对角线的规律范文

导语：如何才能写好一篇对角线的规律，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

关键词：轨道交通；发展现状；铝合金；需求；研究

中图分类号：P135 文献标识码：A 文章编号：

轨道交通的发展是一个国家或地区城市化水平高低的重要体现，与其它的交通运输方式相比，轨道交通具有非常明显的特点与优势，因此能在实际中取得较为广泛的应用。轨道交通的发展不可避免地会增加对铝合金的需求量。加强对轨道交通发展现状以及其对铝合金需求的研究可以为轨道交通今后的发展提供可靠的依据与参考。不过，在对国内轨道交通的发展对策以及轨道交通对铝合金的需求这两个问题进行分析之前，我们先来了解一下国内轨道交通的发展现状。

1.国内轨道交通的发展现状

经过几十年的发展，我国的轨道交通已经取得了非常明显的发展与进步，但是与外国同时期的轨道发展状况相比，仍然存在着很多的问题，需要引起我们的高度关注与重视。归结起来，比较常出现的轨道交通发展问题主要有融资渠道问题、线网规划问题以及票制票价问题等几个方面。首先，融资渠道问题。从目前的实际情况来看，我国的轨道交通建设主要依据的还是政府投资以及以政府信誉为担保的借贷。对于一些地方政府来说，这种融资方式极易给政府部门带来极大的财政负担，而且这种融资方式非常不稳定，容易出现资金不足、运行亏损以及融资困难等问题；其次，线网规划问题。轨道交通在进行规划时，由于其范围可能存在的不一致，极易引发主城区通道协调困难的现象，这又会在不同程度上造成线网规划的不清晰与较差的可操作性，加大工程建设的资金投入；最后，票制票价问题。目前，我国轨道交通在发展过程中对票价杠杆的作用不加重视，还没有形成较为统一的票制票价制定策略，这给轨道交通的正常发展造成了一定程度的困扰。除此之外，轨道交通的票价结构没有体现长距离出行的政策，无法有效增强吸引客流的能力。

2.国内轨道交通的发展对策

鉴于轨道交通在城市发展过程中的重要作用，我们需要采取一些及时有效的措施，以更好的缩小与国外轨道交通发展水平之间的差距。归结起来，这些发展的对策主要有实施“打出去，走进来”的策略、对现有资源进行有效整合以及加强自主创新与集成创新等几个方面。首先，实施“打出去，走进来”的策略。进入21世纪，有不少的发展中国家都面临着巨大的轨道交通发展商机，对于我国这样一个发展水平较低、起步较晚的国家来说，必须抓住这样一个机遇，积极坚持和推进“打出去，走进来”的策略，在注重吸收外国先进经验的基础上，还必须努力参与市场竞争，在竞争中求生存与发展，逐步缩小与这些发达国家之间的差距；其次，对现有资源进行有效整合。目前，我国的轨道交通由于受到各种各样因素的影响与制约，发展水平还很低，现有的资源非常有限，所以要想取得较好的发展就必须首先采取多种措施，对现有的资源进行综合有效的利用，以充分发挥其应有的作用与价值；最后，加强自主创新与集成创新。当今社会，一个没有创新能力的企业、项目或者是人，是无法获得生存与发展的机会的，所以，为了更好的推动我国轨道交通的发展，并实现与世界水平的接轨，就必须首先增强自身的自主创新与集成创新能力，只有这样，才能在发展轨道交通的基础上实现本地区经济社会的快速发展。

3.轨道交通对铝合金的需求

轨道交通的发展必定会对铝合金的需求量不断加大，这是毋庸置疑的。那么，从微观角度来看，国内轨道交通的发展对铝合金的需求状况是什么样的，我们应该如何对这些现象进行准确科学的分析与研究呢？事实上，轨道交通对铝合金材料的需求是有一个不断变化的过程的，为了理解与阐述的方便，我们可以轨道交通对铝合金材料的需求分为以下三个阶段：其一，需求量缓慢增长的阶段。这一阶段的轨道交通发展较为缓慢，究其原因则在于国内经济实力有限，对轨道交通建设的内在要求也非常缺乏，因此在此情形之下，一般只有少量经济实力较为雄厚的城市才有建设轨道交通的需求，这也就决定了铝合金材料的需求量不大，其价格也不发生太大的变化；其二，需求快速增长阶段。随着国内各个城市经济的快速发展，道路拥堵问题日益突出，成为制约城市发展的重要因素，多数城市普遍表现出对大运量、高速度交通运输方式的渴求。从这个角度来看，轨道交通能够取得如此巨大的发展也就不足为奇了。这一阶段是轨道交通发展较为关键的时期，同时也是对铝合金等材料的需求较大的时期。这一阶段与第一阶段相比，无论是对铝合金的需求还是其价格都呈现出非常不稳定的状态，比如要依靠大量的进口来满足不断增加的市场需求，而且这种需求的增加会不可避免地推动国际市场上铝合金价格的上涨等；其三，需求基本稳定阶段。经过了第二个阶段的需求增加、价格上涨之后，接下来的阶段将会不断趋于稳定，这是因为轨道交通在后期的建设将会逐渐停滞，而且其使用年限较为固定，不需要对其进行更新，所以在这一阶段无论是需求还是价格都与第一阶段的状况不断接近。鉴于这些特点，我们在实际进行操作的过程中，可以在充分把握这些特点的基础上尽量降低铝合金材料的购买支出费用，同时更好的维护铝合金市场的稳定。

4.结语

轨道交通是伴随着我国城市化进程的不断推进而产生和出现的，因其所具有的特点与优势而取得了非常迅速的发展。但从整体上来看，我国轨道交通的发展与外国仍然存在着较大的差距，现状依旧不容乐观。轨道交通的发展必然会对铝合金的需求不断增加，因此，我们有必要对轨道交通的发展现状以及其对铝合金的需求问题进行一番分析与研究。本文从国内轨道交通的发展现状、国内轨道交通的发展对策以及轨道交通对铝合金的需求等几个方面进行了分析与阐述，希望可以为以后的相关研究与实践提供某些有价值的参考与借鉴。在具体进行阐述的过程中，可能由于各种各样的原因，还存在着这样那样的问题，在以后的研究与实践中要加以规避。

参考文献：

[1]孙杰.国内外轨道交通产业发展现状与对策[J].江苏科技信息,2007,6（25）：89-90.

[2]顾岷.我国城市轨道交通发展现状与展望[J].中国铁路,2011,10（15）：123-123.

[3]欧阳洁，钟振远，罗竞哲.城市轨道交通发展现状与趋势[J].中国新技术新产品,2008,12（25）：67-68.

