分成内函数与外函数，并分别研究内函数和外函数的性质，然后再根据复合规律加以判断． 对形如y=logaf（x）的复合函数的性质的研究，必须注意定义域对整个问题的影响，若字母a未定，还要对a的值分类讨论．

1. 夯实基础知识

对于指数函数与对数函数，要立足基础，从概念、图象和性质这三个方面理解它们之间的联系与区别，从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点、特殊区间理解它们的有关性质．

2. 突出思想方法

数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想是解决指数函数与对数函数的常用思想方法． 通过数形结合的方法研究函数的图象可以探索其性质，同样，利用函数的性质又可作出其图象. 如果指数函数的底数及对数函数的真数和底数含有参数，一般需要分类讨论． 函数与方程的关系密切，它们之间常常可以相互转化，特别是函数的零点与方程的根．

3. 重视交汇综合

重视知识与能力的交汇综合，一是各知识板块之间的交汇与融合，比如函数、数列、不等式，它们各自既具有独立意义，相互之间又存在着天然的、密切的联系，复习时要把它们看成一个整体来研究；二是按主题的整合，比如图象变换，涉及的知识包括二次函数的平移、函数的奇偶性、三角中的伸缩变换等，通过研究其主通性，再拓展到各类函数与图象、方程与曲线中去．

篇6

   数学老师个人计划1

  这学期，可以说大多数的学生的成绩基本定型，但是仍然还有一部分学生有可能在原来的基础上，进一步提高自己的数学成绩，因此本学期不能因为到了高三下学期就对自己和学生松懈。根据学科的特点，结合我校数学教学的实际情况制定以下教学计划。

  一、教学内容

  高中数学所有内容：抓基础知识和基本技能，抓数学的通性通法，即教材与课程目标中要求我们把握的数学对象的基本性质，处理数学问题基本的、常用的数学思想方法，如归纳、演绎、分析、综合、分类讨论、数形结合等。提高学生的思维品质，以不变应万变，使数学学科的复习更加高效优质。

  研究《考试说明》，全面掌握教材知识，按照考试说明的要求进行全面复习。把握课本是关键，夯实基础是我们重要工作，提高学生的解题能力是我们目标。

  研究《课程标准》和《教材》，既要关心《课程标准》中调整的内容及变化的要求，又要重视今年数学不同版本《考试说明》的比较。结合上一年的新课改区高考数学评价报告，对《课程标准》进行横向和纵向的分析，探求命题的变化规律。

  二、学情分析：

  我今年教授两个班的数学：(20)班和(23)班，经过与同组的其他老师商讨后，打算第一轮20xx年2月初;第二轮从20xx年2月底至5月上旬结束;第三轮从20xx年5月上旬至5月底结束。

  三、具体措施

  (一)同备课组老师之间加强研究

  1、研究《课程标准》、参照周边省份20xx年《考试说明》，明确复习教学要求。

  2、研究高中数学教材。处理好几种关系：课标、考纲与教材的关系;教材与教辅资料的关系;重视基础知识与培养能力的关系。

  3、研究08年新课程地区高考试题，把握考试趋势。特别是山东、广东、江苏、海南、宁夏等课改地区的试卷。

  4、研究高考信息，关注考试动向。及时了解09高考动态，适时调整复习方案。

  5、研究本校数学教学情况、尤其是本届高三学生的学情。有的放矢地制订切实可行的校本复习教学计划。

  (二)重视课本，夯实基础，建立良好知识结构和认知结构体系

  课本是考试内容的载体，是高考命题的依据，也是学生智能的生长点，是最有参考价值的资料。

  (三)提升能力，适度创新

  考查能力是高考的重点和永恒主题。教育部已明确指出高考从以知识立意命题转向以能力立意命题。

  (四)强化数学思想方法

  数学不仅仅是一种重要的工具，更重要的是一种思维模式，一种思想。注重对数学思想方法的考查也是高考数学命题的显著特点之一。数学思想方法是对数学知识最高层次上的概括提炼，它蕴涵于数学知识的发生、发展和应用过程中，能够迁移且广泛应用于相关科学和社会生活。在复习备考中，要把数学思想方法渗透到每一章、每一节、每一课、每一套试题中去，任何一道精心编拟的数学试题，均蕴涵了极其丰富的数学思想方法，如果注意渗透，适时讲解、反复强调，学生会深入于心，形成良好的思维品格，考试时才会思如泉涌、驾轻就熟，数学思想方法贯穿于整个高中数学的始终，因此在进入高三复习时就需不断利用这些思想方法去处理实际问题，而并非只在高三复习将结束时去讲一两个专题了事。

  (五)强化思维过程，提高解题质量

  数学基础知识的学习要充分重视知识的形成过程，解数学题要着重研究解题的思维过程，弄清基本数学知识和基本数学思想在解题中的意义和作用，注意多题一解、一题多解和一题多变。多题一解有利于培养学生的求同思维;一题多解有利于培养学生的求异思维;一题多变有利于培养学生思维的灵活性与深刻性。在分析解决问题的过程中既构建知识的横向联系，又养成学生多角度思考问题的习惯。

  (六)认真总结每一次测试的得失，提高试卷的讲评效果

  试卷讲评要有科学性、针对性、辐射性。讲评不是简单的公布正确答案，一是帮学生分析探求解题思路，二是分析错误原因，吸取教训，三是适当变通、联想、拓展、延伸，以例及类，探求规律。还可横向比较，与其他班级比较，寻找个人教学的薄弱环节。根据所教学生实际有针对性地组题进行强化训练，抓基础题，得到基础分对大部分学校而言就是高考成功，这已是不争的共识。

