高中函数数学知识点范文

导语：如何才能写好一篇高中函数数学知识点，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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知识的确是天空中伟大的太阳，它那万道光芒投下了生命，投下了力量。下面小编给大家分享一些高中数学函数知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!

高中数学函数知识点11.函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);

(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

2.复合函数

(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;

(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;

(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;

点击查看：高中数学知识点总结

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;

(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;

5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);

6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;

(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

8.判断对应是否为映射时，抓住两点：

(1)A中元素必须都有象且唯一;

(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：

(1)定义域上的单调函数必有反函数;

(2)奇函数的反函数也是奇函数;

(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

(4)周期函数不存在反函数;

(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;

(6)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题;

13.恒成立问题的处理方法：(1)分离参数法;

(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解。

高中数学函数知识点2奇偶性

注图：(1)为奇函数(2)为偶函数

1.定义

一般地，对于函数f(x)

(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。

(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2.奇偶函数图像的特征：

定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称

点(x,y)(-x,-y)

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算

(1) .两个偶函数相加所得的和为偶函数.

(2) .两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3) .一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4) .两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

(5) .两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6) .一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

定义域

(高中函数定义)设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，

(3)函数单调性法，

(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)基本不等式法等

高中数学函数知识点3对数函数

对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2)对数函数的值域为全部实数集合。

(3)函数总是通过(1，0)这点。

(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

(5)显然对数函数无界。

指数函数

指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到：

(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3) 函数图形都是下凹的。

(4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

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关键词： 高中数学 解题方法 审题 逻辑思维

高中数学解题最重要的是正确地把在课堂上学到的数学知识应用到题目解决中，当然学生打好扎实的数学知识基础是关键，有了基础知识积累，学生可以培养定式的解题思想与技巧模式，切忌在没有任何解题思想下胡乱展开题海战术，这样只会让学生越做越迷茫，越做越没有信心，因为每道题的不同而大伤脑筋。在老师的指导下，学生遵循基本法解题，并不时应用实用解题技巧才是高效率高收获的数学实力积累模式。按照解题基本法，在解题上解决高中数学问题一般分为两个阶段，在两个阶段中，运用不同解题思想与思考方法最终形成正确的解题思路。下面从两个阶段分别展开高中数学解题方法与技巧的探讨。

一、在审题阶段

高中数学问题有着基本的复杂性与抽象性，学生接触到一个稍陌生的题目之后，千万不要盲目就开始套用基本的解题法，如换原元、配方法等，这样或许会套中一个题目，使其直接解决，但失败的几率很大，很容易浪费有限的解答时间，并且有可能中了题目设置的陷阱得出错误的答案。因此，哪怕在考试中时间紧迫也不要忽视甚至直接忽略审题这一步骤。

拿到题目后的审题阶段，首先要将问题层层盘剥，过滤掉无用的和误导型的信息，把握题干的关键字，最后判定题目的本质与问题指向。在这个过程中需要的是学生严谨、逻辑性强的数学思考方式，要能够透过题干繁杂的数学元素看到本质的数学符号，甚至将具体实际阐述简化为抽象性的数据表达。

将问题简化后，就能通过问题的阐述看出其考查的知识点或知识面。这个时候需要的是学生的发散性数学思想，利用有限的数据联想出与答案的有效推导路线，如几何函数中是用图解法，还是代数运算需要学生联系平时类似问题解答方式的经验积累和给出条件的合理有效运用方法，最终确定解题思路。

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参考文献：

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关键词：数学；思想方法；高中数学；渗透

数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识；而数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系的过程，经过推导、运算和分析，以形成解释，判断和预言的方法。数学思想方法作为基础知识的重要组成部分，但又有别于基础知识。数学思想方法是对数学知识内容及其所使用方法的本质认识，是用于对数学问题的认识、处理和解决，用于指导人们解题，求解数学问题的重要的思想方法。下面结合教学实践谈谈如何在高中课堂教学中渗透数学思想与方法。

