高中数学公式定理范文

导语：如何才能写好一篇高中数学公式定理，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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一、知识引入多样化，激发学生求知欲

公式、定理的引入是发展学生思维、培养探索能力的重要环节。针对不同的公式与定理，避免“开门见山”式的引入，采用多样化的引入，能很好地吸引学生，激发他们的探究欲望。常用以下几种引入的方法：

1、实践演示引入：利用与公式和定理相关的、有趣味的模型，使学生在接触课题之前，就产生强烈的探求欲望。例如在引入线面垂直的判定定理时，先让学生自己动手做一个实验：拿一张矩形纸片，对折后略为展开，使矩形被折的一边紧贴在桌面上，教师告诉学生，折痕和桌面是垂直的，这是为什么呢？学生一下子被吸引住了，急切地想知道这是为什么。

2、类比引入：数学具有系统性，某些新公式、新定理可以由旧公式、旧定理通过类比迁移而来。例如在引入余弦定理时，先给出三角形的三边 、 、 ，其中 为最大边。讨论 与 的关系。同学们已经学过勾股定理， 时有 。教师向学生提出这样的问题，在斜三角形中 与 有什么关系？学生通过探究发现，当 时有 ；当 时有 。通过对三种三角形的类比，学生会有很大的兴趣去讨论它们之间存在怎样的一种关系式，它们到底相差多少。这种引入方法，使学生对新公式、新定理不感到突然，而是旧公式、旧定理的延伸与扩展。

3、发现法引入：由于公式是对客观实践的抽象，为了完成这一过程，我带领学生重涉前人探索之路去发现公式。这种发现式的引入，对培养学生观察与探究能力有重要作用。在应用这种引入方法时，关键是创设使学生感兴趣的情景。

二、重归纳猜想，提出结论

按照数学知识的基本规律，公式和定理可以通过两个方面去探究归纳：一是，以一般的原理为前提，推出某个特殊情况下的新结论（演绎推理）；二是，以若干特殊情况下的情况为前提，推出一个一般的原理作为新结论（归纳推理）。在引入之后，通过归纳、演绎，使学生对公式、定理有一个初步的认识，提出结论，符合知识体系的建立，也利于学生自主探索和交流合作的体验经历，培养学生数学素养。

三、重视推导和证明，弄清来龙去脉

公式的推导和定理的证明是教学的核心。经过恰当地引入和归纳猜想，学生的心理状态是“兴趣被激发，对证明、推导有迫切感”，因此抓住机会给予证明。应注重联系，弄清公式、定理的来龙去脉，提高对数学的整体认知。在推导过程的教学中，发挥学生的主体作用，能让学生推导的就让学生推导，并注意指出学生推导中的错误。有些推导过程繁琐的公式与定理，教师注重分析，讲清为什么用这样的方法。如果公式和定理有几种推导方法，教学中不是面面俱到，可以让学生课后思考不同的推导方法。

四、强调条件和特例

公式成立是要有一定条件的。学生学习公式的最大弱点是把公式作为“万能公式”乱用乱套。因此教学中要强调公式成立的条件。如对数运算公式中真数都要大于零条件限制，直线的点斜式方程要求直线的斜率要存在。在公式推导完成后，通过实时练习，从中发现学生忽略条件而产生的错误，让学生讨论公式应用中要注意公式成立的条件。另外，公式虽具有一定的普遍意义，但对一些具有特殊条件的情形要给予注意，这就是公式的特例。如三角诱导公式及倍角公式是两角和与差公式的特例。

五、注重灵活应用，提高学生学习能力

数学教学的目的在于应用，因此，在公式和定理的教学中，必须使学生灵活巧妙地应用公式和定理，提高、培养学生实际运用的能力。在此教学环节中要注意引导学生灵活应用公式。定理的运用要注重条件的完整性，而每个公式本身均可作各种变化，为了在更广阔的背景中运用公式，就需要对公式本身进各种变形。这一层次的思维量大，可很好地培养学生思维的灵活性。

数学知识系统性强，学生学习数学知识后，可以形成相应的认知结构。把公式和定理纳入学生的知识体系，要解决好记忆方法问题，也要在教学中充分注意以下几点：

1、注意公式推导过程中包含的数学思想方法。在公式与定理的推导过程中，常常要用到数形结合，从特殊到一般，分类讨论等数学思想方法。在推导过程中，教师常从特殊的情景出发进行分析。

2、公式和定理的推广及引申。由于学生学习的阶段性和教材要求等原因，中学数学有许多公式和定理是可以推广的，教会学生推广，让学生看清知识的内部联系，是把知识纳入学生认知结构的有效途径。

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【关键词】高中数学；如何；复习

古人云：“学而时习之”，又或“温故而知新”等等，都说明了复习的重要性！那么，我们的课程如何进行复习呢？其中，高中数学的复习又该如何进行呢？本文就这个问题谈了自己的看法。

一、复习，要扎扎实实

数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与 高中数学的复习方法，是第一轮复习的重中之重。回归课本，自已先对知识点进行梳理，把教材上的每一个例题、习题再做一遍，确保基本概念、公式等牢固掌握， 要扎扎实实，不要盲目攀高，欲速则不达。复习课的容量大、内容多、时间紧。要提高复习效率，必须使自己的思维与老师的思维同步。而预习则是达到这一目的的 重要途径。没有预习，听老师讲课，会感到老师讲的都重要，抓不住老师讲的重点；而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复习效率。

二、加强复习策略的研究，提高复习的针对性和实效性

1、细悟“一纲一标一说明”，狠抓“双基”，强化知识主干，彰显高中数学章节结构，构建高中数学知识树图。

对照近几年的考试大纲、考试说明及高中数学新课程标准，以课本章节为单位，以高三教辅资料和高中数学课本为载体，以近几年高考数学试题为研究对象，逐章逐节全面系统的复习高中数学的全部内容，细悟“一纲一标一说明”，真正做到考点明确，内容全面，知识点不遗漏，在同学们大脑中真正建立起课本章节知识树图，形成高中数学章节目录结构，构筑知识网络，整理学生认知结构。

