高中数学基本思想方法范文

导语：如何才能写好一篇高中数学基本思想方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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【关键词】高中数学；数形结合；思想方法；以形辅数；以数解形

高中数学教学设计到三个层次方面的教学：其一是教材中最基本知识和基本技能的教学，即所谓的双基，近期课程纲要修订中将双基已经提升为四基的要求，即增加了基本思想方法和基本活动经验，这是教师教学的最基本要求；其二是教材中诸多知识的整合性学习，这是基于双基之上的一种教学层次；最后，高中数学最高层面的教学是思想方法的教学，只有学会思想方法，才能将变幻多端的试题寓于无形的解决方案中，这是高中数学教学的最终目标.《课程标准》正是这样描述的：要让学生掌握基本的数学思想方法，利用数学思想方法去解决问题.

高中数学思想方法中，数形结合思想是一种贯穿高中数学始终的数学思想方法.其核心在于用代数的方法解决一些几何问题，用几何的方法解决一些代数问题，将几何和代数两座孤岛用桥梁进行了合理的连接，让学生的脑海中建立起了数形互相转换的概念，培养其解决问题的多思路性、发散性、简捷性.

1.以形辅数

数形结合思想方法的作用之一，是以形辅数.用几何本质的图形来反映、解决代数问题是其思想的重要运用，来看两个相关的案例.

案例1 设有函数f（x）=a+-x2-4x和g（x）=43x+1，已知x∈[-4，0]时恒有f（x）≤g（x），求实数a的取值范围.

审题破题：x∈[-4，0]时恒有f（x）≤g（x），可以转化为x∈[-4，0]时，函数f（x）的图像都在函数g（x）的图像下方或者两图像有交点，利用图像解决代数中的不等式问题.

解析 f（x）≤g（x），即a+-x2-4x=43x+1，变形得-x2-4x=43x+1-a，

令y=-x2-4x，①

y=43x+1-a.②

① 变形得（x+2）2+y2=4（y≥0），即表示以（-2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆；

② 表示斜率为43，纵截距为1-a的平行直线系.

设与圆相切的直线为AT，AT的直线方程为：

y=43x+b（b>0），则圆心（-2，0）到AT的距离为d=|-8+3b|5，

由|-8+3b|5=2得，b=6或-23（舍去）.

当1-a=6即a=-5时，f（x）≤g（x）.

反思归纳：解决含参数的不等式和不等式恒成立问题，可以将题目中的某些条件用图像表现出来，利用图像间的关系以形助数，求方程的解集或其中参数的范围.

2.以数解形

以形解数最典型的代表是高中数学重要核心知识――解析几何.笛卡尔创立了坐标系之后，后代的数学大师们将平面解析几何放到坐标系中，轻松的用代数方法解决了几何问题，这是数形结合思想的另一方面的重要体现.

案例2 已知抛物线C：y2=4x，过点A（-1，0）的直线交抛物线C于P，Q两点，设AP=λAQ.（1）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；（2）若λ∈13，12，求|PQ|的最大值.

审题破题：（1）可利用向量共线证明直线MQ过F；（2）建立|PQ|和λ的关系，然后求最值.

（1）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1，-y1）.

AP=λAQ，

x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，

y21=λ2y22，y21=4x1，y22=4x2，x1=λ2x2，λ2x2+1=λ（x2+1），λx2（λ-1）=λ-1.

λ≠1，x2=1λ，x1=λ，又F（1，0），

MF=（1-x1，y1）=（1-λ，λy2）=λ1λ-1，y2=λFQ，

直线MQ经过抛物线C的焦点F.

（2）解析：由（1）知x2=1λ，x1=λ，得x1x2=1，y22・y22=16x1x2=16，y1y2>0，y1y2=4，则|PQ|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=x21+x22+y21+y22-2（x1x2+y1y2）=λ+1λ2+4λ+1λ-12=λ+1λ+22-16，λ∈13，12，λ+1λ∈52，103，当λ+1λ=103，即λ=12时，|PQ|2有最大值1129，|PQ|的最大值为473.

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1.1高职医药数理统计课程目标

高职医药数理统计课程的知识目标为掌握x2分布、t分布及F分布的定义和正态总体的统计量的分布；掌握常用统计描述指标的计算方法、正态总体的均值和方差的置信区间的求法及假设检验方差分析的基本方法；掌握回归分析的基本方法；掌握使用正交表设计实验的方法。熟悉数理统计的基本概念、一元函数微积分及概率论的性质，运算法则；熟悉数据的统计整理方法，以及统计表与直方图的适用范围与绘制方法。高职医药数理统计课程的技能目标为能熟练运用所学知识，科学地搜集、整理、判断数据的性质，对统计数据作区间估计，假设检验，方差分析，相关分析与回归分析，能熟练使用Excel进行统计数据的处理，正确绘制统计表与直方图。会应用加法公式和乘法公式计算随机事件的概率；会计算随机变量的数学期望与方差；学会使用统计分析软件SPSS。

1.2高中数学与高职医药数理统计课程目标的区别与联系

高中数学课程的总体目标是使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。虽然高中数学课程标准中也有获得必要的数学基础知识和基本技能,提高抽象概括、推理论证、数据搜集处理等基本能力，发展数学应用意识和创新意识等条文，但受到应试教育的影响，为了高分通过大量的练习使学生形成“条件反射”，这样使数学的思维属性丧失殆尽，还易导致学生讨厌数学。因此数学学习能力、数学学习中的态度、意志、兴趣、应用意识和创新意识等数学素养的培养是高职医药数理统计所要具备的必要条件。高职医药数理统计虽然也有提高数学素养的目标，但更强调其为后续专业课程的学习奠定必要的基础，更强调课程为专业服务的工具作用，更强调课程的目标的职业导向。两门课程目标虽有所差异，但从数学研究的对象性质、所涉及的概念原理、思想方法以及逻辑思维规律几个方面来看仍然有着不可分割的联系。

