高中数学值域的方法范文

导语：如何才能写好一篇高中数学值域的方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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一、教师要上好开学第一节课

给学生上的第一堂课非常重要，教师不要一进教室简单自我介绍就开始上课。通过这几年的教学实践，笔者的第一堂课都不会安排教学内容。学生的数学功底差，所以要以鼓励为主，给学生“加油打气”才是第一节课的主旋律，一方面介绍数学的重要性，一方面以微笑的方式传达一种数学不是很难学的感觉给学生，让他们相信在老师的引领下一定会把数学学好。剩下的时间可以用一些与数学有关的智力小题对学生的兴趣加以提升，例如：数字猜成语游戏：“1256789――丢三落四……”；脑筋急转弯：“诸葛用兵善设疑，诱惑敌人施巧计，每小时行军十二里，每前进十里退二里，全程三十四里路，何时到达目的地？”……第一堂课上好了，课堂气氛营造起来了，学生会对今后的课堂给予更多的期盼，这样，有助于激发起学生学习数学的兴趣。

二、教师要加强与学生的情感交流

教师可通过创设数学文化氛围，充分向学生展示数学的作用、魅力以及数学这门学科在发展过程中的一些感人故事，使学生从情感上真正领会数学的内涵与价值，从而激发他们对学习数学的兴趣。实践证明，学生的学习效果，不仅受认识因素的影响，而且受情感因素的影响。在教育过程中，最强烈、最深刻的情感，莫过于教师对学生的热爱。这种爱不仅具有明确的社会目的性和稳定性的特征，同时，在教育教学中起着巨大的相互调节作用。它不仅能促进教师良好的心境的形成，激起对教育工作的高度热情，而且能在教师积极热情的教学形态中感化和激励学生的学习积极性，促进学生的自信心和上进心，使学生得到最大的自我肯定和心理满足，并转化为积极向上的内部动力。

在数学教学中，还应结合教材，挖掘其中富有独创性的数学故事，以激发学生对数学奥秘的好奇。同时，在教学中，可以结合课堂内容，设置一些具有悬念的问题，从问题答案的新奇、出乎意料出发，从而及时探明来由，以满足学生的求知欲和好奇心。“悬念”能激起学生积极思维，是激发学生对数学求知、好奇的有效方法。在教学中一个巧妙问题的提出，一个出乎意料的课程引入，会让学生的兴趣大增，可以使学生带着高涨的情绪进行学习和思考，对面前的真理感到惊奇，为人类的智慧感到骄傲，逐步对数学有兴趣、有感情。

教师要主动去探寻学生内心世界。大多数中职生因为自身数学成绩差，对数学学习也可能存在恐惧心理，或许存有自卑感。教师不仅在课堂内与学生进行交流，在课堂外也应与学生多进行交流，设身处地为学生着想，既要解决学习方面的问题，也要关心学生生活方面的问题，真正走进学生的心灵，用爱心去感化学生，让学生对教师产生好感，进而由讨厌上数学课逐渐变为愿意上数学课，教师在教学中要注意肯定学生取得的进步，缓解学生对数学畏难的心理，使其对数学学习逐渐产生兴趣。

三、结合专业要求，阐明数学的作用

中职生可能会有这样的看法，中职学校毕业后会成为一名技术工人，学不学数学没有关系。的确，社会上相当多的岗位，并不要求掌握太多的数学知识，但是科技高度发达的现代社会，数学既成为工作中一种工具，又成为训练思维的有效方法。对中职生所学专业而言，数学知识的用途又非常现实。如机械类专业，学生至少应掌握工件下料的划线、加工作业点的定位计算等，这些计算问题必须用到三角函数、解析几何等知识；电工电子类专业许多计算问题需用到向量、复数等工具；等等。结合专业与数学的关系，让学生明了数学的作用和地位，能让学生产生出学习数学的动力。

四、营造轻松愉快的课堂氛围，激发学生兴趣

1.我们要改变自己的教学方法，尤其对中职院校来说更多的要考虑学生的学习方式和学习风格，“以长促短”提高学生的学习兴趣。比如在介绍数列时，向学生们讲述数学家高斯的故事，这不仅能激起学生的兴趣，更使得一部分学生通过对人物的理解实现对数学内容的理解。同时，多举些与数学有关的趣味性例子，比如怎样一笔画下奥运五环，怎么画正方体比较快。这些都能给学生带来兴趣同时也增加了学生的自信。

2.利用多媒体教学，加强直观性。人的认识通常是从具体到抽象，从形象思维向抽象思维转化。多媒体课件的演示具有图、文、声、像俱全的特点，因此在课堂上合理运用多媒体教学，可以使学生兴趣盎然，变“苦学”为“乐学”，使抽象的问题具体化，枯燥的问题趣味化，静止的问题动态化，复杂的问题简单化，从而大大提高学生的学习兴趣，优化学习效果。

3.可采用合作学习的方法，构建学习小组，让他们学会合作讨论，共同享受成功的喜悦，帮助他们树立“我能行，我真棒”的信心。这不但使课堂生动有趣，而且使学生之间相互合作，相互学习，相互协调和相互竞争的品质得到了培养，有利于培养学生良好的心理素质，调动和发挥学生学习积极性，提高学生自己解决问题的能力，解决个别差异，缩小两极分化，有效提高中职数学教学质量。

4.降低难度，分层教学，让学生对数学学习保持兴趣。虽然教学大纲规定了中职生达到一定的目的要求，但笔者认为，中职学校数学教学要按专业、学生基础有所侧重地教学。中职学校数学教学要树立“实用主义”思想，教学内容按专业要求够用即可，对数学概念的教学方面要轻“形式”重“意义”，避免使学生陷入枯燥的形式学习中。

五、培养良好的学习习惯

高职的学生虽然文化课基础较差，但他们已具有高中的反应能力，只是由于没有养成良好的学习习惯，而落后于他人，因此，培养他们自我学习的能力，培养他们良好的学习习惯，是使他们走出困境、走向进步的关键，也是他们将来走上社会后终身学习的基础。自学能力是学生按照学习规律，主动获取知识、深刻理解知识、灵活运用知识、科学地组织学习活动的特殊本领，它是打开知识宝库的金钥匙，是兴趣的根本源泉，是使知识智能健全发展的造血功能，是职高学生获得知识的一个重要渠道。因此，在教学活动中应始终注重培养学生的自学能力。

