高中数学组合数范文

导语：如何才能写好一篇高中数学组合数，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

（1）使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；

（2）使学生掌握组合数的计算公式、组合数的性质用组合数与排列数之间的关系；

（3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；

（4）通过对排列、组合问题求解与剖析，培养学生学习兴趣和思维深刻性，学生具有严谨的学习态度。

教学建议

一、知识结构

二、重点难点分析

本小节的重点是组合的定义、组合数及组合数的公式，组合数的性质。难点是解组合的应用题。突破重点、难点的关键是对加法原理与乘法原理的掌握和应用，并将这两个原理的基本思想贯穿在解决组合应用题当中。

组合与组合数，也有上面类似的关系。从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合。所有这些不同的组合的个数叫做组合数。从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的一个集合（无序集），相当于一个组合，而这种集合的个数，就是相应的组合数。

解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步．切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）．

三、教法设计

1．对于基础较好的学生，建议把排列与组合的概念进行对比的进行学习，这样有利于搞请这两组概念的区别与联系．

2．学生与老师可以合编一些排列组合问题，如“45人中选出5人当班干部有多少种选法？”与“45人中选出5人分别担任班长、副班长、体委、学委、生委有多少种选法？”这是两个相近问题，同学们会根据自己身边的实际可以编出各种各样的具有特色的问题，教师要引导学生辨认哪个是排列问题，哪个是组合问题．这样既调动了学生学习的积极性，又在编题辨题中澄清了概念．

为了理解排列与组合的概念，建议大家学会画排列与组合的树图．如，从a,b,c,d4个元素中取出3个元素的排列树图与组合树图分别为：

排列树图

由排列树图得到，从a,b,c,d取出3个元素的所有排列有24个，它们分别是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb.

组合树图

由组合树图可得，从a,b,c,d中取出3个元素的组合有4个，它们是(abc),(abd),(acd),(bcd).

从以上两组树图清楚的告诉我们，排列树图是对称的，组合图式不是对称的，之所以排列树图具有对称性，是因为对于a,b,c,d四个字母哪一个都有在第一位的机会，哪一个都有在第二位的机会，哪一个都有在第三位的机会，而组合只考虑字母不考虑顺序，为实现无顺序的要求，我们可以限定a,b,c,d的顺序是从前至后，固定了死顺序等于无顺序，这样组合就有了自己的树图．

学会画组合树图，不仅有利于理解排列与组合的概念，还有助于推导组合数的计算公式．

3．排列组合的应用问题，教师应从简单问题问题入手，逐步到有一个附加条件的单纯排列问题或组合问题，最后在设及排列与组合的综合问题．

对于每一道题目，教师必须先让学生独立思考，在进行全班讨论，对于学生的每一种解法，教师要先让学生判断正误，在给予点播．对于排列、组合应用问题的解决我们提倡一题多解，这样有利于培养学生的分析问题解决问题的能力，在学生的多种解法基础上教师要引导学生选择最佳方案，总结解题规律．对于学生解题中的常见错误，教师一定要讲明道理，认真分析错误原因，使学生在是非的判断得以提高．

4．两个性质定理教学时，对定理1，可以用下例来说明：从4个不同的元素a，b，c，d里每次取出3个元素的组合及每次取出1个元素的组合分别是

这就说明从4个不同的元素里每次取出3个元素的组合与从4个元素里每次取出1个元素的组合是—一对应的．

对定理2，可启发学生从下面问题的讨论得出．从n个不同元素，，…，里每次取出m个不同的元素（），问：（1）可以组成多少个组合；（2）在这些组合里，有多少个是不含有的；（3）在这些组合里，有多少个是含有的；（4）从上面的结果，可以得出一个怎样的公式．在此基础上引出定理2．

对于，和一样，是一种规定．而学生常常误以为是推算出来的，因此，教学时要讲清楚．

教学设计示例

教学目标

（1）使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；

（2）使学生掌握组合数的计算公式；

（3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；

教学重点难点

重点是组合的定义、组合数及组合数的公式；

难点是解组合的应用题．

教学过程设计

（－）导入新课

（教师活动）提出下列思考问题，打出字幕．

［字幕］一条铁路线上有6个火车站，（1）需准备多少种不同的普通客车票？（2）有多少种不同票价的普通客车票？上面问题中，哪一问是排列问题？哪一问是组合问题？

（学生活动）讨论并回答．

答案提示：（1）排列；（2）组合．

［评述］问题（1）是从6个火车站中任选两个，并按一定的顺序排列，要求出排法的种数，属于排列问题；（2）是从6个火车站中任选两个并成一组，两站无顺序关系，要求出不同的组数，属于组合问题．这节课着重研究组合问题．

设计意图：组合与排列所研究的问题几乎是平行的．上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题．

（二）新课讲授

［提出问题创设情境］

（教师活动）指导学生带着问题阅读课文．

［字幕］1．排列的定义是什么？

2．举例说明一个组合是什么？

3．一个组合与一个排列有何区别？

（学生活动）阅读回答．

（教师活动）对照课文，逐一评析．

设计意图：激活学生的思维，使其将所学的知识迁移过渡，并尽快适应新的环境．

【归纳概括建立新知】

（教师活动）承接上述问题的回答，展示下面知识．

［字幕］模型：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．如前面思考题：6个火车站中甲站乙站和乙站甲站是票价相同的车票，是从6个元素中取出2个元素的一个组合．

组合数：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，称之，用符号表示，如从6个元素中取出2个元素的组合数为.

［评述］区分一个排列与一个组合的关键是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新的取法，则是排列问题；若改变顺序，仍得原来的取法，就是组合问题．

（学生活动）倾听、思索、记录．

（教师活动）提出思考问题．

［投影］与的关系如何？

（师生活动）共同探讨．求从个不同元素中取出个元素的排列数，可分为以下两步：

第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数为；

第2步，求每一个组合中个元素的全排列数为．

根据分步计数原理，得到

［字幕］公式1：

公式2：

（学生活动）验算，即一条铁路上6个火车站有15种不同的票价的普通客车票．

设计意图：本着以认识概念为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨，逐步展示知识的形成过程，使学生思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去．

【例题示范探求方法】

（教师活动）打出字幕，给出示范，指导训练．

［字幕］例1列举从4个元素中任取2个元素的所有组合．

例2计算：（1）；（2）．

（学生活动）板演、示范.

