高考数学的重要性范文

导语：如何才能写好一篇高考数学的重要性，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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一、速写的定义

在美术的学科中速写是一种快速的写生技法。速写是一门独立的艺术形式，它是作为造型艺术的基础，速写最早出现在18世纪的欧洲，速写在以前是创作前的准备和记录的阶段。随着艺术的发展，速写也成为了美术学习的必学科目。速写主要分类有：构线速写、线面速写、明暗速写。对于初学者来说，速写是一项训练造型综合能力的重要方法。

二、速写训练的重难点

速写中最难的莫过于人物速写，人物速写中对于人物头部和手部的刻画是最难把握的，这两部分是整幅画成功与否的关键。头部中最难刻画的莫过于人物的表情以及人物的眼神，人物的表情直接传达出了作画人的心境，而眼神则直接表现了人物神韵。同时手部的每根手指的每一个关节都有着难以言表的妙处，但是对人物手部进行细腻的描绘常常让人忽略。除此之外，对人物的服装刻画也很重要，服装能够体现出人物的躯体实感。而服装上的点缀能够使人物形象更加丰满。

三、速写训练的重要性

（一）利于保持敏锐感。速写的对象有时是处于静止状态，有时又是处于不断变化的状态，这就需要绘画者具有敏锐的观察能力，从而对画面整体进行把握。当素描教学进入人物写生时，对于人物的头、脑、手等之间的比例、结构的观察就显得尤为重要了，这不仅要求学生具备敏锐的观察能力，还要求学生能够高度的协调自己的眼、脑、手。学生通过不断的联系，势必会形成对事物把握敏捷的特性。高考的时间通常都要比平时练习作画的时间短暂，因此在这短暂的时间内能否抓住所要秒绘的对象的主要特征就显得尤为重要了。如果学生能够将这种敏锐感一直保持到高考结束，那么将会使学生在高考中一展身手。

（二）增强学生的创作能力。速写主要是对学生的思维创造能力进行启迪，如果只是一味地让学生模仿他人的作品，那么不但会造成学生对于速写训练的不理解，从而失去作画的兴趣，还会造成学生的想象能力急剧下降，最终成为只会模仿他人作品的复印机，而这类人才恰巧不是社会所需要的人才。借助速写训练，学生能够通过观察他人的作品，找出他人所做之画的特色所在，并将其融入到自己的作品中；除此之外，学生还可以将自己所观察到的景象经过自身的想象后进行创作，而非单纯的模仿。在日积月累的训练下，学生的创作能力势必会有极大的提高。在美术高考中，其实大多数考生的绘画水平都差不多，但是在想象创造能力上却存在着极大的差异，因此这也成为了拉分的重点。如果学生拥有极强的想象能力那么他的作品在众多作品中势必会脱颖而出。

（三）培养学生的美感。速写，对于学生来说不应该仅仅是美术中绘画技能的一种提升手段，同时也是对于美的一种享受过程，速写课程的设立，能够让学生在实践练习中提升学生的造型能力，并让其时刻处于绘画兴奋状态。在速写过程中学生不仅能够欣赏到他人作品中的美，同时还能感受到大自然的美丽，引发学生的创作灵感，从而培养出学生对于美的一种鉴赏能力。对于大多数人来说这种能力都并非是与生俱来的，而是在后天形成的。在高考中要求学生要对某件艺术作品进行鉴赏，如果这时这件作品在学生的眼中只是一件纯粹的作品，那么学生势必不能找出该作品中所蕴含的深层意义。相反，如果学生本身就具备了对美的事物的一种欣赏能力，那么当一件作品展现在学生的眼前时，学生的脑海中就会浮现出一些对该作品的描绘词，从而帮助学生在高考中取得不错的成绩。

（四）为学生今后创作积累素材。经常速写能够让学生积累许多的创作素材，都说熟能生巧，在速写的过程中，学生对许多各种各样的事物进行不断的描绘，那么势必最终会达到一种十分熟练的境界，也就是说，在不断的速写训练的过程中，学生已经将事物外在形像如何描绘、内在美如何体现刻画进了脑海中。当学生进行绘画创作时，势必能够信手拈来。在高考时死记硬背的东西是最容易忘记的，只有形成记忆的东西才能根深蒂固，速写训练已经为学生的大脑中储备了许多素材，这些素材早已变成记忆中的一部分，因此当学生在高考中进行作画时，灵感会如泉水般源源不断，从而为学生在高考中取得好成绩打下基础。

四、结语

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1 注重双基考查，坚持能力立意

“知能并举”一直是高考数学命题的重要指导思想。在新课程的旗帜下，它又被增添了新的内涵。在新的时代背景下，为了适应日新月异的高科技，尤其是现代计算机技术和信息技术，河北省所采用的人教A版数学教材中新增的算法初步、三视图、定积分、几何证明选讲、不等式选讲（理科选考）等知识以及对应的基本技能，都是考生应掌握的新“双基”。鉴于数学教育是终身教育的重要方面，因此，“双基”作为数学的主要内容，必然成为高考考查的重要知识内容之一。“能力立意”在近几年全国卷的高考数学命题中得到很好的践行，新课程数学高考对能力的要求，无论从数量上或是质量上均有增无减。其实，以“能力立意”为指导思想命制出的兼具良好难度、区分度、信度、效度的数学试卷，最能体现出高考选拔人才的作用。例如，新课程高考省份数学试题中诸多以三视图为背景的立体几何试题就是考查“空间想象能力”的优秀作品。“双基”是能力的蓝本，能力是“双基”的升华。二者的有机结合，将是新课程数学命题永恒的主线之一，这也是中学数学教学应该努力达到的目标。

2 强化数学思想，彰显思考深度

数学思想是数学思维的核心，是学习数学的根本要义。数学思想是数学知识在更高层次上的抽象与概括，是数学知识的精髓。因此，重点强化数学思想，必将是新课程数学高考命题坚持并发扬光大的举措。新课标中重点指出：数学教育在形成人们认识世界的思想方法方面起着重要作用，数学在形成人类理性思维的过程中发挥独特的不可替代的作用；通过学习数学思想，使学生运用数学的思考方式解决问题，认识世界。其实，反思现今我国的中等数学教育，一个让人很揪心的现象就在于，很多学生厌恶数学学习，成绩走低自然不足为奇。笔者认为，学生对数学有严重抵触情绪，除了对数学重要性认识不足外，一个重要的症结在于：学生未能从数学的学习过程中获得愉悦与畅快，或者说是未获得足够的成就感。如果教师能八面玲珑地将数学的基础知识、基本技能、基本思想以及数学巨大的应用价值与思维价值传递给学生的话，学生必将敞开心扉，用心体会数学那些缤纷要素的瑰丽。这些同时也是数学课程改革秉承的基本理念。所以教师一定要不断学习，不断丰富自己，提高自己的说话艺术、教学水平。

3 关注知识交汇，适度彰显创新

高考考试大纲（课程标准实验版）在考查要求上开门见山地强调“知识交汇”：注重学科的内在联系和知识的综合性，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。其实，在知识交汇处命题，也是一张容量有限的试卷尽可能全面考查规定知识点的必由之路。

“创新”，作为素质教育的核心，一直是高考命题所坚持的原则，命题说明以及考试大纲等几乎所有的官方文件都对“创新”给予浓重的笔墨。课标在有关评价方式的具体建议中也明确指出，笔试要注重探索与创新的水平。“创新”的试题需要“创新”的土壤，“知识交汇”则为“创新”提供了平台。创新在命题中的应用大致有两个方面：一是命题内容及背景上的创新；二是命题手法上的创新。而“知识交汇”则是两种创新方式的有机结合。为适应新课程发展，课标的内容标准及考试大纲的考试范围所涉及的知识点，相对以前增加不少。与此同时，更重要的是，这些知识点的增加也使知识网络的交汇点变得更加丰富多样。新课程的高考命题也很好地利用了这一资源，并将“显交汇”的特色突出地彰显。

