高中数学向量基础知识范文

导语：如何才能写好一篇高中数学向量基础知识，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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1.高等数学教学方法在高中数学教学中的应用

（1）微积分方法的应用

微积分是研究函数的微分、积分以及应用其解决实际问题的数学分支，微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的.微积分是一种数学思想，简单说“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分，无限就是极限思想，并用“以直代曲”的理念解决实际问题.极限的思想是微积分的基础，他是用一种运动的思想考察问题.数学教师在高中数学教学要充分应用上述微积分的思想、理念贯穿平时的课堂教学，让学生在不断的潜移默化中逐渐培养起微积分的思维的理念.

（2）极限思想方法的应用

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科.所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果.

在高中数学中极限思想方法典型的应用有：球的表面积公式推导，经过（1）分割，（2）求近似和，（3）用极限推得准确和.而双曲线的渐近线，也是极限思想的具体应用.教学可以利用高中数学中这些相关内容很好的在教学中贯穿极限的思想.

（3）向量方法的应用

向量是新课标下高中数学内容之一，向量法在代数方面的应用就是用代数的方法来研究几何问题，通过建立坐标系把几何中的点与坐标对应起来，把几何中的图形化为代数方程，用代数运算来发现各种几何量之间的关系，进而由代数方法来认识对应的几何图形的几何形态，这种方法又被称为几何学的解析方法.向量法在平面几何上的应用十分广泛，近年来，在高考命题中常常会见到平面向量与解析几何结合的相关试题，如夹角、垂直、共线、轨迹等问题的处理.

向量作为近代数学的基本概念之一，是一种重要的数学工具，他的理论及应用，是近代数学的基础知识.给高中生培养用向量解决几何问题思维就显得有实际意义.

2.高等数学教学与高中数学教学内容衔接存在的问题

（1）脱节问题

在现实中，由于高考指挥棒的影响，一些在大学数学中作为基础的知识，在高考的考纲中没有重点明确要求，这就使较多高中学生在学习的过程中，往往忽视这些知识点，影响了学生在进入大学后，学习高等数学的过程出现知识理解障碍.

如在高数的二阶常系数线性齐次微分方程y"+py'+qy=0中，需先求出其特征方程r2+pr+q=0的根，后根据特征方程根的情况，写出原微分方程方程的通解.在实际学习中，学生对一元二次方程r2+pr+q=0主要思维固化在Δ=p2-4q≥0有实数解,Δ=p2-4q<0无实数解的认知水平上.从而为微分方程课程的学习设下误区.

（2）逻辑严密性问题

高度抽象性和严谨的逻辑性是数学的两个基本性特点.高中数学课程在有些知识点上面逻辑性就显得有点缺乏.如在高中教材中没有给出极限的定义，只是一种描述性表述，但在涉及导数的概念时又利用了极限的概念.高中教师为了教学的需要，会在课堂上对极限作直观的介绍，造成学生对极限的理解较模糊甚或是错误的认识，没有从极限的本质上得到认识.由于缺乏逻辑严密性，学生在高中阶段对这些知识点的掌握完全就停留在表面及依葫芦画瓢的层面上，给高数的学与教带来了负面的影响.

二、对策与建议

1.加快高等数学教学改革，尤其是教学教材改革

在不断改革的基础上，需要加强对基础数学教育与高等数学教育的关注与了解，做到基础与高教的系统联系，高数教师深入中学课程中，这样有利于高中数学教学课程改革的.另在高中教学材料内容的选择与内容结构的安排，需要精心考虑与规划，做好高中数教学内容的更新以及高中数学内容与高数有机的衔接.

2.立于高等数学的高度，拓宽解题视角

在高等数学与高中数学的衔接处，高中教师应站在高等数学的高度上，把高数中的思维理念的处理方法，融入到高中数学的教学中，拓宽学生解解决问题的视角，这就要求教师必须具备相当的高等数学功底，站在高处，对学生高效的教学，这种方法不仅能提高学生的数学素养，也能拓宽学生的知识面，为以后进入大学奠定良好的基础.

3.纵横联系、融会贯通

以高等教学的思想方法来指导高中数学的教学，可以加强对高中数学的体系管理，对高中数学问题系统的加以阐述，在思想上加以提炼，同时以高等数学学的思想方法来指导和总结高中数学教学工作，帮组学生改变综合复习中多、杂、难的“题海战术”，做到科学有效的提升，引导学生构建知识认知网络，从而将知识融会贯通.

三、结语

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【关键词】分层教学;高中数学;重要性;教学策略

分层教学是指在教学的过程中根据学生的学习特性，学习成绩等等因素对学生进行相应的分层分组，然后再进行分层分组教学，所以，分层教学可以有效地提高班级的整体教学水平。我国是世界的人口大国，接受教育的学生也是非常多，平均每个高中班级的学生数学都超过三十人，而学生之间也存在着学习差异，所以如果能够在高中数学教学中开展分层教学，将能大大地提高学生对于数学的认识，从而更好地提高学生的数学水平。所以，本文就对分层教学在高中数学教学中的应用进行探讨。

一、分层教学的重要性

1.实现不同层次的教学，提高学生的数学水平

我们人口众多，如果可以在高中数学课堂上开展分层教学，将能对同学实现不同层次的教学，从而让“优等生吃得饱，学困生吃得了”，这样的教学将能很好地提高学生对于数学的认识。例如，针对于优等生，教师就可以加强教学的难度，从而更好地提高学生对于数学的思考和认识。而针对于学困生，教师则可以先教授学生一些基础知识，提高学生对于数学的基本认识。所以在高中数学课堂上开展分层教学可以有效地实现不同层次的教学，提高学生的数学水平。

2.调动学生的学习兴趣，提高学生的数学水平

由于学生之间存在着学习差异，从而导致学生对于数学的学习兴趣也是不一样的，所以优等生来说，过于简单的数学知识是很难引起他们的学习兴趣的，而对于学困生来说，难度过高的数学知识，他们是很难理解的，也就很难引起他们的学习兴趣。所以，在高中数学课堂上实现分层教学，则可以很好地解决上述的问题，从而更好地调动学生的学习兴趣，提高学生的数学水平。

二、在高中数学中开展分层教学的教学策略

1.根据学生的学习情况来进行分层分组

在高中数学课堂上开展分层教学，首先就要对全班同学进行分层分组，从而更好地实行分层教学。例如，教师可以结合学生多个方面来进行分层分组，如学生的学习态度、对于数学的敏感度、学习能力等等，具体的分层分组标准及其方法如下：

从多个方面对学生进行考核，如数学考试成绩、数学作业完成情况、课堂回答问题的情况等等等，然后按照考核分数进行排名，前十名为A组，中间十名为B组，后十名为C组，如果人数超过三十名学生，则可以按照考核成绩平均地将全班分成三组，然后再分别按照成绩进行A组、B组、C组的分组。A组是数学水平较高的学生，B组是数学水平处于中间的学生，而C组则是数学水平较低的学生。

2.制定不同层次的教学目标

因为不同层次不同小组的学生的数学水平是不一样的，有高有低，所以高中数学老师在制定教学目标时，应该结合不同层次的学生来制定不同层次的教学目标。所以，在高中数学课堂上，要开展分层教学，教师首先就要了解全班同学的数学水平，然后再分别了解不同层次的学生的数学水平，这样才能更好地根据学生的实际来制定更加贴合学生学习情况的教学计划。

