勾股定理的研究范文
时间：2023-06-15 17:40:28
导语：如何才能写好一篇勾股定理的研究，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。
篇1
关键词：框剪结构；抗震鉴定；加固
中图分类号： TU398文献标识码：A
框架剪力墙结构的概述
所谓的框架剪力墙结构也称框剪结构，这种结构是在框架结构中布置一定数量的剪力墙，构成灵活自由的使用空间，满足不同建筑功能的要求，同样又有足够的剪力墙，有相当大的侧向刚度。对于框剪结构的受力特点，是由框架和剪力墙结构两种不同的抗侧力结构组成的新的受力形式，所以它的框架不同于纯框架结构中的框架，剪力墙在框剪结构中也不同于剪力墙结构中的剪力墙。而剪力墙结构是用钢筋混凝土墙板来代替框架结构中的梁柱，能承担各类荷载引起的内力，并能有效控制结构的水平力。钢筋混凝土墙板能承受竖向和水平力，它的刚度很大，空间整体性好，房间内不外露梁、柱棱角，便于室内布置，方便使用。剪力墙结构形式是高层住宅采用最为广泛的一种结构形式。
某工程概况
某办公楼建筑面积为2800m2，地下一层，地上二十七层，裙房2层，屋面标高87.900m各层楼板均采用钢筋混凝土现浇板，抗震设防烈度为7度，剪力墙抗震等级二级，框架抗震等级二级，场地类别Ⅱ类。底层为框架结构，柱截面尺寸为800mm ×800mm，框架梁截面为350mm x1000mm，地下一层抗震墙厚320mm，一~二层抗震墙厚300mm，三~四层抗震墙厚度为250mm,五层以上抗震墙厚度为200mm.屋面为上人屋面，柔性防水做法，有组织排水。基础形式为平板式筏形基础。因种种原因，现需要对结构进行抗震鉴定与加固设计。
结构抗震鉴定
3.1、抗震鉴定主要流程，见图1：
3.2、抗震鉴定方法。根据框架剪力墙结构的特点、结构布置、构造和抗震承载能力等因素，采用相应的逐级鉴定方法。抗震鉴定的方法分为两级，是筛选法的具体应用。第一是以宏观控制和构造鉴定为主进行综合评价。第一级鉴定的内容较少，容易掌握又确保安全；第二是在第一级鉴定的基础上进行的，以抗震验算为主，结合构造影响进行综合评价。当结构的承载力较高时，可适当放宽某些构造要求;或者，当抗震构造良好时，承载力的要求可酌情降低。当标准未给出具体鉴定标准时，可采用抗震设计规范规定的方法，按下式进行结构构件抗震验算:
≦（式 1）
式1中，S—结构构件内力组合的设计值；R—结构构件承载力设计值；—抗震鉴定的承载力调整系数。这种鉴定方法，将抗震构造要求和抗震承载力验算要求更紧密得联合在一起，具体体现了结构抗震能力是承载能力和变形能力两个因素的有机结合。
3.3、抗震鉴定在本工程中的应用
首先对砌筑用砖和混凝土强度采用回弹法、对砂浆采用回弹法和贯人法进行检测。检测结果表明:结构 1~3 层混凝土强度为 47MPa，结构四层至顶层混凝土强度实测为 43MPa，均略高于平均值29.5MPa，综合评定其抗压强度符合规范要求；其次采用采用经纬仪棱线投射法对房屋外墙棱线倾斜进行测量，测定建筑物外墙顶点相对底部的偏移值，结果显示，该房屋最大倾斜率为 1.1‰，在规范限值范围内；第三是抗震承载力分析。第四是抗震验算。在鉴定验算的过程中，结构按丙类建筑考虑，属于A 级高度的框架剪力墙结构。结构的抗震设防列度为七度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第一组，多遇地震时场地设计特征周期取为 0.35s，设计基本加速度取为 0.10g。该房屋的框架抗震等级为二级，剪力墙抗震等级为二级。对该结构按现行规范进行抗震验算，计算软件采用 10 版 SATWE 软件和 ETABS，将两款计算软件的计算结果进行相互校核，以保证计算结果的准确性，建立结构的整体模型。结构整体计算采用振型分解反应谱分析法，计算振型个数取 21，考虑扭转耦联，振型组合采用 CQC 振型组合方法。如果按7度抗震设防进行了多遇地震作用下的弹性分析。结构的动力特性见表1：
通过计算，SATWE 与 ETABS 计算得到的结构位移信息相差较小，说明计算结果比较可信。SATWE 的计算结果如下：结构 X、Y 方向最大层间位移角分别为 1/1024 和 1/838，X、Y 方向最大层间位移与层间平均层间位移的比值分别为 1.22 和 1.27，满足规范相关限值的要求。
4、抗震加固方案
4.1、房屋的抗震承载力加固措施。为增强房屋底层的抗震承载力，提高房屋的整体刚度，采用钢筋网水泥砂浆对底层砖墙双面加固。材料选用水泥砂浆，砂浆强度等级为M10，厚度为40mm。
4.2、局部构件承载力加固措施。首先采用单榀框架计算，纵向连接依据构造措施设计。计算发现，底层轴、横向连系梁截面、配筋均不足，采用扩大截面加固法；其次是框架梁梁底配筋不足的问题，可采用碳纤维加固法，有效提高框架梁强度且不影响使用空间；第三是针对2,3层部分墙体被拆除，可采用双拼槽钢加固，为防止局部墙肢破坏、使结构受力传播合理，对剩余砖墙及槽钢梁进行扩大截面加固，砖墙采用截面扩大加固，应延伸至1层。
4.3、构造柱设计加固措施。 如果是房屋由于抗震性能和整体性不足，可以采用增加构造柱的加固方法。构造柱按照规范要求整体布置，根据布置位置的不同，采用不同的做法。同时，新增构造柱应同原有墙体及圈梁可靠连接。
4.4、新增隔墙的加固措施。新增隔墙有利于结构传力，采用承重墙的做法。在一般情况下，可以采用两根8沿墙体全长拉通，间隔500mm设置，与框架柱可靠连接。
4.5、抗震加固在本工程中的方案应用
由上文的抗震鉴定验算可知，对于计算结果中配筋不足的梁、柱，本工程采用粘贴碳纤维的方案对本工程进行加固。对于七层的超筋柱采用增大截面法进行加固，新增混凝土的厚度不小于 60mm，考虑到施工的可行性，将原截面直径为 800mm 的混凝土柱加大截面至 1000mm，新增混凝土采用细石混凝土，强度不低于 C40，新老混凝土交界面需凿毛处理，并在增大的混凝土中配一定量的受力钢筋与箍筋，并与原结构构件间用植筋的方法增加拉结筋进行连接。该房屋三层高为 6.4m，在三层 3.2m 高度处增设隔墙。隔墙采用钢梁，带肋花纹钢板作楼面。夹层楼面梁布置与原结构三层楼面梁布置类似。钢梁为焊接工字形截面梁，钢梁通过焊接型环形箍板固定于原混凝土柱。环形箍板由化学锚栓固定于原混凝土柱。花纹钢板及加劲肋厚度均取为 8mm。采用以上措施加固后，按砌体结构再次进行抗震验算。
本次采用 SATWE 软件对增加隔墙后的整体结构重新分析，其中隔墙部分主梁与柱之间连接为刚接，主梁与剪力墙之间连接为铰接，次梁与主梁之间连接为铰接；由于花纹钢板楼面的刚度较弱，分析时将此层楼板设为弹性膜；结构七层计算超筋柱按增大截面后的截面输入。计算结果见表 2 所示：
结构 X、Y 方向最大层间位移角分别为 1/998 和 1/815，X、Y 方向最大层间位移与层间平均层间位移的比值分别为 1.24 和 1.30，满足规范要求；原七层超筋柱经加固后的计算配筋率为 3.6%，能满足抗震规范中规定的柱纵筋配筋率的要求，证明采用增大截面法对于加固结构超筋构件的有效性。
结束语
总之，加固设计应根据结构的布置情况，合理的布置剪力墙、钢支撑的位置、数量，保证加固后结构体形、平、立面刚度的均匀性，避免出现加固后出现新的薄弱环节，同时在进行加固设施工时，应采用有效的施工措施，保证新增构件与原构件应有可靠锚固与连接，同时避免对原结构构件造成损伤。使新旧构件协同工作，达到预期的加固效果。并且由于地震作用的复杂性，如何选用更加合理的方法对钢筋混凝土框架结构进行地震反应分析，以达到较为精确的计算结构弹塑性变形，依然需要做进一步研究。
参考文献：
[1]任凤鸣.钢管混凝土框架—核心筒减震结构的抗震性能研究[D].广州大学,2012.