篇2

笔者以具体的实践案例为例，就“归纳推理过程”的课堂教学诊断展开分析论述。

一、一个课堂教学片段

为了更好地了解初中数学教师课堂教学的实际情况，笔者在A城一所中学开展了一次教研活动，其中的一节数学课是人教版八年级下册“矩形”的第一课时的内容。

在导入新课后，教师首先请学生回忆平行四边形的研究思路及性质，而后演示了平行四边形的模具，引导学生归纳出了矩形的概念。

此时，教学进入了矩形性质的学习阶段，教学活动如下：

师：类比平行四边形的性质，请同学们独立思考，猜想矩形有哪些性质？（历时1分30秒）

师：思考后，先在小组内进行交流，把所得结果写在一张纸上，一会儿到讲台前交流。（历时1分20秒）

师：请大家注意，需要同时验证你的猜想。（学生验证自己的猜想历时2分10秒）

师：请同学们展示你的猜想，矩形的性质和结论。

生1：具有平行四边形一切性质，四个角相等，都是直角，并且对角线相等。

生2：矩形是由平行四边形转化而来，具有平行四边形一切性质，四个角都是直角，并且对角线平分且相等。

师：针对矩形，大家有两个特殊的猜想，一个是“矩形的四个角都是直角”，对于该猜想的证明，根据定义很容易给出；另一个猜想是“对角线相等”，对于这个猜想，你有哪些验证方法？

生3：可以通过度量对角线的长度来验证。

生4：用两个完全一样的矩形，分别连接两条对角线，然后把这两个矩形重合，绕着对角线的交点，旋转上面的矩形，当上面一个角的顶点与下面一个角的顶点相互重合后，可以发现两条对角线重合，这就说明两条对角线相等。

生5：证明RtABC≌RtBCD.（图形略）

生6：利用勾股定理可证明：AC=BD。（图形略）

师：下面请一名同学上台写出证明过程。

（一名同学在黑板上写出了证明过程，其他同学在下面证明）

在这个教学环节中，活动进展得比较顺利，学生很快就知道了矩形的两条性质，并用了四种方法进行验证。

但是，课堂上还有一种非常明显的现象，这就是，课堂气氛沉闷，学生思维并不活跃。那么，为什么会出现这种现象呢？笔者认为，对此问题有必要进行深入地研讨。

二、针对“课堂沉闷”现象的教学审视

首先，在上面的这个教学片段中，学生通过类比、猜想，得到了矩形的性质，似乎是全面的，其实未必。

矩形是由平行四边形转化而来，具有平行四边形一切性质，其基本性质是通过演绎而得到的。而矩形又是特殊的平行四边形，它的特殊性质并非能通过类比而得到。其实，平行四边形并不具有“对角线相等、四个内角都是直角”的性质，因而，无法类比得到。而矩形的这两条性质又是本节课的重点，它的灵活应用更是本节课的难点。对于那些“学得不好，学得不快”的学困生来说，进行这种猜想是其能力所不及的。

其次，在验证“对角线相等”的这条性质中，生3“度量”法和生4“旋转”法，是真正的“验证的方法”吗？

其实，验证是需要证明的，就像哥德巴赫猜想一样，直到今天人类尚未完成。证明是需要演绎推理的，生3“度量”法和生4“旋转”法都不是严谨的演绎推理方法，因而，这两种方法只能是探究的方法、猜测方法。

上面的教学片断存在的问题，实质上是由于任教教师对“归纳推理的过程”理解不清、对矩形作为特殊的平行四边形的“特殊性”没有真正关注所致。同时，教师并没有站在学生的角度，诱发学生产生积极的思考，在动态演示的过程中，没有让学生体会到“从一般的平行四边形演变为矩形的过程”，这也许是“课堂沉闷”现象产生的主要原因吧。

几何推理是几何课程内容的核心内容之一，这里的推理包含两部分，一是归纳推理即包括归纳、类比、猜想等在内的推理，也称之为合情推理；二是演绎推理。在中小学课堂教学中，通常采取三种推理方式，第一种是典型的不完全归纳推理，其结论仍是“猜想”，这种推理常常用来佐证、猜想；第二种是借助图形直观的操作（图形运动），有时可以用来进行不严格意义下的证明，在某些条件下也可以用来进行严格的证明，这种推理形式常常用来说理（例如，“仅有图形而不需要文字说明”的无字证明）；第三种则属于典型的演绎证明。让学生是否获得三种活动的直接经验，是否经历过相应的推理活动，对学生关于推理的掌握程度有显著影响。

三、解决“课堂沉闷”现象，教学须体现出浓厚的学科韵味、深刻的学科内涵

让学生经历“归纳推理的过程”，其实是为了让每一位学生都经历学科思考的过程，获得直接的经验和体验，建构真正的学科理解，最终形成良好的学科直观。

为此，在不改变这节课先前环节的前提下，可以将“矩形的性质的探究”作如下调整：

将生3“度量”法和生4“旋转”法，改为探究的方法，以面向全体；如果有的学生学有余力，可鼓励其采用折纸的方法进行进一步探究。

在平行四边形的模具框架上，用橡皮筋拉出两条对角线，此时可让学生思考，若改变平行四边形的形状，两条对角线的长度有怎样的变化？

（学生可以通过两条橡皮筋的松紧程度猜想两条对角线长短的关系，当夹角为锐角或钝角时，一条橡皮筋紧、一条橡皮筋松。当夹角为直角时，两条橡皮筋的松紧程度相同，可以猜想两条对角线相等，再进一步可以度量。

从数学抽象的角度看，这一步是实物直观层面的抽象，其关键在于，借助两根相同的橡皮筋，帮助学生建构“矩形对角线相等”的图形性质。

在上面的“矩形由平行四边形转化的过程”中，可以发现一个现象，即两条对角线始终相等。那么，是不是所有矩形都具有这个规律呢？我们如何验证它？

对此，可以借助几何画板来制作一个矩形课件，在矩形动态变化下，分别度量出相应的两条对角线的长（即拖动矩形角上的一点，以改变矩形的大小），此时可以发现，无论在任何情况下，两条对角线的长度始终保持相等。

这个探究活动完全可以由学生（或学生小组）独立完成（一般不需要教师的实质性介入）。

利用生4“旋转”法进行探究。即，给每个学生准备两个完全一样的矩形，分别连接两条对角线，然后把这两个矩形重合，接着沿对角线交点旋转上面的矩形，当上面一个角的顶点与下面一个角的顶点重合后，发现两条对角线重合，这就说明两条对角线相等。

（如此，通过学生的动手实验、探究观察，学生积累了动手的经验和探究的经验，从而培养了学生的几何直观能力）

利用折纸的方法进一步探究矩形相关的性质。矩形是轴对称图形，并且有两条对称轴。准备一张A4纸，沿一条对称轴对叠A4纸，接着再沿另一条对称轴对叠，形成一个小的矩形，最后沿小的矩形的对角线对折（其中，对角线的一个顶点是两条对称轴的交点）。展开后，就可以发现A4纸的两条对角线相等。

当然，这个活动也可以作为部分学生课后研究的问题，而作为全班同学的共性要求可能高了一些。

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一、例题解析

例1：在北师大版教材《数学》九年级上册第三章中有这样一道题目：任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴进行交流。

在做这道题时，我请学生画一画、推一推、量一量、猜一猜并证一证。

思路点拨：为了说明题目的一般性，我们在教材原图（图1）的基础上再画出图2。该题目是探索四边形EFGH的形状，我们可从四边形EFGH的四条边的数量关系和位置关系入手。由题设知点E，F分别为AB，BC的中点，符合三角形中位线定理的条件，可构造三角形的中位线，故连接AC，则EF是ΔBAC的中位线，同理GH是ΔDAC的中位线。

解：如图1、图2，四边形EFGH是平行四边形。证明如下：

连接AC，

点E，F分别是边AB，BC的中点，

EF∥GH，EF=GH。

四边形EFGH是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。

评注：该题也可连接BD，通过证EF∥GH，FG∥EH，或证EF=GH，FG=EH，均可获得结论。这是对平行四边形的定义和判定定理的考查。解该题的思路是构造三角形及其中位线，这是数学中常用的“建模”思想，把四边形两边的中点转化为三角形两边的中点，又体现出转化思想。从该题的推理过程我们发现：中点四边形EFGH的形状是由原四边形ABCD的两条对角线AC和BD的数量关系和位置关系来确定的，不论原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

