高中数学求最小值的方法范文

导语：如何才能写好一篇高中数学求最小值的方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

一般地，函数f（x）=x+■（k>0） 的图像如下图所示.

1. 当x>0时，在区间（0，■]上是减函数；在区间[■，+∞）上是增函数.在x=■时，有最小值2■.当且仅当x=■，即x=■时，f（x） ■=2■.

2. 当x

3. 当x>0时

① 若x∈（0，m]，当m■时，则f（x） ■=2■.

②若x∈[m，+∞），当m■时，则f（x） ■=■.

4. 当x

① 若x∈（-∞，m]，当m-■时，则f（x） ■=-2■.

② 若x∈[m，0），当m-■时，则f（x） ■=■.

例1：求y=x+■（x≠0）的最值

分析：当x>0时，y=x+■有最小值，当且仅当x=■时，即x=1时，y■=2；当x

解：当x>0时，且x=■时，即x=1时，y■=f（1）=2；当x

例2：求y=■的最值

分析：■=■=■+■，且■≥■>0，故当且仅当■=■，即x=±1时，有最小值2■.

解：方法1： ■=■=■+■，且■≥■>0，■=■，即x=±1时，y■=f（±1）=2■.

方法2：■=■=■+■，令■=t（t≥■），y=■+t（t≥■），当■=t，即t=■时，当t∈[■， ■]时，f（t）是单调减函数.当t∈[■，+∞]时，f（t）是单调增函数.故当■=t，即t=■时，y■=f（t） ■=f（■）=2■.

例3：拟造一底面积为64平方米，底面为矩形，高为2米的长方体水箱.由于受到空间的限制，底面的长、宽都不能超过10米若造价是每平方米20元（铁皮的厚度不计）.求解下列问题：

① 试设计水箱的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价.

② 若水箱被隔成七个体积相等的长方体，求出最低造价.

解：①设水箱的底面长为x米，则宽为■米，又设总造价为y■元，则y■=20×2（64+2x+2×■）=2560+80（x+■）.

x>0，当且仅当x=■，即x=8时，y■=f（8）=3840.

又0

8∈[6.4，10]，而y=x+■在[6.4，8]上是单调减函数，在[8，10]上是单调增函数，y■=f（8）=3840，当水箱的长和宽都是8米时，造价最低，且最低造价是3840元.

②设水箱的底面长为x米，则宽为■米，又设总造价为y■元，则y■=20×（2×64+2×2x×+2×8×■）=2560+（x+■）.当x=■时，即x=16时，y■取最小值.

但6.4≤x≤10，16？埸[6.4，10]，y=x+■在[6.4，10]上是单调减函数，在[6.4，16）上亦为单调减函数.

y■=f（10）=2560+80（10+■）=5408，当y■=5408时，x=10，■=6.4.故水箱的长为10米，宽为6.4米时造价最低，且最低造价为5408元.

参考文献：

[1]彭建涛.新课程背景下高中数学教学方法研究.教育教学论坛，2014（7）.

[2]周伟林.高中数学教学策略变革的相关探讨.佳木斯教育学院院报，2013（4）.

[3]刘桂芬.基于有效教学下的高中数学教学探析.科学大众，2014（8）.

[4]李本禄.数学解题常用思维方法简析.数理化解题研究（高中版），2012（10）.

[5]曹文喜.求函数最值看四招.考试（高考・试题设计版），2011（12）.

篇2

一、高中学生数学思维障碍的形成原因

根据布鲁纳的认识发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个课程中，个体的学是要通过已知的内部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的“媒介点”，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。但是这个过程并非总是一次性成功的。一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的实际情况（即基础）或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的“媒介点”时，这些新知识就会被排斥或经“校正”后吸收。因此，如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利“交接”，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。

二、高中学生数学思维障碍的突破

1.在高中数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的意志品质；同时要培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生对数学学习有了兴趣，才能产生数学思维的兴奋灶，也就是更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种“跳一跳，就能摸到桃”的感觉，提高学生学好高中数学的信心。

例：高一年级学生刚进校时，一般我们都要复习一下二次函数的内容，而二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法学生普遍感到比较困难，为此我作了如下题型设计，对突破学生的这个难点问题有很大的帮助，而且在整个操作过程中，学生普遍（包括基础差的学生）情绪亢奋，思维始终保持活跃。设计如下：

1〉求出下列函数在x∈［0，3］时的最大、最小值：(1)y=（x－1）2＋1，(2)y=（x＋1）2＋1，(3)y=（x－4）2＋1

2〉求函数y=x2－2ax＋a2＋2，x∈［0，3］时的最小值。

3〉求函数y=x2－2x＋2，x∈［t，t＋1］的最小值。

上述设计层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调动了学生学习的积极性，提高了课堂效率。

2.重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应用能力的评价，数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，至于做得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合理，有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。如：设x2＋y2＝25，求u=的取值范围。若采用常规的解题思路，μ的取值范围不大容易求，但适当对u进行变形：转而构造几何图形容易求得u∈［6，6］，这里对u的适当变形实际上是数学的转换意识在起作用。因此，在数学教学中只有加强数学意识的教学，如“因果转化意识”“类比转化意识”等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识是突破学生数学思维障碍的一个重要环节。