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关键词：高中数学；归纳意识；归纳思维

数学学科的特点之一就是具有很强的逻辑性，而数学教学的目的之一就是培养学生的数学逻辑思维能力，提高学生的运算能力，让学生学会应用数学，参与社会实践活动。教师在数学教学中渗透归纳意识就会给学生提供更多的学习空间，学生的主体地位也能得到尽可能的发挥。培养学生的归纳思维可以让学生独立思考、探索研究，不仅能够让学生树立创新意识，还能培养学生的自学能力，促使学生形成良好的学习习惯，这将更有利于学生的发展，真正体现学生的主体地位。

学生在进入高中数学学习后，就意味着他们将面临更多的变化，随之而来的是更多的困惑，这些因素常常使得学生感到苦恼，有些学生由于不能尽快地适应高中数学学习而使得成绩大起大落，心情低落，甚至排斥学习。因此，在高中数学教学中渗透归纳意识，培养归纳思维，是势在必行的。下面就高中数学教学中学生归纳思维的培养浅谈几点看法。

一、认识归纳、归纳意识，培养归纳思维

归纳的本质不仅是一种推理，一种思维方法，更重要的是一种数学思想，即概括处理经验事实、发现新知识的思想。

归纳意识是指学生在学习过程中形成的一些思维习惯或是自觉意识，是对某一类事物的若干个特殊形象进行分析，从而理出的一种思维倾向。这种思维是学生学习必须具备的能力，是学生是否能够学好数学的重要载体。

数学是一门实验性很强的归纳科学。新课程标准指出：“数学教学要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方法。”可以说，在高中数学教学中渗透归纳意识是新课程教学理念的体现，学生归纳思维能力的高低直接影响着学生数学能力的高低，因此，在高中教学中要重视学生归纳思维的

培养。

二、高中数学教学中培养学生归纳思维策略

1.数学知识的归纳

学生学习知识的过程中首先是通过接受和记忆去积累相关知识，但是“学”不是仅此而已，还必须对掌握的知识进行进一步的消化、提炼，不仅弄“懂”知识，还要弄“透”知识，做到融会贯通，只有这样，学生才能真正把所学的知识转化成自身的能力，而这个消化、提炼的过程就是学生对知识的归纳总结过程。因此，要想培养学生的归纳思维，首先就要加强学生对知识归纳总结的能力，促使学生构建自己的知识体系，这样更利于学生整体掌握知识，深化对知识的理解。

【例】指数函数与对数函数学习后，我让引导学生对这两个函数的图形、定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点、底互为倒数的关系、同底数指数函数与对数的图像关系等进行归纳总结，并制成图表，这样可以让学生更加一目了然地掌握知识，更便于学生进行记忆和理解，促进学生的知识迁移，形成良好的认知结构。

2.题型和解法的归纳

在高中数学教学中，最常见的教学方法就是“题海战术”，但很多学生往往迷失在题海中，越来越无力。其实要想提高学生的解题能力，最重要的是提高学生的解题思路和解题技巧。基于数学而言，在解读答某一类问题的时候，它的解法往往是具有一定的匹配性，因此，在教学中要适时地引导学生对题型和解法进行归纳，让学生找到规律，进而不在畏惧数学。

【例】对函数值域求法归纳，高一数学教学时，我发现很多学生在解题上存在着困难，基于此我设计了如下的六组题目：

组1：（1）函数y= +2的值域？

（2）函数y=x2+3的值域？

组2：（1）函数y=x2-2x+3的值域？

（2）y= 的值域？

组3：已知f（x）=x2-2x的定义域为[0，3]，求值域？

组4：（1）函数y= 的值域？

（2）函数y= 的值域？

组5：求函数y= 的值域。

组6：求函数y=2x- 的值域。

通过这6组题目引导学生归纳总结出求函数值域的六种基本方法，即观察法、配方法、图像法、分离系数法、判别式法、换元法以及与这六种求值域相匹配的题型。通过引导学生对题型和解法的归纳，促使学生记忆，形成固有的模型和通法，那么学生在解题中就更能得心应手。

3.思想方法的归纳

数学是一门思维的科学，也就是说思维能力是学生学好数学的核心能力，而数学思想方法就是数学中所蕴含的一般的思维规律。数学思想方法不是固定于某一类型题中，而是在若干个问题中都能用的，对学生的解题起着指导性作用，对提高学生的数学素养起着十分重要的作用。在教学中引导学生对思想方法进行归纳，可以让学生对知识进行深层次的挖掘，发现隐藏在不同层面下的统一性，从而加深对知识的认识。对“同一思想”进行归纳，可以让学生把零散的知识形成一个有机的整体，建构知识网络。

总之，要想提高数学学习能力，贵在“勤思索、善归纳”，这就要求教师在教学中要引导学生学会归纳，掌握归纳的方法，从而提高学生的学习数学的能力。

参考文献：

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高中数学从本质上说是一种变量数学。小学数学主体内容是算术,运算的最终目标是求运算的结果,即求值。初中数学主体内容是方程,方程是逆运算过程,方程的最终目标是求方程的根。高中数学主体内容是函数,函数最终目标也是求它的结果,即值域。小学、初中数学更多体现了是一种常量数学,计算能力强的学生一般就学得好。函数体现了高中数学的变量思想,而函数的动静结合,数形结合方法贯穿了高中数学的始终,光计算能力强对高中数学远远不够,这也是很多初中数学学得好的同学到高中却听不懂高中课,跟不上高中课的原因。高中数学的第一部分内容就是函数,可以说高中数学学得不好,一定是从函数开始的。

初中与高中数学鸿沟主要体现在二个方面:

一、初中、高中函数概念的定义不同

初中定义:函数是一种变化过程。在一个变化过程中,自变量x在变,另一变量y跟着在变,这一变化过程叫函数。

高中定义:函数是一种对应过程。设A、B是两个集合,如果按照对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,在这一过程叫做集合A到集合B的映射。如果A、B是非空数集,则这个映射叫A到B的函数,记作y=f(x)。其中原象集合A叫定义域,象的集合叫值域。