（教师活动）讲评并指出用两种方法计算例2的第2小题．

［字幕］例3已知，求的所有值.

（学生活动）思考分析．

解首先，根据组合的定义，有

①

其次，由原不等式转化为

即

解得②

综合①、②，得，即

［点评］这是组合数公式的应用，关键是公式的选择．

设计意图：例题教学循序渐进，让学生巩固知识，强化公式的应用，从而培养学生的综合分析能力．

【反馈练习学会应用】

（教师活动）给出练习，学生解答，教师点评．

［课堂练习］课本P99练习第2，5，6题．

［补充练习］

［字幕］1．计算：

2．已知，求.

（学生活动）板演、解答．

设计意图：课堂教学体现以学生为本，让全体学生参与训练，深刻揭示排列数公式的结构、特征及应用．

【点评矫正交流提高】

（教师活动）依照学生的板演，给予指正并总结．

补充练习答案：

1．解：原式：

2．解：由题设得

整理化简得，

解之，得或（因，舍去），

所以，所求

［字幕］小结：

1．前一个公式主要用于计算具体的组合数，而后一个公式则主要用于对含有字母的式子进行化简和论证．

2．在解含组合数的方程或不等式时，一定要注意组合数的上、下标的限制条件．

（学生活动）交流讨论，总结记录．

设计意图：由“实践——认识——一实践”的认识论，教学时抓住“学习—一练习——反馈———小结”这些环节，使教学目标得以强化和落实．

（三）小结

（师生活动）共同小结．

本节主要内容有

1．组合概念．

2．组合数计算的两个公式．

（四）布置作业

1．课本作业：习题103第1（1）、（4），3题．

2．思考题：某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种学科竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中，男、女同学各有多少人？

3．研究性题：

在的边上除顶点外有5个点，在边上有4个点，由这些点（包括）能组成多少个四边形？能组成多少个三角形？

（五）课后点评

在学习了排列知识的基础上，本节课引进了组合概念，并推导出组合数公式，同时调控进行训练，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．

作业参考答案

2．解；设有男同学人，则有女同学人，依题意有，由此解得或或2．即男同学有5人或6人，女同学相应为3人或2人．

3．能组成（注意不能用点为顶点）个四边形，个三角形．

探究活动

同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么四张不同的分配万式可有多少种？

解设四人分别为甲、乙、丙、丁，可从多种角度来解．

解法一可将拿贺卡的情况，按甲分别拿乙、丙、丁制作的贺卡的情形分为三类，即：

甲拿乙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．

甲拿丙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．

甲拿丁制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．

由加法原理得，贺卡分配方法有3+3+3=9种．

解法二可从利用排列数和组合数公式角度来考虑．这时还存在正向与逆向两种思考途径．

正向思考，即从满足题设条件出发，分步完成分配．先可由甲从乙、丙、丁制作的贺卡中选取1张，有种取法，剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡被甲取走后可在剩下的3张贺卡中选取1张，也有种，最后剩下2人可选取的贺卡即是这2人所制作的贺卡，其取法只有互取对方制作贺卡1种取法．根据乘法原理，贺卡的分配方法有（种）．

逆向思考，即从4人取4张不同贺卡的所有取法中排除不满足题设条件的取法．不满足题设条件的取法为，其中只有1人取自己制作的贺卡，其中有2人取自己制作的贺卡，其中有3人取自己制作的贺卡（此时即为4人均拿自己制作的贺卡）．其取法分别为1．故符合题设要求的取法共有（种）．

说明（1）对一类元素不太多而利用排列或组合计算公式计算比较复杂，且容易重复遗漏计算的排列组合问题，常可采用直接分类后用加法原理进行计算，如本例采用解法一的做法．

（2）设集合，如果S中元素的一个排列满足，则称该排列为S的一个错位排列．本例就属错位排列问题．如将S的所有错位排列数记为，则有如下三个计算公式（李宇襄编著《组合数学》，北京师范大学出版社出版）：

①

篇2

一、小组合作学习的特点

小组合作学习顾名思义就是以小组为单位进行学习，但这种新型的学习模式不同于以往以教师为主体的教学方式，小小组合作学习能以学生为中心，从不同的侧面培养学生的学习能力，让学生不仅能找到解决问题的方法还能通过与他人分享，进行思想上的碰撞，使得不同的思想能进行交流，找到最适合的解决问题的方法。

1.改变教学主体，实现自主学习。小组合作学习中，教师根据具体的教学需要，结合学生的学习特点，体会学生的学习需求并结合实际的教学内容，安排小组合作学习。在小组学习中，学生是学习的主体，学生在解决问题时并不能都依靠老师，而是要在小组中进行充分的讨论，自主解决问题，自主进行学习。小组中的每一个成员都是主角，在进行思考时能充分地调动学习的积极性，提高学习的效率，使得小组中的每一个人都能最大化的发挥自己的能力，促进问题的解决。

2.活跃课堂气氛，实现互助学习。小组合作学习能活跃课堂氛围，改变传统的刻板的教学模式，为学生的学习创造一个自由的环境，在这种环境下，学生能自由地表达思想而不是限于教师的威严，隐藏自己的想法。这种教学氛围的建立更有利于师生间的思想交流，建立平等和谐的师生的关系。而小组合作学习从另一角度上看也是一种互助学习，不同的小组成员各有其特点，一些学生比较擅长解决几何问题，一些学生比较擅长代数问题，一些学生善于发现思考中的漏洞，使问题的解决方法能更加缜密。因此，不同特点的学生能互相学习，取长补短，发挥自己的长处的同时改善自己的不足之处。

二、小组合作学习在高中数学教学中的应用方法与应用要点

小组合作学习最主要的目的就是让学生进行自主的思考并通过小组成员间的交流，优化思考要点，在数学问题上提出有效的解决问题的方法。因而，在高中数学教学中应运用一些教学技巧，使小组合作学习能更加的有效。

