高中数学函数与方程范文

导语：如何才能写好一篇高中数学函数与方程，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

关键词：数学；函数思想；方程思想

一、知识内容

1. 函数的思想

就是利用函数的图像和性质分析问题，通常将一些方程、不等式的问题转化为函数的问题。具体体现有求方程的根的问题、不等式恒成立的问题，特别是一些超越方程或超越不等式中，巧用函数的思想，会使问题迎刃而解。

2. 方程的思想

就是把函数构造成方程，利用方程进一步研究方程的思想。具体体现有求函数的值域的问题、解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系问题，都可利用解二元方程组来巧妙解决。

二、典例分析

1. （题型1）构造函数，并利用函数的图像和性质来解决有关问题

例1 若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，求x1+x2的值。

分析：方程2x+2x=5与方程2x+2log2（x-1）=5都是超越方程，其中方程的根都是不能直接求解，所以应找到两个方程之间的联系，转化为函数的思想来解答。

解：由2x+2x=52x=5-2x2x-1=-x…（1）

2x+2log2（x-1）=52log2（x-1）=5-2xlog2（x-1）=-x… （2）

由（1）式知x1可以看做函数y=2x-1与函数y=-x的产生的交点A的横坐标；

由（2）式知x2可以看做函数y=log2（x-1）与函数y=-x产生的交点B的横坐标。

而y=2x-1与y=log2（x-1）分别由y=2x与y=logx同时向右平移一个单位得到y=2x与y=logx函数图像关于y=x对称，即y=2x-1与log2（x-1）函数图像关于y=x-1直线对称。因为y=x-1与y=-x互相垂直，其交点C坐标为（，），同时A、B两点关于C点对称，所以x1+x2=2×=。

点评：本例由已知方程构成函数，巧用指对函数图像的对称性来巧妙地解决问题。

变式：设a，b∈R且（a-1）3+2002（a-1）=-1，（b-1）3+2002（b-1）=1，求a+b的值。

分析：观察已知条件中结构形式，构造函数f（x）=x3+2002x，有f（a-1）=-f（b-1），知y=f（x）为奇函数且y=f（x）在R递增的，f（a-1）=f（1-b）a-1=1-ba+b=2。

例2 设不等式2x-1>m（x2-1）对满足的一切实数恒成立，求实数的取值范围。

分析：不等式f（x）≥g（x）恒成立，往往都是构造F（x）=f（x）-g（x），往求F（x）min，使得F（x）min≥0，即可达到解决问题的目的。若构造二次函数F（x）=2x-1-m（x2-1），m∈[-2，2]，往求F（x）min，利用分类讨论思想较为复杂化，若变换以m为主元，x为辅元，即一次函数F（m）=（x2-1）m-（2x-1），-2≤m≤2，往求F（m）max，即可使得F（m）max

只要f（-2）

实数x的取值范围为（，）。

点评：本例将不等式恒成立问题构造函数，利用函数的性质巧妙解决问题。

2. （题型2）建立方程，利用方程的思想解决有关问题

例3 如果函数y=的最大值是4，最小值是-1，求实数的值。

分析：函数y=的定义域为R，值域为-1≤y≤4，由y=转化为yx2-ax+y-b=0关于x的一元二次方程有实数根，使用到别式。

解：y=定义域为Ryx2-ax+y-b=0有实数根 （-a）2-4y（y-b）≥04y2-4by-a2≤0。

-1≤y≤4，4y2-4by-a2-=0产生有两根-1，4。

-1+4=-1+4=a=±4b=3。

点评：本例巧妙地将函数问题转化成方程根的问题解决问题。

例4 已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1）。

（1）当a>1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）单调递增。

（2）若函数y=f（x）-t-1有三个零点，求的值。

分析：函数y=f（x）-t-1有三个零点转化方程f（x）-t-1=0有三个根，再转化成f（x）=t±1方程有三个根，再转化成函数y=f（x）与函数y==t±1有三个交点，利用函数与方程思想相互转化。

解：（1）f'（x）=axlna+2x-lna=（ax-1）lna+2x。

x>0，a>1，ax>1，ax-1>0，lna>0，2x>0。

（ax-1）lna+2x>0，即f'（x）>0。y=f（x）在（0，+∞）是单调递增的。

（2）函数y=f（x）-t-1有三个零点？圳方程f（x）-t-1=0有三个根？圳f（x）=t±1方程有三个根？圳函数y=f（x）与函数f=t±1有三个交点。

由（1）式知当a>1时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，f'（x）=（ax-1）lna+2x，当a>1时，若x

当a>1时，y=f（x）在（-∞，0）单调递减。

当00时，ax-1

当a>1时，y=f（x）在（-∞，0）单调递增。

当00 lna

（ax-1）lna

当0

y=f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。

y=f（x）与y=t±1有三个不同的交点，又t+1>t-1，y=t-1=f（0）=1时，且t=2时满足要求。

t=2。

点评：本例巧妙利用函数与方程相互转化的思想解决问题。

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【关键词】高中数学；函数教学；教学方法；情景教学；案例教学；创新思维

数学思想是对数学事实、概念和理论的本质认识，是数学知识的高度概括.数学方法是数学思想在数学认识活动中的具体反映和体现，是处理探索解决数学问题、实现数学思想的手段和工具.因此，要求教师必须具备较高而灵活的高中数学函数的教学技巧.随着高中数学课程不断改革与素质教育的实施，教学方法的探索与创新，数学教学中要积极引导学生参与课堂，让学生在实践中去感受函数，丰富学生的情感体验，逐步形成正确的良好数学学习行为习惯.函数是高中数学教学的核心内容，在解决很多数学问题时几乎都要用到函数这一工具，函数的教学在于启发学生的思维，为数理化的学习打下基础，逐渐在解决生活中的问题时建立起数学建模的思想. 可以看出高中函数教学在数学学习中的重要，为以后解决社会问题建立数学思维奠定基础.