篇2
一、注意分清直角边和斜边
例1 在Rt 中,a=8㎝,b=10㎝, ,求第三边长c.
错解:由勾股定理,得 , .所以第三边长为 ㎝.
分析:本题解法中错在没有正确运用题中所给的条件,忽视了 ,由于 ,所以b应为斜边,而不是c.
正解:因为 , , ,
,故第三边长为 6㎝.
二、注意定理的应用条件
例2 已知 中,三边长a、b、c为整数,其中a=3㎝,b=4㎝,求第三边c的长.
错解: 由勾股定理,得 , , (㎝).
分析: 勾股定理使的条件必须是在直角三角形中,本题解法是受"勾3股4弦5 "的影响,错把 当成直角三角形,导致错误的使用勾股定理.
正解: 由三角形三边关系可得 , ,又c为整数, C的长应为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝或6㎝.
三、注意定理和逆定理的区别
例3 判断下列三条线断能否构成直角三角形:a=3、b=4、c=5.
错解: ,即 ,所以根据勾股定理可知,a、b、c能构成直角三角形.
分析: 本题错在在解题依据上混淆了定理和逆定理的条件结论,勾股定理是由"形"推得"数",而逆定理则是由"数"推得"形".因此不可混用.
正解: ,即 ,由勾股定理逆定理可知,三条线段能构成直角三角形.
四、注意解题语言叙述
例4 已知三角形的三边长为5、12、13,试说明三角形是直角三角形.
错解:因为直角边是5和12,斜边是13 ,所以 ,故三角形是直角三角形.
分析:解法中错在一开始就明示了"直角边"和"斜边",事实上只有在三角形是直角三角形的条件下才能称其为"直角边"、"斜边".
正解: ,满足 ,由由勾股定理逆定理可知, 三角形是直角三角形.
五、注意分类讨论
例5 在Rt 中,已知两边长为3、4,求第三边的长.
错解: 因为 是直角三角形, 的第三边长为 .
分析: 本题错在只考虑3、4为直角边的可能,而忽视了4也可以作为斜边的情况,因此须分类讨论.
正解:(1)若4为直角边,则第三边的长为 ;(2) 若4为斜边, 则第三边的长为 .故第三边长为5或 .
例6已知在 中,AB=4,AC=3,BC边上的高等于2.4,求 的周长.
错解:如图1所示,
由勾股定理,得 ,
, .
的周长为 .
分析:上面解法中,只考虑了三角形的高在三角形内部的情况,忽视了高在形外的情况,即当 是钝角三角形时.因此须分类讨论.
正解: 由勾股定理,得 , .
(1)若 是锐角(如图1),则 ,这时 的周长为
;
(2) 若 是钝角(如图2),
则 ,这时 的周长为 .所以 的周长为12或 .
例7已知在Rt 中,两直角边的长为20和15, ,求BD的长.
错解: 如图3所示,
由题意根据勾股定理,得 ,又由面积法可得
, ,在Rt 中,由勾股定理得BD= .
分析:本题错在只考虑了AB的长是20的可能,忽视了AC的长也可能为20的情况.因此须分两种情况求解.
正解: 由题意根据勾股定理,得 ,又由面积法可得 , .
(1)当AB=20时,如图3,BD= .
(2) 当AC=20时,如图4,
BD= .
篇3
关键词：勾股定理；历史；证明
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）10-0106-02
在我国最古老的数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公（西周著名的政治家，公元前1100年左右）向商高（周时的贤大夫）请教数学知识的对话，昔者周公问商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，……以为勾广三，股修四，径偶五。既方之……”译文：从前周公问商高：“我私下听说你善于演算，请问远古者包牺氏（传说中的人物）对整个天空逐于量度之事是如何完成的，那天不能由台阶而上，地不能用尺寸来量，请问相关的数据是怎样产生的？”商高说：“……在对矩形（长方形）沿对角线对折时，会产生短边（勾）长为3，长边（股）长为4，斜长（弦）为5的直角三角形的比率。”故有人称之为“商高定理”。
篇4
关键词：数学教学；《探索勾股定理》；拓展性课程
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0087
众所周知，勾股定理的内容非常丰富，但现行的教材（以浙教版为例）只安排两个课时，教学受课时的限制，不能充分利用勾股定理发展学生的问题解决、人文积淀、理性思维等核心素养。本文以开发《探索勾股定理》的拓展性课程为例，展示以学校教研组为团队如何依托数学课本开发拓展性课程，以期抛砖引玉。中国学生发展六大核心素养中有十八个基本要点，其中三个是问题解决、人文积淀、理性思维，《数学课程标准》的前言中也有类似的表述。对应三个基本要点确定三个课时的拓展性课程，在上完基础性课程的两个课时后进行。因篇幅所限，只展示每个课时的教学目标、学习内容及要求、课外作业。
第一课时：勾股定理在生活中的应用
设置缘由：数学课最缺的是实践课，学生非常喜欢实践课，开发团队成员一致同意每学期开发一节实践课。
教学目标：引导学生观察生活，体验生活中的数学，体验用数学模型刻画现实世界。
活动内容及要求：（1）带学生参观有人字梁结构的农村老宅，请当地手艺比较好的手艺人，一个木匠，一个泥水匠当讲解员。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子时要先奠基，在一百多平方米的地上要设置很多个直角，选好位置打下木桩，固定好线，沿线做墙脚。怎样使墙角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下两个木桩，两个木桩之间的距离为三尺，调整第三个木桩的位置，使它与前两个木桩的距离分别为四尺与五尺。拉上线，再微调。泥水匠师傅说，这种方地基的方法是师傅们口耳相传的好方法，若是正式造房子开工方地基的日子，仪式很隆重。（3）木匠师傅主要举了两个例子。一个例子是如何预算建造斜屋顶结构的房子用到的木料，特别是人字梁结构中斜线部分的木料长度的计算方法。第二个例子是如何在大块的板材中确定直角。（4）教师作为主持人、主持师傅与学生的互动，让学生尝试用数学模型解释实际应用问题。
课外作业：找一个生活中实际用到勾股定理的例子，写心得体会交流。
第二课时：勾股定理的历史文化
收集方法：这部分内容多而杂。动员团队所有成员参与，从网上和书本中搜集并整理。
教学目标：在对勾股定理历史了解的过程中，感受数学文化，感受历代世界人民的智慧和探索精神，感受数学知识源远流长和数学价值的伟大。
学习内容及要求：
（1）勾股定理的发现：公元前1100多年的《周髀算经》中，就有勾股定理的记载，相传是商代商高发现的。三国时的赵爽给出了证明，2002年北京国际数学大会的徽标就是赵爽证明勾股定理用的弦图。勾股定理被西方人称为毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年发现的。相传毕达哥拉斯花了很多的精力才证明了这个定理，他很高兴，于是宰了百头牛庆贺一番，不过毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。这个定理有流传很广，印度、希腊、巴比伦、中国、埃及等文明古国对此定理都有所研究。要求学生课前和课后整理出赵爽和毕达哥拉斯的相关成果，了解《周髀算经》等中国古代经典数学著作。
（2）勾股定理巨大辐射能力：①勾股定理是数与形结合的典范，启发后人对函数的研究；②毕达哥拉斯学派的希帕索斯利用勾股定理导发现了根号2，引发了第一次数学危机，数从有理数扩展到实数；③勾股定理使数学在追求逻辑体系和数学美的过程中发展了现代数学；④勾股定理中的公式是一个最早的不定方程，引发了包括著名的费马大定理。⑤勾股树的拓展，勾股树中的正方形可以变换为正三角形、半圆、月亮形等许多图形。要求学生例举数形结合的例子；能描述三次数学危机；能举例一些现代数学；了解费马大定理的内容及费马的成就。
（3）勾股定理的证明方法多样化。由于勾股定理的证明起点很低，所以千百年来下至业余数学爱好者、普通的老百姓，上至著名的数学家、国家总统都参与了勾股定理的证明。勾股定理有四百多种证明方法，目前还找不到一个定理的证明方法之多能超过勾股定理。