2、加强数学概念的复习，展示数学公式、定理的推导过程，注重知识的交汇与整合，锻炼学生的解题策略与答题技巧。

概念是实施数学教学和创造的源泉，没有概念，教学就无法入手，无法深入研究，解题也就失去依据，同时，创造也就无从谈起，因此，在高中数学总复习中，必须牢牢把握高中数学概念的复习，使每个考生对高中数学考点中的概念做到心中有数，有的放矢，同时根据高中数学概念推导出相应的公式、定理。

实际上，高中数学公式很多都是根据概念推导出来的，这样不仅熟悉了数学概念，同时也让学生掌握了公式的来龙去脉，展示了公式的推导过程，培养了学生的逻辑推理能力和数学公式的发现过程，极大的培养了学生的创造能力，再说，公式、定理的推导过程本来就是一个再创造，再发现的等差数列的概念：在一列数中，从第二项开始，它的后一项与前一项的差是一个常数的数列叫等差数列过程。当然，还要注重知识间的联系与整合，加强数学知识网络交汇点处试题命制的研究，培养学生的解题策略和答题技巧。

三、在平时做题中要养成良好的解题习惯。

要想学好数学，多做题是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。

1、树立信心，养成良好的计算习惯

学习数学离不开运算。高中的数学题，特别是解析几何的一些习题，运算量比较大。许多学生碰到这种状况总是不太重视，认为反正现在有可以用计算器可以进行运算了，自己只要掌握方法，而没有必要把时间"浪费"在计算上面了。因此碰到化简，计算就马虎对待，甚至是空在那里，等待老师的答案。但是一旦进了考场，遇到计算繁琐的题，它们就会因为计算不熟练而慌了手脚。这中间，因此而没能做出题目的大有人在。因此要勤动手。对复杂运算，要有耐心去做。当然也要掌握算理，注重简便方法。

一题多解，培养学生的思维能力

解题教学是整个数学教学中的一个重要环节。在解题教学过程中，不仅要向学生传授数 学的基础知识和解题的基本技能，更需要通过解题教学来培养学生的逻辑思维能力，进一步 使数学思想的传授由简单的、抽象的、理性的说教，转化成具体的、感性的、具有可操作性的客观存在。通过数学学习，发展学生的智力，培养学生的能力，提高学习的兴趣，使他们养成良好的学习习惯，为进一步学习创造良好的条件。一题多解是促进学生思维能力发展的有效途径之一，可以培养学生的思维准确性，提高学生的思维灵活性，增强学生思维的深刻性。

3、掌握解题技巧

大部分同学进入高中以后，学习方法、思维和生活学习习惯有所固定，成绩也趋于稳定，但很多同学对数学的学习兴趣却越来越淡，直至无任何起色，于是就认为自己不是学数学的料，无药可救，孰不知，只要讲究应试技巧与策略，就能把分数提高一个档次。

（1）、整体上安排要坚持“两先两后”

先览后做，平时训练和大型考试中，有的同学便急急忙忙“偷偷”做题，加重了自己的心理紧张程度，就有可能影响发挥，而正确的做法就是应是先统览试卷，摸清“题情”。对练习和测试作总体了解，寻找解决这部分题的知识内容。

先易后难，部分学生善“钻研”，先做难题，无功后返，以致该得的分没得到，造成总分较低。

（2）、解题中要坚持“两快两慢”

审题要慢，答题要快。“成在审题，败在审题”，要咬文嚼字，抓“题眼”，观察分析抓“特征”，深刻挖掘其隐含的内在联系；

计算要慢，书写要快，平时练习就要养成这种习惯，否则计算失误，后面就是“赔了夫人又折兵”了。

（3）、不同题型，区别对待

选择题灵活做，选择题一定坚持“小题小做”原则，采用间接、直接、特殊值代入法、排除法等；

填空题仔细做，一类是定性的概念判断填空，一类是定量的推理计算填空，但解题过程要确保“百分之百”；

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关键词：公式教学；分析思考；同角三角函数；基本关系

翻开高中数学课本，映入眼帘的就是密密麻麻的公式定理，是公式的各种变式。高中生面临着高考的压力，学习内容多，压力大。数学是一门相对较难的课程，它不仅考查学生的记忆情况，还需要学生具备较好的逻辑水平，能够实现举一反三，将公式定理转化后应用到解题之中。同角三角函数是高中数学必修四中的重点内容，也是高考的必考知识点。该章节的公式定理众多，变式类型也繁杂，学生很难掌握其中的要点。想要提高高中数学的教学质量，提升学生的成绩，高中数学教师一定要改善原有的公式教学方法，做好引导工作，设定科学的教学目标。下面，我们就以同角三角函数的基本关系为例，简单阐述一下如何做好公式教学，从而促进学生学习质量的提高。

一、引起悬念，注意公式的引入

高中数学公式定理繁多，如果教师不讲究教学方法，只知道让学生死记硬背，不仅无法达到教学目标，还会引起学生的反感。在数学教学有关公式定理的时候，教师要能够引起悬念，激起学生的好奇心，然后再一步步地引入公式，达到教学目标。

四、注意公式的记忆

高中同角三角函数基本关系式以及它的公式的变式具有众多的变式，需要学生牢记这些公式。对学生的记忆力、实际应用能力都有很高的要求。对此，教师在讲解同角三角函数基本关系的时候，一定要将其与题目结合起来进行解答。与此同时，教师还要做好温故而知新，常常带领学生回顾以前的知识点，把原来学过的公式进行巩固和练习，以达到最佳的记忆效果。