3.制定不同层次的教学计划

因为在开展分层教学的时候，高中数学老师已经对全班的同学进行了分层分组，将学习情况基本一致的学生都调整至同一个层次，而且也根据学生的实际学习情况来制定了不同层次的教学目标，所以高中数学老师也应该根据以上的情况来制定不同层次的教学计划。例如，在进行二面角教学时，教师就可以制定以下的教学计划：

A组：教授学生利用平面向量和几何知识来进行解答，首先，用同一道例题来给同学们讲述分别用平面向量和几何知识的解答方法;咨询同学们是否存在有疑问的地方，然后解答同学们的疑问;布置题目让同学们完成，待同学们完成后，再简单地讲解题目的解答方式。

B组：教授学生利用平面向量或者几何知识来进行解答二面角，同样的，都是用同一道题目来分别讲解平面向量法和几何法来解答问题，然后学生就根据自己最容易掌握的方法来进行之后题目的计算，例如教室布置任务学生去完成，学生可以结合题目来选择最容易和自己最熟练的方法来进行解答。

C组：教授学生利用平面向量来解答二面角的问题，因为二面角是最容易解答二面角问题的，所以教师先给同学们讲授一两道例题，然后学生就要用平面向量法来完成课后的作业。

因为不同层次的学生的数学水平是不一样的，所以在开展分层教学时，教师所制定的教学计划也要进行分层，这样才能更好地构建高效的高中数学分层教学课堂。

4.完善分层评价体系

对于不同层次的学生，高中数学老师也要就进行不同层次的评价，这样才能更好地提高高中数学分层教学效率。例如，对于A组的学生，教师对其的要求可以是：A组同学完成题目的准确率要达到百分之九十以上，B组同学完成题目的准确率要在百分之八十以上，C组同学完成题目的准确率要在百分之六十以上。如果不同层次的学生在完成题目时，都能达到以上的要求，那么全班同学都值得表扬，如果A组同学的总体准确率是百分之八十八，那么该组同学也就得不到数学老师的表扬。

总而言之，在高中数学课堂上开展分层教学，可以有效地提高班级的整体数学水平，从而提高学生的高考成绩以及学生对于数学的应用能力。所以，高中数学老师应该加强对分层教学在数学教学中的应用研究，从而更好地完善班级的分层教学，提高教学效率。

【参考文献】

[1]邹巍巍.分层教学在高中数学中的实践研究[D].华中师范大学，2014

[2]左淑平.基于分层教学模式下的高中数学教学设计研究[D].鲁东大学，2014

[3]林清波.新课程下高中数学分层教学的有关思考[J].成功（教育），2013.01：226

[4]吴玲.新课标理念下高中数学分层教学探讨[J].新课程（下），2015.08：73

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关键词：新课标；科学备考；提高；复习效率

高三数学复习量大面广、思想方法多，联系紧密，内涵丰富，相对于其他学科而言，内容抽象，逻辑严谨。因此不少学生既感到畏惧，又无从下手。另外高中数学内容多，复习时间紧，学生的学业负担较重。如何提高高三数学复习的针对性和实效性呢？因此在数学备考复习时，需要讲究方法，注重实效，老师要引领到位、不做无用之功，减轻学生的学习负担。

一、回归教材，构建完整的数学知识网络

教材是考试内容的媒介，是高考命题的重要依据，也是学生思维能力的生长点。只有吃透课本上的例题和习题，才能全面、系统地掌握基础知识、基本技能和基本方法及基本思想，构建完整的数学知识网络，以不变应万变。

重视数学基础知识、基本技能和基本数学思想方法的掌握和运用。基础知识、基本技能和基本数学思想方法仍是考生复习的重中之重，复习中要以课本例题、习题为载体，抓好基础题型和通性通法的熟练掌握，淡化特殊技巧。教师应通过教材练习题的重组、演变、推广，使学生从不同角度和不同侧面深入地把握问题的本质，形成理解数学概念、解决数学问题的基本活动经验。学生也应做到：课堂勤做笔记，课后认真思考，对任何问题先思考、后解答，对错题要经常反思总结，将平时每一次考试都当成高考一样认真对待，形成良好的应考心理、技能，以及规范答题的习惯。

二、强化基本概念的复习，培养学生的解题技巧

数学是概念的游戏，概念是实施数学教学和创造的源泉，没有概念，教学就无法入手，解题也就失去依据。因此在高中数学总复习中，必须牢牢把握高中数学概念的复习，使每个考生对高中数学考点中的概念做到心中有数，有的放矢，同时根据高中数学概念推导出相应的公式和定理。比如等差数列，首先应明确等差数列的概念，然后再根据等差数列的概念推导出等差数列的通项公式，通过等差数列通项公式的研究再找出等差数列的性质，在根据等差数列的和的定义，再推导出等差数列的前n项和公式与前n项和公式的相关性质。实际上，高中数学公式很多都是根据概念推导出来的，这样不仅熟悉了数学概念，同时也让学生掌握了公式的来龙去脉，展示了公式的推导过程，培养了学生的逻辑推理能力和数学公式的发现过程，极大的培养了学生的创造能力，因此公式、定理的推导过程本来就是一个再创造，再发现的过程。当然，还要注重知识间的联系与整合，加强数学知识网络交汇点处试题命制的研究，培养学生的解题策略和答题技巧。

三、注重数学思想和数学理性思维能力的培养

我们在总复习中既要重视数学思想、数学方法的复习，还要重视数学理性思维能力的复习。中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法主要有：数形结合思想、函数和方程思想、分类讨论思想、化归与转化思想。数学思想方法和数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时又应该领会它们在形成知识中的作用，到了复习阶段就应该对数学思想和数学基本方法进行疏理、总结、逐个认识它们的本质特征、思维程序或者操作程序，逐步做到自觉地、灵活地施用于所要解决的问题。实际上近几年的每一道高考试题几乎都考虑到数学思想或数学基本方法的运用，目的也是加强这些方面的考查。因此，在平时的复习中，就要有意识、有目的的加强数学思想和数学基本方法的总结、应用和反思。中学数学知识中所蕴涵的理性思维能力包括：逻辑推理、演绎证明、归纳抽象、直觉猜想、运算求解等方面的内容。在复习时，我们要有意识地从多角度、多纬度、多视野地提高数学思维能力，既不要只是局限于逻辑思维能力的练习，还要训练归纳抽象、直觉猜想、运算求解等，使自己的思维能力能够较全面地、系统地得到提高。

四、精选习题，强化训练，提高备考复习的有效性

高考要想取得好成绩，取决于扎实的基础知识、熟练的基本技能和解题能力。而这些能力的提高都需要通过适当有效的练习才能实现。第一轮复习应特别针对学生基础较差，动手能力不强，知识不能纵横联系的问题进行复习，达到重难点的突破，使学生打下坚实的基础。第二轮应在第一轮系统学习的基础上，利用专题复习，提高数学备考的针对性和有效性。第三轮综合模拟应在前两轮复习的基础上，通过做一定量的高考模拟试题，从而增强数学备考的针对性和应试能力。

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一、反例法在高中数学教学中的作用

1.帮助学生准确理解基础知识

数学概念、性质等基础知识是解题的依据，是学好数学的基础。在基础知识的教学中，教师不仅要运用正面的例子来阐明其本质属性，而且还要运用反例对其中的关键词和本质特征进行更深入地诠释，帮助学生准确、透彻、全面地理解基础知识。

2.帮助学生快速判断命题的真假

反例法在判断命题的真假时，具有快速、说服力强的特点。

例2 判断命题“对于任意正整数n，n2+n+41都是质数”的真假。

很多同学，通过取n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…，甚至更多的n值（一直连续取到39），很容易判断上述命题为真。