“总统”证法的故事：1876年一天的傍晚，美国的议员伽菲尔德由于受到了两个小孩的追问，开始对勾股定理证明进行思考……后来他在继承的基础上反复思考终于找到了独特的证法。1876年，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他的证法。由于在1881年伽菲尔德就任美国第二十任总统，人们就把这一证法称为“总统”证法。要求学生课前和课后搜集有趣的勾股定理证明故事并交流。
第三课时：勾股定理的证明方法
证明方法选择的标准：证法有四百多种，但不能穷尽，要选择重要的、典型的、适合初中学生的证法。
教学目标：在勾股定理的探索过程中培养学生的理性思维和创新能力，体会深层次的数形结合；发展形象思维，体验解决问题方法的多样性，培养探索精神。
学习内容及要求：
（1）赵爽证法。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期的数学家赵爽。如图1，就是赵爽创造的弦图。以a、b（b>a）为直角边，c为斜边作四个全等的直角三角形拼成所示形状，4×（1/2）ab+（b-a）2=c2，a2+b2=c2这是课本上的证法，不必细讲。应让学生认识到本题的证法并非严密的演绎推理，如图形中的内外两个正方形就没有证明。
（2）邹元治证法。如图2，也是用面积法，证明方法略。
（3）总统证法。如图 3， 这个证明方法是赵爽证明方法的变形，也是用面积法，证明方法略。
（4）欧几里德证法。如图4，以a、b、c分别为直角边斜边RtABC，再分别以a、b、c为边，在直角三角形外部作正方形ABED、CBKG、ACHF，连结BF、CD，过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L.AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD，FAB≌CAD.SFAB=（1/2）a2，而SCAD等=（1/2）S矩形ADLM，S矩形ADLM=a2。同理可证，S矩形MLEB=b2.S正方形ADEB=S矩形ADLM+S矩形MLEB，c2=a2+b2，即a2+b2=c2。应让学生认识到本题的证法是典型演绎推理，是欧氏几何，后面两种证法也是如此。
（5）相似三角形性质证法。如图5，RtABC中，a、b、c分别为直角边斜边，过点C作CD AB，垂足为D.可证得CAD∽BAC， AD/AC=AC/AB，AC2=AD× AB.同理BC2=BD× AB，AC2 +BC2=AB（AD+ BD）= AB2，即a2+b2=c2。
（6）切割定理证法。如图6，RtABC中，a、b、c分别为直角边斜边，以B为圆心、a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a，因为∠BCA=90°，点C在B上，所以AC是B的切线。由切割线定理得AC2=AD×AE=（AB-BD）（AB+ BE） =（c-a）（c+a）=c2-a2， 即b2=c2-a2，所以a2+b2=c2。
（7）证法评析。中国证法的独到之处是善用面积法，巧妙地避开了角的性质及平行线性质的繁琐理论，简洁明了，吴文俊、张景中等发展的数学机械化方法深受中国古代数学思想的影响。后三个证法追求严谨的逻辑体系，对提升人们的理性精神，注重演绎推理的科学精神具有不可替代的地位。
篇5
关键词：初中数学；勾股定理；人教版教材；编排；商榷
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）06-0071-03
一、人教版教材勾股定理内容编排
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是数形结合的一座桥梁，是人类早期发现、证明、运用的重要数学定理之一，对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响。为了使学生较好地掌握这一定理，人教版数学教材在八年级（初二）下册安排了这一内容。教材通过引导学生观察、猜想、计算、证明等活动学习并掌握勾股定理，还介绍了中国古代对勾股定理的研究成果，旨在培养学生的民族自豪感。这符合学生的认知规律，是很用心的编排。可我们从学生学习效果的反馈中发现：学生离课标的要求有较大差距，原因何在呢？为此，我们用问卷和访谈两种方式进行了调查。问卷结果显示：有81%的同学认为勾股定理很重要。有49%的同学认为勾股定理很难学。在调查勾股定理的证法时，发现有58%的同学能画出证法的图，其中34%的同学画出的是赵爽弦图，8%的同学画出的是加菲尔德图，2%的同学画出的是“传说中的毕达哥拉斯图”。 但只有27%的同学正确写出了证法，只有1%的同学用的是赵爽的出入相补法。访谈中我们还发现很多学生认为毕达哥拉斯对勾股定理的贡献比赵爽大。大部分学生不清楚中国是什么时候开始使用勾股定理的。
这种状况的出现显然不能排除教师的教和学生的学这两方面造成的原因。但通过进一步的分析，我们发现教材在编排方面有值得商榷的地方。
（一）内容呈现的逻辑顺序易误导学生
教材在这一章引言介绍了我国古代对勾股定理的研究成果，而正文却从毕达哥拉斯观察地板格子发现等腰直角三角形三边数量关系引入，再引申到一般直角三角形，然后是赵爽的证明。旁边又注明“在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理”。在后面的阅读思考中又有“传说中的毕达哥拉斯的”证法。引言部分容易被学生忽视掉，而从第一节读起来让人感觉勾股定理的发现到证明都是毕达哥拉斯，赵爽只是给出了一种证法而已。学生的这种印象先入为主，会成为最深刻的印记――提起勾股定理就会想到毕达哥拉斯。而中国人对勾股定理的发现和证明都比毕达哥拉斯早很多。这种误导对中国学生尤其不公平。
（二）难度较大的地方有两处
1.探究活动中给出的提示忽视了学生原有知识基础，超出了学生能力。解决等腰直角三角形三边关系的问题时，教材引导学生运用数格子的方法通过计算面积相等，进而发现等腰直角三角形三边的关系。而在解决一般直角三角形三边关系的问题时，教材给出了一个提示：以斜边为边长的正方形面积等于某个正方形面积减去4个直角三角形的面积。应该说这种方法和中国流传最广的那张弦图的证法如出一辙，是很经典的一种证法。可它在此时出现，却给绝大多数的学生搭建了一个无法爬上的梯子。教材的提示直接给了方法，而这种方法需要的能力，学生并不具备，于是学生就不会做。即使在老师的引导下做了也很难留下深刻的记忆。这个地方卡住了，下面就很难学会了。怎样让学生比较容易地学会呢？学生们此时仍需用数格子的方法解决这一问题。而新的问题是出现了形状不统一、面积不相等的不完整的格子，把这些格子数清成为关键！不论大小，不管形状，每一个不满的格子都按半格数是一种简便的方法。学生会做，但不知为什么要这样做。而给出下图的提示有助于学生数清这些格子，并从原理上弄明白三角形与矩形的面积关系，从而弄明白教材提示的“某个正方形”是个在什么位置的正方形。学生弄懂了这些，下文赵爽的证法就不显得那么难懂了。
2.教材为了弘扬我国古代成就介绍了赵爽的证法，包括赵爽弦图和利用弦图证明勾股定理的基本思路。把两个靠在一起的正方形拼成一个大正方形是一个图形变化过程，它是动态的。靠书上几幅静止的图和一段逻辑严密的文字来表述，不容易让学生看懂。好多学生费了半天劲儿看懂了，也无法像其他证明题一样用“因为、所以”把证明过程清晰地写出来。这就让原本简单明了的证法变得繁杂难懂了。而赵爽弦图下的知识链接――“赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实，亦成弦实。”很明显也是勾股定理的证法，而且是学生可以用代数式写出来的证法。相比之下，这一证法反而显得简单且易被学生接受。但是只引用了古文，没有把古文翻译成现代汉语。以初二学生应有的水平去读，学生看不懂。