五、注意公式的应用

教师要选取有代表性的题目对学生进行训练，提高他们运用公式的能力。

总结：sinθ、cosθ、tanθ知道其中任意一个可以求另外两个，解题中要注意角度的取值范围。

即通过公式的实际应用能够帮助学生更好地牢记公式，将学习成果展现出来。

总而言之，高中数学教学一直以来都是学生学习的难点，同角三角函数更是教学的重点。该部分内容的公式定理多，变式复杂，涉及同角的问题，也是高考的必考知识点。很多学生无法搞清楚它的意义，题目较为复杂的时候也不会使用变式。为了更好地完成教学目标，数学教师一定要做好公式教学，扩散学生的思维，改变过去死记公式的弊端，切实提高教学的有效性。

参考文献：

[1]王恩宾，李凤.几何法研究同角三角函数基本关系初探：“同角三角函数的基本关系式”教学设计与点评[J].中国数学教育，2012（22）：21-23.

[2]吕峰波，张维忠.构造认知冲突重视学生感悟：以课例“同角三角函数的基本关系”为例[J].数学教学研究，2010（03）：2-4.

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【关键词】高中数学；趣味性；学习方法

数学是一门较为严谨科学，其程序化水平比较高.尽管高中数学也与人们的生活有着一定的关系，但是一般的高中生很难理解这种关系，尤其是高中数学中许多公式和定理更是让许多高中生觉得非常枯燥，缺乏趣味性.许多高中学生都认为高中数学在实际的生活中基本上没有用处，只是为了应付高考而不得不去学习，更不知道该如何去学习好数学这门课程，这就需要老师在数学教学的过程中为学生营造一种充满趣味性的课堂环境。

一、通过数学史故事增强高中数学课堂趣味性

数学这个学科有着十分悠久的发展历史，也发生过许多趣味性的故事，这些故事往往能够激发学生的好奇心和学习数学的兴趣.所以高中教师在数学课堂中可以将数学定理、数学公式等被发现和被证明的过程中发生的一些故事告诉学生，这样能够激发高中学生对于数学学习的兴趣，也可以为学生讲述一些数学家以及其他历史名人刻苦学习数学的故事等来增强高中数学课堂的趣味性.这种教学方式与以往的单纯地将公式定理等数学知识堆砌在学生面前的教学方式相比有着很高的优越性，在激发学生学习数学知识兴趣的同时，也能够拓宽学生的知识面，有助于学生数学学习水平的提高，对高中学生综合素质的提高有着重要的意义。

二、巧用数学趣味题增强高中数学课堂趣味性

当前的高中数学教材在每节课程之前都会有一个便于学生理解的引入材料，这样便于学生的预习和对本节课程的理解.这些引入材料一般都较为简单，学生通过自主预习一般都能够看懂，教师在讲课的过程中若是重复讲解会导致学生失去对本节课程听课的兴趣.但是教师可以仿照这种引人材料的方式为学生提供一些其他的趣味数学题来引入需要讲解的课程，对于未知的探索欲望会激发学生对于数学课程的学习兴趣.例如，在学习“排列组合”这节课程的时候，教师可以运用一些趣味数学题来引入：“甲乙丙丁四人参加一项特殊的接力赛，比赛要求有五次交接棒，但不要求每人都参加，只要相邻两棒不能是同一人即可，那么由甲担当第一棒，乙担当最后一棒，共有多少种交接棒顺序？”这种趣味性较强的问题一般能够较好地引起学生们的兴趣，但是学生们由于没有学习排列组合的知识，很难给出完整的答案，这样就会激发学生对于本节课程的学习兴趣，能够更加认真地听课和学习，希望能够在学习本节课程之后得到正确的答案.这种通过趣味数学题引出课题的方式能够较好地提高高中数学课堂的趣味性，也能够锻炼学生的发散思维能力，提高学生对高中数学课程学习的积极性。

三、实际运用中体会高中数学的趣味性

数学来源于生活，与人们的日常生活息息相关，当前许多学生都认为高中数学知识在实际生活中难以应用，所以对于高中数学知识的学习热情不高，针对这种情况教师可以通过实际生活中的运用例子来提高高中数学课堂的趣味性，增强学生对于数学学习的热情.例如，在学习“正余弦定理”这节课程的时候，教师可以将正余弦定理在日常生活中测量建筑物高度等具体的应用来激发学生的学习兴趣，“怎样测量泰山的高度”这种类型的问题能够引起学生较大的积极性，泰山是人们熟知的一座高山，那么怎样测量它的高度呢，学生们会自己想出各种办法去测量，但是同时又会觉得自己想出的办法是不合理难以实现的，这时候教师就可以将学生们的思路引入到本节课程的学习中，告诉学生们只要好好学习本节课程就能够学会测量泰山的高度，这样学生们就会更加仔细地听课.这种将数学知识与实际生活中的应用结合起来的教学方法，能够将高中数学教材中那些枯燥无味的抽象定理知识转化为与同学们实际生活较为贴近的内容，可以消除学生对于数学课程的烦躁感，让学生意识到高中数学课程中的学习内容是在实际生活中有着非常大的用途的，既能够增加高中数学课堂的趣味性，也能够让学生更加专注地投入到课程的学习中，体会数学课程中的乐趣。

四、运用趣味性的高中笛Ы萄模式

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关键词：高中数学 教学 学生 逆向思维 培养

在数学教学的过程应该采取多元化的教学方法，这样才不会让学生感到厌烦，高中数学作为一门理科科目，如果对概念定义等理解不了，这样学生在解题的过程中就会感到很难，这样长久下去，学生就会产生对数学学习的厌烦。数学中的概念定义等都是以后必须用到的基础知识，只有让学生真正理解其中的含义，才会在学习的过程中得到应用，数学的概念有些比较抽象，对于这些比较难懂的知识，教师应该从不同的角度进行分析，这样才能更好的让学生理解和掌握。逆向思维的培养可以让学生学会用不同的角度进行问题的分析，有时候可以在一定程度上减少数学题的繁琐程度，在教学的过程中应该注重培养学生的逆向思维能力，将顺向与逆向思维结合起来进行数学教学，才能更好的保障数学教学的质量。

