测度论在统计学中的应用范文

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[关键词]应用随机过程；教学改革；教学方法

doi：10.3969/j.issn.1673 - 0194.2016.22.157

[中图分类号]O211.6-4；G642.3 [文献标识码]A [文章编号]1673-0194（2016）22-0-01

随着全社会对应用型人才的需求在不断加大。对于统计学专业的本科生而言，无论选择就业还是继续深造，都应具备利用统计学专业知识解决实际问题的能力。应用随机过程作为概率论的自然延伸，偏向于随机数学的特征。其在各领域，如天气预报、生物中的群体生长、遗传、排队论、人口理论、经济数学等众多领域有广泛的应用。高等院校为了培养社会需求的应用性人才，要努力提高学生的综合素质、增强学生实际解决问题的能力，就教学层面来说，统计学专业的应用随机过程课程建设不容忽视。为此，笔者根据应用随机过程的教学经验，剖析周口师范学院统计学专业应用随机过程教学现状及存在的问题，并提出相关改进对策。

1 应用随机过程的教学现状

周口师范学院在第四学期为统计学专业本科生开设了应用随机过程这门课程，每周3个（3节理论课）学时，共51学时。主要讲授预备知识、随机过程的基本概念、泊松过程、更新过程、马尔可夫过程等几个部分。应用随机过程在内容体系上与数学分析、高等代数、概率统计、微分方程、实变函数等紧密相连，学校目前的教学以教师讲授为主导，学生处于“被动”学习状态。

2 教学过程中存在的问题

第一，应用随机过程是以数学分析、高等代数、概率统计、微分方程、实变函数为基础的一门应用型课程。学院统计学专业的学生没有开设实变函数（测度论）和微分方程这两门课程，学生在刚学完概率论就直接开始学习随机过程，缺乏测度和解微分方程的基本思想和方法，因此，在理解随机过程的基本理论和相关证明时难度较大。

第二，现行的课程教学过于强调“重思想、重方法”。数学分析、高等代数和实变函数等“数学”课程与概率统计是随机过程课程理论研究的主要工具，该课程的很多理论及模型建立需要用到数学的方法和技巧。目前教学中，没有过多强调必要的数学过程与技巧，仅仅将其作为解决随机过程基本思想的工具，着重于基本思想和解决问题思路的分析。同时，在实际教学中，针对随机过程模型背景设定，没有足够的课时教会学生如何去验证模型为什么正确。

第三，教学过程中，没有将应用随机过程方法应用于解决实际问题。由于教学大纲中没有设置上机课（仅仅是任课教师个人在理论讲授之余抽出极其有限的时间利用统计软件R、SPSS、Eviews给学生做课堂演示）。应用随机过程理论教学与实践相脱节，相当一部分学生在随机过程方法处理实际问题时，感到不知所措，不会运用相关统计软件来完成随机过程的模拟、运算，即便偶尔能够运用软件，却不知该如何对操作结果做出合理的解释与分析。

第四，教学师资不足。学校统计学专业是2010年新设专业。讲授应用随机过程的教师严重不足，没有形成良好的教学团队和营造出良好的教学氛围。不利于课程教学质量的大幅度提高。

3 应用随机过程教学对策

应用随机过程课程既是专业核心课，又是重要的专业主干课，在统计学专业教学中居于承上启下的中心地位。通过不断的教学改革提升教学质量，为高校培养高素质、应用型人才的目标做出一定的贡献是笔者的主要目标。为此，笔者根据应用随机过程的教学经验及教学现状，针对该课程的性质对教学改革提出以下几点对策。

3.1 合理设置先修课程

在现行的教学模式下，调整统计学专业先修课程的设置，将微分方程和实变函数（测度论）两门课放在前三个学期学习，同时微调概率论的教学大纲，适当增加学时，加深对随机理论的讲解，为第四学期应用随机过程的学习做好充分的理论准备。

3.2 弱化“重思想、重方法”理念，强化以“任务”驱动教学的方法

为了使抽象的随机过程知识便于理解，教师致力于从直观性、趣味性和易于理解的角度介绍随机过程，增加与实际生活贴近的例子，深入浅出，以点带面，

使学生明确领悟教学内容。同时，在练习中选取一些小的随机过程模型，让学生从实际背景出发，建立模型，运用所学知识来解决问题，通过讨论和分析，学生自己寻找解决问题的方法，真正实现学生在学习中的主体地位，教师在教学中的主导作用。