3.诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用。在高中数学教学中，我们不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。

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关键词：数形结合；高中数学；选择题

【中图分类号】G633.6

高中数学是学生学习数学的重要阶段，学生的很多重要基础都开始在高中的数学学习阶段开始掌握，与初中阶段的数学学习相比，高中的数学学习对学生的数学思维要求更高，已经脱离了小学、初中阶段直来直去的思维方式，开始出现思维方法上的要求，很多高中题型，存在着一题多解的现象，简便的方法可以让学生节约答题时间，提高成绩，而如何寻找到简便方法，就牵涉到了数学方法和数学思维，其中，数形结合法就是高中阶段学生必须掌握的一种数学方法，也是高中阶段考察的重点，尤其是在选择题中容易出现需要学生特别的掌握。

有效地运用图形结合法，可使问题由复杂变得简单，抽象变得具体，进而便于学生们接受和理解[1]

一、以数助形，简洁直观

对于一些比较复杂的图形，若果单纯从几何的方面去考虑，可能绕来绕去，陷入了困境，这时候可以考虑将图形条件适当的代数化，根据题意要求，把“形”的特征正确的表达成为“数”的性质，进行解题。[2]

例1：（2010全国卷1文数）已知圆 的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么 的最小值为（）

A． B．C． D．

思路解析：如图所示：设PA=PB=,∠APO= ,则∠APB= ，PO= ， ，

= = = ，令 ，则 ，即 ，由 是实数，所以

， ，解得 或 .故 .此时 .

二、以数转形，直观深刻

在处理到代数问题时，并不像面对几何问题那样很容易的就想到数形的转化,若不借助形的辅助往往会事倍功半,陷入题海无法自拔。[3]相反，如果善于借助图形简洁直观的特点，把代数问题转化成几何图形，有助于寻找突破口。

例2：方程 的实根的个数为（）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

画出 在同一坐标系中的图象即可。确定lgx=1的解为x=10，y=lgx在(0，+∞)内递增， ，所以 和 的图象应该有三个交点。

例3. 定义在 上的函数 在 上为增函数，且函数 的图象的对称轴为 ，则（）

A. B.

C. D.

解： 的图象是由 的图象向左平移2个单位而得到的，又知 的图象关于直线 （即 轴）对称，故可推知， 的图象关于直线 对称，由 在 上为增函数，可知 在 上为减函数，依此易比较函数值的大小。

实际上，在高中数学里面，经常会遇到关于方程（组）解的个数问题，如果通过正面不好计算，都可以考虑数形结合去求解。

例4. 函数u＝ 的最值是（）．

A. 最大值为2 ，最小值为2 B. 最大值为3 ，最小值为2

C. 最大值为6 ，最小值为3 D. 最大值为10 ，最小值为2

分析：观察得2t+4+2(6－t)＝16，若设x= ，y= ，则有x2+2y2=16，再令u=x+y则转化为直线与椭圆的关系问题来解决．

解：令 ＝x,=y, 则x2+2y2=16, x≥0, y≥0, 再设u=x+y, 由于直线与椭圆的交点随着u的变化而变化，易知，当直线与椭圆相切时截距u取得最大值，过点(0，2 )时，u取得最小值2 ， 解方程组 ，得3x2－4ux+2u2－16=0,

令=0, 解得u=±2 .

所以u的最大值为2 ，最小值为2选A

例5. 已知A（1，1）为椭圆 =1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点

求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值是（）

A.B.

C. D.

解：将原方程化为

，且

令 ，它表示倾角为 的直线系，

令 ，它表示焦点在 轴上，顶点为 的等轴双曲线在 轴上方的部分，

原方程有解

两个函数的图象有交点，由下图知 或

的取值范围为 选A

例6：某单位共有员工50名，为了锻炼员工的身体素质，单位组织员工参加体育活动小组，已知员工每人至少参加一个体育活动项目小组，参加跑步、跳高、羽毛球小组的人数分别为27、26、16，同时参加跑步、跳高小组的9 人，同时参加跑步、羽毛球小组的7 人，同时参加跳高、羽毛球小组的人数为8，问：同时参加跑步、跳高、羽毛球小组的有（ ）人