笔者认为，“在知识网络交汇点设计试题”将是新课程高考数学必将坚持、光大，并继续创新的命题手法。如函数、方程、不等式、导数的交汇，三角函数与平面向量的交汇，解析几何与平面几何的交汇，概率统计与计数原理的交汇，均为重要的交汇类型。所以，无论在新课标教学还是2012年的高考备考中，都应引起做够的重视。

4 重视概念理解，提高应用意识

概念是数学学科体系的基本组成要素，是建立体系中各章节知识联系的桥梁。没有概念的深度理解与灵活理解，学科内综合将很难实现。而且，更为重要的是，概念同时也是整个数学逻辑系统的基础，故几乎所有档次的试题均离不开对概念理解的考查。可见，“概念理解”是学习数学，学好数学的必要条件。

有关“提高应用意识”，是数学新课程改革的一面鲜明旗帜。对“应用意识”的理解，笔者认为，它绝不仅仅只代表用数学知识解决所谓的“应用题”。实际上，高考数学试卷中，遍布对应用意识的考查。学习知识的根本目的在于应用。高考数学中，几乎任意一道试题的解题思路，都来源于基础概念（含公式，定理）的应用。换句话说，数学试题的命制，也需依据概念的应用及概念间应用的交汇。

5 考点数量增加，难度稳中有降

稳定中降低高考难度，是践行新课程理念的重要举措。课改先行省份的新课程高考数学试卷，相对从前难度均有所下降，表现有二：首先，考试大纲规定的考试范围所涉及的知识点相对以前，增加的数量多于删减的数量，因而在复习范围加大的情况下应降低难度来平衡整张试卷；其次，考试大纲中被删除或降低要求的知识在高考中都未出现或大幅降低难度。根据河北省“平稳过渡，难度适中，适当体现新课程基本理念”的三条命题原则，高考的数学命题也会充分借鉴先行课改省份的做法。

基于以上的认识，笔者认为在2012的备考中应重视下面几点。

1）数学学科是由概念、命题所组成的逻辑系统，具有很强的规律性，高考亦是如此。据此，教师应特别注重专题总结，将其精炼性与前瞻性尽量提高。学生也应在这样的过程中养成认识规律、举一反三的好习惯。

2）鉴于高考数学命题特色――关注知识交汇，在二、三轮复习中应据此将备考内容进行有机重组，提高备考效率及针对性。

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对于很多学习数学的高中生来货说，对于高中数学来说，概率题型是比较让人头疼的，它是高中数学中比较需要逻辑思维能力的，那么接下来给大家分享一些关于高考数学概率题解题技巧，希望对大家有所帮助。

高考数学概率题解题技巧高中数学的高考概率解答题是高考的六道大题之一，也是难点之一.由于其题型变化多端，故很多学生经常容易混杂，甚至束手无策.本文旨在通过题型分析，形成一套完整的体系构架，从而使学生胸有成竹，对概率题答题有个更全面的认识和掌握.

解高考概率问题，首先要分清问题涉及到的概率类型，如等可能型，互斥型，相互独立型，还有几何概型，每种类型都有相应的处理方法。

平时做题的时候广泛使用表格法，使有关内容、解题方法和技巧一目了然;从浩瀚的题海中归纳、总结出的题型解法，对解题具有很大的指导作用;用系列分析对教材的重点、难点进行诠释，对掌握这方面知识起到事半功倍的效果.

(1)在具体情境中，了解高中数学随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。(2)通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。(3)通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。(4)了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率，初步体会几何概型的意义。(5)通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

高考数学统计题(1)随机抽样

①能从现实生活或其他中提出具有一定价值的统计问题。②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

(2)用样本估计总体

①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图(参见例1)，体会他们各自的特点。②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释。④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

(3)变量的相关性

①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

高考数学算法的含义、程序框图题(1)①通过对高中数学解决具体问题过程与步骤的分析(如，二元一次方程组求解等问题)，体会高中数学概率题算法的思想，了解算法的含义。②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中(如，三元一次方程组求解等问题)，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

(2)基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

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【关键词】高职单招；数学学科；复习

高职单招是高等教育的一个特殊层次，考高职的学生与普通高中生一样，都必须参加高考.但是这部分学生的文化基础较为薄弱，特别是在数学课上体现得尤为明显.虽然高职数学考试的难度相对于普通高考降低了很多，但是仍然使得大部分参加高职考试的考生感到吃力.那么，如何才能引导学生在高职的数学考试中取得佳绩呢？这就需要数学教师在学生参加高考之前，对学生采取有效的复习策略，巩固学生的数学基础，提高学生分析问题、解决问题的能力，这样才能让学生在高考中处于不败之地.下面，笔者根据自身的教学实践，从以下几个方面谈谈高职单招数学学科复习策略，仅供参考.

一、重视《考试说明》，把握复习方向

《考试大纲》由省教育厅制定，是指导复习和高职单招考试命题的主要依据.因此，在高考复习的过程中，教师一定要重视《考试大纲》，进行认真的研读和分析.这样才知道在高职单招考试中哪些知识要重点掌握，哪些知识只需要一般的理解，让学生在复习过程中有的放矢，少走弯路.

例如：在三角函数部分，考试大纲要求参加高职单招的学生只需要掌握三角函数中的两个基本的数学公式：sin2α+cos2α=1，tanα=sinαcosα，其他公式都不做考查.因此，在复习的过程中，就没有必要要求学生去记住其他的三角函数公式，这样不仅能节约学生的时间，还能让学生对这两个公式进行重点的把握与训练，从而提高了高考复习的效率.再例如，在高职单招高考中，直线与圆等内容是要求学生重点掌握和理解的，对于这部分内容，教师就要重点讲解，要让学生接触到对于知识点要求应用的不同类型的题型，这样才能让学生掌握这些章节中的知识，在考试答题中熟练用上知识点，解题取得高分.

因此，在高职单招数学的复习中，无论教师还是学生都要熟悉《考试大纲》，将其作为指导复习数学考试的依据和准绳，让学生在《考试大纲》的指导下，少走弯路，准确把握各章节的重、难点及复习的方向.这样才能减少中职生复习的随意性和盲目性，达到事半功倍的效果.

二、正确认识基础知识的重要性，构建数学知识体系

在高职单招数学的复习课中基础知识的掌握与梳理往往被教师与学生所忽略，他们更加注重对数学难题、新题的攻克.但是中职教师必须认识到中职生的基础较为薄弱，而且高职单招的试题侧重于学生对数学基础知识、基本技能、基本方法的考查.因此，在高考复习中，教师应该正确认识到数学基础知识的重要性，帮助学生梳理数学基础知识，为数学高考奠定基础.当然对数学基础知识的掌握与梳理并不是对以往数学新课简单的重复，而是站在更高的角度，对数学旧知识产生全新认识的重要过程.《考试说明》明确指出：易、中、难题的占分比例控制在7∶2∶1左右，由此可见，打好数学基础在数学的复习课中占据了极为重要的地位.