1.具体的应用方法。在高中数学课堂中进行小组合作学习首先应创设良好的教学情境，让学生有思考问题、解决问题的欲望，激发学生的学习兴趣，才能让学生参与到小组合作学习中。在创设教学情境时可以从具体的现实问题出发也可以运用小故事启发学生思考或进行一些小实验，调动学生的学习兴趣。在激起学生的学习兴趣后应根据具体的问题，组织学生进行分组并明确小组中各成员的任务，小组中的成员可以根据自身的学习优势，主动分摊一些学习任务，当遇到难题时，小组成员一起解决，充分发挥小组合作学习的优势。在小组进行自主探究时，教师观察小组合作学习的进程，当发现大部分同学都无法解决某一问题时，应合理启发学生，让学生在进行自主探究时能得到启发式教育，而不是钻牛角尖，妨碍问题的解决。在小组成员进行充分的合作交流后，让学生以小组为单位，选择一些小组，展示小组合作学习的成果，并让学生交流小组学习过程中遇到的难题。在完成上述任务后，教师进行总结，在总结时应抓住小组合作学习中学生的思考亮点，鼓励学生的合作思考，让学生体会到思考交流的乐趣，并对小组合作学习中的问题进行点评，帮助学生解决小组合作学习中的难点，促进学生的理解。

篇3

小组合作学习是高中数学课堂教学中较为行之有效的教学模式。文章通过对我国高中数学小组合作学习存在的相关问题进行分析，进而结合实际情况，从持续提升教师开展小组合作学习活动的意识和技能；培养高中生边参与实践、边交流的良好学习习惯；锻炼学生自主学习和探究的技能三个方面探讨了完善高中数学小组合作学习的应对策略。

关键词：

高中数学；小组合作学习；学习习惯

小组合作学习是高中数学课堂教学中较为行之有效的教学模式，其核心功效在于增强高中生个体对数学课程的自主探究意识及彼此间的合作意识，但该类教学方式尚未得到健全完善。因此，预先理清现阶段高中数学小组合作学习活动中存在的问题，并制定实施协调化的应对方案，存在一定的必要性，理应引起有关教学主体的重视。

一、目前我国高中数学小组合作学习存在的问题

首先，合作探究期间教师未能快速把握问题解决的关键线索，或是未能将讨论、实践予以有机融合，只是单纯地应付上级检查而实践。产生该类问题的主要原因就是许多高中数学教师长期深受传统教学理念和方式的影响，对于小组合作学习模式未能给予深入性认知。因此，实际分组教学过程中往往无法锁定个人位置，同时也无法引导学生进行合作探究。其次，许多高中生无法摆脱传统的学习习惯，在合作学习的过程中缺乏参与意识。产生这类问题的主要原因就是，在组织难度逐步提升，以及任务量愈加繁重的合作学习活动期间，教师对于班级成员未能给予充分的关怀和照顾，这使得一些学生自信心备受打击。久而久之，这类学生的学习能力就会出现发展失衡迹象，最终影响班级整体的教学实效。最后，小组合作学习期间，学生之间分工不够明确，经常会因为得不到正确的答案而出现消极状况。主要原因就是教师在进行学生分组时的态度不够严谨，将成绩优异的学生和成绩较差的学生各自分为一组，彼此之间不管是在成绩或是数学学习能力上，都有着较大的差异。这一分组模式不利于小组合作学习活动的顺利进行，甚至会引发学生之间的矛盾冲突，最终影响数学课堂整体的教学效果。

二、完善高中数学小组合作学习的应对策略

（一）持续提升教师开展小组合作学习活动的意识和技能

教师开展小组合作学习活动的意识和技能具备深刻的现实意义。所以，高中数学教师在指导学生学习相关课题内容期间，也要注意留有适当的机会进行借鉴学习和自我完善[1]。毕竟小组合作学习模式属于新颖的教学方法，许多教师对教学过程中需要关注的问题和制定的应对策略还不是十分熟悉，因此有必要定期参考专家的指导意见。如定期安排高中学校中的数学教师去外地接受培训，或是邀请学术专家莅临本校开展讲座，使高中数学教师能够及时掌握小组合作学习模式的最新规划理念，最终大幅度提升高中数学课堂的教学实效。

（二）培养高中生边参与实践、边交流的良好学习习惯

若要在高中数学课堂中推广小组合作学习的教学模式，则可以采用理论和实践交互式融合的教学训练模式，就是鼓励学生在参与有关实践活动的过程中积极探讨，力求在合作交流活动中，锁定有关问题的关键线索。如在进行“空间几何体的三视图和直观图”这类知识点的讲解过程中，教师可以考虑将课前精心准备的立体模型制作材料依次发放给学生，然后安排他们自由分组和集体制作。在此期间，他们必然会遭遇诸多问题，包括该做什么样的模型、究竟如何去做、每个面的形状如何、大小和尺寸等数值设置为多少等。等学生讨论完毕上述问题之后，教师再督促他们进行重新思索，认识到各自制作的立体模型几个面的特征。由于学生经历了亲身实践和体验，所以在之后的讲解中就能够更高效率地接受新知识。

（三）锻炼学生自主学习和探究的技能

在高中数学课堂中进行小组合作学习，要求教师预先激发学生的学习兴趣，使他们能够自主观察与合作分析相关问题，从而进一步彰显他们的主体地位[2]。如在开展“集合”这类课题讲解活动的过程中，在一系列新知识点阐述完毕之后，教师要引导学生去做延伸性的探讨，究竟现实生活中什么样的事情可以利用集合形式加以生动化表示，借此调动学生参与合作交流的积极主动性。需要注意的是，在此期间，教师要细致观察个体的学习状态，如若发现有人滥竽充数，教师应运用婉转的表达方式加以引导，避免伤害到他们的自尊心和自信心。

三、结语

想要在高中数学课堂上更为灵活和高效率地沿用小组合作学习的教学模式，还包含许多适应性途径。笔者在此阐述的意见着实有限，希望相关指导教师能够在日后教学中以此为基础性指导媒介，进行更深层次的创新和拓展，进一步使高中生爱上数学并自主参与各类探究，使其今后能够从容地面对生活和学习中的问题。