高中定义是一种数学符号语言,比初中文字描述性语言要准确得多,但也难懂得多。

克服这个差距的方法是在初中定义与高中定义之间搭建一个台阶,引入第三个定义:

函数是一种运算过程。定义域A中的每一个x都拿出来,经过对应法则f的运算,得到唯一结果f(x),记为y=f(x),这些运算结果叫函数值或y值,把这些运算结果放在一起形成一个集合B,集合B叫值域,这一运算过程叫函数。

显而易见函数也是一种求值过程,如y=3 x-1,当x =1时,y=3×1-1=2,这是一个小学算术过程,得到定点(1,2),定义域R内所有x都经过这样运算,就得到无数个定点,这些定点的集合叫函数图像。函数运算过程包含了无数个算术过程。当已知结果y时,反过来求x,这就转化为方程,如:3 x -1=0。

当x不停经过对应法则f的运算时,也就不停算出结果y。这一运算过程也就是初中函数定义所说的变化过程。在这一过程中变量x、y的对应点(x、y)是动点,所以函数图像可以看成是动点的轨迹。

当定义域A中的任何一个x代入时,都得到唯一结果Y值,y值反过来与x对应,这也就是高中定义所说的对应过程。第三个定义紧紧扣住运算,符合学生思维习惯,当然容易被学生理解。

二、数学与高中数学差距体现在常量与变量,动与静的不同

初中数学是一种常量数学,是一种静态数学。高中数学是一种变量数学,是一种动态数学。克服它们之间差别是用三种语言讲数学,讲一种学生听得懂的数学。这三种语言是数学符号语言、文字语言、图形语言。

如果高中每一节课教师都坚持用三种语言讲课,学生一定会更容易接受,课堂上三种语言是连接初中与高中鸿沟第二个阶梯。

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1．对重点的传统知识作适当拓广

新课标对传统的高中数学知识作了较大的调整,内容变化也较大,有的从整个编排体系上都作了改变,但是,传统的高中数学知识中的重点内容仍然是高中学生学习的主要内容,在教学中对这些知识内容应拓广加深.

例如，增加了函数的最值及其几何意义,函数的最值常常与函数的值域有联系，而求函数的值域 的基本方法有观察法、配方法、分离常数法、单调性法、图像法等，这些基本方法应该让学生了解。 二次函数,它一直是高(初)中的重点基础知识,在高中数学中二次函数可以与其它许多数学知识相联系,因此拓广和加深二次函数是必要的.例如在高中数学中如闭区间上二次函数的值域;二次函数含参数讨论最值;利用二次函数判断方程根的分布等,这些内容可作适当拓广. 要补充“十字相乘法”、“一元二次方程的根与系数的关系”等知识．函数的图像，除了学习指数函数和对数函数、五个简单幂函数的图象外，应该对三种图像变换：平移变换、伸缩变换、对称变换作适当拓广。《标准》强调指数函数、对数函数、幂函数是三类不同的函数增长模型。在教学中，要求收集函数模型的应用实例，了解函数模型的广泛应用;要求将函数的思想方法贯穿在整个高中数学的学习中，学生对函数概念的认识和掌握，需要多次反复，不断加深理解。

又如,数列一直是高中数学的重点知识.按照教材要求,首先讲数列的一般知识,然后学习等差,等比数列的有关知识,而数列的递推关系,是反映数列的重要特征,也是经常用到的,在讲完了等差,等比数列之后,仍然可以考虑把数列的递推关系的问题适当加深,使学生能解一些简单的递推题目.课本要求掌握等差数列、等比数列求和，而对于非等差数列、非等比数列求和问题，常转化为等差等比数列用公式求和也可用以下方法求解：分组转化法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法。

圆锥曲线是解析几何的重点内容,是高中阶段传统的数学内容，强调知识的发生、发展过程和实际应用，突出了几何的本质。新教材要求学生能够经历椭圆曲线的形成过程，目的是让学生对圆锥曲线的定义和几何背景有一个比较深入地了解。新教材设计了一个平面截圆锥得到椭圆的过程，“有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。在这里要拓宽学生视野,树立数形结合的观点,要善于把几何条件转化为等价的代数条件,进而利用方程求解,在解析几何中,对运算能力也较过去要求更高,这就需要加强理解能力的训练,使学生解决一要会算,二要算对这两大难点.

2．对新增加的知识内容加强基础训练

新课标中增加了一部分新的数学知识,特别是选修系列中新内容较多,有些新内容与高等数学有关,对这些内容在教学中不宜当作高等数学知识来讲,应该关注学生感受背景,认识基本思想.

例如，数列”部分内容有增有减，增加的内容有:等差数列与一次函数的关系;等比数列与指数函数的关系。突出了数列与函数的内在联系，强调数列是一种特殊的函数，让学生体会等差数列、等比数列与一次函数、二次函数的关系。这部分内容指出要保证基本技能的训练，但训练要控制难度和复杂程度。

3．加强数学应用问题的教学

新课标对高中数学知识的应用、数学建模提出了更高的要求,新课标的教材在这方面也大大加强了,许多知识是从实际问题引出,最后又要回到解决实际问题中去,但是作为教材受篇幅限制,不可能包括所有内容,而实际问题又是不断发展,不断产生的,因而对应用问题仍有许多地方可以进一步丰富素材.

例如，《标准》强调指数函数、对数函数、幂函数是三类不同的函数增长模型。在教学中，要求收集函数模型的应用实例，了解函数模型的广泛应用;要求将函数的思想方法贯穿在整个高中数学的学习中，学生对函数概念的认识和掌握，需要多次反复，不断加深理解。

又如,“分期付款”、“购房按揭”、“贷款买车”等目前生活中大量存在的实际问题,是与数列有密切联系的,讲完数列之后,可以让学生去分析研究目前各种分期付款的形式,在讨论问题中深化对数列的认识.