3.3 加强教学内容的应用性

改革学校应用随机过程课程教学应用不足的局面。一方面，增加应用随机过程与其他学科的交叉学习，更要在精选知识、交叉融合上下功夫，搞好整体优化。另一方面，增加上机课（实验课）借助统计软件，如SAS、SPSS、R或Eviews加强学生数据处理和实际分析问题的能力。

3.4 提高现行教师的教学水平与引进新的教学力量相结合

为了更好地v授应用随机过程，一方面，任课教师应不断加强业务学习，更新知识，改善知识和结构，了解本方向知识的前沿性。可在每学期开设学习讨论班，加强教师之间的交流学习，积极参加各种学术会议，开阔视野。另一方面，在教师岗位设置允许的前提下，引进新的教学力量，尤其是一些专业素质过硬，博学多识的博士，扩充到教学团队中来，整体提升应用随机过程的教学队伍。

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关键词:保险精算;数学专业;课程教学;统计建模

一、引言

“保险精算”是以数学、统计学、经济学和保险学等理论为基础，对人寿保险或财产保险过程中的财务风险进行分析、预测和管理的综合性应用科学，广泛应用在保险公司保险研发、费率厘定、财务分析等业务中，在金融学、投资学、社会学等众多与风险相关的领域也有广泛的应用。随着我国保险行业的迅速发展，精算行业人才需求不断增加，“保险精算”课程越来越受到重视，越来越多的高校开设了这门课程［1］。目前，“保险精算”课程主要面向经济管理类专业，是面向精算学专业、保险学专业学生的核心课程之一。［2］同时，作为数学与保险学的交叉学科，很多高校数学专业，如数学与应用数学、统计学专业等也开设了“保险精算”课程，授课内容略有差异，一般作为数学专业高年级选修课，在“数学分析”“概率论”“数理统计学”等理论课程后开设［3］。2015年，大连海事大学数学系面向第一批统计学专业学生开设了“保险精算”课程，共54个学时，教学内容以利息理论和寿险精算学为主，课程考核由期末闭卷考试(70分)、大作业(10分)和课堂表现(20分)组成。4年来，教学团队听取专家和学生意见，不断总结教学经验，及时发现教学过程中存在的问题，依据学校教学质量管理方法，及时分析原因并改进，教学质量逐渐提升，学生的满意度和教学成绩也逐年提高。2020年3月，“保险精算”课程将面向数学与应用数学、统计学两个专业，即面向学校全体数学专业学生开设。面向数学专业学生的“保险精算”课程如何定位、如何安排教学内容，与精算专业学生相比，数学专业学生学习“保险精算”课程有哪些优势，能够带来哪些机遇，学习过程中会遇到哪些问题，任课教师应如何针对数学专业学生因材施教等，都是值得深入探讨的课题。

二、数学专业学生学习“保险精算”课程的特点

1．理论知识扎实，逻辑思维能力强

“保险精算”课程一般设置为高年级学生选修课，在此之前，数学专业学生在“数学分析”“高等代数”“高等概率论”“数理统计学”等基础课程的学习过程中，已掌握扎实的数学理论基础，养成了理性、严谨分析问题的习惯，创新思维和统计思维得到很好的锻炼。与经管类专业学生相比，数学专业学生学习“实变函数论”“测度论”等专业课程能够加深对概率测度的理解;“随机过程”“时间序列分析”等课程指导学生如何分析处理随机数据。因此在学习“保险精算”课程过程中，数学专业学生追求深刻理解数学定义的本质和数学定理严谨的数学推导过程。例如，非寿险精算中三种常见的离散型概率分布———泊松分布、二项分布、负二项分布被统一归为(a，b，0)分布类，其概率分布具有递推关系，从而得到经典的Panjer递推式。这一定理用于计算累计损失的概率分布非常重要。但定理的证明较为繁琐，深刻理解完整的证明过程需要较为扎实的概率论基础。多数面向经管类专业的“保险精算”教材将证明过程略去，仅介绍结论。面向数学专业的教材中给出这一结论的证明［4］，对深刻理解(a，b，0)分布类和Panjer递推式有很大帮助，并且这一结论在精算学之外也有广泛的应用，由于数学专业学生概率论基础扎实，要求掌握其证明过程并不困难。