赵爽的证法够简单，但不是最简单的。学生更容易看懂教材30页上标注的“传说中的毕达哥拉斯的”证法。在两张全等的正方形纸上用八个全等的直角三角形拼出下面的图形。学生很容易就弄懂了左图的以斜边为边长的正方形的面积等于右图的两个小正方形的面积的和。计算面积就证出了勾股定理。学生说这种证明小学生也能看懂。学生是学习的主人。我们的教材不应该只是写给老师看的，更应该是写给学生看的。学生看得懂的教材才是最好的教材。
（三）教材在史料表述上有不严谨之处
1.有关毕达哥拉斯的部分相传、传说各出现一次。“相传、传说”这一类词似不宜在数学书中出现，因为缺乏充分证据。中国流传最广的证法是在有格子的图上进行的。而毕达哥拉斯学派的欧几里德通过证明三角形全等来证明面积相等进而证明直角三角形三边关系，与格子无关。
2.赵爽的生存年代在教材上注为汉代，在教师用书上又多次注为三国。虽然汉代和三国时间紧连，但还是统一说法为好。
3.中国人在公元前1100年发现勾股定理，毕达哥拉斯在2500多年前发现。乍一看好像毕达哥拉斯比中国人早，而实际上2500多年前是公元前500年前，比公元前1100年晚了600年。这两个数据应该使用统一的标准。
4.公元前1100年这一数据是采用了周公的年代。周公是周武王的弟弟，是商末周初杰出的政治家和军事家，被尊为儒学奠基人，也是孔子一生最崇敬的古代圣人之一。《周髀算经》的第一部分就是周公与商高的对话。而根据《周髀算经》的记载大禹时期已开始使用勾股定理了。大禹在他的儿子启建立夏朝之前，即大约公元前2070年之前。所以英国皇家学会会员、剑桥大学冈维尔和凯厄斯学院院长李约瑟认为“我们现在不能像毕瓯那样肯定地说它比毕达哥拉斯（公元前530年著称）早五、六个世纪，但也没有很多理由把它推迟，而且它也很可能还要更早的。”
5.教材上把那个小学生都能看得懂的证明归在了毕达哥拉斯的名下。而美国的谢尔曼・克・斯坦因在《数字的力量》一书中注明这种证法是中国人的。同一种证法总得有足够的证据才能定下归属。中国古书留传不多，毕达哥拉斯也没有著作流传下来。欧几里德《几何原本》的证法和上面的证法没有关联。赵爽的证法和上面的证法也联系不大。那么商高的证法呢？商高的那段话“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩以为勾广三、股修四、径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘。得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”是不是勾股定理的证法？我们一般人确实很难懂。好在中国有人读懂了，并复原了证法的图。
从这些图中我们挑出中间的和右侧的两幅，把中间的那幅补成正方形――这不就是那种最简单的证法嘛！或者说商高的证法和这种证法有明显的传承关系――那种最简单的证法脱胎于商高的证法。商高的年代比毕达哥拉斯早很多，即使毕达哥拉斯也有同样的证法，我们也可以理直气壮地说这种证法是中国人先发现的。我们的教材可以把这种证法放在最显著的位置上，明确地标注这种证法起源于中国。国际上对勾股定理的命名我们可能改不了，可我们有义务让学生知道中国古代的科学技术领先其他国家很多年，属于中国的知识产权我们不能拱手让人。
二、对内容编排的建议
篇6
[关键词] 数学史；勾股定理；教育价值
数学史对于数学教育的价值已不仅仅停留在理论层面的讨论. 翻阅近两年的数学教育类杂志可以发现，越来越多的中小学数学教师也在撰文阐述自己在教学中使用数学史的一些体会和教学案例. 在课程改革不断深入的当下，数学史融入数学教学对于践行课改的理念，培养全面发展有理想、有道德的高素质数学人才等方面确实有着积极的推进作用. 本文将给出一个基于数学史的勾股定理教学设计思路，旨在抛砖引玉，期待一线教师在不断加强自身数学史修养的同时，开发出更多基于数学史的优秀教学案例.
提出问题
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 此定理在西方叫做毕达哥拉斯定理，相传，这是由古希腊数学家毕达哥拉斯及其徒众发现的，后人更渲染其事，说毕达哥拉斯诸人十分重视这项发现，特地宰了一百头牛向天神奉献答谢，所以中世纪时这条定理被称作“百牛定理”. 在历史上，这条定理的名称特别多，在不同时代、不同地区都有不同的名称，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希腊数学家欧几里得在公元前300年左右编写了著名的经典之作《几何原本》，其中一个定理就是毕达哥拉斯定理：
“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和.”
接下来的这个定理是毕达哥拉斯定理的逆定理：
“如果在一个三角形中，一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和，则夹在后两边之间的角是直角.”
这两个定理合起来说明了直角三角形a，b，c三边的平方和关系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.
我国是最早发现勾股定理的国家，据《周髀算经》记载，我国数学家早在公元前1120年就对勾股定理有了明确认识. 勾股定理从发现到现在已有五千年的历史，在西方，它被称为毕达哥拉斯定理，但它的发现时间却比中国人晚了几百年. 勾股定理是把直角三角形与三边长的数量关系联系在一起，体现了数形结合思想.
定理的证明
在新课程人教版教材（八年级下册）中，先是引用毕达哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中国古代数学家赵爽的“弦图”证明了勾股定理. “弦图”是以弦为边长的正方形，在“弦图”内作四个相等的勾股形，各以正方形的边长为弦. “弦图证法”是依据“出入相补原理”，根据“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理的. 赵爽的“弦图证法”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，正因如此，这个图案被选为2002年北京召开的国际数学家大会会徽.
[图1]
引导学生探索其他解法
上述是我国古代数学家赵爽的“弦图”证法，即利用“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理. 这一方法给我们一定的启示，即围绕面积相等这一条，把原图形拆成几部分，然后根据面积相等实现定理的证明. 教师可以提示学生围绕这一观点，探索其他证明方法，学生提供的证法有可能和历史上大数学家的证法一致.
历史上的经典证明方法展示
发现勾股定理迄今已有五千年，五千多年来，世界上几个文明古国都相继发现和研究过这个定理，几千年来，人们给出了勾股定理的许多证法，有人统计，现在世界上已找到四百多种证法，下面列举其中具有数学思想的一些代表性证明方法. 如（1）欧几里得《几何原本》的证法；（2）比例证法；（3）另一种弦图证法；（4）总统证法；（5）帕斯卡拉二世的证明；（6）毕达哥拉斯的证法；（7）旋转证法. 限于篇幅，这些证明方法的证明过程在本文中省略不写.
基于上述分析，不难发现，历史上的勾股定理证明方法很多，据统计，有400多种，向学生展示不同的证明方法有很多益处，具体表现在：首先，给出勾股定理的多种证法，并非是比较证法之优劣，而是为了丰富教与学的内容知识，这也是数学史融入数学教学重要的功能之一. 其次，通过比较、分析各种证法的特色，可以让教师和学生在教与学上有所比较，以达到取长补短. 通过分析各种证法之不同，可以发现他们各自对于图形的依赖程度也不相同. 当我们试图理解某个版本的证法时，就好比与这位数学家进行对话，从而产生自我“历史诠释”. 再次，历史上的勾股定理证法还使我们认识到该如何呈现定理及其证明，以便可以兼顾到各个面向. 在教学中，若以历史文本为师，适时引入古人的原始想法，撷取前人的智慧，乃至前人所犯的错误，相信对于数学思想的发展与学生的学习过程能有更贴近的牟合，也能让学生对数学有更全面的观照. 最后，基于数学史数学教学所追求的目标之一，正是让学生在通过历史文本解决问题的过程中获得学习的乐趣，因此，数学历史文本中的任何地方可能都有意想不到的金矿等待挖掘，唯有辛勤发掘才可能使我们满载而归.