再如，教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值，指出任何事物的变化率都可以用导数来描述，注重导数的应用，例如:通过使利润最大、材料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用:强调数学文化，体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

4．拓广数学知识的背景

数学教学中应该讲有背景的数学,讲清数学问题产生的背景,问题的来龙去脉,通过背景知识的介绍,使学生体会这些知识中蕴涵的数学思想方法,感悟其中的数学文化.目前高中数学教学中存在较严重的“试题化”倾向,对很多知识不讲来龙去脉,不讲实际应用,只要求学生记住结论,套用公式训练解题技巧,把数学课作为纯解题教学来讲,这与新课标的精神是不符合的。

参考文献：

1． 张晓斌. 比较差异寻求切入点落实新理念―普通高中《数学教学大纲》与《数学课程标准》(实验)的比较研究[J]

2.李金莲.《高中数学课程标准》与《高中数学教学大纲》中函数部分内容设置的比较研究[D]

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关键词：数学；数形结合思想；教学实践

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）06-193-02

数学的本质是数与形的有机统一，对于数与形的关系，著名的数学家华罗庚曾作出这样的解释：数形结合百般好，隔裂分家万事非。可见数与形之间的转化是数形结合解决实际问题的关键。数字是抽象的符号信息，图形是直观的感性信息。数字与图形的转化实际就是感性认识与理性认识依据内在的数学逻辑进行转化，也就是代数与几何相结合。数形结合是研究与学习数学必不可少的方法，灵活地运用数形结合可在解决数学问题时化繁为简，解决诸多的数学问题。

一、数形结合思想实际教学中的运用

1、求解函数的值域

在实际的数学教学中，利用数形结合思想可解决诸多的函数值域问题。

例1：求函数y= + 的值域。

分析：上述函数可转化为绝对值形式，即y=|x-2|+|x+8|可看做点A（a，0）到定点B（0，2）与定点C（-8，0）之间的距离之和。如图所示：

当点A位于点B与点C之间时，点A到点B与点C的距离为一定值10；当点A位于点C左侧或点B右侧时，点A到点B与点C之和大于10。本题若对数字进行抽象的分析进行解题是很难的，但若对数字进行转化，看图说话，就容易的多了，故题中函数的值域为y≥10。

小结：在利用数形结合的方法解决实际问题是应对实际问题进行简单的分析与转化，并不是所有的求值域问题都可用此方法，要具体问题具体分析。

2、求解方程

例2：方程 =2x的解的个数是（ ）

A.3 B.2 C.1 D.0

分析：由题可以直观的看出，当x=2时，上述方程是成立的，所以答案是C，但是仔细分析的话会发现这是错误的。解题关键在于根据所给方程将其看作两个函数，即设 = ， = ，由此作图找到两个方程的交点个数即为此方程的解的个数，如图所示：

由图中可以清楚地看到两个函数的交点个数。

小结：利用数形结合的方法求解方程解的个数屡见不鲜且行之有效，关键是要学会找特殊点，本题若用数字代入进行计算也是可以的，但是用数字计算即浪费时间准确性也不高，在实际中要学会运用该方法求解方程问题。

3、求解不等式

例3：解关于x的不等式：|x|≥

分析：此题需对a进行分情况讨论，需运用数形结合的方法，若用数字进行运算的话，易混淆，若用数形结合则很容易得到答案。首先对a进行分情况讨论，

（1）当a=0时，解集为（-∞，0）∪（0，+∞）

（2）当a>0时，解集为（ ，+∞）

（3）当a

小结：用数形结合的方法构造出两个紧密相关的图象，并且利用图象进行分析，是解决此类问题的常用方法。

二、如何在数学学习中培养学生的数形结合思想

1、学会数与形之间的转化

求解数学问题时，学生经常忽略数与形之间的转化，而这一环节却恰恰是解决问题的关键环节，在实际的教学中，通过对典型题型的分析达到可以举一反三的目的，由解决一个问题达到解决一类问题的目的。例如：若不等式-2≤ -2ax+6≤2恰有一个解，求实数a的值。此题如果用解不等式的方法来解的话就会特别麻烦且易出错，如果结合二次函数来求解的话就很容易解决，画图就可知a=2或者a=-2，解题就会轻松很多。再如例1中求解函数的值域问题，如果不将函数进行转化，只是进行单纯的计算数值的话就需要先去掉根式，需要对根式进行分情况讨论，无形之间就增加了解题的难度，这是不可取的。

2、形成数形结合思想

目前，学生学习数学时存在的最大的问题就是易在解决问题时形成思维定势，即易将简单的问题复杂化，其中很大一部分是缺乏数与形相结合解决问题的思想导致的。学生在解决问题时往往对数字比较敏感，惯用数字之间的联系来解决问题，这是不可取的。在高中数学教学中要经常运用数形结合的方法来解决问题，使学生遇到问题时，能够有数形结合的意识，进而形成数形结合的思想。如已知 + +2X=0，求 -2X+1+ +2Y+1的最小值。解这个题时，如果只运用数字来进行运算的话就需对第一个方程式中的参数求解，然后求第二个函数的最小值，学生运用此方法解题往往会顾此失彼得不到准确地答案，若用数形结合的方式将这两个方程在同一坐标系呈现的话，就很容易得出正确的答案。

3、在实际解题中加以运用

数形结合的思想只有运用到实践当中去才能发挥其最大价值，所以这一思想主要是在解题中实践，教师在教学过程中要注重理论与实践相结合，运用经典的练习让学生熟练地掌握此方法并灵活地运用，学生在课后要通过不断地练习，切实达到学以致用的程度，通过仔细的分析对比，将题型与解法一一对应，真正地掌握数形结合法。

通过以上分析可知，数形结合方法在高中数学教学中是一种简便易行的方法，数形结合方法的关键是形成数形结合意识并能够准确地根据题意准确地做出图像，在实际的教学中需运用大量的典型的例题来培养学生的数形结合意识，引导学生使学生对这种方法产生兴趣，进而乐于去探讨去研究去运用，并能够根据具体的题型熟练地运用，真正的理解运用，而不是机械的加以模仿，使数字与图像能够真正的结合在一起，从而提高解题的速度，减少解题时间，让学生体会到学习数学的乐趣。

参考文献：

[1]李红梅. 例谈数形结合在高中数学中的应用[J]. 新课程研究（基础教育），2010，05：177-178.