二、继续探究

1.如果把上题中的“任意四边形”改为“平行四边形”，它的中点四边形是什么形状呢？

根据三角形的中位线的性质定理可知：EH∥FG，EH=FG，所以，平行四边形ABCD的中点四边形EFGH还是平行四边形。证明方法和例1类似。

2.把“任意四边形”改为“菱形”或“矩形”，它的中点四边形仍是平行四边形吗？是不是更特殊？

依次连接四边形各边中点所得的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？

思路点拨：以菱形的中点四边形为例，由于菱形的两条对角线互相垂直，因此其中点四边形除具有对边平行且相等的性质外，还可推出邻边互相垂直，故菱形的中点四边形是矩形。因为矩形的两条对角线相等，所以可推出矩形的中点四边形是菱形。证明方法和例1类似。

3.把任意四边形改为“正方形”，它的中点四边形是什么四边形？

思路点拨：正方形的对角线既相等又互相垂直，所以，正方形的中点四边形是正方形，证明方法和例1类似。

反过来，中点四边形为正方形的图形举例如下：

通过观察和探究上图可以知道，中点四边形是正方形的原四边形不只是正方形，只要当原四边形的两条对角线满足相等且互相垂直时，它的中点四边形就是正方形。

4.把任意四边形改为“一般梯形、直角梯形、等腰梯形”，它的中点四边形又是什么四边形呢？

通过观察和探究，我们会发现它们的中点四边形是平行四边形，当它是等腰梯形时，它的中点四边形又是特殊的平行四边形――菱形。

三、小结

结合我们刚才探究的各种图形，我们可以总结如下：

任意四边形的中点四边形都是平行四边形；

平行四边形的中点四边形是平行四边形；

矩形的中点四边形是菱形；

菱形的中点四边形是矩形；

正方形的中点四边形是正方形；

一般梯形的中点四边形是平行四边形；

直角梯形的中点四边形是平行四边形；

等腰梯形的中点四边形是菱形。

四、问题讨论

结合刚才的证明过程，讨论并思考：

（1）中点四边形的形状与原四边形的什么有密切关系？

（2）要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？

（3）要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗？

通过画一画、推一推、量一量、猜一猜和证一证，学生得出以下结论：

（1）中点四边形的形状与原四边形的对角线有密切关系；

（2）只要原四边形的两条对角线相等，就能使中点四边形是菱形；

（3）只要原四边形的两条对角线互相垂直，就能使中点四边形是矩形；

（4）只要原四边形的两条对角线既相等又互相垂直，就能使中点四边形是正方形；

（5）如果原四边形的两条对角线既不相等又不互相垂直，那么它的中点四边形是平行四边形。

篇4

关键词：中学数学 课堂教学 设计习题

中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：1008-925X(2012)O9-0263-01

教学中，我们应根据课程标准，熟读教学内容、在理解编者意图基础上利用好教材，从学生的实际出发，合理性、适当性、适度性、梯度性、多样性、趣味性地安排课堂练习，激发学生兴趣，调动学生学习的积极性，从而提高课堂质量。下面以《菱形的性质》为例对“课堂练习设计的有效性”的有关尝试，

一、课堂练习要有适度性、梯度性

教师要根据本班学生的实际来设计练习，注重差异，使不同的学生在练习中有不同的巩固、收获和发展。所以练习要求不能太高，也不能太低，把握好：“合理性、适当性、适度性”的原则，由易到难，循序渐进，既要让差生“吃好”，又要让优等生“吃饱”，从而适应不同层次学生学习的需求。在《菱形的性质》这一课中，我就精心设计了四个不同层次的练习：

如：第一个练习，在得出菱形的两条特殊性质菱形的四条边都相等。菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角后，马上请学生运用性质完成几道针对性很强的练习，1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.2.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，若AB＝5cm,AO=4cm，则AC= _______ BD= _______ 巩固新知，加深印象。

第二个练习，是数学书上的例题，一道生活应用问题，例1：菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（ 分别精确到0.01m和0.01m）。为了更好的检测学生对新知识理解和掌握情况，我特意将原例题中的“边长为20m”改成“周长为80m”，为了巩固前面学习的对简单的根式的化简，我又将原题“分别精确到0.01m和0.01m”删去，让学生算出准确值(教育学/中等教育论文 /)。并且在随后的练习题中巧妙安排菱形面积计算，如：菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的周长是__，面积是__。让学生自己去归纳，菱形面积的计算方法不仅是小学学习的平行四边形面积的计算方法：底×高，还可以利用菱形对角线的长度来计算菱形的面积：对角线乘积的一半。当学生将例题解决后，我又将例题进行变式，将原题中的“∠ABC＝60°”改成“∠BAD＝120°”，让学生动脑思考，如何解决。

第三个练习，菱形的对角线互相垂直，菱形的面积等于对角线乘积的一半，对角线互相垂直的任意四边形的面积是否也等于对角线乘积的一半？这是一道能力提高题，由菱形面积的特殊性延伸到对角线互相垂直的任意四边形，学生用菱形面积的推导方法不难推出对角线互相垂直任意四边形的面积也可以是对角线乘积的一半。这样类比延伸的练习题不仅拓宽了学生的视野，而且此题设计在熟练掌握和应用菱形面积公式后，实际是有梯度的，符合学生接受知识有简入难过渡规律，使每个层次的学生都有“事”可做。

第四个练习，是一道思考题。把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？这道题的设计来源于生活，易于学生动手操作，图形可以形象直观的展现在学生面前，便于学生动脑思考，这道题实质上是菱形的判定的应用，在本课有意安排其实是提示和督促学生预习。

通过以上四个由浅入深的练习，使学生：1、掌握了菱形的两条特殊性质，能运用公式正确地计算菱形的面积。2、了解菱形的特殊性质和面积计算公式在实际生活中的应用，体会数学的价值。3、结合菱形面积计算公式的推导，锻炼自己的探索精神，拓宽了自己的视野，提高了解决问题的能力。达到了这节课的教学目标，从而使教学保质保量，高效率的完成。

二、课堂练习注重多样性、开放性

课堂练了要有基础练习，还必须要有拓展性习题，让学生“跳一跳，才能摘到果子”。这样，学有余力的学生就会在解题过程中表现出强烈的挑战欲望，产生浓厚的学习兴趣。条件不完备、问题不完备、答案不唯一、解题方法不统一的练习，具有发散性、探究性、发展性和创新性的特点，有利于促进学生积极思考，激活思路，能从不同方向去寻求最佳解题策略。如，例题的设计及变式题和第三个练习的设计，有意识地设计一些能开拓学生思路的，有利于学生自主探索解决问题的练习。通过这样的练习，学生的思维越来越灵活，应变能力越来越强，而不被模式化的定势所束缚。

三、课堂练习应有生活实用性、趣味性

数学源于生活，又高于生活。数学练习的设计一定要充分考虑数学知识点产生的原因，不断加强生活与数学教材的联系，从学生的“最近发展区”出发，使课堂练习的设计有生活实用性、趣味性。这样的数学习题才有益于学生理解数学、热爱数学，让数学成为学生发展的重要动力源泉。如：例题的设计，不仅巩固了菱形的性质，还从另一个角度反映出菱形的美在生活中的应用。联系生活实际进行练习设计，可展现数学的应用价值，让学生体会生活中处处有数学，数学就在自己身旁，从自己身边的情景中可以看到数学问题，运用数学可以解决实际问题。让学生觉得学习数学是有用的，使他们对学习数学更感兴趣。