一、在知识的生成中渗透数学思想方法

数学知识的发生过程实际上也是数学思想方法的发生过程。任何一个概念，都经历着由感性到理性的抽象概括过程；任何一个规律，都经历着由特殊到一般的归纳过程。如果我们把这些认识过程返璞归真，在教师的引导下，让学生以探索者的姿态出现，去参与概念的形成和规律的揭示过程，学生获得的就不仅是数学概念、定理、法则，更重要的是发展了抽象概括的思维和归纳的思维，还可以养成良好的思维品质.因此，概念的形成过程、结论的推导过程、规律的被揭示过程都是渗透数学思想方法的极好机会和途径。如函数的概念学生在初中阶段就已经接触，但较完整的定义却在高中出现。如何在函数概念的教学中渗透函数思想呢？笔者认为：中学数学中的函数思想包括变数思想、集合的对应（映射）思想、数形结合的思想、研究函数自变量、函数取值范围以及变量之间关系的不等式控制思想等。其中变数思想是函数思想的基础，对应思想是函数思想的实质，数形结合思想和控制思想是函数思想的具体体现和应用。因此，根据高一学生的认知水平，在函数概念教学时应该抓住函数是两个变量之间的一种特殊的对应（映射）的思想进行渗透，可以通过丰富的实例，让学生体会函数是描述变量间的依赖关系的重要数学模型。

二、在问题的解决过程中渗透数学思想方法

问题是数学的心脏，数学问题的解决过程实质是命题的不断变换和数学思想方法的反复运用过程。问题解决是以思考为内涵，以问题目标为定向的心理活动。数学领域中的问题解决与其他科学领域用数学去解决问题不同，数学领域里的问题解决不仅关心问题的结果，而且关心求得结果的过程，即问题解决的整个思考过程。通过问题解决可以培养数学意识，构建数学模型，提供数学想象；伴以实际操作，可以诱发创造动机，可以把数学嵌入活的思维活动之中，并不断在学数学、用数学的过程中，引导学生学习知识、掌握方法、形成思想，促进思维能力的发展。

数学问题的解决过程是用“不变”的数学思想和方法去解决不断“变换”的数学命题，在数学问题的解决过程中渗透数学思想和方法，不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且还可以达到会一题而明一路，通一类的效果。

三、将数形结合思想渗透到试题分析和讲解中

数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，数学内容的“数”与“形”决定了几何与代数的联系。数形结合就是把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，即数式与图形、数量关系与空间形式的结合，根据具体数学问题，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题互相转化，从而使问题得以解决.具体解题中的数形结合，是指对问题既进行几何直观的呈现，又进行代数抽象的揭示，两方面相辅相成，而不是简单的代数问题用几何方法，或几何问题用代数方法来解决，这两方面只有双向的信息沟通才是完整的数形结合。数形结合的解题思想方法，其本质是“数”与“形”之间的相互转换。“数形结合”就是以数学问题的条件和结论之间的内在联系为依据，在分析其代数意义的同时揭示其几何的直观意义的解决数学问题的方法。从而使数量间的空间形式的直观形象和代数数据的精确和谐并巧妙的相结合。

四、在复习与小结中提炼、概括数学思想方法

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【关键词】 快乐教学 热点 有效途径

【中图分类号】 G623.5 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2012）08（b）-0031-01

目前中职学校学生的数学基础较差，他们对数学学习也就没有太大兴趣，这也严为教师在教学过程中造成了较大的困难。因此，教师就要探讨如何提高中职学生学习数学的兴趣，从而提高中职数学教学的质量和教学效率。

1 加入生活元素，让学生在实践中体验快乐

所谓数学，既来源生活，也体现生活。因此，教师在数学教学过程中，要注入生活元素，让学生从生活中体验学习数学的乐趣。比如，教师在讲到有关概率的知识的时候，就可以用硬币和骰子等贴近生活的教学工具，让学生通过生活实践，来体会数学知识。

例如：某学校为了举办校庆，开办了庆节抽奖活动，马明来到抽奖活动场地，活动举办人对马明说：“这里有M、N两个纸盒子，而且里面都分别装有一些小球，但是你只能从其中的一只盒子中摸球。”

活动获奖规则如下：在M盒中有黄色乒乓球4个，绿色乒乓球2个，一人只能摸一次且一次摸出一个球，若为绿球则可获得玩具熊一个，否则不得奖；在N盒中有黄色小球2个，绿色小球2个，要求一人只允许摸一次且一次摸出两个球，若两球均为绿色小球那么就可以拿到一个电玩熊，否则就拿不到奖品。

那么，请问马明在哪只盒子内摸到两个绿色小球的机率更大些？说明你的理由.