[2]申光娅. 高中数学教学中数形结合的应用[J]. 科学咨询（教育科研），2010，07：61.

[3]尚文斌，聂亚琼. 浅谈数形

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关键词：高中数学;课堂教学;示错情境;设计;应用

【中图分类号】G 【文献标识码】B 【文章编号】1008-1216（2016）01B-0053-01

随着高中新课改的不断深入，在高中数学教学中更加注重学生创新思维能力以及学习能力的提升，因此我们应该结合学生的学习能力，设计一些有效的“示错情境”，激发学生的探究兴趣，从而促使他们进行自主思考、学习，有效提升教与学的效率。本文主要简单论述高中数学课堂教学中的“示错情境”的设计和应用。

一、合理创设“示错情境”，激发学生的学习兴趣

兴趣是最好的老师。我们在教学中，要结合教学内容和教学任务，合理创设一些“示错情境”，激发学生的学习兴趣，促使学生积极主动地投入到教学活动中，同时启发学生的创新思维，为教学活动的开展打下坚实的基础，这样学生才能有效地学习新知。

如在进行正比例函数y=x和反比例函数y=知识点的学习中，教师要求学生提前预习这些知识，课堂上给出学生5分钟时间让他们根据自己的方法绘制出这两个一次函数的图像，有的用描点的方法进行绘制有的画出y=x的图像后，他们觉得另一个y=的图像就是将y=x的图像沿着x轴进行翻转，总之学生都在纷纷画图。当然也有一些学生画出来的图像是错误的。这时教师可以找出几个具有代表性的图像进行示错教学，引导学生积极发现这些图像中的错误，从而加深学生对这些知识的理解和有效掌握。

二、在复习数学知识的过程中合理设计“示错情境”

高中数学教材中有很多定义、公式、定理，很多学生无法将这些知识进行有效记忆和区分，也无法理解这些知识的本质，因此教师应该结合数学知识，合理设计“示错情境”，使学生对这些知识产生怀疑，促使学生对这些知识进行讨论、探究，从而加深学生对知识的理解和掌握。高中数学知识具有系统性、逻辑性等特征，只有定期对这些知识进行复习，才能有效地掌握这些知识，因此，教师在引导学生进行复习的过程中，要设计一些“示错情境”，给学生找一些容易做错的题目，让学生进行分析、判断和改正，从而加深学生对数学知识的掌握和记忆。通过示错情境的设计，学生也能反思自己，从而有效提升学生的数学学习能力。

如在对高中数学“集合的交集、并集以及补集”知识点进行复习时，由于很多学生经常会忘记集合本身和空集的特殊情况，教师在对这些知识点进行复习时，合理采用示错情境，促使学生积极发现这些错误，从而进行有效改进。如这样一道题目：集合A={x丨x2+5x+4=0}，B={x丨ax=2}，如果B属于A，求实数a组成的集合是什么？很多学生拿到这道题目后很容易得出A={-1，-4}，而B应该只有一个元素，由题中已知条件可以得出B为-1或是-4，这样就可以得出a=-2或是-1/2，很多学生这时候得到a组成的集合为{-2， -1/2}，这样的解法是错误的。教师给学生设计了这样的“示错情境”，促使学生认真检查，找出其中的问题，也就是忘记了B为空集的情况，即a=0的情况，这样学生可以加深对集合知识的理解和掌握，以后碰到类似的问题不会再做错。

三、在对习题的讲评过程中设计一些“示错情境”

高中数学教学中教师在对习题的讲评过程中，可以找出一些学生在作业中或是考试中比较容易犯错误的题目给学生做一些示范，使得学生对教师的示范提出怀疑，从而促使学生通过思考、研究找出正确的解题方法，加深学生对这些知识的有效理解和掌握。教师还应该引导学生对这些比较容易犯错的题目进行总结，促使他们进行有效反思，防止以后在作业中或是考试中犯同样的错误。

如在这样一道题目中：求函数y=f（x）=x2+4x+8，x∈[-3，4）的值域。有的学生会这样解答：f（-3）=（-3）2+4×3+8=29，f（4）=（4）2+4×4+8=40，所以得出y=f（x）的值域为[29，40）。因此教师将这种错误的解法作为示范给学生进行讲评，很多学生都能看出来这道题目错误，教师问学生为什么是错误的，应该怎么解答，学生讨论，通过探究，他们会得出这个函数是个对称函数，所以它会有一个最小值，即y=f（x）在x=-2时取得最小值，而x=-2属于题目中的所属区间，所以这个函数可以取得最小值，通过这样的“示错情境”，学生在以后类似求函数值域的题目中，以及给出值域求变量的取值范围的题目中，能进行反思，从而促使他们正确解答这些题目。同时，通过“示错情境”，也能加深学生对这些知识的理解和掌握，从而提升课堂的教学效率。

总之，“示错情境”的设计在高中数学教学中的作用是非常显著的。通过它可以使学生有效辨析各种数学问题，减少他们在数学活动中的错误，有效地提升数学能力和素养。因此，我们必须充分且合理使用它。

参考文献：

[1] 张福顺.数学教学设计研究现状综述[J].内蒙古师范大学学报：教育科学版， 2008，（3）.

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当0

事实上，这是一道较为简单，但是很典型的例子，在高中数学阶段是经常可以看到的.但是如果只是把它当成一个简单的例子去复习，那是没有太多的意义的.因此，高中数学教师要利用这个问题，让学生能够从各个角度出发，复习相关的知识点，并能够用多种方法解题.

教师：同学们，这是一个含参数不等式恒成立问题，这个问题看起来并不难，条件和设问都很简单，请大家给出三种以上的解题思路.

学生开始思考和讨论，部分学生感觉用多种思路解题是较为困难的.

教师：其实，我们之前对含参数方程的有解问题也有过了初步的接触，请同学们从含参数方程有解的根的分布理论来思考这个问题.

学生：基本方法有四种：求解法；值域法；图象法；利用一元二次方程法.