  四、教学要求：

  第二轮专题过关，对于高考数学的复习，应在一轮系统学习的基础上，利用专题复习，更能提高数学备考的针对性和有效性。在这一阶段，锻炼学生的综合能力与应试技巧，不要重视知识结构的先后次序，需配合着专题的学习，提高学生采用配方法、待定系数法、数形结合，分类讨论，换元等方法解决数学问题的能力，同时针对选择、填空的`特色，学习一些解题的特殊技巧、方法，以提高在高考考试中的对时间的掌控力。第三轮综合模拟，在前两轮复习的基础上，为了增强数学备考的针对性和应试功能，做一定量的高考模拟试题是必须的，也是十分有效的。该阶段需要解决的问题是：

  1、强化知识的综合性和交汇性，巩固方法的选择性和灵活性。

  2、检查复习的知识疏漏点和解题易错点，探索解题的规律。

  3、检验知识网络的形成过程。

  4、领会数学思想方法在解答一些高考真题和新颖的模拟试题时的工具性。

  五、在有序做好复习工作的同时注意一下几点：

  (1)从班级实际出发，我要帮助学生切实做到对基础训练限时完成，加强运算能力的训练，严格答题的规范化，如小括号、中括号等，特别是对那些书写像雾像雨又像风的学生要加强指导，确保基本得分。

  (2)在考试的方法和策略上做好指导工作，如心理问题的疏导，考试时间的合理安排等等。

  (3)与备课组其他老师保持统一，对内协作，对外竞争。自己多做研究工作，如仔细研读订阅的杂志，研究典型试题，把握高考走势。

  (4)做到有练必改，有改必评，有评必纠。

  (5)课内面向大多数同学，课外抓好优等生和边缘生，尤其是边缘生。班级是一个集体，我们的目标是水涨船高，而不是水落石出。

  (6)教研组团队合作

  虚心学习别人的优点，博采众长，对工作是很有利的。校长一直强调团队精神，所以我们要在竞争的基础上合作，合作的基础上竞争，合作也是我校的优良传统。我们几位老师准备做到一盘棋的思想，有问题一起分析解决，复习资料要共享。在工作中，教师间的合作就显得尤为重要。

  (78)平等对待学生，关心每一位学生的成长，宗旨是教出来的学生不一定都很优秀，但肯定每一位都有进步;让更多的学生喜欢数学。力争以严、实、精、活的教风带出勤、实、悟、活的学风。

   数学老师个人计划2

  第一课时：数的意义，读法和写法总第课时

  复习内容

  自然数、整数、分数和小数的概念；整数、小数的十嫩单位和数位顺序和读写法（课本第79—82页的上半页“做一做”）

  复习目的

  1、通过复习使同学系统地掌握自然数、整数、分数和小数的意义。

  2、使同学熟练地掌握十进制计数法和整数、小数数位顺序表；并能正确地、熟练地读、写整数与小数。

  复习过程

  一、复习数的意义

  1、自然数、零、整数。

  （1）什么叫做自然数？自然数的基本单位是什么？

  （2）零表示什么？它是什么数？

  小结：在数物体的时候，用来表示物体个数的l，2，3…叫做自然数。“一”是自然数的基本单位，而其余的十、百、干、万等是辅助单位。一个物体也没有就用“0”来表示。0也是一个数，但0不是自然数。0和一切自然数都是整数。可用以下的图解来说明整数的范围：

  整数

  2、分数与小数。

  （1）什么叫做分数？分数单位是什么？

  [把单位“l”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数是这个分数的分数单位。]

  （2）什么叫做小数？小数与分数有什么关系？

  [写在整数个位的右面，用圆点隔开，用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数，叫做小数。如：0。1、0。5、0。01、0。153等都是小数。小数实际上是分母是l0、100、l000、…的分数，只是写法与整数基本上相同。]

  （3）分数与除法有什么关系？

  [两个自然数相除，不能整除的时候，它们的商可以用分数来表示。分子相当于被除数，分母相当于除数，除号相当于分数线。即：被除数÷除数=

  因为零不能作除数，所以分数的分母不能是零。

  分数与除法虽有密切关系，但也有区别；除法是一种运算有运算符号：而分数是一种数。]

  （4）什么是有限小数？无限小数？什么叫循环小数？它们的关系怎样？

  [例如：0。7、6。018、10。05等，这些小数的小数局部的位数是有限的，所以是有限小数。

  一个小数，从小数局部的某一位起，一个数字或几个数字依次不时地重复出现，这样的小数叫做循环小数。

  例如，0。66…、8。133…、3。14242…都是循环小数，它们还可以分别写作0。6和8。13和3。142。循环小数的小数局部的位数是无限的，所以是无限小数。]它们之间关系如下：

  ①按小数局部分。

  ②依照整数局部分

  整数局部是零的小数叫做纯小数；纯小数比l小。

  整数局部不是零的小数叫做带小数；带小数比1大。

  小数

  3、整数和小数数值顺序表

  幻灯或投影仪出示课本（80页）待填空的数值顺序表。然后提问以下几个问题。（教师边提问，边填空。）

  （1）整数从个位到千亿位分哪几级？

  （2）每一级包括哪些数位？

  （3）每一个数位的计数单位是什么？相邻的计数单位呢？

  （4）整数局部与小数局部用什么来分界？

  （5）小数局部的各个数位和计数单位是什么？

  （6）相邻的计数单位间的进率是多少？

  完成数位顺序表后提问：什么叫数位？数位和位数相同吗？

  [各个计数单位所占的位置，叫做数位。数位是按一定的顺序排列的；同一个数在不同的数位上值就不同。位数是指一个自然数所占数位的个数。]

