微分方程在化学中的应用范文

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篇1

（郑州工业应用技术学院，河南 郑州 451150）

摘 要：微分方程的研究对于数学、物理等各方面的研究都具有重要意义.微分方程的应用在我们日常生活中常常会存在，其应用范围具有相关的广泛性.通过对微分方程的研究可以使我们更好的了解生活中的动态变量问题，从而使我们能够实现动态角度的分析，将生活研究更加真实化准确化.一类微分方程是微分方程中形式较为简单的方程结构，对一类微分方程的解及解的导数进行研究，对我们学习微分方程具有重要作用.本文通过对一类微分方程的求解和一类微分方程解的导数的角度，探讨一类微分方程的解及其解的导数与不动点的关系，从而帮助我们更好地进行微分方程的学习.

关键词 ：一类微分方程；方程解；解的导数；不动点

中图分类号：O175.8 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2015）05-0001-03

微分方程作为数学学科的分支，在现实生活中的应用十分广泛.微分方程知识在物理学中的许多变量问题的求解中均有涉及，在化学中的动态变化中也有运用.此外，微分方程还广泛地应用于工程学、经济学等诸多方面.一类微分方程是形式相对简单的微分方程，通过对一类微分方程进行研究，可以更好地帮助我们进行多元微分方程的研究，强化我们的数学基础.同时也有助于相应物理学、化学、工程学等学科问题的研究和解决.因此，对一类微分方程的相关特性进行研究具有重要意义，是实现各领域研究的基础.

1 微分方程的相关基本定义

微分方程指的是由未知函数的导数与自变量之间形成的方程等式.微分方程的解是使微分方程等式两边成立的函数.微分方程具有十分广泛的应用，在物理学中许多涉及到动态的变化量的研究常用到微分方程.包括涉及到变力的动力学和运动学等，例如受到空气阻力的落体运动都可以利用微分方程进行求解.

当未知函数是一元函数时，未知函数导数与自变量之间的关系等式即为一类微分方程，也称常微分方程.当未知函数为多元函数时，未知函数导数与自变量之间的关系等式称为偏微分方程.微分方程的数学模型如图1.

2 一类微分方程的解与不动点

假设某一类微分方程形式为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，且M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左边部分即M(x,y)dx+N(x,y)dy为某个二元函数T(x,y)的全微分，则可以得到dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy.其中M(x,y)dx+N(x,y)dy=0为全微分方程，二元函数T(x,y)为该全微分方程的原函数.

如果T(x,y)是dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy的一个原函数，则对全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0进行通积分，可得到全微分的通积分T(x,y)=A，其中A为任意的常数[1].

如果F（x）≠T（x）Pk（x）＋1，其中Pk（x）是任意次数为k的多项式,则对于方程非零亚纯解f（x）的k－1阶导数f（k-1）（x）有无穷多个不动点，且τ（f（k－1））＝σ（f）＝＋∞和τ2（f（k－1））＝σ2（f）＝σ至多有一个例外解f（x）.

通过对微分方程进行方程假设和穷级转换，在非零亚纯函数的变化下，通过极点等数据方程转化，构建微分方程的等式典型乘积或通过多项式建立，对方程等式进行数学归纳.在对数测度为有限的集合条件中，通过范围假设，引理带入运算，建立相应的解集表达式.通过微分方程的解集表达式，进行方程式的解集求导，获取一类微分方程的解的一阶导数.对解集等式和解集一阶导数式进行变形，并代入上述引理等式中，通过变形转化和数据假设推断，从而得到不动点的关系等式.

5 结束语

综上所述，通过对一类微分方程进行求解和解的导数与不动点之间的关系研究，指出受微分方程的制约影响，一类微分方程的不动点密度与解和解的导数情况有着密切的关系.对一类微分方程的解进行分析以及解的导数情况进行分析，从而分析一类微分方程解与解的导数与微分方程不动点之间的关系，从而更好地帮助我们进行微分方程的学习以及高阶层微分方程的研究，从而将微分方程的数学知识应用到更多的领域，帮助各领域研究人员进行动态量的研究，从而提高各领域的应用水平的发展以及社会技术的发展和提高.目前，我们对于一类微分方程的解与解的导数和微分方程不动点之间的关系研究还不深入，因此希望后期更多研究者对微分方程进行更加深入的探讨和研究.

参考文献：

〔1〕金瑾,石宁生.一类微分方程的解及其解的导数与不动点的关系[J].数学的实践与认识,2011,41(22):185-190.

〔2〕石东洋,刘玉晓.一类微分方程的非协调元超逼近性分析[J].河南师范大学学报（自然科学版）,2010,38(3):175-178.

〔3〕梁霄,翟延慧.经济系统中一类微分方程模型的Hopf分支[J].伊犁师范学院学报（自然科学版）,2012,10(4):8-12.

〔4〕何力争.一类微分方程的特解问题[J].科学技术与工程,2010,10(6):1484-1485.

〔5〕姚慧丽,卜宪江,宋晓秋等.一类微分方程的指数增长的温和渐近概自守解[J].哈尔滨理工大学学报,2014,19(5):23-26.

〔6〕王鹏珍.一类微分方程适度解的存在性[J].科技信息,2013,11(18):503-504.

篇2

关键词：常微分方程 MATLAB 线素场 包络

中图分类号：O175.1

文献标识码：A

文章编号：1004-4914（2013）01-152-02

微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具。它在几何、力学、物理、电子技术、自动控制、航天等领域都有着广泛的应用{1}。科学技术和工程中大量的问题都表达为常微分方程的形式，特别是描述系统的动态演变时，如机械振动、数学摆、人口模型、人造卫星轨道方程、化学反应过程等都表达为以时间t为独立变量的常微分方程或方程组，所以常微分方程在科学技术领域非常重要。

传统的常微分方程的教学方式主要是“粉笔+黑板”的灌堂式教学，往往偏重于理论学习，给出各种方程（方程组）的解法，以计算为主，而对于抽象的方程的解对应的积分曲线和积分曲线族，以及一些与几何联系紧密的概念如线素场、包络等是学生不容易直观想象的，致使学生很难理解这些相关概念。

MATLAB语言起源于矩阵运算，是由美国的Cleve Moler博士于1980年提出的并已经发展成一种高度集成的计算机语言{2}。在数值计算、微分方程与模拟仿真等领域MATLAB语言具有其他软件无法替代的优势。在常微分方程教学过程中引进MATLAB软件辅助教学，以培养学生使用Matlab直观演示微分方程的相关概念，增强学生想象力、激发学习兴趣。兴趣是学习的原动力，有了兴趣，学习才有动力，教学过程才有生机，进而达到理论的升华{3}。

一、常微分方程教学改革的实施与探索

常微分方程课程理论性强，对学生的数学能力要求较高，学生学起来不容易入门。因此在教学改革探索中应该注意如何利用MATLAB使理论学习与计算机演示完整统一起来。课堂是学生学习知识的第一要素，常微分方程课堂学习主要是学习算法、求解方法，加强课堂基础教学，并以此作为实施教学方法改革的重点尤为重要。首先要让学生了解常微分方程对本专业后续课程的重要性，引起学生对该课程的重视，学生对一门课程的重视程度会直接影响其对该课程的学习精力的投入{4}。进一步通过介绍微分方程在科学技术广泛应用特别是微分方程建模的重要性使之进一步提高对课程的学习兴趣。学生在学习微分方程的过程中，可以先通过理论方法求出微分方程的解析解，然后利用MATLAB语言的计算速度快、准确性高等特点求出微分方程的数值解并进行比较，通过发现解析解和数值解吻合得很好，从而提高了学生自己动手分析、设计算法的能力。所以，在授课过程中，将基本概念和原理给学生讲解透彻的同时又可以充分利用MATLAB将抽象问题具体化，在相关章节的理论课上完就安排对应的上机实验。MATLAB教学平台的引入，首先将计算机辅助分析与设计得到简化，例如为了分析微分方程解曲线，而在黑板上画出该曲线又很困难，采用MATLAB语言只需简单指令立即就可以得到微分方程的解曲线，学生就可以直观分析该解曲线，达到事半功倍的作用。以往的教学，由于受条件所限，一般只能分析简单的二阶系统，而利用MATLAB，就可以对高阶系统进行分析研究。因而MATLAB的引入不但使学生有了应用计算机的条件和兴趣，帮助学生建立正确的专业思想，而且使学生对常微分方程的解有了较为感性的认识，更促进了学生学习与独立思考的积极性，同时也激发了学习本门课程的热情。由于MATLAB语言的先进性，颇受学生的喜爱，更增强了教师在实验设计上的灵活性与实验指导工作中的多样性。