但是，当我们取到n=40（是一个反例）时，得n2+n+41=41×41，故此时n2+n+41为合数。

事实上，n2+n+41=n（n+1）+41，所以，当n=41k 或n+1=41k（k∈Z*）时，n2+n+41都是合数。一个数学问题用一个反例就得以解决，让人倍感兴奋和愉悦。

3.帮助学生规避错误类比

新的《普通高中数学课程标准》把培养学生的类比推理能力作为培养目标之一。事实上，在高中数学中许多概念、结论之间都有类似的地方，在新概念的提出，新结论的证明过程中，恰当运用类比的方法，以旧导新，有利于建构新知识，能让学生对新知识的记忆更牢固，理解更深刻。在高中数学中，可通过类比法引入的概念或结论非常多，如：复数、平面向量的有关概念或结论可类比实数给出；立体几何的有关概念或结论可类比平面几何给出，等等。

但类比得出的结论不一定成立，对于不再成立的结论，举一个反例验证即可。

例3 以下结论在实数范围内及复数范围内均成立①x+y=y+x， （x+y）+z=x+（y+z），xy=yx，（xy）z=x（yz），x（y+z）=xy+xz， zmzn=zm+n，（zm）n=zmn，（z1z2）m=z1mz2m；②|xy|=|x|・|y|；③|x|2=|x|2；④若xy=0，则x、y中至少有一个为零，等等。

而以下结论在实数范围内成立，但在复数范围内不成立 ①x2≥0；②|x2|=x2；③若x2+y2=0，则x=y=0.

可举反例加以验证：①反例：取x=2i，此时|x|2=-4

例4 实数运算的有些法则对于平面向量仍然成立，如加法交换律、乘法交换律、乘法对加法的分配律，等等，但实数的有些法则对平面向量则不成立。

如，对实数a，b，c，有以下结论成立：

例5 下面的结论在平面、空间中均成立：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行且不相等的四边形是梯形；③过直线外一点作直线的平行线有且仅有一条；④平行于同一条直线的两条直线平行，等等。

而下面的几个结论在平面中成立，在空间中则不成立：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②四边相等的四边形是菱形。

可举反例加以验证：

① 反例：如图1，直线a，b都垂直于c，但a，b不平行。

图1

事实上，在空间，当两条直线平行于同一条直线时，这两条直线可平行、可相交、可异面。

②反例：如图2，在正四面体ABCD中，空间四边形ABCD的四边相等，但它不是菱形。

图2

4. 帮助学生规避“想当然”的错误

在数学学习过程中，学生有时由于知识掌握不够熟练，或因缺乏严谨的思维习惯，解题时往往因“想当然”而导致错误。在教学过程中，通过反例教学法，可有效地培养学生严谨的、周到的、深刻的思维习惯，规避一些“想当然”的错误。

老师：学生1的解法对吗？

可见，不能凭直观或想当然去得出数学结论，这样往往会“失之毫厘，差之千里”。通过列举反例，学生的认知能力产生了飞跃，思维水平得到了升华。

二、设置反例的原则

（1）设置的反例要典型、恰当、精准、有针对性；

（2）尽量引导学生构建反例，老师不能包办代替；

（3）设置反例的时机要适当，应放在学生对新知识有了初步的认识之后；

（4）设置的反例要真实、生动、实用，应在学生易错处设置；

（5）反例题型要灵活多样，可以为改错题、判断题、选择题、问答题等；

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关键词： 高中数学 不等式 高考试题分析 教学策略

不等式既是高考中的易考点，又是高中数学教学中的重难点。由于不等式涉及的知识点、公式和解题方法比较多，很多学生在学习时感觉较吃力，无法迅速找得到解题思路和解题方法。因此，分析高考试题中不等式的应用和教学策略，对帮助学生构建完整知识体系，从容应对高考挑战有着积极的意义。

一、高中数学不等式在高考试题中的应用分析

1.基本不等式的应用

基本不等式是学习和掌握不等式的基础，高考时很少单独考查，多与三角函数、数列和求解极值等相结合，考查学生对不同知识的综合运用能力。

分析：题目将不等式和函数表达式相互联系，着重考查学生的基本运算与转化思想的应用，解题难度不大。

二、高中数学不等式的教学策略

1.注意总结解题方法

不等式作为高考的热点和必考点，在培养学生运算能力和逻辑思维能力等方面起着重要作用。因此，高中数学教师需要在教学过程中，注意总结解题的方法，并让学生练习典型例题，提高学生的应用能力，在解题时迅速找到解题方法。同时，在学生练习的过程中，高中数学教师需要注意对学生进行指导，让学生掌握不同解题方法适用的范围及题型，可以举一反三，在求解高考中相似题型时做到游刃有余。

分析：虽然题目很简单，很多学生可以轻松求解出答案，但是所用的拼凑法在不等式解题中却经常遇到，而且学生在练习过程中可以加深对基本不等式使用要求“一正二定三相等”的理解。

2.选取合适的教学策略

在高中数学不等式教学中，如果教师单纯采用例题讲解和学生机械练习的方式，就会使学生感觉枯燥无味，从而失去了学习的兴趣和动力。同时，每个学生在数学基础和理解能力等方面存在差异，如果高中数学教师采取“一刀切”的教学方式，就很容易使学生出现两极分化的情况。因此，高中数学教师在不等式教学中，需要采取多样化的教学策略，满足课堂教学的实际需求。例如高中数学教师可以采取层次化的教学方法，为学生布置层次化的练习作业，设置层次化的教学目标，如学习能力较差的学生注重基础知识的练习与掌握，学习能力较强的学生进行综合题目的练习与掌握，从而使每个学生在学习过程中都有所收获；教师可以采取小组合作的教学方式，将学生划分成不同的学习小组，并对学力强和学力差的学生进行合理搭配，让学生在互帮互助的合作学习中实现共同进步。

3.突破教学中的重难点

高考中不等式常与三角函数、平面向量、解析几何、数列和导数等知识联系出题，考查学生对数学知识的综合运用能力。因此，在高中不等式教学中，教师需要注重知识点的练习，突破不等式教学中的重难点，引导学生主动思考和分析题目，找到题目中已知条件之间的关系，培养学生独立思考的能力，让学生真正能够灵活利用所学数学知识解答问题。

总之，在高中数学不等式教学中，教师需要把握高考中不等式考查的方向和重点，做好总结解题方法、选取合适的教学策略和突破教学中的重难点等方面的工作，提高学生对不等式知识的综合应用能力，真正对数学知识做到触类旁通。

参考文献：

[1]张惠淑.高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究[D].天津师范大学，2012.