  4、百分数与成数

  （1）什么叫做百分数？百分数又叫做什么？

  （2）百分数与分数有什么关系？

  （3）百分数与成数有什么关系？

  （4）“折扣”的含义是什么？

  [表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数形式，而用百分号“%”来表示。百分数有时也定义为分母是100的分数，但百分数与分数是有区别：分数既可表示具体的量，如千克，又可表示两个数量间的倍比关系。然而百分数它只能表示两个数量间的倍比关系；所以是个不名数。

  成数是农业上常用的名词，实际上指分母是十的分数，几成绩是十分之几。例如：四成绩是十分之四，改写成百分数就是40%。

  折扣是商业用语，打折扣表示按成数减少；例如：某商品打七折，即按原价的七成（70%）出售。]

  练习：完成课本第79页与第81页的“做一做”

  二、复习数的读法和写法

  1、读出下面答数（先由同学读出各数，后讲评小结）

  （1）1060008000（读作：十亿六千万八干）

  （2）52000803100（读作：五百二十亿零八十万三千一百）

  （3）40030500800l（读作：四千零三亿零五百万八千零一）

  （4）0。006（读作：零点零零六）

  （5）80。105（读作：八十点一零五）

  （6）206。318（读作：二百零六点三一八）

  小结：整数的读法从高位到低位，一级一级地读；读亿级、万级时要在后面加上“亿”或“万”。每一级末尾的“0”都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个零。小数的读法是先读整数局部，它与整数读法相同，整数局部是0的，就读作零；再读小数局部，小数点读作“点”，小数局部通常顺次读出每一个数位上的数字。

  2、写出下面各数（先由同学写出各数后讲评、小结）

  （1）九十万三干（写作：903000）

  （2）二十亿五千万零八十（写作：2050000080）

  （3）一百零二亿四千零五万零九（写作：10240050009）

  （4）零点二零三（写作：0。203）

  （5）二十点零零五（写作：20。005）

  （6）一百零七点三八（写作：107。38）

  小结：整数的写法是从高位到低位，一级一级地写，哪一数值上一个单位也没有，就在那个数值上写0。小数的写法是整数局部依照整数的写法来写，假如整数局部是零的，就写作0，小数点写在个位右下角，小数局部顺次写出每一个数位上的数字。

  3、分数应该怎样渎、怎样写？（由同学口答，然后练习读写）]

  （1）读出下面各数

  ①（读作：十七分之三）

  ②16（读作：十六又五十分之九）

  （2）写出下面各数

  ①三十又十二分之五（写作：30）

  ②百分之一百二十三（写作：或123%）

  三、巩固练习

  1、阅读课本第79——82页上半页。

  2、练习课本第82页上面的“做一做”。

  3、练习十八的第1题。

  四、课内外作业

  1、练习十八的第2题第（1）小题。

  2、练习十八的第3题第（1）小题。

   数学老师个人计划3

  一、教材分析

  根据新课标的要求，从知识技能、解决问题、情感与态度这三个方面确定全册的教学目标。

  这一册教材包括下面一些内容：准备课，位置，10以内数的认识和加减法，认识立体图形，11～20各数的认识，认识钟表，20以内的进位加法，用数学解决问题，综合与实践主题活动。

  (一)知识与技能

  1.经历从日常生活中抽象出数的过程，能熟练地数出数量在20以内物体的个数，会区分几个和第几个。会用数表示物体的个数或事物的顺序，能比较数的大小，掌握10以内各数与20以内数的组成，能认、读、写0-20各数。

  2.初步了解数位和计数单位：知道个位、十位上的数各表示什么意义。

  3.结合具体情境，初步体会加减法的含义。

  4.知道加减法各部分的名称，初步体会加减法之间的互逆关系，能熟练地口算10以内的加减法和20以内进位加法。

  5.认识符号“>”、“

  6.通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱、球等立体图形，能辨认长方形、三角形、正方形、圆等平面图形，会用这些图形进行拼图。