2．高中数学与医药数理统计内容衔接现状

2.1高中阶段概率统计教学内容

在新课改下，高中数学均分必修与选修，但各地区高中数学所用版本不一，下面均以人民教育出版社A版为例《。必修3》、《选修2－3》《选修1－2》涵盖了高中概率统计内容。高中阶段主要是引导学生体会统计的基本思想，通过统计案例教学，培养学生对数据的直观感觉，认识到统计结果的随机性。基本概念，多是通过实例给出描述性说明，没有具体的定义。强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，重点培养学生的运算、作图、推理、处理数据以及使用科学计算器等基本技能。在《选修2－3》中，学生通过实例了解条件概率的概念，理解离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量均值和方差的概念，学会计算简单的离散型随机变量的均值和方差。但没有涉及条件概率的基本性质，没有明确给出概率的乘法公式，没有给出随机变量的严格定义，离散型随机变量未扩充到可列个，未涉及连续型随机变量的定义和分布函数的概念。正态分布也仅通过直观的方法引入其密度曲线，掌握它的特点及表示的意义，并没有给出正态分布的分布函数表、没有介绍标准正态分布，也不需计算正态分布随机变量落到任意区间的概率。未涉及泊松(Poisson)分布、均匀分布与指数分布、参数估计、假设检验、方差分析、相关分析与回归分析等内容，未要学会应用非专业统计软件如：SPSS、SAS等。

2.2高中概率统计与医药数理统计教学内容的安排

为符合学生认知螺旋式“上升”的特点，高中数学《必修3》是先教统计再教概率，在《选修2－3》中先讲概率分布再讲统计案例。因学生在初中已经具备了的一些概率常识，这些对于学习的统计一些基础理论已经够用了，且概率理论较为抽象，统计则与生产生活密切相关，用统计带动概率的学习，用统计的思想理解随机变量的概念，学生更加容易接受。医药数理统计教学更注重学科的系统性与严谨性，先安排高等数学与概率论的基本知识，再进行统计的教学，并对定理给出必要的证明。

2.3高中数学与医药数理统计教学内容的重复与脱节

2.3.1教学内容重复

文理科高中生都学习频数分布表、频率分布直方图、算术均数、中位数、中位数、线性回归方程等统计学中的概念，随机事件、概率、古典概型等概率论中的概念。对于理科高中生来说，总共学习了46学时的概率统计知识，对于文科高中生来说，总共学习了34学时的概率统计知识。这些知识大约覆盖了医药数理统计课程的10%以上教学内容。

2.3.2教学内容脱节

基础知识点缺失。文科高中数学对不定积分与定积分、排列组合等知识不作要求，但它们却是医药数理统计学习所必需的前期基础知识。

3．高中数学与医药数理统计顺利衔接的措施

3.1教学内容的衔接

教师的教和学生的学在很大程度上取决于教学内容，教学内容的顺利衔接对教学质量的提高起着关键作用.在医药数理统计的教学中，教师有意识地引导、启发学生用严谨科学的态度，用统计学的理论、观点、方法去分析与之相关生产、生活中的案例，使学生意识到高中数学教材中一些不能讲解“深刻”的内容，可以通过医药数理统计的学习，给予相应的解释，使这些统计案例能得到应有高度来认识。大学数学教师把教材中的抽象内容具体化的同时，要考虑到学生的理解与接受能力，使其范围、深度、速度能同学生的实际水平相适应。关于医药数理统计教材内容改革，许多数学教学工作者都作出了尝试，但医药数理统计内容的改革必须依据循序渐进原则或有序性原则，要依据科学的逻辑顺序和学生不同年龄阶段发展的顺序特点编写。改革时，必须密切联系学生学习实际，了解学生学习高中数学情况，关注高中数学教材改革动向，对教学内容的处理应建立在高中数学平台上，较好地把握教学的深度和广度。对于明显重复的部分，进行适当的删减，对于需要加深、扩展的内容，应加以强调和重视。对于因某些高中未教或是文理分科，或者涉及的角度和侧重点不同，应及时补充以免形成空白造成脱节，使医药数理统计教学内容与高中数学教学内容顺利衔接。

3.2教学方法的衔接

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关键词：听课 作业 复习 习题 信心 兴趣

和初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，一些初中数学成绩较好的学生，甚至在中考中取得优秀成绩的学生，经过高中一段时间的学习后，数学成绩出现明显的分化与下滑趋势。如何让学生尽快的度过“适应期”？这是每一位高中数学教师和高中学生家长十分关心和亟待解决的问题。现就怎样学好高中数学谈几点建议。

一、认识学好数学的重要性

“数学是锻炼思维的体操”，高中数学具有概念抽象，逻辑性强，教材叙述比较严谨规范，抽象思维和空间想象能力明显提高，习题类型多，解题技巧灵活多变，不仅注重计算而且还注重理论分析等特点。因此，数学的重要性不仅蕴含在各个知识领域之中，更重要的是它能很好的锻炼人的思维，有效地提高能力。高中数学学习将要求学生勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思想方法，做到举一反三，触类旁通。对于这些能力，如理解能力、分析能力、运算能力、归纳总结的能力，则是关系到学习效率的重要因素。所以，有很多人说“得数学者得高考”，或许就是这个道理吧！