2．能够熟练使用数学软件，具有较强的统计建模能力

“保险精算”课程中经常使用历史经验数据来预测未来的风险，因此需要对经验数据进行处理与运算，使用数学软件处理数据非常必要。例如寿险精算中，估计被保险人在每年的死亡率是一个十分重要的工作。由于人的生存分布十分复杂，无法使用简单的概率分布来拟合死亡率，因此寿险精算学中通常使用非参数统计的方法来拟合人的生存规律，即参考人身保险经验生命表，利用生命表可计算替换函数，从而计算各种人寿保险、生存年金的精算现值或责任准备金。目前拟合被保险人的寿命分布主要依据被保险人年龄、性别、保险性质、疾病史等因素。“大数据”时代下，未来的保险决策还会基于职业、收入水平、生活习惯、家族遗传病史、兴趣爱好和其他可能影响死亡率的信息，这些信息都可以转化为数据进行分析。［5］熟练使用数学软件能够快速有效地处理多维数据，在保费厘定的过程中发挥巨大作用。数学专业学生多数具有较好的编程能力，能够熟练使用数学软件，具有较好的统计建模能力。目前高校数学专业普遍开设了如“数学实验”“应用统计软件”等实验类课程，以讲授Matlab、R、SPSS等数学软件使用为主，很多学生也自学了高级程序设计语言。另一方面，数学专业开设的计算方法类专业课程(如“数值分析”“微分方程数值解”等)，也培养了学生较强的算法设计能力，能够熟练使用这些数学软件处理海量数据。

3．对数学在保险学领域的应用感兴趣，课程关注度高

“保险精算”课程对经管类专业学生来说与其他专业课或许并无特别之处，繁杂的精算符号运算和复杂的逻辑推理还可能带来学习畏难情绪。而数学专业学生一直学习抽象的数学理论课程，迫切希望运用所学理论解决实际问题。作为应用性较强的课程，“保险精算”在数学专业学生中广受欢迎，选课人数明显高于其他选修课。从每学期教学期中检查得到的教学反馈信息可见，学生普遍认为与数学理论课相比，“保险精算”课程内容具体形象，所讨论的问题与实际生活息息相关，在基础课中学习到的数学理论有了用武之地，现实案例分析和开放式的实验设计能够激发学生学习兴趣，带来快乐学习的体验。另一方面，数学与金融的交叉领域一直是许多数学专业学生的关注点，日趋火热的精算师资格考试受到越来越多的学生关注。目前大多数保险公司的招聘条件中，都有需要通过一定科目的精算师资格考试的条件限制，这就使得很多学生以通过精算师资格考试为目的进行任务驱动式的学习，“保险精算”课程成为某种意义上的精算师资格考试培训课。相比其他课程，这样“一举两得”的课程自然会受到欢迎。

三、数学专业学生学习“保险精算”课程中遇到的问题

1．经济学、管理学基础理论薄弱，缺乏相关辅助课程

由于保险精算学是以数学理论为基础对保险经营中的问题进行定量分析，是数学、统计学、保险学和金融学等多学科的交叉学科，因此理应在掌握一定的经济学和保险学基础后学习“保险精算”课程。但高校数学专业一般很少开设此类课程，因此数学专业学生的经济学、保险学基础普遍比较薄弱，缺少宽广的经济视野和经济分析能力，学习过程中遇到经济、保险领域的概念术语经常无法理解，对保险实务中的政策、制度、法规也知之甚少。因学时有限，这些内容无法在课堂展开教学，主要靠学生在学习过程中有针对性地补充。没有建立完整的经济学、保险学知识体系，不能系统地掌握全部知识，给数学专业学生学习精算类课程带来非常大的挑战。

2．师资严重匮乏，缺少实践经验

保险精算学是一个实用性较强的学科，该专业大多数学生在硕士毕业后选择在保险公司或者其他风险管理领域就业，具有博士学位赴高校从事精算教育的人才非常少，且这部分人大多任教于国内一流高校的经济管理学院。目前高校教师岗位大多数要求具有博士学位，因此面向数学专业“保险精算”课程师资严重匮乏，现有任课教师多是数学专业出身，精算专业背景的教师较少。数学专业教师其自身的经济学、保险学理论基础同样薄弱，一般没有参加精算师资格考试的经验，有保险精算从业经验的则更少，教师对保险实务认识不足。正因如此，大多数课程内容以理论为主，较少涉及实践教学，对保险实务中出现的一些专业术语缺乏本质理解，导致学生很难掌握课程精髓，影响教学效果。

3．部分数学专业学生缺乏学习动力，对精算学不感兴趣

“保险精算”设置在“数理统计学”等前置课程之后，一般面向高年级学生开设。高年级学生多数已有较为明确的职业规划。职业规划方向的差异容易造成对本课程认可上的两极分化。虽然保险精算方向受到多数数学专业学生的青睐，但仍有很多学生喜欢继续学习基础数学，偏爱数学理论的学习和研究;还有部分学生拟从事软件研发等相关职业，偏爱信息技术相关的课程。这些学生选修“保险精算”课程更多是为了完成学业的要求，缺少目标和兴趣爱好的驱动。若课堂内容选择安排不合理，例如单纯地以通过精算师资格考试为目标安排教学内容，会造成无备考计划的学生产生抵触情绪，更不愿意花费精力补充课本以外的经济学、保险学预备知识。同时课程中繁多复杂的理论框架、难以辨识的精算符号、精密的数据处理与计算过程和琐碎的保险实务背景也增加了课程难度，若缺少正确引导，很容易使学生产生畏难甚至厌学心理。

