高考数学归纳法范文

导语：如何才能写好一篇高考数学归纳法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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【关键词】高考 数学归纳法 结合

数学归纳法是数学中一种证明与自然数n有关的数学命题的重要方法，是通过有限次的验证、假设和论证来代替无限次的事例的验证，从而达到严格证明命题的目的，也就是把从某些特殊情况下归纳出来的规律，利用递推的方法，从理论上证明这一规律的一般性。合理地运用数学归纳法解决问题是中学数学教学中的一个重要内容。

一、数学归纳法的基本原理

用数学归纳法证明一个命题时，必须包括下面两个步骤：

第一步：验证当n取第一个值（如n=1）时命题成立；

第二步：假设当n=k（k∈N）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

完成了这两个步骤，就可断定命题对一切自然数都成立。

这里的第一步称为奠基步骤，是命题论证的基础；第二步称为归纳步骤，是判断命题的正确性能否从特殊推广到一般的依据。这两个步骤密切相关，缺一不可。如果只有奠基步骤而无归纳步骤，那就属于不完全归纳法，因而，论断的普遍性是不可靠的。反之，如果只有归纳步骤而无奠基步骤，那么归纳步骤中的假设（简称归纳假设）就失去依据，从而使归纳步骤的证明失去意义，这一步即使得以证出，其结果也是建立在不可靠的基础上的，所以仍然不能断定原命题是否正确。

二、关于归纳步骤的证明思路

用数学归纳法证题时，关键在归纳步骤，而归纳步骤的关键，又在于合理应用归纳假设。因此，熟悉归纳步骤的证明思路是十分必要的。就中学教材而论，应用数学归纳法证明的命题大致有两种类型：

（1）能直接应用归纳假设来证明的。证明这类问题时，通常在归纳假设的两边同加（或同减）某项，通过适当变换完成证明，对于这种类型的题目，在中学的课本中是比较常见的。

（2）不能直接应用归纳假设来证明的。这类命题解题时，一般通过下面两种途径，为应用归纳假设创造条件：（1）先将n=k+1带入原式，然后将所得表达式作适当的变换，从而证到结论；（2）利用其它数学知识，建立P（k）（第k号命题）与P（k+1）（第k+1号命题）的联系，从而得到结论成立。对于这种类型题目在中学数学的学习中，特别是在高考大题中的出现概率是比较高的。

学生学会了数学归纳法，意味着既掌握了一种证明方法，可以解决很多以前他们解决不了的问题，又开拓了知识领域。但在利用数学归纳法证明的过程中，不仅会遇到各种技巧上的困难，而且即使学生具有应用数学归纳法的技巧，也常常不能真正理解它的含义。因此，数学归纳法是一个教学难点，在中学数学教学中应给予足够的重视。

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【关键词】数论；取整函数；不定方程；奇偶分析；同余

数论知识原是数学竞赛内容，近年悄然融入到高考数学试题之中，先是在选择填空题中占一席之地，后来登堂入室解答题甚至压轴题，与数列、函数、不等式知识联袂出现，蔚然成为高考数学的新热点.这类试题覆盖面广、构思精巧、难度较大，深入研究这类试题很有必要.本文试图通过数论知识分类，探讨此类试题的解题思想与解题方法.1取整函数

取整函数也称为高斯函数，用符号[x]表示，定义为不大于x的最大整数； 取整函数常考查到的知识点与性质有：

2不定方程

变量取整数的方程称为不定方程，不定方程是数论中一个十分重要的课题[1].一般多元一次不定方程用辗转相除法.其他不定方程的类型很多，解题大多用到奇偶分析法、因式分解法、分讨论法、换元法、构造法、无穷递降法、不等式估计法、同余法等.不少不定方程求解难度很大，甚至成为世界难题.

例2（2007年高考湖北理科数学第21题）已知m，n为正整数，

综上，不定方程的解只有n=2，3.

评注求解不定方程用到了不等式估计法与分类讨论法.第（Ⅲ）题是埃斯柯特问题的一个特例.我国数学家柯召与孙琦曾经研究了更一般的不定方程：xn+（x+1）n+…+（x+h）n=（x+h+1）n，获得了较重要的成果[2].

3奇数与偶数

4倍数与余数

设a，b∈[WTHZ]Z[WTBX]，存在唯一的整数对（q，r），使a=bq+r，其中0

（1）a|b且b|ca|c；（2）a|b，a|ca|xc+yb（x， y∈[WTHZ]Z[WTBX]）；（3）（a，b）=1，且

a|c，b|cab|c；（4）若（a，b）=1，a|bca|c.

例4（2015年高考北京理科数学第22题）已知数列{an}满足：a1∈[WTHZ]N[WTBX]*，a1≤36，且an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，2an-36 ，an>18，[JB）]（n=1 ，2 ，…）

.记集合M={an|n∈[WTHZ]N[WTBX]*}.

（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；

（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；

（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值.

解（Ⅰ）由已知an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，

2an-36 ，an>18[JB）]可知：a1=6，a2=12，a3=24，a4=12， 所以M={6，12，24}.

（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由已知an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，

2an-36 ，an>18[JB）]，可用数学归纳法证明对任意n≥k，an是3的倍数.当k=1时，M中的所有元素都是3的倍数；如果k>1时，因ak=2ak-1或2ak-1-36， 所以3|2ak-1，又（2，3）=1，于是3|ak-1，即ak-1是3的倍数.类似可得，ak-2，…，a1都是3的倍数，从而对任意n≥1，an是3的倍数.因此，M的所有元素都是3的倍数.

（Ⅲ）由于M中的元素都不超过36，由a1≤36，易得a2≤36，类似可得an≤36，其次M中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由an的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，由定义可知，an+1和2an除以9的余数一样.

（1）若{an}中有3的倍数，由 （Ⅱ）知，所有的an都是3的倍数，所以an除以9的余数是3，6，3，6，…，或6，3，6，3， …，或0，0，0，0，….而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第3项起最多2项，加上前面的2项，最多4项.

（2）{an}中没有3的倍数，则 an都不是3的倍数，对于a3除以9的余数只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从a3开始an除以9的余数是1，2，4，8，7，5；4，8，7，5，1，2；…，不断的6项不依次序重复出现（可能从2，4，8，7，或5开始），从而知除以9的余数只能是1，2，4，5，7，8且为4的倍数（不大于36），只有28，20，4，16，32，8，所以M中的项加上前面2项最多有8项.而a1=1时，M={1，2，4，8，16，32，28，20}，项数为8，所以集合M的元素个数的最大值是8.

评注第（Ⅲ）题也可以用穷举法来解，因为a1≤36，讨论还不算太繁杂.发现数列{an}的周期性，是解决这一问的关键.讨论数列{an}每一项被9除的余数，使解题过程化繁为简.5同余与剩余类

同余的定义：设m≠0，若m|（a-b），即a-b=km，则称a同余于b模m，b是a对模m的剩余，记作ab（mod m）.剩余类定义：设m∈[WTHZ]N[WTBX]+，把全体整数按其对模m的余数r（0≤r≤m-1）归于一类，记为Kr.每一类Kr（r=0，1，2，…，m-1）均称为模m的剩余类.同一类中任一数称为该类中另一数的剩余.K0，K1，…，Km-1是模m的完全剩余类.这里常被考查到的结论有：（1）ab（mod m），bc（mod m）ac（mod m）；（2）ab（mod m），cd（mod m）a+cb+d（mod m）；（4）ab（mod m），cd（mod m）acbd（mod m）.例5（2015年高考江苏数学第23题）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n}（n∈[WTHZ]N[WTBX]*），Sn={（a，b）|）a整除b或b整除a，[JB（]a∈X，b∈Yn[JB）}]，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数.