二、重视听课效率的关键性

“课堂是学习的主阵地”，高中数学的教学任务主要是通过课堂教学完成的，跟上教师的思维，提高听课效率，对于学好高中数学尤为重要。为提高听课效率学习中应注意以下几点。

1.课前预习学会“读”。学起于思，思源于疑。问题是学生思考的起点和动力，因此，养成课前预习，学会“读”书的好习惯尤为重要。学会“读”书，及做好粗读、细读、研读三项工作。

2.听课的过程学会“听”。听懂课是学好数学的前提，为提高听课效率，要全身心的投入课堂学习，要做到全神贯注，即耳到、眼到、心到、口到、手到。

耳到，即专心听讲。注意听老师每节课所提到的学习要求；注意听定理、公式、法则的引入与推导的方法和过程；注意听概念要点的剖析和概念体系的串联；注意听例题关键部分的提示和处理方法；注意听疑难问题的解释及一节课的小结，另外，还要注意听同学们的答问，看是否对自己有所启发。

眼到，即仔细看清老师每一步的板演。要努力做到在听课的同时看课本和板书；看老师的表情、手势，生动而深刻的接受老师所要表达的思想。

心到，即注意力集中，用心思考。听课时跟上老师的思路，分析老师如何抓住重点，解决疑难的。

口到，即随时回答老师的提问。上课能够在老师的指导下，主动回答问题或参加小组讨论，提高听课效率。

手到，即在保证听懂前提下，适当地、有重点地做好笔记，养成记笔记的好习惯。

若能做到上述“五到”，精力便会高度集中，课堂所学的一切重点内容将在头脑中留下深刻的印象。

三、利用完成作业的检验性

通过作业不仅可以及时巩固当天所学知识，加深对知识的理解，更重要的是把学过的知识加以运用，以形成技能技巧，从而发展智力，培养能力，保障后序学习的顺利进行和学习能力的提高。因此，完成作业时应努力做到以下几点：

1.先看后做，两者结合。只有先将课本的基本原理和法则弄懂，才能减少作业的错误，顺利完成作业。从而达到巩固知识，事半功倍的效果。

2.注意审题，规范作答。每道作业都要搞清题目所给予的条件，应用所学知识，找到解决问题的途径和方法。同时，态度要认真，作业要规范，书写要工整，推理要严谨，养成“言必有据”的好习惯，准确运用学过的定理、公式、概念等。

3.独立完成，乐学其中。作业要自己独立思考、自己动手体会，只有亲身的体会，才能促进自已对知识的消化和理解，才能培养锻炼自己的思维能力，同时也能检验自己掌握的知识是否准确，从而克服学习上的薄弱环节，逐步形成扎实的基础。

4.更正错误，记好反思。准备一个“错题本”是非常必要的。一方面记录错题。把平时的错题及时记录下来，并用红笔醒目的加以标注，同时要注明错误成因，正确思路、方法及对应习题，争取经过更正、记录；另一方面，记体会感受。数学学习是智、情、意、行的综合，在听、看、想、说、做的基础上，伴随着积极地情感体验和意志体验。记下学习过程中自已创新的思维见解、自已的学习感受，可以更好的调控自己的学习行为。

四、确定复结的保障性

1.做好及时的复习。每天学习结束后，做好当天的复习尤为重要。尽量把当天所学想的完整些，然后打开书和笔记加以对照，把没有记清的补充完整并着重记忆。通过尝试回忆，不仅使当天上课内容得到巩固，也可以检查当天课堂听课的效果如何，便于听课方法和听课效果的改进。

2.做好章节（单元）的复习。一章节（单元）学习结束后，也应采用尝试回忆的方法进行阶段复习，完善自己的知识结构，并做好章节（单元）小结。章节（单元）小结内容应包括以下部分：①本章（单元）的知识网络。②本章（单元）的典型例题和基本思想方法。③本章（单元）的自我体会。即体会自己做错的典型问题，分析原因及正确答案；体会记录下来的自己感觉最有价值的思想方法和例题；体会你还存在的未解决的问题，若能主动研究、另辟蹊径，则难能可贵。

五、确保习题数量的合理性

有不少同学把提高数学成绩的希望寄托在大量的做题上，我认为“不要以做题的数量论英雄”，重要的不在做题多，而在于做题的效益要高。做题的目的在于检查你的知识和方法是否掌握的很好，如果你掌握的不准甚至偏差，那么多做题的结果反而巩固了你的缺陷，因此，在准确地把握基础知识和方法的基础上做一定量的练习是必要的。

对于中档题，讲究做题的效益更为重要。中档题练习后，要进行一定的“反思”，思考一下题目所用的基本知识是什么，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有其它的想法及解法，本题的分析方法和解法在解决其它问题时是否也用到过，把以上的“反思”联系起来，你就会有更多的收获和经验。所以，要重视老师布置的每一道作业，每一次测验，尽可能的把准确性放在首位，把通法通解放在首位，不一味的追求速度和技巧，也是学好数学的重要问题。

六、深知兴趣、信心的推动性

兴趣和信心是学好数学的最好的老师。“伟大的动力产生伟大的理想”，只要明白学习数学的重要性，你就会有无穷的力量，并逐步对数学产生兴趣，有了一定的兴趣，信心就会随之增强。这样同学们就不会因为某次考试成绩的不理想而泄气，而是会不断地总结经验和教训，在不断地总结和反思中你的信心就会不断地增强，你也就会越来越认识到兴趣和信心是你学习中最好的老师，它将推动你不断前行。