解答：把马明从M盒中抽出绿色小球的概率记为PM.把马明从N盒中抽出绿色小球的概率记为PN，那么PM=2/（4+2）=1/3，

马明从N盒中摸出两球的所有可能出现的结果为：黄黄，绿黄，黄绿，绿绿，共4种结果，且4种结果出现的可能性相等，把马明从B盒中抽出两个绿球的概率记为PN，

则PN=1/4，PM>PN，马明在M盒中摸球获得电玩熊的概率最大。

根据观察分析，此题就是采用了学生最为熟悉的生活情景作为例题，引起学生的关注，这样，就可以充分调动学生的积极性。因此，学生会分析：根据把B盒中的两个黄球记为黄1，黄2，两个绿球记作绿1，绿2，马明从B盒中摸出两球的所有可能出现的结果为：黄黄，绿黄，黄绿，绿绿，且4种结果出现的可能性相等，即可得出答案。

因此，教师要教学的过程中，要引入生活元素，使得生活服务于数学，让学生从现实生活中学习知识，增加学生学习数学的乐趣。

2 加强数学思想方法的渗透，激发学生学习数学的快乐感

数学教学中数学思想方法的应用，可以有效地构建学生的数学思想体，而且数学思想方法也是比较有效的学习数学的工具。所以教师要将数学思想方法渗透到数学教学中，提高学生解决问题的能力。在这里我们举例说明一下：

例如：已知函数y=kx与函数y=b/x相交于点M（1，y）、点N（x，-2），那么请用用数形结合的方法，结合自已的经验解决以下两个问题：

（1）求出b+k的值.（2）当x为何值时，kx>b/x.

分析：（1）先根据题意可知M、N两点关于原点对称，即x=-1，y=2，把点M（1，2）分别代入正比例函数y=kx与反比例函数y=b/x.求得b，k的值，所以可得b+k=4；（2）kx>b/x，即2x>2/x，解得不等式即可。

解答：解：（1）因为反比例函数是中心对称图形， 所以M、N两点关于原点对称，

即x=-1，y=2。 把点M（1，2）分别代入正比例函数y=kx与反比例函数y=b/x，得k=2，b=2，

所以b+k=4；（2）kx>b/x，即2x>2/x， 解得x>1或-1

本题就是利用函数数形结合的思想方法，综合考查正反比例函数与方程以及不等式等知识点。先由点的坐标求函数解析式，根据不等关系解x的范围，找出解决问题的关键信息，体现了数形结合的思想。

例二：已知关于x的方程|x-2|+|x-3|=b，研究b存在的条件，对这个方程的解进行讨论。

分析：方程解的情况取决于b的情况，而b与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键。运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解。

解答：（1）当x≤2时，原式=2-x+3-x=bb=5-2xb≥1 （2）当23时，原式=x-2+x-3=bb=2x-5b>1

这道题运用的数学思想有：分类讨论思想等和方程思想，题中给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究.

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关键词：中等职业院校 数学教学 数学建模思想 教学改革

数学建模思想在数学教学活动中已经得到广泛的认可，在不同阶段、不同层次的教学中取得了良好的教学效果。但是对于中职教育而言，数学教学体系的构建并不完善，出于学生基本情况、数学教材使用情况、数学教学认知与能力水平情况的影响，数学建模思想尚未完全运用于中职数学教学实践中。为了中职数学更深层次的教学改革，本文以理论联系实际的方式，从实践教学的视角对数学建模思想在中职数学教学中的应用进行深入的分析。

一、中职数学教学中数学建模思想运用可行性分析

数学建模思想在中职数学教学中运用是否具备可行性，需要结合实际进行调查验证。为了完成本文的研究，对笔者所在学校所开展的数学教学实际情况、学生数学学习实际情况进行了详细的调查分析。调查采用问卷调查的方式，包括学校学生数学应用能力、数学建模思想解决实际数学问题的社会需求、数学建模思想在当前中职院校数学教学中体现情况以及学生对数学建模思想的认知四个方面。

调查结果显示，笔者所在学校学生在数学建模正确率、验证模型正确率方面的表现差强人意，表明学生在数学知识的实际运用上并未表现出应有的水平。对中职院校的数学课本抽样调查结果发现，虽然绝大多数数学教材的设计已经涉及了数学建模思想，但是培养学生数学应用能力方面的内容仍然欠缺；在中职数学所能够涉及的社会岗位抽样调查结果显示，比如资源环境领域、物流运输领域等对运用数学建模思想解决实际数学问题的能力需求空间巨大。

对学生的综合问卷调查结果则表明，超过80%的学生认为数学建模能力的建立十分必要，对于其以后的就业具有积极的帮助，他们乐于接受数学学习中的数学建模能力构建。从这些实际调查结果可知，当前中职数学教学中引入数学建模思想具有较强的可行性。