（1）写出f（6）的值；

（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明.

解（1）根据题意按a分类计数：a=1，b=1，2，3，4，5，6；a=2，b=1，2，4，6；a=3，b=1，3，6；共13个，所以，f（6）=13.

综上所述，结论对一切满足n≥6的正整数n均成立.

评注第（2）题按命题者的意愿，要求考生先由不完全归纳法得出结论，再用数学归纳法证明，但这样要求，反而限制了学生的思维发散.

从上面的例题可以看到，数论知识在高考试题中的渗透比较深，不少题难度比较大.如果从来没有进行过数论知识的培训，不了解数论中的方法与技巧，学生要想在这些题上拿到高分是很不容易的.因此，我们在平时的教学中，应该注意使用好选修教材《初等数论》，开阔学生的视野，做到有备无患.

参考文献

[1]潘承洞，潘承彪.初等数论[M].北京：北京大学出版社，1998.

[2] 柯召，孙琦.关于方程xn+（x+1）n+…+（x+h）n=（x+h+1）n[J].四川大学学报（自然科学版），1962（2）：9-18.

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1.观察法

观察法就是观察数列特征，找出各项共同构成规律，横向看各项间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通向公式，然后利用数学归纳法证明即可。

例1、在数列{}，{}中且成等差数列，成等比数列（）。求及，由此猜测{}，{}的通向公式，并证明你的结论。

解：有题设条件得，

由此得，

猜测

用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，有以上知结论成立；

（2）假设n=k时，结论成立；即，，那么当时，，

所以当n=k+1时，结论也成立，

由（1）（2），可知对一切正整数都成立。

点评：采用数学归纳法证明多是理科教学内容，较为容易，好掌握。

2.定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。

例2、等差数列是递增数列，前n项和为，且a1，a3，a9成等比数列，。求数列的通项公式.

解：设数列公差为d（d>0）

a1，a3，a9成等比数列，

3.利用公式求通项

有些数列给出的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出。

例3.数列的前n项和为，=1，（n∈），求的通项公式。

解：由=1，=2，当n≥2时，==得=3，因此是首项为=2，q=3的等比数列。

故= （n≥2），而=1不满足该式

所以=。

4.构造等比数列法

原数列既不等差，也不等比。若把中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或=其中b、c为不相等的常数，为一次式。

例4、已知数列中，=2，=

（1）求的通项公式。

解：构造新数列，使之成为的等比数列

整理得：

使之满足已知条件解得是首项为的等比数列，由此得

5.构造等差数列法

数列既不是等差数列，也不是等比数列，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出。

例5、数列满足，首项为，求数列的通项公式。

解：两边同除以得

数列是首项为=1，d=1的等差数列

故

6.取倒数法

有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出。

例6、已知数列

解：把原式变形得两边同除以得 是首项为-1，d=-1的等差数列

故

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【关键词】高考数学；广东卷；全国卷；命题；复习策略

一、高考数学全国卷的命题特点

近年来，高考数学全国卷突出主干知识，全面走进新课改，在新课改的影响下，侧重于结合向量、概率的运算；函数、导数、方程、不等式等相关题型的比重越来越大；空间图形与方程的曲线也成高考的重点.数学高考的复习更倾向于抓住重点建构知识网格，引导学生从科学的高度与思维去认知试题.考生需要有综合的数学知识、思想方法与学科能力，能抓住重点并突破创新，分析解决试题的多种方法，寻找最适合的解题方法.高考数学全国卷从考生出发，在平稳中考基础，在题型交汇处考方法，在综合中考能力与创新，试题充分反映考生的数学素养和学习能力.

二、广东高考数学基于全国卷的复习策略与建议

1.注重基础知识的融会贯通

高考数学全国卷相对于广东卷选择题比例增多，难度增大，但全国卷的选择题和广东卷的有着很大区别，全国卷考查的更深入一些，更注重基础知识的综合运用，考查的内容稍微高级一些，需要知道相关的数学知识才能顺利解题.

这就要求考生对于基础知识理解要到位，懂得融会贯通.平时多练习一些形式变化多样的选择题，能够灵活使用相关的知识点进行知识的联系，把握并适应选择题难度的升高.

2.把握解答题的侧重点，注重知识的综合运用

广东卷与全国卷的必做解答题的考点基本保持一致，全国卷在三角和数列中会选择其一进行解答题的考察，近年来对数列的考察力度逐渐减少，要求考生掌握基本求和与通项，利用相关算法进行数列求和，三角方面不会脱离三角函数的知识.

高考数学广东卷没有涉及概率内容，而全国卷的概率解答题一直作为必考题出现.16年的考生应注意概率大题的计算与运用，克服自己的概率题的障碍，平时多思考，注重生活实际概率问题的解决.

解析几何和函数综合是广东卷与全国卷共同的压轴题，难度也几乎一致.

全国卷的题型相对具有典型性，比如圆锥曲线最值问题，需要进行分类讨论.全国卷圆锥曲线占比增大，广东考生应注意备考时加强圆锥曲线题型的训练，弥补在圆锥曲线综合知识上的空缺与不足.

高考数学全国卷注重基础知识的联系，强调综合创新能力的应用，考察考生的解决问题的综合能力.例如15年高考数学全国卷理科（24）题，结合了几何向量、导数与函数的知识，意在考察考生的交汇点知识综合运用能力.这种命题模型将会成为今后的稳定的考察方向.

3.注意选做题解题形式，强化思维与逻辑

广东考生需要注意的是选做题由2选1变成3选1，全国卷不等式成为必做题，分值的比例也有所增加.考生应把握不等式选讲的学习，增加选修课程的熟悉度.

全国卷的选做题变成3选1，题目与内容都相对增加，要求广东考生注意时间的把握， 建议考试在备考时对自己的学习情况有一个整体的认知与分析，将试题类型按照自己的擅长做出一个排序，防止浪费大量的解答时间.

将数学的抽象与逻辑进行数和形的角度观察与归纳，通过演绎证明、空间想象等思维方法进行数学问题的分析与推理是近年来全国卷数学的主要特征之一.

全国的考题中证明题需要严格的步骤与过程，体现着学生的平面几何知识基础的运用.要求广东考生平时加强逻辑演绎过程的训练，侧重于知识的梳理，进行反证法或数学归纳法进行推理证明，加强严密的逻辑思维与证明步骤.证明题中考生应注意辅助解答，不能忽视作图辅助与条件表达，防止不必要的丢分.

建议广东考生平时强化理性思维，加强数形结合与分类讨论思想的系统训练，加强对于逻辑题目结构的探索，找到适用于自己的一套逻辑解题模式.