总之，高中数学虽难学，但并不是无法可循。只要在学习过程中不断地摸索、不断地领会，就可以最大限度地减少分化，尽快地适应高中数学知识的学习，形成良好的数学素养。

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关键词： 数形结合 高中数学 应用方式

“数形结合”就是以数学问题的条件和结论之间的内在联系为依据，在分析其代数意义的同时，揭示其几何直观意义的解决数学问题的方法。因此，“数形结合”这一数学方法的有效运用，在高中数学教学中发挥着非常奇妙的巨大作用。数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性和形象性，使问题化难为易、化抽象为具体。数学思想方法很多，下面我结合自己的教学实践，以数形结合思想为例，谈谈在教学中是如何使用教材使学生的数形结合能力逐步得到提高的。

一、直观理解抽象概念

在教学高中数学的集合运算这一节的内容时，学生刚接触比较难以完整的理解集合的概念，这时就应该有效利用数形结合思维，加深学生对于高中数学第一节内容的理解。首先是集合之间的关系，学生会感到难以理解。教师应该先让学生从字面上理解集合运算的意思，然后利用维恩图像感受集合运算的真正概念，这样的数形结合利用就可以有效帮助学生正确理解高中数学知识。再通过其他的角度理解集合，从根本上渗透数形结 数学教学与研 数学教学与研究合的思维模式，更有助于学生对数形结合思想的理解。

例如：实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

二、函数解析式的代数分析形成的数形结合思想

函数图像的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法。因此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形和绘制图形，又要熟练地掌握函数图像的平移变换、对称变换。在解题中，我们应根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将形的信息全部转化成代数信息，削弱或消除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论。

三、数形结合的基本概念和原理以及应用

高中数学经过新课程教学改革后，让学生懂得利用学习技巧，正确地掌握学习方法，有完整的学习思维成为高中数学教学的根本目标。所以数形结合的思维是要为学生所利用，而不是努力学习数形结合思维完成考试答卷。让学生理解正确的数学概念，体会数学结论的本质，再通过验证和分析，对概念中所拥有的数学技巧进行讲解，就是高中数学教学的根本价值。随着我国的不断发展和数学教学的不断改革，高中数学教学也在不断地进行完善，原有的基础知识也应该做出进一步调整。新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分挖掘它的教学功能和解题功能。新课标强调将一些核心概念和基本思想（如函数、空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）都要贯穿于高中教学的始终。由于数学的高度抽象性，要注重体现概念的来龙去脉，在教学中要引导学生经历从具体实例中抽象出数学概念的过程。

四、数形结合思想在解析几何中的应用

解析几何数学题通常所要涉及的知识点众多，所要求的不仅仅是知识点的套用，还要将知识点有效地进行搭配利用。数形结合的思维在解析几何中就得到了完整的体现，通过数形结合的思维，可以将动态数学语言与直观的几何图形进行结合，从而有效地达到解决问题的目的，这也就是数形结合思想在解析几何中的有效应用。有效的“数形结合”方法的运用，往往会使复杂问题简单化、抽象问题直观化，从而达到优化解题途径的目的。数形结合的解题思想方法，其本质是“数”与“形”之间的相互转换。“数形结合”就是以数学问题的条件和结论之间的内在联系为依据，在分析其代数意义的同时，揭示其几何的直观意义的解决数学问题的方法。

数形结合在高中数学教学的过程中一直是热门的技巧及教学方向，通过有效的数形结合思维教学，可以帮助学生更好地理解高中教学内容，让学生有更扎实的基础面对未来的学习生活。本文就数形结合在高中数学中的有效利用做了研究，希望对广大教育工作者有所帮助。

参考文献：

[1]黎兴平.高中生运用数形结合思想解决问题情况的调查与分析[D].东北师范大学，2010.

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关键词：高中数学中概念；引入；理解；深化

《普通高中数学课程标准》明确指出：“教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。”

一、注重高中数学概念的引入方式

采用不同的引入方式引起学生的学习兴趣和主动性，有利于学生掌握和理解概念。因此，教师要思考“怎样引入概念最好”。

1.以概念的原形引入

每个概念往往具有深刻的背景，它们有着各自的产生和发展。有些数学概念源于现实生活，是从生产、生活实际问题中抽象出来的，对于这些概念的教学要通过一些感性材料，创设抽象与概括的情境，引导学生提炼数学概念的本质属性。

例.引入向量概念时。问题：给定两个点A、B，以A参照物如何描述B的位置？以上问题让学生自己探索、思考、议论，这时学生根据自己的生活经验，描述出B点是在A的前后左右东南西北等方位。因此，教师要研究数学概念的原形是什么？特别研究高中数学中的核心概念原形是什么？比如，集合、函数、概率、分布、斜率、曲线方程等核心概念的研究。

2.以概念的推广引入

高中数学有许多概念是学生原有知识的引申和推广，教师应思考设计情境，使学生一见如故，很熟悉又不知道的感觉。引进“任意角三角函数的定义”时，所以笔者这样引入：复习提问：说出初中学过那些三角函数及如何定义？提出问题：你能求出sin50°的值吗？任意角的三角函数如何定义？

3.以学生身边的实例引入

由实例引入的概念，反映了概念的物质性和现实性，一般由典型的实例让学生鉴别，然后抓住本质抽象概括一般的概念，培养学生从生活实例抽象出数学问题的能力。引入等比数列的概念时，课本提供大量的身边的实例。这类数学概念形成的问题情境创设一定要遵循认识规律，从感性到理性，从具体到抽象，通过学生熟悉的实际例子，恰当地设计一些问题，让学生经过比较、分类、抽象等思维活动，从中找出一类事物的本质属性，最后通过概括得出新的数学概念。