一、高中数学函数教学方法的探究

（一）情景教学

要做到把函数问题生活化，创设简单明了的生活情景，把函数问题生活化，使学生从生活中理解认识并喜欢函数，进而喜欢数学.高中数学函数教学是提高学生数学综合思维的关键.作为一名高中数学教师，关键要激发学生学习数学的愿望，给学生打造一个锻炼思维和表达的平台.据调查，一节有效的课堂关键在于学生思维高度集中，调动学生思维发展.思辨能力的提高关键在于激发思维，教师要设计具有较好的思辨能力的高中数学函数的教学方式，以有利于提高学生的综合数学思维创造能力.现代多媒体的发展已经普及，在教师课堂上已经成为不可或缺的一部分，多媒体教学是现代教学主要工具，而中学生的思维以浅性思维为主，依据学生的个性需求、利用多媒体的特点，去调动学生的积极性，营造情境，有利于创造浓厚课堂氛围，使学生对所学函数知识产生学习愿望，不仅可以调动学生的学习兴趣，而且可以吸引学生的注意力，激发学生的想象力，大大地提高了学生学习的积极性和主动性，从而带来了良好的教学效果.

（二）案例教学

高中数学函数教学不仅仅局限于使学生掌握基本的函数知识，而要拓展培养学生独立思考、解决并实际运用知识的数学能力.因此，要求数学教师在教学别注意对函数教学的案例引入与启发.通过案例的教学方式，让学生和教师处于相对平等的教与学的地位，使学生更能积极接受相关知识，营造一种积极的氛围.教师教学案例方式，可以扩大学生接受知识的兴趣，很好地将理论知识与社会实践有效结合.在日常的数学函数授课过程中，教师传道授业解惑，积极用自己的知识去武装每一名学生的函数头脑，使他们能够进入一种积极的学习状态.如已知一个矩形的周长是60 m，一边长是L m，写出这个矩形的面积S（m2）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式；或者比较直观案例，如已知圆的面积是S cm2，圆的半径是R cm，写出圆的面积S与半径R之间的函数关系式.这些函数案例都非常容易地把二次函数思维教学引入课堂之中.

（三）创新数学思维的锻炼

函数和方程思想是中学数学重要的思想方法之一，在不等式教学中巧妙地融合函数与方程的思想解题，使学生于潜移默化中克服思维定式，领会不等式、方程与函数之间的转化，激发学生思维的灵活性.高中数学函数教学要与函数与方程（不等式）有效的结合，使学生体会到函数、方程、不等式的统一关系，进一步体现出新教材中数形结合的思想，使学生体会到数学知识之间的连续性.可以看出函数与方程、函数与不等式密不可分，紧密联系.如利用kx+b=0或ax2+bx+c=0可以求函数与x轴的交点坐标问题，利用Δ与0的关系可以判定二次函数与x轴的交点个数等.具体案例为：若直线y=2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b=0的解即x的值是多少？高中数学教学需要学生具有综合性思维，而不是简单浅性思维，这需要高中数学教师不断创新数学教学方式以逐渐培养学生的数学综合思维，要学生从开始就要树立函数本身的思维要求，结合当下新课程改革提出的素质新要求，必须提高学生应用数学函数的能力，使学生不仅掌握扎实的数学函数理论知识，而且具有实际应用数学的能力，这就要求教师教学出发点要创新，学生的思维才能形成，这样高中数学函数知识在以后的数学知识学习中可以轻松应对.

二、结语

数学函数知识贯穿于高中数学学习的始终，这需要学生从接触函数知识就要产生兴趣，关键在于教师的引导与创新.文章针对高中数学教学方法的探究，通过对函数教学方式的研究，提出了情景教学和案例教学的方法，以对高中数学教学效果具有一定作用.此外，任何数学知识都是一个体系，是一个有机整体，不是孤立的，这就要求教师创新学生思维锻炼，如函数教学时函数、不等式和方程必须相互联系，这也是高考数学考试的重点，这就需要教师必须加强学生的数学综合性思维的养成.

【参考文献】

＼[1＼]吴兰珍.高中数学函数教学渗透数学思想方法浅探＼[J＼].广西教育学院学报，2004（5）.

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【摘 要】高中数学新课程中函数的教学，应整体把握函数的内容与要求，不断加深学生对函数思想的理解；关注认识函数的三个维度，引导学生全面理解函数的本质；重视函数模型的作用；揭示函数与其他内容的内在联系；突出重点，淡化细枝末节的内容和单纯技能技巧的训练。

关键词 高中数学新课程；函数；设计思路

一、高中数学新课程中的函数设计思路

(一)把函数作为一条主线

高中数学新课程中分层设置了函数概念、具体函数模型、函数应用、研究函数的方法四方面的内容。在必修数学中设置了函数概念，指数函数、对数函数、简单幂函数、三角函数、分段函数、数列等具体函数模型及其应用，研究函数的初等方法等内容；选修数学中设置了研究函数的分析方法(导数)等内容；函数的应用以及函数的思想方法贯穿于相关数学内容之中。例如:必修数学中运用函数思想方法处理方程、不等式、线性规划、数列、算法，运用函数解决优化问题，刻画随机变量及其分布问题等。这种设置方式就体现了“以函数为纲”的思想以及函数的统领作用。

(二)突出背景，从特殊到一般引入函数

高中数学新课程中，在引人函数概念和具体函数模型时，都注重函数的实际背景，通过对实际背景中的具体函数关系的分析，归纳、抽象出函数概念和函数模型。高中阶段函数概念的引人，一般有两种方法，一种是先学习映射，再学习函数，即从一般到特殊的方法；另一种是通过具体函数实例的分析，归纳总结出数集之间的一种特殊对应关系—函数，即从特殊到一般的方法。例如，对于函数概念，先引导学生梳理已经掌握的具体函数(如，初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数、简单分段函数等)，通过分析这些具体函数的特征，构建函数的一般概念，再由函数概念抽象出映射概念。

(三)提倡运用信息技术研究函数

运用信息技术可以呈现函数的直观图像，迅速精确地实施函数运算，通过函数图像和函数运算，可以帮助学生加深对函数所表示的变化规律的理解。信息技术还为运用函数模型解决问题提供了便利。高中数学新课程提倡运用信息技术研究函数。