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由国家教委基础教育司全日制普通高级中学数学课程标准编订组，在分析我国高中数学课程现状及研究国内外数学课程改革的经验教训基础上，于1995年5月编写出《全日制普通高级中学数学课程标准(征求意见稿)》(以下简称《课程标准(征求意见稿)》)。在编订过程中， 编订组先后三次集中研讨，撰写初稿，召开包括数学家、数学教育家、数学教研员、教材编写人员和中学数学教师参加的座谈会十多次，与此同时各省市也开展了研讨，对《课程标准(征求意见稿)》提出了很多修改的意见和改进的建议。

编订组于1995年8月在安徽省黄山市召开了有11个省、直辖市教研员参加的《全日制普通高中数学课程标准(征求意见稿)》研讨会，与会代表充分反映了各地对《课程标准(征求意见稿)》的意见，并进行了修改，会后经过文字加工整理，在原稿的基础上修改成《全日制普通高中课程标准(送审稿)》(以下简称《课程标准(送审稿)》)。国家教委中小学教材审定委员会于1995年10月在天津召开各科课程 标准审查会议，对《课程标准(送审稿)》进行了审议，审定、审查委员会经审议认为：

课程标准(送审稿)》符合《全日制普通高级中学课程计划(试验)》关于培养目标、课程设置的各项规定。从我国高中数学课程的现状出发，保持重视基础知识教学 ，重视基本技能训练，重视能力培养等优点；针对现行高中数学课程存在的教学内容陈旧、知识面狭窄、课程结构单一、重视应用不够等问题，增加了逻辑初步、向量、概率统计和微积分初步等知识，将高中一、二年级的教学内容作为必修课，提出相同的要求，作为共同的基础；将高中三年级的教学内容作为限定选修课，分为理科、文科、实科三种不同的类别，规定不同的教学内容，提出不同的教学要求，并选取若干个数学应用专题作为任意选修课，供学生学习选用。有关的教学内容中，增加了数学知识的应用，增加了实习作业。注意与九年义务教育初中数学教学大纲的衔接，注意高中毕业生进一步学习和参加社会生产、社会生活的需要。《课程标准(送审稿)》具有精选传统的初等数学内容、更新知识和教学手段、增加灵活性、重视数学应用等特点；体现了面向现代化、面向世界、面向未来的战略思想；在高中数学课程改革中跨出了重要的一步。

在这次会议上将《课程标准》改称为《全日制普通高级中学数学教学大纲》(以下简称《新大纲》)，经国家教委领导审阅后于1996年5月正式颁发。

《新大纲》颁发后可以供编写试验教材使用，也可以供数学教育研究和各地培训教师使用。

一、新大纲的指导思想和基本原则

回顾近十几年来我国中学数学教育发展变化的历史，可以看出我国高中数学课程具有重视基础知识教学，重视基本技能训练，重视数学能力的培养等优点，从而使得我国中学生数学基本功较为扎实，学生整体数学水平较好。但是也应看到，我国高中数学课程还存在着教学内容陈旧、知识面偏窄、课程结构单一、重视应用不够等弊端。

在分析我国高中数学课程的现状和研究国际数学教育改革的经验教训的基础上，新高中数学教学大纲研究小组提出编订高中数学教学大纲的指导思想和基本原则。

（一）指导思想

全日制普通高中数学教学大纲应遵循教育要面向现代化、面向世界、面向未来的战略思想，贯彻国家的教育方针和普通高级中学课程计划的精神。数学教学大纲的设计要满足21世纪的社会需要、数学科学进步与学生身心发展的要求，和九年义务教育初中数学教学大纲相衔接，进一步实施高层次的数学基础教育。坚持全面发展的方针，提高普通高中的教育质量，坚持面向全体学生，因材施教，为他们参加社会主义现代化建设和升入高一级学校奠定坚实的基础，为进一步提高民族素质作出贡献。

（二）基本原则

根据上述指导思想，制订高中数学教学大纲应遵循以下几条基本原则。

1．高中数学教学大纲要为社会主义现代化建设服务，为提高广大劳动者素质服务。在加强基础知识、基本技能教学的同时进一步加强能力的培养，使学生懂得数学的价值，对自己学习数学的能力有信心，有分析问题和解决实际问题的能力，学会数学交流，学会数学思想方法，受到良好的个性品质和辩证唯物主义基本观点的教育。

2．高中数学教学大纲要立足现实，面向21世纪，充分反映未来社会发展的需要。应精选那些在未来社会有广泛应用的、最基本的而且适合学生发展水平的数学知识作为数学课程的教学内容。高中数学课程应当由代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识构成一个整体，适当增加数学应用的内容，在安排上应具有一定的系统性和逻辑的严密性，突出数学思想方法。

3．统一性和灵活性相结合。高中数学课实行以必修为主，必修课、选修课、活动课相结合的课程结构。根据不同模式的学校对数学课程的不同需要，以及学生毕业后去向和学生学习能力的差异，教学要求分为几种不同层次。高中一、二年级教学要求基本相同，打好共同的基础，高中三年级有三个层次的教学内容和要求，为分流打好基础。

4．高中数学教学应当充分使用计算器和计算机等现代化手段，促进学生积极参与数学活动，以加深对数学基本理论，数学思想方法的理解，增强用数学的意识，培养能从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。

二、新大纲的内容

《新大纲》共分五部分，这五部分是：教学目的，教学内容的确定和安排，教学内容和教学目标，教学中应当注意的几个问题，教学测试与评估。

（一）前言

在第一部分之前是前言。前言包括数学研究的对象、数学的地位作用和高中数学课的功能。

这部分是确定高中数学教学目的、教学内容和教学方法的重要依据，也是理解教学目的和教学内容的关键。

1．数学研究的对象

数学研究的对象是依据恩格斯在《反杜林论》中的论断提出的，即“数学是研究现实世界的 空间形式和数量关系的科学。”这种提法虽然沿用了一百多年，但还是基本恰当的。它的含义有三层：一是说明数学来源于现实世界，二是说明数学研究的对象存在于现实世界的所有事物当中，三是数学是从现实世界事物中的数量关系和空间形式两个侧面来研究。但是，由于客观事物在变化，数学科学在发展，应该对“数量”、“空间”两个概念作广义的理解。如数量已不仅仅是实数、复数，还有向量、张量、集合中的元素等；空间也不只限于二维空间、三维空间，还有n维空间、无穷维空间以及某些结构的抽象空间等。因此，尽管当前关于数学研究对象的提法不少，如美国国家研究委员会在《关于数学教育的未来》这一文件中指出“数学是模式和秩序的科学”，但我们认为恩格斯的提法更能反映数学的本质。由于目前中学数学的教学内容仍以17世纪以前的初等数学为主，且已为广大教师所接受，这次 新大纲》仍然沿用自1963年开始写入我国中学数学教学大纲的提法。

2．数学的地位和作用

《新大纲》对数学的地位作用方面提到：“在当代社会中，数学的应用非常广泛，它是人们参加社会生活、从事生产劳动和学习、研究现代科学技术必不可少的工具。它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。”

随着社会的发展，数学的地位日益提高，应用越来越广泛。因此，数学是构成现代文化的重要组成部分，数学思想向各个领域渗透，数学方法得到越来越广泛的运用。今天，人们对数学这门科学有如下几点认识。

(1)数学是一种应用广泛的工具。事实上，科学技术、社会生产、生活中越来越多的需要进行定量的研究，处理包括随机现象、模糊现象在内的各种各样的问题，当代计算机的发展又给数学的应用提供了一种实现的可能。数学的内容、思想方法乃至数学语言、符号广泛地渗入自然科学和社会科学的各个领域。因此，当前有种提法：“高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学。”数学已渗入到整个社会。

(2)数学是提高思维能力的有力手段。当前各种各样的竞争是人才竞争，而人才竞争在某种意义上讲是思维能力的竞争。思维科学的研究正在迅猛发展，数学的学习，本质上是一种思维活动，是培养思维能力的重要途径和手段。因此，数学在训练思维、提高思维水平方面发挥着突出的作用。

(3)数学是一种文化素养。在日常生活、生产实际中从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题已成为未来社会普通公民的一种文化素养。如对于观察得到的数据信息，会从数学的角度提出问题；在考察生产情况是否正常时，有一种概率统计的观念；在绘制产品近似曲线时，有一种逼近的思想；等等。这些都是属于数学素养范畴。