1.对数学基础知识的系统梳理

在中职数学新课的教学中基础知识、定理的得出主要依赖教师对知识的传授，而在数学总复习课堂的教学中，数学基础知识的梳理应该由学生自己参与进行.教师在数学复习之前，将下节课要复习、掌握的内容告诉学生，让学生自己在课后以小组为单位进行知识点归纳、总结，并通过小组成员的共同努力，从《省高职单招考试复习指导用书》中精选出相关的数学例题进行讲解，并在下次上课时交流落实知识要点.最后由教师加以点评补充.这样的数学总复习既能摆脱复习课“炒剩饭”的感觉，还能激发学生主动参与数学复习的积极性，为更好地进行数学总复习，掌握知识，查补缺漏奠定了基础.

2.开展习题交流课，开阔学生的眼界

数学的复习重在做题.学生能从数学解题中巩固数学基础知识，并对知识进行灵活的运用.在这之中学生除了完成教师布置的数学习题之外，还会做一些课外的习题，他们可能接触到课堂以外的、好的数学练习题，或者在其中遇到一些具有难度的习题无从解决.介于以上原因，在中职数学的复习课上，每周开展一次数学习题交流课是非常有必要的.在习题交流课上，学生可以将自己遇到的一些好的数学题目拿出来与其他学生进行分享，开阔学生的眼界，并且还能解决自己遇到的疑惑.可以说习题课的开展，对于知识整合、消化以及巩固复习成果都是很有效果的.

三、注重数学思维教学，提升学生的学习能力

在中职数学复习的过程中，构建了数学知识体系，梳理了数学基础知识之后，接下来的数学复习就要以方法、技巧为主线，将注意力集中于学生的能力提升、数学思维上，从根本上提高学生的数学素养.

1.注重历年高职单招数学题目的训练

历年高职单招数学题目可以说是指引教师与学生进行数学复习的方向.它能告诉学生所学知识点是怎么体现在试题上考查的.因此在平时的数学习题训练上，为了提高学生数学的审题效率，提高学生对数学新题型的应用能力，教师要重视学生对数学高职单招试题尤其是其中出现的新题型的训练.在训练中让学生学会审题，尽量避免兜圈子走弯路，不要仓促下笔解题，力争在解题的过程中做到“快、准、稳”.

2.重视培养学生的数学解题思路

纵观近几年的高职高考数学题，我们发现高职高考数学贯彻了这样一个原则―― “多考一点想，少考一点算”，即高考数学更加重视对学生思维能力的考查，控制了数学试题的运算量.因此，在高中数学总复习的过程中，教师就要转变“满堂灌”“灌输式”的复习方式，改变学生死记硬背和机械照搬的学习习惯，将数学复习的重点放在对学生的思维能力培养上.如在数学复习中运用“一题多解”“一题多变”来培养学生的数学思维能力.例如在第七章《平面向量》复习中例题6：已知向量a=（1，-2），b=（x-1，6），当实数x为何值时，（1）a∥b？（2）ab？这一题就可让学生掌握向量坐标运算及记住如何用向量坐标判断平行与垂直的公式.

数学习题的训练不在于“多”，而在于学生是否能够通过一个题目掌握一类题目的解题思路，掌握数学解题的方法.在高职单招数学复习的过程中，利用一题多解训练学生的数学思维，能很好地培养学生思维的发散性，提高学生数学解题的能力.

四、结束语

综上所述，高职单招数学学科在复习的过程中，由于学生的数学基础普遍比较薄弱，因此使得数学的复习难度大、时间紧.这就需要中职数学教师寻找出切合学生发展的复习模式，在有限的时间里提高数学复习的效果，让学生在严峻的高考中立于不败之地.因此，在数学学科复习的过程中，教师首先要重视《考试说明》，根据《考试说明》引导学生进行高效的复习，并在此基础上，与学生一起进行数学基础知识的系统化梳理，最后利用历年高职单招数学学科考试题进行有针对性的训练.这样一步一步地循序渐进，才能扎实学生的数学基础，让学生在高考中取得佳绩.

【参考文献】

[1]陈仕清.高职单招考试辅导班数学总复习策略[J].福建教育学院学报，2008（3）.

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【关键词】数学阅读;高考数学;重要性

阅读是人类社会生活的一项重要活动，是人类汲取知识的重要手段和认识世界的重要途径，是当代社会人们获取信息的最重要的途径之一。一谈及阅读，人们联想的往往是语文阅读，然而，随着社会的发展、科学技术的进步及“社会的数字化”，仅具有语文阅读能力的社会人已明显显露出其能力的不足，所以现代及未来社会对阅读能力提出了更高的要求，其中包括语文阅读能力、数学阅读能力、外语阅读能力和科研阅读能力。因此，数学阅读就显得更加重要。以几年来全国和各地高考数学中出现的数学阅读题为例，说明数学阅读在高考数学中的重要性。

数学阅读过程同一般阅读过程一样，是一个完整的心理活动过程，包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素。同时，它也是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程。但由于数学语言的符号化、逻辑化及严谨性、抽象性等特点，数学阅读又有不同于一般阅读的特殊性，认识这些特殊性，对指导数学阅读有重要意义。

一、数学阅读要认真细致

数学阅读由于数学教科书编写的逻辑严谨性及数学“言必有据”的特点，要求对每个句子、每个名词术语、每个图表都应细致的阅读分析，领会其内容、含义。数学阅读时，对重要的内容常通过书写或作笔记来加强记忆;另一方面，教材编写为了简约，数学推理的理由常省略，运算证明过程也常简略，阅读时，如果从上一步到下一步跨度较大，常需纸笔演算推理来“架桥铺路”，以便顺利阅读;还有，数学阅读时常要求从课文中概括归纳出一些东西，如解题格式、证明思想、知识结构框图，或举一些反例、变式来加深理解，这些往往要求读者以注脚的形式写在页边上，以便以后复习巩固。

例1（2004年福建省高考试题）一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，3，…，99。现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定在第一组抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数与m+k的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是：63。

解析：读懂试题中给定的“抽样法则”非常重要，因m+k=6十7=13，故在第7组中抽取的号码个位数字是3，从而抽取的号码是63。

例2（2003年上海春季高考题）设，利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得的值为：。

解析：本题要求利用课本中等差数列的求和方法，如果平时只记忆公式，而缺乏对课本公式来源过程的阅读，就不知道要用“倒序相加法”。

令 ①

则 ②

为化简，应将①、②式相加，类似于等差数列的情形，猜想：。而

所以：

所以：

二、由于数学语言的高度抽象性，数学阅读需要较强的逻辑思维能力

在阅读过程中，读者必须认读感知阅读材料中有关的数学术语和符号，理解每个术语和符号，并能正确依据数学原理分析它们之间的逻辑关系，最后达到对材料的本真理解，形成知识结构，这中间用的的逻辑推理思维特别多。而一般阅读“理解和感知好像融合为一体，因为这种情况下的阅读，主要的是运用已有的知识，把它与新的印象联系起来，从而掌握阅读的对象”，较少运用逻辑推理思维。

例3：（2003年上海卷高考题）给出问题：、是双曲线的焦点，点P在双曲线上。若点P到焦点的距离等于9，求点P到焦点的距离。某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由，即，得或17。

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面括号内（）。

解析：试题提供的解答过程是不正确的，产生了多解。由题意知：，若，由题设知两边之差大于第三边，与三角形两边之差小于第三边的性质矛盾。

三、数学阅读过程中语意转换频繁，要求思维灵活

数学教科书中的语言可以说是通常的文字语言、数学符号语言、图形语言的交融，数学阅读重在理解领会，而实现领会目的的行为之一就是“内部言语转化”，即把阅读交流内容转化为易于接受的语言形式。因此，数学阅读常要灵活转化阅读内容。如把用符号形式或图表表示的关系转化为言语的形式以及把言语形式表述的关系转化成符号或图表形式;把一些用言语形式表述的概念转化成用直观的图形表述形式;用自己更清楚的语言表述