问题的推广
下面我们换个角度看勾股定理，定理会变成什么样呢？
推广一：勾股定理的不同表述方式
（1）直角三角形斜边长度的平方等于两个直角边长度的平方之和.
（2）直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形.
（3）直角三角形直角边上两个正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积.
推广二：“出入相补”原理的应用
所谓“出入相补”原理，是指一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变. 综观历史上有关勾股定理的证明方法，许多证法都是利用这一原理进行的，只是图形的分合移补略有不同而已. “出入相补”原理是我国古代数学家发明的一个证明几何图形面积和体积的非常重要的方法，下面，我们通过比较两个证明来说明某些问题.
赵爽和达・芬奇的证明方法（如图2所示）：
[图2：勾股定理的两种几何证明]
问题：这两种方法的联系是什么？
解答：如图3所示.
[图3：两种证明的联系]
可以看出，赵爽和达・芬奇对勾股定理的证明都使用了“出入相补”原理. 这两种来自不同时期、不同地域的方法背后有着更本质的联系，正因为这种本质联系，让我们找到了更多类似的证明方法. 它也展示了数学内部的一种联系. 正如韦尔斯在《数学与联想》一书中所说的：“这就是为什么数学强有力的一个理由. 数学家发现，两个表面不同的问题实际上是相同的，因此他只要解决一个也就解决了另一个. 认识到一百万个问题‘实质上’都是相同的，因此，你只要解决一个就解决了一百万个. 事实上，这就是力量！”我们的数学读本，应该多多向学生介绍这方面的内容，让学生感受这种力量，去认识事物之间的联系.
推广三：把直角三角形三边上的正方形改为一般的直线形
若把以直角三角形为边长的正方形改为一般的直线形，勾股定理就推广为：直角三角形斜边上的直线形（任何形状）的面积，等于两条直角边上与它相对应的两个相似的直线形的面积之和（如图4所示）.
[图4]
推广四：把直角三角形三边上的直线形改为曲边形
若把直角三角形三边上的相似直线形改为三个半圆，勾股定理就推广为：以斜边为直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作半圆的面积和. 新课程（人教版八年级下册）在习题中体现了这一推广：（习题18.1“拓展探索”问题11）：如图5所示，直角三角形三条边上的三个半圆之间有什么关系？
[图5][2][1]
若把上述斜边上的半圆沿斜边翻一个身，此时显然有“1和2的面积之和等于直角三角形的面积”. 其实这个结论早在公元前479年就已经由古希腊数学家希波克拉底得到，因1和2部分状如弦月，故称“希波克拉底月形”. 新课程（人教版八年级下册）在习题中体现了这一推广（习题18.1“拓展探索”问题12）：如图5所示，直角三角形的面积是20，求图中1和2的面积之和.
推广五：勾股定理与费马大定理
勾股定理是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，写出公式就是a2+b2=c2. 丢番图的名作《算术》（第2卷问题8）中有一个与勾股定理类似的问题：将一个已知的平方数分为两个平方数. 丢番图在《算术》中以实例形式给出了这一问题的解答. 之所以在此独独提到丢番图的这一问题，是因为，大约16个世纪以后，正是在这一问题的启发下，费马在其旁白处写下了一段边注，从而诞生了一个让整个数学界为之苦思冥想了三百多年的问题. 费马在阅读巴歇校订的丢番图《算术》时，做了如下批注：“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和. 我已找到了一个奇妙的证明，但书边太窄，写不下. ”1670年，费马之子萨谬尔连同其父的批注一起出版了巴歇校订的书的第二版，遂使费马这一猜想公之于世. 费马究竟有没有找到证明已成为数学史上的千古之谜. 从那时起，为了“补出”这条定理的证明，数学家们花费了三个多世纪的心血，直到1994年才由维尔斯给出证明.
推广六：勾股数
不言而喻，所谓勾股数，是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数（a，b，c），它们满足a2+b2=c2. 那么如何寻找更多的勾股数呢，方法如下.
1. 任取两个正整数m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数.
2. 若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下方法确定另两个数：首先观察已知数是奇数还是偶数.
（1）若已知数是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数.
（2）若已知数是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1和加1所得的两个整数与这个偶数构成一组勾股数.
练习题：限于篇幅，仅列一题.
练习题 今有立木，系索其末委地三尺，引索却行去本八尺而索尽，问索长几何？（该题出自南宋杨辉《详解九章算法》，公元1261年）
现代文翻译：有一根直立的木头，一条绳索系在它的顶端. 已知这条绳索比木头长3尺，现在向后紧拉绳索，使它的另一端着地，这时绳索与木的距离为8尺，问这条绳索的长为多少？
原书“术”曰：“以去本自乘，另如委数儿一，所得加委地数而半之，即索长.”
篇7
在数学教学过程中，而是通过数学活动，让学生渴望新知识，经历知识的形成过程，体验应用知识的快乐，从而使学生变被动接受为主动探究，增强学好数学的愿望和信心。为此，本节课主要设计了三个活动。活动一：唤起学生对新知识的渴望。学生为了解决现实生活中的一个朴实、可亲、有趣的问题，不断碰到困难，并不断在发现中解决，思维探究活跃，好奇心和探索欲望被激起。活动二：学生在探索中体验快乐。探索“勾股定理”是本节课的重点和难点。在整个探索过程中教师只是一个引导者、启发者，引导学生动手、观察、思考、实验、探索与交流；学生在整个活动中切身体验到发现“勾股定理”的快乐。从而培养了学生的探索精神和合作交流能力。活动三：学生在问题设计中巩固勾股定理。本节课是勾股定理的第一课，知识的应用比较简单，学生设计问题有一定的可行性。引导学生在掌握勾股定理的基础上自己设计问题，完善问题，并从老师的高度进行变题，学生的主体性得到了充分的体现。整个教学设计遵循“重视预设、期待生成”的原则。
二、教学过程与反思
1.第一次试上，由我独立备课，从开始备课到上课结束，始终有两个疑问没有得到很好解决。一是如何引出勾股定理。教学过程是让学生在正方形网格上画一个两条直角边a、b分别是3厘米和4厘米的直角三角形，量一下斜边长c是多少?紧接着让学生观察直角三角形的三条边在大小上有什么关系。事实上，由于缺乏足够的材料，而且量得的结果可能不一定是整数，因此很难得出正确的结论。另外，也有学生在探究时，根据两边和大于第三边得出a+b>c这个结论，认为这也是直角三角形三条边之间的关系，这便偏离了教师预先设定的学习目标。二是勾股定理的证明。解决的方案:采用教材提供的方法，即教参上所说的数形结合的方法。通过恒等变形（a+b）2=4×12ab+c2，在教师的引导下作出联想，将四个全等的直角三角形拼在边长为（a+b）的正方形当中，中间又是一个正方形，而它的面积正好是c2，从而得出a2+b2=c2。其中的难点在于，让学生自己很自然地想到用拼图证明，对于大多数学生来讲，做到这一点几乎是不可能的。教师只能带领学生进行变形、联想、拼图等一系列的教学活动。教师的讲授时间明显多于学生的探究时间，尽管教师一直在讲，但是其中的来龙去脉还是很难交代清楚。第一次反思：（1）教师的讲授时间多于学生的探究时间原因在于：凭学生已有的知识尚无能力探究这个问题，学生“一路走来”只能回答“是”“对”，思维屡屡受阻，心智活动暴露在无所依托的危机之中。（2）备课时，教师就发现了难点所在，但直到具体实施时仍束手无策，心有余而力不足，无法引导学生进行有意义的自主探究，这与教师自身的经验不足有很大关系。（3）教师不仅要抓住教学中的难点，更要找到化解难点的办法。为学生向既定的探究目标迈进铺设适当的知识阶梯，当凭自己的能力无法做到时，应向专家请教，及时有效地解决教学中存在的问题，使自己在教法上能有所改进。2.第二次上课通过集体备课，大家集思广益，针对前面两个难点重点设计，基本上解决了原有的问题。设计方案是:将整个教学过程分成八节，每一节都清晰地展现在学生面前。（1）创设问题情境，设疑铺垫。