一、增强学生对概念、公式的逆向思维理解及应用

（一）对数学定义的逆向思考，深入的掌握其中的含义

数学的课本中有很多定义和公式，这些都是以后做题必须用到的基础性知识，只有充分理解了定义的内涵，才能更好的在解题的过程中灵活的运用。数学中的定义基本都是互逆的，正序都是针对定义的判断，逆序则是定义本身存在的性质，只有把这两个方面充分理解，才能真正掌握定义的内涵。比如数学中关于奇函数的定义是：定义域关于原点对称的函数为奇函数，如果逆向思考的话就是奇函数的定义域一定关于原定对称，这是它本身的性质，这样两者都充分认识理解了，才能更好的掌握数学知识。

（二）增强学生对数学公式的逆运算能力

熟练的掌握数学公式的逆运算，可以在一定程度上提高解题的效率，在数学教学的过程中，教师应该注重培养学生对公式互逆运算的能力，让学生更加深入的了解并掌握公式的性质，这样才能在数学课程的教学过程中取得更大的进步。比如数学中的因式分解和多项式的乘法公式等的题目，应该让学生熟练的掌握好平方差公式和完全平方公式的互逆关系，这样才能尽可能的提高运算的效率。

（三）加强学生对定理公式的互逆性理解，掌握数学中存在的规律

数学中的定理公式等都是互逆的，从定义可以了解到其内在隐含的性质，同样我们也可以根据它们的性质推断出该用什么样的公式进行运算，只有在教学的过程中进行认真的培养，才能让学生有这样的运算意识，才能更好的掌握数学中存在的规律，以便学生更好的掌握数学这门课程。对于学生逆向思维能力的培养在数学的教学过程中非常重要，灵活的解题技巧对数学问题的解决十分关键，学生对定理公式的死记硬背是不科学的，就算记住了它的概念性质，但是在数学试题中根本没有课本上的原题，学生只有切实掌握定理公式的真正含义，才能更好的做到知识的活学活用。

二、逆向思维在解析数学试题中的应用

（一）以结果反向分析原因

在数学教学的过程中，为了更好的让学生彻底的理解和掌握定理公式的运用，通常都是经过大量的试题演练，做题是一种比较直接的训练学生思维能力的方法，在高中数学的教学过程中，也应在做题的过程中注重对学生逆向思维能力的培养，这样才能提高学生的解题速度，保证解题的准确率。在解决数学题目的时候如果按照正常的思路解题，可能会感觉题比较难以解决，这就要求应该加强对学生逆向思维能力的培养，让学生由已知的结果反向分析原因，这样反着进行分析直到找到那些使结果成立的充分必要条件，可以帮助学生找到解决问题的思路。

（二）知识的灵活运用，掌握遇难则反的策略

在进行数学习题的解析过程中，应该讲学到的知识进行灵活的运用，这样才能提高解题的效率，应该让学生有这样的一种思维，如果有些题目按正常的思路分析比较难以下手，应该从逆向思维的角度出发，从结论的反面进行分析，这样可能很容易就会找到解题的思路，这种方法关键是在于从问题的相反面进行考虑分析，从而找出其补集推敲出结果。比如数学试题（a+2）X?—8X+a=0，试问a在什么情况下会至少有一个正实数根，这个问题如果从正面进行分析的话结果有好几个，至少有一个正实数根包括一个正根一个负根、两个正根、两个负根和无解几种情况，如果这样考虑的话会非常的麻烦，但是如果从它的反面进行分析，即a在什么条件下会出现两个负根，这样得到结果以后的补集就是问题的答案，这样会比较容易进行分析，可以很大程度上提高学生做题的效率。培养学生逆向思维的方法，也是为了帮助学生更好的进行问题的分析解决，数学题目的类型各有不同，但是用到的基本知识都是一样的，问题解决的快慢关键是看学生解题的思路是否正确，因此，在高中数学的教学过程中培养学生的逆向思维能力是十分必要的。

三、结语

本文通过对高中数学教学中学生逆向思维的培养进行分析，使我们了解到了逆向思维在数学学习中的重要性，应该在讲课和做题的过程中时刻注重对学生逆向思维能力的培养，这样才能让学生更好的掌握所学的理论知识，并在做题的过程中做到知识的灵活运用，提高学生解题的效率和准确率，保证数学教学的质量。逆向思维能力的培养不仅可以让学生学会数学试题的分析解决，还可以在现实生活中帮助学生全面的看待问题，用灵活的方法解决遇到的困难，这样学校才能培养出更加优秀的人才。

参考文献：

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谈敏

（南京市秦淮中学，江苏  南京  211100）

摘  要：在高中数学解题过程中，帮助学生培养逆向思维能力，引导他们正确而巧妙地利用逆向思维，不仅有助于学生突破思维定势，改变其思维结构，进入新的境界，还可以使他们的思维灵活性和深刻性得到培养，分析和解决问题的综合能力也能进一步得到提高。本文从定义、定理、公式等几方面的应用对逆向思维在数学解题中的应用进行了论述。

关键词：逆向思维；高中数学解题；应用

逆向思维是一种与正向思维相反，从问题的反面进行思考的思维方式，也就是把命题的结论作为出发点，进而找寻结论成立的充要条件或者充分条件。在高中数学的教学过程中，教师应该意识到逆向思维的重要性，结合教材，培养学生的逆向思维能力，积极地引导学生在学习过程中正确有效的利用逆向思维，由根索源，反向思考，激发学生的创新意识，完善他们的综合知识，更好地完成教学目标，提升学生的分析能力。本文作者通过对实际数学问题的解析，探讨了逆向思维在数学解题过程中的应用。

