欧姆定律极值问题范文

导语：如何才能写好一篇欧姆定律极值问题，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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【关键词】数学方法；高中物理；电磁学

1.引言

国家高考物理科考试大纲明确提出考生应具备的第四种能力“应用数学处理物理问题的能力：能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，能运用几何图形、函数图像进行表达、分析”，这里所要考查的就是要有灵活运用数学方法处理物理问题的能力。所谓数学方法，就是在科学技术工作中，把客观事物的状态关系和过程用数学语言表达出来，进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预言的方法。下面就以电磁学为例谈谈几种数学方法在高中物理电磁学中的应用。

2.函数法

在电磁学问题中，经常需要确定两个物理量间的变化所对应关系（包括极值问题），这就需要利用函数思想来完成，同时函数也是进行物理推导判断的重要数学工具。在高中物理电磁学中主要用到的是一次函数、一元二次函数和三角函数。

2.1一次函数的应用

在电磁学问题中用到的一次函数有形如y=ax或y=ax/（ax+b）a≠0，b≠0形式。一次函数y=ax描述的是y与x之间呈线性关系，比如在静电场中讨论F与E、U与d、Q与U等两个量间的关系用的就是这种函数。

观察函数y=ax/（ax+b（a≠0，b≠0））不难发现，分子分母都有未知量x（自变量），如果x增加（减小），则分子、分母都同时增加（减小），这样无法确定因变量y的变化情况。但是如果把分子、分母都同时除以x，函数就变为y=a/（a+b/x）关系就非常明朗了，y随x的增大而增大，y随x的减小而减小。这种一次函数在讨论闭合电路中路端电压随外电阻变化等类似问题中经常有用到。

例1：设一个闭合电路中，电源电动势为E，内阻为r，外电路为纯电阻电路电阻为R，路端电压为U外，试讨论当R发生变化时，U外如何变化？

分析与解：这类问题既可用闭合电路欧姆定律E=U外+Ir（间接法，较易，本文不做讨论）求解，也可用部分电路欧姆定律（直接法）求解。如果用直接法如何讨论呢？根据部分电路欧姆定律有U外=IR①，又由闭合电路欧姆定律有I=E/（R+r）②，把②代入①有U外=ER/（R+r），这就转化成了形如一次函数y=ax/（ax+b），故U外=ER/（r+R）=E/（1+r/R）可见U外随R的增大而增大，随R的减小而减小。因此当外电路断开即R∞时，有U外=E，此为直接测量法测电源电动势的依据；当外电路短路时即R0，故。U外=0。

2.2一元二次函数的应用

在处理外电路为纯电阻电路中电源输出功率随外电路电阻变化规律以及讨论滑动变阻器分压接法电路中■或■示数变化情况等类似问题，可以把电阻这个动态变化物理量转化成二次函数y=ax2+bx+c形式，将这个函数进行配方整理有：y=a（x+b/2a）2-（4ac-b2）/4a，可见当x=-b/2a时，y有最值（4ac-b2）/4a。当a>0时，y有最小值，当a

例2：如图1所示，电源电动势E=6V，内阻为r=1？萃，滑动变阻器R的总阻值为11？萃，固定电阻R0=3？萃，求当滑动变阻器从a到b过程中，■的读数范围。

分析与解：令■读数I，并设ap部分电阻为x，则pb部分电阻为11-x，根据闭合电路欧姆定律及并联电路的电流分配关系：I=6/（R并+11-x+r）×3/（x+3）=18/（-（x-6）2+72）

可见当x=0时，Imax=0.5A，x=6？萃时，Imax=0.25A，故■示数范围为从0.25A到0.5A连续变化

3.不等式法

不等式可用在半定量讨论、推断及求解极值问题，如在讨论等量同种电荷中垂线上场强大小变化、某些并联电路中■或■示数变化以及在两大小材料均相同的同种电荷接触后放回原处过程中库仑力大小变化问题中，如果条件满足均可以运用重要不等式a+b≥2■（a、b均为正数）或a+b+c≥33■讨论最值：当和有定值，则积有最大值；反之当积有定值，则和有最小值。