情景展示：小强家正在装修新房，周日，小强家买了一批边长为2.1米的正方形木板，想搬进宽1.5米，高2米的大门，小强横着放，竖着放都没能将木板搬进屋内，你能帮他解决这个问题吗？（2）以1955年发行的毕达哥拉斯纪念邮票为背景，观察图形，你发现了什么？并说说你的理由。图一图二（3）以小方格背景，任意画一个顶点在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向外作正方形，刚才你发现的结论还成立吗？其中斜放的正方形面积如何求，由学生探讨。（介绍割与补的方法）（图一）（4）如图二，任意直角三角形ABC为边向外作正方形，上面的猜想仍成立吗？用四个全等的直角三角形拼图验证。（5）介绍一些有关勾股定理的史料（赵爽的弦图、世界数学家大会会标、华罗庚建议用“勾股定理”的图作为与外星人联系的信号等），让学生感受到勾股定理的历史之悠久，激起学生的民族自豪感。（6）应用新知，解决问题。①解决刚才“门”的问题，前后呼应；②直角三角形两边为3和4，则第三边长是%%。例：一块长约120步，宽约50步的长方形草地，被不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜路，类似的现象时有发生，请问同学们回答：①走“斜路”的客观原因是什么？为什么？②“斜路”比正路近多少？这么几步近路，值得用我们的声誉作为代价换取吗？（7）设计问题，揭示本质。请学生概括用上述勾股定理解决问题的实质：已知两边求第三边长，并请学生设计能用勾股定理解决的简单问题。（8）感情收获，巩固拓展。①本节课你有哪些收获？②本节课你最感兴趣的是什么地方？③你还想进一步研究什么问题？说明:（1）通过具体的生活情景，激起了学生对本节课的学习兴趣，使他们急于想知道直角三角形的三边到底存在着怎样的数量关系，激发了他们的好奇心和求知欲。（2）学会了在小方格的背景下，用割补法求出邮票中斜放的正方形R的面积，同时为勾股定理的引出做好了充分的准备，为学生进行有意义的探究做好了铺垫。（3）证明方法可以说已经摆在这里，但由于前面的教学中计算强调过多，而忽略了计算原理，致使撤去小方格背景时，学生在证明时出现障碍，想不到补4个直角三角形，或割成四个直角三角形和一个正方形计算斜放的正方形面积。为了解决这个问题，本节课在定理证明时有意用拼图的方法再次验证勾股定理。（4）由于是勾股定理的第一课，应用较简单，学生设计具有一定的可行。引导学生在掌握定理的基础上自己设计问题，完善问题，并从老师的高度变题，学生的主体性得到了最好的发挥。第二次反思：（1）当猜想出直角三角形三边数量关系时，是不足以让学生信服的，因为猜想时直角三角形的三边均为整数，学生可能还存在疑虑：当直角边的长不是整数时，情况又如何呢？所以让学生从理性上确信这个猜想是必不可少的环节。为此，设计了任意三边的直角三角形是否存在这个问题。（2）去掉背景和具体数值，在证明字母为边的直角三角形的勾股定理时，主要是没有了正方形网格作背景，学生不能快速产生正确的思维迁移，不易想到用割补法证勾股定理。但是前面有了邮票问题做铺垫，学生很自然地会联想到用割或补的方法计算以斜边为边长的正方形的面积，从而得出了一般的直角三角形的情况，获得了勾股定理。如此设计，对于执教者来讲，最大的好处在于可以使学生的思维过程显性化，有利于教师对学生进行过程性评价，有利于及时指导学生在思维过程中存在的细节问题，还有利于教师进行教学过程的改进。（3）在做勾股定理练习时，采用开放式教学法，由学生自己出题自己解决，既巩固新知识，又提高他们的学习兴趣。但由于学生在已知直角三角形的任意两边，求第三边时，不知道一个数开平方这一知识，会出现第三边不会算的情况。关于这点，我课前早有预料：如果有这种情况出现，就为下堂课做好铺垫；如果没出现这种情况，老师上课时也不提。（4）在课堂小结时一改先前一贯做法，三个问题结束本节课。特别是后两个问题，当时学生是这么回答的：我最感兴趣的地方是割补法证明勾股定理；毕达哥拉斯怎么会从地砖上发现勾股定理的，我们平时也要多观察生活；我想知道勾股定理还有哪些证明方法；我想知道我的这副三角板中，如果已知一条边，能不能求出另外两条边。听课的老师们深深地被学生的这些问题感染了，情不自禁地给予了赞扬。这样的总结设计，把所学的知识形成了一个知识链，为每位学生都创造了获得成功体验的机会，并为不同程度的学生提供了充分展示自己的机会，尊重了学生的个体差异，满足了学生多样化的学习需要。特别是最后一个问题，把本课知识从课内延伸到了课外，真正使不同的人得到了不同的发展。（5）学生在学习过程中旧问题解决，而新问题产生，使我真正认识到上好勾股定理这一堂课是不容易的。课改几年来虽然理念上有所转变，但要真正在课堂上能运用自如，还需要不断实践。几个问题间的过渡语言，也是不断地修改，甚至一个问题要怎么问，问了后学生可能会出现哪些想法都做好了预设准备，更制定了应急方案。
三、教学理念的升华
篇8
一、隐性分层教学法的案例
1.教学案例1对苏教版初中二年级（八年级）上学期第二章第一节：勾股定理的课程进行案例分析.教学目标：了解勾股定理的内容，掌握勾股定理的来源和应用，学会利用勾股定理进行计算与证明.教学难点：运用多种方法证明勾股定理.教学步骤如下所示.（1）设立情景，导入知识.利用多媒体课件，播放我国从东汉开始的勾股定理研究成果，对我国古代数学家赵君卿进行介绍，对古希腊数学家毕达哥拉斯对勾股定理的运用进行介绍，引导学生在毕达哥拉斯对地砖的思考中进行思考，提问学生三角形三边的关系，再引导学生通过三角形三边的关系思考直角三角形三边的关系，建立起勾股定理的概念，即：在直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，并强调“勾”和“股”的概念.案例分析：在隐性分层教学模式中，利用多媒体吸引学生，将知识与生动的故事或者图片联系起来，能够充分调动起学生学习的积极性和主动性.案例中利用故事或者图片的形式制造了一个积极向上的学习引子，帮助学生进行知识的引导，建立引起学生兴趣的问题，把学生引入一种与勾股定理有关的氛围当中.（2）不同学生，不同学习方法.对勾股定理进行初步掌握之后，教师引导学生对勾股定理的证明进行思考，试着让学生自己来对勾股定理进行提问，教师选择中等生与差等生问问题，根据教学进度，可由优等生或者教师自己进行讲解.在赵君卿的证明方法中，教师利用多媒体进行习题的证明训练，如图1所示，在图1中，将a、b作为直角边，c为斜边，且b＞a，作出四个全等的直角三角形，每个三角形的面积等于ab的一半，这四个直角三角形就如图1所示.教师此时对优等生进行点拨，同时引导中等生进行勾股定理的证明，并启发差等生对图形的观察，建立勾股定理的概念.在中等生对勾股定理进行证明之后，教师对优等生和中等生进行提问，启发学生运用更多的证明方法进行证明.案例分析：在本案例中，教师采取了图形的形式来帮助学生理解勾股定理，学生在图形的拼接之中亲自证明勾股定理，有助于学生加深对勾股定理的认识，而在一开始选择中等生与差等生问问题，更有普遍意义，不仅使中等生与差等生了解了其不明白的地方，更巩固了优等生的知识，其实让差等生提问，提高了其学习的主动性，使其更好地融入课堂，教师可根据差等生的提问控制讲课节奏，不至于讲课难度过高，而使差等生与中等生跟不上知识点的讲解，自我放弃学习.本案例中教师通过重视中等生与差等生的提问，让学生真正地成为教学的主体.教学的目标是为了增进学生的主体性，教学过程随学习内部矛盾而展开，是学生的自我教育、自我活动和自我拓潜的过程.（3）定理运用，夯实知识.教师利用多媒体进行习题播放，从难度较为简单的习题开始练习，教师提问差等生回答较为基础的勾股定理知识，并对其进行鼓励与肯定.在习题的解答中演示习题解答的正确书写方式，纠正学生的错误，肯定学生的表现.随着习题难度的加大，提问中等生，并鼓励优等生说出自己的看法和理解，形成整个课堂对习题的研究氛围.教师在课后对学生的表现进行分析，对于差等生的学习状态更要重视，以鼓励和激发兴趣为主，对于中等生，要以激励学习热情、指导学习重点和技巧为主，对于优等生，要进行适当的教学内容拔高，提升其知识掌握水平.案例分析：教师在课堂上对知识进行巩固训练，对差等生提问，更能知晓全班学生的知识掌握基础水平，了解差等生的学习困难所在.中等生、差等生、优等生对课堂知识的总结与讨论显示出了隐性分层教学离不开团队的合作，在学习知识中自由地结合成小组进行个人想法的汇总与分析，使学生在相互交流分析的基础上，掌握和了解知识的内涵，或者找到解决问题的方法和途径.在交流和协作的过程中，不仅将问题解决了，也得到了团队合作的方式，对别人的发言学会了理解和尊重，学会了合作的意义.