3．高中数学课的功能

《新大纲》指出，高中数学是义务教育后“普通高级中学的一门主要课程”，“是学习物理、化学、计算机等学科以及参加社会生活、生产和进一步学习的必要基础”，“对进一步形成良好的思想品质和辩证唯物主义世界观有积极作用”。

高中数学课是高中阶段一门主要的课程，同语文、外语称为文化课的基础学科。历次的教学计划(或课程计划)中数学课所占的课时都较多，与语文所占课时比率相仿，高于外语课所占课时比率(见下表)。横向比较，除1963年教学计划中略低于语文、外语课时之外，其他年份教学计划中数学课时均高于这两科课时所占比率。在1978年的教学计划中数学课时占总课时的20.7% ，达到最高值，这年的教学计划各科课时都在减少的情况下，数学课同语文课一样，所占课时比率仍然是最高的。

高中数学课的重要性可以从下面三个方面理解。

(1)高中数学是进一步学习数学的基础，也是从事社会主义现代化建设所必需的知识。高中数学的教学内容是代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识，这些知识都是进一步学习较高深的数学的基础知识，而且由于数学学科有较强的逻辑系统，联系比任何一门学科都更为密切，前边没学好，后续学习就可能中断或很难进一步学习下去。所以高中数学课是一门基础性很强的重要学科。

(2)高中数学课是学习其他学科的工具。高中数学所学的基础知识，是学习物理、化学、计算机等学科的工具。如果数学学习很差，其他学科的学习必然受到很大的影响，甚至无法学习。因为这些学科不仅仅用到数学的知识(如向量、平面三角在物理中有广泛的应用，方程思想在化学中也是基本的工具)，而且还要用到数学的思维方法。

(3)高中数学课对高中学生形成良好的思想品质和辩证唯物主义世界观有积极作用。高中生的年龄一般为16岁至18岁，是青年的身心发展、个性品质形成、世界观逐步确立的重要阶段。心理特点也是从“经验型”向“理论型”转化，理想逐渐从幻想到现实。因此，结合数学教学进行学习目的、学习兴趣、学习毅力、学习信心、学习态度、创新精神等个性品质的培养，以及数学来源于实践又反过来服务于实践的观点和数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互联系、相互转化等观点的教育，对高中学生都是非常重要的。

因此，使学生在高中阶段受到良好的数学教育，提高数学素养，对于提高全民族素质 ，为培养社会主义现代化建设所需的人才打好基础是十分必要的。

(二)教学目的

任何一门学科的教学目的都是根据国家的教育方针、课程计划的培养目标以及该门学科的特点、承担的任务等方面提出来的。《全日制普通高级中学课程计划(试验)》中指出，普通高中要“贯彻教育必须为社会主义现代化建设服务，必须与生产劳动相结合，培养德、智、体等方面全面发展的社会主义事业的建设者和接班人的方针”，又指出，要“培养学生掌握现代社会需要的普通文化科学基础知识和基本技能，具有自觉的学习态度和自学能力，掌握基本的学习方法，具有创新的精神和分析问题、解决问题的能力”。高中数学的教学目的，就是根据上述方针和培养目标，结合高中数学的内容、特点与承担的任务提出来的。

教学目的是教学大纲的核心，是课程计划中培养目标在各学科的具体体现，教学内容的确定、教学要求的提出、教学原则的贯彻以及教学方法的选择都必须以教学目的为出发点和标准，教学目的既是指导教学的依据，也是教学评估的依据。

高中数学的教学目的一是对学生学习高中数学的基础知识、掌握基本技能的要求，二是培养能力方面的要求，三是培养良好的个性品质和辩证唯物主义观点的要求，这既包括对一个合格的高中生在知识和能力方面的要求，又包括良好的个性品质方面和辩证唯物主义观点方面的要求。具体叙述如下。

高中数学的教学目的是：使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识，并形成基本技能；进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想像能力，以逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力；进一步培养良好的个性品质和辩证唯物主义观点。

教学目的首先明确了基础知识和基本技能的要求。这是教学目的的第一层含义。这些基础知识并由此形成的基本技能是学习“从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的”基础知识，这种范围是与课程计划中提出的“有侧重地对学生实施升学预备教育或就业预备教育，为高等学校输送合格的新生，为社会主义各行各业输送素质较高的劳动后备力量”的培养目标相一致的。

教学目的的第二层含义是提出关于能力方面的要求，即进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想像能力，以逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力。思维能力是各种能力的核心，它不仅仅是学习数学和学习其他科学所必须具备的能力，也是日常生活中不可缺少的能力。运算能力是思维能力和运算技能的结合，高中数学中的运算不仅仅局限于数字运算，也包括“式”的运算，还包括“形”的运算，乃至集合的逻辑运算等。数、式、形以及逻辑运算都必须依据思维能力为前提，必须依据运算技能作为基础，否则运算能力的培养必然无法落实。空间想像能力是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象的能力。分析和解决实际问题的能力是“思维能力、运算能力、空间想像能力”的数学三个基本能力的必然结果和要达到的目的。这种能力与三个基本能力并不是并列的关系，而是在三个基本能力培养的基础上，逐步形成的。这就是说三个基本能力是基础，是前提条件，如果没有这个基础和前提条件，分析和解决实际问题的能力就是无源之水，无本之木。因此，在数学教学中必须抓好三个基本能力的培养，从而逐步形成运用所学数学知识分析和解决实际问题的能力。

教学目的的第三层含义是良好的个性品质和辩证唯物主义观点的培养。这方面我国历次教学大纲都比较重视，也是我们国家教育的特色。这里必须指出的是个性品质和辩证唯物主义观点的培养都是结合数学的知识、技能和能力的培养过程中进行的，是按照心理学的“同时学习原理”来形成的。

《新大纲》对基础知识、基本技能、能力要求以及个性品质的教育均作了具体的阐述，这是继《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用)》之后，对数学教育研究成果的又一次肯定，并有所发展。对于指导教学、推动数学教育理论研究以及全面提高数学教育质量将产生深远的影响。

（三）教学内容的确定和安排

根据现代课程理论，确定教学内容要适应社会的需要，要体现学科发展的趋势，要符合学生身心发展的认知水平。《新大纲》确定教学内容本着“有用、基本、能接受”的原则，即精选那些在现代社会生活、生产中有广泛应用的，为进一步学习所必需的知识；在数学理论上，数学方法上，数学思想上都是最基本的，而且长久起作用的内容；在程度和分量上是高中生能够接受的知识，避免要求过高，分量过重的倾向。

在体系安排上要注意三方面问题。一是要考虑数学内容各部分知识的系统性，应该由浅入深，由易到难，由简单到复杂，按照逻辑系统和认知理论相结合的思想安排知识的顺序。二是要考虑与相邻学科的相互配合，即横向上，要与物理、化学、计算机等学科配合。物理、化学可以为数学课学习提供背景、模型、数据等，而数学课又作为有关学科的学习工具，为其他学科学习提供准备。计算器已被列入初中数学的教学内容，有少数学校也将计算机课作为高中的选修课，在安排上要充分考虑与计算器、计算机的学习内容相互配合。三是要考虑各学段的相互衔接，即纵向上，既要搞好与义务教育初中数学教学大纲相衔接，又要考虑与大学继续学习的内容相衔接。高中阶段的学习是在初中学习的基础上进行的，又是为升入高等学校继续学习的必要准备。因此，在安排上必须把这两个结合点的衔接问题解决好。