二、利用MATLAB和几何法理解微分方程的线素场

微分方程最初是从物理和几何中的问题引出的，从物理和几何直观的角度来理解微分方程的解可以使我们对所讨论的问题有一个简单而鲜明的形象。很多微分方程的解析解并不能直接表达出来，数值解只能得到一些离散点处的近似值。如果我们想知道积分曲线的走向，大致形状等，光凭学生的想象力是很难的，而通过MATLAB将方程的线素场描述出来，积分曲线就很容易看出来了，直观、易懂。

四、结论

传统教学模式的弊端，往往使学生感到学习困难，教学效果不理想，MATLAB教学的引入，能够化繁为简，化抽象为具体，加深学生对本课程的掌握程度。利用MATLAB能将常微分方程用多方式、多途径来求解，从而拓宽学生的解题思路，并为后继课程打下基础，在此基础上进行的教学改革可以提高整体教学质量。身为教师需要树立终身学习的理念，在知识的创新实践中改革教学方法、教学手段，提升自己的教学魅力，才能适应时代要求，培养学生的创新精神和解决问题的综合能力。

[本文为黑龙江科技学院教学研究项目（98）-基于MATLAB的信计专业数学类课程群教学改革的研究与探索]

注释：

{1}朱春蓉，郑群珍.Maple在常微分方程教学中的应用[J].河南教育学院学报（自然科学版），2009（3）

{2}何双.MATLAB在常微分方程初值问题的应用[J].长春师范学院学报（自然科学版），2005（3）

{3}刘卫国.MATLAB程序设计教程（第二版）[M].中国水利水电出版社，2010

{4}V. I. Arnold， Ordinary Differential Equations[M]， MITPress， Princeton， 1973.

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关键词 常微分方程；分阶段教学；数学建模

中图分类号：G642.0 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2016）22-0080-03

Research on Staged Teaching of Course Ordinary Differential Equations//LI Xinfu， ZHANG Guang

Abstract In this paper， according to the features of the course Ordi-nary Differential Equations and the problems in the procedure of tea-

ching， we divide the teaching process for this course into four stages：

basic knowledge explanation， comprehensive title explanation， ac-

tual case explanation and students explain. In each stage the scientific

thinking methods are emphasized in order to improve the students’ ability to analyze and solve problems， and the ability of independent

research and innovation.

Key words ordinary differential equations； staged teaching； mathe-matical modeling

1 前言

常微分方程课程是数学及相关专业的一门核心课程，其先修课程为数学分析与高等代数。这门课程的特点是知识点较整、应用广泛，学完这门课，学生应该可以试着写科研论文，是本科毕业论文的一个非常好的选题素材。因此，通过常微分方程课程的学习，学生应具备解决问题、自主学习与研究、创新的能力。

但是就笔者讲授这门课程所观察，学生对基础知识运用得不好，自主学习研究能力更不乐观。因此，关于这门课程的教学改革非常重要。在这方面，国内专家已有很多实践经验和理论研究结果[1-4]。在借鉴上述教学方法的基础上，结合常微分方程课程的特点及授课中存在的问题，在教学过程中进行分阶段教学的尝试，并在各个阶段授课中重点培养学生的科学思考能力。

2 常微分方程课程介绍

课程定位与目标 常微分方程属于数学分析的一支，在整个数学大厦中占据重要位置，是定性理论、稳定性理论、动力系统等后续数学研究的基础。常微分方程的研究与其他学科或领域结合出现各种新的分支，如控制论，种群生态学、分支理论、脉冲微分方程等。常微分方程所研究的模型来自于物理、力学、社会、生物、化学及气象等，是数学中与应用密切相关的学科，其自身也在不断发展中，学好常微分方程基本理论与方法，对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要。因此，通过常微分方程这门课的学习，学生应具备解决问题、自主学习与研究、创新的能力。

课程教学内容 常微分方程包含的内容很多，不同教材的侧重点有所不同。天津商业大学使用王高雄等编写的教材[5]，主要包括以下内容。

1）一阶微分方程的初等解法：变量分离方程与变量变换、线性微分方程与常数变易法、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程与参数表示。

2）一阶微分方程的解的存在定理：解的存在唯一性定理与逐步逼近法、解的延拓、解对初值的连续性和可微性定理、数值解。

3）高阶微分方程：线性微分方程的一般理论、常系数线性微分方程的解法、高阶微分方程的讲解和幂级数解法。

4）线性微分方程组：存在唯一性定理、线性微分方程组的一般理论、常系数线性微分方程组。

5）非线性微分方程：稳定性、V函数方法、奇点、极限环和平面图貌、分支与混沌、哈密顿方程。

课程教学存在的问题 通过批改作业、答疑、期末考试及学生毕业论文等途径，发现通过常微分方程课程的学习，学生对最基础部分――方程的初等解法掌握还可以，但是对稍有难度、综合性稍强的题目解决得并不好，自主学习研究能力更不乐观。经分析，主要原因有：对方程的初等解法讲解太多，占用太多时间；对理论知识讲解太细太烦琐，掩盖了重点；针对培养学生解决问题与自主学习能力的教学内容设置太少；对日后学习研究较重要的数值解与非线性微分方程部分讲解太少；综合性题目布置较少，没能督促学生及时复结，知识形不成系统；布置的习题难度不在学生的学习区，太简单或太难，学生没有成就感。因此，如何在有限的课时内将常微分方程的方法原理、思考方式以学生容易接受的方式讲透彻，让学生会利用所学知识科学地思考问题、解决问题、自主研究，是值得思考的问题。

3 分阶段教学法实施过程

分阶段教学法简介 认知心理学理论认为完整的认知过程是一个“定向―抽取特征―与记忆中的知识相比较”的一系列循环过程，它依赖于来自环境和知觉者自身的知识，而且在人的认知过程中，前后关系很重要，特别是原有知识之间、原有知识和当前认知对象之间的关系[6]。基于这一理论、常微分方程课程的特点及授课存在的问题，将该课程的教学过程划分为4个阶段：

基础知识讲解阶段综合题讲解阶段实际案例讲解阶段学生讲解阶段

分阶段教学法具体实施过程

第一阶段：基础知识讲解。该阶段旨在使学生掌握基本理论与方法，会做简单习题。由教师系统讲授知识点，并针对所讲知识点布置相应习题。

1）对一阶微分方程、高阶微分方程、线性微分方程组的精确解求解部分，针对每种类型讲解方法原理，讲解一个例题，布置一个习题。该部分重点是方法原理。

2）对数值解部分，讲解原理及数学软件求解命令，演示求解操作过程，布置两个习题。同时给学生预留拓展资源供学生自学。该部分重点是会用软件求解。

3）对一阶微分方程解的存在唯一性定理及逐步逼近法一节，重点提炼出证明存在性的逐步逼近法与证明唯一性的方法，避免过多证明细节把学生弄糊涂。同时布置自学任务，如查找其他的存在性定理、唯一性定理并比较，锻炼学生查阅文献的能力。

4）对非线性微分方程一章，重点讲授理论方法，布置相应习题。该部分重点是理解基本理论。

在此阶段，每讲完一章，布置1～2个综合性、一题多种解法或稍有难度的题目，以此来促使学生查阅并总结所学内容，把知识点联系起来。如可布置习题：

②求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）

第一阶段科学思考方法渗透举例如下。

1）把问题特殊化的思考方法。举例告诉学生在解决问题时，首先考虑是否能从特殊情况中得到启示。

【例1】求解高阶常系数齐次线性微分方程：

对一阶常系数方程有解x=eat，故猜测高阶微分方程有eλt（λ待定）形式的解。

【例2】求一阶常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵。

其中，A=（aij）n×n为n阶常数矩阵，x=（x1，x2，...，xn）仅含一个方程（n=1）时，基解矩阵为eat，故猜测方程组的基解矩阵为eAt。

2）利用联系，改造区别的思考方法。举例告诉学生想问题时既要利用事物的联系，遇到区别时又不要放弃，适当修正可能会有意外发现。

【例】已经学过n阶常系数齐次线性微分方程的解法，知道若α为特征方程λn+an-1λn-1+...a1λ+a0=0的单特征根，eαt是微分方程的解；若β为特征方程的k重特征根，eβt，teβt，t2eβt，...，

tk-1eβt是微分方程的k个线性无关解。在求解一阶常系数齐次线性微分方程组的线性无关解时，利用两个方程的联系，是否有类似结论呢？

经验证，若α为系数矩阵A的单特征根，微分方程组有eαtη形式的解，其中η为对应α的特征向量；若β为系数矩阵A的k重特征根，eβtη0，teβtη1，t2eβtη2，...，tk-1eβtηk-1并不是微分方程组的k个线性无关解。