二、数学建模思想在中职数学课堂教学过程中的构建

1.融入数学建模思想的中职数学课堂

融入数学建模思想的中职数学课堂教学与其他教学模式一样，同样需要经过五个基本步骤，而且在每个步骤中需要结合数学建模思想的特征、优势、原则、规律以及中职学生数学学习的基本情况进行针对性的课堂设置，并且课堂教学整体上要遵循构建主义理论。

首先在备课阶段，教师需要对构建主义、人本主义以及数学建模思想、中职数学教学内容、中职学生基本情况具有充分的了解和认知，以全新的数学建模教学观念准备教学材料；其次在课堂引入阶段，教师在备课时已准备的丰富教学素材的基础上，以构建主义要求导入新知识，尤以数学软件进行教学演示为宜；再次在引导教学阶段，教师引导学生对新知识进一步挖掘，遵循启发引导、循序渐进的原则；第四在课堂结束阶段，通过一堂课的教学，学生对所学的数学建模知识获得了基本的了解和掌握，在结束阶段需要进一步总结以巩固学生的数学建模思想；最后在课后的巩固阶段，以传统的课外作业和学期测评方式对学生进行考核评价，使学生及时发现问题并分析和解决问题，使数学建模知识得到进一步巩固。

2.中职数学基础知识的铺垫

从整体上来看，中职数学教学中的数学建模能力的培养是一个系统工程，需要经历一系列的步骤，而基础知识的铺垫则被视为第一步。在中职数学基础知识的铺垫阶段，通常所采取的教学方式为“讲解-传授”式，要求教师自身对数学建模思想具有足够的了解和掌握，然后结合自己的了解和实践，以讲解的方式向学生传授数学建模的基础知识，以使学生对数学建模具有初步的认知，进而引导和帮助学生建立基础的数学知识体系和数学建模基础知识体系。此外，在教师进行数学建模讲解时，除基础认知之外，还需要引导学生对数学建模的基本运用方法进行初步的感悟，并建立系统的数学基础语言体系。

3.数学建模思想融入课堂的教学阶段

在中职学生获得初步的数学建模基础知识后，应在数学教师的引导下进入下一阶段的学习，即课堂融入阶段。在中职数学教学中，数学建模思想的课堂融入通常以“活动―参与”的教学模式，其强调数学建模课堂教学中学生的主动参与性，突出学生在学习中的主体地位。数学建模融入课堂教学阶段至关重要，对教师本身的素质和要求较高，要求教师对课堂教学具有整体的、灵活的把握能力。课堂融入阶段通常包括情景创设、师生合作活动探索、师生交流和讨论、师生总结与研究拓展、课后实践活动五个步骤。

4.中职学生数学建模思想的应用

中职教育对人才培养具有较高的实际运用能力要求，这就需要中职数学教学同样要求实际应用能力的训练和锻炼。经过以上阶段的教学实施之后，中职学生基本获得了系统数学知识和基本的数学建模能力，接下来需要在教师的引导下进入实践应用联系阶段。该阶段的目的在于锻炼学生自主完成数学实习作业、体会运用数学建模思想模拟解决实际数学问题的经过，进而巩固学生的建模思想。

在该阶段，教师应该坚持学生自主的原则，指导学生完成自我检验和自我修正。学生的自主练习可采取独立完成、小组合作完成等形式，数学实习作业题的设置则需要难易适中，能够给学生预留足够的发挥空间。

三、中职数学建模思想的教学应用实践

在中职数学建模教学中，教师设计的教学内容应以日常生活中遇到的数学问题为例，这样能够强化学生的理解和记忆。

比如在基础知识铺垫阶段，以城市用水收费标准为例来引导学生学习分段函数，使其结合自身日常生活中经常遇到的事情来加深对数学基础知识的理解，并在此基础上引导学生对日常生活中常见的涉及分段函数知识点的案例进行常识性应用和巩固，比如出租车的收费模式等。

而在数学建模思想融入课堂教学阶段，可在学生已掌握知识点基础上，教师设置情境进行互动性学习，比如“函数知识在手机卡计费中的应用”，教师创设情境，让学生通过建立函数模型来解决实际问题。

数学建模思想的实际应用是中职数学教学的最终目的，在此阶段，教师不妨将实际生活中的问题设计成数学案例，要求学生在课余时间独立或以团队合作的方式完成练习。

例如：某蔬菜大棚黄瓜种植中，由于菜农对于市场行情并没有准确合理地把握，因此对出售价格和时间的关系掌握不准，进而无法确定最佳经济收入。在这个背景下，请学生结合历年市场发展趋势与行情解决如下问题：建立黄瓜市场出售时间与价格的函数关系，并解释市场发展趋势；建立黄瓜种植时间与成本的函数关系，并解释成本的变化原因；在哪个时间段上市能够使菜农获得最大收益？