正规定义或定理等。总之，数学阅读常要求大脑建起灵活的语言转化机制，而这也正是数学阅读有别于其它阅读的最主要的方面。

例4（2004年江苏省高考试题）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右上方的条形图表示。根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）。

A.0.6小时 B.0.9小时 C.1.0小时 D.1.5小时

解析：由条形图要看出，对应阅读时间量为0、0.5、1、1。5、2小时的人数分别为5、20、10、10、5，故50人阅读的总时数为：小时，所以平均每人阅读时间为： 小时。

例5（2004年上海卷高考题）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ）。

A.计算机行业好于化工行业

B.建筑行业好于物流行业

C.机械行业最紧张

D.营销行业比贸易行业紧张

解析：本题选材于社会热点问题，背景鲜活真实，考查学生阅读图表后获取有用数据的能力。根据表中的数据，可推知机械行业的应聘人数少于贸易的65280人，与招聘人数89115之比小于1，也可以这样理解：凡来应聘的都有工作，而物流行业，招聘人数少于化工的70436人，应聘人数74570与招聘人数之比大于1，即来应聘的人肯定有人没有工作，故可断定“建筑行业好于物流行业”，故选B。

阅读能力是学习数学的一个十分重要而又容易被忽略的技能，数学新知识的学习离不开阅读。由此可见，在高三数学复习中通过让学生自己阅读教材、自己阅读例题的解法、加强学生阅读能力的培养是十分迫切，也是十分重要的。

参考文献：

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关键字： 转化与化归 高考复习 立体几何

在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化为一个新问题通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.这种解决问题的方法用到的便是转化与化归思想.在转化与化归思想模式下，利用某种手段或方法将问题通过变换使之转化，从而达到解决问题的目的.在高考复习过程中，转化与化归是一个重要的考点，因此，对转化与化归思想应用的复习是一个十分重要的内容.本文以立体几何为例，分析高考复习中转化与化归思想在立体几何中的应用问题.

一、高考复习中应用转化与化归思想的指导原则

高考对转化与化归思想的考查范围较广，涉及各方面数学问题和知识.首先，数形转化问题，例如函数单调性和解析几何中斜率问题等.其次，常量和变量之间的转化问题，例如求范围和分离变量等.最后，关于数学各分支的转化问题，例如向量和解析几何等的转化，以及函数与立体几何的转化等.另外，还包括将各种实际问题转化为数学模型的情况.其中在立体几何中转化与思想贯穿于解题的全过程，是立体几何问题的基本思想和方法，在高考复习立体几何中应用转化与化归思想时，应遵循以下指导原则，提高复习的实效性.

1.以学生为主体

在以往的高考数学复习过程中，教师往往处于整个复习的主导地位，统领一切.学生只能机械地跟随教师的安排展开复习，处于被动状态.但是，高考对数学教育的要求使得高考数学复习过程中要注意以人为本，保证学生处于主体地位，具有较高的自主性.因此，在具体的复习过程中，教师要注意转变自身角色，扮演好引导者的角色，帮助学生自主复习.并积极采取有效措施，调动学生的复习积极性，增强复习效果.

2.以大纲为指导

在复习过程中，一定要注意紧密围绕考试大纲的具体要求，以考试大纲为指导.教师要注意带领学生一起深入分析研究最新的考试大纲的具体内容和要求，并回顾往年的考试大纲，找出区别，做到对考试内容和考点心中有数.同时，教师还要注意做好归纳总结工作，将考试大纲对不同数学知识的要求进行总结，并带领学生一起围绕考纲展开复习.

3.注重能力培养

高考十分注重对学生能力的考查，培养学生能力是高考教学复习的主要目的之一.因此，在复习过程中，要注意使学生获得各种利用转化与化归思想解决数学问题的能力，帮助学生养成良好的学习习惯，为进一步学习打好应用基础.

二、高考复习立体几何中转化与化归思想的应用

在解决各种高中立体几何问题时，可以利用转化和化归思想，将抽象的空间问题进行合理转化，变为具体的实数运算.从而降低运算难度，简化运算过程，提高解题效率.在具体应用向量知识解决立体几何问题时，首先要考虑需要用什么向量知识进行解题，具体需要用的向量有哪些.然后根据题意分析所需要的向量是否已知，则可利用已知条件转化成具体的向量.如果需要的向量不能直接转化，则要考虑选择用哪个未知向量进行表示，难度如何.在所需向量表示出来之后，便要分析怎样对其进行具体运算，以得到需要的结果和结论.

1.利用向量知识论证立体几何中的线面关系问题

例1：已知m、n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）

A.若m//α，n//α，则m//n B.若αγ，βγ，则α//β

C.若m//α，m//β，则α//β D.若mα，nα，则m//n

解析：根据向量中空间线与线，线与面的平行、垂直的相关知识，可以得出如果mα，nα，则m//n，即选项D为正确答案.

2.运用向量的坐标运算建立空间直角坐标系

例2：如图2，直三棱柱ABC―ABC，底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA=2，M、N分别是AB、AA的中点.

图2

（1）求的长；

（2）求cos的值；

（3）证明：ABCM.

分析：在解题时，我们可以利用向量知识，建立空间直角坐标系O-xyz，找到点的具体坐标，并得出向量的坐标.在建立坐标系之后，要能够准确找到点的具体坐标.我们可以先在底面坐标面xOy内找到点A、B、C的具体坐标，并利用向量的模和具体的方向，将其他点的具体坐标找出来.

（1）解：如上图2所示，我们以点C为原点，建立空间直角坐标系O-xyz.

由题意可得：点B、N的坐标分别为：B（0，1，0），N（1，0，1）.

可得||==.

（2）解：由题意可得点A，C，B的坐标：A（1，0，2），C（0，0，0），B（0，1，2）.

=（1，-1，2），=（0，1，2）

・=1×0+（-1）×1+2×2=3

||==

||=

cos=

（3）证明：由题意可得C（0，0，2），M（，，2）

=（，，0），=（-1，1，-2）

・=（-1）×+1×+（-2）×0=0，

ABCM.

3.利用向量知识解决立体几何中的角度问题

例3：如下图1所示，已知平行六面体ABCD―A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

图1

（1）求证：CCBD.

（2）试求的值为多少的时候，A1C垂直于面CBD？

解析：这道题目考查的主要是立体集合中的垂直和夹角等问题，培养学生解读几何图形的能力.通过分析题意，我们选择利用向量知识，实现线面位置关系和数量关系之间的转化.我们可以利用aba・b=0，即互相垂直的两条直线的向量的数量积为零，证明两条直线的垂直关系.

解答：

（1）证明：设=a，=b，=c.则由题意可得|a|=|b|.

设、、两两所成夹角均为θ，可得=-=a-b，

即・=c（a-b）=c・a-c・b=|c|・|a|cosθ-|c|・|b|cosθ=0，

CCBD.

（2）解：想要证明AC面CBD，则需要证明ACBD，ACDC，

由・=（+）・（-）=（a+b+c）・（a-c）

=|a|+a・b-b・c-|c|=|a|-|c|+|b|・|a|cosθ-|b|・|c|・cosθ=0，

可得，当|a|=|c|时，ACDC.

同理可得，当|a|=|c|时，ACBD，

当=1时，AC面CBD.

三、结语

作为一种重要的高中数学思想，转化与化归思想是高考复习的重点内容.深入领会转化与化归思想，并掌握转化与化归思想的应用方法等，对提高高考数学复习效率和质量是大有裨益的.在高考复习中，教师应帮助学生深刻领悟并掌握转化与化归思想，充分发挥学生的主观能动性，最大限度地提高高考复习效率.