4.注重知识积累与拓展，结合生活实际

全国卷题量大，要求考生在备考时锻炼做题速度，基于常规与基础进行务实的复习，虽然考察的都是基础知识，但全国卷注重在题型中渗透新思维与知识交汇，建议广东考生注重积累知识，查缺补漏，进行反复研究与拓展训练，对题型的规律与特点进行总结，制定自己的解题策略，合理的分配时间.

全国卷近年来将试题融入实际性问题，综合考察学生的实践能力与数学应用能力，这是近年来数学高考的探索与改革趋势.高考数学全国卷保证了考查的重点，也同时兼顾了试卷的深度与创新度，使试卷不仅具有稳定性，还注重考查双基和学生的综合实践能力，同时反映了学生个性品质特点.

2014年高考数学全国卷理科（18）题，主要考查事件的概率、随机变量的分布列和数学期望等知识，体现了数学在实际生活中的应用考查，要求学生具有数学应用意识与综合能力.又例如2012年高考数学全国卷理科（19）题，侧重于考生的实践能力的考查：乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.考查的是相关比赛概率的具体计算与探究.建议广东考生平时注重数学在实际生活的应用，将数学知识融入到日常生活，解决实际问题，这样更有利于对全国卷实际应用解答型的把握.

【参考文献】

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一、圆锥曲线与方程

对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决.直线与圆锥曲线的位置关系：（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，应注意数形结合；（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（3）有关垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算．这部分考查的重点是抛物线．

【例1】如图，已知抛物线M:x2=4py(p>0)的准线为l，N为l上的一个动点，过点N作抛物线M的两条切线，切点分别为A,B，再分别过A,B两点作l的垂线，垂足分别为C,D．(1)求证：直线AB必经过y轴上的一个定点Q，并写出点Q的坐标；

(2)若ACN,BDN,ANB的面积依次构成等差数列，求此时点N的坐标．

温馨提醒：在复习这部分时，通常遇到的题目解法较多（即入口较宽）时，要注意择优．其实在处理解析几何题时，同学们主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因．我们要注意培养自己的计算能力．

二、空间向量与立体几何

可以这样说：“只要建立了空间直角坐标系，剩下的便是运算了．”应用空间向量解决立体几何问题一般包括以下题型：解决空间平行与垂直、空间角度与距离问题．

【例2】如图，直三棱柱A1B1C1－ABC中， C1C=CB=CA=2，ACCB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.

（1）求点E到平面ADB的距离；

（2）求二面角E－A1D－B的平面角的余弦值；

（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF平面A1DB？若存在，

确定其位置；若不存在，说明理由.

温馨提醒：

利用空间向量解决立体几何问题，关键是要能熟练掌握如何用空间向量来表示各种位置关系与数量关系，落脚点就在向量运算上.

三、数学归纳法

运用数学归纳法证明问题时，关键是n=k+1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题．

运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等．

【例3】设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝a2n＋a1，M={a∈R|n∈N*，|an|≤2}．

（1）当a∈（－∞，－2）时，求证：aM；

（2）当a∈（0，14］时，求证：a∈M；

（3）当a∈（14，＋∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．

【证明】（1）如果a2，aM．

（2） 当 0

事实上，当n=1时，|a1|=|a|≤12．此时a∈M

设n=k－1时成立（k≥2为某整数），即|ak－1|≤12，

则对n=k，|ak|≤|ak－1|2+a≤(12)2+14=12．

由归纳假设，对任意n∈N*，|an|≤12＜2，所以a∈M．

（3） 当a>14时，aM．证明如下：

对于任意n≥1，an>a>14，且an+1=a2n+a．

对于任意n≥1，an+1－an=a2n－an+a=(an－12)2+a－14≥a－14，

则an+1－an≥a－14．所以，an+1－a=an+1－a1≥n(a－14)．

当n>2－aa－14时，an+1≥n(a－14)+a>2－a+a=2，即an+1>2，因此aM．

温馨提醒：数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法．两个步骤缺一不可，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”．第二步中归纳假设起着已知条件的作用，在n=k+1时一定要用到它，否则就不是数学归纳法，第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．

四、排列组合、二项式定理

对于排列组合、二项式定理的综合问题的考查，主要是在知识网络交汇处设计问题，以其他章节知识为背景，考查同学们运用多种知识处理问题的综合能力．

【例4】设数列{an}是等比数列，a1=C3m2m+3・A1m－2，公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．（1）用n,x表示通项an与前n项和Sn；

（2）若An=C1nS1+C2nS2+…+CnnSn，用n,x表示An．

温馨提醒：由于这部分内容的课时较少，一般是将排列组合、二项式定理融入到导数，数学归纳法，概率统计等内容中去，所以同学们要注意这类交汇型问题.

五、概率统计

【例5】在1,2,3,…,9这9个自然数中，任取3个不同的数．

（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；

（2）求这3个数和为18的概率；

（3）设ζ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ζ的值是2）．求随机变量ζ的分布列及其数学期望Eζ．

【解】（1）记“这3个数至少有一个是偶数”为事件A，

则P（A）=C14C25+C24C15+C34C05C39=3742；

（2）记“这3个数之和为18”为事件B,考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况，所以P(B)=7C39=112；

（3）随机变量ζ的取值为0,1,2,ζ的分布列为

ζ012

P51212112

ζ的数学期望为Eζ=0×512+1×12+2×112=23．

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关键词：数学观察；观察角度；智慧

从信息加工的角度看，数学活动中的观察就是有目的、有选择地对各种数学材料进行概括的知觉过程，其成果就是数学材料的外部特征和整体特征。在数学考试中，如何赢得充裕的解答时间，是每位同学的共同愿望。实际上，有不少同学为了争取时间，一拿到试卷就做，有时已知条件都没有看清，反而浪费了时间。其实在解题过程中先观察一下，花少量的时间认真审题，看清条件和结论，说不定会有一些意想不到的发现。

但是，每个学生的知识经验、个性特点均不相同，因而观察的效果也不相同。在观察过程中，有的学生观察只凭兴趣，抓不住重点；有的走马观花；有的草率急躁；还有的观察不够全面；同时为了保证解题的准确率和速度，观察必须是一个有序的思维过程，不能是杂乱无章的，否则，观察就会起到负面作用。所以在教学过程中，非常有必要对学生进行有针对性的指导，培养学生良好的观察习惯，找到合适的观察角度。

一、整体局部观察

由于学生的知识水平有限，往往在观察的过程中只注意到问题的一个方面而忽视整体，从而无从下手。所以要教育学生从整体与部分的角度进行观察，在把握整体特征的同时也要注意局部所具有的特点。从整体中看部分，在部分中把握整体，只有这两方面都考虑全面，才能抓住问题的关键。

二、特殊数值观察

有些数学问题蕴含的性质比较隐蔽，如果稍加分析，便会发现一些特征，尤其是一些特别的数值，对解题具有一定的导向作用，所以要善于观察，从数字之间的联系去寻找解题的思路。

三、特殊结构观察

有些数学问题中的结构其实隐含着某种特殊的关系，善于观察并加以联想，从而实施转换，找到解决问题的方法。

四、猜想观察

数学中的某些问题，一时看不出它具有哪些特征，或者很难找到解决问题的办法，此时，我们常常通过观察，从而获得猜测，然后对其正确性进行推断，达到解决问题的目的。像在数列运算中，在求数列解析式的时候经常会先猜想再利用数学归纳法去证明。

上面的思路对思维和变形的要求比较高，如果变形的方向不正确就很难达到最终的结果。所以我们还可以按观察并猜想的方法。

第（3）小题也可以利用数学归纳法。利用思路2，就将过程转换成简单的公式变形，使难度大大降低。

当然在数学解题的过程中，通过不同的观察方法，可以得到有效的解题途径。我们需要将观察与思维有效地结合起来，注意观察的目的性和条理性，从而不断地地提高观察的准确性和全面性，当遇到类似问题的时候，就可以达到举一反三的效果。

参考文献：

[1]冯寅.数学解题中的六大观察法[J].中学数学：高中，2002（3）.