四、课堂练习时间的保证

篇5

一、从一道习题说起

“中点四边形”是苏科版初中数学九年级上册《中位线》一课第二课时的教学内容，旨在引导学生发现一系列连接各边中点得到的四边形与原四边形两条对角线的数量关系和位置关系，从中体会图形的数量关系和位置关系从一般到特殊的变化规律，全面地认识图形。课后，我给学生出了这样一道习题：

顺次连结四边形四条边的中点，所得的中点四边形是菱形。

此题主要考查三个方面的内容：一是对三角形中位线定理的运用；二是对转化思想、从一般到特殊的思想的运用;三是有条理地思考、判断及用几何语言表达。它的正确答案是“对角线相等的四边形”，但大部分学生写出的答案是“矩形”，也有少部分学生写出的答案是“正方形”。因此，学生的错误在于以部分替代了整体，以特殊情况代替了一般情况，其背后，犯的则是逻辑性错误和策略性错误——以非本质属性替代了本质属性。

如此多的学生出了原本不该出的错，是否与本节课的教学设计有一定的关联呢？

二、原先的3个探索活动

纵观该课，我给学生设计了3个探索活动。

【探索活动1】

自主探索：

连接任意四边形四条边的中点，能得到什么图形？并给予证明。

【探索活动2】

解答下列问题串：

问题1如果把上面的“任意四边形”改为“平行四边形”，它的中点四边形是什么形状呢？

问题2把“任意四边形”改为“矩形”，它的中点四边形仍是平行四边形吗？会不会成为更特殊的图形？再把它改为“菱形”、“正方形”呢？

问题3改成“一般梯形”、“直角梯形”、“等腰梯形”呢？

【探索活动3】

思考讨论下列问题：

（1）中点四边形的形状与原四边形的什么有密切关系？

（2）要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？

（3）要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗？

从这3个探索活动可以看出，学生探究是沿着从一般到特殊的顺序开展的，原四边形的形状也是从一般四边形逐步变为特殊四边形的。这是一种重要的研究变化规律的数学学习方法。但是，这样的设计忽视了对学生从对角线关系这一问题本质的角度进行思考的引导，而强化了学生对平行四边形等一系列重点学习过的边角关系逐渐特殊化的四边形的印象。也正因为如此，无形中将“顺次连结矩形四条边的中点，所得的中点四边形是菱形”这一非本质属性得到强化。尽管在后面的活动中，教师也引导学生去思考“要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗”,但是，前面的探究及作图留给学生的印象还是更深刻一些，以致学生在有意无意中忽略了对三角形中位线定理的运用，自然也就影响到对解题策略的选择。

三、对3个探索活动的改进

起初，我试图按照从特殊到一般的思路重新设计探索活动：从正方形开始逐步弱化对角线条件。但是，我发现这和前面的设计一样，都需要教师强调、突出，甚至直接指出对角线条件，否则,学生还是会过度关注边角条件。因此，我决定从一个实际问题入手：

【探索活动1*】

尝试解决下列问题：

(1) 一块白铁皮零料的形状如图1，工人师傅要从中裁出一块平行四边形白铁皮，并使四个顶点分别落在原白铁皮的四条边上，可以如何裁？

【探索活动2*】

原探索活动2。

【探索活动3*】

思考讨论下列问题：

(1) 如图2,探索决定中点四边形EFGH形状的原四边形ABCD的主要因素。是边、角,还是对角线？

(2) 反之，若中点四边形EFGH分别为矩形、菱形和正方形，则原四边形ABCD是否一定分别为菱形、矩形（等腰梯形）、正方形？

改进后的亮点在第1个和最后1个探索活动。第1个探索活动从一个条件非常简单、具有一定探究难度的实际问题入手，引导学生思考、讨论，想到与同一条对角线相关的两条三角形中位线，得出取各边中点的方法，从而自然地让学生发现：任意一个四边形的中点四边形都为平行四边形。而最后1个探索活动引导学生深入思考、归纳强化问题的本质：决定中点四边形形状的主要因素是原四边形对角线的数量关系和位置关系，并引导学生逆向运用这一本质发现，从而彻底掌握这类问题，排除非本质属性的干扰。

篇6

关键词：教学形式；创设情境；合作学习；学习方法；多媒体技术

长期以来，数学教学在沉闷、缺乏生气中进行。学生没有学习热情，没有积极性，怕数学，更不用说激发创意和不断探索的精神了。很多数学老师都在苦苦探索和寻求解决这个问题的方法。怎样使数学课堂充满生机和活力？怎么使学生喜爱数学并激发其创意和探索精神？经过培训学习，初步找到了数学教学中存在的问题：教师在备课时更多的是考虑自己怎么“教”，而很少考虑学生如何“学”。现在，教师的教学观念和教学习惯需要改变。我们应更多地思考学生如何‘学’，以“为学习而设计、为学生发展而教”。

一、改变教学形式，重视数学活动

在四边形内角和定理的教学中，让每位学生任意画一个四边形，然后用剪刀剪下来，再把它的四个角也剪下来拼在一起，问学生发现了什么？学生通过动手操作发现四边形四个内角拼在一起等于一个圆周角即360°，最后再引导学生进行说理论证。在讲四边形的外角和时，在教室后面宽敞的地方任意画一个大四边形（如下图）。让一个学生从点O出发转∠1至点A，再转∠2走至点B，转∠3走至点C，转∠4走回至点O。问学生发现了什么？学生发现刚好转了一圈，感性认识到四边形四个外角之和是360°。在多边形外角和定理的教学时，也让学生以这种方式去理解。通过开展数学活动，让每一个学生都参与数学，有利于激起学生的探索热情、养成学生的探索习惯、培养学生的探索能力。

二、创设问题情境，激发学生求知欲

在多边形内角和定理的教学时，作如下设计：按顺序画出四边形、五边形、六边形、……n边形，并经过这些多边形的一个顶点作出它的所有对角线（如下图）。

问：四边形的内角和等于多少度？五边形的内角和等于多少度？六边形呢？……n边形呢？学生通过探索发现：经过n边形的一个顶点作n边形的所有对角线，可作（n-2）条对角线，这些对角线将n边形分成了（n-2）个三角形，因此n边形的内角和等于这（n-2）个三角形的内角和即（n-2）×180°。在这个过程中，让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的思维过程，同时也领悟到化归的思想，把多边形问题转化为三角形问题。再用下面两个问题来帮助学生进一步理解多边形内角和定理及化归思想：（1）在多边形内部任取一点0，将点0与各顶点连接，得几个三角形？n边形内角和怎样计算？（如下图）

三、运用现代教育技术手段和直观教具，提高学习效果

在平行四边形及其性质的教学中，制作课件，利用多媒体手段使图形动化，让学生观察。问：什么是平行四边形？然后启发学生从平行四边形的边、角、对角线等方面去思考。经过观察、思考和讨论，从而得出平行四边形的性质，再让他们进行说理证明。