一、逆向思维的含义和培养

逆向思维是一种发散性思维，是指人们从问题的反面出发，从问题的对立面去思考问题的答案。逆向思维的特点是另辟蹊径，从不同的角度思考问题，思路宽广，灵活多变，考虑精细，且答案新颖。逆向思维帮助学生突破思维定势，产生新的思考方法，发现新知识，开拓认识的新领域，形成新的思考方法以及新的科学理论的思维方式。在高中数学学习过程中，培养学生逆向思维能力的关键在于挖掘数学知识的逆向思维素材，并选择典型的逆向思维范例。其主要途径有：1、通过数学定义的逆向思维。例如，关于异面直线的定义：不在一个平面内的任何两条直线都是异面关系；2、通过数学定理的逆向思维。虽然并非所有定理的逆命题都正确，但是引导学生对定理的逆命题进行探讨，验证其是否正确，是指导学生研究新问题的有效方法；3、通过数学公式的逆向思维。公式的两边是等价的，其本身是双向的，平时学生在运用公式时总是习惯地由左至右，化繁为简。但在一些数学习题中对公式进行逆向应用，由右到左，由简到繁能更好地对问题进行解答，有助于学生形成解题技巧，而且又利于提高他们的解题能力，培养其逆向思维能力，使他们的思维得到锻炼；4、在数学基本概念的学习过程中培养学生的逆向思维能力。例如在对“直角三角形”的定义进行讲解时，教师可以采用如下的形式：正向思维：有一个角为90度的三角形称之为直角三角形。逆向思维：直角三角形中必须有一个角为90度。另外，在教学过程中，教师要明确哪些定理的逆命题是真命题；5、通过反证法，分析法，待定系数法等培养学生的逆向思维能力。

二、逆向思维在高中数学解题中的一些具体应用实例

（一）逆用定义

以双曲线定义为例，若点P的轨迹是双曲线，则等式 恒成立。

例1（福建卷）已知F1，F2是双曲线 （a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

 

解：因为MF1F2是正三角形且边MF1的中点在双曲线上，则设设边MF1的中点为P，有角F1PF2=90°，角PF1F2=60°，从而

所以根据双曲线的定义可知

 解得 ，故选D。

 点评：当已知是何种圆锥曲线且与两焦点有关时，可直接利用定义求解，以达到简缩思路、简化运算的目的。

（二）定理的逆用

勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。若c为最长边，且a²+b²=c²，则ABC是直角三角形。如果a²+b²>c²，则ABC是锐角三角形。如果a²+b²<c²，则ABC是钝角三角形。

例2 如图1所示，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2:2:3:1，且角B=90°，求角BAD的度数。

解：设AD=a，则AB=BC=2a，CD=3a，连接AC，三角形ABC为等腰三角形，所以角BAC=45°，在Rt三角形中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=2AB2=8a2，又因为AD2=a2，CD2=9a2，所以AC2+AD2=CD2。

由勾股定理的逆定理知三角形CAD是直角三角形。

所以角CAD=90°，角BAD=角BAC+角CAD=45°+90°=135°。

 

 

 

 

 

图1

（三）公式的逆用

根据所求式子的结构特征及要求，把已知式子变成公式的变形形式或逆用形式，再进行变形的方法叫公式的变形及逆用法。比如对于两角和与差正切公式

 

可以变形为

 

即显示了两角正切乘积与正切和与差的关系，若α+β是特殊角，可直接找出它们的关系。

例3：求tan17°+tan43°+    tan17°•tan43°的值。

分析：注意17°+43°=60°

解：因为   =tan60°=tan（17°+43°）=（tan17°+tan43°）／（1-tan17°tan43°）

所以 tan17°+tan43°=    （1-tan17°tan43°）

所以 原式=   （1-tan17°tan43°）+    tan17°•tan43°=    。

（四）反证法与分析法，待定系数法等的应用

反证法，分析法和待定系数法等重要的数学方法也都是通过逆向思维体现出来的。

例4：已知b=b1+b2，其中b1与a成正比例关系，b2与a成反比例关系，并且当a=1时，b=4；a=2时，b=5，求b与a之间存在的函数关系。

解：依题意，设b1=k1a,b2=k2／a，则b=b1+b2=k1a+k2／a。由已知条件可列方程组

 

解得k1=2，k2=2。因此，b与a之间的函数关系式为b=2a+2／a。

综上所述，在数学解题中，当应用常规正向思维受阻，或者需要迂回曲折才能找到答案时，改为应用逆向思维，往往能得到更为简单的解答，开拓出新的解答途径。因此，在平时的教学过程中，重视对学生逆向思维能力的培养，可以激发学生的学习兴趣，培养其数学思维，以及思维的敏捷性，并且有助于提高学生的综合能力，开发其智力。

参考文献：

[1]顾秀明.浅谈中学数学中逆向思维方法的应用—以定义、定理、公式的逆用为例[J].理科爱好者(教育教学),2009,1(4).

[2]张恩祥.试论逆向思维在高中数学中的应用[J].理科爱好者(教育教学版),2012,4(4).