[2]李永诚.慧眼巧解题[J].内蒙古教育，2008（6）.

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关键词：新课程，职高高考，数学复习

 

职业高中的对口高考已越来越多的被社会、被政府、被学生和学生家长所认识、所认可,并成为各职业中学学生进入高一级学校学习深造的平台，成为推进学校快速发展的“风火轮”。而就职业高中高考的数学复习来说, 对不少高考考生认为，数学复习是难过的一道槛儿，知识综合性强，涉及范围广, 使许多同学感到既畏惧，又无从下手，甚至认为自己不是学习数学的料。那么新课程理念下如何提高职业高中高考数学复习效率呢？笔者结合自己多年的教学经验,提出几点建议, 旨在抛砖引玉，希望各位举一反三。，职高高考。

一、吃透考试大纲, 夯实基础

《考试大纲》其实对于我们每个人来说都不陌生，从学生时代起就对《考试大纲》有所了解，简单地说,《考试大纲》就是对考什么，怎么考，重点是什么；答什么，怎么答等问题的具体规定和解说。所以我建议同学们也应该认真学习《考试大纲》，依纲复习，必能抓住重点，少走弯路。其中, 广东省职业学校对口升学考试数学《考试大纲》指出：'今后的教学和复习中首先要切实抓好基础知识的学习,并在此基础上, 强调了知识间的内在联系，注意从学科的整体高度出发，立足于数学学科，夯实基础，要求考生能

确定概念与结论的类型，把握中心概念，注重各部分知识的综合性、相互联系及在各自

发展过程中各部分知识间的纵向联系 ，自主梳理出主干知识，对主干知识要强化记忆，加深

理解，做到微观上记忆清晰，宏观上脉络清楚。

综观这两年广东省的对口高考数学试题，总体来说难度不大，没有偏难怪题出现，没超过该考纲，试题设置较为科学严谨，题目分布情况也比较合理。因此,我们更要关心对《新课程标准》、《考试大纲》中规定知识点，知识面, 注重知识的横向比较和纵向联系，注重理论联系实际，发现命题中图形，数表和数列、周期性变化等变化规律。同时,应该关注广东省职业学校对口升学考试数学新课程改革的进程,了解新课程改革后的新高考方案，考试内容和考试模式等; 注意将新

课程教材中的新思想、新精神、新成果渗透到原有课程的教学中,只有这样, 才能少走弯路，少做或不做无用功。

二、掌握题型，注意知识归类与题型的积累

归类复习是教与学的过程中一个必不可少的环节，归类就是把每项的具体商品按其特性归在一处复习，概念是归类复习中最常用的一种教学方式，目的是运用归类比较有利于学生把同类概念联系起来，又把它们区别开来，使学生明确概念的外延从而加深对概念内涵的理解，从而灵活运用所学概念解决实际问题，而运用概念的过程又是深化理解概念的过程，可使学生更深刻地理解概念的含义，而对各判定公理及判定定理之间的归类，则有利于寻找空间中几何元素的位置关系，解决实物和几何之间的内在的联系，凭借

直觉思维，在想象实物和几何体之间的关系中寻得答案，例如：在考查线线、线面、面面之间关系的判定与性质时可沿以下：这条路线归纳证题思路：把线面平行转化为线线平行．用转化的方法掌握应用

直线与平面平行的性质定理，即由线面平行可推得线线平行，通过线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化提高化归转化能力。这环环相扣，把学生引入一个又一个“愤”与“悱”的境地，使得学生抓住问题的本质，理清思路，制订合理的解题策略。因此，教学时教师一定要有针对性地选好题型，利用知识的内在联系，引导学生去掌握这些概念、定理之间内在联系与区别，只有如此学生才能使学生掌握一定的条

理性和规律性，才会对公式、定理和规则熟悉，解题速度自然就越快。

再有，在立体几何的复习中，要通读教材，初步把握教材的基本内容及编写意图后，教师要深入研读教材，系统整理课本中的基本概念、基本方法和基本定理，针对考题特点，讲析应对策略、复习方法、规律步骤，引导学生从纷繁复杂的教材中加以归纳和总结，只有这样，才能起到自我体验、自我感悟、自我教育的目的。

三、狠抓基础知识，夯实教育教学基本功

扎扎实实地学好了数学基础知识和技能, 是学好数学的前提和基础，是提高对口高考数学优异成绩的根本途径。最近，国家教育部公布的信息显示,考生由于概念不清楚、公式错用、张冠李戴而失分的情况十分严重。因此，数学考试的形式不管如何变化,在任何情况下,都要清醒地认识到自身的差距和不足，扎扎实实、认认真真夯好基础, 切切实实把好数学的基本功，平时加强数学教学管理，掌握全校数学教学状况，在校园创设浓浓的数学氛，这是职业高中高考数学复习中最关键的因素。

1、那么如何切切实实抓好数学的基本功呢。首先狠抓审题，突出重点，加强训练。数学是用形式化的符号语言反应数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科,其符号通常表示的不是学生熟悉的生活空间,而是一个广义的概念，它的确定给符号确定了目标和标准。因此,只有对数学基础知识和基本技能的理解与掌握, 才能提升学生对数学语言的理解能力。，职高高考。，职高高考。在职业高中高考数学中, 通过对信息内容的自动分析，

探寻解题的突破口，以确定解题的思路、方案和途径,是十分重要的。

如何能利用有限的时间培养学生的审题能力呢，笔者认为, 审题意识的提高和

审题习惯的培养既需要教师潜移默化的熏陶,也需要着意进行训练。因此，教学中,要首先应有意识引导

学生审题，可以适当做一些审题训练，以提高学生的审题能力，逐步做到对试题浏览一到两遍，做到胸有全局，以稳定情绪、增强信心, 学生自己能读懂题意，分析题意是一种不可缺少的能力，而教师正面地给学生讲原理，对如何读题,审题可以作一些提示，但绝不能代替学生的思维;同时教师必须为学生提供审题的机会，为学生留有思考的时间和空间。，职高高考。

2、加强对学生运算能力和分析问题、解决问题能力的培养。从近几年的广东省职业学校对口升学考试数学试卷来看,虽然考题型基本一致，难度大致相当,但，运算量的逐年增加，对计算的要求

越来越高，这就造成很多同学解题上很大的障碍,看来只有平时多多训练，在对口高考中才会轻松。运算能力的强弱主要表现在运算的正确与否和速度的快慢上,是获得了解题的突破口之后,在基本概念、主要公式、运算法则的指导下, 对言语提供的事实运用演绎推理