那么能否改造一下呢？可以验证其组合eβtη0+teβtη1+

t2eβtη2+...+tk-1eβtηk-1（ηi满足一定条件）为微分方程组的解[7]。

第二阶段：综合题讲解。该阶段讲解第一阶段布置的题目，旨在帮助学生梳理所学知识，教会学生如何思考问题。并布置几个题目作为练习。

该阶段科学思考方法渗透举例如下。

1）复杂简单化的思考方法。通过举例告诉学生，遇到解法比较复杂的时候，要试着想想是否有简单或是简洁的解法。

【例】求解方程

这是可转化为分离变量方程的典型类型，大多数学生（几乎全部）利用标准做法。

首先求交点 ，解得：

作变换，原方程转化为齐次方程

。作变换Z=Y/X，则齐次方程转化为分离变量方程。

解分离变量方程得：Z2-Z+1=cX-2。代回原来变量，得原方程通解：y2+x2-xy-y+x=c。

可上述解法较麻烦，要适时引导学生找简单的解法。下面利用恰当微分方程解法：原方程变形为（x-2y+1）dy-（2x-y+1）dx=0，整理得xdy+ydx-2ydy+dy-2xdx-dx=0，分组凑微分得通解xy-y2+y-x2-x=c。可见关于此题，第二种解法非常简单。

2）问题层层剪剥、各个击破的思考方法。通过举例，告诉学生遇到问题不知如何下手时，不要慌张，静下心来查找资料，把问题分解，分别解决每个小问题。

【例】求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）

这是一个二阶变系数齐次线性微分方程，学生一般会想到广义幂级数解法，经求解发现很麻烦。引导学生换种解法，查阅课本发现关于这类方程的降阶法，但是需要事先找到方程的一个非零解，如何求？引导学生通过查阅文献、网上搜索等途径查找答案，发现课本课后题有要找的答案，从而问题得到解决。

第三阶段：实际案例讲解。该阶段详细讲解两个案例，一个是常微分方程数学建模案例，一个是常微分方程科研论文案例，旨在让学生观摩科学分析与自主研究的过程。选取一个建模案例，详细讲解分析问题、建立模型、利用理论知识分析并用数学软件求解、对所得结果进行分析、对模型进行合理评价及进一步优化的一系列过程。根据自己写科研论文的过程，讲解发现问题、查文献、解决问题、撰写科研论文的整个过程。

第四阶段：学生讲解。该阶段旨在提高学生分析问题解决问题、自主研究的能力。该阶段是第三阶段的一个实训，主要由学生自己来完成。学生根据兴趣自由分组，从题库中选题或自由选题，利用几周的时间完成题目。学生讲解，教师点评。题库由教师查阅资料分类整理完成。

4 结语

以上是针对常微分方程这门课程的特点及授课中存在的问题而采取的以培养学生能力为目的的分阶段教学的授课方式。在讲完常微分方程这门课后，把上述想法与班级里几个学习中上等的学生进行探讨，学生一致认为很好，因此下学期准备尝试此授课方式，以期达到良好的教学效果。参考文献

[1]韩祥临，欧阳成.《常微分方程》精品课程的教学改革与教学实践[J].湖州职业技术学院学报，2012（1）：8-11.

[2]刘会民，那文忠，陶凤梅.“常微分方程”课程教学模式的改革与探索[J].数学教育学报，2006（1）：72-74.

[3]何春花，郑群珍，姬利娜.常微分方程课程教学改革的探索与实践[J].河南教育学院学报：自然科学版，2014（2）：

68-69.

[4]万亮.常微分方程的解法与教学改革[J].科技创新与应用，2013（4）：277.

[5]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

篇4

一类高阶中立型时滞微分方程的振动性

具无限时滞的分数阶微分方程解的存在理论

MTL代数中素滤子集上的拓扑

由Calderón-Zyamund变核构成的多线性奇异积分算子的有界性

关于正规子群的可解性

重复观测时线性结构关系EV模型的参数估计

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大学物理实验的教学改革探索与实践

电工电子实践教学中心建设的对策

湘粤赣省际边界禁止开发区域生态环境质量综合评价——以国家级风景名胜区苏仙岭为例

国际工程承包的风险管理

经济欠发达地区深化农村金融体系改革探析——以江苏徐州为例

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钢铁企业绿色竞争力影响因素分析

社会分层视角下居民体育消费特征及影响因素研究

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a-块对角占优与广义严格对角占优矩阵的判定

具分布时滞SICNNs周期解的存在性

分数微分方程反周期边值问题解的存在性

Matlab求解整数规划问题

一种基于Max-Min方法的带模糊约束线性规划的解法

一元线性结构关系EV模型的假设检验

正态分布环境下的医药博弈算法

一类Franklin幻方的泛对角线性

复积分的对比教学初探

基于IGBT逆变器的大功率直流稳压电源

无线电力传输的历史发展及应用

PCI总线视频图像采集卡驱动程序的设计

高速PCB串扰的分析与仿真

基于最小二乘法的灰色模型参数估计

间硝基苯甲酸稀土配合物与大肠杆菌作用的热动力学研究

乙醇和微波提取苦瓜叶中黄酮类物质的工艺研究

古诗词中的化学

基于CMM的软件建模模型研究

一种Javacard虚拟机IP软核设计

Bp神经网络的Matlab实现

基于C语言的手机通讯录管理程序设计

湖南省高校体育教师专业发展的现状分析

南非世界杯赛回顾——谈足球规则的几点修改意见

初级长拳健心运动处方探究

武术教学中的口令运用研究

体育舞蹈拉丁舞专业选手艺术素质的研究

低氧运动对骨骼肌自由基代谢的影响

大学生不同性格类型对闲暇体育方式取向的研究

篇5

提高学生整体素质,培养跨世纪合格人才——IAG项目:“师范性基本技能微格训练科学实验”课题目标设计

论市场经济条件下法制建设中的道德功能

试论加强思想政治教育与发展市场经济的关系

市场经济条件下的心理学问题

努力优化青年教师成才的外部环境

施教于美——教学艺术谈片(上)

阅读教学与审美教育

语文教学可以“系列化”吗?

欧·亨利《四百万》中译本中值得商榷的几个问题

政治课教学要做到“准联活新”