作者：徐桂锦 单位：福建省漳州市第三中学

参考文献：

篇4

摘要：作者针对高中数学小组合作学习做了一些理论和实践的探讨，内容主要包括目前高中数学小组合作学习存在的问题，并对在高中数学组织小组合作学习的探索进行了全面的分析。

关键词：高中数学 小组合作 学习 探究

随着现代社会的发展，无论是学习还是工作都越来越注重团队的合作，合作意识以及合作能力已成为人们生存发展的重要品质。在今天，每一项伟大的发明，都是人们团队合作共同努力而取得的。因此，学生合作能力的培养也逐渐成为学校教育的重要部分。为了让学生更好的适应社会，我们应该注重培养学生的自主探究能力，合作精神等[1]。

1、目前高中数学小组合作学习存在的问题

1.1 学生参与机会不均等，能力发展不均衡

每个学生都是不同的，他们极具个性特点。有的学生性格外向，思维活跃；有的学生性格内向，不善于表达。这就导致了在小组合作学习中，总是那些活泼好动的学生掌握主动权，那些内向不易与人沟通的学生就渐渐逃避学习的责任，学习任务也由个别能力强的学生来代替完成了。这种情况导致一部分学生的思维困惑和学习困难不能完全暴露出来，非但没有发展数学思维，甚至还剥夺了他们自主学习、自我感悟和提高的机会。而那些自觉性较差的学生则经常游离于小组活动之外，无所事事，全然忘记了自己也是班级中某一学习小组的一员。长此以往，正如经常听到的教师的感叹一样，“小组合作学习的结果会导致好的学生越来越好，差的学生越来越差。”同时由于分组不均，全班的均衡学习也被少数几个数学能力较强的小组间的学习所取代。曾经就有小组跟我提出，“老师，我们几个人数学成绩都不太好，都不会解决数学问题，能不能找个成绩好的和我们一组？我们就会知道题目怎么做了。”出现这样的情况，主要是因为学生没有理解小组合作学习的意义，他们认为小组合作学习就是成绩好的学生讲，成绩较差的学生听，是补差性质的。对小组合作学习应该有哪些角色，每个角色在自己小组中应该承担什么学习任务以及自己在小组中的地位也没有深刻的认识[2]。

1.2 小组合作学习留于形式，缺乏实质性合作

往往在听公开课的时候，我会发现开课教师总喜欢改变学生的座位摆放方式，排成 4、5 个一组，或者排成波浪形，排成马蹄形等等，似乎改变学生的座位，把学生凑在一起就是就是小组合作学习。课堂上经常出现不管教学内容的难易，也不管有无合作学习的必要，教师就盲目的组织学生进行合作或者小组讨论。有的课堂看上去热热闹闹，学生讨论热烈，但到真正展示成果的时候，没有几个学生能够主动站出来代表小组发言。小组合作学习仅仅停留在表面，没有实质性的合作。

1.3 学生缺乏交往沟通的能力和合作的技能，导致学习效率低下

现在绝大部分学生都是独生子女，他们普遍以自我为中心，缺少合作的意识和协作的能力。因此在小组合作学习中，他们不会与同伴进行沟通。在解决学习任务时，不会将学习任务分解，明确每个人要做的事情，学习效率低下。而教师所给的小组合作学习的时间是有限的，因此学习的效果是可想而知的。

2、在高中数学组织小组合作学习的探索

2.1 让学生明确个人责任，提高个人的责任感

在最初开展的小组合作学习中，学生的合作学习比较被动，他们对自己在小组中的重要作用没有深刻的了解。为避免出现能力强的学生代替其他学生完成学习任务的现象，我帮助每组学生进行了角色的分配，规定好了发言的顺序。明确了每个学生担任的角色所承担的责任，让每个学生了解自己在小组中的作用都是无法替代的。同时分解学习任务，责任到人，督促学生在自己小组中做好自己应做的事。通过这些训练，渐渐引导学生渐渐将被动的小组合作学习变成主动的小组合作学习。

我们知道小组合作学习是以小组为单位的团体合作，因此，与传统的教学相比，这种学习方式更关注集体。但是，小组合作学习是要建立在每个学生独立学习的基础上的。为了督促学生积极参与到小组合作学习中，教师可以采取随机提问和个别测试相结合的方法。采用随机提问的方式，就使得每个学生都有可能代表自己小组来阐述观点，为此学生必须积极参与到小组的合作学习中，不然自己的表现就可能影响自己小组的评估。小组成员在合作学习时可以相互帮助，但是教师在检测的时候可以先让每个学生独立完成测验，再综合每个小组成员的成绩来考核该小组的合作学习成果。这样的话，由集体荣誉感带来的压力可以让每个学生都认真参与到自己小组的合作学习中。

2.2 合作学习小组成员的分工

小组的每个成员都要担当一定的角色。小组长，选择组织能力表达能力较强的学生来担当，负责带领小组成员的合作活动，加强教师和学生间的沟通。同时，小组长还应会关心组员，保证小组成员间和谐融洽的相处，能够得到小组成员的一致认同。记录员，负责分发小组学习的材料，记录小组的讨论过程和结果；监督员，负责鼓励监督每个小组成员都参与到小组的合作学习中，制止成员间大声讲话或者争吵，制止小组成员做与学习无关的事；检查员，负责检查小组成员对学习内容的掌握程度。同时，各小组成员应定期交换所担任的角色，培养学生的责任感和成就感，实现学生能力的全面发展。

2.3 选择有层次性的内容

学生是具体的人，每个学生有着自己的学习风格。学生的已有知识和经验、认知风格和学习态度学习动机等各方面上学生都有差异。因此，教师在设计小组合作的内容时必须肯定这种差异，设计的任务必须要有层次性。所谓的层次性是指学习内容包含各种各样的小问题，有难、中、易，适合个层面学生的需要，从而形成一串问题链。

3、结论

总之，在高中数学中组织小组合作学习，依然存在很多不成熟和不足的地方。学校对教学结果的评价依旧过于笼统，往往只看重成绩的高低。而采用小组合作学习的班级的成绩并不会立刻体现出它的优势来，甚至还不如采用传统教学的班级，这是因为在我们平常的考试评价中，往往都是一些学生做过的题目，反复的机械训练是有效果的。而学生的合作学习能力不是一朝一夕就能够锻炼完成的，小组合作学习的优势的体现是一个长期的过程，教师要对此充满信心，顶住压力。在教学摸索的过程中，要优选合作的方法，要有足够的耐心，陪伴学生共同成长。