A.1B.2 C.3D.5

思路解析：本题属于典型的集合问题，如果单纯根据题意里面的数量关系去解答，非常容易出现混乱，但是如果借助于文氏图，则关系一目了然。

我们用三个圆来表示跑步、跳高、羽毛球小组的人数，分别是A、B、C，通过下图我们可以观察的到，三个圆两两相交，相交重合的的地方就是表示共同参加活动的人数部分，同时参加跳高、羽毛球小组的人数就是三个圆共同的交集。如果用n表示集合的元素,则有：

n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B∩C)+n(A∩B∩C)=50

即27 +26+16−9−7−8+n(A∩B∩C)=50；故n(A∩B∩C)=5, 同时参加跑步、跳高、羽毛球小组的有5人 选D

结语

数形结合是数学中重要的一种思维方法，通过“数”与“形”，“形”与“数”的互相转换去解决问题，让抽象的图形关系转化成简洁明了的代数关系，让复杂的代数关系转化成直观的几何图形关系，通过转化，可以有效地开拓思路，找到简明的解题思路，

参考文献：

[1] 宋端坤. 浅谈数形结合思想在高中数学解题中的应用[J]. 数学学习与研究, 2013,(21) .

篇4

一、求最值

例1 求函数f（x）= + 的最大值和最小值。（2013年江西高中数学联赛题）

分析：此题考查的是形如y= + 的无理函数最值的求法，它是高中数学的一个难点内容，充分利用好三角换元，会使求解过程快捷。

解：因为3x-6≥0，3-x≥0，所以可求出函数f（x）= + 的定义域为[2，3]，从而可设x=2+sin2θ（0≤θ≤ ），故可设f（x）= + = + = sinθ+cosθ=2sin（θ+ ），而 ≤θ+ ≤ ，这时 ≤sin（θ+ ）≤1，所以1≤f（x）≤2，故此函数f（x）的最大值为2，最小值为1。

评注：解此题的关键是通过三角换元把无理函数转化为三角函数，试题别具特色，精致小巧，能较好地考查学生的数学思维水平。上述解法简洁明快，自然流畅。

变式一：设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值为_________。（2011年浙江省数学高考理科试题）

解：现将4x2+y2+xy=1，配方得（y+ ）2+（ x）2=1，再令y+ =sinθ， x=cosθ（θ∈R），

即x= cosθ，y=sinθ- cosθ，从而得2x+y= cosθ+sinθ- cosθ= cosθ+sinθ= sin（θ+φ），故- ≤2x+y≤ ，即2x+y的最大值为 。

变式二：设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则 的最小值为__________。（2014年陕西省数学高考理科试题第15题）

分析：根据题设结构，可利用三角换元。

解：由a2+b2=5，设a= sinθ，b= cosθ，则ma+nb=m sinθ+n cosθ= sin（θ+φ）=5，所以 sin（θ+φ）= ≤ ，所以 的最小值为 。

二、求解不等式

例2 解不等式 - > 。（第四届IMO试题）

解：由-1≤x≤3，得0≤ ≤1，由sin2θ+cos2θ=1，知可设 =cos2θ，θ∈[0， ]，

于是原不等式等价于sinθ-cosθ> ，sin2θ+cos2θ=1，即32cos2θ+8cosθ-15

评析：本题应用三角换元求解无理不等式，不仅减少了计算量，而且思维自然，解法流畅，思维流程创新，对学生的解题能力，大有益处。

变式一：已知x，y，z∈R+，且xyz+x+z-y=0，求证： + +

解：由y= ，tan（α+β）= ，可设x=tanα，z=tanβ，（0

2[cos2α+cos2β+cos2（α+β）]

三、求解方程（组）

例3 解方程x +y =xy。

解：由 ≥0， ≥0，知x≥1，y≥1，

由1+tan2θ=sec2θ，可设x=sec2α，y=sec2β，（0≤α，β< ）

则原方程变形为sin2α+sin2β=2，

又sin2α≤1，sin2β≤1，

所以sin2α=1，sin2β=1，即α=β= ，

故有x=y=2。

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一、数学思维障碍的成因分析

学习本身是一种认识过程，在这个课程中，个体的学是要通过已知的内部认知结构，对从外到内的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的媒介点，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的实际情况或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从，另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的媒介点时，这些新知识就会被排斥或经校正后吸收。因此，如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利交接，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。

二、如何应对高中学生数学思维障碍

1.提高兴趣，树立信心。在高中数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的意志品质；同时要培养学生学习数学的兴趣。“兴趣是最好的老师”，学生对数学学习有了兴趣，才能产生数学思维的兴奋点，也就是更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，提高学生学好高中数学的信心。

譬如，高一年级学生刚进校时，一般我们都要复习一下二次函数的内容，而二次函数中最大、最小值，尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法学生普遍感到比较困难，为此我作了如下题型设计，对突破学生的这个难点问题有很大的帮助，而且在整个操作过程中，学生普遍（包括基础差的学生）情绪亢奋，思维始终保持活跃。设计如下：