  7.初步了解事物比较和分类的方法，结合实际，能把同类事物进行比较和分类。

  8.初步认识钟表，会认整时。

  9.初步培养学生操作、观察、比较、辩析、整理、概括、语言表达、用数学交流的能力。

  (二)解决问题

  1.能用0—20各数表示日常生活中的一些事物。

  2.初步学会根据加减法的含义和10以内的加减、20以内的进位加法，解决生活中的一些简单问题。

  3.能比较出学生生活中事物(在20以内)数量的多少、长短和高矮，能给生活中的一些事物分类。

  4.结合自已的生活经验，初步体验1时的长短。

  5.能根据简单统计图表的信息，提出问题，解决问题。

  6.用不同的方法解决同一个问题，发展学生思维的灵活性、实践能力和创新意识。

  (三)情感、态度、价值观

  1初步养成良好的学习能力和学习习惯。

  ⑴会看。会看数学书，能在书上找到要学习的内容。

  ⑵会听。能听懂老师和学生的讲话，能边听、边想。

  ⑶会想。能根据一些信息提出数学问题;会根据数学问题，想出解决问题的方法。

  ⑷会说。能把自己想的说出来，说得比较完整而简洁。

  ⑸会用。会用学具学习一些数学内容。

  ⑹会做。会做数学作业，书写规范，格式正确，认真细心，能自己出题自己做，能检查。

  ⑺能讨论。能与同学轻声讨论数学问题。

  ⑻能合作。能与同学友好合作完成数学游戏、数学活动、进行简单的数学研究。

  ⑼能评价。能作自我评价与评价他人。

  2.在合作交流过程中，积极主动地参与数学活动，积极思考，争取发言，尊重别人，认真倾听他人发言，有获得成功的体验，增强自信心。

  3.养成遵守时间、珍惜时间的良好美德。

  4.爱护学具、文具、数学书、作业本、书包，养成勤学习、有条理、讲究美的好习惯。

  5.初步体验学习数学的价值，感受用数学的乐趣，与同伴交流的乐趣。

  6受到关心集体、热爱家乡、热爱自然、保护环境等思想教育，促进学生在情感态度等方面健康发展。

  二、教学重点、难点

  本册教材的重点教学内容是10以内的加减法和20以内的进位加法。这两部分内容和20以内的退位减法是学生学习认数和计算的开始，在日常生活中有广泛的应用，同时它们又是多位数计算的基础。因此，一位数的加法和相应的减法是小学数学中最基础的内容。是学生终身学习与发展必备的基础知识和基本技能，必须让学生切实掌握。

  除了认数和计算外，教材安排了常见几何图形的直观认识，比较多少、长短和高矮，简单的分类，以及初步认识钟面等。虽然每一单元内容都不多，但都很重要，有利于学生了解数学的实际应用，培养学生学习数学的兴趣。

  三、学情分析

  本学期教学一年级两个教学班。其中一x班共38人(男21女17)，一x班共42人(男25女17)。初入学两班已个性初显：x班如山野稚朴天成，勇敢无畏，少约束，法自然，拟严规矩，不压个性，严爱相加;x班如园林静美有规，和谐温顺，有礼貌，志上游，拟拓视野，鼓励张扬，放手而爱。

  四、方法与措施

  1.认真研究《标准》和教科书，改变教学理念，充分利用教材资源，寻找学生熟悉的数学生活，使之进入课堂。

  2.加强游戏、儿歌、演示、观察与操作，采用多样化的教学手段，激发学生的学习兴趣。

  3.加强听、说、读的分量，创造经历用数字和数学符号描述现实世界的过程。

  4.贯穿审题、解题思路训练，引导学生用数学思想思考。

篇7

【关键词】高三数学；基础知识；学习方法

我从2004年大学毕业后，一直在高中担任高中数学教师，近几年一直在高三教学，与众多学生一起奋斗，同时，也对他们的学习进行了分析和总结，再结合我的实际教学情况，有一些不成熟的心得，先总结如下：

数学学科考试的宗旨是测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识和方法分析问题、解决问题的能力，高三数学复习必须紧紧围绕这一宗旨在复习知识、形成网络、培养能力、挖掘潜能上下功夫.

一、用数学思想指导基础复习，在基础复习中培养思想方法

基础知识的复习中要充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法.如，几何体体积公式的推导体系，集公理化思想、转化思想、等积类比思想及割补转换方法之大成，就是这些思想方法灵活运用的完美范例.只有通过展现体积问题解决的思路分析，并同时，形成系统的条理的体积公式的推导线索，才能把这些思想方法明确地呈现在学生的眼前.学生才能从中领悟到当初数学家的创造思维进程，这对激发学生的创造思维，形成数学思想，掌握数学方法的作用是不可低估的.

注重知识在教学整体结构中的内在联系，揭示思想方法在知识互相联系、互相沟通中的纽带作用.如函数、方程、不等式的关系，当函数值等于、大于或小于一常数时，分别可得方程，不等式，联想函数图像可提供方程，不等式的解的几何意义.运用转化、数形结合的思想，这三块知识可相互为用.注意总结建构数学知识体系中的教学思想方法，揭示思想方法对形成科学的系统的知识结构，把握知识的运用，深化对知识的理解等数学活动中指导作用.如，函数图像变换的复习中，我把常见于二次函数、反函数、正弦型函数等知识中的平移、伸缩、对称变换，引导学生运用化曲线间的关系为对应动点之间的关系的转化思想及求相关动点轨迹的方法统一处理，得出图像变换的一般结论.深化学生图像变换的认识，提高了学生解决问题的能力及观点.

二、用数学思想方法指导解题练习

在问题解决中运用思想方法，提高学生自觉运用数学思想方法的意识，注意分析探求解题思路时数学思想方法的运用.解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设与答案间的差异的过程.也可以说是运用化归思想的过程，解题思想的寻求就自然是运用思想方法分析解决问题的过程.

注意数学思想方法在解决典型问题中的运用.如，解题中求二面角大小最常用的方法之一就是：根据已知条件，在二面角内寻找或作出过一个面内一点到另一个面上的垂线，过这点再作二面角的棱的垂线，然后，连接二垂足.这样平面角即为所得的直角三角形的一锐角.这个通法就是在化立体问题为平面问题的转化思想的指导下求得的.其中三垂线定理在构图中的运用，也是分析，联想等数学思维方法运用之所得.总之，“授之以鱼，不如授之以渔”.方法掌握了，思想形成了，才能使学生受益终生.

三、重视复习和学习方法的指导

高三最后阶段的复习，学习方法、工作方法确实是个大问题.大家不要小看这件事情.比如，如果明天就要高考数学了，今天晚上学生做什么，如果事先不做好准备，这天晚上过得忙乱的话，想看书看不进去，看书的时候又不知道看哪篇好，是看解析几何还是看代数呢？是看题呢还是看教材呢？还是看参考书呢？如果事先不计划好，当时很忙乱的话，会给学生的心理造成负面影响，使得学生当天心理不踏实，晚上睡觉也睡不好，那会直接影响第二天的考试.所以学习方法和工作方法是非常非常重要的.在这里，我这方面有几点体会.