参考文献：

篇5

关键词：高中数学 排列组合 素质教育 能力培养

笔者认为之所以学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。

下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：

1、占位子问题

例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？

①仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。

②转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我将题目转换为：

让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？

③解决问题：这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子（学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C 种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C =20（种）。这样原题也就得到了解决。

④学生小结：接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）

⑤老师总结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。

2、分组问题

例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个？

（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P ×P ）

①仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。

②转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，有一位同学A将题目转换如下：

从班级的第一组（12人）和第二组（10人）中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？

③解决问题：接着我就让同学A来提出选人的方案

同学A说：先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有P ×P 种选法；再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P ×P 种选法；最后由乘法原理得出结论为（P ×P ）×（P ×P ）（种）。（这时同学B表示反对）

同学B说：如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P ×P .（同学们都表示同意，但是同学C说太蘩）

同学C说：可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C ×C ×P （种）。（再次通过互相讨论，都表示赞赏）

这样原题的解答结果就“浮现”出来C ×C ×P （种）。

④老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。

以上是我一节课两个例题的分析过程，旨在通过这种方法的尝试（教学效果比较明显），进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题。

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【关键词】高中；数学；小组；合作学习

一、高中数学小组合作学习基本教学模式构建

（一）小组合作学习的分组方法

1.对于学习难度较低的数学知识，可采用“组内异质、组间同质”的分组方法

“组内异质、组间同质”的分组方法较为常见，具有长期性。这种分组方式能够提高小组活动的效率，有助于学生开阔思维，从多方面多角度进行思考，促进每个小组成员的思维发展。这样混合分组可以使各小组内的男女比例平衡，有利于小组内部成员之间相处融洽；各小组都有不同层次的成员，层次高的学生能够作为其他成员的学习标杆，并且他们在帮助其他同学的同时也会加深自身对知识和技能的理解和运用能力；还能够保持各小组水平相当，便于展开小组间的竞争。不过，当数学知识的难度较大时，学习能力较高和学习能力较差的学生通常无法在同一个层面上开展合作学习，就达不到良好的学习效果。因此，这种分组方式不适用于学习中等难度以上的数学知识，比较适合学习中等及中等以下难度的数学内容。

2.对于学习难度较高的数学知识，可采用“组内同质，组间异质”的分组方法

“组内同质，组间异质”可以更好地促进组内层次相当的小组成员之间展开竞争，是种具有灵活性的临时的分组方式。当面对问题和困难时，不同层次水平的学生进行讨论，常常会发生能力高的学生指责能力差的学生的解题思路行不通，容易使双方产生矛盾和隔阂；而相同能力的小组成员之间的沟通更顺畅，更容易碰撞出思维的火花。因此，对于层次水平较高的学生来说，这种分组方法有利于攻克探究性的数学难题；而对于层次水平较差的同学来说，这种分组方法也能够帮助他们理解基础知识，训练基本能力，为他们打下扎实的数学基础。

3.针对补差，可采用自愿组合的分组方法

以数学知识中的概念和定义为例。对于许多学生来说数学课本上的概念和定义十分枯燥，往往学生看了好几遍定义，不明白定义讲明的是什么问题。这时，我们可以结合所学专业，对概念和定义进行讲解，这样学生对定义就有了更为直观和深刻的感受。

在进行分组时，学习小组的成员不是一成不变，要根据实际教学情况进行灵活分配。教师在日常多注意观察学生的学习情况和心理变化，适时对学习小组进行合理的调整。对于个别不能展开正常学习活动的小组；经过一点时间的分组学习后，产生了“小团体”；以及各小组之间出现了较大的能力水平差异等现象，教师都要对小组成员进行适时、合理的调整，以保证各小组间平衡、稳定的发展。

（二）制定合理的评价规则

教师评价：教不仅要将重点放在哪个小组学习效果好、完成质量高等小组评价上，还要关注学生的个人表现和参与状态等。

组内评价：教师给予适当的指导，让学生对本组成员进行评价打分，让学生总结自己的不足，激发参与热情。

组间互评：让各小组之间针对合作学习的开展情况进行相互评价，实施科学合理的奖罚制度，激发学生的集体荣誉感，实现良好的教学效果。

二、高中数学课堂教学中开展小组合作学习的实施步骤

（一）组建合作小组

笔者根据班级的实际情况及座位安排，将班上48名学生分成8组，6人为一个小组，并将同一小组的学生作为安排在同一区域，以便于小组成员开展合作活动。并按照“组间同质，组内异质，优势互补，分工合作”的原则进行分组。之后参照各个合作学习小组成员的成绩、性别、性格和智力等因素的比例结构进行组间平行微调，使每组的整体水平相差无几，保持各个小组间的整体综合水平基本平衡。学生座位按前后就近原则，小组成员相对稳定，再班级座位轮换时对小组进行整体移动。同时要求各小组要打造出本组特色的小组文化，各小组设立组名、组训、目标和口号等，增强团队意识和竞争意识。组内分工明确，各小组设小组长一名，其他职位若干。选择组织和表达能力较强的学生担任小组长，负责带领整个小组进行合作活动，作为师生间的桥梁，还要关心组内成员，保证小组成员间和谐共处；一位检查员，负责检查小组成员的学习情况；一位记录员，负责小组内学习材料的收集和整理，记录每次合作活动的过程和结果等。为了培养学生的责任感和成就感，各小组成员定期交换自己所担任的角色，实现所有学生的共同发展。

（二）课前合作

在上课前提前分发预习提纲，让小组成员分工查找有关资料，解决有关问题，进行课前合作。

（三）课堂合作

课堂上对学生进行提问、交流和讨论，让小组成员之间进行提问和质疑，让他们互相帮助，互相点评习题、互相检查作业、互批试卷、互相评分等，进行课堂合作。

（四）小组评价

小组评价主要包括：制定评价规则、多样化的评价方式、对评价结果进行统计处理三个方面。具体内容如下：

1.制定评价规则：教师要以公平公正为准则，制定并且向学生公开评价的规则，并确保每位学生都能够熟练的进行操作，评价规则需要体现指导性、全面性、针对性和鼓励性等特点。