（1）求出下列函数在x∈［0，3］时的最大、最小值：①y=（x-1）2+1，②y=（x+1）2+1，③y=（x-4）2+1。

（2）求函数y=x2-2ax+a2+2，x∈［0，3］时的最小值。

（3）求函数y=x2-2x+2，x∈［t，t+1］的最小值。

上述设计层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调动了学生学习的积极性，提高了课堂效率。

2.强化意识，培养习惯。重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应用能力的评价，数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，至于做得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合理，有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。因此，在数学教学中只有加强数学意识的教学，如“因果转化意识”、“类比转化意识”等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识是突破学生数学思维障碍的一个重要环节。

3.诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用。在高中数学教学中，我们不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。

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【关键词】高中数学；二次函数

要对高中数学二次函数基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数进行了根本深入学习。

一、进一步深入理解函数概念

二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?:AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知?(x)= 2x2+x+2，求?(x+1)

这里不能把?(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ：设?(x+1)=x2－4x+1,求?(x)

这个问题理解为，已知对应法则?下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。

?(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得?(x)=x2－6x+6

(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1

(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而?(x)= x2－6x+6

二、二次函数的单调性，最值与图象。

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

（1）y=x2+2|x－1|－1

（2）y=|x2－1|

（3）= x2+2|x|－1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

类型Ⅳ设?(x)=x2－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求：g(t)并画出 y=g(t)的图象

解：?(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，

在x=1时取最小值－2

当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2

当t＞1时，g(t)=?(t)=t2－2t－1

当t＜0时，g(t)=?(t+1)=t2－2

t2－2, (t

g(t)= -2，(0≤t≤1)

t2－2t－1, (t>1)

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：

类型Ⅴ：设二次函数?(x)=ax2+bx+c(a>0)方程?(x)－x=0的两个根x1，x2满足0

(Ⅰ)当X∈(0,x1)时，证明X

(Ⅱ)设函数?(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0

解题思路：

本题要证明的是x

(Ⅰ)先证明x

所以能?(x)=a(x－x1)(x－x2)

因为0

根据韦达定理,有 x1x2=ca 0＜x1＜x2

即x

(Ⅱ) ?(x)=ax2+bx+c=a（x+－b2a ）2+(c－ ),（a>0）

函数?(x)的图象的对称轴为直线x=－b2a ,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=－b2a ，因为x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=－b-1a ，x2－1a

x0=－b2a =12 （x1+x2－1a ）

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

篇7

【关键词】数学思想方法；高中数学；函数教学

函数是高中数学的重点教学内容，也是学生重点掌握知识，函数知识具有独特的整体性与逻辑性.再加上函数知识在生活中常常遇到，函数知识能够帮助学生解决生活中遇到的问题，从而有效显示数学知识的价值.因此，作为数学重要知识的函数，在教学过程中教师应该注重培养学生数学思想，有利于学生运用数学知识有效解决函数问题.

一、渗透举一反三的数学思想方法

在学习高中数学的时候，有效的解题方法是培养学生数学思想方法的基础，因此在学习高中函数的过程中就可以采用举一反三的方式培养学生解题的思路，针对一些典型的数学例题进行重复练习，增强学生对这类型题目理解和掌握程度！

在高中数学学习过程中，科学合理的解题方法是培养学生数学思想的基础，所以在高中函数教学过程中可以渗透举一反三的数学思想，重复练习一些典型的数学立体，提高学生对这一类型函数题目的理解与掌握.例如，在讲解“求y=x2+4x-2同横坐标存在几个交叉点”时，老师讲解完这一类型题目的知识点后，便基于这一知识点设计一系列有关问题，例如，“求y=x2+4x-2与x=4的交点”和“求y=x2+4x-2与横坐标存在几个交点”等各种问题，要求学生根据所学知识进行解答，从而培养学生举一反三的数学思想.

二、渗透化归数学思想方法

化归数学思想是指把未知的问题转变为已有知识范围内能够解决问题的一种数学思想方法，这一思想方法能够把陌生、抽象、复杂的问题转变为熟悉、具体、简单的问题.化归思想方法是高中数学函数教学和学习的主要方法，其应用于整个函数学习过程中，引导学生合理转化问题，剖析出已知条件同结题目标之间的关联.渗透化归数学思想，有助于培养学生抽象思维、创造性思维、发散思维与想象思维，从而提高学生分析与解决问题的能力.

例如，设|a|≤1，函数f（x）=ax2+x-a，求：当x≤1时，|f（x）|≤54.这便是二元函数求最小值的题目，应该采用化归思想方法把这道题转化为一元函数求最值.如果把a看作主元，问题中函数当作a的一次函数，那么便能够将题目转化为：一次函数g（a）=（x2-1）a+x的最小值不得≥1，求其范围，解题过程如下：

设g（a）=（x2-1）a+x，a∈[-1，1]，x∈[-1，1].当x2-1=0时，g（a）=±1，因此能够得知，|f（x）|=lg（a）≤54成立；当x2-1≠0时，g（a）便是a的一次函数，因此只需要证明g（±1）≤54，同时g（1）=x2+x-1=x+1[]22-54，-54≤g（1）≤1；g（1）=-x2+x+1=-x-1[]22+54，-1≤g（-1）≤54，即|g（a）|≤54，lg（±1）≤54，因此|f（x）|≤54.

三、渗透数形结合数学思想方法

数形结合是数学中常见的思想方法之一.其能够采用直观的方法将抽象的数量关系在空间或平面上表现出来，能够巧妙地将抽象思维和形象思维集合起来处理各种数学问题的解题方式.伟大数学家华罗庚曾讲到“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”如果只是凭借数量关系难以着手解决问题，如果把数量关系转变为相对应的图形，同时利用其图形规律性来进行确定，借助直观易懂的图形来秒回出数量之间的关系，能够将复杂难懂的函数问题转变为简单、容易的图形问题进行解决.因此，对于一些抽象的函数题，教师在讲解过程中应该引导学生采用数形结合的思想方法，轻松解答出答案.例如，求y=（cosθ-cosα+3）2+（sinθ-sinα-2）2的最值（θ，α∈R），能够利用距离函数模型来解答该题.

四、渗透分类讨论数学思想方法

分类讨论数学思想是一种“化整为零为整”的方法.在解决和分析数学问题时，研究对象难以进行统一研究的情况下便可以按照数学对象的本质属性的不同之处，把问题对象划分为不同的类别，然后再一一进行研究讨论，从而最终有效解决整个数学问题.

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多数学生觉得数学难学，“一听就会，一做就错”，关键在于一个“悟”字，只要学会悟数学，用内心的体念与创造来学习数学，就会使学生获取一个善于思考的脑袋。而数学的悟性不是天生俱来的，而是后天培养获得的，正确认识、科学培养和合理训练可以有效地提高学生的数学的悟性。要学好高中数学，应在平时的教学中抓住数学的本质，多从概念、性质、内容、数学问题本身的特征，以及猜想、归纳、转化之中多思多想，定能发现解题的捷径，使问题简单。我们应在平时的教学中注重培养学生数学学习的悟性，养成善思、勤奋的好习惯。

【关键词】高中数学 科学培养 数学学习 悟性

如今多数学生觉得高中数学难学，拿到一道习题往往无从下手，常听学生说：一听就会，一做就错。这是什么原因呢？就是因为自己没有把老师讲的悟透。悟性的培养重在一个“悟”字。美国国家数学教育委员会在《人人关心数学教育的未来》的报告中指出：“实在说来，没有人能教好数学，好的数学老师不是在教数学，而是激发学生自己去学数学”，“学生要牢固地掌握数学，就必须用内心的创造与体念来学习数学”。因此，学生来到学校决不是为了领取一只知识的行囊，而是为了获取一个善于思考的脑袋，即充分培养学生的悟性。而数学的悟性不是天生俱来的，而是后天培养获得的，正确认识、科学培养和合理训练可以有效地提高学生的数学的悟性。下面就自己从几个方面谈谈数学悟性的培养：

1.从定义、定理、公式中培养

悟性并不神秘，它源于基础又回归基础，尽管在表面上它与以前获得的知识相差甚远，但实际上却是对以前积累起来的知识、经验、方法、技能的再现、迁移、重组、变换、改造和升华。只有夯实了基础，才能在关键时刻“眉头一皱、‘悟’上心来”。

例1：判断函数

f（x）=x+2 （x＜-1）

0 （-1 ≤x≤1） 的奇偶性。

-x+2（x＞1）

分析：此函数为一分数函数，判断函数的奇偶性，还得从函数奇偶性定义入手，考虑整个定义域，在整个定义域上是奇函数还是偶函数。

解：该函数的定义域为R，定义域关于原点对称：

当x＜-1时，-x＞1

f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）

当|x|≤1时，|-x|≤1

f（-x）=0=f（x）

当x＞-1时，-x＜1

f（-x）=-x+2=f（x）

对一切x∈R,都有f（-x）=f（x），因此函数f（x）是偶函数。

2.从图象中培养

有些数学问题，用定义、公式无法解出来，若结合函数的图象，就能找准思维起点，再加上合理推理，就能使问题的解决简洁明了。

例2：已知函数

f（x）= |logx|， 0 ＜x≤10

-12c+b, x＞10

若a、b、c互不相等，且f（a）= f（b）= f（c）,则abc的取值范围是

解：作出此函数的图象：

不妨设a＜b＜c，由f（a）= f（b）= f（c）及f（x）图象知：

110＜a＜1＜b＜10＜c＜12，-loga=logb=-12c+b

ab=1

abc取值范围为（10，12）

3.从相关性质中培养

许多数学问题，除了从定义、图象抓中求解的方法之外，还应从数学问题本身的性质考虑解题的方法，可能会使问题迎刃而解：

例3：已知{an}为等差数列，若a11a10＜-1，且它的前n和Sn有最大值，那么，Sn取得最小值时，n等于

解：由可知条件可知，等差数列{an}是首项为正，公差为负的递减数列，由a11a10＜-1，可得a11＜0，a10＞0，且a10+a11＜0，

S20=(a1+a20)×202=20(a10+a11)2＜0

S19=19(a1+a19)2=19a10 ＞0

当Sn取得最小值时，n=19

4.从问题的转化中培养

“数学家们往往不是对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直到把它转化成能够得到解决的问题。”这就是专家们提到的转化的思想。事实上，并非所有的问题只要一审题，就来了思路，有时对问题的条件和结论进行不断转化就能求解。

例4：X∈R，求函数y=x2+2x+2+x2+4x+8的最小值

分析：求这样的无理函数的最小值，用代数法较难，作如下变形：

y=(x+1)2+(0+1)2+(x－2)2+(0－2)2y

设P（x,0）,A（-1,-1）,B（2,2），如图：于是求y的最小值转化为求x轴上的一点P，使|PA|+|PB|最小，显然|PA|+|PB|≥|AB|=(2+1)2+(2+1)2=32上式中当x=0时，等号成立，故当x=0时，y的最小值为32。

5.从问题的讨论中培养

解题的过程是从题目的条件不断向问题的结果变形靠近。数学知识的最大特点就是系统性强，新知识是旧知识的延伸、拓展。许多新知，学生均能依赖原有的知识迁移规律类推而得到解决，这时适当展开讨论，不仅增强了学生参与学习的兴趣，而且有助于学生理解和掌握新知，收到事倍功半的效果。

例如：在学习基本不等式：a+b≥2ab(a>0,b>0)求有关非二次函数极值时，我们必须强调它使用的条件是“一正二定三相等”。“一正”是指a,b满足正数条件，“二定”是指a,b两数的和或积有一个是定值，“三相等”是指等号能否成立。为此，我拟了三个求函数最值的题目供大家讨论加深对条件的理解和应用：

（1）f(x)=x+1x(x>0)

(2) f(x) =x+1x(x

(3)f(x)=x2+5x2+4

其结果是多数学生较轻松地完成（1）、（2）两题。对于（3）有的学生作了如下的分析：f(x)=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4≥2.

因此f(x)的最小值为2.“有没有问题？”我问，一石激起千层浪，同学们大多显出惊讶与不解，“能取到2吗？”我又乘势追问。经过一番激烈的讨论，大家从x2+4=1x2+4，即x+4=1，此方程无解，因此等号不能成立，但大于号是成立的，大家从中检验到“相等”的重要性。此刻的顿悟所带来的满足感溢于言表。接着，在师生的共同参与下，利用f(t)=t+1t在［1，+∞）上的单调性求出了f(x)的最小值为2.5。这不仅使学生拓宽了视野，还加强了前后的联系。在相互的学习讨论中也提高了思维能力。

6.从大胆的猜想中培养

俗话说：大胆的猜想，是创造发明的先导，没有猜想，就永远不能得出新的结论。

例6：在计算“1×2+2×3+…n(n+1)”时，有同学用到了如下一种方法：

k(k+1)=13［k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)］

因此：1×2+2×3+…n(n+1)

=13［1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+ n（n+1)（n+2）-（n-1)n（n+1)］

=13n（n+1)（n+2）

你可猜想：1×2×3+2×3×4+…n(n+1)(n+2)=

分析：根据求1×2+2×3+…n(n+1)的解法可大胆猜想：

1×2×3+2×3×4+…n(n+1)(n+2)=14 n（n+1)（n+2）（n+3）

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【关键词】数学衔接；原因；实际情况；教学方法

从初中进入高中，学生们都感到很兴奋。但是，随着学习的深入，学生们难免会受到打击。在学习过程中，越来越多的不适应现象随之而来。在数学学科上学生所表现出来的不适应性较大。许多学生在升入高中之后，出现数学成绩逐步下滑，甚至数学成绩不及格的现象，严重影响了学生数学学习的欲望，打击了学生数学学习的自信心。

数学是一门基础的学科，对其它学科的学习和今后的生活、工作都有着重要的影响。许多高一新生在深入高中之后，出现数学成绩下降，和他们不能及时适应高中的数学学习有很大的关系。初中数学和高中数学有着明显的不同，高中教师的教学和初中教师的教学也存在着差异。面对高一学生数学学习的现状，作为一名高中数学教师，要努力做好初高中数学教学工作的衔接工作，让学生尽快适应高中的数学学习，培养学生数学学习的兴趣，以让学生在更加愉快的学习氛围当中进行数学知识的探究和思考，为学生今后走上社会，更好地适应社会奠定基础。

笔者在高中从事数学教学工作多年，在多年的数学教学中笔者认识到尽快让高一学生适应高中数学学习的重要性，针对高一学生数学学习的情况，笔者也进行以一些研究，得到了一些有效的教学方法。现结合教学实践，谈谈如何更好地进行初高中数学教学工作的衔接。

一、高一新生数学学习成绩下滑的原因。

1、初高中数学教学内容上的差异。

初中数学知识比较简单，在初中数学教材中，对知识的表达也比较形象，学生们感到通俗易懂，使得初中数学教学的内容难度大大降低。而高中数学教学的内容和初中数学教学内容有着明显的不同。高中数学知识不仅在量上有所增加，在知识的难度上也有所加深。但是，由于高中学习任务紧，不可能在学时上有所增加，这就为学生学好数学带来了困难。同时，高中数学教学对学生的抽象思维能力提出了更高的要求，高中数学知识变得更加复杂，在知识的理解上给学生带来了障碍。

2、教师教学方法的差异。

由于初中学习的内容少并且简单，教师有充足的时间照顾到全体学生，也有足够的时间对教学内容进行反复的讲解。通过教师的反复讲解和学生大量的练习，学生们对所学的知识掌握较好。而进入高中之后，由于教学任务重，使得课堂教学的容量加大，教学进度加快，教师没有太多的时间对学生进行督促和检查，需要学生自己在课下能够及时地对知识进行复习和巩固。进入高中之后，学生们对高中数学教学方法不能及时适应，在数学学习上很快出现落后的现象。

二、做好初高中数学教学衔接工作的措施。

1、从学生的实际情况入手，做好教学的衔接工作。

教师要做好初高中数学教学的衔接工作，就要从学生的实际情况出发，以学生为中心展开教学工作。在学生升入高中之后，教师首先要通过多种途径对学生进行全面的了解和调查。教师要摸清学生的数学基础、认知水平以及数学知识的接受能力。只有从学生的实际出发组织课堂教学，才能够使数学教学工作更有针对性。

除了要对学生做到清晰的了解之外，教师还要对初中的数学教学进行全面的了解，对初高中数学教学知识点进行分析和对比，找到它们之间的关联点和不同之处，从初中教材中已有的知识点入手，进行高中数学教学工作，会让学生更有认同感。

俗话说“知己知彼，百战不殆。”只要教师对学生、初高中数学教材进行了深入透彻的分析，并根据实际情况合理组织数学教学工作，一定能够激发学生数学学习的兴趣，让学生在数学学习上取得成功。

2、做好教学方法的衔接，为学生学好数学提供保障。

教学方法在课堂教学中起着重要的作用。只有教师采用科学有效的教学方法，才能提高课堂教学的效率。由于学生对初高中数学教学方法不能做好转变和适应，导致学生进入高中之后数学成绩下降。作为一名数学教师，做好教学方法的衔接十分重要。

在初中数学学习中，由于知识比较简单，并且初中数学教材中一般以形象的手段进行知识的展示，学生感到数学学习比较容易，在数学学习上表现的十分轻松。但是，高中数学知识比较抽象，逻辑性较强，对学生的抽象思维能力的要求较高。但是，高一学生的抽象思维能力不能够很快达到教学内容的要求，在数学知识的理解上就表现的比较困难。作为一名高中数学教师，在进行数学知识的讲解时，不能够只是按照教材进行内容的讲授，要从实际情况出发，选择学生能够适应的教学方法。教师要善于通过形象、生动的教学手段展示抽象的数学知识，让学生对数学知识先获得感性上的认识，进而内化为理性认识。通过这种教学手段的采用，学生们会感到数学学习更加有趣。

3、关注全体学生，促进全体学生数学能力的提高。

新课改中要求，在课堂教学中要促进全体学生的共同发展。由于学生之间存在着个体差异，不可能在数学学习上处于同一个水平。但是，每个学生都是课堂教学的主体，都希望得到发展。因此，在课堂教学中，教师要关注全体学生，让没有学生在高一时就对数学学习产生兴趣，能够跟上数学课堂教学的进度。教师要根据不同学生的数学水平，设计出不同层次的问题，照顾到每一位学生，做到因材施教。

例如：在学生刚刚进入高一，对二次函数的内容进行复习时，教师可以设计这样的一个练习，以调动全体学生的参与性，让全体学生都数学学习欲望都被激发：

（1）求出下列函数在x∈[0，3]时的最大、最小值：

①y=（x-1）2+1，②y=（x+1）2+1，③y=（x-4）2+1

（2）求函数y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]时的最小值。

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【关键词】新课标；高中数学；习题教学；探析

数学习题作为数学知识要义、教师教学意图以及教材目标要求等方面的有效“承载”和生动“代言”，在数学课堂教学进程中占据不可替代的重要地位，并在助推教学进程中发挥着积极显著的深刻功效。课堂之中的习题教学，表面看似解题思路和方法的探求过程，实际上贯彻着教学的目标要求、渗透着先进的教学理念、体现着教者的教学技能、执行着能力培养的要旨。让学生在习题教学中提升解决问题的技能，在习题探析中实现能力素养的升华，是新课程改革背景下，高中数学课堂教师习题教学的出发点和落脚点。鉴于上述的认知和感悟，本人现简要阐述新课标背景下的高中数学习题教学活动的实施。