高中数学课将精选出来的代数、几何的基础知识和概率统计、微积分初步知识综合为一门数学课，不再分为代数、立体几何、解析几何、微积分初步等几门学科教学。数学课统一成一门数学与分科教学在现阶段都存在，各有利弊。从国外中学数学课程发展趋势来分析，趋向于不分科，各国现阶段也是不分科的居多数。《新大纲》对不分科提了如下三个方面理由：一是有利于精简教学内容，减少不必要的重复，提高教学效益；二是有利于数学各部分内容的相互联系；三是有利于数学思想方法的相互渗透。

高中数学课含必修课、限定选修课和任意选修课。

必修课内容是每个高中学生都必须修习的课程，是作为高中生共同的基础，即对高中学生统一规定的基本要求，各学校必须抓好必修课的教学，每个高中学生必须学好，从而达到必修课的基本要求。数学必修课安排在高一、高二年级开设，每学年授课35周，每周4课时，共280课时。

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关键词：高中数学;研究性学习;措施

高中阶段的数学教学是整个教育阶段的重点，其中有着诸多学生难以掌握的知识点。因此，如何采取科学的措施提高高中学生的数学学习能力，是当前教育部门所最为重要的课题。

一、高中教学课中研究性教学的重要性

首先来讲，教学的本质不仅是使学生掌握教学中的基础知识，更在于学生能够通过教学中的知识面进行延伸，从而开发数学学习的新领域。因此，国家推行高中数学课中研究性教学是教育发展道路的必然途径。从根本上来说，高中学生在接受了九年的义务教育后对数学知识及各类数学概念已经有了一个完整的了解，并对解题的思路也有了一定的方向，此时如果进行研究性教学，可以使学生在原有解题思路及方式的基础之上进行开拓创新，从而寻求出更多的解决问题的办法。另外，数学教学是所有理科科目学习的基础，因此，只有学生熟悉并能够灵活运用数学研究性教学的各种技巧，才能够更好地进行其他理科科目的学习。

二、高中数学教学中现存的问题

数学教学不同于其他的学科，它在学习中没有一个固定的模式，并且对于一道题的解法通常有几种形式。因此要求学生必须掌握数学学习技巧才能更好地学习。但就目前高中数学教学来看，普遍存在着学生解题思路死板的问题。这主要是因为学生在长期的应试教育体系下，养成了‘喂一口吃一口’的学习态度，从而使自身的逻辑思维能力造成严重的局限性。另外，在应试教育体系下，多数高中都以学生考入重点大学的升学率为主，因此在数学课教学中老师通常所传授给学生的并不是数学解题的思路方法，而是一道题完整的解答步骤，学生只需死记硬背下来说可以了。因此造成了许多学生在考试中只变换了一个数字就无法做出正确的解答。不得不说，在这种教育体系下，葬送的是学生的思维能力及开拓能力。

三、高中数学课中研究性学习的策略

研究性学习是近年来为提高高中学生数学学习能力而研发出的一种全新的数学教学模式。所谓的研究性学习主要是指为了培养学生对学习永不满足的精神以及追求卓越的态度，同时研究性学习是培养学生勇于发现问题并解决问题的必要措施。它主要是以人们生活学习中所接触的实际事物以及课题项目的设计为主要的教学载体，以提出问题及解决问题为整个教学的过程，从而使学生在解决问题的同时从中得到多方面的知识的获取书本上无法满足的新知识点，提高学生整体的数学学习能力。

（一）在研究性课题实践中学习。随着我国高中教学的改革，数学课中研究性学习被越来越多应用于实际的高中教学中，并且依照我国最新出台的《教育新大纲》的要求，已经将研究性学习正式纳入高中数学课教学体系中。作为一种新形式的教学模式，研究性学习在高中学生学习中起着至关重要的作用，它是以一种研究性的科学办法开展教学内容的，并且在整个教学过程中通过组织建设及实施，总结评价等对学生的学习情况进行判定。

如在某高中学校开展数学研究性学习中，老师通常在课前事先给出问题，然后让学生两人一组进行课前对问题的研究，并鼓励学生通过网上查询、图书馆、专家访谈等多种形式找出问题的答案。同时，为避免学生在寻找答案时跑偏，老师往往会针对问题给出一个大体的思路，让学生朝着思路进行研究、收集资料及找出解决问题的方法。最后老师再在课堂中鼓励学生针对问题的解决方案给出准确的结论，从而提高学生数学的综合学习能力。

（二）在教学中实践研究性学习。课堂教学是学生掌握数学知识的重要途径，因此，在课堂中开展研究性学习更能够帮助学生提高数学综合学习能力。首先，老师在课堂教学中要以书本知识点为依据，提出问题，并将问题贯穿于整节课的教学中。

如在学习数列时，针对于递推数列定义不明确的情况，老师就要求学生对此进行研究性学习，从而教授学生如何在等差、等比数列的基础上进行递推数列的转换，从而培养了学生自主研究、创新思路的能力。另外，在学习不等式一节中，通过对不等式的研究性学习可以使学生对向量的不同求证方法有一个大致的了解，并且可以通过平行向量的求证方法研究总结出平行向量其他组成部分的有机整体以及不同向量之间所存在的必然联系。

（三）在习题中实践研究性学习。研究性学习是一种新形式且开放式的教学模式，因此可将研究性学量应用于学生课后的习题练习以及期中期末总自习中。并且针对研究性学习问题答案不单一的情况，发展学生思维创造能力，使学生在不同的阶段学习中都能够通过研究性学习提高自身的数学综合能力。另外，研究性学习的设计是开放式的，往往可以通过一个问题延伸出多种问题，并进行解决。从某方面来说，这种教学方式更能够开发学生智力。同时学生在不断的探索与追求答案中对逐渐对数学学习充满了乐趣，久而久之使其养成良好的学习习惯。

综上所述可知，高中数学课中研究性学习对提高学生数学综合能力有着十分重要的意义。因此，在研究性学习开展中，必须首先制定出科学化、完善化、合理化的教学措施，以解决问题为前提提高学生整体的数学学习能力。

参考文献：

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平面向量是在1997年人民教育出版社出版的B版高中数学教材中首次出现的,开始只在天津、河南、江西等小范围内局部试验使用,但仍引起了很大的争议. 由于平面向量在高中数学体系中具有无可替代的教学价值,在2003年国家颁布的普通高中《数学课程标准》(以下简称“新课标”)中,平面向量被正式确定为高中数学必修内容. 数学解题历来是数学活动的中心,是数学学习的重要组成部分,在培养学生的思维能力方面具有特殊的功效. 学生们天天都在解题,解大量的题,但并不是所有学生的解题能力都随着习题量的增加而增长. 平面向量作为高中数学课程改革的标志性内容之一,既具有代数形式也具有几何特征,因此,对平面向量的研究的意义可能超过其知识本身,也可能对学生全面提高其代数和几何成绩有一定的作用.

二、研究过程

1. 样本的选择

本研究样本来自贵州地区省重点、市重点以及农村中学的高三年级各两个班学生,要求任课教师对于平面向量内容都有过两轮或以上的教学经验,对该模块知识相对比较熟悉,教学方法的选择和教学内容的处理相对比较成熟. 目的是为了保证了学生掌握和运用平面向量解决问题有较高的外在因素.

本研究选择高三学生是考虑到他们具有相对丰富的解题经验,对不同层次的数学问题的解决方法有相对稳定的解题策略和模式,解题心理较为稳定,能够反映高中学生运用平面向量解决问题时表现出来的普遍共性. 因而,本研究选择的样本具有一定的代表性.