参考文献：

[1]王陈勇，陈智猛.化归与转化思想视角下几何问题的变式与探究[J].福建中学数学，2012，（3）：4-6.

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一、教师方面

1.在课堂教学结构上,更新教育观念,始终坚持以学生为主体,以教师为主导的教学原则

教育家苏霍姆林斯基曾经告诫我们:“希望你们要警惕,在课堂上不要总是教师在讲,这种做法不好……让学生通过自己的努力去理解的东西,才能成为自己的东西,才是他真正掌握的东西。”按我们的说法就是:师傅的任务在于度,徒弟的任务在于悟。数学课堂教学必须废除“注入式”“满堂灌”的教法。复习课也不能由教师包讲,更不能成为教师展示自己解题“高难动作”的“绝活表演”,而要让学生成为学习的主人,让他们在主动积极的探索活动中实现创新、突破,展示自己的才华智慧,提高数学素养和悟性。作为教学活动的组织者,教师的任务是点拨、启发、诱导、调控,而这些都应以学生为中心。复习课上有一个突出的矛盾,就是时间太紧,既要处理足量的题目,又要充分展示学生的思维过程,二者似乎是很难兼顾。我们可采用“焦点访谈”法较好地解决这个问题,因大多数题目是“入口宽,上手易”,但在连续探究的过程中,常在某一点或某几点上搁浅受阻,这些点被称为“焦点”,其余的则被称为“”。我们大可不必在处花精力去进行浅表性的启发诱导,好钢要用在刀刃上,而只要在焦点处发动学生探寻突破口,通过访谈,集中学生的智慧,让学生的思维在关键处闪光,能力在要害处增长,弱点在隐蔽处暴露,意志在细微处磨砺。通过访谈实现学生间、师生间智慧和能力的互补,促进相互的心灵和感情的沟通。

2.趣浓情深,提高复习课解题教学的艺术性

在复习时,由于解题的量很大,就更要求我们将解题活动组织得生动活泼、情趣盎然。让学生领略到数学的优美、奇异和魅力,这样才能变苦役为享受,有效地防止智力疲劳,保持解题的“好胃口”。

一道好的数学题,即便具有相当的难度,它却像一段引人入胜的故事,又像一部情节曲折的电视剧,那迭起的悬念、丛生的疑窦正是它的诱人之处。“山重水复”的困惑被“柳暗花明”的喜悦取代之后,学生又怎能不赞叹自己智能的威力?我们要使学生由“要我学”转化为“我要学”,课堂上要想方设法调动学生的学习积极性,创设情境,激发热情,有这样一些比较成功的做法:一是运用情感原理,唤起学生学习数学的热情;二是运用成功原理,变苦学为乐学;三是在学法上教给学生“点金术”,等等。

3.讲究讲评试卷的方法和技巧

复习阶段总免不了要做一些试卷,但试卷并不是做得越多越好,关键在于做题的质量好坏和收益的多少。怎样才能取得好的讲评效果,要做好以下几点:

①照顾一般,突出重点

在讲评试卷时,不应该也不必要平均使用力量,有些试题只要点到为止,有些试题则需要仔细剖析,对那些涉及重难点知识且能力要求比较高的试题要特别照顾;对于学生错误率较高的试题,则要对症下药。为此教师必须认真批阅试卷,对每道题的得分率应细致地进行统计,对每道题的错误原因准确地分析,对每道题的评讲思路精心设计,只有做到评讲前心中有数,才会做到评讲时有的放矢。

②贵在方法,重在思维

方法是关键,思维是核心,渗透科学方法,培养思维能力是贯穿数学教学全过程的首要任务。通过试卷的评讲过程,应该使学生的思维能力得到发展,分析与解决问题的悟性得到提高,对问题的化归意识得到加强训练:多题一解”和“一题多解”,不在于方法的罗列,而在于思路的分析和解法的对比,从而揭示最简或最佳的解法。

③分类化归,集中讲评

涉及相同知识点的题,集中讲评;形异质同的题,集中评讲;形似质异的题,集中评讲。

总之,上好讲评课，能大大激发学生“二次学习”的欲望，更好的培养学生“创造性学习”的能力。

二、学生方面

1.适当做笔记

听课时可以适当地做些笔记，但前提是不影响听课的效果。有些同学光顾着抄笔记却忽略了老师解题的思路，这样就是“捡了芝麻丢了西瓜”，反而有些得不偿失。

2.题目最好做两遍

要想学好数学，平时的练习必不可少，但这并不意味着要进行题海战术，做练习也要讲究科学性。在选择参考书方面可以听一下老师的意见，一般来说老师会根据自己的教学方式和进度给出一定的建议，数量基本在1—2本左右，不要太多。在高考前的冲刺阶段要保证1—2天做一套试卷来保持状态。最重要的是要通过做题发现并解决自己已有的问题，总结出各类题目的解题方法并且熟练掌握。

3.改错与反思

复了回顾、整理旧知识、技巧、方法以及提高解基础题的准确度、速度外，还要进行横向沟通，纵向发展，构筑知识网络，提高综合解题能力。在复习过程中，难免会出现一些大大小小的失误，也会遇到一些拦路虎，这时候，你可能要么是变得束手无策，要么是费了九牛二虎之力才解决，要么是问题虽然解决了，但自我感觉不好——或是思路不清，东拼西凑才找到答案；或是解决繁琐，不尽人意。碰到这种种情况不要紧张，这正是你拓展思维、提高能力的契机，不要轻易放过。“错误是最好的老师”，我们要认真地纠正错误，当然，更重要的是寻找错因，及时进行总结，三、五个字，一、两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次；轻描淡写，文过饰非地查错因是没有实质性意义的。

4.应考时要舍得放弃

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关键词 知识 技能 方法

近年来，数学复习资料名目繁多，许多教师过于依赖各类资料，在复习中忽视了书本中的基础知识。这中做法实际上相当于在复习中失去了基石，现谈谈本人的一些看法。

一、重视基础知识、基本技能、基本方法

课本是考试内容的载体，是高考命题的依据，也是智能的生长点，是最有价值的资料，有相当多的高考试题是课本中基本题目的直接引用或稍作变形得来的，其用意就是引导我们要重视基础，切实抓好”三基”(基础知识、基本技能、基本方法)。最基础的知识是最有用的知识，最基本的方法是最有用的方法。在复习过程中，我们必须重视课本，夯实基础，以课本为主，重新全面地梳理知识，方法，注重知识结构的重组与概括，揭示其内在联系与规律，从中提炼出思想方法。在知识的深化过程中，切忌孤立对待知识，方法，而应自觉地将其前后联系，纵横比较、综合，自觉地将新知识及时纳入已有的知识系统中去，注意通用通法，淡化特殊技巧。

近年来高考数学试题的新颖性，灵活性越来越强，不少学生把主要精力放在难度较大的综合题上，认为只有通过解决难题才能培养能力，因而忽视了基础知识、基本技能、基本方法的复习。其实近几年的高考命题已经明确告诉我们：基础知识、基本技能、基本方法始终是高考数学考查的重点。选择题、填空题以及解答题中的基本常规题已达到整份试卷的80%左右，对基础知识的要求也更高、更严了。如果我们在复习中过于粗疏，或在学习中对基础知识不求甚解，都会导致在考试中判断错误。其实定理、公式推证的过程就蕴涵着重要的解题方法和规律，如果没有发掘其内在的规律就去做题，试图通过大量地做题去“悟”出某些道理，只会事倍功半。