学生通过团队配合所做出的最佳方案如下。

第一步，进行市场调研，包括网络资料搜集与蔬菜市场实地调研。经过为期三天的调研，学生获得了2015年2月15日起300天的市场资料和数据，在经过教师的指导后，学生通过直角坐标系下的离散点图找到了市场变化趋势，成功地将日常生活中的实际问题转化成为了数学问题。

第二步，学生结合300天的数据进行了模型假设，即假设一：所搜集到的数据为真实可靠的数据；假设二：种植成本与市场售价间的差额为菜农的实际纯收益。

第三步，在该问题的关键点上引入建模思想，即种植成本与上市时间在2月15日起第150天时出现最低拐点，而市场售价与上市时间关系函数则在2月15日起第200天时出现最低拐点。在该处引入建模思想，可以得出种植成本Q与时间t之间的函数关系，以及市场售价P与时间t之间的函数关系。

对所出现的两个时间拐点而言，由于气候的影响，黄瓜在资料时间起点后的150天进入高产期，种植成本达到最低，此后黄瓜的市场供给开始增加，进而在此后的50天左右，市场供给达到最大化，造成市场售价最低，之后随着产量的减少，市场供需逐渐平衡，市场售价也开始回升。将生产成本与实践的关系函数进行整理，然后将其与销售价格和时间的关系函数进行整合，得出生产成本、销售时间、市场售价之间的综合函数，在此函数的基础上对时间区间进行计算，便可得到最佳值。

第四步，讨论分析，假设菜农的最大收益为K，则K=P-Q，那么：

当100≤P≤300而且0≤t≤200时，那么当P=250且t=50时，K得到最大值为100；

当100≤P≤300而且200≤t≤300时，在P与t的限制条件下，P取值400无意义，因此P应当取值300，对应的t取值300，此时K值为87.5；

由以上分析可知，当从2月15日起第50天时，菜农选择上市所获得的收益最大。

在学生完成此案例之后，一方面可以使学生对数学知识的实际运用获得了直观的认知，另一方面也培养了中职学生的数学应用能力。

四、实践教学效果分析

在笔者所在学校数学建模思想实践教学实施一段时间之后，采用问卷调查的方式分别对学生和教师进行了调查。结果显示，学生对于该模式的教学认可度明显提升，并表现出积极的兴趣和主动的参与，而且阶段性的测试结果也表明其数学成绩获得了明显的提升。实践应用结果表明，数学建模思想在中职数学教学中的应用明显改变了中职生学习数学的态度，学习的积极性和兴趣不断提升，学习方式也由原来的被动模式转变为主动模式，学生的综合能力和学习成绩大大提升。

此外，对教师的调查结果也显示，教师也更乐于采用此类教学方式，更乐于引入数学建模思想来进行中职数学教学。综合实践表明，中职数学教学中融入数学建模思想的教学模式具有推广价值。

参考文献：

[1]李涛.中等职业学校数学建模课程建设之研究[D].鲁东大学，2013.

[2]王娟，侯玉双.数学建模思想在数学分析课程教学中的应用[J].科技信息，2013（23）.

篇6

关键词： 中职生 数学学习兴趣 课堂教学效率

中职生一般都是经过各类高中层层选拔后剩下来的学生，这些学生因各种原因，数学基础差，逐渐失去了学习数学的兴趣。数学是中职学校的一门重要基础课程，是各类专业学生必修的主要文化基础课，对数学学科缺乏兴趣，导致数学课堂教学效果不好，严重制约了中职学生学习其它专业的能力和信心。著名数学家华罗庚说：“有了兴趣就会乐此不疲，好之不倦，因而也就会挤时间来学习了。”如果学生对数学没有兴趣，就会视数学学习为一种苦役，也就不可能心情愉快地进行学习。因此，充分调动起学生的学习积极性，以及培养学生学习数学的兴趣和良好的学习习惯，对于优化中职学校数学教学质量具有十分重要的意义。如何培养中职学生学习数学的兴趣，我认为应从以下几方面着手。