进行解释，寻找与设计合理、简捷的运算途径, 提高运算的合理性与简捷性的整个过程。

3、数形结合能力。在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，数形

结合的思想方法是学好中学数学的重要思想方法之一,其相应的能力包括识图能力、空间想象和思维能力、构造图形的能力等。识图能力是学习数学的最基本最重要的能力，能够熟练准确地识图用图，对数学学习乃至

终身发展都是有益的。在职业高中高考数学复习中,我们要将基本功训练，提高和展示，培养学生的观察和创作活动摆到十分重要的位置上,因为这是职业高中高考数学复习的主要方向。

四、引导学生重视错题，挖掘错题的功能，用好错题资源

职三的复习, 各类“仿真”“模拟”试卷要做上几十套，基本上涵盖了高考的整个内容。而在做的过程中, 记录着

学习中这样或那样的错误，这些错误 ,是指把平时练习中的问题归纳、总结并收集起来。职三的复习中，有的同学做题只重数量而不重质量的做题方式，完全是题海战术，做过后从来不注重总结出题规律

和自己的薄弱环节，这样不仅要占用学生大量的时间，而且对学生身体的负担

也很大。做题的目的是巩固和消化学习成果，培养和锻炼分析问题和

解决问题的能力，是克服自己的弱点和不足的有效手段。俗话说“失败者成功之母”， 最核心的，最好的经验，都是从失败，错误的实践中总结出来的，因此，自己发现错误的原因并及时改正，有助于以后不再犯类似的错误。假如平时做题出错较多，就只需把平时作业及考试中做错的典型性错误找出来，把错误的习题从试卷上“剪切”下来，在旁边写上评析，然后保存好，每过一段时间，看一看。这样

才能及时查漏补缺，对症下药，及时搬掉“拦路虎”，及时予以补救。，职高高考。除了把不同的题目弄懂以外，还要

注意对自己不会的题型进行突破，向老师求教解题技巧，并做一些强化训练，注意一题多解(方法的发散)，多题一解(方法的归类，举一反三)，及时回纳。

结束语：

总之,在职业学校对口升学考试数学复习中,我们要树立正确的世界观，人生观,牢固确立确立学生在数学教学中的主体地位, 坚持在教师的点拨下学习转换到充分发挥自主意识进行自能学习的轨道上来, 使学生更好地认识高考、体验高考、磨炼意志和提高自身素质，以提高高职学生自身的应试能力。，职高高考。同时教师要想方设法创设情境，把学生的心理调节到最佳状态, 激发参与意识，使学生乐于参与,在职业学校对口升学考试中创造出优异的成绩。

参考文献：

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[5]王富英．怎样确定教学的重、难点[J]．中国数学教育（高中版），2010（1/2）：17-18，38．

[6]邵光华，韦安东．数学归纳法教学的专业知识基础分析[J]．中国数学教育（高中版），2010（1/2）：19-22．

篇8

关键词：探索性问题；教学策略；解题思路

为了培养学生能够用数学工具描述和处理自然界和社会中的某些现象，培养学生从数学角度发现和提出问题，并且提供进行探索和研究的渠道和广阔的空间，新课程高中数学教学和考试评价中出现了一些新题型． 它们具有以下一些特征：①给出题设条件，但题目结论未指明，或者只给出结论范围，要解题者自己作出判断和选择；②题目给出结论，但条件残缺，或不给出条件，要求给出或补充使题目结论成立的条件；③给出一些特殊情况，要求归纳、猜测一般结论并给出证明；④先给出一个封闭性的问题，改变题设条件或结论，讨论其结论或条件将发生怎样的变化；⑤条件结论都知道，解题需要经历观察、试验、归纳、猜测的探索过程等． 它们区别于封闭性的数学问题，更能培养学生的创新精神和实践能力，人们称之为数学探索性问题． 由于探索性问题具有较强的趣味性、较大的灵活性和较深的隐蔽性，加之其问题背景新颖、解法灵活多变，故能很好地考查学生的观察、比较、分析、综合、抽象和概括等思维能力，特别是运用知识方法分析和解决问题的创新能力． 从近几年全国及各省市高考自主命题中我们不难发现：探索性问题呈逐年上升的趋势． 但是由于探索性问题的求解缺乏现成的套路和方法，解题的思考方向有很大的不确定性，且内容广泛、形式多样，给学生解题带来一定困难． 因此，有效指导学生探究解决探索性问题有利于激活学生思维，提高问题解决能力，实现创新性学习．

指导方法，寻找学习的钥匙

“未来的文盲不再是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人”，这充分说明了学习方法的重要性，它是获取知识的金钥匙．学生一旦掌握了学习方法，就能自己打开知识宝库的大门． 因此我们要改进课堂教学，不但要帮助学生“学会”，更要指导学生“会学”． 在教学中，笔者主要在读、议、思等几个方面给予指导．

1． 教会学生“读”． 这主要用来培养学生的数学观察力和归纳整理问题的能力． 我们知道，数学观察力是一种有目的、有选择的对数学材料的知觉能力． 教会学生阅读，就是培养学生对数学材料的直观判断力，这种判断包括对数学材料的深层次、隐含的内部关系的实质和重点，逐步学会归纳整理，善于抓住重点以及围绕重点思考问题的方法． 这在预习和课外自学中尤为重要．

2． 鼓励学生“议”． 在教学中鼓励学生大胆发言，对于那些容易混淆的概念，没有把握的结论、疑问，就积极引导学生议，真理愈辩愈明，疑点愈理愈清． 对于学生在议中出现的差错、不足，教师要耐心引导，帮助他们逐步得到正确的结论．

3． 引导学生勤“思”． 从某种意义上来说，思考尤为重要，它是学生对问题认识的深化和提高的过程． 养成反思的习惯，反思自己的思维过程，反思知识点和解题技巧，反思各种方法的优劣，反思各种知识的纵横联系，适时地组织引导学生展开想象：题设条件能否减弱?结论能否加强？问题能否推广？等等．

鼓励质疑，让学生学有创见

我们会经常遇到这样的情况：有的学生在解完一道题时，总是想问老师或找些权威的书籍，来验证其结论的正确． 这是一种不自信的表现，他们对权威的结论从没有质疑，更谈不上创新． 长此以往的结果，他们只能变成唯有书本是真理的“书呆子”． 中学阶段，应该培养学生相信自己，敢于怀疑的精神，甚至应该养成向权威挑战的习惯，这对他们现在的学习，特别是今后的探索和研究尤为重要． 如果真找出“权威”的错误，对学生来讲也是莫大的鼓舞． 例如：抛物线y2=2px的一条弦直线是y=2x+5，且弦的中点的横坐标是2，求此抛物线方程． 某教师答案特意写成如下形式：

由y=2x+5，y2=2px得：4x2+（20-2p）x+25=0①．

由x1+x2==4得p=18，故所求抛物线方程为y2=36x．

然后让学生产生质疑：把p=18代入方程①，方程无实解；或方程①要有Δ=4p（p－20）>0，即p20，故p=18不合题意． 本题无解．

教学中，对这样的新发现、巧思妙解及时褒奖、推广，能激起他们不断进取、努力钻研的热情． 而且笔者认为，质疑教学，对学生今后独立创造数学新成果很有帮助，也是数学探索能力的一个重要方面． 教师还要深入分析并把握知识间的联系，从学生的实际出发，依据思维规律，提出恰当的富于启发性的问题，去启迪和引导学生积极思维． 同时采用多种方法，引导学生通过观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题．