2.教学案例2对苏教版初中一年级（七年级）上学期第五章第二节：图形的变化案例分析.教学目标：了解平面图形如何变化成为立体图形，了解点线、线面的原理，了解简单图形如何拼成复杂的图形.教学难点：培养学生对图形空间的想象力.教学步骤如下所示.（1）真实实验，导入知识.教师在讲台上做实验，请学生安静观看，将教科书围绕着其中的一条边旋转了一周，请学生回答形成了什么图形.请中等生回答，答曰：圆柱形.接着教师用一枚硬币进行旋转，提问学生形成了什么图形.提问差等生，答曰：球形.教师接着开始宣讲课本中“点动成线，线动成面”的原理，学生由于观察了实验，印象更加深刻，教师此时鼓励学生对这种现象进行讨论，并鼓励学生举出更多的例子证明这个原理，有意识地将优等生、中等生和差等生的问题集中回答，分组时注意每组都有优、中、差等生.案例分析：教师根据教学内容，设计出不同的问题，以完成一个又一个具体的“问题”为教学线索，把教学的内容巧妙地隐藏在每个“问题”之中，学生在教师的指导下提出解决问题的具体思路和方法，然后进行具体的操作，教师引导学生边学边完成相应的任务，就是让学生在一个个典型信息处理“问题”驱动下，开展协作学习活动，由教师引导并帮助学生由简到繁、从易到难、循序渐进地完成一系列教学任务.（2）巧提问，多互动.教师拿出一张长方形的纸，提问学生：能不能只剪一条线就将长方形的纸变成两部分，使这两部分的图形能拼接成梯形？鼓励学生分小组讨论，每个小组中都有优、中、差三类学生.选择其中一组的差等生上台展示自己拼接的梯形，教师予以鼓励肯定.接着教师再提问有人还能继续拼接出三角形、平行四边形吗？教师鼓励学生亲自动手实验，并选择另外一组的中等生上台回答.教师在学生回答之后，引入课题知识，学生加深理解，教师在学生高涨的热情中肯定学生们的想象力，并设计更有难度的提问：如何在一张圆形的纸片上，只剪一次，剪出一个四边形呢？在小组讨论中，教师可以根据情况适当提示，之后选择一组中的优等生回答问题.案例分析：有效性是问题设计的前提条件，因材施教，在设计的过程中既要着重基础的教学应用，对优秀的学生应当适当地拔高，而对于中等生和差等生可以设置不一样的问题.对于同一个班的不同的学生，同样也可以根据知识接受能力的不同而设置不同层次的应用，保证绝大部分学生能够基本完成学习任务，而对于那些能力稍强的又可以从创新的角度给予其设计应用，这种符合学生特点的应用设计既保证了学习基础，又发展了学生的个性.
二、结语
篇9
一、数学文化的基本含义和基本特征
数学文化是一种基本的文化形态，属于科学文化的范畴，而且在科学文化中占有极为重要的地位。数学文化作为人类基本的文化活动之一，与人类文化处于统一的整体之中。数学文化，广义地讲，可以表述为以数学科学为核心，以数学的思想、精神、方法、内容等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有特定功能的动态系统。它的基本要素是数学，以及与数学有关的各种文化对象。其系统内部相互作用的方式是多向的和交叉的，包括数学以其内在力量推动文化的进步和数学从相关文化中汲取动力和养分。数学文化具有很强的综合性。数学文化涉及的基本文化领域包括哲学、艺术、各门自然科学、经济学、教育学、思维科学，等等。
数学文化除具有文化的普遍特征外，还有其独有的特征，这些特征既是数学文化区别于其他文化形态的主要方面，又是对数学文化本质的进一步揭示。（1）数学文化是传播人类思想的一种基本方式；（2）数学文化包含着人类所创造语言的高级形式；（3）数学文化是自然与社会相互联系的一个尺度；（4）数学文化具有相对的稳定性和连续性；（5）数学文化具有高度的渗透性和无限的发展可能性。
二、初中数学教学中渗透“数学文化”的几种方法
1.教学中渗透数学史，感受数学的博大精深。
在数学课堂中适当介绍数学史，既可以增强趣味性，又能提高学生的学习兴趣。
例如：在“勾股定理”的教学中可以介绍“勾股定理”的相关背景资料。教师问：勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？学生回答：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。中国最早的一部数学著作――《周髀算经》对“勾股定理”就有记载。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的，如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，记载中周公与商高的对话则可以确定是在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。通过以上知识的介绍，学生会对“勾股定理”产生浓厚的兴趣，从而拉近学生和数学的距离。
2.介绍数学中的美学，以数学美激发学生学习兴趣。
“哪里有数，哪里就有美”。数学中充满着美的因素。数学中的美学包括以下几方面：对称性、简单性、统一性和奇异性。利用数学美进行教学，能促进学生对知识的理解，提高学生的学习的兴趣。例如杨辉三角便是一幅美丽的对称图案（教师可以展示证明图形）。又如黄金分割比≈0.618被誉为“人间最巧的比例”，是对称和谐美典型的例子，许多著名建筑广泛采用黄金分割的比例。
数学家蒲丰用投针试验求π的近似值是数学方法奇异性的一个典型例子。1777年某日，蒲丰做了个奇特的试验，他事先在白纸上画好了一条条有等距离的平行线，又拿出一些质量均匀，长度为平行线距离之半的小针，请客人一根根把针顺便仍到纸上结果共投2212次，其中与平行线相交的有704次，≈3.142，然后宣布这就是π的近似值。这一新颖的计算π的方法，充分显示了数学的奇异美。
3.各学科相互渗透，使教学内容多元化。
高度抽象的数学只有与其他学科结合，才会显得生动、具体、形象，学生才会乐学、爱学。数学文化可以通过与其他学科的结合得以应用。例如在“概率”部分，我们可以选择与生物学科有关联的例子：“遗传”方面如何求生儿生女的可能性的大小，子女的血型，等等。这样既使学生丰富了知识，增长了见识，又极大地提高了学生的学习积极性。
4.联系实际渗透数学文化，感受数学的应用价值。
数学源于生活，其理论核心都包含在人们的生产、生活之中。但是数学又高于生活，是对现象本质规律的高度抽象概括。这一切都促使我们教师必须把先人们在数学探索历程中有文化价值的思想方法加以浓缩和加工，并且在课堂中每个关键的环节上适时充分地利用直观具体的实例，唤起学生学习数学的激情，实现认识上的飞跃。因此在应用的切入点处渗透数学文化有利于激发学生学习数学的兴趣、增强学生的应用意识。
例如“一元一次方程”的应用题，可选择生活中熟悉的“换啤酒问题”：小明的父亲从商店买回10瓶啤酒，商店规定3个空瓶可换回一瓶啤酒，若小明的父亲不再给钱，他一共可喝上多少瓶啤酒？其解法是：10瓶喝完，可换回三瓶；再喝完，则剩余4个空瓶，又换回一瓶，喝后剩下2个空瓶，此时借进1空瓶，则又可换回1瓶，喝完后归还所借1空瓶，总计可喝15瓶。此过程中“一借”可谓巧，若我们采用代数法，设一共可喝x瓶，则空瓶又可换瓶，由题意得：10+=x，解得x=15。无需“借”，真是妙。其实这里仅采用了“一元一次方程”这一简单的数学模型，就很方便地解决了我们身边的现实问题，学生看了无不称奇。通过文化层面来设计问题情境，将会使数学问题变得富有“人情味”，同时也激发学生探究的热情，使数学课堂变得妙趣横生。
以数学应用为切入点的数学文化渗透，将数学问题赋予生活内涵，一方面深化了学生所学的数学知识，另一方面增强了学生关注社会和关注人类发展的意识。在问题解决中，学生能感到数学就在生活中。学生通过对一些既熟悉又陌生的问题的研究，感受到了数学的应用价值，进而增强了应用数学意识。
总之，当数学通过文化层面的渗透进入教材、到达课堂、融入教学时，数学就会更加“平易近人”。当学生不再为了考试而学习，才会真正理解数学、喜欢数学，并逐步形成良好的思维品质。
参考文献：
［1］张新建.新课程与数学老师.中国教育创新教师论坛，人民日报出报社.