四、面向数学专业学生开设“保险精算”课程定位

1．不忘初心，为培养复合型数学人才服务

针对数学专业开设的任何一门课程，都不应偏离数学专业的培养目标，不应改变其培养数学理论研究人才和数学应用型人才的初衷。面向数学专业开设“保险精算”课程，不仅为了传授精算学知识技能，增加学生今后的择业路径，还要提高学生用数学解决实际问题的能力，特别是提高统计建模能力，提升学生素养，培养复合型数学人才。对于拟从事金融领域工作的学生，接触这门课是一个很好的学习精算理论、掌握精算技能、增加择业优势的过程;对于今后不打算参加精算师资格考试，也不打算从事保险精算工作的数学专业学生，也应该能够从课程学习过程中，依托处理保险领域的随机数据、建立精算模型等训练，提升统计建模能力，这种能力同样可以应用在数学科研教学或者其他领域中。虽然通过精算师资格考试可以作为课程学习的动力，但不应该是本课程的主要教学目标，不应将课程教学变成考试培训。因此，面向数学专业学生的“保险精算”课程，应坚持把提高逻辑思维能力和统计建模能力作为主要教学目标，对精算学中的数学模型、重要定理的证明过程、重要公式推导过程等应讲解透彻，不能因为“不在精算师资格考试范围内”就不重视精算问题的数学背景。为了坚持这一目标，应鼓励使用面向数学专业的教材［4］［6］，而面向经管类专业学生的教材以及精算师资格考试用书侧重精算学在保险实务中的应用［7］，可作为数学专业学生学习“保险精算”课程的补充资料。

2．扬长避短，以自身优势弥补金融理论不足

学习经济学基础和保险学基础对掌握“保险精算”课程是很有必要的，但面向数学专业开设的课程不可能也不应该花太多的时间在课上介绍经济学原理或保险实务的政策、法规、制度。教师可以指导学生在课下借助丰富的网络教学资源自学这些内容。同时，在新生入学教育阶段也应鼓励学生尽早明确职业规划，建议有从事金融业方向职业规划的学生在低年级选修“经济学基础”“保险学概论”等辅助课程。数学专业学生学习“保险精算”课程若不坚持自身专业特点，则无任何优势与精算专业学生竞争。因此教师应该采用“扬长避短”的教学方式激发数学专业学生潜能，充分利用其数学基础扎实、逻辑思维能力强的优势，一方面通过学习精算模型巩固和验证已学过的统计学基础知识，另一方面引导学生基于专业知识学习新知识，利用统计学理论解决保险费率厘定等实际问题来温故知新。通过构建精算实务中的数学模型提高学生的统计建模能力和使用数学软件处理数据的能力。例如寿险精算中由儿童寿险模型到“二孩时代”下的多元儿童寿险模型，由单因素、确定因素到多因素、随机因素的变化，由简单数据处理到“大数据”背景下海量数据的处理，推广、改进原有精算模型离不开深厚的统计学功底和数学软件的熟练运用，从而最大限度发挥数学专业学生的优势。学生掌握精算学的数学原理后，再重新审视其依托的保险实务背景，就会对涉及的经济学、保险学的概念术语有深层次的理解，一定程度上实现用自身的优势来弥补金融理论的不足。

五、基于优缺点分析和课程定位的“保险精算”课程教学方法

针对数学专业学生学习“保险精算”课程的特点，“不忘初心，扬长避短”就是要求教师坚持数学专业的人才培养目标，发挥数学专业学生的优势，用优势弥补自身不足，从而达到锻炼学生统计建模能力和学习精算技能的教学目的。

1．加强“保险精算”课程教师队伍的建设

鼓励从事“保险精算”课程教学的数学教师系统学习金融体系课程，不断扩充知识面，关注保险领域的最新动态，教学与科研相结合，提高教学质量，将保险与数学更好地结合。同时高校应该加大保险精算学人才引进力度，加强教师的进修培训与科研交流，建立高水平的金融数学与保险精算方向的教学科研团队。