在这一阶段，学生可以在一道简单的例子中，思考后得出可用解决含参数不等式恒成立问题的多种基本方法求解，体现了“以少胜多”，举一反三的教学效果.当然，教师还需要考虑到学生的认识规律，所以应该尽可能地让学生从熟悉的含参数方程的有解问题开始思考，然后再通过其他方式的类比来完成这几个知识点的综合复习.

【解法1】将不等式看成关于t的一元二次不等式，解之得

-c-c2+126≤t≤-c+c2+126，

因为c2+12＞｜c｜≥－c，所以-c-c2+126＜0.

因此，使原不等式在0＜t≤1／2恒成立，只需

-c+c2+126≥12,即c2+12≥c＋3.

解得c≤1／2，从而c的取值范围为c≤1／2.

【解法2】当0

设f(x)＝1t-3t(0

【解法3】原不等式可变为ct≤1－3t2.

设y＝g(t)＝1－3t2，y＝h(t)＝ct，在同一直角坐标系内画出它们的图象，

要使原不等式在0

根据c的几何意义，所以c≤1／2.从而可以得知c的取值范围是c≤1/2.

【解法4】

设y=f(t)=3t2+ct-1，如右图所示，要使原不等式在0

f(0)＜0，

f(12)≤0，即3/4+1/2c-1≤0.

解得c≤1/2，从而可以得知c的取值范围是c≤1/2.

篇8

关键词：高中数学；解题教学；化归思想

化归思想主要是指在解决问题时，通过对难问题、生疏问题、复杂问题的转化过程，将问题归结为已经解决或者容易解决的问题，最终得出原先问题的正确答案。因此，化归思想在高中数学解题教学中的应用，能够促进学生的解题思维更具灵活性，促进学生数学解题能力的不断提升，实现化难为易、化繁为简、化未知为已知的解题效果。

一、将复杂问题化归为简单问题

在数学解题过程中，有些数学问题看似很复杂，所以很多学生在一开始就会产生解题上的心理障碍，尤其是学生在一开始找不到正确解题方法，解题进度缓慢的情况下，很可能会中途放弃。而借助化归思想在数学解题中的有效运用，数学教师可以引导学生将复杂的数学问题转化为简单易处理的问题，这对提高学生的解题效率，培养学生数学学习自信心都是非常有帮助的。

例1：已知x、y、z是三个不为零的数，且x+ =y+ =z+ ，试证明xyz=1。

很多学生在看到该问题后，常常表现得手足无措，不知该从哪里选择解题的突破口，但是只要学生具备化归思想，将该数学问题进行合理转化后解题过程就会变得非常容易了。学生可以先将原等式转化为：yz（x-y）=y-z，xy（x-z）=y-x，xz（y-z）=z-x，然后再将三式相乘，就很容易得出xyz=1的结论。

二、将陌生问题化归为熟悉问题

高中生数学知识的认知过程，本身就是一个从已知到未知的过程，而很多高中数学问题的求解都存在一定的共性，所以很多看似没有见过的数学问题，在化归思想的帮助下，都可以转化为学生熟悉并且能够解答的问题，这对学生提高解题效率并顺利获取正确答案大有裨益。

例2：已知2x2+（4+ ）x2-3=0，求解x的大小。

该题一看似乎是涉及一元三次方程的求解问题，但是在高中数学学习阶段对于该方面的内容涉及比较少，学生在短时间内很难顺利获取正确答案，这时就需要学生借助化归思想对原有陌生问题进行转化。由于高中生对一元二次方程的求解相对熟悉，所以数学教师可以引导学生转变一下自己传统的解题思维，不妨把x看成已知量，将 看作“变量”，那原式就可以转化为（ ）2-x2（ ）-（2x3+4x2）=0，此时该题就相当于一道求解“ ”的二次方程，此时再去求解x的大小就会变得非常容易了。

三、将未知条件化归为已知条件

在很多高中数学习题中，很多解题条件都是隐含的，所以学生对数学题目的求解，需要根据题意分析出题中的隐含条件，并变为已知条件，这样才能最终得出题目的正确答案。

例3：a、b、c是非负数，且a+3b+2c=3，3a+3b+c=4，求x=2a-3b+c的值域。

对于该问题的解答，由于涉及三个未知数，所以利用2个已知条件无法直接得出各个未知数具体的值域，这就需要学生必须先对题目进行仔细观察和分析，发掘出隐含条件，这样才能凑足求解的条件。所以该题可以先把多元函数转化为a的一元函数，相当于减少未知数的个数，得出x=9a-6，然后再根据a、b、c是非负数的隐含条件，确定出a的定义域a，再确定x的值域。

四、将抽象问题化归为具体问题

很多数学问题是非常抽象的，按照相关理论进行解答也会显得非常困难，这时就需要学生利用化归思想将抽象问题具体化，这样学生在解答问题时会显得更加游刃有余。

例4：x，y，a，b都是正整数，求证三角形中的任意两边之和大于第三边。

该问题的求证看似非常复杂和抽象，解题过程也是非常繁琐的，但是如果学生能在化归思想的指导下，通过自身掌握的数形结合能力，将原先抽象的文字表述和数字关系变成直观、具体的图形后，问题的求证就会变得更加简单。所以学生可以将题目中的三组数看成是三角形的三条边，然后根据三角形“两边之和大于第三边”的原理进行求知，原本抽象的问题就变得非常具体和简单了。

总之，高中数学问题的求解通常都要经历由繁到简、由难到易、由已知到未知的过程，化归思想在数学解题中的合理应用，可以帮助学生将原有问题进行转化和简化，选择更加简单、快速的解题方法，这样对高中生提高解题速度、丰富解题途径、提高学习成绩都是非常有利的。高中数学教师在教学过程中要多采取化归思想进行教学，针对不同的题型总结出不同的化归方法，从而促进学生数学解题能力的不断提升。

篇9

关键词： 定义域 值域 奇偶性 函数最值

函数作为高中数学的主线，贯穿整个高中数学的始终.函数的定义域是构成函数的三要素之一，若对函数的定义域没有特别的说明，则似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会得到错误的答案，所以在解函数题中应向学生强调定义域对解题的作用与影响，培养学生良好的解题习惯对提高学生的数学素养有很大的作用.