2. 研究的内容

罗增儒认为,解题的成功取决于多种因素,其中最基本的有:解题的知识因素,解题的技能因素,解题的经验因素和解题的非智力因素,而在知识因素中还包括需要学生积累不断涌现的数学技巧. 数学活动的本质是数学解题活动 [1 ].

其中,知识因素中的知识主要包括基本概念、基本规律与原理(即公理、性质、定理、公式、法则等),以及重要的数学思想方法 [2 ]. 平面向量中的基础知识主要包括:平面向量的实际背景及基本概念;向量的线性运算;平面向量的基本定理及坐标表示;平面向量的数量积;向量的运用等等. 技能因素中的基本技能主要是指通过练习而形成的为完成某种任务所必须的活动方式或心智活动方式[2].. 平面向量中所要掌握的典型技能有:向量的平移、伸缩、建坐标系、分解与合成等.

需要指出的是数学解题中的非智力因素,是指有利于人们进行数学解题活动的智力因素以外的全部心理因素的总称 [3 ],主要包括动机、兴趣、情感、意志、性格等. 学生在解题活动中,不仅需要智力因素的直接参与,对问题中包含的信息进行加工,而且也需要动机、情感、意志等非智力因素的启动,加强维持和调节,才能使得解题活动顺利展开. 但是因为测验的操作性和外显性特点,本研究没有对非智力性因素深入研究.

在参考罗增儒教授关于解题的基本因素的基础上,本研究主要集中于研究高中学生在运用平面向量解决问题中的知识、技能、题感经验等方面的因素.

3. 研究的工具

问卷的编制:考查内容以新课标中关于平面向量内容对高中学生的要求为根据,根据多位专家和从事一线教学的教师共同研究编制的,试卷满分为150分. 试卷的编制依据布卢姆目标分类理论、标准化考试理论、斯皮尔曼能力因素学说. 其中,本研究特别强调对斯皮尔曼有关能力学说中的“G”因素考察 [4 ].

(试卷内部一致性信度alf=0. 925>0. 8. 其中为均分. p为难度系数,计算方法:p=· M为每道题均分,M为该题满分值. D为区分度,计算方法D=:,其中为高分组均分,L为低分组均分). 本次研究发放测试试卷357份,收回有效试卷326份,有效试卷约占发放试卷的总数的91. 3%. 这表明测试的结果有较高的可靠性.

从表1和成绩分布图可以看出:

(1)试卷编排比较合理,学生成绩成正态分布,基本上符合从易到难的顺序,难度保持一定的梯度.

(2)全部试题难度系数p>0. 20,主要集中在0. 35~0. 80之间,表明试题能够区分学生的学习水平,具有一定的评价意义. 试卷的难度系数计算:

P=piWi=0.52(其中W为试卷的满分值, pi和Wi分别为第i题的难度系数和满分值. 同样, p 越大,则难度越小, p 越小,则难度越大).

(3)除试题10、13、18外,试卷其他各题的区分度都在0. 4以上. 试题10、13、18题区分度不高,表明学生对开放性、探索性的试题的解答与成绩高低影响不大. 试卷的区分度:试卷的区分度是指试卷总体对学生水平的区分程度,计算结果为:

D=DiWi=0.70> 0. 40(其中, W为试卷的满分值,Di为第i 题的区分度, Wi为第i 题的满分值,D为试卷的区分度),由美国测量专家L. Ebel鉴别指数表明试卷的区分度很好,区分能力很强 [5 ]. 而且高分段考生的通过率高,低分段考生的通过率低.

(4)从试卷测验结果看,学生成绩略成负偏态正态分布,表明了该试卷编制的科学性和合理性.

统计工具:SPSS 11. 5.

三、研究结果

根据试卷测验结果的统计,笔者把试卷按成绩从高到低分别取27%、46%、27%,划分为高成绩组、中等成绩组、底成绩组,分析学生在运用平面向量解决问题时知识因素、经验因素、技能因素等方面对其解题的影响:

1. 学生运用平面向量解决问题能力与知识因素相关性分析

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关键词：向量法；新课程；高中数学；工具性

“向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景是解决几何问题的有力工具。全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。”使得教材中在推导正、余弦定理、三角不等式、柯西不等式、直线与平面垂直的判定定理等重要定理、公式的教与学更加简洁、方便、深刻，向量的工具性作用得到了更为充分的发挥。教材中的许多知识表面上是孤立的，若我们在引领学生认知这些内容的同时，有“意识”地揭示这种“知识链”，内化学生的理解，就能让学生对知识的构建“水到渠成”。

精彩之一：用向量法推导直线的斜率坐标公式的关系

【问题1】已知直线过P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，求直线的斜率。

教材中采用了分四种情况讨论，利用初中直角三角形中的正切函数概念结合诱导公式推导斜率公式，学生对推导过程比较难理解，是本节课的难点。

■

不妨设直线向上的方向向量为■=（x2-x1，y2-y1），否则取其相反向量。

平移至向量■=（x2-x1，y2-y1），则直线P1P2的倾斜角α=∠XOP，所以直线的斜率k=tanα=■.

这样采用向量法和正切函数的定义就可以巧妙地避免复杂的分类讨论和诱导公式的变形等难点，学生也能很好地理解公式推导过程。

精彩之二：用向量法推导直线方程及直线的斜率与平行、垂直位置关系的条件

【问题2】设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，l1l2，则直线的斜率k1，k2有何关系？

教材中采用了分情况讨论，利用直角三角形外角等于不相邻的两内角和以及诱导公式推导，学生对推导过程理解还是比较困难的。

如果设直线l1，l2的方向向量分别为■=（1，k1），■=（1，k2）即有

l1∥l2？圳■∥■？圳1×k1-1×k2=0？圳k1=k2；

l1l2？圳■■？圳■・■=0？圳k1k2=-1.

这样学生就能很好地理解公式的推导办法，向量的工具性作用得到充分应用，数学知识的内在联系得到了升华。

笔者让学生自主学习《数学必修4》133页的《平面向量》复习参考题B组第9题：

【问题3】“平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具。……你能用向量作为工具讨论一下直线的有关问题吗？

（1）过点P0（x0，y0）平行于向量■=（1，k）的直线方程；

（2）向量■=（A，B）与直线Ax+By+C=0的关系；

（3）设直线l1和l2的方程分别是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，那么，l1∥l2，l1l2，的条件是什么？”

【引进直线的方向向量】（1）设P（x，y）为直线上任意一点，则■∥■，

即有（y-y0）-k（x-x0）=0，故有y-y0=k（x-x0）.

【引进直线的法向量】（2）在直线Ax+By+C=0上任取不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），

则A1x+B1y+C1=0……①，A2x+B2y+C2=0……②，

由②-①得，A（x2-x1）+B（y2-y1）=0，即有■・■=0，故■■，

所以向量■=（A，B）为直线Ax+By+C=0的法向量。

（3）如果设直线l1，l2的法向量分别为■=（A1，B1），■=（A2，B2），则有：

l1∥l2？圳■∥■？圯A1×B2-A2×B1=0；l1l2？圳■■？圳■・■=0？圳A1A2+B1B2=0；

引进法向量推导直线平行的必要条件、垂直的充要条件就可以避免用斜率繁杂的讨论，而使过程简洁明快。

精彩之三：用向量法推导点到直线的距离公式

【问题3续】（4）向量在计算长度、角度方面比较方便，你能用向量的知识推导“点P0（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式”吗？

虽然只设计了这样一个问题，却一石激起千层浪，引导着学生把平面向量知识与解析几何知识有机地联系在一起，为学生学习解析几何知识有了向量这一有用的工具，为学生学习新知识――推导点到直线的距离公式开拓了新的思路：

■

已知点P0（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0求点P0到直线l的距离。

解：在直线l上取一点S（x1，y1），则Ax1+By1+C=0，

■=（x1-x0，y1-y0），而直线l的一个法向量为■=（A，B），

d=■=■

=■=■

推导点到直线的距离公式是本节内容的难点，用向量法推导比教材中的方法更简洁，笔者的教学实践表明：这一方法让学生更易掌握，从而很好地突破了教学的难点。

精彩之四：用向量法求直径圆

【问题4】设A（x1，y1），B（x2，y2），求以AB为直径的圆方程。

设P（x，y）为圆上任意一点，则APBP，即■・■=0，故有，以AB为直径的圆方程为（x-x1）（x-x2）（y-y1）（y-y2）=0。

精彩之五：用向量法求过圆上的切线方程

【问题5】求过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程。

方法1：易知，■=（x0，y0）是过切点P（x0，y0）的圆的切线的法向量，所以可以设切线方程为x0x+y0y+c=0，因切线过点P0（x0，y0），所以x02+y02+c=0，即c=-（x02+y02）=-r2，

所以过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2.

方法2：在切线上任取一点Q（x，y），则OPPQ，即■・■=0，即有x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，故有x0x+y0y-（x02+y02）=0，所以过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2.

【问题5续】求过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程。

设圆心M（a，b），在切线上任取一点Q（x，y），则MPPQ，即■・■=0，

即有（x0-a）（x-x0）+（y0-b）（y-y0）=0，有（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）-[（x0-a）2+（y0-b）2]=0，

所以过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

向量法研究直径圆、过圆上的切线方程，使问题的解决变得更方便，也更容易被学生掌握。

用向量法解决问题的一般思路为：

向量是数学中重要和基本的概念之一，它是高中数学的基础。“它既是代数的对象，又是几何的对象，作为代数的对象，关键是它具有一套良好的运算性质，而作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面曲线等几何对象。向量有长度，可以刻画长度等几何度量问题，向量由方向和大小两个因素确定，因此向量是集数与形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现。通过空间向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具。”并把向量上升为思想方法――“向量法”，让学生更好地体会数学方法的魅力和数学知识内在的普遍联系，使高中数学学习更精彩！

参考文献：

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关键词：高中数学；课堂教学；有效性教学；教学效能；策略运用

课堂教学是学生学习新知、培养能力、展现风采的重要平台。教师教学效能、教学技能的高低，可以通过课堂教学这一有效途径进行生动形象地展示。传统教学活动中，课堂教学效能的衡量标准往往侧重于学生解决问题能力的评价，而忽视学生主体性和数学思维品质的培养。当前，新实施的高中数学课程改革纲要则将学生“主体特性彰显”“学习能力培养”等作为有效教学活动的重要内容和追求目标。近年来，本人围绕有效性教学的目标，采用“化整为零，紧扣关键节点”的方法，对当前新课标下的高中数学有效性教学活动进行了尝试和探索，现将教研心得进行如下阐述：

一、抓住新知导入环节，激发高中生主动探求知识的积极

情感

常言道，良好的开端是成功的一半。学生学习新知、解决问题，需要良好的数学学习情感和坚定的学习信念作为“保障”，让学生“快乐学习”“主动学习”是有效性教学活动的思想基础. 因此，高中数学教师在新知导入环节伊始，就要为学生创设适宜、生动、有趣的教学情境，营造平等、融洽、和谐的学习氛围，使学生内在学习潜能能够得到激发，主动探知的欲望得到显著“释放”，从而带着“积极情感”开展新知学习或问题解答活动。

如在“二分法求方程的近似解”课堂教学环节中，教师为激发学生主动探知，不妨创设如下教学情境：电视娱乐节目中，有一种有趣的猜数游戏：竞猜者如在规定的时间内猜出某种商品的价格（或重量等），就可获得该件商品，现有一商品，价格在0元～8000元之间，老师问学生采取怎样的策略才能在较短的时间内猜出正确的答案？学生先猜4000元，如果老师说高了，学生则猜2000元，若老师说低了，学生就猜6000元，以此类推，最终总能猜出商品价格。这样，学生对二分法求方程的近似解的原理就得到初步体验，内在探知的“渴望”得到“释然”，从而更加主动自觉地参与到新知教学活动中，实现教与学的“同频共振”。

二、抓住巩固练习环节，培养高中生有效问题解答的探究

能力

巩固练习是学生利用掌握的数学知识以及方法要义，结合已有解题经验，进行问题分析、探索、解答的过程，实现对基础知识、基本方法和技能的深层次、全面性掌握和理解。这一过程中，学生思考能力、分析能力等得到有效地锻炼和显著地提升。因此，高中数学教师可以将新知巩固与能力培养进行有机结合，把巩固练习问题解答的过程变为学习能力锻炼提升的过程，发挥教师教学主导作用，引导学生开展行之有效、循序渐进的问题分析、小组探究，指导学生实施有的放矢、切中要害的解答问题活动，逐步让学生领悟同类问题解答的方法、步骤和要领。

问题：已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A>0，0

这是教师在“三角函数的性质”内容教学中，在巩固练习环节时所设置的一道典型数学问题。教师在讲解此问题时，可以采用“学生解题为主，教师指导为辅”的教学方式，要求学生开展问题探究、小组交流等具体解答活动。学生在观察、分析条件的过程中，认识到该问题解答时要运用 “三角函数的性质”内容，此时，教师适时向学生提出“通过学习，大家说说三角函数的性质有哪些？在该问题解答时，需要用到哪些性质？解答该问题时可以采用什么解题方法？”等问题，通过这一系列的分析活动，同学们明白：可以将函数能取得最大值看做是振幅，再把点M的坐标代入求φ即可求得函数的解析式（解题过程略）。这一过程中，教师将新知巩固与能力培养进行了有效结合，实现了学生既对新知内容及方法要义的有效掌握，又达到了学生探究能力等学习能力的有效培养。

三、抓住反馈总结环节，培育高中生高效学习知识的严谨

意识

反馈总结环节，是学生暴露思路分析缺陷，形成正确的解决问题方法、树立良好学习习惯的重要环节。反馈总结教学环节的有效实施，能够对教学效能的深入推进和学习效能的显著提升起到助推和“优化”作用。因此，高中数学教师可以在反馈总结环节，设置具有矛盾性、探讨性的教学情境，鼓励学生组成学习小组，对问题解答过程多“思”、多“辩”、多“评”，从而使学生能够更多地展示自身思维活动“轨迹”。经过师生的共同分析研讨，形成更加高效、更为便捷的解题思想和策略，促进学生良好数学思维习惯的养成。

如在教学“平面向量”一节课反馈总结环节教学中，教师在学生解题实践的基础上，设置了“和a = （3，-4）平行的单位向量是什么？和a = （3，-4）垂直的单位向量是什么？”的问题，并展示出了学生解题答案为“（，-）；（，）”。此时，教师组织学生进行讨论辨析，学生在分析问题条件过程中，认为该问题解答过程中存在“漏解”的现象，其正确答案为“（，-）或（-，）；（，）或（- ，- ）”。这时，教师向学生指出，解答问题时，应该对符合问题条件的答案进行甄别，避免出现“漏解”或“多解”的现象。这样，学生在这一过程中，认真审题缜密思考的习惯得到有效培养。