在“梯形”的教学中，为使学生理解作辅助线的方法，教师准备一些梯形硬纸片（大小不相等）和一个小三角形硬纸片，让学生观察。并提出问题：（1）能把梯形分成两个三角形吗？（2）能把梯形分成一个平行四边形和一个三角形吗？（3）能把一个梯形分成一个矩形和两个三角形吗？（4）要把梯形变成一个大的三角形，怎么办？教师可提示：在梯形的上底拼上一个小三角形，试试看。学生通过动手操作很快回答出了上述问题。这些问题为学生后面学习等腰梯形的性质和判定作了很好的铺垫，也为证明有关梯形几何题作辅助线的方法有了一定的理解。运用现代教育技术手段和直观教具，有利于培养学生的观察能力，加深学生的感性认识。

四、鼓励合作学习，培养创新能力

在三角形和梯形的中位线定理的教学中，事先准备好若干三角形、梯形硬纸片和若干把剪刀。给各小组的问题是：你能把一个三角形剪去一个内角拼成一个平行四边形吗？你能把一个梯形剪去一个内角拼成一个三角形吗？如何剪怎样拼？看哪一组先完成任务。各小组各抒己见，共同合作，每个组都有自己与众不同的答案，每个小组派代表抢答。各小组将所剪拼图形贴到黑板上或墙上，剪拼方法有若干种（如图）。表扬优先完成任务者。然后进行说理论证，这种方法能激发学生的学习兴趣，提高学习的积极性和创造性。

图1沿中位线DE剪，把ADE绕点E旋转至CEF位置得平行四边形DBCF

图2沿AE剪，点E是CD的中点，把AED绕点E转动180°到FEC得ABF

图3沿中位线EF剪，把梯形AEFD绕F转动180°到HGFC的位置得平行四边形BHGE

五、教给学习方法，提高学习效率

每门学科都有其自身特点和思维方法。数学也是如此，教师要教给学生学习方法和思维策略。如：在四边形的教学中，教学重点是特殊四边形的定义、性质及其判定，而性质又是通过对四边形的边、角、对角线等的研究与分析获得的。特殊四边形的判定又恰好是其性质的逆命题。因此，学习四边形，要抓住四边形的边、角、对角线及其性质、判定这一关键来学习。掌握了学习方法，学习效率会大大提高。教学生学以致用。如：（1）四边形的不稳定性在日常生活中有什么用，请举一些例子；如何克服四边形的不稳定性？（2）形状、大小完全相同而不规则的四边形可以用来镶嵌地板吗？为什么？让学生剪一些硬纸片亲自实践一下。（3）工人师傅在做门框或矩形零件时，常用测量平行四边形的两条对角线是否相等来检查直角的精度，这是根据什么道理？（4）如何利用三角形中位线定理来测量池塘的长度？（5）怎样计算人字形梯子横档的长度？学生在学中用，在用中学，就能进一步理解和巩固所学知识。

总之，数学教学要以学生主动发展为宗旨，充分考虑学科特点、学生学习特点、认知规律和年龄特点，积极开展数学活动，让学生在活动中、在动手操作中学会数学知识；在直观形象化教学中获取数学知识；在学以致用中理解和巩固所学知识……这就要求教师认真学习新的教育思想，改变教学观念和教学行为，认真分析研究课程，整合教学资源，精心设计教学，使教学更符合学生认知特点和规律，以不断促进学生主动地学习发展。

参考文献：

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论文关键词：Fe、Sr、Mn微量元素，C、O、Sr同位素，成岩流体，卡洛夫-牛津阶，萨曼杰佩气田，土库曼斯坦

 

0 前言

海相碳酸盐岩微量元素和碳、氧、锶稳定同位素地球化学方法，被广泛地应用于研究全球海平面变化、古环境，成岩演化历史和流体性质[1-3]，国内外已积累有不少研究成果，如Veizer 和Fritz 等（1986）建立了古生代至中生代可反映全球海平面变化的碳、氧同位素地层曲线[4]；Mcarthur和Howarth 等（2001）建立了可用于精细标定地层年代的锶同位素地层曲线[5]；Green 和Mountjoy等（2005）利用锶同位素对加拿大西部盆地泥盆系和密西西比系白云岩储层成因[6]和Swart等（2005）对阿拉伯海湾地区侏罗系—白垩系白云岩储层成因[7]进行的研究；郑荣才等利用不同溶蚀强度和结构组分的岩溶岩与胶结物微量元素和碳、氧、锶同位素的差异，分析了川东地区上石炭统黄龙组古岩溶储层流体性质、来源、演化规律和进行成岩系统划分[8-11]；胡忠贵等利用碳、氧、锶稳定同位素研究了川东北地区上二叠统长兴组与下三叠统飞仙关组白云岩储层的成因及其与油气成藏的关系[12-15]；李荣西等和刘建清等利用碳、氧同位素分别对黔西南地区三叠系碳酸盐岩和羌唐盆地上侏罗进行的层序地层学研究[16、17]；姚泾利等利用碳、氧同位素解释了鄂尔多斯盆地下奥陶统马家沟组马五段白云岩

储层成因[18]等成果。土库曼斯坦中石油阿姆河右岸合同区萨曼杰佩气田为前苏联时期曾开发过的超大型天然气藏，含气层为上侏罗统卡洛夫－牛津阶浅水台地相的碳酸盐岩沉积建造，具备非常优越的天然气生、储、盖组合配置关系和优越的下生-中储-上盖封闭式圈闭成藏条件，但在前苏联时期仅注重于天然气开发，而对基础地质研究很少开展，资料非常匮乏。因此，对该气田卡洛夫－牛津阶碳酸盐岩进行微量元素和碳、氧、锶稳定同位素地球化学特征研究，有助于揭示该气田碳酸盐岩沉积、成岩和储层特征等方面的信息地质论文，提高储层预测评价精度和勘探开发效益。

1 地质概况

1.1 区域构造特征

阿姆河盆地（图1A）是图兰地台东南部的一个大型富油气盆地[19]，根据构造和岩性特征，该盆地通常被划分为基底、过渡层和地台盖层三个构造层系（图1B）：基底为古生界火成岩和变质岩，埋深变化大，最浅处的卡拉库姆隆起不足2000m，最深的北卡拉比里坳陷可达14000m以上；过渡层为广泛沉积的二叠－三叠系陆源含煤碎屑岩建造，厚度变化很大，由北向南变厚，在盆地南缘的科佩特山前坳陷最大厚度可达12000m；地台盖层由广泛发育的中生代侏罗系、白垩系和古近系碳酸盐岩、蒸发岩和砂岩、泥岩、煤层互层组成。盆地内主要发育北西向和北东向两组断裂，控制了构造格局和沉积盖层的分布特征中国知网论文数据库。根据基底形态和断裂构造特征，阿姆河盆地被划分为科佩塔特山前坳陷、中央卡拉库姆隆起、马里谢拉赫隆起、巴加德任坳陷和查尔朱阶地等众多大型构造单元，萨曼杰佩气田即位于毗邻巴加德任坳陷的查尔朱阶地西南边缘带（图1A）。