2.多样化的评价方式：组内自评、组内互评、组际评价、教师口头评价和暗示评价相结合。

3.统计处理评价结果：通过建立每个合作学习小组的档案学习资料，由每组的组长代表对每个组员当天的发言效果、发言次数、作业情况、教师评价以及违纪情况等进行统计记录，并在每天放学前上交给值日班长，然后由值日班长进行统计整理，并在第二天上课前将评价结果公布于众。

（五）课后合作

在课堂结束之后，教师要让小组长组织带领本组成员对本节课的知识结构、疑点难题以及新发现的问题进行复习和整理，然后在组内进行交流学习，之后将问题汇总由组员轮流抄写在学习记录本中，交给老师批阅或进行小组间的交流和评价等。

参考文献：

[1]刘术青，田炳娟.转变高中数学教学理念，激发学生创新意识[J].才智，2011（08）：55-58.

[2]张丽，付庆龙.如何有效实施高中数学教学[J].中国教育技术装备，2010（07）：22-24.

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一、小组合作学习中的教师

1.合作学习小组的分组。

教师对全班学生的分组要进行认真的研究，每个组中成员的组织能力、学习能力、学习成绩、思维活跃程度、性别等都要均衡。要确定每个成员的分工，可以采取轮换制。

2.小组合作学习的教学设计。

教师备课时要在深入研究教材地基础上，明确所要体现的新理念。小组合作学习的内容要有一定难度，有一定探究和讨论价值，问题要有一定的开放性。

3.小组合作学习的课堂实施。

在小学数学教学中，整节课完全运用合作学习的情况比较少，大部分教学要把班级授课制和小组合作学习结合起来，灵活运用。在小组活动过程中，教师要加强对每个小组的监督和指导，尤其关注困难学生在活动中的表现，让他们多一些发言的机会。

4.小组合作学习的课后总结。

教师可以通过课堂观察、作业批改、找学生谈话等方式收集信息，反思取得成功的经验和不足之处的教训，进而针对每个小组的表现再做具体的指导，也要促使每个小组都进行反思，这样慢慢会形成小组合作学习的良性循环，养成良好的学习习惯。

二、小组合作学习中的问题

1.矛盾型问题。

即问题有意识地挑起学生认识中的矛盾，使学生意识中的矛盾激化，从而产生问题情境，引发学生思考的兴趣。在教学有理数大小比较时，对于具体数的比较学生很容易掌握。

2.假设型问题。

即要求学生以已知的内容为前提进行猜测、推断。如教学有理数加减法去括号时，教师让学生根据乘法分配律猜测有理数加减法去括号会有什么样的性质，再让学生在小组里进行合作探究。由于答案的不确定性，给学生留下了广阔的思考空间。

3.发散型问题。

即要求学生紧密围绕某一问题，亩嗖嗝妗⒍喾轿唤行思考，以探求问题的多种方法。

三、小组合作学习的实质

1.小组学习任务的分配。

在小组合作学习之前，教师还要通过创设情境或提出有趣的富有挑战性的问题，激发学生学习的积极性；启发学生善于运用已有知识和经验解决问题。

2.小组合作探究。

每个小组明确了学习任务之后，教师要在组间巡视，针对学习过程中出现的各种问题及时引导，帮助学生提高合作技巧，并注意观察学生学习和人际关系等各方面的表现。让学有困难的学生多思考、发言，保证他们达到基本要求；同时，让学有余力的学生有机会发挥自己的潜能。

3.全班交流。

让每个小组的代表向全班进行学习成果汇报，了解每个小组学习的情况，对于每个小组提出的疑问，可以请其他小组介绍解决办法。

四、小组合作学习的注意点

1.处理好独立学习与合作学习的关系。

小组合作学习离开了独立学习这个前提，就如水上浮萍，落不到实处，也就达不到合作学习的目的。如果只有小组合作学习而缺乏独立学习，长此以往，学生的自主学习能力将丧失。教学中，当提出一个问题后，首先应给学生充分独立学习的时间，然后组织学生小组合作学习，在组内交流自己的看法，形成“统一”意见后，再到全班进行交流，使学生形成正确认识，并在这一过程中体验积极的情感。

2.处理好形式和目标的关系。

单从小组合作学习不能光注重形式，任何教学组织形式都是为教学目标服务的。教师的一切教学行为的出发点和归宿都是为了学生个性的全面发展。小组合作学了让学生掌握知识技能、培养合作的意识和能力外，还要培养学生探究的能力、健康的心理、良好的情感态度。不能让好学生一个人代替小组汇报交流，而要培养小组成员建立一种平等、民主、互助的关系，使之对小组的学习任务建立一种责任感，以保证小组合作学习不放任自流或流于形式。

3.处理好教师与学生的关系。

合作学习从学生主体的认识特点出发，巧妙地运用了生生之间的互动，使他们有机会进行相互切磋，共同提高。在传统课堂上许多原先由教师完成的工作现在就可以由学生小组来完成，教师真正成了学生学习过程的促进者。学生由于主体性得到了体现，自然会产生求知和探究的欲望，会把学习当作乐事，最终进入学会、会学和乐学的境地。师生负担也可以由此大减，教学的良性循环也会因此而建立起来。

4.小组要明确分工。

教师首先根据班内的学生实际，有意识的将不同类别、不同层次的学生按“组内异质”的原则进行分组，其目的是为了让学生在合作学习的过程中做到组内合作、组间竞争。让每个学生在合作学习中都有展示自我的机会，让学习困难的学生在互帮互助中不断提升，获得自信；让学习优良的学生更有提高的平台，科学的分组为你教学的成功奠定了基础。对组内成员的分工合作我本着：人人有事做，谁也少不了谁的分工原则。分别设置了作业监督员，纪律监督员，讨论组织者，主要发言人。小组内的角色应该互相轮换，增进生生互动的有效性。