教师还要引导学生广开思路，重视发散思维，鼓励学生标新立异，大胆探索． 例如，已知点P（x，y）是圆（x－3）2+（y－4）2=1上的点，求的最大值和最小值． 本题用参数方程或直接利用点在圆上的性质，解决较烦琐． 此时应打破常规，恰当点拨，引导学生数形结合． 设k=，问题变为求直线y=kx的斜率的最大值和最小值问题，再进一步引导，求的最大值和最小值问题，可把定点分圆上、圆内、圆外几种情况进行讨论，由此可使学生对求之类的数的最大值、最小值问题的几何意义有更深入的了解． 因此，教师不仅要让学生学会学习，而且要鼓励创新，发展学生的学习能力，让学生创造性地学习．

因题施教，培养问题解决能力

1． 对存在型探索性问题的教学． 这类问题一般具有上述①②④特征，通常讨论的是在给定的题设条件下是否存在某个数学对象或成立某个数学结论的问题，具体提法常常是某个数学事物或某种特征是否存在，若存在求出这个事物或特征，若不存在请说明理由． 解这类问题的基本策略是：先假设所探求的对象存在或结论成立，以假设为前提进行运算或逻辑推理，若推出矛盾则假设不成立，从而得到否定的结论，即不存在；相反则存在，事实上是借用反证法的思路．

例1 已知常数a>0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E，F，G分别在BC，CD，DA上移动，且==，P为GE与OF的交点（如图1），是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的位置及此定值，请说明理由．

图1

分析：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两点距离的和为定值．

解：按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）．

设===k（0≤k≤1）．

由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak），直线OF的方程为：2ax+（2k－1）y=0①．

直线GE的方程为：－a（2k－1）x+y－2a=0②．

从①②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2－2ay=0，

整理得+=1．

当a2=时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点．

当a2≠时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长．

即当a2

当a2>时，点P到椭圆两个焦点0，a-，0，a+的距离之和为定值2a．

2． 对归纳型探索性问题的教学． 这类问题通常讨论的是给出一些特殊情况的结论，要求推断出一般的或普遍性结论的问题． 大多涉及自然数的数学问题，如含自然数n的等式、不等式、整除问题和有关的几何问题等等． 解这类问题的基本策略是从条件出发通过观察、试验、分析、比较、归纳、猜想，探索一般规律；然后对归纳、猜想的结论进行证明． 如果是含自然数n的命题可采用数学归纳法，否则可采用演绎推理的方法．

例2 设数列｛an｝满足an+1=a－nan+1，n＝1，2，3，…

（Ⅰ）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出｛an｝的一个通项公式．

（Ⅱ）当a1≥3时，证明对所有的n≥1有

（ⅰ）an≥n+2；

（ⅱ）++…+≤．

解：（Ⅰ）由a1=2，得a2=a－a1+1=3，

由a2=3，得a3=a－2a2+1=4，

由a3=4，得a4=a－3a3+1=5．

由此猜想｛an｝的一个通项公式：an=n+1（n≥1）．

（Ⅱ）（ⅰ）用数学归纳法证明：

①当n＝1时，a1≥3=1+2，不等式成立；

②假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥k+2，那么，ak+1=ak（ak－k）+1≥（k+2）?（k+2－k）+1≥k+3，也就是说，当n＝k+1时，ak+1≥（k+1）+2．

根据①和②，对于所有n≥1，有an≥n+2．

（ⅱ）由an+1=an（an－n）+1及（ⅰ），对k≥2，有ak=ak-1（ak-1－k+1）+1≥ak-1（k－1+2－k+1）+1=2ak-1+1，

……

所以ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1（a1+1）－1．

于是≤?，k≥2，

≤+=≤≤=．

3． 对比较型探索性问题的教学． 对通常讨论的是若干对象之间的关系或某些性质上的异同问题，经常出现的形式是判断几个代数式或某些数值的大小，比较几个函数、几条曲线之间的异同，比较数列之间的差异． 求解策略视比较而定，对比较数、式大小可采用作差、作商、代数基本不等式、函数单调性等方法来处理，从逻辑方法角度考虑可选用综合法、分析法、反证法、数学归纳法等． 对比较几个数学对象性质的问题一般先分析所比较数学对象性质的特征，然后用类比联想法来作出分析和比较，如对函数的比较可采用数形结合、特殊化等方法．

例3 已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．

（Ⅰ）求数列｛bn｝的通项bn；

（Ⅱ）设数列｛an｝的通项an=loga1+（其中a>0，且a≠1），记Sn是数列｛an｝的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论．

本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．

解：（Ⅰ）设数列｛bn｝的公差为d，由题意得b1=1，10b1+d=145，

解得b1=1，d=3，所以bn=3n－2．

（Ⅱ）由bn=3n－2，知Sn=loga（1+1）+loga（1+）+…+logn1+=loga（1+1）1+…1+，

而logabn+1=loga．

因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较（1+1）1+…1+与 的大小．

取n＝1有（1+1）>，

取n＝2有（1+1）1+>，

……

由此推测（1+1）1+…1+>①．

若①式成立，则由对数函数性质可断定：

当a>1时，Sn>logabn+1；

当0

下面用数学归纳法证明①式．

（ⅰ）当n＝1时已验证①式成立．

（ⅱ）假设当n＝k（k≥1）时，①式成立，即（1+1）1+…1+>，

那么，当n＝k+1时，（1+1）1+…1+1+>?1+=（3k+2）．

因为（3k+2）3－［］3==>0，所以（3k+2）>=，因而（1+1）?1+…1+1+>．

这就是说①式当n＝k+1时也成立．

由（ⅰ）（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立．

由此证得：

当a>1时，Sn>logabn+1；

当O

4． 对讨论型探索性问题的教学． 这类问题通常是讨论题设中包含的多种可能的情形或题设中含有在某一取值范围内变化的参数，导致探索结果有多种可能的情形，有时问题比较隐蔽，常以前三类问题中某一类型的形式出现．解题基本策略是首先发现题设包含的多种可能，然后采用分类讨论的方法来处理（如例1）．

探索性问题一般以解答题形式出现，但这几年也出现在选择题和填空题中，如例4—例6，解题过程略．

例4 向高为H的水瓶中注水，注满为止，若注水量V与深h的函数关系的图象如图2所示，

图2

那么水瓶的形状可能是：（ B ）

例5 如图3，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1CB1D1． （注：写上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）

图3

例6 α，β是两个不同的平面，m，n是平面外的两条不同直线． 给出四个论断：

①mn；②αβ；③nβ；④mα．

篇9

数据处理能力

数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据，逐渐成为一个必备常识. 统计的教学具有重要的地位，新课标高考对统计知识的考查力度得到加强.

数据处理能力考查主要表现在： （1）在概率统计中命制试题，它是把有关数据处理与概率统计题综合在一起，其侧重点在概率统计的有关知识.具体表现在抽样方法、统计图表、用样本估计总体等.（2）在线性回归分析中命制试题，具体表现在求回归方程并由此解决其他有关问题，其侧重点在最小二乘估计. 此类试题有较复杂的运算过程，同时考查运算能力.