1.2 地层发育状况

盆地内侏罗系、白垩系和古近系岩性组合很复杂，包括海岸平原-泻湖沼泽相含煤碎屑岩，滨、浅海相混积岩，开阔-局限台地相碳酸盐岩和蒸发台地相膏盐岩等。中上侏罗统卡洛夫-牛津阶为萨曼杰佩气田最重要的产气层位，该地层单元与下伏中侏罗统泻湖-沼泽相的含煤碎屑岩地层呈超覆不整合接触，与上覆上侏罗统基末利阶高尔达克组的厚层膏盐岩地层为连续沉积。其本身为一套台地前缘缓斜坡→台地边缘礁、滩→蒸发台地相的碳酸盐岩-膏盐岩沉积组合，自下而上可划分为礁下层(XVa1层)、致密层（Z层）、生物礁层（XVa2层）、礁上层（XVhp层）、块状灰岩层（XVm层）、层状灰岩层（XVp层）和灰岩石膏层（XVac层）7个岩性段（图2）。下伏中侏罗统煤系地层为主力烃源岩层，储层主要发育于相当牛津阶的生物礁层、礁上层、块状灰岩层和层状灰岩层等岩性段，而上覆灰岩石膏层与高尔达克组的厚层膏盐岩共同构成了广泛发育的区域性致密盖层，因此，萨曼杰佩气田卡洛夫-牛津阶具备极其优越的天然气生、储、盖组合配置关系和成藏条件。

2 样品类型及特征

样品取自Sam53-1井取芯段，按结构-成因分类[20]和对所取样品进行了薄片鉴定，确保了样品的可靠性和代表性。所取样品被划分为石灰岩、白云岩和方解石晶体三大类，其中石灰岩细分为微晶灰岩、颗粒灰岩和礁灰岩3类，白云岩被细分为灰质粉晶白云岩和具粉-细晶结构的晶粒白云岩2类。

2.1 泥-微晶灰岩类

由泥晶-微晶方解石组成地质论文，形成于局限和开阔台地潮下及前缘缓斜坡等低能环境。岩性较为致密，仅在局部发育有溶孔和溶缝，除裂缝发育带，一般为不利于储层发育的岩性（图3-A）。

2.2 颗粒灰岩类

此类灰岩可细分为微-亮晶生物屑灰岩、微-亮晶砂屑生物屑灰岩、微-亮晶砾屑生物屑灰岩、微-亮晶鲕粒灰岩、微-亮晶球粒生物屑灰岩、微-亮晶核形石生物屑（球粒）灰岩、微晶（含）生物屑球粒灰岩等复合颗粒灰岩类等，以生物屑灰岩最丰富，生物屑类型主要有厚壳蛤、珊瑚、苔藓虫、

 

篇8

关键词："过程生成"教学理念； 有多大；教学设计

教学改革最根本的问题是观念问题，如果传统的注入式观念不能根除，那么改革就只能是娓娓动听的空谈阔论，所以我国的教育改革的根本点是教学观念上的破旧立新。那么新为何也？我们认为"过程生成"教学理念是理想的选择。所谓"过程生成"教学，就是向学生展现"有价值有思想有活力的、顺应学生思维与教育规律的、具有整体性连续性生成性的知识生成过程"，具体论述请见笔者《论"过程生成"教学》一文①或见文献[1-3]，本文只说明两个基本观点：一是"过程生成"理念认为教学必须通过良好的知识生成过程使学生有思想、会思维、明事理；二是"过程生成"理念认为最基本的是做到通过有思想、显能力、求创新的知识生成过程潜移默化地影响、熏陶学生，并在此基础上尽可能地践行"创新型"教学方法，培养学生的素质、提高学生的能力。

本文基于"过程生成"理念，设计"探究 大小"的生成过程，意在抛砖引玉，旨在推广"过程生成"教学理念。

一、设计说明

人教版初中数学八年级上册安排了以下的探究 大小的内容：

12=2 ，22=4 ， 1

1.42=1.96 ， 1.52=2.25，1.4

1.412=1.9881 ，1.422=2.0164 ， 1.41

1.4142=1.999396 ， 1.4152=2.002225， 1.414

如此进行下去，可以得到 的更精确的近似值。事实上，=1.41421356…… ，它是一个无限不循环小数。

一般的教学也是这样做的。然而，美其名曰的"探究"，究竟探究了什么？如果说仅仅让学生将上述不等式使用计算器验算一遍就算是探究的话，未免太荒唐啦，并且是浪费时间。如若不信请做个测验：课后让学生自己探究 有多大，看看结果如何。

问题是这些不等式从何而来！解决此问题可用中点法，并且这是一举两得之法：既使学生真正地体验到探究方法，由使学生学习到实用的最优化方法。也许说初二学生不易接受中点法，非也！笔者在上世纪70年代即给初中学生讲授过中点法与0.618法（华罗庚先生在上世纪60、70年代致力于推广优选法，教材中当然有此内容），学生乐于学习、易于接受并且善于应用，效果非常不错。

那么在此如何使用中点法，至少有两种做法：一是直接使用，二是先通过实例使学生熟悉中点法后再研究 。本文设计采用后者，主要步骤是：首先诱导学生使用中点法查找地下煤气管道泄漏之处，然后研究 的几何意义以及 的值。

准确地说本设计只是给出了一个知识生成过程，至于如何在教学中实现，可酌情采用各种教学方法：讲授式、开放式、探究式等等均可；实在地说讲授法应该是最基本的、且使用最多的教学方法，如果在"过程生成"式讲授法基础上，酌情辅以各种新型教法，必将产生理想的效果。

二、具体设计

1、准备工作

可以课前或者课上进入讲授内容之前先做准备工作 -- 解决实际问题：已测得A 、 B两点间的地下煤气管道发生泄漏，你能确定具体的泄露点吗？能否把 A、 B两点间的煤气管道全部挖开？那么就只能在A 、B 之间选点检查啦！不过如何选点较好呢？分析如下：

一种方法：在 A、 B之间任选一点C ，如图1所示，假如 C点偏向于A 点，那么会出现三种情况，一是煤气泄露处恰好在 C点，当然问题得到解决；二是煤气泄露处处于 AC段，此结果理想，因为此时减少了后续查找的工作量；三是煤气泄露处在 BC段，那么运气就非常糟糕（并且C 点越靠近A ，运气就越糟糕），因为此时加大了后续查找的工作量。一种"厄运"是：第三种情况频频出现，因此这种"任意选点"的方法是很不稳妥的。

第二种方法是：为克服第一种方法的"大偏差'厄运'"而选择A 、 B的中点（如图2所示）。也就是说选择A 、 B的中点M ，如果煤气泄露处在 AM段，那么下一步就再取 AM的中点进行，否则就再取 BM的中点进行，显然无论煤气泄露处落在那一段，对后续工作量的影响都不大。这样一步步进行下去，直到找到煤气泄露处停止。如此处理比较"稳妥"，因为每步操作都取中点，故称之为中点法。

2、 几何意义的探究

我们知道：2，是确定的数，它表示数轴上的两个单位长度； 1/3也是确定的，它表示把数轴上的单位长度分成三份，而取其中的一份；等等。但是 呢？分析 的定义：

如果 x>0且x2=2 ，那么 x=

定义中 主要是由 经x2=2确定的，其中 x2是主要因素，那么由x2 能联想到什么呢？--正方形的面积，于是想象到：如果能作出一个边长是 x分米且面积是2平方分米的正方形，那么 的意义也就清楚啦。然而怎么做呢？因为已学过的有理数根本不存在这样的 ，所以很难直接做出如此图形。于是就退一步想：不直接作此正方形，先做几个面积之和等于2的图形，由这些图形拼凑出所要求的图形。依此思路具体分析：因为要求面积和是2平方分米，而2=1+1 ，因此就想到，先做两个面积是1平方分米的正方形，由它们拼凑成一个面积是2平方分米的正方形。于是立即行动：