参考文献：

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关键词：小组合作学习 高中教学 教学误区

新课程标准中提出以小组合作的方式进行高中数学教学的教学方式，能够有效地促进学生的学习效率，帮助学生通过合作学习的方式完成学习任务，更加明确自主学习的目的和方式，从而使学生之间形成互动学习和自主学习的良好氛围，有效提高数学课程的教学质量。但是在小组合作学习方式中还存在一些问题，应及时解决以进一步提高教学质量。

一、小组合作学习方式的教学原则

小组合作的学习方式能够有效提高学生的学习质量和教师的教学质量。在进行小组合作学习的过程中，教师应发挥引导和指引的作用，学生作为小组合作学习的主体，应进行充分的组内学习和讨论。如果遇到通过小组成员不能够解决的问题再由教师进行进一步的指导和解答。有效的小组合作学习方式不仅能够提高学生的学习效率，而且能够提升学生的创新能力、解决问题的能力和团队的合作能力，所以小组合作的学习方式对提高高中数学的教学质量，提升学生的学习能力具有重要的作用。

小组合作的学习方式，应首先对学生进行分组。学生平均四到六个人一组，如果小组成员较少，不利于完成学习任务，如果小组成员过多，那么会出现个别学生不能够充分参与小组学习的现象。所以，应对小组的学生个数进行限制。此外，进行小组讨论的过程中，应选择学习成绩相差较小，但是学习能力具有明确层级的学生为一个小组。这样学生在学习的过程中能够做到优势互补，有利于学生学习能力的提升，并认识到团队学习的重要性。此外，在每个小组中应选择一位组织能力较强的学生作为组长，组织协调小组之间的问题，之后小组之间进行讨论，并将讨论的结果以每个小组选派一名代表的方式进行汇报，之后由教师进行点评和总结，最后通过小组成员之间进行相互提问来对所学知识进行巩固和深化。

二、小组合作学习方式在数学教学中存在的问题

小组合作学习的方式能够有效地促进学生的学习效率和学习质量。但是，现阶段，一些学校在贯彻这样的学习方式时过于形式化，导致既浪费了学习资源，学生的学习质量也没有得到有效的提升。

（一）小组合作学习中小组成员划分不合理

进行小组合作学习之前，教师对小组成员的划分会严重影响学生的学习质量。一些教师只是为了进行教学或者为了完成教学目的而进行小组划分。有的教师是按照座位的排序进行划分;有的是按照成绩进行划分;有的是按照性别进行划分。而这样的划分没有科学的依据，同时也会严重影响学生的学习质量。在这样的情况下，一些小组能够进行充分讨论，而一些小组的气氛则非常沉闷，小组之间这样明显的差异会直接影响学生的学习质量。

（二）小组成员之间未进行充分的讨论

在分好小组进行讨论时，往往会出现学习成绩较好的学生积极地讨论问题而学习成绩较差的学生不能够跟上学习的进度跟不上讨论的现象。在进行小组学习成果汇报时，往往也只是成绩较好的学生进行发言，这使得学习成绩差的学生在讨论的过程中没有压力，加上不能够跟上讨论的进度，从而不能够充分地参加到小组合作学习的氛围中。而教师在对问题进行讲解和讲课的过程中，也只会关注好学生学习的问题，并提问学习成绩较好的学生，这导致小组合作学习的方式仅仅是给学习成绩较差的学生提供了课堂聊天的机会，而没有真正参与到学习的过程中，使得教学效果较差。

三、针对小组合作学习方式中存在的问题的解决措施

（一）对小组成员进行科学地划分

首先，进行小组划分时，应控制好小组成员的数量。根据科学实验表明，在小组成员数量控制在三到六个人时，所有的小组成员都会在讨论中发言。而将小组成员控制在七到十个人时，同样所有的小组成员都会发言，但是其中会有少数较为沉默的学生发言较少。当将小组人数上升到十一人到十八人时，会有六到七个人善于发言而有四到五个人很少参与讨论。当小组成员升至三十人以上，几乎没有人能够积极发言。所以，根据这项研究，应将小组合作学习的成员数量控制在四到六个人左右，以便起到良好的教学质量。此外，教师在小组成员的选择上，也应下一番功夫。因为不同的小组成员的构成，会对小组合作学习的质量起到重要的影响。教师应首先选择学习成绩相差不多的学生组成一组，以便学生进行讨论的进度能够相同，同时，也应明确划分不同学习等级的学生为同一个小组，这样能够学生提高学习能力和团队合作能力。小组成员的数量和质量对小组合作学习的教学方式具有重要的影响，教师在进行组员划分时应提高足够的重视。

（二）教师应采用多样化的教学方式

高中数学相对学生以往的数学学习而言，难度系数较高，学习内容较为复杂，而且题型变化灵活，而高中生分析和处理问题的能力尚不健全，所以学习高中数学还具有一定的难度。教师在教学的过程中应采取灵活多样的教学方式，以此来提高学生的学习质量和学习兴趣。在教学过程中采用小组合作方式和教师讲解的方式进行教学，能够起到较好的效果。教学中，对于学生较难理解的知识点，教师应对学生进行详细讲解，并且要要求学生进行独立的思考和计算，以此来巩固学生的学习效果，同时学生在独立计算的过程中能够提升独立分析问题的能力。此外，当遇到较难解决的题型时，教师可以采用小组合作学习的方式，通过小组合作学习能够提升学生的合作能力，同时也能够加深学生的学习质量，从而提高教学效率。

四、总结

教师在教授高中数学的过程中有效地利用小组合作学习的教学方式能够有效提升学生的学习能力、独立分析问题的能力和团队合作能力。所以，教师应在教学过程中科学地采用小组合作学习的教学方式，以在更大的程度上提升教学质量。

参考文献：

[1]刘雅琴.运用小组合作学习，提高高中数学教学效率[J].学周刊，2012（7）.

[2]徐乐.小组合作在高中数学中的有效应用[J].理科考试研究：高中版，2014（10）.