（一）应该认识到，就数学知识和数学能力而言，学生经过这一年的复习，到了这个时候，基本上已经定型了，他是哪个级别的，那么基本上不会对这个级别产生更大的变化，因此，我们的工作关键是要把学生这一年来复习工作的收获尽量地归纳、提炼、总结，比如，我们可以做这样一些工作，按照数学的各个章节，比如，函数，比如，三角函数，三角变换、不等式、数列等等，按照教材的这样一个自然的章节顺序，把每一章主要的知识点、基本方法、典型例题，可以做成卡片，一天做一章，数学有11个左右章节，学生11天可以完成这个工作，这个工作完全之后，有这样的好处，使得我们对知识重新归纳、整理又梳理了一遍，那么知识的网络结构我们就比较清楚了，这一章涉及的通性通法学生也就明白了，再上一点选择例题，作为借鉴，作为参考，这是非常有意义的.

当学生做好了这十一张卡片之后，那么即使你明天高考数学，今天晚上干什么？就可以看自己做的卡片就好了，把这十几张的卡片从头到尾细细回味一下，踏踏实实睡一觉，因为把数学又重新过了一遍，非常有好处，而且对学生大脑的刺激非常明显，短时间内大量的信息进入大脑，使得学生对数学的掌握又快又好.这是一个工作要做的，这个工作做好了，对高三复习都会有很好的作用.

（二）学生的练习题，一定要整理好，按照做题的先后顺序，把它整理好，装订好.然后，学生就花时间在数学复习里面，就沿着一年走过的足迹好好地翻阅做过的练习，翻阅这个练习，要确定一个主题思想，比如，学生现在确定这样一个主题，就看我立体几何试题做得如何，那好，这一年做过的卷子，就光看立体几何题，选择填空中的立体几何试题，都看完了，而且一遍做一遍做笔记，这个题亏了，当时做错了，一道题就得了这么一点分，吃亏在什么地方，哪个地方没过来，让学生想一想，做点笔记，这样的话，这一年走过的足迹，短时间之内在学生的脑子里又过了一遍电影，好坏得失就归纳开来，这样等于立体集合又复习了一遍.第二个，可以复习函数或者数列，从知识的角度确定主题，确定十几个、二十几个，一天解决一个.另外一方面，主题可以是考试过程，考试方法和答题技巧，看看这张卷子选择题，回忆一下当时用了多长时间，第二张卷子当时用了多长时间，一直到最后一张卷子，用了多长时间，看看是不是时间用得越来越少，还有成功率是不是保持在85%左右，如果你能在二十到二十五分钟之内把12道题都做完，而且成功率达到85%，那么告诉学生，祝贺你，高考选择题这一段你已经达到要求了，在选择题上已经有了相当的基础了.

比如，这次考试是按照题号答的题，看看学生的成败得失，下一份试卷是按照学生会的}先做，不会的题后做，看看那次考试情况怎么样，总结一下哪个方法最适合你.另外再看看自己的习惯性错误，比如，数字计算你怎么样，是不是经常马虎啊，数字计算这方面错误多吗？如果多的话，看看都在什么时候发生的，发生在哪一类问题上，恐怕这一年一大摞卷子放在那儿，学生就会掌握一个犯错误的基本规律，这样你就有了自知之明，到考场上，一看到又是这样的题，可能会犯错误，小心一点，学生就会用非常平常的心微笑地面对这个困难，可能这时候学生过去常犯的错误就不会再犯了.所以把试卷整理好，装订好，回顾一年来走过的路，回顾一年来的成败得失、辛酸苦辣，这样就会过得非常充实，有信心，高考就更有平常心，发挥得更好.反过来，天天啃难题，每天都焦头烂额，今天做一道题，半个小时做不出来，第二天又一道题，又半个小时做不出来，心里就发毛了，这样二十几天过去，考试前就没有好心态了，所以，建议大家考试前做我上面说过的工作，收获的季节做收获的工作，不要再做播种、耕耘的工作，那个时间已经过去了.

当然了，有的学生也说，在考试前总得热热身啊，总得拿几个题来做做啊，这也是必要的，但是要做就做那些别太难，能够增强自己的信心，能够发现自己的问题的试题，不要做那些难题.不论是哪个层次的学生，现在要注意的是，目前的高考试题不是按照由易到难的次序排列的，它是多题把关，处处有关口，比如，做第一题白给分，一下子就出来了，做到第五题卡住了，这很有可能.人们都认为21题是最难的一道题，有的学生认为我看都不看，我这水平做不了，其实21题的第一问是白给分的，为什么要放弃呢？

四、结语

篇8

关键词：柯西不等式；应用；技巧

柯西不等式： ∑ni=1 ai2∑ni=1 bi2≥（∑ni=1 aibi）2，（aibi∈R，i=1，2，…，n），等号当且仅当ai=kbi （i=1，2，・・・，n）时成立。

本文初步探讨柯西不等式应用的五种技巧，供广大师生作为数学高考复习及竞赛辅导参考。

一、常数的巧拆

根据题中的数值特征巧拆常数是常用技巧。

例1：设f（x）=lg，若0≤a≤1，n∈N，且n≥2，求证：f（2x）≥2f（x）。（1990年高考数学理科试题）

证：考虑到n=12+12+…+12及a≥a2有：n[12x+22x+…+（n-1）2x+an2x]≥（12+12+…+12）[12x+22x+…+（n-1）2x+（anx）2]≥（1x+2x+…+（n-1）2x+anx）2

即≥（）2

lg>2lg

亦即：f（2x）≥2f（x）.