4.以学生的实验归纳引入

这类数学概念的形成一定要学生动手操作实验，仔细观察，并能根据需要适当变换角度来抓住问题的特征以解决问题。培养学生敏锐的观察力是解决这类问题的关键。除了真实的实验外，还可以充分利用现代教育技术设计一些仿真实验，实验的设计不能只是作为教师来演示的一种工具，而是要能由学生可以根据自己的思路进行动手操作的学具，让学生通过实际操作学会观察、学会发现。

二、理解概念

1.从文字上仔细领会

数学概念都是用文字叙述的且文字精练、简明、准确，所以对一些数学概念的辨析，简直需要“咬文嚼字”。这样一个问题：数列中从第二项起，每一项与前一项之差都是一个常数，则此数列称为等差数列。这句话是否正确？咋看起来，符合等差数列的定义，似乎是对的。但仔细一想就会发现问题，应该将“常数”改为同一个常数。在教学过程中，引导学生指出描述概念的关键词，在解决具体问题过程中体会关键词的作用，用彩色笔强调它，课堂小结反复强调它。

2.从多角度反复比较

对概念作进一步理解，还应该从正面和反面辨析比较。如，高中数学中的“角”在多种场合出现，有直线的倾斜角、异面直线所成的角、直线到直线的角、直线和平面所成的角、向量的夹角、二面角等。其实，有数学概念是相似的，需要我们在学习中加以比较、区别。

（三）从特例中认真验证

对概念的理解往往要遗忘特例的存在，所以，在学习概念时我们注意特例。

在教学“空集是任何集合的子集”时，设计这样问题：已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若B■A，求实数m的范围。

学生容易遗忘“空集是任何集合的子集”这句话。这就是子集的一种特殊情况，切记！像这样的例子很多，需教师的思考和总结。

4.从限制中加深理解

对概念的理解产生偏差的常见病“忽略条件”。其实很多数学的概念是有条件的，如果忽略条件，就会曲解题意，造成错误。对概念的理解，一定要注意它的限制条件，在条件的允许范围内，来加以运用，这样才能算得快、准、好。

三、深化概念

1.加强一题多解，提升概念的深化

数学概念形成之后，通过具体例子，说明概念的内涵，认识概念的“原型”，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节。对数学概念的巩固，以及解题能力的形成是教学中的关键。除此之外，教师通过反例、错解等进行辨析，也有利于学生概念的深化。

2.渗透数学思想方法，促进概念的深化

数学概念是思维的细胞，是浓缩的知识点，是感性认识飞跃到理性认识的结果，而飞跃的实现要依据数学思想方法，经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工而成。因此，教师应注意将在解决问题的过程中所涉及的数学思想方法显化，对解决问题的思维策略进行提炼，让学生学会思维，提高自我探索、发现创造的能力。

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逻辑思维能力是正确与合理思考的基础，逻辑思维能力代表着认知事物的能力，逻辑思维能力越强，对知识的理解与领悟就越透彻，运用就越灵活.数学作为一门结构严谨的科学，有助于培养学生的观察能力、分析能力、综合能力、抽象能力、概括能力、判断能力与推理能力.

在数学教学中，培养和发展学生的逻辑思维能力，有助于学生形成善于缜密思考的能力，还有助于学生形成创新意识，从而提高学生的数学素养.

一、培养学生逻辑思维能力的意义

1.让学生了解到数学的基本方法应该与数学知识并重

在教学过程中，教师除了要讲清数学的基本思想方法外，还应该让学生意识到在解题过程中，数学的基本思想方法和数学知识同样重要.学生只有掌握了一定的数学思想方法，才能在解题过程中拥有相关的洞察力.

2.让学生在感性认知数学的基础上理性地认知数学

高中数学的综合思维不等同于解题.高中生的数学思维虽然是建立在基本概念、定理、公式理解的基础上，但相对不同的思维模式造就了高中生解题结果的差异性.只有在增强高中数学教学的针对性与实效性基础上，才能培养学生的逻辑思维能力.

二、培养学生逻辑思维能力过程中要注意的问题

1.要重视高中生逻辑思维能力的特点

思维是人脑以理性形式对客观事物的反映.学生的思维能力是学生在学习上获得成功的能力保证.

2.教学中不能一味突出高中数学的应试性

在素质教育发展的今天，一味地迎合考试，已经不符合时展的潮流.

三、培养学生逻辑思维能力的方法

1.结合课本内容，培养学生的逻辑思维能力

由于学生掌握的知识大都来源于课本，教师在传授课本内容的同时要有意识、有目的地让学生进行逻辑思维能力的相关训练.

教师不能局限于教材表面，只有在加强基础知识的同时培养学生的逻辑思维能力，才能在挖掘教材知识的同时不断提高学生的逻辑思维能力.

2.重视培养学生的解题能力

逻辑思维能力在能力培养中起决定性作用，是运用数学理论的基本能力，学生解题能力的培养至关重要.

3.结合基础知识，培养学生的逻辑思维能力

知识的教学是培养学生能力的载体.在教学过程中，教师要对感性材料进行加工整理，先形成基本的概念，然后通过语言表达让学生意会.基本知识加工过的授课内容更容易被学生接受，从而培养学生的逻辑思维能力.

4.寻求思维方向，培养逻辑思维的能力

（1）顺向性思维

顺向性思维通常以单一的条件进行相关问题的思考，对待问题只寻求一种解决方案.顺向性思维的学生习惯用概括与推理得出最后的答案.教师在指导顺向性思维学生解题的过程中，要加强对学生发散性思维的培养，以期待让学生的思维更加严密.