二、高中数学新课程中函数教学建议

(一)整体把握函数的内容与要求，在与函数有关的内容的教学进程中不断加深学生对函数思想的理解。

函数是学生在数学学习过程中第一次遇到的具有一般意义的抽象概念，在这个概念下可以派生出许多不同层次的具体函数。学生对于这种多层次的抽象概念的理解是需要时间和经验积累的，需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步理解，才能真正掌握，灵活运用。因此，函数教学应整体设计，分步实施。教师应整体规划整个高中阶段函数的教学，对函数教学有一个整体的全面的设计，明确不同时段、不同内容中学生对函数理解应达到的程度，在与函数有关的内容的教学进程中，通过运用函数不断加深学生对函数思想的理解。

(二)关注认识函数的三个维度，引导学生全面理解函数的本质

第一，函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，即变量说。在现实生活和其他学科中，存在着大量的变量和变量之间的依赖关系。例如:邮局收取邮资时，邮资(变量)随着邮件的重量(变量)的变化而变化。这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量有唯一确定的值。基于这种认识，就可以用函数来表示和刻画自然规律，这是我们认识现实世界的重要视角，也是数学联系实际的基础。

第二，函数是连接两类对象的桥梁，即映射说。对函数的这种认识反映了数学中的一种基本思想，在数学的后续学习中具有基础作用。数学中的许多重要概念都是这种认识的推广和拓展。例如，代数学中的同构、同态是构架两个代数结构的桥梁，拓扑学中的同胚也是构架两个拓扑结构的桥梁等。

第三，函数是“图形”，即关系说。函数关系是平面上点的集合，因而可以看做平面上的一个“图形”。在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。因此，从某种意义上说，研究函数就是研究曲线的变化、曲线的性质。基于这种认识，函数可以看做数形结合的载体之一。实际上，解析几何、向量几何、函数是高中数学课程中数形结合的三个主要载体。

(三)重视函数模型的作用，帮助学生在头脑中“留住”一批函数模型

理解函数的一个重要方法，就是在头脑中“留住”一批具体函数的模型。那些优秀的数学工作者，对于每一个抽象的数学概念，在他们的头脑中都会有一批具体的“模型”。这是很好的数学学习的习惯。高中数学课程中有许多基本函数模型，高中数学教学的重要任务之一就是把这些基本函数模型留在学生头脑中，这些模型是理解函数和思考其他函数问题的基础。在教学中，对于上述基本函数模型应有一个全面的设计，要帮助学生在头脑中留下三方面的东西:第一，背景，即要熟悉这些函数模型的实际背景，从实际背景的角度把握函数；第二，图像，即从几何直观的角度把握函数；第三，基本变化，即从代数的角度把握函数的变化情况。只有在学生头脑中“留住”这样一批具体的函数模型，才能逐步实现对函数本质的理解，并灵活运用函数思考和解决问题。

（四）揭示函数与其他内容的内在联系，强化学生对函数思想的认识函数作为高中数学的一条主线，贯穿于整个高中数学课程中。是在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都突出地体现了函数思想。用函数的观点看待方程，可以把方程的根看成函数图像与轴交点的横坐标，解方程 就是求函数 的零点的横坐标，从而，解方程问题可以归结为研究函数局部性质的问题，即研究函数图像与x轴的交点问题。这样，如果一个函数在闭区间[a,b]，习上连续，且端点函数值异号，即 ，则就可以运用二分法求方程的近似解。还可以用切线法(函数 在闭区间有一阶导数)、割线法(函数 在闭区间有二阶导数)等求方程的近似解。

在坐标系中，函数 的图像把横坐标轴分成若干区域。一部分是函数值等于0的区域，即 ；另一部分是函数值大于0的区域，即 ；再一部分是函数值小于0的区域，即 。用函数的观点看，解不等式就是确定使函数 的图像在x轴上方或下方的的x区域。这样，就可以先确定函数图像与x轴的交点(方程 的解)，再根据函数的图像来求解不等式。

参考文献

[1]李昌官.高中数学“导研式教学”研究与实践[J].课程·教材·教法,2013(2).

[2]潘敬贞.高中数学多媒体课件设计策略[J].中国教育信息化,2012(6).

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【关键词】高中数学；函数教学；数学思维；渗透

数学思维是基于学生对知识进行系统的掌握，进而发现数学的本质，然后才能对繁多的数学知识进行融汇贯通，从而才能创造性的运用数学知识来解决问题。在进行高中数学函数知识的授课中，数学教师要积极的将数学思维渗透在教学过程中，这对于提高高中学生的分析能力和思维能力都具有十分重要的作用。所以，高中数学教师在讲授函数的知识时，要在课时的安排方面分配较多的时间，将数学思维很好的渗透在函数课堂中，从而提高高中学生思维能力和感知抽象问题的能力。

一、数学思维在实际函数教学中的作用

（一）数学思维有助于学生形成知识的融入

对于高中学生而言，他们已经储备一定的数学知识和技能，所以，在学习新的数学知识时，数学教师可以先通过回忆旧知识，提出旧知识的局限性，然后再导入新知识的教学，这样可以帮助学生优化数学的各种知识之间的联系，积极探索高中数学知识中所包含的数学解题思维，从而使高中学生可以较好的掌握知识。

（二）促进高中学生主动探索数学问题

在高中阶段的函数授课中，函数知识可以分为宏观与微观两个方面，所以教师在设计函数课堂时，要将二者结合起来，只用这样才能将高中学生带来课堂活动中，使高中学生通过参与课堂而体验数学思维的魅力，从而促进他们积极的探索更多更丰富的数学能力。

（三）通过函数让学生体验抽象的思维活动

数学思维的实质就是将数学知识进行合理、科学的融合，提升知识之间的关联性，这需要学生在实际的问题中运用抽象思维能力去感知和理性的思考，如果高中数学教师能够在课堂中通过函数知识的讲授，形象生动的将数学思维展示给学生，这对学生来说是一种直观的体验，激发他们不断的开动大脑探索数学的奥秘。