例3.如图3所示，已知R1=2？萃，R2=3？萃，滑动变阻器的最大值R3=5？萃，则当滑动片P从a滑到b过程中，电流表示数的最小值为多少？

分析与解：由闭合电路欧姆定律可知电流表示数有最小值时，外电路电阻有最大值，设ap部分电阻为x，则bp部分为5-x，1/R并=1/（2+x）+1/（3+（5-x）），化简可得R并=（2+x）（8-x）10，令a=2+x，b=8-x，而a+b=10，故当且仅当a=b即2+x=8-x亦即x=3？萃时ab≤（a+b）/4，故有（2+x）（8-x）≤（102/4）？萃=25？萃，所以■示数最小值Imin.=2A。

4.几何法

在处理静电场中某带电体受到库仑力、重力、拉力等三个共点力的动态平衡问题时，如果直接运用平衡条件结合力的分解（正交分解）处理该类问题，过程非常繁琐，这里可充分运用带电体（质点）所受力的矢量三角形与对应另一个由长度组成的纯标量三角形相似，这就是应用了平衡条件中相似三角形法，然后根据题目条件可在短时间内快速准确解决要讨论的问题。

例5：一根绝缘细线下拴一带电小球A，细线上的上端固定在天花板上，在悬点正下方某适当位置，固定另一带同种电荷小球B，A静止时，悬线与竖直方向成θ角，如图6所示。现缓慢增加B的带电量使θ角逐渐增大，则有关A球所受力的变化，下列说法正确的是（ ）

A.悬线的拉力大小不变 B.悬线拉力逐渐增大

C.库仑力逐渐增大 D.库仑力大小可能不变

分析与解：设悬线长为L，如图7所示，挂在细线下端的小球在重力、细线拉力和电荷之间的库仑斥力这三个力的作用下处于平衡状态。由平衡条件的相似三角形可知：OAB～ACD，即L/G=L/F=AB/F，可见细线的拉力T=G不变，而库仑力随着AB的增大而增大。故本题正确答案为AC。

6.结论

数学方法在高中物理电磁学中应用广泛而且巧妙，本文主要描述了函数法、不等式法、图象法及几何法，但有时在解决某些复杂电磁学问题时可能要用到上述这些方法中的两种或两种以上，甚至还可能用到其它方法如极限法。因此，在解题时可通过联想、数理结合、数形结合来灵活地选择合适的数学方法来解决电磁学问题，这将对提高解决电磁学问题的能力大有裨益。

【参考文献】

[1]郑表岳.《中学物理解题方法》.上海科技教育出版社，1992年9月

[2]薛金星.《中学教材全解―高二物理（上）》.陕西人民教育出版社，2003年5月第4版

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两电源电动势分别为E1，E2（E1>E2），内阻分别为r1，r2.当这两个电源分别和一个阻值为R的电阻连接时，电源输出功率相等.若将R增大到R′，电源输出功率为P1，P2则

A.r1

C.r1>r2，P1r2，P1>P2

分析 由题目已知条件可得

I0=E1R+r1=E2R+r2 （1）

即E1E2=R+r1R+r2>1r1>r2， 所以答案在C，D中选择，当R增大到R′时，

I1=E1R′+r1，I2=E2R′+r2.因此，不能直接判断出I1与I2的大小关系，所以不好选择了.

解 比值比较法

令P1=（E1R′+r1）2×R′，P2=（E2R′+r2）2×R′ （2）

则P1P2=（E1E2）2（R′+r2R′+r1）2=（E1E2）2（1+r2-r1R′+r1）2，

令y=1+r2-r1x+r1，当x=R时，y=1；r2-r1

此函数为增函数（由y=kx，k>0减函数，k

所以，当R′>R时，P1P2>1，即P1>P2，答案选择D， 同理可以推出R′

点评 此方法是根据题目中的问题是比较功率大小，所以回忆起数学中常用的比较方法有比值比较法，此方法利用了数学中函数的函数知识（增函数与减函数），根据初始时P1=P2时的结论进行演算推理，其中判断函数的增减性是关键性步骤.

解2 差值比较法

P1-P2=（E1R′+r1）2×R′-（E2R′+r2）2×R′ （4）

由（1）、（2）、（4）式可得

P1-P2=E21R′（RR′+r1R′+r2R+r1r2）2-E21R′（RR′+r2R′+r1R+r1r2）2[（R′+r1）（R′+r2）（R+r1）]

（5）

r1>r2，R′>R

由（r1-r2）R′>（r1-r2）R，

即RR′+r1R′+r2R+r1r2>RR′+r2R′+r1R+r1r2 （6）

由（5）、（6）式可得P1-P2>0P1>P2， 结论同上.

点评 此方法也是比较法中常用的差值比较法，此方法中进行的推理计算过程比较复杂，然后根据已知条件联系到比较的表达式进行变化是此方法的难点，此方法思路简单清晰计算复杂.

解3 导数的几何意义法

函数的一阶导数表示函数在这点切线的斜率，因此如果函数f（x）的一阶导数大于零，则f（x）为增函数，如果函数f（x）的一阶导数小于零，则f（x）为减函数，如果函数f（x）的一阶导数等于零，则f（x）有极值.

令R=x，由（1）、（2）式子得

f（x）=p1P2=（E1E2）2（x+r2x+r1）2 （7）

对（7）式自变量x求一阶导数得

f ′（x）=p1P2=（E1E2）2（r1-r2）（x=r1）2 （8）

因为r1-r2>0，所以f ′（x）>0，函数为增函数.

当x=R时（7）式等于1，所以x=R′>R时（7）式p1P2>1P1>P2，结论同上.

点评 利用此方法需要两个数学基础，一是要知道函数某一点导数的几何意义即表示某一点切线的斜率；二是要熟练掌握求导函数的相应数学公式和求导法则.此方法比较巧妙的将数学的导数与增减函数应用到解决物理实际问题当中，是应用数学知识解决物理问题的典范.

解4 画曲为直法

由闭合电路欧姆定律I=ER+r可知I与R非线性变化，两侧同时取倒数有

1I=RE+rE （9）

由（9）式可得当R′=R+ΔR（ΔR>0）时，对两个电源分别应用（9）式有

1I1=R+ΔRE1+r1E1=ΔRE1+R+r1E1

1I2=R+ΔRE2+r2E2=ΔRE2+R+r1E2 （10）

由（1）、（10）和E1>E2可以推出I1>I2， 此时P1=I21× R′>P2=I22×R′.

即P1>P2，结论同上.

点评 此方法十分巧妙的利用了题目中的初始条件，将本来无法直接判断的曲线问题转化为直线问题来解决，画曲线为直线的方法是解决物理问题中经常使用的方法.特别是设后来的电阻R′+R+ΔR（Δ>0） 将本来无法比较的问题变得十分容易比较.

解5 U-I图象法

根据闭合电路欧姆定律E=U+Ir变形可以得

U=-rI+E （15）

将U看成I的函数可知是线性变化关系，图象的斜率的绝对值代表内阻，图象的截距代表电源电动势.而外电阻满足U=IR在同一个坐标系中将两个函数同时画出来，由（15）式可知得U=-r1I+E1，U=-r2I+E2，U=IR，满足P1=P2初始条件点就是两个函数的交点状态，外电阻的大小由U=RI直线的斜率来表示，根据题意后来电阻R′>R与两个电源的交点就分别代表了此时的状态，由图1直接可以看出后来电流关系为I1>I2，路端电压关系为U1>U2，则关系P1=U1I1>P2=U2I2，即当R′>R时，有P1>P2，结论同上.

点评 此方法是将教材中熟悉的知识（测电源电动势与内阻试验数据处理知识）迁移到具体的情景之中，用此方法需要对U=-rI+E对应的U-I图象的物理意义掌握的十分清楚，对于图象中的外电阻U=RI 在同一图象中构建出来是解决问题的关键步骤.同时对于图象中的电源内阻是斜率的绝对值要掌握，外电阻消耗的功率就是矩形的面积.

解6 功率图象法

由P=（ER+r）2R=E2R+r2/R+2r

（11）

是高中常见的电源输出功率公式对应函数关系为

f（x）=E2x+r2/x+2r

当x=r时，电源输出电功率最大为P=E2/4r，对应的函数图象为图2所示.要满足初始条件功率相等也就是函数

P1=E21R+r21/R+2r1P2=E22R+r22/R+2r2 （12）

对应两个函数有交点，同时由于r1>r2所限制，所以两条曲线相交的交点只能存在三种可能就是如图3所示A，B，C三个点，无论哪种情况，在取R'>R时总有P1>P2结论同上.

点评 此方法是从我们熟悉的电源输出功率问题进行讨论，要知道电源输出功率最大时，就是当外电阻（外电路是纯电阻）等于电源内阻时，同时要知道函数图象的变化趋势，从极限分析可以知当R=0时，电源电路输出功率等于零（相当于短路），R=+∞时，输出功率也是零（相当于断路），当外电阻等于电源内阻时，有最大值.这样变化趋势图自然就画出来了，同时两曲线有一个交点（R>0时），结论就一目了然了.

解7 电流图象法

由（1）式可得当功率相等时外电阻的阻值为

R=E2r1-E1r2E1-E2 （13）

令E1=4V，E2=3V，r1=2Ω，r2=1Ω，

代入（13）式可以得到 R=2Ω

由闭合电路欧姆定律 I=ER+r （14）

可知I与R非线性关系，代入以上数据可以得到 i1=E1R+r1=1A

同理 I2=E2R+r2=1 A

当R=1Ω和R=3Ω分别代入（14）式计算得到对应的电流值分别为I1′=0.8A，I1″=1.33A，

I2′=0.75A， I2″=1.5A.

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关键词：初中生；高中生；物理知识衔接

作者简介：边桂萍（1974-），女，吉林省柳河县人，大学本科，中学高级教师.吉林省骨干教师，吉林省第十二批有突出贡献的中青年专业技术人才，吉林省教书育人楷模，吉林省第五批创新拔尖人才.大多数初中学生刚升入高中时普遍反映物理学科存在着衔接不畅的问题，在高中的学习过程中，对物理的具体学习方法和内容模糊不清，一脸茫然不知所措.笔者在近几年的学习和探索过程中，觉得在以下几个方面需要同行们在教学过程别注意.

一、初中和高中的不同

1.教材方面

（1）初中教材：a要求学生了解、知道的内容多，要求学生掌握的少；b定性的多，定量的少；c教材难度低，趣味浓，一般由实验或生活实际引入课题，通过现象总结规律，形象具体，易于接受.

（2）高中教材：a重视理论上的分析指导；b定量研究多，计算量加大；c数学工具的应用明显加强与提高，不仅运算量加大，且常要运用函数、图象和极值等数学方法来研究物理现象和过程.

2.教法与学法方面

（1）初中状态主要表现在以下几个方面：a教学内容要求相对低，教师课堂更注重教学的趣味性，课堂容量少，进度慢；b对重点概念及规律反复讨论达成学生对重点知识的掌握；c习题类型少，变化也不多，且多数与教师课上讲的内容、例题对得上，造成考试时往往只要记住分式，做好笔记，就有可能取得很好的成绩.

（2）高中状态则主要表现在以下几个方面：a教学进度明显加快，课堂容量大；b知识要求大大提高，需要学生自己多分析、思考、练习才能真正掌握，习题类型更是复杂多变，单靠对概念、规律和公式的死记硬背，解决不了问题.

二、刚步入高中后学生的困惑与问题

1.教材方面：a大量的数学与物理结合，大量的物理过程推导，学生感到物理抽象难学，甚至望而生畏；b学生知识储备不够.数学教学进度跟不上物理教学需要，学科间的不衔接给学生数学工具的运用带来了困难，加大了物理学习的难度.

2.教法与学法方面：a很多学生养成了死记硬背的坏习惯；b很多学生养成只想硬套公式，而没有主动分析、思考问题的能力；c很多初中学生的学法是：跟着教师转，死记硬背教师布置的内容.