二、抓刚务本，落实教材

数学复习任务重，时间紧，但决不能因此而脱离教材。相反，要紧扣大纲，抓住教材，在总体上把握教材，明确每一章、每一节的知识在整体中的地位、作用。

近年来的试题都与教材有着密切的联系，有的是直接利用教材中的例题、习题、公式定理的证明作为高考题；有的是将教材中的题目略加修改、变形后作为高考题；还有的是将教材中的题目合理拼凑、组合作为高考题。因此，一定要高度重视教材，针对教材所要求的内容和方法，把主要的精力放在教材的落实上，切忌刻意追求偏题、怪题和技巧过强的难题。

学生对基础知识和基本技能的理解与掌握是数学教学的基本要求，也是评价学生学习的基本内容。高中数学中的基础知识、基本技能主要包括②，基本的数学概念、数学结论的本质，概念、结论等产生的背景、应用，以及其中所蕴涵的数学思想和方法，和它们在后续学习中的作用。同时，还包括数学发现和创造的一些基本过程。

高中数学考试的内容选取，要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿以及复杂技巧。尤其要把握如下几个要点：

1、关于学生对数学概念、定理、法则的真正理解。尤其是，对数学的理解，至少包括能否独立举出一定数量的用于说明问题的正例和反例。

2、关于不同知识之间的联系和知识结构体系。即高中数学考试应关注学生能否建立不同知识之间的联系，把握数学知识的结构、体系。

3、对数学基本技能的考试，应关注学生能否在理解方法的基础上，针对问题特点进行合理选择，进而熟练运用。同时，注意数学语言具有精确、简约、形式化等特点，适当检测学生能否恰当地运用数学语言及自然语言进行表达与交流。

三、加强通性通法的总结和运用

在复习中应淡化特殊技巧的训练，重视数学思想和方法的作用。常用的数学思想方法有：

1、函数思想。中学数学，特别是中学代数，可谓是以函数为中心（纲）。集合的学习，求函数的定义域和值域打下了基础；映射的引入，使函数的核心----对应法则更显现其本质；单调性、奇偶性、周期性的研究，是对映射更深入更细致的刻画；函数与反函数的研究，辨证全面地看待事物之间的制约关系。数列可以看成是特殊的函数。解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点；解不等式f(x)>0或f(x)

2、数形结合思想。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与树轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

数形结合的重点是“以形助数”。运用数形结合思想，不仅易直观发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理。大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优势，要注意培养这种思想意识，要争取做到“胸中有图，见数想图”，以开拓自己的思维视野。

3、分类讨论思想。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的答案。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 转贴于

分类原则：分类的对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。

分类方法：明确讨论对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合得出结论。

4、转化思想。将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫做化归与转化的思想。化归与转化的思想的实质是揭示联系，实现转化。

熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。

四、帮助学生打好基础，发展能力

教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能，发展能力。具体来说：

1、夯实基础、加强概念教学：历年高考都有40%左右分值比重的试题综合性较弱、难度较低、贴近教材，解答过程较为直观且命题方式相对稳定，用以考查学生基础知识的掌握情况。有40%左右分值比重的试题综合性较强，命题较为灵活，难度相对较高，用以考查学生的基本能力。知识是基础，能力的提高和知识的丰富是相互伴随的过程，要意识到基础知识的重要性，常规教学中一味求难求变的作法是不可取的，抓住基础知识是全面提高教学质量和高考成绩的关键。数学科学建立在一系列概念的基础之上，数学教学由概念开始，概念教学是基础的基础。数学具有高度抽象的特点，概念的形成是教学工作的难点。知识的发生发现过程是概念的形成过程，挖掘并精化知识的发生发现过程，直观展现知识的发生背景和前人的思维过程，是概念教学的关键。数学学习要理解诸多的概念及概念间的关系，概念教学贯穿于数学教学工作的始终。探讨概念间的关系，展示概念间的联系，把诸多概念有机地串接起来，有利于加深学生对概念的理解，有利于“辩证、普遍联系”的认识观念的形成，有利于探寻、解决问题能力的提高和数学思想方法的形成。

2、强调对基本概念和基本思想的理解和掌握。教学中应强调对基本概念的理解和掌握，对一些核心概念要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。

3、重视基本技能的训练。熟练掌握一些基本技能，对学好数学是非常重要的。在高中数学课程中，要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练。但应注意避免过于繁杂和技巧性过强的训练。

随着时代和数学的发展，高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化。一些新的知识就需要添加进来，原有的一些基础知识也要用新的理念来组织教学。因此，教师要用新的观点审视基础知识和基本技能，并帮助学生理解和掌握数学基本知识、基本技能和基本思想。对一些核心概念和基本思想（如函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）要在整个高中数学的教学中螺旋上升，让学生多次接触，不断加深认识和理解。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质，注重体现基本概念的来龙去脉。在新课程中，数学技能的内涵也在发生变化，在教学中要重视运算、作图、推理、数据处理、科学计算器和计算机的使用等基本技能训练，但应注意避免过于繁杂和技巧性过强的训练。

参考文献

1.2009高考总复习全线突破（数学文科版）山东省地图出版社，2008.3

2.2008年江苏省高考说明（数学科）

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关键词：特殊到一般；化归特殊问题；特值验证；着眼最值情况

问题是数学的心脏，那么解题的思想方法就是数学的灵魂. 美国著名数学家波利亚把一般化、特殊化及类比并列称为“获得发现的伟大源泉”. 波利亚在《数学与猜想》中列举了许多生动的事例，说明数学界的先辈们如何从对简单、特殊事物的考察中发现普遍的规律，也就是说运用特殊化思想导致了许多伟大的发现.

盘点2012年的高考试题及模拟试题，遵循能力立意，引领少教多悟的原则. 别具匠心地设计了一些立意高远、背景公平、内涵丰富、设问通俗、解答灵活的创新试题，如何在比较短的时间内，快捷、准确地得到解决问题的思路及答案，恰当地运用特殊化思想往往会收到事半功倍的效果.本文结合一些典型例子试图对特殊化思想，做一番剖析.

[?] 从特殊到一般

特殊问题像一把钥匙、一面镜子，可以为我们看清一般问题助一臂之力，为探索解题途径提供线索，并成为解决问题的突破口.

例1 （镇海中学2012年数学测试卷第10题）设R表示一个正方形区域，n是一个不小于4的整数. 点X位于R的内部（不包括边界），如果从点X可引出n条射线将R划分为n个面积相等的三角形，则称点X是一个“n维分点”. 由区域R内部的“100维分点”构成集合A，“60维分点”构成集合B，则集合{x

x∈A且x?B}中的元素个数是（ ）

A. 1560 B. 2320

C. 2480 D. 2500

分析：令正方形的边长为1，考虑n=4的情形，从点X可引出4条射线将R划分为4个面积相等的三角形，即每一个三角形的面积为，也就是说点X到每一边的距离相等，得4维分点只有一个.

考虑n=8的情形，从点X可引出8条射线将R划分为8个面积相等的三角形，即每一个三角形的面积为. 由对称性，这8条射线分别与一组对边组成4个面积为的三角形，4个三角形按2，2；1，3分组. 得点X到每一组边的距离比可以为1∶1，1∶3. 所以只要将正方形分成4×4的方格，正方形内9个格点就是8维分点.

由上可得，4n维分点的个数为（2n-1）（2n-1）. 即集合A，B的元素分别为49×49个，29×29个，去掉重复的81个，得2320个.

评注：本题通过考察n=4，n=8的情形，发现4，8维点的特征，进而得到n维点的个数. 坚持以考察特殊情形作为探索的起点，从中寻求启示，是解决这类问题的有效手段.