二、项的巧添

有时求最值或证明不等式不能直接应用柯西不等式，添加适当常数项或和为常数的各项，就可运用柯西不等式。

例2：已知a1、a2，…，an∈R+，且S=a1+a2，…an，求证：++…+≥（其中n≥2）。

证：+1=，+1=，・・・，+1=，运用柯西不等式，[（S-a1）+（S-a2）+・・・+（S-an）]・[++・・・+]≥[・+・+・・・+・]2=n2，于是（n-1）S[++・・・+]≥n2，即++・・・+≥，（-1）+（-1）+・・・+（-1）≥-n=，即++…+≥。

三、因式的巧嵌

为了运用柯西不等式，有时需要巧妙地嵌上一个因式。此因式嵌后，目的是为了出现证明题中的因式，而往往嵌上的因式和是定值，再出现的因式（∑aibi）也是定值。

例3：P为ABC内一点，D、E、F分别为P到BC、CA、AB各边所引垂线的垂足，求所有使++为最小的点P。（第22 届国际数学IMO竞赛试题）

解：设ABC的三边BC=a，CA=b，AB=c，面积记为S，又设PD=x，PE=y，PF=z，则ax+by+cz=2S。由柯西不等式（嵌乘因式ax+by+cz）有[（）2+（）2+（）2]・[（）2+（）2+（）2]≥[・+・+・]2=（a+b+c）2，即（++）（ax+by+cz）≥（a+b+c）2，++≥，即++≥. 上式当且仅当== （即x=y=z亦即PD=PE=PF）时等号成立。因此，使++为最小的点P是ABC内心。

四、待定常数的巧设

为了创造条件运用柯西不等式，我们还常引进待定常数，其值由题设或由等号成立的充要条件来确定。

例4：设a、b、x、y∈R+，k

证：（1）引进待定参数t∈R+，运用柯西不等式。4ax-by2=（a+b）（x-y）+（a-b）・（x+y）2=

t（a+b）+（a-b）（x+y）2≤[t2（a+b）2+（a-b）2][+（x+y）2]=[（t2+1）（a2+b2）+（2t2-2）ab][（t2+1）（x2+y2）+（2t2-2）xy]/t2. 为运用条件令=-k，即t2=，t=. 4ax-by2≤，ax-by≤=.

（2）引进待定参数μ∈R+，运用柯西不等式。4ay+bx-kb2=（2a-kb）y+2x-（2x-ky）b2=（2a-kb）μ・

+（2x-ky）b2≤[μ2（2a-kb）2+b2][（）2+（2x-ky）2]==[4μ2a2-4μ2kab+（k2μ2+1）b2][4μ2x2-4μ2kxy+（k2μ2+1）y2]/μ2. 为利用条件令4μ2=k2μ2+1，即μ=，4ay+bx-kby2≤=（4μ）2，于是ay+bx-kby2≤2μ=.

五、变量代换的巧引

为运用柯西不等式，有时可引进适当的变量代换。

例5：设a、b、c是三角形的边长，试证：a2b（a-b）+b2c（b-c）+c2a（c-a）≥0，并确定等号在什么时候成立。（第24届国际数学竞赛题）

证：引进代换a=x+y，b=y+z，c=z+x，则原不等式为：（x+y）2（y+z）（x-z）+（y+z）2（z+x）（y-z）+（z+x）2（x+y）（z-y）≥0，展开并化简后得：xy3+yz3+zx3-xyz（x+y+z）≥0，即证：xyz（++-x-y-z）≥0，即证：++≥x+y+z. 由柯西不等式：（x+y+z）（++）≥（x+y+z）2，即++≥x+y+z.

等号成立当且仅当x=y=z时，原不等式成立，且等号成立当且仅当a=b=c时。

总之，在许多问题中，若利用柯西不等式去解决，就能柳暗花明又一村。那些不能直接应用柯西不等式求解的问题，我们可通过一些变换技巧，使之能应用柯西不等式，达到解答问题的目的。

参考文献：

[1]蒋明斌.巧用柯西不等式证不等式竞赛题[J].数学通讯，2006（20）.

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关键词：数列；导数

？摇数列是高中数学必修的5个模块内容之一，也是高等数学的基础，所以数列是每年高考数学的重要考查内容. 《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）对高中数列的教学内容与要求是“了解数列是一种特殊函数；理解等差数列、等比数列的概念；探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系”. 因此，高考试题重点考查等差、等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式等知识点.

数列是定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，是一类特殊的函数. 因此，许多数列问题可以用函数思想、 观点和性质来解决，从而基于函数思想研究和解决数列问题十分有意义. 函数思想是中学数学的一种基本的数学思想，它应用广泛，贯穿于整个高中数学. 对比数列，函数有许多好的性质，如函数连续性、可导性等. 函数的导数，作为高中数学的新增内容之一，为解题、教学和教研注入了新的活力，更是研究函数的单调性、极值和最值等问题的有力工具. 由于数列可看作是特殊的函数，所以我们自然而然就想到要用函数导数这个新的工具来解决有关数列问题.

例1 （2013安徽卷・理20）设函数fn（x）=-1+x+■+■+…+■（x∈R，n∈N*）.