三、对初中和高中教学的改进建议

1.教材方面：

a强化初中学生运算能力的提升，特别是解方程组能力的要求；

b弱化初中学生对计算器的依赖；

c要求学生提升初中简单三角函数的运用能力，熟练掌握正弦、余弦、正切的计算及一些特殊角的三角函数值，要求学生熟练掌握二次函数极值运算与一次函数，反比例函数、正比例函数的平移、截距、斜率、图形所围面积等知识.

2.教法与学法方面：

a中考命题要与高考命题的导向接轨；

b初中教学，必须改变死记硬背的习惯，要注重培养学生主动分析问题、解决问题的习惯；

c加强培养学生课前自主学习能力；

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在中职电子类专业教学内容中，数学应用的范围很广，几乎涉及传统中等数学的所有分支。梳理这些内容、探讨相应的教学策略，对于提高电子专业的教学质量有着重要的意义。中职专业课数学应用教学质量在中职电子类专业教学内容中，数学应用的范围很广，几乎涉及传统中等数学的所有分支。此外，涉及现代数学基础部分的一些内容。梳理这些内容、探讨相应的教学策略，对于提高电子专业的教学质量有着重要的意义。一、梳理好传统中等数学内容在电子类课程中的应用，构建基本数学应用意识与能力1.集合论与逻辑运算在数字电路中运用“集合”的概念及公理化的现代集合理论体系构成现代数学的支柱。在中职电子类专业教学内容中中，经典集合论的运用主要体现在数字电路的逻辑运算特征上：“和”运算对应于集合的“并”，“且”运算对应于集合的“交”，而电位高低则对应于二进制下的“0”“1”，电路的不同状态对应于一系列“0”“1”的不同排列组合，进而完成许多运算功能。但，它们的数学基础是集合的几种基本运算：集合的包含、交、并、补关系，特别是在此基础上拓展出的摩根律，这是中职数学教学必须重视的基本计算规律。2.函数的基本性质的应用与电子类课程教学紧密结合函数（尤其是几类常见初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、多项式函数与分式线性函数）的基本性质，其范畴至少包括函数的定义、定义域、值域、增减性（单调性）、极值与拐点。

例如，如图所示的电子电路中，电源E的内电阻为r，问：扬声器R的电阻多大时，扬声器获得的功率较大？电子电路中把这类问题称为“功率匹配问题”这儿的“电源”其实可以是一个电池，也可以是电池组或对于本级电路输出的前级电路，而“扬声器”其实就是一个用电器，在电子电路中称之为负载。因此，本题其实在电子类课程中经常遇到的负载与输出电路之间的功率匹配问题。如图（简单起见，设电流与电压总是同相），由闭合电路的欧姆定律可知，R获得的功率P应该由R的电流I与电压U之积得到：E，r是定值，P视为R的函数。这是一个分式函数，对于中职学生而言，求其极值有一定难度。而这个问题是电子类课程中的基本问题。这就要求中职数学教学必须针对中职教学对象进行适当的针对性教学。事实上，对于分子分母均为多项式的分式函数，中等数学里最常见的处理方法就是“归一化”思想。即将多处出现的变量最终控制为单一变量在一处变化。就拿此处的问题来说，常见的处理方法是： 的极值显然为0，条件是R=r，这种策略，在电路物理量的分析计算中是常用的。3.三角函数与复数在交流电路计算中的运用首先，在模拟电路中，电压、电流随着时间变化，其函数关系常常可以视为三角函数。三角函数的基础知识和基本运算在电路相关量的求解中用途很多。比如，那么线路上的有用功率其进一步的计算其实就是两个三角函数之积。其次，在模拟电路与数字电路中都会涉及交流电路的频谱分析。其实，在高等数学中其实就是一个三角级数表示的傅里叶分析，但在中职阶段，限于数学知识范围与能力要求的限制，不必讲解过深，但可以讲将一个正弦波函数转化为为两个正弦波函数之积。二、针对电子专业的特色，精选现代数学中的浅近内容，让学生领悟运用数学思维的方法这方面是传统教材薄弱的地方，其实也是本课题应该大力突破之处。1.函数的增减性与函数“迭代”的思想在讨论电路稳定性中的运用

电路或某个元件的工作状态是否稳定，这是电子内课程中常涉及的问题。在电子内课程中，常常称一个电学量自身增大（减小）时其引起的本量或相关量变化率为负（正），叫做负反馈，只有负反馈的电路才具有稳定性。右图，虚线框内为某一电子电路，现在想通过实验观察它工作的稳定性。采用数字取样测量，以某时刻的电流为横坐标，下一时刻的电流为纵坐标，发现画出如图所示的函数图象，运用“函数迭代”的思想，从某一时刻的电流i1开始，作出一系列的辅助线，可见电流最终会稳定在i=10mA，当然，从纯粹数学角度求解，还有另一个稳定点i=0，但结合电路的实际情况，此解应该舍去。由此可见，该电路在不远超10mA的情况下，应该是能够负反馈的，这个电路工作状态是稳定的。2.图论与拓扑知识在网络电路的化简中的运用在电子内课程中，还有一类问题是很常见的，那就是电路的简化问题，（专业化的语言是画出电路的等效电路图），这是电子类学生必须的基本功，识图、简化图，才有可能用好图，进而改进电路设计或进行功能组合。电路简化时，一般电路的串联、并联关系是不能随便改变的。这种问题对于中职学生也是颇感头疼的问题，专业课教师有时教学颇费周折。因此中职数学在此疑难点上应该突破传统，适当在数学科目教学中介绍与之相关的数学知识与技巧。

电路的简化问题，用现代数学的观点来看，其实就是图形的拓扑变形。右图是一个网格电路，P、Q、R、S、T就是电路的分支点（拓扑学中叫做图形的顶点），运用拓扑变形的技巧，可以变化为另一个学生很容易理解的电路图，拓扑学中的许多概念就可以迁移到此问题中，比如，电学中的电路等效问题其实就是两个抽象几何图像的拓扑同构问题。事实上，不仅存在平面上的（二维）电路，在现代晶体管电路设计中已经出现空间的（三维）电路结构。那就是两个空间几何结构的拓扑同构问题。此外，在电子类课程中，大量的电学实验，要想简捷地通过数据归纳得出规律，最好的办法就是绘制恰当的实验图像。但是，图像中纵轴与横轴变量的选择应该巧妙，应该让图像的截距、斜率、面积等具有一定的物理意义，便于寻求相关物理量的近似数值解，因为在电子电路中，许多问题的严格求解是要解常微分方程或者偏微分方程，中职数学是以中等数学的应用为主，不能过多涉及高等数学，所以，图像法求近似解对于中职学生求解特殊方程这一重要技巧要强化训练，形成技能。三、结语总之，不论传统中职数学教学内容，还是精选现代数学知识，都要遵循发展数学能力尤其是应用数学能力最为核心，“数形结合”“化归”“分类”“动静结合”“化多维为一维”等的思想尤其值得重视。

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1以实验探究和描点法作图为体验方式的探究性教学

以如何设计测量电路，选择什么样的实验器材，如何形成有效的实验记录，如何处理实验数据形成直观的函数图象，这是实验探究的关键．提高教学有效的方式体现为如何实施有效的任务驱动，如何引导学生连接电路、测量数据和描点法作图，如何组织各学习小组展现学习成果，为此教学中我们应当抓住如下环节:第一个环节是基于经验提出探究的问题．要从学生已有的认知出发，形成可引导学生思维向深度发展，经过一般性逻辑推理形成可探究的问题，这是形成问题实施有效探究的前提．为此，提出如下问题来驱动学生思维的发展:当外电阻R变大时电源的输出功率P出如何变化?请同学们猜猜看，并简要谈谈你的猜想依据!学生经过自我探究和小组合作流，必然会形成如下猜想:(1)外电阻增大时，电源输出电流减小，所以输出功率也要随之减少;(2)外电阻增大时，电源输出电压升高，所以输出功率要随之增大;(3)外电阻增大时，电源输出电压升高，而输出电流要减小，由公式P=UI可知，当外电阻为某一阻值时电源输出功率应出现最大值．当上述问题一一呈现的时候，为了激发学生的认知冲突，我们不妨采取“极端法”来提出如下问题:当外电阻为零时(即短路)，电源输出功率为零;当外电阻无穷大时(即断路)，电源输出功率也为零;当电源所接上的电阻既不是零又不是无穷大时，它输出的功率均大于零，那么电源对外的输出功率是否为“先增大后减小”呢?第二个环节是对猜想进行合理的评价．这种评价不是对猜想结果的评定，而是基于探究问题的求解，引导学生推演探究实验的原理，这是形成实验原理的前提．同时要在如何引导学生基于探究的目的设计实验的要求，并根据原理合理地选择实验器材，进行有效和安全地安装，这是实施实验操作的前提．测量什么物理量，探究什么，这是基于实验目的来设计表格，进而对实验数据进行记录、分析形成结论的前提．第三个环节是展示成果．教师的引导应体现在上述问题的设计和展现不同学习小组的研究成果上．包括展示实验原理、电路设计、比赛各学习小组连接电路的快慢和优劣，记录数据表格的设计，如何采取描点法作图获得P－R的函数图象，如何根据图象获得有效的结论．找四个小组利用实物投影仪投放记录的数据及做出的P出－R图象．下面是其中一个学习小组测量获得的数据表格(表1)，其中r=5．4Ω:第四个环节是必要的补偿性练习．由于所学初等代数的限制，我们总习惯于线性函数表征物理规律，而对于电源的输出功率随外电阻变化的函数关系是非线性的，为了降低描点法作图如何绘制P出－R图象这一难点，在描点法作图之前我们复习回顾电源的路端电压随外电阻函数变化的规律就成为降低这一认知难点的前置性补偿．为此我们应当复习和展示如下内容:如图2所示的电路，借助电压－电流传感器得出U－R图象．电压－电流传感器相当于电压表和电流表的作用，它们通过数据采集器和电脑相连，可实施以图象的形式表现U－R的动态关系．从图3可以看出:(1)当R增大时U也随之非线性增加;(2)当外电路断开R∞时，U=E;(3)当外电路短路时U=0，短路电流I=E/r(一般不允许外电路短路)．第四个环节是引导学生描点法作图，获得电源输出功率随外电阻变化的函数图象．要引导学生学会“用平滑曲线连接”和函数变化关系非线性变化这两点，从而获得及与实验数据真实可信的图象．通过对坐标纸上若干点用平滑曲线连线，形成可直观观测的P出－R图象．在描点法作图时，为了节约坐标纸的使用空间，尊重实际测量选择的外电路电阻与对应的路端电压的数值，我们在建立坐标系的时候，往往是从某一个值开始，如图4所示．第五个环节是基于描点法获得的图象如何进行有效地分析，这既是提高实验素养的关键，更是深化理解电源输出功率随外电阻变化规律认知形成的关键．为此通过任务驱动的方式引导学生分组进行讨论交流得出结论，这是增强感知获得丰富表象形成认知的基础．(1)根据计算和作图分析，电源输出功率与外电阻有什么变化规律?(2)当外电阻增大时，电源输出功率是否一味地增大?(3)当电源的输出功率为一定值时，是否对应外电路唯一的阻值?(4)当外电阻与等效内阻相接近时，电源输出功率为最大，是否电源的效率也为最大?(5)当外电阻从零开始变化，描绘得出的P出－R图象如图4所示，试分析描绘得到的函数图象在同一个电源输出功率时为什么会出现两种可能的电阻值?(6)同一输出功率对应的外电路电阻值R1，R2存在什么关系?(7)分析峰值所对应外电阻的物理意义?