例2 （福建2012年高考数学理科试题第19题）椭圆E：+=1（a>b>0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=. 过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8.

（1）求椭圆E的方程.

（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q. 试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

分析：（1）+=1.

（2）假设坐标平面内存在定点M，由图象的对称性可知点M在x轴上.

取点P（0，），则Q（4，）. 得以PQ为直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点M1（1，0），M2（3，0）.

所以若符合条件的点M存在，且点M的坐标必为（1，0）. 以下只要证明・=0即可.

评注：圆过定点问题由于涉及三个量k，m，xM . 要在k，m的变化中找到一个常量xM，难度较大. 通过选取已知椭圆上的两个特殊点，作两个圆得定点，然后再证明，是解决圆过定点问题的一个十分有效的方法.

[?] 化归特殊问题

将一般问题化归为特殊问题是处理数学问题的一个有效途径，要实现有效地化归，必须抓住两个环节：其一，通过观察，恰当地选出一种基本问题，并进行解答；其二，在化归上下工夫，有时还需做一番精巧的构思，才能把各种一般问题化为特殊问题进行解决.

例3 （自编）已知二面角α-l-β的大小为50°，P为空间中任意一点，过点P且与平面α和平面β所成角都是30°的平面γ的个数为（ ）

A. 2个 B. 3 个

C. 4个 D. 5个

分析：不妨假设P∈l，过点P作直线lγ，则过点P与α，β所成角都是30°的平面γ的个数问题就转化为过点P与α，β所成角都是60°的直线l的条数问题.

若过点P作aα，bβ，则a，b所成角为50°，则过点P与α，β所成角都是60°的直线l的条数问题就转化为过点P与a，b所成角都是30°的直线l的条数问题. 过点P作a1∥a，b1∥b，则过点P与a，b所成角都是30°的直线的条数问题就转化为过点P与a1，b1所成角都是30°的直线问题. 如图1，以点P为顶点，直线a1，b1为轴作顶角为60°的圆锥，由图可知两个圆锥侧面有且只有两条交线.

评注：通过作面的垂线，把原题转化为过定点与两直线所成定角问题. 构造特殊的模型圆锥是解决这类问题的一个最直观的方法.

例4 （宁波2012年十校联考数学试题第22题）已知函数f（x）=（x3+2x2+5x+t）e-x，t∈R，x∈R.

（1）当t=5时，求函数y=f（x）的单调区间；

（2）若存在实数t∈[0，1]，使对任意的x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，求整数m的最大值.

分析：（2） f（x）≤x?t≤xex-x3-2x2-5x，问题转化为对任意的x∈[-4，m]，xex-x3-2x2-5x≥0. 显然，当x=1时，左边=e-8

评注：通过对问题的不断观察，逐步将复杂的问题转化为一个显而易见的问题，避免了讨论与证明.

[?] 利用特值验证

当高考中的客观题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中的变化的不定量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）进行处理，即可以得到正确的结果. 真正实现小题不大做.

例5 （浙江2012年高考数学理科试题第17题）设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，则a=______.

分析1：令f（x）=[（a-1）x-1]（x2-ax-1），若x>0时均有f（x）≥0，则a>1. 令x1=>0，x2，x3为x2-ax-1=0的根，因为x2・x3=-1，不妨设x2>0，x3

评注：通过对三次函数零点的分析，发现只有一种特殊情况符合条件，即两个正零点相等.

分析2：令f（a）=（xa-x-1）（xa-x2+1），则当x>0时均有f（a）≤0. 由-x-1=-x2+1，得x=2. 即当x=2时，f（a）=（2a-3）2≤0. 得a=.

评注：通过把不等式转化为以a为主元的不等式，观察数学式的结构发现当x=2时，f（a）为平方式. 看似难以想象，实际在情理之中.

例6 （上海2012年高考数学理科试题第14题）如图2，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a，c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是__________.

分析：由AB+BD=AC+CD=2a可知点B，C在以A，D为焦点，长轴为2a的椭球上运动，则B，C到AD距离的最大值为b=. 过BC作垂直于AD的面交AD于点E，则VABCD=SBCE・AD，因此当BE=CE=时，BCE的面积最大为.

所以VABCD的最大值为.

评注：要使体积最大，只要BCE的面积最大，显然对于底边为定值的等腰三角形，只当腰长最大时，面积最大.

[?] 着眼最值情况

着眼问题达到最值时对应的变量的值，并把问题的最值作为分析问题的出发点. 一个十分有意义的事情，数学上的许多性质，往往会通过一些变量达到最值时反映出来. 这就使我们可以以它们为重点考察对象，来寻找问题的突破口.

例7 （浙江2012年高考数学理科调研试题第17题）如图3，已知圆心角为120° 的扇形AOB的半径为1，C为弧AB的中点.点D，E分别在半径OA，OB上. 若CD2+CE2+DE2=，则OD+OE的取值范围是______.

思路3：考虑到已知条件与所求结论对于x，y具有轮换性.当x=y时满足题意，当x=y时代入得x=y=，即x+y=. 观察图，当点D，E分别在半径OA，OB上运动，点D，E中有一个与O重合时，x+y=.

评注：这是巧合吗？其实偶然中有必然，确实数学中的许多美妙的性质都会在最值上反映出来.

例8 （南京2012年二检第13题）在面积为2的ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则・+2的最小值是______________.

分析：问题可转化为已知PBC的面积为1，求・+2的最小值.

由题设知，PBC的面积为1，以B为原点，BC所在直线为x轴，过点B与直线BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系.

[?] 考察极限位置

题中变化的不定量选取一些极限值时，通过观察它们的变化趋势，也会取得意想不到的效果.

例9 （宁波2012年十校联考数学试题第16题）已知A，B分别是双曲线C：x2-y2=4的左、右顶点，且P是双曲线上在第一象限内的任一点，则∠PBA-∠PAB=__________.

分析：当点P越来越接近点B时，可知∠PBA，∠PAB0?∠PBA-∠PAB.

例10 已知O是锐角三角形ABC的外接圆的圆心，且∠A=θ，若+=2m，则m=__________.

分析：当A，B，C时，（+）. 代入条件得m=1，即m=sinθ.

以上通过两个方面对特殊化思想进行了剖析. 一方面是通过对特殊问题的研究，摸索出一些经验，获得一点启示，再以所获得的启示作为钥匙，打开问题的答案之门.当然如何将一般问题转化为特殊问题，如何觅得启示，是解决问题的至关重要的一环.

篇10

关键词：通性通法；双基；类比

近几年江苏高考数学试题题量稳定，结构稳定，题型变化不大，考查的是基础知识和基本技能，强调的是通性通法。学生要拿高分，基础题目得先拿稳，所以在我们的复习课中要以一题覆盖一类题目，触类旁通，有章可循，这样会在复习时起到事半功倍的效果。

在“通性通法”中，“通性”就是概念所反映的数学基本性质；“通法”就是概念所蕴含的思想方法。概念中道出了基本技能和思想方法―重双基。解题教学中，注重基础知识及其蕴含的数学思想方法，才是数学教学的硬道理。这就要求我们努力提高对所教内容的理解水平，增强辨别和判断能力，分清主次，把握知识的重难点，培养学生联系基础、洞察本质的能力，这样才能落实数学课程的育人功能，使学生真正从通性通法中得到好处。