一、老师要接纳和尊重学生，建立良好的师生关系

一般说来，大部分中职生由于在初中时数学成绩掉队，属于所谓的“差生”，经常被学校和教师批评，因此他们的内心很脆弱，经受不住打击。进入中职学校后，换了环境，渴望老师对自己“以诚相待”，不歧视，不讽刺，不打击，不揭短，有怕遭冷落的共同心理。融洽的师生感情是不断提高数学教学质量的基础和前提。因此，教师对学生要抱有诚挚的爱，平等尊重，做到晓之以理，动之以情，学生便能“亲其师，信其道”。这样才能建立起良好的师生关系。老师心中有学生，学生心中才会有老师，师生感情上的一致性，会引起双方信息的共振，此时学生的接受能力最强，教学效果最好。当学生有所进步时，老师要及时给予鼓励、肯定和表扬。所以，教师不仅要注意自己的形象，而且要爱生如子，言传身教，为人师表，注意对学生情感方面的教育。

二、给数学增添更多的人文色彩

数学常被学生视为最理性的学科，数学教师也被称为最理性的教师。数学课上很少有对学生的情感教育，要像语文课一样煽情似乎就更不可能了。其实，教师可以深挖相关的数学史实及数学家的奇闻轶事，让学生感受数学的人文之美。如果教师在课堂上适当讲一些与学习有关的数学趣事，可以令学生对所学的内容留下深刻的印象，也会让他们产生学习的动力。因此，教师结合教材，在教学过程中适时、适当地向学生介绍与数学相关的人文知识，能提高学生学习数学的兴趣，激发求知欲。

数学学科蕴藏着大量美的因素，从概念到结论、从定义到公式、从外表到结构、从形式到内容、从理论到实践，无一不体现出美的特征。例如“勾三股四弦五”体现了直角三角形中的奇异美（特殊性），又体现了统一美。而对于一般三角形，这种统一美又得到了突破，得到余弦定理，充分显示了数学的动静美和简、美、真的规律。数学美是客观存在的，教学中，教师若能采取各种方式向学生展现和揭示数学美，就能引发学生追求数学美的心理倾向，使他们感到学习数学是一种美的享受，从而热情高涨地投入学习。

三、改善教学内容，让数学贴近生活和专业实际

数学源于生活，根植于生活。数学教学就要从学生的生活经验和已有的知识点出发，让数学问题生活化，让数学贴近学生专业特色，从而调动学生学习积极性，增强学习数学的趣味性。尤其是对于中职生，更应该联系生活实际和学生专业特色来培养他们的学习兴趣。长期以来，为什么一些学生对数学不感兴趣，甚至对数学学习产生恐惧心理呢?其主要原因是：数学离学生的生活太远，令他们感到数学枯燥、抽象难学。

数学来源于生活，必须为生活服务，把数学生活化，学生的学习兴趣必然大增。教学中可以把股市涨跌的“时间之窗”与数列中的斐波那契数列联系起来。学习了排列组合和概率，可以和学生探讨我国推出的“福利彩票”、“体育彩票”的中奖问题，以及银行贷款、房款按揭、峰谷用电、居民储蓄等关乎每个家庭的经济问题。又如：增长率、企业成本与利润的核算、市场调查与分析、比赛场次安排问题，等等，都可以让学生感受到数学应用的广泛性，并明确数学可以帮助他们更好地认识自然和人类社会，更好地适应生活。因此，教师在教学过程中应注意指导学生应用所学的数学知识去解决日常生活中的实际问题，努力架设起一座通向数学宫殿的兴趣之桥，使学生在这一实践过程中去发现兴趣的源泉，并在解决问题的同时感受到自己的劳动所取得的成就，体验到战胜困难后的欢乐。这样，学习数学的兴趣就能得到持续发展和进一步开拓。

另外，中等职业学校的数学教学，既要满足未来公民的基本教学要求，又要为学生进一步的学习提供必要的数学准备，更要突出地为现行的专业教学服务。这就要求我们在文化课教学中，要经常有意识地了解专业技能中需要的专业知识，熟悉专业问题中应用到的数学知识。在每一个知识点学完后都安排一些结合所学的专业或实际问题的简单应用，让学生“学中做，做中学”，并加强与其他专业课程的联系。如讲完函数及不等式的知识后，向学生介绍需求函数、成本核算、利润函数等应用于企业管理上的问题；在三角函数知识学完后，可以介绍三角函数在简谐振动、正弦交流电等电子电工中的应用问题。如此一来，使学生觉得学好数学非常重要，处处都离不开数学。这样不但能够激发学生学习数学的兴趣，而且能够为学生学好数学增加动力，从而达到突出应用，为专业服务的目的。