例1 （2014年高考山东卷）乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图1所示，甲上有两个不相交的区域[A，B]，乙被划分为两个不相交的区域[C，D].某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在[C]上记3分，在[D]上记1分，其他情况记0分.对落点在[A]上的来球，队员小明回球的落点在[C]上的概率为[12]，在[D]上的概率为[13]；对落点在[B]上的来球，小明回球的落点在[C]上的概率为[15]，在[D]上的概率为[35].假设共有两次来球且落在[A，B]上各一次，小明的两次回球互不影响.求：

（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.

图1

解析 （1）记[Ai]为事件“小明对落点在[A]上的来球回球的得分为[i]分”（[i]=0，1，3），

则[P（A3）=12]，[P（A1）=13]，[P（A0）=1-12]-[13]=[16].

记[Bi]为事件“小明对落点在[B]上的来球回球的得分为[i]分”（[i]=0，1，3），

则[P（B3）=15]，[P（B1）=35]，[P（B0）=1-15]-[35]=[15].

记[D]为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.

由题意知，[D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3]，由事件的独立性和互斥性得，

[P（D）=P（A3B0+A1B0+A0B1+A0B3）]

[=P（A3B0）+P（A1B0）+P（A0B1）+P（A0B3）]

[=P（A3）P（B0）+P（A1）P（B0）+P（A0）・P（B1）+P（A0）P（B3）]

=[12]×[15]+[13]×[15]+[16]×[35]+[16]×[15]=[310].

所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为[310].

（2）由题意知，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6.

由事件的独立性和互斥性得，

[P（ξ=0）=P（A0B0）=][16]×[15]=[130]，

[P（ξ=1）=P（A1B0+A0B1）=P（A1B0）+P（A0B1）]

=[13]×[15]+[16]×[35]=[16]，

[P（ξ=2）=P（A1B1）=13]×[35]=[15]，

[P（ξ=3）=P（A3B0+A0B3）=P（A3B0）+P（A0B3）]

=[12]×[15]+[16]×[15]=[215]，

[P（ξ=4）=P（A3B1+A1B3）=P（A3B1）+P（A1B3）]

=[12]×[35]+[13]×[15]=[1130]，

[P（ξ=6）=P（A3B3）=12]×[15]=[110].

可得随机变量[ξ]的分布列为：

[[ξ]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&4＼&6＼&[P]＼&[130]＼&[16]＼&[15]＼&[215]＼&[1130]＼&[110]＼&]

所以数学期望[Eξ=0×130]+1×[16]+2×[15]+3×[215]+4×[1130]+6×[110]=[9130].

应用意识

纵观近几年高考试题，高考命题在“用”中必考，问题的设计多与函数、方程、数列、不等式、三角函数、解析几何、立体几何等知识联系. 考查贴近生活、有社会意义和时代意义的应用题，立意考查“大众”数学应用题是高考命题的一个趋势，也是高考的一个热点问题. 在应用题中主要考查阅读能力、应用能力和探究能力，关注当前国内外的政治、经济、文化，紧扣时代的主旋律，凸现了学科综合的特色，是高考命题的一道亮丽风景线，其解题的关键在于构建适当的数学模型.

例2 （2014年高考江苏卷）如图2，为了保护河上古桥[OA]，规划建一座新桥[BC]，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处， 点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），[tan∠BCO=43].求新桥BC的长？

[北][东]

图2 图3

解析 法1：（两角差的正切）如图3，连结[AC]，由题意知，[tan∠ACO=617]，则由两角差的正切公式可得，

[tan∠ACB=tan（∠BCO-∠ACO）=23.]

故[BC=AC?cos∠ACB=150m].

答：新桥[BC]的长度为[150]m.

法2：由题意可知，[A（0，60），B（170，0）]. 由 [tan∠BCO=43]可知直线[BC]的斜率[k=-43]，则直线[BC]所在直线的方程为[y=-43（x-170）]. 又由[ABBC]可知，[AB]所在的直线方程为[y=34x+60]；联立方程组[y=-43（x-170），y=34x+60，]解得[x=80，y=120].

即点[B（80，120）]，则[BC=（80-170）2+1202=150].

答：新桥[BC]的长度为[150]m.

点拨 从考试角度来说，应用题主要考查两个方面的能力：建立数学模型的能力（简称“建模”能力）、解决数学模型的能力（简称“解模”能力）. 从应试方法上如何突破呢？首先要系统研究所有可能出现的应用题并做到能对症下药，常考查的应用题类型有：函数应用题（以分式函数为载体的函数应用题、以分段函数为载体的函数应用题、以二次函数为载体的函数应用题）、三角测量应用题（以三角函数的定义为载体的三角应用题、以三角函数的图象为载体的三角应用题、以解三角形为载体的三角应用题、以立体几何为载体的三角应用题、以追击问题为载体的三角应用题）、数列应用题、线性规划应用题、解析几何应用题.

创新意识

对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查，要求考生不仅能理解一些概念、定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学和现实生活中的比较新颖的问题.回顾近年来的高考数学试题，不难发现：关注探究创新意识，考查数学理性思维，已成为高考命题的一种趋势.在高考试题中常常通过创设一些比较新颖的问题情境，构造一些具有一定深度和广度、能体现数学素养的问题，着重考查数学主体内容.题型主要有：（1）条件探究型，（2）结论开放型，（3）条件和结论都发散型，（4）信息迁移型，（5）存在型，（6）解题策略开放型.

例3 （2014年高考重庆卷）设[a1=1]，[an+1]=[a2n-2an+2+b（n∈N*）].

（1）若[b=1]，求[a2，a3]及数列[{an}]的通项公式；

（2）若[b=-1]，问：是否存在实数[c]使得[a2n

解析 （1）法一：[a2=2]，[a3=2]+1.

再由题设条件知，（[an+1]-1）2=（[an]-1）2+1.

从而{（[an]-1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，

故（[an]-1）2=[n]-1，即[an]=[n-1]+1（[n∈N*]）.

法二：[a2=2]，[a3=2]+1.

改写为[a1=1-1]+1，[a2]=[2-1]+1，[a3]=[3-1]+1.因此猜想[an]=[n-1]+1.

下面用数学归纳法证明上式.

当[n=1]时，结论显然成立.

假设[n=k]时结论成立，即[ak=k-1]+1，

则[ak+1=（ak-1）2+1]+1=[（k+1）-1]+1.

这就是说，当[n=k+1]时结论成立.

所以[an]=[n-1]+1（[n∈N*]）.

（2）法一：设[f（x）=（x-1）2+1]-1，则[an+1=f（an）].

令[c=f（c）]，即[c=（c-1）2+1]-1，解得[c=14].

下面用数学归纳法证明命题[a2n

当[n=1]时，[a2=f（1）=0]，[a3=f（0）=2]-1，所以[a2]

假设[n=k]时结论成立，即[a2k

易知[f（x）]在（-∞，1]上为减函数，

从而[c=f（c）>f（a2k+1）>f（1）=a2]，即[1>c>a2k+2>a2].

再由[f（x）]在（-∞，1]上为减函数，

得[c=f（c）

故[c

综上，存在[c=14]使[a2n

法二：设[f（x）=（x-1）2+1]-1，则[an+1=f（an）].

先证：0≤[an]≤1（[n∈N*]）.①

当[n=1]时，结论明显成立.