（2）逆向性思维

逆向性思维学生与顺向性思维学生思考问题的方式截然相反，逆向性思维的学生在思考问题的过程中喜欢从问题出发，再去寻找相关的已知条件，逆向性学生的思维方式通常情况下会产生“两个方面起作用”的双向联系思维方法.对逆向性思维学生的逻辑能力培养，通常情况下是让学生有能力获得更多的已知条件.

（3）横向性思维

横向性思维的学生通常以所给的知识为中心，从局部或侧面进行探索，横向性思维的学生在解题过程中更善于运用之前学习过的相关知识进行问题的解决.在教学过程中，教师应该关注横向性思维的学生沟通内在知识联系的能力，进一步开拓学生的思维.

（4）散向性思维

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【关键词】高中数学 高效课堂 策略

随着新课改的不断深入，新的课程理念正在逐渐更新着教师的教学观。构建高效课堂，是每一个老师不断追求的目标，它是教学过程的最优化，教育效果的最大化，是师生完美配合的结晶。如何构建数学高效课堂，是每一个数学教师应深思的问题。本文从以下四个方面探讨如何构建高效课堂。

一、精心设计新课引入，提高课堂教学效率

好的课堂引入能在最短的时间内激发学生的学习兴趣，使其思维量充分发挥到最大值，从而收到事半功倍的效果。例如在教学《函数的奇偶性》时，我先让学生举例生活中的对称现象，美丽的蝴蝶、六角形的雪花晶体、汽车的车标、京剧的脸谱…… 用多媒体演示，激发学生学习的热情，进而指出数学中那些函数的图象具有对称性，为学习数学知识打下坚实的基础;再如设计《用二分法求方程的近似解》这节课时，开始模拟“幸运52”现场，让学生做猜某种商品价格的游戏，学生积极表现，既体会了数学和生活的紧密联系，又渗透了二分法的思想，培养了学生的数学思维。

二、创设自主学习与合作学习的情境策略

把数学学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，让学生合作解决真正的问题，掌握解决问题的技能，并形成自主学习的能力。创设促进自主学习的问题情境，首先教师要精心设计问题，鼓励学生质疑，培养学生善于观察、认真分析 、发现问题的能力。其次，积极开展合作探讨、交流，得出很多结论。当学生所得的结论不够全面时，可以给学生留下课后再思考、讨论的余地，这样就有利于激发学生探索的动机，培养他们自主动脑、力求创新的能力。如在讲解《等比数列的通项公式》时，采取实例设疑导入法，通过创设一个问题情境，就把复杂、抽象而又枯燥的问题简单化、具体化、通俗化，同时也趣味化，提高了学生学习数学的兴趣。合作学习为学生的全面发展特别是学生的个体社会化发展创造了适宜的环境和条件。教学实践中，我们注意到：在很多情况下，正是由于问题或困难的存在，才使得合作学习显得更为必要。每节新课前教师要要求学生依据导学提纲预习本节内容，要求学生将在预习中遇到的问题记录在笔记本的主要区域，课前预习中不能解决的问题在课堂中解决，课堂中未弄明白的问题课后解决，个人无法解决的问题小组解决，小组无法解决的问题请教老师，实现真正的“兵教兵，兵练兵，兵强兵”，没有问题就寻找问题，鼓励引导学生在同桌、临桌之间相互探讨，让学生在课堂上有足够的时间体验问题的解决过程，更多地鼓励学生独立审题，合作探讨，把问题分析留给自己。这种做法的出发点就是避免学生对教师的过分依赖，当然他们归纳基本步骤和要点遇到困难时，教师应施以援手。

三、注重数学思想方法、数学观念的教学策略

1.把数学思想方法与知识有机结合起来

数学是知识原理与思想方法的有机统一体，其中思想方法是对概念原理的本质认识，是分析和处理数学问题所采用数学具体方法的指导原则。它的掌握与运用不是靠临时突击，而是靠反复理解和运用数学概念、定理、性质中逐步形成的。为此，努力挖掘蕴含在知识中的思想方法，结合知识有意渗透才是数学思想方法教学的最佳途径。比如数形结合在高中有两个地方是培养的绝好时机：三角和解析几何，在三角中抓住单位圆、三角函数的图像及三角比的定义不断进行数与形的互化;在解析几何中圆锥曲线的研究中，结合常见的四大曲线的研究反复渗透：曲线的方程是什么？怎么求？从方程可研究出曲线的哪些性质。

2.加强数学思想方法教学的系统性和有序性

数学思想方法的教学是一个长期的过程，不能一蹴而就。为了从整体上发挥最佳的教学效果要对各章节的内容要求进行系统深入地研究，制定各单元数学思想方法的教学目标和训练序列。把握每种数学思想方法，明确讲授时机才能取得更好的教学效果。这些目标和序列的制定要从学生的实际和本单元知识的特点出发，要选择合适的方法、恰当的难度。如在函数关系的建立这一单元，要明确目标是确培养建模的思想，但起点要恰当，题目难度要适中，可以先选一次模型、二次模型，及简单的分段模型中的较典型例题，关键是培养他们建模的思想和把实际问题转化为数学问题的意识。

四、精选例题和强化训练的策略

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一、基本的数学思想

基本数学思想可以概括为三个方面：即“符号与变换的思想”，“集全与对应的思想” 和“公理化与结构的思想”，这三者构成了数学思想的最高层次。对中小学而言，大致可分为十个方面：即符号思想，映射思想，化归思想，分解思想，转换思想，参数思想，归纳思想，类比思想，演绎思想和模型思想。至于这些基本思想，在具体的教学中要注意渗透，从低年级开始渗透，但不必要进行理论概括。而所谓数学方法则与数学思想互为表里，密切相关，两者都以一定的知识为基础，反过来又促进知识的深化及形成能力。方法，是实施思想的技术手段；而思想，则是对应方法的精神实质和理论根据。就中小学数学而言，大致有以下十种：变换与转化，分解与组合，映射与反映，模型与构造，概括与抽象，观察与实验，比较与分类，类比与猜想，演绎与归纳，假说与证明等。