二、高中函数教学中使用数学思维的策略

（一）将函数知识与方程运算相结合

在高中数学的综合性题目中，需要运用到函数知识与方程运算相结合的能力非常多，这是培养高中学生将函数知识与方程知识进行转化运算的能力。第一种是将方程转化为函数，根据题目要求建立或者构建出函数，进一步利用函数图像的直观性进行分析，从而得到方程的答案。第二种是将函数问题转化为方程来进行解答，这主要是观察函数中的各个变量之间是否可以进行等量的转化为方程思想，然后通过组建方程式，再通过函数解析式画出对应的图像，促进问题的解决。在这个过程中，方程与函数的转化需要高中学生具有加强的逻辑思维能力，丰富知识储备量，通过这种方法可很好的将复杂的问题进行简单处理，从而简化解题的步骤而获得正确的答案，在考试中还可以达到节约时间的目的。

（二）在函数中灵活运用化归思维解决问题

数学的化归思维是要求高中学生要灵活的处理未知问题，通过各种方法建立未知与已知之间的关系，从而达到解决问题的目的，这种化归的数学思维给启示学生是：面对复杂、陌生和及其抽象的问题时，要保持冷静，然后积极的调动自己的知识储备，及时将它们转化为简单明了、自己熟悉和具体的问题之后，再进行解决。例如题目：已知x、y∈R

（三）贯彻函数的分类讨论思维

分类讨论法是函数所常用和常见解决问题的重要数学思维，它是将各种问题进行全面的分析，然后找到解决问题的唯一方式。例如题目：若函数f（x）=ax2-x-1仅有一个零点，求实数a的取值范围。

首先分析本题，由于题目中已知的函数f（x）的零点特点，所以要讨论函数中a的两种情况进行求解。

解：当a=0时，那么f（x）=-x-1，此时函数为以此函数，所以函数仅有一个零点；

当a≠0时，那么函数f（x）为二次函数，如果要使它只有一个零点，所以方程ax2-x-1=0，根据判别式=1+4a=0，a=-1/4。

根据上述分类得知，当a=0时或者当a≠0时，函数仅有一个零点。

由此可见，通过这种分析方法，有利于培养学生严谨的思维能力和逻辑能力。

结束语：

在高中数学中，函数既是一个教学重难点，又是一种非常重要的体现学生逻辑能力、抽象思维能力以及综合分析问题的能力。在数学教学中，教师要重视将数学思维渗透在实际的教学中，帮助学生高效的学习函数知识，同时也可以提高学生解决数学问题的能力。

【参考文献】

[1]喻天琦，杜大权.Matlab在高中数学函数辅助教学中的应用研究[J].软件导刊，2015，06：219-221

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关键词：高中数学示错情境教学设计

一、数学教学中的“示错情境”概述

数学“示错情境”指的是以授课教师或以学生作为主体，有意识的选择恰当时间，将容易出错的做法进行展示，通过对错误解题思路的讲述吸引学生注意力，由授课教师引导学生对错误思路进行探讨，找出纠正方法，从而防止学生出现同样类型的错误。在这个过程中，授课教师的主要作用是引导，引导学生学会分析与归纳，找出错误原因，在纠正错误的过程中，获得知识，并提高学习能力。数学“示错情境”能够让学生在解决错误的基础上进行思考，在思考中获得提升。

在高中数学教学中设计“示错情境”，是一种新型的教育方式，合理应用“示错情境”能够让学生更加深刻的认识到自己的知识错误，并引起学生注意力，从而激发学生学习的积极性与主动性，通过对知识错误的理解与纠正，提高学生学习兴趣与创新能力。在高中数学教学中设计“示错情境”，能够满足新时代背景下的教学需要，同时也是提高高中数学教学质量与效率的重要手段。

二、高中数学教学中设计“示错情境”的原则

“示错情境”从本质上来讲就是通过对知识的错误展示，让学生对错误进行主动积极的分析与纠正，避免犯同样错误，从而提高教学效率与质量。对于高中生来说，学习中出现错误的原因是较多的，针对不同知识错误，应采取不同的教育方式，只有这样，才可以实现预期教学效果。在设计“示错情境”时，需要遵循一定的原则，包括主体性原则、针对性原则、及时性原则与巩固性原则。主体性，指的是以学生为学习主体，授课教师主要发挥引导作用；针对性，指的是设计“示错情境”需要有明确的目标，针对这类错误，解决这类问题，应具备鲜明的针对性；及时性指的是“示错情境”需要及时展示，而不是事后补充；巩固性，指的是通过“示错情境”设计，让学生纠正错误，并发挥巩固知识的作用。

三、高中数学教学中“示错情境”的设计与思考

1.在新课教学中“示错情境”的设计与思考

在开展新课教学时，数学授课教师应在学生学习新的教学内容之前，在学生将要学习的课堂内容的基础上，精心设计“示错情境”，将学生的注意力吸引过来，引起学生重视，采取引导方式，启发学生思维，让学生在课堂内容的学习过程中，对数学知识的产生与发展有所了解与体会，不断加深学生对数学知识的理解水平。例如，在进行高中数学“正切函数的图像与性质”教学时，上课后，授课教师可以让学生在不阅读授课内容的前提下，每人独立画出正切函数y=tanx的图像，在学生完后后，由老师进行审查，并对其中具备较为典型错误的图像进行展示，如有学生将正切函数图像画成如正弦函数等有界函数图像的，也有将正切函数图像画成如y=x3的实数集R上的连续函数图像等；教师引导学生对这些存在错误的函数图像进行交流与谈论，找出图像中存在哪些错误，并找出正切函数图像的正确画法。

在一上课，教师就让学生独立画出子函数y=tanx的图像，在一些学生中，会出现一些画图的错误，通过设计“示错情境”，让学生对错误进行认知，启发思维，并在纠错过程中，把握函数图像的知识思路与学习方法，从而提高了学生学习效率与质量。

2.在巩固阶段“示错情境”的设计与思考

在高中数学教学中，在教新的定义、公式以及方程解法时，要力求学生学习透彻，把握知识的本质。为此，就需要教师通过设计“示错情境”，通过质疑讨论，加深学生对知识的理解程度，减少认识障碍，最终全面的掌握新的知识与方法。如在高中数学教学中教师在讲述“直线的方程”内容时，可以从进行如下“示错情境”设计。在直线方程教学中，得出直线点斜式方程y-y1=k（x-x1）之后，可以让学生进行判断。直线点斜式方程y-1=k（x-1），则表示经过点（1，1）的任意一条直线。针对学生在巩固阶段容易出现的错误设计“示错情境”，引导学生培养质疑精神，通过对质疑讨论，对各种直线方程进行深刻理解与把握，从而减少常见错误，提高教学质量。

3.在应用阶段“示错情境”的设计与思考

在高中数学教学课堂上，教师需要针对高中学生之间的实际情况出发，以学生实际的知识水平为基准，充分认识学生当前阶段所具备的认知能力与知识框架，在知识应用阶段，确保设计的“示错情境”是在教学内容的基础上适度延伸，引导学生积极探索导致存在问题的原因，并让学生探索出正确解决的方法，在应用探索过程中，数量掌握并应用数学知识，进一步提高学生数学思维能力，切实提高学生分析问题与解决问题的能力，实现预期教学目标。如在高中数学课堂中在讲述“函数的简单性质”时，教师设计出以下的“示错情境”，引导学生找出错误原因，并提出正确解决方法。将定义在R上的奇函数设为f（x），当x>0时，则有f（x）=-2x2+3x+1。求解x>0时，f（x）解析式。通过学生解答，发现有同学解法为：因f（x）为奇函数，则有f（-x）=-f（x），又因当x>0，f（x）=-2x2+3x+1。则x0，f（x）=-2x2+3x+1，则-x

四、结语

随着教育方式与新课标的不断发展，在高中数学教学中设计“示错情境”已经成为了教学中不可或缺的部分。“示错情境”的设计需要遵循主体性原则、针对性原则、及时性原则与巩固性原则，通过“示错情境”，能够让学生及时了解学学习过程中常见的错误，并在探索过程中进行纠正，不断深化学生对数学知识的理解与把握程度，从而提高学生学习水平，提高教学质量与效率，实现预期教学效果。

参考文献：

[1]朱建明.高中数学教学中“示错情境”的设计与思考[J].教学与管理，2011，（10）：51-52.

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【关键词】向量；高中；数学问题；运用解析

向量是高中数学的教学重点，教师通过对向量的讲解，帮助学生有效的解决高中数学遇到的问题，为学生提供多角度的解题思路。解决实际数学问题的过程中，向量的应用十分常见，教师加强对向量知识点的讲解，能够提高学生解题的效率。因此，向量知识在数学问题中的应用成为了教师研究的重点内容。

一、向量知识在平面几何中的运用解析

向量能够表示大小和方向，通常用线段来表示向量的长度，用点来表示向量的位置。根据向量的类别将向量分为单位向量、负向量、零向量、平行向量、向量绝对值、位置向量、方向向量等。通过向量知识解决平面几何问题会比运用几何知识更加方便。例如，已知三角形MOA，三个顶点的坐标为M（-3，1），O（2，0），A（0，-2），其中点B、C、D分别是线段AO、AM、OM的中点，求解相关直线BC、CD、BD的方程？运用向量解决这道平面几何问题时，首先建立坐标分别标出M、O、A三点的位置，连接成为三角形，根据已知条件标出点B、C、D的位置，根据坐标进行计算得出三个中点的坐标分别为：B（1，-1）、C（-1.5，-0.5）、D（-0.5，0.5）。设点E坐标为（x，y）是线段BC上的点，假设直线BC与平行，列出直线BC的方程式，同理得出直线CD、BD的方程式。运用向量知识解决平面几何问题时，应该标清点的位置，明确点与线之间的关系，利用关系列出相应的方程式，如果点不标清楚就会导致错误。

二、向量知识在不等式证明中的运用解析

三、向量知识在解方程中的运用解析

四、向量知识在三角函数中的运用解析

五、向量知识在条件最值中的运用

结束语

综上所述，向量在高中数学问题用的运用十分广泛，并且非常实用，通过向量的模、向量的数量积轻松的将平面几何、不等式、方程、三角函数等问题简化和变形，最终得出结论。高中实践教学的过程中，教师应该针对向量知识在各方面数学问题中的运用展开专项的训练，提高学生运用向量的意识，提高学生解题的效率。

【参考文献】

[1]朱庆华.向量在解决高中数学问题中的应用研究[J].中学生数理化（尝试创新版），2014.05：26

[2]赵淑娟.向量在解决高中数学问题中的应用研究[J].课程教育研究，2015.09：227

[3]王亚芳.高中数学新课标教材平面向量部分的比较研究[D].中央民族大学，2010

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【关键词】向量；高中数学；问题；应用

随着素质教育改革日渐深入，对高中数学教学提出了较高的要求，为了提高学生数学思维能力，教学实践中应合理运用各类计算方法。高中数学具有一定的复杂性，其理解、运用难度均相对较高，并且涉及诸多的问题，如：平面几何、不等式证明与解方程等，上述问题解决中均可使用向量，其不仅可简化运算流程，还可保证处理效果。

1向量的概况

向量是由古希腊学者提出来的，其源于力学、解析几何，为了表示向量，牛顿采用了有向线段。20世纪末，空间性质和向量运算研究吸引了广大学者，经不断探索与实践，使向量成为了良好的数学体系，其最为显著的特点便是具备运算通性，它有机结合了抽象及形象思维，降低了抽象问题理解难度，此外，它还拥有较强的可行性[1]。向量类型丰富，常见的有单位向量、相等向量、自由向量等，实践中可结合具体的使用情况，选取适合的向量，以此保证应用效果[2]。

2向量在解决高中数学问题中的应用

2.1在平面几何方面

在平面几何领域中，利用向量的方向、大小等，能够对点、线端之间的位置、长度等关系进行体现。基于不同的性质，可将向量分为零向量、共线向量、平行响亮。在平面几何当中，对于一些相关的问题，可以通过向量的知识进行解决，相比于利用几何知识解题更加便利。

例：某三角形MOA，三个顶点M、O、A的坐标分别为（-3，1）、（2，0）、（0，-2）。点B、C、D分别为线端AO、AM、OM的中点。求解线端BC、CD、BD的方程。

在该问题的解决中，可以对向量知识加以运用。根据题目能够得出点B、C、D的坐标分别为（1，-1）、（-1.5，-0.5）、（-0.5，0.5）。假设在BC上有一点H（x，y），向量BC和BH共线且平行，因此根据平行关系，能够对BC的方程进行求解。利用同样的方法，就能够得出BD、CD的方程。

2.2 在不等式证明方面

在一些不等式问题的解决当中，也可以对向量的知识进行应用，通过变形处理使问题得到简化，从而轻易的得出结果。

例：已知x+y+z=1，证明x2+y2+z2≥1/3。

在这一问题的解决当中，可以假设存在两个向量P、Q，其中向量P=（x，y，z），向量Q等于（1，1）。可知|P×Q|≤|P|×|Q|，即（|x+y+z|）2≤（x2+y2+z2）×3，将x+y+z代入，得出结论x2+y2+z2≥1/3。

根据此题能够看出，在对不等式问题进行解决的过程中，如果利用传统方法进行解题，将会十分繁琐和复杂。因此，可以利用相应的向量来代替不等式当中的已知数和未知数，然后将抽象的不等式关系转换为具体的向量关系，就能够轻易的得出结论。需要注意，在利用向量证明不等式的过程中，应当掌握不等式的特点，找出向量切入点，才能准确的解题[3]。

2.3在解方程方面

在高中数学中，很多方程如果使用技巧变形将很难进行求解。而使用向量法，则能够使方程的求解得到简化。例如，已知x，y，z三个实数，能够使在方程4x2+3y+z=13和4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82同时成立，求x，y，z的值。在求解该问题时，使用向量法可以先将两个方程相加，然后对方程两端进行配方，从而得到（2x）2+（3y+3）2+（z+2）2=108。通过观察可以发现，得到的式子与向量模一致，所以可以设向量P=（2x，3y+3，z+2），Q=（1，1，1），从而得到P的摸值为6，Q模值为，向量PQ=18≤|P||Q|。所以，只有在2x=3y+3=z+2>0时，不等式才能够成立。由此，则能够完成方程的求解。

2.4在三角函数方面

在三角函数解题上，同样可以使用向量法为相关问题的求解提供便利。例如，已知cosa+cosb-cos（a+b）=3/2，求a，b值。对原式变形可得，（1-cosb）cosa+sinasinb=3/2-cosb。而该式与向量数量积保持一致，所以可以设向量P=（1-cosb，sinb），Q=（cosa，sina），PQ=3/2-cosb，|P||Q|=。经过计算可得，cosb=1/2，所以b=60°。将b的值带入原式，则能够完成a的求解。从整个解题步骤来看，使用向量法进行三角函数的求解，能够使其变形步骤得到简化，所以能够使三角函数问题的解决效率得到提高。

3总结

总之，向量作为数学学习工具，具有一定的有效性与可操作性，将其应用于高中数学问题，保证了处理质量。本文仅阐述了其在平面几何、不等式证明及三角函数等方面的运用，日后，通过向量的运用，高中生的数学思维及能力将大幅度提高。

参考文献：

[1]卢向敏.数形结合方法在高中数学教学中的应用[D].内蒙古师范大学，2013.

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【摘 要】在高中新课标改革的背景下，通过利用高中数学导数的公式对问题的分析和解决是非常重要的，对数学导数应用的价值是显而易见的，在高中数学导数的公式应用中必须要贯穿着函数的思想，能够应用高中数学导数公式对函数的切线进行解决，对函数极值的求解，判断函数的单调性，对高中数学导数公式的应用有着扩大领域的趋势，对新课改数学题目研究中，有逐步加强的趋势。

关键词 高中数学；导数公式；应用研究；函数的思想

在高中对数学导数公式的应用非常广泛，由于在高中理科中，数理化有着相互融合相互渗透的效果，所以在对高中数学导数公式中也可以对物理、化学进行一定的应用，在对高中数学导数公式进行应用中，要求学生们能够有着充分的解题思路，对高中数学导数公式进行一定的推导，能够使得在对问题的解答中将复杂的问题进行一步步的简单化，不仅能够增加学生们在解题中形成的信心，而且还能够促进学生们对高中数学的学习。

一高中数学导数公式在解题中的应用

（一）利用高中数学导数公式对函数切线的求解

1.在导数的几何意义中，曲线在某点的导数值就是曲线在该点的切线斜率，在对函数的应用中，要特别注意函数在某点处可导，曲线就在该点存在切线，但是曲线在该点有曲线，未必就有可导性。

2.例子：函数f（x）在点a处导数的意义，它就是曲线y=f（x）在点坐标P（a，b）处的切线的斜率，在对函数切线进行求解时，假设曲线y=f（x）在点P（a，b）处切线的斜率就是f＇（a），则相应的切线方程就是y-b=f＇（a）（x-a）。

（二）利用高中数学导数公式对函数的极值的求解

1.在高中数学利用导数对函数值的求解中，能够显现出导数对函数极值求解的应用。

2.例子：求f（x）=x3-12x的极值

解：把函数的定义域为R,f＇(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),设f＇（x）=0，得到x=±2，当,x>2或x<-2时，,f＇(x)>0，所以函数在（负无穷，-2）和（2，正无穷）上是增函数；当-2<x<2时，f＇(x)<0，所以函数在（-2，2）上是减函数，所以当x=-2时，函数有极大值为f（-2）=16，当x=2时，函数有极小值为f（2）=-16能够利用导数公式对函数极值进行求解中，应该从方程f（x）=0出发，可以更加准备的得到函数的大小极值。

（三）利用高中数学导数公式对函数的单调性进行判断

1.在数学坐标系中，对函数的单调性进行判断，可以根据切线上的斜率来判断，当切线的斜率大于零时，就可以准确的判断出单调的递增，当斜率为正时，判断出函数的单调为递增的，当斜率为负时，判断出函数的单调为递减的。通过利用导数对函数的单调性分析中，也可以对函数单调区间问题进行解决。