假设[n=k]时结论成立，即[0≤ak≤1].

易知[f（x）]在（-∞，1]上为减函数，

从而[0=f（1）≤f（ak）≤f（0）=2-1

即[0≤ak+1≤1]. 即当[n=k+1]时结论成立.故①成立.

再证：[a2n

当[n=1]时，[a2=f（1）=0]，[a3=f（a2）=f（0）=2]-1，

所以[a2

假设[n=k]时，结论成立，即[a2k

由①及[f（x）]在（-∞，1]上为减函数得，

[a2k+1=f（a2k）>f（a2k+1）=a2k+2，]

[a2（k+1）=f（a2k+1）>f（a2k+2）=a2（k+1）+1.]

即当[n=k+1]时，②成立.

所以②对一切[n∈N*]成立.

由②得，[a2n

即（[a2n]+1）2

因此[a2n

又由①②及[f（x）]在（-∞，1]上为减函数得，

[f（a2n）>f（a2n+1），即a2n+1>a2n+2].

所以[a2n+1]>[a22n+1-2a2n+1+2]-1，

解得[a2n+1]>[14]. ④

篇10

关键词：高三 数学 建议

在进行数学复习的过程中，数学教师应当深刻认识复习的成效，取决于学生在课堂上能产生多少思维量，对学过的知识进行再加工，要求数学教师能够将知识以全新的面貌呈现在学生面前，让学生能够产生新的感受，复习应当有重点，能够突出难点，为学生制定科学合理的复习计划，为复习工作的顺利开展奠定基础。

一、立足教材，以不变应万变

从近年的高考数学趋势来看，出题方向仍然坚持“新题不难，难题不怪”的思路，有的知识点看起来在教材中没出现过，但是经过细心推敲，“一层纸”的距离常常使数学教育者恍然大悟，在数学教育者和社会各界的有识之士的不断探索之下，对是高考数学的普遍意义有了全新的认识――“注意通性通法，淡化特殊技巧”，为学生的复习道路指明了方向。

例如，数学教师在帮助学生复习直线方程带入圆锥曲线的相关知识点的时候，可以将直线方程带入曲线方程，整理成一个一元二次方程，再将“根的判别式、韦达定理、两点之间的距离公式”等教材中重要的知识点进行融合改编成另外一种精彩的试题，其中涵盖了解析几何题型的基本方法，也是往年高考的重点，数学教师应当研读教材，从学科的整体意义上出发，回归课本，帮助学生吃透教材中的例题、经典题型。帮助学生建立系统的知识理论体系，以不变应万变。避免死记书本上的例题和理论，重点掌握解析例题过程中，对例题涵盖的知识点进行剖析，对针对性极强的题型进行强化训练，提高复习成效。

二、明确复习主题，突出复习重点

数学教师应当运用一双敏锐的双眼，深刻剖析近年来数学的考试重点，认真研究各年的高考题型，明确考试重点，在复习课堂上能够有针对性的进行复习，教师讲到位，学生学到位，科学的复习计划往往起到事半功倍的效果，为学生的复习之路保驾护航。

（一）例如，复习函数相关知识内容的时候，应当以不等式的知识点为复习主体，代数以函数为主干，不等式与函数结合的相关题型为考试“热点”

（关于函数的性质，单调性、奇偶性、周期性、对称性应当以具体函数、和图像结合进行直观展开）

1.在复次函数与一元二次方程相关知识点的时候，在内容上，应当以二次函数的值域含参变量的二次函数值域为复习重点；在解题方法上，应当以配方、换元和不等式为复习重点。另外，与一元二次函数具有很大联系的其方程根的分布、不等式的解法以及二次曲线交点问题等，这些都应当在高三数学复习中以大量课时来攻坚。

2.在复习不等式证明相关知识点的时候，不难发现，数列跟函数与不等式的联系一直是考式中的“热点”，此时，可以运用数学归纳法进行复习重点，时刻跟随高考的考试基调，为学生的复习之路点一盏明灯。

3.在复习解不等式相关知识点时，复习重点应当突出灵活转化和分类分层为复习重点。

（二）数列知识点的复习应当以考试重点等比、等差的通项、求和、极限为复习重点，关于难点抽象数列的复习，只要求学生掌握“归纳―总结”就可以。

（三）三角函数的复习地位比较尴尬，考试非重点，但难度指数一直偏高，因此，数学教师应当对本部分的训练只要求学生进行公式的灵活运用即可（三角之间的基本转化）。

（四）复数应为考试非重点，只要求掌握基本公式，对例题进行训练带过，难度不做特殊要求。

（五）立体几何应当将线段与线段、线与面、面与面的空间位置关系作为复习重点。几何体的复习以正方体的知识点为重点，锥形体的复习以侧棱或者侧面在地面的投影为复习重点；对于有一定难度的几何体的结合体，位置关系的证明和三垂定理以及逆定理为复习重点。（二面角能够强化三垂定理的训练）。空间距应当以点与面之间的距离，线与面之间的距离，面与面之间的距离为复习重点。

（六）另外针对教材中新增的一些知识点（导数的几何意义、导数的应用、线性规划、向量、抽样方法、期望与方差、概率与统计）等知识点，命题形式有个轻微的变化，选择题过渡为解答题的前几步，仅仅只有线性回归的知识没有在考题中遇到过，针对这样的命题趋势，数学教师，复习过程中应当重视线性回归的复习力度，有备无患。

三、以错补错，不断完善

复习过程中不难发现，部分学生对于易错的题型总是一错再错，教师当时的讲解过后不能巩固理解，有些学生只重视做题的数量，采用题海战术进行复习巩固，错题得不到及时的思考与分析就被扔到一边，针对这一现象，数学教师应当在复习课堂上注重学生学习能力的培养，帮助学生养成良好的复习习惯，引导学生对错题，难题进行深入探究，从而发现自己的不足，吃一堑，长一智，避免再犯类似的错误。

例如，数学教师可以要求每个学生准备一个记错本，当遇到易错题型的时候，随手记录在错题本上，数学教师可以将学生的记错本定期收缴，掌握学生的掌握状况，因材施教，出现问题的时候能够具体问题，具体对待，宏观掌控学生的复习基调，为学生制定切实可行的应对策略。在无数次错误中总结出来的经验，不断完善学生的解题技巧，面对错题本上的涂鸦，帮学生将压力变成动力，激励学生进行在复习之路上勇敢前行，为高考取得一个好成绩打下基础。

总之，高三这个特殊的时期，学生任罩兀心里压力大，数学教师的压力也很大。但是数学教师应当理性的看待这一时期，认真剖析历年的命题形式、以及考试热点，帮助学生制定出更清晰、完善的复习计划，有针对性的进行复习，不盲从。避免“题海战术”，复习有重点，突出难点，错题本的巧妙利用，能够作为学生的后备力量，成为学生的复习之路奠基石，有利于学生在高考中能够取得优异的成绩。

参考文献：

[1]李慧敏.“导学案”与学生数学自主学习[J].中学数学杂志，2011，（01）.

[2]梁志恒.高三数学复习课探究性教学模式初探[J].新课程学习（学术教育），2010，（09）.

[3]张国辉.高三数学复习课的教学策略[J].湖南教育（下），2010，（04）.