二、从全局把握，融知识于体系中

在教学过程中，我以函数为主线分两个方向重新安排了教学内容。⑴在讲授完函数概念后，向学生介绍一批具体函数的模型：指数函数、对数函数、幂函数，再介绍两个特殊函数：具有周期性的函数――三角函数，以正整数集或其有限子集为定义域的函数――数列，最终目的是让学生从多方面、多角度深刻理解函数本质。⑵以函数为工具，把其它知识纳入其中。如果用函数的观点看待方程，那么方程的根就是函数的零点。如果用函数的观点看待一元二次不等式，那么不等式的解就是使函数值大于0或小于0的x的取值范围。如果用函数的观点看待线性规划，那么线性规划问题就是目标函数（二元函数）在可行域（函数定义域）内的最值问题，最终目的是使学生体会函数思想给我们带来的好处。

反思：函数是数学的核心概念之一，它有着突出的作用和广泛的运用。在物理、化学、生物、地理、社会、经济学等学科中，描述规律的函数关系俯拾皆是。即使是在日常生活中，例如加油站、邮局、电讯资费等，也都有函数关系包含其中。20世纪初，德国数学家克莱因提出了一个重要的思想――以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分的综合。”不管这种想法是否能够实现，但至少给我们提供了一种思考和处理问题的思想――抓住本质。事实上，除了函数思想外，还有其他贯穿高中数学课程的思想：运算思想、几何思想、算法思想、统计思想、随机思想等。只要我们能从整体的高度来看待这些思想，相信展现给学生的一定是一个内涵更丰富的数学天地。

三、重视数学思维方法

高中数学应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。数学思维的特性：概括性，问题性，相似性。数学思维的结构和形式：结构是一个多因素的动态关联系统，可分成四个方面：数学思维的内容（材料与结果），基本形式，操作手段（即思维方法）以及个性品质（包括智力与非智力因互素的临控等）；其基本形式可分为逻辑思维，形象思维和直觉思维三种类型。数学思维的一般方法；观察与实验，比较，分类与系统化，归纳演绎与教学归纳法，分析与综合，抽象与概括，一般化与特殊化，模型化与具体化，类比与映射，联想与猜想等。思维品质是评价和衡量学生思维优劣的重要标志，主要表现为：思维的广阔性，深刻性，灵活性和批判性，独创性。

四、应用数学的意识

这个提法是以前大纲所没有的，这几年颇为流行，未见专门的说明。结合当前课改的实际情况，可以理解为“理论联系实际”在数学教学中的实践，或者理解为新大纲理念的“在解决问题中学习”的深化。新旧教材中，都配备有所谓的应用题，有许多内容已经很陈旧，与现实生活相差甚远。结合实际重新编写应用题只是增强应用数学的意识的一部分，而绝非全部；增强应用数学的意识主要是指在教与学观念转变的前提下，突出主动学习，主动探究。教师有责任拓宽学生主动学习的时空，指导学生撷取现实生活中有助于数学学习的花朵，启迪学生的应用意识，而学生则能自己主动探索，自己提问题，自己想，自己做，从而灵活运用所学知识，以及数学的思想方法去解决问题。

五、注重信息技术与数学课程的整合

高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。在保证笔算训练的全体细致，尽可能的使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机，计算器等进行探索和发现。

六、建立合理的科学的评价体系

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关键词：高中数学；合情推理；类比推理

在数学学习中，学生的一些关于教学上的想法必须是经过反复论证并有一定的科学性，因为高中数学的学习必须加强思维活动过程，而学生的创新思维能力必须在该阶段成为最重要的教学目标。而合情推理本身就是展现这种能力的基本过程，对于这种因果关系，只需要在合情推理上下足功夫即可。

一、合情推理课程推出的必要性

1.高中数学教学必须提升学生的基本素质

由于高中生本身有一定的数学基础，因此，在认知问题上也会有自己独特的见解，另外，由于不同的学生在先天素质上的不同，因此，要想在后天在个人能力上得到提升就必须通过频繁的学习过程去提高，因此，在数学教学中，学校的课程设置和教学理念的推进都需要将学生的个人素质进行提升，而在数学学习中个人素质的提升本身就已经包含了在学习中可以有独特的个人理念和对一些数学理论有自身的见解，因为合情推理的意识正是体现了学生的基本素质，另外，在具体情况下良好的个人素质还体现在基本的提出问题和分析解决问题的相关能力，数学学习当然是不能缺少这两种能力的。

2.合情推理能力不仅体现了学生的基本思想方法，同时也是学生良好思维的体现

一般情况下，教育的主要目的就是培养学生良好的思维品质和分析事物发展的意识，如果学生在学习中没有基本的思维能力，并且对一些数学的基础知识和基本方法，其在社会中或者在基本的学习过程中几乎是无法取得成就的，因此，数学的学习不仅需要学生掌握基本的方法，还需要让学生掌握基本的思想方法，而要想让学生对一些数学问题有清晰的认识，必须将推理演绎的过程和基本的推理过程相结合，也就是说在数学学习中对未知理论的探索过程以及后续学习中所运用的方法才是最为关键的要素。