一、抓住教材知识要义，实施互动式习题教学

教师在数学习题教学进程中的重要目的之一就是巩固所学数学知识、强化已有数学经验。具备坚实的数学知识根基、良好的数学知识素养，是学生主体有效认知数学问题、正确解决问题、提高解体技能的重要前提和知识保障。教育运动学认为，教师与学生之间应该是双向、互动、交流的发展过程，师生只有深入其中、积极配合，才能实现学与教之间的科学融合，有机统一。笔者以为，教师习题教学应成为师与生深入互动、深刻交流的“桥梁”，应成为巩固强化数学知识素养的重要“阶梯”。因此，高中数学教师习题教学，不能好高骛远，将解题技能培养作为唯一要务，而应该重视基础工作和要点教学，通过开展师与生之间的深刻互动活动，深入挖掘数学习题中隐含和呈现的数学知识点，及时回顾和复习相关知识点内容，实现问题有效解答和数学知识升华的完美统一。

如“两条直线位置关系判定”一节课教学中，教师在巩固练习环节，设置了“已知两直线l1：x+ysinθ-1=0和l2：2xsinθ+y+1=0，试求θ的值，使得两直线平行和垂直”习题，组织高中生开展习题解答活动。教师抓住巩固练习习题在强化数学知识点方面的积极功效，将复习该节课数学知识点内容作为重要任务之一，引导高中生开展该习题条件及要求的认知和解析活动，高中生通过数学问题条件感知活动，认识到该习题主要考察“对两条直线的垂直和平行的判定”。此时，教师因势利导进行相关数学知识点的回头看活动，组织高中生对已学的“两条直线的位置关系判定内容以及已知三角函数值求角的大小”等相关数学知识点的要义以及注意事项等方面进行全面深刻的研习和巩固，并结合问题条件获取该习题的解题思路。教师针对高中生认知相关知识点的实情进行及时的巩固和强化补充。在此习题教学进程中，高中生不仅以题为媒，由此及彼，实现对所学知识点的及时巩固强化，同时还对数学习题解析思路有了深刻认知，效果显著。

二、注重探究过程指导，实施探究式习题教学

高中数学课程改革实施纲要强调指出：“学科教学的根本出发点和落点是学生主体能力素养的培养，培养学生探究、思维、实践等方面的数学学习能力，是教师课堂教学的重要任务之一，教学工作者应在教学进程中予以深入贯彻和有效落实。”习题教学作为课堂教学不可或缺的实践活动之一，就必须将学生主体的动手操作、推理分析等数学活动融入其中，在探究式习题教学中，实现数学解题能力的提升和进步。教师讲解高中数学习题，既要重视解题策略传授，更要强化探究过程教学，有意识的延伸习题思路探知、问题解题方法辨析、数学问题过程展示等环节进程，并让高中生渗透和参与其中，亲身参与、亲自探知，成为现场“当事人”，在深入有效探究解析中，实现数学解题能力的锤炼和提升。

问题：已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）-f（x）=f（2x），试求出f（x）和f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值。

高中生分析习题条件，指出：“该问题主要考查关于二次函数在闭区间上的最值运用”。

教师组织高中生结合习题要求，进行合作探究分析活动，高中生探究获取解题思路：“设f（x）=ax2+bx+c；则f（x+1）-f（x）=2ax+a+b，求出a，b，c相应的值从而求出f（x）的解析式。要求最小值和最大值，可以对函数进行配方，结合二次函数在闭区间上的单调性分别求出涵数的最值。

教师根据高中生解析思路予以评点，强调指出：“本题主要利用待定系数法求解函数解析式以及最值的求解，要注意所给区间的单调性。”

高中生依据教师指点，补充完善进行解题活动。

三、凸显评判促进功效，实施反思式习题教学

笔者在平时的习题教学课观摩中发现，有极少数教师习题讲解往往止步于解题方法的规律，而没有对学生主体在解析习题中的成效予以点评和指导，不利于高中生良好解题方法和习惯的养成和形成。教育学认为，教师的主导作用应通过“导”的活动予以呈现。因此，高中数学教师开展习题教学，要充分利用评价教学所表现出来的指导促进功效，将解题过程评价作为习题教学有效延伸和生动补充，通过评判手段，引导高中生深刻思考解题得失、思路优劣、表现好差，从而促进高中生更加深入的自我反思和深刻剖析，在师与生的共同作用下形成良好解题习惯。

除此之外，高中数学教师开展习题讲解，还要利用数学习题发散特性，举一反三，设置多样性、发散性的数学习题，引导高中生深入思考研习，锤炼和培养他们的数学综合应用能力。

【参考文献】