篇10
关键词：数学开放题；实践；评析
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2013）18-0121-02
适当开展数学开放题的教学不但是平常教学的有效补充，而且也是与当前新课改的要求相适应的，是培养学生实践、探究与创新能力的重要方式方法，因而对初中数学开放题教学的研究是非常有意义的。
一、适当进行开放题的教学非常有必要
从新课标的内容和要求来看，它加强了数学与学生平时生活的联系。如：张师傅想造一张长200cm，宽40cm的桌面，但目前身边的材料是长300cm，宽60cm的木板，问怎样将木板裁剪，最后能制成长200cm，宽40cm的桌面，请设计出裁剪方案。就与学生平时的生活联系得很紧密。新课标的内容和要求体现在数学问题中，就是内容和形式逐步开放，不局限于书本，注重学科之间的联系。笔者对七年级人教版的教材作了统计，其中开放题占了19.5%，其所占比例还是比较大的。这些都为教师开展开放题教学提供了很好的素材，也为培养学生主动参与、积极探究的习惯提供了有利条件。
二、数学开放题的案例剖析
在初中数学教学的内容中，不但有概念的教学，还有公式与定理的教学。因此，应该想办法将这两方面的内容与开放题进行有机地融合。开放题的特点决定了其教学过程不可能事先完全清楚，因为学生的思维与创新能力非常强，教师不可能将各种情况都事先想到，而应视具体情况具体分析。因此，为了更好地说明开放题的教学实践，本文给出了教学案例。
案例：勾股定理的教学
1.教学目标：在学生动手操作，自主探究的基础上，掌握勾股定理的结构特征，培养学生的动手实践、合作交流以及数学语言的表达能力。
2.教学过程。
（1）教师提出问题：现在给你4个全等的直角三角形，你能不重叠、没有缝隙地拼出一个正方形吗？（开放题①）
（2）学生积极动手操作实践，自主探究，合作交流，得出以下方法：①以直角三角形的斜边为拼成的正方形的边长，如图1。②以直角三角形两条直角边的和为大正方形的边长，如图2。
（3）若图中直角三角形的两条直角边为a与b，斜边为c，可用哪些方式表达几何图形的面积：①直接用正方形的面积公式，在图①中大正方形的面积为C2。在图②中正方形的面积为（a+b）2。②也可用4个小直角三角形的面积与中间的一个小正方形求和来解。在图①中大正方形的面积为：4×■ab+（b-a）2。在图②中大正方形的面积为：4×■ab+c2。
（4）结合图①与图②以及刚才所得到关系式，你能发现它们之间的关系吗？
（5）学生基于刚才的活动得出它们应该相等，有如下等式：（a+b）2=4×■ab+c2或者c2=4×■ab+（b-a）2。
（6）教师：将以上式子进行化简，你能说出它们的特点吗？（开放题②）
（7）学生在紧张的思考后得出：a2+b2=c2，它有如下特点：①左边是两边的平方和，右边是斜边的平方。
②a、b、c是直角三角形的边长。③它反映的是直角三角形中所特有的三边关系。
（8）你能仿照这个等式，再举出几个例子，满足以上关系吗？（开放题③）
（9）学生很快找出常见勾股数：32+42=52，62+82=102，92+122=152，82+152=172，52+122=132，72+242=252，92+402=412，等等。
（10）教师：对于以上的等式a2+b2=c2（a、b、c为直角三角形的三边长且C为斜边），就是几何中非常著名的定理――勾股定理，你还有别的方法证明它的正确性吗？
（11）学生提出可用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形来证明。
（12）教师拿出题板，给出巩固提高题。
（13）学生在教师的指导下，解完巩固训练题后提问：勾股定理的使用条件是什么？（开放题④）
（14）学生回答如下：①只有在直角三角形中才成立；②两直角边的平方和等于斜边的平方；③对于三边关系不能用错。
（15）根据以上回答，教师进一步提问：勾股定理中的a、b还可以表示什么？（开放题⑤）
（16）学生回答：可以代表数字、单个字母、单项式、多项式。
（17）教师提出问题：你能构造出可用勾股定理解决的实际问题吗？（开放题⑥）
学生各抒己见，发表自己的观点。
3.教学评析：
（1）本课例用到的开放题有结论开放（开放题②③④⑤），策略开放（开放题①），综合开放（开放题⑥）
（2）教学过程的（1）～（5）是勾股定理的发现过程，强调关注学生的思维。开放题①的作用是展示给学生耳目一新的问题情境，使其能够体会到不同的方式方法带来的不同解题效果，由此既让学生对勾股定理的形式有所感知，又为下一步问题的深化作了铺垫。
（3）环节⑥～⑩是对定理的进一步升华，开放题①的作用是引导学生动手实践，自主探究，从而使学生印象深刻。开放题②③的作用是培养学生的语言表达与概括能力，从而带动学生积极思考，但此时学生的思考尚处于比较浅的层次，举出的例子变化少。
（4）环节（11）是定理的再次探索，问题注重对学生举一反三能力的训练，为下面的开放题④作准备。
（5）环节（12）～（17）是定理的概括、延伸过程。开放题④⑤引导学生对勾股定理进行回顾，反思定理的本质，形成对勾股定理的完整认识。开放题⑥实际是整节课的回顾与总结，同时避免了乏味的单调练习。
对于以上案例，笔者只是截取了教学实践中的某个部分来说明概念及定理与公式这两方面的教学是如何展开的。
三、结论
笔者的教学实践表明：开放题教学能使学生在自己原有的认知基础上，实现对学习内容的主动建构，能促使学生独立思考，大胆质疑，勇于探索，从而培养学生的创新能力，提高其学习兴趣。
参考文献：
[1]刘兼，孙晓天.全日制义务教育数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002.