一、寻根溯源，重视课本知识

要根据教学大纲的要求进行教学，而最基本的知识点和思想方法几乎都是从课本中的概念、法则、性质、定理、公理、公式出发，在相应的例题中涵盖数学知识和思想方法。高考题的出处也是来源于书本又不拘泥于书本知识，可以在书本中找到影子。我们知道书本是专家们共同编写的，覆盖了高中的知识点与思想方法。每一个例题都有它自身的价值，具有普遍指导意义的通性、通法，一定的代表性，做到“练例题，学一法，会一类，通一片”，才是十分重要的学习策略，也是符合素质教育要求的。

在必修5中讲完等差数列和等比数列的时候，会留给我们很多思考，比如会存在等和数列an+an+1=d与等积数列anan+1=q吗？如果有，它们会有些什么性质呢？结果证实，确实存在，并具有相应的an通项公式和前n项和Sn的公式。

同样在课本中椭圆的定义是平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1，F2）的点的轨迹是椭圆。双曲线的定义是平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1，F2的正数）的点的轨迹叫做双曲线。能否类比这些性质，猜想平面内到两个定点F1，F2的距离的比等于常数？姿（？姿>0且？姿≠1）的点的轨迹是什么呢？推导发现是个圆（命名为阿波罗尼斯圆）。

例1.【江苏2013年14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4。设圆的半径为1，圆心在l上。

（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。

利用阿波罗尼斯圆的定义就可以知道第（2）问中MA=2MO可得到点M的轨迹方程x02+（y0+1）2=4，于是题目就转化为圆C与圆M的位置关系了，从而问题得以解决。

可以看出课本知识与高考题的密切联系，不仅让学生知道书本的重要性而且要学会思考，举一反三，类比推理，归纳总结出一些重要的结论和知识点，尤其在高考复习中需要重视书本的再学习。

二、通过思维训练，形成探究意识

学生思维的灵活性、深刻性和发散性都不是一时养成的，需要平时对思维的训练，那么对数学学科而言是最好的思维训练平台。思维变通往往需要几种变通（改编题目、变式练习、一题多解等）的综合，尤其是题目变通和方法变通，能很好地活跃学生的思维，养成很好的思维习惯，并在好奇心和求知欲的驱使下，让学生对数学产生兴趣。

譬如，用数学语言描述等差数列的定义：an-an-1=d（n≥2），那么就可以得到通项公式an=a1+（n-1）d。猜想如果把常数d变成函数f（n），即an-an-1=f（n），若f（n）=2n，那么该数列的通项会是什么呢？经过探讨发现可以用累加法得到：an=a1+■f（i），既而又可探讨f（n）的表达式子，怎样才能顺利化简■f（i）。于是猜想f（n）的表达式，可以是关于n的一元一次方程如f（n）=（2n-1），用等差数列求和公式处理■f（i）；可以是指数形式给出f（n）=2n用等比数列求和来求解；可以构造能裂项相消的式子如f（n）=■；也可以是错位相减的差比数列如f（n）=n・2n等一系列的f（n）模型出现。

通过上面的推理，我们也可以猜想等比数列公比不是常数而是函数模型f（n）是否也有这样的结论呢？由■=q（q≠1，0）知数列an是等比数列并通项是an=a1qn-1，那么给出式子■=f（n）。那么数列an的通项怎么求呢？结论是用累乘法得an=a1■f（i），同时又可猜想f（n）是怎样的表达式求和部分可化成一个式子。于是可以构造能约分或者能合并的式子如f（n）=1-■，cos2n等。

通过用数学的思想分析问题、解决问题来训练学生的思维，培养探究创新以及灵活多变的思维能力。在变式探究过程中，学生的思维逐步深入，并影响着课堂的气氛，课堂常常因变化的奥妙精彩而推向。教学的关键不是记住结论，而是经历探究的过程，感受数学的研究方法，提高数学的解题能力，只有在运用通性通法进行不断变式演练中，才能提高解题能力。通过变式教学，有意识、有目的地引导学生从“不变”的本质中探究“变”的规律，使思维在所学知识中游刃有余，顺畅自如。

三、归纳各种题型的思想方法，体会解决问题的数学思想

所谓基本思想方法，包含两层含义：一是主要的四类数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化（化归）思想；二是常用的数学方法，可分为三类：第一类是逻辑学中的方法，如分析法、综合法、反证法、类比法、归纳法、穷举法等；第二类是中学数学的一般方法，如代入法、图象法、比较法和数学归纳法等；第三类是中学数学的特殊方法，主要是配方法、换元法、待定系数法、参数法及向量法等。而这些基本思想方法是蕴含在具体的题目中的，需不断地通过这些例题和习题进行“提炼”和“概括”，仔细体会，认真思考，在不断的思考体会中把这些思想方法进行内化，转换为自己的能力，反过来用这些思想方法指导解题，在不断的反复中把数学知识和数学思想方法融为一体，使自己的能力达到一个新的高度。

从高考数学试题里知道高考重视对基础知识、基本技能和通性通法的考查。通法的思想顺应一般思维规律，为多数学生所掌握，便于理解和操作。在教学中应注意讲清通性通法的概括过程，并通过启发和引导，向学生提示每种通法产生的过程，这样更有利于学生对通法本质、对数学思想的理解。所以在系统复习基础的时候，仅仅有知识的积累还不够，还要注意归纳方法，掌握常见的、使用频率较高的解题方法，研究通性通法，体会其中所蕴涵的数学思想方法。

在圆锥曲线试题中，经常会用到“坐标法转移法”“消元法”“判别式法”“韦达定理法”“解析法”等常用方法来解决直线直线与直线、直线与曲线、曲线与曲线间的关系。

在研究空间几何时，涉及线面位置关系时，一般是三步骤（线线，线面，面面）之间的转化。涉及距离问题，无非是点、线、面之间的6个距离，注重之间的转化，可能会用到等积法，向量投影法以及点、线、面之间的等价转化。在求空间角时把握住总体思想：先把空间角转化为平面角，再通过解三角形来求角的值。作出对应的平面角是关键，求平面角的通法有“定义法”“平移法”“垂线法”“垂面法”“向量法”。

又如，在三角恒等变换中，注重将不同名三角函数化成同名三角函数，将不同角函数化同角函数，遇到正切、正弦、余弦并存时注意切化弦思想的应用。在解三角中，特别是“正（余）弦定理”的应用，同一个问题，涉及好几个知识板块的核心内容，我们就要结合典型题目分析每种方法的特点，弄清楚其适用条件，注重转化思想，活用“边化角”或者“角化边”的思想，在“熟”和“透”方面下工夫，看到一个问题就能联想到相应的知识、方法，把搜寻的范围缩小在可控范围内，方法明确实用，平时训练有素，以此提高解题速度和准确性。

四、平时注重做题训练，学会思考，总结思想方法

每道高考真题和高考模拟试题都会有一定的数学思想，做题时要用心体会其中的思想方法以及相互之间的渗透。抓住核心的本质，做到心中有数，遇到题目时才会有章可循，不但在解题中达到炉火纯青，至少也能有瞎子吃馄饨――心中有数。当然学是为了不学，要学会学习的本领，所以在平时还需要我们能学后而思，思后而学，学思相结合的良好数学品质。不在一题多解上下工夫，而在符合学生认知规律中下工夫，能学会能操作，能把分数装进自己的口袋中那就是胜利者。换言之，只要能救命的即使是稻草也管用，不会的或者不常使用略显生疏的方法再好也是无济于事。因此在平时就需要多练习一些常用的思想方法和技巧，体现通性通法的使用性。

总之，通性通法是解题的根本，知识是基础，方法是手段，思想是深化，提高学生数学素质还得从提高学生对数学思想方法的认识和应用出发，逐渐培养学生良好的思维品质。

参考文献：

[1]胡章柱.等和数列与等积数列的研究[J].中学数学研究，2007（02）.