2．动态更新教材和参考资料内容

坚持数学专业特色，鼓励使用面向数学专业的“保险精算”教材。与经典的数学理论教材可以用十年以上的情况不同，选用保险精算教材应注意内容的时效性。当前，保险业发展迅速，规模不断壮大，新的经济形势下产生了许多新的保险产品，几乎覆盖风险存在的各个领域;另一方面，在互联网金融蓬勃发展和“大数据”技术背景下，保险经验数据不断更新和完善，保险定价考虑因素持续增多，应用软件的研发和改进速度加快，国内外经济形势持续变化，保险规则制度不断丰富和改善，都促使保险精算学内容发生变化，教材内容往往落后于实际，不能满足需求。因此，教学过程中教师应不局限于课本内容，应时刻关注保险业最新动态热点，顺应学科发展要求，不断与时俱进、推陈出新，完善教学内容。

3．改进和完善教学方法

由于教学学时有限，鼓励教师充分结合多媒体教学，并搭配“雨课堂”等先进的教学辅助软件，以节省课堂时间，减轻教师和学生课堂上的负担，丰富教学内容，提高教学效率。对于需重点推导的精算公式不应一带而过，可以结合板书教学以加深学生印象;通过互联网资源建立联系群组，提供一个课下师生交流讨论答疑和分享教学资源的交互式平台;加强与学生的互动，在教学过程中引入真实保险案例，鼓励学生参与讨论，提高学生分析问题和解决问题的能力;安排一定的实验学时，发挥学生编程基础良好的优势，指导学生使用统计软件处理保险经验数据，对各类险种的数学模型熟练编程并计算其各项费率。

4．引导学生主动学习课外内容

由于学时限制，面向数学专业开设“保险精算”课程不能完全覆盖全部精算学知识，“寿险精算”部分一般可以覆盖“寿险责任准备金的计算”，对于“非寿险精算”仅进行简单介绍，或在其他课程中继续学习。若没有开设“金融数学”等前置课程，还需至少6个学时学习利息理论。在极其有限的学时里，教师应注重精讲精练，引导学生利用图书馆资源和网络资源，主动学习课外内容，理论学习与实践相结合，开展外延式教学［8］。可以将部分课外自学内容以大作业或个人学术报告的形式加入课程平时成绩考核中。

5．创造条件让学生参加社会实践

虽然教师可以指导学生设计数学实验来模拟保险实务过程，但检验学习成果最好的方法是参加实践。高校应努力为学生提供接触保险实务的机会，邀请从事精算相关工作的人士与在校学生交流，组织学生赴保险公司学习调研。鼓励学生参与保险行业的实习，争取与保险公司共建实习基地，获得宝贵的保险实务经验，从而提高学生的实践能力，提供就业机遇、展示择业优势。

6．借助优势学科培养交叉学科人才

保险学涉及范围十分广泛。在课程内容安排上，可以结合本校办学特点，将保险精算与本校优势学科结合，充分利用规模庞大、实力雄厚、资源丰富的学科优势，探讨合作领域，打造特色课程，培养交叉学科人才。例如，大连海事大学以航运为特色，2017年，学校为培养既懂航运又懂保险的复合型人才与保险公司联合开设了东海航运保险学院［9］。理学院“保险精算”教师团队以调研访学的方式，获得航运保险第一手资料，将航运领域的风险管理模式、航运保险实务的基本方法、经典案例、历史赔付数据等加入非寿险精算的教学内容中，丰富教学内容。

7．鼓励部分学生做保险精算相关的毕业设计和毕业论文

毕业设计是一个很好的学习与实践机会。应鼓励即将攻读金融数学、保险精算硕士学位的学生，或者即将从事保险精算方面工作的毕业生，依靠任务驱动和指导老师的帮助，对保险精算中的某一问题进行深入学习和研究。例如讨论投保人因经济原因无法继续支付保费的情况，学生可就如何计算保费的现金价值分情况讨论缩短保险期限或者降低保险赔付金额或者其他措施的实施方案;也可对原有数学模型进行改进或扩展，鼓励学生尝试结合时事热点，设计新型保险，尝试为新型保险定价;或将已有的保险产品改进完善，如设计以挂科为赔付条件的“大学生挂科险”［10］，以不能完成学业为赔付条件的“毕业险”等。这些贴近生活又充满趣味性的尝试，是很好的毕业论文研究课题，也为学生提供一个展示科研能力的平台。［11］学生也可以对精算模型中的数学问题进行深入分析，对假设条件进行适当放宽，如将保险公司的固定收益率假设条件放宽为随机收益率等。这样的统计建模训练不仅对打算从事保险方面工作的学生有益，对拟从事数学理论研究及数学与计算机结合方向学习和工作的学生来说都是十分有帮助的。