证明：（1）对每个n∈N*，存在唯一的xn∈■，1，满足fn（xn）=0；

（2）对任意的p∈N*，由（1）中xn构成的数列{xn}满足0

解答：（1）因为对任意的x∈R和n∈N*，有f ′n（x）=1+■+■+…+■.

所以当x>0时，有f ′n（x）>0. 故fn（x）在（0，+∞）是严格增函数.

由于f1（1）=0和fn（1）>0，n≥2，所以

fn■=-1+■+■+■+…+■≤-■+■+■+…+■=-■+■・■= -■■■

所以存在唯一的点xn∈■，1，满足fn（x）=0.

（2）根据fn（x）的表达式，当x>0时，有fn+1（x）=fn（x）+■>fn（x），结合（1）有fn+1（xn）>fn（xn）=0=fn+1（xn+1）.

又因为fn（x）在（0，+∞）是严格增函数，所以xn>xn+1. 故{xn}是严格单调数列，从而对任意的n，p∈N*，有1≥xn>xn+p>0.

由（1）知，对任意的n，p∈N*有

f■（x■）=-1+x■+■+…+■=0，？摇？摇①

fn+p（xn+p）=-1+xn+p+■+…+■+■+…+■=0，？摇？摇？摇？摇 ②

利用①-②和1≥xn>xn+p>0得，

xn-xn+p=■+…+■+■+…+■？摇≤■+…+■

综上，对任意的p∈N*，都有0

评析：本题以通项为xn与■乘积的数列的前n项和构造一个函数fn（x），显然这是以高等数学知识为背景，将数列与函数融为一体，解决函数的零点问题利用数列求和，解决数列的单调性需要用到函数的导数；由于函数的表达式是数列前n项和形式，所以求函数值的范围就是求数列前n项和的范围. 将第（1）问中求和的数列放缩成等比数列，将第（2）问中求和的数列放缩成可倍差求和的数列，进而求出函数值的范围，足以看出本题数列和函数及其导数结合的深度和广度. 试题考查了转化和归纳能力、综合运用知识和解决问题能力、推理论证能力，数列求和则考查了运算求解能力，试题颇有深度和难度.

在教学中，我们经常强调，立足函数观点，数列可以看做是定义域为正整数集上的一类特殊函数，因此在解决数列问题时，常用函数的性质去分析. 当然，如果能将数列与函数有机地结合起来，这对解决数列问题有极大帮助，比如例1. 但是数列自身也有其特殊性，与函数是有区别的，如果不去关注这些区别就会导致错误，学生用导数处理数列问题经常出现的错误就是忽视数列具有离散型的特征.

例2 （2013新课程全国Ⅱ卷・理16）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，求nSn的最小值.

错解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列前n项和可得

10a1+■d=0，15a1+■d=25，解得a1=-3，d=■. 故nSn=nna1+■d=■-■. 设f（n）=nSn=■-■，则f ′（n）=n2-■. 令f ′（n）=0，解得n=0（舍去）或n=■. 当 n>■时， f（n）是单调递增的；当0

分析：结果是正确的，但是部分解题过程是错误的.因为导数是定义在连续函数基础上的，而对于n∈N*， f（n）是离散函数，不存在导数，从而不能对其求导. 究其原因是未能吃透函数导数的本质含义，未能准确把握数列单调性与函数单调性的联系和区别. 例2要利用导数判别数列的单调性，一定要转化成函数去判断，同时要注意数列的定义域是正整数这一特点.

正解：按照上面同样步骤解得nSn=■-■. 设f（x）=■-■，x>0，则f ′（x）=x2-■. 令f ′（x）=0，解得x=■. 当x>■时， f（x）是单调递增的；当 0

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解答选择题的技巧和方法：解答高考数学选择题既要求准确破解，又要快速选择，正如《考试说明》中明确指出的，应“多一点想的，少一点算的”. 因此，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，在对照选择支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取.

下面略举数例加以说明.

1. 特值检验法

对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的.

例1． ABC的三个顶点在椭圆4x2+5y2=6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为（ ）

A． - ■ B． - ■ C． ■ D． ■

分析：题中没有给定A、B、C三点的具置，不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，即A（-■，0）、B（■，0），C为椭圆的短轴上的一个顶点，即C（0，■），由此即得.

解析：由分析得k1k2=■・■=

-■，故选B.

点评：对于类似于本题中选择支的结论为定值的题型，通常用特值检验法，我们只须把题中的点用特殊点代替之，即可得到结论.

例2． ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，B是A和C的等差中项，则a＋c与2b的大小关系是（ ）

A. a＋c2b

C. a＋c≥2b D. a＋c≤2b

分析：题中没有给定三角形的具体形状，不妨特殊化，令A=B=C=60° ，则可排除A、B，再取角A，B，C分别为30° ，60° ，90° ，可排除C，故答案为D.

点评：对于类似于本题中选择支的结论为比较大小的三角形题型，通常用特值检验法，我们只须把题中的角A、B、C用特殊角代替之，即可得到结论.

例3． 已知m为非零常数，对x∈R，有f（x+m）=■恒成立，则f（x）的最小正周期是（ ）

A． m B． 2m C． 3m D． 4m

分析：由题意不妨取特殊函数f（x）=tanx即可得

出答案.

解析：tan（x+m）=■=tan（■+x），可知：m=■，而tanx的最小正周期为?仔.

T=4×■=4m，故选D.

点评：对于类似于本题中的抽象函数题型的选择题，通常用特殊函数法，我们只须把题中的函数用特殊函数f（x）=tanx代替之，即可得到结论.