词的对仗形式浅探

茅盾短篇小说女性形象浅论

行楷比较谈

中学生语文学习兴趣的心理基础谈片

文言文教学浅析

关于RLC串联谐振曲线特性的再讨论

从经典时空观到相对论时空观

多媒体技术在物理实验中的应用探索

关于“半群的模糊拟对称理想和它的根”的一点注记

等势凝聚集

关于“不妨设”的若干思考

关于《补充一类可积函数》一文的注记

对数学教学的一点探讨

师专类数学专业的课程设置与教学计划安排的探讨

STOLZ定理的一个推广

控制论中动态系统的数学模型及分析

介值定理的推广

WPS带来的启示

在WindowsNT网络中Lmhosts文件的应用

无穷级数sumfromn=1to∞(1/n2)收敛性的一个求法

“L′Hspital”法则的不同类型及应用拓广

用二溴邻羧基偶氮氯膦光度法测定陶瓷中的稀土

水体富营养化及其防治

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邹天成国画作品选

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似乎不相关线性模型线性约束下参数估计的一个最优性

导数问题错例剖析

一阶常系数线性微分方程的某些求法的比较

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高等数学教学中例题的作用

探求高等数学中的对称美

环同态象的结构

微分方程与自然数方幂和

基于WEB服务的工作流事务管理器的实现

VFP动态窗体实现的新思路

一种安全的IP网络模型的构建

同步时序逻辑电路设计方法改进

硬盘的几种常见故障及解决方法

局域网中网卡与集线器类故障的分析及应对措施

对如何界定病理性互联网使用的研究概述

篇6

关键词:高等数学;机械设计;教学研究

1高等数学在机械设计专业中的应用

通过翻阅专业课书籍、与专业课老师座谈、网上查阅文献等多种渠道，笔者对机械设计专业(本科)所开设的大部分课程进行了调查，共调查公共基础课、专业基础课与专业课近20门．其中，与高等数学有密切关系的有10余门，分别为《大学物理》、《理论力学》、《材料力学》、《机械原理》、《机械制造技术基础》、《数控技术》、《液压与气压传动》、《电工电子技术》、《公差与测量技术》、《机械设计》、《机械工程测量技术基础》等．下面以“导数的概念”与“微分方程”为例，说明了高等数学在部分专业课中的应用，调查发现，机械设计专业对高等数学的应用，主要集中在“导数”的概念、“微分”的概念、“积分”的概念等几个方面，要求学生会将一些科学量表示为“导数”或“积分”，会在实际问题中建立微分方程．关于计算导数、计算积分、求解微分方程等，掌握基本方法即可，涉及复杂计算的很少．所以，对“导数”、“微分”、“积分”等概念要重点讲授，尤其是应用背景与思想方法，而对于可导性与可积性等严谨性问题不必过多展开．对计算环节，讲授基本方法即可，不必刻意深入，钻研太多高难度的复杂的计算问题．对于微分方程，不能只讲求解微分方程的方法，建立微分方程更是重中之重，要利用应用案例多加练习．等等．明确专业需求之后，高等数学老师就可以对教学侧重点有更准确的把握，知道往哪个方向用力，达到深入浅出、融会贯通的教学效果．

2将专业应用案例融入高等数学课堂

2．1引入专业应用案例的必要性

引进专业应用案例，是高等数学与专业协作最直接的途径．引入专业应用案例可以一举多得:(1)强化学习动机．按照建构主义理论，学生学习动机的强弱，会直接影响学习的主观能动性．引进专业应用案例，可以强化学生学习的主观能动性，激发学生的内有动力与潜能，有利于高等数学知识经验的建构;(2)理解数学本质．数学中的概念来源于实践，应用于实践．结合实践应用的数学知识可以“活”起来，而不是高度抽象的、枯燥无趣的纯数学理论．例如，“导数”这个概念，利用“瞬时速度”问题与“切线斜率”问题引入，归纳总结出导数概念，其内涵是瞬时变化率(平均变化率的极限)．然后利用“导数”概念，可以表示一些科学量，如电流是电量对时间的导数，角速度是转角对时间的导数等，这些案例可以帮助学生真正理解“导数”的本质;(3)培养应用能力．大学生数学应用能力，通常是指应用高等数学知识和数学思想解决现实世界中的实际问题的能力．在应用型人才的培养过程中，从高等数学这一门课程考虑，加强学生数学应用能力的培养无疑是课程改革的重中之重．培养数学应用能力需要合适的载体，数学在专业中的应用无疑是最好的载体．

2．2专业应用案例举例

以“定积分的应用”这一章为例，具体列举若干专业应用案例．“定积分的应用”是机械设计专业应用很多的一部分内容，主要集中在将科学量表示为积分，即“元素法”．例如，在《材料力学》中，“元素法”贯穿始终，在计算直杆内力、圆轴扭转时的应力、圆轴扭转时的变形等科学量时，总是先求出所求量的“元素”，然后将所求量表达成积分．在《液压与气压传动》中，在计算液体的流量时，先求出通过微小截面的流量，即流量“元素”，然后将所求流量表达成积分．所以，高等数学讲授的重点应该是“元素法”，不要将大量时间花费在积分的计算，而应该讲透“元素法”的思想，反复练习用“元素法”的三个步骤将所求量表示为定积分，进而解决实际问题．笔者收集和设计了不少的应用案例可供课堂教学．高等数学与大学物理的关系十分密切，关于定积分在物理学上的应用，一般的高等数学教材上都设置了专门的小节，这里不再赘述．下面列举了几个案例，分别来自电工电子技术、理论力学、材料力学、机械原理、液压与气压传动等课程．例1［1］(电工电子技术)已知电阻的功率p(t)=Ri2(t)，请将电阻在时间T内消耗的能量表达示为积分．解微小时间dt内，消耗的能量dw=p(t)dt=Ri2dt，则时间T内消耗的能量w=?T0Ri2dt．例2［2］(理论力学)刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量．刚体对任意轴z的转动惯量定义为．Jz=∑mir2i．r表示质点到z轴的距离．如图1所示，均质细直杆绕z轴转动，设杆长为l，单位长度的质量为ρl，求该杆对于z轴的转动惯量．解取杆上一微段dx，其质量m=ρldx，则此杆对于z轴的转动惯量为Jz=?l0x2．ρldx=ρll33．杆的质量m=ρll，于是Jz=13ml2．例3［2］(理论力学)刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量．已知均质薄圆环对于中心轴的转动惯量Jz=∑miR2=mR2．如图2所示，均质圆板，半径为R，质量为m，求圆板对中心轴的转动惯量．解将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的半径为ri，宽度为dri，则薄圆环的质量为mi=2πridriρ，其中ρ=mπR2，是单位面积的质量．因此圆板对于中心轴的转动惯量为J=?R02πrρr2dr=12mR2．例4［3］(材料力学)生产实践中经常遇到承受拉伸或压缩的杆件，如活塞的杆，需要分析直杆轴被拉伸或压缩时横截面上的内力与应力．在拉杆的横截面上，与轴力FN对应的应力是正应力σ，若以A表示横截面面积，请将FN表示为积分．解在面积元素dA上的内力元素为σdA，整个面积A上的内力FN=?AσdA．说明:若横截面上各点的正应力σ相等，即σ等于常量，则FN=σ?AdA=σA．例5［4］(液压与气压传动)液体流动时受粘性的影响，所以通流截面上各点的流速u一般不相等．计算流过整个通流截面A的流量．解在通流截面A上取一微小截面dA，由于通流面积很小，所以可以认为在微小面积dA内各点的速度u相等，则流过微小截面的流量为dq=udA．对上式积分，可得流过整个通流截面A的流量为．q=?AudA例6［5］(机械原理)在机械上，研究轴端接触面上S所受的压力F，先从接触面S上取微小的面积ds，ds上的压力dF，然后，压力F=?sdF．值得注意的是，在收集专业应用案例时，必须考虑学生的接受能力．高等数学在大学一年级开设，专业课程一般在二年级及以后开设，对于案例中涉及到的专业概念或公式，学生还没有接触到，理解和接受起来有一定难度．所以，案例要慎重选择，并且一定要适当处理，做到既体现专业应用背景，又体现数学思想，以便于在数学课堂上使用，达到良好的教学效果．上面的案例是经过慎重选择和精心处理的，充分考虑学生的知识基础，确保在学生可接受范围内．例如，在例2和例3中，涉及到《理论力学》中的“转动惯量”这一概念，所以，在例题开头部分便对“转动惯量”进行说明，使学生能够大致理解，然后在专业背景下考虑积分的应用问题．

篇7

除了物理学，其他学科也有稳定性的概念，比如化学中讲某物质的化学性质稳定。而数学中讲的稳定性，则大多是指微分方程的解的稳定性。这个稳定性指的是初始值的一点小改变，不会引起整个解的大的改变。

不论是物理学中讲的静止平衡状态的稳定性，还是数学中讲的微分方程的解的稳定性，都是指某一对象（或某一状态）在一定程度的外部影响下所表现出来的性状。

在小学数学中，我们也讨论三角形的“稳定性”。但这种“稳定性”显然不同于上述物理学中讨论静止平衡状态的稳定性，也不同于数学中讨论微分方程的解的稳定性。

以人教版的课标教材为例。四年级下册中关于三角形的稳定性是这样编排的（如下图所示）。

教学参考书对这一段的编写意图是这样描述的：稳定性是三角形的重要特性，在生活中有着广泛的应用。对它进行教学，可以让学生对三角形有更为全面和深入的认识，有利于培养学生的实践精神和实践能力。教材对这一内容的设计思路是“情境、问题—实验、解释—特性应用”。

无论是教材还是教学参考书，都没有对“稳定性”在此具体表示什么意义作明确的界定。从教学实践来看，主要存在两类认识。一类认识是认为三角形的稳定性就是如教材中所描述的：三角形的实物“拉不动”；另一类认识是认为三角形的稳定性是指当三角形的三条边的长度确定后，这个三角形就被唯一确定了。当四边形的四条边的长度确定后，这个四边形并不能唯一确定（即存在两个形状不同的四边形，它们的四条边长度对应相等，这样的两个四边形很容易构造出来），因此，我们说四边形不具备稳定性。