2.例子：一次函数y=kx-k在R上单调递增，它的图像过第几象限？

解：从一次函数中可以简单的看出函数必过坐标（1,0），所以说函数过第一和第四象限，又因为一次函数是单调递增的，所以k>0，可以分析出函数过第三象限，所以说它的图像过第一，第三，第四象限。

例子：求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间

解：当f(x)=x3-3x+1，可以得出f＇(x)=3x2-3，当3x2-3=0，即x=±1时，f(x)有极值=3和-1，因为x=2，f（2）=3；x=1，f（1）=-1；x=0，f（0）=1；x=-1，f（-1）=3；x=-2，f（-2）=-1。所以说，函数在（负无穷，-1]单调递增，在[-1,1]单调递减，在[1，正无穷）单调递增。

二、高中数学导数应用的价值

在对高中数学导数公式的利用中，要始终坚持函数的思想，能够更方便的去解决问题，由于在高中理科的学习中，都会用到导数的应用，在一些重要的概念中都会用导数来进行表示，在物理的学习中，对远动物体的瞬时速度和加速度都可以用导数来表示。导数公式的应用，是有函数推导出来的过程，运用导数公式推导的过程，也是巩固数学的过程，在对函数进行求解时，要明确的掌握和运用导数的公式，在导数的运用中不仅是在学习中对函数的求解，而且还能在生活中运用，在实际生活中遇到求效率最高，利润最大的问题，这些问题在高中数学导数中可以看做是函数的最大值，把这些问题转换为高中数学函数的问题，进而对变为求函数的最大值的问题，在对高中数学导数公式进行应用，不仅要掌握了解公式导数的概念和方法，而且还会把数学导数与其它的知识进行结合，能够在解决问题中找到合适的办法。

三、对高中数学导数公式应用后的反思

近年来，在高考中，高中数学的导数公式的地位越来越重，它已经成为解决数学问题中必不可少的一种工具，在教学中，要让学生们充分的了解数学的导数公式，要重视课堂的教学，教师们要了解学生们在应用导数公式中出现的各种问题，老师们要针对这些问题，对学生们再一次的进行讲解，能够使得学生们在解决问题中更熟练的应用导数公式，在教学中，要从导数的定义进行讲解，能进一步的增强学生们对导数学习的兴趣，能让学生们了解到不论是在学习中还是在生活中，对导数的应用是非常重要的。

结语：

综上所述，在高中数学中对导数公式的应用是非常重要的，在利用导数进行解决函数的问题中，要始终贯穿函数的思想，可以对函数的单调性，函数的区间，函数的切线，函数的极值进行问题上的解决，在新课标改革的背景下，要培养学生们正确的掌握导数公式的应用，对于导数在解决问题中有着积极的作用，能够为以后导数公式的学习打下了坚实的基础。

参考文献

[1]王利，邓鹏.加强高中与大学导数公式知识的衔接[J].教学学习与研究，2012（17）

[2]王彩霞.浅谈三角函数的几种解法[J].中学教学（上），2012（08）

[3]程守权.高效数学课堂的设计意图展现—案例分析“应用导数研究函数的最值”[J].高中数理化，2012（02）

[4]农仕科.关于高中数学导数公式的应用研究[J].教学参谋（解法探究），2014（02）

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关键词：高中数学；计算能力；学习技巧

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）08-329-01

高中数学对学生计算能力、空间想象能力、逻辑推理能力、数形结合能力等有较高的要求，这几大能力是高考考查的重点，而计算能力作为这几大能力的基础，是数学能力的重要组成部分。目前，部分高中生计算能力很差，严重影响其高中数学学习，也引来不少老师抱怨：“学生的计算能力太差了，连简单的运算都不会，甚至数学基础好的学生也常算错。”本文就如何提高学生的计算能力，从以下几方面谈谈自己的粗浅看法。

一、首先要让学生充分认识到计算的意义和重要性

1、计算是学习数学的基石，高中生掌握了计算，就会觉得高中数学不难学。

2、高中许多内容都涉及计算，如果学生的计算差，就很难学好高中数学，严重影响高中数学学习。告诉学生计算在数学学习中的重要性，让学生明白做好计算是学好数学的基础。

二、要重视数学语言的理解和转化

深刻理解数学语言的三种形式（自然语言、符号语言、图形语言）是发展计算求解能力、实施有效解题的一个重要条件。在数学教学中，一定要加强学生对数学语言的理解和转化练习，提高他们的计算求解能力。

例如 设 分别是方程 和 的根，则 _____。

分析 方程 和 用初等方法是不可解的。但可对问题进行转化：方程的根即为相应函数的零点，即相应函数与 轴交点的横坐标。方程 的根为函数 与 交点的横坐标，方程 的根为函数 与 交点的横坐标。而 与 的图像关于直线 对称，故此有以下解法：

解 如图，设函数 与 交于A点，

函数 与 交于B点，则A、B两点的横坐标分别为方程 和 的两根，记为 。由 与 互为反函数知，A、B两点关于直线 对称。又 与 的交点坐标为 ，所以 。将抽象的符号语言转化为易于接受和理解的自然语言，并用直观的图像语言予以解释、描述，是提高运算求解能力的一条行之有效的策略.

三、要让学生熟记一些常用数据、公式和法则，并能熟练运用

1、熟记常用数据，提高计算速度。如果学生熟记一些常用的数据，有助于学生计算能力达到“正确、迅速、合理、灵活”的要求，也有助于较好地掌握计算的技能、技巧。

例如 （1） ；（2）有关“0”、“1”的计算特征（如a0=1， ， ）…熟记这些常用的数据，可以很快提高计算的速度和准确率。

2、熟记运算法则、运算公式等基础知识，并学会灵活运用这些知识。

例如，没熟记特殊角的三角函数值，常出现“tan450= ，cos300= ”的错误。在教学中，我们不能急于求成，要学生熟记运算法则、运算公式等基础知识，基础知识一旦被学生熟记并理解了，学生运用起来就得心应手，就能从根本上提高计算能力。

四、重视口算、估算能力的培养

口算是笔算的基础，口算能力强的学生，笔算能力也一定好。培养学生的口算能力，教师一般可采取如下步骤：1.让学生口算出题目的结果；2.让学生说说自己的口算方法，鼓励学生采用不同的口算方法；3.最后对口算方法给予解释和强调。其次，要重视估算意识和估算能力的培养。估算能力是计算能力中很重要的一方面，具备良好的估算能力：一能帮助我们预知计算结果；二能提高数学分析能力。