2. 剔除法

利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的.

例4． 设函数f（x）=2－x-1，x≤0■，x＞0若f（x0）＞1则x0的取值范围是（ ）

A.（-1，1） B.（-1，+∞）

C.（-∞，-2）∪（0，+∞） D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

分析：由条件可令x0=■通过验证即可得出答案.

解析：令x0=■，则f（■）=■＜1，不合题意，可剔除A、B、C，选D.

点评：剔除法是充分利用选择题中单选题的特征，通过分析、推理、计算、判断, 逐一剔除错误支，从而得出正确支的目的.

3. 数形结合法

由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法.

例5． 圆A：（x-3）2+（y-5）2=1，圆B：（x-2）2+（y-6）2=1，P是平面内一动点，过P作圆A和圆B的切线，切点分别为D、E，若｜PD｜=｜PE｜，O（0，0），则｜PO｜的最小值为（ ）

A.■ B.■ C. 3■ D. ■

分析：本题应先求出P点的轨迹，注意由｜PD｜=｜PE｜及切线长公式易知点P的轨迹是线段AB的垂直平分线，从而由点到直线的距离公式即可求得答案.

解析：由切线长公式得｜PD｜=｜PE｜?圯｜PA｜2-1=｜PB｜2-1?圯

｜PA｜=｜PB｜，所以P点的轨迹是线段AB的垂直平分线，由A（3，5），B（2，6）得P点的轨迹方程是x-y＋3＝0，由点到直线的距离公式得｜PO｜的最小值为d=■，选D.

点评：通过数形结合，发现问题的几何背景是P点的轨迹是线段AB的垂直平分线，因此数形结合的直观性简化了运算过程.

4. 递推归纳法

通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法.

例6． 已知{an}数列满足a1=2， an+1=1－■，则a332等于（ ）.

A． 1 B． ■ C． －1 D． 2

分析：由分式递推式 an+1=1－■及a332中的下标比较大可推测，该数列｛an｝是周期数列.

解析：因为 an+1=1－ ■所以 an+1=1－■ =－ ■, 从而an+3= 1－■=1＋an－1=an ,即数列｛an｝是以3为周期的周期数列.又 a1=2，a2= 1-■=■，所以有a332=a110×3+2=a2=■，故选B.

点评：如果数列{an}满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有an+T=an成立，则数列{an}为周期数列.

5. 逆推验证法（代答案入题干验证法）

将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法.

例7． 设集合M和N都是正整数集合N*，映射f:把集合M中的元素n映射到集合N中的元素2n＋n，则在映射f下，象37的原象是（ ）

A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

分析：依题意2n＋n=37，四个选项中只有n=5是方程的解.

解析：将各选择支逐一代入题干验证可得答案C.

点评：凡题干提供的信息较少或结论是一些具体的数学问题，可用逆推验证法从选择支入手，逐一检验是否与题干相容而作出选择.

6. 正难则反法

例8． 8颗骰子同时掷出，共掷4次，至少有一次全部出现一个点的概率是（ ）

A. [1-（■）8]4 B. [1-（■）5]8

C. 1-[1-（■）4]8 D. 1-[1-（■）8]4

分析：此题若从正面解决，则分类太多，容易造成遗漏或重复，比较难.但若从它的反面去解决就比较容易多了.

解析：8颗骰子出现一个点的概率为（■）8，不能出现一个点的概率为1-（■）8，4次不都出现一个点的概率为 [1-（■）8]4 ，4次至少有一次都出现一个点的概率为1-[1-（■）8]4，故选D.

点评：从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论（或从反面出发得出结论）.

7. 特征分析法

对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法.

例9． 256-1可能被120和130之间的两个数所整除，这两个数是（ ）

A. 121，123 B. 123，125

C. 125，127 D. 127，129

分析：注意本题中256-1是可以用平方差公式因式分解的特点，因此可考虑用平方差公式进行因式分解而得解.

解析：由256-1=（228+1）（214+1）（27+1）（27-1）=（228+1）（214+1）・129・127，故选D.

点评：凡能根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理迅速作出判断的问题，可用特征分析法.

8. 估值选择法

例10． 用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数的三位数，其中奇数共有（ ）

A. 36个 B. 60个 C. 24个 D. 28个

分析：由于五个数字可组成A35=60个没有重复数字的三位数，其中奇数超过一半，但又不全是奇数，而B是所有不重复的三位数，C、D都没有超过一半，故选A.

点评：有些问题（比如本题），由于题目条件限制，无法（或没有必要）进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断，这种方法叫估值选择法.

误区警示：在解答数学选择题时常见的误区有：对某个概念的认识模糊、对相关概念的的交叉混淆、对隐含条件的大意疏忽、对数形特征的粗心错觉、对严谨命题的以偏概全、对逻辑关系的混乱和对运算法则的呆板等都是造成错误的根本原因.

那么，在解选择题中，如何来绕开这些误区呢？我认为应注意做到下列几点：1.认真审题、严密推理; 2. 以特殊代替一般时注意解题的完整性; 3. 注意字母条件的限制而造成解题过程中每一步的不合理性和不严密性; 4. 认真理解基础知识概念，解题中不能随意约去可能为零的因式; 5.注意挖掘题设或题目中隐含的已知条件.

综上,我们今后在解题的过程中，要根据题型特征，优先考虑问题的某些方面，可以有效地防止误解和漏解.解题时还应特别注意：数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而在求解时对照选择支就显得非常重要，它是快速选择、正确作答的基本前提.