四、充分利用课堂教学环节

课堂教学是目前中学数学教学的基本组织形式，是其教学过程中最重要的环节。教师应精心设计课堂教学，充分激发学生学习数学的兴趣，我认为应注意以下三个环节。

（一）注意课堂引入，创设教学情境，激发学生的学习兴趣。

在刚上课时，就要用有趣的故事或游戏诱发学习的兴趣，吸引学生的注意力。导入是教学过程的起始环节，它的一个重要的作用是引起学生的兴趣。有了兴趣，教学就有了动力，教学过程就有了活力，也就成功了一半。例如在学习“排列数”公式的引入时，可向学生提出：我市的电话号码由七位数字上升到八位数字，你能知道可以多装几部电话吗？又如讲“对数运算”的引入时，可先向学生提出一个容易接受但又很难猜准的问题：一张两毫米厚的硬纸皮，如果足够大，我们把纸皮对折再对折，当对折了100次后，这堆纸将有多高?在同学们做出种种猜测后，教师再告诉大家，其厚度远远超过珠穆朗玛峰的高度。这结果超出了习惯的直觉，学生们好奇、怀疑、急于想知道是怎样算出来的。这就诱发了学生心理上的悬念，使其兴趣盎然，求知的热情油然而生，这时，教师若能抓住时机，及时转入正题，往往能收到事半功倍的教学效果。

（二）讲究教法，提高课堂教学质量。

由于中职生逻辑思维能力较差，因此根据教材内容的不同特点，教师在教法上要不拘一格，灵活多变。

1.要注意由浅入深、由易到难，尽量降低学习的起点和坡度，分散难点，给予模仿性学习的机会，同时还要加强变式训练，循序渐进，使学生理解、掌握知识的情况能及时得到反馈。

2.加强直观教学和多媒体辅导教学，应注意使用教具、挂图、电教片等方式进行直观教学，还要注意引进新的教学方式和手段，如采用多媒体技术、网络技术，使用教学软件、教学课件、电子教案等，从而丰富学习内容，扩大学习空间，提高教学效率和教学质量。

3.提高教学语言的艺术性。教师要随时观察全班学生的学习情绪，中职生上课容易开小差、注意力不集中。这时，教师应恰当运用艺术性的教学语言来活跃课堂气氛，唤起学生浓厚的学习兴趣，带领他们走入神奇的数学天地，使课堂教学生机盎然，有声有色。著名教育家夏尊曾说：“教育没有情感，没有爱，如同池塘里没有水一样，没有水就不能成为池塘，没有情感，没有爱，也就没有教育。”教学中要加强师生情感交流，以引起共鸣，教师在课堂上要以满腔热忱的爱去点燃学生自信的火种，用亲切的语言和表情，多鼓励、少指责，使学生以愉悦的心情投入学习。长此以往，学生对教师倍加信任，在愉悦的情境下，学习数学的兴趣会不断提高。

（三）重视课堂总结。

在教学结束时，教师不能简单地说一句“现在就讲到这里”，而应该千方百计为学生留下无穷的韵味和趣味。课堂结尾和开讲一样，是课堂的重要组成部分。成功的结尾会使整个讲述在归纳中得以升华。课堂总结应与生活实际联系起来，即在总结时用新知识解释生产、生活中的现象和问题，从而激发学生的兴趣。

总之，激发学生学习数学的兴趣，培养学生学习能力，是学习数学、探索数学的关键。因此，数学教师在教学中应积极利用数学的人文情怀，培养学生学习数学的兴趣；创设问题情境，联系学生生活实际和专业特色，激发数学学习的兴趣；努力探求教学内容与教学方法的最佳整合，提高学生数学学习的兴趣，从而提高中职数学课堂教学效率。

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关键词：高中数学；课堂教学；分层教学

高中阶段的数学学科教学与初中阶段的数学教学相比，更加偏重对学生数学独立学习能力的培养以及学生数学思维发散的引导，因此，数学教师需要在日常的课堂教学中通过分层教学实现数学教学的逻辑效果。一般来说，高中数学的分层教学主要依据课本教材的内容难易度以及学生自身数学学习能力和成绩的高低，决定课堂教学的步骤和内容安排。从某种程度上来说，分层教学可以对课堂教学氛围的调动和调节、学生学习习惯的培养、教学数量和质量的提高起着重要的作用和意义。笔者根据自身的教育教学经验以及教学案例分析来看，针对高中生的数学学科教学，分层形式的教学模式往往可以从上述几个方面探讨其中蕴含的意义和作用。