这两种认识各有优点。“拉不动”一说直观，学生容易感受，也不违背科学性。“唯一确定”一说精确，严谨，数学味浓。而且，可以认为这两种观点在一定程度上是一致的：“拉不动”是抽象的三角形的数学性质（三边唯一确定三角形）在现实的物理世界中的体现。

但这两种认识在教学实践中都会遇到一些问题。一方面，对于“拉不动”一说，有学生指出，用钢铁焊接成一个四边形，也拉不动（事实上，尽管四边形不具备“稳定性”，现实生活中大量需要“稳定”的东西，依然会做成四边形的，门窗之类即是如此）。这与四边形不具备“唯一确定”意义下的稳定性似乎矛盾。另一方面，按“唯一确定”一说，也有一些不太好解决的问题。比如：正方形有没有“稳定性”？正方形当然是“拉得动”的，从这个意义上讲，正方形没有“稳定性”。但确定正方形的边长后，正方形也唯一确定了。按“唯一确定”的认识，正方形又是有“稳定性”的。

笔者认为，在小学数学中，把“稳定性”处理成“拉不动”，是符合学生的认知规律的。不过，要强调的是，在教学实践中，除了“拉一拉”，还应该让学生用三根小棒摆一摆三角形——全班同学不需商量，各自独立摆，摆出来的一定是完全一样的三角形。这样可以让学生感受到三角形的这种特性。还可以通过用对应相等的四根小棒摆四边形来作对比：甲与乙的四根小棒长度是对应相等的，但两人可以摆出形状不同的四边形。

另一方面，我们也应该认识到，这里的“稳定性”，指的就是“确定性”，即在一定的条件下可以唯一确定一个图形。只是三角形的这种确定性，在物理上表现为“拉不动”，其他图形的确定性，则不一定有这种表现。比如正方形即是如此：正方形可以由四条边唯一确定，但不具备“拉不动”的表现。

（作者单位：长沙市岳麓区教研室）

现在，我们终于将一根毛线引发的事件的原因找到了：是物体的物理属性在作怪。不管是线段的位置，还是测量的误差，以及稳定性也好，都是物理属性造成的。

生活中的毛线，不可能没有宽度和厚度，也不可能完全是直的。正是这样的属性，让生活中的毛线与数学中的线段有了一道不可逾越的坎。由此可见，生活中的物体与数学中的几何图形是有本质区别的，其区别在于：数学中讲的图形，是抛弃了厚度、宽度、颜色等所有物理性质的，但又具有一类物体的共有属性。

于是，不管老师怎么样形象描述，“将毛线拉直，就成了一条线段”、“一只蝴蝶是对称图形”这样的话总是不那么正确的。在“几何图形的认识”教学这一块，老师们普遍容易犯这样的错误。

数学世界是从生活世界原型中提炼出来的抽象模式。有鉴于它们之间的隔离会带来消极的后果，我们赞成教学时可以借鉴生活世界，以帮助学生更好地理解数学世界，但这并不等于教学应回归生活世界，并不等于数学世界回归生活世界。当我们说“生活中有数学”，说“生活中的数学”时，其实是说，生活中有数学的素材，有数学的应用，也有数学发展的课题与动力。我们认为，图形的教学，乃至整个数学教学，既要贴近生活，更要超越生活；既努力从生活中来，又努力回到生活中去，还要在来与去之间努力超越。

也就是说，生活世界有自身不可克服的局限性，它不可能给我们提供太多的理性承诺。所以数学教学必须也应该着眼于社会生活中无法获得、而必须由数学教学才能获得的经验。

教学中，我们要怎么做才能避免出现上述状况呢？具体到课堂中，从上述几位老师的观点中可以总结出，我们需要让学生经历“数学化”的过程，这样才能巧妙越过生活原型与数学模式之间的坎。

篇8

Abstract： This paper briefly describes the backward of the traditional mathematics teaching mode， puts forward the idea of integrating mathematical modeling into the traditional teaching methods of higher mathematics meets the requirements of quality education， and discusses the feasibility， methods， function and significance.

关键词： 数学建模；高等数学；教学

Key words： mathematical modeling；higher mathematics；teaching

中图分类号：G652 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2016）30-0215-02

0 引言

高等数学课程在高等学校非数学专业的教学计划中是一门重要的基础理论课。通过掌握这门课程，能够帮助其更好地学习其他基础课和多数专业课，很多课程都或多或少的涉及到高等数学课程，它是这些课程的数学基础。

数学建模是用图表、程序、数学式子、数学符号等刻画客观事物的本质属性与内在联系，将抽象的实际问题转化为可以解决的数学问题的过程。

数学建模一般分为五个基本环节：①模型设置；②模型构成；③模型求解；④模型检验；⑤模型应用。

数学建模涉及的问题方方面面，且千变万化，建模过程可以说是渗透数学思想方法的过程，在不同的实际问题中数学建模可以渗透不同的思想方法和数学方法，其中思想方法主要包括探索思想、联想思想、类比化归和类比、等价转化思想、逻辑划分的思想、数形结合的思想、方程的思想等；数学方法主要包括归纳法、解析法、反证法、配方法、待定系数法、换元法、消元法等。通过数学建模，学生们能够了解和学习到很多的数学思想方法，如此不仅能够提高学生的综合素质，还能够使学生从本质上理解数学建模的思想（数学建模过程图见图1）。

1 高等数学的传统教学模式现状

随着社会的进步，很多高校开始改革和创新自身的高等数学教学模式，但部分高校依然采用的是传统的教学模式，导致其教学过程中存在以下问题：一是教学方式落后，采取的教学方法还是以“填鸭式”为主，教师过分地主导课堂，学生的主观能动性很低，只能被动地接收教师讲授的知识，不利于自身创造力和想象力的培养；二是教学过程过分重视逻辑性，忽视了应用性。当前社会对人才的要求同过去相比有了很大变化，很多企业都十分重视学生的实践能力，而传统教学模式下培养出来的学生普通实践能力较弱，理论知识较扎实，如此遇到实际问题常常没有能力解决，无法满足当代用人单位的需求；三是学生的学习积极性不高。在传统的教学模式下学生较少有机会进行自主思考和探索，多数时间都在消化教师讲授的知识，长此以往下去学生由于无法体会到学习的乐趣和解决问题的成就感，很容易对学习失去兴趣，如此不利于高校人才的培养。

2 建模思想融入高等数学教学的可行性

高职高专作为一种职业技术教育，其培养的学生都是应用型人才，而数学建模也旨在解决各类实际问题，两者在这一点上目的是相同的，因此在高等数学教学中融入建模思想是可行的，具体原因分析如下：一是由于高职学生的目的就是成为应用型人才，高职学生比其它层次的学生更清楚实际生产问题的流程，而数学建模往往伴随着各类实际问题，从这个角度讲，高职学生更了解实际生产问题的流程，因此比其它层次的学生更具优势；二是计算机高职学生已经掌握了一定的数学理论知识，且具有一定的解决实际问题的能力，这就使得在高等数学教学中融入建模思想具有了一定的先天优势，大大增加了其可行性。

3 数学建模融入到高等数学教学中的方法

将建模思想融入到高等数学教学中，学生在学习理论知识的同时还能够进行实践，使自身的理论知识和实践经验融会贯通，从而大大提升自身的实力，具体在高等数学教学中融入数学建模的方法如下：

3.1 弄清、搞透概念的意义

正因为实际需要才产生了数学概念，所以在实际的教学过程中教师应注重将抽象的实际问题转化为数学问题的过程，重视对学生数学学习兴趣的培养。高等数学中定积分的概念和导数的概念至关重要，其中导数的概念就是从交变电路的电流强度、物理学的变速直线运动的速度及几何曲线的切线斜率等实际问题抽象出来的。这同时也说明了导数的概念具有广泛的应用意义，通过掌握导数的概念可以解决生活中遇到的很多实际问题。定积分的基本思想是“化整为零取近似，聚零为整求极限”。定积分概念建立的关键是以局部取近似以直代曲，应抽象以常量代替变量。