在高中数学教学中，一些教材的编写也将一些知识问答的问题，比如“议论”“探究”的环节都可以在课本上看到，因此，可以看到在该阶段的教学中学生需要用自身对一些数学问题的看法通过教材中的设置去将自身对知识概念形成和发展过程进行探究，尤其是自身对这些知识点的归纳必须时刻保持高度重视。

二、合情推理的基本方法

1.归纳推理法

数学学习中，归纳能力是从个别概念到特殊认知再到一般规律的认知过程，同时也是对某些事物进行观察与综合的基本过程，而归纳的结果必须提出一些结论性的定论，也就说这种过程需要对若干个看似不相干的事物进行综合，其本质特征在于，通过对某些事物的认知可以将事物的同一性和相似性总结出来，这与人们认知某一陌生事物的过程非常相似，故而比较容易让学生去理解。

但是一般情况下，归纳推理只是将事物部分相似的对象进行列出，所以，产生的结论有一定的猜测成分，所以其结论必须经过反复证明。

2.类比推理

类比推理指的是事物发展过程中，事物的特殊规律到特殊性的推理过程，主要是根据两个或多个对象的相似属性进行分析的过程，也就说A和B有共同的属性，并且B也有A身上的某种特性，这就是类比法的基本概念，这是高中数学几何证明中必不可少的内容，类比法的关键点在于只要找到了两个对象中的相似或者相同点，就可以找到其具体特征中的同一性，当然如果学生在学习中可以基本推测出事物的已知内容，就可以很快地推理出未知的部分。因为类比法的本质就是让学生善于去观察，并对题目中的相似部分进行提取，这样学生就很容易得到启发，像题目中的相似结构，图形的基本特征都可以进行比较分析。

整体来看，合情推理主要是为学生在学习过程中提供了新的解题思路，在数学学习中学生要想完全去解决某些问题，或者证明某些问题是成立的，比如对其进行猜想，在证明其细节内容是否成立时必须将其成立的方法进行论证，所以，在面对这些问题时，学生可以运用归纳法和类比法将数学问题中的相似部分进行提取，将合理的部分进行推测，不合理的部分进行剔除，显然数学知识和理论的建立在前期的过程中都必须有合理的猜想和合情的推理作为基本的依据，所以说高中生必须在合情推理上加强训练，其实推理的过程只是为了得到正确真实的结论，合情推理的过程虽然有一定的概率，但是合情推理的结论必然会伴随着学生个人知识的不断增加而逐步变得准确，特别是在数学探索中，如果学生没有良好的知识背景作为基础，必须有合情推理的意识。

参考文献：

[1]杨慧娟，杜鹏.新课标下重析波利亚的合情推理思想[J].数学通报，2006（2）.

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一、零点问题中的函数与方程思想

函数的零点问题是近几年高考题的高频考点和重难点.许多函数问题要用方程的知识与方法来支持；许多方程的问题，需要用函数的知识与方法去解决.函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，方程问题的函数视角就是利用函数的图像、性质来研究方程的根及范围问题.

1.1.与函数的零点或方程的根或函数图像的交点个数问题

例题1.1.（1）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[-1，1]时，f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图像与函数y=|lgx|的图像的交点共有（ ）

A. 10个 B. 9个 C. 8个 D. 1个

综上所述，原方程有4个实根.

点评：函数零点问题的解题思路主要有两个方向，一是算出来，即利用方程求根，运用方程的思想求解，二是画出来，即转化为函数图像与轴的交点问题或者两个函数图像的交点问题，运用函数的思想以及数形结合的思想求解.在解题过程中，函数与方程相互转化.本题根据分段函数不同区间的特征，综合运用解方程、构造函数，讨论单调性等方法求解.

1.2求参数的值或取值范围问题

例题1.2. 已知函数f（x）=|x2-1|，g（x）=x2+ax+2，x∈R，若函数h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有两个零点x1，x2求实数a的取值范围.

点评：运用函数的思想转化零点问题，构造的函数不同，解法也不同，但用到的思想方法是相同的，在解题中要注意函数与方程的相互转化.

1.3.借助零点，考查导数探究函数的性质

例题1.3. 设函数f（x）=e2x-alnx.

（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）的零点的个数；

值范围，体现了函数的思想.解题时要注意自变量c的取值范围，即函数定义域的确定.

三、立体几何中的函数方程思想

函数方程思想不仅在代数解题中发挥着重要的作用，而且在立体几何中也有着巧妙的应用.在立体几何的动点问题、最值问题和逆向问题中，通常要运用函数与方程的思想求解.

3.1利用函数的图像及性质解决立几中动点的轨迹问题

例题3.1. 如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上. 过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N. 设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图像大致是（ ）

点评：本题是一道立体几何与函数图像相结合的题目，主要考查了函数图像的变化.由于题目中给出了自变量和因变量，如能求出函数解析式，问题即可获解.因此，可根据几何体的特征和条件分析两个变量的变化情况，通过M，N，P作底面的垂线作出M，N在平面ABCD内的正投影，保持其长度不变，从而把空间问题平面化，建立一次函的P.

3.2利用方程的思想解立体几何逆向题

例题3.2. 如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上.

（1）若P是DD1的中点，证明：AB1PQ；

（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.

解析：由题设知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A（0，0，0），B1（3，0，6），D（0，6，0），D1（0，3，6），Q（6，m，0），其中m=BQ，0≤m≤6.

点评：本题是一道立体几何逆向题.通过设定变量m，λ利用二面角PQDA的余弦值为以及PQ∥平面ABB1A1的条件建立等量关系，求出变量m，λ的值，体现了方程的思想.

3.3运用函数的思想解决立几中的最值问题

例题3.3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1.

（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长.