2以直观性观察为主的探究性实验

测量数据，描点法作图如图5，分析图象获得结论这是常规实验探究的基本做法，但由于本节课要解决电源的路端电压随外电阻变化的函数图象，耗时较多，如果再通过实验操作和数据处理的方式获得电源输出电功率随外电阻变化的函数关系不太现实，因此利用电压－电流传感器输入计算机，绘制形成P出－R图象，在增强直观性，提高可信度的前提下实施实验探究比较可行．借助电流－电压传感器得出P出－R图象如图所描绘的所示．2理论探究形成电源输出功率随外电阻变化的规律2．1电源的输出功率随外电阻函数图象如图6所示，在不同的区间具有不同的单调性(1)当R=r时电源的输出功率最大为Pmax=E2/4r，电源的效率最高也只是50%;(2)当R＜r时，函数图象单调递增，随外电阻R的增大电源输出功率越来越大，电源的效率也在增大;(3)当R＞r时，函数图象单调递减，随外电阻R的增大电源输出功率越来越小，电源的效率仍在增大;(5)从函数图象形状来看，单调递增和单调递减并非关于R=r对称．通过上述分析可知，电源的输出功率越大而其效率不一定越高．从能量利用的角度来看，我们希望电源的效率越高越好，但从理论上，这要求外电阻要增大，这意味电源的输出功率在不断减小，当电源外电阻趋向于无限大(外电路断开)时，电源的输出功率减小为零，在实际中没有意义，故在实际中利用同一电源的能量时，既要考虑电源的输出功率又要兼顾电源的供电效率．电路中涉及到电功、电功率的定性分析和定量计算时，基本思路是依据部分电路电阻的改变判断总电阻的变化，根据闭合电路欧姆定律分析干路电流的变化，干路电流的改变引起电压在电路里重新分配，从而使各用电器电功率尾随变化，是“牵一发而动全身”相互关联的动态变化问题．因此处理这类问题遵循的原则是不变优先的原则，即先从不变的地方入手，从而分析研究对象电功率的变化．根据实际场景我们分为外电阻变化和恒定的两类．(1)若用电器的阻值是变化的，通常采用等效电源的方法得出E'和r'，实将用电器获得的最大电功率问题转化成电源的最大输出功率问题来处理，当且仅当R=r'时Pmax=E2/4r';(2)当用电器的电阻是固定不变的，我们通常用P=I2R或者P=U2/R来求解．2．2电源输出功率随外电阻变化，在不同区间内单调性的应用求解电源的输出功率时我们要判断外电路的电阻在什么区间范围内，即判断外电阻在0≤R≤r和r≤R≤Rmax那个区间，利用函数的单调性求其极值(不一定是最值)．也就是说，电源输出功率由于随外电阻的变化而发生改变，具有严格的单调性才存在极值问题;有严格的有界性才存在最值问题．(1)当RA≤r时，R1＜R2＜r，P1＜P2≤E24r，电源输出功率随外电阻的变化呈现单调递增，P出≤E2/4r;(2)当R≥r时，r＜R3＜R4，E24r＞P3＞P4，电源输出功率随外电阻的变化单调递减，P出≤E2/4r;因此分析电源的最大输出功率必须明确外电阻的可能变化范围，是在什么区间内，存在最值?还是极值?要根据函数的单调性来解决．运用函数解析式表达物理规律，辅助以函数图象直观呈现物理变化的规律，两种方式并重才能形成“数”和“形”一一对应关系，我们借助于两种方式才能有效地把握物理变化的规律．对于线性函数以外不太熟悉的，在深化理解变化规律的时候，我们不要急于直接给出学生不太熟悉的函数图象，而是要遵循认知发展的规律，必须通过实验探究获得科学有效的数据，通过描点法作图逐步得到函数图象．这种方式虽然在学习的过程中有点慢，但它符合学习的认知规律，即能通过实验探究获得丰富的感知，形成有效的表象，基于此才能进行有效地抽象形成真实可信的规律．当我们获得这一规律时，再通过必要的理论探究进行验证，我们就形成了“数”与“形”对应，可直观呈现的物理规律．再通过相近概念的区别和相关的应用，就能达到知识的深化理解，唯有如此我们的教学才能称之为有效!

作者：邢洪明 高翔 单位：青岛第二中学