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关键词：新课标；科学备考；提高；复习效率

高三数学复习量大面广、思想方法多，联系紧密，内涵丰富，相对于其他学科而言，内容抽象，逻辑严谨。因此不少学生既感到畏惧，又无从下手。另外高中数学内容多，复习时间紧，学生的学业负担较重。如何提高高三数学复习的针对性和实效性呢？因此在数学备考复习时，需要讲究方法，注重实效，老师要引领到位、不做无用之功，减轻学生的学习负担。

一、回归教材，构建完整的数学知识网络

教材是考试内容的媒介，是高考命题的重要依据，也是学生思维能力的生长点。只有吃透课本上的例题和习题，才能全面、系统地掌握基础知识、基本技能和基本方法及基本思想，构建完整的数学知识网络，以不变应万变。

重视数学基础知识、基本技能和基本数学思想方法的掌握和运用。基础知识、基本技能和基本数学思想方法仍是考生复习的重中之重，复习中要以课本例题、习题为载体，抓好基础题型和通性通法的熟练掌握，淡化特殊技巧。教师应通过教材练习题的重组、演变、推广，使学生从不同角度和不同侧面深入地把握问题的本质，形成理解数学概念、解决数学问题的基本活动经验。学生也应做到：课堂勤做笔记，课后认真思考，对任何问题先思考、后解答，对错题要经常反思总结，将平时每一次考试都当成高考一样认真对待，形成良好的应考心理、技能，以及规范答题的习惯。

二、强化基本概念的复习，培养学生的解题技巧

数学是概念的游戏，概念是实施数学教学和创造的源泉，没有概念，教学就无法入手，解题也就失去依据。因此在高中数学总复习中，必须牢牢把握高中数学概念的复习，使每个考生对高中数学考点中的概念做到心中有数，有的放矢，同时根据高中数学概念推导出相应的公式和定理。比如等差数列，首先应明确等差数列的概念，然后再根据等差数列的概念推导出等差数列的通项公式，通过等差数列通项公式的研究再找出等差数列的性质，在根据等差数列的和的定义，再推导出等差数列的前n项和公式与前n项和公式的相关性质。实际上，高中数学公式很多都是根据概念推导出来的，这样不仅熟悉了数学概念，同时也让学生掌握了公式的来龙去脉，展示了公式的推导过程，培养了学生的逻辑推理能力和数学公式的发现过程，极大的培养了学生的创造能力，因此公式、定理的推导过程本来就是一个再创造，再发现的过程。当然，还要注重知识间的联系与整合，加强数学知识网络交汇点处试题命制的研究，培养学生的解题策略和答题技巧。

三、注重数学思想和数学理性思维能力的培养

我们在总复习中既要重视数学思想、数学方法的复习，还要重视数学理性思维能力的复习。中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法主要有：数形结合思想、函数和方程思想、分类讨论思想、化归与转化思想。数学思想方法和数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时又应该领会它们在形成知识中的作用，到了复习阶段就应该对数学思想和数学基本方法进行疏理、总结、逐个认识它们的本质特征、思维程序或者操作程序，逐步做到自觉地、灵活地施用于所要解决的问题。实际上近几年的每一道高考试题几乎都考虑到数学思想或数学基本方法的运用，目的也是加强这些方面的考查。因此，在平时的复习中，就要有意识、有目的的加强数学思想和数学基本方法的总结、应用和反思。中学数学知识中所蕴涵的理性思维能力包括：逻辑推理、演绎证明、归纳抽象、直觉猜想、运算求解等方面的内容。在复习时，我们要有意识地从多角度、多纬度、多视野地提高数学思维能力，既不要只是局限于逻辑思维能力的练习，还要训练归纳抽象、直觉猜想、运算求解等，使自己的思维能力能够较全面地、系统地得到提高。

四、精选习题，强化训练，提高备考复习的有效性

高考要想取得好成绩，取决于扎实的基础知识、熟练的基本技能和解题能力。而这些能力的提高都需要通过适当有效的练习才能实现。第一轮复习应特别针对学生基础较差，动手能力不强，知识不能纵横联系的问题进行复习，达到重难点的突破，使学生打下坚实的基础。第二轮应在第一轮系统学习的基础上，利用专题复习，提高数学备考的针对性和有效性。第三轮综合模拟应在前两轮复习的基础上，通过做一定量的高考模拟试题，从而增强数学备考的针对性和应试能力。

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【关键词】高中数学；思维；能力

【中图分类号】G42 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5071(2012)03-0244-01

学生的思维能力一般是指正向思维即由因到果，分析顺理成章，和逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维。加强从正向思维转向逆向思维的培养，能有效地提高学生思维能力和创新意识。因此，在课堂教学中必须加强学生逆向思维能力的培养。传统的教学模式往往注重正向思维而淡化了逆向思维能力的培养。课堂教学结果表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神。为全面推进素质教育，加强对学生的各方面能力的培养，打破传统的教育理念，在此我从以下几方面谈谈学生的逆向思维的培养。

1 逆向思维在数学概念教学中的思考与训练

高中数学中的概念、定义总是双向的，不少教师在平时的教学中，只注意了从左到右的运用，于是形成了思维定势，对于逆用公式法则等很不习惯。因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展。例如：集合A是集合B的子集时，A交B就等于A，如果反过来，已知A交B等于A时，就可以用A是B的子集了。因此，在教学中应注意这方面的训练，以培养学生逆向应用概念的基本功。当然，在平常的教学中，教师本身应明确哪些定理的逆命题是真命题，才能适时训练学生。

2 逆向思维在数学公式逆用的教学

一般数学公式从左到右运用的而有时也会从右到左的运用，这样的转换正是由正向思维转到逆向思维的能力的体现。在不少数学习题的解决过程中，都需要将公式变形或将公式、法则逆过来用，而学生往往在解题时缺乏这种自觉性和基本功。因此，在教学中应注意这方面的训练，以培养学生逆向应用公式、法则的基本功。因此，当讲授完一个公式及其应用后，紧接着举一些公式的逆应用的例子，可以给学生一个完整、丰满的印象，开阔思维空间。在三角公式的逆向应用比比皆是。如两角和与差公式的逆应用，倍角公式的逆应用，诱导公式的逆应用，同角三角函数间的关系公式的逆应用等。又如同底数幂的乘法的逆应用。这组公式若正向思考只能解决部分问题，但解答不了全部问题，如果灵活逆用公式，则会出奇制胜。故逆向思维可充分发挥学生的思考能力，有利于思维广阔性的培养，也可大大刺激学生学习数学的主观能动性与探索数学奥秘的兴趣性。