在纸上做两个"面积是1平方分米"的正方形，进行拼图试验。

这样就生成了教材P69的探究方法（见图3），探究结果： 是单位正方形对角线之长

3、 大小的探究

已知 是单位正方形的对角线之长，不过这个长具体是多少，还不清楚，需要继续研究。常识性思考：要知对角线有多长，可用尺子来测量，那么用什么尺子呢？联想到数轴，数轴就是一把尺子，于是就需要把这个对角线放到数轴上，测量其长度。

那么如何把对角线放到数轴上呢？因为对角线在单位正方形中，所以就先把正方形放在数轴上，如图3（a）所示，此时的对角线倾斜着，要测量就应让它躺下来，于是得到图3（b）。由图可见， 对应着数轴上的 A点，并且估计 A点应在1与2之间。需验证"估计"的正确性：因为 12=2 ，22=4 ，所以1

不过 在1与2之间的什么位置，还不清楚，需要继续判断，显然这与寻求"煤气泄露点"是类似的问题，所以用中点法寻找其近似值：

①、取 1与2 的中点（1+2）/2=1.5 ，因为 1.52=2.25，所以1

②、取1 与1.5 的中点（1+1.5）/2=1.25 ，此时应在1.2 与1.3 中选择（以避免数据位数急剧增大），因为1.32=1.69

③、取 1.3与1.5 的中点1.4 ，因为1.42=1.96

④、取1.4 与1.5 的中点1.45 ，因为1.452=2.1025>2 ，所以1.4

⑤、取1.4 与 1.45的中点1.425 ，此时应在 1.42与 1.43中选择，因为1.422=2.0164 >2 ，所以取1.42 ，即有1.4

⑥、取1.4 与1.42 的中点1.41 ，因为 1.412=1.9881

⑦、取1.41 与1.42 的中点1.415 ，因为1.4152=2.002225 >2，所以 1.41

⑧、取 1.41与 1.415的中点1.4125 ，此时应在1.412 与 1.413中选择，因为 1.4132=1.996569

）⑨、取 1.413与 1.415的中点 1.414，因为1.4142=1.999396

……

结论分析：因为对于任意有理数a 、b ，若a

4、练习：确定 的大小。

注释：

①此文是课题《基于三维目标的高师数学过程教学模式研究》之《结题报告》的精简，将在《韩山师范学院学报》2013年第3期发表。

参考文献：

[1]王积社. 系统科学视阈下：对三维目标的系统化解读[J].大家，2012，（2，中）：112-113.

[2]王积社. 过程化：三维目标视野中讲授法的诉求[J]. 教学与管理，2011，（33）：116-117.

篇9

类型一： 图形折叠型动手操作题

图形折叠型动手操作题，就是通过图形的折叠来研究它的相关结论．

例1 （2012浙江省·衢州）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题：

（1） 将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸.请给予证明.

（2） 在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：

第一步： 沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；

第二步： 沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙） .此时E点恰好落在AE边上的点M处；

第三步： 沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合.

请你研究，矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由.

（3） 不难发现，将一张标准纸如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD，AB＝1，BC＝■，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.

【解析】

（1） 证明矩形ABEF长与宽之比为；

（2） 利用ABE≌AFE和勾股定理证明矩形ABCD长与宽之比为；

（3） 利用第（1）的结论进行规律探索.

解 （1） 是标准纸.理由如下：

矩形ABCD是标准纸，■=■

由对开的含义知：AF＝■BC

■=■=2g■=■=■

矩形纸片ABEF也是标准纸.

（2） 是标准纸.理由如下：设AB＝CD＝a

由图形折叠可知：DN＝CD＝DG＝a，DGEM

由图形折叠可知：ABE≌AFE

∠DAE＝∠BAD＝45°

ADG是等腰直角三角形

在RtADG中，AD＝■=■

■=■=■

矩形纸片ABCD是一张标准纸

（3） 对开次数第一次第二次第三次第四次第五次第六次…周长2（1+■■） 2（■+■■） 2（■+■■） 2（■+■■） 2（■+■■） 2（■+…

第5次对开后所得的标准纸的周长为：■

第2012次对开后所得的标准纸的周长为：■

【点评】 本题着重考查了线段的比，图形的折叠，三角形全等的判定和勾股定理以及规律探索问题，主要培养学生的阅读能力、观察能力和归纳总结能力．找规律的题目，应以第一个图形为基准，细心观察，得到第n个图形与第一个图形之间的关系．解题的关键是认真阅读题目，从中找出相关的知识点运用定义和定理进行解答.

同步测试

（2012四川·内江）如图4，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D■处，则阴影部分图形的周长为

A． 15 B． 20

C． 25 D． 30

【解析】 由折叠，知阴影部分图形的周长＝EA■＋A1D1＋BC＋FC＋EB＋D1F＝EA＋AD＋BC＋FC＋EB＋DF＝（EA＋EB）＋AD＋BC＋（FC＋DF）＝AB＋AD＋BC＋CD＝2（AB＋BC）＝2（10＋5）＝30．

类型二： 图形拼接型动手操作题

图形拼接问题，就是将已知的若干个图形重新拼合成符合条件的新图形．

例2 （2012四川·成都）如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：

第一步： 如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；

第二步： 如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；

第三步： 如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．

？摇？摇（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）

？摇？摇则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 cm，最大值为 cm．

【解析】 通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来矩形的边AD=6，左右两边的长等于线段MN的长，当MN垂直于BC时，其长度最短，等于原来矩形的边AB的一半，等于4，于是这个平行四边形的周长的最小值为2（6+4）=20；当点E与点A重合，点M与点G重合，点N与点C重合时，线段MN最长，等于■=2■，此时，这个四边形的周长最大，其值为2（6+）=12+2■）=12+4■.

答案： 20；12+4■.

【点评】 本题需要较好的空间想象能力和探究能力，解题时可以边操作边探究.将最终的四边形的一周的线段分成长度不变的和可以变化的，然后研究变化的边相关的边的变化范围，这是一种转化思想.

类型三： 图形分割型动手操作题

图形分割型动手操作题就是按照要求把一个图形先分割成若干块，然后再把它们拼合一个符合条件的图形．

例3 （2012广安·中考试题）现有一块等腰三角形纸板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm.若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和.

思路导引： 动手操作，注意分类讨论，进行长度计算问题，联系平行四边形的性质：对角线互相平分，以及直角三角形中的勾股定理分别对每一种情况进行解答

【解析】 设AB=AC=x cm，则BC=（x+2）cm，根据题意得出x＋2＋2x=32，解得x=10.因此AB=AC=10cm，BC=12cm，过点A做ADBC于点D，

AB=AC，ADBC，BD=CD=6cm，AD=■=8cm，

可以拼成4种四边形，如图所示：图（1）中两条对角线之和是10＋10=20（cm），

图（2）中两条对角线之和是（2■+6）（cm），

图（3）中，BO=■=■=2■

两条对角线之和是（4■+8）（cm），

图（4）中，SABC=■AC×BC=■AB×OC，所以OC■=■，

两条对角线之和是■×2＋10=19.6（cm）；

【点评】：几何图形的有关剪切、拼接的动手操作问题，往往多解，因此应当分类讨论，分类个数根据得出的几何图形的判定方法以及性质进行，图形的有关计算，往往联系直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数进行.