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的.如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为200m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（100-x）米，由题意得：

S=x（100-x）

故函数关系式为：S=x（100-x）.

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围，也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量取负数或不小于100的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点，就表明学生思维缺乏严密性.若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出思维的严密性和良好的解题习惯.

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应注意函数定义域.如：

例2：求函数y=4x-5+ 的值域.

错解：令t= ，则2x=t +3

y=2（t +3）-5+t=2t +t+1=（t+ ） + ≥

故所求的函数值域是[ ，+∞）.

解析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t +t+1在[0，+∞）上是增函数，

所以当t=0时，y =1.

故所求的函数值域是[1，+∞）.

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要.若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生.也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性.

三、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题.如果忽视定义域范围，就会导致最值的错误.如：

例3：求函数y=x -2x-1在[-2，5]上的最值.

解：y=x -2x-1=（x -2x+1）-2=（x-1） -2，

当x=1时，y =-2.

若按平时的解题思路，本题似乎没有最大值，只有最小值.产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化.这是思维定势的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性.其实以上结论只是对二次函数y=ax +bx+c（a>0）在R上适用，而在指定的定义域区间[p，q]上，它的最值应分如下情况：

（1）当-

（2）当- >q时，y=f（x）在[p，q]上单调递减函数f（x） =f（p），f（x） =f（q）；

（3）当p≤- ≤q 时，y=f（x）在[p，q]上最值情况是：

f（x） =f（- ）= ，

f（x） =max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一个值.

故本题还要继续做下去：

-2≤1≤5

f（-2）=（-2） -2×（-2）-1=-1

f（5）=5 -2×5-1=14

f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=14

函数y=x -2x-3在[-2，5]上的最小值是-1，最大值是14.

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，则能体现出学生思维的灵活性.

四、复合函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.如：

例4：指出函数f（x）=log （x -2x）的单调区间.

解：先求定义域：

x -2x>0

x>2或x

函数定义域为（-∞，0）∪（2，+∞）.

令u=x -2x，知在x∈（-∞，0）上时，u为减函数，

在x∈（2，+∞）上时，u为增函数.

又f（x）=log u在[2，+∞）是增函数.

函数f（x）=log （x +2x）在（-∞，0）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数.

即函数f（x）=log （x -2x）的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（-∞，0）.

在处理复合函数单调性问题时遵循同增异减.如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对复合函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性.

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考求解该函数的定义域，判断该区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.如：

例5：判断函数y=x ，x∈[-1，3]的奇偶性.

解：定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称，

函数y=x ，x∈[-1，3]是非奇非偶函数.

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性就会得出如下错误结论：

f（-x）=（-x） =x =f（x），

函数y=x ，x∈[-1，3]是偶函数.

错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因.

综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，定义域都起了至关重要的作用，因此重视定义域对解题结果有无影响，就能提高学生解题分析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生数学素养，进而有利于培养学生思维的创造性，真正把数学应用于生活实际中.

参考文献：

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【关键词】高中数学；幂函数；指数函数；对数函数；课程标准；国际比较

1研究问题

幂函数、指数函数、对数函数是三类重要的基本初等函数，因此也是高中数学课程中的基础内容之一.近年来，我们对中国、澳大利亚、芬兰及法国、美国、英国等国家数学课程标准、教科书进行了量化比较研究[1-3].本文是这一系列研究的一部分，主要针对高中数学课程标准中的幂函数、指数函数和对数函数内容，以课程标准中的内容主题及认知要求为切入点，对澳大利亚、加拿大、芬兰、法国、德国、日本、韩国、荷兰、南非、英国、美国、中国这十二个国家高中阶段的数学课程标准进行比较分析.具体来说，本文主要研究以下问题：各个国家幂函数、指数函数、对数函数内容的广度和深度分别是多少，有何特征？这些国家是如何对幂函数、指数函数、对数函数的内容进行设置的？1.1研究对象与方法

研究国家和数学课程标准版本的选取

本文主要选择了五大洲以下12个国家的数学课程标准作为研究对象，具体国别分别是：（亚洲）中国、日本、韩国；（欧洲）法国、芬兰、英国、德国、荷兰；（美洲）美国、加拿大；（非洲）南非；（大洋洲）澳大利亚.这12个国家来自不同的洲，拥有着不同的人文背景和社会环境，经济发达程度也不尽相同，可以很好地展示不同国家数学课程标准的共性与差异.所选取的高中数学课程标准文本材料主要来源于曹一鸣、代钦、王光明教授主编的《十三国数学课程标准评介（高中卷）》[4]，选择国际比较样本的主要依据是大部分高中生升学时所必须要求的内容，其别关注理科、工程类学生.具体所选择的版本如下：

1.2研究工具及方法

本文采用定量分析和定性分析相结合的方法，具体的研究方法有定性分析中的个案研究法和比较研究法，以及定量分析中的统计分析法.按照课程论学者泰勒的思想，主要从“内容主题”和“认知要求”两个方面进行研究.

（一）广度

课程广度是指课程内容所涉及的领域和范围的广泛程度.为了便于统计结果，本文利用下面的公式计算课程标准的广度.

G=aimax{ai}

，其中ai表示各个国家的知识点数量总和，即广度值，max{ai}表示所有国家的课程标准广度值中的最大值.

广度的统计涉及到对知识点的界定，由于我国对幂函数、指数函数、对数函数知识点的处理比较系统和详细，本文以我国高中数学课标中幂函数、指数函数、对数函数内容为主，并结合其他国家数学课程标准中的幂函数、指数函数、对数函数内容，逐步形成完善的知识点框架，并统计各个知识点的平均深度值.

（二）深度

课程深度泛指课程内容所需要达到的思维深度.我国课标对知识与技能所涉及的行为动词水平分为了解、理解和掌握三个层次，并详细说明了各个层次对应的行为动词.很多国家的课标并未对教学内容的具体要求上做出明确的划分层次.综合我国对教学内容要求层次的划分方式，并参考新修订的布卢姆教育目标分类学[11]，本文提出认知要求维度的分类为：A.了解；B.理解；C.掌握；D.灵活运用.将每个知识点的深度由低到高分为四个认知要求层次：了解、理解、掌握、灵活运用，并规定水平权重分别为 1、2、3、4.然后，利用下面的公式计算课程标准的深度.

S=∑4i=1nidin∑4i=1ni=n；i=1，2，3，4

其中，di=l，2，3，4 依次表示为“了解”、“理解”、“掌握”和“灵活应用”这四个认知要求层次；ni表示儆诘di个深度水平的知识点数，ni的总和等于该课程标准所包含的知识点数总和n，从而得出课程标准的深度.

3高中课标中函数内容比较研究结果

3.1幂函数内容的广度、深度比较结果

3.3对数函数内容的广度、深度比较结果

中国、澳大利亚、日本、韩国和荷兰在对数函数的广度统计中排名靠前.这些国家课标都提及对数的概念及运算，对数函数的概念、图象、性质，反函数的概念.另外，中国还要求反函数的定义域、值域、图象以及对数函数的应用，而澳大利亚、日本、韩国、荷兰对反函数的定义域和值域不作要求.法国、南非处于中间层次.这两个课标都不涉及对数的概念和运算、对数表、对数的应用.在反函数方面，法国只讲解其概念和图象，南非还讲解其定义域、值域.美国、芬兰、德国在对数函数部分的知识点数相差不多，但侧重点不一样.美国侧重于反函数内容，德国侧重于对数的概念和运算，芬兰侧重于对数函数的概念和性质.加拿大和英国排在最后，加拿大只提到了对数函数的概念，而英国在对数函数部分的知识点数为零.

3.4幂函数、指数函数和对数函数的内容设置

从整体上来看，幂函数、指数函数和对数函数是高中阶段要学习的比较重要的基本初等函数，也是刻画现实世界的几类重要模型，另外，幂函数、指数函数和对数函数的学习有助于加深学生对函数概念的理解和应用.有些国家并未把幂函数、指数函数、对数函数作为连续内容出现在课程标准中，说明它们之间并无必要的逻辑关系.

对于幂函数这部分内容，除澳大利亚、芬兰、荷兰、英国、中国提及“幂函数”以外，有些国家并没有提到幂函数，如加拿大、印度、俄罗斯、新加坡、南非、德国.有些国家则以其他函数形式代替：法国以多项式函数出现；日本没有专门的幂函数概念，则是以分式函数、无理函数形式出现，安排在《数学Ⅲ》中，而且三角函数安排在指对数函数之前；韩国也没有专门的幂函数概念，则是以分式函数、无理函数形式出现；美国以根式函数出现.对于幂函数的处理，一直存在着争议，中国之前删除了幂函数的内容，现在又把这部分的内容加回来，有利于完善高中涉及的函数模型，便于学生在利用函数模型解决实际问题时考虑更全面，所以中学生需要对幂函数有初步的认识.像美国以根式函数、法国以多项式函数、日本以分式函数和无理函数、韩国以分式函数和无理函数等其他具体函数形式代替幂函数内容，这样处理的好处不仅在于具体实用，便于数学模型的建立，而且与高等数学的联系紧密，这一点值得我们借鉴.

指数函数和对数函数部分的概念原理无论在表述上还是数量上，各国都不尽相同.除芬兰是单独讲解指数函数和对数函数以外，大部分国家都是先学习指数函数，然后利用反函数或互逆关系来引出对数函数，这样使得对数函数的学习变得容易了.其中，澳大利亚把指数函数和对数函数进行对比学习，没有利用互为反函数来解释；法国在指对数函数上求导数等.还有一些国家注重和生活情境相联系，如德国、荷兰.英国在名称上有所不同，以“指数型函数”名称出现.美国强调利用指对数函数进行建模.针对指对数函数的具体说明如下.

4结束语

我国从2003年进行高中数学课程改革，到目前已经进行了十余年的实践，并取得显著成效，通过国际比较研究来审视我国高中数学课程改革的特色和不足，从而为接下来我国高中数学课程改革的推进提供参考.虽然中国在课程的基本理念中提到要发展学生的数学应用意识，但落实在具体的函数模型应用方面，只强调“体会”层次.如对于幂函数的处理，美国以根式函数、法国以多项式函数、日本以分式函数和无理函数、韩国以分式函数和无理函数等其他具体函数形式代替幂函数内容，这样处理的好处不仅在于具体实用，便于数学模型的建立，而且与高等数学的联系紧密，这一点值得我们借鉴.

参考文献

[1]康h媛，曹一鸣，XU Li-hua，David Clarke. 中、澳、芬数学课程标准中内容分布的比较研究[J]. 教育学报，2012（1）：6266.

[2]康h媛，曹一鸣. 中英美小学初中数学课程标准中内容分布的比较研究[J]. 课程・教材・教法，2013（4）：118122.

[3]宋丹丹，曹一鸣.高中课程标准中函数内容的国际比较研究[J].数学通报，2014（12）：17，16.

[4]曹一鸣， 代钦，王光明. 十三国数学课程标准评介（高中卷）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2013.

[5]董连春，Max Stephens. 澳大利亚全国统一高中数学n程标准评述 [J]. 数学教育学报，2013（4）： 1620.

[6] 康h媛，Fritjof Sahlstrm. 芬兰高中课程改革及高中数学课程标准评介[J]. 数学教育学报，2013（4）：1115.

[7]金康彪，贾宇翔. 韩国高中数学课程标准评介[J]. 数学教育学报， 2013（5）： 4246.

[8]李娜，曹一鸣，Lyn Webb. 南非国家高中数学课程与评价标准评介 [J]. 数学教育学报， 2013（4）： 610.

[9]曹一鸣，王立东，PaulCobb. 美国统一州核心课程标准高中数学部分述评[J]. 数学教育学报， 2010（5）： 811.

[10]中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（实验）[S]. 北京：人民教育出版社，2003.

[11]（美）L・R・安德森. 学习、教学和评估的分类学 布卢姆目标分类学（修订版）[M]. 上海：华东师范大学出版社，2008.