3.2 加深、推广应用问题

高等数学中的应用问题众多，其中最具代表性的如下所示：

①最值问题。在导数的应用中最值问题是最先接触到的问题，教学中学习到的解决最值问题的方法实际上就是比较简单的数学建模思想。

②定积分的应用。“微元法”这一思想根植于定积分的概念，在教学过程中必须将定积分的概念进行充分的分析，使学生能够真正地掌握和灵活应用定积分，如此采用微元法解决实际问题时才能得心应手。

③微分方程就是为了解决实际问题。利用微分方程建立数学模型尚未建立统一的规则方法。通常采取的步骤是：首先确定变量，分析这些变量和他们的微元或变化率之间的关系，然后结合相关学科的理论知识和相关实践经验建立其微分方程，再对方程求解，并分析验证结果。微分方程能够解决很多实际问题，在教学过程中应本着由浅入深的原则，多举实例。

3.3 高等数学中数学模型的案例教学

案例教学，顾名思义就是在课堂教学中以具体案例作为教学内容，通过具体问题的建模范例，介绍数学建模的思想方法。

4 数学建模融入高等数学教学的功能和意义

4.1 数学建模的教育功能

4.1.1 数学建模课程有助于深化学生对数学的理解，树立正确的数学观

人们对数学的总体看法就是数学观。在生活中我们发现常常有数学系的学生发出感叹“学数学到底有什么用”，并且常常因为觉得学数学没有用途而对继续学习数学失去兴趣，反之是一些经常用到数学知识的学科（物理、计算机等）认为数学的作用很大。由此我们发现只有在实践中数学才会发散其魅力，通过数学建模课程，学生有机会将自身学到的知识进行实践，学习效果将事半功倍。

4.1.2 数学建模有助于训练学生的思维品质

曾有学者说过，思维品质主要包括思维的敏捷性、思维的批判性、思维的独创性、思维的灵活性、思维的深刻性。通过长时间的实践我们发现，在数学建模的过程中这些思维品质都能够得到培养和锻炼。

要想建立数学模型，首先必须对实际问题有个充分的了解，基于此才能发现问题的内在联系，继而解决问题。在建立数学模型的过程中，需要先将抽象的实际问题转化为数学问题，然后分析求解目标、已知条件和未知条件，要求很高的思维的深刻性和敏捷性。同时由于学生面对的建模问题是一个未知的问题，学生在建模过程中必须充分地发挥自身的想象力和洞察力，不断地转换思维角度，灵活应变才能完成数学建模。

此外，在完成了模型的建立后，还要进行分析和检验。这是一个回顾和反思的过程，在此过程中培养了学生的思维批判性。

4.1.3 数学建模有助于发展学生良好的非智力因素

实践表明，当学生意识到数学的作用时，其学习热情和主动性会更强，会更自觉地投入到数学的学习当中去。通过数学建模学生拓展了自身的知识储备，丰富了自己的视野。不可否认数学是一门较难的学科，学生通过学习数学能够锻炼自身坚忍不拔的意志，不仅如此，通过和同学讨论探讨，还能够培养自身的团队协作能力。

4.2 数学建模的融入有利于传统数学教育由“应试教育”向“素质教育”的转变

过去我国实行的是应试教育，现在我国追求的是素质教育，素质教育的目的是为了提高全民素质，它注重的是教育的发展功能，是为全体学生谋福利的。

数学教育思想改变了过去少数人学习数学的现状，将其变成了大众数学，它认为学习数学不是为了考试，学习数学能够帮助我们解决很多实际问题，数学教育思想体现在基础教育中的，数学教育是面对全体学生的，而不是少数数学尖子生。

培养学生的素质和能力应该有两个方面，一是通过分析、计算或逻辑推理能够正确、快速地求解数学问题，即运用已经建立起来的数学模型；二是用数学语言和方法去抽象、概括客观对象的内在规律，构造出待解决的实际问题的数学模型。

5 结语

既然数学教育本质上是一种素质教育，数学建模不仅凸现出其重要性，而且已成为现代应用数学的一个重要组成部分。学生通过开展数学建模的训练，能够拓展自身的知识储备，丰富自己的视野，提高其综合实力，使自身成长为一名优秀的理论知识和实践能力兼备的人才。因此在高等院校开展数学建模教学至关重要，它能够帮助高校培养出更多的优秀的应用型人才，真正地提高学生的综合素质。

参考文献：

[1]李大潜.数学建模与素质教育[J].中国大学教学，2002（10）.

篇9

一、数学有助于经济学的精深化

数学具有高度的抽象性与严密的逻辑推理性，比如在物体冷却、镭的衰变、细胞的繁殖，树木的生长等等现象中出现的函数：

…(1)

在经济现象中也有其现实意义。

假设本金为Ao，利率为r，期数为t，每期结算次数为m，则本利和Am为：

…(2)

通过实践我们知道，当本金Ao，利率r及期数t不变的情况下，每期结算的次数m变大则本利和也变大；m减小，则本利和Am也变小。那么通过增加每期结算次数而增加的收入会不会无限增大呢?这一问题显然用经济理论难以阐明。运用微积分中的极限理论既可得出精确的结论。我们对(2)式求当m∞时的极限得：

．

说明当每期结算次数m无限制变大时，本利和不会无限制地增大，而是逐渐趋向于常量 ，由此可以看出数学方法可以准确地阐明经济现象中某些内在的本质问题，仅用经济理论与语言去分析经济现象是缺乏说明服力的。而且由于现代经济现象的复杂性，需要借助更多的数学方法。数理经济学的诞生与发展说明数学的各个分支如微积分、线性代数、概率论与数理统计，微分方程甚至极其抽象的拓扑学。泛函分析，微分流形等广泛适用于经济领域的各个方面。越抽象的数学工具越适合分析实际上十分复杂的事物。经济学家运用数学形式能够对经济理论进行严格检验，所达到的严密性与传统的经济学研究形成鲜明的对比。当代杰出成就的经济学家如萨谬尔逊(著有《经济分析基础》)、瓦尔拦斯(建立了一般的均衡价格模型等)、杰文斯、阿罗.德布鲁等一大批优秀的经济学家都具有相当高深的数学知识。数学为他们提供了一种语言，一种方法使之能够对具有高度复杂的经济系统进行有效的研究。

二、数学对经济研究的先导性

数学诞生于客观的物质世界，但它的研究发展却超脱于物质世界。它是人类智慧的结晶。例如圆周率在小数点后精确位数的确认，由常量分析到变量分析，笛卡儿坐标系的确立，极限的认识等数学知识，每前进一步都对自然科学产生划时代的影响。人类对数学的探索已有二千多年的历史，其理论体系日臻完善，经济学家一旦掌握并运用数学方法指导经济理论，便能迅速达到该领域的前沿。在经济学研究的几百年历史中，近代经济学家运用数学方法后，经济理论的研究便有了突飞猛进的发展，库诺、屠能、戈森等人运用数学方法(主要是函数关系式微分方程组)建立经济理论的轨道。从静态分析，比较静态分析到动态分析，从局部均衡分析、单个市场均衡分析、一般均衡分析到动态均衡分析，从完全竞争分析到买方和卖方的多种垄断分析、从市场效率分析到市场缺陷分析等等却是数学在西方经济学中的最新应用成果。

阿罗.英特里利益特将数理经济学的发展所做的十一个方面的归纳，比如整体分析即人们把微积分与拓扑学结合起来，用以研究在经济发生变动时，经济均衡及偏离的性质；对偶理论即把集合论与微积分结合起来研究经济问题，最优税收，最优增长理论的多部门增长模型，无一不是数学在经济方面的应用。

篇10

李大潜：数学家。1937年11月10日生于江苏南通。1957年毕业于复旦大学数学系并留校任教。1995年当选为中国科学院院士。长期从事偏微分方程理论及应用研究，取得了多项具有国际先进水平的成果。其中对一般形式的二自变数拟线性双曲型方程组的自由边界问题和间断解的系统研究，以及对非线性波动方程经典解的整体存在性及生命跨度的完整结果均处于国际领先地位。曾获我国数学界最高奖――华罗庚奖。2008年被法国政府授予法国荣誉勋位骑士勋章。

去年12月的寒冬，上海马路两旁的法国梧桐叶子全掉了，可是复旦大学光华楼前广袤的草坪依然碧绿如茵。在一片金色的阳光下，只见一位充满学者风度的长者骑着一辆老式自行车沿着静谧的望道路向光华楼而来，他就是刚从国外访问归来的李大潜先生。

传承发展天道酬勤

1937年11月10日，李大潜出生于江苏南通。其时抗战伊始，烽火连天。襁褓中的李大潜被父母抱着逃难到上海，暂住法租界的巴黎新村。两岁起，他就跟着母亲读书习字。4岁重返故里时，顺利入读于当地的小学。由于发蒙早，又先天聪慧，李大潜的知识基础自然比同龄孩子扎实，9岁时便跳级升入南通商益中学（现启秀中学）；三年后又以总分第一的成绩考入当地最负盛名的南通中学，且连连得到名师的点拨，因此在中学阶段他对数学的钻研劲头已经不小了。

然而，李大潜的中学生活也碰到了至今令他难忘的事件：刚入中学的第一次算术测验给了他一次“下马威”。

“我自小好强争胜，测验时也逞能地抢交头卷。那次测验我故态复萌，题目来了以后，也没有仔细想清楚，抢着第一个交卷。由于对题目理解不深入，又不仔细检查，结果只得了18分。当时教我算术的老师非常严格，规定60分及格，决不迁就，你达不到60分，少一分打一记手心，我才18分该打多少记手心呵，而且用的是戒尺。旧教育制度下的严师是一点也不会马虎的。我那时是跳级升入初中，从来没有经历过这种阵势，当然就号啕大哭了。”这下，又引起还在读小学六年级的一些老同学的冷嘲热讽：“李大潜，中学生，算术考了18分！”

好强的心灵被“18分事件”深深刺痛，在日后人生的道路上他一直警策着自己：凡事不能粗枝大叶，更不能急于求成，而应细致沉潜，一丝不苟。“18分说明我并不是一位天生的数学家，我之所以能在数学上取得一些成绩，只不过是我对数学有着浓厚的兴趣，又幸得恩师栽培，自己又肯为数学付出较多努力而已。”这里所说的兴趣，很大程度是得益于青少年时代的李大潜没有一味埋首于课堂上的教材，而是读了大量“闲书”，助他打开了视野，诸如当时能读到的苏联科普作家别莱利曼编写的《趣味几何学》、《趣味代数学》等科普读物。李大潜至今清晰地记得，这些书里面引用了马克・吐温、儒勒・凡尔纳等名家小说动人的片断，这给喜爱文学的少年李大潜留下了深刻的印象。“在这些科普读物里，数学案例来自现实生活，觉得非常生动。比如，在荒无人烟的地方如何测出当地的经纬度；再比如，河对面有一棵树，不过河，怎么测出树的高度，这些都是数学问题。我觉得数学特别活，使我产生兴趣，令我着迷⋯⋯”

1953年，才15岁的李大潜考入了复旦大学数学系，成为那一届学生中年龄最小的一个，用现在的话来说就叫“少年大学生”。李大潜的父亲当年送给儿子的礼物是一个自制的竹子笔筒，上面亲手写下了“自强不息”四个大字。李大潜接过笔筒，也将此赠言作为自己的座右铭，奏响了人生道路的主旋律：在往后的岁月里，要不断地传承，更要不断地有所发现、有所创新；要自强必须勤奋，天道酬勤是恒理；“不息”是时间尺度，“自强”是空间画卷⋯⋯李大潜深有感慨地说：“进了复旦后，我有幸遇到恩师苏步青和谷超豪等老一辈数学名家，是他们栽培和提携了我，他们也一直对我说，做学问贵在坚持。”这同父亲“自强不息”的教诲完全谐和。李大潜在复旦得到了扎实的数学训练和数学文化的熏陶，在本科阶段就参加了苏步青、谷超豪组织的微分几何讨论班并受到两位先生的赏识，以后更成就了数学界“苏门三代”的佳话。

如果对复旦数学系“苏门三代”的说法望文生义，认为是“近亲繁殖”，那就大错特错了。其实，他们之间虽有明确的传承关系，但更注重的是与时俱进的个人创新。在师道传承的坚实基础上，个人孕育的崭新发展更令学界关注。李大潜儒雅地表示：“我的两位恩师在学术上造诣精深，成就卓著，他们是确保‘复旦薪火，代代相传，生生不息’的本源，也是复旦数学系实力的印证。他们不仅一直鼓励和支持学生们创新和超越，而且还不断开拓自己的研究领域，一直是带着‘传承+发展’的眼光来做学问的。如果安于接受前人的衣钵，那么，‘君子之泽，五世而斩’，复旦数学的传统也不会绵延至今。”

是啊，苏步青院士作为中国微分几何学派的创始人，在国际数学界享有“东方第一几何学家”的美誉，直到晚年，身处“”的磨难岁月，还开创了计算几何的新学科。谷超豪院士曾是苏先生创立微分几何学派的中坚力量，他在苏先生的支持下赴苏联留学，不仅研习了现代微分几何，还进一步转向了偏微分方程的研究方向，后来又在数学物理领域开创了学术上的辉煌。而李大潜则在偏微分方程方面得到谷先生的严格训练，并在拟线性双曲组的领域中接过了谷先生的接力棒，开始了自己的系统研究。后来，又在苏步青和谷超豪的鼓励与支持下，赴法国深造，在法国现代应用数学学派创始人里翁斯院士的指导下，走进了应用数学这一广阔的领域。1998年，在中法两国元首的积极支持下，由复旦大学与Ecole Polytechnique合作在上海建立了中法应用数学研究所，由李大潜担任中方所长，至今已超过了10年。通过一系列学术交流活动，中法两国一大批优秀数学家建立了深厚的友谊，彼此不断获得启迪和教益，合作双方的研究工作出现了新的面貌，获得不少成果，也为中法两国人民的友谊架起了桥梁。为此，2008年11月14日法国政府授予李大潜教授法国荣誉勋位骑士勋章，以表彰他多年来致力于中法应用数学研究做出的杰出贡献。这一勋章属于拿破仑一世于1802年建立的法国最高荣誉勋位系列，目前只有极少数中国科学家获此殊荣。

展开基础数学与应用数学

研究的双翅

1996年9月2日，李大潜在答复一名中学生的信中哲理独到地指出：一个翅膀的鸟不能飞翔，即使勉强飞了起来，也只能原地打转，更何谈高飞、远飞。

李大潜的成功，也正是得益于他能展开双翅。

1957年，19岁的李大潜以大学四年各科全优的成绩顺利毕业，由于他在数学方面的扎实基础和研究方面的初露头角，受到苏步青教授的青睐，亲自提名他留校任教。获得恩师青睐，又能身处浓厚的学术环境，真是天赐良机，让李大潜有机会步入数学殿堂。青年李大潜第一个科研方向便是协助刚从莫斯科大学学成归国的谷超豪先生，以空气动力学中的激波现象为背景，开展对偏微分方程中一个新的重要研究方向――拟线性双曲型方程组的理论研究。以“自强不息”为动力，凭扎实的基础和激情的投入，在谷先生的悉心指导下，李大潜的科研果然很快有了进展。1961年，全国首届偏微分方程学术会议在北京召开，谷先生给他压了重担，让初出茅庐的他介绍这一项科研成果。

旗开得胜后，李大潜更是一鼓作气，使项目研究向纵深推进。经过三十多年的拼搏，取得了累累硕果，在对一般形式的二自变数拟线性双曲型方程组的自由边界问题和间断解方面，建立了国际上迄今最完整的局部解理论，并获得有关整体解的系统深入的成果，屡屡被国际数学界用作理论依据。美国数学家D.G.Schaeffer对李大潜与合作者共同撰写的英文专著《拟线性双曲组的边值问题》（1985）评论道：“他们以如此的功力和尽善尽美的方式来处理这一主题⋯⋯将其推进到超过我原来想象可以达到的程度。”

1992年，李大潜与他的博士生合著的英文专著《非线性发展方程的整体经典解》在英国出版，国际数学界评论该书“无疑将成为这项高难度研究中的一个里程碑”。法国科学院院士里翁斯教授认为：“关于非线性波动方程，过去10年里，一些杰出的数学家都曾得到许多深刻的结果，就在这同一段时间里，李大潜教授成功地超越了所有这些成果，因而在这一非常重要而又深入的领域中成为极少数几个处于世界领先地位的带头人中的一个。”

1994年，李大潜的专著《拟线性双曲组的整体经典解》在法国出版，又一次赢得数学界的好评，认为李大潜“得到了气体动力学中好几个经典问题解的结构，这些结构多年来一直只是猜测，而李大潜却严密地证实了这一点”，“十分令人激动”。