一、调节课堂积极的教学氛围

高中生在学习数学知识的过程中，通常不只是局限在课本教学的情境中，往往还需要积极配合教师的课堂教学活动，实现对数学原理和公式的深入把握和理解。分层教学在整个教学过程中往往会分阶段地以不同的形式表现出对课堂教学氛围的调节和调动。

首先，高中数学教师在进行新课程原理的讲授过程中，一方面需要对原理内偶然中的每个构成要素作出详尽的解析，另一方面还要注重对数学原理发生过程的讲解，逐层分析每个数学公式的步骤。学生们在数学教师这样的分层讲解中，一方面学习和收获到了新的数学原理知识，另一方面还能在教师的讲解中体会数学学习的逻辑性，继而逐步培养正确的数学学习思维。高中生们在明确理解数学原理的基础上，才能跟得上教师的课堂教学步骤，继而以认真积极的学习心态投入到接下来的数学互动中来，从某种意义上来说也是对数学课堂基础氛围的保证教学。

其次，高中生在数学教师的教学指导下理解了一定的数学原理和数学计算方式以后，往往还需要通过课堂活动和课下任务，锻炼和提高自身的数学学习能力，实现对数学原理的认知和运用的最终效果。学生在进行数学活动和课下任务的过程中，往往也需要在数学教师的分层教学引导下逐步有秩序的完成，例如，高中数学教师在教授函数类章节知识时，可以采取由易到难的教学形式鼓励和要求学生们在独立或合作中，不断锻炼和提高自身的解读能力。在课堂学习中，要求学生快速有效地解答课堂教师的提问和黑板解题演算；在课堂活动中，积极投入到互动和游戏中体会数学学习的智慧和乐趣；在课下任务中，及时进行数学原理的调查和思考，继而从中发现抒写原理运用的合理性和相关性，从而进一步发散和拓展数学思维。

二、培养学生良好的学习习惯

高中生在数学教师的分层教学中，一方面会逐步学习到数学原理知识，提高数学难题的解答演算能力，另一方面还会在多次的练习活动中逐渐培养良好的学习思维和学习习惯。这是数学课堂分层教学的重要目的，同时也能进一步刺激和提升学生数学学习的自信心和自觉性。一般情况下，分层教学对学生数学学习习惯的培养可以从两个方面表现出来，一种是正向培养，另一种就是反向纠正。

首先，在正向培养方面数学教师需要在日常的分层教学中，有目的、有意识的指导学生们认清数学原理中的各个关键要素，继而引导学生们在不同的数学题型中学会多种数学方法的灵活跳跃和运用。这是分层教学中对学生学习习惯培养的最直接表现，可以端正学生学习数学的态度，为今后的独立解答打下良好的基础。具体来看，数学教师在初步教授数学原理要素时，可以引导学生学会发现关键词和关键数字；在进行数学题目演算时可以鼓励学生们主动说出接下来的每一步的演算，提高学生课堂活动的主动性；在布置数学任务后，要求学生保质保量地完成课堂和课下作业，形成学与练相结合的数学学习方法。

其次，在反向纠正方面数学教师的分层教学可以刺激学生提高数学学习的注意力和反思力。针对学生们课堂和课下任务的完成错误情况，有针对性的对错题进行分层讲解，对由于做题不细致和不认真而导致的错题，数学教师应当严格要求，并指导学生进行自主独立的改正；对由于题目复杂而导致的错题，数学教师更应该在错题的讲练中进行分层解析，让学生弄懂每一步的原因，继而能够保证在今后遇到相同题型时做到胸有成竹，建立起成熟完整的数学学习思路，并尽量避免由于粗心导致的不良学习习惯，进而提高高中生的数学学习效率。

三、保证质量的教学内容和教学效果

前文主要是从课堂教学范围和学生学习习惯培养两方面，探讨数学课堂分层教学的重要性。除此以外，分层教学最主要的教学意义，表现在保证和提高课堂的教学内容和教学效果，延伸数学学科的教学意义。

首先，高中数学教师的分层教学往往需要按照教学大纲的总体要求合理安排教学计划和教学步骤。学生们在数学教师的教学指导下，会由易及难地学习各类数学原理、数学公式，继而探究数学中的各类问题。就分层教学的内容来看，数学教师会从代数和几何两个层面进行教学，在代数数学方面，数学教师往往会通过数学案例引导学生逐层了解数学原理的形成过程，并在此基础上学会运用数学原理；在几何数学方面，数学教师需要借助各类二维或三维图形帮助解析数学原理，在弄清每个图形走向原理的基础上实现对几何原理的深入把握。