例如 设 ，则（ ）

A. B. C. D.

分析：这道题是比较a，b，c三个数的大小，不能直接算出每个数的具体值，故很多学生就觉的此题难度大。其实这道题就是考查学生的估算能力，可以估算a>1，

总之，培养学生的计算能力，应贯彻在整个高中数学教学中。只要认真钻研，工作中不断进行总结和完善，认真挖掘计算题中的能力因素，学生的计算能力就会得到提高。

参考文献：

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关键词：高中数学；数形结合；研究

高中数学作为高中学习的难点和重点，如何帮助学生学好数学，提高高中数学学习效率，成为每一个高中数学老师必须面临的问题。而数形结合的数学思想方法在数与形有效结合的基础上，化抽象的数学问题为直观的表现形式，极大地帮助学生理解题目。培养数形结合思想，对学生学习有着莫大的帮助。

一、学生高中数学学习存在的问题

1.数学思想几乎为零

因为传统教学观念影响，高中数学训练学生如何做题，学生学习数学只是不断机械地做题，却没有形成该有的数学思想，遇到难题就无从下手，对数学的学习难以为继。

2.陷入固化思维僵局

数学学习讲究题海战术，身经百战的学生在不断地解题过程中也逐渐形成了自己的解题模式，片面相信自己的解题经验，忽视了一些实用的数学思想和解题方法，陷入思维固化的僵局。

二、数形结合的应用价值

1.帮助学生有效地进行知识过渡衔接

高中数学学习相对于初中数学来说，具体数学概念更难理解，学习内容更加抽象，同时高中数学的学习目标强调的更多的是数与形的研究，学习难度加深了不止一个度。如何有效地将初中、高中数学学习内容顺利进行衔接过渡，是学生学习过程中必须解决的问题。在教学中，教师要培养学生数形结合思想，帮助学生用数形结合思想整合自己的数学知识体系，顺利完成初中到高中的衔接，为学好高中数学打好基础。

2.提高学生学习兴趣

高中数学整体表现偏向抽象，对学生来说不易理解。当难度系数太大，则会出现畏难情绪，造成学生对数学学习兴趣下降，甚至出现厌学情绪，影响高中数学的有效学习。而数形结合的灵活应用，能将抽象复杂的数学知识有效地转化为直观的图像，比如，高中解析几何，如果不采用数形结合思想，将其拆分为点、线、面的具体概念来理解，将抽象的图形转化为具体的代数，很难理清其中的内在关系和性质。

3.培养学生形象思维，塑造数学思维模式

无论是小学数学，还是初中数学、高中数学，作为数学知识系统的一个组成部分，学习的目的都是塑造学生的数学思维模式，在实际生活中解决具体问题，对学生将来的学习生活都有着重要的现实意义。培养学生数学结合的数学思想，能培养学生及时发现问题的能力，深入引导，帮助学生发现数学知识在实际生活的应用，形成自己的抽象思维和形象构建能力。

三、数形结合的具体应用

1.借“形”显“数”，化虚为实

在高中代数学习过程中，学生常常会反映这样一个问题，代数关系复杂多变，逻辑关系纷杂，很难进行理解和记忆。而运用数形结合的思想，通过画图、构建模型等方式，借“形”显“数”，在图形中找出“数”的问题，化虚为实，更容易理解，强化记忆效果。

例如，在学习数学集合问题的时候，利用画文氏图，在这条封闭的曲线间，借“形”显“数”，直观地表现各种集合关系，化虚为实，理解集合的具体概念，形象地展现元素与集合相互之间的关系。

同样在学习“函数与方程”的相关内容时，教师也可以使用数形结合的方法，帮助学生理清解题思路。

例如，在教学中遇到这样一个函数题目：已知0

通过分析题目，我们应该知道这是求函数y=ax与函数y=logax的实数根问题，而采用数形结合来解决这个问题，通过这个方程实数根个数就是判断图象y=ax与y=logax的交点的个数，简单画出两个函数的图象，很明显的就能发现图象只有两个交点，由此得出方程有两个实数根的答案。

2.“形”里求“数”，直观求解

数学中几何问题和代数问题在一定程度上都存在互通，科学合理地运用数形结合思想，将复杂的几何问题直观地转化为代数问题进行求解，在一定程度上略去了繁复的理论分析过程，简化了解题思路。只要我们善于挖掘图形背后的问题，“形”里求“数”，很多时候都能用代数表示几何意义，直观求解。

例如，在求解这道几何题：已知A、B是直线l上的两点，到平面α的距离分别为m，n，现在避开A、B两点，在l上任意取一点C，且AC∶CB=λ，试求点C到平面α的距离。

仔细分析问题的条件和求答，我们会发现这是一道求点到平面距离的几何题，准确建立空间坐标图后，我们会发现这是一道关于向量的代数求解题。

3.数形互渗，交叉运用

数即代数，主要涉及数与方程式，而形指几何，主要包含图形和图像问题，数形结合思想需要将这二者灵活结合，相互渗透，在实际问题解决过程中，赋予代数几何意义，用几何表达代数意义，交叉运用，能更有效地解决数学问题。

例如，设x和y均为正数，且x2-y2=1，求y/x-2的取值范围。

这道题有很多解法，如果直接强行求解，涉及的过程非常复杂，给学生解题带来很多麻烦，而如果采用数形结合的思想解题，则省去了代数推理过程中必须的推断和计算过程，极大地简化了求解过程，使解题变得更为直观方便。

高中数学学习和教学过程中，数形结合思想被广泛应用，它使学生深刻地认识到高中数学问题都是“数”与“形”的问题，是对数学理论认识的一种升华。培养学生数形结合的思想，在解题中灵活运用数形结合思想，做到借“形”显“数”，化虚为实、“形”里求“数”，直观求解，数形互渗，交叉运用，能有效地提高学生截图能力，锻炼学生思维能力，提高高中数学教学的实效性。

参考文献：