3 逆向思维在数学逆定理的教学

高中数学中每个定理都有它的逆命题，但逆命题不一定成立，经过证明后成立即为逆定理。逆命题是寻找新定理的重要途径。在立体几何中，许多的性质与判定都有逆定理。如：三垂线定理及其逆定理的应用。直线与平面平行的性质与判定，平面与平面的平行的性质与判定，直线与平行垂直的性质与判定等，注意它的条件与结论的关系，加深对定理的理解和应用，重视逆定理的教学应用对开阔学生思维视野，活跃思维是非常有益的。

4 强化学生的逆向思维训练

一组逆向思维题的训练，即在一定的条件下，将已知和求证进行转化，变成一种与原题目似曾相似的新题型。在研究、解决问题的过程中，经常引导学生去做与习惯性思维方向相反的探索。其主要的思路是：顺推不行就考虑逆推；直接解决不了就考虑间接解决；从正面人手解决不了就考虑从问题的反面人手；探求问题的可能性有困难就考虑探求其不可能性；用一种命题无法解决就考虑转换成另一种等价的命题。正确而又巧妙地运用逆向转换的思维方法解数学题，常常能使人茅塞顿开，突破思维的定势，使思维进入新的境界，这是逆向思维的主要形式。经常进行这些有针对性的“逆向变式”训练，创设问题情境，对逆向思维的形成起着很大作用。

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高中数学解题方式思维模式学生在进入高中后，改变的不仅仅是学习的内容，学生自身的心智和思维模式也有较大的改变。学生在思想成长的阶段，会出现种种的问题，这些问题会直接影响学生的学习情况，特别是数学。因为高中阶段数学的难度将进一步加大，内容增多，因此学生解题的方式应更加的多样化。因此，高中数学教学，首先要从学生解题过程中的思维模式入手，同时改变课堂教学的方式和内容，以此提高学生的学习成果。

一、“一题多解”在数学教学中的价值与实践

（一）价值与实践

在未来的社会发展中需求的人才将是多元化、多样化的，统一性思维的教育模式已经不再适用于现代社会。因此，在高中数学教学中，“一题多解”的教学理念，是以学生学习为主，改变以老师为主导地位的教学模式。因为每一个学生的受教育情况、性格、思维模式都不相同，因此一个固定性的解题方式不能最有效的适用于每一个学生，所以在数学教学的解题过程中，老师应引导学生多角度的去分析问题，让学生去探究、发现多样化的解题方式。“一题多解”的根本在于问题本身，老师在创设和选择问题时，首先应考虑到问题自身是否具备多样化的解答模式。同时，在培养学生多样化解题思维时，应注意调动学生解题的积极性，被动、消极的解题态度很难让学生产生多样化的解题思维。所以针对这方面数学问题的内容应结合学生平时感兴趣的东西，让学生自觉的参与到多样化的解题中。如有的学生喜欢足球，老师就把其融入习题中，让学生用原本感到枯燥的公式，运算他喜欢的与足球相关的问题。比如，把导数运用在足球比赛中，让学生利用数学知识去运算前锋进攻时的最大速度和球速，后卫回防时的最大速度等。接着老师可以以最快、最有效的进攻和防守为问题，让学生去尝试更多的解题方法。

（二）让解题过程“活动”起来

很多学生在课堂上，只会盲目的记笔记，然后把公式套用在课本上的练习题，刚开始可能觉得这个方法用起来得心应手，当出现了需要灵活运用多个公式或数学知识的时候，学生就会手足无措。因此，在课堂上，老师可以带领学生一起动手，利用一些模型或是画图，来让学生亲自感受数学知识、元素的变化，以此增加学生解题思维的灵活性。以前学生在解题时，往往只注视着一个静止的数学问题和图形，从而忽略了其在解题过程时发生的变化。比如，在讲到三角形函数的正弦、余弦定理时，可以让学生练习用图形发生的变化代替公式的每一个步骤，让学生数学的应用意识在大脑和手上动起来，以此改变大脑中的固态解题思维。中科院院士张景中也说道“数学就是动手算一算、画一画、量一量”。而在这一过程中，学生可以学会如何不再依赖老师而进行多样化探索数学知识的方法。

二、“多题一解”在数学教学中的价值与实践

这里的“多题一解”指的并不是套用公式统一的解题方式，而是适用于同种类型的解题思路。在数学问题中，有很多是涉及的知识点比较类似或相近，用或是属于同种数学领域的知识。如立体几何、平面几何，其中含有的知识点、公式非常之多，变化又较复杂，因此适用于同领域数学问题的解题思路，可以改变学生解题时无从下手的情况，令学生找到解题的切入点。所以老师在设计、选择数学问题时，首先要保证其拥有关联性，如在教授几何知识的时候，可以把问题与学生的成长环境相结合，即家庭基本环境。包括学生居住房子的整体面积和体积的计算，点、线、面之间的关系则可以应用于房子内床、桌子、衣柜等家具与地面、墙壁的关系等。这样把数学与学生的生活联系在一起，可以增加学生的熟悉感，减少、减轻解题过程中出现混乱思维的情况，接着老师把学生需要解答的各问题的方向进行统一化。如卧室、客厅、厨房等面积的最有效使用方法，书桌、书柜面积的最合理规划，以此同领域的问题，来培养学生“多题一解”的解题思路。

三、数学笔记的合理应用

这里的笔记，指的不单是把老师讲过的数学公式、知识点进行整合的笔记，而是解题思路、解题例子的整合。其中包括解题过程中哪一个步骤最容易出现问题，需要注意的问题都有什么等，无论是多样化的解题方式或统一性的解题思路，其中的问题都可能会反复出现。所以数学笔记，是学生在解题过程中对疑难点产生的原因、分析的过程和最后的解决方法的一个总结，这也是帮助学生解题的重要资源。