研究结出的硕果是他不断学习的必然结果。20世纪60年代，正当李大潜一帆风顺地在复旦数学系任教并读在职研究生时，遭遇到他人生第一次真正的挑战――爆发了史无前例的“”，科研与教育都被迫中断了，他也被先后下放到上海电机厂和上海汽轮机厂进行劳动锻炼。

尽管原本憧憬中的学术道路被完全改变了，但工厂里大量迫切需要解决的生产实际问题，却又激发了他的钻研冲动。“当时看到厂里有一大批生产实际问题，仔细了解后，发现这些问题的背后实际上都有数学问题。为了能与工人师傅及技术人员沟通，我就利用这个机会自学了大学物理系的课程，一门一门钻研，包括电动力学、相对论、量子力学、弹性力学等等。也就在这个阶段，我认认真真地思考了数学怎么联系实际的问题。应该说，这成了我后来走上应用数学的一个非常重要的起点。”

学科的贯通和视野的高远，令李大潜展开了理论研究与应用研究的双翅。从1974年至1986年，他调集了自己多年的通透学识，为解决我国石油开发中至关重要的判断石油层位置和储量的问题，成功提出了“电阻率法测井的数学模型与方法”。为此，他曾六次深入湖北江汉油田实地调研，帮助设计制造出填补国内技术空白的微球型聚焦测井仪并编制了相应的解释图版，在我国大庆、江汉、中原等十多家油田一直推广使用至今。李大潜信心十足地说：“理论与应用是相辅相成的，这个课题不仅取得了良好的地质效果和经济效益，而且有力地推动了偏微分方程的理论研究，促使我们建立了等值面边值问题和边界条件均匀化的理论。”1998年，他将此应用课题成果撰写成《等值面边值问题和电阻率测井》专著在英国出版。

在李大潜的心目中，数学的基础理论研究与应用问题研究同样重要，两者谁也不可偏废。从上世纪60年代初紧紧围绕“两弹一星”的研制而投入到与之密切相关的双曲型方程研究，到成功提出了电阻率法测井的数学模型与方法，李大潜在科研上能不断有所建树，都得益于他张开了基础研究与应用研究的双翅。再说，科研要转化为生产力也是时代的要求，他若有所思地告诉笔者：“从应用数学的发展趋势来说，正迅速地从传统的应用数学进入现代应用数学的阶段。现代应用数学的一个突出的标志是应用范围的空前扩展，从传统的力学、物理学等领域扩展到生物、化学、经济、金融、信息、材料、环境、能源等各个学科甚至社会领域。传统应用数学领域的数学模型大都已建立了，且已经成了力学、物理等学科的重要内容，而很多新领域的规律至今仍不清楚，应用数学的建模面临实质性的困难，这也是现代应用数学仍须不断努力攻克的问题。”他还说：“我一直认为，整个数学学科的分布，应该像两个同心圆，纯粹数学作为整个数学的核心和基础，占据着小圆的内部。大圆的外面，是数学外部的广大世界，包括各种其他学科及各种应用领域和高新技术。而在大小圆之间则是应用数学活动的大地盘。其中有些靠近小圆，属于应用数学基础研究的部分，靠近大圆的部分，则是数学与其他学科的交叉领域，在这两者之间的同心圆环上，则分布着各种层次、各种风格的应用数学工作。数学学科发展的原动力，不仅来自它的内部，而且更重要地来自它的外部，来自客观实际的需要。外部需求的驱动和内部矛盾的驱动对数学发展来说应该是比翼齐飞的双翼，是相互联系和促进的，都是必不可少的。”

展开科学与人文的双翅

数学是一门在非常广泛的意义下研究自然和社会现象中的数量关系和空间形式的科学。要在数学的蔚蓝天空下自由翱翔，除了展开基础研究与应用研究的双翅外，还得展开科学与人文的双翅。

李大潜深有感慨地说：“在数学的殿堂里遨游了数十载，我深深体会到：数学不仅是一种研究自然与社会得心应手的工具、一种国际通用的语言、一门博大精深的科学，它更是一种文化。数学中的人文理念――数学的思想和精神，对我为人处世的熏陶，令我终生获益匪浅。”

复旦三代数学大师――苏步青、谷超豪夫妇与李大潜都是对中外传统文化情有独钟的学者。1982年，三代学人同时到法国巴黎访问，在富有诗意的塞纳河边，他们以诗佐酒，赋诗抒怀，成了数学界一段风流佳话。

李大潜能在数学领域开凿出一眼又一眼清泉，正是得益于他科学与人文并重的求学之道。

李大潜自幼喜欢中文古诗，日后也一直注重人文学养的陶冶。尽管李大潜已是硕果累累的数学大家，但至今他业余最酷爱的依然是历史和武侠小说，可以说他是一位地地道道的“武侠迷”。对于有些人觉得武侠小说不入流的讲法，李大潜自有一番理论。他觉得小说是人生的教科书和剂，武侠对做学问很有启示。他常说，做学问就像练武功，要从“手中有剑”到“心中有剑”，最后到“心中无剑”。不能为招式所累，死背数学公式和定理，要做到无招胜有招，才能挥洒自如，随心所欲。“心中无剑”是练武的最高境界，是物我两忘的境界，是创造性思维喷发的境界。虽然李大潜谦虚地说，自己在数学领域远未达到“心中无剑”的境界，但是他对“心中无剑，人剑合一”的体悟，倒恰如其分地折射出“数学大鹏”――李大潜展开科学与人文双翅的风姿。

在林林总总的武侠小说中，《笑傲江湖》最受李大潜所钟爱。他直言《笑傲江湖》中有不少超脱的东西，最适合知识分子阅读。他尤其欣赏令狐冲的豁达大度，不要权力，有超然是非名利之外的境界。武侠中讲究派别、排行座次，讲究忠于师门、不事二师。李大潜认为名门正派的存在并非偶然，自有它的道理，值得总结，但最好的武功往往不是属于名门正派，不要关起门来孤芳自赏。名牌大学也一样，不能老子天下第一，应接受新人才、新思想。名门不应自我封闭，且更要注意内部的团结。李大潜幽默地说道：“有本事到江湖上闯，窝里斗要不得！”

多有气派！

学术人生诚恒学问

做学问与练武功，其实都要达到最高境界。李大潜若有所思地说：“要臻至武学最高境界，必须博采各家之长，兼收并蓄，否则令狐冲亦难以独步武林。而做学问也不能拘泥于一个门派。”让李大潜庆幸的是，无论是苏步青还是谷超豪，都有宽大的胸襟，都乐于让弟子师从不同的名师，并主动安排他去法国留学，使他有机会向国际应用数学大师里翁斯院士学习。由此，李大潜悟到：越是出自“名门”，越要看到自己的不足，越要到外面接受锻炼和教育。

在扑朔迷离的数学王国里，怎样将基础数学与应用数学巧妙地结合起来，怎样将科学与人文融合起来？为此，李大潜大力鼓励与支持开设数学建模、数学实验等课程，为数学的教学改革打开了一片柳暗花明的新境界。法国科学院院长里翁斯教授由衷地说：“李大潜是一位享有世界声誉的中国研究集体的学术带头人。他做出了一系列真正属于国际第一流的贡献。”

作为大数学家，李大潜先后担任了复旦大学研究生院院长，国务院学位评定委员会数学学科评议组召集人，高等学校数学研究与高等人才培养中心主任等学术职位，周围的人自然也常常要向他讨教“成功的秘诀”。他总是毫不迟疑地否认有什么“成功的秘诀”，但他会哲理独到地送四个字给勤奋努力的同学们：

第一个字是“诚”。这是做人的基本要求。大学也不是一片净土，同学们应该成为诚实的典范，老老实实做人，老老实实办事，老老实实做学问。

第二个字是“恒”。这是成功的基本保证。聪明和才能都要靠积累，没有恒心，见异思迁，一曝十寒，天资再高的人也不可能有所成就。

第三个字是“学”。这是学生的主业。现在强调素质和创新能力，但素质和能力并非凭空产生，只有认真学习打好基础，方能增长能力，提高素质。

第四个字是“问”。这是聪明的方法。学问之道重在问，不会发问，进不了科学大门，要问在点子上，问出水平来，非得认真思考。问老师、问同伴、问书本、问自己，先思后问，多思勤问，必有长进。