类型四： 作图型动手操作题

作图型动手操作题，就是通过平移、对称、旋转或位似等变换作出已知图形的变换图形．

例4 （2012·山西）实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．

（1） 请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．

（2） 以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．

【解析】 解：（1）在图3中设计出符合题目要求的图形．？摇

（2） 在图4中画出符合题目要求的图形．

篇10

所谓“操作”，是指人用手活动的一种行为，也是一种技能，含义很广泛.一般是指劳动、劳作，或者按照一定的规范和要领操纵动作，数学中的操作题一般是需要对数的设置或对图形的变换、剪拼等，由于此类试题既可以有效地巩固数学知识，又可以提高同学们的动手能力，所以中考中频频“上演”此类问题.

重点题型例析

一、对数的操作

例1（2014.娄底）按照下面所示的操作步骤，若输入值为3，则输出的值为________.

分析：由操作程序可知，32=9

解：由32=9

反思：解此类题时，应正确地选择运算操作程序，避免：①错选“否”的运算程序；②错把10作为一个结果参与运算；③不按每一步的结果得数进行计算，如32+2x5=19.

二、对式的操作

例2 （2014.台州）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：

则第n次的运算结果=________.（用含字母x和n的代数式表示）

分析：要探究操作的第n次运算结果，可分别将第2、3、4次的分式计算、化简，再将化简后的分式列表分析、发现规律.

解：依题意，可列表如表1.

四、阅读与操作

例4 （2014.山西）阅读下列材料，按要求完成相应的任务.

几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形――筝形，所谓筝形，它的形状与我们生活中风筝的骨架相似.

定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图4，四边形∠ABCD是筝形，其中AB=AD，CB=CD.

判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形.②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形.

显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同点和不同点.如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：

（1）清说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条.

（2）请仿照如图5的画法，在如图6所示的8x8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：①顶点都在格点上；②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；③将新图案中的四个筝形都涂上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）.

分析：（1）利用菱形的性质以及结合图形得出筝形的性质分别得出异同点即可.（2）利用轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意得出答案，显然答案不唯一.

解：（1）相同点：①两组邻边分别相等；②有一组对角相等；③有一条对角线垂直平分另一条对角线：④有一条对角线平分一组对角；⑤都是轴对称图形；⑥面积等于对角线乘积的一半.不同点：①菱形的对角线互相平分，筝形的对角线不互相平分；②菱形的四边都相等，筝形只有两组邻边分别相等；③菱形的两组对边分别平行，筝形的对边不平行；④菱形的两组对角分别相等，筝形只有一组对角相等；⑤菱形的邻角互补，筝形的邻角不互补；⑥菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，筝形是轴对称图形不是中心对称图形.（2）答案不唯一，如图7所示中的任意一种情形.

反思：求解此类问题时，一定要充分借助网格特点进行作图，解题的关键是正确理解平移、轴对称、旋转以及中心对称图形、轴对称图形的意义.

五、裁剪操作

例5 （2014.宁波）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图8所示的两种方法裁剪（裁剪后边角不再利用）.

A方法：剪6个侧面：B方法：剪4个侧面和5个底面，

现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法.

（1）用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数.

（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？

分析：（1）根据一张硬纸板用A方法剪6个侧面 ，B

六、对图形的分割操作

例6 （2014.漳州）如图9，ABC中，AB=AC，∠A=36。，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括ABC）：

（1）在图9中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是______度和______度.

（2）在图10中画2条线段，使图中有4个等腰三角形.

（3）继续按以上操作发现：在ABC中画n条线段，则图中有______个等腰三角形，其中有______个黄金等腰三角形.

分析：（1）利用等腰三角形的性质以及∠A的度数，进而得出这两个等腰三角形的顶角度数.（2）利用（1）中思路进而得出符合题意的图形.（3）利用画1条线段可得到2个等腰三角形，画两条线段可得到4个等腰三角形，画3条线段可得到6个等腰三角形，进而得出规律求出答案.

解：（1）如图9所示AB=AC，∠A =36。，故当AE=BE时，∠A= ∠ABE=36。，则∠AEB=108。，则∠EBC=36。，故这两个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度.

（2）画法不唯一，如图10所示，四个等腰三角形分别是：ABE，BCE，BEF，CEF

（3）如图11.画1条线段可得到两个等腰三角形，画两条线段可得到4个等腰三角形，画3条线段可得到6个等腰三角形，…，在ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形.

反思：本题既是一道操作题，又是一道问题的探究题，求解时应注意作图技巧，灵活运用等腰三角形的性质，其中探究出分割图形的规律是解题关键.另外，在（2）中当画出线段BE时，余下的也可以过C作∠C的平分线交BE于点F

七、折叠操作

例7 （2014 临沂）对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：

第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开，

第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A’处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA’，EA’，展开，如图12.

第三步：再沿EA’所在的直线折叠，点B落在AD上的点B'处，得到折痕EF，同时得到线段B’F，展开，如图13.

（1）证明：∠A BE=300.

（2）证明：四边形BFB’E为菱形.

分析：（1）根据点M是AB的中点判断出A’是EF的中点，然后判断出BA'垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BE=BF，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠A’BE=∠A 'BF，根据翻折的性质可得∠ABE= ∠A 'BE，然后根据矩形的四个角都是直角计算即可得证.（2）根据翻折变换的性质可得BE=B'E，BF=B'F，然后得出BE=B'E=B'F=BF，再根据四条边都相等的四边形是菱形证明.

解：（1）由对折AD与BC重合，折痕是MN，故点M是AB的中点，故A’是EF的中点，因∠BA’E= ∠A =90。，故BA’垂直平分EF，故BE=BF，故∠A' BE= ∠A 'BF，由翻折的性质，∠ABE=∠A'BE，故∠ABE= ∠A 'BE=∠A，BF，故∠ABE（）×90。=30。.

（2）沿EA’所在的直线折叠，点B落在AD上的点B’处，故BE=B'E，BF=B'F因BE=BF，故BE=B'E=B'F=BF，故四边形BFB'E为菱形.

反思：本题通过操作，意在考查矩形、菱形、线段垂直平分线等知识.解答折叠问题的一般思路：分清折叠前后的对应边、对应角、对称轴，利用对称轴是对应点所连线段的垂直平分线寻找相等的线段或角，进行相关的计算或证明.

中考命题预测

1.在ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有____条.

2.如图14，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动____格.

3.如图15，将一副七巧板拼成一只小动物，则∠AOB=____.

4.如图16，小亮拿一张矩形纸如图16 （1），沿虚线对折一次得图16 （2），将对角两顶点重合折叠得图16（3）.按图16（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（）.

A.都是等腰梯形

B.都是等边三角形

C.两个直角三角形，一个等腰三角形

D.两个直角三角形，一个等腰梯形

5.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：

第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图17）：

第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图l8）.

请解答以下问题：

（1）如图18，若延长MN交BC于P，BMP是什么三角形？请证明你的结论.

（2）在图18中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出{符合（1）中结论的三角形纸片BMP？

6.现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可以打开铺平再折第二次）.使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作），如图19（虚线表示折痕）.

除图19外，请你再给出三个不同的操作，分别将折痕画在图20（1）至图20（3）中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作.如图19（2）和图19（1）是相同的操作）.（上接第26页）点同时从点P 出发，点A以5 cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4 cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时问为t（s）.

（1）求PQ的长.

（2）当t为何值时，直线AB与00相切？

3.如图8，在平行四边形ABCD中.AD=4 cm，∠A=60。，BD AD.一动点P从A出发，以每秒l cm的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD.