高等函数的概念范文

导语：如何才能写好一篇高等函数的概念，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

三角函数与解三角形

第九讲

三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换

2019年

1.（2019北京文8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，

是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为

（A）4β+4cosβ

（B）4β+4sinβ

（C）2β+2cosβ

（D）2β+2sinβ

2.（全国Ⅱ文11）已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=

A．

B．

C．

D．

3.（2019江苏13）已知，则的值是

.

2010-2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅰ)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则

A．

B．

C．

D．

2．(2018全国卷Ⅲ)若，则

A．

B．

C．

D．

3．(2018北京)在平面坐标系中，，，，是圆上的四段弧（如图），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是

A．

B．

C．

D．

4．（2017新课标Ⅲ）已知，则=

A．

B．

C．

D．

5．（2017山东）已知，则

A．

B．

C．

D．

6．（2016年全国III卷）若，则=

A．

B．

C．

D．

7．（2015重庆）若，，则

A．

B．

C．

D．

8．（2015福建）若，且为第四象限角，则的值等于

A．

B．

C．

D．

9．（2014新课标1）若，则

A．

B．

C．

D．

10．（2014新课标1）设，，且，则

A．

B．

C．

D．

11．（2014江西）在中，内角A，B，C所对应的边分别为若，则的值为

A．

B．

C．

D．

12．(2013新课标2)已知，则

A．

B．

C．

D．

13．（2013浙江）已知，则

A．

B．

C．

D．

14．（2012山东）若，，则

A．

B．

C．

D．

15．(2012江西)若，则tan2α=

A．−

B．

C．−

D．

16．（2011新课标）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=

A．

B．

C．

D．

17．（2011浙江）若，，，，则

A．

B．

C．

D．

18．（2010新课标）若，是第三象限的角，则

A．

B．

C．2

D．2

二、填空题

19．（2017新课标Ⅰ）已知，，则

=__________．

20．（2017北京）在平面直角坐标系中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin=，则sin=_________．

21．（2017江苏）若，则=

．

22．（2016年全国Ⅰ卷）已知是第四象限角，且，则

.

23．（2015四川）已知，则的值是________．

24．（2015江苏）已知，，则的值为_______．

25．（2014新课标2）函数的最大值为_______．

26．（2013新课标2）设为第二象限角，若

，则=_____.

27．（2013四川）设，，则的值是____________．

28．（2012江苏）设为锐角，若，则的值为

．

三、解答题

29．（2018浙江）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．

(1)求的值；

(2)若角满足，求的值．

30．（2018江苏）已知为锐角，，．

(1)求的值；

(2)求的值．

31．（2015广东）已知．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

32．(2014江苏)已知，．

(1)求的值；

(2)求的值．

33．（2014江西）已知函数为奇函数，且，其中．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

34．（2013广东）已知函数．

(1)

求的值；

(2)

若，求．

35．（2013北京）已知函数

（1）求的最小正周期及最大值．

（2）若，且，求的值．

36．（2012广东）已知函数，（其中，）的最小正周期为10．

(1)求的值；

(2)设，，，求的值．

专题四

三角函数与解三角形

第九讲

三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换

答案部分

2019年

1.解析

由题意和题图可知，当为优弧的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为，，.

此时阴影部分面积.故选B.

2.解析

由，得.

因为，所以.

由，得.故选B.

3.解析

由，得，

所以，解得或．

当时，，，

.

当时，，，

所以.

综上，的值是．

2010-2018年

1．B【解析】由题意知，因为，所以，

，得，由题意知，所以．故选B．

2．B【解析】．故选B．

3．C【解析】设点的坐标为，利用三角函数可得，所以，．所以所在的圆弧是，故选C．

4．A【解析】由，两边平方得，所以，选A．

5．D【解析】由得，故选D．

6．D【解析】由，得，或，

，所以，故选D．

7．A【解析】．

8．D【解析】由，且为第四象限角，则，

则，故选D．

9．C【解析】知的终边在第一象限或第三象限，此时与同号，

故，选C．

10．B【解析】由条件得，即，

得，又因为，，

所以，所以．

11．D【解析】=，，上式=．

12．A【解析】因为，

所以，选A.

13．C【解析】由，可得，进一步整理可得，解得或，

于是．

14．D【解析】由可得，

，，答案应选D。

另解：由及可得

，

而当时，结合选项即可得.答案应选D．

15．B【解析】分子分母同除得：，

16．B【解析】由角的终边在直线上可得，，

．

17．C【解析】

，而，，

因此，，

则．

18．A【解析】，且是第三象限，，

．

19．【解析】由得

又，所以

因为，所以

因为．

20．【解析】与关于轴对称，则

，

所以．

21．【解析】．

22．【解析】因为，所以

，因为为第四象限角，所以，

所以，

所以，

所以．

23．【解析】由已知可得，

＝．

24．3【解析】．

25．1【解析】

．，所以的最大值为1．

26．【解析】,可得，

，=．

27．【解析】，则，又，

则，．

28．【解析】因为为锐角，cos(=,sin(=，

sin2(

cos2(，所以sin(．

29．【解析】(1)由角的终边过点得，

所以．

(2)由角的终边过点得，

由得．

由得，

所以或．

30．【解析】(1)因为，，所以．

因为，所以，

因此，．

(2)因为为锐角，所以．

又因为，所以，

因此．

因为，所以，

因此，．

31．【解析】（Ⅰ）．

（Ⅱ）

．

32．【解析】（1），

；

（2）

．

33．【解析】（1）因为是奇函数，而为偶函数，所以为奇函数，又得

所以，由，得，即

（2）由（1）得：因为，得又，所以因此

34．【解析】（1）

（2）

所以，

因此

35．【解析】：（1）

所以，最小正周期

当（），即（）时，

（2）因为，所以

因为，所以

所以，即

36．【解析】（1）．

（2）

篇2

Qin Yufang；Zheng Xiaoqi

（①上海海洋大学信息学院，上海 201306；②上海师范大学数理学院，上海 200234）

（①College of Information Technology，Shanghai Ocean University，Shanghai 201306，China；

②Department of Mathematics，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China）

摘要：复变函数主要研究复数域上的函数，是高等数学课程的延伸。本文阐述了复变函数和高等数学在理论体系上的异同，并强调其差异性。在复变函数的授课中，采用对比教学法，以加深学生对知识的理解，提高分析和解决问题的能力。

Abstract: Complex Analysis, which mainly studies the functions in the complex fields, is the extension of Advanced Mathematics. In the paper, we discuss the similarities and differences between Complex Analysis and Advanced Mathematics in theory, with an emphasis on the differences. In the courses of teaching, we exploit the comparative teaching, which intends to deepen the understanding the knowledge and improve the abilities to analyze and solve the problems.

关键词：初等函数 解析函数 级数

Key words: elementary function；analytic function；series

中图分类号：G42 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）20-0234-02

0引言

复变函数是高等院校数学系和许多工科院系的一门专业基础课，它不仅在数学的其它分支，如常微分方程、积分方程、概率论有着重要的应用，而且广泛应用于其它科学领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学、自动控制学等。因此，如何学好复变函数这门课程是非常重要的。

复变函数主要利用微分、积分、级数展开等工具研究复数域上函数的性质。从这个意义上讲，复变函数本质上是将实数域上的分析学推广到复数域上，因此，学习复变函数课程既可以加深对各种分析学工具的理解，又可以培养学生利用这些工具研究和分析新问题的能力。

复变函数中“实数到复数”的推广并非平凡的推广，实数域上的函数、积分、微分等概念很容易被感知。然而，由于引入了虚数单位i，复数域上的相应概念很难形象地理解，例如函数图像都很难在我们感知的空间中直观地描述出来。并且，由于定义域扩充到复数域上，从而发展出柯西积分定理、最大模原理等优美的结论。因此，“指出联系、强调区别，采用对比的方式教授相关内容”是复变函数教学的一个重要方法之一。本文将结合作者在分析领域多年的教学经验，将复变函数与高等数学进行纵横对比，分清异同，理解本质，希望给学习这门课的学生及任课老师一些借鉴。

1初等函数的定义和性质

在复变函数中，首先根据欧拉公式形式地给出了复数域上指数函数的概念，然后利用指数函数定义了幂函数，三角函数，反三角函数，双曲函数和反双曲函数等初等函数。无论从定义的方式和概念的形式，都与高等数学中实数域上的初等函数存在很大的不同，但是，当复数域上初等函数的定义域限制到实数域时，就是实数域上对应的初等函数。在性质方面，两者呈现出许多相异的地方[1]。例如：①复数域上的对数函数、幂函数、反三角函数和反双曲函数均为多值函数，这一点增加了复变函数研究的复杂性和难度；②复数域上的指数函数是以2πi为基本周期的函数；③复数域上的正弦函数和余弦函数在定义域上是无界的。

除了强调复变函数中某些概念及其性质呈现出的差异这些知识点外，在教学中还应使学生明确概念推广所遵循的一些基本原则。一方面，概念的推广必须满足相容性，例如当复数域上函数限制到实数域时，必须与实函数的一切性质相吻合。另一方面，概念推广要尽可能保持原对象的性质，尤其是运算性质。以三角函数为例，它在复数域上是无界的，但限制在实数域上就是高等数学中研究的三

角函数，而且，三角恒等式如和差化积、积化和差、二倍角、半角公式也都是成立的。课堂上，引导学生对比复数域和实数域上的概念，分析从实”到“复”变化中的异同，使得学生在学习的过程中不断地思考，从而加深对概念本质的理解，并激发探求新知识的积极性。

2分析学工具的比较

复变函数中的基本概念如极限、连续、导数、积分以及级数，与高等数学中的定义方式完全一致。例如，极限均是采用“ε-δ”语言来定义的，积分是采用分割、近似代替、求和、取极限来定义的。由于定义方式完全相同，它们的运算性质是一致的。此外，由于一个复函数可以等价地由实部和虚部两个二元实函数来刻画，因此复函数的极限存在性、连续性等与其实部、虚部两个二元实函数的极限存在性、连续性等价。然而可微性是个例外，复函数的可微性不仅要求实部、虚部两个二元实函数是可微的，还要求它们的偏导数满足一个条件――柯西黎曼方程（C.-R.方程）。由于满足了较为苛刻的条件，可微的复变函数具有更好的性质，人们单独对这类函数进行研究，即复变函数中的一个重要研究对象―解析函数。

泰勒展开是研究函数性质的一个重要工具。高等数学中对一个实函数进行泰勒展开的条件是[2]，f（x）在区域x-x■

在教学中，引导学生比较高等数学和复变函数中极限、连续、可导等概念的异同点，这样既能夯实高等数学的基础，又能在学习复变函数时达到事半功倍的效果，从而实现纵向层次上的对比教学。

3可导与解析的关系

解析是比可导更强的一个概念，复函数在一点处解析，不仅要求在该点可导，还要求在该点的邻域内可导。因此，复函数在某点解析，一定可导，但反之不一定成立。在定义域的每点都解析的函数称为解析函数。解析函数具有一个非常好的性质，即无穷阶可导性，因此解析函数可以利用泰勒展开定理和洛朗展开定理来研究自身的性质。利用泰勒展开式，人们研究解析函数的零点的分类，并推导出解析函数零点必孤立和唯一性定理、最大模原理等结论；利用函数的洛朗展开式，人们研究解析函数孤立奇点的分类，并为著名的留数定理奠定了理论基础；另外，这两类级数是微分方程中幂级数解法的理论基础。

在教学中，引导学生分析复变函数中概念之间的相似之处与差异，例如解析和可导、泰勒级数和洛朗级数等，使得学生在掌握新概念的同时领悟概念间的内在联系，从而实现横向层次上的对比教学。

4导数、积分与级数的关系

在复变函数中，泰勒展开定理的内容如下[3]：若f（z）在圆域D：z-z■

同样，洛朗展开定理将洛朗级数、导数和积分联系在一起。特别的，洛朗级数中（z-z■）■项的系数具有重要的地位，这个系数被定义为孤立奇点的留数。留数是复变函数中的一个重要概念，留数方法已成为计算复变函数中积分的一个重要工具，并且留数方法还可以计算被积函数的原函数不能用初等函数表示的实积分，此外，在流体力学、弹性力学的应用中发挥了重要作用。

5柯西积分定理和格林公式的关系

柯西积分定理是复变函数理论中最重要的定理之一，在研究解析理论中起着关键性的作用。根据柯西积分定理[4]，设f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析，C为区域内任意一条有向简单闭曲线，则∮■f（z）dz=0，在讲解这个定理时，引导学生进行如下思考：高等数学里是否有对应的定理？

下面我们看一下高等数学中的格林公式。设函数P（x，y），Q（x，y）在区域D内具有一阶连续偏导数，C为区域内任意一条有向分段光滑闭曲线，则∮■ Pdx+Qdy=■■-■dxdy，其中D0为C所围成的区域[2]。 从形式上看，似乎没有联系。实际上，根据f（z）的解析性质，它一定满足柯西-黎曼条件，即■=■，■=-■，所以

∮Cf（z）dz=∮■udx-vdy+i∮■vdx+udy

=■-■-■dxdy+i■■-■dxdy=0，

其中D0为C所围成的区域。从而柯西积分定理可以看成是格林公式在复变函数中的推广。

在教学过程中，除了讲解课本上的已知结论，还鼓励学生多思考，开拓创新思维，这样学生不仅理解知识的本质，还可以享受到创新的快乐，激发学习的热情和积极性。

总之，与高等数学相比，复变函数研究的内容和分析问题的方法有很多内在的联系与区别。因此在教学中采用对比教学法，比较和探究复变函数和高等数学的异同，加深学生对知识的理解，提高分析问题和解决问题的能力。

参考文献：

[1]焦红伟,尹景本.复变函数与积分变换[M].北京:北京大学出版社,2007.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

篇3

【关键词】工程数学；复变函数；积分变换；教学方法

工程数学是高等数学的后续课程，是一门重要的工科专业必修课。它不仅在数学的其他分支，如常微分方程、积分方程，有着重要的应用，还在其他科学领域有着广泛的应用，如理论物理、流体力学等。

我校是医学院校，针对我校生物医学工程专业，我们在学生大二第一学期开设了工程数学这门课程，是一门必不可少的专业基础类必修课程。它为电工与电路分析、模拟电子技术、信号与系统等后续专业专业课学习提供了必要的数学工具，在整个课程体系中占有举足轻重的地位和作用。因此，如何学好工程数学这门课程是非常重要的。我校工程数学计划54学时，包括复变函数和积分变换，学时少，内容多。在教学过程中，学生也时常反应概念难懂、方法不易掌握、习题难做，容易与高等数学的知识点混淆。对此，本文结合实际授课经验和我校工程数学这门课程教学改革，浅谈教学过程中遇到的一些问题和对一些知识点的处理建议。

工程数学和高等数学既有区别又有联系。它们的研究对象都是函数，研究主线都是通过变量研究函数，从而定义极限，利用极限去研究函数的连续、导数、积分。两者的差异在于工程数学研究的函数是复变函数，高等数学研究的函数是实变函数。从实变函数到复变函数，函数的定义域与值域从实数域扩大到复数域。因此，复变函数是实变函数理论的延续和拓展，两者的区别和联系贯穿教学的始终，在教学过程中，通过类比的方式，利用高等数学的知识，理解复变函数与实变函数的区别。例如，对许多基本概念及定义进行理解时，使用类比法多做对比，找出相似点与不同点，加深对这些概念的理解。

1 复数的定义

一般称（其中，x，y是实数）是一个复数。但这个概念的本质是什么呢？类似实数可用直线上的点来表示，一个复数由一对有序实数（x，y）唯一确定，当建立直角坐标系后，平面xoy上的任意一点P（x，y）可以按照一定规则与一对有序实数（x，y）建立一一对应的关系，也可以和起点为原点，终点为P的向量建立一一对应的关系。因此，从几何角度理解，复数可以用点P或者向量来表示，也可以说复数是向量的另外一种表示方式。因此，复数的本质应该是向量，而不是“数”。“数”的本质特性是可以比较大小的，因此，可以从这个角度不难理解，复数为什么不能比较大小了。

2 复变函数的定义

复变函数是一元实变函数的直接推广，它的定义与一元实函数的定义形式完全相同，但是复变函数的自变量和因变量都取自复数，其与两个二元实变函数相对应，因此，复变函数在几何上就可以看成是z平面上的一个点集G到平面上一个点集的映射。因而，无法用直观的图形来表示函数关系，若要直角坐标系画出，需要四维空间，而一元实变函数在几何上表示的是一条平面曲线。这是复变函数与实变函数定义上的一个不同。在向学生讲解复变函数的几何特性时，可以从简单的例子出发，例如，函数可以先介绍点与点的对应，然后是点集与点集的对应，如Z平面上的曲线在该函数作用下的图像。复变函数与实变函数另外一个不同在于复变函数可以是多值函数，例如，开方函数可以将Z平面上的一点映射为平面上的两个点。

3 复变函数的极限与连续

复变函数与一元实变函数的极限、连续在定义形式上相似，许多基本性质与运算法则也相同，但本质上与二元实变函数一致。定理证明[1-2]，一个复变函数的极限存在充要条件是它的实部函数与虚部函数的极限都存在；一个复变函数在某一点连续充要条件是它的实部函数与虚部函数在点是连续的。因此，研究复变函数的极限和连续等问题可以转化为两个二元实变函数的极限与连续问题。其次，复变函数中自变量的变化趋势与实变函数的自变量的变化趋势也有所不同，复变函数中自变量的变化趋势指的是以任何方式任何路径区域，不仅仅是左右两个方向趋于，而实变函数的自变量的变化趋势是指从左右两个方向趋于。因此，复变函数的极限要求更高、更严格。而连续是基于极限这个基础的，所以复变函数连续也要比实变函数连续要求更高。

4 解析函数

解析函数是复变函数的一个重要研究对象。函数解析是比可导（可微）更强的一个概念，复变函数在一点处解析，不仅要求在该点可导，还要求在该点的领域内可导。因此，复变函数在一点解析，一定是可导的，反之，不一定成立。在区域D内每点都解析的函数称为区域D上的解析函数。判断复变函数在某一点可导的充要条件是它的实部函数和虚部函数在这一点可导，且满足柯西-黎曼方程。要判断函数在这一点的解析性，一般只能通过定义。其次，要判断一个复变函数在区域D内的充要条件是它的实部函数和虚部函数在区域D内可导且在区域D内满足柯西-黎曼方程。这里主要利用了开区域的定义，因为开区域每个点都是其内点，故若函数在开区域D内处处可导，则在D内处处满足上述两个条件。因此，对于D内任意一点，必存在该点的一个邻域，使得函数在该邻域内处处可导。故由函数解析的定义可得，函数在区域D内的每一点处解析。

5 复变函数的积分

从形式上看，复变函数的积分是实变函数定积分的一种自然推广。但其本质上是复平面上的，它可以与二元实函数的线积分联系在一起。相对应就有了柯西-古萨基本定理，在此基础上，得到了一系列推广定理如：复合闭路定理、闭路变形原理等。柯西积分公式的证明基于柯西-古萨定理。其重要性在于解析函数在区域内部的值可以通过其在边界上的值通过积分得到。

综上所述，工程数学中蕴含了丰富的数学方法，特别是类比的数学方法。工程数学中很多问题可以通过一定的技巧转化为高等数学的问题，很多的结论可以通过与高等数学的知识类比得到。但是，它们在概念上也有一定的差异，因此，在教学过程中，要注重与高等数学知识衔接，比较和探究它们的异同，概括它们的原理，使得学生在掌握新概念的同时，领悟概念间的内在联系，从而加深学生对知识的理解，提高分析问题和解决问题的能力。

【参考文献】

[1]王锦森.复变函数[M].1版.北京：高等教育出版社，2008.

[2]钟玉泉.复变函数轮[M].3版.北京：高等教育出版社，2004.

[3]熊春连，陈翠玲，段华贵.工科复变函数中的迁移教学[J].大学数学，2010，26（2）：203-206.

篇4

关键词 高等数学 数学结构 数学理解

对数学来说，结构无处不在，结构是由许多节点和联线绘成的稳定系统。数学中最基本的就是概念结构，它们之间的联系组成了知识网络的结构，剖析高等数学的知识结构，有助于加深对高等数学的理解。由于理解是学习数学的关键，学生可以通过对数学知识、技能、概念与原理的理解和掌握来发展他们的数学能力。从认知结构，特别是结构的建构观点来看，学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能够组织起适当的、有效的认知结构，并使其成为个人内部知识网络的一部分，那么这才是理解。而其中所需要做的具体工作，就是需要寻找并建立恰当的新、旧知识之间的联系，使概念的心理表象建构得比较准确，与其它概念表象的联系比较合理，比较丰富和紧密。在学习一个新概念之前，头脑里一定要具备与之相关的储备知识，它们是支撑新概念形成的依托，并且这些有关概念的结构，是能够被调动起来的，使之与新概念建立联系，否则就不会产生理解。所以要使新旧知识能够互相发生作用，建立联系，有必要建立一个相应的数学结构，以加强对基础知识的理解。在微积分的学习中，通过对其结构的剖析，使学习者头脑中的数学结构处于不断形成和发展之中，并将其发展的结构与已形成的结构统一起来，以达到对数学知识的真正理解。

一、高等数学内容的结构特点

高等数学以极限思想为灵魂，以微积分为核心，包括级数在内，它们都是从量的方面研究事物运动变化的数学方法，本质上是几种不同性质的极限问题。连续性质是自变量增量趋于零时，函数对应增量的极限；导数是自变量增量趋于零时，函数的增量（偏增量）与自变量增量之比（差商）的极限；一元或多元积分都是和式的极限，而无穷级数则是密切联系序列极限的另一种极限。微分是从微观上揭示函数的有关局部性质，积分则从宏观上揭示函数的有关整体性质，它们之间通过微积分基本定理联系起来；广义积分把无穷级数与积分的内部沟通起来；而微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分有机地联系起来，展示了它们之间的内在的依赖转化关系。

二、如何利用结构加强理解

（1）注重整体结构理解当代著名的认知心理学家皮亚杰认为“知识是主体与环境或思维与客体相互交换而导致的知觉建构，虽然现今的教材基本上按一定框架编写，但其中相关的知识点要在学生的头脑中形成一个网络，并达到真正理解，还需要一个很长的过程，在这个过程中需要师生的共同努力。在教学中教师应将数学逻辑结构与心理结构统一起来，把学生看成是学习活动的主体，引导学生根据自己头脑中已有的知识结构和经验主动建构新的知识结构。理解知识的前提是理解它如何在头脑中表征的，这个过程主要表现为学生对概念的理解和掌握，在此基础上再加以运用，达到更深意义上的掌握。由于高等数学具有清晰的数学结构，因而其相关知识学习中也充满了知识的同化过程。在高等数学知识结构中，微积分建立在极限的基础之上。因此在高等数学中，新知识获得要依赖于认知结构中原有的适当观念，同时新旧知识还必须要有相互作用，即新旧意义的同化，才能形成高度分化的认知结构。如微分是差商的极限，积分为微分的逆运算，而定积分则为和的极限，只有将这些新旧概念在头脑中不断同化作用，才能形成新的高级知识结构网络，才能加强对相应数学知识的真正理解。这个过程实际上是一个内部认知过程，它要求学习者要有积极主动的精神，即有意义学习倾向；同时还要在学习者的认知结构中找到适当的同化点。学生的认知结构是从所接受的知识结构转化而来的，因此教学是一个动态的过程。

（2）注重结构中的概念理解数学结构是有许多个结构所组成的，而个别的概念一定要融人其它概念，合成的概念结构才有用。数学中的概念往往不是孤立的，它们之间存在着一定的联系，理清概念之间的联系，既有助于数学结构的建立，有助于新的概念地自然引入，从而有助于对数学知识的理解与掌握。在微积分这部分内容中，多元函数的极限、连续、偏导数、全微分、方向导数这组概念之间的联系，与一元函数中的极限、连续、偏导数、微分概念之间的联系，这两者之间既有相同之处，又有不同之处，而且每个相对的概念之间又存在一定的联系与区别，多元函数中许多微分概念是在一元函数基础上的推广与发展，它们是密不可分。积分学中的定积分、重积分、二类曲线积分、二类曲面积分之间也存在着类似的关系。通过联想，可以从二维空间进入到三维空间，直至到更多维的空间，从有形进入无形，从现实世界进入虚拟世界，这样步步渗入，步步构建，不断引入新概念，不断更新组建数学结构，使学生头脑中的数学结构不断更新，不断完善，从而达到对知识的真正理解与掌握。

（3）在教学中利用数学结构加强学生的数学理解教师对数学结构的理解对学生建立起自身的数学结构起着不可缺少的作用才能理解数学。首先，在数学中利用高等数学结构的纵向与横向联系，有意识地帮助学生建立自己的知识结构，如在利用求曲边梯形的面积来引入定积分的概念时，其基本思维方法是：分割、近似代替，求和、取极限，最后得出定积分的概念。而这一方法同样可解决求曲顶柱体的体积、空间物体的质量、曲线段的质量等问题，区别仅在于取极限时趋向于零的元素不同而已。在具体每一章的讲解中，要着重介绍此章知识的数学结构中的内在联系及其本章的关键与核心的处理方法，使学生能够抓住本质，真正做到变被动学习为主动学习，主动建构自己本章的数学结构，并能用框图展现出知识间的内在联系，只有这样才能提高学生学习高等数学的兴趣和积极性，增加对高等数学知识的理解，提高高等数学学习的质量。帮助学生建立自己的数学结构，也有利于培养学生的思维能力、归纳能力、分析问题、解决问题的能力，还能促进其自学，调动和增强学生学习高等数学的信心和自觉程度。

参考文献：

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关键词：财经；高等数学；习题课；分层次教学

中图分类号：G640 文献标志码：A文章编号：1673－291X（2011）02－0216－03

自1969年诺贝尔经济学奖设立以来，绝大多数获奖成果都是建立在比较复杂的数学基础上的，因此《高等数学》是财经类学生的一门非常重要的基础课程。但是因为高等数学比较抽象，所以对于某些学生特别是文科学生来讲，还是有一定的难度的。因而，在高等数学的教学课程中，除了要在课堂上将这些比较抽象的数学概念讲清楚以外，适当设置一些习题课也是比较好的方法。因为习题课可以使得学生对于所学过的知识进行消化和理解，同时也为下一阶段的学习打好基础。习题课可以说是高等数学教学中非常重要的一个环节，既可以帮助学生加深对于经济数学概念的理解，也能够提高学生应用经济数学的能力。

一、高等数学习题课教学目的

设立高等数学习题课教学不仅是学生学习掌握知识的需要，还是高等数学课自身使命使然。对于帮助学生理解与深化概念、提高解题能力、加强经济数学修养以及培养学习兴趣都有很大的帮助。通过反复学习与训练，能够增强学生学习高等数学的信心。

1.对所学高等数学概念和理论的再思考

高等数学是一门很严密的学科，对于概念的定义都很精确、抽象，因为时间的关系，课堂上教师不能面面俱到，习题课就是对加深高等数学概念经济理解的一种非常有效补充。教师可以通过在习题课上对习题讲解，结合其中涉及到的概念，加以有针对性地讲解，做到习题和理论有效结合，将理论与习题交织在一起，形成一个网络，这将有利于学生构架整个的知识框架，有了这个大框架，学生更加深刻地理解概念和习题，学习经济数学的热情就会提高很多，学习效果将得到较大改善。比如，讲到函数的概念时候，要反复提醒函数概念的经济和金融应用。

2.提高学生的解题技巧

在高等数学的教学过程中，经常会遇见学生抱怨，如将书上以及老师讲的内容全部弄懂了，但仍不会做书后面的习题。究其原因，主要是因为学生看懂和听懂的内容不是他自己真正掌握的，比如看懂的是书作者所呈现的作品，听懂的是老师所传授知识。那么如何才能将知识转换为学生自己的呢？笔者通过多年的教学实践发现，最为有效的途径就是通过学生自己去尝试，而习题课恰恰就是这样一个很好的平台。在习题课上，教师可以多讲一些解题技巧，然后让学生自己去实战，真正让自己所听所看的知识转换为真正属于自己的东西。同时老师不仅要讲习题，关键在于教会学生怎么去做题，怎么样举一反三，触类旁通，利用联想、类比、归纳等各种手段。比如，讲到数值计算的方法求定积分近似值的时候，常常会讲授两种方法，其中一种是比较简单的梯形法，另外一种是稍微复杂的抛物线型法，很多同学会将两者混起来，这时候就要善于归纳总结。有的同学就归纳出了口诀，比如梯形法是，一头一尾是一倍，中间统统是两倍，然后再除以2；而抛物线法则是一头一尾还是一倍，奇数下标为4倍，偶数下标为2倍，下标是从0开始标，注意是除以3。如果记住了这类归纳出来的口诀，那么以后这两种方法就不会混淆起来了。从而建立从题设到未知路径的通道和桥梁纽带，学会分析问题，真正做到教会学生做习题并使他们乐在其中，这也是习题课的最大目的。

3.深化相关高等数学概念的经济含义

高等数学基础是经济类学科的一门基础课程，是以后学习概率论、统计学和计量经济学等学科的基础，而且很多概念和理论与现实的经济问题相关。在高等数学教学过程中，学生会经常问到数学到底有什么用处，学习目的不太明确。那么教师可以充分利用习题课这一平台，多举一些应用方面的例子，打消学生的数学无用论思想，增强学生学习的主动性和积极性。比如，当讲到函数的定义时候，强调函数的概念中要排除一对多的情形，就可以将股票的价格看为时间的函数来进行解释：第一，在交易时期，任何时间都有股价，也就是任何定义域中的变量都有象；第二，任何时间只可能有一个股价，但是可以允许多个时间对应同一个股价，就是说，允许多对一，而不允许一对多。再者高等数学中常用的几类函数，例如符号函数，其实可以对应于一个赌博模型，也就是有输有赢，那么是不是可以设计只赢不赔的模型呢？答案就是绝对值函数，对应于金融工程中的跨式期权，只是要减去期权费而已。再比如，学期伊始，可以先向学生明确本课程的两大目的：求导数和求积分。然后说明导数和积分的实际背景：导数就是变化率，求积分就是相当于求平均值。可以就人的身高问学生两个问题：其一，人的身高一生何时变化最快，何时变化最慢；其二，人的身高一生的平均值如何计算。从而让同学明确高等数学的讨论较多涉及有实际意义的问题，而不完全是讨论抽象的问题。还有如定积分就是曲边梯形的面积，现实生活中在测量湖泊的流量就会用到相关知识。通过详细地讲这些例子，学生就能够加深对高等数学的经济含义的理解，从而激发他们对高等数学的兴趣，变被动为主动。其他的例子如弹性的经济含义等。

4.培养学生分析经济现象的能力

高等数学基础课有很强的经济应用性，很多概念都是从经济学直接引用过来的，比如需求和供给函数、市场均衡、成本函数、收入函数和利润函数。还涉及到弹性，如何求经济函数的最值问题，都可以找出其经济含义的背景，比如讲到定积分在高等数学中的应用的时候，就可以提醒学生，我们学了导数，那么导数是怎么应用到经济数学中的呢？应该是利用导数求出函数的最值问题，求出最小的平均成本以及最大利润。当然这还需要和连续函数在闭区间上的驻点唯一性定理结合起来用，只有在连续函数在闭区间上的唯一驻点才能够使局部效果的极值成为函数的整体最值。学了不定积分，那么在经济中有什么用处呢？可以利用不定积分求出经济函数。有两个步骤：第一步是求不定积分，第二步则是利用初始条件求出自由未知数。这样就可以将经济函数求出来，当然可以和导数在经济函数的应用结合起来一起用。那么定积分怎么样在经济中应用呢？通过定积分可以求出经济函数的改变量，利用的是牛顿－莱布尼兹公式即可以解决这个问题，这样将全部相关的串起来，那么学生就能够掌握知识结构，同时也确实能够体会经济中会用到数学，学生则会端正学习数学的态度。教师可以将许多经济中的问题用来作为例子，从而引导学生培养对经济现象的分析和把握能力。

二、习题课教学的模式

高等数学课程和其他的课程相比，比较抽象，较难掌握。以前的高等数学的教学模式主要是以课堂讲授的形式，但是随着计算机和网络的发展，笔者认为，可以在教学过程中采取以下几种教学模式。

1.课堂教授型

高等数学是一门比较抽象、深奥的学科，要尽可能地让学生接受、理解，其中较有效的方式是课堂传授的方法。教师通过对教学素材精挑细选，课堂上使用幽默的口头语言、丰富的表情语言和形象的形体语言，将深奥抽象的数学讲得通俗易懂，浅显具体。重点讲解如何利用基本知识点来求解习题，将问题分解为基本概念和基本理论的逻辑推理关系，讲授通用的解题思路和解题方法，将寻求解题思路的思维过程呈现出来，这样学生才容易接受，才能达到预期的效果。

2.小组学习型

数学的核心是问题，针对于数学问题的讨论，可以组建一些学习小组，数学的习题课也可以利用这个学习小组，经过小组成员之间的讨论，学生学习高等数学的你追我赶的积极性得到很大提高。教师可以出一些相关的题目，以小组的形式，发动班级学生围绕专题进行讨论和交流，寻求解题过程，形成一致的意见，然后和其他小组的意见相结合，最后由教师加以总结或者评判。比如，在讲求导数的过程中，介绍完了导数的基本公式后，笔者经常会出几个典型的题目。要求同学分成几个小组进行讨论，一来新同学比较容易犯错误，二来题目本身有很多种做法，值得让大家一起来讨论讨论。所以教师可以出一些能够用多种方法求解的题目以及解法之间有很多的差异的题目，通过学生之间小组之间进行讨论，然后教师加以总结组织，结果是很明显的。在此过程中，学生和教师的积极配合和有效互动，通过学生和学生之间，小组和小组之间以及学生和教师之间的多渠道全方位交流，能够达到很好的教学效果。

3.网络答疑型

现在高校的网络资源相当丰富，网上不仅有教学资源、教学视频、网络课程，还有和学生交流的BBS平台及习题库，教师可以充分利用学校这些丰富的网上交流平台与同学展开交流。网络答疑形式类似课堂小组交流，而课堂上组织小组交流活动，花的时间会比较多，因此可以充分高效地利用网络答疑这种形式。具体的，可先由教师根据教学的进度，布置一些相关的作业或者习题，留给学生在课堂以外讨论，过一段时间，教师可以针对于学生学习过程中普遍存在的问题或者比较难掌握的知识点组织一到两次适时BBS，然后将讨论的结果加以整理置顶，以便学生的学习和总结。这种有主题而且连贯性答疑形式很受学生的欢迎。另外教师也可以根据学生的水平，结合所学专业的特点，布置一些专业相关的开放题、思考题，也可以找一些数学史方面的资料，开展专题BBS，找一些高等数学在经济学中的具体应用资料。一个学期反复做几次，可以解决学生在学习中遇见的很多问题，学生的学习信心和兴趣将会得到较大提高，使得网络课堂真正成为学生学习数学的第二课堂。

4.分层次形式

现在同学的数学基础、理解能力、学习能力、存在着较大差异，所以教师在进行习题课的教学中应该要考虑到不同层次的学生需求。特别是选取素材的时候要进行分层次教学，对于基础较差、学习能力不强的学生，要求其掌握基本的概念和理论；对于那些水平相对好点的学生则不仅要掌握书上的基本内容，还可以适当提高标准增加习题难度，同时鼓励他们帮助那些学习有困难的同学。这种做法有助于提高每个学生的积极性，使得每一个学生在习题课上都有所进步。

三、习题课教学的实施

习题课和一般的课程不同之处在于，其教学方式、教学目标、习题设计、教学策略是有差别的。这些差异要求教师精心准备，学生积极配合，这样才能将一堂习题课上好，达到预先设定的效果。

1倡导“避免一言堂”的教学方式

在高等数学教学过程中，由于教师和学生的差距，往往容易形成上课只有教师一言堂的情况，但是习题课主要是解决学生自己的问题，所以习题课必须要学生多讲多做，这样才能暴露出学生自己的问题，教师才能有针对性的解决学生中存在的问题。高等数学概念以及经济数学知识都是相互联系的，所以教师和学生可以相互交流，积极发言，结合自己所熟悉的，谈谈各自对于概念的理解，以及概念和概念之间的联系，这样可以加深学生对于数学概念和理论的了解。讲解数学题时，也可以对一个题目讨论多种解法。这样每个学生都是课堂的主体，没有局外人，师生之间，同学之间就实现了多向交流，会收到较好的效果。比如讲求函数的最值时候，一般的方法是在求出函数的表达式后对函数求导数再求出驻点，然后进行最值的讨论，但是如果目标函数比较特殊的时候，比如是一个二次多项式或者满足基本不等式的函数，那么此时就可以用二次函数的最值讨论或者利用基本不等式来求目标函数的最值，这样就可以和初中的知识挂起来，使得同学容易理解函数的最值问题了。

2.坚持循循善诱的教学方法

根据课程标准，习题课教学目标可以概括为三级：理解知识目标，应用知识目标，能力目标。在设计习题课的时候，应该辨别该习题课的目标，然后按照此目标，注意目标的阶段性和可行性，循序渐近引导学生，千万不要急于求成，否则会适得其反。比如，求复合函数的导数的时候，必须先掌握了初等函数的导数，然后在掌握复合函数的分解基础上，再掌握复合函数的求导法则，才能够掌握复合函数求导。所以教师坚持循循善诱的教学方法，逐步引导学生上好这堂习题课。由于习题具有层次性，不同水平的学生都能学到其相应水平的知识，从而能够调动学生的积极性，极大改善学生学习效果，较好的完成教学任务。

3.遵循精编细选的习题设计原则

习题课上选用的题目有一定的要求，即要具有一定的典型性、针对性、科学性和启发性。所谓典型性就是指经常会遇见的问题，不偏不怪的题目；所谓针对性，主要是针对某个知识点或者经常容易犯错误的地方；所谓科学性就是指符合客观规律的表达清晰、严谨、科学；启发性主要是指对学生的思维具有一定的启发。一般习题课上的题目要遵循上面四个条件，这样取得的效果会比较明显。比如，讲复合函数求导数的时候，应该举一些常见的函数的求导，两重或者三重的复合函数，三重以上的复合函数求导则属于偏怪的题目了，对学生知识的掌握帮助有限，这种情况应尽量避免。再比如，教定积分计算的时候，我们可以设计如下三种基本类型：题目（1）是一般的定积分，在区间[1，3]上的定积分；题目（2）是瑕积分，因为被积函数在积分下限是没有意义的；题目（3）则是被积函数在无穷限上的积分，从上面的例子可以看出，题目虽然不是很难，但是能够概括出这章节讨论题目的基本类型和主要知识，如果选题能够顾及到这点，那么习题课就能够取到很好的效果。如果所选的习题满足以上四个要求，遵循精编细选的习题设计原则，那么就不用再搞题海战术，就可以达到较好的教学效果。

4.贯彻重视分析过程的教学策略

数学是一门思维逻辑很强的学科，教师进行习题课分析的时候应该着重分析解题的过程，分析题目的来龙去脉，重点剖析题目的逻辑思维结构，而不只是注重答案的求解。这样才能使得学生真正掌握数学知识，构建数学的知识结构，数学的习题课效果才能更加明显。比如，利用分步积分法求函数的积分，教师要将过程讲得很仔细，否则同学无法辨认哪个函数该积分，哪个函数是用于求导数，要将辨别的标准和同学讲得很清楚并总结规律。如果只讲一个结果，学生很难做到举一反三、触类旁通。

结束语

习题课是高等数学教学中的关键一环，通过习题课使得同学能够梳理高等数学中的抽象概念和相关的定理，另外一方面也要加强高等数学知识在财经中的应用的教学，使得学生具有应用高等数学知识解决财经问题的能力。另外教师想要将习题课上好，要在习题的选择、授课方法等方面下工夫。因此，如何上好经济数学这门课的习题课，是一个值得不断探讨的问题。

参考文献：

[1] 王喜林，刘丽红.关于大学基础数学习题课的思考[J].新乡学院学报，2009，（8）：79-81.

[2] 王美娟.高等数学习题课CAI的思考[J].上海理工大学学报，2004，（3）：35-37.

[3] 卢柏龙.在数学习题课中培养学生的思维能力[J].上海工程技术大学教育研究，2002，（1）：30-35.

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关键词：高等数学 教学法 创新

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0034-01

科研能力和科研成果标志着一个国家的科技水平，培养具有创新意识和科研能力的人才是高等院校所面临和必须解决的实际问题，然而科研能力的培养并非要从研究生阶段才开始着重培养，在本科阶段的教学中给学生尽早接触科研的机会，让学生从本科阶段开始培养一种标新立异提问题的习惯至关重要。而对本科生科研能力的培养最主要的途径就是在对其传授知识的过程中完成的。高等数学作为高等院校各院系一门重要的公共基础课之一对学生在四年大学生活中扮演着重要的角色，高等数学中微积分的创立、一元微积分到多元微积分的发展以及各个重要概念的产生无不透露出数学家发现问题和解决问题的思路，如果能够从中进行引导，找到适合的切入点，逐步在学习过程中让学生积累素材并培养一种问“好”问题的习惯，本科学生一样可以接触科研。

培养学生的科研能力，最重要的是培养学生发觉问题的能力，而这首先要求学生改变以往的学习模式，即由被动的接受到主动的思考创造的学习模式的转变，这种学习模式的转变进而要求教师授课模式的转变。本文就讲透基本概念，引导学生发现学科的不足及类比教学等几方面来谈谈如何引导学生转变学习模式，进而培养学生的科研能力。

1 讲透基本概念

数学中最重要的就是基本概念，基本概念把握不透到头来学生可能只会做部分简单的习题。事实上，高等数学授课的主要目的并非让学生学会如何计算导数和微分，更多的是该让学生把握数学思想，深刻理解数学概念。深刻理解概念即要把握概念的本质。以极限概念为例，怎么理解数列，如果只是按照书上的定义把语言写出来还远远不够，应该告诉学生极限最本质的东西就是用距离去刻画，即数列和某个定点的距离当时无限接近。知道了这一点，平面上一个点列的概念自然就有了，同样我们用点列和点的距离当时无限接近去刻画。只是需要注意的一点的是，平面上两点间的距离不能再用绝对值了，而是用

进而到维空间中乃至无穷维空间中如何定义点列收敛我们都可以知道，关键是距离起着重要作用。再以函数可微概念为例，很多学生只知道，至于为什么求微分，以及什么是可微函数不知道。这些就需要老师在讲授这个基本概念的时候介绍清楚，让学生搞透这个概念。事实上，一个函数是不是可微就是看这个函数的增量与其自变量的增量是否可成一个线性比例关系，即是否成立，知道了这一点，可以立即让学生去思考如果是一个二元函数是否可微该如何定义？按照上面的说法，二元函数的增量和其自变量的增量是否成线性比例关系，二元函数的变量是两个，即看是否成立？同样多元函数的可微性乃至一个泛函的可微性理解起来都很简单了。搞透数学中的基本概念这是让学生能够不断思考并发现问题的前提。

2 引导学生发现学科的不足

无论哪门学科之所以产生、发展，往往源于人们对已有相关学科的不满以及该学科创立时的不完善。作为教师，应当更多地呈现给学生所讲学科的不足及存在的问题，这样学生才有思考的余地，把学科的不足及问题隐藏起来而只把学科完美的漂亮的结果展现给学生，那么他们就只会做练习而永远也不会去创作东西。要知道，正是当年微积分的不完善才有了极限的产生。数学就是在不断地发现学科的不足并改进的过程中逐步完善起来的。众所周知，数学史上曾发生过三次数学危机，可每一次危机都没有前人的理论而只是在数学这座漂亮的高楼大厦上添砖加瓦而已，危机使数学更加完善了，危机的产生正是由于学科本身的问题和不足导致的。

当讲完定积分时不能让学生认为定积分是完美无暇的，应该让学生寻找这个概念的不足之处，比如狄利克雷函数，这样简单的函数为何不可积？可能有人认为这是实变函数的内容超出了高等数学的范围，事实上不是这样的。通过让学生寻找定积分的不足可以锻炼学生的一种思维方式，培养学生的创新意识。人人都认为所创造出来的学科是神圣不可侵犯的话就不会有所发展了，这给了学生一种提出质疑的态度，培养了学生问问题的一种习惯，久而久之，学生的科研能力也能加强。另一方面，我们可以告诉学生黎曼积分不是那么完美的，因为还有一种更广泛的积分就是勒贝格积分，告诉学生在微积分之后还有一门后续课程是实变函数，感兴趣的同学会自己去查阅。同时我们可以用形象地数钱地方式告诉学生什么是黎曼积分，什么是勒贝格积分。有一搭钱，我想知道数目是多少，从头开始累加而不管其面值是多少可以得出最后的数目这就是黎曼积分，如果会打理一些，把面值相同的钱先放在一起，5元，10元，100元，再数各面值的有多少张，最后算和这就是勒贝格积分。这样不仅提高了学生的兴趣，加深了他们对概念的理解，也开阔了学生的思维。

3 类比教学

数学中有很多基本概念都是相近的，作好相似、相近或相关概念的归纳比较，展示概念之间的内在联系和本质区别，让学生在比较中学习，从比较中加深理解，从整体上把握所学到的诸多概念，这样既可以学习新知识又可巩固旧知识。以无穷积分与无穷级数为例，从定义来讲，无穷级数与无穷积分的基本概念之间存在离散与连续的对应关系：

，

（前提是极限都存在）。这样很容易得出p级数与有相同的敛散性（这是教材的一个定理），这样学生能自己去给出这个定理，不仅很快掌握了，而且有着自己发现定理的成就感。

4 结语

高等数学的教学要使学生不仅知道许多重要的数学概念、方法，而且领会到数学的精神实质和思想，从而在自己所学的领域中不断发现问题并运用其相同或相近的思想解决问题。只有转变了学生从被动接受到主动思考创造的学习模式，才能培养其科研能力。

参考文献

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关键词：极限；左右极限；函数

求函数极限的方法很多，有些函数可直接计算极限。另外，还有些函数需要分别考查两个单侧极限，即左、右极限，然后利用函数极限存在的充分必要条件判断。若左、右极限相等，则函数在该处的极限存在；否则不存在。需考察左、右极限的函数求极限问题是教学的难点，为了便于掌握，将常见题型分析如下：

一、求分段函数在分段点的极限

一般地，若某点的两侧是同一表达式，则可直接计算双侧极限，如果是分段函数的区间分段点，由于分段点的两侧具有不同的表达式，因而左右极限有可能不同，必须考察左、右极限。求分段函数在分段点的极限时，不必考虑函数在分段点的取值情况，只需分析在分段点左右两侧的取值情况即可。

例1：函数f（x）=x+1 x>1x-1 x≤1，问■f（x）在x=1处的极限是否存在。

解：f（x）在x=1处的右极限f（x）=■x+1=2，

f（x）在x=1处的左极■f（x）=■x-1=0，

因为■ f（x）≠■f（x），所以f（x）在x=1处的极限不存在。

二、求含绝对值的函数的极限

含绝对值的函数在求极限时，一般可先去掉绝对值，改写为分段函数，然后再考察函数在分段点的左、右极限。

例2：考察函数f（x）=■在x=0处的极限。

解：将|x|改写为分段函数|x|=-x，x

所以■f（x）=■■=-1，■f（x）=■■=-1

因为■f（x）≠■f（x），所以f（x）在x=0处的极限不存在。

三、求取整函数的极限

由[x]≤x

例3：讨论极限■（■-[■]）是否存在。

解：当x>1时，有0

四、求当x趋向无穷时含ax（a>0且a≠1）的函数极限，或求当x趋于零时含a■的函数的极限

因为当a>1时，■ax=0或■a■=0，■ax=+∞或■a■=+∞，当0

■ax=+∞或■a■=+∞，

所以■ax或■a■不存在。故需要讨论左右极限。

例4：讨论f（x）=■）在x=0处的极限是否存在。

解：当x0-时■2■=■2u=0，当x0+时■2■=■2u=+∞，所以■f（x）=■■=■=-1，■f（x）=■■=■=1，

因此该函数在x=0处的极限不存在。

五、求含arctanx（arccotx）的函数x趋向无穷的极限，或含arctan■（arccot■）的函数x趋于零的极限

这是因为当■arctanx=π/2，当■arctanx=-π/2，故■arctanx不存在。同样■arccotx=π，■arccotx=0，故■arccotx不存在。

同理当x0+和x0-时arctan■（arccot■）的极限值不相等，故需讨论左、右极限。

例5：求极限■■的值。

解：因为■■=■=0，■■=■=0，该函数的左右极限存在且相等，故所求极限存在且■■=0。

六、求含偶次方根的函数的极限

由于开偶次方根的结果为非负数，求xx0或x∞时的极限，应分xx0+或x∞和xx0-或x-∞两种情况讨论。

例6：求■x（■-x）

解：因为■x（■-x）=■■

=■■=■，■x（■-x）

=■■=■■=∞，故所求极限不存在。

左、右极限的概念和计算是高等数学教学的重点和难点，这部分内容概念抽象，题型灵活多样，需要及时总结归纳。只有深刻理解基本概念，掌握好各种题型的解题技巧，才能找到解决问题的切入点和突破口。

参考文献：

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关键词： 高等数学 样例教学 选取原则

一、引言

中国文艺有样板戏，例如《红灯记》、《沙家浜》、《智取威虎山》，等等。这些作品运用中国传统和外国艺术形式来表现戏剧的主题，这些样板戏经电影、电视、广播反复播放，在这样一种文艺熏陶下，“穷人的孩子早当家”、“浑身是胆雄赳赳、打不尽豺狼决不下战场”、“智斗、定能战胜顽敌渡难关”、“娘子军连连歌、军民团结一家亲”这样一些场景和表达出的思想为当时的人们所熟知，连不熟悉戏曲的男女老少都能哼唱几句。撇开样板戏，作为重要基础课程的高等数学，它所引入的许多概念、方法如果能通过选取的样板例题来传递，让学生通过反复学习和研摩样板例，来体会数学思想，灵活运用数学概念和方法，那么样板例题选取的研究工作就是有意义的。

二、选取准则

从心理学角度来说，教师提供给学生的新材料知识如果缺乏潜在的意义，即新知识与学生认识结构中的有关知识无法建立空质的联系，原有知识不能同化新知识，而获得明确而稳定的意义，而只是靠死记硬背获得知识；或者学习者缺乏积极主动学习心向，而处在被动状态；那么所学材料与学习者认识结构中原有的观念的适当部分只是建立起了暂时的、生硬的、表面的联系，所学习的知识很快就会被学习者遗忘。另外，在教学内容的选择上，如果教师提供给学生的新材料知识缺乏潜在的意义和迁移的生成能力，那么学生往往就不能有效地加以消化和理解，以达到融会贯通。综合上面的考虑，本文就高等数学样例教学上提出来如下的选取准则并给出相应的样例加以说明。

1.能将所学许多概念和方法“串”起来的样例。

人们的思维活动是从问题开始的，如果教师能通过样例引入问题，分析问题，并在这个过程中引入或复习已学过的概念、方法，以最终解决问题，那么学生在围绕解决问题的过程来学习或复习概念和方法，就会学得自然、牢靠。

例如，物理上光的折射定律表述如下［1］：一束光从点A（0，y），y＞0出发经过界面y=0到达B（x，y），x＞0，y＜0。设光在介质1（y＞0）和介质2（y＜0）中速度分别为v，v。

证明：折射定律=等价于光以最短的时间从点A到达点B，其中α，β分别是入射角和折射角，进而从数学角度上说明光传波的特性：按用时最短的路径传波。

分析与解答：设光线与界面＄y=0＄的交点为变量x，则从A到B需要的时间为

t（x）=+，x∈（-∞，+∞）。

该例给出如何建立函数模型，将所研究的问题转化为数学问题一个范例。运用连续函数介值性定理和函数的严格单调性证明了极值点存在和唯一性。该例研究函数的最小值是一个全局问题，将其归结为±∞的局部性质（极限）、极值点候选点存在性、极值点判定等研究，这是一个将全局问题转化为局部问题研究的范例。该例题中学生可以体会到极限的应用，导数在研究函数单调性上应用，可导极值点的必要条件，函数连续性在零点存在性问题上应用。

学生熟练掌握该例就能对极限、连续性、导数、最值问题求解步骤有个感性的认识。

类似地，从物理、化学、生物或其他工程技术邻域提出典型样例帮助理解和掌握高等数学中概念和方法的做法，以及从数学角度来理解一些大自然最优规律很有意义。

2.能帮助理解和记忆抽象概念、性质，实现从具体到抽象的过渡的样例。

高等数学中定积分及其性质比较抽象，学生掌握起来较难，这时可以选取一个具体的例子加以讲解，来帮助学生来理解和掌握这些性质。高等数学中定积分就是一维长度向平面区域面积的推广，定积分存在与否实际是与平面区域面积是否有定义密切相关的。那么定积分存在被积函数具有什么特征呢？

例如Rimanne函数R（x）=1/q，x=p/q∈（0，1），p，q互质0，x=0，1，或为［0，1］中无理数。通过Riemanne函数，学生可以更好认识可积函数的性质：了解一个可积函数可以有很多（可数个）不连续点，但是它仍可以在［0，1］上可积。除此之外，通过Riemanne函数还可以了解如下的可积函数性质。

（1）函数的可积性是一个整体性质：f（x）在区间［0，1］上可积，这时可以改变可数个点处f（x）函数值的定义，则所得新函数仍是可积的且函数的积分值不变。设f（x）≥0，x∈［a，b］且在［a，b］上可积，则?蘩f（x）dx≥0。现在问题是进一步如果存在点x∈［a，b］有f（x）＞0，问是否一定有?蘩f（x）dx＞0？考察黎曼函数R（x），容易知道R（x）在［0，1］上非负且在（0，1）上有理点取正值，尽管取R（x）＞0的点有可数多个，但是仍有?蘩R（x）dx=0。对R（x）＞0的点进行研究发现，这些点一个共同点都是R（x）的不连续点。于是，一个自然问题就是：设f（x）在［a，b］上非负且可积，如果在x∈［a，b］处连续且f（x）＞0，则是否一定有?蘩f（x）dx＞0？回答是肯定的。该例可以引导学生思考对积分值做出影响的是函数定义域中的哪些点或哪些子集。

（2）变限积分函数的可导性：由［1，2］知道如下结论：f（x）在［a，b］上可积，则F（x）=ff（t）dt，x∈［a，b］是连续函数；进一步，若f（x）在x∈［a，b］处连续，则变限积分函数F（x）在点x处可导，且F′（x）=f（x）。一个自然问题出来了，若f（x）在［a，b］上可积，且在x∈［a，b］处不连续，则F（x）是否一定不可导呢？回答是否定的。考虑Riemanne函数，则由积分单调性知0≤G（x）=?蘩R（t）dt≤?蘩R（t）dt=0，于是G（x）当然在［0，1］处处可导。高等数学中一些重要的函数形式就是由变限积分定义的函数，例如lnx=?蘩dt，arcsinx=?蘩dt，除此之外，还有单摆运行周期的函数就是一个由变限积分函数t=?蘩dθ就是一个由变限积分函数。因此借助于黎曼函数来理解对这类函数连续性、单调性、可导性等性质当然是很有意义的。

3.了解问题的来龙去脉并为新课程开启大门的样例。

现在使用的教材中大部分对幂级数和微分方程的关系都放在习题之中，通常是让学生验证某一幂级数是方程的解。如果教师能先通过一个简单微分方程的幂级数解的求解过程，导出幂级数，再来研究幂级数的性质，那么这个过程会使得学生感觉幂级数性质研究是有迫切需要的，也是有意思的。

考察Airy方程［3］y″=xy，x、y∈R的解，其中y″=。

分析与解答：可设方程有幂级数解y=ax。对y进行逐项微分，并调整求和指标，再由幂级数的唯一性，就得到下面的递推公式（n+2）（n+1）a=a，n=0，1，2，…。

故得到原方程的幂级数解为

y=a［1+］+a［x+］，其中a，a为任意常数。

由［2］知，若a≥0且a=0，则=0。易验证上述幂级数解中=0，=0，=0，再由数列极限与子列极限关系知，=0。因此，由幂级数收敛半径的根式判别法知，方程解的定义域为（-∞，+∞）。

该例可以使得学生对幂级数收敛半径及其性质研究意义有了切实体会，并对数学分析中函数的来源有了了解，并提高学生对后继微分方程课程的学习兴趣，以及对以后碰到特殊函数有了感性认识。

三、结语

通过教学实践和与学生的交流，我体会到一个好的教学样例可以更好地帮助学生了解和掌握高等数学中的基本概念、工具，使之学得扎实牢靠。本文给出的几个样例的选取原则意在抛砖引玉，不断思考如何用适当选取的样例来将所教学的知识串起来，让学生好学、好记、好用，提高他们的学习兴趣，并拓宽他们的眼界和思路。

参考文献：

［1］欧阳光中，姚允龙.数学分析（上、下册）.上海：复旦大学出版社，1993.

［2］华东师范大学数学系.数学分析.北京：高等教育出版社，2001.

篇9

关键词：Origin；高等数学；几何图形

中图分类号：TP391.4 文献标识码：A 文章编号：1007-9599 (2011) 18-0000-02

Application of Origin in the Teaching of Advanced Mathematical

Jiao Zhilian

(Taiyuan Normal University,Taiyuan 030031,China)

Abstract:The paper introduced the unique advantages of Origin in the drawing technique by solving practical problems of advanced mathematical.The powerful drawing technique of Origin can be convenient to draw geometry,it makes the problems of space analytic geometry and mathematical analysis has become visualized and vivid,and helps students from the perceptual to understand the teaching content.

Keywords:Origin;Advanced Mathematical;Geometric Figure

OriginLab公司研发的专业制图和数据分析软件Origin，是公认的简单易学、操作灵活、功能强大的科学绘图与数据分析软件。它是从事科学研究和工程师设计必备的工具，在科技领域享有很高的声誉[1]，随着Origin版本的不断更新和完善，近几年来关于Origin在科技、教学、实验等方面的论文非常层出不穷[3-5]。

而高等数学是一门十分抽象的学科，传统的方法是教师对定义、定理、推论等在黑板上进行推导，学生要跟上教师的逻辑推理过程，才能理解掌握。如果没有与教学过程相配合的各种图形，学生难以进行感性思维。在学习中若能借助几何图形，就可以从直观上理解数学中抽象的概念、无法观察的现象以及多维空间中的函数，则可以收到事半功倍的效果。Origin强大的图形输出功能使我们能较容易地解决上述问题，方便、快速地绘出各种图形。本文通过几个实例讨论了几何图形在高等数学中的作用，及在Origin下实现图形可视化的方法。

一、实例及分析

（一）利用几何图形理解抽象概念

高等数学中有许多概念都很抽象，往往又非常重要，例如极限和导数，通过几何图形能够很好的体现这些概念内涵。

例1：在 上作 的图形，观察 的极限和 时的极限。

用Origin作出函数 的图形[2]（如图1所示），根据图1可以非常直观地观察到： 和 。在计算复杂函数极限时，往往要使用这两个已知极限，通过以上绘图可以加深学生对它们的记忆。

（二）利用图形理解可以将函数展成幂级数的形式

为了便于研究一些复杂函数，我们往往希望用一些简单函数来近似表示，而幂级数是各类函数中最简单的一种。因此用幂级数近似表达函数是近似计算和理论分析中的一个重要内容。但是，即使在教学中通过严格的证明得到泰勒公式和麦克劳林公式，学生还是很难理解，一个复杂函数怎么就能用幂级数来表示，这时可以借助于几何图形来让学生理解。

例2：将函数 展成麦克劳林级数。

利用麦克劳林公式可得： 。

可以用Origin作出 阶幂级数 的图形（如图2-1～2-6），由图2可知，当 不断增大，增大到 时，在区间 范围内 阶幂级数就可以代替函数 。可以想象当 一直不断增大，即 时，无穷幂级数就可以代替函数 。

（三）利用几何图形建立空间思维形象

在空间解析几何和多元函数微积分内容的学习中经常需要借助多元函数的图形来理解。但是在许多教材中给出的三元函数的图形，往往是用word软件或其他几何画板软件画出来的，所显示的立体感不强。如果建立不起空间图形的概念，在学习多元函数的极限、导数、积分内容时常会感到困惑。利用Origin可以方便的建立三维空间的函数图形[1]，使我们搭建起空间思维的模型，从而找到解决问题的途径。

例3：给出正圆锥面和双曲抛物面（马鞍面）的图像。

通过图3-1和3-2可以使学生直观了解正圆锥面和双曲抛物面在三维立体空间的分布情况。从图3也可以使学生理解，为什么双曲抛物面也被称作马鞍面。同时，Origin还可以使我们从不同角度观察图形的分布情况，如图4-1和4-2所示。

二、结束语

从本文的例子可以看出，利用Origin可以绘制数学中几乎所有的图形，并可以从不同的视角观察图形的变化。在数学教学和学习中充分应用Origin软件的可视化功能，借助几何图形可以直观、充分地理解数学中的概念和定理的内涵。因此，当图形问题用其它数学软件难以解决时，Origin将是解决问题的一个得力的工具。

参考文献：

[1]方安平,叶卫平.Origin8.0实用指南[M].机械工业出版社,2009,109-111.

[2]周剑平.精通Origin实用教程(7.5版)[M].北京航空航天大学出版社,2004,103-106

[3]赵玛,魏剑英,韩周祥.Origin6.0软件在分析化学数据处理中的应用[J].郑州轻工业学院学报(自然科学版),2006,21(3):25-28

[4]吴世彪.Origin软件在溶液表面张力实验数据处理中的应用[J].安徽化工,2008,34(6):37-39

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【关键词】 函数连续 函数改变量 高等数学

【中图分类号】 G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2012）11（b）-0117-02

《高等数学》是我们学校计算机专业的一门重要课程，这也是专转本学生必学必考的一门课程。据多数学生反映及本人教学发现，高等数学确实是一门比较难的课程，对于我们学校的学生而言学习更为困难。之所以更难，有两个主要原因。其一，高等数学这门课程难，它是初等数学以外的一门数学，它有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。其二，计算机专业学生自身特点.在经过一学年的《高等数学》课程教学后，发现学生对这门课程表现出不知所措，无奈，无所谓的态度，这是一种令人担忧的现象，尤其是在讲函数的连续性这里，问题更是很多，为了能改变课堂教学中学生突然没反应这一令教师尴尬的场面，我进行了不断尝试，认真钻研教材，结合学生的特点，努力寻找一种他们易懂易学的方法，引起他们学习的兴趣，帮助他们找回学习的信心。笔者打算就函数的连续性第一课时谈谈自己的教学设计，并针对设计进行教学反思与评价。

1 函数的连续性第一课时教学设计

《函数的连续性》是南京大学出版社周明儒编著的《高等数学》（文科类）第一章《极限与连续》中第5小节的内容，函数连续的概念、证明函数在某点连续以及判断分段函数在某点的连续性是本节课的重点，也是难点.函数的连续性第一课时是在学生学习了函数概念、函数极限的概念、性质以及计算的基础上，对函数的性质进一步进行的讨论。高等数学研究的主要对象是初等函数，而连续性是初等函数的重要性质。因此，这一节内容是高等数学课程的基础性知识，十分重要，而函数的连续性第一课时的学习又是下面学习间断点，导数概念的基础，因此学好第一课时是学习其他知识的前提。

1.1 看一看，直观感知函数的连续性

现实世界的许多现象和实物不仅是运动变化的，而且其运动过程是连续不断的，如每日气温的变化、物体运动路程的变化、金属丝加热或冷却时长度的变化等，这种连续不断变化的现象和事物在数量上的描述就是函数的连续性。通过生活中事物的现象让学生直观感知连续的概念，让学生体会到函数的连续性是微积分学习的一重要概念，它也是下面学习导数的前提。

1.2 讲一讲，为函数在一点连续定义的学习打好基础

改变量也成为增量，它包括自变量改变量和函数改变量。

设函数在区间I上有定义，是I内的一点，再取一点（），用记号表示从到时的改变量，则有，亦即。

此时，当自变量从到时，函数相应的改变量是。如果用表示函数改变量。

则=。

讲到这时，很多学生在函数的改变量的表示

不懂，一脸茫然。发现他们对于函数值是什么？

如何求已经没概念了，所以此时我的设计是画图，帮助他们直观理解函数改变量的表达式。如图1：

1.3 求一求，强化对函数增量公式的记忆和理解

例1 设，=1，求当，，时相应的的值。

解===1.

若，则，故

若，则，故

若，则，故

显然，通过上例具体的值可以感知到，函数改变量（亦称增量）可以是正数，也可是是零或是负数。此时可以引导学生思考何时为正何时为负？为什么？

教师此时可以通过上图1帮助他们发现结论。

1.4 议一议，引出函数在一点连续的概念

在学习了改变量的基础上再来学习函数在一点连续的概念就显得不那么难了。函数连续的特征是自变量变化很小时，函数值的变化也很小。用改变量的符号，给出函数在某一点连续的定义。

定义1 若， （1）

则称函数在点连续。

下面引导学生发现另一个式子：

若取，则。

当时，有，即。从而（1）式可以变为，由函数极限的四则运算得，

又因为，

从而有（2）

对于（2）式其实是不难推出的。但是对于这些计算机班学生，他们进校时基础相当薄弱，前三年基础数学学的也不好，所以导致这儿（2）式的推导上存在很多困难，因此教师需要耐心引导，和他们一起在相互交流探讨中体验学习的快乐，从而得出式子（2），这个式子是很重要的，尤其在对判断分段函数在一点是否连续上起着方法上的指导作用。那么对于证明函数在某一点连续可以有两种方法，分别用（1）式和（2）式证明。判断函数在某一点是否连续也可以从两方面入手。

下面就通过例题来感受一下。

1.5 证一证，加深函数在某一点连续定义的理解和应用

例2 证明函数在点连续。

证 （方法一）对于任意，有

则

依定义（1）式知点连续。

（方法二）由于，且，

所以

依定义（2）式知点连续。

通过证明函数在某个点连续的例题帮助学生理解定义，并通过两种方法讲解引导学生通过比较加强对式子的记忆。在应用式子（1）时关键是求对，很多学生忘记如何求，这是函数中最基本的求函数值问题。所以在这儿教学中会再举一些函数求值问题，帮助学生拉开记忆大门，保证都会求函数值，进而会求函数改变量。应用式子（2）关键是会求，对前面求函数极限要求较高。

1.6 练一练，及时巩固所学知识

①证明函数在处连续。

分别让两位学生到黑板上板演，对书写格式及内容进行评价分析.

②讨论函数在处的连续性。

分析 由于这个是分段函数，0是分界点，因此用定义（2）式来判断简单易行。

解 由于，且

所以

故依定义（2）式知在点处连续.

2 教学反思，提高教学

新课程标准中非常强调教师的教学反思。思之则活，思活则深，思深则透，思透则新，思新则进。所以我打算从以下三个方面进行反思：

（1）教学态度，在教学中，教师的态度对学生的学习和生活有一定的影响，对于大部分不想学习的孩子来说，应该多些耐心，多些爱心，多些激励，多些赞扬。对于刚讲过的学生又忘记了，此时生气只能让气氛更加糟糕，只能换种心态看待，不妨开个小玩笑，调节一下氛围，继续再来耐心讲一遍，此时学生会受到感染，坐直身体，竖起耳朵，认真听讲，教师对学生不能放弃。

（2）教学设计，通过这节课的设计，与预想的差不多，学生对于定义（2）式的推导有着一定的困难，加上他们对于所学过的知识点不能融会贯通，所以单纯的理论学习显得枯燥无味。著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。所以在设计本节课1.2内容时充分利用了“数形结合”的思想，将抽象的知识直观化，提高学生的兴趣和信心。其次本节课用了类比分析的方法，培养了学生的思维能力，提高学生的基本运算能力，通过练一练的分析求解，提高学生运用数学知识解决问题的能力。

（3）教学效果，新的课堂教学评价标准应首先关注学生的学习，体现新课程的核心理念――为了每一个学生的发展；强调教学内容与学生生活以及现代社会和科技发展建立联系；倡导主动、合作、探究的学习方式；使学生学会学习，形成正确的价值观；培养创新精神与实践能力。本节课中，教师引导学生积极参与，注重评价多元化和科学化，尊重他们自尊心，给他们树立信心。大部分学生积极主动参与，整节课大部分学生伴有喜悦，满足、成功等体验，从教材的学习中得到了生活、情感等方面的感悟，培养了他们全面发展的能力。