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一、小组合作学习基本策略

1.构建合理的合作小组。一是小组人数要合理，一般以4~6人为宜。二是分组应遵循“组间同质，组内异质，优势互补”的原则。让不同特质、不同层次的学生进行优化组合。三是小组成员应是动态的，可以是组间男女生的互换或流动，也可以按活动主题的需要让学生进行自由组合。

2.小组成员分工要具体。小组成员要有具体分工，每个小组选出一名成绩较好，责任心强的学生作为组长，其他成员也安排一个相应的角色（如记录员、资料员、发言员等），以确保每位学生都主动地参与到小组活动中来。同时，采用分工“轮换制”，一段时间后，角色互换，使每个成员都能从不同的位置上得到体验、锻炼和提高。

3.合作的氛围要营造好。良好的氛围有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的创新精神和团队精神。①创设良好的课堂教学心理氛围。营造民主、和谐、愉悦的学习氛围，有利于减轻学生学习上的精神负担。②创设恰当的问题情境。教师要善于把握学生的思维特点，创设好问题情境。创设的问题情境既要具有全程性、策略性、发展性，又要具有层次性、探究性、启发性，能不断地维持、强化和调整学习的动力，促进学生自主探索。

4.指明合作学习目标。教师在设计合作学习的内容时，应充分考虑合作学习的要求，提出明确的学习目标，让学生做到有计划、有目标、有方法地进行合作学习。同时，目标设置应符合学生的实际，要有层次性、方向性、挑战性。

5.精选合作学习内容。选择合适的学习内容是开展合作学习的关键。探究的内容可以是探索规律性的问题、开放性的问题、实验性的问题、矛盾性的问题、挑战性的问题等等。

6.要把握合作学习的最佳时机。教师对合作学习的内容应精心设计，在一节课中安排合作学习的次数不宜过多。①在新知识入口处组织小组合作学习；②在新旧知识衔接处组织小组合作学习；③在理解知识的疑难处组织小组合作学习；④在探究解题策略处组织小组合作学习；⑤在学生思维感到矛盾处组织小组合作学习。

7.提供合作学习的时间与空间。教学中要避免来去匆匆，草草收场，限制学生合作学习的时间；也要避免强行给学生设圈套，不允许学生有偏离或走它路，限制学生自由发展的空间。在课堂上教师应努力维持学生的创新火花，使学生在“做数学”中“学数学”，真正经历数学知识的形成和运用过程，使小组合作学习成为学生学习的“内化”过程。

8.教师要参与并给予指导。在学生开展合作学习的时候，教师应当从讲台上走到学生中间去，在组间巡视，教师还应针对学生合作中出现的各种问题进行及时有效的指导，帮助学生提高合作技巧，顺利完成学习任务。

9.培养学生良好的自主探究习惯。教师首先要培养学生独立思考、自主探索的习惯，让学生主动探究新知识的形成过程，并把自己的探究过程用语言表达出来，为组内交流奠定基础。教师要耐心扶助，除教给他们思考方法外，还可创设便于学生思考的情境，激发学生的动脑欲望，逐步形成动脑、动手、动口的习惯，使学生在小组合作中敢想、敢做、敢说。

10.要重视交流与教师的评价。组间交流是以小组为单位，在班级范围内进行交流，展示各小组的学习方法、过程和成果，相互讨论和评价，实现学习互补，提高交流能力。同时，在合作交流的过程中，教师要及时给予点评，既要对小组整体情况进行评价，又要对个人表现进行评价。要评价学习的结果，要关注学习的过程；要评价问题的答案是否正确，要关注学生在表达自己的观点，要评价学生的学习水平，要关注学生在合作中所表现出来的合作精神、投入程度、情感与态度，通过客观、公正、激励性评价，帮助学生更清楚地认识到自身的优点与不足，更透彻地理解和掌握知识要点，使得学生的知识水平和合作技能都得到充分的发展。

二、小组合作学习的有效操作模式

1.创设情景，呈现问题。这是进行合作学习的第一步。教师先创设情境，以激发学生参与学习的兴趣，产生内动力。然后组织学生讨论，让学生一起来呈出问题。最后教师加以具体化、系统化，明确学习的目标。

2.组内合作，探究问题。根据所呈现问题的性质，难易程度，师生确定小组合作学习的形式，通过“互相质疑，合作解疑”，在组内开展合作学习。组长协调好组内成员的学习活动，梳理出一些意见和有意义的问题，在组内交流的基础上达成共识。

3.组间交流，解决问题。在组内合作的基础上，各组将讨论的过程及解决的问题派代表向全班作交流，组间再质疑。教师要做好调控，对一些普遍问题可适当提供变式（材料、观点）帮助学生解疑，形成解决问题的思路。

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关键词：高中数学；排列组合；解题技巧

排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，极具抽象性而成为“教”与“学”难点，有相当一部分题目教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教者觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平、思维能力在一定程度上受到限制，还不太适应这种极具抽象的运算方法。笔者认为之所以学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。为此，笔者就教学过程中的三个难点通过特例作进一步的说明：

一、占位子问题

例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法。

一是仔细审题。在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。

二是转换题目。在审题的基础上，为了激发学生兴趣，使其进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上（凳子已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法。

三是解决问题。这时我再选另一名学生来安排这5位学生坐位子（学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C=20（种）。这样原题也就得到了解决。

四是学生小结。接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案（课堂气氛又一次活跃起来）。

五是老师总结。对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。

二、分组问题

例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个？

（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P×P）

一是仔细审题。先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。

二是转换题目。在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，同学A将题目转换如下：从班级的第一组（12人）和第二组（10人）中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法。

三是解决问题。我让同学A来提出选人的方案，同学A说：“先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有P×P种选法；再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P×P种选法；最后由乘法原理得出结论为（P×P）×（P×P）（种）。”（这时同学B表示反对）

同学B说：“如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P×P。”（同学们都表示同意，但是同学C说太麻烦）

同学C说：“可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C×C×P（种）。”（再次通过互相讨论，都表示赞赏）

这样原题的解答结果就“浮现”出来C×C×P（种）。

四是老师总结。针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。

三、多排问题

把元素排成几排的问题，可看成一排考虑，再分段处理。

例3：7个人排成前后两排，前排3人，后排4人。

分析：分两步来完成，先选三人排在前排有，余下的4人放在后排有A44种，所以共有种A33×A44=5040；分析：A77=5040，所以对于分排列等价全排列。