四、结语

在“一题多解”和“多题一解”的高中数学教学中，老师需要注意让学生认清两者之间的联系和区别，前者可以说是根本不同学生不同情况去探索适合自己的解题方式，而后者则是适用于同领域、同范围内数学解题过程中的一种思考模式。在教学实践中教师应该有意识的加强学生主动寻找多种解法，这样有助于活跃学生思维，锻炼结题的灵活性，能够卓有成效地开拓学生的创新思维空间，使学生把所学过的知识融会贯通，使知识系统化，更灵活地运用知识，有利于提高归纳、综合、创新与探究等能力，提升综合素质和综合运用能力。

参考文献：

[1]朱扬德.“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的应用[J].中学生数理化，2015，（07）：12.

[2]谭珊.利用多题一解和一题多解方法提高学生的数学解题能力[J].生活教育，2014，（14）：57-58.

[3]汪孝培.谈谈“多题一解”.数学教学通讯，1981，（04）.

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关键词：新课标 高中数学 学习能力

数学是一门与我们的生活息息相关的学科，是一门研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学是自然科学，有它自身的规律。因此学习数学有它的一套方法在高中数学学习过程中，许多学生遭遇到困难，那么我们怎样才能学好数学呢？下面我根据新课程标准谈谈学习方法：

一、要注重“双基”的学习

课程标要求“获得必要数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会蕴涵的数学思想和方法，以及它在后续学习中的作用。”根据这一需要我们在学习中要注重“双基”的学习，且“双基”是学习其它内容的基础，我们一定要很好的掌握它。

二、勤思考、善总结

课程标准要求“通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程”，要达到这个目的，我们必须勤思考、善总结，特别是数学的学习不同于其他科目，定义、定理、公式也需要记忆，但不能死记硬背，应在理解的基础上去记忆，要理解它们的本质。搞清定理、公式成立的条件、用途等。对于一个题目，不能满足于会做，还应思考为什么这样做，有没有更好的方法，与已做过的题目进行区别与联系，达到举一反三，触类旁通的程度。勤于思考才能做到知识的灵活运用，不断提高自己的创新能力。归纳、总结是完善知识结构，提高各种能力的最佳方式。学完一单元或一章后，可归纳、总结本单元的知识结构，与前后知识的联系，有那些规律和方法，通过总结，逐步把书本的知识变为自己的知识。只有这样才能既学到知识又培养能力。

三、观察和动手练习相结合

“提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理的基本能力。”因此，在学习中要会观察。观察是获取知识的先导，解决问题的关键，不仅要勤于观察，而且善于观察，这样才能较快地掌握知识，突破难点。不论是数学概念的抽象概括，数学公式定理的发现推导，还是数学问题的解答与论证，都要多观察，在此基础上再进行类比、归纳、分析，来培养空间想象力及抽象概括能力。要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的练习以提高推理论证、运算求解、数据处理的基本能力。

四、多感观参与提高能力

“提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。”所以要全身心地投入学习之中，做到耳到、眼到、心到、口到、手到。耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，看是否对自己有所启发。眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻的接受老师所要表达的思想。心到：就是用心思考，跟上老师的教学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。手到：就是在听、看、想、说的基础上划出教材的重点，记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维的见解。将听课中的要点、思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。

五、自我培养学习数学的兴趣

德国教育家第斯多惠曾指出：“教学的艺术不在于教授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。”人的思维过程始于问题情境，问题情境具有情感上的吸引力，恰当的教学情境，能使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，能唤起学生学习的兴趣和强烈的求知欲望，促使他们保持持久的学习热情，从而获得最佳的学习效果。现代教育心理学的研究表明：学生对某一学科的兴趣直接影响着学生对该学科的学习。可以说，一个学习谋一门成功的关键在于是否有对该学科的兴趣，并使之能长久地保持下去，我们学生不仅仅依靠教师培养学习数学的兴趣，更重要的是自我培养学习数学的兴趣。

六、注重理论联系实际实际进行建模

应用型问题的一般解题步骤是：分析实际问题构建数学模型建立数学关系式解数学关系式回归实际问题，其关键是如何构建数学模型。因为实际问题各式各样，千差万别，所以数学应用型问题也就千姿百态，各不相同；而且应用型问题的文字一般较多，数学关系比较分散、难找。但从数学的角度进行概括、抽象、分析，那么应用型问题就变成数学形式或数学模学习数学的目的是应用数学，平时在教学中有意识的安排一些方案的设计，既锻炼了学生的思维品质，又让学生体验到了学习数学的乐趣，更为学生进一步深入学习数学打下了良好的基础。如果学生真能够做到会灵活的构建数学模型，那么我想我们的应用能力就不言而喻了。

总的来说，学数学不能只是模仿与记忆，也不能只是动手做一做，与别人议一议，它更需要思考与表达、猜测与推理。在教学过程中，教师要找准角色定位，积极地对学生进行合理的引导和训练，学生要充分发挥主观能动性，注重“双基”的学习，勤思考、善总结，注重观察和动手练习相结合，多感观参与提高能力，自我培养学习数学的兴趣，并注重理论联系实际实际进行建模。

参考文献：

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[4]刘高锋.新课改下高中数学分析和解决问题能力的培养策略[J].新课程（教研），2011（04）.

[5]王昌启.初高中学生能力的衔接我是这样培养的[J].才智，2010（36）.

[6]贾文霞.浅谈高中数学反思能力的培养[J].科学大众（科学教育），2010（02）.

[7]李秀英.高中数学建模教学中的认识[J].学苑教育，2011（08）.

[8]童晓花.让数学课堂在智慧预设中有效生成[J].现代阅读（教育版），2011（19）.